浙教版九年级上册数学 第四章 4.6 相似多边形随堂练习(解析版)
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4.6 相似多边形1.相似多边形的定义:对应角________,对应边________的两个多边形叫做相似多边形,相似多边形________的比叫做相似比.2.相似多边形的性质:相似多边形的周长之比等于________,面积之比等于____________.A组基础训练1.如果两个相似多边形面积的比为1∶5,则它们的相似比为( )A.1∶25 B.1∶5 C.1∶2。
5 D.1∶错误!2.如图,有两个形状相同的星星图案,则x的值为( )第2题图A.15B.12C.10D.83.下列说法正确的是()A.所有的菱形都相似B.所有的矩形都相似C.所有的正六边形一定相似D.所有的等腰三角形都相似4.一个多边形的边长为2,3,4,5,6,另一个和它相似的多边形的最长边为24,则这个多边形的最短边为()A.6 B.8 C.10 D.125.一张比例尺为1∶250的图纸上,一块多边形区域的周长是54cm,面积是280cm2,则该区域的实际周长是________,实际面积是________.6.如图,四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′,则CD=________,∠D=________.第6题图7.如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,矩形ABCD∽矩形ECDF,且AB=2,S=3S矩形ECDF,则S矩形ABCD=________.矩形ABCD第7题图8.如图,图中的两个四边形相似,试求未知边a,b的长度和角α的大小.第8题图9.两个相似多边形的一对对应边的边长分别是15cm和12cm.(1)它们的周长相差24cm,求这两个多边形的周长;(2)它们的面积相差270cm2,求这两个多边形的面积.10.如图,已知在梯形ABCD中,EF∥AB∥CD,AB=9,CD=4,若EF把梯形分成的两个小梯形相似,求EF的长.第10题图B组自主提高11。
九年级数学上4.6相似多边形同步导学练(浙教版附答案)4.6 相似多边形对应边成比例并且对应角相等的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形的周长之比等于相似比,面积之比等于相似比的平方.1.如果两个相似多边形面积的比为1∶5,那么它们的相似比为(D).A.1∶25B.1∶5C.1∶2.5D.1∶ 2.在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,下列四个矩形中与矩形ABCD相似的是(A). A. B. C. D. 3.下列说法中,错误的是(C). A.等边三角形都相似 B.等腰直角三角形都相似 C.矩形都相似 D.正方形都相似 4.如图所示的图形都可以看作某种特殊的“细胞”,它们分裂时能同时分裂为全等的4个小细胞,分裂的小细胞与原图形相似,则相似比为(C). A.1∶4 B.1∶3 C.1∶2 D.1∶ (第4题)(第5题) 5.已知矩形ABCD中,AB=1,在BC上取一点E,沿AE将△ABE向上折叠,使点B落在AD上的点F上,若四边形EFDC与矩形ABCD相似,则AD等于(B). A. B. C. D.2 6.如图所示,四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似,已知∠A=120°,∠B=85°,∠C1=75°,AB=10,A1B1=16,CD=18,则∠D1= 80° ,C1D1= 28.8 ,它们的相似比为5∶8 .(第6题)(第7题)(第8题) 7.如图所示,在周长为9cm的四边形ABCD中,AC⊥BD于点O,且AC=BD=3cm,顺次连结OA,OB,OC,OD的中点得四边形A1B1C1D1,顺次连结OA1,OB1,OC1,OD1的中点得四边形A2B2C2D2……依此作下去,得四边形AnBnCnDn,则四边形AnBnCnDn的周长为 cm,面积为 cm2.(用含n的代数式表示) 8.如图所示,菱形ABCD的周长为12,∠DAB=60°,对角线AC上有两点E和F(点E在点F的左侧),若要使四边形DEBF与菱形ABCD相似,则AE的长为 . (第9题) 9.如图所示,点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点,以线段AE为边作一个菱形AEFG,且菱形AEFG∽菱形ABCD,连结EB,GD.(1)求证:EB=GD.(2)若∠DAB=60°,AB=2,AG=,求GD的长.【答案】(1)∵菱形AEFG∽菱形ABCD,∴∠EAG=∠BAD.∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB.∴∠EAB=∠GAD.∵AE= AG,AB=AD,∴△AEB≌△AGD.∴EB=GD. (2)如答图所示,连结BD交AC于点P,则BP⊥AC. (第9题答图)∵∠DAB=60°,∴∠PAB=30°.∴BP=AB=1,AP==.∵AE=AG=,∴EP=2.∴EB==.∴GD=. 10.如图所示,矩形ABCD的面积是72,点E在BC上,点F在DC上,且DF=AB,BE=AD,则矩形ECFG的面积是(C). A.9 B.12 C.18 D.24 (第10题)(第11题) 11.如图所示,一般书本的纸张是由原纸张多次对开得到.矩形ABCD沿EF对开后,再把矩形EFCD沿MN对开,依此类推.若各种开本的矩形都相似,则等于(B). A. B. C. D.2 12.如图所示,连结正五边形的各条对角线AD,AC,BE,BD,CE,有下列结论:①∠AME=108°;②五边形PFQNM∽五边形ABCDE;③AN2=AM ・AD.其中正确的是(D). A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ (第12题)(第13题) 13.一块矩形绸布的宽AB=a(m),长AD=1m,按照图中所示的方式将它裁成相同的n面矩形彩旗,若使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同,则a的值为 . 14.如图1所示,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=a,∠A=60°.取AB的中点A1,连结A1C,再分别取A1C,BC的中点D1,C1,连结D1C1,如图2所示.取A1B的中点A2,连结A2C1,再分别取A2C1,BC1的中点D2,C2,连结D2C2,如图3所示……如此进行下去,则线段DnCn 的长度为 . 图1 图2 图3 (第14题) 15.