(完整版)行列式试题库1

高中数学行列式试题一．选择题（共12小题）1．定义：，若复数z 满足，则z等于（）A．1+i B．1﹣i C．3+i D．3﹣i2．下列以行列式表达的结果中，与sin（α﹣β）相等的是（）A ．B ．C ．D ．3．三阶行列式中，元素9的代数余子式的值为（）A．38B．﹣38C．360D．﹣3604．定义行列式运算，将函数的图象向左平移n （n＞0）个单位，所得图象关于y轴对称，则n的最小值为（）A ．B ．C ．D ．5．行列式中，元素7的代数余子式的值为（）A．﹣15B．﹣3C．3D．126．定义行列式运算：＝a1a4﹣a2a3，函数f（x ）＝，则要得到函数f（x）的图象，只需将y＝2cos2x的图象（）A ．向左平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位7．＝（）A．cos2θB．sin2θC．1D．﹣118．定义运算，则满足的复数z为（）A．1﹣2i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i9．设直线l1与l2的方程分别为a1x+b1y+c1＝0与a2x+b2y+c2＝0，则“”是“l1∥l2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．下列四个算式：①；②；③a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2﹣a1b3c2﹣a2b1c3﹣a3b2c1；④其中运算结果与行列式的运算结果相同的算式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．展开式为ad﹣bc的行列式是（）A ．B ．C ．D ．12．若规定＝ad﹣bc 则不等式≤0的解集（）A．{x|x≤﹣2或x≥1}B．{x|﹣2＜x＜1}C．{x|﹣2≤x≤1} D．∅二．填空题（共23小题）13．若＝0，则锐角x ＝．14．已知，则λ＝．15．已知行列式中的元素a n+j（j＝1，2，3，…，9）是等比数列{a n}2的第n+j 项，则此行列式的值是．16．若行列式中（x≠1），元素1的代数余子式大于0，则x满足的条件是．17．把表示成一个三阶行列式是18．若行列式的第1行第2列的元素1的代数余子式﹣1，则实数x的取值集合为．19．行列式的最大值为．20．行列式的元素﹣3的代数余子式的值为10，则的模为．21．行列式中x的系数是22．行列式的元素π的代数余子式的值等于．23．三阶行列式中，元素1的代数余子式的值为．24．若行列式，则m的值是．25．三阶行列式中，元素4的代数余子式的值为26．若行列式的展开式的绝对值小于6的解集为（﹣1，2），则实数a等于．27．函数的最小正周期T＝．28．已知矩阵A＝，B＝，C＝，且A+B＝C，则x+y的值为．29．方程，x∈（3，4）实数解x为．30．方程组的增广矩阵是．331．若行列式＝0，则x ＝．32．对于下列四个命题①若向量，，满足，则与的夹角为钝角；②已知集合A＝正四棱柱，B＝长方体，则A∩B＝B；③在直角坐标平面内，点M（|a|，|a﹣3|）与N（cosα，sinα）在直线x+y﹣2＝0的异侧；④对2×2数表定义平方运算如下：＝，则＝其中真命题是（将你认为的正确命题的序号都填上）．33．设A为3×4矩阵，则A的列向量组必线性（相关、无关）34．规定运算，则＝．35．已知矩阵A＝，B＝，则A+B＝．4参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．定义：，若复数z 满足，则z等于（）A．1+i B．1﹣i C．3+i D．3﹣i【分析】化简行列式，再计算．【解答】解：复数z 满足＝iz+i，则z ＝＝1﹣i．故选：B．【点评】本题考查行列式，复数，属于基础题．2．下列以行列式表达的结果中，与sin（α﹣β）相等的是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据行列式的运算法则对四个选项一一进行化简运算得结果．【解答】解：∵sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ，对于A ：＝sinαcosβ+cosαsinβ；故错；对于B ：＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，故错；对于C ：＝sinαcosβ﹣cosαsinβ，正确；对于D ：＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，故错．故选：C．【点评】本题考查行列式的运算，三角函数的变换公式、和角及二倍角的公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．3．三阶行列式中，元素9的代数余子式的值为（）5A．38B．﹣38C．360D．﹣360【分析】根据行列式的展开A32＝﹣（8×7﹣6×3），即可得出结论．【解答】解：行列式中元素9的代数余子式的A32＝﹣（8×7﹣6×3）＝﹣38，故选：B．【点评】本题考查行列式的展开，考查行列式的展开式，考查计算能力，属于基础题．4．定义行列式运算，将函数的图象向左平移n （n＞0）个单位，所得图象关于y轴对称，则n的最小值为（）A ．B ．C ．D ．【分析】函数＝＝2sin（x +），从而y＝2sin[（x+n）+]的图象关于y轴对称，n＞0，由此能出n的最小值．【解答】解：∵，∴函数＝＝2sin（x +），∵f（x）的图象向左平移n（n＞0）个单位，所得图象关于y轴对称，∴y＝2sin[（x+n）+]的图象关于y轴对称，n＞0，∴n +＝+kπ，k∈Z，即n＝k，k∈Z，n＞0．∴当k＝1时，n 取最小值．故选：D．【点评】本题考查实数值的最小值的求法，考查二阶行列式、三角函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．5．行列式中，元素7的代数余子式的值为（）A．﹣15B．﹣3C．3D．126【分析】利用代数余子式的定义和性质求解．【解答】解：∵行列式，∴元素7的代数余子式为：D13＝（﹣1）4＝2×6﹣5×3＝﹣3．故选：B．【点评】本题考查余子式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意余子式的性质的合理运用．6．定义行列式运算：＝a1a4﹣a2a3，函数f（x ）＝，则要得到函数f（x）的图象，只需将y＝2cos2x的图象（）A ．向左平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位【分析】由二阶行列式的性质得：f（x ）＝，再由三角函数恒等式和诱导公式得到f（x）＝2cos（2x ﹣），由此利用三角函数图象的平移变换能求出结果．【解答】解：f（x ）＝＝＝2sin（2x ﹣）＝2cos[﹣（2x ﹣）]＝2cos（2x ﹣），∴要得到函数f（x）的图象，只需将y＝2cos2x的图象y＝2cos2x 的图象向右平移个单位．故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象的平移变换，是中档题，解题时要认真审题，注意二阶行列式、三角恒等式、三角函数图象的平移变换诱导公式等知识的合理运用．7．＝（）A．cos2θB．sin2θC．1D．﹣1【分析】本题可根据二阶行列式的定义算法进行计算，然后根据三角函数计算公式可得结果．【解答】解：由题意，可知：＝cosθ•cosθ﹣sinθ•（﹣sinθ）＝cos2θ+sin2θ＝1．7故选：C．【点评】本题主要考查二阶行列式的定义计算，以及三角函数计算．本题属基础题．8．定义运算，则满足的复数z为（）A．1﹣2i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i【分析】直接利用新定义，求出z的表达式，通过复数的基本运算，求出复数z即可．【解答】解：因为，所以＝zi+z＝2．所以z ＝＝＝1﹣i．故选：D．【点评】本题考查复数的基本运算，行列式的应用，考查计算能力．9．设直线l1与l2的方程分别为a1x+b1y+c1＝0与a2x+b2y+c2＝0，则“”是“l1∥l2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】若，则a1b2﹣a2b1＝0，若a1c2﹣a2c1＝0，则l1不平行于l2；若“l1∥l2”，则a1b2﹣a2b1＝0，所以，故可得结论【解答】解：若，则a1b2﹣a2b1＝0，若a1c2﹣a2c1＝0，则l1不平行于l2，故“”是“l1∥l2”的不充分条件；若“l1∥l2”，则a1b2﹣a2b1＝0，∴，故“”是“l1∥l2”的必要条件所以“”是“l1∥l2”的必要而不充分条件故选：B．【点评】本题重点考查四种条件的判定，解题的关键是理解行列式的定义，掌握两条直线平行的条件．810．下列四个算式：①；②；③a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2﹣a1b3c2﹣a2b1c3﹣a3b2c1；④其中运算结果与行列式的运算结果相同的算式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中按照第一列展开后所余下的元素的代数余子式的和，即知①正确；同理，在行列式中按照第一行展开后所余下的元素的代数余子式的和，即得②正确；对于③，按照行列式展开的运算法则即得a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2﹣a1b3c2﹣a2b1c3﹣a3b2c1；对于④，按照行列式展开的运算法则后与原行列式不相同．【解答】解：根据余子式的定义可知，在行列式中按照第一列展开后所余下的元素的代数余子式的和，即为．故①正确；同理，在行列式中按照第一行展开后所余下的元素的代数余子式的和，即为．故②正确；对于③，按照行列式展开的运算法则即得a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2﹣a1b3c2﹣a2b1c3﹣9a3b2c1；故正确；对于④故选：C．【点评】本题主要考查了二阶行列式的实际应用以及根据二阶行列式的定义，属于基础题．11．展开式为ad﹣bc的行列式是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，再根据所给的式子即可得出答案．【解答】解：根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，由题意得，＝ad﹣bc．故选：B．【点评】本题考查的是二阶行列式与逆矩阵，根据题意二阶行列式的意义得出所求代数式是解答此题的关键．