精品高中数学第2章统计2-4线性回归方程名师导航学案

【2019最新】高中数学第2章统计2-4线性回归方程共同成长学案.4线性回归方程共同成长合作共赢请与同学、朋友一起阅读下面的表格，然后根据表格讨论下面的问题.(1)画出获硕士学位人数和获博士学位人数之间的散点图.上面两者之间是否是线性关系？若是,求出博士学位人数关于硕士学位人数的线性回归方程.(2)如果硕士研究生的在读时间为3年，当年获硕士学位的人数与第三年后获博士学位的人数之间应当呈现出一个什么关系？请画出散点图.如果呈线性关系，求出线性回归方程.(3)比较(1)中的回归方程与(2)中的回归方程之间的差异，你认为哪个方程更具有代表性？(4)请试着分析其他数据之间的关系读书做人苏步青的故事苏步青1902年9月出生在的一个山村里.虽然家境清贫，可他父母省吃俭用，拼死拼活也要供他上学.他在读初中时，对数学并不感兴趣，觉得数学太简单，一学就懂.可是，后来的一堂数学课影响了他一生的道路.那是苏步青上初三时，他就读的六十中来了一位刚从东京留学归来的教数学课的杨老师.第一堂课杨老师没有讲数学，而是讲故事.他说:“当今世界，弱肉强食，世界列强依仗船坚炮利，都想蚕食瓜分.中华亡国灭种的危险迫在眉睫，振兴科学，发展实业，救亡图存，在此一举.‘天下兴亡，匹夫有责’，在座的每一位同学都有责任.”他旁征博引，讲述了数学在现代科学技术发展中的巨大作用.这堂课的最后一句话是:“为了救亡图存，必须振兴科学.数学是科学的开路先锋，为了发展科学，必须学好数学.”苏步青一生不知听过多少堂课，但这一堂课使他终身难忘.杨老师的课深深地打动了他，给他的思想注入了新的兴奋剂.读书，不仅是为了摆脱个人困境，而且是要拯救广大的苦难民众；读书，不仅是为了个人找出路，而且是为中华民族求新生.当天晚上，苏步青辗转反侧，彻夜难眠.在杨老师的影响下，苏步青的兴趣从文学转向了数学，并回到抚育他成长的祖国任教.回到浙大任教授的苏步青，生活十分艰苦.面对困境，苏步青的回答是:“吃苦算得了什么，我甘心情愿，因为我国选择了一条正确的道路，这是一条爱国的光明之路啊！”(1)从老一辈数学家苏步青身上，你能够感受到一种什么样的精神？(2)苏步青的故事对你有何启发？。

2.4 线性回归方程1．理解线性回归的基本思想和方法，体会变量之间的相关关系．(难点)2．会画出数据的散点图，并会通过散点图判断这组数据是否具有线性关系．(重点) 3．会求数据的线性回归方程，并根据线性回归方程做出合理的判断．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 变量间的关系阅读教材P 74的内容，并完成下面的问题．1．变量间的关系关系．确定性函数表示，是一种函数函数关系：变量之间的关系可以用(1)来表达．函数，但不能完全用一定的联系相关关系：变量之间有(2)2．散点图横坐的取值作为x 是否有相关关系，常将y 与x 统计数表中，为了更清楚地看出从一个，这样的图形…)，1,2,3＝i )(i y ，i x (，在直角坐标系中描点纵坐标的相应取值作为y ，将标叫做散点图．判断正误：(1)相关关系是一种不确定关系，而函数关系是一种确定关系．( )(2)商品的销售收入与广告支出经费是函数关系．( )(3)散点图越集中，则相关关系越强．( )【解析】 (1)√.由函数关系及相关关系的定义知正确．(2)×.是相关关系，而不是确定关系，故错误．(3)×.只有当散点图呈规律性分布时才具有相关关系．故错误．【答案】 (1)√ (2)× (3)×教材整理2 线性回归方程阅读教材P 75～P 76“例1”上边的内容，并完成下列问题．1．线性相关关系拟合a ＋bx ＝y ^，我们用直线一条直线的附近如果散点图中点的分布从整体上看大致在叫做线性相关关系．相关关系近似表示的a ＋bx ＝y ^散点图中的这些点，像这样能用直线 2．线性回归方程设有n 对观察数据如下：＝y ^时，就称最小值取得2)a －n bx －n y (＋…＋2)a －2bx －2y (＋2)a －1bx －1y(＝Q 使b ，a 当bx ＋a 为拟合这n 对数据的线性回归方程，该方程所表示的直线称为回归直线．3．用回归直线进行数据拟合的一般步骤附近；一条直线是否在散点作出散点图，判断(1)(2)如果散点在一条直线附近，用公式⎩⎪⎨⎪⎧b ＝∑i ＝1nxiyi －∑i ＝1nx∑i ＝1nyn ∑i ＝1n x2i －∑i ＝1n xa ＝y －－b x－或求出a ，b ，并写出线性回归方程．填空：(1)有一个线性回归方程为y ^＝2－1.5x ，则变量x 增加一个单位时，y 平均________1.5个单位．(填“增加”或“减少”)【解析】 ∵b ＝－1.5，∴x 每增加一个单位时y 减少1.5个单位．【答案】 减少(2)过(3,10)，(7,20)，(11,24)三点的回归直线方程是________．【解析】 代入系数公式得b ＝1.75，a ＝5.75.代入直线方程．求得y ^＝5.75＋1.75x .。

2.4 线性回归方程 1整体设计教材分析在实际问题中，变量之间的关系有两类：一类是确定性关系，变量之间的关系可以用函数表示.例如，正方形的面积S与边长a 之间就是确定性关系，可以用函数s=a2表示.还有一类是非确定性关系，例如“学生数学成绩与物理成绩之间的关系”“粮食的产量与施肥量之间的关系”“商品的销售额与广告费支出之间的关系”“人体的脂肪百分比和年龄之间的关系”等贴近学生的实际问题，它不能由一个变量的数值精确地确定另一个变量的数值.像这种自变量取一定值时，因变量的取值带有一定随机性，这样的两个变量之间的关系，我们称之为相关关系.“线性回归方程”这一节是为了帮助我们了解变量之间的相关关系，使学生学会区别变量之间的函数关系与变量相关关系，从而达到正确判断实际生活中两个变量之间的相关关系并会作出变量相关关系的散点图；通过散点图的直观性，看各点是否在某条直线附近摆动来为判断两个变量之间的相关关系打下坚实的基础.通过对人体脂肪百分比和年龄之间的关系散点图的分析，引入描述两个变量之间关系的线性回归方程（模型），使学生通过探索用多种方法确定线性回归直线，学会类比寻求新的突破方法，体会最小二乘法的思想，掌握计算回归方程的斜率与截距的方法，求出回归直线方程.通过典型的求解，强化回归思想的建立，理解回归直线与观测数据的关系. 通过引导学生感受生活中实际问题转化为数学问题，学会类比寻求新的突破方法，体会最小二乘法的思想，培养学生的创新精神，不断收取信息，学会用统计知识对实际问题进行数学分析.通过课堂目标检测达到强化所学知识点，提高学生对现代化教学工具的应用能力.三维目标1.通过实例，使学生感受到现实世界中变量之间除了函数关系外，还存在着虽无确定的函数关系，但却有一定的关联性的相关关系，相关关系是一种非确定性关系.2.通过收集实际问题中两个有关联变量的数据作出散点图，直观认识变量间的相关关系.3.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程，运用最小二乘法的思想，发现可用线性回归方程近似地表示两个具有相关关系的变量之间的关系，并能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.重点难点教学重点：1.会区别变量之间的函数关系与变量相关关系；会举例说明现实生活中变量之间的相关关系.2.会作散点图，并由此对变量间的关系作出直观的判断，会求回归直线.教学难点：1.对变量之间的相关关系的理解；变量之间的函数关系与变量相关关系的区别.2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程的系数公式建立回归方程.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课（多媒体播放四个问题，组织学生分析、思考）问题1：将汽油以均匀的速度注入桶里，注入的时间t与注入的油量y如下表：从表里数据得出油量y与时间t之间的函数关系式为________________.问题2：圆的面积S与半径r之间的函数关系式为________________.问题3:小麦的产量y千克每亩与施肥量x千克每亩之间的关系如下表：从表里数据能得出小麦的产量y与施肥量x之间的函数关系式吗？问题4：人的体重y与身高x之间有什么关系呢？分析问题1：因为是以均匀的速度注入桶里，所以注入的油量y与注入的时间t成正比例关系，由表格数据知，注入的油量y与注入的时间t之间的函数关系式为y=2x(x≥0).因为是实际问题，所以要特别注意自变量的取值范围要有实际意义.分析问题2：这是大家熟悉的面积公式，所以圆的面积S与半径r之间的函数关系式为S=πr2(r>0).第1、2两个问题中的变量间的函数关系是确定的，在我们的现实生活，两个变量之间存在确定性的关系是极少的，而两个变量之间存在不确定性的关系是很普遍的，那么问题3中两个变量之间是确定性的函数关系，还是不确定性的关系呢？学生甲分析问题3：此问中两个变量之间是确定性的函数关系，设为y=kx+b，当x=10时，函数值y为420；当x=20时，函数值y为440，代入可得函数关系式为y=2x+400(x≥0).学生乙：学生甲的回答是错误的，若函数关系式为y=20x+400(x≥0)，当x=30时，函数值为460，而不是470.但是可以感觉到施肥量越大，小麦的产量就越高.教师分析：从表格里容易发现施肥量越大，小麦的产量就越高.但是，施肥量并不是影响小麦产量的唯一因素，小麦的产量还与土壤的质量、降雨量、田间管理等诸多因素的影响有关，更何况当施肥量超出一定范围时，还会造成小麦的倒塌，以致颗粒无收.这时两个变量之间就不是确定性的函数关系，那么这两个变量之间究竟是什么关系呢？这就是我们本节课所要研究的问题——变量之间的相关关系.(引入新课，书写课题)推进新课新知探究由学生举出现实生活中的相关关系的例子，教师归纳概念！1.变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达，即当自变量一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系称为相关关系.相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系，函数关系是两个非随机变量之间的关系，是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，所以相关关系与函数关系不同，其变量具有随机性，因此相关关系是一种非确定性关系（有因果关系，也有伴随关系）.通过上述三个问题请学生思考相关关系与函数关系有什么区别与联系？相关关系与函数关系的异同点如下：相同点：均是指两个变量的关系.不同点：函数关系是一种确定的关系；而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.注意：问题3中小麦的产量是在土壤的质量、降雨量、田间管理等诸多变量共同作用下的结果，本节课只研究其中两个主要变量之间的相关关系.我们只能得出经验性的结论：施肥量越大，小麦的产量就越高.但是经验再丰富，也容易犯经验性的错误.施肥量过大，反而容易造成粮食的减产.由学生解决问题4, 人的体重y与身高x之间是一种非确定关系的相关关系，因为，一般说来，身高越高，体重就越重，而无法写出具体的函数关系.应用示例例1 某班学生在一次数学测验和物理测验中，学号1到20的学生的成绩如下表：从表里数据你能得出什么样的经验性结论呢？分析：即是考虑两门学科成绩之间是否具有一定的相关关系.解：数学成绩好的同学则物理成绩就好，反之，数学成绩差的同学则物理成绩就差.点评：注意，只是问的“得出什么样的经验性结论”，并不完全绝对.例2 下面提供四个问题，让各组同学共同探究：第一小组探究的问题是：调查一下本组所有成员的视力与各自的学习成绩关系.第二小组探究的问题是：商品的销售额与广告费支出之间的关系.第三小组探究的问题是：调查一下本组所有成员的身高与各自的体重之间的关系.第四小组探究的问题是：气温的高低与空调的销售量间的关系.分析：根据变量的相关关系讨论.解：第一小组：通过对本组所有成员的调查我们得到结论是：学习成绩好的同学的视力都不太好，都佩带了近视眼镜，但是，我们发现这个结论对我们全班来说就不成立，例如，我们班第一名同学的视力却是很棒，所以我们只能说学习成绩好的同学的视力一般都不太好，人的视力还与用眼卫生习惯、遗传因素等有密切关系.第二小组：通过本组所有成员的共同探讨，我们得到结论是：商品的销售额与广告费支出之间有密切的关系，但商品的销售额不仅与广告费支出多少有关，还与商品的质量、居民收入以及售后服务的质量等诸多因素有关.第三小组：通过对本组所有成员的调查我们得到结论是：身材高的同学的体重一般来说大多都比较大，但是，人的体重还与饮食习惯、遗传因素等有密切关系.第四小组：通过本组所有成员的共同探讨，我们得到结论是：气温的高低与空调的销售量之间有密切的关系，但空调的销售量不仅与气温的高低有关，还与空调的质量、居民收入以及售后服务的质量等诸多因素有关.点评：通过此例使学生养成考虑问题要多方面思考的习惯.例3 下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（）A.角度和它的余弦值B.正方形边长和面积C.正ｎ边形的边数和它的内角和D.人的年龄和身高解析：利用变量的函数关系与相关关系解决问题.角度和它的余弦值是一个确定的函数关系y=cosx；正方形边长和面积：s=a2；正ｎ边形的边数和它的内角和：s=(n-2)×180°，而人的年龄和身高具有相关关系.答案：D点评：函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.例 4 “强将手下无弱兵”可以理解为将军的本事越高，他手下的士兵的本事也越高.那么，将军的本事与士兵的本事成什么相关关系？你能举出更多的描述生活中两个变量的相关关系的成语吗？分析：这是与生活、生产、工作、学习息息相关的相关关系，语言功底好的同学更显优势.解：此题与“名师出高徒”相对应.另外举例有：水涨船高.点评：此题加强了与其他学科的联系，学生会对数学很有亲切感.知能训练1.在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：根据上述数据，人体脂肪含量和年龄之间有怎样的关系？2.某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：根据上述数据，气温与热茶销售量之间有怎样的关系？解答：1.观察表中的数据，大体上来看，随着年龄的增加，人体中脂肪的百分比也在增加.2.观察表中的数据，大体上来看，气温越高，卖出去的热饮杯数越少.点评：使学生学会全面考察现实生活中变量之间的相关关系，并为下一节课作铺垫.课堂小结(让学生进行小结，帮助他们回顾反思、归纳概括.)1.变量之间的相关关系；2.变量之间的函数关系与变量相关关系的区别；3.学会全面考察现实生活中变量之间的相关关系.作业阅读、预习课本中本节下一部分内容.举出生活中具有相关关系的例子.设计感想通过生活中存在相关关系的一些典型事例，如“学生数学成绩与物理成绩之间的关系”“粮食的产量与施肥量之间的关系”“商品的销售额与广告费支出之间的关系”等贴近学生的实际问题，介绍与函数关系不同的两个变量之间的相关关系，在教学设计时，通过复习变量之间的函数关系引出变量相关关系，由熟悉到生疏的过程便于学生理解，同时分成四个小组同学共同探究以下四个问题：（1）调查一下本组所有成员的视力与各自的学习成绩关系；（2）商品的销售额与广告费支出之间的关系；（3）调查一下本组所有成员的身高与各自的体重之间的关系；（4）气温的高低与空调的销售量间的关系.通过讨论来强化学生对所学内容的理解.。

