二项式定理(人教B版)2

《二项式定理》教学设计一、教学目标1.能发现二项展开式的规律，并会组合数模型证明二项式定理。

2.能把二项式正确展开，掌握二项式展开式的特点。

3.能运用通项求解特定项，会区分某一项的二项式系数和系数。

二、教学重点1.发现并证明二项式定理。

2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。

三、教学难点发现二项展开式系数与组合数的关系。

四、教学过程（一）自学质疑，发现问题上课之前教师留一节课给学生，让学生预习课本知识，并填写《二项式定理预习学案》，在学案中提出预习中存在的疑惑。

设计意图：根据教学目标，应该为学生创造积极探究的平台，让学生从被动学习转化成主动学习。

（二）汇集问题，小组交流1.学生在学案中填提出没有解决的问题，4人为一组，由组长组织讨论，交流看法。

2.组长负责收集小组讨论后仍然没有解决的问题，并汇总给老师。

3.老师批改学生的预习学案，找到预习中学生存在的问题，并把每个小组上交的问题再汇总，并整合。

设计意图：小组讨论给了学生探索的更大空间，使每个学生都能参与二项式定理的形成过程，符合“以学生为主体”的新课程理念，充分发挥学生的主动性。

本节课教师运用“问题—解决”的课堂教学模式，采用启发式的教学方法，所以教师要提前整合问题，从而上课能更有针对性的引导学生解决问题。

（三）讨论问题，互动探究教学活动设计：教师在黑板上把学生预习中存在的问题投影：问题1.二项式定理中系数是如何得到的？问题2.二项展开式中的通项怎么用？问题3.学习了二项式定理可以解决哪些问题？设计意图：通过问题激发学生的求知欲，明白本节课的学习任务，提高学生的听课效率。

教学活动设计：渗透数学文化“牛顿发现二项式定理”，引入本节课课题。

问题1：图片中的人物是谁？他跟我们今天学习的这节课有什么关系？设计意图：教师在课堂上引入数学家牛顿的数学故事，让学生体会追求真理的探究精神，进一步感受数学文化的深厚底蕴。

