苏教版高中数学必修2教案立体几何初步第7课时 平面的基本性质(三)

江苏省射阳县盘湾中学高中数学平面的基本性质（第1课时）教案苏教版必修2教学目标：理解平面的概念。

了解平面的基本性质，能正确使用集合符号表示有关点、线、面的位置关系。

能正确地运用平面的基本性质解决一些简单的问题。

教学重点：平面的基本性质教学难点：平面基本性质的掌握与运用教学过程：一、问题情境：问题1：生活中常见的黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗？它们有何共同特征？二、学生活动：共同探讨上述问题：三、知识建构：1、平面：（1）几何特征：（2）从平移角度：（3）从集合角度：2、平面表示：（1）图形语言：（2）符号语言：思考：一个平面将空间分成几个部分？两个平面呢？3、平面的基本性质：公理1：符号表示：说明：公理2：符号表示：说明：公理3： 符号表示：说明：四、知识运用：例1、在长方体ABCD-A ’B ’C ’D ’中，下列命题是否正确？为什么？（1）AC ’在平面CC ’B ’B 内；（2）O ，O ’是平面ABCD ，A ’B ’C ’D ’的中心，则平面AA ’C ’C 与平面B ’BDD ’交线为OO ’；（3）点A 、O 、C 可确定平面；（4）设l ⊆面AC ，直线m ⊆平面D'C ，若l 与m 相交，则交点在直线CD 上。

练习：书P23 14五、回顾反思：知识： 思想方法：六、作业布置：书P30 习题1.2 1(1) 2(1) 4 精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂； 幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

平面的基本性质教案一、教学目标知识与技能：1. 理解平面的基本性质，掌握平面的定义和特征。

2. 学会使用平面几何图形进行推理和证明。

过程与方法：1. 通过观察和操作，培养学生的空间想象力。

2. 运用小组合作、讨论交流等方法，提高学生的合作能力和口头表达能力。

情感态度价值观：1. 培养学生对数学的兴趣和好奇心。

2. 培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

二、教学重点与难点重点：1. 平面的定义和特征。

2. 平面几何图形的推理和证明。

难点：1. 理解平面的无限延展性和不可度量性。

2. 掌握平行线的性质和判定。

三、教学准备教师准备：1. 平面的定义和特征的相关教学素材。

2. 平面几何图形的推理和证明的案例。

学生准备：1. 了解一些基本的几何概念。

2. 准备笔记本和文具。

四、教学过程1. 导入：利用现实生活中的实例，如桌面、黑板等，引导学生观察和体验平面的存在。

提出问题：“你们认为平面是什么？”让学生发表自己的观点。

2. 探究：引导学生通过观察和操作平面几何图形，如正方形、长方形等，探讨平面的基本性质。

让学生尝试用自己的语言描述平面的特征，如无限延展性、不可度量性等。

3. 证明：利用反证法，让学生尝试证明平面的基本性质。

例如，证明平面是无限延展的，可以让学生假设平面有边界，通过推理和逻辑分析，得出矛盾的结论，从而证明平面的无限延展性。

4. 应用：给出一些平面几何图形的推理和证明案例，让学生运用所学的平面性质进行分析和解决问题。

如平行线的性质和判定，可以让学生观察和分析实际生活中的实例，如马路上的交通标志等。

五、作业布置1. 完成课后练习题，巩固所学知识。

2. 观察生活中的平面实例，拍摄照片或绘制图片，下节课分享。

教学反思：课后对教学效果进行反思，观察学生对平面基本性质的理解程度，以及他们在实际问题中的运用能力。

根据学生的反馈，调整教学方法和策略，以提高教学效果。

六、教学拓展1. 利用多媒体展示平面几何图形的动态变化，如正方形变为长方形的过程，让学生直观地感受平面的性质。

§1.2.1平面的基本性质一、教学目标： 1、知识与技能（1）借助生活中的实物，学生对平面产生感性的认识； （2）掌握平面的表示法，认识水平放置的直观图； （3）掌握平面的基本性质及作用； （4）培养学生的空间想象能力。

2、过程与方法通过师生的共同讨论，学生经历平面的感性认识。

3、情感与价值使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。

二、教学重点、难点重点：（1）平面的概念及表示；（2）平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。

难点：平面基本性质的掌握与运用。

三、学法与教学用具（1）学法：学生通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标。

（2）教学用具：投影仪、投影片、正（长）方形模型、三角板 四、授课类型：新授课 五、教学过程（一）创设引入情景生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象。

你们能举出更多例子吗？ 平面的含义是什么呢？ （二）建立模型 1、平面含义以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的。

2、平面的画法及表示在平面几何中，怎样画直线？一条直线平移就得到了一个平面。

我们通常把一个“水平放置的平面画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长”。

（如图）：平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。

如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画（打出投影片）D C B A α αβ αβ平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。

若 点A 在平面α内，则记作：A ∈α；若点B 在平面α外， 则记作：B ∉α。

2.1-4 3、平面的基本性质把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上，用事实引导学生归纳出以下公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。