如图所示,矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部,AB∥A′B′,AD∥A′D′,且AD=12,AB=6,设AB与A′B′,BC与B′C′,CD与C′D′,DA与D′A′之间的距离分别为a,b,c,d. (1)当a=b=c=d=2时,矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD吗?为什么?(2)若矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD,则a,b,c,d应满足怎样的等量关系?请说明理由. (第15题)【答案】(1)不相似.理由如下:∵,∴ .∴矩形A′B′C′D′与矩形ABCD不相似. (2)要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD,就要,即= 可得a+c=2b+2d.∴当a+c=2b+2d时,矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD.16.【葫芦岛】如图所示,在矩形ABCD中,AD=2,CD=1,连结AC,以对角线AC为边,按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C,再连结AC1,以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1……按此规律继续下去,则矩形ABnCnCn-1的面积为 5n2的面积为 . (第16题)(第17题) 17.【成都】已知菱形A1B1C1D1的边长为2,∠A1B1C1=60°,对角线A1C1,B1D1相交于点O,以点O为坐标原点,分别以OA1,OB1所在直线为x轴、y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1,再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2,再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2……按此规律继续作下去,在x轴的正半轴上得到点A1,A2,A3,…,An,则点An的坐标为 (3n-1,0) .18.数学学习小组在学过相似图形的知识这一章后,发现可将相似三角形的定义、判定以及性质拓展到矩形、菱形的相似中去.如我们可以定义:长和宽之比相等的矩形是相似矩形;相似矩形也有以下的性质:相似矩形的对角线之比等于相似比,周长之比等于相似比,面积之比等于相似比的平方等.请你参与这个学习小组,一同探索这类问题. (1)写出判定菱形相似的一种判定方法.(2)如图所示,将菱形ABCD沿着直线AC向右平移后得到菱形A′B′C′D′,试证明:四边形A′FCE是菱形,且菱形ABCD∽菱形A′FCE.(3)若AC=,菱形A′FCE的面积是菱形ABCD面积的一半,求平移的距离AA′的长.(第18题)【答案】(1)若两个菱形有一组角对应相等(或两组对角线对应成比例),则这两个菱形相似. (2)∵AD∥A′E∥FC,AB∥A′F∥EC,∴四边形A′FCE为平行四边形,△CEA′∽△CDA, △CFA′∽△CBA.∴.∵AD=AB,∴EA′=FA′.∴四边形A′FCE为菱形.∵∠EA′F=∠DAB,∴菱形A′FCE∽菱形ABCD. (3)∵菱形ABCD∽菱形A′FCE,菱形A′FCE的面积是菱形ABCD面积的一半,∴菱形ABC与菱形A′FCE的面积比为2∶1.∴对应边之比为∶1,即AC∶A′C=∶1.∵AC=,∴A′C=1.∴AA′=-1.。
单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。
让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。
这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的效果。
语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。
如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落,对提高学生的水平会大有裨益。
现在,不少语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破碎,总在文章的技巧方面下功夫。
结果教师费劲,学生头疼。
分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的一干二净。
造成这种事倍功半的尴尬局面的关键就是对文章读的不熟。
常言道“书读百遍,其义自见”,如果有目的、有计划地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便可以在读中自然领悟文章的思想内容和写作技巧,可以在读中自然加强语感,增强语言的感受力。
久而久之,这种思想内容、写作技巧和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中,就会在写作中自觉不自觉地加以运用、创造和发展。
要练说,得练听。
听是说的前提,听得准确,才有条件正确模仿,才能不断地掌握高一级水平的语言。
我在教学中,注意听说结合,训练幼儿听的能力,课堂上,我特别重视教师的语言,我对幼儿说话,注意声音清楚,高低起伏,抑扬有致,富有吸引力,这样能引起幼儿的注意。
当我发现有的幼儿不专心听别人发言时,就随时表扬那些静听的幼儿,或是让他重复别人说过的内容,抓住教育时机,要求他们专心听,用心记。
平时我还通过各种趣味活动,培养幼儿边听边记,边听边想,边听边说的能力,如听词对词,听词句说意思,听句子辩正误,听故事讲述故事,听谜语猜谜底,听智力故事,动脑筋,出主意,听儿歌上句,接儿歌下句等,这样幼儿学得生动活泼,轻松愉快,既训练了听的能力,强化了记忆,又发展了思维,为说打下了基础。
新浙教版九年级数学上册课后练习:4.6 相似多边形1.下列图形不相似的是(D )A .所有的圆B .所有的正方形C .所有的等边三角形D .所有的菱形(第2题)2.如图,六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL ,相似比为2∶1,则下列结论正确的是(B )A .∠E =2∠KB .BC =2HIC .六边形ABCDEF 的周长=六边形GHIJKL 的周长D .S 六边形ABCDEF =2S 六边形GHIJKL(第3题)3. 如图,在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中,阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积比是(B )A. 3∶4B. 5∶8C. 9∶16D. 1∶24.把一个多边形改成和它相似的多边形,如果面积缩小为原来的13,那么边长缩小为原来的(B )A.13B.33C. 3 D .3 5. 