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高中数学行列式试题一．选择题（共12小题）1．定义：，若复数z 满足，则z等于（）A．1+i B．1﹣i C．3+i D．3﹣i2．下列以行列式表达的结果中，与sin（α﹣β）相等的是（）A ．B ．C ．D ．3．三阶行列式中，元素9的代数余子式的值为（）A．38B．﹣38C．360D．﹣3604．定义行列式运算，将函数的图象向左平移n （n＞0）个单位，所得图象关于y轴对称，则n的最小值为（）A ．B ．C ．D ．5．行列式中，元素7的代数余子式的值为（）A．﹣15B．﹣3C．3D．126．定义行列式运算：＝a1a4﹣a2a3，函数f（x ）＝，则要得到函数f（x）的图象，只需将y＝2cos2x的图象（）A ．向左平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位7．＝（）A．cos2θB．sin2θC．1D．﹣118．定义运算，则满足的复数z为（）A．1﹣2i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i9．设直线l1与l2的方程分别为a1x+b1y+c1＝0与a2x+b2y+c2＝0，则“”是“l1∥l2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．下列四个算式：①；②；③a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2﹣a1b3c2﹣a2b1c3﹣a3b2c1；④其中运算结果与行列式的运算结果相同的算式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．展开式为ad﹣bc的行列式是（）A ．B ．C ．D ．12．若规定＝ad﹣bc 则不等式≤0的解集（）A．{x|x≤﹣2或x≥1}B．{x|﹣2＜x＜1}C．{x|﹣2≤x≤1} D．∅二．填空题（共23小题）13．若＝0，则锐角x ＝．14．已知，则λ＝．15．已知行列式中的元素a n+j（j＝1，2，3，…，9）是等比数列{a n}2的第n+j 项，则此行列式的值是．16．若行列式中（x≠1），元素1的代数余子式大于0，则x满足的条件是．17．把表示成一个三阶行列式是18．若行列式的第1行第2列的元素1的代数余子式﹣1，则实数x的取值集合为．19．行列式的最大值为．20．行列式的元素﹣3的代数余子式的值为10，则的模为．21．行列式中x的系数是22．行列式的元素π的代数余子式的值等于．23．三阶行列式中，元素1的代数余子式的值为．24．若行列式，则m的值是．25．三阶行列式中，元素4的代数余子式的值为26．若行列式的展开式的绝对值小于6的解集为（﹣1，2），则实数a等于．27．函数的最小正周期T＝．28．已知矩阵A＝，B＝，C＝，且A+B＝C，则x+y的值为．29．方程，x∈（3，4）实数解x为．30．方程组的增广矩阵是．331．若行列式＝0，则x ＝．32．对于下列四个命题①若向量，，满足，则与的夹角为钝角；②已知集合A＝正四棱柱，B＝长方体，则A∩B＝B；③在直角坐标平面内，点M（|a|，|a﹣3|）与N（cosα，sinα）在直线x+y﹣2＝0的异侧；④对2×2数表定义平方运算如下：＝，则＝其中真命题是（将你认为的正确命题的序号都填上）．33．设A为3×4矩阵，则A的列向量组必线性（相关、无关）34．规定运算，则＝．35．已知矩阵A＝，B＝，则A+B＝．4参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．定义：，若复数z 满足，则z等于（）A．1+i B．1﹣i C．3+i D．3﹣i【分析】化简行列式，再计算．【解答】解：复数z 满足＝iz+i，则z ＝＝1﹣i．故选：B．【点评】本题考查行列式，复数，属于基础题．2．下列以行列式表达的结果中，与sin（α﹣β）相等的是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据行列式的运算法则对四个选项一一进行化简运算得结果．【解答】解：∵sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ，对于A ：＝sinαcosβ+cosαsinβ；故错；对于B ：＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，故错；对于C ：＝sinαcosβ﹣cosαsinβ，正确；对于D ：＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，故错．故选：C．【点评】本题考查行列式的运算，三角函数的变换公式、和角及二倍角的公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．3．三阶行列式中，元素9的代数余子式的值为（）5A．38B．﹣38C．360D．﹣360【分析】根据行列式的展开A32＝﹣（8×7﹣6×3），即可得出结论．【解答】解：行列式中元素9的代数余子式的A32＝﹣（8×7﹣6×3）＝﹣38，故选：B．【点评】本题考查行列式的展开，考查行列式的展开式，考查计算能力，属于基础题．4．定义行列式运算，将函数的图象向左平移n （n＞0）个单位，所得图象关于y轴对称，则n的最小值为（）A ．B ．C ．D ．【分析】函数＝＝2sin（x +），从而y＝2sin[（x+n）+]的图象关于y轴对称，n＞0，由此能出n的最小值．【解答】解：∵，∴函数＝＝2sin（x +），∵f（x）的图象向左平移n（n＞0）个单位，所得图象关于y轴对称，∴y＝2sin[（x+n）+]的图象关于y轴对称，n＞0，∴n +＝+kπ，k∈Z，即n＝k，k∈Z，n＞0．∴当k＝1时，n 取最小值．故选：D．【点评】本题考查实数值的最小值的求法，考查二阶行列式、三角函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．5．行列式中，元素7的代数余子式的值为（）A．﹣15B．﹣3C．3D．126【分析】利用代数余子式的定义和性质求解．【解答】解：∵行列式，∴元素7的代数余子式为：D13＝（﹣1）4＝2×6﹣5×3＝﹣3．故选：B．【点评】本题考查余子式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意余子式的性质的合理运用．6．定义行列式运算：＝a1a4﹣a2a3，函数f（x ）＝，则要得到函数f（x）的图象，只需将y＝2cos2x的图象（）A ．向左平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位【分析】由二阶行列式的性质得：f（x ）＝，再由三角函数恒等式和诱导公式得到f（x）＝2cos（2x ﹣），由此利用三角函数图象的平移变换能求出结果．【解答】解：f（x ）＝＝＝2sin（2x ﹣）＝2cos[﹣（2x ﹣）]＝2cos（2x ﹣），∴要得到函数f（x）的图象，只需将y＝2cos2x的图象y＝2cos2x 的图象向右平移个单位．故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象的平移变换，是中档题，解题时要认真审题，注意二阶行列式、三角恒等式、三角函数图象的平移变换诱导公式等知识的合理运用．7．＝（）A．cos2θB．sin2θC．1D．﹣1【分析】本题可根据二阶行列式的定义算法进行计算，然后根据三角函数计算公式可得结果．【解答】解：由题意，可知：＝cosθ•cosθ﹣sinθ•（﹣sinθ）＝cos2θ+sin2θ＝1．7故选：C．【点评】本题主要考查二阶行列式的定义计算，以及三角函数计算．本题属基础题．8．定义运算，则满足的复数z为（）A．1﹣2i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i【分析】直接利用新定义，求出z的表达式，通过复数的基本运算，求出复数z即可．