新人教版任意角的三角函数优质教学课件
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高中数学人教版必修课件：任意角的三角函数
2019年高中数学人教版必修4课件：1. 2.1任 意角的 三角函 数(共20 张PPT)
例2 已知角α的终边经过点P0(-3,-4),求角α的正弦、 余弦和正切值
解法一: OP0 32 42 5
设角α的终边与单位圆交于点P(x,y).分别过点P、
P0作x轴的垂线MP、M0P0,则
M 0 P 0 4 ,M P y ,O M 0 3 ,O M x
cos OM x ,
M
α
OP r
Ox
tan MP y
OM x
它们都是以角为自变量，以比值为函数
值函数
注：任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 P 在
角的终边上的位置无关.
利用单位圆定义任意角的三角函数
设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于
点P(x,y) (1) y叫做α的正弦,记作sinα,
第一课时
肥城一中高一数学组
复习回顾
在初中我们是如何定义锐角三角函数的？
P c
a
Ob M
a
sin c
b
cos c
a
tan b
它们都是以锐角为自变量，以比值为函 数值函数
定义推广：
已知任意角α终边上任意一点P(x,y),就可以
求出角α的三角函数值.
sin MP y ,
OP r
r x2 y2
P(x,y) y
2019年高中数学人教版必修4课件：1. 2.1任 意角的 三角函 数(共20 张PPT)
例4 确定下列三角函数值的符号,然后用计算器
验证: 1cos250;
2sin4;
3tan672 ; 4tan3.
解:(1)因为250°是第___三象限角,所以cos250° 0<
新教材人教A版5.2.1三角函数的概念课件(39张)
的数学抽象和直观想象的核心素养.
2.通过三角函数值在各象限内的符号
和公式一的应用,进一步增强学生的数
学运算和逻辑推理的核心素养.
数学
知识探究·素养启迪
课堂探究·素养培育
数学
知识探究·素养启迪
情境导入
在初中,我们通过直角三角形的边角关系,学习了锐角的正弦、余弦、正
切这三个三角函数,如图所示.
定义 sin α=
解析:由 sin α= >0 得角α的终边在第一或第二象限;由 cos α=- <0 得角α的
终边在第二或第三象限.
综上,角α所在的象限是第二象限.故选 B.
数学
3.sin(-
)=
,cos
解析:sin(cos
=
.
)=sin(-8π+ )=sin = ,
故cos θ与tan θ同号时,θ是第一或第二象限角.
(2)若cos θ与sin θ异号,
则cos θ>0且sin θ<0或cos θ<0且sin θ>0.
当cos θ>0且sin θ<0时,θ是第四象限角;
当cos θ<0且sin θ>0时,θ是第二象限角.
故cos θ与sin θ异号时,θ是第二或第四象限角.
的,当角在不同象限时,其与单位圆的交点坐标的符号就不同,因此其各个三
角函数值的正负就不同,你能推导出sin α,cos α,tan α在不同象限内的
符号吗?
提示:当α在第一象限时,sin α>0,cos α>0,tan α>0;当α在第二象限
2.通过三角函数值在各象限内的符号
和公式一的应用,进一步增强学生的数
学运算和逻辑推理的核心素养.
数学
知识探究·素养启迪
课堂探究·素养培育
数学
知识探究·素养启迪
情境导入
在初中,我们通过直角三角形的边角关系,学习了锐角的正弦、余弦、正
切这三个三角函数,如图所示.
定义 sin α=
解析:由 sin α= >0 得角α的终边在第一或第二象限;由 cos α=- <0 得角α的
终边在第二或第三象限.
综上,角α所在的象限是第二象限.故选 B.
数学
3.sin(-
)=
,cos
解析:sin(cos
=
.
)=sin(-8π+ )=sin = ,
故cos θ与tan θ同号时,θ是第一或第二象限角.
(2)若cos θ与sin θ异号,
则cos θ>0且sin θ<0或cos θ<0且sin θ>0.
当cos θ>0且sin θ<0时,θ是第四象限角;
当cos θ<0且sin θ>0时,θ是第二象限角.
故cos θ与sin θ异号时,θ是第二或第四象限角.
的,当角在不同象限时,其与单位圆的交点坐标的符号就不同,因此其各个三
角函数值的正负就不同,你能推导出sin α,cos α,tan α在不同象限内的
符号吗?
提示:当α在第一象限时,sin α>0,cos α>0,tan α>0;当α在第二象限
任意角三角函数的定义课件(共29张PPT)
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
所以当α不变时，这三个比值 x , y , y ，不论点P在α的
rrx
终边上的位置如何，它们都是定值，只依赖于α的大小，
数学
基础模块（上册）
第五章 三角函数
5.2.1任意角三角函数的定义
人民教育出版社
第五章 三角函数 5.2.1 任意角三角函数的定义
学习目标
知识目标 能力目标
理解锐角三角函数、任意角的三角函数（余弦函数、正弦函数、正切函数） 的概念.理解单位圆、三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）的概念
学生运用分组探讨、合作学习，掌握正弦、余弦与正切在各象限的符号特征， 明确利用三角函数线求解角的正弦、余弦和正切值的方法，提高学生的数学 运算能力
2
2
2
巩固练习，提升素养 在在活初初动中中3，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
例3 求 5 正弦、余弦和正切值.
6
解 如图5-11所示，在的终边上取点P，使OP=2．作
，
cos x 2 2 13 ，
r 13 13
tan
y x
3 2
.
