线性规划基本概念与基本定理共58页

线性规划知识点总结标题：线性规划知识点总结引言概述：线性规划是运筹学中的一种最基本的数学规划方法，广泛应用于生产、运输、金融等领域。

通过线性规划，可以优化资源分配，最大化利润或者最小化成本。

本文将对线性规划的基本概念、线性规划模型、解决方法、应用领域和优缺点进行总结。

一、基本概念1.1 线性规划的定义：线性规划是一种数学优化方法，其目标是在一组线性约束条件下，找到使目标函数取得最大值或者最小值的决策变量的取值。

1.2 决策变量和目标函数：线性规划中，决策变量是需要确定的未知数，而目标函数则是需要优化的目标，通常是最大化利润或者最小化成本。

1.3 约束条件：线性规划模型中的约束条件是对决策变量的限制，可以是等式约束或者不等式约束，用来限制决策变量的取值范围。

二、线性规划模型2.1 标准形式和非标准形式：线性规划模型可以分为标准形式和非标准形式，标准形式要求目标函数是最小化形式，约束条件是等式约束；非标准形式则没有这些限制。

2.2 线性规划的矩阵形式：线性规划可以用矩阵形式表示，目标函数和约束条件可以用矩阵的乘法来表示，这样可以简化问题的求解过程。

2.3 整数规划和混合整数规划：在实际应用中，有时需要考虑变量的取值只能是整数的情况，这时就需要用到整数规划或者混合整数规划。

三、解决方法3.1 单纯形法：单纯形法是解决线性规划问题的经典方法，通过不断挪移顶点来找到最优解，是一种高效的求解方法。

3.2 对偶理论：对偶理论是线性规划的重要理论基础，通过对原问题的对偶问题进行求解，可以得到原问题的最优解。

3.3 整数规划的分支定界法：对于整数规划问题，可以采用分支定界法来求解，通过不断分支和剪枝来逐步逼近最优解。

四、应用领域4.1 生产计划优化：线性规划可以用来优化生产计划，确定最佳生产量和资源分配，以最大化利润或者最小化成本。

4.2 运输网络优化：在物流领域，线性规划可以用来优化运输网络，确定最佳的运输路径和运输量，以提高运输效率。

知识详解1.线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x，y的约束条件，这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x，y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．2.用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解3.解线性规划实际问题的步骤：（1）列出约束条件与目标函数；（2）根据求最值方法：①画：画可行域；②移：移与目标函数一致的平行直线；③求：求最值点坐标；④答；求最值；（3）验证.4. 主要的目标函数的几何意义:（1）-----直线的截距；（2）-----两点的距离或圆的半径；（3）-----直线的斜率一．二元一次不等式(组)表示的平面区域例1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2<0表示的平面区域是( )例2. (2020·汉中质检)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －y －1≥0，y ≥0所表示的平面区域的面积等于________．二.目标函数形如z=ax+by 型：例1（2008.全国Ⅱ）设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩，，．≥≤≥，则y x z 3-=的最小值是（ ）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-解：画出可行域（如图1），由y x z 3-=可得331z x y -=，所以3z -表示直线331zx y -=的纵截距，由图可知当直线过点A （-2，2）时，z 的最小值是-8，选D.三.目标函数形如ax by z --=型：：画出可行域（如图2），yx表示可行域内的点（x,y=6，KOC =59，所以6≤，选A.1.已知变量满足约束条件，则的最大值为( )2. (2012年高考·辽宁卷 理8)设变量满足，则的最大值为4. A.⎣⎡C ．6A ．C ．7. 8如果点P 在平面区域⎪⎩⎨≥-≤-+01202y y x 上,点O 在曲线的那么上||,1)2(22PQ y x=++最小值为____9.设,x y 满足约束条件3602000x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，若目标函数,(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为6，则46a b +的最小值为_______、10.某糖果厂生产A 、B 两种糖果，A 种糖果每箱获利润40元，B 种糖果每箱获利润50元，其生产过程分为混,x y 241y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩3z x y =+()A 12()B 11()C 3()D -1,x y -100+20015x y x y y ≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩2+3x y合、烹调、包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间（单位：分钟）每种糖果的生产过程中，混合的设备至多能用12机器小时，烹调的设备至多只能用机器30机器小时，包装的设备只能用机器15机器小时，试用每种糖果各生产多少箱可获得最大利润．11.某工厂利用两种燃料生产三种不同的产品A、B、C，每消耗一吨燃料与产品A、B、C有下列关系：现知每吨燃料甲与燃料乙的价格之比为3:2，现需要三种产品A、B、C各50吨、63吨、65吨．问如何使用两种燃料，才能使该厂成本最低？。

