人教版八年级上册专题 中点问题(一)中线倍长构造全等讲义(无答案)

全等三角形的构造方法---常用辅助线搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题，只要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了．下面举例说明几种常见的构造方法，供同学们参考．(一)倍长中线法:题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。

例1．如图（1）AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE=EF ． 求证：AC=BF 证明：延长AD 至H 使DH=AD ，连BH ，∵BD=CD， ∠BDH=∠ADC ，DH=DA ， ∴△BDH ≌△CDA ，∴BH=CA ，∠H=∠DAC ，又∵AE=EF ， ∴∠DAC=∠AFE ，∵∠AFE=∠BFD ，∴∠AFE= 图（1） ∠BFD=∠DAC=∠H ，∴BF=BH ，∴AC=BF ．小结：涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即倍长中线法。

它可以将分居中线两旁的两条边AB 、AC 和两个角∠BAD 和∠CAD 集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。

中线一倍辅助线作法△ABC 中 延长AD 到E ，AD 是BC 边中线DE=AD ，连⊥AD 于F ，延长MD AD 的延长线于使DN=MD ， 连接例2、△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围E AB C DF H例3、已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE课堂练习：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4、已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠课堂练习：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAEB第 1 题图 A B F D EC作业：1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。

第三讲全等三角形专题之中线倍长一、知识精讲中线倍长是证明全等的常用方法，遇到中点时给了学生另一种解题的思考方式，也是求证线段之间关系的重要方法。

这一节将通过中线倍长的基本应用，与多次全等以及综合应用来分析讲解.二、典题解析常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC中，AD是中线，方式 1：延长AD到E，方式 2：间接倍长BC的边中线.使DE=AD，连接BE.【例1】如图所示，已知△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF.【练1】如图，等腰直角ABC∆与等腰直角BDE∆，P为CE中点，连接PA、PD.探究PA、PD的关系.【例 2】已知，如图12，△ABC中，AD是BC边上的中线，分别为AB边，AC为直角边各向外作等腰直角三角。

求证：EF=2AD。

【练 2】在△ABC中，点P为BC的中点.延长AB到D，使得BD=AC，延长AC 到点E，使得CE=AB，连接DE.如图，连接BE，若∠BAC=60°，请你探究线段BE 与线段AP 之间的数量关系，写出你的结论，并加以证明。

【练 3】如图，两个正方形ABDE和ACGF，点P为BC的中点，连接PA交EF于点Q.探究AP与EF的关系.【练 4】如图1，两个矩形ABDE和ACGF相似，AB=，点P为BC的中点，连接PAAE⋅k交EF于点Q.探究AP与EF的关系.⑵如图2，若将“两个矩形ABDE和ACGF相似”改为“两个平行四边形ABDE和ACGF相似”，且α∠EAB.探究AP与EF的关系.=【例 4】如图，在三角形ABC中，AB>AC，E为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，过E做AD的平行线，交AB于F，交CA得延长线于G.求证：BF=CG.【练习4】在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF 与DC的延长线相交于点F.试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论【练习5】已知：如图，正方形ABCD和正方形EBGF，点M是线段DF的中点.⑴试说明线段ME与MC的关系.【例 5】已知：如图，△ABC与△BDE 均为等腰直角三角形，BA⊥AC，ED⊥BD，垂足分别为点A，点D，连接EC，F为EC中点，连接AF，DF，请猜测AF，DF 的数量关系和位置关系，并说明理由．【练 6】如图，D为线段AB的中点，在AB上取异于D的点C，分别以AC、BC 为斜边在AB同侧作等腰直角三角形ACE与BCF，连接DE、DF、EF。

专题03全等三角形的六种模型全梳理几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明三角形各种模型，或证明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。