12．若规定＝ad﹣bc 则不等式≤0的解集（）A．{x|x≤﹣2或x≥1}B．{x|﹣2＜x＜1}C．{x|﹣2≤x≤1}D．∅【分析】按照新的运算＝ad﹣bc ，则不等式≤0，可化为：2x•x+2（x ﹣2）≤0，解此二次不等式即可得出答案．【解答】解：由题意可知：不等式的解集≤0可化为2x•x+2（x﹣2）≤0即x2+x﹣2≤0，求得x的解集﹣2≤x≤1．故选：C．【点评】本题考查其他不等式的解法，解答关键是理解行列式的计算方法，是基础题．二．填空题（共23小题）1013．若＝0，则锐角x＝．【分析】直接利用矩阵知识的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．【解答】解：由于＝0，所以2cos2x﹣sin2x＝0，由于x为锐角，所以sin x＝cos x，解得x＝．故答案为：【点评】本题考查的知识要点：矩阵知识的应用，三角函数关系式的变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．14．已知，则λ＝3．【分析】由行列式的公式化简求解．【解答】解：＝（λ﹣4）+2λ＝5，解之得λ＝3，故答案为：3．【点评】本题考查行列式，属于基础题．15．已知行列式中的元素a n+j（j＝1，2，3，…，9）是等比数列{a n}的第n+j项，则此行列式的值是0．【分析】根据题意等比关系代入求解．【解答】解：因为元素a n+j（j＝1，2，3，…，9）是等比数列{a n}的第n+j项，所以设等比数列的公比为q，则a n+2＝qa n+1，，，…，，∴＝＝＝0，（两列（或行）相同的行列式值为0），故答案为：0【点评】本题考查行列式，等比数列，属于基础题．16．若行列式中（x≠1），元素1的代数余子式大于0，则x满足的条件是．【分析】先求出代数余子式，再进行化简，求解．【解答】解：元素1的代数余子式为＝8x﹣45＞0，故，故答案为：【点评】本题考查代数余子式，属于基础题．17．把表示成一个三阶行列式是【分析】本题根据行列式第一列进行展开的逆运算即可得到结果．【解答】解：根据行列式按第一列展开式，可知：2++3＝2•（﹣1）1+1•+（﹣1）•（﹣1）2+1•+3•（﹣1）3+1•＝．故答案为：．【点评】本题主要考查行列式按列展开的相关概念．本题属基础题．18．若行列式的第1行第2列的元素1的代数余子式﹣1，则实数x的取值集合为{x|x＝π+2kπ，k∈Z}．【分析】本题先根据行列式代数余子式的定义写出第1行第2列的元素1的代数余子式，然后根据二阶行列式的计算法则进行计算，再化简三角函数，即可得到实数x 的取值集合．【解答】解：由题意，第1行第2列的元素1的代数余子式为：（﹣1）1+2•．（﹣1）1+2•＝﹣1，则＝1，即﹣sin（π+x）﹣cos（﹣x）＝1．sin x﹣（cos cos x+sin sin x）＝1，整理，得：cos x＝﹣1．∴x＝π+2kπ，k∈Z．故答案为：{x|x＝π+2kπ，k∈Z}．【点评】本题主要考查行列式的代数余子式及二阶行列式的定义计算能力，三角函数知识．本题属基础题．19．行列式的最大值为13．【分析】先写出行列式结果，再用三角函数知识求解最大值．【解答】解：原式＝，所以当时，行列式的最大值为13．故答案为：13【点评】本题考查行列式与三角函数的综合应用，属于基础题．20．行列式的元素﹣3的代数余子式的值为10，则的模为10．【分析】直接求代数余子式，求出k，再代入求向量的模．【解答】解：元素﹣3对应的行列式为，∴k＝6，∴，∴，所以向量的模为为10．故答案为：10．【点评】此题考查行列式的代数余子式，向量的模的公式．21．行列式中x的系数是﹣3【分析】利用行列式展开式能求出行列式中x的系数．【解答】解：行列式＝35﹣2x﹣4﹣7﹣x﹣40＝﹣3x﹣16．∴行列式中x的系数是﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查行列式中未知数的系数的求法，考查行列式展开式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．22．行列式的元素π的代数余子式的值等于7．【分析】利用代数余子式的定义和性质直接求解．【解答】解：行列式的元素π的代数余子式的值为：（﹣1）2+1＝﹣（4cos﹣9sin）＝﹣（2﹣9）＝7．故答案为：7．【点评】本题考查行列式的元素的代数余子式的值的求法，考查代数余子式的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．23．三阶行列式中，元素1的代数余子式的值为4．【分析】利用代数余子式的定义、行列式的展开法则直接求解．【解答】解：三阶行列式中，元素1的代数余子式的值为：（﹣1）1+1＝0﹣（﹣4）＝4．故答案为：4．【点评】本题考查代数余子式的求法，考查代数余子式、行列式展开法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．24．若行列式，则m的值是0.5．【分析】利用行列式展开法则直接求解．【解答】解；∵行列式，∴2﹣1﹣2m＝0，解得m＝0.5．∴m的值为0.5．故答案为：0.5．【点评】本题考查实数值的求法，考查行列式展开法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．25．三阶行列式中，元素4的代数余子式的值为6【分析】利用代数余子式的定义直接求解．【解答】解：三阶行列式中，元素4的代数余子式的值为：（﹣1）3＝﹣（18﹣24）＝6．故答案为：6．【点评】本题考查三阶行列式中元素的化数余子式的求法，考查代数余子式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．26．若行列式的展开式的绝对值小于6的解集为（﹣1，2），则实数a等于4．【分析】推导出|ax﹣2|＜6的解集为（﹣1，2），从而﹣4＜ax＜8解集为（﹣1，2），由此能求出a的值．【解答】解：∵行列式的展开式的绝对值小于6的解集为（﹣1，2），∴|ax﹣2|＜6的解集为（﹣1，2），∴﹣6＜ax﹣2＜6，即﹣4＜ax＜8解集为（﹣1，2），解得a＝4．故答案为：4．【点评】本题考查实数值的求法，考查行列式展开法则、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．27．函数的最小正周期T＝π．【分析】利用行列式的计算方法化简f（x）解析式，再利用二倍角的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，找出ω的值，即可求出最小正周期．【解答】解：f（x）＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，∵ω＝2，∴T＝π．故答案为：π【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及二阶行列式与逆矩阵，化简函数解析式是解本题的关键．28．已知矩阵A＝，B＝，C＝，且A+B＝C，则x+y的值为6．【分析】由题意，，求出x，y，即可得出结论．【解答】解：由题意，，∴x＝5，y＝1，∴x+y＝6．故答案为6．【点评】本题考查矩阵的加法，考查学生的计算能力，比较基础．29．方程，x∈（3，4）实数解x为．【分析】通过二阶行列式的定义，利用二倍角的余弦函数及同角公式，求出tan2x＝，再结合x的范围，求出结果即可．【解答】解：因为，所以cos x cos x﹣sin x cos x＝，即×﹣sin2x＝，∴tan2x＝，∵x∈（3，4）∴2x＝，∴x＝故答案为：．【点评】本题考查二阶行列式的定义、三角函数的同角公式，二倍角公式的应用，考查计算能力．30．方程组的增广矩阵是．【分析】理解方程增广矩阵的涵义，即可由二元线性方程组，写出增广矩阵．【解答】解：由题意，方程组的增广矩阵为其系数及常数项构成的矩阵故方程组的增广矩阵是．故答案为：．【点评】本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于较容易的题型．31．若行列式＝0，则x＝1．【分析】先根据行列式的计算公式进行化简，然后解指数方程即可求出x的值．【解答】解：∵＝0，∴2×2x﹣4＝0，即2x＝2，∴x＝1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了行列式的基本运算，同时考查了指数方程，属于基础题．32．对于下列四个命题①若向量，，满足，则与的夹角为钝角；②已知集合A＝正四棱柱，B＝长方体，则A∩B＝B；③在直角坐标平面内，点M（|a|，|a﹣3|）与N（cosα，sinα）在直线x+y﹣2＝0的异侧；④对2×2数表定义平方运算如下：＝，则＝其中真命题是③④（将你认为的正确命题的序号都填上）．【分析】①根据向量夹角的范围和钝角的范围可以判断①的真假；②利用长方体包含正四棱柱，进行判断；③把点M（|a|，|a﹣3|）与N（cosα，sinα）分别代入x+y﹣2，判断x+y﹣2是否异号；④利用已知定义进行代入计算验证．【解答】解：①当向量夹角为π时，满足，但不是钝角，故①错误；②∵长方体底是长方形，正四棱柱底是正方形，∴A∩B＝A，故②错误；③∵|a|+|a﹣3|＞2，cosα+sinα≤＜2，∴|a|+|a﹣3|﹣2＞0，cosα+sinα﹣2＜0，∴点M（|a|，|a﹣3|）与N（cosα，sinα）在直线x+y﹣2＝0的异侧，故③正确；④对2×2数表定义平方运算如下：∴＝＝＝故答案为：③④．，【点评】此题考查的知识点比较多，有向量的计算，正四棱柱和长方体定义，集合之间的关系，以及矩阵的计算．33．设A为3×4矩阵，则A的列向量组必线性相关（相关、无关）【分析】利用矩阵的列向量的性质直接求解．【解答】解：A为3×4矩阵，三行四列矩阵，也就是4个3维列向量，故A的列向量组必线性相关．故答案为：相关．【点评】本题考查A的列向量组是否线性相关的判断，考查矩阵的列向量的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．34．规定运算，则＝1．【分析】根据新运算可知该运算式表示了两对角相乘的差，注意a、b、c、d的位置．再利用复数的运算法则计算即可．【解答】解：根据题目的新规定知，＝1×2﹣（﹣i）i＝2+i2＝2﹣1＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了二阶行列式，解题的关键是根据题目信息列出算式．35．已知矩阵A＝，B＝，则A+B＝．【分析】利用矩阵的加法法则及其意义进行求解，即可得到答案．【解答】解：∵矩阵A＝，B＝，则A+B＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了矩阵的加法的意义，是一道考查基本运算的基础题．。

