河南省郑州市2020届高三毕业班第二次质量预测数学试卷word版

2020年河南省郑州市高中毕业年级第二次质量预测理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A． B．C． D．2.若复数,则复数在复平面内对应的点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.命题“”的否定为( )A．B．C．D．4.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率等于( )A．B． C.D．5.运行如图所示的程序框图，则输出的为( )A．1009 B．-1008 C.1007 D．-10096.已知的定义域为，数列满足,且是递增数列，则的取值范围是( )A． B． C. D．7.已知平面向量满足,若,则的最小值为( ) A．-2 B．- C. -1 D．08.《红海行动》是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撒侨任务的故事.撒侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务必须排在前三位，且任务必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有( ) A．240种 B．188种 C.156种 D．120种9.已知函数,若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数的图象( )A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度10.函数在区间上的大致图象为( )A． B．C. D．11.如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，且过点，圆,过圆心的直线与抛物线和圆分别交于,则的最小值为( )A．23 B．42 C.12 D．5212.已知,,若存在,使得,则称函数与互为“度零点函数”.若与互为“1度零点函数”，则实数的取值范围为( )A． B． C. D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知二项式的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中的系数为．14.已知实数满足条件则的最大值为．15.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中一些数学用语可见，譬如“憋臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥.某“憋臑”的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为1）如图所示，已知几何体高为，则该几何体外接球的表面积为．16.已知椭圆的右焦点为,且离心率为，的三个顶点都在椭圆上，设三条边的中点分别为，且三条边所在直线的斜率分别为，且均不为0.为坐标原点，若直线的斜率之和为1.则．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.内接于半径为的圆，分别是的对边，且.(Ⅰ)求；(Ⅱ)若是边上的中线，，求的面积.18.光伏发电是将光能直接转变为电能的一种技术，具有资源的充足性及潜在的经济性等优点，在长期的能源战略中具有重要地位，2015年起，国家能源局、国务院扶贫办联合在6省的30个县开展光伏扶贫试点，在某县居民中随机抽取50户，统计其年用量得到以下统计表.以样本的频率作为概率.(Ⅰ)在该县居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为，求的数学期望；(Ⅱ)在总结试点经验的基础上，将村级光伏电站稳定为光伏扶贫的主推方式.已知该县某自然村有居民300户.若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/度的价格进行收购.经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电1000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接受益多少元？19.如图所示四棱锥平面为线段上的一点，且,连接并延长交于.(Ⅰ)若为的中点，求证：平面平面；(Ⅱ)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.20.已知圆,点为平面内一动点，以线段为直径的圆内切于圆,设动点的轨迹为曲线.(Ⅰ)求曲线的方程；(Ⅱ)是曲线上的动点，且直线经过定点，问在轴上是否存在定点，使得，若存在，请求出定点，若不存在，请说明理由.21.已知函数.(Ⅰ)求曲线在处的切线方程；(Ⅱ)求证：当时，.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点的极坐标为，直线的极坐标方程为，且过点，曲线的参数方程为(为参数).(Ⅰ)求曲线上的点到直线的距离的最大值；(Ⅱ)过点与直线平行的直线与曲线交于两点，求的值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数.(Ⅰ)若不等式对恒成立，求实数的取值范围；(Ⅱ)当时，函数的最小值为,求实数的值.2020年高中毕业年级第二次质量预测理科数学参考答案一、选择题1-5: BCCBD 6-10: DBDCA 11、12：AB二、填空题13.4860 14. 15. 16.三、解答题17.解：（Ⅰ）由正弦定理得，可化为即.