§1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质【课时目标】 1．了解平面的概念及表示法．2．了解公理1、2、3及推论1、2、3，并能用文字语言、图形语言和符号语言分别表述．1．公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．用符号表示为：________________．2．公理2：如果________________________________，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的______________．用符号表示为：⎭⎪⎬⎪⎫P ∈αP ∈β⇒α∩β＝l 且P ∈l ． 3．公理3：经过不在同一条直线上的三点，________________________．公理3也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面．(1)推论1 经过________________________________________，有且只有一个平面． (2)推论2 经过____________，有且只有一个平面． (3)推论3 经过____________，有且只有一个平面．一、填空题 1．下列命题： ①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚； ③有一个平面的长是50 m ，宽是20 m ；④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念． 其中正确命题的个数为________． 2．若点M 在直线b 上，b 在平面β内，则M 、b 、β之间的关系用符号可记作____________． 3．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有________条．4．已知α、β为平面，A 、B 、M 、N 为点，a 为直线，下列推理错误的是__________(填序号)．①A ∈a ，A ∈β，B ∈a ，B ∈β⇒a ⊂β；②M ∈α，M ∈β，N ∈α，N ∈β⇒α∩β＝MN ； ③A ∈α，A ∈β⇒α∩β＝A ；④A 、B 、M ∈α，A 、B 、M ∈β，且A 、B 、M 不共线⇒α、β重合． 5．空间中可以确定一个平面的条件是________．(填序号) ①两条直线； ②一点和一直线； ③一个三角形； ④三个点．6．空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有__________个．7．把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上．(1)AD/∈α，a ⊂α________．(2)α∩β＝a，PD/∈α且PD/∈β________．(3)a⊄α，a∩α＝A________．(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________．8．已知α∩β＝m，a⊂α，b⊂β，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．9．下列四个命题：①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；②经过空间任意三点有且只有一个平面；③过两平行直线有且只有一个平面；④在空间两两相交的三条直线必共面．其中正确命题的序号是________．二、解答题10．如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．11．如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．能力提升12．空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，证明三条直线必相交于一点．13．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C 与平面BDC 1交于点O ，AC 、BD 交于点M ，E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点．求证：(1)C 1、O 、M 三点共线； (2)E 、C 、D 1、F 四点共面； (3)CE 、D 1F 、DA 三线共点．1．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点，或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．2．证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合．注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用．3．证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线．§1．2 点、线、面之间的位置关系1．2．1 平面的基本性质答案知识梳理1．两点⎭⎪⎬⎪⎫A ∈αB ∈α⇒AB ⊂α 2．两个平面有一个公共点 一条直线3．有且只有一个平面 (1)一条直线和这条直线外的一点 (2)两条相交直线 (3)两条平行直线作业设计 1．1解析 由平面的概念，它是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判断命题④正确，其余的命题都不符合平面的概念，所以命题①、②、③都不正确．2．M ∈b ⊂β 3．1,2或3 4．③解析 ∵A ∈α，A ∈β，∴A ∈α∩β．由公理可知α∩β为经过A 的一条直线而不是A ．故α∩β＝A的写法错误．5．③6．1或4解析四点共面时有1个平面，四点不共面时有4个平面．7．(1)C(2)D(3)A(4)B8．A∈m解析因为α∩β＝m，A∈a⊂α，所以A∈α，同理A∈β，故A在α与β的交线m上．9．③10．解很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．∵E∈AC，AC⊂平面SAC，∴E∈平面SAC．同理，可证E∈平面SBD．∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连结SE，直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．11．证明因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上．12．证明∵l1⊂β，l2⊂β，l1P l2，∴l1∩l2交于一点，记交点为P．∵P∈l1⊂β，P∈l2⊂γ，∴P∈β∩γ＝l3，∴l1，l2，l3交于一点．13．证明(1)∵C1、O、M∈平面BDC1，又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理3知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，∴C1、O、M三点共线．(2)∵E，F分别是AB，A1A的中点，∴EF∥A1B．∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1．∴E、C、D1、F四点共面．(3)由(2)可知：四点E、C、D1、F共面．又∵EF＝12A1B．∴D1F，CE为相交直线，记交点为P．则P∈D1F⊂平面ADD1A1，P∈CE⊂平面ADCB．∴P∈平面ADD1A1∩平面ADCB＝AD．∴CE、D1F、DA三线共点．。

平面的基本性质⑴【双基提要】1、掌握平面的概念及平面的表示法，理解三个公理及三个推论的内容及作用；2、会用文字语言、图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系；3、掌握平面的基本性质及其推论的三种语言表示，初步掌握性质与推论的简单应用。

【课堂反馈】1、下面有4个命题：①若l B l A ∈∈,且αα∈∈B A ,，则必有α∈l ；②四边形的两条对角线必相交于一点；③用平行四边形表示平面，平行四边形的边为平面的边界；④梯形是平面图形，其中正确命题的个数为（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个2、下列推理中，错误的个数为 （ ）①ααα⊂⇒∈∈∈∈l B l B A l A ,,,； ②AB B B A A =⇒∈∈∈∈βαβαβα ,,,；③αα∉⇒∈⊄A l A l ,； ④βα∈∈C B A C B A ,,,,,且A 、B 、C 不共线α⇒与β重合。

A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个3、已知P n m n m l =⊂⊂= ,,,βαβα，则点P 与直线l 的位置关系为 （用符号表示）。

4、空间四点，没有任何三点共线，则可确定平面的个数是 。

5、已知B b l A a l b a == ,,//，求证，过l b a ,,有且只有一个平面。

6、在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为AA 1、D 1C 1的中点，过D 、M 、N 的平面α与正方体的下底面A 1B 1C 1D 1相交于直线l 。

⑴画出直线l ；⑵画出α与正方体的各面的交线；⑶设P B A l =11 ，求PB 1的长。

【巩固练习】1、下列命题中正确的个数是 （ ）①四边相等的四边形是菱形；②若四边形有两个对角都是直角，则这个四边形是圆内接四边形；③“平面不经过直线”的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内”；④若两平面有一条公共直线，则这两平面的所有公共点都在这条公共直线上。

第7课时平面的基本性质（三）教学目标：使学生能够进行性质与推论的简单应用、正确运用平面的基本性质及三个推论进行共面、共线、共点问题的证明；要通过知识的应用，使学生掌握方法、规律，学会正确推理，以理服人。