第一章 行列式习题1. n 阶行列式D 的值为c ，若将D 的第一列移到最后一列，其余各列依次保持原来的次序向左移动，则得到的行列式值为 。

（1(1)n c --）2. n 阶行列式D 的值为c ，若将D 的所有元素改变符号，得到的行列式值为 。

（(1)n c -）3. 2(1)(2,1,21,2,,1,)(21)0(23)0122k k N k k k k k k k k --+=-++-+++=+?。

4. 由行列式的定义计算行列式413331233626xx x x xx展开式中4x 和3x 的系数。

（3412, 12x x -）（分析：4x 的系数：四个元素中必须全都包含x 。

第一行只能取11a ，第三行只能取33a ，这样第二、四行只能取22a 和44a ，则此项为(1234)411223344(1)4312N a a a a x x x x x -=⋅⋅⋅=。

3x 的系数：(2134)(4231)3331221334441223314(1)(1)3912N N a a a a a a a a x x x -+-=--=-。

）5. 已知1703，3159，975，10959能被13整除，不直接计算行列式17033159097510959的值，证明他是13的倍数。

证明：12341701703170170341000131531593153159410021309709750979754103109510959109510959l c c l c c l c c l +⋅+⋅=⋅+⋅，能被13整除。

注意，以下两个行列式：170317037033159315915909759759751095910959959≠，所以一定要加到最后一列上。

6. 设行列式311252342011133--=--D ，求11213141243A A A A +--及2123242-++M M M 。

（0和-5）解：112131412112423424301011333A A A A -+--==----。

第一章 行列式一、单项选择题1.行列式D 非零的充分条件是( D )(A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例(D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 2．二阶行列式1221--k k ≠0的充分必要条件是（ C ）A ．k ≠-1B ．k ≠3C ．k ≠-1且k ≠3D ．k ≠-1或≠3 3．已知2阶行列式2211b a b a =m ,2211c b c b =n ,则222111c a b c a b ++=（ B ）+n （m+n ）4.设行列式==1111034222,1111304z y x zy x 则行列式（ A ） A.32D.38 5．下列行列式等于零的是(D )A .100123123- B. 031010300- C ． 100003010- D ． 261422613-6．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ B ）A ．-2B ．-1C ．1D ．28．如果方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =（ B ）9．（考研题）行列式0000000a b abc d c d=（ B ） A.()2ad bc -B.()2ad bc --C.2222a d b c -D.2222b c a d -二、填空题1.四阶行列式中带负号且含有因子12a 和21a 的项为 44332112a a a a 。

2. 行列式1112344916中（3，2）元素的代数余子式A 32=___-2___.3. 设7343690211118751----=D ，则5A 14+A24+A 44=_______。

解答：5A 14+A 24+A 44=1501343090211115751-=---4．已知行列式011103212=-a ，则数a =____3______.5．若a ,b 是实数，则当a =___且b =___时，有=---10100a b b a 0。

行列式 练习题一、判断题1. 行列式的行数和列数可以相同也可以不同。

（ ）2. n 阶行列式共有2n 个元素，展开后共有n ！项。

（ ）3. n 阶行列式展开后的n ！项中，带正号的项和带负号的项各占一半。

（ ）4. 行列式D 中元素ij a 的余子式ij M 与其代数余子式ij A 符号相反。

（ ）5. 上（下）三角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积。

（ ）6. 行列式与它的转置行列式符号相反。

（ ）7. 行列式中有一行的元素全部是零则行列式的值为零。

（ ）8. 行列式中有两行元素相同，行列式的值为零。

（ ）9. 行列式中有两行元素成比例，行列式的值为零。

（ ） 10．互换行列式的两行，行列式的值不变。

（ ） 11. 行列式中某一行的公因子k 可以提到行列式符号之外。

( ) 12. 行列式中若所有元素均相同，则行列式的值为零。

（ ） 13. 行列式的值等于它的任一行（列）的元素与其对应的代数余子式乘积。

（ ）14. 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应的元素的代数余子式乘积之和为零。

（ ） 15. 齐次线性方程组的系数行列式0D ≠，则它仅有零解。

（ ）二、填空题1.=______x yyx -。

2.sin cos =______cos sin θθθθ-。

3. 123246=______345。

4．2-20310=______450。

5．=______a x xx b x x x c。

6. 211123=0______49x x x =，则。

7.222031,005D =-已知111213=______M M M -+则。

8．=______x y x y y x y x x y x y+++。

9．100110=______011001a b c d---。

10．222=______a b c a b c b c c a a b+++。

11. 已知21341023,15211152D =-则1323432=______A A A ++。

.第1章行列式(作业1) 一、填空题1．设自然数从小到大为标准次序，则排列13 ⋯(2n1)24 ⋯(2n)的逆序数为，排列13⋯(2n1)(2n)(2n 2)⋯2的逆序数为.2．在6阶行列式中，a23a42a31a56a14a65这项的符号为. 3．所有n元排列中，奇排列的个数共个.二、选择题00010002001.由定义计算行列式=（）.n100000000n（A）n(n1)!（）(n1)(n2)（）n!（B）(1)2C (1)2n! D (1)n(n1)n!nx x102．在函数1x23中，x3的系数是（）. f(x)3x22112x（A）1 （B）-1 （C）2 （D）33．四阶行列式的展开式中含有因子a32的项，共有（）个. （A）4；（B）2；（C）6；（D）8.三、请按下列不同要求准确写出n阶行列式 D det(a ij)定义式：1．各项以行标为标准顺序排列；2．各项以列标为标准顺序排列；3．各项行列标均以任意顺序排列.四、若n阶行列式中，等于零的元素个数大于n2n，则此行列式的值等于多少？说明理由.......第1 章 行列式 (作业2) 一、填空题a11 a12 a134a 11 2a 11 3a 12 a13 1．若D=a21 a22 a23 1,则D14a21 2a21 3a22 a23_____. a31 a32 a33 4a 312a 31 3a 32 a331 12 31 2 x 2 2 3的根为___________. 2．方程3 1 =0 2523 1 9 x 2二、计算题2 13 4a 1 0 0 4 1 9 161 b 1 01． 15 45 60 2．1 c 130 0 117 1 80 1 da b b b a b 3．Dnb ba.....x a1a2a1x a2a1a2x 4.D n1a1a2a3a1a2a3.an11a n11a n11x1a n1x11x12x1n x21x22x2n5．计算n阶行列式D n(n2)。