(Ⅱ)以为邻边作平行四边形，在中，.在中，由余弦定理得.即：,解得，.故1sin 2ABC S bc A ∆== 18.解：(Ⅰ)记在抽取的50户居民中随机抽取1户，其年用电量不超过600度为事件，则.由已知可得从该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为，服从二项分布，即，故.(Ⅱ)设该县山区居民户年均用电量为，由抽样可得7815137()1003005007009005205050505050E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=则该自然村年均用电量约156 000度.又该村所装发电机组年预计发电量为300000度，故该机组每年所发电量除保证正常用电外还能剩余电量约144 000度，能为该村创造直接收益元.19. 解：（Ⅰ）在中，，故,23BCD CBE CEB ππ∠=∠=∠=，因为，∴，从而有.3FED BEC AEB π∠=∠=∠=∴FED FEA ∠=∠，故． 又，．又平面，故平面，，CF EF F ⋂=故平面.又AD ⊂平面，∴平面平面.（Ⅱ）以点为坐标原点建立如图所示的坐标系，则(000)(200)(30)(00)(003).A B C D P ，，，，，，，，，，故(10BC =uu u r，(33CP =-，）uu r，(30CD =-uu u r． 设平面的法向量111(1)y z =，，n ，则11110,330,z ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩解得112.3y z ⎧=⎪⎨⎪=⎩即12(1).3=，n 设平面的法向量222(1)y z =，，n，则22230330z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，，解得222y z ⎧⎪⎨=⎪⎩，即2(12)=n ．从而平面与平面的夹角的余弦值为12124||3cos ||||θ===n n n n20.解：（Ⅰ）设的中点为，切点为，连，则，取关于轴的对称点，连，故．所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆．其中，曲线方程为.(Ⅱ)假设存在满足题意的定点Q ，设(0,),Q m 设直线的方程为，，得22(34)4110.k x kx ++-=由直线作直线故121222411,,3434k x x x x k k --+=⋅=++ 由得MQO NQO ∠=∠,得直线得MQ 与NQ 斜率和为零.故121212121212121112()()2220,kx m kx m kx x m x x y m y m x x x x x x +-+-+-+--+=+== 1212222111144(6)2()()2()0.23423434k k m kx x m x x k m k k k ---+-+=⋅+-⋅==+++存在定点，当斜率不存在时定点也符合题意．21.（Ⅰ）'()2xf x e x =-， 由题设得'(1)2f e =-，(1)1f e =-，()f x 在1x =处的切线方程为(2) 1.y e x =-+(Ⅱ)x e x f x 2)('-=，2)(''-=xe xf ，∴)('x f 在)2ln ,0(上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增，所以02ln 22)2(ln ')('>-=≥f x f ，所以)(x f 在]1,0[上单调递增，所以max ()(1)1,[0,1]f x f e x ==-∈.)(x f 过点)1,1(-e ，且)(x f y =在1=x 处的切线方程为1)2(+-=x e y ，故可猜测：当1,0≠>x x 时，)(x f 的图象恒在切线1)2(+-=x e y 的上方.下证：当0>x 时，,1)2()(+-≥x e x f设()()(2)1,0g x f x e x x =--->，则2)(''),2(2)('-=---=xxe x g e x e x g ，)('x g 在)2ln ,0(上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增，又'(0)30,'(1)0,0ln21g e g =->=<<，∴0)2(ln '<g ，所以，存在0(0,12)x n ∈，使得0'()0g x =，所以，当),1(),0(0+∞∈ x x 时，0)('>x g ；当)1,(0x x ∈时，0)('<x g ，故)(x g 在),0(0x 上单调递增，在)1,(0x 上单调递减，在),1(+∞上单调递增， 又0)1()0(==g g ，∴01)2()(2≥----=x e x e x g x ，当且仅当1=x 时取等号，故0,1)2(>≥--+x x xx e e x . 又ln 1x x ≥+，即1ln 1)2(+≥--+x xx e e x ，当1=x 时，等号成立. 22.解：(Ⅰ)由直线过点A则易得直线的直角坐标方程为20x y +-=根据点到直线的距离方程可得曲线1C 上的点到直线l 的距离(Ⅱ)由（1）知直线的倾斜角为34π， 则直线的参数方程为31cos ,431si (n ,4)x t y t f x ππ⎧⎪⎪=⎨=-+=+⎪⎪⎩（t 为参数）. 又易知曲线的普通方程为22143x y +=. 把直线的参数方程代入曲线t 23.解：(Ⅰ)()12f x x +-≥可化为||112ax x -+-≥．||1122a a x x -+-≥-∴11,2a -≥解得：0a ≤或4a ≥．∴实数a 的取值范围为(,0][4,).-∞+∞ （Ⅱ）函数()21f x x a x =-+-的零点为2a 和1，当2a <时知 1.2a <31,(),2()1,(1),231,(1),a x a x a f x x a x x a x ⎧-++<⎪⎪⎪∴=-+≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩如图可知()f x 在(,)2a-∞单调递减，在[,)2a +∞单调递增， min ()()11,22a a f x f a ∴==-+=-解得：4 2.3a =<4.3a ∴=。