教学重点、难点：共面、共线、共点问题的证明。

教学过程：一、复习回顾：三个公理及推论；各个公理及推论的作用。

二、新课讨论：例1：直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C，证明这三条直线共面.［师］空间的几个点和几条直线，如果都在同一个平面内，那么可以简单地说它们“共面”.分析：两两相交，是说每两条直线都相交.此题是让我们证明三条直线共面，我们学过的公理和推论中都没有关于三条直线的，怎么办呢？［生丙］先由两条直线确定一个平面，再证第三条直线也在这个平面内（学生已作了预习，回答出这样的思路应该是没有问题的）.［师］生丙同学的回答正确吗？若正确，怎样证明第三条直线也在这个平面内呢？［生丁］生丙的回答正确.先由两条直线确定一个平面是容易的，要证第三条直线也在这个平面内，只要证第三条直线上有两点在这个平面内就行了，如图，先由AB、AC 确定一个平面，由于B点、C点在确定的平面内，根据公理1可知，直线BC也在这个平面内.［师］生丁所述有道理吗？［生］有道理，完全正确.［师］下面我们根据生丙、生丁两位同学的思路，写出此题的证明过程.证明：∵AB、AC相交，∴AB、AC确定一个平面，设为α∵B∈AB,C∈AC∴B∈α，C∈α∴BC α因此AB、AC、BC都在平面α内.即AB、AC、BC共面.注意：确定的平面叫成什么是无所谓的.不一定非要叫α不可，叫成其他如β、γ都行.［师］谁还有其他不同于生丙同学的意见？［生戊］每两条相交直线都能确定一个平面，若能证明这些平面重合，则也能说明这三条直线共面.［师］同学们想一想，生戊同学的思路可行吗？（同学们积极思考，但无人回答，留出几分钟时间，让同学们继续思考是非常必要的）［生戊］AB、AC可确定一个平面，AB、BC也可确定一个平面，由于点A、B、C 既在第一个平面内，又在第二个平面内.根据公理3，经过A、B、C三点有且只有一个平面，所以这两个平面重合，即AB、AC、BC共面.［师］很好！下面我们根据生戊同学的思路，写出此题的另一种证明.证明：∵AB、AC相交∴AB、AC确定一个平面α∴点A、B、C∈α，且不共线∵AB、BC相交∴AB、BC确定一个平面β∴点A、B、C∈β，且不共线根据公理3，经过不共线的三点A、B、C有且只有一个平面，∴面α与面β重合∴AB、AC、BC共面.［师］从刚才我们的分析讨论中，可以知道，证明共面问题的方法至少有两种：①先由某些条件确定一个平面，然后证明其余已知的都在这个平面内.②所有已知条件确定若干个平面，然后证明这些平面重合.两种证明方法的关键都在“然后”，要注意练习掌握.这两种证明方法比较，第一种更为常用，因为证明若干个平面重合，实在不是一件容易的事情.希望大家都能像生戊同学那样.遇到问题善于思考，多动脑子去想，办法总会是有的.下面再来看一个例子.例2：如图，已知△ABC的各顶点在平面α外，直线AB、BC、AC分别交平面α于P、Q、R，求证：P、Q、R三点共线.分析：平面几何中证明三点共线是怎样证明的？［生］先由两点确定一条直线，然后证明第三点也在这条直线上.［师］这里的三点共线能用这种办法证明吗？比如说，连结点P、点Q，得直线PQ，大家能够证明点R也在直线PQ上吗？［生己］能！由已知条件可知，直线PQ实质上是面ABC与面α的交线，只要证明点R是面ABC与面α的交点，那么R必在直线PQ上.［生庚］既然这样，只要证明点P、Q、R都是面ABC与面α的交点，那么点P、Q、R就共线，它们都在面ABC与面α的交线上.［师］两位同学分析得都很好！在立体几何中，要证明三点共线，只要证明三点都是某两个平面的公共点即可.证明若干点共线的问题，思路同样也是这样的.下面大家一起来写出此题的证明：证明：∵AB∩α＝P ∴P∈AB，P∈平面α又AB 平面ABC ∴P∈平面ABC∴由公理2可知，点P在平面ABC与平面α的交线上∴P、Q、R三点共线例3：三个平面两两相交于三条直线，若这三条直线不平行，求证：这三条直线交于一点. 已知：平面α、β、γ两两相交于三条直线l1、l2、l3，且l1、l2、l3不平行.求证：l1、l2、l3相交于一点证明：如图，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3，∵l1⊂β，l2⊂β，且l1、l2不平行∴l1与l2必相交，设l1∩l2=P，①则P∈l1⊂α,P∈l2⊂γ∴P∈α∩γ= l3 ②∴l1、l2、l3相交于一点P.例4：已知一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面.已知：直线a∥b∥c，直线l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：l与a、b、c共面.证明：∵a∥b∴a、b确定一个平面，设为α又l∩a＝A，l∩b＝B ∴A∈α，B∈α又A∈l，B∈l ∴AB⊂α，即l⊂α同理b、c确定一个平面β，l⊂β.∴平面α与β都过两相交直线b与l.由推论2，两条相交直线确定一个平面.∴α与β重合.故l与a、b、c共面.例5：画出四面体ABCD中过E、F、G三点的截面。

第一章：空间几何体1.1.1柱、锥、台、球的结构特征一、教学目标1．知识与技能（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。

（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。

（3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。

（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。

2．过程与方法（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。

（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。

3．情感态度与价值观（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。

（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。

二、教学重点、难点重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。

难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。

三、教学用具（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。

（2）实物模型、投影仪四、教学思路（一）创设情景，揭示课题1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。

教师对学生的活动及时给予评价。

2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。

根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。

（二）、研探新知1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。

2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。

在此基础上得出棱柱的主要结构特征。

（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行。

概括出棱柱的概念。

4．教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。

5．提出问题：各种这样的棱柱，主要有什么不同？可不可以根据不同对棱柱分类？请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？6．以类似的方法，让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念，分类以及表示。

课题：平面一、教学目标1联系实际了解平面的3个公理，能用文字、图形、符号三种语言进行描述；2通过直观感知、操作确认、归纳总结加深对公理的认识；3初步培养学生的空间想象能力。

二．教学重点、难点教学重点：正确理解3个公理。

教学难点：用符号语言表达点、线、面的位置关系。

三、教学过程课题性问题：上一节我们已经对简单几何体有了直观的认识。

简单几何体是由空间的点、线、面所构成的，本节我们将对点、线、面的位置关系进行讨论。

空间的点、直线和平面具有怎样的位置关系？如何用数学语言来表述和研究这些位置关系？初中我们已经学习了点和直线的概念，本节课我们将学习平面概念及平面的相关性质。

问题1：如何理解平面及其表示？先行组织者：什么是数学？恩格斯说：数学是研究现实世界中的数量关系和空间形式的一门科学。

〔1〕数学首先具有高度的抽象性。

物理、化学、生物等学科，都有具体的物质和具体的物质运动形态作为自己的研究对象。

而数学的研究对象是从众多的物质和物质运动形态中抽象出来的事物，是人脑的产物。

〔如何理解平面？〕〔2〕数学语言是人类文明、宇宙文明的共同语言。

数学语言往往需要依靠符号来表达，而世界各国又采用相同的数学符号，使得数学语言成为人类文明的共同语言。

如等任何一个民族、任何一个地域的人都能明白。

〔符号语言〕数学语言是宇宙文明的共同语言，202170年代，美国发射一艘宇宙飞船，目的是与可能存在的“外星人〞取得联系。

为了让星外文明了解地球文明，这艘飞船带去了地球上山川、河流、白云、海洋的照片，地球上动物、植物、微生物的照片，各种年龄、性别、民族的人的照片，还带去了许多声音，如狂风暴雨、森林中的鸟鸣声、大海的浪涛声，以及不同民族的人类叫“妈妈〞的声音，同时还带去了刻有黄金制作的图板，如下图：〔图形语言〕伽利略认为：“数学是上帝用来书写宇宙的文字。