【解答】解：因为，所以＝zi+z＝2．所以z ＝＝＝1﹣i．故选：D．【点评】本题考查复数的基本运算，行列式的应用，考查计算能力．9．设直线l1与l2的方程分别为a1x+b1y+c1＝0与a2x+b2y+c2＝0，则“”是“l1∥l2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】若，则a1b2﹣a2b1＝0，若a1c2﹣a2c1＝0，则l1不平行于l2；若“l1∥l2”，则a1b2﹣a2b1＝0，所以，故可得结论【解答】解：若，则a1b2﹣a2b1＝0，若a1c2﹣a2c1＝0，则l1不平行于l2，故“”是“l1∥l2”的不充分条件；若“l1∥l2”，则a1b2﹣a2b1＝0，∴，故“”是“l1∥l2”的必要条件所以“”是“l1∥l2”的必要而不充分条件故选：B．【点评】本题重点考查四种条件的判定，解题的关键是理解行列式的定义，掌握两条直线平行的条件．810．下列四个算式：①；②；③a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2﹣a1b3c2﹣a2b1c3﹣a3b2c1；④其中运算结果与行列式的运算结果相同的算式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中按照第一列展开后所余下的元素的代数余子式的和，即知①正确；同理，在行列式中按照第一行展开后所余下的元素的代数余子式的和，即得②正确；对于③，按照行列式展开的运算法则即得a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2﹣a1b3c2﹣a2b1c3﹣a3b2c1；对于④，按照行列式展开的运算法则后与原行列式不相同．【解答】解：根据余子式的定义可知，在行列式中按照第一列展开后所余下的元素的代数余子式的和，即为．故①正确；同理，在行列式中按照第一行展开后所余下的元素的代数余子式的和，即为．故②正确；对于③，按照行列式展开的运算法则即得a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2﹣a1b3c2﹣a2b1c3﹣9a3b2c1；故正确；对于④故选：C．【点评】本题主要考查了二阶行列式的实际应用以及根据二阶行列式的定义，属于基础题．11．展开式为ad﹣bc的行列式是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，再根据所给的式子即可得出答案．【解答】解：根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，由题意得，＝ad﹣bc．故选：B．【点评】本题考查的是二阶行列式与逆矩阵，根据题意二阶行列式的意义得出所求代数式是解答此题的关键．12．若规定＝ad﹣bc 则不等式≤0的解集（）A．{x|x≤﹣2或x≥1}B．{x|﹣2＜x＜1}C．{x|﹣2≤x≤1}D．∅【分析】按照新的运算＝ad﹣bc ，则不等式≤0，可化为：2x•x+2（x ﹣2）≤0，解此二次不等式即可得出答案．【解答】解：由题意可知：不等式的解集≤0可化为2x•x+2（x﹣2）≤0即x2+x﹣2≤0，求得x的解集﹣2≤x≤1．故选：C．【点评】本题考查其他不等式的解法，解答关键是理解行列式的计算方法，是基础题．二．填空题（共23小题）1013．若＝0，则锐角x＝．【分析】直接利用矩阵知识的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．【解答】解：由于＝0，所以2cos2x﹣sin2x＝0，由于x为锐角，所以sin x＝cos x，解得x＝．故答案为：【点评】本题考查的知识要点：矩阵知识的应用，三角函数关系式的变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．14．已知，则λ＝3．【分析】由行列式的公式化简求解．【解答】解：＝（λ﹣4）+2λ＝5，解之得λ＝3，故答案为：3．【点评】本题考查行列式，属于基础题．15．已知行列式中的元素a n+j（j＝1，2，3，…，9）是等比数列{a n}的第n+j项，则此行列式的值是0．【分析】根据题意等比关系代入求解．【解答】解：因为元素a n+j（j＝1，2，3，…，9）是等比数列{a n}的第n+j项，所以设等比数列的公比为q，则a n+2＝qa n+1，，，…，，∴＝＝＝0，（两列（或行）相同的行列式值为0），故答案为：0【点评】本题考查行列式，等比数列，属于基础题．16．若行列式中（x≠1），元素1的代数余子式大于0，则x满足的条件是．【分析】先求出代数余子式，再进行化简，求解．【解答】解：元素1的代数余子式为＝8x﹣45＞0，故，故答案为：【点评】本题考查代数余子式，属于基础题．17．把表示成一个三阶行列式是【分析】本题根据行列式第一列进行展开的逆运算即可得到结果．【解答】解：根据行列式按第一列展开式，可知：2++3＝2•（﹣1）1+1•+（﹣1）•（﹣1）2+1•+3•（﹣1）3+1•＝．故答案为：．【点评】本题主要考查行列式按列展开的相关概念．本题属基础题．18．若行列式的第1行第2列的元素1的代数余子式﹣1，则实数x的取值集合为{x|x＝π+2kπ，k∈Z}．【分析】本题先根据行列式代数余子式的定义写出第1行第2列的元素1的代数余子式，然后根据二阶行列式的计算法则进行计算，再化简三角函数，即可得到实数x 的取值集合．【解答】解：由题意，第1行第2列的元素1的代数余子式为：（﹣1）1+2•．（﹣1）1+2•＝﹣1，则＝1，即﹣sin（π+x）﹣cos（﹣x）＝1．sin x﹣（cos cos x+sin sin x）＝1，整理，得：cos x＝﹣1．∴x＝π+2kπ，k∈Z．故答案为：{x|x＝π+2kπ，k∈Z}．【点评】本题主要考查行列式的代数余子式及二阶行列式的定义计算能力，三角函数知识．本题属基础题．19．行列式的最大值为13．【分析】先写出行列式结果，再用三角函数知识求解最大值．【解答】解：原式＝，所以当时，行列式的最大值为13．故答案为：13【点评】本题考查行列式与三角函数的综合应用，属于基础题．20．行列式的元素﹣3的代数余子式的值为10，则的模为10．【分析】直接求代数余子式，求出k，再代入求向量的模．【解答】解：元素﹣3对应的行列式为，∴k＝6，∴，∴，所以向量的模为为10．故答案为：10．【点评】此题考查行列式的代数余子式，向量的模的公式．21．行列式中x的系数是﹣3【分析】利用行列式展开式能求出行列式中x的系数．【解答】解：行列式＝35﹣2x﹣4﹣7﹣x﹣40＝﹣3x﹣16．∴行列式中x的系数是﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查行列式中未知数的系数的求法，考查行列式展开式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．22．行列式的元素π的代数余子式的值等于7．【分析】利用代数余子式的定义和性质直接求解．【解答】解：行列式的元素π的代数余子式的值为：（﹣1）2+1＝﹣（4cos﹣9sin）＝﹣（2﹣9）＝7．故答案为：7．【点评】本题考查行列式的元素的代数余子式的值的求法，考查代数余子式的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．23．三阶行列式中，元素1的代数余子式的值为4．【分析】利用代数余子式的定义、行列式的展开法则直接求解．【解答】解：三阶行列式中，元素1的代数余子式的值为：（﹣1）1+1＝0﹣（﹣4）＝4．故答案为：4．【点评】本题考查代数余子式的求法，考查代数余子式、行列式展开法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．24．若行列式，则m的值是0.5．【分析】利用行列式展开法则直接求解．【解答】解；∵行列式，∴2﹣1﹣2m＝0，解得m＝0.5．∴m的值为0.5．故答案为：0.5．