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理科数学试题卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合{|135}A x a x a =+≤≤-，{|322}B x x =<<，且A
B A =，则实数a 的取值范围是（ ）
A. (,9]-∞
B. (,9)-∞
C. [2,9]
D. (2,9) 【答案】B
【解析】
【分析】
由A B A =得到A B ⊆，建立不等式，即可求出a 的取值范围．
【详解】解：{|135}A x a x a =+≤≤-，{|322}B x x =<<，且A B A = 所以A B ⊆，当A =∅时，135a a +>-解得3a <；
当A ≠∅时，
∴352213513a a a a -<⎧⎪+≤-⎨⎪+>⎩
解得39a ≤<
9a ∴<
故选：B 【点睛】本题考查集合的包含关系，考查解不等式，属于基础题． 2.已知复数32i z i +=
（i 其中是虚数单位，满足21i =-），则z 的共轭复数是（ ） A. 12i -
B. 12i +
C. 12i --
D. 12i -+ 【答案】C
【解析】
【分析】
由21i =-化简分母，然后再由复数代数形式的乘除运算化简复数z ，则z 的共轭复数可求．
【详解】解：322222(2)12i i i i i z i i i i i i ++++=
====-+--， 则12z i =--．。

河南省郑州市2020年高中毕业年级第二次质量预测文科数学试题卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设函数29y x ＝－的定义域为A ，函数y ＝ln （3－x ）的定义域为B ，则A ∩B ＝ A ．（－∞，3） B ．（－8，－3） C ．{3} D ．[－3，3） 2．已知复数z ＝a －i （a ∈R ），若8z z ＋＝，则复数z ＝A ．4＋iB ．4－iC ．－4＋iD ．－4－i3．已知命题p ：x ∀＞0，则3x ＞1；命题q ：若a ＜b ，则a 2＜b 2，下列命题为真命题的是 A ．p ∧q B ．p ∧q ⌝ C ．p ⌝∧q D ．p ⌝∧q ⌝ 4．若m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是A ．若m ⊂β，α⊥β，则m ⊥αB ．若m ⊥β，m ∥α，则α⊥βC ．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γD ．若α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，m ∥n ，则α∥β 5．郑州市2019年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是A ．20B ．21C ．20.5D ．236．在如图所示的程序框图中，若输出的值是4，则输入的x 的取值范围是A ．（2，＋∞）B ．（2，4]C ．（4，10]D ．（4，＋∞）7．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF ·BC 的值为A ．－58 B ．18 C ．14D ．118 8．已知双曲线22221x y a b－＝（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线与直线3x －y ＋5＝0垂直，则双曲线的离心率为A ．10B ．10C ．3D ．1039．函数()224x x f x ＝－的图象大致为的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等．劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等．记区域A 为不平等区域，a 表示其面积；S 为△OKL 的面积．将aGini S＝，称为基尼系数．对于下列说法： ①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为y ＝f （x ），则对x ∀∈（0，1），均有()f x x＞1； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为211y x ＝－－（x ∈[0，1]），则12Gini π＝－； 其中正确的是：A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③11．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，三棱锥A 1—BC 1D 内切球的表面积为4π，则正方体外接球的体积为 A ．86π B ．36π C ．323π D ．646π 12．已知函数()2f x xπ＝－，g （x ）＝x ·cosx －sinx ，当x ∈[－4π，4π]且x ≠0时，方程f （x ）＝g （x ）根的个数是A ．5B ．6C ．7D ．8 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．幂函数f （x ）＝（m 2－3m ＋3）x m 的图象关于y 轴对称，则实数m ＝_________． 