判断矩阵的最大特征值

项目六 矩阵的特征值与特征向量实验1 求矩阵的特征值与特征向量实验目的学习利用Mathematica(4.0以上版本)命令求方阵的特征值和特征向量;能利用软件计算方阵的特征值和特征向量及求二次型的标准形.求方阵的特征值与特征向量.例1.1 (教材 例1.1) 求矩阵.031121201⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=A 的特征值与特值向量.(1) 求矩阵A 的特征值. 输入 A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}}MatrixForm[A] Eigenvalues[A]则输出A 的特征值{-1,1,1}(2) 求矩阵A 的特征向量. 输入A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}} MatrixForm[A] Eigenvectors[A]则输出 {{-3,1,0},{1,0,1},{0,0,0}}即A 的特征向量为.101,013⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-(3) 利用命令Eigensystem 同时矩阵A 的所有特征值与特征向量. 输入A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}} MatrixForm[A] Eigensystem[A]则输出矩阵A 的特征值及其对应的特征向量.例1.2 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=654543432A 的特征值与特征向量.输入A=T able[i+j,{i,3},{j,3}] MatrixForm[A](1) 计算矩阵A 的全部（准确解）特征值, 输入Eigenvalues[A]则输出{0, 426-,426+}(2) 计算矩阵A 的全部（数值解）特征值, 输入Eigenvalues[N[A]]则输出{12.4807, -0.480741, -1.34831610-⨯}(3) 计算矩阵A 的全部(准确解)特征向量, 输入Eigenvectors[A]//MatrixForm则输出121172422344220342234421172422344220342234421(4) 计算矩阵A 的全部(数值解)特征向量, 输入Eigenvectors[N[A]]//MatrixForm则输出0.4303620.5665420.7027220.805060.111190.5826790.4082480.8164970.408248(5) 同时计算矩阵A 的全部(准确解)特征值和特征向量, 输入 OutputForm[Eigensystem[A]] 则输出所求结果(6) 计算同时矩阵A 的零空间, 输入NullSpace[A]则输出{{1,-2,1}}(7) 调入程序包<<LinearAlgebra`Orthogonalization`后,还可以做以下的运算:GramSchmidt[ ]:用Gram-Schmidt 过程将向量组单位正交化; Normalize[ ]:将向量组单位化;Projection[vect1,vect2]:求从向量组vect1到vect2的正交映射.输入<<LinearAlgebra ’Orthogonalization ’ GramSchmidt[Eigenvectors[N[A]]]//MatrixForm则输出0.4303620.5665420.7027220.805060.111190.5826790.4082480.8164970.408248例1.3 求方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=633312321M 的特征值和特征向量.输入Clear[M];M={{1,2,3,},{2,1,3}{3,3,6}}; Eigenvalues[M] Eigenvectors[M] Eigensystem[M]则分别输出{-1,0,9}{{-1,1,0},{-1,-1,1}{1,1,2}}{{-1,0,9},{{-1,1,0},{-1,-1,1}{1,1,2}}}例1.4 (教材 例1.2) 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=2163/115/12/13/13/1A 的特征值和特征向量的近似值.输入A={{1/3,1/3,-1/2},{1/5,1,-1/3},{6,1,-2}}; Eigensystem[A]则屏幕输出的结果很复杂,原因是矩阵A 的特征值中有复数且其精确解太复杂.此时,可采用 近似形式输入矩阵A ,则输出结果也采用近似形式来表达.输入A={{1/3,1/3,-1/2},{1/5,1,-1/3},{6.0,1,-2}}; Eigensystem[A]则输出{{-0.748989+1.27186i,-0.748989-1.27186i,0.831311}, {{0.179905+0.192168i,0.116133+0.062477I,0.955675+0.i}, {0.179905-0.192168i,0.116133-0.062477i,0.955675+0.i}, {-0.0872248,-0.866789,-0.490987}}}从中可以看到A 有两个复特征值与一个实特征值.属于复特征值的特征向量也是复的;属于实 特征值的特征向量是实的.例1.5 (教材 例1.3) 已知2是方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=32131003t A 的特征值,求t .输入Clear[A,q];A={{2-3,0,0},{-1,2-t,-3},{-1,-2,2-3}}; q=Det[A] Solve[q==0,t]则输出{{t →8}}即当8=t 时,2是方阵A 的特征值.例1.6 (教材 例1.4) 已知)1,1,1(-=x 是方阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=2135212b a A 的一个特征向量,求参数b a ,及特征向量x 所属的特征值. 设所求特征值为t ,输入Clear[A,B,v,a,b,t];A={{t-2,1,-2},{-5,t-a,-3},{1,-b,t+2}}; v={1,1,-1}; B=A.v;Solve[{B[[1]]==0,B[[2]]==0,B[[3]]==0},{a,b,t}]则输出{{a →-3, b →0, t →-1}}即0,3=-=b a 时,向量)1,1,1(-=x 是方阵A 的属于特征值-1和特征向量.矩阵的相似变换例1.7 (教材 例1.5) 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222222114A ,求一可逆矩阵P ,使AP P 1-为对角矩阵.方法1 输入Clear[A,P];A={{4,1,1},{2,2,2},{2,2,2}}; Eigenvalues[A]P=Eigenvectors[A]//Transpose则输出{0,2,6}{{0,-1,1},{-1,1,1},{1,1,1}}即矩阵A 的特征值为0,2,6.特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-110,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111,矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111110P .可验证AP P 1-为对角阵, 事实上,输入 Inverse[P].A.P则输出{{0,0,0},{0,2,0},{0,0,6}}因此,矩阵A 在相似变换矩阵P 的作用下,可化作对角阵.方法2 直接使用JordanDecomposition 命令, 输入jor=JordanDecomposition[A]则输出{{{0,-1,1},{-1,1,1},{1,1,1}},{{0,0,0},{0,2,0},{0,0,6}}}可取出第一个矩阵S 和第二个矩阵Λ,事实上,输入jor[[1]] jor[[2]]则输出{{0,-1,1},{-1,1,1},{1,1,1}} {{0,0,0},{0,2,0},{0,0,6}}输出结果与方法1的得到的结果完全相同.例1.8 方阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1201A 是否与对角阵相似?输入Clear[A]; A={{1,0},{2,1}}; Eigensystem[A]输出为{{1,1},{{0,1}{0,0}}}于是,1是二重特征值,但是只有向量{0,1}是特征向量,因此,矩阵A 不与对角阵相似.例1.9 (教材 例1.6) 已知方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11322002x A 与⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=y B 00020001相似, 求y x ,.注意矩阵B 是对角矩阵,特征值是y ,2,1-.又矩阵A 是分块下三角矩阵,-2是矩阵A 的特 征值.矩阵A 与B 相似,则2-=y ,且-1,2也是矩阵A 的特征值.输入Clear[c,v];v={{4,0,0},{-2,2-x,-2},{-3,-1,1}}; Solve[Det[v]==0,x]则输出{{x →0}}所以,在题设条件,0=x ,2-=y .例1.10 对实对称矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2000001101010110A ,求一个正交阵P ,使AP P 1-为对角阵. 输入<<LinearAlgebra\Orthogonalization Clear[A,P]A={{0,1,1,0 },{1,0,1,0},{1,1,0,0},{0,0,0,2}}; Eigenvalues[A] Eigenvectors[A]输出的特征值与特征向量为{-1,-1,2,2}{{-1,0,1,0},{-1,1,0,0},{0,0,0,1},{1,1,1,0}}再输入P=GramSchmidt[Eigenvectors[A]]//Transpose输出为已经正交化和单位化的特征向量并且经转置后的矩阵P{}}{0,1,0,0,31,0,61,21,31,0,32,0,31,0,61,21⎪⎭⎪⎬⎫-⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎭⎪⎬⎫-⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-为了验证P 是正交阵，以及AP P AP p T=-1是对角阵，输入Transpose[P].PInverse[P].A.P//Simplify Transpose[P].A.P//simplify则输出{{1,0,0,0},{0,1,0,0},{0,0,1,0},{0,0,0,1}} {{-1,0,0,0},{0,-1,0,0},{0,0,2,0},{0,0,0,2}} {{-1,0,0,0},{0,-1,0,0},{0,0,2,0},{0,0,0,2}}第一个结果说明E P P T =,因此P 是正交阵;第二个与第三个结果说明⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==-22111AP P AP P T例1.11 求一个正交变换,化二次型243231212222x x x x x x x f +++=为标准型.二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2000001101010110A这恰好是例1.10的矩阵, 因此，用例1.10中的正交矩阵P ,作正交变换PY X =,即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43214321010031061213103203106121y y y y x x x x将f 化作标准型.输入f=T able[x[j],{j,4}].A.Table[x[j],{j,4}]//Simplify则输出2(x[2]x[3]+x[1](x[2]+x[3])+x[4]2)这是原来的二次型f .把上式中的x[1],x[2],x[3],x[4]用y[1],y[2],y[3],y[4]表示,输入代换命令f/.T able[x[j]→(P .T able[y[j],{j,4}])[[j]],{j,4}]// Simplify则输出-y[1]2-y[2]2 +2(y[3]2 +y[4]2)这就是二次型f 的标准型.例1.12 (教材 例1.7) 已知二次型3231212322213212422),,(x x x x x x x x x x x x f +-++-=(1)求标准形; (2)求正惯性指数; (3)判断二次型是否正定. 输入A={{1,1,-2},{1,-2,1},{-2,1,1}}Eigenvalues[A]则输出矩阵A 的特征值为{-3,0,3}所以二次型的标准形为222133y y f +=;正惯性指数为1;该二次型不是正定的. 例1.13 (教材 例1.8) 求正交变换将二次型43324121242322213212222),,(x x x x x x x x x x x x x x x f -+-++++=化为标准形.输入A={{1,1,0,-1},{1,1,1,0},{0,1,1,-1},{-1,0,-1,1}} MatrixForm[A] X={x1,x2,x3,x4}; Expand[X.A.X]<<LinearAlgebra\Orthogonalization.m P=GramSchmidt[Eigenvectors[A]] P .A.Inverse[P]//MatrixForm则输出所求的正交变换矩阵P 与二次型矩阵A 标准形. 从结果知, 所求二次型的标准型为24232221y y y y g +++-=实验2 层次分析法实验目的通过应用层次分析法解决一个实际问题,学习层次分析法的基本原理与方法;掌握用层次 分析法建立数学模型的基本步骤;学会用Mathematica 解决层次分析法中的数学问题.基本原理层次分析法是系统分析的重要工具之一,其基本思想是把问题层次化、数量化, 并用数学 方法为分析、决策、预报或控制提供定量依据. 它特别适用于难以完全量化, 又相互关联、 相互制约的众多因素构成的复杂问题. 它把人的思维过程层次化、数量化,是系统分析的一中 新型的数学方法.运用层次分析法建立数学模型, 一般可按如下四个基本步骤进行.1.建立层次结构首先对所面临的问题要掌握足够的信息, 搞清楚问题的范围、因素、各因素之间的相互 关系,及所要解决问题的目标. 把问题条理化、层次化, 构造出一个有层次的结构模型. 在这 个模型下,复杂问题被分解为元素的组成部分. 这些元素又按其属性及关系形成若干层次.层 次结构一般分三层:第一层为最高层, 它是分析问题的预定目标和结果, 也称目标层;第二层为中间层, 它是为了实现目标所涉及的中间环节, 如: 准则、子准则, 也称准则 层;第三层为最底层, 它包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等, 也称方案层.图2-1决策目标准则1准则2准则n方案1方案2方案m…………注:上述层次结构具有以下特点:(1) 从上到下顺序地存在支配关系, 并用直线段表示;(2) 整个层次结构中层次数不受限制.2.构造判断矩阵构造判断矩阵是建立层次分析模型的关键. 假定以上一层的某元素y 为准则,它所支配 的下一层次的元素为n x x x ,,,21 ,这n 个元素对上一层次的元素y 有影响,要确定它们在y 中的比重. 采用成对比较法. 即每次取两个元素i x 和j x , 用ij a 表示i x 与j x 对y 的影响之比, 全部比较的结果可用矩阵A 表示,即.,,2,1,,)(n j i a A n n ij ==⨯ 称矩阵A 为判断矩阵.根据上述定义,易见判断矩阵的元素ij a 满足下列性质:)(,1),(1j i a j i a a ii ijji ==≠=当0>ij a 时,我们称判断矩阵A 为正互反矩阵.怎样确定判断矩阵A 的元素ij a 的取值呢? 当某层的元素n x x x ,,,21 对于上一层某元素y 的影响可直接定量表示时, i x 与j x 对y的影响之比可以直接确定, ij a 的值也可直接确定. 但对于大多数社会经济问题, 特别是比较 复杂的问题, 元素i x 与j x 对y 的重要性不容易直接获得, 需要通过适当的量化方法来解决. 通常取数字1~9及其倒数作为ij a 的取值范围. 