第一章 行列式试题及答案一 选择题 (每小题3分，共30分)⑴ n 元排列 i 1 i 2… i n 经过相邻对换，变为i n … i 2 i 1，则相邻对换的次数为( )(A) n (B) n /2 (C) 2n(D) n (n -1)/2⑵ 在函数()xx x x x x f 2142112---=中，x 3的系数是( )(A) -2 (B) 2 (C) -4 (D) 4⑶ 若D n =det(a ij )=1，则det(－a ij ) = ( )(A) 1 (B) -1 (C) (-1)n (D) (-1)n(n -1)/2⑷ 设nn λλλλλλNO2121=，则n 不可取下面的值是( )(A)7 (B) 2k +1(k ≥2) (C) 2k (k ≥2) (D) 17⑸ 下列行列式等于零的是( )(A)100123123- (B) 031010300- (C) 100003010- (D) 261422613-⑹ 行列式D 非零的充分条件是( ) (A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例(D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 ⑺ =+++111222c bcacbc b ab ac ab a ( )(A) 100010001222+c bc ac bc b ab ac ab a (B) 1111122222+++++c bc ac bc b ab ac ab c bc ac bc b ab ac ab a(C) 101011122222+++++c bc bc b ac abc bc ac bc b ab ac aba(D) 111222bc ac bc ab acab c bc ac bc b ab acab a+⑻ 设a ,b ,c 两两不同，则0222=+++c b a c b a ba a c cb 的充要条件是( )(A) abc =0 (B) a+b+c =0 (C) a =1, b =-1, c =0 (D) a 2=b 2, c =0⑼ 四阶行列式=44332211a b a b b a b a ( )(A) (a 1a 2- b 1b 2) (a 3a 4- b 3b 4) (B) (a 1a 4- b 1b 4) (a 2a 3- b 2b 3) (C) (a 1b 2- a 2b 1) (a 3b 4- a 4b 3) (D) (a 1b 4- a 4b 1) (a 2b 3- a 3b 2)⑽ 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+0302022321321321x x x x x x x x x λ只有零解，则λ应满足的条件是( )(A) λ=0 (B) λ=2 (C) λ=1 (D) λ≠1二 填空 (每小题3分，共15分)⑴ 在五阶行列式中，3524415312a a a a a 的符号是_________。

一、填空题1．设自然数从小到大为标准次序，则排列1 3 … 2 4 … 的逆序数为)12(-n )2(n ，排列1 3 … …2的逆序数为 .)12(-n )2(n )22(-n 2．在6阶行列式中，这项的符号为 .651456314223a a a a a a 3．所有n 元排列中，奇排列的个数共 个.二、选择题1.由定义计算行列式= （ ）.nn 0000000010020001000 -（A ） （B ） （C ） （D ）!n !)1(2)1(n n n --!)1(2)2)(1(n n n ---!)1()1(n n n --2．在函数中，的系数是（ ）.xx xx x x f 21123232101)(=3x （A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）33．四阶行列式的展开式中含有因子的项，共有（ ）个.32a （A ）4； （B ）2； （C ）6； （D ）8.三、请按下列不同要求准确写出n 阶行列式定义式：)det(ij a D =1．各项以行标为标准顺序排列；2．各项以列标为标准顺序排列；3．各项行列标均以任意顺序排列.四、若n 阶行列式中，等于零的元素个数大于，则此行列式的值等于多少？说明理由.n n -2一、填空题1．若D=._____324324324,13332313123222121131211111333231232221131211=---==a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a 中2．方程=0的根为___________ .229132513232213211x x --二、计算题1．2．8171160451530169144312-----dc b a10011001101---3．ab b ba b b b aD n =4.111113213211211211211n n n n n a a a a x a a a a x a a a a x a a a a x D ---+=5．计算n 阶行列式。

第一章 行列式一、单项选择题1．=0001001001001000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D)22. =0001100000100100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D)23. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 4．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-5． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 26. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ).(A)1- (B)2- (C)3- (D)07. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ).(A)1- (B)2- (C)3- (D)08. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1. 行列式=0100111010100111.2．行列式=-0100002000010 n n .3．行列式=--001)1(2211)1(111 n n n n a a a a a a .4．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .5．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.6．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .7．n 阶行列式=+++λλλ111111111.8．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3, 2, 1，则该行列式的值为.9．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .10．已知db c a cca b b a b c a c ba D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.11．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .12．已知行列式nn D001031002112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.13．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.14．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1. cb a db a dc a dc bd c b a d c b a d c b a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x+++；3．解方程11011101110=x x x x ； 4.na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)；5. bn b b ----)1(1111211111311116. na b b b a a b b a a a b 321222111111111； 7．xa a a a x a a a a x a a a a x n nn321212121; 8.2212221212121111nn n nn x x x x x x x x x x x x x x x +++;9.211200000210012100012； 10．aa a aa a a a a D ---------=1101100011000110001.参考答案一． 单项选择题C C A B CD B B 二．填空题 1.0; 2.!)1(1n n --; 3.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 4.M 3-; 5.160-; 6.4x ;7.1)(-+n n λλ; 8.2-; 9.0; 10.0; 11.9,12-; 12.)11(!1∑=-nk kn ;13.3,2-≠k ; 14.7=k 三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-； 3. 1,0,2-=x ; 4. )111()1(00∑∏==-+-nk knk k a a ; 5. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ; 6. ∏=--nk k kna b1)()1(;7. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(; 8. ∑=+nk k x 11; 9. 1+n ;10. )1)(1(42a a a ++-.。

一、填空题1．设自然数从小到大为标准次序，则排列1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n 的逆序数为 ，排列1 3 … )12(-n )2(n )22(-n …2的逆序数为 . 2．在6阶行列式中，651456314223a a a a a a 这项的符号为 . 3．所有n 元排列中，奇排列的个数共 个. 二、选择题1.由定义计算行列式nn 00000010020001000ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ-= （ ）. （A ）!n（B ）!)1(2)1(n n n --（C ）!)1(2)2)(1(n n n --- （D ）!)1()1(n n n --2．在函数xx x x xx f 21123232101)(=中，3x 的系数是（ ）.（A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）33．四阶行列式的展开式中含有因子32a 的项，共有（ ）个. （A ）4； （B ）2； （C ）6； （D ）8.三、请按下列不同要求准确写出n 阶行列式)det(ij a D =定义式： 1． 各项以行标为标准顺序排列；2． 各项以列标为标准顺序排列；3． 各项行列标均以任意顺序排列.四、若n 阶行列式中，等于零的元素个数大于n n -2，则此行列式的值等于多少？说明理由.一、填空题1．若D=._____324324324,13332313123222121131211111333231232221131211=---==a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a 则2．方程229132513232213211x x --=0的根为___________ .二、计算题 1． 8171160451530169144312----- 2．dc b a100110011001---3．abbb a b b b a D n ΛΛΛΛΛΛΛ=4.111113213211211211211nn n n n a a a a x a a a a x a a a a x a a a a x D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ---+=5．计算n 阶行列式)2(212121222111≥+++++++++=n nx x x n x x x n x x x D n n n n ΛΛΛΛΛΛΛ。