a+展开呢？问题2：如果让你给出一个方案，你怎么把()n b预设回答：先写几个具体的例子，找规律。

第二节二项式定理与杨辉三角课程标准解读1．能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.[知识排查·微点淘金]知识点一二项式定理1．二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b1＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)．2．通项公式：T k＋1＝C k n a n－k b k，它表示第k＋1项．3．二项式系数：展开式中第k＋1项的二项式系数为C k n.知识点二二项式系数的性质[微思考](a＋b)n展开式的某项的系数与其对应的二项式系数相同吗？提示：不一定．(a＋b)n展开式的通项是C k n a n－k b k，其二项式系数是C k n(k＝0,1…n)，不一定是这一项系数．[小试牛刀·自我诊断]1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)C k n a n－k b k是(a＋b)n的展开式的第k项．()(2)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．()(3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．()(4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．(链接人B 选择性必修第二册P 31例3)若⎝⎛⎭⎫x ＋1x n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )A ．10B ．20C ．30D ．120解析：选B 二项式系数之和2n ＝64，所以n ＝6，T k ＋1＝C k 6·x 6－k ·⎝⎛⎭⎫1x k ＝C k 6x 6－2k ，当6－2k ＝0，即当k ＝3时为常数项，T 4＝C 36＝20. 3．(链接人B 选择性必修第二册P 33T 6)化简：C 12n ＋C 32n ＋…＋C 2n －12n ＝________.解析：因为C 02n ＋C 12n ＋C 22n ＋…＋C 2n 2n ＝22n ，所以C 12n ＋C 32n ＋…＋C 2n －12n ＝12(C 02n＋C 12n＋…＋C 2n 2n )＝22n －1. 答案：22n －14．(混淆项的系数与二项式系数)在二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x n 的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为__________.解析：由题意得2n ＝32，所以n ＝5，令x ＝1，得各项系数的和为(1－2)5＝－1. 答案：－1一、基础探究点——二项展开式中特定项及系数问题(题组练透)1.⎝⎛⎭⎫x －2x 6的展开式中的常数项为( ) A ．－150 B ．150 C ．－240 D ．240解析：选D ⎝⎛⎭⎫x －2x 6的二项展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 6x 6－k ·⎝⎛⎭⎫－2x k ＝C k 6x 6－k ·(－2)k ·x －k 2＝(－2)k C k 6x 6－32k .令6－32k ＝0，解得k ＝4，故所求的常数项为T 5＝(－2)4·C 46＝240. 2．在⎝⎛⎭⎫x ＋2x 25的展开式中，x 2的系数是________. 解析：二项式⎝⎛⎭⎫x ＋2x 25的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5·x 5－r ·⎝⎛⎭⎫2x 2r ＝C r 5·2r ·x 5－3r .令5－3r ＝2得r ＝1.因此，在⎝⎛⎭⎫x ＋2x 25的展开式中，x 2的系数为C 15·21＝10. 答案：103．在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________.解析：由二项展开式的通项公式可知T r ＋1＝C r 9·(2)9－r ·x r ，r ∈N,0≤r ≤9， 当项为常数项时，r ＝0，T 1＝C 09·(2)9·x 0＝(2)9＝16 2.当项的系数为有理数时，9－r 为偶数，可得r ＝1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数是5. 答案：16 2 5求形如(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤：第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式T r ＋1＝C r n an －r b r ，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r ；第三步，把r 代入通项公式中，即可求出T r ＋1，有时还需要先求n ，再求r ，才能求出T r ＋1或者其他量．二、综合探究点——二项式系数的性质或各项系数和(师生共研)[典例剖析][例1] (1)(2021·合肥模拟)已知(ax ＋b )6的展开式中x 4项的系数与x 5项的系数分别为135与－18，则(ax ＋b )6的展开式中所有项系数之和为( )A ．－1B ．1C ．32D ．64[解析] 选D 由二项展开式的通项公式可知x 4项的系数为C 26a 4b 2，x 5项的系数为C 16a 5b ，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧C 26a 4b 2＝135，C 16a 5b ＝－18，解得a ＋b ＝±2，故(ax ＋b )6的展开式中所有项的系数之和为(a ＋b )6＝64.(2)若(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则|a 0|－|a 1|＋|a 2|－|a 3|＋|a 4|－|a 5|＝( ) A ．