新人教版九年级下数学二次函数单元试题及答案

九年级下册数学第二章《二次函数》测试一、选择题：1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是( ）A 。

直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=xD 。

直线2=x2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点),(acb M 在（ )A. 第一象限B. 第二象限 C 。

第三象限 D 。

第四象限3. 已知二次函数c bx ax y ++=2，且0<a ，0>+-c b a ，则一定有（ ) A. 042>-ac bB 。

042=-ac bC. 042<-ac bD. ac b 42-≤04. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是532+-=x x y ,则有（ ) A. 3=b ，7=cB 。

9-=b ,15-=cC 。

3=b ，3=cD 。

9-=b ，21=c数222k x kx y +-=的图5. 已知反比例函数xky =的图象如右图所示，则二次函象大致为（ ）Bx6. 下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数c ax y +=的大致图象,有且只有一个是正确的,正确的是（ ）D7. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线（ ）A 。

2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x8. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（ )A. 2-B. 2C. 1-D. 19. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则( )A 。

0>M ,0>N ，0>P B. 0<M ，0>N ,0>P C 。

0>M ，0<N ，0>P D. 0<M ，0>N ，0<P 二、填空题：10. 将二次函数322+-=x x y 配方成k h x y +-=2)(的形式，则y =______________________。

一、选择题1．关于二次函数22y x x =-+的最值，下列叙述正确的是（ ） A ．当2x =时，y 有最小值0. B ．当2x =时，y 有最大值0． C ．当1x =时，y 有最小值1D ．当1x =时，y 有最大值12．已知关于x 的二次三项式()()2121m x m x m +--+的值恒为正，则m 的取值范围是（ ） A ．18m >B ．1m >-C ．118m -<<D ．1m 18<<3．如图，现要在抛物线y ＝x （﹣x +2）上找点P （m ，n ），针对n 的不同取值，所找点P 的个数，四人的说法如下，甲：若n ＝﹣1，则点P 的个数为2；乙：若n ＝0，则点P 的个数为1；丙：若n ＝1，则点P 的个数为1；丁：若n ＝2，则点P 的个数为0．其中说法正确的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．如图是二次函数y ＝mx 2+nx +k 图象的一部分且过点P （3，0），二次函数图象的对称轴是直线x ＝1，下列结论正确的是（ ）A ．n 2﹣4mk ＜0B ．mk ＞0C ．n ＝2mD ．m ﹣n +k ＝05．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，且a ≠0）中的x 与y 的部分对应值如表： x ﹣1 0 1 3 y ﹣1353则代数式﹣2a（4a +2b +c ）的值为（ ） A ．92 B ．152C ．9D ．156．已知二次函数2(2)1y mx m x =+--（m 为常数，且0m ≠），（ ）A ．若0m >，则1x <，y 随x 的增大而增大B ．若0m >，则1x >，y 随x 的增大而减小C ．若0m <，则1x <，y 随x 的增大而增大D ．若0m <，则1x >，y 随x 的增大而减小7．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴是x ＝1，下列结论：①abc ＞0；②b 2﹣4ac ＞0； ③8a +c ＜0； ④5a +b +2c ＞0，正确的是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．②③8．如图，抛物线22y x x m =-+交x 轴于点(),0A a ，(),0B b ，交y 轴于点C ，抛物线的顶点为D ，下列四个结论：①无论m 取何值，2CD =恒成立；②当0m =时，ABD △是等腰直角三角形；③若2a =-，则6b =；④()11,P x y ，()22,Q x y 是抛物线上的两点，若121x x ，且122x x +>，则12y y <．正确的有（ ）A ．①②③④B ．①②④C ．①②D ．②③④9．对于抛物线22()1y x =-+，下列说法错误的是（ ） A ．抛物线的开口向上 B ．抛物线与x 轴有两个交点 C ．抛物线的对称轴是2x =D ．抛物线的顶点坐标是(2,1)10．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =，下列结论：①0ab <；②24b ac >；③20a b c ++<；④30a c +<．其中正确的是（ ）A ．①②④B ．②④C ．①②③D ．①②③④11．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点(0,1)C -，点A 在(4,0)-与(3,0)-之间（不包含这两点），抛物线的顶点为,D 对称轴是直线2x =-．有下列结论：①0abc <；②若点()1283,;,3M y N y ⎛--⎫ ⎪⎝⎭是抛物线上两点，则12y y >；③13a >-；④若1,a =-则ABD △是等边三角形．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．将抛物线()2214y x =--+向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为（ ） A ．()2241y x =-++ B ．()2221y x =--+ C ．()2246y x =--+D ．()2242y x =--+二、填空题13．如图所示，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与x 轴交于点()3,0，对称轴为直线1x =．则方程20cx bx a ++=的两个根为_____．14．已知函数y b =的图象与函数23|1|43y x x x =----的图象恰好有四个交点，则b 的取值范围是______．15．抛物线()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，其与x 轴的一个交点坐标为()4,0-，对称轴为1x =-，则0y >时，x 的取值范围________．16．有五张正面分别标有数字32112---，，，，的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a ，则使关于以x为自变量的二次函数22(1)2y x a x a =-++-的图象不经过点(1,0)的概率是____．17．抛物线212133y x x =-++与x 轴交于点A B 、，与y 轴交于点C ，则ABC 的面积为 _______．18．二次函数224y x x =-++的最大值是______．19．抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如表所示，下列说法：x··· 3-2-1- 0 1 ··· y···6-466···①抛物线与轴的交点为0,6；②抛物线的对称轴是在轴右侧；③在对称轴左侧，y 随x 增大而减小；④抛物线一定过点()3,0．上述说法正确的是____（填序号）．20．已知A （0，y 1），B （1，y 2），C （4，y 3）是抛物线y =x 2﹣3x 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为____．（用“＜”符号连接）三、解答题21．已知抛物线239y x kx k =-+-．求证：无论k 为何值，该二次函数的图象与x 轴都有交点．22．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板AB 长为2米，跳板距水面CD 高BC 为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度4米，现以CD 为横轴，CB 为纵轴建立直角坐标系．（1）求这条抛物线的解析式； （2）求运动员落水点与点C 的距离．23．如图，已知矩形ABCD 的周长为36cm ，矩形绕它的一条边CD 旋转形成一个圆柱．设矩形的一边AB 的长为cm(0)x x >，旋转形成的圆柱的侧面积为2cm S ．（1）用含x 的式子表示：矩形的另一边BC 的长为______cm ；旋转形成的圆柱的底面圆的周长为______cm ． （2）求S 关于x 的函数解析式及自变量x 的取值范围； （3）求当x 取何值时，矩形旋转形成的圆柱的侧面积最大；（4）若矩形旋转形成的圆柱的侧面积等于218cm π，则矩形的长是______cm ，宽是______cm ．24．已知函数()()1210,()y x m x m y ax m a =+--=+≠在同一平面直角坐标系中．（1）若1y 经过点()12-，，求1y 的函数表达式； （2）若2y 经过点()1,1m +，判断1y 与2y 图象交点的个数，说明理由；（3）若1y 经过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，且对任意x ，都有12y y >，请利用图象求a 的取值范围． 25．如图，抛物线223y x x =--与x 轴交于A 、B 两点．（1）抛物线与x 轴的交点坐标为______； （2）求抛物线与坐标轴围成的ABC 的面积；（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P ，当点P 在该抛物线上滑动到什么位置时，满足6PAB S =△，并求出此时P 点的坐标．26．如图，在平面直角坐标系中，二次函数25y ax bx =++的图象交x 轴于点A ，B （点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ，//CD x 轴交抛物线于点D ．已知点A 的横坐标为1-，4CD =．（1）求该二次函数的表达式．（2）已知点E 在抛物线上且位于直线CD 的上方，//EF CD 交抛物线于点F （点F 在点E 的右侧），FG x ⊥轴于点G ，交CD 于点H ，4EF HD =，求点E 的坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先将二次函数配方成()211y x =--+，即可求解． 【详解】解：()()2221221y x x x x x =-+=----+=，二次函数的图象开口向下，当1x =时，y 有最大值1， 故选：D ． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，将二次函数解析式化为顶点式是解题的关键．2．A解析：A 【分析】根据二次三项式()()2121m x m x m +--+的值恒为正，可设()()2121m x x y m m +--+=，从而得到1m +＞0且∆＜0，进而即可求得m 的取值范围． 【详解】解：设()()2121m x x y m m +--+=，∵关于x 的二次三项式()()2121m x m x m +--+的值恒为正，∴()()2121m x m x m +--+＞0，∴在函数()()2121m x x y m m +--+=中，1m +＞0，且()()22141m m m ∆=--⎡⎤-+⎣⎦＜0，解得：m ＞18故选：A 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想，熟练掌握二次函数的性质．3．D解析：D 【分析】把P 点的坐标代入函数的解析式，再根据根的判别式或解方程逐个判断即可． 【详解】解：甲：当n ＝﹣1时，m （﹣m +2）＝﹣1， 整理得：m 2﹣2m ﹣1＝0，△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0， 方程有两个不相等的实数根，即此时点P 的个数为2，故甲的说法正确； 乙：当n ＝0时，m （﹣m +2）＝0， 解得：m ＝0或2，即此时点P 的个数为2，故乙的说法错误； 丙：当n ＝1时，m （﹣m +2）＝1， 整理得：m 2﹣2m +1＝0， △＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0， 方程有两个相等的实数根，即此时点P 的个数为1，故丙的说法正确； 丁：当n ＝2时，m （﹣m +2）＝2， 整理得：m 2﹣2m +2＝0， △＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0， 方程没有实数根，即此时点P 的个数为0，故丁的说法正确； 所以正确的个数是3个， 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征和一元二次方程的根的判别式、解一元二次方程，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．4．D解析：D 【分析】根据抛物线与x 轴有两个交点可对A 进行判断；由抛物线开口向上得m ＞0，由抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得k ＜0，则可对B 进行判断；根据抛物线的对称轴是x ＝1对C 选项进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点为（−1，0），所以m−n ＋k ＝0，则可对D 选项进行判断． 【详解】解：A ．∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴n 2﹣4mk ＞0，所以A 选项错误； B ．∵抛物线开口向上， ∴m ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方， ∴k ＜0，∴mk ＜0，所以B 选项错误；C ．∵二次函数图象的对称轴是直线x ＝1， ∴﹣2nm＝1， ∴n ＝﹣2m ，所以C 选项错误；D ．∵抛物线过点A （3，0），二次函数图象的对称轴是x ＝1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣1，0）， ∴m ﹣n +k ＝0，所以D 选项正确； 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象为抛物线，当a ＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线2bx a=-；抛物线与y 轴的交点坐标为（0，c ）；当b 2−4ac ＞0，抛物线与x 轴有两个交点；当b 2−4ac ＝0，抛物线与x 轴有一个交点；当b 2−4ac ＜0，抛物线与x 轴没有交点．5．B解析：B 【分析】由当x=0和x=3时y 值相等，可得出二次函数图象的对称轴为直线x=32，进而可得出2b a -的值，由x=1时y=5，可得出当x=2时y=5，即4a+2b+c=5，再将2b a -=32及4a+2b+c=5代入2ba-（4a+2b+c ）中即可求出结论． 【详解】解：∵当x ＝0和x ＝3时，y 值相等，∴二次函数图象的对称轴为直线x ＝32， ∴3=22b a -． ∵当x ＝1时，y ＝5，∴当x ＝2×32﹣1＝2时，y ＝5， ∴4a +2b +c ＝5．∴2b a -（4a +2b +c ）＝32×5＝152． 故选：B ． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出2ba-和（4a+2b+c ）的值是解题的关键． 6．D解析：D 【分析】先求出二次函数图象的对称轴，然后根据m 的符号分类讨论，结合图象的特征即可得出结论． 【详解】该二次函数图象的对称轴为直线21122m x m m-=-=-+， 若0m >，对于22m x m-=-无法判断其符号，故A 、B 选项不一定正确； 若0m <，则202m x m -=-<，即22m m--<1，且抛物线的开口向下， ∴当1x >时，y 随x 的增大而减小，故选：D ． 【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质，解决此题的关键是分类讨论确定对称轴的位置，再结合开口方向进行综合分析．7．B解析：B 【分析】由函数图像与对称轴的方程结合可判断①，由抛物线与x 轴有两个交点，可判断②，由抛物线的对称轴为：1,2bx a=-= 可得2,b a =-结合图像可得当2x =-时，42y a b c =-+＜0, 可判断③，由图像可得当2x =时，4+2y a b c =+＞0，当1x =-时，y a b c =-+＞0，两式相加可得：52a b c ++＞0，可判断④，从而可得答案． 【详解】 解：图像开口向下， a ∴＜0，12bx a==-＞0, b ∴＞0，函数图像与y 轴交于正半轴，c ∴＞0，abc ∴＜0，故①不符合题意； 抛物线与x 轴有两个交点，24b ac ∴-＞0, 故②符合题意； 抛物线的对称轴为：1,2bx a=-= 2,b a ∴=-当2x =-时，42y a b c =-+＜0,()422a a c ∴-⨯-+＜0,8a c ∴+＜0,故③符合题意；当2x =时，4+2y a b c =+＞0，当1x =-时，y a b c =-+＞0，两式相加可得：52a b c ++＞0，故④符合题意； 故选：.B 【点睛】本题考查的是抛物线的图像与系数之间的关系，二次函数的性质，掌握以上知识是解题的关键．8．B解析：B 【分析】①先求出C 、D 的坐标，再根据两点距离公式求得CD ，便可判断； ②当m=0时，可得抛物线与x 轴的两个交点坐标和顶点坐标即可判断； ③根据抛物线与x 轴的一个交点坐标和对称轴即可得另一个交点坐标即可判断； ④根据二次函数图象当x 1＜1＜x 2，且x 1+x 2＞2，根据离对称越远的点的纵坐标就越大得出结论． 【详解】解：①∵y=x 2-2x+m=（x-1）2+m-1， ∴C （0，m ），D （1，m-1）， ∴，②当m=0时，抛物线与x 轴的两个交点坐标分别为A （0，0）、B （2，0），顶点D （1，-1），∴，∴△ABD 是等腰直角三角形，故②正确；③当a=-2时，抛物线与x 轴的一个交点坐标为（-2，0），∵对称轴x=1，∴另一个交点坐标为（4，0），∴b=4，故③错误；④观察二次函数图象可知：当x 1＜1＜x 2，且x 1+x 2＞2，则1-x 1＜x 2-1∴y 1＜y 2．故④正确．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x 轴的交点、等腰直角三角形，解决本题的关键是综合利用以上知识．9．B解析：B【分析】根据抛物线的性质逐条判断即可．【详解】解：抛物线22()1y x =-+是二次函数的顶点式，由此可知，抛物线开口向上，对称轴是2x =，顶点坐标是(2,1)，故A 、C 、D 正确，不符合题意；∵抛物线顶点在第一象限，开口向上，∴抛物线与x 轴没有交点，故B 错误，符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，解题关键是熟知抛物线顶点式的意义，根据顶点位置和开口确定与x 轴是否有交点． 