2.4 线性回归方程第2课时导入新课在上一节课中问题1：将汽油以均匀的速度注入桶里，注入的时间t与注入的油量y如下表：从表里数据得出油量y与时间t之间的函数关系式为y=2x(x≥0).并且在直角坐标系里很容易作出它们的图象，我们知道各点在同一条直线上.再看下面的问题（即上一节课的练习2）：某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：请大家动手作出热茶销售量与气温的坐标图，说说它的特点，能得到什么规律？分析：该图中所有点不像第一个问题中函数关系的图象对应的点在同一条直线上，但是分布也是很有规律，它们散布在从左上角到右下角的区域，因此，可以得到规律是随着气温的增加，热茶卖出的杯数在减少.但究竟以什么样的方式在减少呢？这就是今天要继续学习的内容——线性回归方程.推进新课新知探究以横坐标x表示气温，纵坐标y表示热茶销量，建立平面直角坐标系，将表中数据构成的6个数对所表示的点在坐标系内标出，得到上图，今后我们称这样的图为散点图.1.散点图（scatterplot）：表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图.散点图形象地反映了各对数据的密切程度.粗略地看，散点分布具有一定的规律.在本图中这些点散布的位置也是值得注意的，它们散布在从左上角到右下角的区域，对于这种相关关系，我们称它为负相关.如果点散布在从左下角到右上角的区域.对于这种相关关系，我们称它为正相关.请学生举例：两个变量之间是正相关的关系.例如：某小卖部卖的冷饮销售量与气温之间的关系.再看上节课的练习 1.在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：如果作出散点图如右图，它是散布在从左下角到右上角的区域,也是正相关的关系.回到解热茶销售量与气温之间的关系的散点图来，从图中可以得到规律是随着气温的增加，热饮的销售量在减少，究竟以什么样的方式减少呢？分析：分布情况是在从左上角到右下角的区域的某条直线附近摆动.能画出这条直线吗？请大家一起想一想，该怎么办，才能作出这条直线呢？请大家设计方案，可以互相讨论.方案1：采用测量的方法：先画一条直线，测量出各点到它的距离，然后移动直线，达到一个使距离之和最小的位置，测量出此时直线的斜率和截距，就得到回归方程.分析：这个想法很好，但是操作起来有一定难度，因为我们画符合条件的直线不能直接画出.还有什么新的办法能解决这个问题？方案2：在图中选取两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同.分析：画直线时使得直线两侧的点的个数基本相同的直线能画无数多条，这样符合条件的直线就不唯一了，再仔细考虑一下，我们究竟应当怎样作出.方案 3：在散点图中多取几组点，确定几条直线的方程，分别求出各条直线的斜率和截距，将这两个平均数作为回归直线方程的斜率和截距.分析：如果有6个散点,按照方案3的办法,将要作15条直线,这样计算15条直线的斜率和截距分别求出的计算量是一个很大的工程，由此可见,该方案不具有可行性,那么怎样才能作出 “从整体上看各点与此直线距离最小”的直线呢？用方程y ˆ=bx+a 的直线拟合散点图中的点，应使得该直线与散点图中的点最接近，那么，怎样衡量yˆ=bx+a 与图中的点最接近程度呢？ 我们将表中给出的自变量x 的六个值代入直线方程，得到相应的六个yˆ的值： 26b+a,18b+a,13b+a,10b+a,4b+a,-b+a.这六个数值与表中相应的六个yˆ的实际值应该越接近越好.所以，我们用类似于估计总体平均数时的思想，考虑离差平方和Q(a,b)=(26b+a-20)2+(18b+a-24)2+(13b+a-34)2+(10b+a-38)2+(4b+a-50)2+(-b+a-64)2=1 286b 2+6a 2+140ab-3 280b-460a+10 172.Q(a,b)是直线yˆ=bx+a 与各个散点在垂直方向（纵轴方向）上的距离的平方和，可以用来衡量直线yˆ=bx+a 与图中6个点的接近程度，所以，设法取a ，b 的值，使Q(a,b)达到最小值.先把a 看作是常数，那么Q 是关于b 的二次函数.用配方法可得，当b=-128623820140⨯-a 时，Q 取得最小值.同理，把b 看作是常数，那么Q 是关于a 的二次函数.用配方法可得，当a=-12460140-b 时，Q 取得最小值. 因此,当b=-128623820140⨯-a ，a=-12460140-b 时, Q 取得最小值,由此解得b≈-1.647 7,a≈57.556 8.所以所求的直线方程为yˆ=-1.647 7x+57.556 8.像这样能用直线方程yˆ=bx+a 近似表示的相关关系叫做线性相关关系. 人们经过长期的实践与研究,已经得出了从数量关系的角度来计算回归直线方程的斜率与截距的一般公式为: ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=---=∑∑==xb y a x x y y x x b n i i n i i i 11)())((, 从而得到回归直线方程为y ˆ=bx+a. 下面我们一起来探究一下这个公式. 设已经得到具有线性相关关系的变量的一组数据：(x 1,y 1),(x 2,y 2),…，(x n ,y n ),设所求的回归直线方程为yˆ=bx+a ，其中a ，b 是待定的系数，当变量x 取x 1,x 2,…,x n 时，可以得到i yˆ=bx i +a(i=1,2,…，n).它与实际收集到的y i 之间的偏差是y i -i yˆ=y i -(bx i +a)(i=1,2,3,4,…,n).这样用这n 个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的.但是,由于y i -i yˆ=y i -(bx i +a)(i=1,2,3,4,…,n)的值可正可负,可以相互抵消,而且若取其绝对值,考虑用∑=n i 1=|y i -Y i |来代替,但是,由于它含有绝对值运算不太方便,因此我们可以模仿方差的计算方法取其偏差的平方最小值. 表示n 个点与相应直线在整体上的接近程度.即Q=(y 1-bx 1-a)2+(y 2-bx 2-a)2+…+(y n -bx n -a)2来刻画n 个点与回归直线在整体上的偏差.这样,问题,就归结为:当a ，b 取什么值时,Q 的取值最小,即总体偏差最小?上述式子展开后，是一个关于a 、b 的二次三项式，应用配方法，可求出使Q 为最小值时的a 、b 的值.即Q=na 2+∑=n i 1=1x i 2b 2+∑=n i 1=1y i 2-2∑=n i 1=1bx i y i +2∑=n i 1=1abx i -2∑=n i 1=1ay i . (*)上述式子展开后，是一个关于a 、b 的二次三项式，我们可以把(*)式看成以a 为变量的二次三项式,应用配方法可得，当 (1)时，Q 取得最大值；因为（1）式中还含有变量a ，我们无法求出b 的数值，那么我们如何求出斜率b 与截距a 的一般公式为: 从而得到回归直线方程为yˆ=bx+a 呢？ 我们还可以把(*)式看成以b 为变量的二次三项式,应用配方法可得，当a= (2) 时，Q 取得最大值.观察(1)、(2)两个式子,因为(1)、(2)两个式子中都是含有a 、b 的二元一次方程，我们可以由(1)(2)解得：从而得到相应的直线叫做回归直线yˆ=bx+a，对两个变量所进行的上述统计分析叫做回归分析.这种求出斜率b与截距a的方法叫做最小平方法（method of least square）（又称最小二乘法）.说明:一元线性回归分析也是研究两个变量的线性相关性，但比相关分析的应用更为广泛，它不仅可以说明两个变量是否一起变化，还可以计算出预测方程以预计这两个变量是如何一起变化的.预测方程的形式为：yˆ=bx+a ，通常叫作回归方程.y 叫做因变量，x 叫做自变量，其中a 是常数项，b 叫一元回归系数.1.对回归直线方程只要求会运用它进行具体计算a、b，求出回归直线方程即可.不要求掌握回归直线方程的推导过程.2.求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义.因此，对一组数据作线性回归分析时，应先看其散点图是否成线性.3.求回归直线方程，关键在于正确地求出系数a、b，由于求a、b的计算量较大，计算时仔细谨慎、分层进行，避免因计算产生失误.4.回归直线方程在现实生活与生产中有广泛的应用.应用回归直线方程可以把非确定性问题转化成确定性问题，把“无序”变为“有序”，并对情况进行估测、补充.因此，学过回归直线方程以后，应增强学生应用回归直线方程解决相关实际问题的意识.应用示例例1 在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：根据上述数据，人体脂肪含量和年龄之间有怎样的关系？分析：上节课已给出此问题，并作了回答但没有说明理由，这次补充完整.解：观察表中的数据，大体上来看，随着年龄的增加，人体中脂肪的百分比也在增加.为了确定这一关系的细节，我们需要进行数据分析.我们假设人的年龄影响体内脂肪含量，于是，按照习惯，以x轴表示年龄，以y轴表示脂肪含量，得到相应的散点图.从散点图我们可以看出，年龄越大，体内脂肪含量越高，图中点的趋势表明两个变量之间确实存在一定的关系，这个图支持了我们从数据表中得出的结论.经计算可得到回归直线的回归方程为yˆ=0.577x-0.448. 点评：使前后产生较强的联系性，使学生意识到学数学等于师生在共同编导连续剧，每节课都应参与，不然会掉队.例 2 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料,请判断机动车辆数与交通事故数之间是否具有线性相关关系,如果具有线性相关关系,求出线性回归方程;如果不具有线性相关关系,请说明理由.分析：一般地，用回归直线进行拟合的一般步骤为：（1）作出散点图，判断散点是否在一条直线附近；（2）如果散点在一条直线附近，用公式求出a,b.解：在直角坐标系中作出所给数据的散点图，并写出线性回归方程.从散点图我们可以直观判断散点在某条直线附近，这说明两个变量是相关关系.计算相应的数据之和为:∑=n i i x1=95+110+112+120+129+135+150+180=1 031， ∑=n i i x1=6.2+7.5+7.7+8.5+8.7+9.8+10.2+13=71.6， ∑=n i i x12=137 835， ∑=n i i x1x i y i =9 611.7，代入公式（*）计算得b≈0.077 4,a=-1.024 1，所以,所求的线性回归方程为yˆ=0.774x-1.024 1.点评：要知道：在并不具有相关关系的情况下，对应的线性回归方程虽然也可以求出，但它并无实际意义，同时也要注意，在散点图中显示线性相关的一组数据不一定具有相关关系.这部分内容会在选修1-2中再次有所体现.例3 一般地，(x,y)的n组观察数据：若它的回归直线方程为yˆ=a+bx，则直线yˆ=a+bx恒过的定点是什么？分析：如果没有前面的推导背景，此题有点困难，但由于黑板上的板书还在，所以有学生能发现结论.解：由线性回归方程的推导，可知方程的系数a,b满足条件：，a=y-b x.由此不难发现，点(x,y)的坐标满足直线yˆ=a+bx的方程.所以，由点与直线的位置关系可得点(x,y)在直线yˆ=a+bx上，即直线yˆ=a+bx恒过点(x,y).这里x=, y=.点评：刚推导过线性回归方程，所以此题比较适合趁热打铁，可提前做例1；此结论在以后的解题中经常出现，因此可以让学生记忆.例4 工人工资（元）以劳动生产率（千元）变化的回归方程yˆ=50+80x，下列判断正确的是（）A.劳动生产率为1 000元时，工资为130元B.劳动生产率提高1 000元时，工资大约提高80元C.劳动生产率提高1 000元时，工资提高大约130元D.当月工资250元时，劳动生产率为2 000元分析：满足回归方程是指：工人工资（元）以劳动生产率（千元）之间具有相关关系，但不是确定的函数关系，所以选项A用的肯定语气是错的，其他的选项通过函数关系式的代入发现，只有选项B是正确的.答案：B点评：体会回归方程的应用.知能训练1.线性回归方程yˆ=kx+a所表示的直线使得（）A.散点图中的点到直线的距离之和最小B.散点图中的点到直线的距离的平方和最小C.散点图中的点与直线相同横坐标处对应的纵坐标的距离之和最小D.散点图中的点与直线相同横坐标处对应的纵坐标的距离的平方和最小2.如果有一组成对数据，求出回归直线的方程是y=2.0x+10，那么（）A.这条回归直线总是有意义的B.这条回归直线总是可以用来预测y值C.在散点图中的点都在这条直线附近时，这条回归直线才有意义D.x=10时，y的预测值为20，说明在x=10时，y的值一定等于20解答：1.D 2.C课堂小结(让学生进行小结，谈谈体会，帮助他们回顾反思、归纳概括.)1. 变量间相关关系的散点图以及正相关和负相关；2. 如何利用“最小二乘法”思想求直线的回归方程；3. 学会用回归思想考察现实生活中变量之间的相关关系.作业课本习题2.4 1、2、3.设计感想通过对气温和热饮销量的关系散点图的分析，引入描述两个变量之间关系的线性回归方程（模型），使学生通过探索用多种方法确定线性回归直线，学会类比寻求新的突破方法，体会最小二乘法的思想，掌握计算回归方程的斜率与截距的方法，求出回归直线方程.通过典型的求解，强化回归思想的建立，理解回归直线与观测数据的关系. 通过引导学生感受生活中实际问题转化为数学问题，学会类比寻求新的突破方法，体会最小二乘法的思想，培养学生的创新精神，不断收取信息，学会用统计知识对实际问题进行数学分析.本节课在理解最小二乘法的时候所用时间较多，在推导线性回归方程时，计算量特别大，所以费时也较多，建议分一点内容到上一节课协调一下.习题详解习题2.41.（1）散点图如下：（2）线性回归方程为yˆ=5.2x+24.2.（1）散点图如下：（2）根据散点图，这些点在一条直线的附近，x与y具有线性相关关系，线性回归方程为yˆ=0.305 21x+9.990 32.3.（1）散点图如下：（2）x与y之间的线性回归方程为yˆ=14.090 91x-13.227 27.4.略.。

