人教A版必修二 立体几何 空间两点间的距离公式 课件
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新课标人教A版高中数学必修二《两点间的距离公式》课件(共23张ppt)
y B(2,3)
•
恰变 当形
f(x)
(x 1)2 (0 2)2
(
o
x
2)2 (0 3
P(x,0)
)2
x
变式训练1: 变式训练2:
转化 几何 解决 化归 意义 问题
A•(-1,-2)
函数f(x)表示点P(x,0)与A(-1,-2)、B(2,3)
的距离之和。
源于联想
<学有所获4>
结构决定思路，思路决定出路； 注重方程、转化、数形结合等数学思想。
P1(x1,y1) P2(x2,y2)
•
•
2>当x1=x2时 y
y1
•P1(x1,y1)
x1 o
x2 x
|P1P2|=|x1-x2|
o
x
y2
•P2(x2,y2)
|P1P2|=|y1-y2|
3.一般-构建
3>当x1≠x2,且 y1≠y2时
y
• P2(x2,y2)
在Rt△P1QP2中，
P1P2 2 P1Q 2 QP2 2
令
y
0 ,得
：
x
1 5
,
P
oP
x
故
所
求
点
P
的
坐
标
为1(, 5
0
)
,d
m
i
n
34
A•
<学有所获2>
若A、B两点在直线l的异侧，则直线AB与 直线l的交点为所求的点P,且最短距离为|AB|。 (本质：两点之间,直线段最短。)
<数学与生活2>
问题:如果你打算从A地去B地旅行,途经郊外,如
人教A版高中数学必修2课件3.3.2两点间的距离公式课件
知识点—— 两点间的距离公式
两点间的距离公式
【两点间的距离公式】
P1 P2
x2 x2 y2 y1
2
2
两点间的距离公式
【公式推导】 已知平面上的两点P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ， 如何求 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 的距离P1P2 . 由图易知 P1Q N 1 N 2 x2 x1 P2Q M 1 M 2 y2 y1 ∴ P P 2 PQ 2 P Q 2 P P x x 2 y y 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2
两点间的距离公式
【变式训练】 根据两点的距离公式 |PM|2 =(a-5)2+(2a-8)2=52, 即 5a2-42a+64=0， 32 解得 a=2或 a . 32 645 P , P(2,4)或 5 5 . y8 x5 所以直线PM的方程为 4 8 2 5 或 即4x-3y+4=0或 24x-7y-64=0.
两点间的距离公式
【典型例题】
以知点A（-1，2），B（2， 7 ），在x轴上求 一点，使 |PA|=|PB| ,并求|PA|的值. 解法一：设所求点P（x，0），于是有 由|PA|=|PB|得 x 2 2 x 5 x 2 4 x 11 解得 x=1. 所以，所求点P（1，0）且
所以所求点P的坐标为（1，0）.因此
PA
1 2 0 2
2
2
2 2
两点间的距离公式
【变式训练】 在直线2x-y=0 上求一点P ，使它到点 M(5，8) 的距离为5，并求直线PM 的方程.
思路点拨： 求点的坐标，需要把点的坐标设出来，利用 两点间的距离公式进行计算.
两点间的距离公式
【两点间的距离公式】
P1 P2
x2 x2 y2 y1
2
2
两点间的距离公式
【公式推导】 已知平面上的两点P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ， 如何求 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 的距离P1P2 . 由图易知 P1Q N 1 N 2 x2 x1 P2Q M 1 M 2 y2 y1 ∴ P P 2 PQ 2 P Q 2 P P x x 2 y y 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2
两点间的距离公式
【变式训练】 根据两点的距离公式 |PM|2 =(a-5)2+(2a-8)2=52, 即 5a2-42a+64=0， 32 解得 a=2或 a . 32 645 P , P(2,4)或 5 5 . y8 x5 所以直线PM的方程为 4 8 2 5 或 即4x-3y+4=0或 24x-7y-64=0.
两点间的距离公式
【典型例题】
以知点A（-1，2），B（2， 7 ），在x轴上求 一点，使 |PA|=|PB| ,并求|PA|的值. 解法一：设所求点P（x，0），于是有 由|PA|=|PB|得 x 2 2 x 5 x 2 4 x 11 解得 x=1. 所以，所求点P（1，0）且
所以所求点P的坐标为（1，0）.因此
PA
1 2 0 2
2
2
2 2
两点间的距离公式
【变式训练】 在直线2x-y=0 上求一点P ，使它到点 M(5，8) 的距离为5，并求直线PM 的方程.
思路点拨： 求点的坐标，需要把点的坐标设出来，利用 两点间的距离公式进行计算.