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
例 2 求下列各角的正弦、余弦和正切值. （1）0；（2）π；（3） 3 .
人教版数学《任意角的三角函数》教学(共24张PPT)教育课件
4
M
P α的终边
y
T
α
x
O A(1,0)
归纳 总结
1. 内容总结： ①三角函数的概念. ②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号. ③诱导公式一. ④三角函数线.
2 .方法总结： 运用了定义法、公式法、数形结合法解题.
3 .体现的数学思想： 数形结合的思想.
作业
P20 A组1、2、3（1、2、3） P21 9（１、３）
y
（3） 叫做
x
的正切，记作tan，即 tan y (x 0)
x
y
注意：正弦，余弦，正切都
Px, y﹒
O
A1,0 x
是以角为自变量，以单位圆上点 的坐标或坐标的比值为函数值的 函数，我们将他们称为三角函数.
思考3 根据三角函数的定义，确定它们的 定义域（弧度制）？
y
Px, y﹒
O
三角函数
sin
学习重要还是人脉重要?现在是一 个双赢 的社会 ，你的 价值可 能更多 的决定 了你的 人脉， 我们所 要做的 可能更 多的是 专心打 造自己 ，把自 己打造 成一个 优秀的 人、有 用的人 、有价 值的人 ，当你 真正成 为一个 优秀有 价值的 人的时 候，你 会惊喜 地发现 搞笑人 脉会破 门而入 。从如 下方 面改进 ：1、专 心做可 以提升 自己的 事情； 2、学 习并拥 有更多 的技能 ；3、成 为一个 值得交 往的人 ；4学 会独善 其身， 尽量少 给周围 的人制 造麻烦 ，用你 的独立 赢得尊 重。 理财的时候需要做的一方面提高收入， 令一方 面是节 省开支 。这就 是所谓 的开源 节流。 时间管 理也是 如此， 一方面 要提高 效率， 另一方 面是要 节省时 间。主 要做法 有：1、 同时做 两件事 情（备 注：请 认真选 择哪些 事情可 以同时 做）， 比如跑 步的时 候边听 有声书 ；2、 压缩休 息时间 提升睡 眠效率 ，比如 晚睡半 小时早 起半小 时（6~7个小 时即可 ）；3、 充分利 用零碎 时间学 习，比 如做公 交车、 等车、 上厕所 等。
M
P α的终边
y
T
α
x
O A(1,0)
归纳 总结
1. 内容总结： ①三角函数的概念. ②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号. ③诱导公式一. ④三角函数线.
2 .方法总结： 运用了定义法、公式法、数形结合法解题.
3 .体现的数学思想： 数形结合的思想.
作业
P20 A组1、2、3（1、2、3） P21 9（１、３）
y
（3） 叫做
x
的正切，记作tan，即 tan y (x 0)
x
y
注意：正弦，余弦，正切都
Px, y﹒
O
A1,0 x
是以角为自变量，以单位圆上点 的坐标或坐标的比值为函数值的 函数，我们将他们称为三角函数.
思考3 根据三角函数的定义，确定它们的 定义域（弧度制）？
y
Px, y﹒
O
三角函数
sin
学习重要还是人脉重要?现在是一 个双赢 的社会 ，你的 价值可 能更多 的决定 了你的 人脉， 我们所 要做的 可能更 多的是 专心打 造自己 ，把自 己打造 成一个 优秀的 人、有 用的人 、有价 值的人 ，当你 真正成 为一个 优秀有 价值的 人的时 候，你 会惊喜 地发现 搞笑人 脉会破 门而入 。从如 下方 面改进 ：1、专 心做可 以提升 自己的 事情； 2、学 习并拥 有更多 的技能 ；3、成 为一个 值得交 往的人 ；4学 会独善 其身， 尽量少 给周围 的人制 造麻烦 ，用你 的独立 赢得尊 重。 理财的时候需要做的一方面提高收入， 令一方 面是节 省开支 。这就 是所谓 的开源 节流。 时间管 理也是 如此， 一方面 要提高 效率， 另一方 面是要 节省时 间。主 要做法 有：1、 同时做 两件事 情（备 注：请 认真选 择哪些 事情可 以同时 做）， 比如跑 步的时 候边听 有声书 ；2、 压缩休 息时间 提升睡 眠效率 ，比如 晚睡半 小时早 起半小 时（6~7个小 时即可 ）；3、 充分利 用零碎 时间学 习，比 如做公 交车、 等车、 上厕所 等。
新人教A版必修一任意角的三角函数课件(32张)
.
解析:(2)由题意,知
sin tan
cos ,
0.
如图,
由三角函数线可得
π 4
5 4
π,
0
π
或π
;α<
π 2
或π<α<
5 4
π.
2
2
答案:(2)( π , π )∪(π, 5 π)
42
4
方法技巧 (1)利用一个角的三角函数线可以比较这个角的不同三角函数 值的大小,也可以比较不同角的同一种三角函数值的大小.
课标要求:1.借助于单位圆理解任意角的三角函数的定义.2.掌握三角 函数在各象限的符号.3.掌握诱导公式一及其应用.4.了解三角函数线 的意义,会利用三角函数线比较三角函数值的大小.
自主学习
知识探究
在平面直角坐标系中,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),
那么: y叫做α的 正弦 x叫做α的 余弦
(A) 2 5
(B)- 2 (C) 1
5
5
(D)- 1 5
解析:(2)法一 设 P 点在单位圆上,则|OP|=1,
即 3a2 4a2 =1,解得 a=± 1 .