2.4 线性回归方程庖丁巧解牛知识·巧学一、相关关系变量之间的常见关系：一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示.如正方形的边长l与面积S 之间就是确定性函数关系，可以用函数S=l2表示；一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达.如人的体重y与身高x有关.一般来说，身高越高，体重越重，但不能用一个函数来严格地表示身高与体重之间的关系.在现实生活中存在着大量的相关关系，如何判断和描述相关关系，统计学发挥着非常重要的作用.变量之间的相关关系带有不确定性，这需要通过收集大量的数据，对数据进行统计分析，发现规律，才能作出科学的判断.辨析比较函数关系与相关关系的区别与联系相同点：两者均是指两个变量间的关系；不同点：①函数关系是一种确定性关系，自变量的任一取值，因变量都有唯一确定的值与之对应；相关关系是非确定性关系，因变量的取值具有一定的随机性；②函数关系是因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系；③相关关系的分析方向及方法，由于相关关系的不确定性，在寻找变量间相关性的过程中，统计发挥着重要的作用，而函数关系则可以通过函数的性质来进行研究.二、线性回归分析对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析. 通俗地讲，回归分析就是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性.1.散点图我们把表示具有相关关系的两个变量x、y的一组数据（x n，y n）（n=1，2，3，…）对应的一些点（即样本点）画在坐标系内，得到的图形叫做散点图.如：某地农业技术指导站的技术员，经过在7块并排大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量影响的试验，得到如下表所示的一组数据：（单位：千克）施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45 水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455 观察表中数据，大体上随着施化肥量的增加，水稻的产量也在增加.只是表中两者之间的关系表现得不是很确切，需要对数据进行分析.为此我们可以作统计图表，以便对两者有一个直观的印象和判断.除上述的统计图表外，我们还可以用另一种统计图——散点图来分析. 以x轴表示施肥量，y轴表示水稻产量，可得散点图如图2-4-1：图2-4-1从散点图可以看出两变量的确存在一定关系，大体上随着施化肥量的增加，水稻的产量也在增加.可见散点图能直观形象地反映各对数据的密切程度.注意：如果关于两个变量统计数据的散点图呈现如图2-4-2的形状，则这两个变量之间不具有相关关系.如学生的身高与学生的数学成绩就没有相关关系.图2-4-2可见利用散点图可以判断变量之间有无相关关系.所以在研究两个变量之间是否存在某种关系时，必须从散点图入手.学法一得画出散点图，可以作出如下判断：①如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即说明变量之间具有函数关系.②如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，则说明变量之间具有相关关系. ③如果所有的样本点都落在某一直线附近，则变量之间具有线性相关关系.2.最小二乘法一般地,设有n 个观察数据如下：x x 1x 2x 3…x n y y 1y 2y 3…y n设有一直线方程y?=bx+a ，Q(a,b)是直线y ?=bx+a 与各散点在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平方和,设法取a,b 的值,使Q(a,b)达到最小值.这种方法叫做最小平方法(又称最小二乘法).其中点Q=(y 1-bx 1-a)2+(y 2-bx 2-a)2+…+(y n -bx n -a)2取得最小值时,就称y ?=bx+a 为这n 对数据的线性回归方程,该方程所表示的直线称为回归直线.上述式子展开后，是一个关于a 或b 的二次函数，应用配方法，可求出使Q 为最小值时的a 、b 的值，即.,)())((2112111x b yax x ny x y x nbni i ni i ni i ni i ni ii （*）其中x =ni i x n11，ni i y ny11.求线性回归方程的步骤：计算平均数x ,y ；计算x i 与y i 的积，求∑ｘi y i ；计算∑ｘi 2；将结果代入公式求a ；用b=y -a x 求b ；写出回归方程. 深化升华求相关变量的回归直线的意义：回归直线方程在现实生活与生产中有广泛的。