《空间中两点的距离公式》人教版高中数学必修二PPT课件(第4.3.2课时)
y0
或
z 2 z 3 2
C 0,4, 2 或 0,0,3 2
所以存在一点C，满足条件.
为等边三角形，
课堂练习
1、在空间直角坐标系中，求点A、B的中点，并求出它们之间的距离：
(1) A(2,3,5) B(3,1,4)
(2)A(6,0,1) B(3,5,7)
2、在Z轴上求一点M，使点M到点A(1,0,2)与点B(1,-3,1)的距离相等。
新知探究
ABC
，在平面Oyz上是否存在一点C，使
例4:已知 A( 3 ,3,3 2 ), B ( 3 ,1, 2 )
果存在求C坐标，不存在说明理由。
解:假设存在一点C(0,y,z)，满足条件：
AB AC BC
3 3 3 1 3 2 2
2
2
异面直线所成的角
如果两条异面直线所成的角为直角，就说两条直线互相垂直，记作a⊥b.
b
•
记作：a b
a
O
a'
新知探究
（2）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线是否也与这条直线垂直？
相交直线的垂直
垂直分为两种：
异面直线的垂直
c
c
b
a
垂直
b
a
新知探究
（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？
不一定
新知探究
例1 正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求
(1)BE与CG所成的角？
(2)FO与BD所成的角？
或
z 2 z 3 2
C 0,4, 2 或 0,0,3 2
所以存在一点C，满足条件.
为等边三角形，
课堂练习
1、在空间直角坐标系中，求点A、B的中点，并求出它们之间的距离：
(1) A(2,3,5) B(3,1,4)
(2)A(6,0,1) B(3,5,7)
2、在Z轴上求一点M，使点M到点A(1,0,2)与点B(1,-3,1)的距离相等。
新知探究
ABC
，在平面Oyz上是否存在一点C，使
例4:已知 A( 3 ,3,3 2 ), B ( 3 ,1, 2 )
果存在求C坐标，不存在说明理由。
解:假设存在一点C(0,y,z)，满足条件：
AB AC BC
3 3 3 1 3 2 2
2
2
异面直线所成的角
如果两条异面直线所成的角为直角，就说两条直线互相垂直，记作a⊥b.
b
•
记作：a b
a
O
a'
新知探究
（2）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线是否也与这条直线垂直？
相交直线的垂直
垂直分为两种：
异面直线的垂直
c
c
b
a
垂直
b
a
新知探究
（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？
不一定
新知探究
例1 正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求
(1)BE与CG所成的角？
(2)FO与BD所成的角？
人教A版高中数学必修二空间两点间的距离公式PPT张
在xOy平面上,
过点P1作P2N的垂线，垂足为H,
z
则 所以
O
M1 N1
P2 P1
M M2 H N2 y N Nhomakorabeax
人教A版高中数学必修二 4.3.2 空间两点间的距离公式（共PPT19张）
人教A版高中数学必修二 4.3.2 空间两点间的距离公式（共PPT19张）
因此，空间中任意两点P1（x1，y1，z1）、 P2（x2，y2，z2） 之间的距离
z
在xOy平面上的射影分别为 M,N,那么M,N的坐标为M （x1，y1，0）， N（x2，y2， 0）.
O
M1 N1
P2 P1
H
M M2
N2 y
N
人教A版高中数学必修二 4.3.2 空间两点间的距离公式（共PPT19张）
x
人教A版高中数学必修二 4.3.2 空间两点间的距离公式（共PPT19张）
d c
a2 b2 b
a
d a2 b2 c2
人教A版高中数学必修二 4.3.2 空间两点间的距离公式（共PPT19张）
2.如果是空间中任意一点P1（x1，y1，z1）到点P2 （x2，y2，z2）之间的距离公式会是怎样呢？
如图：P1、P2是空间中任意两点，且坐标为
P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）
人教A版高中数学必修二 4.3.2 空间两点间的距离公式（共PPT19张）
人教A版高中数学必修二 4.3.2 空间两点间的距离公式（共PPT19张）
在空间直角坐标系中，点P(x1,y1,z1)和点Q(x2,y2,z2) 的中点坐标(x,y,z),类比平面两点的中点坐标可以得
x
x1 x 2 2
教学目标：
高一数学人教A版必修2课件：4.3.2 空间两点间的距离公式
第五页，编辑于星期日：二十二点 一分。
2.空间一点M的坐标可用有序实数组(x,y,z)来表示,有序实数组
(x,y,z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作__________,
其中(xx叫,y,做z)点M的__________,y叫做点横M坐的标__________,z叫做
点M的纵_坐_标________.