【点评】本题考查实数值的求法，考查行列式展开法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．25．三阶行列式中，元素4的代数余子式的值为6【分析】利用代数余子式的定义直接求解．【解答】解：三阶行列式中，元素4的代数余子式的值为：（﹣1）3＝﹣（18﹣24）＝6．故答案为：6．【点评】本题考查三阶行列式中元素的化数余子式的求法，考查代数余子式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．26．若行列式的展开式的绝对值小于6的解集为（﹣1，2），则实数a等于4．【分析】推导出|ax﹣2|＜6的解集为（﹣1，2），从而﹣4＜ax＜8解集为（﹣1，2），由此能求出a的值．【解答】解：∵行列式的展开式的绝对值小于6的解集为（﹣1，2），∴|ax﹣2|＜6的解集为（﹣1，2），∴﹣6＜ax﹣2＜6，即﹣4＜ax＜8解集为（﹣1，2），解得a＝4．故答案为：4．【点评】本题考查实数值的求法，考查行列式展开法则、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．27．函数的最小正周期T＝π．【分析】利用行列式的计算方法化简f（x）解析式，再利用二倍角的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，找出ω的值，即可求出最小正周期．【解答】解：f（x）＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，∵ω＝2，∴T＝π．故答案为：π【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及二阶行列式与逆矩阵，化简函数解析式是解本题的关键．28．已知矩阵A＝，B＝，C＝，且A+B＝C，则x+y的值为6．【分析】由题意，，求出x，y，即可得出结论．【解答】解：由题意，，∴x＝5，y＝1，∴x+y＝6．故答案为6．【点评】本题考查矩阵的加法，考查学生的计算能力，比较基础．29．方程，x∈（3，4）实数解x为．【分析】通过二阶行列式的定义，利用二倍角的余弦函数及同角公式，求出tan2x＝，再结合x的范围，求出结果即可．【解答】解：因为，所以cos x cos x﹣sin x cos x＝，即×﹣sin2x＝，∴tan2x＝，∵x∈（3，4）∴2x＝，∴x＝故答案为：．【点评】本题考查二阶行列式的定义、三角函数的同角公式，二倍角公式的应用，考查计算能力．30．方程组的增广矩阵是．【分析】理解方程增广矩阵的涵义，即可由二元线性方程组，写出增广矩阵．【解答】解：由题意，方程组的增广矩阵为其系数及常数项构成的矩阵故方程组的增广矩阵是．故答案为：．【点评】本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于较容易的题型．31．若行列式＝0，则x＝1．【分析】先根据行列式的计算公式进行化简，然后解指数方程即可求出x的值．【解答】解：∵＝0，∴2×2x﹣4＝0，即2x＝2，∴x＝1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了行列式的基本运算，同时考查了指数方程，属于基础题．32．对于下列四个命题①若向量，，满足，则与的夹角为钝角；②已知集合A＝正四棱柱，B＝长方体，则A∩B＝B；③在直角坐标平面内，点M（|a|，|a﹣3|）与N（cosα，sinα）在直线x+y﹣2＝0的异侧；④对2×2数表定义平方运算如下：＝，则＝其中真命题是③④（将你认为的正确命题的序号都填上）．【分析】①根据向量夹角的范围和钝角的范围可以判断①的真假；②利用长方体包含正四棱柱，进行判断；③把点M（|a|，|a﹣3|）与N（cosα，sinα）分别代入x+y﹣2，判断x+y﹣2是否异号；④利用已知定义进行代入计算验证．【解答】解：①当向量夹角为π时，满足，但不是钝角，故①错误；②∵长方体底是长方形，正四棱柱底是正方形，∴A∩B＝A，故②错误；③∵|a|+|a﹣3|＞2，cosα+sinα≤＜2，∴|a|+|a﹣3|﹣2＞0，cosα+sinα﹣2＜0，∴点M（|a|，|a﹣3|）与N（cosα，sinα）在直线x+y﹣2＝0的异侧，故③正确；④对2×2数表定义平方运算如下：∴＝＝＝故答案为：③④．，【点评】此题考查的知识点比较多，有向量的计算，正四棱柱和长方体定义，集合之间的关系，以及矩阵的计算．33．设A为3×4矩阵，则A的列向量组必线性相关（相关、无关）【分析】利用矩阵的列向量的性质直接求解．【解答】解：A为3×4矩阵，三行四列矩阵，也就是4个3维列向量，故A的列向量组必线性相关．故答案为：相关．【点评】本题考查A的列向量组是否线性相关的判断，考查矩阵的列向量的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．34．规定运算，则＝1．【分析】根据新运算可知该运算式表示了两对角相乘的差，注意a、b、c、d的位置．再利用复数的运算法则计算即可．【解答】解：根据题目的新规定知，＝1×2﹣（﹣i）i＝2+i2＝2﹣1＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了二阶行列式，解题的关键是根据题目信息列出算式．35．已知矩阵A＝，B＝，则A+B＝．【分析】利用矩阵的加法法则及其意义进行求解，即可得到答案．【解答】解：∵矩阵A＝，B＝，则A+B＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了矩阵的加法的意义，是一道考查基本运算的基础题．。
第一章 行列式习题1. n 阶行列式D 的值为c ，若将D 的第一列移到最后一列，其余各列依次保持原来的次序向左移动，则得到的行列式值为 。
（1(1)n c --）2. n 阶行列式D 的值为c ，若将D 的所有元素改变符号，得到的行列式值为 。
（(1)n c -）3. 2(1)(2,1,21,2,,1,)(21)0(23)0122k k N k k k k k k k k --+=-++-+++=+?。
4. 由行列式的定义计算行列式413331233626xx x x xx展开式中4x 和3x 的系数。
（3412, 12x x -）（分析：4x 的系数：四个元素中必须全都包含x 。
第一行只能取11a ，第三行只能取33a ，这样第二、四行只能取22a 和44a ，则此项为(1234)411223344(1)4312N a a a a x x x x x -=⋅⋅⋅=。
3x 的系数：(2134)(4231)3331221334441223314(1)(1)3912N N a a a a a a a a x x x -+-=--=-。
）5. 已知1703，3159，975，10959能被13整除，不直接计算行列式17033159097510959的值，证明他是13的倍数。
证明：12341701703170170341000131531593153159410021309709750979754103109510959109510959l c c l c c l c c l +⋅+⋅=⋅+⋅，能被13整除。
注意，以下两个行列式：170317037033159315915909759759751095910959959≠，所以一定要加到最后一列上。
6. 设行列式311252342011133--=--D ，求11213141243A A A A +--及2123242-++M M M 。
（0和-5）解：112131412112423424301011333A A A A -+--==----。