10．C解析：C【分析】根据函数的图像分别确定各项系数的正负,再由对称轴和与x 轴的交点即可解题.∵抛物线开口向上，∴a>0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c<0，抛物线的对称轴为直线x=-b 2a =10>，即02<b a0a >0b ∴<∴ab<0，所以①正确；∵抛物线与x 轴有2个交点，∴△=b 2-4ac>0，所以②正确；∵x=1时，y<0，∴a+b+c<0，而c<0，∴a+b+2c<0，所以③正确；∵抛物线的对称轴为直线x=-b 2a =1， ∴b=-2a ，而x=-1时，y>0，即a-b+c>0，∴a+2a+c>0，即30a c +>所以④错误．故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质,属于简单题,熟悉二次函数的图像性质是解题关键. 11．B解析：B【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．【详解】解：①由开口可知：a ＜0，∴对称轴22b x a=-=-， ∴b<0，由抛物线与y 轴的交点可知：c<0，∴abc ＜0，故①正确；②∵对称轴22b x a =-=-，a ＜0， 在对称轴左边，y 随x 的增大而增大，∵8323-<-<-， ∴12y y <，故②错误；③当1x =-，20y ax bx c a b c =++=-+>，∵对称轴22b x a=-=-，抛物线与y 轴的交点C(0，-1)， ∴4b a =，1c =-，∴410a a -->，解得：13a <-，故③错误；④∵1a =-，1c =-，∴44b a ==-，∴抛物线的解析式为()224123y x x x =---=-++， ∴顶点D 的坐标为(-2，3)，解方程()2230x -++=得：23x =-±，∴23AB =，根据抛物线的对称性，BE=3，DE=3，∴DB=()223323+=，∴DB=AD=AB=23，∴ABD △是等边三角形．故④正确；故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数解析式的求法、等边三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质，属于中考常考题型．12．D解析：D【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：将抛物线y=-2（x-1）2+4向右平移3个单位，再向下平移2个单位长度后得到抛物线的解析式为：y=-2（x-1-3）2+4-2，即y=-2（x-4）2+2；故选：D ．【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．二、填空题13．【分析】根据题意和二次函数的性质可以得到二次函数的图像与轴的另一个交点然后得到的解然后再变形即可得到方程的两个根；【详解】∵二次函数的图象与x 轴交于点对称轴为直线∴该函数与x 轴的另一个交点为∴当时可 解析：11x =-，213x =【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与x 轴的另一个交点，然后得到20ax bx c ++=的解，然后再变形，即可得到方程的两个根；【详解】∵二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于点()3,0，对称轴为直线1x =， ∴该函数与x 轴的另一个交点为()1,0-，∴当0y =时，20ax bx c =++，可得：11x =-，23x =，当20ax bx c ++=，0x ≠时，可得2110a b c x x ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设1t x=，可得20ct bt a ++=， ∴11t =-，213t =， 由上可得，方程20cx bx c++=的两个根为11x =-，213x =； 故答案为：11x =-，213x =． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的应用，准确分析计算是解题的关键． 14．【分析】根据绝对值的意义分两种情形化简绝对值后根据图像确定b 的范围即可【详解】当x≥1时y=；当x ＜1时y=；∴二图像的交点为（1-6）y=的最小值为画图像如下根据图像可得直线与之间的部分有个交点∴解析：2564b -<<- 【分析】 根据绝对值的意义，分两种情形化简绝对值，后根据图像确定b 的范围即可.【详解】当x≥1时，y=27x x -；当x ＜1时，y=26x x --；∴227(1)6(1)x x x y x x x ⎧-≥=⎨--<⎩， 二图像的交点为（1，-6）, y=26x x --的最小值为254-， 画图像如下，根据图像，可得直线6y =-与254y =-之间的部分有4个交点， ∴b 的取值范围为254-＜b ＜-6， 故填254-＜b ＜-6. 【点睛】 本题考查了图像的交点问题，利用分类思想，数形结合思想，最值思想画出图像草图是解题的关键.15．或【分析】根据抛物线与x 轴的一个交点坐标和对称轴由抛物线的对称性可求抛物线与x 轴的另一个交点再根据抛物线的增减性可求当y ＜0时x 的取值范围【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）与x 轴的一解析：4x <-或2x >【分析】根据抛物线与x 轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x 轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y ＜0时，x 的取值范围．【详解】解：∵抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴的一个交点坐标为（-4，0），对称轴为x=-1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为（2，0），由图象可知，当y ＞0时，x 的取值范围是x ＜-4或x ＞2．故答案为：x ＜-4或x ＞2．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，关键是得到抛物线与x 轴的另一个交点．16．【分析】把点的坐标代入解析式转化为a 的一元二次方程确定方程的根从给出的数字中扣除方程的根就是符合题意的a 值计算概率即可【详解】当二次函数的图象经过点时得解得所以符合题意的a 值有-3-12共三个所以二 解析：35【分析】把点的坐标代入解析式，转化为a 的一元二次方程，确定方程的根，从给出的数字中扣除方程的根就是符合题意的a 值，计算概率即可.【详解】当二次函数22(1)2y x a x a =-++-的图象经过点(1,0)时，得 220a a +-=，解得 122,1a a =-=，所以符合题意的a 值有-3，-1,2，共三个，所以二次函数22(1)2y x a x a =-++-的图象不经过点(1,0)的概率是35， 故答案为：35. 【点睛】 本题考查了简单事件的概率计算、二次函数，利用二次函数的图象过点的意义，判定符合题意的a 值是解题的关键．17．2【分析】由与x 轴交于点AB 即y=0求出x 即得到图象与x 轴的交点坐标与y 轴交于点C 即x=0求出y 得到与y 轴的交点坐标得出ABAC 的长度从而得出△ABC 的面积；【详解】∵与x 轴交于点AB 则解得：即交点解析：2【分析】由212133y x x =-++与x 轴交于点A 、B ，即y=0，求出x ，即得到图象与x 轴的交点坐标，与y 轴交于点C ，即x=0，求出y ，得到与y 轴的交点坐标，得出AB 、AC 的长度，从而得出△ABC 的面积；【详解】 ∵212133y x x =-++与x 轴交于点A 、B ， 则2121=033x x -++， 解得：11x =- ，23x = ，即交点坐标分别为(-1，0)，(3，0)； ∵212133y x x =-++与y 轴交于点C ， 将x=0代入得y=1，∴ 点C(0，1)，∴ △ABC 的面积为：1141222AB OC ⨯⨯=⨯⨯= ， 故答案为：2．【点睛】本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点坐标求法，进而得出有关三角形的面积，正确得出有关坐标是解题的关键． 18．【分析】利用二次函数的配方法确定最值即可【详解】∵∵a=-1＜0∴二次函数有最大值且最大值为5；故答案为：5【点睛】本题考查了二次函数的最值问题熟练运用配方法确定二次函数的最值是解题的关键解析：【分析】利用二次函数的配方法确定最值即可.【详解】∵224y x x =-++2(24)x x =---2[(1)14]x =----2(1)5x =--+，∵a= -1＜0，∴二次函数224y x x =-++有最大值，且最大值为5；故答案为：5.【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，熟练运用配方法确定二次函数的最值是解题的关键. 19．①②④【分析】由表格中数据x=0时y=6x=1时y=6；可判断抛物线的对称轴是x=05根据函数值的变化判断抛物线开口向下再由抛物线的性质逐一判断【详解】解：由表格中数据可知x=0时y=6x=1时y=解析：①②④．【分析】由表格中数据x=0时，y=6，x=1时，y=6；可判断抛物线的对称轴是x=0.5，根据函数值的变化，判断抛物线开口向下，再由抛物线的性质，逐一判断．【详解】解：由表格中数据可知，x=0时，y=6，x=1时，y=6，①抛物线与y轴的交点为（0，6），正确；②抛物线的对称轴是x=0.5，对称轴在y轴的右侧，正确；③由表中数据可知在对称轴左侧，y随x增大而增大，错误．④根据对称性可知，抛物线的对称轴是x=0.5，点（-2，0）的对称点为（3，0），即抛物线一定经过点（3，0），正确；正确的有①②④．故答案为①②④．【点睛】主要考查了二次函数的性质．要熟练掌握函数的特殊值对应的特殊点．解题关键是根据表格中数据找到对称性以及数据的特点求出对称轴，图象与x，y轴的交点坐标等．20．y2＜y1＜y3【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上对称轴是直线x=根据x＞时y随x的增大而增大即可得出答案【详解】解：∵y=x2﹣3x∴图象的开口向上对称轴是直线x=∵A（0y1）B（1解析：y2＜y1＜y3【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x=32，根据x＞32时，y随x的增大而增大，即可得出答案．【详解】解：∵y=x2﹣3x，∴图象的开口向上，对称轴是直线x=32．∵A（0，y1），B（1，y2），C（4，y3）是抛物线y=x2﹣3x上的三点，且0＜1＜32＜4，∴y2＜y1＜y3．故答案为：y2＜y1＜y3．【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．三、解答题21．证明见详解．【分析】令y=0，构造一元二次方程239=0x kx k -+-，由1,,39a b k c k ==-=-，判别式()22123660k k k ∆=-+=-≥即可．【详解】解：令y=0，239=0x kx k -+-，∵1,,39a b k c k ==-=-， ()()()222=4139123660k k k k k ∴∆--⨯⨯-=-+=-≥，∴二次函数的图象与x 轴都有交点．【点睛】本题考查二次函数与x 轴的交点问题，掌握二次函数与x 轴交点问题转化为y=0时，一元二次方程有实根问题，理解二次函数和一元二次方程之间的关系式解此题的关键，此题是一个比较典型的题目．22．（1）y ＝﹣（x ﹣3）2＋4；（2）5米【分析】（1）建立平面直角坐标系，列出顶点式，代入点A 的坐标，求得a 的值，则可求得抛物线的解析式；（2）令y =0，得关于x 的方程，求得方程的解并根据题意作出取舍即可．【详解】解：（1）如图所示，建立平面直角坐标系，由题意可得抛物线的顶点坐标为（3，4），点A 坐标为（2，3），设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣3）2＋4，将点A 坐标（2，3）代入得：3＝a （2﹣3）2＋4，解得：a ＝﹣1，∴这条抛物线的解析式为y ＝﹣（x ﹣3）2＋4；（2）∵y ＝﹣（x ﹣3）2＋4，∴令y ＝0得：0＝﹣（x ﹣3）2＋4，解得：x 1＝1，x 2＝5，∵起跳点A 坐标为（2，3），∴x 1＝1，不符合题意，∴x ＝5，∴运动员落水点与点C 的距离为5米．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键．23．（1）(18)x -，2(18)x π-；（2）2=236(018)S x x x ππ-+<<；（3）9x =；（4）(9+，(9-【分析】（1）根据矩形的性质，圆的周长公式求解即可．（2）根据圆柱的侧面积公式求解即可．（3）利用二次函数的性质求解即可．（4）构建方程求解即可．【详解】解：（1）BC=12（36-2x ）=（18-x ）cm ， 旋转形成的圆柱的底面圆的周长为2π（18-x ）cm ．故答案为：(18)x -，2(18)x π-；（2）22(18)236(018)S x x x x x πππ=-⋅=-+<<（3）222362(9)162S x x x ππππ=-+=--+∵-2π＜0，∴当9x =时，矩形旋转形成的圆柱的侧面积最大：（4）由题意：-2πx 2+36πx=18π，∴x 2-18x+9=0，解得或（舍弃），∴矩形的长是（）cm ，宽是（）cm ．故答案为：(9+，(9-．【点睛】本题考查圆柱的计算，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．24．（1）212y x x =--；（2）当1m =-时，图像1y 与2y 有一个交点；当1m ≠-时，图像1y 与2y 有两个交点，理由：见详解；（3）01a <<或10a << 【分析】（1）将()1,2-代入1y ，解关于m 的方程即可求解；（2）将点()1,1m +代入2y 求出a ，由解析式1y 和2y 联立方程组消去y 得到关于x 的一元二次方程，根据一元二次方程根的情况判断1y 与2y 交点的个数即可；（3）将1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭代入1y 求出m 的值，把m 的值代入1y 与2y ，结合图像，根据对任意x ，都有12y y >即可求解．【详解】解：（1）将()1,2-代入1y ，得()()2111m m -=+--，解得，122,1m m =-= ，()()121y x x ∴=-+，即 212y x x =--；（2）当1m =-时，图像1y 与2y 有一个交点；当1m ≠-时，图像1y 与2y 有两个交点． 理由如下：2y 经过点()1,1m +，1m a m ∴+=+，1a ，()()121,y x m x m y x m =+--=+∴联立方程组()()1y x m x m y x m ⎧=+--⎨=+⎩，消去y ，得()2202x x m m -+=- ()()222242484410m m m m m =++=++=+≥△∴方程()2202x x m m -+=-有实数根据，当1m =-时，0=， 方程()2202x x m m -+=-有两个相等的实数根，1y 与2y 有一个交点；当1m ≠-时，0>，方程()2202x x m m -+=-有两个不相等的实数根，1y 与2y 有两个交点；综上所术，当1m =-时，图像1y 与2y 有一个交点；当1m ≠-时，图像1y 与2y 有两个交点；（3）1y 经过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴ 110122m m =+--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 解得，12m =-， 2121,122y x y ax ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴=-=-联立方程组2 121212y xy ax⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=-⎪⎩，消去y得，()2314x a x++=-，若方程有两个相等的实数根，图像1y与2y有一个交点，则()231404a=+-⨯=△，解，得31a=±-，如图所示，对任意x，都有12y y>，031a∴<<或310a<<，【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数与一次函数图像的交点与一元二次方程根的判别式的关系及利用图像求不等式的解集，关键在于正确理解二次函数与一次函数图像的交点与一元二次方程的关系以及数形结合的思想．25．（1）()1,0-或()3,0；（2）6；（3）点P的坐标为()17,3、()17,3、()0,3-、()2,3-．【分析】（1）令y=0，转化为一元二次方程，方程的根就是与x轴交点的横坐标；（2）求出AB的长度，OC的长度，按公式计算即可；（3）利用面积公式，抛物线的解析式转化成一元二次方程求解即可．【详解】解：（1）当0y=时，2230x x--=，解得11x=-，23x=，∴抛物线与x 轴的交点坐标为()1,0-或()3,0，故答案为：()1,0-或()3,0．（2）由（1）点()1,0A -，()3,0B ，()0,3C-， ∴()314AB =--=，3OC =， ∴14362ABC S =⨯⨯=△． （3）∵点()1,0A -，点()3,0B ，()222314y x x x =--=--，∴此抛物线有最小值，此时4y =-，()314AB =--=，∵6PAB S =△，抛物线上有一个动点P ，∴点P 的纵坐标的绝对值为6234⨯=， ∴2233x x --=或2233x x --=-， 解得，117x =，217x =，30x =，42x =，∴点P 的坐标为()17,3、()17,3-、()0,3-、()2,3-．【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，抛物线上的内接三角形的面积，动点问题，熟练掌握性质，并能灵活运用是解题的关键．26．（1）245y x x =-++；（2）265,39E ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】（1）根据抛物线的对称性，可得22b a -=，把()1,0A -代入函数解析式，进而即可得到答案；（2）设点()2,45F m m m -++，则4HD m =-，24EF m =-，结合4EF HD =，列出方程，即可得到答案．【详解】（1）∵4CD =，由对称性得：抛物线对称轴为：直线22b x a=-=， 把()1,0A -代入得，50a b -+=， 解得：14a b =-⎧⎨=⎩， ∴二次函数的表达式为：245y x x =-++；（2）设点()2,45F m m m -++，则4HD m =-， 由二次函数图象的对称性可得：()2224EF m m =-=-，∵4EF HD =，∴()2444m m -=-，解得103m =， ∴8243EF m =-=， ∴42233E x =-=．把23E x =代入，得2226545339E y ⎛⎫=-+⨯+= ⎪⎝⎭． ∴265,39E ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握待定系数法，二次函数图像的对称性以及函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．。