一．判断题a11 a12 a1n（易） 1、n阶队列式a21 a22 a2n 是由n 2个数组成的 n 行 n 列的数表（）．an1an 2ann答案：×0 0 0 12、0 0 2 0（较简单） 1 2 6 ．（）．6 0 0 0答案：×0 0 0 k13、0 0 k2 0k8（较简单）k1 k2 ．（）．k8 0 0 0答案：√（较简单） 4. 若方阵 A 的各行元素之和为零，则 A 0 ( ) 答案：√二．填空题1 2 3 4 57 7 7 3 3（中等） 1. 设A 3 2 4 5 2 ,A31A32 A33 _________, A34A35 ________3 3 3 2 24 65 2 3 答案： 0， 01 2 3 4（中等） 2. D 2 4 3 1 求A11A21A31 A41=________ 4 1 3,21 4 3 2答案： 0（较简单） 3. 5 阶队列式D的第 2 列元素挨次为1,1,0,2,1 它们对应的余子式分别为－ 1,3, －2,0,1 ，则D ________.答案： 3c ad b（较简单） 4. a c d b= ．a c b dc a b d答案： 02x 2 y x x y（较简单） 5.2x 3y x y x = ．2x 3y x y答案：2xy( x y)246 427 327（较简单） 6. 1014 543 443 =342 721 621答案： 294 1051 2 3（中等） 7．已知三阶队列式 D 4 5 6 ，它的元素 a ij的代数余子式为A ij（i 1,2,3, j 1,2,3），7 8 9则与 aA21 bA22 cA23对应的三阶队列式为．1 2 3答案： a b c7 8 93 04 0（中等） 8．设队列式D 2 2 2 2.0 7 0, 则第四行各元素余子式之和的值为5 3 2 2答案：– 28x x 0 0（较简单） 9．1 1 x 1 1= ．0 0 y y1 1 1 1 y答案： x2 y21 1 1 x 1（中等） 10．队列式 1x 1 x 1 1 =．1 1 1 1x 1 1 1 14答案： xx1 x2 x3 0（较简单） 11．当 = 或= 时，齐次方程组x1 x2 x3 0 有非零解．x1 2 x2 x3 0答案： 1， 01 1 1 1a b c d（较简单） 2. 设 Db2 c2 2 , 则 D=______________a2 da3 b3 c3 d 3答案： ( d c)(d b)(d a)(c b)(c a)(b a)（较简单） 13. 已知四阶队列式 D 的第二行元素分别为3, 1, -1, 2,他们对应的余子式分别为 1, 2, 2, -1, 则队列式 D ______答案： -1（较简单） 14. 设 A是三阶方阵,且| A| 3,则|(2A) 1 |=_______答案：124（简单） 15. A 为正交矩阵,则| A|_____________答案： 1 或-1（较简单）16. 已知四阶队列式D的第 3 列元素分别为 1,3,-2,2, 他们对应的余子式分别为 3,-2,1,1, 则队列式 D=________答案： 52 5 6（简单） 17. 队列式a 1 3 中元素 a 的代数余子式= _________4 1 2答案：－４（较简单）18. 四阶队列式 D 的第二行的元素都是2，且第二行元素的代数余子式都是3，则 D= _________答案： 0（较简单）19. 设 A 是三阶队列式，且 A 1，则 A 2 A ______答案： 512（较简单）20. 设五阶矩阵 A 的队列式 A 2 ，则其陪伴矩阵 A*的队列式 A* ____答案： 161 2 3（简单）21.已知三阶队列式D 2 01,则第3行第2列元素的代数余子式1 5 2A32=_____________答案： 7（简单） 22.按自然数从小到大为标准次序，摆列4132 的逆序数为．.答案： 1（简单） 23. 当 ik时摆列 1274 i 56 k 9 为偶摆列．答案： 8， 3（简单） 24. 摆列 13 （ 2n 1） 2 4（ 2n ）的逆序数为 _______．答案：n(n1)2（简单） 25. 在五阶队列式中项 a 13a 24 a 32 a 41a 55 前方应冠以 号（填正或负） ．答案：负（简单） 26. 四阶队列式中含有因子 a 11a 23 且带负号的项为 _____答案： a 11 a 23 a 32 a 44（简单） 27. 设 A 为 n 阶矩阵 , 且 A TA E ，则必有 A________答案： 1 或－1（简单） 28. 设 A 为 n 阶可逆矩阵，假如 A2,则 A *________答案： 2n 1（简单） 29. 设 A 为 n 阶可逆矩阵，假如 A 2,则A*________答案： ( 2)n 1（简单） 30. 设 A 为 n 阶矩阵 , 且 A TAE ，则必有A T________答案： 1 或－1（简单） 31. 设 A 是 n 阶方阵 , A * 为其陪伴矩阵 , 若| A|a , 则| A * | =__________答案： a n 1（简单） 32. 若|A 4 4 | 2 , 则 | A *| _________答案： 82 1 1（简单） 33. 设 D 31 1 1 ,则A 31 A 32A33_____41 0答案： 0x aa（较简单） 34. 若 ax a 0 ，则 a _____a ax答案：2a 或 0x y z x y z（较简单） 35. 已知3 0 2 1 ，则 3x 3 3y 3z 2 _____1 1 1 x2 y 2 z 2答案： 20 0 0 a1 a1 0 0 0（较简单） 36. 设D20 0 a2 0 0 2a2 0 0_____ D2 0 a3 0D10 0 3a3，则 D10 0a4 0 0 0 0 0 0 4a4答案 :241 2 0 03 4 0 0____（简单） 37. D0 5 40 0 4 5答案 :-181 2 0 03 4 0 0____（简单） 38. D0 1 30 0 5 1答案 :321 1 1 10 0 1 1____（较简单） 39. D0 1 11 0 0 1答案 :0x y z 0（较简单） 40. 若齐次线性方程组x 3y z 0 有非零解,则____x y 3z 01答案 :2（简单） 41. 队列式 A 中元素a ij的代数余子式A ij与余子式 M ij 之间的关系 ____答案 : A ij( 1)i j M ij（较简单） 42. 若 n 阶方阵 A 的秩为 n-1, 在A ____答案 :0（较简单） 43. 设 A,B 是两个三阶的方阵, 且A 1, B 2 ,那么 3(A T B 1)3 ____27答案 :8（简单） 44. 设三阶方阵 A 的不一样特点值为 -1,2,4 , 则 A ____答案 :-8（较简单）45. 若 A,B 为 n 阶方阵 , 且A 1 , B 3 ,则2A*B 1 ____ 答案 : ( 1)n 12 23（简单） 46.A 为三阶方阵 , A 2,则1A ____ 2答案:142 3 4 547. 设队列式D 2 4 6 84A42 6A43 8A44____（较简单）1 2 0 , 则2A41 35 6 4 3答案 :0x y z 4 1 3（较简单）48.若3 0 2 2 ,则 x 1 y 1 z 1 ____1 1 1 1 1 1答案 :28 27 64 125（较简单） 49. 4 9 16 25____ 2 3 4 51 1 1 1答案 :12a11 a12a13a11 3a12a13（较简单）50. 假如 D a21a22a23 3 ,则 2a21 6a22 2a23 = ____ a31a32a33a31 3a32a33答案 :-18a11 a12a13 2a11 2a12 2a13（较简单）51. 假如 D a21a22a23 3 ,则 2a21 2a22 2a23 = ____ a31a32a33 2a31 2a32 2a33答案 :24（简单） 52. 已知三阶方阵 A 的三个特点值为1，－ 2，3 ，则 A ____ 答案：－ 60 1 0 L 00 0 2 L 0（简单） 53. D n M M M O 00 0 0 L n 1n 0 0 L 0答案： ( 1)n 1n!0 x y（简单） 54. D x 0 z＝y z 0答案： 01 2 5 3（简单） 55. 已知 D 2 8 4 0 A23 1 3 9,2 1 0 6答案：－ 9ab ac ae（简单） 56. bd cd de =bf cf ef答案： 4abcdef1 b1 0 0（较简单） 57. D1 1 b1 b2 00 1 1 b2 =b30 0 1 1 b3 答案： 12 0 0 1（较简单）队列式0 2 1 0 ＝0 1 2 01 0 0 2答案： 9三．选择题（简单） 1.(k 1)x1 2x 2 0假如( k 1)x仅有零解 , 则( ).2x1 2 0A.k 1 ,B. k 1 或 k 3,C.k 3 ,D.k 1 且 k 3.答案： D（较简单） 2. 设 D, , , , , 分别表示队列式 D 的三个列，则 D （ ）A., ,B., ,C., ,D., ,答案： Da 1 0 0b 10 a 2 b 2 0）（较简单） 3．四阶队列式 D= b 3 a 3 的值等于（0 0b 4 0a 4A. a 1a 2a 3a 4 b 1b 2b 3b 4B. a 1 a 2 a 3 a 4 b 1b 2 b 3b 4C. (a 1a 2 b 1b 2 )(a 3a 4 b 3b 4 )D. (a 2 a 3 b 2b 3 )( a 1a 4 b 1b 4 )答案： Da11a 12 a 132a 11 2a 12 2a 13（简单） 4. 假如 a 21a 22 a23 2 ，则 2a 21 2a 22 2a 23（ ）a31a32a332a 31 2a 32 2a 33A.2B. 4C. 12D. 16答案 :D（较简单） 5. 已知 4 阶方阵 A ，其第三列元素分别为 1，3，－ 2， 2，它们的余子式的值分别为3,-2,1,1则队列式A ( )A. 答案 :A1 1 1 11 1 1 x, 则方程 f ( x)0 的三个根分别为 ( )（中等） 6. 设 f (x)1 4 x2 111 8 x 3A. 1,-1,2B. 1,1,4C. 1,-1,8D. 2,4,8答案:Aa 1b a 1c 1（较简单） 7. 队列式 a 2b a 2c 1=( )a 3b a 3c 0A. 0B. b cC. (c b)(a2 a1)D. b(a2 a1 ) 答案 :C1 3 2（简单） 8. 队列式 D 5 2 0 中元素 a32的代数余子式为( )1 0 3A. 0B. -10C. 10D. 3答案 :B2 1 3（简单） 9. 队列式 D 0 1 2 中元素 a32的代数余子式为( )2 0 1A. 4B. -4C. 0D. 2答案 :Aa 11 a12a13a31a32a33（较简单）10. 若a21 a22a23 1 则2a21 2a22 2a23 ( )a 31 a32a33 3a11 3a12 3a13A. -5B. 6C. -1D. 1答案:B1 1 5（较简单）11. 设f ( x) 1 1 x2 4 ,则方程 f ( x) 0 的根分别为( )7 x2 2 3A. 1,1,3,3B. -1,-1,3,3C. -1,-1,-3,-3D. 1,-1,3,-3答案： D(较简单 )a11 a12a13 3a31 3a32 3a3312. 已知a21 a22a23 d ,则队列式a11a12a13 ( )a31 a32 a33 2a21 3a11 2a22 3a12 2a23 3a13 A. 6d B. 6d C. 3d D. 3d答案： Aa1 a2 a3（较简单） 13. 3 b1 b2 b3 ( )c1 c2 c33a1 a2 a3 3a1 3a2 3a3 3a1 3a2 3a3 A. b1 3b2 b3 B. 3b1 3b2 3b3 C. b1 b2 b3c1 c2 3c3 3c1 3c2 3c3 c1 c2 c3a1 3a2 a3D. b1 3b2 b3c1 3c2 c3答案 :D0 0 0 3 00 0 1 0 0（较简单） 14. 队列式 D 0 2 0 0 0 ( )1 0 0 0 00 0 0 0 2A. -12B. 12C. -6D. 6答案 :A（较简单） 15. 设 D n det(a ij ) ,则 D n 0 的充足必需条件是( )A.D n中有两行(列)元素对应成比率B.D n中有一行(列)的元素均为零C. a i1 A j 1 a i 2 A j 2 a in A jn 0(i j )D. ai1Aj 1ai 2Aj 2ainAjn 0(i j )答案 :Cx x 1 x（中等） 16.2 23 xf ( x)10 4是( ) 次多项式7 317 1 xA.