类型一、倍长中线模型目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。

将分散的条件集中到一个三角形中。

如图1，ABC 中，若86AB AC ==，，求BC 边上的中线小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图连接BE ．请根据小明的方法思考：（1）如图2，由已知和作图能得到ADC EDB ≌△△A ．SSS B ．SAS C ．AAS D ．ASA（2）如图2，AD 长的取值范围是．（2）根据全等三角形的性质得到6AC BE ==，由三角形三边关系得到AB BE AE AB BE -<<+，即可求出17AD <<；（3）延长AD 到点M ，使AD DM =，连接BM ，证明ADC MDB △△≌，得到BM AC CAD M =∠=∠，，由AE EF =得到CAD AFE ∠=∠，进而推出BF BM =，即可证明AC BF =．【详解】解：（1）如图2，延长AD 到点E ，使DE AD =，连接BE ．∵AD 为BC 的中线，∴BD CD =，又∵AD DE ADC BDE =∠=∠，，∴()SAS ADC EDB ≌△△，故答案为：B ；（2）解：∵ADC EDB ≌△△，∴6AC BE ==，在ABE 中，AB BE AE AB BE -<<+，∴86286AD -<<+，∴17AD <<，故答案为：C ；（3）证明：延长AD 到点M ，使AD DM =，连接BM ，∵AD 是ABC 中线，∴CD BD =，∵在ADC △和MDB △中，DC DB ADC MDB AD HD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ADC MDB ≌△△，∴BM AC CAD M =∠=∠，，∵AE EF =，(1)如图1，求证：12BF AD =；(2)将DCE △绕C 点旋转到如图2所示的位置，连接,AE BD ，过C 点作CM ⊥①探究AE 和BD 的关系，并说明理由；②连接FC ，求证：F ，C ，M 三点共线．【答案】(1)见解析(2)①,AE BD AE BD =⊥，理由见解析②见解析【分析】（1）证明≌ACD BCE V V ，得到AD BE =，再根据点F 为BE 中点，即可得证；则：AGB CBD BHG ∠=∠+∠=∠∵CBD EAC ∠=∠，∴90BHG ACB ∠=∠=︒，∴AE BD ⊥，综上：,AE BD AE BD =⊥；②延长CF 至点P ，使PF CF =∵F 为BE 中点，∴BF FE =，∴()SAS BFP EFC ≌，∴,BP CE BPF ECF =∠=∠，∴CE BP ，∴180CBP BCE ∠+∠=︒，∵360180BCE ACD ACB DCE ∠+∠=︒-∠-∠=︒，∴CBP ACD ∠=∠，又,CE CD BP AC BC ===，∴()SAS PBC DCA ≌，∴BCP CAD ∠=∠，延长FC 交AD 于点N ，则：18090BCP ACN ACB ∠+∠=︒-∠=︒，∴90CAD ACN ∠+∠=︒，∴90ANC ∠=︒，∴CN AD ⊥，∵CM AD ⊥，∴点,M N 重合，即：F ，C ，M 三点共线．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形判定和性质．熟练掌握手拉手全等模型，倍长中线法构造全等三角形，是解题的关键．【变式训练1】如图，ABC 中，BD DC AC ==，E 是DC 的中点，求证：2AB AE =．【答案】见解析【分析】利用中线加倍证DEF CEA △≌△（SAS ），可得DF AC BD ==，FDE C ∠=∠，由DC AC =，可得ADC CAD ∠=∠进而可证ADF ADB ∠=∠.，再证ADB ADF △≌△（SAS ）即可．【详解】证明：延长AE 到F ，使EF AE =，连结DF ，∵E 是DC 中点，∴DE CE =，∴在DEF 和CEA 中，DE CE DEF CEA EF EA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DEF CEA △≌△（SAS ），∴DF AC BD ==，FDE C ∠=∠，∵DC AC =，∴ADC CAD ∠=∠，又∵ADB C CAD ∠=∠+∠，ADF FDE ADC ∠=∠+∠，∴ADF ADB ∠=∠，在ADB 和ADF △中，AD AD ADB ADF DB DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADB ADF △≌△（SAS ），∴2AB AF AE ==．【点睛】本题考查中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质，掌握中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质是解题关键．【变式训练2】（1）如图1，已知ABC 中，AD 是中线，求证：2AB AC AD +>；（2）如图2，在ABC 中，D ，E 是BC 的三等分点，求证：AB AC AD AE +>+；（3）如图3，在ABC 中，D ，E 在边BC 上，且BD CE =．求证：AB AC AD AE +>+．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）利用“倍长中线”法，延长AD ，然后通过全等以及三角形的三边关系证明即可；（2）取DE 中点H ，连接AH 并延长至Q 点，使得AH =QH ，连接QE 和QC ，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到AB =CQ ，AD =EQ ，然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论；（3）同（2）处理方式一样，取DE 中点M ，连接AM 并延长至N 点，使得AM =NM ，连接NE ，CE ，结合“倍长中线”思想证明全等后，结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论．【详解】证：（1）如图所示，延长AD 至P 点，使得AD =PD ，连接CP ，∵AD 是△ABC 的中线，∴D 为BC 的中点，BD =CD ，在△ABD 与△PCD 中，BD CD ADB PDC AD PD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△PCD (SAS )，∴AB =CP ，在△APC 中，由三边关系可得AC +PC ＞AP ，∴2AB AC AD +>；（2）如图所示，取DE 中点H ，连接AH 并延长至Q 点，使得AH =QH ，连接QE 和QC ，∵H 为DE 中点，D 、E 为BC 三等分点，∴DH =EH ，BD =DE =CE ，∴DH =CH ，在△ABH 和△QCH 中，BH CH BHA CHQ AH QH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABH ≌△QCH (SAS )，同理可得：△ADH ≌△QEH ，∴AB =CQ ，AD =EQ ，此时，延长AE ，交CQ 于K 点，∵AC +CQ =AC +CK +QK ，AC +CK ＞AK ，∴AC +CQ ＞AK +QK ，又∵AK +QK =AE +EK +QK ，EK +QK ＞QE ，∴AK +QK ＞AE +QE ，∴AC +CQ ＞AK +QK ＞AE +QE ，∵AB =CQ ，AD =EQ ，∴AB AC AD AE +>+；（3）如图所示，取DE 中点M ，连接AM 并延长至N 点，使得AM =NM ，连接NE ，CE ，∵M 为DE 中点，∴DM =EM ，∵BD =CE ，∴BM =CM ，在△ABM 和△NCM 中，BM CM BMA CMN AM NM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABM ≌△NCM (SAS )，同理可证△ADM ≌△NEM ，∴AB =NC ，AD =NE ，此时，延长AE ，交CN 于T 点，∵AC +CN =AC +CT +NT ，AC +CT ＞AT ，∴AC +CN ＞AT +NT ，又∵AT +NT =AE +ET +NT ，ET +NT ＞NE ，∴AT +NT ＞AE +NE ，∴AC +CN ＞AT +NT ＞AE +NE ，∵AB =NC ，AD =NE ，∴AB AC AD AE +>+．【点睛】本题考查全等三角形证明问题中辅助线的添加，掌握“倍长中线”的基本思想，以及熟练运用三角形的三边关系是解题关键．【答案】（1）1.5 6.5AE <<；（2）见解析；（3）BE DF EF +＝，理由见解析【分析】（1）如图①：将ACD △绕着点D 逆时针旋转180 得到EBD △可得BDE ≅ 得出5BE AC ==，然后根据三角形的三边关系求出AE 的取值范围，进而求得AD 范围；（2）如图②：FDC △绕着点D 旋转180︒得到NDB 可得BND CFD ≅ ，得出BN∴1.5 6.5AD ＜＜；故答案为1.5 6.5AD ＜＜；（2）证明：如图②：FDC △绕着点D 旋转180︒得到NDB∴BND CFD ≅ （SAS ），∴BN CF =，DN DF=∵DE DF⊥∴EN EF =，在BNE 中，由三角形的三边关系得：BE BN EN +＞，∴BE CF EF +＞；（3）BE DF EF +＝，理由如下：如图③，将DCF 绕着点C 按逆时针方向旋转100︒∴△DCF ≌△BCH ，∴100CH CF DCB FCH ∠∠=︒＝，＝∴HBC D DF BH∠∠=＝，∵180ABC D ∠+∠︒＝∴180HBC ABC ∠+∠︒＝，∴点A 、B 、H 三点共线∵100FCH ∠=︒，50FCE ∠=︒，∴50ECH ∠=︒∴FCE ECH ∠∠＝，在HCE 和FCE △中，===CF CH ECF ECH CE CE ∠∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴HCE FCE ≌ （SAS ）∴EH EF ＝，∵BE BH EH DF BH+=＝，∴BE DF EF +＝．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查对全等三角形的性质和判定、三角形的三边关系定理、旋转的性质等知识点，通过旋转得到构造全等三角形是解答本题的关键.类型二、截长补短模型截长补短法使用范围：线段和差的证明（往往需证2次全等）(1)求证：CD BC DE=+；(2)若75B∠=︒，求E∠的度数．【答案】(1)见解析(2)105︒【分析】（1）在CD上截取CF∵CA平分BCD∠，∴BCA FCA∠=∠．在BCAV和FCA△中，⎧⎪∠⎨⎪⎩，∠=︒BAC60【答案】（1）5.8；（2）4.3【分析】（1）由已知条件和辅助线的作法，证得△ACD≌△ECD，得到由于∠A＝2∠B，推出∠DEC＝2∠B，等量代换得到∠B＝∠EDB形，得出AC ＝CE ＝3.6，DE ＝BE ＝2.2，相加可得BC 的长；（2）在BA 边上取点E ，使BE ＝BC ＝2，连接DE ，得到△DEB ≌△DBC （SAS ），在DA 边上取点F ，使DF ＝DB ，连接FE ，得到△BDE ≌△FDE ，即可推出结论．【详解】解：（1）如图2，在BC 边上取点E ，使EC ＝AC ，连接DE ．在△ACD 与△ECD 中，AC CE ACD ECD CD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△ECD （SAS ），∴AD ＝DE ，∠A ＝∠DEC ，∵∠A ＝2∠B ，∴∠DEC ＝2∠B ，∴∠B ＝∠EDB ，∴△BDE 是等腰三角形；∴BE ＝DE ＝AD ＝2.2，AC ＝EC ＝3.6，∴BC 的长为5.8；（2）∵△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝20°，∴∠ABC ＝∠C ＝80°，∵BD 平分∠B ，∴∠1＝∠2＝40°，∠BDC ＝60°，在BA 边上取点E ，使BE ＝BC ＝2，连接DE ，在△DEB 和△DBC 中，12BE BC BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEB ≌△DBC （SAS ），∴∠BED ＝∠C ＝80°，∴∠4＝60°，∴∠3＝60°，在DA 边上取点F ，使DF ＝DB ，连接FE ，同理可得△BDE ≌△FDE ，∴∠5＝∠1＝40°，BE ＝EF ＝2，∵∠A ＝20°，∴∠6＝20°，∴AF ＝EF ＝2，∵BD ＝DF ＝2.3，∴AD ＝BD +BC ＝4.3．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，熟悉这些定理是解决本题的关键．类型三、一线三等角模型应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。

