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第四章 习题 复变函数课件

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复变函数 全套课件

复变函数 全套课件

w1
8
2cos
9 16
i
sin
9 16
,
23
w2
8
2
cos
17 16
i sin 1176,
w3
8
2cos
25 16
i sin 2156.
y
w1
这四个根是内接于中
心在原点半径为8 2 的 圆的正方形的四个顶点.
w2
o
w0 x
w3
24
三、典型例题
例1 对于映射 w z 1 , 求圆周 z 2的象. z
3
三角表示法
利用直角坐标与极坐标的关系
x y
r r
cos , sin ,
复数可以表示成 z r(cos i sin )
指数表示法
利用欧拉公式 ei cos i sin ,
复数可以表示成 z rei 称为复数 z 的指数表示式.
4
方根
w
n
z
r
1 n
cos
2kπ
i sin
2kπ
n
n
6
2cos
12
i
sin
12 ,
w1
6
2cos
7 12
i sin 712,
w2
6
2cos
5 4
i
sin
5 4
.
22
例 计算 4 1 i 的值.
解
1i
2cos
4
i
sin
4
4
1
i
8
2cos 4
2k 4
i sin
4
2k
4
即
w0
8

复变函数课件章节

复变函数课件章节
复变函数(第四版)课件 章节大纲
汇报人：
目录
添加目录标题
01
复变函数的基本概念
02
复变函数的微积分
03
全纯函数与亚纯函数
04
复变函数的积分公式 和全纯函数的性质
05
全纯映射和几何函数 论
06
添加章节标题
复变函数的基本 概念
复数及其几何意义
复数：实数与 虚数的组合
复平面：复数 的几何表示
复数的模：表 示复数的大小
全纯函数的性质
全纯函数是复变函数中的重要概念，具有解析性和连续性
全纯函数在复平面上的解析性，即函数在复平面上的任意点处都可以解析
全纯函数的连续性，即函数在复平面上的任意点处都可以连续
全纯函数的性质还包括其解析性和连续性的关系，即全纯函数在复平面上的解析性和连续性是等价 的
最大模原理和柯西积分公式
亚纯函数的展开 和值分布理论
亚纯函数的展开和米塔-列夫勒理论
展开：将亚纯函数分解为幂 级数的形式
米塔-列夫勒理论：研究亚纯 函数展开的性质和规律
亚纯函数：复变函数中的一 种特殊函数
应用：在解析数论、复动力 系统等领域有广泛应用
值分布理论和皮卡定理
值分布理论：研 究函数在复平面 上的值分布规律
皮卡定理：描述 函数在复平面上 的值分布规律
极值性质：全纯 映射的极值性质， 包括最大值和最 小值
泰勒定理：泰勒 定理的证明和应 用，包括泰勒级 数和泰勒展开式
极值定理：极值 定理的证明和应 用，包括极值点 的存在性和唯一 性
泰勒定理的应用： 泰勒定理在复变 函数中的应用， 包括求解微分方 程和积分方程
几何函数论和单叶函数
几何函数论：研究复变函数在几何上的性质，如解析性、单值性、连续性等 单叶函数：复变函数在某一区域内具有唯一确定的值，且该值与自变量一一对应 单叶函数的性质：解析性、单值性、连续性、可微性等 单叶函数的应用：在工程、物理、化学等领域有广泛应用，如流体力学、电磁学、量子力学等

高等数学课件-复变函数与积分变换 第四章 级数

高等数学课件-复变函数与积分变换 第四章 级数

称为级数的部分和。
在收敛域D内
lim
n
Sn
(
z)
S
(
z
),
S ( z) 为级数的和函数。
二、幂级数
若 fn (z) Cn zn 或 fn (z) Cn (z z0 )n 时，
幂级数为
Cn zn 或
Cn (z z0 )n
n0
n0
定理4.7
Ab el 定理如果级数
Cn zn
n0
z z 在
z0
sin
z
k 0
(1)k z2k1
2k 1!
R
• 例5 将 cos z 在 z 0处展开成幂级数。
sin z 解： 将
两边对z求导
cos z
(1)k (2k 1)z2k
k 0
2k 1!
(1)k z2k
k 0
2k !
例6 arctan z 在 z 0 处展开成幂级数。
解：
arctan
z
b
二、复数项级数
定义4.2
z 设
为一复数列，表达式
n
zn z1 z2 zn
n1 为复数项级数，其前n项之和
Sn z1 z2 zn
为级数的部分和。 称级数收敛，
若
lim
n
Sn
S,
S称为级数的和，
记为
S zn
若
{Sn} 不收敛，则称级数是发散的
n1
n
n
n
Sn k an i bn 有
收敛，那么对满足
0
| z || z0 | 的z，
级数必绝对收敛。
如果在
z z 级数发散，那么对满足 0

《复变函数》第4章.