第一章 行列式一、单项选择题1.行列式D 非零的充分条件是( D )(A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例(D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 2．二阶行列式1221--k k ≠0的充分必要条件是（ C ）A ．k ≠-1B ．k ≠3C ．k ≠-1且k ≠3D ．k ≠-1或≠3 3．已知2阶行列式2211b a b a =m ,2211c b c b =n ,则222111c a b c a b ++=（ B ）+n （m+n ）4.设行列式==1111034222,1111304z y x zy x 则行列式（ A ） A.32D.38 5．下列行列式等于零的是(D )A .100123123- B. 031010300- C ． 100003010- D ． 261422613-6．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ B ）A ．-2B ．-1C ．1D ．28．如果方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =（ B ）9．（考研题）行列式0000000a b abc d c d=（ B ） A.()2ad bc -B.()2ad bc --C.2222a d b c -D.2222b c a d -二、填空题1.四阶行列式中带负号且含有因子12a 和21a 的项为 44332112a a a a 。
2. 行列式1112344916中（3，2）元素的代数余子式A 32=___-2___.3. 设7343690211118751----=D ，则5A 14+A24+A 44=_______。
解答：5A 14+A 24+A 44=1501343090211115751-=---4．已知行列式011103212=-a ，则数a =____3______.5．若a ,b 是实数，则当a =___且b =___时，有=---10100a b b a 0。
行列式 练习题一、判断题1. 行列式的行数和列数可以相同也可以不同。
（ ）2. n 阶行列式共有2n 个元素，展开后共有n ！项。
（ ）3. n 阶行列式展开后的n ！项中，带正号的项和带负号的项各占一半。
（ ）4. 行列式D 中元素ij a 的余子式ij M 与其代数余子式ij A 符号相反。
（ ）5. 上（下）三角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积。
（ ）6. 行列式与它的转置行列式符号相反。
（ ）7. 行列式中有一行的元素全部是零则行列式的值为零。
（ ）8. 行列式中有两行元素相同，行列式的值为零。
（ ）9. 行列式中有两行元素成比例，行列式的值为零。
（ ） 10．互换行列式的两行，行列式的值不变。
（ ） 11. 行列式中某一行的公因子k 可以提到行列式符号之外。
( ) 12. 行列式中若所有元素均相同，则行列式的值为零。
（ ） 13. 行列式的值等于它的任一行（列）的元素与其对应的代数余子式乘积。
（ ）14. 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应的元素的代数余子式乘积之和为零。
（ ） 15. 齐次线性方程组的系数行列式0D ≠，则它仅有零解。
（ ）二、填空题1.=______x yyx -。
2.sin cos =______cos sin θθθθ-。
3. 123246=______345。
4．2-20310=______450。
5．=______a x xx b x x x c。
6. 211123=0______49x x x =，则。
7.222031,005D =-已知111213=______M M M -+则。
8．=______x y x y y x y x x y x y+++。
9．100110=______011001a b c d---。
10．222=______a b c a b c b c c a a b+++。
11. 已知21341023,15211152D =-则1323432=______A A A ++。
.第1章行列式(作业1) 一、填空题1．设自然数从小到大为标准次序，则排列13 ⋯(2n1)24 ⋯(2n)的逆序数为，排列13⋯(2n1)(2n)(2n 2)⋯2的逆序数为.2．在6阶行列式中，a23a42a31a56a14a65这项的符号为. 3．所有n元排列中，奇排列的个数共个.二、选择题00010002001.由定义计算行列式=（）.n100000000n（A）n(n1)!（）(n1)(n2)（）n!（B）(1)2C (1)2n! D (1)n(n1)n!nx x102．在函数1x23中，x3的系数是（）. f(x)3x22112x（A）1 （B）-1 （C）2 （D）33．四阶行列式的展开式中含有因子a32的项，共有（）个. （A）4；（B）2；（C）6；（D）8.三、请按下列不同要求准确写出n阶行列式 D det(a ij)定义式：1．各项以行标为标准顺序排列；2．各项以列标为标准顺序排列；3．各项行列标均以任意顺序排列.四、若n阶行列式中，等于零的元素个数大于n2n，则此行列式的值等于多少？说明理由.......第1 章 行列式 (作业2) 一、填空题a11 a12 a134a 11 2a 11 3a 12 a13 1．若D=a21 a22 a23 1,则D14a21 2a21 3a22 a23_____. a31 a32 a33 4a 312a 31 3a 32 a331 12 31 2 x 2 2 3的根为___________. 2．方程3 1 =0 2523 1 9 x 2二、计算题2 13 4a 1 0 0 4 1 9 161 b 1 01． 15 45 60 2．1 c 130 0 117 1 80 1 da b b b a b 3．Dnb ba.....x a1a2a1x a2a1a2x 4.D n1a1a2a3a1a2a3.an11a n11a n11x1a n1x11x12x1n x21x22x2n5．计算n阶行列式D n(n2)。
第一章 行列式试题及答案一 选择题 (每小题3分，共30分)⑴ n 元排列 i 1 i 2… i n 经过相邻对换，变为i n … i 2 i 1，则相邻对换的次数为( )(A) n (B) n /2 (C) 2n(D) n (n -1)/2⑵ 在函数()xx x x x x f 2142112---=中，x 3的系数是( )(A) -2 (B) 2 (C) -4 (D) 4⑶ 若D n =det(a ij )=1，则det(－a ij ) = ( )(A) 1 (B) -1 (C) (-1)n (D) (-1)n(n -1)/2⑷ 设nn λλλλλλNO2121=，则n 不可取下面的值是( )(A)7 (B) 2k +1(k ≥2) (C) 2k (k ≥2) (D) 17⑸ 下列行列式等于零的是( )(A)100123123- (B) 031010300- (C) 100003010- (D) 261422613-⑹ 行列式D 非零的充分条件是( ) (A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例(D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 ⑺ =+++111222c bcacbc b ab ac ab a ( )(A) 100010001222+c bc ac bc b ab ac ab a (B) 1111122222+++++c bc ac bc b ab ac ab c bc ac bc b ab ac ab a(C) 101011122222+++++c bc bc b ac abc bc ac bc b ab ac aba(D) 111222bc ac bc ab acab c bc ac bc b ab acab a+⑻ 设a ,b ,c 两两不同，则0222=+++c b a c b a ba a c cb 的充要条件是( )(A) abc =0 (B) a+b+c =0 (C) a =1, b =-1, c =0 (D) a 2=b 2, c =0⑼ 四阶行列式=44332211a b a b b a b a ( )(A) (a 1a 2- b 1b 2) (a 3a 4- b 3b 4) (B) (a 1a 4- b 1b 4) (a 2a 3- b 2b 3) (C) (a 1b 2- a 2b 1) (a 3b 4- a 4b 3) (D) (a 1b 4- a 4b 1) (a 2b 3- a 3b 2)⑽ 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+0302022321321321x x x x x x x x x λ只有零解，则λ应满足的条件是( )(A) λ=0 (B) λ=2 (C) λ=1 (D) λ≠1二 填空 (每小题3分，共15分)⑴ 在五阶行列式中，3524415312a a a a a 的符号是_________。