14．将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax ＋by ＝0与圆（x －2）2＋y 2＝2有公共点的概率为___________．15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b ＝3，()3sin 3cos c A A b ＝＋， 则△ABC 的面积的最大值为_________．16．据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI （居民消费价格指数），同比上涨4．5％，CPI 上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI 上涨3．27个百分点．下图是2019年11月CPI 一篮子商品权重，根据该图，下列四个结论正确的有________．①CPI 一篮子商品中权重最大的是居住②CPI 一篮子商品中吃穿住所占权重超过50％ ③猪肉在CPI 一篮子商品中权重为2.5％三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分 17．（12分）已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且n S ＝2n ＋2n －1． （Ⅰ）求数列{n a }的通项公式； （Ⅱ）若11n n n b a a ＋＝，求数列{n b }的前n 项和为n T ．18．（12分）在改革开放40年成就展上有某地区某农产品近几年的产量统计如表：（Ⅰ）根据表中数据，建立y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a ＝＋； （Ⅱ）根据线性回归方程预测2020年该地区该农产品的年产量．19．（12分）如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ，D 是AC 的中点． （Ⅰ）求证：B 1C ∥平面A 1BD；（Ⅱ）若∠A 1AB ＝∠ACB ＝60°，AB ＝BB 1，AC ＝2，BC ＝1，求三棱锥C —AA 1B 的体积．20．（12分）已知椭圆C ：22221x y a b＋＝（a ＞b ＞0）的短轴长为，离心率为2．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）直线l 平行于直线by x a＝，且与椭圆C 交于A ，B 两个不同的点，若∠AOB 为钝 角，求直线l 在x 轴上的截距m 的取值范围． 21．（12分）已知函数()ln x f x x a ＝＋（a ∈R ），曲线y ＝f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线方程为1y e＝． （Ⅰ）求实数a 的值，并求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）求证：当x ＞0时，f （x ）≤x －1．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，圆C 的方程为2sin a ρθ＝（a ＞0）．以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为3143x t y t ⎧⎨⎩＝＋，＝＋（t 为参数）．（Ⅰ）求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且｜AB．求实数a 的取值范围．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f （x ）＝｜x ＋1｜－a ｜x －1｜． （Ⅰ）当a ＝－2时，解不等式f （x ）＞5； （Ⅱ）若f （x ）≤a ｜x ＋3｜，求a 的最小值．2020年高中毕业年级第二次质量预测文科数学 评分参考一、选择题：1.D;2.B;3.B;4.B;5.C;6.B;7.B;8.D;9.D; 10.B; 11.B; 12.D. 二、填空题： 13.2; 14.;12716.1,2.3. 三、解答题：17.解：（1）当1=n 时，.211==S a ………………………1分 当2≥n 时，()()()[].12112112221+=--+---+=-=-n n n n n S S a n n n…3分而11221+⨯≠=a ， 所以数列{}n a 的通项公式为⎩⎨⎧≥+==.2,12,1,2n n n a n…………………………5分（2）当1=n 时，101521a a 1b 211=⨯==， …………………………6分 当2≥n 时，()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++=3211212132121n n n n b n ，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+==.232112121,1,101n n n n b n ，…………………………8分当1=n 时，10111==b T ， …………………………9分 当2≥n 时，n n b b b b T +⋅⋅⋅+++=321⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=3211219171715121101n n .3020143215121101++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=n n n……………………………10分 又301201141011+⨯+⨯==T 适合，所以.302014++=n n T n……………………………12分 18.