线性规划–基本概念简介线性规划（Linear Programming，简称LP）是一种数学优化技术，用于寻找最佳解决方案。

它被广泛应用于工程、经济学、商业和其他领域，以帮助决策者做出最佳决策。

基本概念1. 线性规划模型线性规划模型由一个目标函数和一组约束条件组成。

目标函数是需要最小化或最大化的线性函数，约束条件是关于决策变量的线性不等式或等式。

2. 决策变量决策变量是影响问题解决方案的变量。

在线性规划中，这些变量通常代表着可供决策者调整的资源或决策参数。

3. 目标函数目标函数是需要优化的线性函数。

在线性规划中，最常见的目标是最大化利润或最小化成本，目标函数通常用代数符号表示。

4. 约束条件约束条件是问题中必须满足的条件。

这些条件通常由一组线性不等式或等式组成，描述了决策变量的限制范围。

5. 最优解线性规划的目标是找到满足所有约束条件下使目标函数达到最小值或最大值的决策变量值。

这些决策变量值组成了最优解。

6. 可行解满足所有约束条件的解决方案被称为可行解。

线性规划求解过程中，需要找到一个可行解才能进行优化。

7. 线性可分线性规划要求问题中的目标函数和约束条件都是线性的。

这意味着这些函数和不等式都可以用直线表示，且在图形上相交于有限个点。

求解方法1. 单纯形法单纯形法是最常用的线性规划求解方法之一。

它通过不断移动目标函数的极值点来寻找最优解，直到无法再改进为止。

2. 内点法内点法是另一种常用的线性规划求解方法，它通过在内部点迭代来逼近最优解。

与单纯形法相比，内点法在大规模问题上具有更好的性能。

3. 混合整数线性规划混合整数线性规划（Mixed Integer Linear Programming，简称MILP）扩展了线性规划，允许决策变量为整数。

这种形式的问题更难求解，通常需要使用分支定界等复杂算法。

应用领域线性规划在许多领域都有广泛的应用：•生产计划：优化生产线的效率和成本。

•供应链管理：优化库存水平和运输成本。

线性规划知识点线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。

它在各个领域都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、物流管理等。

本文将详细介绍线性规划的基本概念、模型建立、求解方法以及应用案例。

一、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。

目标函数通常表示为Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ，其中c₁、c₂、...、cₙ为系数，x₁、x₂、...、xₙ为决策变量。

2. 约束条件：线性规划的决策变量需要满足一系列线性约束条件，通常表示为a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ ≤ b，其中a₁、a₂、...、aₙ为系数，b为常数。

3. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。

可行解构成了可行域，即决策变量的取值范围。

4. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取得最大或最小值的解称为最优解。

最优解可能是唯一的，也可能存在多个。

二、模型建立1. 决策变量：线性规划的决策变量是问题中需要决策的量，通常表示为x₁、x₂、...、xₙ。

2. 目标函数：根据问题的具体要求，确定目标函数的系数。

如果是最大化问题，系数一般为正；如果是最小化问题，系数一般为负。

3. 约束条件：根据问题中的限制条件，建立线性约束条件。

将约束条件表示为不等式形式，并确定各个约束条件的系数和常数。

4. 可行域：根据约束条件的线性不等式，确定决策变量的取值范围，即可行域。

三、求解方法1. 图解法：对于二维问题，可以使用图解法求解。

将目标函数和约束条件绘制在坐标系中，通过图形的交点确定最优解。

2. 单纯形法：对于高维问题，单纯形法是最常用的求解方法。

它通过迭代计算，逐步优化目标函数的值，直到找到最优解。

3. 整数规划：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法求解。

整数规划是线性规划的扩展，增加了变量取整的限制条件。

四、应用案例1. 生产计划：某公司有限定的资源和订单需求，需要确定各个产品的生产数量，以最大化总利润为目标。

线性规划知识点线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。

它在各个领域中都有广泛的应用，包括经济学、管理学、工程学等。

一、线性规划的基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。

目标函数通常表示为Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中ci为系数，xi为变量。

2. 约束条件：线性规划的解必须满足一系列线性约束条件。

约束条件通常表示为a1x1 + a2x2 + ... + anx ≤ b，其中ai为系数，b为常数。

3. 变量：线性规划中的变量是需要优化的未知数，通常表示为x1, x2, ..., xn。

4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。

5. 最优解：在所有可行解中，使目标函数达到最大或者最小值的解称为最优解。

二、线性规划的求解方法1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法求解。

首先绘制约束条件的直线，然后确定可行域，最后在可行域中找到使目标函数最大或者最小的解。

2. 单纯形法：对于高维线性规划问题，通常使用单纯形法求解。

单纯形法是一种迭代算法，通过不断挪移到更优的解来寻觅最优解。

3. 整数规划：当变量需要取整数值时，称为整数规划。

整数规划问题通常较难求解，可以使用分支定界法等方法进行求解。

三、线性规划的应用1. 生产计划：线性规划可以用于确定最佳的生产计划，包括生产数量、原材料采购等。

2. 仓储管理：线性规划可以用于优化仓储管理，包括货物的存放位置、调度等。

3. 运输问题：线性规划可以用于解决运输问题，包括货物的调度、最佳路径选择等。

4. 金融投资：线性规划可以用于优化投资组合，确定最佳的资产配置方案。

5. 能源管理：线性规划可以用于能源管理，包括能源生产、分配等。

四、线性规划的局限性1. 线性假设：线性规划假设目标函数和约束条件都是线性的，这在某些实际问题中可能不成立。

2. 单一目标：线性规划只能优化一个目标函数，对于多目标问题需要进行权衡和转化。

线性规划原理范文线性规划是一种数学优化方法，用于最大化或最小化一个线性目标函数在一组线性约束条件下的取值。

线性规划常常用于管理、经济学、工程和科学等领域的决策问题。

本文将介绍线性规划的原理和一些相关概念。

一、线性规划的基本概念1. 目标函数：线性规划的第一步是确定一个目标函数，这个函数是需要最大化或最小化的指标。

目标函数是由变量的线性组合构成的，通常表示为Z=c₁x₁+c₂x₂+...+cnxn，其中x₁、x₂、..，xn是变量，c₁、c₂、..，cn是系数。

2. 约束条件：线性规划的第二步是确定一组约束条件，这些条件限制了变量的取值范围。

约束条件通常是由变量的线性组合与一个给定的常数之间的关系构成，如a₁x₁+a₂x₂+...+aₙxn≤b，其中a₁、a₂、..，aₙ是系数，b是常数。

3.决策变量：决策变量是指在问题中需要决策的变量，也就是需要根据一定的规则或策略来确定其取值的变量。

决策变量是目标函数和约束条件中的变量。

二、线性规划的基本形式线性规划的基本形式可以表示为：最小化（或最大化）目标函数：Z=c₁x₁+c₂x₂+...+cnxn满足以下约束条件：a₁x₁+a₂x₂+...+aₙxn≤b₁aₙ₊₁x₁+aₙ₊₂x₂+...+a₂ₙxn≤b₂...a₂ₙ₋₁x₁+a₂ₙ₋₂x₂+...+a₄ₙxn≤bₙ₋₁其中x₁、x₂、..，xn是决策变量；c₁、c₂、..，cn是目标函数的系数；a₁、a₂、..，an是约束条件的系数；b₁、b₂、..，bₙ是约束条件的常数。