〞数学语言最明晰、严谨、简洁、标准、通用。

综上，数学语言包括：文字语言、图形语言、符号语言。

平面的基本性质（2）教学目标：掌握三个公理及三个推论并了解它的作用；能应用公理及推论判定直线在平面内、两平面相交、确定平面；掌握直线共面的证明。

教学过程： 一．复习回顾公理1： 公理2： 公理3： 二、基础训练1．点P 在直线l 上，而直线l 在平面α内，用符号表示为（ ） A ．P l α⊂⊂ B ．P l α∈∈ C ．P l α⊂∈ D ．P l α∈⊂ 2．下列推理，错误的是（ ） A ．,,,A l A B l B l ααα∈∈∈∈⇒⊂ B ．,,,A A B B AB αβαβαβ∈∈∈∈⇒=C ．,l A l A αα⊄∈⇒∉D ．,,,,,,,,A B C A B C A B C αβαβ∈∈⇒且不共线与重合3．下面是四个命题的叙述语（其中A 、B 表示点，a 表示直线，α表示平面） ①,A B AB ααα⊂⊂∴⊂ ②,A B AB ααα∈∈∴∈ ③,A a a A αα∉⊂∴∉ ④,A a A a αα∉⊂∴∉其中叙述方法和推理过程都正确的命题的序号是_______________．4．如图，点A ∉平面BCD ，E 、F 、G 、H 分别是AB 、CD 、DA 上的点，若EH 与FG 交K 求证：K 在直线BD 上．ABCDEH KGF三、建构数学 公理的三个推论1.推论1：经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面. 图形语言： 符号语言：已知：点A ∉a . 求证：过点A 和直线a 可以确定一个平面. 证明：（1）存在性.因为A ∉a ，在a 上任取两点B ，C.所以过不共线的三点A ，B ，C 有一个平面a .（公理3） 因为B ∈α，C ∈α，所以a ∈a .（公理1）故经过点A 和直线a 有一个平面a . （2）唯一性.如果经过点A 和直线a 的平面还有一个平面b ，那么A ∈b ，a ⊂ b . 因为B ∈a ， C ∈a ，所以B ∈b ，C ∈b .（公理1） 故不共线的三点A ，B ，C 既在平面a 内又在平面b 内.所以平面a 和平面b 重合.（公理3）所以经过点A 和直线a 有且只有一个平面 2.推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面. 图形语言： 符号语言：已知：直线 a ，b 且P b a = .求证：过 a ，b 有且只有一个平面. 证明：在a 上取不同于点P 的点Ab A ∉ ，∴过直线 b 和点 A 只有一个平面，ααα⊂∴∈∈AP P A ,, ，即α⊂a∴过a ，b 只有一个平面，即：过 a ，b 有且只有一个平面．3.推论3：经过两条平行的直线有且只有一个平面. 图形语言： 符号语言：已知：直线 a ，b 且b a //.求证：过 a ，b 有且只有一个平面． 证明：由平行线的定义知a ，b 在同一平面内.b a ,∴有平面α.设点A 为直线a 上任一点，则点A 在直线b 外，∴点A 和直线b 在过a ，b 的平面α内， 又由推论1，过点A 和直线b 的平面只有一个，∴过 a ，b 有且只有一个平面．,,A l A l ααα∉⇒∈⊂有且只有一个平面使,,a b P a b ααα=⇒⊂⊂有且只有一个平面使//,,a b a b ααα⇒⊂⊂有且只有一个平面使四、应用举例例1.已知:,,,A l B l C l D l ∈∈∈∉，求证：直线AD ，BD ，CD 共面。

让学生学会学习第三课时中心投影和平行投影【学习导航】知识网络学习要求1．初步理解投影的概念。

掌握中心投影和平行投影的区别和联系。

2．了解并掌握利用正投影鉴别简单组合体的三视图。

3．初步理解由三视图还原成实物图的思维方法．【课堂互动】自学评价1．投影的定义：. 2．中心投影的定义：平行投影的定义：平行投影的分类：3．主视图（或正视图）的定义：俯视图的定义：左视图的定义：【精典范例】一、如何画一个实物的三视图？例1：画出下列几何体的三视图。

中心投影和平行投影空间几何体的三视图柱、锥、台、球的三视图简单组合体的三视图让学生学会学习解答：见书12页例1点评：1.画三视图的方法和步骤(1)选择确定正前方，确定投影面，正前方应垂直于投影面，然后画出这时的正投影面------主视图(2)自左到右的方向垂直于投影面，画出这时的正投影------左视图⑶自上而下的方向是固定不变的。

在物体下方确定一个水平面作为投影-----俯视图2.作图规律：长对正，宽相等，高平齐例2：设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图。

解答：见书13页例２听课随笔听课随笔让学生学会学习二、如何由三视图还原成实物图。

例3.根据下面的三视图,画出相应空间图形的直观图.主视图左视图俯视图解略．点评:解决这类问题，需要充分发挥空间想象能力。

一般的从主视图出发，然后是左视图、俯视图，画图后检验。

追踪训练一根据下列的主视图和俯视图，找出对应的物体，填在下列横线上。

(1)B (2) D(3) A (4) C主视图俯视图(1)(2) (3) (4)AB C D。

平面的基本性质（1）教学目标：掌握平面的表示方法，理解平面的基本性质。

掌握立体几何的符号语言。

教学过程： 一.平面1.平面的概念；平面是一个不加定义的概念，具有“平”、“无限延展”、“无厚薄”的特点.2.平面的特征；“平”、“无限延展”、“无厚薄”3.平面的画法；通常我们画出直线的一部分来表示直线；同样地，我们也可以画出平面的一部分来表示平面.通常画平行四边形来表示平面.在画平行四边形表示平面时，所表示的平面如果是水平平面， 通常把锐角画成45°，横边画成邻边的两倍. 如果是非水平平面，只要画成平行四边形.如果几个平面画在一起，当一个平面有一部分被另一个 平面遮住时，应把被遮部分的线段画成虚线或不画. 4.平面的表示方法。