第三十页，编辑于星期日：二十二点 一分。
5.已知A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4)为三角形的三个顶点,则
△ABC是( )
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.等腰三角形
解析 :| AB | (4 1)2 (2 2)2 (3 11)2 89 | BC | (6 4)2 (1 2)2 (4 3)2 14,| AC | (6 1)2 (1 2)2 (4 11)2 75. | BC | 2 | AC | 2 |
等)的相对位置. 3.初步了解空间直角坐标系中,点关于坐标平面､坐标轴､原点的
对称点的坐标特征. 4.熟悉并掌握空间两点间的距离公式,会应用两点间的距离公式解有
关空间距离的问题.
第二页，编辑于星期日：二十二点 一分。
5.从空间直角坐标系的建立与平面直角坐标系的比较,初步体会人类
认识世界是从低级到高级,从简单到复杂的过程,进一步认识归纳
类比在人类认识论中的作用及其应注意的问题.
第三页，编辑于星期日：二十二点 一分。
第四页，编辑于星期日：二十二点 一分。
1.如上图,为了确定空间点的位置,我们建立空间直角坐标系:以 ______单_位__正_为方载体体.以O为原点,分别以射线OA､OC､OD′的方 向为__________,以正线段方O向A､OC､OD′的长为单位长,建立三 条数轴:_____________,这时x我轴们､y说轴建､z立轴了一个 _________空__间__直__角__坐,其标中系点O叫__________,__________ 叫坐坐标标原轴点,通过x每轴两､个y轴坐､标z轴轴的平面叫坐标平面,分别称为 ______________________x_O,通y平常面建､y立O的z平坐面标､系zO为x平面 ______________,即__右__手__直_角__坐_指标向系x轴的正右方手拇指 向,________指向y食轴指的正方向,________指向z轴中的指正方向.
2.空间一点M的坐标可用有序实数组(x,y,z)来表示,有序实数组
(x,y,z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作__________,
其中(xx叫,y,做z)点M的__________,y叫做点横M坐的标__________,z叫做
点M的纵_坐_标________.
第三十页，编辑于星期日：二十二点 一分。
5.已知A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4)为三角形的三个顶点,则
△ABC是( )
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.等腰三角形
解析 :| AB | (4 1)2 (2 2)2 (3 11)2 89 | BC | (6 4)2 (1 2)2 (4 3)2 14,| AC | (6 1)2 (1 2)2 (4 11)2 75. | BC | 2 | AC | 2 |
等)的相对位置. 3.初步了解空间直角坐标系中,点关于坐标平面､坐标轴､原点的
对称点的坐标特征. 4.熟悉并掌握空间两点间的距离公式,会应用两点间的距离公式解有
关空间距离的问题.
第二页，编辑于星期日：二十二点 一分。
5.从空间直角坐标系的建立与平面直角坐标系的比较,初步体会人类
认识世界是从低级到高级,从简单到复杂的过程,进一步认识归纳
类比在人类认识论中的作用及其应注意的问题.
第三页，编辑于星期日：二十二点 一分。
第四页，编辑于星期日：二十二点 一分。
1.如上图,为了确定空间点的位置,我们建立空间直角坐标系:以 ______单_位__正_为方载体体.以O为原点,分别以射线OA､OC､OD′的方 向为__________,以正线段方O向A､OC､OD′的长为单位长,建立三 条数轴:_____________,这时x我轴们､y说轴建､z立轴了一个 _________空__间__直__角__坐,其标中系点O叫__________,__________ 叫坐坐标标原轴点,通过x每轴两､个y轴坐､标z轴轴的平面叫坐标平面,分别称为 ______________________x_O,通y平常面建､y立O的z平坐面标､系zO为x平面 ______________,即__右__手__直_角__坐_指标向系x轴的正右方手拇指 向,________指向y食轴指的正方向,________指向z轴中的指正方向.