《复变函数》第4章.

n

1 2n
i
解:1)


an

1 发散.
n1
n 1n
原级数发散

(尽管 bn
n1


1
n 1n2
收敛)
2019/5/13
《复变函数》(第四版) 第4章
第9页
解: 2)



(8i)n


8n
n0 n! n0 n!
(不易分实部,虚部)
对正项级数


n0

n n an bn
n1
ii ) | n| 收敛
| an |与 |bn |都收敛.
2019/5/13
《复变函数》(第四版) 第4章
第6页
iii ) n绝对收敛 重排 n的各项次序所 得到的级数 n也绝对收敛,且其和不变.
iv) n , n , 都绝对收敛 级数 n也绝对收敛,且 n ,
( 2)n ( 2 )n cos in
1 chn

en
2 en

2 en
而
2
n1 en

2



n1
1 e
n

收敛.
(公比 | q | 1 1) e
∴ 原级数绝对收敛.
2019/5/13
《复变函数》(第四版) 第4章
第14页
补例:
判别级数


i
n
和

ei n
2

i sin )n

2 5

n

cos(

复变函数PPT第四章

复变函数PPT第四章
——代入法
1 例2 求 f ( z ) 2 在 z 0 点邻域内的 Taylor级数. (1 z )
解：z1 1 是 f ( z ) 的惟一奇点，且 z1 0 1, 故收敛半径 R 1.
利用逐项积分得
(n 1)z dz
n 0 n 0 n 0
z

z
0
( n 1) z dz z
n n 0

n 1
z . 1 z
所以
1 z n (n 1)z 1 z (1 z )2 n 0

z 1 .
n0

的收敛范围与和函数.
解 级数的部分和为
sn 1 z z 2 z n1 1 lim sn z 1 n 1 z
z 1
lim z 0
n n
1 zn , ( z 1) 1 z z n 收敛, 级数
n 0
级数
z n 发散.

所以收敛半径 R 1,
即原级数在圆 z 1内收敛, 在圆外发散, zn 1 在圆周 z 1上,级数 3 3 n 1 n n 1 n 收敛的 p 级数 ( p 3 1). 所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.
(cos in) z n （2）
n 0

1 n 解 因为 cn cos in (e e n ), 所以收敛半径为 2 en en cn 1 1 e 2 n lim n1 R lim . n 1 lim 2 n 1 n e n c n e e e e n1
(7)(1 z ) 1 z

( 1)

复变函数与积分变换第四章ppt课件

复变函数与积分变换第四章ppt课件

定理4.4
若
n
收
敛
收
n
敛
，
且
n
n
.
n1
n1
n1
n1
证明 n an ibn an2 bn2
由比较判定法
an an2 bn2 ,
an和
bn均绝对收敛，
n1
n1
bn an2 bn2
n
n
k k ,
k 1
k 1
由定理4.2得
收敛。
n
n1
n n
n1
n1
?
若
收
n
敛
n1
n1
lim
n
n
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b.
证明
“
”已知
lim
n
n
即，
0, N 0,当 n N , 恒有 n
又 n (an a) i(bn b) (an a)2 (bn b)2
an a n bn b n
故
lim
n
a
n
a
,
lim
n
bn
3)
R 1 e
5. 幂级数的运算和性质
代数运算
设
an z n
f (z)
R
r1，
bn z n
g(z)
R
r2
n0
n0
anzn bnzn (an bn )zn f (z) g(z) z R
n0
n0
n0
---幂级数的加、减运算
( anzn ) ( bnzn ) (a0bn a1bn1 a2bn2 anb0 )zn