⑴在一个希腊字母γβα,,等的前面加“平面” 二字，如平面α， 平面β，平面γ等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内. ⑵用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面AC. ⑶用三角形表示平面，用三角形三个顶点的字母来表示，如平面ABC. 5.用符号语言表示：空间图形的基本元素是点、直线、平面，从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合.因此，它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可以借用集合中的符号语言来表示.（1）点在直线上、点在直线外；（2）点在平面内、点在平面外；（3）直线在平面内、直线在平面外、直线与平面相交二.平面的基本性质请大家拿出你的一把尺，如果把桌面看作一个平面，把你的尺看作是一条直线的话，你觉得在什么情况下，才能使你的尺所代表的直线上的所有点都能在桌面上？1.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 图形语言： 符号语言：公理1的应用：⑴判定直线或点是否在平面内；⑵检验平面.请大家拿起一本书，把这本书的一个角放在桌面上，如果我们分别把这本书和桌面都看作一个平面的话，试问这两个平面是否就只有这一个公共点，如果还有其他公共点的话，它们和这个公共点有什么关系？2.公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.图形语言： 符号语言：公理2的应用：⑴判断两个平面是否相交；⑵判定点是否在直线上.A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭直线 P l P lP ααββ∈⎫⇒=∈⎬∈⎭且如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做这两个平面的交线.为什么当一个人在学会走路之前总会有一段爬行的人生经历，同时也有一段拄着拐杖的人生历程？在爬行与拄拐杖这两件事情中是否隐含着什么数学理论呢？ 3.公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. 图形语言： 符号语言：如何理解公理3中的“有且只有一个”？ “有”是说图形存在，“只有一个”是说图形惟一. 公理3的应用：⑴确定平面；⑵证明两个平面重合. 三.应用举例 例1.已知命题：①10个平面重叠起来，要比5个平面重叠起来厚； ②有一个平面的长是50m ，宽是20m ； ③黑板面是平面；④平面是绝对的平，没有大小、没有厚度，可以无限延展的抽象的数学概念. 其中正确命题的序号是________.例2.一条直线经过平面内一点与平面外一点，它和这个平面有几个公共点？为什么？例3.已知:AB C ∆在平面α外,Q BC R AC P AB =⋂=⋂=⋂ααα,,,求证:P ，Q ，R 三点共线.,,,,A B C A B C αααα⇒∈∈∈三点不共线有且只有一个平面，使总结：要证明空间诸点共线，通常证明这些点 . 例4.为什么用两个合页和一把锁就可以固定一扇门，有的自行车旁只安装一只撑脚呢？例5.如图，M 是正方体1111D C B A ABCD -棱1BB 的中点. ⑴作出由M C A ,,11三点所确定的平面与正方体表面的交线； ⑵试作出平面M C A 11与 平面ABCD 的交线．作业： 班级： 姓名： 学号 1.若点M 在直线a 上，a 在平面α内，则M ，a ，α间的关系用符号表示为 （ ）A ．M ∈a ，a ∈αB ． M ∈a ，a ⊂αC ．M ⊂α，a ⊂αD ．M ⊂α，a ∈α2.用符号表示“点A 在直线l 上，l 在平面α外”，正确的是 （ ）.A. α∉∈l l A ,B. α⊄∈l l A ,C. α⊄⊂l l A ,D. α∉⊂l l A , 3.下列叙述中，正确的是（ ）.A.因为 αα∈⊂A a , ，所以α⊂AB.因为 αα∈⊂A a , ，所以α∉AC.因为 l A A =⋂∈∈βαβα,, ，所以l A ∈D.因为α⊂∉l l A ,，所以α∉A 4.下列叙述中，正确的是（ ）A ．ααα∈∴∈∈PQ Q P ,,C ．αα∈∴∈∈⊂CD AB D AB C AB ,,, B ．PQ Q P =⋂∴∈∈βαβα,,D ．AB AB AB =⋂∴⊂⊂βαβα,, 5.下列命题正确的个数是（ ）⑴如果平面α与平面β相交，那么它们只有有限个公共点；⑵过一条直线的平面有无数个； ⑶两个平面的交线可能是一条线段。

听课随笔第7课时空间两条直线的位置关系一、【学习导航】学习要求1.了解空间两条直线的位置关系2.掌握平行公理及其应用3.掌握等角定理，并能解决相关问题．【课堂互动】自学评价１.空间两直线的位置关系位置关系共面情况公共点个数相交直线 平行直线 异面直线２.公里４：符号表示： 思考：经过直线外一点，有几条直线和这条直线平行 答： ３．等角定理【精典范例】例1：.如图, 在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中, 已知E 、F 分别是AB 、BC 的中点, 求证: EF//A 1A 1解答：见书２５页例１思维点拔：证两直线平行的方法：(1)利用初中所学的知识(2)利用平行公理．追踪训练已知：棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别为CD,AD的中点，求证：四边形MNAC是梯形．D1C1M证明略点评：要证梯形，必须证明有两边平行且相等，平行的证明要善于联想平面几何知识．例2：如图. 已知E 、E 1分别为正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱AD 、A 1D 1的中点, 求证: ∠C 1E 1B 1=∠CEB .ABA C A分析：设法证明E1C1//EC,E1B1//EB证明：解答：见书２６页例２等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

等角定理的证明已知: ∠BAC和∠B1A1C1的边AB//A1B1 , AC//A1C1 , 并且方向相同.求证: ∠BAC=∠B1A1C1解答：见书２５页听课随笔点评：平几中的定义，定理等，对于非平面图形，需要经过证明才能应用。

追踪训练1. 设AA１是正方体的一条棱，这个正方体中与AA1平行的棱共有（ C ）Ａ.１条Ｂ.２条Ｃ.３条Ｄ.４条2.若OA//O1A1 , OB//O1B1 , 则∠AOB与∠A1O1B1关系（ C ）A.相等B.互补C.相等或互补D.以上答案都不对３．如图，已知AA′，BB′，CC′，不共面，且AA′//BB′,AA′=BB′, BB′//CC′, BB′=CC′.求证：△ABC≌△A′B′C′A′AB′B C′C用平行四边形性质证明思维点拔：凡“有且只有”的证明，丢掉“有”即存在性步骤，或丢掉“只有”即唯一性的证明都会导致错误发生，即证明不全面，思维不严谨所致。

高中数学必修2教案苏教版
教学重点：直线与平面的位置关系、直线与平面的夹角关系。

教学难点：直线与平面的方程。

教学准备：教材、教学课件、黑板、教具等。

教学步骤：
一、导入：通过引入一个实际生活中的问题来引起学生的兴趣，如：一个飞机在空中飞行时，飞机的飞行轨迹与地面的关系是怎样的呢？
二、讲解直线与平面的位置关系：首先，向学生介绍直线与平面的基本概念，然后讲解直线与平面的相互位置关系，即直线与平面可能相离、相切或相交。