2.4线性回归方程案例探究在学校里，老师对学生经常这样说：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着一种相关关系.这种说法有没有根据呢？分析：凭我们的学习经验可知，物理成绩确实与数学成绩有一定的关系，但除此以外，还存在其他影响物理成绩的因素.例如，是否喜欢物理，用在物理学习上的时间等等.在实际问题中，变量之间的常见关系有如下两类：一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示.例如，圆的面积S与半径r之间就是确定性函数关系，可以用函数S=πr2表示.一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达.例如，人的体重与身高有关.一般来说，身高越高，体重越重，但不能用一个函数来严格地表示身高与体重之间的关系.自学导引1．在实际问题中，变量之间的常见关系有两类：一类是确定性关系，另一类是相关关系.2．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系.3．请你说出确定性关系与相关关系的相同点和不同点.答案：相同点：均是指两个变量的关系.不同点：相关关系是一种非确定的关系.确定性关系是自变量与函数值之间的关系，可以用一个函数表示.这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.这种关系不能用一个确定的函数来表示.4．你是否还能举出一些现实生活中存在的相关关系的问题？答案：例如，商品销售收入与广告支出经费之间的关系；粮食产量与施肥量之间的关系；人体的脂肪含量与年龄之间的关系，等等.5．将n个数据点（x i,y i）（i=1,2,…,n）描在平面直角坐标系中，以表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图.6．（1）当两个变量成正相关时，散点图有什么特点？（2）当两个变量成负相关时，散点图又有什么特点？答案：（1）散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域.（2）散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域.7．对于散点图可以作出如下判断：（1）当所有的样本点都落在某一函数曲线上，变量之间具有函数关系；（2）当所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间具有相关关系；（3）当所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间具有线性相关关系.8．回归直线是怎样定义的？答案：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.疑难剖析【例1】下表是某地年降雨量与年平均气温的统计数据，判断两变量有相关关系吗？求回归直线方程有意义吗？1年平均气温（℃） 12.51 12.84 12.84 13.69 13.33 12.74 13.05 年降雨量（mm ）748542507813574701432思路分析：用回归直线进行拟合两变量关系的一般步骤为： （1）作出散点图，判断散点是否在一条直线附近；（2）如果散点在一条直线附近，以公式求出 a, b ，并写出线性回归方程. 解：以 x 轴为年平均气温，y 轴为年降雨量可得相应的散点图：因为图中各点并不在一条直线的附近，所以两者不具有线性相关关系，没有必要用回归直 线进行拟合，用公式求得的回归方程也是没有意义的.思维启示：要判断两个变量是否具有线性相关关系，可先作出散点图，再观察散点是否在 一条直线附近，如果是，则二者具有线性相关关系；否则，二者不具有线性相关关系.思维陷阱：解此题的第（2）小问时不要盲目地去求回归方程. 观察两相关变量得如下数据：x - - - - - 5 3 4 2 11 2 3 4 5 y - - - - - 1 5 3 7 99 7 5 3 1求两变量间的回归方程.错解:求线性回归直线方程的步骤： 第一步：列表 x i ,y i ,x i y i ；n 第二步：计算 x ,y ，i 1n 2 ，xii 1n 2 ，yii 1x i yi； 第三步：代入公式计算 b, a 的值； 第四步：写出回归直线方程. 列表：i123456789102x i -1 -2 -3 -4 -5 5 3 4 2 1 y i -9 -7 -5 -3 -1 1 5 3 7 9 x i y i 914 15 12 5 5 15 12 14 9计算得： x =0, y =010 i 110 x=110,2i i 110 y=310,2 ii 1x =110 i yi10x y10x yi i110100 ∴b=11i1011010x10(x )22i i 1a=y -b x =0-1*0=0故所求回归直线方程为 y ˆ =x.正解：作两个变量的散点图（图略），从散点图中看出，点不在某条直线附近，分散得很 开.因此，变量 x 和 y 不具有线性相关关系，也就不存在线性回归方程.【例 2】 某班学生每周用于数学学习的时间 x （单位：h ）与数学成绩 y （单位：分）之间 有如下数据：x 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13 y92 79 97 89 64 47 83 68 71 59某同学每周用于数学学习的时间为 18小时，试预测该生数学成绩.思路分析：首先应该利用表中数据通过计算去判断数学学习的时间 x 与数学成绩 y 是否具 有线性相关关系.若有，则可求出回归方程；然后在方程中令 x=18，可求出该生数学成绩.解：因为学习时间与学习成绩之间具有线性相关关系.利用科学计算器计算到如下表所示 的数据：i12345678910x i 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13 y i 92 79 97 89 64 47 83 68 71 59 x i y i 2 208 1 185 2 231 1 691 1 204 517 1 660 1 088 1 207 767x =17.4， y =74.910 10x=3 182，2ii 1i 110y=58 375，x=13 578i y2 2i ii 1310x y10x yi ii545.4于是可得b= 3.53110154.4x10(x)22ii 1a=y-b x=74.9-3．53×17.4≈13.5故所求回归直线方程为y=3.53x+13.5当x=18时，yˆ=3.53×18+13.5=77.04≈77故该同学预计可得77分左右.思维启示：两个有线性相关关系的变量间的关系可以用线性回归方程来表示，而对总体的预测可依据回归直线方程进行.【例3】一般说，一个人的身高越高，他的手就越大.为了调查这一问题，对10名高三男生的身高与右手一揸长测量得如下数据：（单位：cm）身高168 170 171 172 174 176 178 178 180 181一揸长19.0 20.0 21.0 21.5 21.0 22.0 24.0 23.0 22.5 23.0（1）依据上述数据制作散点图，发现两者有何相关关系吗？（2）如果近似成线性关系，求线性回归方程.（3）如果一个学生身高185 cm，估计他的右手一揸长.思路分析：首先作出散点图；利用散点图去判断两变量是否具有线性关系；若具有线性关系，再利用公式求出方程；最后利用方程去解答第三小问.解：（1）散点图如下：可见，身高与右手一揸长之间的总体趋势成一条直线，即他们线性相关.（2）设线性回归方程为yˆ=bx+a由上述数据计算可得x=174.8, y=21.710i 110x=305 730,2ii 1x i y=37 986i4∴b=10x y 10x yi i37 986 10174.821.7i 1 20.303=730 10 174.810305x 10(x)22ii 1a=y-b x=-31.264∴方程为yˆ=0.303x-31.264.（3）当x=185时, yˆ=24.79.思维启示:先作出散点图，若两变量具有线性关系，再利用公式求出方程.拓展迁移【拓展点1】如果你想作一个反对抽烟的电视公益广告的播放次数与看电视的中学生戒烟率的数据散点图，作为x轴的变量为__________.答案：播放次数【拓展点2】有时候，一些东西吃起来口味越好，对我们的身体越有害，下表给出了不同类型的某种食品的数据.第一列表示此种食品所含热量的百分比，第二列数据表示由一些美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价.品牌所含热量的百分比口味记录A 25 89B 34 89C 20 80D 19 78E 26 75F 20 71G 19 65H 24 62I 19 60J 13 52（1）求出回归直线方程；（2）关于两个变量之间的关系，得出的结论是什么？答案：（1）yˆ=1.565x+37.827（2）由回归方程知道，食品所含热量越大，口味记录越好，反之亦然.【拓展点3】某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量（毫克/升）与消光系数如下表：尿汞含量x 2 4 6 8 10消光系数y 64 138 205 285 3605（1）作出散点图；（2）如果y与x之间具有线性相关关系，求回归方程；（3）估计尿汞含量为9毫克/升时消光系数.答案：（1）散点图略.（2）由散点图可知y与x线性相关.设回归方程为yˆ=bx+A．计算可得回归方程为yˆ=36.95x-11.3．（3）当x=9时，yˆ=36.95×9-11.3=321.25≈3216。

高中数学第2章统计2-4线性回归方程教学案苏教版必修3(1)函数关系：变量之间的关系可以用函数表示，是一种确定性关系．(2)相关关系：变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达．[点睛]函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系，如试验田的施肥量x与水稻的产量y.当自变量x每取一确定值时，因变量y的取值带有一定的随机性，即还受其他环境因素的影响．2.散点图(1)概念：将样本中n个数据点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐标系中，用来表示两个变量的一组数据的图形叫做散点图．(2)作法：建立平面直角坐标系，用横坐标表示一个变量，用纵坐标表示另一个变量，将给出的数据所表示的点在坐标系内描出，即可得到散点图．[点睛]对于散点图要注意以下几点．①若所有的样本点都落在某一函数曲线上，则变量间具有函数关系．②若所有的样本点都落在某一函数曲线附近，则变量间就具有相关关系．③若散点图中的点的分布没有什么规律，则这两变量之间不具有相关关系，它们之间是相互独立的．3．线性相关关系能用直线＝bx＋a近似表示的相关关系叫线性相关关系．4．线性回归方程(1)概念：设有n对观察数据如下：当a，b使Q＝a)2＋…＋(yn－bxn －a)2取得最小值时，就称方程＝bx＋a为拟合这n对数据的线性回归方程，该方程所表示的直线称为回归直线．(2)用回归直线进行数据拟合的一般步骤①作出散点图，判断散点是否在一条直线附近．②如果散点在一条直线附近，用公式求出a，b，并写出线性回归方程．1．下列各组变量是相关关系的是________．(1)电压U与电流I；(2)圆面积S与半径R；(3)粮食产量与施肥量；。

2.4 线性回归方程（1）教学目标：1. 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系；2. 在两个变量具有线性相关关系时，会在散点图中作出线性直线，会用线性回归方程进行预测；3. 知道最小二乘法的含义，知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，了解（线性）相关系数的定义．教学重点：散点图的画法，回归直线方程的求解方法．教学难点：回归直线方程的求解方法．教学方法：引导发现、合作探究．教学过程：一、创设情景，揭示课题客观事物是相互联系的．过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系．比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认为数学是“因”，物理是“果”，或者反过来说事实上数学和物理成绩都是“果”，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度．所以说，函数关系存在着一种确定性关系，但还存在着另一种非确定性关系——相关关系．二、学生活动提出问题：两个变量之间的常见关系有几种？（1）确定性的函数关系，变量之间的关系可以用函数表示；（2）相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表示．说明：不要认为两个变量间除了函数关系，就是相关关系，事实是，两个变量间可能毫无关系．比如地球运行的速度与某个人的行走速度就可认为没有关系．某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：-0C，你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？如果某天的气温是5为了了解热茶销量与气温的大致关系，我们以横坐标x表示气温，纵坐标y表示热茶销量，建立直角坐标系，将表中数据构成的6个数对所表示的点在坐标系内标出，得到下图，今后我们称这样的图为散点图(scatterplot).从下图可以看出，这些点散布在一条直线的附近,故可用一个线性函数近似地表示热茶销量与气温之间的关系.选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关系？我们有多种思考方案：（1）选择能反映直线变化的两个点,例如取(4,50),(18,24)这两点的直线；（2）取一条直线,使得位于该直线一侧和另一侧的点的个数基本相同；（3）多取几组点,确定几条直线方程,再分别算出各条直线斜率、截距的平均值,作为所求直线的斜率、截距；……怎样的直线最好呢?三、建构数学1．最小平方法：=+的直线拟合散点图中的点，应使得该直线用方程为ˆy bx a=+与图中六与散点图中的点最接近．那么，怎样衡量直线ˆy bx a个点的接近程度呢？我们将表中给出的自变量x的六个值带入直线方程,得到相应的六个ˆy的值:26,18,13,10,4,b a b a b a b a b a b a +++++-+.这六个值与表中相应的实际值应该越接近越好.所以,我们用类似于估计平均数时的思想,考虑离差的平方和222222(,)(2620)(1824)(1334)(1038)(450)(64)Q a b b a b a b a b a b a b a =+-++-++-++-++-+-+- 21286b =26140382046010172a ab b a ++--+说明： (,)Q a b 是直线ˆybx a =+与各散点在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平 方和,可以用来衡量直线ˆybx a =+与图中六个点的接近程度,所以,设法取,a b 的 值,使(,)Q a b 达到最小值.这种方法叫做最小平方法(又称最小二乘法)（method of least square ）.先把a 看作常数,那么Q 是关于b 的二次函数.易知,当140382021286a b -=-⨯时, Q取得最小值.同理, 把b 看作常数,那么Q 是关于a 的二次函数.当14046012b a -=-时, Q 取得最小值.因此,当14038202128614046012a b b a -⎧=-⎪⎪⨯⎨-⎪=-⎪⎩时，Q 取的最小值，由此解得 1.6477,57.5568b a ≈-≈.所求直线方程为ˆ 1.647757.5568y x =-+.当5x =- 时,ˆ66y≈,故当气温为5-0C 时,热茶销量约为66杯. 2．线性相关关系：像这样能用直线方程ˆybx a =+近似表示的相关关系叫做线性相关关系(liner correlation).3．线性回归方程：一般地,设有n 个观察数据如下：当,a b 使2221122()()...()n n Q y bx a y bx a y bx a =--+--++--取得最小值时,就称ˆybx a =+为拟合这n 对数据的线性回归方程（linear regression equation ）,该方程所表示的直线称为回归直线．上述式子展开后，是一个关于,a b 的二次多项式，应用配方法，可求出使Q 为最小值时的,a b 的值．即结论：1112211()()()n n ni i i i i i i n ni i i i n x y x y b n x x a y bx=====⎧-⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑∑,（*） ∑==n i i x n x 11, ∑==ni i y n y 11 说明：公式（*）的推导比较复杂，这里不作要求． 四、数学运用例题 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动 车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系，如果具有线性相关关系，求出线 性回归方程；如果不具有线性相关关系，说明理由．解：在直角坐标系中画出数据的散点图，直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相关关系．计算相应的数据之和：8888211111031,71.6,137835,9611.7ii i i i i i i i xy x x y ========∑∑∑∑，将它们代入（*）式计算得0.0774, 1.0241b a ≈=-， 所以，所求线性回归方程为0.0774 1.0241y x =-．巩固深化，反馈矫正：1．下面是我国居民生活污水排放量的一组数据（单位：103t ）试分别估计1996年和2004年我国居民生活污水排放量． 2.一个工厂在某年里每月产品的总成本y(单位：万元)与月产量（单位：万件）之间有如下一组数据：（1）画出散点图； （2）求线性回归方程． 五、归纳整理，整体认识1．对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数,a b 的计算公式，算出,a b ．由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防计算中产生错误．2.求线性回归方程的步骤：①计算平均数y x ,；②计算i i y x 与的积，求∑iiyx ；③计算∑2ix；④将结果代入公式求a ；⑤用 x a y b -=求b ；⑥写出回归方程。