5
因为 a<0,所以 a=- 1 .所以点 P 的坐标为( 3 ,- 4 ).
5
55
所以 sin α=- 4 ,cos α= 3 .所以 sin α+2cos α=- 4 +2× 3 = 2 .
tan 综上可知,α是第三象限角.故选 C. 答案:(1)C
(2)设θ是第三象限角,且满足|sin |=-sin ,则角 为第
2
2
2
解析:(2)因为θ是第三象限角,
象限角.
5.2.1三角函数的概念教学课件(人教版)
例4 确定下列三角函数的符号, 然后用计算工具验证：
(1) cos 250;
(2)
sin
4
;
(3) tan(672);
(4) tan 3
(1)因为250第三象限角, 所以cos 250 0;
(2) 因为
4
是第四象限角,
所以
sin
4
0;
(3)因为tan(672) tan(48 2 360) tan 48,
(2) cos 9 cos( 2 ) cos 2 ;
4
4
42
(3)
tan
11
4
tan
6
2
tan
6
3. 3
解题方法（利用诱导公式一进行化简求值的步骤）
(1)定形：将已知的任意角写成 2kπ＋α 的形式，其中 α∈[0，2π)， k∈Z.
(2)转化：根据诱导公式，转化为求角 α 的某个三角函数值． (3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值．
x
x
唯一确定的. 所以, y tan( x 0)也是以角为自变量, 以单位圆上点
x 的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数, 称为正切函数.
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数 （trigonometic function），通常将它们记为：
正弦函数 余弦函数
正切函数
y sin x, x R;
5
5
4．求值：(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°. (2)cos253π＋tan－154π. [解] (1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0. (2)cos253π＋tan－154π ＝cos8π＋π3＋tan－4π＋π4 ＝cosπ3＋tanπ4＝12＋1＝32.
《任意角和弧度制》三角函数PPT教学课件(第一课时任意角)
对终边相同的角的理解 (1)α 为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏． (2)k·360°与 α 中间用“＋”连接，k·360°－α 可理解成 k·360° ＋(－α)． (3)相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．
栏目 导引
第五章 三角函数
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)第一象限的角一定是正角．( × ) (2)终边相同的角一定相等．( × ) (3)锐角都是第一象限角．( √ ) (4)第二象限角是钝角．( × )
栏目 导引
第五章 三角函数
3．终边在直线 y＝－x 上的角 β 的集合 S＝________． 解析：由题意可知，终边在直线 y＝－x 上的角有两种情况： ①当终边在第二象限时，可知{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}； ②当终边在第四象限时，可知{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}． 综合①②可得，终边在直线 y＝－x 上的角的集合 S＝{β|β＝ 135°＋k·180°，k∈Z}． 答案：{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}
栏目 导引
第五章 三角函数
2.如图，α，β 分别是终边落在 OA，OB 位置上的两 个角，且 α＝60°，β＝315°. (1)求终边落在阴影部分(不包括边界)的角 γ 的集 合； (2)求终边落在阴影部分(不包括边界)，且在 0°～360°范围内 的角的集合． 解：(1)因为与角 β 终边相同的一个角可以表示为－45°，所以 阴 影 部 分 (不 包 括 边 界 )所 表 示 的 角 的 集 合 为 {γ|k·360 ° － 45 ° <γ<k·360°＋60°，k∈Z}． (2){θ|0°≤θ<60°或 315°<θ<360°}．
别是( )
栏目 导引
第五章 三角函数
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)第一象限的角一定是正角．( × ) (2)终边相同的角一定相等．( × ) (3)锐角都是第一象限角．( √ ) (4)第二象限角是钝角．( × )
栏目 导引
第五章 三角函数
3．终边在直线 y＝－x 上的角 β 的集合 S＝________． 解析：由题意可知，终边在直线 y＝－x 上的角有两种情况： ①当终边在第二象限时，可知{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}； ②当终边在第四象限时，可知{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}． 综合①②可得，终边在直线 y＝－x 上的角的集合 S＝{β|β＝ 135°＋k·180°，k∈Z}． 答案：{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}
栏目 导引
第五章 三角函数
2.如图，α，β 分别是终边落在 OA，OB 位置上的两 个角，且 α＝60°，β＝315°. (1)求终边落在阴影部分(不包括边界)的角 γ 的集 合； (2)求终边落在阴影部分(不包括边界)，且在 0°～360°范围内 的角的集合． 解：(1)因为与角 β 终边相同的一个角可以表示为－45°，所以 阴 影 部 分 (不 包 括 边 界 )所 表 示 的 角 的 集 合 为 {γ|k·360 ° － 45 ° <γ<k·360°＋60°，k∈Z}． (2){θ|0°≤θ<60°或 315°<θ<360°}．
别是( )
人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)优质课件：5.1.1任意角
规律方法 判断角的概念问题的关键与技巧 (1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念. (2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可.
①终边落在第一象限的角为锐角； ②锐角是第一象限角； ③第二象限角为钝角； ④小于90°的角一定为锐角； ⑤角α与－α的终边关于x轴对称.
(2)如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺 时针方向旋转820°至OC处，则β＝________.