《中线倍长》说课稿友谊路中学尹婷一、说教材的地位和作用全等三角形是八年级上册数学教材第十三章的教学内容。

本节课是“全等三角形”判定的综合练习，也是针对用“中线倍长法”构造全等三角形解决问题的专题学习。

通过本节的学习，可以丰富和加深学生对全等三角形的判定的解决二、说教学目标根据本教材的结构和内容分析，结合着八年级学生他们的认知结构及其心理特征，制定了以下的教学目标：1. 理解并掌握采用“中线倍长法”添加辅助线解决问题的方法。

2、灵活运用“中线倍长法”构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题。

三、说教学的重、难点教学重点：进一步巩固判定三角形全等的条件SSS\SAS\AAS\ASA\HL教学难点：灵活运用“中线倍长法”构造出全等三角形难点的依据：在几何证明中，常常需要作辅助线，“中线倍长法”是辅助线中比较常见的一种，可以构造全等的三角形，也可以看作是图形的旋转变换。

让学生逐渐形成几何模型，为今后的学习做准备。

四、说教法我们都知道数学是一门培养人的思考能力的重要学科。

因此，在教学过程中，不仅要使学生“知其然”，还要使学生“知其所以然”。

我们在以师生既为主体，又为客体的原则下，展现获取理论知识、解决实际问题方法的思维过程。

考虑到我校初2年级学生的现状，我主要采取学生活动的教学方法，让学生真正的参与活动，而且在活动中得到认识和体验，产生践行的愿望。

培养学生将课堂教学和自己的行动结合起来，充分引导学生全面的看待发生在身边的现象，发展思辩能力，注重学生的心理状况。

当然教师自身也是非常重要的教学资源。

教师本人应该通过课堂教学感染和激励学生，充分调动起学生参与活动的积极性，激发学生对解决实际问题的渴望，并且要培养学生以理论联系实际的能力，从而达到最佳的教学效果。

同时也体现了课改的精神。

基于本节课内容的特点，我主要采用了以下的教学方法：1、温故知新法：从简单的全等证明入手，变换已知条件，学生发现原有的知识不能解决问题，带着问题，探究新的证明方法。