0 B ．1 C ．32 D ．－1[解析] 选A 由(1－x )5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(－x )r ＝C r 5(－1)r x r，可知a 1，a 3，a 5都小于0，则|a 0|－|a 1|＋|a 2|－|a 3|＋|a 4|－|a 5|＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5.在原二项展开式中令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝0.(3)(2021·天津西青区模拟)在(1＋x )n (n ∈N *)的二项展开式中，若只有x 5的系数最大，则n ＝________.[解析] 二项式中仅x 5的系数最大，其最大值必为C n 2n ，即得n2＝5，解得n ＝10.[答案] 10赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x ，y 的一切值都成立．因此，可将x ，y 设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令x ，y 等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值．如：(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可；(2)形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．[学会用活]1．(2021·山西八校联考)已知(1＋x )n 的展开式中第5项和第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A ．29B ．210C ．211D ．212解析：选A 由题意知C 4n ＝C 6n ，由组合数性质得n ＝10，则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29.2．(2021·淄博模拟)已知m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B 由题意可知，a ＝C m 2m ，b ＝C m2m ＋1，∵13a ＝7b ，∴13·(2m )！m ！m ！＝7·(2m ＋1)！m ！(m ＋1)！，即137＝2m ＋1m ＋1，解得m ＝6.三、应用探究点——多项式展开式中特定项、系数问题(多向思维)[典例剖析]思维点1 几个多项式和展开式中特定项问题[例2] (2021·长沙雅礼中学模拟)在1＋(1＋x )＋(1＋x )2＋(1＋x )3＋(1＋x )4＋(1＋x )5的展开式中，含x 2项的系数是( )A ．10B ．15C ．20D ．25[解析] 选C 含x 2项的系数为C 22＋C 23＋C 24＋C 25＝20.对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可．思维点2 几个多项式积展开式中特定项问题 [例3] ⎝⎛⎭⎫x ＋y2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 [解析] 选C因为(x ＋y )5的展开式的第r ＋1项T r ＋1＝C r 5x5－r y r ，所以⎝⎛⎭⎫x ＋y 2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数为C 35＋C 15＝15.故选C.对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．思维点3 三项展开式中特定项问题[例4] (1＋2x －3x 2)5展开式中x 5的系数为________.[解析] 法一：(1＋2x －3x 2)5＝[(1＋2x )－3x 2]5＝C 05(1＋2x )5＋C 15(1＋2x )4(－3x 2)＋C 25(1＋2x )3·(－3x 2)2＋…＋C 55(－3x 2)5，所以x 5的系数为C 05C 55×25＋C 15C 34×23×(－3)＋C 25C 13×2×(－3)2＝92.法二：(1＋2x －3x 2)5＝(1－x )5(1＋3x )5，所以x 5的系数为C 05C 55×35＋C 15(－1)C 45×34＋C 25(－1)2C 35×33＋C 35×(－1)3C 25×32＋C 45×(－1)4C 15×31＋C 55×(－1)5C 05×30＝92. [答案] 92(a ＋b ＋c )n 展开式中特定项的求解方法[学会用活]3．(2021·沧州七校联考)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为()A．12 B．16C．20 D．24解析：选A展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成，则x3的系数为C34＋2C14＝4＋8＝12.4．(2021·嘉兴联考)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A．10 B．20C．30 D．60解析：选C法一：利用二项展开式的通项求解．(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C25(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为C13x4·x＝C13x5.所以x5y2的系数为C25C13＝30.故选C.法二：利用排列组合知识求解．(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个因式取y，剩余的三个因式中两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为C25C23C11＝30.故选C.。