2.4 线性回归方程共同成长合作共赢请与同学、朋友一起阅读下面的表格，然后根据表格讨论下面的问题.(1)画出获硕士学位人数和获博士学位人数之间的散点图.上面两者之间是否是线性关系？若是,求出博士学位人数关于硕士学位人数的线性回归方程.(2)如果硕士研究生的在读时间为3年，当年获硕士学位的人数与第三年后获博士学位的人数之间应当呈现出一个什么关系？请画出散点图.如果呈线性关系，求出线性回归方程.(3)比较(1)中的回归方程与(2)中的回归方程之间的差异，你认为哪个方程更具有代表性？(4)请试着分析其他数据之间的关系读书做人苏步青的故事苏步青1902年9月出生在浙江省平阳县的一个山村里.虽然家境清贫，可他父母省吃俭用，拼死拼活也要供他上学.他在读初中时，对数学并不感兴趣，觉得数学太简单，一学就懂.可是，后来的一堂数学课影响了他一生的道路.那是苏步青上初三时，他就读的浙江省六十中来了一位刚从东京留学归来的教数学课的杨老师.第一堂课杨老师没有讲数学，而是讲故事.他说:“当今世界，弱肉强食，世界列强依仗船坚炮利，都想蚕食瓜分中国.中华亡国灭种的危险迫在眉睫，振兴科学，发展实业，救亡图存，在此一举.‘天下兴亡，匹夫有责’，在座的每一位同学都有责任.”他旁征博引，讲述了数学在现代科学技术发展中的巨大作用.这堂课的最后一句话是:“为了救亡图存，必须振兴科学.数学是科学的开路先锋，为了发展科学，必须学好数学.”苏步青一生不知听过多少堂课，但这一堂课使他终身难忘.杨老师的课深深地打动了他，给他的思想注入了新的兴奋剂.读书，不仅是为了摆脱个人困境，而且是要拯救中国广大的苦难民众；读书，不仅是为了个人找出路，而且是为中华民族求新生.当天晚上，苏步青辗转反侧，彻夜难眠.在杨老师的影响下，苏步青的兴趣从文学转向了数学，并回到抚育他成长的祖国任教.回到浙大任教授的苏步青，生活十分艰苦.面对困境，苏步青的回答是:“吃苦算得了什么，我甘心情愿，因为我国选择了一条正确的道路，这是一条爱国的光明之路啊！”(1)从老一辈数学家苏步青身上，你能够感受到一种什么样的精神？(2)苏步青的故事对你有何启发？精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

2.4 线性回归方程学习目标 1. 了解相关关系、线性相关的概念；2.会根据散点图判断数据是否具有相关关系；3.会求线性回归方程，并能根据线性回归方程做出合理判断．知识点一 相关关系思考 数学成绩y 与学习数学所用时间t 之间的关系，能否用函数关系刻画？梳理 相关关系：与函数关系不同，相关关系是一种变量之间__________的联系，但不是__________的关系． 知识点二 散点图1．散点图：将样本中n 个数据点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )描在平面直角坐标系中得到的图形． 2．利用散点图可以大致确定两个变量是不是有相关关系，以及相关性强弱． 知识点三 最小平方法及线性回归方程思考1 若散点大致分布在一条直线附近，如何确定这条直线比较合理？思考2 任何一组数据都可以由最小二乘法得出线性回归方程吗？梳理 线性回归方程：能用直线方程________________近似表示的相关关系叫做____________关系，该方程叫________________．最小平方法是一种求回归直线的方法，用这种方法求得的回归直线能使样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小．给出一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，用最小平方法求得线性回归方程的系数a ，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧b ＝ ，a ＝ .上式还可以表示为⎩⎨⎧b ＝ ＝ ，a ＝ .类型一变量之间相关关系的判断例1 在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？(1)正方形边长与面积之间的关系；(2)作文水平与课外阅读量之间的关系；(3)人的身高与年龄之间的关系；(4)降雪量与交通事故发生率之间的关系．反思与感悟如果能够从两个变量的观察数据之间发现相关关系是极为有意义的，由此可以进一步研究二者之间是否蕴涵因果关系，从而发现引起这种相关关系的本质原因是什么．跟踪训练1 有下列关系：①老师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其横截面直径与高度之间的关系；⑤学生与其学号之间的关系．其中有相关关系的是________．(填序号)类型二散点图及应用例2 在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：画出散点图，分析年龄与人体脂肪含量的关系．反思与感悟画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或过小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论．相关关系的散点图不一定分布在一条直线附近，也可能是曲线．跟踪训练2 下表为我国在公元1000年到2000年间的人口数量．(1)试画出散点图；(2)年份与人口是相关关系吗？如果是，是正相关还是负相关？你觉得用什么函数模型模拟效果比较好？反思与感悟函数关系与相关关系之间有密切联系，可以用函数关系来模拟相关关系，也可借助散点图来发现两变量之间的函数关系，在一定条件下，两种关系还可相互转化．类型三线性回归方程的求法及应用例3 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动车辆数与交通事故数之间是否具有线性相关关系．如果具有线性相关关系，求出线性回归方程；如果不具有线性相关关系，说明理由．反思与感悟对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，若呈直线形，再依系数a，b的计算公式，算出a，b.求a，b时，先计算平均数x，y；接着计算x i与y i的积，然后求∑x i y i及∑x2i；最后将结果代入公式求b；用a＝y－b x求a.跟踪训练3 下表数据是退水温度x(℃)对黄酮延长性y(%)效应的试验结果，y是以延长度计算的，且对于给定的x，y为正态变量，其方差与x无关．(1)画出散点图；(2)指出x，y是否线性相关；(3)若线性相关，求y关于x的线性回归方程；(4)估计退水温度是1 000℃时，黄酮延长性的情况．1．下列两个变量之间的关系，哪个不是函数关系________．①正方体的棱长和体积；②圆半径和圆的面积；③正n边形的边数和内角度数之和；④人的年龄和身高．2．如图所示的五组数据(x ，y )中，去掉__________后，剩下的4组数据相关性增强．3．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i＝1，2，…，n )，用最小平方法建立的线性回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是________． ①体重y 与身高x 具有函数间的关系； ②回归直线过(x ，y )点；③若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg ； ④若该大学某女生身高为170 cm ，则可判定其体重必为58.79 kg. 4．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得线性回归方程y^＝bx ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为________万元．1．求样本数据的回归方程，可按下列步骤进行： 第一步 计算平均数x ，y .第二步 求和∑i ＝1nx i y i ，∑i ＝1nx 2i .第三步 计算b ＝∑i ＝1nx i －xy i －y∑i ＝1nx i －x2＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ＝y －b x .第四步 写出回归方程y ^＝bx ＋a .2．回归方程被样本数据唯一确定，各样本点大致分布在回归直线附近．对同一个总体，不同的样本数据对应不同的回归直线，所以回归直线也具有随机性．3．对于任意一组样本数据，利用上述公式都可以求得“回归方程”，如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的．因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程．答案精析问题导学 知识点一思考 一般来说，学数学的时间越长，成绩越好．但用时10小时，数学成绩却不是一个确定的数字．故不能用函数关系刻画． 梳理 有一定 确定性 知识点三思考1 应该使散点整体上最接近这条直线．思考 2 用最小二乘法求线性回归方程的前提是先判断所给数据是否具有线性相关关系(可利用散点图来判断)，否则求出的线性回归方程是无意义的．梳理 y ^＝bx ＋a 线性相关 线性回归方程n ∑ni ＝1x i y i －∑n i ＝1x i ∑n i ＝1y in ∑ni ＝1x 2i －∑ni ＝1x i2y －b x ∑ni ＝1x i y i －n x y ∑n i ＝1x 2i －n x2∑ni ＝1x i －xy i －y∑n i ＝1x i －x2y －b x题型探究例1 解 两变量之间的关系有：函数关系与带有随机性的相关关系．(1)正方形的边长与面积之间的关系是函数关系．(2)作文水平与课外阅读量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系．(3)人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而它们不具备相关关系．(4)降雪量与交通事故发生率之间具有相关关系． 跟踪训练1 ①③④ 例2 解 散点图如下：在散点图中，点分布在从左下角到右上角的区域，故人的年龄与人体脂肪含量是相关关系． 跟踪训练2 解 (1)散点图如下：(2)由图可知，我国在1000年到2000年间的人口数量与年份是相关关系，且为正相关．因为增长速度越来越快， 用指数模型模拟效果比较合适．例3 解 在直角坐标系中画出数据的散点图如图：直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相关关系． 从而计算相应的数据之和：∑i ＝18x i ＝1 031，∑i ＝18y i ＝71.6，∑i ＝18x 2i ＝137 835，∑i ＝18x i y i ＝9 611.7.将它们代入公式计算得b ≈0.077 4，a ≈－1.024 1，所以，所求线性回归方程为y ^＝0.077 4x －1.024 1. 跟踪训练3 解 (1)散点图如图：(2)由散点图可以看出样本点分布在一条直线的附近，可见y 与x 线性相关． (3)列出下表并用科学计算器进行有关计算.于是可得b ＝∑6i ＝1x i y i －6x y∑6i ＝1x 2i －6x2＝198 400－6×550×571 990 000－6×5502≈0.058 86，a ＝y －b x ＝57－0.058 86×550＝24.627.因此所求的线性回归方程为y ^＝0.058 86x ＋24.627.(4)将x ＝1 000代入线性回归方程得y ^＝0.058 86×1 000＋24.627＝83.487，即退水温度是1 000℃时，黄酮延长性大约是83.487%. 当堂训练 1．④解析 ①②③都是函数关系，人的年龄和身高是一种不确定的关系，故④不是函数关系． 2．(4，10)解析 去除(4，10)后，其余四点大致分布在一条直线附近，相关性增强． 3．①④解析 体重与身高的关系不确定，不是函数关系．当x ＝170时，y ^＝0.85×170－85.71＝58.79，体重的估计值为58.79 kg. 4．65.5解析 由题意可知x ＝3.5，y ＝42，则42＝9.4×3.5＋a ，a ＝9.1，y ^＝9.4×6＋9.1＝65.5.。