复变函数(第四版)课件章节--4.4

复变函数(第四版)课件章节--4.4

cn =
1 2π i
∫
Γ2
c−n
1 = 2π i 1 = 2π i
f (ξ ) ∫Γ (ξ − a ) n +1 d ξ ( n = 0 ,1, 2 ,⋅ ⋅ ⋅) f (ξ ) ∫Γ1 (ξ − a ) − n +1 d ξ
f (ξ ) dξ n +1 (ξ − a )
1 f (ξ ) = ∫Γ (ξ − a) −n +1 dξ (n = 1,2,⋅ ⋅ ⋅), 2πi
1 f (ζ ) cn = ∫ (ζ − z0 )n+1 dζ (n = 0, ± 1, ± 2,L) 2πi C
然后写出
f (z) =
n= −∞
∑ cn ( z − z0 ) Nhomakorabea∞
n
.
缺点: 计算往往很麻烦. 缺点 计算往往很麻烦
2. 间接展开法 根据正、负幂项组成的的级数的唯一性 根据正、负幂项组成的的级数的唯一性, 可 用代数运算、代换、 用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 . 优点 : 简捷 , 快速 .
| z −a |
< 1,
于是上从 上从可以展成一致收敛的级数 上从
f (ξ ) f (ξ ) ∞ ξ − z n −1 = ∑( z − a) . z − ξ z − a n =1
沿Γ1逐项求积分,两端同乘以
1 2πi
∞ c−n 1 f (ξ ) ∫Γ1 z −ξ dξ = ∑(z − a)n , (4.4.7) 2πi n=1 1 f (ξ ) c−n = ∫Γ (ξ − a ) − n+1 dξ ( n = 1,2,⋅ ⋅ ⋅) (4.4.8) 2πi
Γ2 :| ξ − a |= ρ2 ,

[复变函数与积分变换][课件][第4章][级数]

[复变函数与积分变换][课件][第4章][级数]

级
数
∑f
n =1
+∞
n
( z ) = f1 ( z ) + f 2 ( z ) + f 3 ( z ) +
+ f n ( z) +
为复
= f1 ( z ) + f 2 ( z ) +
+ f n ( z) = ∑ f k ( z) ．
k =1
n
sn ( z0 ) 若 z 0 ∈ D ，极限 nlim → +∞
敛点；
= s ( z0 )
存在，称
∑f
n =1
+∞
n
( z ) 在 z0 处收敛，和
∑f
n =1
+∞
n
( z0 ) = s ( z0 ) ， z0 为收
若 z 0 ∈ D ， {sn ( z 0 )} 发散，称
∑f
n =1
+∞
n
( z ) 在 z 0 处发散， z 0 为发散点．
D1 收敛域
D2 发散域
∑αn = s
n =1
+∞
Δ
收敛； 若 {s n }
∑α
n =1
+∞
n
收敛
⇔
∑a
n =1
+∞
n
和
∑b
n =1
+∞
n
均收敛．
⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ 证： s n = ∑ α k = ⎜ ∑ ak ⎟ + i ⎜ ∑ bk ⎟ ． k =1 ⎝ k =1 ⎠ ⎝ k =1 ⎠
此定理将复级数的审敛问题转化为实级数的审敛问题． 级数收敛之必要条件：

复变函数与积分变换课堂第四章PPT课件

复变函数与积分变换课堂第四章PPT课件
n1
称为无穷级数, 其最前面n项的和
sn12 n
称为级数的部分和。
如果部分和数列{sn}收敛, 则级数 n 称为收敛，且 n 1
极限 lim n
sn
s
称为级数的和。如果数列
{
s
n
}
不收敛，则
级数 n 称为发散。 n 1
定理二 级数 n 收敛的充要条件是级数 a n 和
n 1
n 1
b n 都收敛。
1 n1 2 n
收敛，仍断定原级数发散。
另外, 因为 | n | 的各项都是非负的实数, 所以它的 n 1
收敛也可用正项级数的判定法来判定。
例2 下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限。
1)n 11 n ein; 2)nncosin
[解] 1) 因n 11 n ei n 11 n cos nisin n ，故
an2bn2 |an||bn|，因此
， an2bn2 |an| |bn|
n1
n1n1所以当 Nhomakorabeaa n 与
b n 绝对收敛时，
n 也绝对收敛，因此
n 1
n 1
n 1
n 绝对收敛的充要条件是 a n 和 b n 绝对收敛。
n 1
n 1
n 1
例1
考察级数
n 1
(
1 n
i 2n
)
的敛散性。
[解]
因 发散，虽 1 n1 n
n 1
[证] 因 s n 1 2 n ( a 1 a 2 a n )
i(b 1 b 2 b n )n in
其中s n a 1 a 2 a n ,n b 1 b 2 b n 分别为 a n 和 n 1