§10.3二项式定理考试要求能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．知识梳理1．二项式定理二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b 1＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)二项展开式的通项T k ＋1＝C k n an －k b k，它表示展开式的第k ＋1项二项式系数C k n (k ＝0,1，…，n )2.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．(2)增减性与最大值：当n 是偶数时，中间的一项2C nn取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项12Cn n－与12Cn n＋相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和：(a ＋b )n 的展开式的各二项式系数的和为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.常用结论1．C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.2．C m n ＋1＝C m －1n ＋C m n .思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)C k n an －k b k 是(a ＋b )n 的展开式中的第k 项．(×)(2)(a ＋b )n 的展开式中每一项的二项式系数与a ，b 无关．(√)(3)通项公式T k ＋1＝C k n an －k b k 中的a 和b 不能互换．(√)(4)二项式的展开式中的系数最大项与二项式系数最大项是相同的．(×)教材改编题1.的展开式中x 2的系数等于()A ．45B ．20C ．－30D ．－90答案A解析因为展开式的通项为T k ＋1＝()311010100221C C ()(1)k kk kk kkxxx -+⋅－－－＝－，令－10＋32k ＝2，得k ＝8，所以展开式中x 2的系数为(－1)8×C 810＝45.2．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝243，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n 等于()A ．31B ．32C ．15D ．16答案A解析逆用二项式定理得C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝243，即3n ＝35，所以n ＝5，所以C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝25－1＝31.3．若的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．答案20解析因为二项式系数之和为2n ＝64，所以n ＝6，则T k ＋1＝C k 6·x6－k＝C k 6x6－2k，当6－2k ＝0，即k ＝3时为常数项，T 4＝C 36＝20.题型一通项公式的应用命题点1形如(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式的特定项例1(1)二项式的展开式中的常数项是()A ．－45B ．－10C ．45D ．65答案C解析由二项式定理得T k ＋1＝C k －k(－x 2)k＝55210(1)C k kk x－－，令5k2－5＝0得k ＝2，所以常数项为(－1)2C 210＝45.(2)已知的展开式中x 5的系数为A ，x 2的系数为B ，若A ＋B ＝11，则a ＝__________.答案±1解析的展开式的通项为T k ＋1＝C k 5x 5－k ＝(－a )k C k 5352k x.由5－32k ＝5，得k ＝0，由5－32＝2，得k ＝2，所以A ＝C 05×(－a )0＝1，B ＝C 25×(－a )2＝10a 2，则由1＋10a 2＝11，解得a ＝±1.命题点2形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式问题例2(1)(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是()A ．56B ．84C ．112D ．168答案D解析在(1＋x )8的展开式中含x 2的项为C 28x 2＝28x 2，(1＋y )4的展开式中含y 2的项为C 24y 2＝6y 2，所以x 2y 2的系数为28×6＝168.(2)在(2x ＋a 的展开式中，x 2的系数为－120，则该二项展开式中的常数项为()A ．3204B ．－160C ．160D ．－320答案D解析的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6·x 6－k ＝C k 6·2k ·x6－2k ，2xT k ＋1＝C k 6·2k ＋1·x 7－2k，由k ∈N ，得7－2k ≠2，故不成立，aT k ＋1＝a C k 6·2k ·x6－2k，令6－2k ＝2，解得k ＝2，则a C 26·22＝60a ＝－120，解得a ＝－2，∵7－2k ≠0，在－2T k ＋1中，令6－2k ＝0，解得k ＝3，∴展开式中的常数项为－2C 36·23＝－320.思维升华(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项即可．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．跟踪训练1(1)(2022·新高考全国Ⅰx ＋y )8的展开式中x 2y 6的系数为________(用数字作答)．答案－28解析(x ＋y )8展开式的通项为T k ＋1＝C k 8x 8－k y k ，k ＝0,1，…，7,8.令k ＝6，得T 6＋1＝C 68x 2y 6；令k ＝5，得T 5＋1＝C 58x 3y 5x ＋y )8的展开式中x 2y 6的系数为C 68－C 58＝－28.(2)在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________．答案1625解析由题意得，(2＋x )9的通项公式为T k ＋1＝C k 9(2)9－k ·x k(k ＝0,1,2，…，9)．当k ＝0时，可得常数项为T 1＝C 09(2)9＝16 2.若展开式的系数为有理数，则k ＝1,3,5,7,9，有T 2，T 4，T 6，T 8，T 10，共5个．题型二二项式系数与项的系数问题命题点1二项式系数和与系数和例3(1)在x 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则()A ．二项式系数和为32B ．各项系数和为128C ．常数项为－135D ．常数项为135答案D解析令x ＝1，得各项系数和为2n ，又二项式系数和为2n ，则2×2n ＝128，得n ＝6，即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故A ，B 不正确；x 的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6·(3x )6－k ＝C k 6·(－1)k 36－k ·362x ，令6－32k ＝0，得k ＝4，因此展开式中的常数项为T 5＝C 46·(－1)4·32＝135，故C 不正确，D 正确．(2)若(1＋x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则a 2＋a 6＋a 8＝________；a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋10a 10＝________.