一、填空题1．设自然数从小到大为标准次序，则排列1 3 … 2 4 … 的逆序数为)12(-n )2(n ，排列1 3 … …2的逆序数为 .)12(-n )2(n )22(-n 2．在6阶行列式中，这项的符号为 .651456314223a a a a a a 3．所有n 元排列中，奇排列的个数共 个.二、选择题1.由定义计算行列式= （ ）.nn 0000000010020001000 -（A ） （B ） （C ） （D ）!n !)1(2)1(n n n --!)1(2)2)(1(n n n ---!)1()1(n n n --2．在函数中，的系数是（ ）.xx xx x x f 21123232101)(=3x （A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）33．四阶行列式的展开式中含有因子的项，共有（ ）个.32a （A ）4； （B ）2； （C ）6； （D ）8.三、请按下列不同要求准确写出n 阶行列式定义式：)det(ij a D =1．各项以行标为标准顺序排列；2．各项以列标为标准顺序排列；3．各项行列标均以任意顺序排列.四、若n 阶行列式中，等于零的元素个数大于，则此行列式的值等于多少？说明理由.n n -2一、填空题1．若D=._____324324324,13332313123222121131211111333231232221131211=---==a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a 中2．方程=0的根为___________ .229132513232213211x x --二、计算题1．2．8171160451530169144312-----dc b a10011001101---3．ab b ba b b b aD n =4.111113213211211211211n n n n n a a a a x a a a a x a a a a x a a a a x D ---+=5．计算n 阶行列式。
第一章 行列式一、单项选择题1．=0001001001001000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D)22. =0001100000100100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D)23. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 4．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-5． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 26. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ).(A)1- (B)2- (C)3- (D)07. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ).(A)1- (B)2- (C)3- (D)08. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1. 行列式=0100111010100111.2．行列式=-0100002000010 n n .3．行列式=--001)1(2211)1(111 n n n n a a a a a a .4．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .5．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.6．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .7．n 阶行列式=+++λλλ111111111.8．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3, 2, 1，则该行列式的值为.9．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .10．已知db c a cca b b a b c a c ba D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.11．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .12．已知行列式nn D001031002112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.13．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.14．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1. cb a db a dc a dc bd c b a d c b a d c b a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x+++；3．解方程11011101110=x x x x ； 4.na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)；5. bn b b ----)1(1111211111311116. na b b b a a b b a a a b 321222111111111； 7．xa a a a x a a a a x a a a a x n nn321212121; 8.2212221212121111nn n nn x x x x x x x x x x x x x x x +++;9.211200000210012100012； 10．aa a aa a a a a D ---------=1101100011000110001.参考答案一． 单项选择题C C A B CD B B 二．填空题 1.0; 2.!)1(1n n --; 3.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 4.M 3-; 5.160-; 6.4x ;7.1)(-+n n λλ; 8.2-; 9.0; 10.0; 11.9,12-; 12.)11(!1∑=-nk kn ;13.3,2-≠k ; 14.7=k 三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-； 3. 1,0,2-=x ; 4. )111()1(00∑∏==-+-nk knk k a a ; 5. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ; 6. ∏=--nk k kna b1)()1(;7. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(; 8. ∑=+nk k x 11; 9. 1+n ;10. )1)(1(42a a a ++-.。
