山东省聊城市第四中学人教版高中数学必修五学案1.1 正弦定理(1)(无答案)

1.1.2余弦定理（一）一.学习目标：1、了解从向量、解析方法和三角方法等多种途径证明余弦定理.2、掌握并熟记余弦定理及其推论，并会应用解简单三角形.3、了解余弦定理与勾股定理之间的关系.二．课前知多少：1、正弦定理： = = =2、已知任意两角和一边：已知12,30,120,b A B ===求a3、已知任意两边和其中一边的对角：已知在ABC ∆中,6,30,8===b B a 求A cos三．探究互动 合作交流 问题解决问题1 如果已知三角形的两边及夹角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形，那么，怎样在已知三角形的两边及其夹角的条件下解出三角形呢？1、首先用数学符号表达上述数学问题的已知和未知：2、如何用C b a ,,来表示边c 呢？余弦定理:三角形中任何一边的 等于其他两边的 即=2a =2b=2c问题2 余弦定理和以前关于三角形的什么定理在形式上非常接近？他们有什么联系？问题3 以上我们求得c 后三角形的三边就确定了，若只知道三边，你能求出三个内角吗？ 余弦定理的关系式变形得推论：=A cos=B cos=C cos问题4 余弦定理的应用例1 在ABC ∆中，,︒===60,3,1A c b ，求a 的值.例2 已知在ABC ∆中,5,3,7===c b a ，求最大的角和C sin .变式：在ABC ∆中,已知2:3:1::=c b a ，求ABC ∆的各角的度数.五、尝试小结六、作业：1. 在ABC ∆中, 45,10,1===C b a ,则 c =2. 在ABC ∆中， 135,10,1===A c b ，则a =3. 在ABC ∆中,7,3,2===c b a ,则C=4. 在ABC ∆中，已知26,22,2+===c b a ，则A 等于5. 在ABC ∆中, 43cos ,1,2===C BC AC ，AB = 6. 三角形中,B C A 2=+，且4,1==BC AB 则边BC 上的中线AD 的长为7．在ABC ∆中, 8:7:5sin :sin :sin =C B A ，则B =8. 在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若ac b =2且a c 2=，求B cos9. 在ABC ∆中,若4,13,3===AC BC AB ，求AC 边上的高.10. 已知2,1,++a a a 是锐角三角形的三边长，求a 的取值范围.。

1.1正弦定理、余弦定理习题课【学习目标】1.能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；2.能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；3.能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式【自主检测】1.在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π4的值．2.在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且3a ＝2c sin A .(1)确定角C 的大小；(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．【典型例题】例1.在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．例2.设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，cos(A －C )＋cos B ＝32，b 2＝ac ，求B .【目标检测】1.在△ABC 中，已知b ＝a sin B ，且cos B ＝cos C ，则△ABC 的形状是( )A ．等边三角B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形2.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是( )A ．a ＝8 b ＝16 A ＝30°有两解B ．b ＝18 c ＝20 B ＝60°有一解C．a＝5 b＝2 A＝90°无解 D．a＝30 b＝25 A＝120°有一解3.已知△ABC中，AB＝3，AC＝1，且B＝30°，则△ABC的面积等于( )A.32B.34C.32或 3 D.34或324*.在△ABC中，若tan A－tan Btan A＋tan B＝c－bc，求角A【总结提升】1.在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；2.三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用。

【高二数学学案】§1.1 正弦定理和余弦定理 第一课时 正弦定理一、1、基础知识 设∆ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，R 是∆ABC 的外接圆半径。

（1）正弦定理： = = =2R 。

（2）正弦定理的三种变形形式： ①==b A R a ,sin 2 ，c= 。

②==B RaA sin ,2sin ，=C sin 。

③=c b a :: 。

（3）三角形中常见结论：①A+B+C= 。

②a <⇔b 。

③任意两边之和 第三边，任意两边之差 第三边。

④2sin BA += ，=+)sin(B A ，)(2sin B A += 。

2、课堂小练（1）在ABC ∆中，若A sin >B sin ，则有（ ） A 、a <b B 、a ≥b C 、a >b D 、a ，b 的大小无法确定（2）在ABC ∆中，A=30°，C=105°，b=8，则a 等于（ ）A 、4B 、24C 、34D 、54 （3）已知ABC ∆的三边分别为c b a ,,，且a b B A :cos :cos =，则ABC ∆是 三角形。

二、例题 例1、根据下列条件，解ABC ∆： （1）已知ο30,7,5.3===B c b ，求C 、A 、a ； （2）已知B=30°，2=b ，c=2，求C 、A 、a ； （3）已知b=6，c=9，B=45°，求C 、A 、a 。

例2、在ABC ∆中，CB CB A cos cos sin sin sin ++=，试判断ABC ∆的形状。

三、练习 1、在ABC ∆中，若B b A a cos cos =，求证：ABC ∆是等腰三角形或直角三角形。

2、在ABC ∆中，5:3:1::=c b a ，求CBA sin sin sin 2-的值。

四、课后练习 1、在ABC ∆中，下列等式总能成立的是（ ） A 、A c C a cos cos =B 、A cC b sin sin = C 、B bc C ab sin sin =D 、A c C a sin sin =2、在ABC ∆中，ο120,3,5===C b a ，则B A sin :sin 的值是（ ）A 、35 B 、53 C 、73 D 、753、在ABC ∆中，已知ο60,8==B a ，C=75°，则b 等于（ ）A 、24B 、34C 、64D 、332 4、在ABC ∆中，A=60°，24,34==b a ，则角B 等于（ ） A 、45°或135° B 、135° C 、45° D 、以上答案都不对 5、根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ） A 、ο30,16,8===A b a ，有两解 B 、ο60,20,18===B c b ，有一解 C 、ο90,2,5===A b a ，无解D 、ο150,25,30===A b a ，有一解6、已知ABC ∆中，οο45,60,10===C B a ，则c 等于（ ） A 、310+B 、)13(10-C 、)13(10+D 、3107、在ABC ∆中，已知A b B a tan tan 22=，则此三角形是（ ） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、直角或等腰三角形8、在ABC ∆中，C=2B ，则BBsin 3sin 等于（ ）A 、a bB 、b aC 、c aD 、ac9、在ABC ∆中，已知ο45,2,===B cm b xcm a ，如果利用正弦定理，三角形有两解，则x 的取值范围是（ ） A 、2<x <22B 、x >22C 、2<x <2D 、0<x <210、三角形两边之差为2，夹角的余弦值为53。

§ 正弦定理班级姓名学号学习目标1. 掌握正弦定理的内容；2. 掌握正弦定理的证明方法；3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．学习过程一、课前准备试验 ：固定 ABC 的边 CB 考： C 的大小与它的对边及AB B ，使边 AC 绕着极点的长度之间有如何的数C转动．思量关系？明显，边 AB 的长度跟着其对角确地表示出来？C 的大小的增大而．可否用一个等式把这类关系精二、新课导学 ※ 学习研究研究 1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就第一来 商讨直角三角形中，角与边的等式关系 . 如图，在 Rt ABC 中，设 BC=a ， AC=b ， AB=c ，依据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 asin A ，bsin B ，又 sin C 1c ， ccc 进而在直角三角形ABC 中，abcsin A sin B ．sin C研究 2：那么关于随意的三角形，以上关系式能否仍旧建立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种状况：当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD ，依据随意角三角函数的定义，有 CD = asin B bsin A ，则 a b c bsin A ，同理可得 sin C ，a bc sin B sin B 进而sin A sin B ．sin C近似可推出，当ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍旧建立．请你试一试导.新知 ：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等，即abc ．sin A sin Bsin C试一试 ：（ 1）在ABC中，必定建立的等式是（）．A ．a sin A bsinB B .a cosA b cosBC. a sin B bsin A D .a cosB bcosA（ 2）已知△ ABC 中， a＝ 4， b＝ 8，∠ A＝ 30°，则∠ B 等于．[理解定理 ]（ 1）化边为角；（ 2）化角为边．（ 3）正弦定理的基本作用为：①已知三角形的随意两角及其一边能够求其余边，如a b sin A ；b．sin B②已知三角形的随意两边与此中一边的对角能够求其余角的正弦值，如sin A asin B ；sinCb ．（ 4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其余的边和角的过程叫作解三角形．※ 典型例题例 1. 在ABC中，已知 A45，B60 ，a 42cm，解三角形．变式：在ABC 中，已知B45 ， C 60 ，a12cm，解三角形．例 2. 在ABC中， c6, A 45 , a 2,求 b和B, C ．变式 ：在 ABC 中， b3, B 60 , c 1, 求a 和A,C ．三、总结提高 ※ 学习小结1. 正弦定理：a b csin A sin B sin C2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法.3．应用正弦定理解三角形：①已知两角和一边；②已知两边和此中一边的对角．※ 知识拓展abc 为外接圆直径 .sin A sin B2R ，此中 2Rsin C学习评论1. 在 ABC 中，若cos Ab，则 ABC 是（） .cos B aA ．等腰三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形 2. 已知△ ABC 中， A ∶ B ∶ C ＝ 1∶ 1∶ 4，则 a ∶ b ∶ c 等于（ ） .A ．1∶ 1∶4B ．1∶1∶2C ．1∶ 1∶ 3D ．2∶ 2∶ 33. 在△ ABC 中，若 sin A sin B ，则 A 与 B 的大小关系为（）.A. A BB. A BC. A ≥BD. A 、 B 的大小关系不可以确立4. 已知 ABC 中， sin A:sin B :sin C 1: 2:3 ，则 a : b: c = ．5. 已知ABC 中，A 60 ， a3 ，则a b c=．sin A sin B sin C课后作业1.已知△ ABC 中， AB ＝6，∠ A＝ 30°，∠ B＝120，解此三角形．2. 已知△ ABC 中， sinA∶ sinB∶ sinC＝ k∶ (k＋1)∶ 2k (k≠0)，务实数k 的取值范围为．。