这是因为在进行定性的成对比较时, 通常采用5级制(表1),在每两个等级之间各有一个中间状态, 共1~9个尺度, 另外心理学家认为进行成对比较的因素太多, 将超出人们的判断比较能力, 降低精确. 实践证明, 成对比较的尺度以27±为宜, 故ij a 的取值范围是9,,2,1 及其倒数.表1 比较尺度ij a 的取值97531/ijj i a x x 绝对强很强强较强相等3.计算层次单排序权重并做一致性检验层次单排序是指同一层次各个元素对于上一层次中的某个元素的相对重要性进行排序. 具体做法是: 根据同一层n 个元素n x x x ,,,21 对上一层某元素y 的判断矩阵A ,求出它们对 于元素y 的相对排序权重,记为n w w w ,,,21 ,写成向量形式T n w w w w ),,,(21 =, 称其为A 的层次单排序权重向量, 其中i w 表示第i 个元素对上一层中某元素y 所占的比重, 从而得到层次单排序.层次单排序权重向量有几种求解方法,常用的方法是利用判断矩阵A 的特征值与特征向 量来计算排序权重向量w .关于正互反矩阵A ,我们不加证明地给出下列结果. (1) 如果一个正互反矩阵n n ij a A ⨯=)(满足),,2,1,,(n k j i a a a ik jk ij ==⨯则称矩阵A 具有一致性, 称元素k j i x x x ,,的成对比较是一致的; 并且称A 为一致矩阵.(2) n 阶正互反矩阵A 的最大特征根n ≥max λ, 当n =λ时, A 是一致的. (3) n 阶正互反矩阵是一致矩阵的充分必要条件是最大特征值 n =max λ.计算排序权重向量的方法和步骤设T n w ),,,(21ωωω =是n 阶判断矩阵的排序权重向量, 当A 为一致矩阵时, 根据n阶判断矩阵构成的定义,有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n nn A ωωωωωωωωωωωωωωωωωω212221212111 (2.1) 因而满足,nw Aw = 这里n 是矩阵A 的最大特征根, w 是相应的特征向量; 当A 为一般的 判断矩阵时w Aw max λ=, 其中max λ是A 的最大特征值(也称主特征根), w 是相应的特征向 量(也称主特征向量). 经归一化(即11=∑=ni iω)后, 可近似作为排序权重向量, 这种方法称为特征根法.一致性检验在构造判断矩阵时, 我们并没有要求判断矩阵具有一致性, 这是由客观事物的复杂性与人的认识的多样性所决定的. 特别是在规模大、因素多的情况下, 对于判断矩阵的每个元 素来说,不可能求出精确的j i ωω/, 但要求判断矩阵大体上应该是一致的. 一个经不起推敲 的判断矩阵有可能导致决策的失误. 利用上述方法计算排序权重向量, 当判断矩阵过于偏离 一致性时, 其可靠性也有问题. 因此,需要对判断矩阵的一致性进行检验, 检验可按如下步骤 进行: (1) 计算一致性指标CI1max --=n nCI λ (2.2)当,0=CI 即n =max λ时, 判断矩阵A 是一致的. 当CI 的值越大, 判断矩阵A 的不一致的程 度就越严重. (2) 查找相应的平均随机一致性指标RI表2给出了n )11~1(阶正互反矩阵的平均随机一致性指标RI , 其中数据采用了 100~150个随机样本矩阵A 计算得到.(3) 计算一致性比例CRRICICR =(2.3)当10.0<CR 时, 认为判断矩阵的一致性是可以接受的; 否则应对判断矩阵作适当修正.4. 计算层次总排序权重并做一致性检验计算出某层元素对其上一层中某元素的排序权重向量后, 还需要得到各层元素, 特别 是最底层中各方案对于目标层的排序权重, 即层次总排序权重向量, 再进行方案选择. 层次 总排序权重通过自上而下地将层次单排序的权重进行合成而得到. 考虑3个层次的决策问题: 第一层只有1个元素, 第二层有n 个元素, 第三层有m 个元 素.设第二层对第一层的层次单排序的权重向量为 Tn w ),,,()2()2(2)2(1)2(ωωω = 第三层对第二层的层次单排序的权重向量为n k w w w w Tkn k k k ,,2,1,),,,()3()3(2)3(1)3( ==以)3(k w 为列向量构成矩阵:n m nm m mn n n w w w w w w w w w w w w W ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==)3()3(2)3(1)3(2)3(22)3(12)3(1)3(21)3(11)3()3(2)3(1)3(,,,,,,,,,,,),,,( (2.4)则第三层对第一层的层次总排序权重向量为)2()3()3(w W w =(2.5) 一般地, 若层次模型共有s 层, 则第k 层对第一层的总排序权重向量为s k w W w k k k ,,4,3,)1()()( ==-(2.6)其中)(k W 是以第k 层对第1-k 层的排序权向量为列向量组成的矩阵,)1(-k w 是第1-k 层对第 一层的总排序权重向量. 按照上述递推公式, 可得到最下层(第s 层)对第一层的总排序权重 向量为)2()3()1()()(w W W W w s s s -=(2.7)对层次总排序权重向量也要进行一致性检验. 具体方法是从最高层到最低层逐层进行 检验.如果所考虑的层次分析模型共有s 层. 设第l (s l ≤≤3)层的一致性指标与随机一致性 指标分别为)()(2)(1,,,l n l l CI CI CI (n 是第1-l 层元素的数目)与)()(2)(1,,,l nl l RI RI RI , 令)1()(1)(1)(],,[-=l l l l w CI CI CI(2.8) )1()(1)(1)(],,[-=l l l l w RI RI RI(2.9)则第l 层对第一层的总排序权向量的一致性比率为s l RICI CRCRl l l l ,,4,3,)()()1()( =+=- (2.10)其中)2(CR 为由(2.3)式计算的第二层对第一层的排序权重向量的一致性比率.当最下层对第一层的总排序权重向量的一致性比率1.0)(<s CR 时, 就认为整个层次结构 的比较判断可通过一致性检验.应用举例问题 在选购电脑时, 人们希望花最少的钱买到最理想的电脑. 试通过层次分析法建立 数学模型,并以此确定欲选购的电脑.1. 建立选购电脑的层次结构模型选择的目标性能价格质量外观售后服务品牌1品牌2品牌3目标层准则层方案层图2-2该层次结构模型共有三层:目标层(用符号z 表示最终的选择目标); 准则层(分别用符号 521,,,y y y 表示“性能”、“价格”、“质量”、“外观”、“售后服务”五个判断准则); 方案层(分别用符号321,,x x x 表示品牌1, 品牌2, 品牌3三种选择方案).2.构造成对比较判断矩阵(1) 建立准则层对目标层的成对比较判断矩阵根据表1的定量化尺度, 从建模者的个人观点出发, 设准则层对目标层的成对比较判断矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=13123/13/113/12/19/113123/12/122/115/139351A (2.11)(2) 建立方案层对准则层的成对比较判断矩阵,113/1113/1331,123/12/115/13511252/1135/13/11,12/15/1213/1531,1252/1135/13/1154321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=B B B B B3.计算层次单排序权重向量并做一致性检验先利用Mathematica 计算矩阵A 的最大特征值及特征值所对应的特征向量. 输入<<Miscellaneous\RealOnly.m (*调用只求实数运算的软件包*)A={{1.0,5,3,9,3},{1/5,1,1/2,2,1/2},{1/3,2,1,3,1},{1/9,1/2,1/3,1,1/3},{1/3,2,1,3,1}};(*以小数形式1.0输入进行近似计算, 可避免精确解太长、太复杂*) T=Eigensystem[A]//Chop(*输入//Chop, 把与零非常接近的数换成零*)则输出{{5.00974,Nonreal,Nonreal,0,0},{{0.88126,0.167913,0.304926,0.0960557,0.304926}, {0.742882,Nonreal,Nonreal,Nonreal,Nonreal}, {0.742882,Nonreal,Nonreal,Nonreal,Nonreal}, {-0.993398,0,0.0673976,0.0662265,0.0650555}, {-0.65676,0,0.57431,0.043784,-0.486742}}} (输出中的Nonreal 表示复数)从中得到A 的最大特征值,00974.5max =λ及其对应的特征向量T x )304926.0,0960557.0,304926.0,167913.0,88126.0(=输入Clear[x]; x=T[[2,1]];ww2=x/Apply[Plus,x]则得到归一化后的特征向量T w )173739.0,0547301.0,173739.0,0956728.0,502119.0()2(=计算一致性指标1max --=n nCI λ,其中,00974.5,5max ==λn 故.002435.0=CI查表得到相应的随机一致性指标 12.1=RI 从而得到一致性比率002174.0)2(==RICICR 因,1.0)2(<CR 通过了一致性检验,即认为A 的一致性程度在容许的范围之内, 可以用归一 化后的特征向量)2(w 作为排序权重向量. 下面再求矩阵)5,,2,1( =j B j 的最大特征值及特征值所对应的特征向量, 输入B1=B3={{1.0,1/3,1/5},{3,1,1/2},{5,2,1}}; B2=Transpose[B1];B4={{1.0,5,3},{1/5,1,1/2},{1/3,2,1}}; B5={{1.0,3,3},{1/3,1,1},{1/3,1,1}}; T1=Eigensystem[B1]//ChopT2=Eigensystem[B2]//Chop T3=Eigensystem[B3]//Chop T4=Eigensystem[B4]//Chop T5=Eigensystem[B5]//Chop则输出 {{3.00369,Nonreal, Nonreal}, {{0.163954,0.46286,0.871137},{ Nonreal, Nonreal,0.871137}, { Nonreal, Nonreal, 0.871137}}};{{3.00369,Nonreal, Nonreal}, {{0.928119,0.328758,0.174679}, {0.928119, Nonreal, Nonreal}, {0.928119, Nonreal, Nonreal}}}{{3.00369, Nonreal, Nonreal}, {{0.163954,0.46286,0.871137}, { Nonreal, Nonreal,0.871137}, { Nonreal, Nonreal,0.871137}}}{{3.00369, Nonreal, Nonreal}, {{0.928119,0.174679,0.328758}, {0.928119, Nonreal, Nonreal}, {0.928119, Nonreal, Nonreal}}} {{3,0,0},{{0.904534,0.301511,0.301511}, {-0.973329,0.162221,0.162221}, {-0.170182,-0.667851,0.724578}}从上面的输出可以分别得到)5,,2,1( =j B j 的最大特征值000.3,00369.3,00369.3,00369.3,00369.354321=====λλλλλ以及上述特征值所对应的特征向量TT T TT x x x x x )301511.0,301511.0,904534.0()328758.0,174679.0,928119.0()871137.0,46286.0,163954.0()174679.0,328758.0,928119.0()871137.0,46286.0,163954.0(54321=====其中.5,,2,1),,,(321 ==i x x x x i i i i 为求出归一化后的特征向量, 输入Clear[x1,x2,x3,x4,x5]; x1=T1[[2,1]];w1=x1/Apply[Plus,x1] x2=T2[[2,1]];w2=x2/Apply[Plus,x2] x3=T3[[2,1]];w3=x3/Apply[Plus,x3] x4=T4[[2,1]];w4=x4/Apply[Plus,x4] x5=T5[[2,1]];w5=x5/Apply[Plus,x5]则输出TT T TT w w w w w )200000.0,200000.0,600000.0()229651.0,12202.0,648329.0()581552.0,308996.0,109452.0()12202.0,229651.0,648329.0()581552.0,308996.0,109452.0(54321===== 计算一致性指标)5,,2,1(1=--=i n nCI i i λ,其中,3=n 输入lamda={T1[[1,1]],T2[[1,1]],T3[[1,1]],T4[[1,1]],T5[[1,1]]} CI=(lamda-3)/(3-1)//Chop则输出0,0018473.0,0018473.0,0018473.0,0018473.054321=====CI CI CI CI CI查表得到相应的随机一致性指标)5,,2,1(58.0 ==i RI i计算一致性比率5,,2,1, ==i RI CI CR iii ,输入CR=CI/0.58则输出.0,003185.0,003185.0,003185.0,003185.054321=====CR CR CR CR CR因),5,,2,1(,1.0 =<i CR i 通过了一致性检验. 即认为)5,,2,1( =j B j 的一致性程度在容许 的范围之内, 可以用归一化后的特征向量作为其排序权重向量.4. 计算层次总排序权重向量并做一致性检验购买个人电脑问题的第三层对第二层的排序权重计算结果列于表3.以矩阵表示第三层对第二层的排序权重计算结果为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2.0229651.0581552.012202.0581552.02.012202.0308996.0229651.0308996.06.0648329.0109452.0648329.0109452.0)3(W )3(W 即是第三层对第二层的权重向量为列向量组成的矩阵. 最下层(第三层)对最上层(第一层)的总排序权向量为)2()3()3(w W w =为了计算上式, 输入W3=Transpose[{w1,w2,w3,w4,w5}]; ww3=W3.ww2则从输出结果得到T w )452037.0,272235.0,275728.0()3(=为了对总排序权向量进行一致性检验, 计算)2(521)3().,,.,.(w I C I C I C CI =输入CI.ww2则从输出结果得到00152635.0)3(=CI 再计算)2(51)3(],,[w RI RI RI =,输入RI=T able[0.58,{j,5}]; RI.ww2则从输出结果得到 58.0.)3(=I R 最后计算 )3()3()2()3(./...I R I C R C R C +=,可得00480575.0.)3(=R C因为,1.0.)3(<R C 所以总排序权重向量符合一致性要求的范围.根据总排序权重向量的分量取值, 品牌3的电脑是建模者对这三种品牌机的首选. 实验报告1.根据你的设想购置一台计算机, 需考虑什么样的判断准则? 利用层次分析法及数学 软件做出最佳的决策.2.根据你的经历设想如何报考大学, 需要什么样的判断准则? 利用层次分析法及数学 软件做出最佳的决策.3.假期到了, 某学生打算做一次旅游, 有四个地点可供选择, 假定他要考虑5个因素: 费用、景色、居住条件、饮食以及旅游条件. 由于该学生没有固定收入, 他对费用最为看重, 其次是旅游点的景色, 至于旅游条件、饮食, 差不多就行, 住什么地方就更无所谓了. 这四个旅游点没有一个具有明显的优势, 而是各有优劣. 该同学拿不定主意, 请用层次分析法帮助他找出最佳旅游点.4. 假设你马上就要从大学毕业, 正面临择业的问题, 你对工作的选择着重考虑下面几个因素: (1)单位的声誉; (2)收入; (3)专业是否对口; (4)是否有机会深造或晋升; (5)工作地点; (6)休闲时间. 对上述各种因素你可以根据自己的具体情况排序,也可以增加或减少所考虑的因素. 现在有四个单位打算你, 但如果用上述标准来衡量,没有一个单位具有明显的优势,请用层次分析法为你自己做一个合理的选择.。