人教版初三数学二次函数单元测试题及答案1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)()A。

y = 2x + 1B。

y = x^3C。

y = -x^2 + 2x - 3D。

y = 3x - 42.函数y = x^2 - 2x + 3的图像的顶点坐标是()A。

(1,-4)B。

(-1,2)C。

(1,2)D。

(0,3)3.抛物线y = 2(x - 3)^2的顶点在()A。

第一象限B。

第二象限C。

x轴上D。

y轴上4.抛物线的对称轴是()A。

x = -2B。

x = 2C。

x = -4D。

x = 45.已知二次函数y = ax^2 + bx + c的图像如图所示，则下列结论中，正确的是()A。

ab。

0，c。

0B。

ab。

0，c < 0C。

ab。

0D。

ab < 0，c < 06.二次函数y = ax^2 + bx + c的图像如图所示，则点在第___象限()A。

一B。

二C。

三D。

四7.如图所示，已知二次函数y = ax^2 + bx + c(a ≠ 0)的图像的顶点P的横坐标是4，图像交x轴于点A(m,0)和点B，且m。

4，那么AB的长是()A。

4 + mB。

mC。

2m - 8D。

8 - 2m8.若一次函数y = ax + b的图像经过第二、三、四象限，则二次函数y = ax^2 + bx的图像只可能是()无法确定9.已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图像如图所示，抛物线的对称轴为直线x = -1，P1(x1,y1)，P2(x2,y2)是抛物线上的点，P3(x3,y3)是直线上的点，且-1 < x1 < x2，x3 < -1，则y1，y2，y3的大小关系是()A。

y1 < y2 < y3B。

y2 < y3 < y1C。

y3 < y1 < y2D。

y2 < y1 < y310.把抛物线y = x^2 - 2x + 3的图像向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线的函数关系式是()A。

九年级数学二次函数单元测试题及答案二次函数单元测评一、选择题(每题3分，共30分)1.下列关系式中，属于二次函数的是()A。

y=2x+1B。

y=3x-2C。

y=x2-4x+3D。

y=1/x2.函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是()A。

(1，-4)B。

(-1，2)C。

(1，2)D。

(0，3)3.抛物线y=2(x-3)2的顶点在()A。

第一象限B。

第二象限C。

x轴上D。

y轴上4.抛物线的对称轴是()A。

x=-2B。

x=2C。

x=-4D。

x=45.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是()A。

ab>0，c>0B。

ab>0，c<0C。

ab0D。

ab<0，c<06.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第二象限()7.如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是()A。

4+mB。

mC。

2m-8D。

8-2m8.若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是()无法确定9.已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上的点，P3(x3，y3)是直线上的点，且-1<x1<x2，x3<-1，则y1，y2，y3的大小关系是()B。

y2<y3<y110.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是()C。

y=(x+2)2+3二、填空题(每题4分，共32分)11.二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是x=1.12.若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式，则y=(x-1)2+2.13.若抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为4.选B.3.考点：二次函数解析式的确定.选C.4.考点：二次函数图象的性质.选D.5.考点：二次函数解析式的确定.选B.6.考点：二次函数图象的性质.选A.7.考点：二次函数图象的性质.选C.8.考点：二次函数图象的性质.选B.9.考点：二次函数图象的性质.选D.10.考点：二次函数图象的性质.选C.二、填空题14.抛物线经过点A(-1,0)和B(3,0)，解析式为y=x^2+1.15.解析式为y=-3x^2+18x-9.16.最高点距地面20m.17.解析式为y=-(x-2)^2+3.18.点为(-1,b^2).三、解答题19.(1)对称轴方程为x=0，点A关于对称轴对称的点A'为A'(0,4)，点B(4,0)关于对称轴对称的点B'为B'(-4,0).2)解析式为y=-x^2-4.20.(1)解得x1=-1,x2=-7，代入二次函数解析式得y=x^2-3x+2.2)平移后的顶点为P(2,-2)，交点为C(4,0)，△POC的面积为4.21.(1)解析式为y=-x^2+6x+5.2)△MCB的面积为12.22.设单价为x元，销售量为y件，根据题意得到方程组：x=2.5+(13.5-x)/200x=2.5+((13.5-x-1)*700)/200解得x=11.5，销售量为900件，获利为(11.5-2.5)*900=8100元，故销售单价为11.5元时可以获利最大。