人教A版高中数学必修二空间两点间的距离公式课件
(3)在yoz平面射影点为 P3______(0_,_y,_z_) ;
z P2
O x
P3
P(x,y,z)
y P1
人教A版高中数学必修二 4.3.2空间两点间的距离公式课件(共27 张PPT)
人教A版高中数学必修二 4.3.2空间两点间的距离公式课件(共27 张PPT)
2.点P(x , y , z) 关于坐标平面的对称点：
方法一：过M点作xOy面的垂线，垂足为 P0点。点P0在坐标系xOy中的坐
标x、y依次是P点的横坐标、纵坐标。再过P点作z轴的垂线，垂足 P1在z轴
上的坐标z就是P点的竖坐标。
x
xＸ
z
z P1
1
•o
1
1
P点坐标为
•P
(x,y,z)
y Ｙ
y
•
P0
人教A版高中数学必修二 4.3.2空间两点间的距离公式课件(共27 张PPT)
这些点的位置 A（0,1,1）,B（0,0,2）,C（0,2,0）,
D（1,0,3）,E（2,2,0）,F（1,0,0）
z
人教A版高中数学必修二 4.3.2空间两点间的距离公式课件(共27 张PPT)
D• •B
1 •A
O•
C
•
F• 1
y
1
•E
x
人教A版高中数学必修二 4.3.2空间两点间的距离公式课件(共27 张PPT)
z
zR
x
xP
人教A版高中数学必修二 4.3.2空间两点间的距离公式课件(共27 张PPT)
1
•o
1
1
•P
y
Q
y
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z P2
O x
P3
P(x,y,z)
y P1
人教A版高中数学必修二 4.3.2空间两点间的距离公式课件(共27 张PPT)
人教A版高中数学必修二 4.3.2空间两点间的距离公式课件(共27 张PPT)
2.点P(x , y , z) 关于坐标平面的对称点：
方法一：过M点作xOy面的垂线，垂足为 P0点。点P0在坐标系xOy中的坐
标x、y依次是P点的横坐标、纵坐标。再过P点作z轴的垂线，垂足 P1在z轴
上的坐标z就是P点的竖坐标。
x
xＸ
z
z P1
1
•o
1
1
P点坐标为
•P
(x,y,z)
y Ｙ
y
•
P0
人教A版高中数学必修二 4.3.2空间两点间的距离公式课件(共27 张PPT)
这些点的位置 A（0,1,1）,B（0,0,2）,C（0,2,0）,
D（1,0,3）,E（2,2,0）,F（1,0,0）
z
人教A版高中数学必修二 4.3.2空间两点间的距离公式课件(共27 张PPT)
D• •B
1 •A
O•
C
•
F• 1
y
1
•E
x
人教A版高中数学必修二 4.3.2空间两点间的距离公式课件(共27 张PPT)
z
zR
x
xP
人教A版高中数学必修二 4.3.2空间两点间的距离公式课件(共27 张PPT)
1
•o
1
1
•P
y
Q
y
人教A版高中数学必修二 4.3.2空间两点间的距离公式课件(共27 张PPT)
空间两点间的距离公式课件(人教A版必修
空间两点间的距 离公式
,
汇报人：
添加目录标题
两点间的距离 公式
公式中的符号 含义
公式的应用场 景
公式的注意事 项
添加章节标题
两点间的距离公式
公式推导
● 两点间的距离公式：d=√(x2-x1)²+(y2-y1)²
● 推导过程： a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) b. 连接AB，得到线段AB c. 线段AB的长度即为两点间的距离 d. 根据勾股定理，AB²=AC²+BC² e. 代入AB的长度，得到d=√(x2-x1)²+(y2-y1)²
公式中的符号含义
符号说明
d：表示两点间的距离 r：表示半径 θ：表示角度 π：表示圆周率，约等于3.14159
符号含义
符号应用
d：表示两点间的 距离
r：表示半径
θ：表示角度
π：表示圆周率
√：表示平方根
2：表示常数2
d：表示两点 间的距离
符号记忆 r：表示半径
θ：表示角度
π：表示圆周 率
2：表示平方
√：表示开方
公式的应用场景
计算两点间的距离
平面几何中的应用
判断两点是否在同一平面上
添加标题
添加标题
判断两点是否在同一直线上
添加标题
添加标题
计算三角形的面积
解析几何中的应用
计算两点间的距离
计算多边形的面积
计算线段的长度 计算三角形的面积
计算曲线的长度 计算曲面的面积
向量中的应用
向量加法：用于表示两个向量的和
● a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) ● b. 连接AB，得到线段AB ● c. 线段AB的长度即为两点间的距离 ● d. 根据勾股定理，AB²=AC²+BC² ● e. 代入AB的长度，得到d=√(x2-x1)²+(y2-y1)²
,
汇报人：
添加目录标题
两点间的距离 公式
公式中的符号 含义
公式的应用场 景
公式的注意事 项
添加章节标题
两点间的距离公式
公式推导
● 两点间的距离公式：d=√(x2-x1)²+(y2-y1)²