解：（1）由题意可知：,5.36654321=+++++=x………………………………1分764.72.71.777.66.6=+++++=y ， ………………………………2分()()()(),5.175.25.15.05.05.15.2222222612=+++-+-+-=-∑=i ix x…………4分所以()()()，16.05.178.2ˆ121==---=∑∑==ni ini iix x yyx x b…………………………6分又,44.65.316.07ˆˆ=⨯-=-=x b y a…………………………8分故y 关于x 的线性回归方程为.44.616.0ˆ+=x y…………………………9分 （2）由（1)可得，当年份为2020年时，年份代码,7=x ，此时.56.744.6716.0yˆ=+⨯=， …………………………11分 所以可预测2020年该地区该农产品的年产量约为7.56万吨. ………………12分 19.解：（1）连结1AB 交B A 1于点O ，则O 为1AB 的中点， 因为D 是AC 的中点，所以C B OD 1//，…………………2分 又⊂OD 平面BD A 1，C B 1⊄平面BD A 1,所以//1C B 平面BD A 1. ………………………………5分 （2）,60ACB ,1BC ,2AC=∠==,3ACB COS BC AC 2BC AC AB 222=∠⋅⋅-+=∴.3AB =∴, ……………6分 .,222BC AB BC AB AC ⊥∴+=∴又 平面B B AA 11⊥平面ABC ，平面 B B AA 11平面AB ABC =,∴⊥BC 平面B B AA 11. ………………………………8分 601=∠AB A ,.3AA ,AA BB AB 111=∴==.433AB A sin AA AB 21S 11AB A 1=∠⋅⋅⋅=∴∆……………………………10分 .4343331BC S 31V AB A AB A C 11=⨯=⋅=∴∆- ………………………12分20.解：（1）由题意可得222=b ，所以2=b ， ………………1分32b c ，解得22=a ， ……………………………3分所以椭圆C 的标准方程为.12822=+y x……………………………5分 （2）由于直线l 平行于直线x a b y =，即x y 21=，设直线l 在y 轴上的截距为n ， 所以l 的方程为()021≠+=n n x y . ……………………………6分 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=1282122y x n,x y 得042222=-++n nx x ， 因为直线l 与椭圆C 交于A ，B 两个不同的点，所以()()0424222>--=∆n n ，解得2n 2<<-. ……………………………8分设()()2211,,,y x B y x A ，则,221n x x -=+.42221-=n x xAOB ∠为钝角等价于0<⋅OB OA ,且0≠n ， ……………………………9分由⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛++=+=⋅n x n x x x y y x x OB OA 212121212121 ()()()02242452452222121<+-+-=+++=n n nn n x x n x x ，即22<n ，且0≠n ， 直线l 在y 轴上的截距n 的取值范围()().2,00,2 - 所以直线l 在x 轴上的截距m 的取值范围()().22,00,22-………………12分21. 解：（1）()()()2ln ln a x xx ax x f a x x x f +-+='∴+=， ， ()()2a e e ae f +='∴， ………………………3分 又曲线()x f y =在点()()e f e ,处的切线方程为ey 1=，()0='e f ，即.0=a ()()()2ln 10ln xxx f x a x x x f -='∴>+=， ， 令()0>'x f ，得0ln 1>-x ，即;0e x << 令()0<'x f ，得0ln 1<-x ，即e x >，所以()x f 的单调增区间是()e ,0，单调减区间是().,+∞e …………………5分（2）当0>x 时，要证()，1-≤x x f 即证0ln 2≤+-x x x ， 令()(),0ln 2>+-=x x x x x g则()()(),121211212xx x x x x x x x g +--=-+=+-='………………………9分 当10<<x 时，(),0>'x g ()x g 单调递增； 当1>x 时，(),0<'x g ()x g 单调递减，所以()(),01=≤g x g 即当0>x 时，().1-≤x x f …………………………12分22. 解：（Ⅰ）C 的直角坐标方程为222()y a x a +=-， ………………………2分消t 得到4350x y -+=………………………………………4分（Ⅱ）要满足弦AB ≥及圆的半径为a 可知只需圆心（0，a ）到直线l 的距离12d a ≤即可。