答案3005120解析①由已知得(1＋x )10展开式的通项为T k ＋1＝C k 10x k，所以展开式中每一项的系数即为其二项式系数．故a 2＋a 6＋a 8＝C 210＋C 610＋C 810＝300.②对原式两边求导得，10(1＋x )9＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋10a 10x 9.令x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋10a 10＝10×29＝5120.命题点2系数与二项式系数的最值问题例4(多选)(2023·唐山模拟)下列关于2的展开式的说法中正确的是()A ．常数项为－160B ．第4项的系数最大C ．第4项的二项式系数最大D ．所有项的系数和为1答案ACD解析2展开式的通项为T k ＋1＝C k 6－k·(－2x )k ＝(－2)k C k 6·x2k －6.对于A ，令2k －6＝0，解得k ＝3，∴常数项为(－2)3C 36＝－8×20＝－160，A 正确；对于B ，由通项公式知，若要系数最大，k 所有可能的取值为0,2,4,6，∴T 1＝x －6，T 3＝4C 26x －2＝60x －2，T 5＝(－2)4C 46x 2＝240x 2，T 7＝(－2)6x 6＝64x 6，∴展开式第5项的系数最大，B 错误；对于C ，展开式共有7项，得第4项的二项式系数最大，C 正确；对于D ，令x ＝1，则所有项的系数和为(1－2)6＝1，D 正确．思维升华赋值法的应用一般地，对于多项式(a ＋bx )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，令g (x )＝(a ＋bx )n ，则(a ＋bx )n 的展开式中各项的系数和为g (1)，(a ＋bx )n 的展开式中奇数项的系数和为12[g (1)＋g (－1)]，(a ＋bx )n的展开式中偶数项的系数和为12[g (1)－g (－1)]．跟踪训练2(1)(多选)对于2的展开式，下列说法正确的是()A ．所有项的二项式系数和为64B ．所有项的系数和为64C ．常数项为1215D ．系数最大的项为第3项答案ABC解析2的展开式中所有项的二项式系数和为26＝64，故A 正确；在2中，令x ＝1，得(1－3)6＝64，故B 正确；展开式的通项为T k ＋1＝C k 6(x 2)6－k＝(－3)k C k 6x12－3k (0≤k ≤6，k ∈N )，令12－3k ＝0，得k ＝4，所以常数项为(－3)4C 46＝1215，故C 正确；由C 的分析可知第2,4,6项系数为负值，第1项系数为1，第3项系数为(－3)2C 26＝135，第5项系数为(－3)4C 46＝1215，第7项系数为(－3)6C 66＝729，则系数最大的项为第5项，故D 不正确．(2)设(2＋x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9)2的值为________．答案1解析令x ＝1有a 0＋a 1＋…＋a 10＝(2＋1)10，令x ＝－1有a 0－a 1＋a 2－…＋a 10＝(2－1)10，故(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10)·(a 0－a 1＋a 2－…＋a 10)＝(2＋1)10(2－1)10＝1.题型三二项式定理的综合应用例5(1)设a ∈Z ，且0≤a ≤13，若512023＋a 能被13整除，则a 等于()A ．0B ．1C ．11D ．12答案B解析因为a ∈Z ，且0≤a ≤13，所以512023＋a ＝(52－1)2023＋a＝C 020********－C 12023522022＋C 22023522021－…＋C 2022202352－C 20232023＋a ，因为512023＋a 能被13整除，所以－C 20232023＋a ＝－1＋a 能被13整除，结合选项，所以a ＝1.(2)利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是()A．1.23B．1.24C．1.33D．1.34答案D解析 1.056＝(1＋0.05)6＝C06＋C16×0.05＋C26×0.052＋C36×0.053＋…＋C66×0.056＝1＋0.3＋0.0375＋0.0025＋…＋0.056≈1.34.思维升华二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.跟踪训练3(1)设n为奇数，那么11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋C n－1n·11－1除以13的余数是()A．－3B．2C．10D．11答案C解析11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋C n－1n·11－1＝C0n·11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋C n－1n·11＋C n n－2＝(11＋1)n－2＝12n－2＝(13－1)n－2＝C0n·13n－C1n·13n－1＋…＋(－1)n－1·C n－1n·13＋(－1)n·C n n－2，因为n为奇数，则上式＝C0n·13n－C1n·13n－1＋…＋(－1)n－1·C n－1n·13－3＝[C0n·13n－C1n·13n－1＋…＋(－1)n－1·C n－1n·13－13]＋10，所以11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋C n－1n·11－1除以13的余数是10.(2)0.996的计算结果精确到0.001的近似值是()A．0.940B．0.941C．0.942D．0.943答案B解析0.996＝(1－0.01)6＝C06×1－C16×0.01＋C26×0.012－C36×0.013＋…＋C66×0.016＝1－0.06＋0.0015－0.00002＋…＋0.016≈0.941.课时精练2的展开式中x4的系数为()A ．10B ．20C ．40D ．80答案C解析由题意可得T k ＋1＝C k 5·(x 2)5－k＝(－1)k C k 5·2k ·x10－3k ，令10－3k ＝4，则k ＝2，所以所求系数为(－1)2C 25·22＝40.2．(多选)若2的展开式中的常数项为1516，则实数a 的值可能为()A ．2 B.12C ．－2D ．－12答案AC 解析2的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6(x 2)6－k＝Cx 12－3k ，令12－3k ＝0，得k ＝4.故C46＝1516，即＝116，解得a ＝±2.3．在(x ＋3)的展开式中，常数项为()A ．－152 B.152C ．－52D.52答案A 解析原式＝＋，①而的通项公式为T k ＋1C k 6x 6－2k .当6－2k ＝－1时，k ＝72∉Z ，故①式中的前一项不会出现常数项；当6－2k＝0，即k ＝3时，可得①式中的后一项即为所求，此时原式常数项为3×C 36＝－152.4．在的展开式中，x 的指数是整数的项数是()A ．2B ．3C ．4D．5答案D解析因为的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 24(x )24－＝512624C kkx －，所以当k＝0,6,12,18,24时，x 的指数是整数，故x 的指数是整数的有5项．5．在二项式(1－2x )n 的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为()A ．－960B ．960C ．1120D ．1680答案C解析根据题意，奇数项的二项式系数之和也为128，所以在(1－2x )n 的展开式中，二项式系数之和为256，即2n ＝256，得n ＝8，则(1－2x )8的展开式的中间项为第5项，且T 5＝C 48(－2)4x 4＝1120x 4，即展开式的中间项的系数为1120.6．