矩阵的秩与特征值矩阵是线性代数中的重要概念，它与多个数学领域有着密切的联系。

在矩阵理论中，矩阵的秩和特征值是两个重要的概念，它们对于矩阵的性质和应用具有重要的影响。

一、矩阵的秩矩阵的秩是指线性无关的行（或列）向量的最大数量。

它可以用来衡量矩阵的线性相关性和自由度。

矩阵的秩具有以下性质：1. 矩阵的秩不超过矩阵的行数和列数的较小值。

2. 对于m×n的矩阵，秩r满足0 ≤ r ≤ min(m, n)。

3. 若矩阵A的秩为r，则存在r个行线性无关的行向量和r个列线性无关的列向量。

4. 行最简形式的矩阵的秩等于其非零行的个数。

二、矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念，用来描述线性变换过程中的不变性。

设A是一个n阶方阵，如果存在一个非零向量x，使得Ax=kx，其中k为常数，则称k为矩阵A的特征值，x为对应于特征值k的特征向量。

矩阵的特征值与特征向量有以下性质：1. 一个n阶矩阵A最多有n个线性无关的特征向量。

2. 特征值与特征向量的存在与矩阵A的秩有关。

如果A的秩为r，则至少存在n-r个特征值为零的特征向量。

3. 矩阵的特征值与特征向量可以用于对矩阵进行对角化处理，简化计算过程。

矩阵的秩与特征值的关系：1. 若矩阵A的秩为r，则A的零特征值的个数为n-r。

2. 若矩阵A的特征值均为非零值，则A的秩等于它的阶数n。

3. 若矩阵A的所有特征值均为0，则A的秩为0，即A为零矩阵。

综上所述，矩阵的秩和特征值是矩阵理论中重要的概念，它们相互关联并对矩阵的性质和应用产生重要影响。

通过对矩阵的秩和特征值的研究，可以进一步了解矩阵的性质，并在实际应用中发挥其重要作用。

判断矩阵的公式
判断矩阵是用于判断或评估多个标准或因素之间相对重要性的一种工具。

判断矩阵的公式是用来计算矩阵的数值的。

下面是判断矩阵常用的计算公式：
1.极大特征值法（Maximum Eigenvalue Method）：
o标准化特征向量法（Normalized Eigenvector Method）：判断矩阵A的主特征向量的计算公式为：v = (1/n) *
A * w，其中n为矩阵的阶数，w为单位特征值对应
的特征向量。

o平均特征向量法（Average Eigenvector Method）：判断矩阵A的每一列的平均特征向量的计算公式为：v
= (1/n) * Σ(A * w)，其中n为矩阵的阶数，Σ表示对所
有特征值对应的特征向量进行求和，w为对应的特
征向量。

2.离差平均法（Average Deviation Method）：公式为：v =
(1/n) * Σ(A * w)，其中n为矩阵的阶数，Σ表示对所有特征
值对应的特征向量进行求和，w为对应的特征向量。

判断矩阵的计算公式根据不同的方法和理论有所差异，但都涉及计算特征值和特征向量，并进行归一化或平均化等处理。

具体应用时，可以根据实际情况和所采用的方法选择适合的计算公式。

数值分析幂法求矩阵A按模最大的特征值及其特征向量幂法的主要思想设 nn ij R a A ⨯∈=)( ,其特征值为i λ ,对应特征向量为),,,1(n i x i=即i i i x Ax λ= ),,1(n i =，且x 1，······，x n线性无关。

求矩阵A的主特征值及对应的特征向量。

幂法的基本思想: 任取一个非零初始向量v 0 ∈R n 且v 0≠0，由矩阵A 的乘幂构造一向量序列：称{vk }为迭代向量，A 特征值中 λ1为强占优，即▕ λ1▕＞▏λ2 ▏＞······＞▏λn ▏,{x 1，x 2，······，x n }线性无关，即{x 1，x 2，······，x n }为R n 中的一个基，于是对任意的初始向量v 0∈R n 且v0≠0有展开式。