三、讲解直线与平面的夹角关系：介绍直线与平面之间的夹角，包括直线与平面的垂直、平行和倾斜的夹角关系，并讲解相关理论知识。

四、解题演练：通过几个实例让学生进行实际问题求解，巩固所学知识，培养学生的解题能力。

五、作业布置：布置相关练习题，巩固学生所学内容，并激发他们对数学的兴趣。

六、小结：对本节课学习的重点知识进行总结，并提醒学生注意相关知识点。

教学反思：在教学过程中要注重引导学生思考和实际运用知识，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

同时，要根据学生的实际情况灵活调整教学方法，提高教学效果。

1.2.1平面的基本性质从容说课立体几何课程是初等几何教育的内容之一，是以空间图形的性质、画法、计算以及它们的应用为研究对象，以演绎法为研究方法.通过立体几何的教学，可以使学生的认识水平从平面图形延拓至空间图形，完成由二维空间向三维空间的转化，发展学生的空间想象能力，逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力.平面的基本性质是研究空间图形性质的理论基础，也是以后演绎推理的逻辑依据.平面的基本性质是通过三条公理及其重要推论来刻画的，通过这些内容的教学，使学生初步了解从具体的直观形象到严格的数学表述的方法，使学生的思维从直觉思维上升到分析思维，使学生的观念逐步从平面转向空间.本课是以平面的概念和三条公理为主要内容，前面已经对空间几何体有了一定的了解，教学时可以借助棱柱、圆柱等几何模型通过实物操作，以类比的方式抽象出“平面”的概念，并运用正迁移规律，将直线的无限延伸性类比于平面的无限延展性，突破教学难点.对于用字母表示点、直线、平面三者间的关系的教学，应指明是借用了集合语句，并用列表法将这些关系归类，以便作为初学者的学生便于比较、记忆和运用.对于平面基本性质的三条公理的教学，因为其是“公理”，无需证明，教学中可以以系列设问结合模型示范引导学生共同思考、观察和实验，从而归纳出三条公理并加以验证.其中对于公理1的教学应以直线的“直”和“无限延伸”来刻画平面的“平”和“无限延展”，同时应该明确它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法;对于公理2的教学要抓住平面在空间的无限延展特征来讲，同时应该明确公理2揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平面交线的方法;对于公理3的教学应突出已知点的个数和位置，强调“三个点”且“不在同一直线上”.通过三条公理的教学培养学生的观察能力和空间观念，加深对“有且只有一个”语句的理解，同时应该明确公理3是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法.对于公理中的“有且只有一个”的含义要分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性.在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证.另外，也可从实物演示中引导学生观察和实验，阐明公理的条件和结论间的直观形象，加深对“有且只有一个”语句的理解，并通过系列设问，帮助学生渐次展开思维和想象，理解公理的实质和作用.教学重点1.空间点、直线、平面间的位置关系的文字、图形、符号语言表示.2.平面的基本性质的三条公理及其作用.3.公理3中“有且只有一个”的含义的理解.教学难点1.平面的无限延展性的理解.2.符号语言的正确使用.3.对于公理3中“有且只有一个”语句的理解.教具准备多媒体课件、投影仪、棱柱、圆柱等几何模型、打印好的作业.课时安排1课时三维目标一、知识与技能1.了解平面的概念,会用符号语言、图形语言表示空间中点、直线、平面的位置关系.2.了解平面的基本性质的三条公理，并能用其解释一些生活中的具体问题.3.通过由模型示范抽象出“平面”概念以及到三条公理的文字叙述培养学生观察能力与空间想象能力.4.通过对三个公理的文字语言、图形语言和符号语言的互译，培养语言转换能力提高学生的几何语言水平.二、过程与方法1.通过师生之间、学生与学生之间的互相交流，使学生习惯于共同思考、观察和实验.2.通过通俗意义上的平面到数学意义上的平面的学习，了解具体与抽象、特殊与一般的辩证关系，由点、直线、平面间内在的联系逐渐形成“事物总是运动变化”的辩证观点.三、情感态度与价值观借助模型和实物来说明三个公理，进行“数学来源于实践”的唯物主义观念的教育，通过三条公理的学习，逐步渗透事物间既有联系又有区别的观点，培养言必有据，一丝不苟的学习品质和公理法思想.教学过程导入新课(多媒体播放平静的湖面、广阔的草原、大漠袅袅炊烟升起的画面，两个合页和一把锁就固定一扇门的图片、车旁只安装一只撑脚停放的图片，组织学生欣赏，并显示如下问题) 问题1:平静的湖面、广阔的草原、大漠袅袅炊烟升起的画面会给你留下怎样的印象?问题2:用两个合页和一把锁就可以固定一扇门、有的自行车旁只安装一只撑脚等生活现象的理论依据是什么?问题3:如何形象直观地在纸上表示平面?如何表示点与直线、直线与平面的位置关系?(组织学生思考)师要解决以上问题，需要掌握一定的立体几何知识，这就是我们后面将要学习的知识——空间点、线、面的位置关系，我们先来研究它们的基础知识.(引入新课，书写课题——平面的基本性质)推进新课(一)平面的概念、记法及表示师在刚才欣赏的图片中，我们发现平静的湖面、广阔的草原、大漠袅袅炊烟升起的画面这些生活画面都会给我们以平面的形象.我们可以从中抽象出一个几何概念，那就是——平面.(师介绍平面的概念、表示、以及记法)1.平面的概念:平面是现实世界存在着的客观事物形态的数学抽象，在立体几何中是只描述而不定义的原始概念.2.平面的图形表示通常画平行四边形来表示平面〔如图(1)〕，并把平行四边形的锐角画成45°，横边画成邻边的2倍长.当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮部分的线段画成虚线或不画〔如图(2)〕，也可用其他平面图形(例如三角形、圆等)表示平面.(1) (2)(师投影显示以上图形，并演示画法，生同步训练，培养学生的作图基本功)师我们已经明确了平面的概念，也能很容易地画平面的图形，那么如何用符号语言来表示它们呢?(生思考，师介绍平面的符号表示)3.平面的符号表示平面通常用希腊字母α、β、γ、…来表示,也可以用表示平行四边形的对角顶点的字母来表示.师我们知道，从集合的角度来说，直线可以看作是点的集合，平面可以看作是一系列直线的集合，那么，在空间点、线、面的位置关系如何用符号语言和图形语言来表示呢?(生思考，师生共同探究空间点、线、面的位置关系的符号、图形表示)师如何用符号语言和图形语言来表示空间点、线、面的位置关系?(师展示长方体模型，组织学生观察、探究空间点、线、面的位置关系)师请同学们观察右图所示的长方体，完成如下表格.(师生共同讨论完成)空间中点、直线、平面的位置关系的符号表示:【例1】已知命题:①10个平面重叠起来，要比5个平面重叠起来厚;②有一个平面的长是50 M，宽是20 M;③黑板面是平面;④平面是绝对的平，没有大小、没有厚度，可以无限延展的抽象的数学概念.其中正确的命题是_________.(师多媒体显示，生讨论完成)师命题①:平面是没有厚度，当两个平面重合时只能看作是一个平面;命题②:平面是无限延展的，因此平面没有长和宽;命题③:黑板只是平面的一部分，不能认为它就是数学中所研究的平面;命题④所描述的正是我们数学中所研究的平面的概念.故正确的命题只有④.师直线是没有长短、粗细且无限延伸的;平面是没有边界，没有厚薄之分，没有质量，没有任何物理的、化学的属性的抽象的概念.它是把三维空间图形转化为二维平面图形的主要媒介，在空间问题中平面化的过程具有重要的桥梁作用.【例2】 (1)一条直线可以将平面分成两个部分，那么一个平面可以将空间分成几个部分呢?(2)两个平面可以将空间分成几个部分呢?(多媒体显示，师组织学生思考完成，并分别用图形表示)(二)平面的三个基本性质师平面都有哪些基本性质呢?我们就来通过生活实例来探究一下平面的基本性质.请同学们拿出你的一枝笔，如果把桌面看作一个平面，把你的笔看作是一条直线的话，你觉得在什么情况下，才能使你的笔所代表的直线上所有点都能在桌面上?(生尝试探究，讨论交流，抽象出公理1)公理1:如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.(师组织学生将公理1分别用符号语言和图形语言表示出来)如图,a AB a B a A ⊂⇒⎭⎬⎫∈∈直线.合作探究:公理1说明了什么?它可以帮助我们解决哪些几何问题?