九年级数学：《二次函数》单元测试卷（含答案）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1 •在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（）A. y=x2B. y= °C. y=kx2D. y=k2xx2.尸吸石加是二次函数，贝U m的值为（）A. 0,- 2B. 0，2C. 0D.- 23.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx+c的图象可x …—5 —4 —3 —2 —1 …y …—7.5 —2.5 0.5 1.5 0.5 …根据表格提供的信息，下列说法错误的是（）A.该抛物线的对称轴是直线x= —2B.该抛物线与y轴的交点坐标为（0，- 2.5 ）C.b2—4ac=0D.若点A （0，5，y1）是该抛物线上一点.则y1< —2.55.关于抛物线y=x2-2x+1，下列说法错误的是（）A.开口向上B.与x轴有两个重合的交点C.对称轴是直线x=1D.当x > 1时，y随x的增大而减小6 .已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示，若y<0,则x的取值范围是（）A.— 1v xv 4B.— 1v xv 3C. xv — 1 或x >4D. xv— 1 或x >37.二次函数y=x2- 2x—2与坐标轴的交点个数是( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个8.已知关于x的方程ax+b=O(a^0)的解为x= —2,点(1,3)是抛物线y=ax2+bx+c(a^ 0) 上的一个点，贝U下列四个点中一定在该抛物线上的是( )A.( 2, 3)B.( 0, 3)C. (—1, 3)D. (—3, 3)9.二次函数y - x2+2x+4的最大值为( )A. 3B. 4C. 5D. 610.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc> 0;②a +b+c=2;③av丄；④b> 1.其中正确的结论是( )A.①②B•②③ C.③④ D.②④二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分)11.已知函数…［「-」：厂、是关于x的二次函数，贝U m的值为 -1 .12.如图是二次函数y1=ax2+bx+c (a^ 0)和一次函数y?二mx+n( m^ 0)的图象，当y2 >y1, x的取值范围是—2v xv 1 .13.若二次函数的图象开口向下，且经过(2,- 3)点.符合条件的一个二次函数的解析式为y二-x2- 2x+5 .14.已知点P (m n)在抛物线y=ax2- x - a上，当m>- 1时，总有nW 1成立, 则a的取值范围是-£w av0 .15.二次函数y=ax2(a>0)的图象经过点(1, yj、( 2, y2),贝U y v 屮(填“>”或“<”).16.二次函数y=x2+2x+2的最小值为1 .三、解答题(共8题，共72分)17.已知抛物线经过点(2, 3),且顶点坐标为(1, 1),求这条抛物线的解析式.18.已知函数y=u+v,其中u与x的平方成正比，v是x的一次函数，(1)根据表格中的数据，确定v的函数式；(2)如果x=- 1时，函数y取最小值，求y关于x的函数式；19.如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A (- 1, 0)、B (3, 0)两点.(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)当0v xv 3时，求y的取值范围；(3)点P为抛物线上一点，若S A PA=10，求出此时点P的坐标.20.如图，抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A,经过点A的直线交该抛物线于点B,交y轴于点C,且点C是线段AB的中点.(1)求这条抛物线对应的函数解析式；(2)求直线AB对应的函数解析式.刀1yL r21.如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD设AB边长为x米，则菜园的面积y (单位：米2)与x (单位：米)的函数关系式为多少？22.某商店原来平均每天可销售某种水果200千克，每千克可盈利6元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可所多售出20千克.(1)设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式；(2)若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元？23.如图，顶点为M的抛物线y=a (x+1) 2-4分别与x轴相交于点A，B (点A在点B 的右侧)，与y轴相交于点C (0，- 3).(1)求抛物线的函数表达式；(2)判断△ BCM是否为直角三角形，并说明理由.24.如图1,在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+1经过点A (4,- 3),顶②当P 点在抛物线上运动时，猜想 PO 与PH 有什么数量关系，并证明你的猜想; (3)如图2,设点C( 1,- 2),问是否存在点P ,使得以P, O, H 为顶点的三角 形与△ABC 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.k$i ------------- / \r|mirv /点为点B ，点P 为抛物线上的一个动点, 过P 作PHL I ，垂足为H,连接PO(1) 求抛物线的解析式，并写出其顶点 (2) ①当P 点运动到A 点处时，计算:PH (填或“=”)；I 是过点(0, 2)且垂直于y 轴的直线，B 的坐标； PO= 5 , PH= 5 ，由此发现，PO =参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1 •在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（）A. y=x2B. y= °C. y=kx2D. y=k2x【考点】二次函数的定义.【分析】根据二次函数的定义形如y=ax2+bx+c （a^ 0）是二次函数.【解答】解：A、是二次函数，故A符合题意；B是分式方程，故B错误；C k=0时，不是函数，故C错误；D k=0是常数函数，故D错误；故选：A.【点评】本题考查二次函数的定义，形如y=ax2+bx+c （a^ 0）是二次函数.2.尸即右“是二次函数，贝U m的值为（）A. 0，- 2B. 0，2C. 0D.- 2【考点】二次函数的定义.【分析】根据二次函数的定义知道其系数不为零且指数为2,从而求得m的值. 【解答】解：•••尸叶是二次函数，.■■-■.丁「-〉.二.…〔尸亠1解得：m=- 2，故选D.【点评】本题考查了二次函数的定义，特别是遇到二次函数的解析式中二次项含有字母系数时，要注意字母系数的取值不能使得二次项系数为0.3.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx+c的图象可能为（）【分析】本题可先由二次函数y=ax2+bx+c图象得到字母系数的正负，再与一次函数y=ax+b的图象相比较看是否一致.【解答】解：A、由抛物线可知，av0, x=-圭v0,得bv0,由直线可知，av0, bv 0,故本选项正确；B由抛物线可知，a> 0,由直线可知，av 0,故本选项错误；C由抛物线可知，a>0, x=-备〉0,得bv0,由直线可知，a>0, b>0,故本选项错误；D由抛物线可知，a> 0,由直线可知，av 0,故本选项错误.故选：A.【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法.4.某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出下面的表格:x …-5 - 4 - 3 - 2 - 1y …-7.5 - 2.5 0.5 1.5 0.5根据表格提供的信息，下列说法错误的是（）A.该抛物线的对称轴是直线x=- 2B.该抛物线与y轴的交点坐标为（0,- 2.5 ）C.b2- 4ac=0D.若点A （0, 5, y i）是该抛物线上一点.则y i v- 2.5【考点】二次函数的图象.【分析】根据表格提供的信息以及抛物线的性质一一判断即可.【解答】解：A、正确•因为x=- 1或-3时，y的值都是0.5，所以对称轴是 -x= 2.B正确•根据对称性，x=0时的值和x=- 4的值相等.C错误.因为抛物线与x轴有交点，所以b2- 4ac>0.D正确.因为在对称轴的右侧y随x增大而减小.故选C.【点评】本题考查二次函数的图象以及性质，需要灵活应用二次函数的性质解决问题，读懂信息是解题的关键，属于中考常考题型.5.关于抛物线y=x2-2x+1，下列说法错误的是( )A.开口向上B.与x轴有两个重合的交点C.对称轴是直线x=1D.当x > 1时，y随x的增大而减小【考点】二次函数的性质；二次函数的图象.【分析】根据抛物线的解析式画出抛物线的图象，根据二次函数的性质结合二次函数的图象，逐项分析四个选项，即可得出结论.【解答】解：画出抛物线y=x2- 2x+1的图象，如图所示.A、・a=1，•••抛物线开口向上，A正确；B'••令x2- 2x+1=0,A = (- 2) 2-4X 1 X 仁0,•••该抛物线与x轴有两个重合的交点，B正确；c b [-2LC•—鮎=^^r=1，•••该抛物线对称轴是直线x=1, C正确；D：抛物线开口向上，且抛物线的对称轴为x=1,•••当x> 1时，y随x的增大而增大，D不正确.故选D.【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，解题的关键是结合二次函数的性质及其图象分析四个选项.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数的解析式画出函数图象，利用数形结合来解决问题是关键.6.已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示，若y v0,则x的取值范围是（）A.— 1 vxv 4B.— 1 vxv 3C. xv- 1 或x >4D. xv- 1 或x >3【考点】抛物线与x轴的交点.【专题】计算题.【分析】根据抛物线与x轴的交点坐标及对称轴求出它与x轴的另一交点坐标，求当yv 0, x的取值范围就是求函数图象位于x轴的下方的图象相对应的自变量x 的取值范围.【解答】解：由图象知，抛物线与x轴交于（-1，0），对称轴为x=1，•••抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0），••• y v0时，函数的图象位于x轴的下方，且当-1vxv 3时函数图象位于x轴的下方，•当-1 vxv 3 时，y v0.故选B.【点评】本题考查了二次函数的图象的性质及学生的识图能力，是一道不错的考查二次函数图象的题目.7.二次函数y=x2- 2x- 2与坐标轴的交点个数是( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【考点】抛物线与x轴的交点.【分析】先计算根的判别式的值，然后根据b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数进行判断.【解答】解：•••△ = (- 2) 2 - 4X1X( - 2) =12> 0,•••二次函数y=x2- 2x - 2与x轴有2个交点，与y轴有一个交点.•••二次函数y=x2-2x - 2与坐标轴的交点个数是3个.故选D.【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c (a, b, c是常数，a^0)与x轴的交点坐标，令y=0,即ax2+bx+c=0,解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标.二次函数y=ax2+bx+c (a, b, c是常数，a^ 0)的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系：△二b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数；△ =b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△二b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△二b2- 4acv 0时，抛物线与x轴没有交点.8.已知关于x的方程ax+b=0(a^0)的解为x=- 2,点(1,3)是抛物线y=ax2+bx+c(a^ 0) 上的一个点，贝U下列四个点中一定在该抛物线上的是( )A.( 2, 3)B.( 0, 3)C. (- 1, 3)D. (- 3, 3)【考点】二次函数图象上点的坐标特征.【分析】根据一次方程ax+b=0 (a^ 0)的解为x=- 2得出b=2a,由此即可得出抛物线y=ax2+bx+c (a^0)的对称轴为x=- 1,找出点(1, 3)关于对称轴对称的点，即可得出结论.【解答】解：•••关于x的方程ax+b=0 (aM0)的解为x=- 2,•有-2a+b=0,即b=2a.2 b I•••抛物线y=ax +bx+c (aM0)的对称轴x=-石=-1.•••点(1, 3)是抛物线上的一点，•••点(-3, 3)是抛物线上的一点.故选D.【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出抛物线的对称轴为x=- 1.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出抛物线的对称轴，找出已知点关于对称轴对称的点即可.9.二次函数y= - X2+2X+4的最大值为( )A. 3B. 4C. 5D. 6【考点】二次函数的最值.【专题】计算题.【分析】先利用配方法得到y=- (x - 1)2+5,然后根据二次函数的最值问题求解. 【解答】解：y=-(x- 1) 2+5，•/ a=- 1v 0，•••当x=1时，y有最大值，最大值为5.故选：C.【点评】本题考查了二次函数的最值：当a> 0时，抛物线在对称轴左侧，y随x 的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=-上时，y=「；当av 0时，抛物线在对称轴左侧，y4a随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所b 4冋〜'以函数有最大值，当x=-石时，y ----- ---- ;确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值.10.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc> 0;②a+b+c=2;③av丄；④b> 1.其中正确的结论是( )A.①②B.②③C.③④D.②④【考点】二次函数图象与系数的关系.【专题】压轴题.【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结 论进行判断.【解答】解：①•••抛物线的开口向上，••• a > 0,•••与y 轴的交点为在y 轴的负半轴上，••• cv0，•••对称轴为x 二 一- v0，A a 、b 同号，即b >0， ••• abcv 0,故本选项错误;②当x=1时，函数值为2, • a+b+c=2；故本选项正确;故本选项错误;④当x=- 1时，函数值v 0, 即 a- b+cv0,( 1)又 a+b+c=2,将 a+c=2 - b 代入(1),2- 2bv0,••• b >1③•••对称轴x= >-1,•••故本选项正确；综上所述，其中正确的结论是②④；故选D.【点评】二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：(1)a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，贝U a>0;否则av0.(2)b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=，丄-判断符号.(3)c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c>0;否则cv0.(4)b2- 4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2- 4ac>0; 1 个交点，b2- 4ac=0;没有交点，b2- 4acv0.(5)当x=1时，可确定a+b+c的符号，当x=- 1时，可确定a- b+c的符号.(6)由对称轴公式x= •丄-，可确定2a+b的符号.