● 推导过程： a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) b. 连接AB，得到线段AB c. 线段AB的长度即为两点间的距离 d. 根据勾股定理，AB²=AC²+BC² e. 代入AB的长度，得到d=√(x2-x1)²+(y2-y1)²
公式中的符号含义
符号说明
d：表示两点间的距离 r：表示半径 θ：表示角度 π：表示圆周率，约等于3.14159
符号含义
符号应用
d：表示两点间的 距离
r：表示半径
θ：表示角度
π：表示圆周率
√：表示平方根
2：表示常数2
d：表示两点 间的距离
符号记忆 r：表示半径
θ：表示角度
π：表示圆周 率
2：表示平方
√：表示开方
公式的应用场景
计算两点间的距离
平面几何中的应用
判断两点是否在同一平面上
添加标题
添加标题
判断两点是否在同一直线上
添加标题
添加标题
计算三角形的面积
解析几何中的应用
计算两点间的距离
计算多边形的面积
计算线段的长度 计算三角形的面积
计算曲线的长度 计算曲面的面积
向量中的应用
向量加法：用于表示两个向量的和
● a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) ● b. 连接AB，得到线段AB ● c. 线段AB的长度即为两点间的距离 ● d. 根据勾股定理，AB²=AC²+BC² ● e. 代入AB的长度，得到d=√(x2-x1)²+(y2-y1)²
高中数学人教A版必修二4.3.2《空间两点间的距离公式》ppt课件
O A
x
M
N
Cy
B
例2：如图，以正方体的三条棱所在
直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，
点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体
的棱CD上。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z
D
P
O x
a
Cy A
（1）当点P为对角线AB的中点，点Q在 棱CD上 运 动 时 ， 探 究PQ 的 最 小 值 ； （2）当点Q为棱CD的中点，点P在对角 线AB上 运 动 时 ， 探 究PQ 的 最 小 值 ； （3）当点P在对角线AB上运动，点Q在 棱CD上 运 动 时 ， 探 究PQ 的 最 小 值 ； 由以上问题你得到什么结论？你能证明 你的结论吗?
探究4：在空间直角坐标系中，P1( x1，y1，z1 ) P2( x2，y2，z2 )间的距离是________。
学法小结
空间亮点的距离公式
典例精析
例1：如图，正方体OABC D' A' B' C'的
棱长为a， AN 2 CN ， BM 2 MC' ，求M
N的长
z
D’
C’
A’
B’
问题探究
探究1：在空间直角坐标系中标出A，B 两点，再求它们之间的距离： （1）A(2，3，5)，B(3，1，4)； （2）A(6，0，1)，B(3，5，7)；
探究2：在空间直角坐标系Oxyz中，任意 一点p( x，y，z)与原点间的距离是________。
探究3：如果OP 是定长r，那么x2 y2 z2 r 2表示什么图形？
[家庭作业]
《考向标》P101－P103
4.3.2空间两点间的距离公式课件(人教A版必修2)
知
题
能
探 x=2.
巩
究
固
导 学
答案：2
提 升
三、解答题（6题12分，7题13分，共25分）
目
录 6.已知△ABC的三个顶点A（1，5，2），B（2，3，4）， 典
课 C（3，1，5）.
程
型 例
目 标
(1)求△ABC中最短边的边长；
题 精
设
析
置 (2)求AC边上中线的长度.
主 【解析】(1)由空间两点间距离公式得：
型
程
例
目 标
值是(
)
题 精
设
析
置 (A) 3 3 (B) 3 6 (C) 2 3 (D)2 6
主
知
题 探
【解析】选B. |AB|= (1-2a)2+(a+7)2+(-5+2)2
能 巩
究
固
导 = 5(a+1)2+54 54=3 6.
提
学
升
目 二、填空题（每题5分，共10分）
录
4.已知A（1,-1,3)，B（3,-2,2)，在x轴上有一点P到A、B两
固 提
学
升
∵z∈［0,4］,∴z=2.
故MN上的点Q（0,2,2)使得△AQB为直角三角形.
目
录 典
课
型
程
例
目
题
标
精
设
析
置
主
知
题
能
探
巩
究
固
导
提
学
升
知
题
能
探 究
|AB|= (1-2)2+(5-3)2+(2-4)2 =3,
人教A版高中数学必修二课件4.3.2空间两点间的距离公式1.pptx
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问题提出
1. 在平面直角坐标系中两点间的距 离公式是什么？
2. 在空间直角坐标系中，若已知两 个点的坐标，则这两点之间的距离 是惟一确定的，我们希望有一个求 两点间距离的计算公式，对此，我 们从理论上进行探究.