已知四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似,且点A 与A 1,B 与B 1,C 与C 1是对应点,AB =12,BC =18,CD =18,AD =9,A 1B 1=8,则四边形A 1B 1C 1D 1的周长为__38__.6. 用放大镜看一个四边形,如果边长扩大4倍,那么周长扩大__4__倍,面积扩大__16__倍.7.已知两个矩形花坛是相似的,相似比为2∶3,较小的矩形长为30m ,周长为100m ,则较大的矩形的长为__45__m ,宽为__30__m.(第8题)8. 如图,把矩形ABCD 对折,折痕为MN ,矩形DMNC 与矩形ABCD 相似,已知AD =2,则AB 的长为__1__.9.如图,图中的两个四边形相似,试求未知边a ,b 的长度和角α的大小.(第9题)【解】 ∵四边形ABCD ∽四边形A′B′C′D′,∴AD A ′D ′=AB A ′B ′=BC B ′C ′. ∵AD=4,A ′D ′=8,A ′B ′=10,BC =4.5,∴48=AB 10= 4.5B ′C ′, ∴a =AB =5,b =B′C′=9.∵∠A =∠A′=70°,∠C =∠C ′=80°,∠B =75°,∴∠D =360°-70°-80°-75°,∴α=135°.10.如图,把矩形ABCD 对折,折痕为MN ,矩形DMNC 与矩形ABCD 相似,已知AB =4.(1)求AD 的长;(2)求矩形DMNC 与矩形ABCD 的相似比.(第10题)【解】 (1)由已知,得MN =AB ,MD =12AD =12BC. ∵矩形DMNC 与矩形ABCD 相似,∴DM AB =MN BC. ∴12AD 2=AB 2. ∵AB =4,∴AD =4 2.(2)矩形DMNC 与矩形ABCD 的相似比为DM AB =2 24=2211.如图所示,已知正五边形ABCDE 和正五边形A ′B ′C ′D ′E ′,它们相似吗?请说明理由.(第11题)【解】 相似.理由如下:设正五边形ABCDE 的边长为a ,正五边形A ′B ′C ′D ′E ′的边长为b.∵AB =BC =CD =DE =EA =a ,A ′B ′=B ′C′=C′D′=D′E′=E′A′=b ,∴AB A ′B ′=BC B ′C ′=CD C ′D ′=DE D ′E ′=EA E ′A ′=a b. 又∵正五边形各内角均为540°5=108°, ∴正五边形ABCDE ∽正五边形A ′B ′C ′D ′E ′.(第12题)12.如图,根据图中标注的数据,问:矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′是否相似?【解】 ∵四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′均为矩形,∴∠A =∠A′=∠B=∠B′=∠C=∠C′=∠D=∠D′=90°.若A ′D ′AD =A ′B ′AB ,即AD -8AD =AB -8AB ,则AB =AD . 若A ′D ′AD ≠A ′B ′AB ,即AD -8AD ≠AB -8AB,则AB ≠AD . ∴当AB =AD 时,矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′相似;当AB ≠AD 时,矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′不相似.(第13题)13. 如图,在Rt△ABC 中,作出三个正方形,若第一个正方形边长为9,第二个正方形边长为6.求第三个正方形的面积.【解】 ∵四边形ECRF ,PRSG ,QSTH 都是正方形,∴EF ∥PG ∥QH ,FR ∥GS ∥HT ,∴∠PFG =∠QGH,∠FGP =∠GHQ,∴△FPG ∽△GQH ,∴FP GQ =PG QH. 设QS =x ,则有GQ =6-x.∵FP =9-6=3,PG =6,∴36-x =6x,解得x =4. ∴第三个小正方形的面积为16.14. 过去有甲、乙两个庄主,甲庄主的土地面积大约是乙庄主的4倍,土地的形状都接近正方形.有一天两个庄主打赌,乙庄主说:“我骑马绕自己的土地跑一周要1.5 h ,绕你的土地跑一周3.5 h 足够.”甲庄主不信,说:“如果你3.5 h 能跑回来,我这个庄园给你,如果你3.5 h 跑不回来,那么你的庄园归我.”乙庄主说:“一言为定.”然后就催马而去.你认为谁是胜利者?【解】 把两个庄园看做是相似多边形,面积之比约为4∶1,所以其相似比为2∶1.所以周长之比为2∶1,即甲庄主的庄园周长大约是乙庄主的庄园周长的2倍,绕甲庄主的庄园的土地跑一周只要1.5×2=3(h)就差不多了.而3 h<3.5 h ,所以乙是胜利者.15.一种复印纸,整张称为A 1纸,对折一分为二成为A 2纸,再一分为二成为A 3纸……若它们都是相似的矩形,求这种纸的长与宽的比值(精确到千分位).【解】 设A 1纸的长为a ,宽为b ,则A 2纸的长为b ,宽为a 2. ∵A 1纸和A 2纸是相似矩形,∴它们的长与宽对应成比例,∴a b =b 12a , ∴a b =21≈1.414.。
浙教版数学九年级上册第四章相似三角形-4.6相似多边形(含解析)一、单选题1.将一个五边形改成与它相似的五边形,如果面积扩大为原来的9倍,那么周长扩大为原来的( )A.9倍B.3倍C.81倍 D.18倍2.一个多边形的边长为2,3,4,5,6,另一个和它相似的多边形的最长边为24,则这个多边形的最短边长为()A.6B.8C.12D.103.如果五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3:2,那么五边形ABCDE和五边形POGMN的面积之比是()A.2:3B.3:2C.6:4D.9:44.已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′,四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的周长分别为24、36,则它们对角线AC与A′C′的比为()A.2:3B.3:2C.4:9D.9:45.将一个菱形放在2倍的放大镜下,则下列说法中不正确的是()A.菱形的边长扩大到原来的2倍B.菱形的角的度数不变C.菱形的面积扩大到原来的2倍D.菱形的面积扩大到原来的4倍6.如图所示,长为8cm,宽为6cm的矩形中,截去一个矩形(图中阴影部分),如果剩下矩形与原矩形相似,那么剩下矩形的面积是()A.28cm2B.27cm2C.21cm2D.20cm7.如图,在平面直角坐标系中有一个四边形ABCD,现将四边形ABCD 各顶点的横坐标和纵坐标都乘2,得到四边形A1B1C1D1,则四边形A1B1C1D1的面积与四边形ABCD的面积之比为()A.2:1B.3:1C.4:1 D.5:18.两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4cm,如果它们的周长和为84cm,那么较大多边形的周长为()A.36cmB.42cmC.48cmD.54cm9.