三、线性规划的解题过程线性规划的求解过程可以分为以下几个步骤：1.建立数学模型：根据实际问题的描述，将目标函数和约束条件转化成数学表达式。

2.确定决策变量的取值范围：根据问题的实际背景和限制条件，确定决策变量的取值范围。

3.描述目标函数和约束条件：将目标函数和约束条件转化成标准形式，即转化成上述的线性规划基本形式。

4.求解线性规划问题：利用线性规划求解方法，如单纯形法等，求解得到最优解。

线性规划讲义引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于解决在给定约束条件下最大化或最小化线性目标函数的问题。

它在各个领域都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。

本文将从五个大点来详细阐述线性规划的相关概念和应用。

正文内容：1. 线性规划的基本概念1.1 线性规划的定义和形式线性规划是一种数学模型，其目标函数和约束条件均为线性函数。

一般形式为：最大化（或最小化）目标函数 Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中x1, x2, ..., xn为决策变量，c1, c2, ..., cn为常数。

约束条件一般为：a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1，a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ b2，...，am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm，其中a11, a12, ..., amn为系数，b1, b2, ..., bm为常数。

1.2 线性规划的可行解和最优解可行解是指满足所有约束条件的解，而最优解是在所有可行解中使目标函数达到最大（或最小）值的解。

线性规划问题的解空间是一个多面体，最优解通常位于多面体的顶点。

1.3 线性规划的图解法和单纯形法线性规划问题可以通过图解法和单纯形法求解。

图解法适用于二维或三维问题，通过画出目标函数和约束条件的图形，找到最优解所在的区域。

单纯形法适用于高维问题，通过一系列的迭代计算，逐步接近最优解。

2. 线性规划的应用领域2.1 生产计划线性规划可以用于确定最佳的生产计划，以最大化利润或最小化成本。

通过考虑生产能力、资源约束和市场需求等因素，可以确定最优的生产数量和产品组合。

2.2 资源分配线性规划可以用于确定最佳的资源分配方案，以最大化资源利用率或最小化资源浪费。

通过考虑资源供应量、需求量和优先级等因素，可以实现资源的有效调配。

2.3 运输问题线性规划可以用于解决运输问题，如货物的调度和路径规划。

线性规划知识点总结标题：线性规划知识点总结引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。

在实际应用中，线性规划被广泛应用于生产计划、资源分配、运输优化等方面。

本文将对线性规划的基本概念、解法、应用等知识点进行总结，帮助读者更深入了解线性规划的相关内容。

一、线性规划的基本概念1.1 线性规划的定义：线性规划是一种数学优化方法，其目标是在一组线性约束条件下，找到使目标函数取得最大（最小）值的变量取值。

1.2 线性规划的标准形式：线性规划的标准形式包括一个目标函数和一组线性约束条件，目标函数是要最大化或最小化的线性函数，约束条件是一组线性不等式或等式。

1.3 线性规划的解的存在性：线性规划问题存在解的条件是可行域非空，即约束条件构成的可行域至少包含一个可行解。

二、线性规划的解法2.1 单纯形法：单纯形法是解决线性规划问题最常用的方法之一，通过不断移动顶点来搜索最优解。

2.2 对偶理论：对偶理论是线性规划的另一种解法，通过构建原问题和对偶问题之间的关系，可以得到原问题的最优解。

2.3 整数规划：整数规划是线性规划的一个扩展，要求变量的取值必须是整数，通常使用分支定界法等方法求解。

三、线性规划的应用3.1 生产计划：线性规划可以用于优化生产计划，确定生产量和资源分配，以最大化利润或降低成本。

3.2 运输优化：线性规划可以用于解决运输问题，确定最优的运输方案和运输成本，提高运输效率。

3.3 资源分配：线性规划可以用于优化资源分配，如人力、物资等资源的合理分配，以达到最佳利用效果。

四、线性规划的局限性4.1 非线性问题：线性规划只适用于线性约束条件下的最优化问题，对于非线性问题无法直接求解。

4.2 大规模问题：对于大规模线性规划问题，传统的求解方法可能会面临计算复杂度高、求解时间长的问题。

4.3 离散变量：线性规划无法直接处理离散变量，对于包含离散变量的问题需要转化为整数规划或混合整数规划来求解。