知识探究（一）:与坐标原点的距离公式
思考1:在空间直角坐标系中，坐标
z
O
P
y
x
M
| OP |= x 2 + y 2 + z 2
思考5:在空间直角坐标系中，方程 x2+y2+z2=r2（r>0为常数）表示什么 图形是什么？
z
P
O y
x
知识探究（二）:空间两点间的距离公式
在空间中，设点P1（x1，y1，z1），
P2（x2，y2，z2）在xOy平面上的射影
分别为M、N.
C
O
y
x
A
| OB |= y 2 + z 2 , | OC |= x 2 + z 2
思考3:在空间直角坐标系中，设点 P（x，y，z）在xOy平面上的射影为 M，则点M的坐标是什么？|PM|,|OM| 的值分别是什么？
M(x,y,0)
|PM|=|z|
z
O
P
y
x
M
| OM |= x 2 + y 2
思考4:基于上述分析，你能得到点 P（x，y， z）与坐标原点O的距离公式吗？
z P1
O
xM
P2
y N
| P1P2 |= | MN |= (x1 - x2)2 + (y1 - y2)2
思考4:若直线P1P2是xOy平面的一条 斜线，则点P1、P2的距离如何计算？
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问题提出
1. 在平面直角坐标系中两点间的距 离公式是什么？
2. 在空间直角坐标系中，若已知两 个点的坐标，则这两点之间的距离 是惟一确定的，我们希望有一个求 两点间距离的计算公式，对此，我 们从理论上进行探究.
知识探究（一）:与坐标原点的距离公式
思考1:在空间直角坐标系中，坐标
z
O
P
y
x
M
| OP |= x 2 + y 2 + z 2
思考5:在空间直角坐标系中，方程 x2+y2+z2=r2（r>0为常数）表示什么 图形是什么？
z
P
O y
x
知识探究（二）:空间两点间的距离公式
在空间中，设点P1（x1，y1，z1），
P2（x2，y2，z2）在xOy平面上的射影
分别为M、N.
C
O
y
x
A
| OB |= y 2 + z 2 , | OC |= x 2 + z 2
思考3:在空间直角坐标系中，设点 P（x，y，z）在xOy平面上的射影为 M，则点M的坐标是什么？|PM|,|OM| 的值分别是什么？
M(x,y,0)
|PM|=|z|
z
O
P
y
x
M
| OM |= x 2 + y 2
思考4:基于上述分析，你能得到点 P（x，y， z）与坐标原点O的距离公式吗？
z P1
O
xM
P2
y N
| P1P2 |= | MN |= (x1 - x2)2 + (y1 - y2)2
思考4:若直线P1P2是xOy平面的一条 斜线，则点P1、P2的距离如何计算？
数学432空间两点间的距离公式课件新人教版a版必修2 优质课件
z
O
P
y
x
M
| OP |= x 2 + y 2 + z 2
思考5:在空间直角坐标系中，方程 x2+y2+z2=r2（r>0为常数）表示什么 图形是什么？
z
P
O y
x
知识探究（二）:空间两点间的距离公式
在空间中，设点P1（x1，y1，z1），
P2（x2，y2，z2）在xOy平面上的射影
分别为M、N.
理论迁移
例1 在空间中，已知点A(1, 0, -1)，B (4, 3, -1)，求A、B两点之 间的距离.
例2 已知两点 A(-4, 1, 7)和 B(3, 5, -2)，点P在z轴上，若 |PA|=|PB|，求点P的坐标.
例3 如图，点P、Q分别在棱长 为1的正方体的对角线AB和棱CD上运 动，求P、Q两点间的距离的最小值， 并指出此时P、Q两点的位置.
轴上的点A（x，0，0），B（0，y，
0），C（0，0，z），与坐标原点O
的距离分别是什么？
z
|OA|=|x| |OB|=|y|
B
O
y
A
C
|OC|=|z|
x
思考2:在空间直角坐标系中，坐标
平面上的点A（x，y，0），B（0，y，
z），C（x，0，z），与坐标原点O
的距离分别是什么？
z
B
| OA |= x 2 + y 2
C
O
y
x
A
| OB |= y 2 + z 2 , | OC |= x 2 + z 2
思考3:在空间直角坐标系中，设点 P（x，y，z）在xOy平面上的射影为 M，则点M的坐标是什么？|PM|,|OM| 的值分别是什么？
O
P
y
x
M
| OP |= x 2 + y 2 + z 2
思考5:在空间直角坐标系中，方程 x2+y2+z2=r2（r>0为常数）表示什么 图形是什么？
z
P
O y
x
知识探究（二）:空间两点间的距离公式
在空间中，设点P1（x1，y1，z1），
P2（x2，y2，z2）在xOy平面上的射影
分别为M、N.