解析 (1)终边落在第一象限的角不一定是锐角， 如400°的角是第一象限角，但不是锐角， 故①的说法是错误的；同理第二象限角也不一定是钝角，故③的说法也是错 误的；小于90°的角不一定为锐角，比如负角，故④的说法是错误的. (2)两次旋转后形成的角为60°＋(－820°)＝－760°，β＝－760°＋720°＝－40°. 答案 (1)②⑤ (2)－40°
[微思考] 1.角的概念推广后角的范围有怎样的变化？
提示 角的概念推广后，角度的范围不限于0°～360°，而是任意的角，包括正 角、负角与零角. 2.终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？ 提示 当角的始边相同时，若角相等，则终边相同，但若角终边相同，则不 一定相等.
题型一 与任意角有关的概念辨析 【例1】 (1)下列说法中，正确的是________(填序号).
三角学与其天文学的应用在埃及的托勒密时代达到了高峰，托勒密在《数学汇编》 中计算了36度角和72度角的正弦值，还给出了计算和角公式和半角公式的方法.托 勒密还给出了所有0度到180度的所有整数和半整数弧度对应的正弦值.
喜帕恰斯
[读图探新]——发现现象背后的知识 伦敦眼(英文名：The London Eye)，全称英国航空伦敦眼 (The British Airways London Eye)，又称千禧之轮，坐落在伦 敦泰晤士河畔，是世界第四大摩天轮，是伦敦的地标之一， 也是伦敦最吸引游人的观光点之一.伦敦眼于1999年年底开 幕，总高度135米(443英尺).伦敦眼共有32个乘坐舱，因舱内 外用钢化玻璃打造，所以设有空调系统.每个乘坐舱可载客 约25名，回转速度约为每秒0.26米，即一圈需时30分钟.
高中数学第一章三角函数1.2.1.1三角函数的定义省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
探究二
探究三
(1)解析:依题意,x2+
5
3
2
3
α=± ,tan α=
2
3
答案:
5
±3
5
±3
思维辨析
2 2
=1,解得
3
5
x=± 3 ,于是
2
sin α=3,cos
2 5
.
5
=±
2 5
5
±
(2) 解析:由已知得 x=-6,y=8,
8
10
所以 r= 2 + 2 =10,于是 sin θ=
8
-6
4
4
一
二
三
3.做一做:求值
(1)sin 780°;
25
(2)cos 4 π;
(3)tan
15
-4π
.
3
2
解:(1)sin 780°=sin(2×360°+60°)=sin 60°= .
25
π
π
2
(2)cos 4 π=cos 3 × 2π + 4 =cos4 = 2 .
15
π
π
(3)tan - 4 π =tan -2 × 2π + 4 =tan4=1.
第27页
探究一
探究二
探究三
思维辨析
忽视对参数的分类讨论致误
【典例】 角 α 的终边过点 P(-3a,4a),a≠0,则 cos
α=
.
错解因为 x=-3a,y=4a,所以 r= (-3)2 + (4)2 =5a,于是 cos
-3 3
α= 5 =-5.
错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢?
人教版数学《任意角的三角函数》讲授(共23张PPT)教育课件
sin 120 0 ? cos 150 0 ? tan 315 0 ?
一、任意角的三角函数
思考1：为了研究方便，我们把锐角α放到直角坐标系中， 在角α的终边上取一点P（a，b），那么，sinα,cosα， tanα的值分别P 如何表示？
O
y
a
b
M
OP r
x
a2 b2
sin MP b
之 前 有 个 网友 说自己 现在紧 张得不 得了， 获得了 一个大 公司的 面试机 会，很 不想失 去这个 机会， 一天只 吃一顿 饭在恶 补基础 知识。 不禁要 问，之 前做什 么去了 ？机会 当真就 那么少 ？在我 看来到 处都是 机会， 关键看 你是否 能抓住 。运气 并非偶 然，运 气都是 留给那 些时刻 准备着 的人的 。只有 不断的 积累知 识，不 断的进 步。当 机会真 的到来 的时候 ，一把 抓住。 相信学 习真的 可以改 变一个 人的运 气。 在 当 今 社 会， 大家都 生活得 匆匆忙 忙，比 房子、 比车子 、比票 子、比 小孩的 教育、 比工作 ，往往 被压得 喘不过 气来。 而另外 总有一 些人会 运用自 己的心 智去分 辨哪些 快乐或 者幸福 是必须 建立在 比较的 基础上 的，而 哪些快 乐和幸 福是无 需比较 同样可 以获得 的，然 后把时 间花在 寻找甚 至制造 那些无 需比较 就可以 获得的 幸福和 快乐， 然后无 怨无悔 地生活 ，尽情 欢乐。 一位清 洁阿姨 感觉到 快乐和 幸福， 因为她 刚刚通 过自己 的双手 还给路 人一条 清洁的 街道； 一位幼 儿园老 师感觉 到快乐 和幸福 ，因为 他刚给 一群孩 子讲清 楚了吃 饭前要 洗手的 道理； 一位外 科医生 感觉到 幸福和 快乐， 因为他 刚刚从 死神手 里抢回 了一条 人命； 一位母 亲感觉 到幸福 和快乐 ，因为 他正坐 在孩子 的床边 ，孩子 睡梦中 的脸庞 是那么 的安静 美丽， 那么令 人爱怜 。。。 。。。
一、任意角的三角函数
思考1：为了研究方便，我们把锐角α放到直角坐标系中， 在角α的终边上取一点P（a，b），那么，sinα,cosα， tanα的值分别P 如何表示？
O
y
a
b
M
OP r
x
a2 b2
sin MP b