高中数学第2章统计2-4线性回归方程互动课堂学案互动课堂疏导引导1.变量之间的关系在实际问题中,变量之间的常见关系的有两类：一类是确定性的函数关系；另一类是变量间有一定的联系,但不能完全用函数来表达,它们的关系带有随机性,我们说这两个变量具有相关关系.疑难疏引（1）对相关关系的理解应当注意以下几点：其一是相关关系与函数关系不同,因为函数关系是一种非常确定的关系,而相关关系是一种非确定性关系,即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系.而函数关系可以看成是两个非随机变量之间的关系.因此,不能把相关关系等同于函数关系.其二是函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系.例如,有人发现,对于在校儿童,鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系.然而,学会新词并不能使脚变大,而是涉及到第三个因素——年龄.当儿童长大一些,他们的阅读能力会提高,而且由于长大,脚也变大.其三是在现实生活中存在着大量的相关关系,如何判断和描述相关关系,统计学发挥着非常重要的作用.变量之间的相关关系带有不确定性,这需要通过收集大量的数据,对数据进行统计分析,发现规律,才能作出科学的判断.（2）在考虑相关关系中的两个量的关系时,为了对变量之间的关系有一个大致的了解,我们通常将变量所对应的点描出来,这些点就组成了具有相关关系的变量之间的一组数据的图形,通常称这种图为变量之间的散点图.根据散点图中变量的对应点的离散程度,我们也可以准确地判断两个变量是否具有相关关系.散点图中变量的对应点如果分布在某条直线的周围,我们就可以得出结论,这两个变量具有相关关系.如果变量的对应点分布没有规律,我们就可以得出结论：这两个变量不具有相关关系.案例1 下列关系中,带有随机性相关关系的是____________.①正方形的边长与面积之间的关系②水稻产量与施肥量之间的关系③人的身高与年龄之间的关系④降雪量与交通事故的发生率之间的关系【探究】两变量之间的关系有两种：函数关系与带有随机性的相关关系.①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系.②水稻产量与施肥量之间不是严格的函数关系,但是具有相关性,因而是相关关系.③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系,也不是相关关系,因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了,因而他们不具相关关系.④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系.答案：②④规律总结准确理解变量间的相关关系是解答本题的关键.要准确区分两变量间相关关系和函数关系,事实上,现实生活中相关关系是到处存在的,从某种意义上讲,函数关系可以看作一种理想关系模型,而相关关系是一种普遍的关系.两者区别的关键点是“确定性”还是“随机性”.【探究】涉及两个变量：数学成绩与物理成绩,可以以数学成绩为自变量,考查因变量物理成绩的变化趋势.以x轴表示数学成绩,y轴表示物理成绩,可得相应的散点图.由散点图（上图）可见,两者之间具有相关关系.规律总结判断变量之间有无相关关系,一种常用的简便可行的方法是绘散点图,散点图是由数据点分布构成,是分析研究两个变量相关关系的重要手段.从散点图中,如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近,那么这两个变量是线性相关的.2.最小二乘法（最小平方法）、线性回归方程（1）线性相关关系如果散点图中,相应于具有相关关系的两个变量所有观察值的数据点分布在一条直线的附近,我们称这两个变量之间具有线性相关关系.也就是说能用直线方程=bx+a近似表示的相关关系叫线性相关关系.yˆ（2）最小二乘法（最小平方法）如果n 个点:(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y=a+bx 的接近程度：［y1-(a+bx1)］2+［y2-(a+bx2)］2+…+［yn-(a+bxn)］2.使得上式达到最小值的直线=bx+a 就是我们所要求的直线,这种方法称为最小二乘法.yˆ （3）线性回归方程记线性回归方程为=bx+a,则系数a 、b 满足：yˆ b=(※)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==--=∑∑∑∑∑=====.,)()()(1212111x b y a x x n y x y x n b n i ni i i n i ni i n i i i i疑难疏引 （1）我们知道,回归直线是与数据点最接近的直线,反映贴近程度的数据是：离差的平方和,即总离差Q=(yi-a-bxi)2.这样,回归直线就是所有直线中Q 取最小值的那一条.这样使“离差平方和为最小”的方法,叫做最小二乘法.（最小平方法）∑=ni 1（2）利用最小二乘法求回归系数a 、b 时,是将离差的平方和Q 转化为关于a 或b 的二次函数,利用二次函数知识求得的.（3）借助散点图,可以直观地看出两个变量之间是否具有相关关系.用最小二乘法思想建立的回归直线方程,能定量地描述两个变量的关系.回归系数a 和b,刻画了两个变量之间的变化趋势.利用回归直线,可以对问题进行预测,由一个变量的变化去推测另一个变量的变化. （4）求线性回归方程的一般步骤： ①根据两组数据计算,,xi,yi,,xiyi;x y ∑=ni 1∑=n i 1∑=ni 12ix∑=n i 1∑=ni 1②代入（*）计算求a 、b 的值；③代入=a+bx.yˆ 一般情况下,求线性回归方程可借助计算器和计算机来完成. 另外,回归系数可简化为： b=,a=-b,这里x=xi,y=yi∑∑==--n i i ni ii xn x yx n yx 1221y xn1∑=ni 1n1∑=ni 1案例3 某产品的广告支出x 与销售收入y （单位：万元）之间有下表所对应的数据.（2）求出y 对x 的回归直线方程；（3）若广告费为9万元,则销售收入约为多少万元？【探究】只有散点图大致表现为线性时,求回归直线方程才有实际意义. 【解析】(1)散点图如下：（2）观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近,列出下列表格,以∑=41i xyi=418,代入公式得：b==,∑∑==--41224144i i i ix x y x xy573)25(4302692544182=⨯-⨯⨯-a=-b=×=-2.y x 573269-25故y 对x 的回归直线方程为=x-2,其中回归系数b=,它的意义是：广告支出每增加1万元,销售收入y 平均增加万元.y ˆ573573573(3)当x=9万元时,=×9-2=129.4万元.yˆ573 即广告费为9万元,则销售收入为129.4万元.规律总结 （1）对一组数据进行线性回归分析时,应先画出其散点图,看其是否呈直线形,再依系数a 、b 的计算公式,算出a 、b,由于计算量较大,所以在计算时应借助技术手段,认真细致,谨防计算中产生错误. （2）在利用公式：b=,a=-b 来计算回归系数时,为了方便常制表对应出xiyi, ,以利于求和.∑∑==--412241i i i ixn x yx n xyy x 2i x（3）研究变量间的相关关系,求得回归直线方程能帮助发现事物发展的一些规律,补充积累资料的不足,估计预测某些数据,为我们的判断和决策提供依据. 活学巧用1.下列两变量中具有相关关系的是（ ） A.正方体的体积与边长B.匀速行驶的车辆的行驶距离与时间C.人的身高与体重D.人的身高与视力解析：选 C.本题主要考查变量间的相关性,其中A,B 均为函数关系,D 则无相关关系. 答案：C2.下列各关系中不属于相关关系的是（ ） A.产品成本与生产数量 B.球的表面积与体积 C.家庭的支出与收入 D.人的年龄与体重解析：球的表面积与体积之间是函数关系,不属于相关关系,选B. 答案：B3.下列关系属于负相关的是（ ） A.父母的身高与子女身高的关系 B.农作物产量与施肥量的关系 C.吸烟与健康的关系D.数学成绩与物理成绩的关系解析：吸烟有害健康,因此,吸烟与健康之间的关系属于负相关. 答案：C4.下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ ） A.圆的半径和它的面积 B.正方形边长和它的面积C.正n 边形的边数和顶点角度之和D.期中考试数学成绩与复习时间的投入量解析：期中考试数学成绩与复习时间的投入量是相关关系而不是函数关系.答案：D5.“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高,学生的水平也越高.那么,教师的水平与学生的水平成什么相关关系？你能举出更多的描述生活中的两个变量相关关系的成语吗？解析：“名师出高徒”的意思是说有名的教师一定能教出高明的徒弟,通常情况下,高水平的教师有很大趋势教出高水平的学生,所以,教师的水平与学生的水平成正相关关系,生活中这样的成语很多,如“龙生龙,凤生凤,老鼠的孩子会打洞” .6.现随机抽取某校10名学生在入学考试中的数学成绩x与入学后的第解析：应用散点图分析.两次数学考试成绩散点图如下图所示.由散点图可以看出两个变量的对应点集中在一条直线的周围,且y随x的变大而变大,具有正相关关系.因此,这10名学生的两次数学考试成绩具有相关关系.7.变量y与x之间的回归方程（）A.表示y与x之间的函数关系B.表示y和x之间的不确定性关系C.反映y和x之间真实关系的形式D.反映y与x之间的真实关系达到最大限度的吻合解析：回归直线是与数据点最贴近的直线,y与x之间的回归方程,反映了y与x之间的真实关系达到最大限度的吻合.答案：D8.设有一个回归方程=2-1.5x,当变量x增加一个单位时（）yˆA.y平均增加1.5个单位B.y平均增加2个单位C.y平均减少1.5个单位D.y平均减少2个单位解析：=2-1.5(x+1)=2-1.5x-1.5=-1.5.'ˆy yˆ答案：C9.线性回归方程表示的直线=a+bx必定过（）yˆA.（0,0）点B.（,0）点xC.（0, ）点D.（,）点y x y 解析：回归直线函数a 、b 有公式a=-b,y x即y=a+b ∴直线=a+bx 必定过（,）点.x yˆx y 答案：D10.回归直线方程的系数a,b 的最小二乘估计a,b,使函数Q （a,b ）最小,Q 函数指（ ）A.(yi-a-bxi)2B.|yi-a-bxi|∑=ni 1∑=ni 1C.(yi-a-bxi)2D.|yi-a-bxi|解析：Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+…+(yn -bxn-a)2=(yi-bxi-a)2.∑=ni 1答案：A11.观测两相关变量得如下数据： x y -1 -9 -2 -7 -3 -5 -4 -3 -5 -1 5 1 3 5 4 3 2 7 1 9则两变量间的回归直线方程是（ ）A.y=x-1B.y=xC.y=2x+D.y=x+12131解析：由线性回归方程系数的求解公式, 易得b==1,a=-b=0.∑∑==--101221011010i ii ii xxy x yx y x∴线性回归方程为y=x. 答案：B12.以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y 和房屋的面积x 的数据：（2）求线性回归方程,并在散点图中加上回归直线；（3）据（2）的结果估计当房屋面积为150 m2时的销售价格. 解析：（1）数据对应的散点图如下图所示：(2)=xi=109,(xi-)2=1 570,x51∑=51i ∑=51i xy =23.2,(xi-)(yi-)=311.2.∑=51i x y 设所求回归直线方程为=bx+a,则yˆ b ˆ==≈0.198 2,∑∑==---51251)())((i ii iix x y y x x 15702.311aˆ=-b=23.2-109×0.198 2≈1.596 2.y x 故所求回归直线方程为=-0.198 2x+1.596 2.yˆ (3)据(2),当x=150 m2时,销售价格的估计值为：=0.1982×150+1.596 2=31.326 2(万元).yˆ 13.为研究某市家庭年平均收入与年平均生活支出的关系,该市统计调∑=ni 12ix =32.88,=22.7,xiyi=27.17.∑=ni 121y∑=ni 1∴b=0.833,a=-0.013.∴回归直线方程为y=0.833x-0.013.。