理论迁移
例1 在空间中，已知点A(1, 0, -1)，B (4, 3, -1)，求A、B两点之 间的距离.
例2 已知两点 A(-4, 1, 7)和 B(3, 5, -2)，点P在z轴上，若 |PA|=|PB|，求点P的坐标.
例3 如图，点P、Q分别在棱长 为1的正方体的对角线AB和棱CD上运 动，求P、Q两点间的距离的最小值， 并指出此时P、Q两点的位置.
轴上的点A（x，0，0），B（0，y，
0），C（0，0，z），与坐标原点O
的距离分别是什么？
z
|OA|=|x| |OB|=|y|
B
O
y
A
C
|OC|=|z|
x
思考2:在空间直角坐标系中，坐标
平面上的点A（x，y，0），B（0，y，
z），C（x，0，z），与坐标原点O
的距离分别是什么？
z
B
| OA |= x 2 + y 2
C
O
y
x
A
| OB |= y 2 + z 2 , | OC |= x 2 + z 2
思考3:在空间直角坐标系中，设点 P（x，y，z）在xOy平面上的射影为 M，则点M的坐标是什么？|PM|,|OM| 的值分别是什么？
人教A版高中数学必修2课件4.3.2空间两点间的距离公式课件
在空间直角坐标系中，若已知两个点的坐标 ，则这两点之间的距离是惟一确定的.
空间两点间的距离公式
【典型例题】 1、已知A(x,2,3)、B(5,4,7)，且|AB|=6，求x的值. 分析：利用空间两点间的距离公式，寻找关于x 的方程，解方程即得. 解: ∵ |AB|=6，∴ ( x 5)2 (2 4)2 (3 7)2 6 即 ( x 5)2 16 ，解得x=1或x=9 ∴x=1或x=9.
空间两点间的距离公式
【变形训练】 2、在四面体P-ABC中，PA、PB、PC两两垂直， 设PA=PB=PC=a，求点P到平面ABC的距离. 分析：通过前面的学习，我们可以通过坐标法即 用代数的方法解决几何问题. 坐标法解题的步骤是： 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和 方程表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问 题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题，第三步 ：把代数运算结果“翻译”成几何结论.
2
4 5 CA 6 ，
所以△ABC是一等腰三角形.
空间两点间的距离公式
【变形训练】 1、点P在坐标平面xOy内，A点的坐标为(-1,2,4)， 问满足条件|PA|=5的点P的轨迹是什么？ 分析：因点P一方面在坐标平面xOy内，另一方 面满足条件|PA|=5，即点P在球面上，故点P的 轨迹是坐标平面xOy与球面的交线.
又∵△ ABC为正三角形，∴H为 △ABC的重心. a a a 由重心的坐标公式有：可得H点的坐标为 ( 3 , 3 , 3 ), ∴|PH|= (0 a )2 (0 a )2 (0 a )2 3 a .
3 ∴点P到平面ABC的距离为 a. 3
3
3
3
3
空间两点间的距离公式
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4.3.2 空间两点间的 距离公式
类比平面两点间距离公式的推导，你能猜想一下 空间两点 P1 (x1 , y1 , z1 ), P2 (x2 , y 2 , z 2 ) 间的距离公式吗？ 平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式
| P1 P2 | (x 2 x1 ) 2 (y 2 y 1 ) 2
从而， | AC |
2
| BC|2 | AB |2
根据勾股定理，结论得证。
当堂检测
1．若已知A（1，1，1），B（-3，-3，-3），则 线段AB的长为（ A ）
A.4 3 C .4 2 B.2 3 D.3 2
2．点B是点A（1，2，3）在坐标平面yOz内的射 影，则OB等于（ B ）
A. 14 C .2 3
从立体几何可知，|OP| 2 =|OA| 2 +|OB| 2 +|OC| 2
所以
| OP | x 2 y 2 z 2
思考 如果|OP|是定长r，那么 x y z r
2 2 2
2
表示什么图形？ y
联想
x
O r
x2 y 2 r 2
表示什么图形？
表示以原点为圆心，r为半径的圆。
思考
2 2 2 2 如果|OP|是定长r，那么 x y z r 表示什 么图形？ z
O
x y
表示以原点为球心，r为半径的球体。
例三
已知A（1，-2，11），B（4，2，3），C（6， -1，4），求证: ΔABC 为直角三角形.
证明：利用空间中两点间距离公式，得
| AB | 89, | AC | 75, | BC| 14
B. 13 D. 11
3.在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距 离都是1，则该点到原点的距离是（ A）
6 2 3 C. 2 A.