下面的图形都可以看作某种特殊的“细胞”,它们分裂时能同时分裂为全等的4个小细胞,分裂的小细胞与原图形相似,则相似比为()A.1:4B.1:3C.1:2D.1:10.如图,一张矩形报纸ABCD的长AB=a,宽BC=b,E,F分别是AB,CD的中点,将这张报纸沿着直线EF对折后,矩形AEFD的长与宽的比等于矩形ABCD的长与宽的比,则a:b等于()A.:1B.1:C.:1D.1:二、填空题11.若两个相似多边形的对应边之比为5:2,则它们的周长比是________.12.在一张复印出来的纸上,一个多边形的一条边由原图中的2cm变成了6cm,这次复印的放缩比例是________13.若如图所示的两个四边形相似,则∽α的度数是________.14.有一张矩形风景画,长为90cm,宽为60cm,现对该风景画进行装裱,得到一个新的矩形,要求其长、宽之比与原风景画的长、宽之比相同,且面积比原风景画的面积大44%.若装裱后的矩形的上、下边衬的宽都为acm,左、右边衬的宽都为bcm,那么ab=________cm2 15.有一张矩形风景画,长为90cm,宽为60cm,现对该风景画进行装裱,得到一个新的矩形,要求其长、宽之比与原风景画的长、宽之比相同,且面积比原风景画的面积大44%.若装裱后的矩形的上、下边衬的宽都为acm,左、右边衬的宽都为bcm,那么ab=________16.若两个相似多边形的面积比是16:25,则它们的周长比等于________.17.如果两个相似多边形面积的比为1:5,则它们的相似比为________18.若用一个2倍放大镜去看∽ABC,则∽A的大小________;面积大小为________三、解答题19.如图,G是正方形ABCD对角线AC上一点,作GE∽AD,GF∽AB,垂足分别为点E、F.求证:四边形AFGE与四边形ABCD相似.20.如图,A n系列矩形纸张的规格特征是:∽各矩形纸张都相似;∽A1纸对裁后可以得到两张A2纸,A2纸对裁后可以得到两张A3纸,…,A n纸对裁后可以得到两张A n+1纸.(1)填空:A1纸面积是A2纸面积的几倍,A2纸周长是A4纸周长的几倍;(2)根据A n系列纸张的规格特征,求出该系列纸张的长与宽(长大于宽)之比;(3)设A1纸张的重量为a克,试求出A8纸张的重量.(用含a的代数式表示)21.一个矩形ABCD的较短边长为2.(1)如图∽,若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似,求它的另一边长;(2)如图∽,已知矩形ABCD的另一边长为4,剪去一个矩形ABEF 后,余下的矩形EFDC与原矩形相似,求余下矩形EFDC的面积.四、综合题22.如图,把矩形ABCD对折,折痕为MN,矩形DMNC与矩形ABCD 相似,已知AB=4.(1)求AD的长;(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比.23.一个矩形ABCD的较短边长为2.(1)如图∽,若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似,求它的另一边长;(2)如图∽,已知矩形ABCD的另一边长为4,剪去一个矩形ABEF 后,余下的矩形EFDC与原矩形相似,求余下矩形EFDC的面积.答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】相似多边形的性质【解析】【分析】根据面积扩大为原来的9倍可得边长扩大为原来的3倍,即可判断周长的变化。
4.6 相似多边形1.相似多边形的定义:对应角________,对应边________的两个多边形叫做相似多边形,相似多边形________的比叫做相似比.2.相似多边形的性质:相似多边形的周长之比等于________,面积之比等于____________.A组基础训练1.如果两个相似多边形面积的比为1∶5,则它们的相似比为( )A.1∶25 B.1∶5 C.1∶2.5 D.1∶52.如图,有两个形状相同的星星图案,则x的值为( )第2题图A.15B.12C.10D.83.下列说法正确的是( )A.所有的菱形都相似B.所有的矩形都相似C.所有的正六边形一定相似D.所有的等腰三角形都相似4.一个多边形的边长为2,3,4,5,6,另一个和它相似的多边形的最长边为24,则这个多边形的最短边为( )A.6 B.8 C.10 D.125.一张比例尺为1∶250的图纸上,一块多边形区域的周长是54cm,面积是280cm2,则该区域的实际周长是________,实际面积是________.6.如图,四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′,则CD=________,∠D=________.第6题图7.如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,矩形ABCD∽矩形ECDF,且AB=2,S矩形ABCD=3S矩形ECDF,则S矩形ABCD=________.第7题图8.如图,图中的两个四边形相似,试求未知边a,b的长度和角α的大小.第8题图9.两个相似多边形的一对对应边的边长分别是15cm和12cm.(1)它们的周长相差24cm,求这两个多边形的周长;(2)它们的面积相差270cm2,求这两个多边形的面积.10.如图,已知在梯形ABCD 中,EF ∥AB ∥CD ,AB =9,CD =4,若EF 把梯形分成的两个小梯形相似,求EF 的长.第10题图B 组 自主提高11.如图,一般书本的纸张是原纸张多次对开得到的,矩形ABCD 沿EF 对开后,再把矩形EFCD 沿MN 对开,依此类推,若各种开本的矩形都相似,那么ABAD等于( )第11题图A .0.618 B.22C. 2 D .2 12.已知矩形ABCD 中,AB =1,在BC 上取一点E ,沿AE 将△ABE 向上折叠,使点B 落在AD 上的点F 上,若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似,则AD 长为________.第12题图13.如图,M 是四边形ABCD 的对角线AC 上的点,ME ∥CD ,MF ∥BC ,MC ∶MA =1∶3. (1)求证:四边形AFME∽四边形ABCD ;(2)求四边形AFME与四边形ABCD的面积比.第13题图C组综合运用14.矩形AGFE~矩形ABCD,AE、AD分别为它们的最短边,点F在AB上,且3AE=2AD.(1)若矩形ABCD的面积为450cm2,求矩形AEFG的面积;(2)求证:∠1=∠2.第14题图4.6相似多边形【课堂笔记】1.相等 成比例 对应边 2. 相似比 相似比的平方 【课时训练】 1-4.DDCB 5.135m 1750m 26.10 95°7.4 38.∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′,∴AD A ′D ′=AB A ′B ′=BCB′C′.