三角形全等之倍长中线（讲义）➢课前预习1.填空（1）三角形全等的判定有：三边分别___________的两个三角形全等，即（____）；两边和它们的_____分别相等的两个三角形全等，即（____）；两角和它们的_____分别相等的两个三角形全等，即（____）；两角和其中一个角的______分别相等的两个三角形全等，即（____）；斜边和_______边分别相等的两个直角三角形全等，即（____）．（2）要证明两条边相等或者两个角相等，可以考虑放在两个三角形中证________；要证明两个三角形全等需要准备______组条件，这三组条件里面必须有______；然后依据判定进行证明．其中AAA，SSA不能证明两个三角形全等，请举出对应的反例．2.想一想，证一证已知：如图，AB与CD相交于点O，且O是AB的中点．（1）当OC=OD时，求证：△AOC≌△BOD；（2）当AC∥BD时，求证：△AOC≌△BOD．O BC A➢ 知识点睛1. “三角形全等”辅助线：见中线，要__________，________之后______________． 2. 中点的思考方向：①（类）倍长中线延长AD 到E ，使DE =AD ， 延长MD 到E ，使DE =MD ， 连接BE 连接CE②平行夹中点延长FE 交BC 的延长线于点GD CBAMAB CD F EDCBA➢精讲精练1.如图，AD为△ABC的中线．（1）求证：AB+AC >2AD．（2）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．2.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．求证：AB=AC．D C BADBA3.如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC．求证：①CE=2CD；②CB平分∠DCE．4.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD上一点，BE=AC，BE的延长线交AC于点F．求证：∠AEF=∠EAF．DCB AFED CA5. 如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 的中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，BG =CF ． 求证：AD 为△ABC 的角平分线．6. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F是CD 的中点，且AF ⊥AB ，已知AD =2.7，AE =BE =5，求CE 的长．GFE DB AGFE DB AFE DCB A7.如图，在正方形ABCD中，CD=BC，∠DCB=90°，点E在CB的延长线上，过点E作EF⊥BE，且EF=BE．连接BF，FD，取FD的中点G，连接EG，CG．求证：EG=CG且EG⊥CG．GFE D CB A【参考答案】➢ 课前预习1. （1）相等，SSS ；夹角，SAS ；夹边，ASA ；对边，AAS ；直角，HL（2）全等，三，边 2. （1）证明：如图∵O 是AB 的中点 ∴AO =BO在△AOC 和△BOD 中AO BO AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOC ≌△BOD （SAS ） （2）证明：如图 ∵O 是AB 的中点 ∴AO =BO ∵AC ∥BD ∴∠A =∠B在△AOC 和△BOD 中A B AO BOAOC BOD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AOC ≌△BOD （ASA ） ➢ 精讲精练1. （1）证明：如图，21BCDA延长AD 至E ，使DE =AD ，连接BE ∴AE =2AD∵AD 是△ABC 的中线 ∴BD =CD在△BDE 和△CDA 中12BD CD ED AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （SAS ） ∴BE =AC在△ABE 中，AB +BE >AE ∴AB +AC >2AD （2）解：由（1）可知 AE =2AD ，BE =AC 在△ABE 中， AB -BE <AE <AB +BE ∵AC =3，AB =5 ∴5-3<AE <5+3 ∴2<2AD <8 ∴1<AD <42. 证明：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE在△ADC 和△EDB 中CD BD ADC EDB AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△EDB （SAS ） ∴AC =EB ，∠2=∠E ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC21EDCB A3. 证明：如图，延长CD 到F ，使DF =CD ，连接BF∴CF =2CD∵CD 是△ABC 的中线 ∴BD =AD在△BDF 和△ADC 中BD AD ADC BDF DF DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△ADC （SAS ） ∴BF =AC ，∠1=∠F ∵CB 是△AEC 的中线 ∴BE =AB ∵AC =AB ∴BE =BF ∵∠1=∠F ∴BF ∥AC∴∠1+∠2+∠5+∠6=180° 又∵AC =AB ∴∠1+∠2=∠5 又∵∠4+∠5=180° ∴∠4=∠5+∠6 即∠CBE =∠CBF 在△CBE 和△CBF 中CB CB CBE CBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CBE ≌△CBF （SAS ） ∴CE =CF ，∠2=∠3 ∴CE =2CD CB 平分∠DCE4. 证明：如图，延长AD 到M ，使DM =AD ，连接BM∵D 是BC 边的中点∴BD =CD在△ADC 和△MDB 中CD BD ADC MDB AD MD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△MDB （SAS ） ∴∠1=∠M ，AC =MB ∵BE =AC ∴BE =MB ∴∠M =∠3 ∴∠1=∠3 ∵∠3=∠2 ∴∠1=∠2 即∠AEF =∠EAF5. 证明：如图，延长FE 到M ，使EM =EF ，连接BM∵点E 是BC 的中点∴BE =CE在△CFE 和△BME 中FE ME CEF BEM CE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CFE ≌△BME （SAS ） ∴CF =BM ，∠F =∠M ∵BG =CF ∴BG =BM ∴∠1=∠M ∴∠1=∠F ∵AD ∥EF∴∠3=∠F ，∠1=∠2 ∴∠2=∠3即AD 为△ABC 的角平分线321MABCD EF G 321MA BCDEF6. 解：如图，延长AF 交BC 的延长线于点G∵AD ∥BC ∴∠3=∠G ∵点F 是CD 的中点 ∴DF =CF在△ADF 和△GCF 中3GAFD GFC DF CF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△GCF （AAS ）∴AD =CG∵AD =2.7∴CG =2.7∵AE =BE∴∠1=∠B∵AB ⊥AF∴∠1+∠2=90°∠B +∠G =90°∴∠2=∠G∴EG =AE =5∴CE =EG -CG=5-2.7=2.37. 证明：如图，延长EG 交CD 的延长线于点M由题意，∠FEB =90°，∠DCB =90°∴∠DCB +∠FEB =180°∴EF ∥CD∴∠FEG =∠M∵点G 为FD 的中点 ∴FG =DG在△FGE 和△DGM 中 1M FGE DGM FG DG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FGE ≌△DGM （AAS ） ∴EF =MD ，EG =MG∵△FEB 是等腰直角三角形 ∴EF =EB∴BE =MD在正方形ABCD 中，BC =CD ∴BE +BC =MD +CD即EC =MC∴△ECM 是等腰直角三角形 ∵EG =MG∴EG ⊥CG ，∠3=∠4=45° ∴∠2=∠3=45°∴EG =CG。

中点模型的构造及应用一、遇到以下情况考虑中点模型：任意三角形或四边形中点或与中点有关的线段出现两个或三个中点考虑三角形中线定理已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线已知等边、等腰三角形底边中点，可以考虑与顶角连接用“三线合一”如图，在∆ABC中，D为BC中点，延长AD∆EDB。

∆CFD。

常构造直角三角形斜边中线，然后再利用直角三D为AB中点，则有：12 CD AD BD AB ===（四）等腰三角形三线合一当出现等腰三角形时，常隐含有底边中点，将其与顶角连接，可构成三线合一。

在∆AC=BC?；（2）CD平分ACB∠?；（3）AD=BD?，（4）CD AB⊥“知二得二”：比如由（）可得出（1）（4）.也就是说，以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推（五）中位线法当已知条件中同时出现两个及以上中点时，常考虑构造中位线；或出现一个中点，要求证明平行线段或线段倍分关系时也常考虑构造中位线。

如图，在∆ABC中，D，E分别是AB、AC边中点，则有DE BC，1DE BC2=。

三、练习（一）倍长中线法1.（2014秋?津南区校级期中）已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F，求证：AF＝EF．2.（2017?湘潭）如图，在?ABCD 中，DE ＝CE ，连接AE 并延长交BC 的延长线于点F ．（1）求证：△ADE ≌△FCE ；（2）若AB ＝2BC ，∠F ＝36°．求∠B 的度数3.（2017江西萍乡，15）如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的中线，E 是CD 的中点，过点C 作AB 的平行线交AE 的延长线于点F ，连接BF ．（1）求证：CF ＝AD ；（2）若CA ＝CB ，试判断四边形CDBF 的形状，并说明理由．4.（2014?鄂尔多斯）如图1，在?ABCD 中，点E 是BC 边的中点，连接AE 并延长，交DC 的延长线于点F ．且∠AEC ＝2∠ABE ．连接BF 、AC ．（1）求证：四边形ABFC 的是矩形；（2）在图1中，若点M 是BF 上一点，沿AM 折叠△ABM ，使点B 恰好落在线段DF 上的点B ′ 5.（＝FC ，（2E 是BC（3上，且1.（2016．求2.（⊥BM ，垂足为M ，点5，求AC 的长；（2是△ABC 外一点，ED 并3.（2017?DF ．连1.（2016?折叠后，23C.33D.62.（2015?乌鲁木齐，9）如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy 中，两条直角边分别与坐标轴重合，P 为斜边的中点．现将此三角板绕点O 顺时针旋转120°后点P 的对应点的坐标是（）A ．1-）B.3（1，-）C.2-（）D.3（2，-2）3.（2017?新疆，22）如图，AC 为⊙O 的直径，B 为⊙O 上一点，∠ACB ＝30°，延长CB 至点D ，使得CB＝BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）当BE＝3时，求图中阴影部分的面积4.（2017?北京，22）如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．5.（2015北京东城，23）如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA，BC的平行线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若AC＝2DE，求sin∠CDB的值（四）等腰三角形三线合一1.（，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交D，的度数为（）° B.45°° D.75°2.（的内接三角形，∠C＝P是PB＝AB，则PAA.5B.53 252D.533.（如图，等腰三角形ABC中，BD，（21.（BD＝8，CD、G、HEFGH的周长是（）C.20D.222.（是中线，AE是角平分线，CF⊥AB＝5，________．3.（、G分别是BC、的面积是（）4.（2017?天津，17）如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为______．5.（2014春?硚口区期末）如图，已知△ABC的中线BD、CE相交于点O、M、N分别为OB、OC的中点．（1）求证：MD和NE互相平分；（2）若BD⊥AC，EM＝，OD＋CD＝7，求△OCB的面积．6.（2017?云南，20）如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E、F分别是AB、AC的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）如果四边形AEDF 的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF 的面积S ．7.（2017?长春）【再现】如图①，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，可以得到：DE∥BC ，且1DE BC 2（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，判断四边形EFGH 的形状，并加以证明．【应用】在（1）【探究】的条件下，四边形ABCD 中，满足什么条件时，四边形EFGH 是菱形？你添加的条件是：__________．（只添加一个条件）（2）如图③，在四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，对角线AC ，BD 相交于点O ．若AO ＝OC ，四边形ABCD 面积为5，则阴影部分图形的面积和为______.8.（2015?巴东县模拟）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，G 、H 分别是对角线（1（2）若AB ＝54，则当∠ABC ＋∠。