二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分)11 .已知函数n」!-是关于x的二次函数，贝U m的值为 -1【考点】二次函数的定义.【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可.【解答】解：根据题意得：旷1护0'解得：m=- 1.故答案是：-1.【点评】本题考查二次函数的定义，注意到m- 1工0是关键.12.如图是二次函数y i=ax2+bx+c （a^ 0）和一次函数y?=mx+n（ m^ 0）的图象，当y2>y i, x的取值范围是—2vxv 1 .【考点】二次函数的图象；一次函数的图象.【分析】关键是从图象上找出两函数图象交点坐标，再根据两函数图象的上下位置关系，判断y2>y i时，x的取值范围.【解答】解：从图象上看出，两个交点坐标分别为（- 2, 0），（1, 3），二当有y2>y i 时，有-2vxv 1，故答案为：-2v xv 1.【点评】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力.解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势.13.若二次函数的图象开口向下，且经过（2，- 3）点.符合条件的一个二次函数的解析式为y二-x2- 2x+5 .【考点】二次函数的性质.【专题】开放型.【分析】由于二次函数的图象开口向下，所以二次项系数是负数，而图象还经过（2，- 3）点，由此即可确定这样的函数解析式不唯一.【解答】解：•••若二次函数的图象开口向下，且经过（2，- 3）点，••• y=- x2- 2x+5 符合要求.答案不唯一.例如：y=- x2- 2x+5.【点评】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键根据图象的性质确定解析式的各项系数.14.已知点P （m n）在抛物线y=ax2- x - a上，当m>- 1时，总有nW 1成立, 则a 的取值范围是-护av0 .【考点】二次函数图象上点的坐标特征.【分析】依照题意画出图形，结合函数图形以及已知条件可得出关于a的一元一次不等式组，解不等式组即可得出a的取值范围.【解答】解：根据已知条件，画出函数图象，如图所示.故答案为：-av0.【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是画出函数图象，依照数形结合得出关于a的不等式组.本题属于基础题, 难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数的性质画出函数图象，利用数形结合解决问题是关键.15.二次函数y=ax2（a>0）的图象经过点（1，yj、（2，y?），则y v y?（填“>”或“<”）.【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质.【分析】根据a>0，结合二次函数的性质即可得出“当x>0时，二次函数y值随着x 值的增大而增大”，再由0v 1v2即可得出结论.【解答】解：：a>0，且二次函数的对称轴为x=0，•••当x> 0时，二次函数y值随着x值的增大而增大，•/ 0< 1V 2,•-y i< y2.故答案为：<•【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是找出当x>0时，函数为增函数.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数的系数结合二次函数的性质找出其单调区间是关键.16.二次函数y=x2+2x+2的最小值为1 .【考点】二次函数的最值.【分析】把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后写出最小值即可.【解答】解：配方得：y=x2+2x+2=y=x2+2x+12+仁（x+1）2+1，当x= - 1时，二次函数y=x2+2x+2取得最小值为1.故答案是：1.【点评】本题考查了二次函数的最值.求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法.三、解答题（共8题，共72分）17.已知抛物线经过点（2，3），且顶点坐标为（1，1），求这条抛物线的解析式. 【考点】待定系数法求二次函数解析式.【分析】由于已知抛物线的顶点坐标，贝U可设顶点式y=a （x+1）2+2,然后把（0，4）代入求出a的值即可.【解答】解：•••顶点坐标为（1，1），设抛物线为y=a （x - 1）2+1，•••抛物线经过点（2, 3），•3=a （2- 1）2+1，解得：a=2.2 2•y=2 （x - 1）+1=2x - 4x+3.【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解•一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解.18.已知函数y=u+v，其中u与x的平方成正比，v是x的一次函数,(1)根据表格中的数据，确定V的函数式；(2)如果x=- 1时，函数y取最小值，求y关于x的函数式；(3)在(2)的条件下，写出y的最小值.X01V-11【考点】二次函数的最值；待定系数法求一次函数解析式.【专题】计算题.【分析】(1) V是x的一次函数，可设v=kx+b，然后把表中两组数据代入得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b即可；(2)由于u与x的平方成正比，则设u=ax2，所以y=ax2+2x- 1，根据二次函数的I 2最值问题得到-右=-1,解得a=1，由此得到y关于x的函数式；(3)把x=- 1代入y关于x的函数式中计算出对应的函数值即可.Cb- _1【解答】解：(1)设v=kx+b，把 (0，- 1)、(1, 1)代入得—••• v=2x- 1 ；(2)设u=ax2，则y=ax2+2x- 1，•••当x=- 1 时，y=ax2+2x - 1 取最小值，7 9 一•••抛物线的对称轴为直线x=- 1,即一亠二一1 ,--a=1,•y=x2+2x - 1,(3)把x= - 1 代入y=x2+2x- 1 得y=1 - 2- 1 = - 2,即y的最小值为-2.【点评】本题考查了二次函数 y=ax 2+bx+c (a ^ 0)的最值：当a >0时，抛物线在 对称轴左侧，y 随x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大，因为图 象有最低点，所以函数有最小值，当 x=」¥~时，y 一—；当av 0时，抛物阴 q 呂线在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随x 的增大而减少，因 为图象有最高点，所以函数有最大值，当 x= 时，y=5 ' ■.19•如图，已知抛物线y=x 2+bx+c 经过A (- 1, 0)、B (3, 0)两点.(1) 求抛物线的解析式和顶点坐标；(2) 当0v xv 3时，求y 的取值范围；(3) 点P 为抛物线上一点，若S A PAB =10，求出此时点P 的坐标.【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质.【分析】(1)由点A 、B 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利 用配方法即可求出抛物线顶点坐标；(2) 结合函数图象以及 A B 点的坐标即可得出结论；(3) 设P (x ，y )，根据三角形的面积公式以及 S APAB =10,即可算出y 的值，代入 抛物线解析式即可得出点P 的坐标.【解答】解：(1)把A (- 1，0)、B (3, 0)分别代入y=x 2+bx+c 中，•••抛物线的解析式为y=x 2- 2x - 3.■/ y=x 2- 2x - 3= (x - 1) 2- 4,•顶点坐标为(1,- 4).(2)由图可得当0vxv3时，-4Wyv 0.得: \9+3b+c=0 ，解得:（3）v A （- 1, 0）、B （3, 0）,••• AB=4设P （x, y），则S A PAB=--AB?|y|=2|y|=10 ,•|y|=5 ,•y=± 5.①当y=5 时，x2- 2x- 3=5,解得：x i=- 2, X2=4,此时P点坐标为（-2, 5）或（4, 5）;②当y=-5时，x2- 2x - 3=- 5,方程无解；综上所述，P点坐标为（-2, 5）或（4, 5）.【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据函数图象解不等式；（3）找出关于y的方程.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键.20.如图，抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A,经过点A的直线交该抛物线于点B,交y轴于点C,且点C是线段AB的中点.（1）求这条抛物线对应的函数解析式；（2）求直线AB对应的函数解析式.【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式.【专题】计算题.【分析】（1）利用△ =b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点得到4a2-4a=0, 然后解关于a的方程求出a,即可得到抛物线解析式；（2）利用点C是线段AB的中点可判断点A与点B的横坐标互为相反数，则可以利用抛物线解析式确定B点坐标，然后利用待定系数法求直线AB的解析式.【解答】解：（1）：抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A,•••△ =4a2- 4a=0,解得a i=0 （舍去），比=1,•••抛物线解析式为y=x2+2x+1;（2）v y= （x+1）2,•顶点A的坐标为（-1, 0）,•••点C是线段AB的中点，即点A与点B关于C点对称，•B点的横坐标为1,当x=1 时，y=x2+2x+ 仁1+2+仁4 贝U B (1, 4),设直线AB的解析式为y=kx+b,把A (- 1, 0), B (1, 4)代入得解得丿•直线AB的解析式为y=2x+2.【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax2+bx+c （a, b, c是常数，a^ 0）,A =b2- 4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△ =b2- 4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△ =b2- 4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△ =b2-4ac v0时，抛物线与x轴没有交点.也考查了利用待定系数法求函数解析式.21.如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD设AB边长为x米，则菜园的面积y （单位：米2）与x （单位：米）的函数关系式为多少？【考点】根据实际问题列二次函数关系式.【分析】由AB边长为x米根据已知可以推出BC=「（30 - x）,然后根据矩形的面积公式即可求出函数关系式.【解答】解：：AB边长为x米，而菜园ABCD1矩形菜园，二BC=- （30 - x）,菜园的面积=ABX BC丄（30- x）?x,则菜园的面积y （单位：米2）与x （单位：米）的函数关系式为：y二-丄X2+15X. 【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，禾用矩形的周长公式用x 表示BC,然后利用矩形的面积公式即可解决问题，本题的难点在于得到BC长.22.某商店原来平均每天可销售某种水果200千克，每千克可盈利6元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可所多售出20千克.（1）设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式；（2）若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元？【考点】二次函数的应用.【分析】（1）根据“每天利润=每天销售质量X每千克的利润”即可得出y关于x 的函数关系式；（2）将y=960代入（1）中函数关系式中，得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论.【解答】解：（1）根据题意得：y= （200+20x）X（ 6 -x） =- 20x2- 80x+1200.（2）令y二-20x2- 80X+1200 中y=960，则有960=- 20x2- 80x+1200,即X2+4X- 12=0,解得：x=- 6 （舍去），或x=2.答：若要平均每天盈利960元，则每千克应降价2元.【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系找出函数关系式；（2）将y=960代入函数关系式得出关于x的一元二次方程.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时结合数量关系找出函数关系式是关键.23.如图，顶点为M的抛物线y=a （x+1）2-4分别与x轴相交于点A，B （点A在点B的右侧），与y轴相交于点C （0，- 3）.（1）求抛物线的函数表达式；(2)判断△ BCM是否为直角三角形，并说明理由.【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式.【分析】(1)将点C坐标代入解析式求得a即可；(2)先根据抛物线解析式求得点M B、C的坐标，继而可得线段BC CM BM的长，根据勾股定理的逆定理即可判断.【解答】解：(1)v抛物线y=a (X+1) 2-4与y轴相交于点C (0,- 3).•••- 3=a- 4,--a=1,•••抛物线解析式为y= (x+1) 2- 4=X2+2X- 3,(2)A BCM是直角三角形•••由(1)知抛物线解析式为y= (x+1) 2-4,•- M(- 1,- 4),令y=0,得：x2+2x - 3=0,•X1= —3, X2=1,•A (1, 0), B (- 3, 0),•BC=9+9=18, CM=1+ 仁2, BM=4+14=20,•B C+C M=B M,•△ BCM是直角三角形.【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式及勾股定理逆定理，根据题意求得抛物线解析式是解题的根本，掌握勾股定理逆定理是解题的关键.24.如图1,在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+1经过点A (4,- 3),顶点为点B,点P为抛物线上的一个动点，I是过点(0, 2)且垂直于y轴的直线，过P作PHL I，垂足为H,连接PO(1)求抛物线的解析式，并写出其顶点B的坐标；(2)①当P点运动到A点处时，计算：PO= 5 , PH= 5 ，由此发现，PO = PH (填或“=”)；②当P点在抛物线上运动时，猜想P0与PH有什么数量关系，并证明你的猜想；(3)如图2,设点C( 1，- 2),问是否存在点P,使得以P, O, H为顶点的三角形与△ ABC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.副国2【考点】二次函数综合题.【分析】(1)禾U用待定系数法即可解决问题.(2)①求出PO PH即可解决问题. (2)②结论：PO=PH设点P坐标(m -二m2+1)，利用两点之间距离公式求出PH P0即可解决问题.(3)首先判断PH与BC P0与AC是对应边，设点P (m -寺m2+1)，由半=- 列出方程即可解决问题.【解答】(1)解：•••抛物线y=ax2+1经过点A (4,- 3),•'•- 3=16a+1,•••抛物线解析式为y=-^x2+1，顶点B (0,1).(2)①当P点运动到A点处时PO=5 PH=5•PO=PH故答案分别为5, 5,=.②结论：PO=PH1 2理由：设点P坐标(m - v m+1),••• PH=2-(-+ rm+1)斗m+1PO 新+(-寺石1严今卅+1,••• PO=PH(3)v BC =：「-卜:, AC= i - '=J ' JJ , AB= L =4. ■■: ••• BC=AC ••• PO=PH又•••以P , O, H 为顶点的三角形与△ ABC 相似,••• PH 与BC, PO 与AC 是对应边,解得m=± 1,P 11- *P) rrv 7h【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、相似三角形的判定和性质等知 识，解题的关键是记住两点之间的距离公式，学会转化的思想，用方程去解决问 题，属于中考压轴题. ••宀弋，设点 丄亦+1）,。