2018版高中数学第二章统计2.4 线性回归方程学案苏教版必修3 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第二章统计2.4 线性回归方程学案苏教版必修3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2.4 线性回归方程1．理解线性回归的基本思想和方法，体会变量之间的相关关系．(难点）2．会画出数据的散点图,并会通过散点图判断这组数据是否具有线性关系．(重点）3．会求数据的线性回归方程，并根据线性回归方程做出合理的判断．(重点、难点)[基础·初探］教材整理1 变量间的关系阅读教材P74的内容，并完成下面的问题．1．变量间的关系(1)函数关系：变量之间的关系可以用函数表示，是一种确定性函数关系．（2)相关关系：变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达．2．散点图从一个统计数表中，为了更清楚地看出x与y是否有相关关系，常将x的取值作为横坐标，将y的相应取值作为纵坐标，在直角坐标系中描点(x i，y i）（i＝1，2,3，…）,这样的图形叫做散点图．判断正误：（1）相关关系是一种不确定关系,而函数关系是一种确定关系．( ）(2）商品的销售收入与广告支出经费是函数关系．( ）(3）散点图越集中,则相关关系越强．（）【解析】(1)√。

由函数关系及相关关系的定义知正确．（2)×.是相关关系,而不是确定关系,故错误．(3）×。

只有当散点图呈规律性分布时才具有相关关系．故错误．【答案】（1）√(2）×（3)×教材整理2 线性回归方程阅读教材P75～P76“例1”上边的内容，并完成下列问题．1．线性相关关系如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线的附近,我们用直线错误!＝bx＋a拟合散点图中的这些点，像这样能用直线错误!＝bx＋a近似表示的相关关系叫做线性相关关系．2．线性回归方程设有n对观察数据如下:x x1x2x3…x ny y1y2y3…y n当a，b使Q112222n n2取得最小值时，就称错误!＝bx＋a为拟合这n对数据的线性回归方程，该方程所表示的直线称为回归直线．3．用回归直线进行数据拟合的一般步骤（1）作出散点图,判断散点是否在一条直线附近；(2)如果散点在一条直线附近,用公式错误!或求出a，b，并写出线性回归方程．填空:（1)有一个线性回归方程为错误!＝2－1.5x，则变量x增加一个单位时，y平均________1.5个单位．（填“增加”或“减少”）【解析】∵b＝－1。

201７－2０18学年高中数学第2章统计2.4 线性回归方程教学案苏教版必修3编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（２0１７-2０18学年高中数学第2章统计 2．4 线性回归方程教学案苏教版必修3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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２。

4 线性回归方程房地产涨价一直是受关注的民生问题之一，以下是某房地产开发商在20１3年前两季度销售的新楼盘中的销售价格y（单位：万元)与房屋面积x(单位：m2）的数据。

x115110801３510５y49。

643.238.858.444问题1:在平面直角坐标系中,以ｘ为横坐标，y为纵坐标作出表示以上数据的点．提示：问题２:从上图中发现x,y有何关系?是函数关系吗？提示:从图中发现x逐渐增大时，y逐渐增大，但有个别情况．不是函数关系.１.变量间的常见关系(１)函数关系：变量之间的关系可以用函数表示,是一种确定性关系.(２）相关关系：变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达.２.散点图从一个统计数表中，为了更清楚地看出变量ｘ与变量y是否有相关关系,常将x的取值作为横坐标,将ｙ的相应取值作为纵坐标,将表中数据构成的数对所表示的点在坐标系内标出,我们称这样的图形叫做散点图。

某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表:气温/℃261８13１04-1杯数２024３4385064问题1：判断气温与杯数是否有相关关系？提示:作散点图可知具有相关关系．问题2:若某天的气温是-5℃，能否根据这些数据预测小卖部卖出热茶的大体杯数？提示:可以．根据散点图作出一条直线,求出直线方程后可预测.1．线性相关关系:能用直线错误!＝ｂx+a近似表示的相关关系．２.线性回归方程：设有n对观察数据如下:ｘx1ｘ2ｘ３…x nｙy１ｙ２y３…yｎ当a，ｂ使Q=（y１-bｘ1－a）２＋（y2－bx2－a）２＋…＋(y n－ｂx n－a)2取得最小值时,就称方程＼o(ｙ,＼s＼uｐ6(^))＝bx+a为拟合这n对数据的线性回归方程,该方程所表示的直线称为回归直线.3．用回归直线进行数据拟合的一般步骤：（１)作出散点图，判断散点是否在一条直线附近.(2)如果散点在一条直线附近,用公式错误!求出a,b,并写出线性回归方程.１.函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系，如试验田的施肥量ｘ与水稻的产量y。

2.4 线性回归方程（1）教学目标：1. 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系；2. 在两个变量具有线性相关关系时，会在散点图中作出线性直线，会用线性回归方程进行预测；3. 知道最小二乘法的含义，知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，了解（线性）相关系数的定义．教学重点：散点图的画法，回归直线方程的求解方法．教学难点：回归直线方程的求解方法．教学方法：引导发现、合作探究．教学过程：一、创设情景，揭示课题客观事物是相互联系的．过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系．比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认为数学是“因”，物理是“果”，或者反过来说事实上数学和物理成绩都是“果”，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度．所以说，函数关系存在着一种确定性关系，但还存在着另一种非确定性关系——相关关系．二、学生活动提出问题：两个变量之间的常见关系有几种？（1）确定性的函数关系，变量之间的关系可以用函数表示；（2）相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表示．说明：不要认为两个变量间除了函数关系，就是相关关系，事实是，两个变量间可能毫无关系．比如地球运行的速度与某个人的行走速度就可认为没有关系．某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：/0 C杯数20 24 34 38 50 64-0C，你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？如果某天的气温是5为了了解热茶销量与气温的大致关系，我们以横坐标x表示气温，纵坐标y表示热茶销量，建立直角坐标系，将表中数据构成的6个数对所表示的点在坐标系内标出，得到下图，今后我们称这样的图为散点图(scatterplot).从下图可以看出，这些点散布在一条直线的附近,故可用一个线性函数近似地表示热茶销量与气温之间的关系.选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关系？我们有多种思考方案：（1）选择能反映直线变化的两个点,例如取(4,50),(18,24)这两点的直线；（2）取一条直线,使得位于该直线一侧和另一侧的点的个数基本相同；（3）多取几组点,确定几条直线方程,再分别算出各条直线斜率、截距的平均值,作为所求直线的斜率、截距；……怎样的直线最好呢?三、建构数学1．最小平方法：=+的直线拟合散点图中的点，应使得该直线用方程为ˆy bx a=+与图中六与散点图中的点最接近．那么，怎样衡量直线ˆy bx a个点的接近程度呢？我们将表中给出的自变量x的六个值带入直线方程,得到相应的六个ˆy的值:+++++-+.这六个值与表中相应的实际值应该越26,18,13,10,4,b a b a b a b a b a b a接近越好.所以,我们用类似于估计平均数时的思想,考虑离差的平方和说明： (,)Q a b 是直线ˆybx a =+与各散点在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平 方和,可以用来衡量直线ˆybx a =+与图中六个点的接近程度,所以,设法取,a b 的 值,使(,)Q a b 达到最小值.这种方法叫做最小平方法(又称最小二乘法)（method of least square ）.先把a 看作常数,那么Q 是关于b 的二次函数.易知,当140382021286a b -=-⨯时, Q取得最小值.同理, 把b 看作常数,那么Q 是关于a 的二次函数.当14046012b a -=-时, Q 取得最小值.因此,当14038202128614046012a b b a -⎧=-⎪⎪⨯⎨-⎪=-⎪⎩时，Q 取的最小值，由此解得 1.6477,57.5568b a ≈-≈.所求直线方程为ˆ 1.647757.5568yx =-+.当5x =- 时,ˆ66y≈,故当气温为5-0C 时,热茶销量约为66杯. 2．线性相关关系：像这样能用直线方程ˆybx a =+近似表示的相关关系叫做线性相关关系(liner correlation).3．线性回归方程：一般地,设有n 个观察数据如下：当,a b 使2221122()()...()n n Q y bx a y bx a y bx a =--+--++--取得最小值时,就称ˆybx a =+为拟合这n 对数据的线性回归方程（linear regression equation ）, 该方程所表示的直线称为回归直线．上述式子展开后，是一个关于,a b 的二次多项式，应用配方法，可求出使Q 为最小值时的,a b 的值．即结论：1112211()()()n n ni i i i i i i n ni i i i n x y x y b n x x a y bx=====⎧-⎪⎪=⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑∑,（*） ∑==n i i x n x 11, ∑==ni i y n y 11 说明：公式（*）的推导比较复杂，这里不作要求． 四、数学运用例题 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动 车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系，如果具有线性相关关系，求出线 性回归方程；如果不具有线性相关关系，说明理由．解：在直角坐标系中画出数据的散点图，直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相关关系．计算相应的数据之和：8888211111031,71.6,137835,9611.7ii i i i i i i i xy x x y ========∑∑∑∑，将它们代入（*）式计算得0.0774, 1.0241b a ≈=-， 所以，所求线性回归方程为0.0774 1.0241y x =-．巩固深化，反馈矫正：1．下面是我国居民生活污水排放量的一组数据（单位：103t ）试分别估计1996年和2004年我国居民生活污水排放量． 2.一个工厂在某年里每月产品的总成本y(单位：万元)与月产量（单位：万件）之间有如下一组数据：（1）画出散点图； （2）求线性回归方程． 五、归纳整理，整体认识1．对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数,a b 的计算公式，算出,a b ．由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防计算中产生错误．2.求线性回归方程的步骤：①计算平均数y x ,；②计算i i y x 与的积，求∑i i y x ；③计算∑2i x ；④将结果代入公式求a ；⑤用 x a y b -=求b ；⑥写出回归方程。