三角形全等之倍长中线学生做题前请先回答以下问题问题1：一般三角形全等的判定定理有____、____、______、______；直角三角形全等的判定定理有____、____、______、______、_____．问题2：等腰三角形的两个底角________，简称______________；如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也______，简称____________．问题3：“三角形全等”的辅助线：见中线，要________，________之后___________．问题4：倍长中线的作法，请在下图出作出辅助线，并叙述出来．三角形全等之倍长中线（倍长）（人教版）一、单选题(共4道，每道25分)1.如图所示，△ABC中，AB=3，AC=7，AD为△ABC的中线，求AD的取值范围．先在图上走通思路后再填写空格内容：1．因为AD为△ABC的中线，考虑________________________________（辅助线叙述）；2．进而利用全等三角形的判定_________，证明_______≌_______；3．由全等可得________________；4．观察图形，2AD放在△_______中，利用三角形的三边关系，可得2<AD<5<5．以上空缺处依次所填最恰当的是( )<5．A.①延长AD到F，使DF=AD；②SAS，△BDF，△CDA；③∠DBF=∠C④ABFB.①延长AD到F，使DF=AD，连接BF；②SAS，△BDF，△CDA；③FB=AC④ABFC.①延长AD到F，使DF=AD，过点B作BF∥AC；②SAS，△BDF，△CDA；③FB=AC④ABFD.①延长AD到F，使DF=AD，连接BF；②SSA，△BDF，△CDA；③FB=AC④ABF2.已知：如图，在△ABC中，AD为BC边的中线，AD=5，AC=8，求边AB的取值范围．解：如图，____________________________．∴AE=2AD∵AD=5∴AE=10∵AD是BC边上的中线∴BD=CD在△CDE和△BDA中∴△CDE≌△BDA（SAS）∴____________________________在△ACE中，AC=8，∴10-8<AE< 10+8<10+8∴2<AB<18请你仔细观察下列序号所代表的内容，然后判断：①延长AD到点E，使DE=AD，连接CE；②延长AD到点E，连接CE；③延长AD到点E，使DE=AD，连接CE，过点E作CE∥AB；④CE=BA，∠E=∠BAD；⑤CE=BA<10+8<10+8以上空缺处依次所填最恰当的是( )<10+8<10+8<10+8A.①⑤B.②⑤C.③⑥D.②⑥3.已知，在△ABC中，AB=5，中线AD=7，则边AC的取值范围是( )A.1<AC<29B.9<AC<19C.5<AC<19D.4<AC<244.已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE．证明：如图，____________________________．∵AE是△ABD的中线∴BE=ED在△ABE和△FDE中∴△ABE≌△FDE（SAS）∴____________________________∵CD=AB∴CD=FD∵∠ADF=∠ADB+∠1∴∠ADF=∠ADB+∠B∵∠ADC为△ABD的一个外角∴∠ADC=∠B+∠BAD∵∠ADB=∠BAD∴∠ADF=∠ADC在△FAD和△CAD中∴△FAD≌△CAD（SAS）∴____________________________∴∠C=∠BAE请你仔细观察下列序号所代表的内容，然后判断：①延长AE到F，连接DF，使得DF∥AB；②延长AE到F，使得EF=AE，连接DF；③延长AE到F，使得EF=AE，连接DF，过D作DF∥AB；④AB=FD，AE=EF；⑤AB=FD，∠BAE=∠F，∠B=∠1；⑥AB=FD；⑦AF=AC；⑧∠F=∠C．以上空缺处依次所填最恰当的是( )A.①⑤⑧B.②④⑧C.③⑥⑦D.②⑤⑧。

《中点专题——倍长中线》教学设计科目数学时间2016年9月8日课题中点专题——倍长中线课型新授课教学内容分析在三角形或有关复合图形中中点的问题经常出现，若能以一个专题的形式向学生展示，学生会掌握得更好。

倍长中线的方法是在人教版八上数学《全等三角形》有关的习题出现，它是以学生已学的全等三角形的性质为载体，在知识储备上是没问题的。

学情分析作辅助线解题对于学生来说是薄弱点，此专题更适合在初三中点专题学习中，在讲完直角三角形斜边上的中线、三角形的中位线、等腰三角形三线合一等有关图形的辅助线添加后学习，有助于他们对中点出现的情况系统归纳。

由于晒课的时间限制，本节晒课的学生是我校新学年刚升上初三的学生，他们大部分基础较薄弱，抽象思维能力和分析问题的能力也较欠缺。

学习目标知识技能1、理解倍长中线的意义，掌握添加辅助线的方法。

2、能从复合图形中抽象出适用倍长中线法解题的基础图形特点，灵活运用这种方法转移相等的边或角。

3、经历观察、猜想、推理的过程，进一步发展思维能力。

数学思想初步体会转化、类比的数学思想并养成归纳问题的良好习惯，提高分析和解决问题的能力。

情感态度通过探究复合图形中利用倍长中线法解决问题过程，培养积极探索、勇于创新的精神，体验学习数学的成功感。

教学重难点教学重点：1、理解倍长中线的意义和添加辅助线的方法；2、学会辨别适用倍长中线法的图形特点。

教学难点：在复合图形中抽象出适用倍长中线法解题的图形部分，正确作图。

学习方法自主探究合作交流启发引导教学资源PPT课堂教学实施设计教学流程教师活动学生活动设计意图中点情况引入一、情况引入：分别提问：若中点出现在直角三角形的斜边上、等腰三角形的底边上、三角形的两边上、三角形的一条边上，你会想到什么？1. 直角三角形斜边上的中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.2. 等腰三角形三线合一定理：等腰三角形底边上的中线= 底边上的高= 顶角平分线3. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边, 且等于第三边的一半.4. 三角形中线：提出质疑：三角形的中线没有定理，若有这样的条件，应怎样解决，下面我们一起来探究。