1．1 正弦定理（一）一.学习目标： 通过正弦定理的推导过程，体会分类和化归的数学思想，理解正弦定理的内容并会用它初步解决与三角形有关的问题.二.课前知多少? 1.见学案12.三角形的分类：3．两向量的数量积：三.合作探究,问题解决:问题一:我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，我们是否能得到这个边、角关系准确量化的表示呢？1.在ABC Rt ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边,根据正弦函数的定义，sin a A c=， sin b B c =. 所以 sin sin a b c A B==. 又 sin 1C =，所以 sin sin sin a b c A B C== 2.对于一般的三角形,以上关系式是否仍然成立?当ABC ∆是锐角三角形时:探究:(1)当ABC ∆是钝角三角形时,以上等式仍然成立吗?(2)是否可以用其他方法证明正弦定理?(3) 设三角形的外接圆的半径是R ，证明：Cc B b A a sin sin sin ==＝2R3.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即:变形：(1) ::a b c =(2) =B a sin ，=C b sin ，=C a sin（3） ab = , ac = , bc = .（4）=B Asin sin ， =C Asin sin ， =C Bsin sin .探究：在三角形中，B A <与B A sin sin <的关系？问题二.正弦定理的应用一般地,把三角形的三个角,,A B C 和它们的对边,,a b c 叫做三角形的 ,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 1.已知任意两角和一边求其余角和边(1)已知12,30,120,b A B ===求a . (2)在ABC ∆中,5,45,105,a B C ===求边c .2.已知任意两边和其中一边的对角,解三角形.(1)已知在ABC ∆中,2,30,4===b B a ，解此三角形.(2)已知在ABC ∆中, 4,30,4===b B a ，解此三角形.(3)已知在ABC ∆中,︒===45,2,3B b a ，解这个三角形四.作业:1.在ABC ∆中，已知 75,60,8===C B a ，则b 等于（ ） A.24 B. 34 C. 64 D.3322.在ABC ∆中，已知,30,10,25 ===A c a 则B 等于（ ）A. 105B. 60C. 15D. 105或 153.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为,,,c b a 已知,1,3,3===b a A π则c 等于（）A.1B.2C.13-D.34. 在ABC ∆中，下列关系中一定成立的是（ ）A.A b a sin <B. A b a sin =C. A b a sin >D. A b a sin ≥5.在ABC ∆中，已知,45,60,12 ===B A BC 则=AC6.若三角形三个内角之比为1：2：3，则这个三角形三边之比是7. 在ABC ∆中，,14,67,60===a b B 则=A8. 在ABC ∆中，已知105,30,20A C c cm ===，求b9.已知三角形的两角分别是,30,45 它们的夹边的长是1，求最小边长。