答案 :C（较简单） 17. 四阶队列式D的某行元素挨次为-1,0,k,6,它们的代数余子式分别为3,4,-2,0,且 D 9 ,则 k ( )A. 0B. 3C. 1D. -1答案 :Ba11 a12 a13 a13 4a11 a12 5a11( 较简单 )18. 若a21 a22 a23 1 ,则 a23 4a21 a22 5a21 ( )a31 a32a33a33 4a31a32 5a31A. 5B. -5C. 20D. -20 答案 :Aa2 ab ac（简单） 19. ab b2 bc ( )ac bc c2A. abcB. 1C. 0D. a2b2c2答案 :C（较简单） 20. 设 A* , A 1分别为n阶方阵A的陪伴矩阵和逆矩阵,则A*A1 （）A.nB. An 1 n 2 n 3 A C. A D. A答案 :C（较简单） 21. 已知 A 为三阶矩阵 , 其第三行元素分别为 1,3,-2, 它们的余子式分别为 3,-2,1, 则A ()A. 5B.-5C.7D. -7答案 :Ca11 a12a13 4a11 2a11 3a12a13（较简单） 22. 假如a21 a22a23 1 ,则 4a21 2a21 3a22a23 ( )a31 a32a33 4a31 2a31 3a32a33A.8B. -12C. 24D. -24答案： B103 100 204（较简单） 23. 队列式199 200 395 （）301 300 600A. 1000B. -1000C. 2000答案： C0 1 0 5（较简单） 24. 队列式D40 2 2 63 3 0 的值为（）70 4 0 8A. -12B. -24C. -36D. -72答案： D（较简单） 25. 设A为n阶方阵，且 A 0 ，则（）A. A 中必有两行(列)的对应元素成比率;B. A 中随意一行(列)向量是其他行（列）向量的线性组合;C. A 中必有一行(列)向量是其他行（列）向量的线性组合;D.A中起码有一行 ( 列 ) 向量为零向量答案： C（较简单） 26.已知三阶矩阵 A 的特点值为1， 2，3，则队列式A2=( )A. 0B. 1C. 6D. 36答案： Da11 a12a13 3a31 3a32 3a33（较简单） 27. 假如 D a21a22a23 m， D1 3a21 3a22 3a23 a31a32a33 3a11 3a12 3a13那么D1（）．A. 3m；B.3m ；C. 9m ；D. 27m ．答案： D0 0 0 1 00 0 1 0 0（较简单）28. 已知D1 0 0 ，则 D （）0 01 0 0 0 00 0 0 0 1n ( n 1) (n 1)( n 2)C. ( 1) 2D. ( 1) 2答案： D29. 队列式 D 非零的充要条件是（）A.D 的全部元素都不为零B.D 起码有n2n 个元素不为零C.D 的随意两列元素之间不可比率D. 以 D为系数队列式的线性方程组有唯一解答案： D四．解答题1 a1 1 1 L 1 11 1 a2 1 L 1 1（较难） 1.1 1 1 a3 L1 1L( a i 0,i 1,2, , n)M M M M 11 1 1 L 1 1 a n 解：1 a 1 1 1 L 1 1 1 1 a2 1 L 1 1 1 1 1 a3 L 1 1 MM MM11 11L1 1 a n1 a 1 1 1 L 1 1 a 1a 20 L0 0a 1 0 a 3 L 0 0M MMMMM a 1 0 0 L0 a n1 a 11 1 L 1 1 a 1 a2 0 L 0 0 a 1 0 a3 L 0 0 M M M M M Ma 10 L0 a nna1 a 1111 L1 1a ii 20 a 2 0 L 0 0 00 a 3 L 0 0MMMMMM00 0 L 0 a na 2 0 L1 a 1na 1 0 a 3L 0(1n1ni 2a i L LL )a ii 1a ii 10 0 L a n 1 2 3 L n2 3 4 L 1 （较难） 2． 34 5 L 2 LLL L Ln 1 2 L n 11 2 3 L n 1 2 L n 2 3 L n2 3 4 L1 12 L n3 4L1 解：345 L 2＝1 2 Ln 4 5 L 2 LL L LLL L L L L n 1 2Ln 1 1 2 L n 1 2Ln 1123L n1 1 L n 11 3 4 L 1 n(n 011 L 1 ＝(1 2Ln) 1 4 5 L 2 1)L L L2LLLLL0 n 1 1 L11 12 L n 11 12 L n 1 n1 1 L 1 n 1 0 01 1L n 1 10 ＝ (1)n1n(n 1)LL L ＝ (1)n 1 n(n 1)L21 n 1 L 1 120 nn11L11n 111L0 n L n 0 L L L 0 0L11n 1＝ ( 1)n 1n(n 20 L 0 n 1)nLn 0 ( 1)L L LL n Ln 2n(n 1)(n 1)( n 4)＝( 1)n 1( 1) n( 1) n 1L ( 3 n 2( 1) 2n(n 1)2 1) n2x a a L ax aL（较难） 3． D n aa x La aa a aaL L LL L La a a L a xx a a L 0 x a a L a 解： D na x a La x a L a L L LLL L L L L Laaa Lx aaaa Lax a a x0 L 00 x a a x L 0＝ ( x a)D n 1LL LL L( x a) D n 1 a( x a)n 10 00 x a 0aaaLa由递推关系有 D n1 ( x a)n ( x a)n 21 1 L n （较难） 4． D nL L LL1 n L1n1L 11 n 0 L n 1 0 0 L n 1 解： D nLL LL L L L L 1 n n 1 L 0 0 n 1 Ln1L111L1n0 L n 1 ＝ ( 1)( 1)n 1LL LL0 n 1 Ln 1 0L 0n 10 L n 1 ＝ ( 1)( 1)n 1(1)n( n1) L LLL0 n 1 Ln 11 L1n 2n 1nn 13n 1n25n 4n 1＝ (1)( 1) (1) L( n( 1)2(n 1)1) ( 1) ( 1)n2nn2n＝ (1)2( n 1) ( 1) 2(n 1)n1 ( 1)2( n 1)n15 3 0 1（中等） 5. 写出四阶队列式D 02 1 0中元素 a 231, a 33 4 的代数余子式，并求其10 4 73 02值 .5 3 1 0 3 34 解：A23( 1)231 0 71 0 70 3 20 323 34 610296.325 3 1A33( 1)332 0 (2) (1)225 1322( 2) 1020.Da 23A23a 33A330 96 4 ( 20)176.412 3 （中等） 6.计算队列式 23 6 434 525 2 3741230 1 0 0解 :23 64 =10 3 0534 52194 310523732 713105 00 51 31( 1)12 193 101 310 5 5( 7 69)5 62 310.23 73 7 13 23713a 0 0 L 0 10 a0 L 0 0 （中等） 7. 计算 n(n2) 阶队列式 D 0 0a L 0 0L L LL L L1 00 L0 aa 0 L 0 0 0 a0 L0 0 a L 0a L解 : 按第一行睁开，得D1 n L L LL ． aL L LL1 LL0 0 0 L a0 0 La1 00 L再将上式等号右侧的第二个队列式按第一列睁开，则可获得D a n1 1 n1n 1 1a n 2a n a n 2a n 2 a 2 1a b b L bb a b L b （中等） 8．计算队列式 Db b a L bL L LL Lbbb Laa n 1b b b L ban 1 b a b Lb 解 :Da n 1b b aL bLL LL Lan 1 bbb La1 b b L b 1 b bLb1 a b Lba ba (n 1)b1 b a L b = a (n 1)ba bL L LL L O1bb L aa b2 3 150 97 5081 4 43 78 968（较简单）9. 计算队列式 D0 0 210 .0 0 0 3 40 010 2解 :2 3 150 97 5081 4 43 78 9682 3 2 1 00 1 4 D0 0 2 1 0 0 3 4 (8 3) 0 34 1 40 00 3 4 10 21 020 0 1 02111 412)11 16 176.34 11(4（较简单） 10.k 取何值时，以下齐次线性方程组有非零解：x 1 x 2 kx 3 0,x 1 kx 2 x 3 0,x 1 x 22x 30.解 :方程组有非零解的必需条件是系数队列式等于零.11 k1 1 k1 1 k D1 k 10 k 1 1 k(k 1) 0 1111 22 2 k2 2 k1 1 k(k 1) 0 11(k 1)(4 k).即 ( k 1)( 4 k) 0.0 0 4 k因此当 k1或 k 4时，齐次线性方程组可能有非零解.1 5 3 3 （中等） 11.计算队列式 D2 0 1 13 1 1 .241311 5 3 31 5 3 3 1 53 3 解： D0 1055211 01 1 1 016 1011 52( 5)0 2 3 0 3 00 219 11 0 1 112111 53 3153 311 111 1( 5)(5) 023 550 02 311310 02x a a （中等） 12. 计算队列式 D na xa．a ax1 11 1 1 1r 1 (r 2r n )a xax a0 解： D n[ x ( n 1)a][ x (n 1) a]a a xx a[ x (n 1)a]( xa) n15 2 3 1 （中等） 13. 计算队列式的值 D0 1 1 17 1 0 1811 15 2 3 1 1 0 11(2) ( 1)解： D0 1 1 125 3 17 1 0 1=7 0 118 1 1 1 1 8 1 11 0 1 11 1 1 01 11 0 0 5 5 1 015 521 5 5 0 7 12 =21 7=0 9 170 0 8 2 0 02 80 02 81 1 1 01 11 0 0 15 52 0 1 5 529 170 0 1 4( 9)0 0 0 1 4 09 171 1 1 00 1 553820 140 0195 3 0 ... 0 02 53 ... 0 0 （难） 4.计算 n 阶队列式的值 D n0 2 5 ... 0 0 ... ... ... ... ... ...0 0 0 (5)30 0 0 ...2 5解 按第一行睁开，得：2 3 0 ... 0 00 5 3 ... 0 00 2 5 ... 0 0 按第一列睁开5D n 16D n 2D n 5D n 1 3... ... ... ... ... ...0 0 0 ... 5 30 0 (2)5n 1获得递推式： D n 5D n 1 6D n 2写作D n 2D n 1（ ） 2D n 1 n 22D 1）3 D n 1 2D n 2 ，可得 D n 3 （ D 2写作（ ） n 2D n 3D n 12 D n 1 3D n 2 ，可得 D n 3D n 1 2 （ D 2 3D 1）而 D 15, D 25 32 195D n 2D n13n解之得 D n3n 12n1D n 3D n2n 1x y 0 0 ... 0 00 xy 0 ... 0 0 （中等） 15. 计算 n 阶队列式 D 0 0x y ... 0 0的值... ... ... ... ... ... ... 0 0 0 0 ... x yy 00 0 ... 0 x解 依据第一列睁开xy 0 ... 0 y 0 0 00 x y 0x y 0 ... 0 Dx (1)1 10 0 x ...y( 1)n 1 0 x y ...... ... ... ... ... ... ... ... ... ...0 0 0 (x)n 10 0 0 ...yn 1x x n 1 y ( 1)n 1y n 1x n( 1) n 1 y nx 1 x 2 x 3 0 （较简单） 16. 问 ， 取何值时，齐次线性方程组x 1x 2 x 3 0 有非零解？x 1 2 x 2x 3解：齐次方程组有非零解的必需条件是系数队列式等于零，故1 1 0 11 111 11(1)1122 0即0 或1 齐次线性方程组有非零解。