倍长中线证全等1．【阅读理解】课外兴趣小组活动时老师提出了如下问题：如图1 △ABC中若AB＝8 AC＝6 求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流得到了如下的解决方法：延长AD到点E使DE＝AD请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是B．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）求得AD的取值范围是C．A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7【感悟】解题时条件中若出现“中点”“中线”字样可以考虑延长中线构造全等三角形把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2 AD是△ABC的中线BE交AC于E交AD于F且AE＝EF．求证：AC＝BF．【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中∴△ADC≌△EDB（SAS）故选B；（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB∴BE＝AC＝6 AE＝2AD∵在△ABE中AB＝8 由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6∴1＜AD＜7故选C．（3）证明：延长AD到M使AD＝DM连接BM∵AD是△ABC中线∴CD＝BD∵在△ADC和△MDB中∴△ADC≌△MDB∴BM＝AC∠CAD＝∠M∵AE＝EF∴∠CAD＝∠AFE∵∠AFE＝∠BFD∴∠BFD＝∠CAD＝∠M∴BF＝BM＝AC即AC＝BF．3．（1）阅读理解：如图①在△ABC中若AB＝8 AC＝5 求BC边上的中线AD的取值范围．可以用如下方法：将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD在△ABE中利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 1.5＜AD＜6.5；（2）问题解决：如图②在△ABC中D是BC边上的中点DE⊥DF于点D DE交AB于点E DF交AC于点F连接EF求证：BE+CF＞EF；（3）问题拓展：如图③在四边形ABCD中∠B+∠D＝180°CB＝CD∠BCD＝100°以C为顶点作一个50°的角角的两边分别交AB、AD于E、F两点连接EF探索线段BE DF EF之间的数量关系并说明理由．【解答】（1）解：如图①将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD则△ACD≌△EBD ∴AD＝DE BE＝AC＝5在△ABE中AB﹣BE＜AE＜AB+BE即3＜AE＜13故答案为：1.5＜AE＜6.5；（2）证明：如图②延长FD至N使DN＝DF连接BN、EN在△FDC和△NDB中∴△FDC≌△NDB（SAS）∴BN＝FC∵DF＝DN DE⊥DF∴EF＝EN在△EBN中BE+BN＞EN∴BE+CF＞EF；（3）解：BE+DF＝EF理由如下：如图③延长AB至点H使BH＝DF连接CH∵∠ABC+∠D＝180°∠HBC+∠ABC＝180°∴∠HBC＝∠D在△HBC和△FDC中∴△HBC≌△FDC（SAS）∴CH＝CF∠HCB＝∠FCD∵∠BCD＝100°∠ECF＝50°∴∠BCE+∠FCD＝50°∴∠ECH＝50°＝∠ECF在△HCE和△FCE中∴△HCE≌△FCE（SAS）∴EH＝EF∴BE+DF＝EF．4．（1）方法呈现：如图①：在△ABC中若AB＝6 AC＝4 点D为BC边的中点求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD再连接BE可证△ACD≌△EBD从而把AB、AC2AD集中在△ABE中利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②在△ABC中点D是BC的中点DE⊥DF于点D DE交AB于点E DF交AC于点F连接EF判断BE+CF与EF的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③在四边形ABCD中AB∥CD AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB AF CF之间的数量关系并加以证明．【解答】解：（1）1＜AD＜5．∵AD是BC边上的中线∴BD＝CD∴△BDE≌△CDA（SAS）∴BE＝AC＝4在△ABE中AB﹣BE＜AE＜AB+BE∴6﹣4＜AE＜6+4∴2＜AE＜10∴1＜AD＜5．证明：（2）延长FD至点M使DM＝DF连接BM、EM如图②所示．同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS）∴BM＝CF∵DE⊥DF DM＝DF∴EM＝EF在△BME中由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM∴BE+CF＞EF．（3）如图③延长AE DF交于点G∵AB∥CD∴∠BAG＝∠G在△ABE和△GCE中CE＝BE∠BAG＝∠G∠AEB＝∠GEC∴△ABE≌△GEC（AAS）∴CG＝AB∵AE是∠BAF的平分线∴∠BAG＝∠GAF∴∠F AG＝∠G∴AF＝GF∵FG+CF＝CG∴AF+CF＝AB．5．如图所示D是△ABC边BC的中点E是AD上一点满足AE＝BD＝DC F A＝FE．求∠ADC 的度数．【解答】解：延长AD至G使AD＝DG连接BG在DG上截取DH＝DC在△ADC和△GDB中∴△ADC≌△GDB（SAS）∴AC＝BG∠G＝∠CAD∵F A＝FE∴∠CAD＝∠AEF∴∠G＝∠CAD＝∠AEF＝∠BED∴BG＝BE＝AC∵AE＝DC＝BD∴AE+ED＝DH+ED∴AD＝EH在△DAC和△HEB中∴△DAC≌△HEB（SAS）∴CD＝BH∴BD＝BH＝DH∴△BDH为等边三角形∴∠C＝∠BDH＝60°＝∠ADC．故答案为：60°．6．如图AD是△ABC的中线F为AD上一点E为AD延长线上一点且DF＝DE．求证：BE∥CF．【解答】证明：∵AD是△ABC的中线∴BD＝CD在△BDE和△CDF中∴△BDE≌△CDF（SAS）∴∠BED＝∠CFD∴BE∥CF．7．【教材呈现】如图八年级上册数学教材第69页的部分内容：（1）【方法应用】如图①在△ABC中AB＝6 AC＝4 则BC边上的中线AD长度的取值范围是1＜AD＜5．（2）【猜想证明】如图②在四边形ABCD中AB∥CD点E是BC的中点若AE是∠BAD 的平分线试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系并证明你的猜想；（3）【拓展延伸】如图③已知AB∥CF点E是BC的中点点D在线段AE上∠EDF＝∠BAE若AB＝5 CF＝2 直接写出线段DF的长．【解答】解：（1）延长AD到E使AD＝DE连接BE∵AD是BC边上的中线∴BD＝CD在△ADC和△EDB中∴△ADC≌△EDB（SAS）∴AC＝BE＝4在△ABE中AB﹣BE＜AE＜AB+BE∴6﹣4＜2AD＜6+4∴1＜AD＜5故答案为：1＜AD＜5．（2）结论：AD＝AB+DC．理由：如图②中延长AE DC交于点F∵AB∥CD∴∠BAF＝∠F在△ABE和△FCE中∴△ABE≌△FEC（AAS）∴CF＝AB∵AE是∠BAD的平分线∴∠BAF＝∠F AD∴∠F AD＝∠F∴AD＝DF∵DC+CF＝DF∴DC+AB＝AD．