(v0 用{x i }的线性组合表示)（且设01≠α） 则当k =2,3,… 时，vk =A vk-1 =A k v 0⎩⎨⎧01Av v =0212v A Av v ==011v A Av v k k k ++==),,1,0(n k =∑==n i i i x v 10 α)(221101n n x x x A v A vααα+++==nn x A x A x Aααα+++=2211nn n x x x λαλαλα+++=222111)(111+≡x kαλk ε其中 由假设▕ λ1▕＞▏λ2 ▏＞······＞▏λn ▏，得 ，从而 即,0lim =∞→k k ε且收敛速度由比值||12λλ=r 确定。

所以有说明，当k 充分大时，有111x v k kαλ≈，或 k kv 1λ 越来越接近特征向量规范化幂法的算法①输入矩阵A 、初始向量v (0)，误差eps ，实用中一般取v (0)=（1，1，···，1）T ； ②k ←1；③计算v(k) ←Au (k-1)；④m k←max{ v (k) }，m k-1←{ v (k-1) }；⑤u (k) ←v (k)/ m k；⑥如果▕ m k - m k-1▕＜eps ，则显示特征值λ1←和对应的特征向量x (1)，终止；⑦k=k+1，转③。

数值计算解矩阵的按模最大最小特征值及对应的特征向量一.幂法1. 幂法简介：当矩阵A 满足一定条件时，在工程中可用幂法计算其主特征值(按模最大)及其特征向量。

矩阵A 需要满足的条件为： (1) 的特征值为A i n λλλλ,0||...||||21≥≥≥>(2) 存在n 个线性无关的特征向量，设为n x x x ,...,,211.1计算过程：i ni i i u xx αα,1)0()0(∑==，有对任意向量不全为0，则有1111112211211111111011)()(...u u a u a u λu λαu αA x A Ax x k n n k n k k ni ik i i ni i i k )(k (k))(k αλλλλλα++++=+=+++≈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++======∑∑Λ 可见，当||12λλ越小时，收敛越快；且当k 充分大时，有1)1111)11111λαλαλ=⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+++(k )(k k(k k )(k x x u x u x ，对应的特征向量即是)(k x 1+。

2 算法实现.,, 3,,1 , ).5()5(,,,,||).4();max(,).3()(max(;0,1).2(,).1()()()(停机否则输出失败信息转置若转否则输出若计算最大迭代次数，误差限，初始向量输入矩阵βλβεβλβλε←+←<<-←←=←←k k N k y x Ay x x abs x y k N x A k k k3 matlab 程序代码function[t,y]=lpowerA,x0,eps,N) % t 为所求特征值，y是对应特征向量 k=1;z=0; % z 相当于λy=x0./max(abs(x0)); % 规范化初始向量x=A*y; % 迭代格式b=max(x); % b 相当于βif abs(z-b)<eps % 判断第一次迭代后是否满足要求t=max(x);return;endwhile abs(z-b)>eps && k<Nk=k+1;z=b;y=x./max(abs(x));x=A*y;b=max(x);end[m,index]=max(abs(x)); % 这两步保证取出来的按模最大特征值t=x(index); % 是原值，而非其绝对值。

数值计算解矩阵的按模最大最小特征值及对应的特征向量一.幂法1. 幂法简介：当矩阵A 满足一定条件时，在工程中可用幂法计算其主特征值(按模最大)及其特征向量。

矩阵A 需要满足的条件为：(1) 的特征值为A i n λλλλ,0||...||||21≥≥≥>(2) 存在n 个线性无关的特征向量，设为n x x x ,...,,21 1.1计算过程：i ni i i u x x αα,1)0()0(∑==，有对任意向量不全为0，则有111111*********1111011)()(...u u a u a u λu λαu αA x A Ax x k n n k n k k ni i k i i n i i i k )(k (k))(k αλλλλλα++++=+=+++≈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++======∑∑Λ 可见，当||12λλ越小时，收敛越快；且当k 充分大时，有1)1111)11111λαλαλ=⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+++(k )(k k (k k )(k x x u x u x ，对应的特征向量即是)(k x 1+。

2 算法实现.,, 3,,1 , ).5()5(,,,,||).4();max(,).3()(max(;0,1).2(,).1()()()(停机否则输出失败信息转置若转否则输出若计算最大迭代次数，误差限，初始向量输入矩阵βλβεβλβλε←+←<<-←←=←←k k N k y x Ay x x abs x y k Nx A k k k 3 matlab 程序代码function [t,y]=lpowerA,x0,eps,N) % t 为所求特征值，y是对应特征向量k=1;z=0; % z 相当于λy=x0./max(abs(x0)); % 规范化初始向量x=A*y; % 迭代格式b=max(x); % b 相当于βif abs(z-b)<eps % 判断第一次迭代后是否满足要求t=max(x);return;endwhile abs(z-b)>eps && k<Nk=k+1;z=b;y=x./max(abs(x));x=A*y;b=max(x);end[m,index]=max(abs(x)); % 这两步保证取出来的按模最大特征值t=x(index); % 是原值，而非其绝对值。

矩阵特征值的求法举例特征值是线性代数中一个重要的概念，它能够描述一个矩阵对应的线性变换的特性。

在实际应用中，我们经常需要计算一个矩阵的特征值。

本文将通过举例来讲解矩阵特征值的求法。

我们来介绍一下什么是特征值。

给定一个n×n的矩阵A，如果存在一个非零向量v，使得Av=λv，其中λ为常数，那么我们称λ为矩阵A的特征值，而v称为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。

计算矩阵特征值的方法有很多，包括特征值分解、幂法、反幂法、QR方法等。

下面我们来逐一介绍这些方法，并通过具体的例子进行说明。

1. 特征值分解法特征值分解是指将一个矩阵分解成特征值和特征向量的乘积的形式，即A=QΛQ^-1，其中Q是特征向量组成的矩阵，Λ是对角矩阵，其对角线上的元素是矩阵A的特征值。

举例：假设有一个2×2的矩阵A=[4, 2; 1, 3]，我们来计算其特征值。

首先我们要求解方程det(A-λI)=0，其中I是单位矩阵，λ是待求的特征值。

展开方程可得(4-λ)(3-λ)-2·1=0，解这个二次方程可得λ1=5，λ2=2。

2. 幂法幂法是一种迭代法，用于求解特征值模最大的特征值和对应的特征向量。

举例：假设有一个3×3的矩阵A=[1, 2, 3; 1, 3, 2; 3, 2, 1]，我们来计算其特征值和特征向量。

首先我们随机选取一个初始向量x^(0)，计算向量序列x^(k+1)=Ax^(k)，迭代到收敛后，我们取得到的向量x^(k+1)的模最大的分量作为矩阵A的特征值模最大的特征向量。

然后，我们将这个特征向量归一化，即除以特征值模最大的分量，得到单位特征向量。

我们将单位特征向量与矩阵A相乘，可得到特征值l。

通过幂法计算可得矩阵A的特征值l≈2.863，以及对应的特征向量v≈[0.618, 0.618, 0.486]。

3. QR方法QR方法是一种迭代法，用于求解特征值。

举例：假设有一个5×5的矩阵A=[3, -1, 0, 0, 0; -1, 3, -1, 0, 0; 0, -1, 3, -1, 0; 0, 0, -1, 3, -1; 0, 0, 0, -1, 3]，我们来计算其特征值。

幂法,反幂法求解矩阵最大最小特征值及其对应的特征向量数值计算解矩阵的按模最大最小特征值及对应的特征向量一.幂法1. 幂法简介:当矩阵A满足一定条件时，在工程中可用幂法计算其主特征值(按模最大) 及其特征向量。

矩阵A需要满足的条件为:|,|,|,|,...,|,|,0,,为A的特征值(1) 12nix,x,...,x(2) 存在n个线性无关的特征向量，设为 12n1.1计算过程:n(0)(0)对任意向量x，有x,,u,,不全为0，则有 ,iii,1i(k，1)(k)k，1(0),,,xAx...Axnn11k，k，,,Aαuαλu,,iiiii11i,i,,,，， k，1k，1k，1n2,,，，，λu()au？()au11122nn,,,,11，，k，1,,,u111,2||可见，当越小时，收敛越快;且当k充分大时，有,111(k，)k，1(k，),,,xu,x,111(k，1),,,,x1，对应的特征向量即是。

)(k)(kkx,xu,,,111,2 算法实现,(1).输入矩阵A，初始向量x，误差限,最大迭代次数N(k)x(k),(2).k,1,,0;y,(k)max(abs(x),(3).计算x,Ay,,max(x);,,,,(4).若|,|,,输出,y,否则,转(5)(5).若 k,N, 置k,k，1,,,,,转3 ,否则输出失败信息,停机.3 matlab程序代码function [t,y]=lpowerA,x0,eps,N) % t 为所求特征值，y是对应特征向量k=1;, z=0; % z 相当于y=x0./max(abs(x0)); % 规范化初始向量x=A*y; % 迭代格式b=max(x); % b 相当于 ,if abs(z-b)<eps % 判断第一次迭代后是否满足要求t=max(x);return;endwhile abs(z-b)>eps && k<Nk=k+1;z=b;y=x./max(abs(x));x=A*y;b=max(x);end[m,index]=max(abs(x)); % 这两步保证取出来的按模最大特征值t=x(index); % 是原值，而非其绝对值。

求最大特征值和权重向量全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：求最大特征值和权重向量是一种在数学和计算机科学领域经常用到的方法，它们在数据分析、机器学习、人工智能等领域中起着重要的作用。

在矩阵理论中，特征值和特征向量是矩阵的两个重要概念，它们能够帮助我们揭示矩阵的内在性质和结构。

本文将介绍求最大特征值和权重向量的方法及其应用。

让我们来了解一下什么是特征值和特征向量。

在线性代数中，对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量v，使得Av=λv，其中λ是一个标量，则λ被称为矩阵A的特征值，v被称为对应于特征值λ的特征向量。

特征值和特征向量的求解是一个重要的矩阵分析问题，它们能够帮助我们理解矩阵的性质和行为。

接着，让我们来讨论如何求解一个矩阵的最大特征值和对应的特征向量。

在实际应用中，我们通常使用迭代法来求解最大特征值和对应的特征向量。

最常用的方法是幂法（power method），其原理如下：1. 我们随机选择一个非零向量作为初始向量v0，并将其标准化为单位向量，即v0 = v0 / ||v0||。