必修5 1.1.1 正弦定理（学案）【知识要点】1．正弦定理2．正弦定理的变形 【学习要求】1．理解正弦定理的推导过程，会初步应用正弦定理解斜三角形． 2．通过应用提高分析问题、解决问题的能力．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 1 页～第 4 页）1. 在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系．我们如何得到边与角的准确量化表示呢？（1） （1）在RT ABC ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边，依据正弦函数定义得：c = .（2）在锐角ABC ∆中，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数定义得：sin aA= . （3）在钝角ABC ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边，过点A 作AE 垂直于BC 交BC 于E 点，AE = .,即sin sin c bC B=; 同理可得：sin a C = ，故.sin sin sin a b cA B C==2. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， 即A as i n= = . 结合提示完成以下几种方法，帮助大家开拓一下眼界！ 法一：（等面积法）在任意斜△ABC 当中， S △ABC =A bcB acC ab sin 21sin 21sin 21==. 两边同除以abc 21即得：Aasin = = .法二：（外接圆法） 如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ, ∴==R CD 2 . 同理2R = ＝ . 可将正弦定理推广为：A a sin =B b sin =Ccsin =2R （R 为△ABC外接圆半径）. 法三：（向量法）过A 作单位向量j垂直于AC ， 由 AB= + .两边同乘以单位向量j 得j •AB= .即j •AC +j •CB =j •AB .∴ = . ∴A c C a sin sin = . ∴Aasin = . 同理，若过C 作j垂直于CB 得：C c sin = ∴A a sin =B b sin =Ccsin . 3. 定理及其变形 ：（1）sinA:sinB:sinC=______； (2)A a sin =B b sin =C csin =CB A c b a sin sin sin ++++= ； a=______,；b=______ ；c=_______；(4)sinA=_______；sinB=________；sinC=________. 4.思考：观察公式特点，思考正弦定理可以解决的问题： （1） ； （2） ．5. 时解和中，已知在A b a ABC ,∆三角形的情况： 有三种，我们分情况给予讨论（1） 当A 为锐角（2） 当A 为直角或钝角也可利用正弦定理sin B=aAb sin 进行讨论： 如果sin B>l ，则问题无解； 如果sin B=l ，则问题有一解；如果求出sin B<l ，则可得B 的两个值，但要通过“三角形内角和定理’’或“大边对大角” 等三角形有关性质进行判断．【基础练习】1．在△ABC 中，k CcB b A a ===sin sin sin ,则k 为( ) ． ()A 2R ()B R ()C 4R ()D R 21(R 为△ABC 外接圆半径)2.在ABC ∆中，已知08,60,75a B C ===，则b 等于（ ）．()A ()B ()C ()D 32.33.(2008年北京) 已知ABC ∆中， 060a b B ===，则A 等于（ ）．()A 0135 ()B 090 ()C 045 ()D 030.4. 在△ABC 中，sinA ＞sinB 则角 A ，B 的大小关系为： .5. 在ABC ∆中，a:b:c=1:3:5,CA BA sin sin sin sin 2+-的值为___ __.【典型例题】例1 已知在,0.32,8.81,9.420===∆B A c ABC 中，解三角形.【变式练习】已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,100===∆例2 （1）在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，已知===∆（2）C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆【变式练习】在,28,40,200cm b A cm a ABC ===∆中，解三角形（角度精确到01）.例3 不解三角形，判断下列三角形解的个数． (l)a=5,b=4 ，A=120 (2)a =9,b=l0,A= 60 (3)c=50,b=72,C= 135例4 已知△ABC 中，bsin B=csin c ，且试判断三角形的形状．例5 已知△ABC 的面积为1，tanB=21,tanC=-2,求△ABC 的边长以及△ABC 外接圆的面积.1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是 ( ) ． （A ）acos C= ccos A （B ）bsinC= csin A （C ）absin C=bcsin B （D ）aslnC=csin A ．2．在△ABC 中，已知a=18，b=20，A=150，则这个三角形解的情况是 ( ) ． （A ）有一个解 （B ）有两个解 （C ）无解 （D ）不能确定3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A=60,a=3，b=1，则c 等于( ) ．（A ） 1 （B ） 2 （C ）3-1 （D ） 3．4．在△ABC 中，已知(b+c)：（c+a ）：(a+b) = 4：5：6，则 sin A ：sin B ：sin C 等于 ( ) ． （A ） 6:5:4 （B ） 7:5:3 （C ） 3:5:7 （D ） 4:5:6． 二、填空题5．在△ABC 中，A= 45，B=60，则ba ba +-=______ _ ． 6．在△ABC 中，a=x ，b=2，B=45 ，若三角形有两解，则x 的取值范围为__ __． 7．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若b=2a ，B=A+60，则A=____ ． 三、解答题8． 在C a b B A cm c ABC ,,56,34,200和求中，===∆9．在△ABC 中，若a=23,A=30，讨论当b 为何值时（或在什么范围内），三角形有一解，有两解或无解？10.已知方程2x 一(bcos A)x+acos B=0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为两内角,试判定这个三角形的形状．1.（2007年北京）△ABC 中，若,1,150,31tan 0===BC C A ，则=AB ．2.（2007年全国）在△ABC 中，已知内角3π=A ，边32=BC ，设内角,xB =，周长为.y （1）求函数)(x f y =的解析式和定义域； （2）求)(x f y =的最大值.必修5 1.1.1 正弦定理（教案）【教学目标】1．理解正弦定理的推导过程，会初步应用正弦定理解斜三角形． 2．通过应用提高分析问题、解决问题的能力． 【重点】理解正弦定理的及应用． 【难点】正弦定理的熟练变形运用．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 1 页～第 4 页）2. 在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系．我们如何得到边与角的准确量化表示呢？（1） 在RT ABC ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边，依据正弦函数定义得：.sin sin sin a b cc A B C=== （2）在锐角ABC ∆中，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数定义得：.sin sin sin a b cA B C== （3）在钝角ABC ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边，过点A 作AE 垂直于BC 交BC 于E 点，sin sin()AE AB B AC C π==-,即sin sin c bC B=; 同理可得：sin sin a b C B =，故.sin sin sin a b cA B C==2. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， 即A a s i n =B b sin =Cc sin 了解以下几种方法帮助大家开拓一下眼界！ 法一：（等积法）在任意斜△ABC 当中， S △ABC =A bcB acC ab sin 21sin 21sin 21==. 两边同除以abc 21即得：A a sin =B b sin =Ccsin .法二：（外接圆法）如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ,∴==R CD 2DaA a sin sin =.同理B b sin =2R ，Ccsin ＝2R . 可将正弦定理推广为：A a sin =B b sin =Ccsin =2R （R 为△ABC 外接圆半径）. 法三：（向量法）过A 作单位向量j垂直于AC ， 由 AB =AC +CB.两边同乘以单位向量j 得j •(AC+CB )=j •AB .则j •AC +j •CB =j •AB .∴|j |•|AC |cos90︒+|j |•|CB |cos(90︒-C)=| j |•|AB|cos(90︒-A) .∴A c C a sin sin = . ∴A a sin =Ccsin . 同理，若过C 作j垂直于CB 得：C c sin =B b sin ∴A a sin =B b sin =Ccsin .3. 定理及其变形 ：（1）sinA:sinB:sinC=__::a b c ____； (2)A a sin =B b sin =C csin =CB A c b a sin sin sin ++++= 2R ；a=__2sin R A ____,；b=_2sin R B _____ ；c=_2sin R C ______；sinA=__2a R _____；sinB=___2b R _____；sinC=____2c R____. 4.思考：观察公式特点，思考正弦定理可以解决的问题： （1）_已知两角和任意一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和两角． 5. 时解和中，已知在A b a ABC ,∆三角形的情况： 有三种，我们分情况给予讨论（3） 当A 为锐角（4） 当A 为直角或钝角也可利用正弦定理sin B=aAb sin 进行讨论： 如果sin B>l ，则问题无解； 如果sin B=l ，则问题有一解；如果求出sin B<l ，则可得B 的两个值，但要通过“三角形内角和定理’’或“大边对大角” 等三角形有关性质进行判断． 【基础练习】 1．在△ABC 中，k CcB b A a ===sin sin sin ,则k 为( A ) ． ()A 2R ()B R ()C 4R ()D R 21(R 为△ABC 外接圆半径)2.在ABC ∆中，已知08,60,75a B C ===，则b 等于（ C ）．()A ()B ()C ()D 32.33.(2008年北京) 已知ABC ∆中， 060a b B ===，则A 等于（ C ）．()A 0135 ()B 090 ()C 045 ()D 030.4. 在△ABC 中，sinA ＞sinB 则角 A ，B 的大小关系为： A>B .5. 在ABC ∆中，a:b:c=1:3:5,C A B A sin sin sin sin 2+-的值为___16-__.【典型例题】例1 已知在,0.32,8.81,9.420===∆B A c ABC 中，解三角形.【审题要津】已知两角A,B ，据三角形内角和求得第三角C ，即知两角和任意一边，由正弦定理求解三角形.解：根据三角形内角和定理，02.66180=--=B A C .根据正弦定理, )(1.800.32sin 8.81sin 9.42sin sin 00cm A B a b ≈==. 根据正弦定理, )(1.740.32sin 2.66sin 9.42sin sin 0cm A C a c ≈==. 【方法总结】已知两角和任意一边，求解三角形时，注意结合三角形的内角和定理求出已知边的对角；应用正弦定理时注意边与角的对应性.【变式练习】已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,100===∆解：根据三角形内角和定理，0105180=--=C A B .根据正弦定理, ))(26(530sin 105sin 10sin sin 0cm C B c b +===.根据正弦定理, )(21030sin 45sin 10sin sin 0cm C A c a ===. 例2 （1）在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，已知===∆（2）C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆【审题要津】已知两边和其中一边的对角，由正弦定理先求对角，再求第三角.解：(1)根据正弦定理, ,21360sin 1sin sin 0===b B c CB C b c <∴< .300=∴C根据三角形内角和定理，090180=--=B C A .(2) 根据正弦定理, ,23245sin 6sin sin 0===aAc C060=∴>∴>C B C b c 或0120=C .当060=C 时，根据三角形内角和定理，;7518000=--=A C B 当0120=C 时，根据三角形内角和定理，.1518000=--=A C B【方法总结】应用正弦定理时注意边与角的对应性;注意由C sin 求角C 时，讨论角C 为锐角或钝角的情况.【变式练习】在,28,40,200cm b A cm a ABC ===∆中，解三角形（角度精确到01）.解：根据正弦定理, .8999.02040sin 28sin sin 0≈==a A b B 因为,18000<<B 所以,640≈B 或.1160≈B（1）当064≈B 时，076180=--=B A C ，)cm (3040sin 76sin 20sin sin 0≈==A C a c . (2) 当0116≈B 时，024180=--=B A C ，).cm (1340sin 24sin 20sin sin 0≈==A C a c 例3 不解三角形，判断下列三角形解的个数． (l)a=5,b=4 ，A=120(2)a =9,b=l0,A=60 (4)c=50,b=72,C=135【审题要津】已知两边及其中一边的对角的三角形不一定确定，在上述例题中通过求解可以判定解的个数，还可以通过“三角形内角和定理’’或“大边对大角等三角形有关性 质进行判断，也可利用数形结合的办法不求解就能判定三角形解的个数． 解：（1）因为A= 120是钝角，且a=5>b=4 ， 所以此三角形只有一解． （2）b a A b A b <<∴<==sin ,97535sin ，由图可知该三角形有两解．（3）因为C=135，c=50 <b=72,所以如下图知此三角形无解．【方法总结】时解和中，已知在A b a ABC ,∆三角形的情况： 有三种，我们分情况给予讨论（5） 当A 为锐角（6） 当A 为直角或钝角也可利用正弦定理sin B=aAb sin 进行讨论： 如果sin B>l ，则问题无解； 如果sin B=l ，则问题有一解；如果求出sin B<l ，则可得B 的两个值，但要通过“三角形内角和定理’’或“大边对大角” 等三角形有关性质进行判断．例4 已知△ABC 中，bsin B=csin c ，且试判断三角形的形状．【审题要津】从正弦定理的形式可以看出定理能进行边与角的转化，这里条件中有角也有边，转化为相同的形式便于进一步探究.解：根据正弦定理将C B A 222sin sin sin +=可化为222c b a +=，由勾股定理逆定理得△ABC 为直角三角形，且.900=∠A 又因为,sin sin C B c b =所以bsin B=csin c 可化为,b c c b =即c b c b ==即,22，故该三角形为等腰直角三角形．【方法总结】三角形的形状常有等腰、等边、直角等特殊的三角形，判定中将角化为边或将边化为角是常用的思路．例4 已知△ABC 的面积为1，tanB=21,tanC=-2,求△ABC 的边长以及△ABC 外接圆的面积. 【审题要津】从正弦定理的形式可以看出定理反映了三角形的边与对角的正弦的比值的关系，这里给出角B,C 的正切，利用同角的基本关系式进行转化. 解：.552cos ,55sin ,20,21tan ==∴<∠<=B B B B π 又.55cos ,552sin ,2,2tan -==∴<∠<-=C C C C ππ.53sin cos cos sin )sin(sin =+=+=∴C B C B C B A .53sin sin ,sin sin b B A b a B b A a ==∴= ,15525321sin 212=∙∙==∴∆b C ab S ABC 解得,315=b 于是.3=a 又由正弦定理知： ,3152sin sin ==A C a c 外接圆的直径.635,335sin 2=∴==R A a R 故△ABC 外接圆的面积为.12252ππ==R S 【方法总结】学习本节时要综合运用同角三角函数关系式，正弦定理和三角形的面积公式进行计算，加强知识间的联系.1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是 ( D ) ．（A ）acos C= ccos A （B ）bsinC= csin A（C ）absin C=bcsin B （D ）aslnC=csin A ．2．在△ABC 中，已知a=18，b=20，A=150，则这个三角形解的情况是 ( C ) ．（A ）有一个解 （B ）有两个解 （C ）无解 （D ）不能确定3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A= 60,a=3，b=1，则c 等于(B ) ．（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3-1 （D ） 3．4．在△ABC 中，已知(b+c)：（c+a ）：(a+b) = 4：5：6，则 sin A ：sin B ：sin C 等于 ( B ) ．（A ） 6:5:4 （B ） 7:5:3 （C ） 3:5:7 （D ） 4:5:6．二、填空题5．在△ABC 中，A= 45，B= 60，则b a b a +-=______562-_ ． 6．在△ABC 中，a=x ，b=2，B= 45 ，若三角形有两解，则x 的取值范围为__222<<x __．7．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若b=2a ，B=A+60，则A=__33__ ．三、解答题8． 在C a b B A cm c ABC ,,56,34,2000和求中，===∆解：根据三角形内角和定理，0090180=--=B A C . 根据正弦定理, )(56sin 2090sin 56sin 20sin sin 00cm C B c b ===. 根据正弦定理, )(34sin 2090sin 34sin 20sin sin 000cm C A c a ===. 9．在△ABC 中，若a=23,A= 30，讨论当b 为何值时（或在什么范围内），三角形有一解，有两解或无解？解：由上图知：当,30sin ,sin b a b b a A b <<<<即该三角形有两解，故3432<<b 时，该三角形有两解．当,sin b a a A b >=或该三角形有一解，故32034<<=b b 或时，该三角形有两解．当,sin a A b >即,34>b 该三角形有两解．10.已知方程2x 一(bcos A)x+acos B=0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为两内角,试判定这个三角形的形状．解：设方程的两根为,,21x x 由韦达定理得,cos ,cos 2121B b x x A b x x ==+由题意得,cos cos B a A b =由正弦定理得,cos sin 2cos sin 2B A R A B R =在△ABC 中，,,0,0ππππ<-<-<<<<B A B A,0=-∴B A 故△ABC 为等腰三角形.1.（2007年北京）△ABC 中，若,1,150,31tan 0===BC C A ，则AB 210 ． 2.（2007年全国）在△ABC 中，已知内角3π=A ，边32=BC ，设内角,x B =，周长为.y （1）求函数)(x f y =的解析式和定义域；（2）求)(x f y =的最大值.解：(1) △ABC 的内角和π=++CB A , 由3π=A ，0,0>>C B 得320π<<B . 应用正弦定理得,sin 4sin sin x B ABC AC =∙= ).32sin(4sin sin x C A BC AB -=∙=π 因为,BC AB AC y ++= 所以)320(32)32sin(4sin 4ππ<<+-+=x x x y .（2）因为32)32sin(4sin 4+-+=x x y π ),6566(32)6sin(34ππππ<+<+-=x x 所以，当26ππ=+x ，即3π=x 时，取得最大值.36。