设a ＝3n ＋C 1n 3n －1＋C 2n 3n －2＋…＋C n －1n 3，则当n ＝2023时，a 除以15所得余数为()A ．3B ．4C ．7D ．8答案A解析∵C 0n 3n ＋C 1n 3n －1＋C 2n 3n －2＋…＋C n －1n 3＋C n n 30＝(3＋1)n ＝4n，∴a ＝4n －1，当n ＝2023时，a ＝42023－1＝4×161011－1＝4×[(15＋1)1011－1]＋3，而(15＋1)1011－1＝C 010********＋C 11011151010＋…＋C 1010101115，故此时a 除以15所得余数为3.7．(多选)在二项式的展开式中，正确的说法是()A ．常数项是第3项B ．各项的系数和是164C ．第4项二项式系数最大D ．奇数项二项式系数和为32答案BCD解析二项式的展开式通项为T k ＋1＝C k 6·(3x )6－k＝62361C 2kkk x ⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭－－.对于A 选项，令6－2k3＝0，可得k ＝3，故常数项是第4项，A 错误；对于B 选项，各项的系数和是＝164，B 正确；对于C 选项，展开式共7项，故第4项二项式系数最大，C 正确；对于D 选项，奇数项二项式系数和为25＝32，D 正确．8．(多选)(2023·沧州模拟)已知(1－2x )2023＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2023x 2023，则()A ．展开式中所有项的二项式系数和为22023B ．展开式中系数最大项为第1350项C ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2023＝32023－12D.a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 202322023＝－1答案AD解析易知(1－2x )2023的展开式中所有项的二项式系数和为22023，故A 正确；由二项式通项，知T k ＋1＝C k 2023(－2x )k ＝(－2)k C k 2023x k ，所以第1350项的系数为(－2)1349C 13492023<0，所以第1350项不是系数最大项，故B 错误；当x ＝1时，有a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2023＝－1，①当x ＝－1时，有a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2022－a 2023＝32023，②①－②，可得a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2023＝－1＋320232，故C 错误；当x ＝0时，a 0＝1，当x ＝12时，a 0＋a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 202322023＝0，所以a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 202322023＝－a 0＝－1，故D 正确．9．若x 5＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋…＋a 5(x －2)5，则a 1＝________，a 1＋a 2＋…＋a 5＝________.答案80211解析因为x 5＝[2＋(x －2)]5，则a 1＝C 15·24＝80.令x ＝3，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝35＝243；令x ＝2，得a 0＝25＝32，故a 1＋a 2＋…＋a 5＝243－32＝211.10．(1＋2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，展开式中二项式系数最大的项为________；系数最大的项为________________．答案1120x 41792x 5和1792x 6解析T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n ·25＝C 6n ·26，得n ＝8.∴在(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48·(2x )4＝1120x 4，设第k ＋1k 8·2k ≥C k －18·2k －1，k 8·2k ≥C k ＋18·2k ＋1，解得5≤k ≤6.又k ∈N ，∴k ＝5或k ＝6，∴系数最大的项为T 6＝1792x 5，T 7＝1792x 6.11．(x ＋y －2z )5的展开式中，xy 2z 2的系数是()A ．120B ．－120C ．60D ．30答案A解析由题意知(x ＋y －2z )5＝[(x ＋y )－2z ]5，展开式的第k ＋1项为C k 5(x ＋y )5－k(－2z )k ，令k ＝2，可得第3项为(－2)2C 25(x ＋y )3z 2，(x ＋y )3的展开式的第m ＋1项为C m 3x 3－m y m ，令m ＝2，可得第3项为C 23xy 2，所以(x ＋y －2z )5的展开式中，xy 2z 2的系数是(－2)2C 25C 23＝120.12．(2023·浙江名校联盟联考)设(x －1)(2＋x )3＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 1＝________，2a 2＋3a 3＋4a 4＝________.答案－431解析因为x ·C 03·23·x 0－C 13·22·x 1＝－4x ，所以a 1＝－4，对所给等式，两边对x 求导，可得(2＋x )3＋3(x －1)(2＋x )2＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋4a 4x 3，令x ＝1，得27＝a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4，所以2a 2＋3a 3＋4a 4＝31.13．若(2x ＋1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n 的展开式中的各项系数和为243，则a 1＋2a 2＋…＋na n 等于()A ．405B ．810C ．243D ．64答案B解析(2x ＋1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，两边求导得2n (2x ＋1)n －1＝a 1＋2a 2x ＋…＋na n x n －1.令x ＝1，则2n ×3n －1＝a 1＋2a 2＋…＋na n .又因为(2x ＋1)n 的展开式中各项系数和为243，令x ＝1，可得3n ＝243，解得n ＝5.所以a 1＋2a 2＋…＋na n ＝2×5×34＝810.14．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，若(1－2x )2023＝b 0＋b 1x ＋b 2x 2＋…＋b 2023x 2023，数列{a n }的首项a 1＝b 12＋b 222＋…＋b 202322023，a n ＋1＝S n ·S n ＋1，则S 2023等于()A ．－12023B.12023C ．2023D ．－2023答案A 解析令x ＝12，得－2023＝b 0＋b 12＋b 222＋…＋b 202322023＝0.令x ＝0，得b 0＝1，所以a 1＝b 12＋b 222＋…＋b 202322023＝－1.由a n ＋1＝S n ·S n ＋1＝S n ＋1－S n ，得S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1＝1，所以1S n ＋1－1S n ＝－1，是首项为1S 1＝－1，公差为－1的等差数列，所以1S n＝－1＋(n －1)·(－1)＝－n ，所以S n ＝－1n ，所以S 2023＝－12023.。