2. 然后，我们按照以下迭代公式计算向量vk+1 = Avk，其中A是待求解矩阵。

3. 继续迭代上述步骤，直到收敛为止。

在每次迭代中，我们需要将向量标准化，即vk+1 = vk+1 / ||vk+1||。

4. 最终，当迭代收敛时，我们可以得到矩阵A的最大特征值和对应的特征向量。

幂法具有简单、高效的特点，广泛应用于求解矩阵的最大特征值和特征向量。

在实际应用中，我们通常会对矩阵A进行对角化处理，以提高幂法的收敛速度和稳定性。

除了求解最大特征值和特征向量外，我们还经常需要对特征值进行排序，并确定对应的特征向量。

在实际应用中，我们通常使用雅各比迭代法（Jacobi method）或QR分解法（QR decomposition）等方法来实现特征值排序和特征向量确定。

1. 数据降维：在数据分析和机器学习中，我们经常需要对数据进行降维处理，以便更好地理解和分析数据。

计算矩阵最大特征根矩阵最大特征根是矩阵理论中的一个重要概念，它可以用来描述矩阵的性质和特征。

在本文中，我们将探讨矩阵最大特征根的计算方法及其应用。

我们需要了解什么是特征根。

在矩阵理论中，特征根是指满足方程式Ax=λx的非零向量x以及对应的标量λ。

其中，A是一个n×n 矩阵，x是一个n维列向量，λ是一个标量。

特征根描述了矩阵A 对向量x的作用，它可以帮助我们理解矩阵的性质和行为。

那么，如何计算矩阵的特征根呢？一种常用的方法是通过求解特征方程来得到特征根。

特征方程是一个关于λ的方程，可以通过矩阵A的特征值来表示。

对于一个n×n矩阵A，其特征方程可以写为|A-λI|=0，其中I是n阶单位矩阵。

解特征方程得到的λ即为矩阵的特征根。

特征方程的求解是一个复杂的过程，通常需要借助数值计算方法。

常见的数值计算方法包括雅可比迭代法、幂法和QR方法等。

这些方法通过迭代过程逼近特征根的值，直到满足一定的精度要求为止。

其中，幂法是一种简单而有效的方法，它利用特征向量的迭代逼近特征根。

通过多次迭代，可以得到特征根的近似值。

矩阵最大特征根是指特征根中最大的一个。

它在矩阵理论和应用中有着重要的意义。

最大特征根可以用来描述矩阵的稳定性和收敛性，也可以用来进行矩阵相似变换和特征分解等操作。

在实际应用中，最大特征根常常用于分析网络传输、信号处理和金融风险评估等问题。

除了计算矩阵最大特征根外，我们还可以利用特征值分解来求解矩阵的特征根。

特征值分解是将矩阵A分解为A=QΛQ^(-1)的形式，其中Q是由特征向量组成的正交矩阵，Λ是由特征值组成的对角矩阵。

通过特征值分解，我们可以直接得到矩阵的特征根。

特征值分解在矩阵计算中具有广泛的应用。

它可以用于解决线性方程组、求解矩阵的幂以及矩阵的相似变换等问题。

特征值分解还可以用于降维和数据压缩等领域，为大规模数据处理提供了有效的工具。

总结起来，矩阵最大特征根是矩阵理论中的一个重要概念，它可以通过求解特征方程或利用特征值分解的方法来计算。

矩阵的最大特征根公式
矩阵的最大特征根公式是用来计算一个矩阵的最大特征值的公式。

如果一个矩阵A有n个特征值，则其最大特征值为λmax。

根据矩阵的特征值分解，矩阵A可以表示为其特征向量的线性组合，即
A=QΛQ^-1，其中Q是由特征向量组成的矩阵，Λ是由特征值组成的对角矩阵。

根据矩阵的谱半径定义，矩阵A的最大特征值λmax等于其谱半径ρ(A)。

因此，可以用矩阵的幂来逼近其谱半径，即ρ(A)=lim┬(k →∞)〖∥A^k∥^(1/k)〗。

根据幂法迭代，可以通过迭代矩阵的幂来逼近其最大特征值。

具体地，假设有一个非零向量x0，通过以下迭代可以得到A的最大特征值λmax：
1. 计算y0=Ax0。

2. 令x1=y0/∥y0∥，即将y0归一化。

3. 计算y1=Ax1。

4. 令λ1=x1^Ty1，即将y1投影到x1上得到λ1。

5. 重复步骤2至4，直到λi+1和λi的差值小于某个精度值。

根据幂法迭代的收敛性，迭代后的向量xk收敛到A的最大特征向量，λk收敛到λmax。

因此，矩阵的最大特征根公式为：λmax=lim┬(k →∞)(xk+1^TAxk)/(xk^Txk)。

该公式可以通过幂法迭代来计算矩阵的最大特征值。

- 1 -。

用幂法求矩阵的按模最大特征值例题上线性代数中，矩阵的特征值和特征向量是非常重要的概念。

特征值可以用于描述矩阵的特性和行为，而特征向量则可以帮助我们理解矩阵的变换规律。

而求解矩阵的特征值和特征向量是线性代数中的一个重要问题，其中幂法是一种常用的数值方法。

幂法是一种迭代算法，用于计算矩阵的按模最大特征值和对应的特征向量。

其基本思想是通过矩阵的幂次来逼近特征向量，从而得到特征值的近似值。

接下来，我们将通过一个具体的例题来介绍如何使用幂法求解矩阵的按模最大特征值。

例题：考虑矩阵\[A = \begin{bmatrix} 4 1 \\ 2 3 \end{bmatrix}\]我们的目标是使用幂法求解矩阵A的按模最大特征值和对应的特征向量。

步骤如下：1. 选择一个初始向量\(\mathbf{v}_0\)，并将其归一化得到单位向量\(\mathbf{q}_0\)。

通常可以选择\(\mathbf{v}_0 = [1, 1]^T\)作为初始向量。

2. 计算矩阵A与单位向量\(\mathbf{q}_0\)的乘积：\(\mathbf{z}_1 = A\mathbf{q}_0\)。

3. 根据\(\mathbf{z}_1\)更新单位向量\(\mathbf{q}_1\)：\(\mathbf{q}_1 = \frac{\mathbf{z}_1}{||\mathbf{z}_1||}\)。

4. 重复步骤2和步骤3，直到收敛或达到预定迭代次数。

接下来，我们通过代码来实现这个幂法求解矩阵的按模最大特征值的过程：```pythonimport numpy as np# 定义矩阵AA = np.array([[4, 1], [2, 3]])# 设定初始向量v = np.array([1, 1])# 设定迭代次数max_iter = 1000tolerance = 1e-6# 进行幂法迭代for i in range(max_iter):z = np.dot(A, v)v = z / np.linalg.norm(z)eigenvalue = np.dot(np.dot(v, A), v)if i > 0 and np.abs(eigenvalue - old_eigenvalue) < tolerance: breakold_eigenvalue = eigenvalueprint("按模最大特征值：", eigenvalue)print("对应的特征向量：", v)```通过运行上面的代码，我们可以得到矩阵A的按模最大特征值和对应的特征向量。

蒙特卡洛算法最大特征值全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：蒙特卡洛算法是一种通过随机采样来估计数学问题的方法，常用于求解复杂的计算问题。

在数学和计算领域中，蒙特卡洛算法被广泛应用于估计或计算数值问题的结果，其中包括计算数值积分、近似求解微分方程、模拟随机过程等。

在本文中，我们将重点讨论蒙特卡洛算法在计算最大特征值的应用。

最大特征值是矩阵的一个非常重要的性质，它能够告诉我们矩阵的运算特性和稳定性。

计算矩阵的最大特征值对于很多实际问题具有重要意义，比如在信号处理、机器学习、金融分析等领域都有着广泛应用。

传统的方法计算矩阵的最大特征值通常比较复杂，需要对矩阵进行特征值分解或者求解特征值方程。

对于大型矩阵或者密集矩阵，这些方法可能会面临计算和存储的困难。

蒙特卡洛算法被引入来解决这一问题。

蒙特卡洛算法计算矩阵的最大特征值的基本思想是通过随机采样来估计特征值的值。

具体而言，我们可以通过对矩阵进行随机向量的采样，然后计算这些向量的特征值，再根据这些特征值的分布来估计矩阵的最大特征值。

在实际应用中，蒙特卡洛算法通常涉及大量的迭代和计算，因此需要进行大量的随机采样。

通过增加随机采样的次数，我们可以提高算法的精度和准确性。

除了计算最大特征值外，蒙特卡洛算法还可以用来计算其他矩阵的性质，比如特征向量、特征值分布等。

这些性质对于矩阵运算和分析都具有重要意义。

蒙特卡洛算法在计算最大特征值方面具有一定的优势，特别是对于大型矩阵或者高维矩阵。

通过随机采样和估计，我们可以快速而准确地计算矩阵的最大特征值，从而更好地了解矩阵的性质和运算特性。

希望本文能帮助读者更好地了解蒙特卡洛算法在计算最大特征值方面的应用和意义。

第二篇示例：蒙特卡洛算法是一种基于随机采样的数值计算方法，适用于解决很多难以通过解析方法求解的问题。

其中一个重要的应用领域是计算矩阵的最大特征值，蒙特卡洛算法在这个领域具有独特的优势。

本文将介绍蒙特卡洛算法在计算最大特征值方面的原理、应用和优缺点。

和积法计算最大特征向量实例和积法（Power method）是一种计算矩阵的最大特征值和对应特征向量的迭代方法。

它是一种简单而高效的算法，可以在较短的时间内找到一个逼近最大特征值和对应特征向量的解。

为了更好地理解和积法的原理和应用，我们来看一个实例。

假设有一个3x3的矩阵A，我们想找到它的最大特征向量。

1.首先，我们需要选取一个初始向量x0作为迭代的起点。

这个初始向量可以是任意的非零向量。

在本例中，我们选择x0=[1,1,1]的转置作为初始向量。

2.下一步，我们利用矩阵A和初始向量x0进行迭代计算。

迭代过程如下：a.计算y=Ax，其中x是上一步的向量。

b.归一化y，得到新的向量x=y/，y，其中，y，表示y的范数（即长度）。

3.重复步骤2，直到收敛。

在每一步迭代中，x都会趋向于最大特征向量，而A的特征值则被称为和积法收敛到的特征值。

在实际计算中，通常设置一个迭代的终止条件。

比如，当新向量x与前一个向量的差异小于一些阈值时，就可以认为算法已经收敛。

另外，可以设置最大迭代次数，以防止算法陷入无限循环。

下面我们来用Python代码实现和积法计算最大特征向量的例子：```pythonimport numpy as npdef power_iteration(A, x0, epsilon, max_iters): """使用和积法计算矩阵A的最大特征值和对应特征向量参数：A：要计算特征向量的矩阵x0：初始向量epsilon：收敛的阈值max_iters：最大迭代次数返回：eigenvalue：最大特征值eigenvector：最大特征向量"""x=x0for i in range(max_iters):y = np.dot(A, x)eigenvalue = np.linalg.norm(y)x = y / eigenvalue#判断是否收敛if np.linalg.norm(y - np.dot(A, x)) < epsilon:breakeigenvector = xreturn eigenvalue, eigenvector#创建一个3x3的矩阵A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])#设置初始向量、收敛阈值和最大迭代次数x0 = np.array([1, 1, 1])epsilon = 1e-8max_iters = 100#调用和积法计算特征向量和特征值eigenvalue, eigenvector = power_iteration(A, x0, epsilon, max_iters)print("最大特征值：", eigenvalue)print("最大特征向量：", eigenvector)```在这个例子中，我们创建了一个3x3的矩阵A，并设置初始向量、收敛阈值和最大迭代次数。