B. 3 6 D. 3
4.已知ABCD为平行四边形，且A（4，1，3），B （2，-5，1），C（3，7，-5），则点D的坐标为 D （ ） A．（7/2,，4，-1） B．（2，3，1） C．（-3，1，5） D．（5，13，-3）
| P1 P2 | (x 1 x 2 ) 2 (y 1 y 2 ) 2 (z 1 z 2 ) 2
z
P1 (x1 , y 1 , z 1 )
O
P2 (x2 , y 2 , z 2 ) x
yLeabharlann 空间任一点P(x,y,z)到原点O的距离。 z C 0 P(x,y,z) By
x A
|OA|=|x|, |OB|=|y|, |OC|=|z|
课堂小结
1、右手直角坐标系 2、点在空间直角坐标系中的坐标 z z x M （x，y，z） y y
O
x 3.空间中两点 P1 (x1 , y1 , z1 ), P2 (x2 , y 2 , z 2 ) 的距离公式是：
| P1 P2 | (x 1 x 2 ) 2 (y 1 y 2 ) 2 (z 1 z 2 ) 2
P1
y
o
P2
x
自学思考
1、自学课本136-137页，时间5分钟； 2、思考：
（1）平面内两点间的距离公式是什么？
（2）空间中两点间的距离公式是什么？
2 2 2 2 x y z r （3）如果|OP|是定长r，那么 表示什么图形？
空间中两点 P1 (x1 , y1 , z1 ), P2 (x2 , y 2 , z 2 )的距离公式是：
类比平面两点间距离公式的推导，你能猜想一下 空间两点 P1 (x1 , y1 , z1 ), P2 (x2 , y 2 , z 2 ) 间的距离公式吗？ 平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式
| P1 P2 | (x 2 x1 ) 2 (y 2 y 1 ) 2
从而， | AC |
2
| BC|2 | AB |2
根据勾股定理，结论得证。
当堂检测
1．若已知A（1，1，1），B（-3，-3，-3），则 线段AB的长为（ A ）
A.4 3 C .4 2 B.2 3 D.3 2
2．点B是点A（1，2，3）在坐标平面yOz内的射 影，则OB等于（ B ）
A. 14 C .2 3
从立体几何可知，|OP| 2 =|OA| 2 +|OB| 2 +|OC| 2
所以
| OP | x 2 y 2 z 2
思考 如果|OP|是定长r，那么 x y z r
2 2 2
2
表示什么图形？ y
联想
x
O r
x2 y 2 r 2
表示什么图形？
表示以原点为圆心，r为半径的圆。
思考
2 2 2 2 如果|OP|是定长r，那么 x y z r 表示什 么图形？ z
O
x y
表示以原点为球心，r为半径的球体。
例三
已知A（1，-2，11），B（4，2，3），C（6， -1，4），求证: ΔABC 为直角三角形.
证明：利用空间中两点间距离公式，得
| AB | 89, | AC | 75, | BC| 14
B. 13 D. 11
3.在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距 离都是1，则该点到原点的距离是（ A）
6 2 3 C. 2 A.
B. 3 6 D. 3
4.已知ABCD为平行四边形，且A（4，1，3），B （2，-5，1），C（3，7，-5），则点D的坐标为 D （ ） A．（7/2,，4，-1） B．（2，3，1） C．（-3，1，5） D．（5，13，-3）
| P1 P2 | (x 1 x 2 ) 2 (y 1 y 2 ) 2 (z 1 z 2 ) 2
z
P1 (x1 , y 1 , z 1 )
O
P2 (x2 , y 2 , z 2 ) x
yLeabharlann 空间任一点P(x,y,z)到原点O的距离。 z C 0 P(x,y,z) By
x A
|OA|=|x|, |OB|=|y|, |OC|=|z|
课堂小结
1、右手直角坐标系 2、点在空间直角坐标系中的坐标 z z x M （x，y，z） y y
O
x 3.空间中两点 P1 (x1 , y1 , z1 ), P2 (x2 , y 2 , z 2 ) 的距离公式是：
| P1 P2 | (x 1 x 2 ) 2 (y 1 y 2 ) 2 (z 1 z 2 ) 2
P1
y
o
P2
x
自学思考
1、自学课本136-137页，时间5分钟； 2、思考：
（1）平面内两点间的距离公式是什么？
（2）空间中两点间的距离公式是什么？
2 2 2 2 x y z r （3）如果|OP|是定长r，那么 表示什么图形？
空间中两点 P1 (x1 , y1 , z1 ), P2 (x2 , y 2 , z 2 )的距离公式是：