河南省郑州市2020届高中毕业年级第二次质量预测数 学（理科）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合}531|{-≤≤+=a x a x A ，}223|{<<=x x B ，且A B A =I ，则实数a的取值范围是 A ．]9,(-∞B ．)9,(-∞C ．]9,2[D ．)9,2(2．已知复数32iiz +=（其中i 是虚数单位，满足12-=i ），则z 的共轭复数是 A ．i 21- B ．i 21+ C ．i 21-- D ．i 21+-3．郑州市2019年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如下： 则这组数据的中位数是 A ．20 B ．21 C ．20.5 D ．234． 圆4)12()2(22=-++y x 关于直线08=+-y x 对称的圆的方程为A ．4)2()3(22=+++y xB ．4)6()4(22=-++y xC ．4)6()4(22=-+-y xD ．4)4()6(22=+++y x5． 在边长为30米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源，已知这个光源发出的光线过旋转轴的截面是一个等腰直角三角形， 要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为A ．30米B ．20米C ．215米D ．15米6．若⎪⎭⎫⎝⎛∈ππα,2，⎪⎭⎫⎝⎛-=απα4sin 2cos 2，则α2sin 的值为A ．87- B ．87 C ．81- D ．817．在如图所示的程序框图中，若输出的值是4，则输入x 的取值范围是A ．),2(+∞B ．]4,2(C ．]10,4(D ．),4(+∞8． 为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨 曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL 时，表示 收入完全平等．劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示 收入完全不平等．记区域A 为不平等区域，a 表示其面积；S 为OKL ∆的面积，将SaGini =，称为 基尼系数．对于下列说法：①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为)(x f y =，则对)1,0(∈∀x ，均有1)(>xx f ； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为])1,0[(2∈=x x y ，则41=Gini ； ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为])1,0[(3∈=x x y ，则21=Gini ．其中正确的是： A ．①④ B ．②③ C ．①③④ D ．①②④ 9． 2019年10月1日是中华人民共和国成立70周年国庆日，将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为 A ．96 B ．84 C ．120 D ．360 10．已知等差数列}{n a 的公差0=/d ，且1a ，3a ，13a 成等比数列，若11=a ，n S 为数列}{n a 的前n 项和，则362++n n a S 的最小值为A ．4B ．3C ．232-D ．2 11．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”．现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的 直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球 面上，则该球的表面积为A ．π6B ．π2C ．π6D ．π2412．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的右焦点为F ，过F 作直线x ab y -=的垂线，垂足为M ，且交双曲线的左支于N 点，若2=，则该双曲线的离心率为 A ．3B ．2C ．5D ．7二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．二项式62⎪⎭⎫⎝⎛+x x 的展开式中的常数项为 。

河南省郑州市2020届高中毕业年级第二次质量预测数 学（理科）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合}531|{-≤≤+=a x a x A ，}223|{<<=x x B ，且A B A = ，则实数a的取值范围是 A ．]9,(-∞B ．)9,(-∞C ．]9,2[D ．)9,2(2．已知复数32iiz +=（其中i 是虚数单位，满足12-=i ），则z 的共轭复数是 A ．i 21- B ．i 21+ C ．i 21-- D ．i 21+-3．郑州市2019年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如下： 则这组数据的中位数是 A ．20 B ．21 C ．20.5 D ．234． 圆4)12()2(22=-++y x 关于直线08=+-y x 对称的圆的方程为A ．4)2()3(22=+++y xB ．4)6()4(22=-++y xC ．4)6()4(22=-+-y xD ．4)4()6(22=+++y x5． 在边长为30米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源，已知这个光源发出的光线过旋转轴的截面是一个等腰直角三角形， 要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为A ．30米B ．20米C ．215米D ．15米6．若⎪⎭⎫⎝⎛∈ππα,2，⎪⎭⎫⎝⎛-=απα4sin 2cos 2，则α2sin 的值为A ．87- B ．87 C ．81- D ．817．在如图所示的程序框图中，若输出的值是4，则输入x 的取值范围是A ．),2(+∞B ．]4,2(C ．]10,4(D ．),4(+∞8． 