第２课时排列数的应用学习目标核心素养１．进一步理解排列的概念，掌握一些排列问题的常用解题方法．（重点）２．能应用排列知识解决简单的实际问题．（难点）１．通过排列知识解决实际问题，提升逻辑推理的素养．２．借助排列数公式计算，提升数学运算的素养.无限制条件的排列问题（２）有５种不同的书，要买３本送给３名同学，每人各１本，共有多少种不同的送法？[思路点拨] （１）从５本不同的书中选出３本分别送给３名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；（２）给每人的书均可以从５种不同的书中任选１本，各人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算．[解] （１）从５本不同的书中选出３本分别送给３名同学，对应于从５个不同元素中任取３个元素的一个排列，因此不同送法的种数是A错误!＝５×４×３＝60，所以共有60种不同的送法．（２）由于有５种不同的书，送给每个同学的每本书都有５种不同的选购方法，因此送给３名同学，每人各１本书的不同方法种数是５×５×５＝１２５，所以共有１２５种不同的送法．１．没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可．２．对于不属于排列的计数问题，注意利用计数原理求解．错误!１．（１）将３张电影票分给１0人中的３人，每人１张，则共有________种不同的分法．（２）从班委会５名成员中选出３名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，不同的选法共有________种．（１）7２0 （２）60 [（１）问题相当于从１0张电影票中选出３张排列起来，这是一个排列问题．故不同分法的种数为A错误!＝１0×9×8＝7２0．（２）从班委会５名成员中选出３名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，应有A错误!＝５×４×３＝60种选法．]排队问题【例２】３名男生、４名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数．（１）全体站成一排，男、女各站在一起；（２）全体站成一排，男生必须站在一起；（３）全体站成一排，男生不能站在一起；（４）全体站成一排，男、女各不相邻．!种排法；[解] （１）男生必须站在一起是男生的全排列，有A错误!种排法；女生必须站在一起是女生的全排列，有A错误!种排法．全体男生、女生各视为一个元素，有A错误!·A错误!·A错误!＝２88种排队方法．由分步乘法计数原理知，共有A错误!种方法，把所有男生视为一个元素，与４名女生组成５个（２）三个男生全排列有A错误!种排法．故有A错误!·A错误!＝7２0种排队方法．元素全排列，有A错误!种排法；男生在４个女生隔成的五个空中安排，共有A （３）先安排女生，共有A错误错误!种排法，故共有A错误!·A错误!＝１４４0种排法．（４）排好男生后让女生插空，共有A错误!·A错误!＝１４４种排法．“相邻”与“不相邻”问题的解决方法处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．错误!２．５人站成一排，甲、乙两人之间恰有１人的不同站法的种数为（）Ａ．１8 Ｂ．２４Ｃ．３6 Ｄ．４8C[５人站成一排，甲、乙两人之间恰有１人的不同站法有３A错误!×A错误!＝３6（种）．]角度二元素“在”与“不在”问题【例３】六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（１）甲不站两端；（２）甲、乙站在两端；（３）甲不站左端，乙不站右端．[解] （１）法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间４个位置上任选１个，有A错误!种站法，然后其余５人在另外５个位置上作全排列有A错误!种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法A错误!·A 错误!＝４80种．法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余５个人中选２个人站，有A错误!种站法，然后其余４人有A错误!种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法A错误!·A错误!＝４80种．法三：若对甲没有限制条件共有A错误!种站法，甲在两端共有２A错误!种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即得所求的站法数，共有A错误!—２A错误!＝４80种．（２）首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A错误!种，再让其他４人在中间位置作全排列，有A错误!种，根据分步乘法计数原理，共有A错误!·A错误!＝４8种站法．（３）法一：甲在左端的站法有A错误!种，乙在右端的站法有A错误!种，且甲在左端而乙在右端的站法有A错误!种，共有A错误!—２A错误!＋A错误!＝５0４种站法．法二：以元素甲分类可分为两类：a.甲站右端有A错误!种，b.甲在中间４个位置之一，而乙不在右端有A错误!·A错误!·A错误!种，故共有A错误!＋A错误!·A错误!·A错误!＝５0４种站法．“在”与“不在”问题的解决方法错误!３．４名运动员参加４×１00接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有（）Ａ．１２种Ｂ．１４种Ｃ．１6种Ｄ．２４种B[用排除法，若不考虑限制条件，４名队员全排列共有A错误!＝２４种排法，减去甲跑第一棒有A错误!＝6种排法，乙跑第四棒有A错误!＝6种排法，再加上甲在第一棒且乙在第四棒有A错误!＝２种排法，共有A错误!—２A错误!＋A错误!＝１４种不同的出场顺序．]角度三定序问题【例４】将A，B，C，D，E这５个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”（可以不相邻）．则有多少种不同的排列方法？[解] ５个不同元素中部分元素A，B，C的排列顺序已定，这种问题有以下两种常用的解法．法一：（整体法）５个元素无约束条件的全排列有A错误!种，由于字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”或“C，B，A”，因此，在上述的全排列中恰好符合“A，B，C”或“C，B，A”排列方式的排列有错误!×２＝４0（种）．法二：（插空法）若字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”，将字母D，E插入，这时形成的４个空中，分两类：第一类，若字母D，E相邻，则有A错误!·A错误!种排法；第二类，若字母D，E不相邻，则有A错误!种排法．所以有A错误!·A错误!＋A错误!＝２0（种）不同的排列方法．同理，若字母A，B，C的排列顺序为“C，B，A”，也有２0种不同的排列方法．因此，满足条件的排列有２0＋２0＝４0（种）．在有些排列问题中，某些元素有前后顺序是确定的（不一定相邻），解决这类问题的基本方法有两种：１．整体法：即若有m＋n个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，先将这m＋n个元素排成一列，有A错误!种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有A错误!