数值计算解矩阵的按模最大最小特征值及对应的特征向量一.幂法1. 幂法简介：当矩阵A 满足一定条件时，在工程中可用幂法计算其主特征值(按模最大)及其特征向量。

矩阵A 需要满足的条件为：(1) 的特征值为A i n λλλλ,0||...||||21≥≥≥>(2) 存在n 个线性无关的特征向量，设为n x x x ,...,,21 1.1计算过程：i ni i i u x x αα,1)0()0(∑==，有对任意向量不全为0，则有111111*********1111011)()(...u u a u a u λu λαu αA x A Ax x k n n k n k k ni i k i i n i i i k )(k (k))(k αλλλλλα++++=+=+++≈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++======∑∑ 可见，当||12λλ越小时，收敛越快；且当k 充分大时，有1)1111)11111λαλαλ=⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+++(k )(k k (k k )(k x x u x u x ，对应的特征向量即是)(k x 1+。

2 算法实现.,, 3,,1 , ).5()5(,,,,||).4();max(,).3()(max(;0,1).2(,).1()()()(停机否则输出失败信息转置若转否则输出若计算最大迭代次数，误差限，初始向量输入矩阵βλβεβλβλε←+←<<-←←=←←k k N k y x Ay x x abs x y k Nx A k k k 3 matlab 程序代码function [t,y]=lpowerA,x0,eps,N) % t 为所求特征值，y 是对应特征向量k=1;z=0; % z 相当于λy=x0./max(abs(x0)); % 规范化初始向量x=A*y; % 迭代格式b=max(x); % b 相当于 βif abs(z-b)<eps % 判断第一次迭代后是否满足要求t=max(x);return;endwhile abs(z-b)>eps && k<Nk=k+1;z=b;y=x./max(abs(x));x=A*y;b=max(x);end[m,index]=max(abs(x)); % 这两步保证取出来的按模最大特征值t=x(index); % 是原值，而非其绝对值。