之 前 有 个 网友 说自己 现在紧 张得不 得了， 获得了 一个大 公司的 面试机 会，很 不想失 去这个 机会， 一天只 吃一顿 饭在恶 补基础 知识。 不禁要 问，之 前做什 么去了 ？机会 当真就 那么少 ？在我 看来到 处都是 机会， 关键看 你是否 能抓住 。运气 并非偶 然，运 气都是 留给那 些时刻 准备着 的人的 。只有 不断的 积累知 识，不 断的进 步。当 机会真 的到来 的时候 ，一把 抓住。 相信学 习真的 可以改 变一个 人的运 气。 在 当 今 社 会， 大家都 生活得 匆匆忙 忙，比 房子、 比车子 、比票 子、比 小孩的 教育、 比工作 ，往往 被压得 喘不过 气来。 而另外 总有一 些人会 运用自 己的心 智去分 辨哪些 快乐或 者幸福 是必须 建立在 比较的 基础上 的，而 哪些快 乐和幸 福是无 需比较 同样可 以获得 的，然 后把时 间花在 寻找甚 至制造 那些无 需比较 就可以 获得的 幸福和 快乐， 然后无 怨无悔 地生活 ，尽情 欢乐。 一位清 洁阿姨 感觉到 快乐和 幸福， 因为她 刚刚通 过自己 的双手 还给路 人一条 清洁的 街道； 一位幼 儿园老 师感觉 到快乐 和幸福 ，因为 他刚给 一群孩 子讲清 楚了吃 饭前要 洗手的 道理； 一位外 科医生 感觉到 幸福和 快乐， 因为他 刚刚从 死神手 里抢回 了一条 人命； 一位母 亲感觉 到幸福 和快乐 ，因为 他正坐 在孩子 的床边 ，孩子 睡梦中 的脸庞 是那么 的安静 美丽， 那么令 人爱怜 。。。 。。。
高中数学必修一(人教版)《5.1.1 任意角》课件
2．射线OA绕端点O顺时针旋转80°到OB位置，接着逆时针旋转250°到OC位置， 然后再顺时针旋转270°到OD位置，则∠AOD＝________. 解析：如图，∠AOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD ＝(－80°)＋250°＋(－270°) ＝－100°. 答案：－100°
题型二 终边相同的角的表示及应用 【学透用活】
对终边相同的角的说明 所有与角α终边相同的角，连同角α在内(而且只有这样的角)，可以用式子α ＋k·360°，k∈Z表示．在运用时，需注意以下几点： (1)k是整数，这个条件不能漏掉． (2)α是任意角． (3)k·360°与α之间用“＋”号连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－ 30°)(k∈Z)． (4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无 数个，它们相差周角的整数倍．
【对点练清】
1．给出下列说法：
①终边在y轴非负半轴上的角是直角；
②始边相同而终边不同的角一定不相等；
③三角形的内角必是第一、二象限角；
④第四象限角一定是负角；
⑤{α|α＝k·180°，k∈Z}＝{0°，180°，360°}．
其中正确说法的个数是
A．1
B．2
C．3
D．4
()
解析：①错误．－270°是终边在 y 轴非负半轴上的角但不是直角． ②正确．相等的角始边相同则终边必相同，所以始边相同而终边不同的角一定 不相等． ③错误．三角形的内角可以是直角，它既不是第一象限角，也不是第二象限角． ④错误．如 271°是第四象限角，但不是负角． ⑤错误．{0°，180°，360°} {α|α＝k·180°，k∈Z }． 答案：A
第四象限角 {_x_|_2_7_0_°__＋__k_·3_6_0_°__＜__x_＜__3_6_0_°__＋__k_·_3_6_0_°__，__k_∈__Z_}_
高中数学人教A版必修第一册5.三角函数的概念-任意角的三角函数定义(PPT全文课件)
tan 45 1.
sin 60 3 , 2
cos 60 1 , 2
tan 60 3.
sin120 3 , 2
sin135 2 , 2
sin150 1 , 2
cos120 1 , 2
cos135 2 , 2
cos150 3 , 2
tan120 3. tan135 1.
tan150 3 . 3
② 45°
P( 2 , 2 ) 22
45
sin 45 2 , 2
cos 45 2 , 2
tan 45 1.
求三角函数值的方法（单位圆定义）： 分别计算出30°，45°，60°；
120°，135°，150°； 0°， 90°， 180°的三个三角函数值：
③ 60°
P(1 , 3) 22
60
sin 60 3 , 2
又因为②式 tan 0 成立，所以角 的终边可能位于
第一或第三象限.
因为①②式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限. 于是角 为第三象限角.
反过来(必要性)请同学们自己证明.
诱导公式一： 作用：大角化小角，负角化正角（化为0~2π范围内的角）
求三角函数值的方法（单位圆定义）：
分别计算出30°，45°，60°；
求三角函数值的方法（单位圆定义）：
分别计算出30°，45°，60°；
120°，135°，150°；
⑤ 135°
0°， 90°， 180°的三个三角函数值：
P( 2 , 2 ) 22
135
sin135 2 , 2
cos135 2 , 2
tan135 1.
求三角函数值的方法（单位圆定义）： 分别计算出30°，45°，60°；
sin 60 3 , 2
cos 60 1 , 2
tan 60 3.
sin120 3 , 2
sin135 2 , 2
sin150 1 , 2
cos120 1 , 2
cos135 2 , 2
cos150 3 , 2
tan120 3. tan135 1.
tan150 3 . 3
② 45°
P( 2 , 2 ) 22
45
sin 45 2 , 2
cos 45 2 , 2
tan 45 1.