《复变函数》课件

《复变函数》课件

设 ①B是 由
C
C1
C
2
C
所
n
围
成
的
有界多连通区域.且B D, ②f (z)在D内解析,则
f (z)dz 0 (1)
n
或
f (z)dz
f (z)dz (2)
c
其中:闭C
D
,
i 1
C1 , C
ci
2 ,
C
是
n
在C的内部
的
简
单
闭曲线(互不包含也不相交), 每一条曲线C及Ci
是逆时针,
C
i
c
c1
ck
f ( z)dz f ( z)dz
此式说c明一个解析c1 函 数沿闭曲线的积分， 不因闭曲线在区域内 作连续变形而改变它 的积分值，只要在变 形过程中曲线不经过 的f(z)的不解析点. —闭路变形原理
D
CCC1 11
C
例2 计 算
2z 1 z2 z dz
: 包 含 圆 周z 1在 内 的
1 z2
1)
1 z
1 2
z
1
i
1 2
z
1
i
由柯西-古萨基本定理有
y
11
C
dz 0,
C1 2 z i
1 1 dz 0,
C1 2 z i
C2
•i
C1
1
11
O
x
dz 0, dz 0,
C2 z
C2 2 z i
• i
22
1
1
1
C
z(z2
dz 1)
C1
dz z
C2
2( z
i)

第四章 复变函数

第四章 复变函数


n 1

in 1 n n 1 n
例 4.2 判别下列级数的收敛性
n i in 1 i 1 n ; 2 ; 3 2 2 n 1 n n 1 n n 1 n
解：
3
n 1

in 1 2 2 n n 1 n
z2 1 在 1内,即 z 2 2内, 右端级数绝对收敛, 其和为 2 z
z 2 2时, 级数发散
1 n 例4.5 把函数 表成形如级数 Cn z 2 的幂级数 z n 1
1 2 n 1 g z g z g z 1 g z
n
n
z z0 当 z z 0 z1 z 0 时， 1， z1 z 0
z z0 级数 M z1 z 0 n 1


n
收敛。
C n z z 0 n 收敛
n 1

C n z z 0 n 绝对收敛
n 1

例4.4 求级数
n 1

z 1n 的收敛半径
n
解:
Cn 1 n lim lim 1, R 1 n C n n 1 n
收敛圆 z 1 1
当 z 0 时, 原级数成为 1
n 1 n
1 , 为交错级数, 是收敛的 n
1 当 z 2 时, 原级数成为 , 为调和级数, 是发散的 n 1 n
§4.2复变函数项级数
§4.2.1 复变函数项级数
设 f n z n 1,2, 为区域 D 内的函数，则称
f z f z f z f z
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1 n
n i
e2

（1）
n1
(1)n n3 (1 i)n
(2)

[(1)n
n1
1 n2

i
3n ]
n!

7. 求幂级数 (1 i)n zn 的收敛半径。
8.求函数f
(z)

n0 z (z 1)( z

2)
在z0

2处的泰勒展开式，并指出收敛半径。
9.求函数f
(z)
1
其中，曲线C：x2 y2 1,求f '( 1 )，f '(3 3i) 2
4. 判断下列命题是否正确?并说明理由.
1) f (z)在简单闭曲线C及所围成的区域B上解析，
且函数值不为零，则C
ln(z 3)
f '(z)dz f (z)

0
2)函数 f (z) (z 2)2 的二阶导数在z 2处不解析。
所以，f '(z)存在，且在曲线C所围成的闭区域上解析， 又因为，f (z)在曲线C所围成的闭区域上函数值不为零，
f '(z) 在曲线C围成的区域上解析 根据柯西定理
f (z)
f '(z)