1.1.1正弦定理班级： 姓名： 编者： 高二数学备课组 问题引航2. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题。

自主探究在ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，1.大角对 边，小角对 边。

2.在ΔABC 中，C B A ∠-=∠+∠π,即 =+)sin(B A sin ,也就是互补的两个角的正弦值 。

3.①在Rt ΔABC 中，∠C=900, A c sin = ,B c sin = ，即sin a A = = 。

② 在锐角ΔABC 中，过C 做CD ⊥AB 于D ，则CD = = ，即sin a A = ，同理得 ，故有sin aA = 。

③ 在钝角ΔABC 中，∠B 为钝角，过C 做CD ⊥AB 交AB 的延长线D ，则CD= = ，即sin a A = ，故有sin a A= 。

互动探究一．新课导入，推导公式.（1）直角三角形中（2）斜三角形中正弦定理是：二．典例解析例1．在∆ABC 中，已知c =10，∠030=A ，∠0120=C ，求b 。

例2．在ΔABC 中,,316,16==b a ∠030=A ，求∠B 。

当堂检测1.已知在ΔABC 中,0075,60,18=∠=∠=C B a ，求b .2.在ΔABC 中，350,150,300===∠b c B ，则ΔABC 的形状是（ ）。

A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.直角三角形或等腰三角形知识拓展中，三内角的正弦比为4:5:6，有三角形的周长为7.5，则三角形三边长分别为： 。

作业4页练习题1，2题.自我评价）Ａ．非常好 Ｂ．较好 Ｃ．一般 Ｄ．较差 Ｅ．很差。

教学目标：能够运用正弦定理和余弦定理理解三角形的知识，解决不可到达的距离测量问题、角度问题.知识点：1.基本概念:基线：方位角：2.用正弦定理、余弦定理解决实际问题的一般步骤：⑴分析：理解题意，分清已知和未知，画出示意图；⑵建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；⑶求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；⑷检验：检验上述所求的三角形是否具有实际意义，从而得出实际问题的解.（一） 复习正弦定理，余弦定理.（二） 新授：（I ）距离问题例1. 如图，设A,B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离.测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是55cm ，0075,51=∠=∠ACB BAC .求A 、B 两点间的距离（精确到0.1 cm ）.注：测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，实际上就是已知三角形两个角和一边解三角形问题，用 正弦定理 就可解决问题.例2.如图，A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A 、B 两点间距离的方法.注：测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用余弦定理 求三角形的边长问题，然后转化为例1.（II ）角度问题例3.如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东075的方向航行67.5n mile 后到达海岛B ，然后从B 出发，沿北偏东032的方向航行54.0n mile 后到达海岛C.如果下次航行直接从A 出发到达C ，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？（角度精确到01.0，距离精确到0.01n mile ）注：测量角度问题就是在三角形内利用 正弦定理 和 余弦定理 求角的正弦值或余弦值，再根据需要求出所求的角.通常在求角时多选用余弦定理的推论，因为余弦函数在（π,0）上单调递减，求出余弦值后只有一个角与之对应. 作业：1.如图，为了测量障碍物两侧A 、B 间的距离，给定下列四组数据，测量时应当用数据（ ）A. b a ,,αB. a ,,βαC. γ,,b aD. b ,,βα2.已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于akm ，灯塔A 在观察站C 的北偏东020，灯塔B 在观察站C 的南偏东040，则灯塔A 与B 的距离为（ ）A. akmB. akm 3C.akm 2 D. akm 2 3.某人朝正东方向走xkm 后，向后转0150，然后朝新方向走km 3，结果他离出发点恰好,3km 那么x 的值为（ ）A. 3B. 32C. 332或D. 34.已知A,B 两岛相距10n mile,从A 岛看B,C 两岛的视角是060，从B 岛看A,C 两岛的视角是075，则B,C 两岛的距离为 n mile.5.如图，要测量河对岸A,B 两点间的距离，今沿河岸选取相距40m 的C,D 两点，测得,30,45,60000=∠=∠=∠ADC BCD ACB 则AB 的距离是 m.6.货轮在海上以35n mile/h 的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为0150的方向航行.为了确定船位，在B 点观察灯塔A 的方位角为0120，航行半小时后到达C 点，观察灯塔A 的方位角是060.求货轮到达C 点时与灯塔A 的距离.7.一架飞机下A 地飞往B 地，两地相距km 700.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成030角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成045的方向继续飞行直到终点.这样飞机的飞行路程比原来的路程km 700远了多少？8.一架飞机以h km /326的速度，沿北偏东075的航向从城市A 出发向城市B 飞行，min 18以后，飞机由于天气原因按命令改飞另一城市C ，问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行，此时离城市C 的距离是多少？写出简单求解步骤.（如：第一步 由――求得――,不必求出具体数值）.9.如图，在铁路建设中需要确定隧道的长度和隧道两端的施工方向.已测得隧道两端的两点A 、B 到某一点C 的距离b a ,及α=∠ACB ，求A 、B 两点之间的距离，以及BAC ABC ∠∠,.。

1.1.2余弦定理一、教学目标： 1、掌握余弦定理；2、运用余弦定理解三角形。

二、教学重点：余弦定理的发现和证明过程； 教学难点：余弦定理的基本应用； 三、教学过程： 1、复习回顾：正弦定理： sin sin sin abcABC ==2、引入： 探究：P 53、余弦定理的证明：如图，设c AB b CA a CB ===,,，那么b a c -=，则c c c ⋅=2b rA=()()b a b a -⋅-c r=b a b b a a ⋅-⋅+⋅2 C a rB =b a b a ⋅-+222从而 2222cos c a b ab C =+-同理可证 2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+-。

4、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的弦 的积的两倍。

即：2222cos a b c bc A =+-； 2222cos b a c ac B =+-； 2222cos c a b ab C =+-。

3.2 一元二次不等式及其解法一、教学目标：1、一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系；2、一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系3、培养数形结合的能力.二、教学重点：熟练掌握一元二次不等式的解法;教学难点：理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系。

三、教学过程： 1、复习回顾：一元二次方程、二次函数。

2、引入：P 76 互联网的收费问题。

3、一元二次不等式：(1) 一元二次不等式的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.(2) 一元二次不等式250x x -<的解集：画出二次函数25y x x =-的图象，如图，观察函数图象，可知： 当 x<0，或x>5时，函数图象位于x 轴上方，此时，y>0,即250x x ->； 当0<x<5时，函数图象位于x 轴下方，此时，y<0,即250x x -<； 所以，不等式250x x -<的解集是{}|05x x <<.(3) 探究一般的一元二次不等式的解法(a>0) 0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=23.3.2 简单的线性规划问题一、教学目标：1、了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；2、了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题。

正弦定理()【学习目标】、掌握正弦定理及其证明；、能运用正弦定理解决简单的解三角形问题.【重点难点】正弦定理的证明.【自主学习】一、知识回顾、三角形的三边关系;、三角形的三个内角的关系是;、确定一个三角形的条件有哪些？二、问题情境如图，某人在山脚处测得山顶的仰角为︒30，沿直线前进了米后到达处，又测得山顶的仰角为︒45，求三、数学建构角关系.=Asin=Bsin=Csin即Aasin Bbsin Ccsin证明对于任意三角形，都有CcB b A a sin sin sin ==吗？阅读课本中的证明方法，回答下列问题：1、 证明法中为什么要对角分锐角、钝角讨论？2、 写出为钝角时的证明过程。

正弦定理：在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，那么sin sin sin a b cA B C==一般的，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的叫做解三角形【典型例题】例、已知.,,20,45C ,30A c b a ABC 求中，=︒=︒=∆例、已知.ABC ,45,2,3,解三角形中︒===∆B b a ABC变式、.ABC ,45,2,1,解三角形中︒===∆B b a ABC变式、.ABC ,45,2,4,解三角形中︒===∆B b a ABC【小结】：、已知A ,和b a ，解三角形时完成下表:、利用正弦定理能解决的两类有关的三角形问题：、在解三角形的过程中，真正取舍的依据是：【巩固练习】、:1:4C ::A =∆B ABC 中，在.、__________1,c ,60C ,45则最短边的长度是中，在=︒=︒=∆B ABC . 、__________,334b ,22c ,45===︒=∆A B ABC 则中，在. 、不解三角形，确定下列判断是否正确有两解,30,14,7︒===A b a （ ） 有一解,150,25,30︒===A b a （ ） 有两解,45,9,6︒===A b a （ ）无解,60,10,9︒===B c b （ ）．正弦定理（）【学习目标】1、 了解正弦定理的第三种证明方法；2、 进一步学习正弦定理，会利用正弦定理证明简单三角形问题和判断三角形的形状；3、 会利用正弦定理求解简单的实际问题.【重点难点】正弦定理的变形及应用.【自主学习】一、知识回顾：正弦定理.问题：你还有其他方法来证明正弦定理吗？二、问题情境在Rt ABC ∆中，斜边c 与Rt ABC ∆外接圆的 直径2R ，是什么关系 故有2sin sin sin a b cR A B C===，这 一关系对任意三角形都成立吗（如图）？探索并证 明你的结论.三、建构数学 正弦定理：.变形（）2sin a R A =，b =，c =. （），sin 2bB R=，. （）sin :sin :sin A B C =.【典型例题】例、在△中，已知cos cos cos a b cA B C==，试判断△的形状.例、在△中，是∠的平分线，用正弦定理证明AB BDAC DC=.例、某登山队在山脚处测得山顶的仰角为°，沿倾斜角为°的斜坡前进1000m 后到达处，又测得山顶的仰角为°，求山的高度.【巩固练习】（）在△中，若60A =,a =sin sin sin a b cA B C++=++.()根据下列条件，判断△的形状：①222sin sin sin A B C +=； ②cos cos a A b B =；③sin cos cos A B Ca b c==.（）为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A ,B .要测算出A ,B 两点间的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得80BC m =，75B ∠=，45C ∠=，试计算AB 的长.．正弦定理（）【学习目标】、会利用正弦定理解决简单的三角形问题； 、掌握三角形的另一种面积公式及其应用。