求三角函数值的方法（单位圆定义）： 分别计算出30°，45°，60°；
120°，135°，150°； 0°， 90°， 180°的三个三角函数值：
③ 60°
P(1 , 3) 22
60
sin 60 3 , 2
又因为②式 tan 0 成立，所以角 的终边可能位于
第一或第三象限.
因为①②式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限. 于是角 为第三象限角.
反过来(必要性)请同学们自己证明.
诱导公式一： 作用：大角化小角，负角化正角（化为0~2π范围内的角）
求三角函数值的方法（单位圆定义）：
分别计算出30°，45°，60°；
求三角函数值的方法（单位圆定义）：
分别计算出30°，45°，60°；
120°，135°，150°；
⑤ 135°
0°， 90°， 180°的三个三角函数值：
P( 2 , 2 ) 22
135
sin135 2 , 2
cos135 2 , 2
tan135 1.
求三角函数值的方法（单位圆定义）： 分别计算出30°，45°，60°；
高中数学(新课标人教A版)必修4 第一章三角函数精品课件 1.2任意角的三角函数(3课时)
tan 3
例5.求下列三角函数值
sin1480 10
'
9 s 4
11 tan( ) 6
小结:
1.任意角的三角函数是由角的终边与单 位圆交点的坐标来定义的. 2.三角函数值的符号是利用三角函数的 定义来推导的.要正确记忆三个三角函数 在各个象限内的符号； 3.诱导公式一的作用可以把大角的三角 函数化为小角的三角函数.
应用 1．利用同角三角函数的基 本关系求某个角的三角函数 值 例1．已知sinα＝－3/5，且 α在第三象限，求cosα和 tanα的值.
例2．已知 cos m (m 0, m 1), 求的其他三角函数值
4 sin 2 cos 例3.已知 tanα=3,求值（1） 5 cos 3 sin
y
a的终边 P(x,y)
1
P(x,y)
a
O
M
A(1,.0)
x
（1）y叫做 的正弦，记作sin ，即 sin y （2）x叫做 的余弦，记作cos，即 cos x y y （3） 叫做 的正切，记作tan ，即 tan x x
阅读课本P12：三角函数的定义
例题:
5 1 求 的正弦、余弦和正切值. 3
作业：
课本P20习题1.2A组
1,2，6，7，9
1.2.1任意角的三角函数(2)
复习回顾
1、三角函数的定义； 2、三角函数在各象限角的符号； 3、三角函数在轴上角的值； 4、诱导公式（一）：终边相同的角的 同一三角函数的值相等； 5、三角函数的定义域.
角是一个图形概念，也是一个数量概 念（弧度数）. 作为角的函数——三角函数是一个 数量概念（比值），但它是否也是一个 图形概念呢?
高中数学人教版A版必修4《任意角的三角函数》优质PPT课件
第一章 三角函数
§1.2 任意角的三函数
明目标、知重点
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑缺
04
明目标、知重点
明目标、知重点 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义， 了解三角函数是以实数为自变量的函数. 2.借助任意角的三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、 正切函数在各象限内的符号. 3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同 角的同一三角函数值相等.
明目标、知重点
(2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°. 解 原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋ cos (－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°) ＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°
明目标、知重点
(2)cos α＝xr(r>0)，因此cos α的符号与x的符号相同，当α的终边 在第一、四象限时，cos α>0；当α的终边在第二、三象限时， cos α<0. (3)tan α＝yx，因此tan α的符号由x、y确定，当α终边在第一、三 象限时，xy>0，tan α>0；当α终边在第二、四象限时，xy<0， tan α<0.
明目标、知重点
当堂测·查疑缺
1234
1.已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( D )
4
3
A.5
B.5
C.－35
D.－45
解析 因为角 α 的终边经过点(－4,3)，所以 x＝－4，y＝3，r＝5，
所以 cos α＝xr＝－45.
§1.2 任意角的三函数
明目标、知重点
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑缺
04
明目标、知重点
明目标、知重点 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义， 了解三角函数是以实数为自变量的函数. 2.借助任意角的三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、 正切函数在各象限内的符号. 3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同 角的同一三角函数值相等.
明目标、知重点
(2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°. 解 原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋ cos (－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°) ＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°
明目标、知重点
(2)cos α＝xr(r>0)，因此cos α的符号与x的符号相同，当α的终边 在第一、四象限时，cos α>0；当α的终边在第二、三象限时， cos α<0. (3)tan α＝yx，因此tan α的符号由x、y确定，当α终边在第一、三 象限时，xy>0，tan α>0；当α终边在第二、四象限时，xy<0， tan α<0.
明目标、知重点
当堂测·查疑缺
1234
1.已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( D )
4
3
A.5
B.5
C.－35
D.－45
解析 因为角 α 的终边经过点(－4,3)，所以 x＝－4，y＝3，r＝5，
所以 cos α＝xr＝－45.
最新人教版高中数学必修四任意角的三角函数(一)1优质课件
sin y , cos x , tan y , (r x2 y2 )
r
r
x
返回
x | OM | | OM0 | 3 3
实际上
练习.已知角α的终边经过点P(2,-3)，求角 α的正弦、余弦和正切值。
sin 3 13, cos 2 13, tan 3
13
13
2
变式1.设角 的终边过点 P(4a,3a) ,其中 a 0 ,
则 sin 3 .
5
变式2若. 角 的终边过点 Pa，8，且 cos 3 ，
r
r
x
3.三角函数都是以角为自变量,以单位圆上的点 的坐标(比值)为函数值的函数.