一．判断题（易）1、n 阶行列式111212122212n nn n nna a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅是由2n 个数构成的n 行n 列的数表（ ）．答案：×（较容易）2、62162100000000λλλ=λλλ．（ ）．答案：×（较容易）3、82182100000000k k k k k k=．（ ）．答案： √（较容易）4.若方阵A 的各行元素之和为零，则0A = ( ) 答案： √二．填空题（中等）1.设1234577733324523332246523=A ,313233++=A A A _________,3435+=A A ________答案：0，0（中等）2.1234243141321432=D , 求11213141+++A A A A =________答案：0（较容易）3. 5阶行列式D 的第2列元素依次为1,1,0,2,1它们对应的余子式分别为－1,3,－2,0,1，则=D ________. 答案：3（较容易）4.db acd b c a bd c a b d a c = ．答案：0（较容易）5.yx yx x y x y x y x x y x 323222 +++++=．答案：)(2y x xy +-（较容易）6. 6217213424435431014327427246-=答案：510294⨯-（中等）7．已知三阶行列式 987654321 =D ，它的元素ij a 的代数余子式为ij A （3,2,1,3,2,1==j i ），则与232221cA bA aA ++对应的三阶行列式为．答案： 987321 c b a（中等）8． 设行列式30402222,075322D =-- 则第四行各元素余子式之和的值为 .答案：–28（较容易）9．11110011110y y y x xx--= ．答案：22x y（中等）10． 行列式1111111111111111--+---+---x x x x = ．答案：4x（较容易）11． 当λ= 或μ= 时，齐次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+μ+=+μ+=++λ0200321321321x x x x x x x x x 有非零解．答案：1，0（较容易）2. 设222233331111a bcdD ab c da b c d =,则D=______________答案：()()()()()()d c d b d a c b c a b a ------（较容易）13. 已知四阶行列式D 的第二行元素分别为3, 1, -1, 2, 他们对应的余子式分别为1, 2, 2, -1, 则行列式=D ______ 答案：-1（较容易）14. 设A 是三阶方阵, 且3||=A , 则|)2(|1-A =_______答案：124（容易）15. A 为正交矩阵, 则=||A _____________答案：1或-1 （较容易）16. 已知四阶行列式D 的第3列元素分别为1,3,-2,2,他们对应的余子式分别为3,-2,1,1,则行列式D=________ 答案：5（容易）17. 行列式25613412a中元素a 的代数余子式 = _________ 答案：－４（较容易）18.四阶行列式D 的第二行的元素都是2，且第二行元素的代数余子式都是3，则D= _________ 答案：0（较容易）19.设A 是三阶行列式，且1A =，则2A A =______ 答案：512（较容易）20.设五阶矩阵A 的行列式2A =-，则其伴随矩阵*A 的行列式*A = ____ 答案：16（容易）21. 已知三阶行列式251102321-=D , 则第3行第2列元素的代数余子式32A =_____________答案：7（容易）22. 按自然数从小到大为标准顺序，排列4132的逆序数为 ．. 答案：1（容易）23. 当=i =k 时排列1274i 56k 9为偶排列． 答案：8，3（容易）24. 排列1 3 …（12-n ）2 4…（n 2）的逆序数为 _______ ． 答案：(1)2n n - （容易）25. 在五阶行列式中项5541322413a a a a a 前面应冠以 号（填正或负）． 答案：负（容易）26. 四阶行列式中含有因子2311a a 且带负号的项为_____ 答案：44322311a a a a -（容易）27. 设A 为n 阶矩阵,且T A A E =，则必有________A =答案：1 或－1（容易）28. 设A 为n 阶可逆矩阵，如果2A =,则*A =________答案：12n -（容易）29. 设A 为n 阶可逆矩阵，如果 2A =- ,则*A =________答案：1(2)n --（容易）30. 设A 为n 阶矩阵,且TA A E =，则必有T A =________答案：1 或－1（容易）31.设A 是n 阶方阵, *A 为其伴随矩阵, 若a A =||, 则||*A =__________答案：1n a-（容易）32.若2||44-=⨯A , 则=||*A _________ 答案：8（容易）33.设3211111410D -=-,则313233A A A ++=_____ 答案：0（较容易）34. 若0x a aax a a ax=，则a =_____答案：2a -或0（较容易）35.已知3021111xy z =，则33332222x y zx y z x y z ++=+++_____ 答案：2（较容易）36.设12234000000000a a D a a =121340000200003004a a D a a =，则1D =_____2D 答案:24（容易）37.120034000054045D --==-- ____答案:-18（容易）38.1200340000130051D ==- ____答案:32（较容易）39.1111001100111001D == ____答案:0（较容易）40.若齐次线性方程组03030x y z x y z x y z λ+-=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩有非零解,则λ=____答案:12λ=-（容易）41.行列式A 中元素ij a 的代数余子式ij A 与余子式ij M 之间的关系____ 答案:(1)i jij ij A M +=-（较容易）42.若n 阶方阵A 的秩为n-1,在A =____ 答案:0（较容易）43.设A,B 是两个三阶的方阵,且1A =-,2B =,那么133()TA B -=____答案:278-（容易）44.设三阶方阵A 的不同特征值为-1,2,4 ,则A =____ 答案:-8（较容易）45.若A,B 为n 阶方阵,且1,32A B ==-,则*12A B --=____ 答案:12(1)3n +- （容易）46.A 为三阶方阵,2A =,则12A =____ 答案:14（较容易）47.设行列式2345246812035643D =,则414243442468A A A A +++=____答案:0（较容易）48.若3022111xy z =-,则413111111x y z ---=____答案:2（较容易）49.8276412549162523451111= ____答案:12（较容易）50. 如果3333231232221131211==a a a a a a a a a D ,则11121321222331323332623a a a a a a a a a ---= ____ 答案:-18（较容易）51. 如果3333231232221131211==a a a a a a a a a D ,则111213212223313233222222222a a a a a a a a a = ____ 答案:24（容易）52.已知三阶方阵A 的三个特征值为1，－2，3 ，则A =____ 答案：－6（容易）53. 010000200000100n D n n ==- 答案：1(1)!n n +-（容易）54. 0x y Dxz y z=---＝答案：0（容易）55.