山东省聊城四中2014高中数学 1.1.1 正弦定理（第2课时）学案（无答案）新人教A 版必修5【学习目标】能熟练应用正弦定理解三角形；解决关于三角形形状和面积的问题 ；【复习】：正弦定理内容：小结：由正弦定理可得如下变形：（1）.sin 2,sin 2,sin 2C R c B R b A R a ===（2）Rc C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===；由（1）（2）可以实现三角形中边与角之间的相互转化，这是正弦定理除了求边，求角之外的另一重要功能。

三角形的面积公式:S = S =【新课】类型一：画图判断三角形解的个数例1.（1）已知在ABC ∆中， 2,30b c C ===那么解此三角形可得（ ）A ．一解 B.两解 C.无解 D.解的个数不确定（2）已知在ABC ∆中，,2,45a x b B ===若三角形有两解，则x 的取值范围（ ）A ．2x > B.2x < C.2x <<2x <<类型二：通过边角转换判断三角形形状⎩⎨⎧由角来判断由边来判断例2. 已知在ABC ∆中，sin sin b B c C =且222sin sin sin A B C =+，试判断三角形的形状。

变式：（1）在ABC ∆中，已知22tan tan a B b A =，则此三角形的形状（2）在ABC ∆中，如果,22,45c a B == 试判断三角形形状。

作业：1.不解三角形，确定下列判断中正确的是（ ）A ． 7,14,30,a b A ===有两解； B.30,25,150,a b A ===有一解；C.6,9,45,a b A ===有两解；D.9.10,60,b c B ===无解；2. 在ABC ∆中， ,,45,a b A λ===则满足此条件的三角形的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.无数个3. 在ABC ∆中，60B =，最大边与最小边之比为1):2，则最大角为（ ）A.45B.60C.75D.904.ABC ∆中，,3,3==BC A π则ABC ∆的周长为（ ） A.3)3sin(34++πB B. 3)6sin(34++πB C. 3)3sin(6++πB D. 3)6sin(6++πB*11. 在ABC ∆中，三个内角C B A ,,的对边分别是,,,c b a 其中10=c 且34cos cos ==a b B A 。

课题： 正弦定理【学习目标】1.掌握正弦定理的内容2.会用正弦定理解三角形第一环节：导入学习（约3分钟）a ,sin sin sin ABC A B C b c A B C==在直角三角形中，角C 为直角，角、、对应的边分别为a,b,c,则sinA=______,sinB=_______,sinC=________.所以那么，对于一般三角形，以上关系是否存在呢？第二环节：自主学习（知识点以题的形式呈现）（约15分钟）（一）基础学习（本课需要掌握的基础知识）1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和他所对的角的 相等，即a s i n s i n s i nbcA B C == 2. 三角形的三个角A ，B ，C 和它所对的边a,b,c 叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做3. 正弦定理可以解决哪些解三角形的问题（1）（2）类型1已知两角和一边，求其它 1.?,20,ABC a A =≈例已知在三角形中＝30，Ｃ＝45，求B ，b ，c(sin1050.966)类型2：已知两边及一边的对角，解三角形 ⑴若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinA asin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a已知边a,b 和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA⑵若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)(b a 锐角一解无解b a例2.已知下列各三角形中两边及一边的对角，先判断是否有解，有解的作出解答 （1）a=7,b=8,A=105(2) a=10,b=20,A=80(3)b=10,c=65 ,C=60 (4) a=（二）深入学习（需掌握的知识转化成能力——知识运用）1.,ABC A C a b 已知在中，＝60，Ｂ＝45，ｃ＝20，求，2.3c 1,ABC B C b 中，=０，=45，=求及三角形外接在三角形圆的半径3.在∆ABC 中，A=45，a=2, b=2,求B ，C ，c第四环节：展示学习（约7分钟）第五环节：精讲学习（学生对应的是反思学习）（约8分钟）（1）定理的表示形式：sin sin a b A B =sin c C ==++=++2sin sin sin a b cR A B C；或=2sin a R A ，=2sin b R B ，=2sin c R C (0)k >（2）正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边及一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角 已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况:。

正弦定理【使用说明】.：1课前完成预习学案的问题导学及问题。

2认真限时完成，规范书写。

课上小组合作探讨，答疑解惑。

一.学习目标：1.在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系—正弦定理。

2.掌握正弦定理，能初步运用正弦定理解一些斜三角形；3.能够运用正弦定理解决某些与测量和几何有关的实际问题。

二.问题导学1.正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的_______的比相等，即_______。

2.一般地，把三角形的三个角C B A ,,和它们所对的边c b a ,,叫做三角形 ，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做 。

3.用正弦定理可解决下列那种问题三.例题分析典例1.已知：在ABC ∆中，45=∠A ，30=∠C ，10=c ，解此三角形。

导拨：在该题中，已知C 及c,可以利用正弦定理列出方程进行求解。

规律总结：已知三角形两角及其中一角的对边求解三角形这种情况只有一种，处理方法主要借助于正弦定理解方程，在求方程的过程中我们要分清角及其角的对边，搞清楚各个量之间的关系。

考查目标二：已知三角形两边及其中一边的对角求解三角形。

典例2.已知下列三角形的两边及其一边的对角，判断三角形的情况，有解的作出解答。

导拨：已知三角形两边及其中一边的对角求解三角形的有可能有两种情况，具体有几解可以借助于《疑难导析》1中的方法解决。

（1）a=7,b=9,A=1000(2)a=10,b=20,A=750(3)a=10,c=56,C=600(4)a=2030A 6b 3==，，规律总结：已知三角形两边及其中一边的对角求解三角形的有可能有两种情况，具体方法可四.合作交流1. 已知：在ABC ∆中，45=∠A ，6=AB ，2=BC ，解此三角形。

2. 在ABC 2AC 32AB 30B ABC 0∆===∆，求，，中，若的面积。

基础练习（一）.选择题1．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于 ( ) A ．30° B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°2．在△ABC 中，若B A sin sin >，则A 与B 的大小关系为 （ ）A. B A >B. B A <C. A ≥BD.A B 的大小关系不能确定 3.在ABC ∆中，若A b a sin 23=，则B 等于 （ ） A.30 B.60 C.30或150 D.60或1204．已知等腰ABC △的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是 （ ）（A ）2（B（C ）8（D ）75．不解三角形，确定下列判断中正确的是 （ ）A.30,14,7===A b a ，有两解 B.150,25,30===A b a ,有一解 C.45,9,6===A b a ，有两解 D.60,10,9===A c b ，无解 6．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( ). A ．9B ．18C ．93D ．1838.在ABC ∆中， 60=A ,3=a ，则=++++CB A cb a sin sin sin （ ）A.338 B. 3392 C. 3326 D. 32 （二）.填空9．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边长分别为a ，b ，c ．若sin A :sin B :sin C =5:7:8，则a :b :c =10．一船以每小时15km 的速度向东航行,船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60，行驶４h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为 ______km ． （三）.解答题11. 在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，AB =3，求tan A 的值和ΔABC 的面积．。