（3）如图③延长AE交CF的延长线于点G∵E是BC的中点∴CE＝BE∵AB∥CF∴∠BAE＝∠G在△AEB和△GEC中∴△AEB≌△GEC（AAS）∴AB＝GC∵∠EDF＝∠BAE∴∠FDG＝∠G∴FD＝FG∴AB＝DF+CF∵AB＝5 CF＝2∴DF＝AB﹣CF＝3．8．（1）如图1 在△ABC中AB＝4 AC＝6 AD是BC边上的中线延长AD到点E使DE＝AD 连接CE使得AB、AC、2AD集中在△ACE中利用三角形三边关系可得AD的取值范围是1＜AD＜5；（2）如图2 在△ABC中AD是BC边上的中线点E F分别在AB AC上且DE⊥DF．求证：BE+CF＞EF．【解答】（1）解：如图1中∵CD＝BD AD＝DE∠CDE＝∠ADB∴△CDE≌△BDA（SAS）∴EC＝AB＝4∵6﹣4＜AE＜6+4∴2＜2AD＜10∴1＜AD＜5故答案为1＜AD＜5．（2）证明：如图2中延长ED到H使得DH＝DE连接DH FH．∵BD＝DC∠BDE＝∠CDH DE＝DH∴△BDE≌△CDH（SAS）∴BE＝CH∵FD⊥EH．DE＝DH∴EF＝FH在△CFH中CH+CF＞FH∵CH＝BE FH＝EF∴BE+CF＞EF．9．（1）如图1 在△ABC中∠B＝60°∠C＝80°AD平分∠BAC．求证：AD＝AC；（2）如图2 在△ABC中点E在BC边上中线BD与AE相交于点P AP＝BC．求证：PE ＝BE．【解答】证明：（1）在△ABC中∠B＝60°∠C＝80°∴∠BAC＝180°﹣60°﹣80°＝40°∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝BAC＝20°∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝60°+20°＝80°∵∠C＝80°∴∠C＝∠ADC∴AD＝AC；（2）过点A作AF∥BC交BD的延长线于点F∴∠F＝∠DBC∠F AD＝∠C∵AD＝CD∴△ADF≌△CDB（AAS）∴AF＝BC∵AP＝BC∴AP＝AF∴∠APF＝∠F∵∠APF＝∠BPE∠F＝∠DBC∴∠BPE＝∠PBE∴PE＝BE．10．已知CD＝AB∠BDA＝∠BAD AE是△ABD的中线求证：∠C＝∠BAE．【解答】证明：延长AE到F使EF＝AE连接DF∵AE是△ABD的中线∴BE＝ED在△ABE与△FDE中∴△ABE≌△FDE（SAS）∴AB＝DF∠BAE＝∠EFD∵∠ADB是△ADC的外角∴∠DAC+∠ACD＝∠ADB＝∠BAD∴∠BAE+∠EAD＝∠BAD∠BAE＝∠EFD∴∠EFD+∠EAD＝∠DAC+∠ACD∴∠ADF＝∠ADC∵AB＝DC∴DF＝DC在△ADF与△ADC中∴△ADF≌△ADC（SAS）∴∠C＝∠AFD＝∠BAE．11．【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图1 AD是△ABC的中线若AB＝8 AC＝6 求AD的取值范围．【探究方法】小强所在学习小组探究发现：延长AD至点E使ED＝AD连接BE．可证出△ADC≌△EDB利用全等三角形的性质可将已知的边长与AD转化到同一个△ABE中进而求出AD的取值范围．方法小结：从上面思路可以看出解决问题的关键是将中线AD延长一倍构造出全等三角形我们把这种方法叫做倍长中线法．【应用方法】（1）请你利用上面解答问题的方法思路写出求AD的取值范围的过程；【拓展应用】（2）已知：如图2 AD是△ABC的中线BA＝BC点E在BC的延长线上EC＝BC．写出AD与AE之间的数量关系并证明．【解答】解：（1）如图1中延长AD至点E使ED＝AD连接BE．在△ADC和△EDB中∴△ADC≌△EDB（SAS）∴BE＝AC＝6∵AB﹣BE＜AE＜AB+BE∴8﹣6＜AE＜8+6∴2＜2AD＜14∴1＜AD＜7；（2）结论：AE＝2AD．理由：延长AC到F使得CF＝AC连接EF取EF的中点H连接CH．∵AC＝CF．FH＝EH∴CH＝AE在△ACB和△FCE中∴△ACB≌△FCE（SAS）∴AB＝EF∵AB＝BC∴EC＝EF＝BA＝BC∵AD CH分别是△ABC△ECF的中线∴AD＝CH∴AD＝AE．12．（1）方法学习：数学兴趣小组活动时张老师提出了如下问题：如图1 在△ABC中AB＝8 AC ＝6 求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流得到了如下的解决方法（如图2）①延长AD到M使得DM＝AD；②连接BM通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中；③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM从而得到AD的取值范围是1＜AD＜7；方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系并加以证明．（3）深入思考：如图3 AD是△ABC的中线AB＝AE AC＝AF∠BAE＝∠CAF＝90°请直接利用（2）的结论试判断线段AD与EF的数量关系并加以证明．【解答】解：（1）如图2 延长AD到M使得DM＝AD连接BM∵AD是△ABC的中线∴BD＝CD在△MDB和△ADC中∴△MDB≌△ADC（SAS）∴BM＝AC＝6在△ABM中AB﹣BM＜AM＜AB+BM∴8﹣6＜AM＜8+6 2＜AM＜14∴1＜AD＜7故答案为：1＜AD＜7；（2）AC∥BM且AC＝BM理由是：由（1）知△MDB≌△ADC∴∠M＝∠CAD AC＝BM∴AC∥BM；（3）EF＝2AD理由：如图2 延长AD到M使得DM＝AD连接BM由（1）知△BDM≌△CDA（SAS）∴BM＝AC∵AC＝AF∴BM＝AF由（2）知：AC∥BM∴∠BAC+∠ABM＝180°∵∠BAE＝∠F AC＝90°∴∠BAC+∠EAF＝180°∴∠ABM＝∠EAF在△ABM和△EAF中∴△ABM≌△EAF（SAS）∴AM＝EF∵AD＝DM∴AM＝2AD∵AM＝EF∴EF＝2AD即：EF＝2AD．13．（1）阅读理解：如图①在△ABC中若AB＝5 AC＝3 求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD）把AB AC2AD集中在△ABE中利用三角形三边的关系即可判断．中线AD的取值范围是1＜AD＜4；（2）问题解决：如图②在△ABC中D是BC边上的中点DE⊥DF于点D DE交AB于点E DF交AC于点F连接EF求证：BE+CF＞EF；（3）问题拓展：如图③在四边形ABCD中∠B+∠D＝180°CB＝CD以C为顶点作∠ECF使得角的两边分别交AB AD于E、F两点连接EF且EF＝BE+DF试探索∠ECF与∠A之间的数量关系并加以证明．【解答】解：（1）阅读理解：∵AD＝DE CD＝BD∠ADC＝∠BDE∴△ADC≌△EDB（SAS）∴AC＝BE＝3∵在△ABE中AB﹣BE＜AE＜AB+BE∴2＜2AD＜8∴1＜AD＜4故答案为：1＜AD＜4；（2）问题解决：解：（1）延长FD到G使得DG＝DF连接BG、EG．∵CD＝DB DF＝DG∠CDF＝∠BDG∴△CDF≌△BDG（SAS）∴CF＝BG∵DE⊥DF∴EF＝EG．在△BEG中BE+BG＞EG即BE+CF＞EF；（3）问题拓展：∴∠A+2∠ECF＝180°理由如下：延长AB至点N使BN＝DF连接CN∵∠ABC+∠D＝180°∠ABC+∠CBN＝180°∴∠D＝∠CBN且CD＝CB DF＝BN∴△CDF≌△CBN（SAS）∴CF＝CN∵EF＝BE+DF∴EF＝BE+BN＝EN在△CEF和△CEN中∴△CEF≌△CEN（SSS）∴∠FCE＝∠NCE＝∠FCN＝∠DCB∵∠ABC+∠D＝180°∴∠A+2∠ECF＝180°．。