——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度高中数学第2章统计2-4线性回归方程名师导航学案______年______月______日____________________部门名师导航三点剖析一、变量之间的关系在实际问题中，变量之间的关系有两类:一类是确定性关系，变量之间的关系可以用函数表示.例如，正方形的面积S与边长a之间就是确定性关系，可以用函数S=a2表示.在实际问题中，变量之间的关系除了确定性的函数关系之外，还有一种非确定性的关系.例如:商品销售收入与广告支出经费之间的关系.我们不可否认商品销售收入与广告支出经费之间有着密切的联系，但商品销售收入不仅与广告支出多少有关，还与商品的质量、居民的经济状况等因素有关.再如:粮食产量与施肥量之间的关系.在一定范围内，施肥量越大，粮食的产量就越高.但是，施肥量并不是决定粮食产量的唯一因素，因为粮食产量还要受到土壤质量、降雨量、田间管理水平等因素的影响.又如人的身高和体重之间的关系、人的年龄和血压之间的关系等，这些变量之间存在着密切的关系，但它不能由一个变量的数值精确地确定另一个变量的数值.像这种自变量取一定值时，因变量的取值带有一定随机性,这样的两个变量之间的关系，我们称之为相关关系.从某种意义上讲,函数关系可以看作是一种理想的关系模型，而相关关系则是一种非常普遍的关系.研究和学习相关关系不仅可以使我们能够处理更为广泛的数学问题，还可以使我们对函数关系的认识上升到一个新的高度.在现实生活中,存在大量的相关关系，所以,寻找变量之间的相关关系很有必要.在此,统计在其中发挥着非常重要的作用.在相关关系中，变量的关系不是完全确定的，而是带有不确定性.这就需要通过收集大量的数据(有时通过调查，有时通过试验)，在对数据进行统计分析，发现其中的规律，才能对它们之间的关系作出判断.二、散点图在考虑相关关系中的两个量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，我们通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了具有相关关系的变量之间的一组数据的图形，通常称这种图为变量之间的散点图.通过具有相关关系的两个量的散点图我们可以对这两个变量间的关系有一个大致的了解.例如:在7块并排、形状大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量影响的试验，得到如下表所示的一组数据(单位:kg).15 20 25 30 35 40 45施化肥量x水稻产量330 345 365 405 445 450 455y将表中的各对数据在平面直角坐标系中描点，即可得到该组数据的散点图,如图6-12所示:图6-12由图可发现，图中的各点大致分布在一条直线的附近.三、最小二乘法、线性回归方程1．最小二乘法由施化肥量对水稻产量影响的试验所得到的散点图可发现，图中的各点，大致分布在一条直线y=a+bx的附近.故可用一个线性函数近似表示施化肥量和水稻产量之间的关系.这种线性关系可以用多种方法来进行刻画，那么用什么样的线性关系刻画会更好一些呢？有一个非常直观的想法，一个好的线性关系要保证这条直线与所有点都近.如果有n 个点:(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)，可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y=a+bx 的接近程度:［y1-(a+bx1)］2+［y2-(a+bx2)］2+…+［yn-(a+bxn)］2．使得上式达到最小值的直线y=a+bx 就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法.2．线性回归方程通过收集现实生活中两个有关联的变量的数据作出散点图，如果所有的散点分布成或近似成一条直线，我们说这两个变量有线性关系(否则就说两个变量不具有线性关系)，然后运用最小二乘法的思想，用一条直线来拟合两个变量之间的关系:y=a+bx.要求所有点相对于该直线的偏差的平方和尽可能达到最小.我们把y=a+bx 称作线性回归方程，其中求线性回归方程的一般步骤:(1)根据两组数据计算；，，，，，x ∑∑∑∑====n1i i i n1i 2i n1i i n1i i y x x y x y(2)代入(*)计算求a 、b 的值； (3)代入y=a+bx.一般情况下，求线性回归方程可借助计算器和计算机来完成. 问题探究问题1:在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据:人体的脂肪含量与年龄之间的关系年龄23 27 39 41 45 49 50脂肪9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2年龄53 54 56 57 58 60 61脂肪29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6根据上述数据，人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？探究:观察表中数据，大体上来看，随着年龄的增加，人体中脂肪的百分比也在增加.为了确定这一关系的细节，我们需要进行数据分析.我们假设人的年龄影响体内脂肪含量，于是，按照习惯，以x轴表示年龄，以y轴表示脂肪含量，得到相应的散点图(如图6-13所示).图6-13从散点图我们可以看出，年龄越大，体内脂肪含量越高，图中点的趋势表明两个变量之间确实存在一定的关系，这个图支持了我们从数据表中得出的结论.经计算可得到回归直线的回归方程为=0.577x-0.448．yˆ问题2:一般地，(x,y)的n组观察数据:x x1x2x3…xny y1y2y3…yn的回归直线的方程为y=a+bx，则直线y=a+bx恒过的定点是什么？探究:由线性回归方程的推导，可知方程的系数a、b满足条件:.由此不难发现，点(，)的坐标满足直线y=a+bx的方程.所以,由点与直线的位置关系可得点(，)在直线y=a+bx上,即直线y=a+bx恒过点(，).这里=，=.x b ，x x n y x y x n b ni i n i i ni i ni i ni i i ---=∑∑∑∑∑=====y -a )())((2112111x y x y x y xn1∑=ni ix1yn1∑=ni iy1精题精讲例1．有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表:摄氏温度/℃ -54712151923 27 31 36热饮杯数156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54(1)画出散点图；(2)从散点图中发现的气温与热饮销售杯数之间的关系的一般规律；(3)求回归方程； (4)如果某天的气温是，预测这天卖出的热饮杯数.思路解析根据所给数据，作出散点图，判断散点是否在一条直线附近；如果散点在一条直线附近，用公式(*)求出a 、b ，写出线性回归方程.答案:(1)散点图如图6-14所示:图6-14(2)从图中看到，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间成负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少.(3)从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此，可用公式(*)求出回归方程的系数.利用计算器容易求得回归方程=-2．352x+147．767．yˆ (4)当x=2时，=143．063．因此，某天的气温为2℃时，这天大约可以卖出143杯热饮.yˆ 例2．为研究某市家庭年平均收入与年平均生活支出的关系，该市统计调查队随机调查了10个家庭，得数据如下:i(家庭编号) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x i (收入)(千元)0.8 1.1 1.3 1.5 1.5 1.8 2.0 2.2 2.4 2.8y i (支出)(千元)0.7 1.0 1.2 1.0 1.3 1.5 1.3 1.7 2.0 2.5求回归直线方程.思路解析利用公式(*)求出a 、b ，写出线性回归方程. 答案:列表.i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x i 0.8 1.1 1.3 1.5 1.5 1.8 2 2 2.4 2.8 y i 0.7 1.0 1.2 1.0 1.3 1.5 1.3 1.7 2.0 2.5 x i y i 0.56 1.10 1.56 1．50 1．95 2.70 2．60 3．40 4.80 7.00 x i 2 0.64 1.21 1.69 2.25 2.25 3.24 4.00 4.00 5.76 7.84 y i 2 0.49 1.0 1.441.001.692.251.692.894.06.25故可求得．y ，，，，x ni n n 17.27x 7.22y 88.32x 42.1102.14y 72.1102.171i i 1i 2i 1i 2i =======∑∑∑===∴b=0.833，a=－0.013．∴回归直线方程为y=0.833x －0.013．例3．随机调查了某地区10个商店的建筑面积x(km2)与年销售额y(百万元)的样本如下:x(面积) 4.0 60 6 7.2 40 9 20 7 8 8.4 y(销售额)3.5254.8 3.5305124.556(1)求y 关于x 的线性回归方程；(2)若线性关系存在，那么对于一个拥有10 000m2的商店来说，它的年销售额为多少？思路解析利用公式(*)求出a 、b ，写出线性回归方程. 答案:(1)列表.i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x i 4 60 6 7.2 40 9 20 7 8 8.4 y i 3.5 25 4.8 3.5 30 5 12 4.5 5 6 x i y i141 500 28.8 25.2 1 20045 240 31.5 4050.4x i 2 16 3 600 36 51.84 160081 4004964 70.56y i 2 12.25 625 23.04 12.25 90025144 20.25 2536∴=×169.6=16.96，= ×99.3=9.93．x 101y101∴=3 174.9，=5 968.4，=1 822.79．∑=101i ii y x ∑=1012i i x ∑=1012i iy∴ ∴y=0.48x+1.75．⎩⎨⎧==1.75．a 48.0，b(2)当x=10时，y=6.55． ∴年销售额约为655万元. 绿色通道本题反映了生活中普遍存在的商店的面积与年销售额之间的联系，并根据已有的数据得出线性回归方程.这是一类日常生活中经常出现的问题.商店的面积与年销售额之间存在着线性相关的关系,根据相关的数据我们求出它们之间线性回归方程.利用该方程得出的年销售额也只是一种估计.。

——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高中数学第2章统计2-4线性回归方程共同成长学案______年______月______日____________________部门共同成长合作共赢请与同学、朋友一起阅读下面的表格，然后根据表格讨论下面的问题.年份博士学位硕士学位研究生招生人数在读人数毕业人数高等学校研究所(院)高等学校研究所(院)高等学校研究所(院)1985 57 1 371 4 264 83 8 163 170 1 543 37 1986 37 1 243 3 933 88 10 195 238 1 642 27 1987 70 1 902 3 444 70 10 766 243 2 692 58 1988 249 3 196 3 406 374 10 332 1 354 3 524 474 1989 302 3 198 2 679 325 9 120 1 167 3 367 417 1990 300 2 746 2 803 324 8 533 1 035 2 953 369 1991 342 2 739 2 717 302 8 020 949 2 936 320 1992 343 2 124 3 323 345 8 858 997 2 262 264 1993 368 2 489 3 919 363 10 037 1 008 2 569 315 1994 442 2 363 4 665 465 11 905 1 185 2 608 251 1995 606 2 742 4 776 525 13 378 1 335 3 038 317 1996 627 3 233 5 915 592 15 307 1 528 3 537 323 19xx 890 3 585 6 163 562 16 841 1 619 4 117 358 19xx 1 090 3 552 7 281 593 19 499 1 663 4 253 389 19xx 1 323 4 288 8 758 655 22 656 1 764 5 196 415 20xx 1 307 4 546 11 796 856 28 582 2 032 5 435 433 20xx 1 487 5 330 14 751 1 075 36 528 2 515 6 380 437 20xx 1 735 6 191 17 848 1 363 45 713 3 183 7 481 445 (1)画出获硕士学位人数和获博士学位人数之间的散点图.上面两者之间是否是线性关系？若是,求出博士学位人数关于硕士学位人数的线性回归方程.(2)如果硕士研究生的在读时间为3年，当年获硕士学位的人数与第三年后获博士学位的人数之间应当呈现出一个什么关系？请画出散点图.如果呈线性关系，求出线性回归方程.(3)比较(1)中的回归方程与(2)中的回归方程之间的差异，你认为哪个方程更具有代表性？(4)请试着分析其他数据之间的关系读书做人苏步青的故事苏步青1902年9月出生在浙江省××县的一个山村里.虽然家境清贫，可他父母省吃俭用，拼死拼活也要供他上学.他在读初中时，对数学并不感兴趣，觉得数学太简单，一学就懂.可是，后来的一堂数学课影响了他一生的道路.那是苏步青上初三时，他就读的浙江省六十中来了一位刚从东京留学归来的教数学课的杨老师.第一堂课杨老师没有讲数学，而是讲故事.他说:“当今世界，弱肉强食，世界列强依仗船坚炮利，都想蚕食瓜分中国.中华亡国灭种的危险迫在眉睫，振兴科学，发展实业，救亡图存，在此一举.‘天下兴亡，匹夫有责’，在座的每一位同学都有责任.”他旁征博引，讲述了数学在现代科学技术发展中的巨大作用.这堂课的最后一句话是:“为了救亡图存，必须振兴科学.数学是科学的开路先锋，为了发展科学，必须学好数学.”苏步青一生不知听过多少堂课，但这一堂课使他终身难忘.杨老师的课深深地打动了他，给他的思想注入了新的兴奋剂.读书，不仅是为了摆脱个人困境，而且是要拯救中国广大的苦难民众；读书，不仅是为了个人找出路，而且是为中华民族求新生.当天晚上，苏步青辗转反侧，彻夜难眠.在杨老师的影响下，苏步青的兴趣从文学转向了数学，并回到抚育他成长的祖国任教.回到浙大任教授的苏步青，生活十分艰苦.面对困境，苏步青的回答是:“吃苦算得了什么，我甘心情愿，因为我国选择了一条正确的道路，这是一条爱国的光明之路啊！”(1)从老一辈数学家苏步青身上，你能够感受到一种什么样的精神？(2)苏步青的故事对你有何启发？。