作业 p202,3,6 谢谢大家!
y
M0
M
α
O x(1,0) x
P(x,y)
P0(-3,-4)
sin 4 ,
5
cos 3 ,
5
tan 4
3
一般地,若α的终边上任意一点的坐标为 P(x,y) ,其三角函数可转化为
（2）x叫做α的余弦，记作 P(x,y) α
cosα，即cosα=x
O
y
（3） 叫做α的正切，记作txnα，即
x
y
txnα= (x≠0)。
x
见教材P13
x(1,0x)
三角函数 sin y, cos x, tan y
x
都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标(比值) 为函数值的函数.
函数
定义域
yy
sin
R
x
cos
R
tan
{ | k , k Z}
y
2
x
一一对应
角(弧度数)
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（
x ）
sin
o ）（
）（ ） cos
o ）（
） （ ）
tan
o ） （ x ）
y
（
x ）
例3 求证：当且仅当下列不等式组成立时，
角 为第三象限角.反之也对。
证明：
因为①式sin 0 成立,所以 角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上； 又因为②式 tan 0 成立，所以角 的终边可能位于 第一或第三象限.
M 0 P0 4
M0
M
O
P x, y
x
P0 3,4
M0P y | MP | 4 0 于是， sin y ; 1 OP OP 5 0
OM 0 x OM 3 cos x ; 1 OP OP 5 0 y sin 4 tan x cos 3
复习回顾 在初中我们是如何定义锐角三角函数的？
P c
a
sin
O
b
cos
tan
M
a c b c a b
新课引入
1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
P
a
O y
b
M
x
1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
其中 : OM a MP b OP r a b
的终边经过点 P (3,4)，求角 的正弦、余
0
设角 的终边与单位圆交于 P( x, y) ， M 0 P0 分别过点 P 、 P0 作 x 轴的垂线 MP、
OP0 (3) 2 (4) 2 5
y
OM x MP y OM0 3 OMP ∽ OM 0 P0
OMP ∽ OM P
能否通过|op|取特殊值将表达式简化呢？
若OP r 1 ，则 以原点为圆心,以单位
Y
长度为半径的圆叫做 单位圆.
P(a,b)
MP sin OP
OM cos OP
b
O M X
a b MP tan OM a
2.任意角的三角函数定义
12
2
x 12 cos r 13
探究：
1.三角函数的定义域和值域 三角函数 定义域
cos tan
（ （
sin
k , k Z 2
R R
[1,1] [1,1] R
（
（
值域
）
y
2.三角函数值在各象限的符号 y
2.利用三角函数的定义求 7 的三个三角函数值
7 1 sin , 6 2 7 3 cos , 6 2 7 3 tan 6 3
6
练习3. 已知角 的终边过点 P 求
12,5
52 13
，
的三个三角函数值.
2 2
解：由已知可得：
r x y
y 5 于是，sin r 13 y 5 tan x 12
点评：已知角终边上异于单位圆上一点的坐标，求三角函数 值，可根据三角形相似将问题化归到单位圆上，再由定义得 解。
定义推广： 设角 是一个任意角， P( x, y) 是终边上的任意一点，
点 P 与原点的距离 r x 2 y 2 0 y y sin 那么① 叫做 的正弦，即 r r
设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P( x, y)
那么:（1）y 叫做
α的终边
的正弦，记作 sin ，即 sin y ； （2）x 叫做 的余弦，记作 cos ，即 cos x ； y y tan 的正切，记作 ，即 tan ( x 0) （3） 叫做
3
的终边与单位圆的交点坐标为
5 3 所以 sin 3 2
，
y
5 1 cos 3 2
5 tan 3 3
1 3 ( , ) 2 2
，
5 3
o
﹒
A
x
﹒B
点评：若已知角α的大小，可求出角α终边与单位圆的交点， 然后再利用定义求三角函数值。
例3 已知角 弦和正切值 . 解:由已知可得
x x ② r 叫做 的余弦，即 cos r y y x 0 tan ③ x 叫做 的正弦，即 x 任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 P 在角的 终边上的位置无关.
巩固提高
2 2 , ) ，求角α 的 练习1：已知角α 的终边经过点 P( 2 2 正弦、余弦和正切值。
求角α的正弦、余弦和正切值。 解：根据任意角的三角函数定义：
y
1 3 P( , ) 2 2
3 sin 2
tan 3
1 cos 2
O
x
点评：若已知角α的终边与单位圆的交点坐标，则可直接利用 定义求三角函数值。
求 5 的正弦、余弦和正切值. 3 5 ，易知 AOB 解：在直角坐标系中，作AOB 例2
2 2
MP b sin OP r
OM a cos OP r
y
﹒Pa, b
MP b tan OM a
o
﹒
M
x
诱思探究 如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？
y
P
P(a,b)
﹒
M
O
M
x
M P OP OM OM cos OP OP MP M P tan OM OM MP sin OP
x
x
y
﹒ P x, y
O
所以，正弦，余弦，正切都是 以角为自变量，以单位圆上点的坐 标或坐标的比值为函数值的函数， . A1,0 我们将他们称为三角函数 x
使比值有意义的角的集合 即为三角函数的定义域.
实例剖析
1 3 例1：如图已知角α的终边与单位圆的交点是 ， P( , ) 2 2
sin 0 tan 0
① ②
因为①②式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限. 于是角 为第三象限角. 反过来请同学们自己证明.