第九讲队列式单元测试题评论一、填空题（每题2 分，满分 20 分）1．全体 3 阶摆列一共有 6 个，它们是 123,132,213,231,312,321；2. 奇摆列经过奇数次对调变成偶摆列，奇摆列经过偶数次对调变成 奇 摆列；3. 队列式 D 和它的转置队列式D 相关系式 DD ；4. 互换一个队列式的两行（或两列） ，队列式 的值改变符号 ；5. 假如一个队列式有两行（或两列）的对应元素成比率，则这个队列式等于零 ；6. 一个队列式中某一行（列）全部元素的公因子能够提到队列式符号的外边；7. 把队列式的某一行 （列）的元素乘以同一数后加到另一行 （列）的对应元素上，队列式 的值不变 ；8. 队列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零 ；a11a 12La 1n0 a22La2na 11a 22 K a nn ;9. MMMMLann10.当 k= 214kk2时，45。

2k二、判断题（每题 3 分，满分 24 分）1. 若(i1i2i n )k,则 (i 2 i1i 3 i n ) k 1（∨）a11a12a1n2.设D a21a22a2n , 则D的一般项 a ij a i j2ai j的符号1 12n nan1an2ann是( 1)( j1 j2j n ).（×）3.若 n(n>2)阶队列式 D=0,则 D 有两行（列）元素同样 . (×) 4．若 n 阶队列式 D 恰有 n 个元素非 0，则 D≠0.(×) 5.关于线性方程组，只需方程个数等于未知数个数，就能够直接使用克莱姆法例求解。