第1 讲倍长中线法知识目标模块一倍长中线例1、例2难度：★★模块二倍长过中点的线段例3、例4、例5、例6难度：★★★模块三“婆罗摩笈多”模型例7难度：★★★★★模块一中线倍长基本应用知识导航如下图，在△ABC 中，点D 为AC 的中点，那么我们可以采取下面的辅助线作法：①延长BD 至 E 使得DE＝DB，连接AE、CE；②过点A 作AE∥BC 交BD 的延长线于点E，连接CE；③过点C 作CE∥BA 交BD 的延长线于点E，连接AE.结论：①△ABD≌△CED；②△CBD≌△AED；③△ABC≌△CEA；④△ABE≌△CEB.⑤四边形ABCE 为平行四边形（AB＝CE，CB＝AE，AB∥CE，AE∥BC）题型一：直接倍长中线例1、已知，如图，△ABC，AB＝12，AC＝16，D 是BC 中点，求AD 的取值范围.练习、在△ABC中，AB＝8，且AC 边上的中线BD＝5，求BC 的取值范围.例2、如图，△ABC 中，B 是AD 的中点，E 是AB 的中点，且AC＝AB.求证：AD＝2CE. 练习、如图，CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C＝∠BAE.题型二：直接倍长中线知识导航倍长中线的本质是倍长过中点的线段，因此下图的两种情况依然可以应用倍长的思路.图1: 图2:已知：D 为BC 中点已知：l1∥l2，D 为BC 中点辅助线：辅助线：延长ED 至F 使得DF＝DE，连接BF 延长AD 交l2 于点E结论：△BDF≌△CDE 结论：△ABD≌△ECD如图，△ABC中，D 是BC 的中点，E、F 分别是AB、AC 的中点，且DE⊥DF.求证：BE＋CF＞EF.练习如图，在△ABC 中，∠DAB＝90º，AB＝AD，过D、B 两点分别作过A 点直线的垂线，垂足分别为E、C 两点，M 为BD 中点，连接ME、MC.试判断△EMC 的形状，并说明理由.例4如图，CD∥AB，BE＝CE，DE 平分∠ADC.求证：①AE 平分∠DAB②AB＋CD＝AD在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90º，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E 是AD 的中点，试判断EC 与EB 的位置关系，并写出推理过程.例 5已知，△ABC 中，AC 是BD 边上的中线，E 是AB 上一点，CE 交直线AD 于F，若CF＝AB，求证：AE＝EF.例 6如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D，点E 是BC 中点，EF∥AD 交CA 的延长线于点F，交EF 于点G，若BG＝CF，求证：AD 为△ABC 的角平分线.如图所示，已知△ABC 中，AD 平分∠BAC，E、F 分别在BD、AD 上.DE＝CD，EF＝AC.求证：EF∥AB.拓展如图，△ABC 中，AB＝4，AC＝7，M 是BC 中点，AD 平分∠BAC，过M 作FM∥AD 交AC 于F，求FC 的长.模块二中线倍长综合应用例7如图，已知△ABC，分别以AB、AC 为边作等腰Rt△ABE 和等腰Rt△ACD，AB＝AE，AC＝AD.AM 是BC 边上的中线，求证：ED＝2 AM 且AM⊥ED.如图所示，∠BAC＝∠DAE＝90º，M 是BE 的中点，AB＝AC，AD＝AE.求证：CD＝2AM 且CD⊥AM.真题演练如图，在平面直角坐标系中，A（4，5），B（6，0），点C在第二象限内，∠BAC＝90º，AB＝AC，连接OA，作AD⊥AO，且AD＝AO，连接CD，若点E坐标为（3，0），连接AE，则线段AE 与CD 有何数量关系与位置关系？写出你的结论并加以证明.第1 讲本讲课后作业1.如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，若AB＝5，AC＝9，则AD 的取值范围是2.如图，△ABC 中，∠C＝90º，D 是AB 中点，求证：CD＝1 AB. 23.如图，在△ABC 中，AB＝4，AC＝6，AD 是∠BAC 的平分线，M 是BC 的中点，ME∥AD 交AC 于F，交BA 的延长线于E.则BE＝.4.如图，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E，交AD 于F，且AE＝EF，求证：AC＝BF .5.如图，△ABC 中，D 是BC 中点，过D 点的直线GF 交AC 的反向延长线于点F，交AC 的平行线BG 于G，DE⊥GF 交AB 于点E，连接EF.请你判断BE＋CF 与EF 的大小关系，并证明你的结论.6.如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，E 是AD 上一点，连接BE 并延长交AC 于F，BE＝AC 且BF＝9，CF＝6，那么AF 的长度为.7.如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点M 为BC 的中点.求证：DE＝2AM.。