∵AD =4,A ′D ′=8,A ′B ′=10,BC =4.5,∴48=AB 10= 4.5B ′C ′,∴a =AB =5,b =B′C′=9.∵∠A=∠A′=70°,∠C =∠C′=80°,∠B =75°,∴∠D =360°-70°-80°-75°,∴α=135°.9.(1)设较大多边形的周长为x ,则较小多边形的周长为(x -24),∵x x -24=1512,∴x =120,x -24=96.答:两个多边形的周长分别为120cm 、96cm ; (2)设大的面积为y ,小的面积为y -270,∵y y -270=⎝ ⎛⎭⎪⎫15122,∴y =750,y -270=480.答:这两个多边形的面积分别为750cm 2,480cm 2.10.∵EF 把梯形分成的两个小梯形相似,∴CD EF =EF AB ,∴EF 2=AB·CD=9×4=36,∴EF=6.11.B12.5+1213.(1)∵ME∥CD,∴△AME ∽△ACD ,∴AM AC =ME CD =AEAD ,∠AME =∠ACD,∠AEM =∠D.同理可证△AMF∽△ACB,∴AM AC =MF BC =AF AB ,∠AMF =∠ACB,∠AFM =∠B,∴AF AB =MF BC =ME CD =AEAD ,∠AFM=∠B,∠FME =∠BCD,∠AEM =∠D,∠FAE =∠BAD,∴四边形AFME∽四边形ABCD ; (2)由(1)知S 四边形AFME S 四边形ABCD =⎝ ⎛⎭⎪⎫AM AC 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫342=916.14.(1)∵3AE=2AD ,∴AE AD =23,∵矩形AGFE ~矩形ABCD ,∴相似比为AE AD =23,∴面积的比为49,∵矩形ABCD 的面积为450cm 2,∴四边形AEFG 的面积为200cm 2;(2)∵四边形ABCD 为矩形,四边形AEFG ~四边形ADCB ,∴∠DAB =∠EAG =90°,AE ∶AD =AG ∶AB ,∴∠DAE +∠EAF =∠GAB +∠EAF ,∴∠DAE =∠GAB ,∵AE ∶AD =AG ∶AB ,∴△ADE ∽△ABG ,∴∠1=∠2.。
九年级数学上4.6相似多边形同步导学练(浙教版附答案) CO
M 46 相似多边形
对应边成比例并且对应角相等的两个多边形叫做相似多边形相似多边形的周长之比等于相似比,面积之比等于相似比的平方.1如果两个相似多边形面积的比为1∶5,那么它们的相似比为(D)
A1∶25 B1∶5 C1∶25 D1∶
2在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,下列四个矩形中与矩形ABCD相似的是(A)
A B C D
3下列说法中,错误的是(C)
A等边三角形都相似
B等腰直角三角形都相似
C矩形都相似
D正方形都相似
4如图所示的图形都可以看作某种特殊的“细胞”,它们分裂时能同时分裂为全等的4个小细胞,分裂的小细胞与原图形相似,则相似比为(C)
A1∶4 B1∶3 C1∶2 D1∶
(第4题)(第5题)
5已知矩形ABCD中,AB=1,在BC上取一点E,沿AE将△ABE向上折叠,使点B落在AD上的点F上,若四边形EFDC与矩形ABCD相似,则AD等于(B)
A B C D2
6如图所示,四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似,已知∠A=11,0) 18数学学习小组在学过相似图形的知识这一后,发现可将相似三角形的定义、判定以及性质拓展到矩形、菱形的相似中去如我们可以定义长和宽之比相等的矩形是相似矩形;相似矩形也有以下的性质。
浙教版九年级数学同步训练(39)第四章相似三角形 4.6相似多边形(word版附答案)都相似D.所有的等腰梯形都相似111,那么边长缩小为原来的(B)7.把一个多边形改成和它相似的多边形,如果面积缩小为原来的31 3A.3B. 3C. 3D.38.已知四边形ABCD 与四边形A1B1C1D1 相似,且点A 与A1,B 与B1,C 与C1 是对应点,AB=12,BC=18,CD=18,AD=9,A1B1=8,则四边形A1B1C1D1 的周长为38.9.两个相似多边形的一组对应边分别为3 cm 和4.5 cm,如果它们的面积之和为130 cm2,那么较小的那个多边形的面积是40cm2.10.如图,在一个长8 cm,宽4 cm 的矩形中截去一个矩形(阴影部分),使留下的矩形与原矩形相似,那么留下的矩形面积为8cm2.11.若两个相似多边形的面积比是16∶25,则它们的相似比等于4∶5 .12.一个四边形的各边之比为1∶2∶3∶4,和它相似的另一个四边形的最小边长为5cm,则它的最大边长为20 cm.13.如图所示,将一根铁丝分成两段,分别围成两个相似的五边形,已知它们的面积比是1∶4,其中小五边形的边长为(x2-4)cm,大五边形的边长为(x2+2x)cm(其中x>0).求这根铁丝的总长.【解析】∵两个五边形相似,面积比是1∶4,∴相似比为1∶2.由题意得2(x2-4)=x2+2x,整理得x2-2x-8=0,解得x1=4,x2=-2(舍去).∴铁丝长为12×5+24×5=180(cm).14.如图所示,矩形ABCD 能分成三个全等的小矩形,且每个小矩形都与矩形ABCD 相似,已知AD=1,求AB 的长.【解析】∵三个小矩形全等,∴DE=DC.∵每个小矩形都与矩形ABCD 相似,∴= ,即AB 2=1,解得AB= .∴AB 的长为.15.如图所示,两个等边三角形,两个矩形,两个正方形,两个菱形各成一组,每组中的一个图形在另一个图形的内部,对应边平行,且对应边之间的距离都相等,那么两个图形不相似的一组是(B)A. B.C. D.16.一个矩形ABCD 的较短边长为2.(1)如图1 所示,如果沿较长边对折后得到的矩形与原矩形相似,那么矩形ABCD 的另一边长为2 .(2)如图2 所示,已知矩形ABCD 的另一边长为4,剪去一个矩形ABEF 后,余下的矩形EFDC与原矩形相似,则余下的矩形EFDC 的面积为2 .图1 图2【解析】(1)设它的另一边长为2x,则AM=DM=x.∵矩形ABNM 与矩形ADCB 相似,∴= ,即=,解得x= .∴矩形ABCD 的另一边长为2.(2)设DF=a.∵余下的矩形EFDC 与矩形ADCB 相似,∴= ,即=,解得DF=1.∴矩形EFDC 的面积为2×1=2.17.如图所示,在△ABC 中,∠C=90°,AC=BC=2,取BC 边中点E,作ED∥AB,EF∥AC,得到四边形EDAF,它的面积记做S1.取BE 中点E1,作E 1D 1∥FB,E1F1∥EF,得到四边形E1D1FF1,它的面积记做S2,照此规律作下去,则S 2019= ()2019 .【解析】∵∠C=90°,AC=BC=2,∴S =1×2×2=2. ∵点E 为BC 的点,ED∥AB,∴=()2=1 1,∴S =1.∴S△CDE=2.同理可得S△BEF=21∵E1D1∥FB,E1F1∥EF,E1 为BE 中点,1∴四边形E1D1FF1 与四边形EDAF 相似,相似比为. ∴=()2= .