（×）6．若队列式 D 的同样元素多于n2n 个，则D=0.(× )a11a12a13a13a23a337.a21a22a23a12a22a23(× )a31a32a33a11a21a31阶队列式主对角线上元素乘积项带正号，副对角线上元素乘积项带负号。

第一章习题1-1．计算下列行列式（1）713501163.（2）4321651005311021.（3）222111ab c a b c . （4）2010411063143211111.（5）49362516362516925169416941.1-2．计算行列式abcdb a dc cd a b d c b a.1-3．计算n 阶行列式（1）n321332122211111.（2）14321432113213121321n nnn nn n n---.（3）21111121111211112------． 1-4． 证明：（1）2221112222221111112c b a c b a c b a b a a c c b b a a c c b b a a c cb =+++++++++.（2）321321321332321332321332321c c c b b b a a a c mc c lc kc c b mb b lb kb b a ma a la ka a =+++++++++.（3）222244441111a b c d a b c d a b c d ()()()()()()()b a c a d a c b d b d c a b c d =------+++.1-5．计算行列式xyy x y x y x 0000000000.1-6．计算4阶行列式112233440000000a b a b b a b a . 1-7． 如果行列式∆=nnn n nna a a a a a a a a212222111211，试用∆表示行列式nnn n n nn a a a a a a a a a a a a 11211213323122221的值． 1-8．利用克莱姆法则解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-=--=+-+067452296385243214324214321x x x x x x x x x x x x x x . 1-9. 问λ取何值时，齐次线性方程组可能有非零解？12120x x x x λλ+=⎧⎨+=⎩ 1-10.已知()413571200=10301004ij D a =，求11121314A A A A +++.第一章习题解答1-1．计算下列行列式（1）713501163（2）4321651005311021（3）2010411063143211111（4）49362516362516925169416941（5）222111a b c a b c .(1)解一 由三阶行列式定义得71350116330765311110335161709010154234.=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=++---=解二2331123361105105105361056317317018r r r r r r --↔==--23325105105018018340560034r r r r ↔-=-=-=-.(2)解213241120112011201135001510151015601560007123400330033r r r r r r -----==34120101512100330007r r ↔-==.(3)解43433232211111111111111234012301231361001360013141020014100014r r r r r r r r r r -----==4311110123100130001r r -==.(4)解43433232211491614916149164916253579357909162536579112222162536497911132222r r r r r r r r r r -----===.(5)解 222111()()()ab c c b c a b a a b c =---. 1-2．计算行列式abcdb a dc cd a b d c b a.解12341111()r r r r ab c d b a d c b a d c a b c d c d a b c d a bdcba dcba+++=+++41322110()c c c c c c b a bd a c b a b c d c d c a d b c dc db ca d------=+++------()a b d ac b a b cd d c a db c c db ca d---=+++------ 3221()000r r r r a b d a c b a b c d a b c da b c da b c d++---=+++--++--+--21()()(1)d a c b a b c d a b c d a b c da b c d+--=+++--+-+--+--[]()()()()()()()()().a b c d a b c d a b c d d a c b a b c d a b c d a b c d a b c d =-+++--++-----=+++--++---+-1-3．计算n 阶行列式（1）n321332122211111.（2）143214321132********n nn n nn n n---.（3）21111121111211112------．(1)解 1122111111111122201111123300111230001n n n n r r r r r r n------==. (2)解12123112312131113123111311(1)22341134123411341nc c c n n n n n n n n n n n n n n n n n n+++------+=2131112310100001200(1)2112001111n r r r r r r n n n n n n------+=--10001200(1)113021111n n n--+=--1(1)!(1).2n n -+=-(3)解 21111111112111021111211012111111210112n D +--+==---+-----+--, 按第一列展开成两个行列式得111111111211021111210121111112112n D -=+--------213111111032200320003n nr r r r r r n D +++-=+ 112122122333333n n n n n n n D D D -------=+=++=++++12212221333333512n n n n ----=++++=++++-12213313333111132n n n n ---+=++++++=+=-.1-4． 证明：（1）2221112222221111112c b a c b a c b a b a a c c b b a a c c b b a a c cb =+++++++++.证11111111111111112222222222222222b cc a a b b c a a b c c a a b b c c a a b b c a a b c c a a b b c c a a b b c a a b c c a a b ++++++++++=++++++++++++左= 1111111122222222b c a a c a a b b c a a c a a b b c a a c a a b ++=+++++111111222222bc a c a b b c a c a b b c a c a b =+1112222a b c a b c a b c ==右. （2）321321321332321332321332321c c c b b b a a a c mc c lc kc c b mb b lb kb b a ma a la ka a =+++++++++. 证 1323123233122312323312231232331223c lc c mc a ka la a ma a a ka a a b kb lb b mb b b kb b b c kc lc c mc c c kc c c --+++++++=+++++左=12123123123c kc a a a b b b c c c -==右. （3）222244441111a b c d abcda b c d ()()()()()()()b a c a d a c b d b d c a b c d =------+++.证 243322122224444222222222111111110=()()()0()()()r a r r ar r ar a b c d b a c a d a a b c d b b a c c a d d a a b c d b b a c c a d d a ------=------左222222222()()()()()()b ac ad a b b a c c a d d a b b a c c a d d a ---=------222111()()()()()()b ac ad a bcdb b ac c ad d a =---+++21222111()()()()()()r ar b a c a d a b ac ad ab b ac c ad d a +=---++++++23121()2222111()()()00()()()()r b r r b a r b a c a d a c bd bc b c ad b d a --+=------+-+2222()()()()()()()c bd bb ac ad a c b c a d b d a --=----+-+[]222211()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(b a c a d a c b d b c b c a d b d a b a c a d a c b d b d b d a c b c a b a c a d a c b d b d ad bd ab c ac bc ab b a c a d a c b d b d ad bd c ac bc b a =-----++++=-----++-++⎡⎤=-----+++----⎣⎦⎡⎤=-----++---⎣⎦=-)()()()()()()c a d a c b d b d c a b c d -----+++=右.1-5．计算行列式xyy x y x y x 0000000000.解 记000000000n x y x y D x y y x=,当1n =时，1D x =;当2n ≥时，按第1列展开得000000000000000n x y x y x y xyD x x y xyx==100000(1)0000n y x y y y xy++-1(1)n n n x y +=+-.1-6．计算4阶行列式1122334400000000a b a b b a b a . 解11222222111413313333444400000(1)0(1)000a b a b a b a b a b a b b a b a a b b a ++=-+- 2222333114143333(1)(1)a b a b a a b b b a b a ++=⨯--⨯-()()142323142323a a a a b b bb a a b b =---14142323()()a a b b a a b b =--.1-7． 如果行列式∆=nnn n nna a a a a a a a a212222111211，试用∆表示行列式nnn n n nn a a a a a a a a a a a a 11211213323122221的值．解112212122211121313232122211121211121(1)(1)n n n n r r n r r n n r r n n n n n nn n n nnna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---↔↔↔--=-=-∆.1-8．利用克莱姆法则解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-=--=+-+067452296385243214324214321x x x x x x x x x x x x x x .解 方程组的系数行列式2151130627002121476D ---==≠--,181********52120476D ---==---，2285119061080512176D --==----，321811396270252146D --==--，4215813092702151470D --==---,方程组的解为12343,4,1,1x x x x ==-=-=.1-9. 问λ取何值时，齐次线性方程组可能有非零解？12120x x x x λλ+=⎧⎨+=⎩解 方程组的系数行列式211(1)(1)1D λλλλλ==-=+-,当1λ=或1λ=-时，0D =，方程组可能有非零解．1-10. 已知()413571200=10301004ij D a =，求11121314A A A A +++.解 1234411122341112131411111111112000200==103000301004004k c c c c k A A A A =----+++∑=-2.。