1.1.1 正弦定理学习目标1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解决解三角形的两类基本问题.3.从已有的几何知识出发,探究在任意三角形中,边与其对角的关系.4.通过观察、推导、比较,经历由特殊到一般的思维过程归纳出正弦定理.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:在Rt△ABC中,角C为直角,我们知道sin A=,sin B=,sin C=1=.这三个式子中都含有哪个边长?问题2:那么通过这三个式子,边长c有几种表示方法?c=此关系式能不能推广到任意三角形?二、信息交流,揭示规律同学们猜想:在任意的△ABC中,各边和它所对角的正弦的比相等,即.通过实验后,猜想成立,即有下面的结论:在任意的△ABC中,各边和它所对角的正弦的比相等,即.问题3:正弦定理如何表述?问题4:观察正弦定理,我们可以解决什么问题?三、运用规律,解决问题【例1】在△ABC中,已知A=32.0°,B=81.8°,a=42.9cm,解三角形(边长精确到0.1cm).【例2】在△ABC中,已知a=20cm,b=28cm,A=40°,解三角形(角度精确到1°,边长精确到1cm).四、变式训练,深化提高【例3】已知在△ABC中,c=10,A=45°,C=30°,求a,b和B.【例4】在△ABC中,c=,A=45°,a=2,求b和B,C.五、限时训练(一)选择题1.在△ABC中,a=10,B=60°,C=45°,则c等于()A.10+B.10(-1)C.+1D.102.在△ABC中,若,则B的值为()A.30°B.45°C.60°D.90°3.已知△ABC的面积为,且b=2,c=,则∠A等于()A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°4.△ABC中,A,B的对边分别为a,b,且A=60°,a=,b=4,那么满足条件的△ABC()A.有一个解B.有两个解C.无解D.不能确定5.在△ABC中,已知a=x,b=2,B=60°,如果△ABC有两组解,则x的取值范围是()A.x>2B.x<2C.2<x<D.2<x≤(二)填空题6.在△ABC中,若A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c=.7.在△ABC中,a=5,B=135°,C=15°,则此三角形的最大边长为,外接圆半径为.8.在△ABC中,A=60°,B=45°,a+b=12,则a=;b=.(三)解答题9.在△ABC中,已知AB=10,A=45°,在BC边的长分别为20,,5的情况下,求相应的角C.10.在△ABC中,b=,B=60°,c=1,求a和A,C.六、反思小结,观点提炼通过本节课的研讨,请大家谈谈自己的体会.(1)在本节课中,学习了哪些知识?(2)包含了哪些数学思想和数学方法?参考答案一、设计问题,创设情境问题1:都含有边长c.问题2:二、信息交流,揭示规律问题3:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.问题4:①已知任意两个角和一边,可以求出另一角和另外两边.②已知两边和其中一边的对角,可以求出另一边和另外两角.三、运用规律,解决问题【例1】解:根据三角形内角和定理,C=180°-(A+B)=180°-(32.0°+81.8°)=66.2°根据正弦定理,b=≈80.1(cm);根据正弦定理,c=≈74.1(cm).【例2】解:根据正弦定理,sin B=≈0.8999.因为0°<B<180°,所以B≈64°,或B≈116°.(1)当B≈64°时,C=180°-(A+B)≈180°-(40°+64°)=76°,c=≈30(cm);(2)当B≈116°时,C=180°-(A+B)≈180°-(40°+116°)=24°,c=≈13(cm).四、变式训练,深化提高【例3】解:∵c=10,A=45°,C=30°,∴B=180°-(A+C)=105°.由,得a==10;由,得b==20sin75°=20×=5+5.【例4】解:∵,∴sin C=.∵a<c,∴C=60°或120°.∴当C=60°时,B=75°,b=+1;∴当C=120°时,B=15°,b=-1.∴b=+1,B=75°,C=60°或b=-1,B=15°,C=120°.五、限时训练1.B2.B3.D4.C5.C6.1∶∶27.5 58.12(3-)12(-2)9.解:由正弦定理,得sin C=.(1)当BC=20时,sin C=,∵BC>AB,∴A>C,∴C=30°;(2)当BC=时,sin C=.∵AB·sin45°<BC<AB,∴C有两解,∴C=60°或120°;(3)当BC=5时,sin C=2>1,∴C不存在.10.解:∵,∴sin C=.∵b>c,B=60°,∴C<B,C为锐角,∴C=30°,A=90°,∴a==2.六、反思小结,观点提炼。

第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理(一)课时目标 1.熟记正弦定理的内容.2.能够初步运用正弦定理解斜三角形．1．在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝________，A 2＋B 2＋C 2＝π2.2．在Rt △ABC 中，C ＝π2，则a c ＝________，bc ＝_____________________________. 3．一般地，我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的__________．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做________．4．正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即_______，这个比值是______________________．一、选择题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c 等于( )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶4C ．3∶4∶5D ．1∶3∶2 2．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( ) A.3＋1 B ．23＋1 C ．2 6 D ．2＋2 3 3．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 为( )A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形4．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为( ) A ．A >B B ．A <B C ．A ≥BD ．A ，B 的大小关系不能确定 5．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．60° C ．45° D ．135°6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于( )7．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则C ＝___________________________.8．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.9．在△ABC 中，b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.10．在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若b＝2a，B＝A ＋60°，则A＝______.三、解答题11．在△ABC中，已知a＝22，A＝30°，B＝45°，解三角形．12．在△ABC中，已知a＝23，b＝6，A＝30°，解三角形．能力提升13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若a＝2，b＝2，sin B ＋cos B＝2，则角A的大小为________．14．在锐角三角形ABC中，A＝2B，a，b，c所对的角分别为A，B，C，求ab的取值范围．1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．2．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可能无解，可能一解或两解．例如：已知a、b和A，用正弦定理求B时的1．1.1 正弦定理(一)知识梳理1．π 2.sin A sin B 3.元素 解三角形 4.a sin A ＝b sin B ＝csin C 三角形外接圆的直径2R作业设计 1．D2．C [由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得4sin 45°＝bsin 60°，∴b ＝2 6.]3．A [sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C R )2sin 2A ＝(2R )2sin 2B ＋(2R )2sin 2C ，即a 2＝b 2＋c 2，由勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形．]4．A [由sin A >sin B 2R sin A >2R sin B a >b A >B .]5．C [由a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b sin A a ＝2sin 60°3＝22.∵a >b ，∴A >B ，B <60°.∴B ＝45°.]6．A [∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin(180°－30°－C )＝3sin(30°＋C )＝3⎝⎛⎭⎪⎫32sin C ＋12cos C ，即sin C ＝－3cos C .∴tan C ＝－ 3.又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.] 7．75° 解析 由正弦定理得2sin A ＝6sin 60°，∴sin A ＝22. ∵BC ＝2<AC ＝6， ∴A 为锐角．∴A ＝45°. ∴C ＝75°. 8.102解析 ∵tan A ＝13，A ∈(0°，180°)，∴sin A ＝1010. 由正弦定理知BC sin A ＝AB sin C ， ∴AB ＝BC sin C sin A ＝1×sin 150°1010＝102.9．1解析 由正弦定理，得 3sin 2π3＝1sin B ，∴sin B ＝12.∵C 为钝角，∴B 必为锐角，∴B ＝π6， ∴A ＝π6.∴a ＝b ＝1. 10．30°解析 ∵b ＝2a ∴sin B ＝2sin A ， 又∵B ＝A ＋60°， ∴sin(A ＋60°)＝2sin A ， 即sin A cos 60°＋cos A ，sin 60°＝2sin A ，化简得：sin A ＝33cos A ，∴tan A ＝33，∴A ＝30°. 11．解 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ， ∴b ＝a sin B sin A ＝22sin 45°sin 30°＝22×2212＝4.∵C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋45°)＝105°， ∴c ＝a sin C sin A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝2＋2 3.12．解 a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°. 又因为b sin A ＝6sin 30°＝3，a >b sin A ， 所以本题有两解，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，故B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3. 所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°， c ＝2 3. 13.π6 解析 ∵sin B ＋cos B ＝2sin(π4＋B )＝ 2. ∴sin(π4＋B )＝1. 又0<B <π，∴B ＝π4.由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb ＝2×222＝12.又a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6.14．解 在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C <90°， 即⎩⎨⎧B <90°，2B <90°，180°－3B <90°，∴30°<B <45°.由正弦定理知： a b ＝sin A sin B ＝sin 2B sin B＝2cos B ∈(2，3)， 故ab 的取值范围是(2，3)．。

1．1 正弦定理（一）一.学习目标：经过正弦定理的推导过程，领会分类和化归的数学思想，理解正弦定理的内容并会用它初步解决与三角形相关的问题.二.课前知多少?1.见教案12. 三角形的分类：．两向量的数目积：.合作研究,问题解决:问题一:我们知道，在随意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，我们能否能获得这个边、角关系正确量化的表示呢？1.在RtABC中，C是最大的角，所对的斜边c是最大的边,依据正弦函数的定义，a sinA，cb a bc. sinB.因此sinAsin Bca b c又sinC 1，因此sinA sinB sinC关于一般的三角形,以上关系式能否仍旧建立?当ABC是锐角三角形时:研究:(1)当ABC是钝角三角形时,以上等式仍旧建立吗?(2)能否能够用其余方法证明正弦定理?(3)设三角形的外接圆的半a b c径是R，证明：＝2R sinA sinB sinC正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即:变形：(1)a:b: c(2)asinB，bsinC，asinC（3）a,a,b.b c c（4）sinA，sinA sinB.sinB sinC sinC研究：在三角形中，AB与sinAsinB的关系？问题二.正弦定理的应用一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的,已知三角形的几个元素求其余元素的过程叫做1.已知随意两角和一边求其余角和边(1)已知b 12,A 30o,B 120o,求a.(2) 在ABC中,a 5,B 45o,C 105o,求边c.已知随意两边和此中一边的对角,解三角形.(1)已知在ABC中,a 4,B 30,b 2，解此三角形.(2)已知在ABC中, a 4,B 30,b 4，解此三角形.(3)已知在ABC中,a 3,b 2,B 45，解这个三角形.作业:1.在ABC中，已知a8,B60,C75，则b等于（）A.42B.43C.6D.3232.在ABC中，已知a52,c10,A30,则B等于（）A.105.6C.15D.105或153.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A,a3,b1,则c等于（3C.31 D.34.在ABC中，以下关系中必定建立的是（）A. absinAB.absinAC.a bsinAD.a bsinA5.在ABC中，已知BC12,A60,B45,则AC若三角形三个内角之比为1：2：3，则这个三角形三边之比是7.在ABC中，B60,b76,a14,则A8.在ABC中，已知A105o,C30o,c20cm，求b9.已知三角形的两角分别是45,30,它们的夹边的长是 1，求最小边长。