∴S2= .. 同理可得S3=()2. 由此规律可得S 2019=()2019.18.如图所示,矩形ABCD 的长AB=30,宽BC=20. (1)如图1 所示,若矩形ABCD 内四周有宽为1 的方形区域,图中所形成的两个矩形ABCD 与A′B′C′D′相似吗?请说明理由.(2)如图2 所示,当x 为多少时,图中的两个矩形ABCD 与A′B′C′D′相似?图1 图2【解析】(1)不相似.理由:∵AB=30,A′B′=28,BC=20,B′C′=18,而≠,∴矩形ABCD 与矩形A′B′C′D′不相似.(2)若矩形ABCD 与A′B′C′D′相似,则=,∴①= 或②=,解①得x=1.5,解②得x=9.∴当x=1.5 或9 时,图中的两个矩形ABCD 与A′B′C′D′相似.19.如图所示,矩形AGFE∽矩形ABCD,AE,AD 分别为它们的最短边,点F 在AB 上,且3AE=2AD.(1)已知矩形ABCD 的面积为450cm2,求矩形AEFG 的面积.(2)求证:∠1=∠2.【解析】(1)∵3AE=2AD,∴= .∵矩形AGFE∽矩形ABCD∴相似比为= .∴面积的比为..∵矩形ABCD 的面积为450cm2,∴四边形AEFG 的面积为200cm2.(2)∵矩形AGFE∽矩形ABCD,∴∠DAB=∠EAG=90°,AE∶AD=AG∶AB.∴∠DAE+∠EAF=∠GAB+∠EAF.∴∠DAE=∠GAB. ∵AE∶AD=AG∶AB,∴△ADE∽△ABG.∴∠1=∠2.20.已知菱形A1B1C1D1 的边长为2,∠A1B1C1=60°,对角线A1C1,B1D1 相交于点O,以点O 为坐标原点,分别以OA1,OB1 所在直线为x 轴,y 轴,建立如图所示的直角坐标系,以B1D1 为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1,再以A2C2 为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2,再以B2D2 为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2……按此规律继续作下去,在x 轴的正半轴上得到点A1,A2,A3,…,A n,则点A n 的坐标为(3n-1,0).【解】∵菱形A1B1C1D1 的边长为2,∠A1B1C1=60°,∴∠A1B1O=30°,∴OA1=1,OB1=3,∴点A1(1,0).∵菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1,∴∠B1C2D1=∠A1B1C1=60°,∴∠B1A2O=30°,∴OA2=3OB1=3,∴点A2(3,0).同理可得点A3(9,0),A4(27,0)……∴点A n(3n-1,0).21.过去有甲、乙两个庄主,甲庄主的土地面积大约是乙庄主的4 倍,土地的形状都接近正方形.有一天两个庄主打赌,乙庄主说:“我骑马绕自己的土地跑一周要1.5 h,绕你的土地跑一周3.5 h 足够.”甲庄主不信,说:“如果你3.5 h 能跑回来,我这个庄园给你;如果你3.5 h 跑不回来,那么你的庄园归我.”乙庄主说:“一言为定.”然后就催马而去.你认为谁是胜利者?【解】把两个庄园看做是相似多边形,面积之比约为4∶1,所以其相似比为2∶1,所以周长之比为2∶1,即甲庄主的庄园周长大约是乙庄主的庄园周长的2 倍,绕甲庄主的庄园的土地跑一周只要1.5×2=3(h)就差不多了.而3 h<3.5 h,所以乙庄主是胜利者.22.在长为3、宽为1 的大矩形内不重叠地放两个与大矩形相似的小矩形,且每个小矩形的每条边与大矩形的一条边平行.(1)按如图1 所示放置时,两个小矩形的周长和(两个小矩形重叠的边要重复计算)为163(2)怎样放置才能使两个小矩形的周长和最大?在图2 中画出图形,其最大值为88/9. 图1 图2【解析】(1)设小矩形的宽为x.∵小矩形与大矩形相似,∴= ,解得x= .∴两个小矩形周长和为2×2(1+ )= .(2)两个矩形的放置方式有如下几种:①如答图1 所示,两个小矩形都“竖放”,在这种放法下,周长和最大的两个小矩形边长分别为1和,周长和的最大值为.图1②两个小矩形都“横放”,有如下两种情况,如答图2,图3 所示.图2图3这时两个小矩形的周长和的最大值为: 2(a+3a)+2[1-a+3(1-a)]=8.③两个小矩形一个“横放”,一个“竖放”,如答图4 所示.这时两个小矩形的周长和的最大值为:2×(1+ )+2×图4(第16 题答图)∴如答图4 所示为所求,此时最大值为。
第4章相似三角形4.6 相似多边形(3大题型)分层练习考查题型一相似图形1.(2023秋·全国·九年级专题练习)下列图形中−定相似的是()A.直角三角形都相似B.等腰三角形都相似C.矩形都相似D.等腰直角三角形都相似【答案】D【分析】根据相似图形的对应边成比例,对应角相等,结合直角三角形、等腰三角形、矩形以及等腰直角三角形的特点对各选项进行分析判断即可.【详解】解:A、两个直角三角形的边不一定成比例,角不一定相等,故本选项不符合题意;B、两个等腰三角形的边不一定成比例,角不一定相等,故本选项不符合题意;C、两个矩形的对应角相等,但对应边不一定成比例,故本选项不符合题意;D、两个等腰直角三角形的对应边一定成比例,对应角一定相等,所以一定相似故本选项符合题意.故选:D.【点睛】本题主要考查了相似图形的定义,从边和角的角度去考虑是本题的关键.2.(2023秋·全国·九年级专题练习)将不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形各边向外平移1个单位并适当延长,得到下列图形,变化前后的两个图形不相似的是()A.B.C.D.【点睛】本题主要考查了成比例线段和相似图形的性质,解题的关键是根据题意得出教科书上的字与黑板上的字相似,根据相似图形对应边成比例求解.5.(2023秋·全国·九年级专题练习)阅读理解是已知矩形的周长和面积的一半,则这个矩形是给定矩形的考查题型二相似多边形1.(2023秋·全国·九年级专题练习)下列各组四边形中是相似多边形的是()A.一组邻边为2厘米和5厘米与一组邻边为3厘米和6厘米的矩形B.有一个内角为30°的两个菱形C.边长分别为3厘米和4厘米的两个菱形D.两个高相等的等腰梯形【答案】B【分析】根据相似多边形的定义,即可求解.【详解】解:B菱形一个内角确定,则每个内角都可以确定下来,同时,菱形四边相等,对应成比例,是相似多边形,则B选项符合题意;A选项边不对应成比例,不是相似多边形,则A选项不符合题意;C选项菱形有不稳定性,形状不固定,不是相似多边形,则C选项不符合题意;D选项等腰梯形形状不固定,不是相似多边形,则D选项不符合题意.A.甲与丙B.乙与丙C.甲与乙【答案】A【分析】如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多边形,据此作答.