已知125328401390216D ----=,23A = 答案：－9（容易）56. efcfbf de cdbd aeacab ---= 答案：4abcdef（较容易）57. 33221111110011001b b b b b b D ------== 答案：1（较容易）行列式2001021*********＝答案：9三．选择题（容易）1. 如果⎩⎨⎧=-+=+-0)1(202)1(2121x k x x x k 仅有零解,则( ).A. 1≠k ,B. 1-≠k 或3≠k ,C. 3=k ,D. 1-≠k 且3≠k .答案：D（较容易）2. 设,,D αβγ=, ,,αβγ分别表示行列式D 的三个列，则D =（ ）A. ,,γβαB. ,,αββγγα+++C. ,,αβγ---D. ,,ααβαβγ+++答案：D（较容易）3．四阶行列式D=112233440000000a b a b b a b a 的值等于（ ） A. 12341234a a a a b b b b - B. 12341234a a a a b b b b +C. 12123434 ()()a a b b a a b b --D. 23231414()()a a b b a a b b --答案：D（容易）4.如果1112132122233132332a a a a a a a a a =，则111213212223313233222222222a a a a a a a a a =（ ） A. 2 B. 4 C. 12 D. 16 答案:D（较容易）5.已知4阶方阵A ，其第三列元素分别为1，3，－2，2，它们的余子式的值分别为3,-2,1,1则行列式A =( )A. 5B. -5C. -3D. 3 答案:A（中等）6.设231111111()114118x f x x x -=-,则方程()0f x =的三个根分别为( )A. 1,-1,2B. 1,1,4C. 1,-1,8D. 2,4,8 答案: A（较容易）7.行列式112233110a ba ca ba c ab ac ++++++=( )A. 0B. b c -C. 21()()c b a a --D. 21()b a a - 答案:C（容易）8.行列式132520103D -=--中元素32a 的代数余子式为( ) A. 0 B. -10 C. 10 D. 3 答案:B（容易）9.行列式21312201D -=中元素32a 的代数余子式为( ) A. 4 B. -4 C. 0 D. 2 答案:A（较容易）10.若1112132122233132331a a a a a a a a a = 则313233212223111213222333a a a a a a a a a ---=( ) A. -5 B. 6 C. -1 D. 1 答案: B（较容易）11.设22115()114723f x x x =+-,则方程()0f x =的根分别为( )A. 1,1,3,3B. -1,-1,3,3C. -1,-1,-3,-3D. 1,-1,3,-3答案：D (较容易)12.已知111213212223313233a a a a a a d a a a =,则行列式313233111213211122122313333232323a a a a a a a a a a a a ---=+++( )A. 6d -B. 6dC. 3d -D.3d 答案：A（较容易）13.1231231233a a a b b b c c c ⨯=( ) A. 123123123333a a a b b b c c c B. 123123123333333333a a a b b b c c c C. 123123123333a a a b b b c c c -D. 123123123333a a a b b b c c c 答案:D（较容易）14.行列式0003001002000100000002D -==--( ) A. -12 B. 12 C. -6 D. 6 答案:A（较容易）15.设det()n ij D a =,则0n D =的充分必要条件是( ) A. n D 中有两行(列)元素对应成比例 B. n D 中有一行(列)的元素均为零 C.11220()i j i j in jn a A a A a A i j ++⋅⋅⋅+== D. 11220()i j i j in jn a A a A a A i j ++⋅⋅⋅+=≠ 答案:C（中等）16.1223()71043171xx x x f x x--=--是( )次多项式A. 4B. 3C. 2D. 1 答案:C （较容易）17.四阶行列式D 的某行元素依次为-1,0,k,6, 它们的代数余子式分别为3,4,-2,0,且9D =-,则k =( )A. 0B. 3C. 1D. -1 答案:B(较容易)18.若1112132122233132331a a a a a a a a a =,则131112112321222133313231454545a a a a a a a a a a a a --=-( ) A. 5 B. -5 C. 20 D. -20 答案:A（容易）19.222a ab acab bbc ac bc c =( ) A. abc B. 1 C. 0 D. 222a b c 答案:C（较容易）20. 设*1,A A -分别为n 阶方阵A 的伴随矩阵和逆矩阵,则*1A A -=（ ） A. nA B. 1n A- C. 2n A- D. 3n A-答案:C（较容易）21.已知A 为三阶矩阵,其第三行元素分别为1,3,-2,它们的余子式分别为3,-2,1,则A =( )A. 5B. -5C. 7D. -7 答案:C（较容易）22.如果1112132122233132331a a a a a a a a a =,则111112132121222331313233423423423a a a a a a a a a a a a --=-( ) A. 8 B. -12 C. 24 D. -24 答案：B（较容易）23.行列式103100204199200395301300600=（ ）A. 1000B. -1000C. 2000D.-2000 答案：C（较容易）24.行列式40105022*********D =的值为（ ）A. -12B. -24C. -36D. -72 答案：D（较容易）25.设A 为n 阶方阵，且0=A ，则（ ） A. A 中必有两行(列)的对应元素成比例;B. A 中任意一行(列)向量是其余行（列）向量的线性组合;C. A 中必有一行(列)向量是其余行（列）向量的线性组合;D. A 中至少有一行(列)向量为零向量答案：C（较容易）26. 已知三阶矩阵A 的特征值为1，2，3，则行列式2A =( )A. 0B. 1C. 6D. 36 答案：D（较容易）27. 如果m a a a a a a a a a D ==333231232221131211，1312112322213332311333333333a a a a a a a a a D = 那么=1D （ ）．A.m 3；B.m 3-；C. m 9；D. m 27-．答案：D（较容易）28.已知0001001010001000001D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则D =（ ）A. 1B. -1C. (1)2(1)n n -- D. (1)(2)2(1)n n ---答案：D29.行列式D 非零的充要条件是（ ） A.D 的所有元素都不为零 B.D 至少有2n n -个元素不为零 C.D 的任意两列元素之间不成比例D.以D 为系数行列式的线性方程组有惟一解 答案：D四．解答题（较难）1.123111111111111111(0,1,2,,)111111+++≠=+i na a a a i n a解：123111111111111111111111++++na a a a 11213111111000000+-=--na a a a a a a 112131111110000000+---na a a a a a a 11223111110000000=++=∑ni ina a a a a a 231120000100=⎡⎤=++=⎢⎥⎣⎦∑ni i n a a a a a a 111(1)===+∑∏nni i i i a a（较难）2．