§1.1.1 正弦定理学习目标1. 掌握正弦定理的内容；2. 掌握正弦定理的证明方法；3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．学习过程一、课前准备试验：固定∆ABC的边CB及∠B，使边AC绕着顶点C转动．思考：∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二、新课导学※学习探究探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt∆ABC中，设BC=a，AC =b ，AB =c ，根据锐角三角函数中正弦函数的定义， 有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C==．(探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B=， 同理可得sin sin c b C B=， 从而sin sin a b A B =sin c C=．类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导.新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即sin sin a b A B =sin c C=．试试：（1）在ABC ∆中，一定成立的等式是（ ）．A ．sin sin a A bB = B .cos cos a A b B =C . sin sin a B b A =D .cos cos a B b A =（2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于 ．[理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =， ，sin c k C =；（2）sin sin a b A B =sin c C =等价于 ，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C． （3）正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B=；b = ． ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值， 如sin sin a A B b=；sin C = ． （4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．※ 典型例题例1. 在ABC ∆中，已知45A =，60B =，42a =cm ，解三角形．变式：在ABC ∆中，已知45B =，60C =，12a =cm ，解三角形．例2. 在6,45,2,,ABC c A a b B C ∆===中，求和．变式：在3,60,1,,ABC b B c a A C ∆===中，求和．三、总结提升※ 学习小结1. 正弦定理：sin sin a b A B =sin c C= 2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义， 还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法.3．应用正弦定理解三角形：①已知两角和一边；②已知两边和其中一边的对角．※ 知识拓展 sin sin a b A B =2sin c R C==，其中2R 为外接圆直径. 学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 在ABC ∆中，若cos cos A b B a=，则ABC ∆是（ ）. A ．等腰三角形 B ．等腰三角形或直角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形2. 已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，则a ∶b ∶c 等于（ ）.A ．1∶1∶4B ．1∶1∶2C ．1∶1∶3D ．2∶2∶33. 在△ABC 中，若sin sin A B >，则A 与B 的大小关系为（ ）.A. A B >B. A B <C. A ≥BD. A 、B 的大小关系不能确定4. 已知∆ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，则::a b c = ．5. 已知∆ABC 中，∠A 60=︒，3a =，则sin sin sin a b c A B C++++= ． 课后作业1. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120︒，解此三角形．2. 已知△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝k∶(k＋1)∶2k (k≠0)，求实数k的取值范围为．§1.1.2 余弦定理学习目标1. 掌握余弦定理的两种表示形式；2. 证明余弦定理的向量方法；3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．学习过程一、课前准备复习1：在一个三角形中，各和它所对角的的相等，即= = ．复习2：在△ABC中，已知10c=，A=45︒，C=30︒，解此三角形．思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？二、新课导学※ 探究新知问题：在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b .∵AC = ，∴AC AC ∙=同理可得： 2222cos a b c bc A =+-，2222cos c a b ab C =+-．新知：余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍．思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ 从余弦定理，又可得到以下推论： 222cos 2b c a A bc+-=， ， ．[理解定理]（1）若C =90︒，则cos C = ，这时222c a b =+ 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．（2）余弦定理及其推论的基本作用为：c a b A B C①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角．试试：（1）△ABC 中，33a =，2c =，150B =，求b ．（2）△ABC 中，2a =，2b =，31c =+，求A ．※ 典型例题例1. 在△ABC 中，已知3a =，2b =，45B =，求,A C 和c ．变式：在△ABC中，若AB＝5，AC＝5，且cos C＝910，则BC＝________．例2. 在△ABC中，已知三边长3a=，4b=，37c=，求三角形的最大内角．变式：在∆ABC中，若222=++，求角A．a b c bc三、总结提升※学习小结1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；2. 余弦定理的应用范围：①已知三边，求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边．※知识拓展在△ABC中，若222a b c+=，则角C是直角；若222+<，则角C是钝角；a b c若222+>，则角C是锐角．a b c学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 已知a＝3，c＝2，B＝150°，则边b的长为（）.A. 342B. 34C.222D. 222. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（）.A．60B．75C．120D．1503. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（）.A．513x<<B．13＜x＜5C．2＜x＜5D．5＜x＜54. 在△ABC中，|AB|＝3，|AC|＝2，AB与AC的夹角为60°，则|AB－AC|＝________．5. 在△ABC中，已知三边a、b、c满足222b ac ab+-=，则∠C等于．课后作业1. 在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cos C＝1314，求最大角的余弦值．2. 在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，求AB BC的值.§1.1 正弦定理和余弦定理（练习）学习目标1. 进一步熟悉正、余弦定理内容；2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形．学习过程一、课前准备复习1：在解三角形时已知三边求角，用 定理；已知两边和夹角，求第三边，用 定理；已知两角和一边，用 定理．复习2：在△ABC 中，已知 A ＝6π，a ＝252，b ＝502，解此三角形．二、新课导学※ 学习探究探究：在△ABC 中，已知下列条件，解三角形.① A ＝6π，a ＝25，b ＝502；② A ＝6π，a ＝5063，b ＝502； ③ A ＝6π，a ＝50，b ＝502.思考：解的个数情况为何会发生变化？新知：用如下图示分析解的情况（A 为锐角时）．b a b a b a b a a 已知边a,b 和∠A仅有一个解有两个解仅有一个解无解a ≥b CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinAA CB ACB1A B A C B2C HH H 试试：1. 用图示分析（A 为直角时）解的情况？2．用图示分析（A 为钝角时）解的情况？※ 典型例题例1. 在∆ABC 中，已知80a =，100b =，45A ∠=︒，试判断此三角形的解的情况．变式：在∆ABC 中，若1a =，12c =，40C ∠=︒，则符合题意的b 的值有_____个．例2. 在∆ABC 中，60A =︒，1b =，2c =，求sin sin sin a b c A B C++++的值．变式：在∆ABC 中，若55a =，16b =，且1sin 22032ab C =，求角C ．三、总结提升※学习小结1. 已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）；2. 已知三角形三边问题（用余弦定理解决）；3. 已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）；4. 已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、两解和无解三种情况）．※知识拓展在∆ABC中，已知,,a b A，讨论三角形解的情况：①当A为钝角或直角时，必须a b>才能有且只有一解；否则无解；②当A为锐角时，如果a≥b，那么只有一解；如果a b<，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若sin>，则有两解；a b A（2）若sin=，则只有一解；a b A（3）若sina b A<，则无解．学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 已知a 、b 为△ABC 的边，A 、B 分别是a 、b 的对角，且sin 2sin 3A B =，则a b b +的值=（ ）. A. 13 B. 23 C. 43 D. 532. 已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（ ）.A ．135°B ．90°C ．120°D ．150°3. 如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为（ ）.A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加长度决定4. 在△ABC 中，sin A :sin B :sin C ＝4:5:6，则cos B ＝ ．5. 已知△ABC 中，cos cos b C c B =，试判断△ABC 的形状 ． 课后作业1. 在∆ABC 中，a xcm =，2b cm =，45B ∠=︒，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围．2. 在∆ABC中，其三边分别为a、b、c，且满足2221sin24a b cab C+-=，求角C．§1.2应用举例—①测量距离学习目标能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题学习过程一、课前准备复习1：在△ABC中，∠C＝60°，a＋b＝232+，c＝22，则∠A为 .复习2：在△ABC中，sin A＝sin sincos cosB CB C++，判断三角形的形状.二、新课导学※典型例题例1. 如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=51︒，∠ACB=75︒. 求A、B两点的距离(精确到0.1m).提问1： ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边.新知1：基线在测量上，根据测量需要适当确定的叫基线.例2. 如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法.分析：这是例1的变式题，研究的是两个的点之间的距离测量问题.首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点.根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离.变式：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得∠BCA=60°，∠ACD=30°，∠CDB=45°，∠BDA =60°.练：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东60°，则A、B之间的距离为多少？三、总结提升※学习小结1. 解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.2．基线的选取：测量过程中，要根据需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 水平地面上有一个球，现用如下方法测量球的大小，用锐角45︒的等腰直角三角板的斜边紧靠球面，P 为切点，一条直角边AC 紧靠地面，并使三角板与地面垂直，如果测得PA =5cm ，则球的半径等于（ ）.A ．5cmB ．52cmC ．5(21)cm +D ．6cm2. 台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为（ ）.A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时3. 在ABC ∆中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+，则ABC ∆的形状（ ）.A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形4.在ABC ∆中，已知4a =，6b =，120C =，则sin A 的值是 ．5. 一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60，行驶４h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为 km ． 课后作业P A C1. 隔河可以看到两个目标，但不能到达，在岸边选取相距3km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，A、B、C、D在同一个平面，求两目标A、B间的距离.2. 某船在海面A处测得灯塔C与A相距103海里，且在北偏东30︒方向；测得灯塔B 与A相距156海里，且在北偏西75︒方向. 船由A向正北方向航行到D处，测得灯塔B 在南偏西60︒方向. 这时灯塔C与D相距多少海里？§1.2应用举例—②测量高度学习目标1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题；2. 测量中的有关名称.学习过程一、课前准备复习1：在∆ABC中，cos5cos3A bB a==，则∆ABC的形状是怎样？复习2：在∆ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若::a b c=1:1:3，求A:B:C的值.二、新课导学※学习探究新知：坡度、仰角、俯角、方位角方位角---从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角；坡度---沿余坡向上的方向与水平方向的夹角；仰角与俯角---视线与水平线的夹角当视线在水平线之上时，称为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角.探究：AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.分析：选择基线HG，使H、G、B三点共线，要求AB，先求AE在ACE∆中，可测得角，关键求AC在ACD∆中，可测得角，线段，又有α故可求得AC※典型例题例1. 如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α=5440'︒，在塔底C处测得A处的俯角β=501'︒. 已知铁塔BC部分的高为27.3 m，求出山高CD(精确到1 m)例2. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15︒的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25︒的方向上，仰角为8︒，求此山的高度CD.问题1：欲求出CD，思考在哪个三角形中研究比较适合呢？问题2：在∆BCD中，已知BD或BC都可求出CD，根据条件，易计算出哪条边的长？变式：某人在山顶观察到地面上有相距2500米的A、B两个目标，测得目标A在南偏西57°，俯角是60°，测得目标B在南偏东78°，俯角是45°，试求山高.三、总结提升※学习小结利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化.※知识拓展在湖面上高h处，测得云之仰角为α，湖中云之影的俯角为β，则云高为sin() sin() hαβαβ+-.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 在∆ABC中，下列关系中一定成立的是（）.A．sina b A>B．sina b A=C．sina b A<D．sina b A≥2. 在∆ABC中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC上的高为（）.A．322B．332C．32D．333. D、C、B在地面同一直线上，DC=100米，从D、C两地测得A的仰角分别为30和45，则A点离地面的高AB等于（）米．A．100 B．503C．50(31)-D．50(31)+4. 在地面上C点，测得一塔塔顶A和塔基B的仰角分别是60︒和30︒，已知塔基B高出地面20m，则塔身AB的高为_________m．5. 在∆ABC中，22b=，2a=，且三角形有两解，则A的取值范围是．课后作业1. 为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，则塔AB的高度为多少m？2. 在平地上有A、B两点，A在山的正东，B在山的东南，且在A的南25°西300米的地方，在A侧山顶的仰角是30°，求山高.§1.2应用举例—③测量角度学习目标能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题. 学习过程一、课前准备复习1：在ABC △中，已知2c =，3C π=，且1sin 32ab C =，求a b ，.复习2：设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A =60，3c =，求a c的值.二、新课导学※典型例题例1. 如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75︒的方向航行67.5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32︒的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离?(角度精确到0.1︒，距离精确到0.01n mile)分析：首先由三角形的内角和定理求出角∠ABC，然后用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角∠CAB.例2. 某巡逻艇在A处发现北偏东45︒相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75︒的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？※动手试试练1. 甲、乙两船同时从B点出发，甲船以每小时10(3＋1)km的速度向正东航行，乙船以每小时20km的速度沿南60°东的方向航行，1小时后甲、乙两船分别到达A、C两点，求A、C两点的距离，以及在A点观察C点的方向角.练2. 某渔轮在A处测得在北45°的C处有一鱼群，离渔轮9海里，并发现鱼群正沿南75°东的方向以每小时10海里的速度游去，渔轮立即以每小时14海里的速度沿着直线方向追捕，问渔轮应沿什么方向，需几小时才能追上鱼群？三、总结提升※ 学习小结1. 已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之.；2．已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.※ 知识拓展已知∆ABC 的三边长均为有理数，A =3θ，B =2θ，则cos5θ是有理数，还是无理数？ 因为5C πθ=-，由余弦定理知222cos 2a b c C ab+-=为有理数， 所以cos5cos(5)cos C θπθ=--=-为有理数. 学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为（ ）.A ．α>βB ．α=βC ．α+β=90D ．α+β=1802. 已知两线段2a =，22b =，若以a 、b 为边作三角形，则边a 所对的角A 的取值范围是（ ）.A ．(,)63ππB ．(0,]6πC ．(0,)2πD ．(0,]4π3. 关于x 的方程2sin 2sin sin 0A x B x C ++=有相等实根，且A 、B 、C 是∆的三个内角，则三角形的三边a b c 、、满足（ ）.A ．b ac =B ．a bc =C ．c ab =D ．2b ac =4. △ABC 中，已知a :b :c =(3+1) :(3-1):10，则此三角形中最大角的度数为 .5. 在三角形中，已知:A ，a ，b 给出下列说法:(1)若A ≥90°，且a ≤b ，则此三角形不存在(2)若A ≥90°，则此三角形最多有一解(3)若A ＜90°，且a =b sin A ，则此三角形为直角三角形，且B =90°(4)当A ＜90°，a <b 时三角形一定存在(5)当A ＜90°，且b sin A <a <b 时，三角形有两解其中正确说法的序号是 .课后作业1. 我舰在敌岛A 南偏西50︒相距12海里的B 处，发现敌舰正由岛沿北偏西10︒的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？2.§1.2应用举例—④解三角形学习目标1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题；2. 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用；3. 能证明三角形中的简单的恒等式．学习过程一、课前准备复习1：在∆ABC 中 （1）若1,3,120a b B ===︒，则A 等于 ． （2）若33a =，2b =，150C =︒，则c = _____．复习2：在ABC ∆中，33a =，2b =，150C =︒，则高BD = ，三角形面积= ．二、新课导学※ 学习探究探究：在∆ABC 中，边BC 上的高分别记为h a ，那么它如何用已知边和角表示？h a =b sin C =c sin B根据以前学过的三角形面积公式S =12ah ， 代入可以推导出下面的三角形面积公式，S =12ab sin C ，或S = ，同理S = ．新知：三角形的面积等于三角形的任意两边以及它们夹角的正弦之积的一半．※典型例题例1. 在∆ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm2）：（1）已知a=14.8cm，c=23.5cm，B=148.5︒；（2）已知B=62.7︒，C=65.8︒，b=3.16cm；（3）已知三边的长分别为a=41.4cm，b=27.3cm，c=38.7cm．变式：在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成室内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m，88m，127m，这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm2）例2. 在∆ABC中，求证：（1）222222sin sinsina b A Bc C++=；（2）2a+2b+2c=2（bc cos A+ca cos B+ab cos C）．。