【答案】2:1【分析】相似图形的相似比等于对应边之比;再由五边形AE A E¢¢,进而求解即可.:【详解】解:设横向相邻的两点距离为【答案】四边形AEFG 与四边形ABCD 一直保持相似.原因是它们的角分别相等、边成比例.【分析】由//EF BC ,//FG CD 证明,AEF ABC AFG V V V ∽对应成比例,从而可得答案.【详解】解:Q //EF BC ,//FG CD ,,,,AEF ABC AFE ACB AGF ADC AFD \Ð=ÐÐ=ÐÐ=ÐÐ,AFE AFG ACB ACD \Ð+Ð=Ð+Ð 即EFG BCD Ð=ÐQ //EF BC ,//FG CD ,考查题型三 相似多边形的性质1.(2023秋·山东聊城·九年级校考阶段练习)两个相似五边形,一组对应边的长分别为4cm 和6cm ,若它们的面积之和为2602cm ,则较大五边形的面积是( )A .1002cm B .1802cm C .752cm D .302cm 【答案】BA.9B.12【答案】B【分析】求出折叠后小矩形的一条边长,然后根据相似图形的性质列式计算即可.【答案】1【分析】根据相似多边形的性质得【详解】解:∵四边形(1)如图1,若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似,求(2)如图2,已知矩形ABCD的另一边长为似,求矩形EFDC的面积.【答案】(1)【点睛】本题考查了相似多边形的性质,解决本题的关键是掌握如果两个多边形的对应角相等,对应边的比相等,则这两个多边形是相似多边形;相似多边形对应边的比叫做相似比.A.2B.3A.21-B.51-【答案】C【分析】先根据折叠的性质与矩形性质,求得边形性质得出EH HG=,即12x-=A .35【答案】B【分析】证明四边形根据相似图形的性质,即可求解.∵四边形ABCD 是正方形,点∴ABM CBM =∠∠,ME ∴四边形EBFM 是正方形,∵90EMF Ð=°,MN ^A.甲对,丙、乙不对B.甲、乙都对,丙不对C.甲、丙都对,乙不对D.甲、乙、丙都对【答案】C【分析】根据边数相同的两个多边形,如果对应角相等,且对应边成比例,那么这两个多边形相似即可判据题意得:AB A B ¢¢∥,AC A C ¢¢∥,BC B C ¢¢∥,∴A A ¢Ð=Ð,B B ¢Ð=Ð,∴ABC A B C ¢¢¢∽△△,∴新三角形与原三角形相似,甲说法正确.乙:设原矩形边长为a ,b .向外扩张一个单位后边长变为2a +,2b +.【答案】2【分析】根据相似多边形的对应边成比例进行计算即可解答.【详解】解:∵四边形【答案】15+/51+【分析】根据相似图形的性质即可求解;【详解】Q矩形CDFE:矩形ADCB∴CD DFAD CD=,即222ADAD-=,【答案】②④【分析】根据三角形面积求法以及矩形性质得出一定在AC上.^,作【详解】如图,作PE AB【点睛】此题考查了矩形的性质以及三角形面积求法,根据已知得出10.(2023秋·全国·九年级专题练习)如图,在正方形CD 上靠近A 、B 、C 、D 的四等分点,ABCDS =四边形【答案】6425【分析】设AE DH CG ==【详解】解:如图,设AE DH CG BF a ====则EF EH HG FG ====14EI FJ KG LH \====´【答案】四边形A B C D¢¢¢¢∽四边形【分析】根据三角形的中位线定理证明两个多边形对应边的比相等、对应角相等即可得到答案.【详解】解:四边形A B C D¢¢¢¢∽【点睛】本题考查的是相似多边形的性质、三角形中位线定理,掌握相似多边形的判定定理、灵活运用三角形中位线定理是解题的关键.12.(2023春·江苏苏州·八年级苏州工业园区星湾学校校考阶段练习)如图,在线交BC 于点E ,ABC Ð的平分线交(1)求证:四边形ABEF 是菱形;(2)若ABCD CEFD Y Y ∽,且4=AD ,求【答案】(1)见解析(2)252AF =-.(2)如图,正方形ABCD 的对角线交于点绕点O 旋转的过程中,两个正方形重叠部分的面积与正方形(3)一名跳水运动员进行10m 作,并且调整好入水姿势,否则就容易出现失误.假设运动员起跳后的运动时间度()m h 满足关系:10h =【答案】(1)3a =(2)重叠部分面积不变,总是等于正方形面积的∵四边形ABCD 和四边形OA ∴OB =OC ,∠OBA =∠OCB ∴∠A 'OB =∠COC '.在△OBM 与△OCN 中,OBA OCB OB OCÐ=Ðìï=í,。
4.6__相似多边形
1.[2019·高密期末]两个多边形相似的条件是( D )
A .对应角相等
B .对应边成比例
C .对应角相等或对应边成比例
D .对应角相等且对应边成比例
2.下列四组图形中,一定相似的是( D )
A .正方形与矩形
B .正方形与菱形
C .菱形与菱形
D .正五边形与正五边形
3.如果两个相似多边形面积的比为1∶5,则它们的相似比为( D )
A .1∶25
B .1∶5
C .1∶2.5
D .1∶ 5
4.如图4-6-1,四边形ABCD ∽四边形A 1B 1C 1D 1,AB =12,CD =15,A 1B 1=9,则边C 1D 1的长是( C )
图4-6-1
A .10
B .12 C.454 D.265
【解析】 ∵四边形ABCD ∽四边形A 1B 1C 1D 1,
∴AB A 1B 1=CD C 1D 1
. ∵AB =12,CD =15,A 1B 1=9,
∴C 1D 1=9×1512=454.故选C.
5.如图4-6-2,六边形ABCDEF ∽六边形GHIJKL ,相似比为2∶1,则下列结论正确的是( B )
图4-6-2
A .∠E =2∠K
B .B
C =2HI
C .六边形ABCDEF 的周长=六边形GHIJKL 的周长
D .S 六边形ABCDEF =2S 六边形GHIJKL
6.我国国土面积约为960万平方千米,画在比例尺为1∶1 000万的地图上的面积约是( D )
A .960 km 2
B .960 m 2
C .960 dm 2
D .960 cm 2
【解析】 960万平方千米=9.6×1016 cm 2,
设画在地图上的面积约为x cm 2,则
x ∶9.6×1016=(1∶1000万)2,
解得x =960.
则画在地图上的面积约为960 cm 2.故选D.
7.在研究相似问题时,甲、乙同学的观点如下:
对于两人的观点,下列说法正确的是( C )
A .两人都对
B .两人都不对
C .甲对,乙不对
D .甲不对,乙对
8.一张比例尺为1∶250的图纸上,一块多边形区域的周长是54 cm ,面积是 280 cm 2,则该区域的实际周长是__135__m__,实际面积是__1750__m 2__.
9.两个五边形相似,一组对应边长分别是3 cm 和4.5 cm ,若它们的面积之和是78 cm 2,则较大的五边形的面积是__54__cm 2__.
【解析】 设这两个五边形的面积分别为x cm 2,y cm 2(x >y ),则⎩⎨⎧x y =⎝ ⎛⎭⎪⎫4.532,x +y =78,
解得⎩⎨⎧x =54,y =24.