(师生共同探究交流得出如下结论)知识拓展:公理1说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直”来刻画平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法.师请同学们拿起一本书，把书本的一个角放在桌面上，如果我们分别把书本和桌面都看作一个平面的话，试问这两个平面是否就只有这一个公共点，如果还有其他公共点的话，它们和这个公共点有什么关系?(生讨论交流，师结合学生的讨论及时归纳总结抽象出公理2)公理2:如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.师请用图形语言和符号语言表示公理2，并在教室内寻找符合公理2的空间模型. (生讨论完成，师板书公理2的符号语言表示式)l P l P P ∈⋂⇒⎭⎬⎫∈∈且＝βαβα. 师公理2说明了空间中的什么问题?它可以帮助我们解决哪些几何问题?(生思考，师适当提示)师公理2揭示了两个平面相交的主要特征，提供了在空间确定两个平面交线的一种方法. 师为什么当一个人在学会走路之前总会有一段爬行的人生经历，同时也有一段拄着拐杖的人生历程?在爬行与拄拐杖这两件事情中是否隐含着什么数学理论呢?(生思考，师解释，激发学生的学习积极性，并由此抽象出公理3)师由于小孩小的时候，小脑还没有发育好，身体平衡能力还很差，不能很平稳的用双脚直立并行走，所以借助于一只手和两个膝盖来确定一个平面或用两只手和一个膝盖来支撑一个平面，来使身体在爬行过程中保持平衡.在老了的时候，身体的平衡能力也会下降，借助于拐杖来支起一个平面保持身体在行走过程中的平衡，这和自行车要装一个撑脚的道理一样，你能说出其中的道理吗?生可以，那就是三点确定一个平面.师回答得很好，你对你的回答还有要补充的吗?(生思考)师不知同学们有没有留意，自行车的撑脚一般都安装在自行车的什么地方?生安装在自行车的侧面.师为什么不安装在与自行车的后轮在同一直线的某一个地方呢?生那样自行车就撑不起来了.师那么我们应该怎样完善刚才的结论呢?(生交流，抽象出公理3并用图形语言和符号语言来表示公理3，强调公理中的“不在同一条直线上”)公理3:经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.师1.如何理解公理3中的“有且只有一个”?2.公理3总结了空间中怎样的规律?它可以帮助我们解决哪些问题?(师生讨论交流，得出如下结论)师对于公理3中“有且只有一个”的含义:“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一.不能仅用“只有一个”来替代“有且只有一个”，否则就没有表达出存在性的含义.公理3提供了空间确定平面的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要途径，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分利用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法.【例3】下列叙述中正确的是()A.因为P∈α, Q∈α,所以PQ∈αB.因为P∈α, Q∈β,所以α∩β=PQC.因为AB⊂α, C∈AB,D∈AB,所以CD∈αD.因为AB⊂α, AB⊂β,所以A∈(α∩β)且B∈(α∩β)(多媒体显示，生讨论完成)师直线可以看作是点的集合,平面可以看作是直线的集合，故点和直线之间只能用“∈、∉”表示，而不能用“⊂、⊄”表示，直线和平面之间只能用“⊂、⊄”表示，而不能用“∈、∉”表示.解析:本题主要考查点与直线的关系、点与平面的关系、直线与平面的关系的符号表示以及对公理1、公理2的理解情况.命题A:PQ∈α表示错误，直线和平面之间只能用“⊂、⊄”表示，而不能用“∈、∉”表示.命题B:线段PQ也可以只是两个端点分别在两个平面内，其余的点均不在这两个平面内.命题C:CD∈α表示错误.直线和平面之间只能用“⊂、⊄”表示，而不能用“∈、∉”表示.命题D:符合公理2,所以正确.(三)目标检测课本第23页练习.课堂小结(师组织学生围绕以下三个问题对本课进行总结)1.平面的概念、表示及记法.2.空间中点、线、面位置关系的图形及符号表示.3.平面的三条性质及用途.公理1为证明直线在平面内提供了依据.没有特别说明的“两个平面”，以后均指不重合的两个平面.两个不重合的平面，只要它们有公共点，它们就是相交的位置关系，交集是一条直线.公理2为证明若干点共线提供了一条新的途径.公理3中，“有且只有一个”的含义:“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一.不能仅用“只有一个”来替代“有且只有一个”，否则就没有表达出存在性的含义.布置作业课本第28页习题1.2(1)第1、2、3题.板书设计1.2.1平面的基本性质平面的图形表示和符号表示平面的三条性质例题解析与学生训练课堂小结与布置作业活动与探究1.空间的三个平面可以将空间分成几部分?四个平面呢?试分别制作模型加以说明.2.列举、搜集生活中与平面的三条性质有关的实际问题并用三个公理加以解释.参考答案:1.当三个平面平行时可以将空间分成四部分；当其中两个平面平行第三个平面和它们都相交时可以将空间分成六部分；当三个平面两两相交且只有一条交线时也可以将空间分成六部分；当三个平面两两相交且有三条交线时可以将空间分成七部分或八部分．（图略）2.略.习题详解课本第28页习题1.2(1)解答1.当它们不交于同一点时，共面;当它们交于同一点时，可能共面也可能不共面.2.不一定.当四个交点不共面时，所得图形就不是平面图形.3.略.4.空间不共面的四个点能确定四个平面.5.由这三条直线中的任意两条所确定的平面共有2个.6.不能.因为AD1和BB1是异面直线.7.如图，在线段AD上取一点M，使A M=A1E1,在线段AB上取一点N，使A N=A1F1,连结M E1、N F1,则四边形AA1E1M、A N F1A1均为平行四边形.∴M E1AA1,N F1AA1.∴M E1N F1，从而四边形MN F1E1为平行四边∴MN E1F1.又∵A M=CE,CF=A N,∴Rt△A MN≌Rt△CEF.∴MN =EF.同理可证M E=N F,∴四边形MN FE 为平行四边形.∴MN ??EF.∴E 1F 1EF.8.解:如图，连结BD,B 1D 1.∵E、F 分别是CD 、BC 的中点，∴可得EF∥BD.又∵BD∥B 1D 1,∴EF∥B 1D 1.则∠AD 1B 1就是异面直线AD 1和EF 所成的角.又∵AB 1=B 1D 1=AD 1,∴△AB 1D 1是等边三角形.∴异面直线AD 1和EF 所成的角为60°.9.AC 、BD 一定是异面直线.若AC 、BD 可以确定一个平面，则AB 、CD 共面，与已知矛盾.10.延长C 1M 和CB 交于P ，延长A 1M 和AB 交于Q ，则直线PQ 就是平面A 1C 1M 与平面ABCD 的交线.11.不一定是异面直线，可以借助于正方体的棱长来解释.12.(1)由E 、F 分别是AB 、BC 的中点，得EF∥AC，且EF=21AC,同理GH∥AC，且GH=21AC ，EF GH,即四边形为平行四边形.(2)由已知得EH=21BD,EF=21AC,BD=AC,所以EH=EF.由(1)得四边形是平行四边形，所以四边形是菱形.(3)当AC 和BD 垂直，且AC=BD 时,四边形EFGH 是正方形.13.如图,三棱锥A —BCD 中，E 、G 分别是BC 、AB 的中点,F 在CD 上,H 在AD 上,且有32==FC DF HA DH .求证:EF 、GH 、BD 交于一点.分析:要证明EF 、GH 、BD 交于一点，可以先证明EF 和BD 交于一点，再证明EF 和BD 的交点在GH 上，或证明GH 过EF 和BD 的交点.证明:连结FH 、EG ，∵32==FC DF HA DH , ∴FH∥AC，且FH=52AC. 又E 、G 分别是BC 、AB 的中点, ∴GE∥AC,GE=21AC. 于是GE∥HF 且GE≠HF.∴四边形EGHF 是梯形.∴GH 与EF 延长线必相交，记其交点为P .∵P ∈GH,GH 平面ABD,∴P ∈平面ABD.同理可证P ∈平面BCD.∵平面ABD∩平面BCD=BD,∴P ∈BD.∴EF、GH 、BD 交于一点.点评:本题在证明过程中，先运用题中已知条件证明GH 、EF 相交于点P ，再找出两个分别过这两条直线且交线为BD 的相交平面，进而证明该点在交线上.这是我们证明线共点问题的常用策略.证明点共线问题时，可以先确定其中两条直线交于一点，再证明其他直线过该点或该点在其他直线上。