人教版九下数学《二次函数》经典练习题（带答案）1.(课本P15第1题变型)(1)说出抛物线y=3(x+3)2-4的开口方向、对称轴及顶点坐标.(2)说出抛物线y=3(x-3)2+4的开口方向、对称轴及顶点坐标.(3)说出抛物线y=3(x-3)x-4的开口方向、对称轴及顶点坐标.2.已知一个二次函数的图象过点(0,1),它的顶点坐标是(8,9), 求这个二次函数的关系式.3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的两个交点的横坐标为x1=1,x2=2.当x=3时,y=4,求这个函数的关系式,并写出它的对称轴和顶点坐标.(1)一变:已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴两交点间的距离为1, 对称轴为x= ,且当x=3时,y=4.求这个函数的关系式,并写出图象的顶点坐标和最值.答案1.解:(1)抛物线y=3(x+3)2-4开口向上,对称轴是直线x=-3,顶点坐标为(-3,-4).(2)抛物线y=3(x-3)2+4开口向上,对称轴是直线x=3,顶点坐标为(3,4).(3)抛物线y=3(x-3)2-4开口向上,对称轴是直线x=3,顶点坐标为(3,-4).2.解法一:∵顶点坐标为(8,9),∴设所求二次函数关系式为y=a(x-8)2+ 9.把(0,1)代入上式,得 a(0-8)2+9=1,∴a=-18.∴y=-18(x-8)2+9,即y=-18x 2+2x+1.解法二:设所求二次函数关系式为y=ax 2+bx+c. 由题意,得2182494c b a ac b a⎧⎪=⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩, 解得1821a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩∴所求二次函数关系式为y=18-x 2+2x+1.3.解:∵两个交点横坐标为x 1=1,x 2=2,∴这两个交点坐标为(1,0),(2,0).把(1,0),(2,0),(3,4)分别代入y=ax 2+bx+c, 得0420934a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩,解得264a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴y=2x 2-6x+4. ∴231222y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ∴顶点为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭,对称轴为直线x=32. (1)∵抛物线与x 轴两交点间距离为1,对称轴为x=32, ∴抛物线与x 轴的两个交点坐标为(1,0),(2,0).于是把(1,0),(2,0),(3,4)分别代入y=ax 2+bx+c,得0420934a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩,解得264a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩ ∴y=2x 2-6x+4.∴231222y x⎛⎫=--⎪⎝⎭, ∴顶点为31,22⎛⎫-⎪⎝⎭,∵a=2>0,∴函数有最小值,当x=32时,y最小值=12-.。