项目六矩阵的特征值及特征向量实验1 求矩阵的特征值及特征向量实验目的学习利用Mathematica(4.0以上版本)命令求方阵的特征值和特征向量;能利用软件计算方阵的特征值和特征向量及求二次型的标准形.求方阵的特征值及特征向量.例1.1 (教材例1.1) 求矩阵的特征值及特值向量.(1) 求矩阵A的特征值. 输入A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}}MatrixForm[A]Eigenvalues[A]则输出A的特征值{-1,1,1}(2) 求矩阵A的特征向量. 输入A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}}MatrixForm[A]Eigenvectors[A]则输出{{-3,1,0},{1,0,1},{0,0,0}}即A的特征向量为(3) 利用命令Eigensystem同时矩阵A的所有特征值及特征向量.输入A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}}MatrixForm[A]Eigensystem[A]则输出矩阵A的特征值及其对应的特征向量.例1.2 求矩阵的特征值及特征向量.输入A=Table[i+j,{i,3},{j,3}]MatrixForm[A](1) 计算矩阵A的全部（准确解）特征值, 输入Eigenvalues[A]则输出{0, 426-,426+}(2) 计算矩阵A的全部（数值解）特征值, 输入Eigenvalues[N[A]]则输出{12.4807, -0.480741, -1.34831610-⨯}(3) 计算矩阵A的全部(准确解)特征向量, 输入Eigenvectors[A]//MatrixForm则输出12117242 2344220342 23442117242 2344220342 234421(4) 计算矩阵A的全部(数值解)特征向量, 输入Eigenvectors[N[A]]//MatrixForm则输出0.4303620.5665420.7027220.805060.111190.5826790.4082480.8164970.408248(5) 同时计算矩阵A的全部(准确解)特征值和特征向量, 输入OutputForm[Eigensystem[A]]则输出所求结果(6) 计算同时矩阵A的零空间, 输入NullSpace[A]则输出{{1,-2,1}}(7) 调入程序包<<LinearAlgebra`Orthogonalization`后,还可以做以下的运算:GramSchmidt[ ]:用Gram-Schmidt过程将向量组单位正交化;Normalize[ ]:将向量组单位化;Projection[vect1,vect2]:求从向量组vect1到vect2的正交映射.输入<<LinearAlgebra’Orthogonalization’GramSchmidt[Eigenvectors[N[A]]]//MatrixForm则输出0.4303620.5665420.7027220.805060.111190.5826790.4082480.8164970.408248例1.3求方阵的特征值和特征向量.输入Clear[M];M={{1,2,3,},{2,1,3}{3,3,6}};Eigenvalues[M]Eigenvectors[M]Eigensystem[M]则分别输出{-1,0,9}{{-1,1,0},{-1,-1,1}{1,1,2}}{{-1,0,9},{{-1,1,0},{-1,-1,1}{1,1,2}}}例1.4(教材例1.2)求矩阵的特征值和特征向量的近似值.输入A={{1/3,1/3,-1/2},{1/5,1,-1/3},{6,1,-2}};Eigensystem[A]则屏幕输出的结果很复杂,原因是矩阵A的特征值中有复数且其精确解太复杂.此时,可采用近似形式输入矩阵A,则输出结果也采用近似形式来表达.输入A={{1/3,1/3,-1/2},{1/5,1,-1/3},{6.0,1,-2}};Eigensystem[A]则输出{{-0.748989+1.27186i,-0.748989-1.27186i,0.831311},{{0.179905+0.192168i,0.116133+0.062477I,0.955675+0.i},{0.179905-0.192168i,0.116133-0.062477i,0.955675+0.i},{-0.0872248,-0.866789,-0.490987}}}从中可以看到A有两个复特征值及一个实特征值.属于复特征值的特征向量也是复的;属于实特征值的特征向量是实的.例1.5(教材例1.3)已知2是方阵的特征值,求t.输入Clear[A,q];A={{2-3,0,0},{-1,2-t,-3},{-1,-2,2-3}};q=Det[A]Solve[q==0,t]则输出{{t→8}}即当8t时,2是方阵A的特征值.=例1.6(教材例1.4)已知)1x是方阵的一个特征向量,求参数ba,及特征向量x所=,1,1(-属的特征值.设所求特征值为t,输入Clear[A,B,v,a,b,t];A={{t-2,1,-2},{-5,t-a,-3},{1,-b,t+2}};v={1,1,-1};B=A.v;Solve[{B[[1]]==0,B[[2]]==0,B[[3]]==0},{a,b,t}]则输出{{a→-3, b→0, t→-1}}即0,1,1(-=a时,向量)1x是方阵A的属于特征值-1和特征向量.=b,3=-矩阵的相似变换例1.7(教材例1.5)设矩阵,求一可逆矩阵P,使APP1-为对角矩阵.方法1输入Clear[A,P];A={{4,1,1},{2,2,2},{2,2,2}};Eigenvalues[A]P=Eigenvectors[A]//Transpose则输出{0,2,6}{{0,-1,1},{-1,1,1},{1,1,1}}即矩阵A 的特征值为0,2,6.特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-110,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111及⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111,矩阵.可验证AP P 1-为对角阵, 事实上,输入 Inverse[P].A.P则输出{{0,0,0},{0,2,0},{0,0,6}}因此,矩阵A 在相似变换矩阵P 的作用下,可化作对角阵.方法2 直接使用JordanDecomposition 命令, 输入jor=JordanDecomposition[A]则输出{{{0,-1,1},{-1,1,1},{1,1,1}},{{0,0,0},{0,2,0},{0,0,6}}}可取出第一个矩阵S 和第二个矩阵Λ,事实上,输入jor[[1]] jor[[2]]则输出{{0,-1,1},{-1,1,1},{1,1,1}} {{0,0,0},{0,2,0},{0,0,6}}输出结果及方法1的得到的结果完全相同.例1.8 方阵是否及对角阵相似? 输入Clear[A]; A={{1,0},{2,1}}; Eigensystem[A]输出为{{1,1},{{0,1}{0,0}}}于是,1是二重特征值,但是只有向量{0,1}是特征向量,因此,矩阵A 不及对角阵相似.例1.9 (教材 例1.6) 已知方阵及相似, 求y x ,.注意矩阵B 是对角矩阵,特征值是y ,2,1-.又矩阵A 是分块下三角矩阵,-2是矩阵A 的特 征值.矩阵A 及B 相似,则2-=y ,且-1,2也是矩阵A 的特征值.输入Clear[c,v];v={{4,0,0},{-2,2-x,-2},{-3,-1,1}}; Solve[Det[v]==0,x]则输出{{x →0}}所以,在题设条件,0=x ,2-=y .例1.10 对实对称矩阵,求一个正交阵P ,使AP P 1-为对角阵. 输入<<LinearAlgebra\Orthogonalization Clear[A,P]A={{0,1,1,0 },{1,0,1,0},{1,1,0,0},{0,0,0,2}}; Eigenvalues[A] Eigenvectors[A]输出的特征值及特征向量为{-1,-1,2,2}{{-1,0,1,0},{-1,1,0,0},{0,0,0,1},{1,1,1,0}}再输入P=GramSchmidt[Eigenvectors[A]]//Transpose输出为已经正交化和单位化的特征向量并且经转置后的矩阵P{}}{0,1,0,0,31,0,61,21,31,0,32,0,31,0,61,21⎪⎭⎪⎬⎫-⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎭⎪⎬⎫-⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-为了验证P 是正交阵，以及AP P AP p T=-1是对角阵，输入Transpose[P].PInverse[P].A.P//Simplify Transpose[P].A.P//simplify则输出{{1,0,0,0},{0,1,0,0},{0,0,1,0},{0,0,0,1}} {{-1,0,0,0},{0,-1,0,0},{0,0,2,0},{0,0,0,2}} {{-1,0,0,0},{0,-1,0,0},{0,0,2,0},{0,0,0,2}}第一个结果说明E P P T =,因此P 是正交阵;第二个及第三个结果说明⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==-22111AP P AP P T 例1.11 求一个正交变换,化二次型243231212222x x x x x x x f +++=为标准型.二次型的矩阵为这恰好是例1.10的矩阵, 因此，用例1.10中的正交矩阵P ,作正交变换PY X =,即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43214321010031061213103203106121y y y y x x x x将f 化作标准型.输入f=Table[x[j],{j,4}].A.Table[x[j],{j,4}]//Simplify则输出2(x[2]x[3]+x[1](x[2]+x[3])+x[4]2)这是原来的二次型f .把上式中的x[1],x[2],x[3],x[4]用y[1],y[2],y[3],y[4]表示,输入代换命令f/.Table[x[j]→(P.Table[y[j],{j,4}])[[j]],{j,4}]// Simplify则输出-y[1]2-y[2]2+2(y[3]2+y[4]2)这就是二次型f 的标准型.例1.12 (教材 例1.7) 已知二次型3231212322213212422),,(x x x x x x x x x x x x f +-++-=(1)求标准形; (2)求正惯性指数; (3)判断二次型是否正定. 输入A={{1,1,-2},{1,-2,1},{-2,1,1}}Eigenvalues[A]则输出矩阵A 的特征值为{-3,0,3}所以二次型的标准形为222133y y f +=;正惯性指数为1;该二次型不是正定的. 例1.13 (教材 例1.8) 求正交变换将二次型43324121242322213212222),,(x x x x x x x x x x x x x x x f -+-++++=化为标准形.输入A={{1,1,0,-1},{1,1,1,0},{0,1,1,-1},{-1,0,-1,1}} MatrixForm[A] X={x1,x2,x3,x4}; Expand[X.A.X]<<LinearAlgebra\Orthogonalization.m P=GramSchmidt[Eigenvectors[A]] P.A.Inverse[P]//MatrixForm则输出所求的正交变换矩阵P 及二次型矩阵A 标准形. 从结果知, 所求二次型的标准型为24232221y y y y g +++-=实验2 层次分析法实验目的通过应用层次分析法解决一个实际问题,学习层次分析法的基本原理及方法;掌握用层次 分析法建立数学模型的基本步骤;学会用Mathematica 解决层次分析法中的数学问题.基本原理层次分析法是系统分析的重要工具之一,其基本思想是把问题层次化、数量化, 并用数学 方法为分析、决策、预报或控制提供定量依据. 它特别适用于难以完全量化, 又相互关联、 相互制约的众多因素构成的复杂问题. 它把人的思维过程层次化、数量化,是系统分析的一中 新型的数学方法.运用层次分析法建立数学模型, 一般可按如下四个基本步骤进行.1.建立层次结构首先对所面临的问题要掌握足够的信息, 搞清楚问题的范围、因素、各因素之间的相互 关系,及所要解决问题的目标. 把问题条理化、层次化, 构造出一个有层次的结构模型. 在这 个模型下,复杂问题被分解为元素的组成部分. 这些元素又按其属性及关系形成若干层次.层 次结构一般分三层:第一层为最高层, 它是分析问题的预定目标和结果, 也称目标层;第二层为中间层, 它是为了实现目标所涉及的中间环节, 如: 准则、子准则, 也称准则 层;第三层为最底层, 它包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等, 也称方案层.图2-1决策目标准则1准则2准则n方案1方案2方案m…………注:上述层次结构具有以下特点:(1) 从上到下顺序地存在支配关系, 并用直线段表示;(2) 整个层次结构中层次数不受限制.2.构造判断矩阵构造判断矩阵是建立层次分析模型的关键. 假定以上一层的某元素y 为准则,它所支配 的下一层次的元素为n x x x ,,,21 ,这n 个元素对上一层次的元素y 有影响,要确定它们在y 中的比重. 采用成对比较法. 即每次取两个元素i x 和j x , 用ij a 表示i x 及j x 对y 的影响之比, 全部比较的结果可用矩阵A 表示,即.,,2,1,,)(n j i a A n n ij ==⨯ 称矩阵A 为判断矩阵.根据上述定义,易见判断矩阵的元素ij a 满足下列性质:)(,1),(1j i a j i a a ii ijji ==≠=当0>ij a 时,我们称判断矩阵A 为正互反矩阵.怎样确定判断矩阵A 的元素ij a 的取值呢? 当某层的元素n x x x ,,,21 对于上一层某元素y 的影响可直接定量表示时, i x 及j x 对y的影响之比可以直接确定, ij a 的值也可直接确定. 但对于大多数社会经济问题, 特别是比较 复杂的问题, 元素i x 及j x 对y 的重要性不容易直接获得, 需要通过适当的量化方法来解决. 通常取数字1~9及其倒数作为ij a 的取值范围. 这是因为在进行定性的成对比较时, 通常采用 5级制(表1),在每两个等级之间各有一个中间状态, 共1~9个尺度, 另外心理学家认为进行成 对比较的因素太多, 将超出人们的判断比较能力, 降低精确. 实践证明, 成对比较的尺度以 27±为宜, 故ij a 的取值范围是9,,2,1 及其倒数.表1 比较尺度ij a 的取值 97531/ijj i a x x 绝对强很强强较强相等3.计算层次单排序权重并做一致性检验层次单排序是指同一层次各个元素对于上一层次中的某个元素的相对重要性进行排序. 具体做法是: 根据同一层n 个元素n x x x ,,,21 对上一层某元素y 的判断矩阵A ,求出它们对 于元素y 的相对排序权重,记为n w w w ,,,21 ,写成向量形式T n w w w w ),,,(21 =, 称其为A 的层次单排序权重向量, 其中i w 表示第i 个元素对上一层中某元素y 所占的比重, 从而得到层次单排序.层次单排序权重向量有几种求解方法,常用的方法是利用判断矩阵A 的特征值及特征向 量来计算排序权重向量w .关于正互反矩阵A ,我们不加证明地给出下列结果. (1) 如果一个正互反矩阵n n ij a A ⨯=)(满足),,2,1,,(n k j i a a a ik jk ij ==⨯则称矩阵A 具有一致性, 称元素k j i x x x ,,的成对比较是一致的; 并且称A 为一致矩阵.(2) n 阶正互反矩阵A 的最大特征根n ≥max λ, 当n =λ时, A 是一致的. (3) n 阶正互反矩阵是一致矩阵的充分必要条件是最大特征值 n =max λ.计算排序权重向量的方法和步骤设T n w ),,,(21ωωω =是n 阶判断矩阵的排序权重向量, 当A 为一致矩阵时, 根据n阶判断矩阵构成的定义,有 (2.1)因而满足,nw Aw = 这里n 是矩阵A 的最大特征根, w 是相应的特征向量; 当A 为一般的 判断矩阵时w Aw max λ=, 其中max λ是A 的最大特征值(也称主特征根), w 是相应的特征向 量(也称主特征向量). 经归一化(即)后, 可近似作为排序权重向量, 这种方法称为 特征根法.一致性检验 在构造判断矩阵时, 我们并没有要求判断矩阵具有一致性, 这是由客观事物的复杂性 及人的认识的多样性所决定的. 特别是在规模大、因素多的情况下, 对于判断矩阵的每个元 素来说,不可能求出精确的j i ωω/, 但要求判断矩阵大体上应该是一致的. 一个经不起推敲 的判断矩阵有可能导致决策的失误. 利用上述方法计算排序权重向量, 当判断矩阵过于偏离一致性时, 其可靠性也有问题. 因此,需要对判断矩阵的一致性进行检验, 检验可按如下步骤 进行: (1) 计算一致性指标CI1max --=n nCI λ (2.2)当,0=CI 即n =max λ时, 判断矩阵A 是一致的. 当CI 的值越大, 判断矩阵A 的不一致的程 度就越严重. (2) 查找相应的平均随机一致性指标RI 表2给出了n )11~1(阶正互反矩阵的平均随机一致性指标RI , 其中数据采用了 100~150个随机样本矩阵A 计算得到.(3) 计算一致性比例CRRICICR =(2.3) 当10.0<CR 时, 认为判断矩阵的一致性是可以接受的; 否则应对判断矩阵作适当修正.4. 计算层次总排序权重并做一致性检验 计算出某层元素对其上一层中某元素的排序权重向量后, 还需要得到各层元素, 特别 是最底层中各方案对于目标层的排序权重, 即层次总排序权重向量, 再进行方案选择. 层次 总排序权重通过自上而下地将层次单排序的权重进行合成而得到. 考虑3个层次的决策问题: 第一层只有1个元素, 第二层有n 个元素, 第三层有m 个元 素.设第二层对第一层的层次单排序的权重向量为Tn w ),,,()2()2(2)2(1)2(ωωω =第三层对第二层的层次单排序的权重向量为n k w w w w T kn k k k ,,2,1,),,,()3()3(2)3(1)3( ==以)3(k w 为列向量构成矩阵:n m nm m mn n n w w w w w w w w w w w w W ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==)3()3(2)3(1)3(2)3(22)3(12)3(1)3(21)3(11)3()3(2)3(1)3(,,,,,,,,,,,),,,( (2.4) 则第三层对第一层的层次总排序权重向量为)2()3()3(w W w = (2.5) 一般地, 若层次模型共有s 层, 则第k 层对第一层的总排序权重向量为s k w W w k k k ,,4,3,)1()()( ==-(2.6)其中)(k W 是以第k 层对第1-k 层的排序权向量为列向量组成的矩阵,)1(-k w 是第1-k 层对第 一层的总排序权重向量. 按照上述递推公式, 可得到最下层(第s 层)对第一层的总排序权重 向量为)2()3()1()()(w W W W w s s s -=(2.7)对层次总排序权重向量也要进行一致性检验. 具体方法是从最高层到最低层逐层进行 检验. 如果所考虑的层次分析模型共有s 层. 设第l (s l ≤≤3)层的一致性指标及随机一致性指标分别为)()(2)(1,,,l n l l CI CI CI (n 是第1-l 层元素的数目)及)()(2)(1,,,l nl l RI RI RI , 令)1()(1)(1)(],,[-=l l l l w CI CI CI(2.8) )1()(1)(1)(],,[-=l l l l w RI RI RI(2.9)则第l 层对第一层的总排序权向量的一致性比率为s l RICI CRCRl l l l ,,4,3,)()()1()( =+=- (2.10)其中)2(CR 为由(2.3)式计算的第二层对第一层的排序权重向量的一致性比率.当最下层对第一层的总排序权重向量的一致性比率1.0)(<s CR 时, 就认为整个层次结构 的比较判断可通过一致性检验.应用举例问题 在选购电脑时, 人们希望花最少的钱买到最理想的电脑. 试通过层次分析法建立 数学模型,并以此确定欲选购的电脑.1. 建立选购电脑的层次结构模型选择的目标性能价格质量外观售后服务品牌1品牌2品牌3目标层准则层方案层图2-2该层次结构模型共有三层:目标层(用符号z 表示最终的选择目标); 准则层(分别用符号521,,,y y y 表示“性能”、“价格”、“质量”、“外观”、“售后服务”五个判断准则); 方案层(分别用符号321,,x x x 表示品牌1, 品牌2, 品牌3三种选择方案).2.构造成对比较判断矩阵(1) 建立准则层对目标层的成对比较判断矩阵根据表1的定量化尺度, 从建模者的个人观点出发, 设准则层对目标层的成对比较判断矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=13123/13/113/12/19/113123/12/122/115/139351A(2.11) (2) 建立方案层对准则层的成对比较判断矩阵,113/1113/1331,123/12/115/13511252/1135/13/11,12/15/1213/1531,1252/1135/13/1154321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=B B B B B3.计算层次单排序权重向量并做一致性检验先利用Mathematica 计算矩阵A 的最大特征值及特征值所对应的特征向量. 输入<<Miscellaneous\RealOnly.m(*调用只求实数运算的软件包*)A={{1.0,5,3,9,3},{1/5,1,1/2,2,1/2},{1/3,2,1,3,1},{1/9,1/2,1/3,1,1/3},{1/3,2,1,3,1}};(*以小数形式1.0输入进行近似计算, 可避免精确解太长、太复杂*) T=Eigensystem[A]//Chop(*输入//Chop, 把及零非常接近的数换成零*)则输出{{5.00974,Nonreal,Nonreal,0,0},{{0.88126,0.167913,0.304926,0.0960557,0.304926}, {0.742882,Nonreal,Nonreal,Nonreal,Nonreal}, {0.742882,Nonreal,Nonreal,Nonreal,Nonreal}, {-0.993398,0,0.0673976,0.0662265,0.0650555}, {-0.65676,0,0.57431,0.043784,-0.486742}}} (输出中的Nonreal 表示复数)从中得到A 的最大特征值,00974.5max =λ及其对应的特征向量T x )304926.0,0960557.0,304926.0,167913.0,88126.0(=输入Clear[x]; x=T[[2,1]];ww2=x/Apply[Plus,x]则得到归一化后的特征向量T w )173739.0,0547301.0,173739.0,0956728.0,502119.0()2(=计算一致性指标1max --=n nCI λ,其中,00974.5,5max ==λn 故.002435.0=CI 查表得到相应的随机一致性指标12.1=RI 从而得到一致性比率002174.0)2(==RICICR 因,1.0)2(<CR 通过了一致性检验,即认为A 的一致性程度在容许的范围之内, 可以用归一 化后的特征向量)2(w 作为排序权重向量. 下面再求矩阵)5,,2,1( =j B j 的最大特征值及特征值所对应的特征向量, 输入B1=B3={{1.0,1/3,1/5},{3,1,1/2},{5,2,1}};B2=Transpose[B1];B4={{1.0,5,3},{1/5,1,1/2},{1/3,2,1}}; B5={{1.0,3,3},{1/3,1,1},{1/3,1,1}}; T1=Eigensystem[B1]//Chop T2=Eigensystem[B2]//Chop T3=Eigensystem[B3]//Chop T4=Eigensystem[B4]//Chop T5=Eigensystem[B5]//Chop则输出 {{3.00369,Nonreal, Nonreal}, {{0.163954,0.46286,0.871137},{ Nonreal, Nonreal,0.871137}, { Nonreal, Nonreal, 0.871137}}};{{3.00369,Nonreal, Nonreal}, {{0.928119,0.328758,0.174679}, {0.928119, Nonreal, Nonreal}, {0.928119, Nonreal, Nonreal}}}{{3.00369, Nonreal, Nonreal}, {{0.163954,0.46286,0.871137}, { Nonreal, Nonreal,0.871137}, { Nonreal, Nonreal,0.871137}}}{{3.00369, Nonreal, Nonreal}, {{0.928119,0.174679,0.328758}, {0.928119, Nonreal, Nonreal},{0.928119, Nonreal, Nonreal}}} {{3,0,0},{{0.904534,0.301511,0.301511}, {-0.973329,0.162221,0.162221}, {-0.170182,-0.667851,0.724578}}从上面的输出可以分别得到)5,,2,1( =j B j 的最大特征值000.3,00369.3,00369.3,00369.3,00369.354321=====λλλλλ 以及上述特征值所对应的特征向量TT T TT x x x x x )301511.0,301511.0,904534.0()328758.0,174679.0,928119.0()871137.0,46286.0,163954.0()174679.0,328758.0,928119.0()871137.0,46286.0,163954.0(54321=====其中.5,,2,1),,,(321 ==i x x x x i i i i 为求出归一化后的特征向量, 输入Clear[x1,x2,x3,x4,x5]; x1=T1[[2,1]]; w1=x1/Apply[Plus,x1] x2=T2[[2,1]]; w2=x2/Apply[Plus,x2] x3=T3[[2,1]]; w3=x3/Apply[Plus,x3] x4=T4[[2,1]]; w4=x4/Apply[Plus,x4] x5=T5[[2,1]]; w5=x5/Apply[Plus,x5]则输出TT T TT w w w w w )200000.0,200000.0,600000.0()229651.0,12202.0,648329.0()581552.0,308996.0,109452.0()12202.0,229651.0,648329.0()581552.0,308996.0,109452.0(54321=====计算一致性指标)5,,2,1(1=--=i n nCI i i λ,其中,3=n 输入lamda={T1[[1,1]],T2[[1,1]],T3[[1,1]],T4[[1,1]],T5[[1,1]]} CI=(lamda-3)/(3-1)//Chop则输出0,0018473.0,0018473.0,0018473.0,0018473.054321=====CI CI CI CI CI查表得到相应的随机一致性指标)5,,2,1(58.0 ==i RI i计算一致性比率5,,2,1, ==i RI CI CR iii ,输入CR=CI/0.58则输出.0,003185.0,003185.0,003185.0,003185.054321=====CR CR CR CR CR因),5,,2,1(,1.0 =<i CR i 通过了一致性检验. 即认为)5,,2,1( =j B j 的一致性程度在容许 的范围之内, 可以用归一化后的特征向量作为其排序权重向量.4. 计算层次总排序权重向量并做一致性检验购买个人电脑问题的第三层对第二层的排序权重计算结果列于表3.表3以矩阵表示第三层对第二层的排序权重计算结果为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2.0229651.0581552.012202.0581552.02.012202.0308996.0229651.0308996.06.0648329.0109452.0648329.0109452.0)3(W)3(W 即是第三层对第二层的权重向量为列向量组成的矩阵. 最下层(第三层)对最上层(第一层)的总排序权向量为)2()3()3(w W w =为了计算上式, 输入W3=Transpose[{w1,w2,w3,w4,w5}]; ww3=W3.ww2则从输出结果得到T w )452037.0,272235.0,275728.0()3(= 为了对总排序权向量进行一致性检验, 计算)2(521)3().,,.,.(w I C I C I C CI =输入CI.ww2则从输出结果得到00152635.0)3(=CI 再计算)2(51)3(],,[w RI RI RI =,输入RI=Table[0.58,{j,5}]; RI.ww2则从输出结果得到 58.0.)3(=I R 最后计算 )3()3()2()3(./...I R I C R C R C +=,可得00480575.0.)3(=R C因为,1.0.)3(<R C 所以总排序权重向量符合一致性要求的范围.根据总排序权重向量的分量取值, 品牌3的电脑是建模者对这三种品牌机的首选. 实验报告1.根据你的设想购置一台计算机, 需考虑什么样的判断准则? 利用层次分析法及数学 软件做出最佳的决策.2.根据你的经历设想如何报考大学, 需要什么样的判断准则? 利用层次分析法及数学 软件做出最佳的决策.3.假期到了, 某学生打算做一次旅游, 有四个地点可供选择, 假定他要考虑5个因素: 费用、景色、居住条件、饮食以及旅游条件. 由于该学生没有固定收入, 他对费用最为看重, 其次是旅游点的景色, 至于旅游条件、饮食, 差不多就行, 住什么地方就更无所谓了. 这四个旅游点没有一个具有明显的优势, 而是各有优劣. 该同学拿不定主意, 请用层次分析法帮助他找出最佳旅游点.4. 假设你马上就要从大学毕业, 正面临择业的问题, 你对工作的选择着重考虑下面几个因素: (1)单位的声誉; (2)收入; (3)专业是否对口; (4)是否有机会深造或晋升; (5)工作地点;(6)休闲时间. 对上述各种因素你可以根据自己的具体情况排序,也可以增加或减少所考虑的因素. 现在有四个单位打算你, 但如果用上述标准来衡量,没有一个单位具有明显的优势,请用层次分析法为你自己做一个合理的选择.。