种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有错误!种满足条件的不同排法．２．插空法：即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空隙中．错误!４．用１,２,３,４,５,6,7组成没有重复数字的七位数，若１,３,５,7的顺序一定，则有________个七位数符合条件．２１0 [若１,３,５,7的顺序不定，有A错误!＝２４（种）排法，故１,３,５,7的顺序一定的排法数只占总排法数的错误!.故有错误!A错误!＝２１0（个）七位数符合条件．]数字排列问题１．偶数的个位数字有何特征？从１,２,３,４,５中任取两个不同数字能组成多少个不同的偶数？[提示] 偶数的个位数字一定能被２整除．先从２,４中任取一个数字排在个位，共２种不同的排法，再从剩余数字中任取一个数字排在十位，共４种排法，故从１,２,３,４,５中任取两个数字，能组成２×４＝8（个）不同的偶数．２．在一个三位数中，身居百位的数字x能是0吗？如果在0～9这十个数字中任取不同的三个数字组成一个三位数，如何排才能使百位数字不为0？[提示] 在一个三位数中，百位数字不能为0，在具体排数时，从元素0的角度出发，可先将0排在十位或个位的一个位置，其余数字可排百位、个位（或十位）位置；从“位置”角度出发可先从１～9这9个数字中任取一个数字排百位，然后再从剩余9个数字中任取两个数字排十位与个位位置．【例５】（教材P１２例6改编）用0,１,２,３,４,５这六个数字可以组成多少个无重复数字的（１）六位奇数？（２）个位数字不是５的六位数？[思路点拨] 这是一道有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或特殊位置优先安排的原则．另外，还可以用间接法求解．[解] （１）法一：从特殊位置入手（直接法）分三步完成，第一步先填个位，有A错误!种填法，第二步再填十万位，有A错误!种填法，第三步填其他位，有A错误!种填法，故共有A错误!A错误!A错误!＝２88（个）六位奇数．法二：从特殊元素入手（直接法）0不在两端有A错误!种排法，从１,３,５中任选一个排在个位有A错误!种排法，其他各位上用剩下的元素做全排列有A错误!种排法，故共有A错误!A错误!A错误!＝２88（个）六位奇数．法三：排除法6个数字的全排列有A错误!个，0,２,４在个位上的六位数为３A错误!个，１,３,５在个位上，0在十万位上的六位数有３A错误!个，故满足条件的六位奇数共有A错误!—３A错误!—３A错误!＝２88（个）．（２）法一：排除法0在十万位的六位数或５在个位的六位数都有A错误!个，0在十万位且５在个位的六位数有A错误!个．故符合题意的六位数共有A错误!—２A错误!＋A错误!＝５0４（个）．法二：直接法十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类：第一类：当个位排0时，符合条件的六位数有A错误!个．第二类：当个位不排0时，符合条件的六位数有A错误!A错误!A错误!个．故共有符合题意的六位数A错误!＋A错误!A错误!A错误!＝５0４（个）．（变结论）用0,１,２,３,４,５这六个数取不同的数字组数．（１）能组成多少个无重复数字且为５的倍数的五位数？（２）能组成多少个无重复数字且比１３２５大的四位数？（３）若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{a n}，则２４0 １３５是第几项？[解] （１）符合要求的五位数可分为两类：第一类，个位上的数字是0的五位数，有A错误!个；第二类，个位上的数字是５的五位数，有A错误!·A错误!个．故满足条件的五位数的个数共有A错误!＋A错误!·A错误!＝２１6（个）．（２）符合要求的比１３２５大的四位数可分为三类：第一类，形如２□□□，３□□□，４□□□，５□□□，共A错误!·A错误!个；第二类，形如１４□□，１５□□，共有A错误!·A错误!个；第三类，形如１３４□，１３５□，共有A错误!·A错误!个．由分类加法计数原理知，无重复数字且比１３２５大的四位数共有：A错误!·A错误!＋A错误!·A 错误!＋A错误!·A错误!＝２70（个）．（３）由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为１有A错误!个数，首位数字为２，万位上为0,１,３中的一个有３A错误!个数，∴２４0 １３５的项数是A错误!＋３A错误!＋１＝１9３，即２４0 １３５是数列的第１9３项．解数字排列问题常见的解题方法１．“两优先排法”：特殊元素优先排列，特殊位置优先填充．如“0”不排“首位”．２．“分类讨论法”：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数原理进行，要注意以下两点：一是分类标准必须恰当；二是分类过程要做到不重不漏．３．“排除法”：全排列数减去不符合条件的排列数．４．“位置分析法”：按位置逐步讨论，把要求数字的每个数位排好．１．解排列应用题的基本思想错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!２．求解排列问题的主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反，等价转化的方法１．6名学生排成两排，每排３人，则不同的排法种数为（）Ａ．３6 Ｂ．１２0Ｃ．7２0 Ｄ．２４0C[由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为A错误!＝7２0．]２．某段铁路所有车站共发行１３２种普通车票，那么这段铁路共有的车站数是（）Ａ．8 Ｂ．１２Ｃ．１6 Ｄ．２４B[设车站数为n，则A错误!＝１３２，n（n—１）＝１３２，∴n＝１２．]３．用１,２,３,４,５,6,7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有________个．１４４[先排奇数位有A错误!种，再排偶数位有A错误!种，故共有A错误!A错误!＝１４４个．]４．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有________种．２４[把A，B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于４人的全排列，共A错误!＝２４种．]５．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中２个唱歌、３个舞蹈、３个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？（１）一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；（２）２个唱歌节目互不相邻；（３）２个唱歌节目相邻且３个舞蹈节目不相邻．!种排法，再排其他节目有A错误!种排法，所以[解] （１）先排唱歌节目有A错误!·A错误!＝１４４0（种）排法．共有A错误!种排法，再从其中7个空（包括两端）（２）先排３个舞蹈节目和３个曲艺节目有A错误!种插入方法，所以共有A错误!·A错误!＝３0 ２中选２个排唱歌节目，有A错误４0（种）排法．!种排法，再将（３）把２个相邻的唱歌节目看作一个元素，与３个曲艺节目排列共A错误!种插入方法，最后将２个唱歌节目互换位置，有A错误!３个舞蹈节目插入，共有A错误!·A错误!·A错误!＝２880（种）排法．种排法，故所求排法共有A错误。