九年级数学二次函数测试题含答案(精选5套)九年级数学二次函数测试题含答案(精选5套)第一套：1. 将函数 $y = 2x^2 - 3x - 2$ 化简为标准形式，并求出它的顶点坐标。

答案：将函数化简为标准形式得到 $y = 2(x-\frac{3}{4})^2 -\frac{33}{8}$，顶点坐标为 $(\frac{3}{4}, -\frac{33}{8})$。

2. 求函数 $y = -x^2 + 4x + 1$ 的零点。

答案：将函数化简为标准形式得到 $y = -(x-2)^2 + 5$，令 $y = 0$，解得 $x = 2 \pm \sqrt{5}$，即零点为 $x_1 = 2 + \sqrt{5}$ 和 $x_2 = 2 -\sqrt{5}$。

3. 给定函数 $y = x^2 - 6x + 5$，求其对称轴的方程式。

答案：对称轴的方程式为 $x = \frac{-b}{2a}$，代入 $a = 1$ 和 $b = -6$ 得到 $x = \frac{6}{2} = 3$。

4. 若函数 $y = ax^2 + bx - 9$ 与 $y = -x^2 + 7x$ 有相同的图像，求$a$ 和 $b$ 的值。

答案：由于两个函数有相同的图像，所以它们的系数相等。

比较两个函数的对应系数得到 $a = -1$ 和 $b = 7$。

5. 已知函数 $y = x^2 - 4x + 5$ 的图像上存在一点 $(h, k)$，使得 $x= h - 3$ 时，$y = 2k + 12$，求点 $(h, k)$ 的坐标。

答案：将 $x = h - 3$ 代入函数得到 $y = (h-3)^2 - 4(h-3) + 5$。

代入$y = 2k + 12$ 得到 $(h-3)^2 - 4(h-3) + 5 = 2k + 12$。

整理得到 $(h-3)^2 -4(h-3) - 2k - 7 = 0$。

由于该方程为二次方程，必然存在实数解。

九年级数学二次函数单元试卷（一）时间 90分钟满分： 100 分一、选择题（本大题共10 小题，每小题３分，共30 分）1．下列函数不属于二次函数的是（）A.y=(x － 1)(x+2)B.y= 1(x+1) 2 2C. y=1 － 3 x2D. y=2(x+3)2－ 2x22.函数 y=-x 2-4x+3图象顶点坐标是（）A. （2，-1 ）B. （-2，1）C.（-2 ，-1）D.（2， 1）3.抛物线 y1x 2 21的顶点坐标是（）2A．（ 2， 1） B ．（-2 ，1） C ．（2， -1）D．（-2 ，-1）4. y=(x － 1) 2＋ 2 的对称轴是直线（）A ． x=－ 1B． x=1C． y=－ 1D． y=15．已知二次函数y mx2x m(m2) 的图象经过原点，则m 的值为（）A．0或2B． 0C． 2D．无法确定6. 二次函数 y＝ x2的图象向右平移 3 个单位，得到新的图象的函数表达式是（）A. y ＝x2＋ 3B. y ＝ x2－3C. y＝ (x ＋ 3) 2D. y＝ (x － 3) 27．函数 y=2x2-3x+4 经过的象限是（）A. 一、二、三象限B.一、二象限C. 三、四象限D.一、二、四象限8．下列说法错误的是（）A．二次函数 y=3x2中，当 x>0 时， y 随 x 的增大而增大B．二次函数 y=－ 6x2中，当 x=0 时， y 有最大值 0C． a 越大图象开口越小， a 越小图象开口越大D．不论 a 是正数还是负数，抛物线2≠0) 的顶点一定是坐标原点y=ax (a129．如图，小芳在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝－5x ＋ 3.5 的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是（）A． 3.5m B． 4m C． 4.5m D． 4.6m10．二次函数 y=ax 2＋ bx＋ c 的图象如图所示，下列结论错误的是（）A． a＞ 0．B． b＞ 0．C． c＜ 0．D． abc＞ 0．y y3.05m o x(第 9题)(第 10题)二、填空题（本大题共 4 小题，每小题３分，共12 分）11．一个正方形的面积为16cm2，当把边长增加x cm 时，正方形面积为y cm 2，则 y 关于 x 的函数为。