为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨 曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL 时，表示 收入完全平等．劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示 收入完全不平等．记区域A 为不平等区域，a 表示其面积；S 为OKL ∆的面积，将SaGini =，称为 基尼系数．对于下列说法：①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为)(x f y =，则对)1,0(∈∀x ，均有1)(>xx f ； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为])1,0[(2∈=x x y ，则41=Gini ； ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为])1,0[(3∈=x x y ，则21=Gini ．其中正确的是： A ．①④ B ．②③ C ．①③④ D ．①②④ 9． 2019年10月1日是中华人民共和国成立70周年国庆日，将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为 A ．96 B ．84 C ．120 D ．360 10．已知等差数列}{n a 的公差0=/d ，且1a ，3a ，13a 成等比数列，若11=a ，n S 为数列}{n a 的前n 项和，则362++n n a S 的最小值为A ．4B ．3C ．232-D ．2 11．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”．现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的 直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球 面上，则该球的表面积为A ．π6B ．π2C ．π6D ．π2412．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的右焦点为F ，过F 作直线x ab y -=的垂线，垂足为M ，且交双曲线的左支于N 点，若2=，则该双曲线的离心率为 A ．3B ．2C ．5D ．7二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．二项式62⎪⎭⎫⎝⎛+x x 的展开式中的常数项为 。

郑州市2020年高中毕业年级第二次质量预测理科数学 评分参考一、选择题BCCCA ABBBD CC 二、填空题13.160； 14.8； 15.3； 16. [1,).e ++∞三、解答题17.(1)设等差数列的公差为，则……………………3分{}n a d 1211172177,(60)(10),+=⎧⎨+=+⎩a d a a d a d 解得 ………………5分15,2 3.2,n a a n d =⎧∴=+⎨=⎩(2)由1111111,(2,).n n n n n n a a n n b b b b -+--=∴-=≥∈*N 当时，2n ≥1211122111111111111()()()-----=-+-++-+=++++n n n n n n n a a a b b b b b b b b b = …………………………8分(1)(25)3(2).n n n n --++=+对也适合， ………………………9分113=b…………………10分1111(2)()().22n n n n n N b b n n ∴=+∈∴=-+ 12分2111111131135(1)().2324222124(1)(2)n n n T n n n n n n +∴=-+-++-=--=+++++ 18. (I)作出列联表：22⨯青春组 风华组 合计 男生 7 6 13 女生 5 12 17 合计121830………………………3分由列联表数据代入公式得，…………………5分 22() 1.83()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=≈++++因为1.83<2.706，故没有90%的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关. ………………………… 6分(Ⅱ) 用A 表示“至少有1人在青春组”，则. …………… 8分23257()110C p A C =-=(III)由题知，抽取的30名学生中有12名学生是青春组学生，抽取1名学生是青春组学生的概率为，那么从所有的中学生中抽取1名学生是甲组学生的概率是，又因为所122305=25取总体数量较多，抽取4名学生可以看出4次独立重复实验，于是服从二项分布ξ.2(4,)5B ………………………10分显然的取值为0，1，2，3, 4 . 且.ξ4422()()(1),0,1,2,3,455ξ-==-=kk k P k C k 所以得分布列为：数学期望 …………………………12分28455ξ=⨯=E19.（Ⅰ）设点在平面上的射影为点，连接，则平面， D ABC E DE DE ⊥ABC ∴.………………………………………………………………………2分 DE BC ⊥∵四边形是矩形，∴，∴平面，∴. ABCD AB BC ⊥BC ⊥ABD BC AD ⊥………………………………………………………………………………………4分又，所以平面，而平面，∴平面平面. AD CD ⊥AD ⊥BCD AD ⊂ABD ⊥ABD BCD ………………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）以点为原点，线段所在的直线为轴，线段所在的直线为轴，建立空间B BC x AB y 直角坐标系，如图所示.