两条直线的平行与垂直（2）分层训练1. 若直线10ax y -+=和直线210x by +-=垂直，则,a b 满足 ( )(A) 20a b += (B) 20a b -=(C) 20ab += (D) 20ab -=2.已知两点(2,0),(0,4)A B -，则与直线AB 垂直的直线方程可写成 ( )(A) 20x y m ++= (B) 20x y m -+= (C) 20x y m ++= (D) 20x y m -+=3.已知两点(1,3),(3,1)A B -，点C 在坐标轴上．若2ACB π∠=，则这样的点C 有 ( )(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个4. 原点在直线l 上的射影是(2,1)P -，则l 的方程为 （ ）(A) 20x y += (B) 240x y +-=(C) 250x y -+= (D) 230x y ++=5. 已知直线420mx y +-=和250x y n -+=互相垂直，且垂足为(1,)p ，则m n p -+的值是 （ ）(A) 24 (B) 20 (C) 0 (D) 4-6. 根据条件，判断直线1l 与2l 是否垂直：（１）1l 的倾斜角为45o ，2l 的方程是1x y +=： ；（２）1l 经过点(1,0),(4,5)M N ，2l 过点(6,0),(1,3)R S --： .7.直线l 在y 轴上的截距为2，且与直线':320l x y +-=垂直，则l 的方程是 ．8. 已知直线420Ax y +-=和直线20x y C -+=垂直且垂足的坐标为(1,)m ，则A = ， C = ，m = .9．求经过点(2,1)，且与直线2100x y +-=垂直的直线l 的方程．10.已知正方形的一个顶点为(1,0)A -,一边所在的直线方程为350x y +-=,求以A 为端点的两边所在直线的方程.拓展延伸11.已知直线1:(2)(3)50l a x a y +++-=和2:6(21)50l x a y +--=,求当a 为何值时12l l ⊥．12.若三角形的一个顶点是(2,3)A ,两条高所在的直线的方程为230x y -+=和40x y +-=,试求此三角形三边所在直线的方程.本节学习疑点：。