(3) 若幂级数 cn (z 2)n 在z 0处收敛，则它在z 3处必发散。 n0
（4）幂级数 cn (z z0 )n的和函数在收敛圆内可能存在奇点。 n0
5. 判断下列数列是否收敛？若收敛，计算它们的极限。
(1)
zn

(1)n

n
i 1
(2) zn
6。判断下列级数是否收敛？绝对收敛？
( t )
对应的复数方程为z z(t) x(t) iy(t), t
z z dz z zdz z zdz

C
AB
C
半圆周C的参数方程：xy

2 c os 2 s in
0 A

B
复数方程：z z( ) 2 cos i2sin 2ei ,0
4i
C1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ负方向的闭曲线
3z 2

C2
3z 2 z2 (z 1)
dz


C2
(z
z 1)
dz
2i( 3z
z
2)
z1

2i
3z 2

dz
c z(z 1)
3z 2 dz
C1 z(z 1)
3z 2 dz
C2 z(z 1)
2i
C
s 2 ds sz
2i( 3s2 4s ) 2i 3z2 4z
s2
z2
sz
若点z在曲线C：z 1的外部
3s2 4s 在积分曲线C所围成的区域上处处解析，
(s z)(s 2)
根据柯西定理
f (z)
C
(s
3s2 4s z)(s
2)
ds＝0
f '(1) 2
点 1 在C的内部 2
f (z) 2i 3z2 4z
z2
f
'
(z)

2i
3z2 (
12z z 2)2
8
f '(1) 106 i
2
9
f '(3 3i) 点(3 3i)在C的外部 f (z) 0 f '(3 3i) 0
4. 判断下列命题是否正确?并说明理由.
z zdz 2ei 2ei i2ei d 8 ei iei d 8id 8i
C
0
0
0
线段A B的参数方程： xy

t 0

2

t

2
复数方程：z z(t) t i0 t,2 t 2
2
2
（或者，f
(z)

1
2i
C
f (s)ds sz

解析函数的积分表达式）
3s2 4s 对应的不解析点s z, s 2 (s z)(s 2)
s 2在积分曲线的外部
若点z在曲线C：z 1的内部
3s2 4s
f (z)
3s2 4s
C (s z)(s 2) ds
1
（2）分母对应的不解析点在曲线的内部
3z 2 dz 3z 2 dz
c z(z 1)
C1 z(z 1)
3z 2 dz
C2 z(z 1)
3z 2
3z 2 dz
C1 z(z 1)
C1
z 1 z
dz

2i(
3z 2 z1
)
|z0
z zdz t t 1dt t tdt
AB
2
2
0
2
(t)tdt
2
0
t tdt 0
z z dz 8i
2.计算积分
c
3z 2 z(z 1)
dz ，
C1
C2
积分曲线C如右图所示
验柯证西：积（分1）公分式子：在c曲zf线(zz围)0 d成z 的2区i域 上f (处z0 )处解0析；
1.计算积分 z z dz
其中，是上半圆周z 2和线段 2 x 2, y 0 组成的正向闭曲线。
2.计算积分 3z2 2 dz ， c z(z 1)
积分曲线C如右图所示
3.设函数 f (z)
3s2 4s ds，
C (s z)(s 2)
0
1) f (z)在简单闭曲线C及所围成的区域B上解析，且函数值不为零，
2)函数
则 C
f '(z)dz 0 f (z)
ln(z 3) f (z) (z 2)2
的二阶导数在z 2处不解析。
推论：如果一个函数在某点解析,那么它的各阶导函
数存在的，且在该点仍解析.
1）正确
f (z)在曲线C所围成的闭区域上解析，
3.设函数 f (z)
3s2 4s ds，
C (s z)(s 2)
其中，曲线C：x2 y2 1,求f '(1)，f '(3 3i) 2
设f (z)在简单正向闭曲线C及其所围成的区域D内解析，
z0为D内的任一点，那么
1 f (z)
f (z0 ) 2i
dz c z z0

(z2
1 1)2
在
z0

i 的解析邻域上的罗朗展开式。
1.计算积分 z z dz
其中，是上半圆周z 2和线段 2 x 2, y 0 组成的闭路

c f (z)dz f [z(t)]z(t)dt
设曲线C参数方程为:
x x(t) y y(t)