12323413452121-nnn 解：12323413452121-nnn ＝1223123411245212121++++++++++++-n n n n n n ＝123011113410111(1)(12)14522011111211121------++++=-----n n n n n n n n n＝1111111111(1)(1)211111111+---------+---------n n n n n n n n ＝11000(1)(1)20001111+-+----n n n nn n n＝12000(1)(1)(1)2n nn n n n n n+-+--＝(1)(4)11322(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)22-++--++----=-n n nn n n n n n n n（较难）3．-=------n x a a a a a xa a a D a axa a a a aax解：00--=+-------n xa a x a a a axaaxaa D a a a x aa a aa＝111000()()()0000---+-+--+=-+++---n n n x a a x x a a x x a D x a D a x a x aaaaa由递推关系有1()()2⎡⎤=++-⎣⎦n n n D x a x a （较难）4．111111-=--n n D n n解：10100111001011111+----==+------n nnn nDn n n n＝111(1)(1)01010+---------n n n n n＝121(1)(1)(1)(1)010111+------------n n n n n n n＝254113112(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)+-+----------=-+n n n n n n n n n＝222(1)1122(1)(1)(1)(1)(1)++-----+=-+n nn n n n n n n（中等）5. 写出四阶行列式23740101201035--=D 中元素4,13323=-=a a 的代数余子式，并求其值.解： 23701135)1(3223-⨯-=+A 237013430---.96102623343=+-=--=2015)1()2(23020135)1(223333++-⨯-=--⨯-=A .2010)2(-=⨯-=.176)20(4960033332323-=-⨯+-=+++=A a A a D（中等）6. 计算行列式7325254346323214-----解:7325254346323214----- =13723103419503100010------1373103195010)1(121----⨯=+137231031500-----.310625)697(5723315=⨯=+-=--=（中等）7. 计算(2)≥n n 阶行列式000100000001000aa D a a = 解: 按第一行展开，得()1000000000001000010na aa a D aa a+=+-．再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开，则可得到()()()()1112222111nn n n n n n D a a a a a a +-+---=+--=-=-（中等）8．计算行列式ab b b ba b b D bb a b bbba= 解: D =()()()()1111a n b b b b a n ba b b a n bb a b a n bbba+-+-+-+- []11(1)11b b ba b ba nb b a b bba=+-=[]1(1)b b ba ba nb a ba b-+---（较容易）9.计算行列式 .2143000012009687843415089715032-=D 解:231509750821001414437896823034(83)0340210141021020003400102141111(412)1116176.34D --===+⋅--=⋅=+=⨯=（较容易）10. k 取何值时，下列齐次线性方程组有非零解：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++.02,0,0321321321x x x x kx x kx x x 解: 方程组有非零解的必要条件是系数行列式等于零.2111111--=kk D kkk k --++2211011kk k --+2201111)1(11(1)011004k k k+-).4)(1(k k -+=即 .0)4)(1(=-+k k所以当1-=k 或4=k 时，齐次线性方程组可能有非零解.（中等）11. 计算行列式1314211311023351-----=D .解： 1192101110160551003351-----=D 1113200112033515----=112320011103351)5(-----=1300320011103351)5(------=211000320011103351)5(-----=55-=（中等）12. 计算行列式x a a a x a aa x D n=．解： xa a a x a a n x D n r r r n111])1([)(21-+=+++ax a x a n x ---+=00111])1([1)]()1([---+=n a x a n x（中等）13. 计算行列式的值1118101711101325--=D解：10113-D=1181107113521101--0217015501101---==8200712055100111---8201790055100111--410017900551001112--=1794100551001112---=38194100551001112-=----=（难）4. 计算n 阶行列式的值52 (00)35...000... 00 (5200) (35)200...035=n D解 按第一行展开，得：21116552 (00)35...000..................00...52000 (350)00 (0323)5-----=-=n n n n n D D D D 按第一列展开得到递推式：2165---=n n n D D D写作）（211232----=-n n n n D D D D ，可得）（1221232D D D D n n n -=--- 写作）（211323----=-n n n n D D D D ，可得）（1221323D D D D n n n -=---而195235,521===D D⎪⎩⎪⎨⎧=-=-∴--nn n nn n D D D D 233211 解之得1123++-=n n n D （中等）15. 计算n 阶行列式xyy x y x yxy x D 0 (00)...0000 00 (000) (00)00...00=的值解 按照第一列展开nn n n n n n n n y x y y x x y y xy x y y x x y x y xx D 111111111)1()1(...000 0...00...00...00)1(...000 0...00...00...0)1(+-+--+-+-+=⨯-⨯+⨯=-⨯+-⨯=（较容易）16. 问λ，μ取何值时，齐次线性方程组 1231231230020x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解？解：齐次方程组有非零解的必要条件是系数行列式等于零，故11011111111(1)012200λλμλλμλμμμλμμμ----===--即0μ=或1λ=齐次线性方程组有非零解。