二次函数单元测评姓名分数一、选择题(每题4分，共40分)1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)()A. B. C. D.2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是()A. (1，-4)B.(-1，2)C. (1，2)D.(0，3)3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在()A. 第一象限B. 第二象限C. x轴上D. y轴上4. 抛物线的对称轴是()A. x=-2B.x=2C. x=-4D. x=45. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是()A. ab>0，c>0B. ab>0，c<0C. ab<0，c>0D. ab<0，c<06. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第___象限()A. 一B. 二C. 三D. 四7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是()A. 4+mB. mC. 2m-8D. 8-2m8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是()9. 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上的点，P3(x3，y)是直线上的点，且-1<x<x，x<-1，则y，y，y的大小关系是()A. y1<y2<y3B. y2<y3<y1C. y3<y1<y2D. y2<y1<y310.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是()A.B.C. D.二、填空题(每题4分，共20分)11. 若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式，则y=________.12. 若抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为_________.13.试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式为______________.14.如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，该计划用木材围成总长24m的栅栏，设每间羊圈的一边长为x (m)，三间羊圈的总面积s (m2),则s关于x的函数关系式是______________,x的取值范围_________,当x=_________时，s最大.三、解答下列各题15 （12）若二次函数的图象的对称轴方程是，并且图象过A(0，-4)和B(4，0)(1)求此二次函数图象上点A 关于对称轴对称的点A′的坐标；(2)求此二次函数的解析式；xBA C16 （12分）直角坐标平面内，点 O 为坐标原点，二次函数 y=x 2+(k-5)x-(k+4) 的图象交 x 轴于点A(x 1，0)、B(x 2，0)，且(x 1+1)(x 2+1)=-8. (1)求二次函数解析式；(2)将上述二次函数图象沿x 轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y 轴的 交点为C ，顶点为P ，求△POC 的面积.17. （12分）某工厂大门是一抛物线水泥建筑物（如图），大门地面宽AB= 4米，顶部C 离地面高为4.4米，现有一辆载满货物的汽车欲通过大门，货物顶点距地面2.8米，装货宽度为2.4米，请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？18. （14分）某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，如图的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s （万元）与时间t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和s 与t 之间的关系）.根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）求累积利润s （万元）与时间t （月）之间的函数关系式； （2）求截止到几月末公司累积利润可达30万元； （3）求第8个月公司所获利润是多少万元？19. （12分）如图(7)一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线y ＝－15x 2＋3.5运行，然后准确落人篮框内。

二次函数 全章测试一、填空题（每小题4分，共24分）1．抛物线y ＝－x 2＋15有最______点，其坐标是______．2．若抛物线y ＝x 2－2x －2的顶点为A ，与y 轴的交点为B ，则过A ，B 两点的直线的解析式为____________．3．若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与抛物线y ＝x 2－4x ＋3的图象关于y 轴对称，则函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式为______．4．若抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于B ，C 两点，且BC ＝2，S △ABC ＝3，则b ＝______．5．二次函数y ＝x 2－6x ＋c 的图象的顶点与原点的距离为5，则c ＝______．6．二次函数22212--=x x y 的图象在坐标平面内绕顶点旋转180°，再向左平移3个单位，向上平移5个单位后图象对应的二次函数解析式为____________．二、选择题（每小题4分，共28分）7．把二次函数253212++=x x y 的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得的函数图象顶点是( )A ．(－5，1)B ．(1，－5)C ．(－1，1)D ．(－1，3)8．若点(2，5)，(4，5)在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上，则它的对称轴是( )A ．a bx -= B ．x ＝1 C ．x ＝2 D ．x ＝39．已知函数4212--=x x y ，当函数值y 随x 的增大而减小时，x 的取值范围是( )A ．x ＜1B ．x ＞1C ．x ＞－2D ．－2＜x ＜410．二次函数y ＝a (x ＋k )2＋k ，当k 取不同的实数值时，图象顶点所在的直线是( )A ．y ＝xB ．x 轴C ．y ＝－xD ．y 轴11．图中有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是( )A ．h ＝mB ．k ＞nC ．k ＝nD ．h ＞0，k ＞012．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②a ＋b ＋c ＝2；21>a ③；④b ＜1．其中正确的结论是( )A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④13．下列命题中，正确的是( )①若a ＋b ＋c ＝0，则b 2－4ac ＜0；②若b ＝2a ＋3c ，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根；③若b 2－4ac ＞0，则二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3；④若b ＞a ＋c ，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，有两个不相等的实数根．A ．②④B ．①③C ．②③D ．③④三、解答题（14-16每小题12分，17-18每小题16分共68分）14．把二次函数43212+-=x x y 配方成y ＝a (x －h )2＋k 的形式，并求出它的图象的顶点坐标、对称轴方程，y ＜0时x 的取值范围，并画出图象．15．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象经过一次函数323+-=x y 的图象与x 轴、y 轴的交点，并也经过(1，1)点．求这个二次函数解析式，并求x 为何值时，有最大(最小)值，这个值是什么?16．已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点分别为A (m ，0)，B (n ，0)，且4=+n m ，⋅=31n m (1)求此抛物线的解析式；(2)设此抛物线与y 轴的交点为C ，过C 作一条平行x 轴的直线交抛物线于另一点P ，求△ACP 的面积．17．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A (－1，0)，且经过直线y ＝x －3与x轴的交点B 及与y 轴的交点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标；(3)若点M 在第四象限内的抛物线上，且OM ⊥BC ，垂足为D ，求点M 的坐标．18．某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的售价和生产进行了调研，结果如下：一件商品的售价M (元)与时间t (月)的关系可用一条线段上的点来表示(如图甲)，一件商品的成本Q (元)与时间t (月)的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中6月份成本最高(如图乙)．根据图象提供的信息解答下面问题：(1)一件商品在3月份出售时的利润是多少元?(利润＝售价－成本) (2)求出图(乙)中表示的一件商品的成本Q (元)与时间t (月)之间的函数关系式；(3)你能求出3月份至7月份一件商品的利润W (元)与时间t (月)之间的函数关系式吗?若该公司能在一个月内售出此种商品30000件，请你计算该公司在一个月内最少获利多少元?参考答案1．高，(0，15)． 2．y ＝－x －2． 3．y ＝x 2＋4x ＋3． 4．b ＝－4．5．c ＝5或13． 6．⋅+--=21212x x y7．C ． 8．D ． 9．A ． 10．C ． 11．C ． 12．B ． 13．C ．14．221)3(21--=x y 顶点坐标)21,3(-，对称轴方程x ＝3，当y ＜0时，2＜x＜4，图略．15．,325212+-=x x y 当25=x 时，⋅-=81最小值y16．(1)由31,4==+n m n m 得m ＝1，n ＝3．∴y ＝－x 2＋4x －3；(2)S △ACP ＝6．17．(1)直线y ＝x －3与坐标轴的交点坐标分别为B (3，0)，C (0，－3)，以A 、B 、C三点的坐标分别代入抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得⎪⎩⎪⎨⎧-==++=+-,3,039,0c c b a c b a 解 得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==.3,2,1c b a ∴所求抛物线的解析式是y ＝x 2－2x －3． (2)y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴抛物线的顶点坐标为(1，－4)．(3)经过原点且与直线y ＝x －3垂直的直线OM 的方程为y ＝－x ，设M (x ，－x )，因为M 点在抛物线上，∴x 2－2x －3＝－x ．{因点M 在第四象限，取,2131+=x ).2131,2131(+-+∴M18．解：(1)一件商品在3月份出售时利润为：6－1＝5(元)．(2)由图象可知，一件商品的成本Q (元)是时间t (月)的二次函数，由图象可知，抛物线的顶点为(6，4)，∴可设Q ＝a (t －6)2＋4．又∵图象过点(3，1)，∴1＝a (3－6)2＋4，解之⋅-=31a,84314)6(3122-+-=+--=∴t t t Q 由题知t ＝3，4，5，6，7．(3)由图象可知，M (元)是t (月)的一次函数，∴可设M ＝kt ＋b ． ∵点(3，6)，(6，8)在直线上， ⎩⎨⎧=+=+∴.86,63b k b k 解之⎪⎩⎪⎨⎧==.4,32b k .432+=∴t M)8431(4322-+--+=-=∴t t t Q M W 12310312+-=t t 311)5(312+-=t 其中t ＝3，4，5，6，7．∴当t ＝5时，311=最小值W 元∴该公司在一月份内最少获利11000030000311=⨯元．。