设，则，∴，. AD a =2AB a =(0,2,0)A a (,0,0)C a 由（Ⅰ）知，又，∴，， AD BD ⊥2ABAD=30DBA ∠=︒60DAB ∠=︒∴，，， cos AE AD DAB =⋅∠12a =32BE AB AEa =-=sin DE AD DAB =⋅∠=∴，∴，.………………8分 3(0,)2D a a 1(0,)2AD a =- (,2,0)AC a a =-ξ0 1 2 3 4P 81625 216625 216625 96625 16625设平面的一个法向量为，ACD (,,)m x y z =则，即 00m AD m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩10,220.ay ax ay ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩不妨取，则，.1z=y=x =m =而平面的一个法向量为，…………………………………………10分ABC (0,0,1)n =∴. cos ,m n ||||m n m n ⋅==14=故二面角的余弦值为.…………………………………………………12分 D AC B --1420.解(I)设……………………………2分(),A x y 化简得，…（3分）所以，动点的轨迹的方程为… 4分22412+=x y A C 22 1.123x y +=(Ⅱ)解：设，，则由斜率之积，得，………6分 ),(11y x A ),(22y x B 121214=-y y x x ，因为点在椭圆上，221221)()(||y y x x AB -+-=,M N C 所以化简得． …………………………8分 222212123,3.44x x y y =-=-221212+=x x 直线的方程为，原点到直线的距离为AB 0)()(21121212=-+---y x y x y x x x y y O MN.)()(2122121221y y x x |y x y x |d -+--=所以，的面积， ∆MON ||21||211221y x y x d AB S AOB -=⋅⋅=∆根据椭圆的对称性，四边形的面积，……10分 M N P Q S ||21221y x y x -=所以，)2(4)(4212221212221212212y x y y x x y x y x y x S +-=-=，所以221212()144+=x x 12.S =所以，四边形的面积为定值12． ……………………………………12分 M N P Q21.解析：（Ⅰ）当时，曲线 1=a ()().1ln +=⋅=x xx x g x f y………………………2分()()()()221ln 1ln ln 1.11x x x x x x y x x ++-++'==++时，切线的斜率为，又切线过点 1x =12()1,0所以切线方程为…………………………4分 210x y --=（Ⅱ）， ()()()2111,()1''==+f x ax g x x ………5分 ()()()()()()2221111(,11x ax F x f x g x ax x ax x +-'''=-=-=++当时，，函数在上单调递减；………………………7分 0a <()0F x '<()F x ()0,+∞当时，令， 0>a ()21211⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭k x x x a a a 41,a ∆=-当时，即，，此时，函数在上单调递增; 0∆≤04<≤a ()0k x ≥()0F x '≥()F x ()0,+∞当时，即，方程有两个不等实根， 0∆>4>a 212110⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭x x a a a 12x x <所以，1201x x <<<12⎛== ⎝x x 此时，函数在上单调递增；在上单调递减.……………11分 ()F x ()()120,,,x x +∞()12,x x 综上所述，当时，的单减区间是；0a <()F x ()0,+∞当时，的单减区间是，4>a ()Fx单增区间是,⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭当时，单增区间是.………………………12分 04a <≤()F x ()0,+∞22.（Ⅰ）C 的直角坐标方程为， ………………………2分222()y a x a +=-消t 得到………………………………………4分4350x y -+=（Ⅱ）要满足弦及圆的半径为a 可知只需圆心（0，a ）到直线l 的距离AB ≥12d a ≤…………7分12a ≤整理得：即解得：， 2111201000,a a -+≤(1110)(10)0a a --≤101011a ≤≤故实数a 的取值范围为……………………………………10分 101011a ≤≤23.解：（Ⅰ）当a ＝－2时，f (x )＝………………………3分13,1,3,11,31, 1.x x x x x x -<-⎧⎪--≤≤⎨⎪->⎩由f (x )的单调性及f (－)＝f (2)＝5，43得f (x )＞5的解集为{x |x ＜－，或x ＞2}．……………………………………5分43（Ⅱ）由f(x)≤a|x ＋3|得a≥………………………7分 |1|,|1||3|x x x +-++由|x －1|＋|x ＋3|≥2|x ＋1| 得≤，得a≥．|1||1||3|x x x +-++1212 故a 的最小值为．………………………………10分12。