1 下列各式为正号的是（ C ）
A cos2 C tan2cos2
B cos2sin2 D sin2tan2
2 若lg(sintan)有意义，则是（ C ） A 第一象限角 B 第四象限角 C 第一象限角或第四象限角 D 第一或第四象限角或x轴的正半轴 3 已知的终边过点(3a-9,a+2),且cos<0, sin>0,则a的取值范围是 -2<a<3 。
x ）
sin
o ）（
）（ ） cos
o ）（
） （ ）
tan
o ） （ x ）
y
（
x ）
例3 求证：当且仅当下列不等式组成立时，
角 为第三象限角.反之也对。
证明：
因为①式sin 0 成立,所以 角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上； 又因为②式 tan 0 成立，所以角 的终边可能位于 第一或第三象限.
M 0 P0 4
M0
M
O
P x, y
x
P0 3,4
M0P y | MP | 4 0 于是， sin y ; 1 OP OP 5 0
OM 0 x OM 3 cos x ; 1 OP OP 5 0 y sin 4 tan x cos 3
复习回顾 在初中我们是如何定义锐角三角函数的？
P c
a
sin
O
b
cos
tan
M
a c b c a b
新课引入
1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
P
a
O y
b
M
x
1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
其中 : OM a MP b OP r a b
的终边经过点 P (3,4)，求角 的正弦、余
0
设角 的终边与单位圆交于 P( x, y) ， M 0 P0 分别过点 P 、 P0 作 x 轴的垂线 MP、
OP0 (3) 2 (4) 2 5
y
OM x MP y OM0 3 OMP ∽ OM 0 P0
OMP ∽ OM P
能否通过|op|取特殊值将表达式简化呢？
若OP r 1 ，则 以原点为圆心,以单位
Y
长度为半径的圆叫做 单位圆.
P(a,b)
MP sin OP
OM cos OP
b
O M X
a b MP tan OM a
2.任意角的三角函数定义
12
2
x 12 cos r 13
探究：
1.三角函数的定义域和值域 三角函数 定义域
cos tan
（ （
sin
k , k Z 2
R R
[1,1] [1,1] R
（
（
值域
）
y
2.三角函数值在各象限的符号 y
2.利用三角函数的定义求 7 的三个三角函数值
7 1 sin , 6 2 7 3 cos , 6 2 7 3 tan 6 3
6
练习3. 已知角 的终边过点 P 求
12,5
52 13
，
的三个三角函数值.
2 2
解：由已知可得：
r x y
y 5 于是，sin r 13 y 5 tan x 12
点评：已知角终边上异于单位圆上一点的坐标，求三角函数 值，可根据三角形相似将问题化归到单位圆上，再由定义得 解。
定义推广： 设角 是一个任意角， P( x, y) 是终边上的任意一点，
点 P 与原点的距离 r x 2 y 2 0 y y sin 那么① 叫做 的正弦，即 r r
设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P( x, y)
那么:（1）y 叫做
α的终边
的正弦，记作 sin ，即 sin y ； （2）x 叫做 的余弦，记作 cos ，即 cos x ； y y tan 的正切，记作 ，即 tan ( x 0) （3） 叫做
3
的终边与单位圆的交点坐标为
5 3 所以 sin 3 2
，
y
5 1 cos 3 2
5 tan 3 3
1 3 ( , ) 2 2
，
5 3
o
﹒
A
x
﹒B
点评：若已知角α的大小，可求出角α终边与单位圆的交点， 然后再利用定义求三角函数值。
例3 已知角 弦和正切值 . 解:由已知可得
x x ② r 叫做 的余弦，即 cos r y y x 0 tan ③ x 叫做 的正弦，即 x 任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 P 在角的 终边上的位置无关.
巩固提高
2 2 , ) ，求角α 的 练习1：已知角α 的终边经过点 P( 2 2 正弦、余弦和正切值。
求角α的正弦、余弦和正切值。 解：根据任意角的三角函数定义：
y
1 3 P( , ) 2 2
3 sin 2
tan 3
1 cos 2
O
x
点评：若已知角α的终边与单位圆的交点坐标，则可直接利用 定义求三角函数值。
求 5 的正弦、余弦和正切值. 3 5 ，易知 AOB 解：在直角坐标系中，作AOB 例2
2 2
MP b sin OP r
OM a cos OP r
y
﹒Pa, b
MP b tan OM a
o
﹒
M
x
诱思探究 如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？
y
P
P(a,b)
﹒
M
O
M
x
M P OP OM OM cos OP OP MP M P tan OM OM MP sin OP
x
x
y
﹒ P x, y
O
所以，正弦，余弦，正切都是 以角为自变量，以单位圆上点的坐 标或坐标的比值为函数值的函数， . A1,0 我们将他们称为三角函数 x
使比值有意义的角的集合 即为三角函数的定义域.
实例剖析
1 3 例1：如图已知角α的终边与单位圆的交点是 ， P( , ) 2 2
sin 0 tan 0
① ②
因为①②式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限. 于是角 为第三象限角. 反过来请同学们自己证明.
1 下列各式为正号的是（ C ）
A cos2 C tan2cos2
B cos2sin2 D sin2tan2
2 若lg(sintan)有意义，则是（ C ） A 第一象限角 B 第四象限角 C 第一象限角或第四象限角 D 第一或第四象限角或x轴的正半轴 3 已知的终边过点(3a-9,a+2),且cos<0, sin>0,则a的取值范围是 -2<a<3 。