10.两个相似多边形的最长边分别为35 cm 和14 cm ,它们的周长的差为60 cm ,则这两个多边形的周长分别为__100__cm ,40__cm__.
【解析】 设这两个多边形的周长分别为x cm ,y cm(x >y ),
则⎩⎪⎨⎪⎧x -y =60,x y =3514
,解得⎩⎨⎧x =100,y =40. 11.如图4-6-4所示的两个相似四边形中,求未知边的长度x ,y 和∠α的大
小.
图4-6-4
解:∵两个四边形相似,它们的对应边成比例,对应角相等,∴18
4=
y
6=
x
7,解得
x=31.5,y=27.
∠α=360°-(77°+83°+117°)=83°.
图4-6-5
12.[2019·河南模拟]如图4-6-5,四边形ABCD为平行四边形,AE平分∠BAD 交BC于点E,过点E作EF∥AB,交AD于点F,连结BF.
(1)求证:BF平分∠ABC;
(2)若AB=6,且四边形ABCD∽四边形CEFD,求BC的长.
解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB=CD,∴∠F AE=∠AEB,
∵EF∥AB,∴四边形ABEF是平行四边形,
∵AE平分∠BAD,∴∠F AE=∠BAE,
∴∠BAE=∠AEB,∴AB=EB,
∴四边形ABEF是菱形,∴BF平分∠ABC;
(2)∵四边形ABEF为菱形,∴BE=AB=6,
∵四边形ABCD∽四边形CEFD,
∴AB
CE=BC
CD,即
6
BC-6
=
BC
6,
解得BC=3±35(负值舍去),∴BC=3+3 5.
13.如图4-6-6,在▱ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,CD=2DE.若△DEF的面积为a,则▱ABCD的面积为__12a__(用含a的代数式表示).
图4-6-6
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AD∥BC,
AB=CD,∴△DEF∽△CEB,
△DEF∽△ABF,
∴S △DEF S △CEB =⎝ ⎛⎭⎪⎫DE CE 2,S △DEF S △ABF =⎝ ⎛⎭
⎪⎫DE AB 2. ∵CD =2DE ,∴DE ∶CE =1∶3,DE ∶AB =1∶2.
∵S △DEF =a ,∴S △CBE =9a ,S △ABF =4a ,
∴S 四边形BCDF =S △CEB -S △DEF =8a ,
∴S ▱ABCD =S 四边形BCDF +S △ABF =8a +4a =12a .
14.公园里有块草坪,其平面图如图4-6-7所示,∠A =90°,其比例尺为1∶ 2 000,根据图中标注的数据(单位:cm),求该草坪的实际周长和面积.
图4-6-7 第14题答图
解:如答图,连结BD ,由已知条件可得△ABD 和△BDC 是直角三角形,面积之和为0.003 6 m 2,四边形ABCD 周长为0.32 m.
则⎝ ⎛⎭
⎪⎫12 000 2=0.003 6S ,解得S =1.44×104; 12 000=0.32C ,解得C =640.
答:该草坪的实际周长为640 m ,实际面积为1.44×104 m 2.
15.如图4-6-8,M 是四边形ABCD 的对角线AC 上的点,ME ∥CD ,MF ∥BC ,MC ∶MA =1∶3.
(1)求证:四边形AFME ∽四边形ABCD ;
图4-6-8
(2)求四边形AFME 与四边形ABCD 的面积比.
解:(1)证明:∵ME ∥CD ,
∴△AME ∽△ACD ,
∴AM AC =ME CD =AE AD ,∠AME =∠ACD ,∠AEM =∠D .
同理可证△AMF ∽△ACB ,
∴AM AC =MF CB =AF AB ,∠AMF =∠ACB ,∠AFM =∠B ,
∴AF AB =MF BC =ME CD =AE AD =31+3
=34, ∠AFM =∠B ,∠FME =∠BCD ,∠AEM =∠D ,∠F AE =∠BAD ,
∴四边形AFME ∽四边形ABCD ;
(2)S 四边形AFME S 四边形ABCD =⎝ ⎛⎭⎪⎫AM AC 2=⎝ ⎛⎭
⎪⎫342=916. 16.如图4-6-9,矩形草坪的长为a (m),宽为b (m)(a >b ),沿草坪四周外围有宽为x (m)的环形小路.
(1)草坪的长与宽的比值m =__a ∶b __,外围矩形的长与宽的比值n = __(a +2x )∶(b +2x )__(用含有a ,b ,x 的代数式表示);
(2)请比较m 与n 的大小;
(3)图中的两个矩形相似吗?为什么?
图4-6-9
解:(2)m -n =a b -a +2x b +2x =a (b +2x )-b (a +2x )b (b +2x )=2x (a -b )b (b +2x )
. ∵a >b >0,x >0,∴m -n =2x (a -b )b (b +2x )
>0,∴m >n ; (3)不相似.若图中的两个矩形相似,则需m =n ,
∵m >n ,∴图中的两个矩形不相似.
17.如图4-6-10,A n 系列矩形纸张的规格特征是:①各矩形纸张都相似;②A1纸对裁后可以得到两张A2纸,A2纸对裁后可以得到两张A3纸,…,A n 纸对裁后可以得到两张A n +1纸.
(1)填空:A1纸面积是A2纸面积的__2__倍,A2纸周长是A4纸周长的__2__倍;
(2)根据A n 系列纸张的规格特征,求出该系列纸张的长与宽(长大于宽)之比;
(3)设A1纸张的重量为a 克,试求出A8纸张的重量.(用含a 的代数式表示)
图4-6-10
解:(1)∵A1纸对裁后可以得到两张A2纸,
∴A1纸面积是A2纸面积2倍;
∵设A2纸的长为a ,宽为b ,则A2纸周长=2(a +b ),则A3纸的长是b ,宽是a 2,
A4纸的长是a 2,宽是b 2,A4纸的周长=2⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2+b 2=a +b , ∴A2纸周长是A4纸周长的2倍;
(2)设A1纸的长和宽分别是m ,n ,则A2纸的长和宽分别为n ,12m ,
∴m n =n 12m
,即m n =2,
即该系列纸张的长与宽(长大于宽)之比为2∶1;
(3)∵A1纸张的重量为a g ,A2纸是A1纸面积的一半, ∴A2纸的重量为12a g ,
同理,A3纸的重量是14a g ,
∴A8纸张的重量是⎝ ⎛⎭⎪⎫127
a g.。