4阶判断矩阵特征值计算摘要：1.介绍4 阶判断矩阵2.解释特征值和特征向量的概念3.描述计算4 阶判断矩阵特征值的方法4.总结与展望正文：一、介绍4 阶判断矩阵4 阶判断矩阵，又称为4 阶行列式，是一种常用于逻辑运算和判断的矩阵。

它具有4 个元素，分别表示真、假、非真和非假。

例如：A = [[真，假，非真，非假],[假，真，非假，非真],[非真，非假，真，假],[非假，非真，假，真]]二、解释特征值和特征向量的概念特征值和特征向量是线性代数中的基本概念。

特征值是指一个矩阵在乘以一个向量后，其结果仅是原向量的标量倍。

特征向量则是满足特征值方程的非零向量。

对于给定的矩阵A，如果存在非零向量x 和标量λ，使得Ax = λx，则称λ为矩阵A 的特征值，x 为对应特征值λ的特征向量。

三、描述计算4 阶判断矩阵特征值的方法计算4 阶判断矩阵特征值的方法可以分为以下步骤：1.构建矩阵A 的伴随矩阵B：伴随矩阵B 是由矩阵A 的代数余子式组成的矩阵，其元素为：B = [[A_{11}, A_{22}, A_{33}, A_{44}],[A_{21}, A_{33}, A_{44}, A_{11}],[A_{31}, A_{42}, A_{11}, A_{22}],[A_{41}, A_{12}, A_{23}, A_{33}]]2.计算矩阵B 的行列式：根据伴随矩阵B，可以计算出矩阵B 的行列式，记为|B|。

3.求解特征值方程：根据矩阵B 的行列式，可以得到4 阶判断矩阵A 的特征值方程。

通过求解该方程，可以得到矩阵A 的所有特征值。

4.求解特征向量：对于每个特征值，可以通过求解矩阵方程(A-λI)x = 0，得到对应的特征向量。

四、总结与展望4 阶判断矩阵在逻辑运算和判断中具有重要应用，计算其特征值和特征向量有助于更好地理解矩阵的性质。

通过以上方法，可以有效地计算4 阶判断矩阵的特征值和特征向量，为相关领域的研究提供理论支持。