1.1.1 正弦定理(2)【学习目标】1.正弦定理及其拓展.2.已知两边和其中一边的对角,判断三角形时解的个数.3.三角形面积公式.【重点难点】重点:正弦定理的应用.难点:正弦定理的应用. 【学习过程】一、自主学习：任务1: 正弦定理:_____ ______________ ____.任务2: 正弦定理的变形公式：_________________________.二、合作探究归纳展示问题1.在ABC ∆中,已知040,28,20===A b a ,求B (精确到01)和c (保留两个有效数字)问题2.如图课本2-7(1)所示,在ABC Rt ∆中,斜边AB 是ABC ∆外接圆的直径(设ABC Rt ∆外接圆的半径为R )因此R C c B b A a 2sin sin sin ===.这个结论对于任意三角形(课本图2-7(2),图2-7(3))是否成立?问题3.在ABC Rt ∆中,090=C ,则ABC ∆的面积ab S 21=.对于任意ABC ∆,已知b a ,及C ,则ABC ∆的面积C ab S sin 21=成立吗?三、讨论交流点拨提升例1.在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,.已知2=a ,3=b ,045=A ,求角B .小结:在ABC ∆中,已知b a ,和A 时求角B 的各种情况:(1)角A 为锐角: ①若A b a sin =,则一解. ②若b a A b <<sin ,则两解.③若b a ≥,则一解(2)角A 为直角b a >,则一解.(3)角A 为钝角b a >,则一解.例2在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,.已知2,32,300===b c A ,求ABC ∆的面积.四、学能展示课堂闯关知识拓展在∆ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况 ：①当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解；②当A 为锐角时，如果a ≥b ，那么只有一解；如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若sin a b A >，则有两解；（2）若sin a b A =，则只有一解；（3）若sin a b A <，则无解．ABC ∆的面积C ab S sin 21==________=______________ 1. 已知a 、b 为△ABC 的边，A 、B 分别是a 、b 的对角，且sin 2sin 3A B =，则a b b +的值=（ ）. A. 13 B. 23 C. 43 D. 532. 已知在△ABC 中，sinA ∶sinB ∶sinC ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（ ）.A ．135°B ．90°C ．120°D ．150°3. 如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为（ ）.A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加长度决定 4. 已知△ABC 中，cos cos b C c B =，试判断△ABC 的形状 ．五、学后反思小结:在ABC ∆中,已知b a ,和A 时求角B 的各种情况:（1）.角A 为锐角: ①若A b a sin =,则一解. ②若b a A b <<sin ,则两解. ③若b a ≥,则一解(2).角A 为直角b a >,则一解.(3).角A 为钝角b a >,则一解. ABC ∆的面积C ab S sin 21==________=______________ 【课后作业】 1. 在∆ABC 中， a xcm =，2b cm =，45B ∠=︒，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围．2. 在∆ABC 中，其三边分别为a 、b 、c ，且满足2221sin 24a b c ab C +-=，求角C ．。

1.1.1 正弦定理(一)学习目标1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．学习过程一、自主学习1.a sin A＝______________＝______________＝2R (其中R 是________________________)； 2．a ＝b sin A sin B ＝c sin A sin C＝2R sin A ； 3．sin A ＝a 2R，sin B ＝________________，sin C ＝____________________. 4.一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的________．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做________________．二、合作探究探究点1： 正弦定理的证明问题1 如图，在Rt △ABC 中，a sin A 、b sin B 、c sin C各自等于什么？问题2 在一般的△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c sin C还成立吗？课本是如何说明的？ 例1 在钝角△ABC 中，证明正弦定理．探究点2：用正弦定理解三角形例2 在△ABC 中，已知A ＝32.0°，B ＝81.8°，a ＝42.9cm ，解三角形．探究点3：边角互化例3 在任意△ABC 中，求证：a (sin B －sin C )＋b (sin C －sin A )＋c (sin A －sin B )＝0.例4 在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，求△ABC 周长的最大值．三、当堂检测1.在△ABC 中，一定成立的等式是( )A ．a sin A ＝b sinB B ．a cos A ＝b cos BC ．a sin B ＝b sin AD ．a cos B ＝b cos A2．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形3．在△ABC 中，已知BC ＝5，sin C ＝2sin A ，则AB ＝________.4．在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝π4，则A ＝________. 四、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?五、学后反思1、我的疑问：2、我的收获：。