下载文档原格式
高中物理竞赛——万有引力定律基础知识点一、考点内容1．万有引力；万有引力定律；万有引力定律的应用。
2．人造地球卫星；宇宙速度。
二、知识结构⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧地球同步卫星地面卫星种类发射与运转三个宇宙速度人造天体（或卫星）开普勒三定律地卫星；自由落体或平抛；近天体质量计算：极地称：与纬度、高度的关系地球附近重力变化规律定律应用 三、复习思路建议分两条主线展开复习，一是万有引力=向心力；另一个是重力=向心力。
由于向心力的表达式有多种形式，表面看来本单元公式多，实际上则只有一个，那就是ma F =。
切实理解好加速度a 的含义至关重要。
复习时应注意做好以下几点：1．万有引力、人造卫星属于现代科技发展的重要领域，所以近年的高考对万有引力、人造卫星的考查是热点。
在学习中要多联系一些现代科技知识，扩大知识面，把这部分知识规律与实际应用联成一体去认识。
2．应用万有引力定律研究天体、人造地球卫星的运动是该部分的重点。
要熟练地应用r Tm r m r v m r Mm G 222224πω===及地球表面附近2r Mm G mg =等公式来求解天体及卫星问题，要熟练地运用比例法解题。
3．要知道卫星的运行速度、发射速度和环绕速度三者的区别，要知道卫星的轨道越高，其运动速度越小，但发射时所需的发射速度却越大。
4．要知道三种宇宙速度都是指发射速度，并了解火箭发射卫星的实际过程，了解一下现代科技。
四、牢固掌握基础知识1、万有引力定律的应用（1）、基本模型：匀速圆周运动（2）、基本方法：一切问题来源于向心力的提供（3）、一条线索：向心力=万有引力=所在位置处的重力（4）、一串公式：=2rMm G = = 以及地球表面附近2地R MmG mg =等公式。
上述式子适用于卫星围绕天体作匀速圆周运动时的情景。
由以上线索和公式可以：A 、估算天体质量B 、估算天体质量C 、求卫星的线速度、角速度、周期r GM v =；3rGM w =；GM r T 32π=。
2024年高中物理【万有引力定律】优秀课件一、教学内容本节课将深入探讨高中物理教材第四章第三节《万有引力定律》。
详细内容包括：万有引力定律的发现历程，万有引力定律的数学表达式及其物理意义，地球表面物体所受重力与万有引力之间的关系，以及万有引力定律在实际问题中的应用。
二、教学目标1. 理解万有引力定律的发现过程，掌握万有引力定律的数学表达式及其物理意义。
2. 能够运用万有引力定律解决实际问题，如计算天体间的引力、估算地球质量等。
3. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象力，提高学生对自然现象的好奇心和探索精神。
三、教学难点与重点教学难点：万有引力定律的数学表达式及其应用。
教学重点：理解万有引力定律的物理意义，掌握万有引力定律在实际问题中的应用。
四、教具与学具准备教具：多媒体课件、黑板、粉笔、地球仪、天体模型。
学具：笔记本、教材、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过展示宇航员在月球表面行走、地球与月球之间的引力等现象，激发学生对万有引力定律的兴趣。
2. 例题讲解：讲解万有引力定律的发现过程，引导学生理解万有引力定律的数学表达式及其物理意义。
a. 讲解牛顿的苹果故事，引导学生思考万有引力定律的发现过程。
b. 推导万有引力定律的数学表达式，解释各符号代表的物理意义。
3. 随堂练习：布置与万有引力定律相关的计算题，让学生独立完成，并及时给予反馈。
4. 应用拓展：介绍万有引力定律在实际问题中的应用，如地球表面物体所受重力、天体运动等。
六、板书设计1. 万有引力定律2. 内容：a. 万有引力定律的发现过程b. 万有引力定律的数学表达式c. 万有引力定律的物理意义d. 万有引力定律在实际问题中的应用七、作业设计1. 作业题目：a. 计算地球与月球之间的引力。
b. 估算地球的质量。
c. 解释为什么地球表面物体所受重力与万有引力不完全相等。
2. 答案：a. 引力大小约为2×10^20 N。
b. 地球质量约为5.97×10^24 kg。
万有引力定律精品课件完整版精品课件一、教学内容本节课我们将学习普通高中物理必修2第三章《万有引力定律》的相关内容。
具体涉及教材第三章第1节至第3节，详细内容包括万有引力定律的发现历程、定律表述及公式推导、万有引力常量的测定以及万有引力定律在天文学上的应用等。
二、教学目标1. 让学生了解万有引力定律的发现过程，理解万有引力定律的基本原理。
2. 掌握万有引力定律的数学表达式，能运用其解决实际问题。
3. 了解万有引力常量的测定方法，理解其物理意义。
三、教学难点与重点重点：万有引力定律的发现过程、数学表达式、应用。
难点：万有引力定律的公式推导，万有引力常量的测定。
四、教具与学具准备1. 教具：地球仪、天平、计算器、PPT课件。
2. 学具：笔记本、教材、计算器。
五、教学过程1. 引入新课：通过展示地球与月球相互吸引的动画，让学生初步认识万有引力现象，激发学习兴趣。
2. 讲解万有引力定律的发现历程：以牛顿的苹果故事为切入点，介绍万有引力定律的发现过程。
3. 讲解万有引力定律的数学表达式：通过PPT展示公式推导过程，引导学生理解万有引力定律的基本原理。
4. 实践情景引入：设置地球与月球之间的万有引力问题，让学生运用公式计算。
5. 例题讲解：讲解地球与月球之间的万有引力计算方法，引导学生掌握如何运用公式解决实际问题。
6. 随堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
7. 讲解万有引力常量的测定：介绍卡文迪许实验，解释万有引力常量的物理意义。
六、板书设计1. 万有引力定律的发现历程2. 万有引力定律的数学表达式3. 万有引力常量的测定方法4. 应用举例七、作业设计1. 作业题目：（1）根据万有引力定律，计算地球与月球之间的引力。
（2）已知地球半径、地球质量，计算地球表面的重力加速度。
2. 答案：（1）F = G Mm Me / r^2（2）g = G Me / R^2八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课通过生动的实例引入，激发了学生的学习兴趣，讲解了万有引力定律的基本原理和数学表达式，使学生对万有引力定律有了较为深刻的认识。
第14讲 万有引力定律应用本讲提示：1.归纳整理万有引力定律相关的知识体系，并能初步运用。
2.了解并能独立推导第一二三宇宙速度，领会近似计算的技巧。
3. 对于变换参考系处理问题的方法进一步熟练，通过阅读了解科里奥利力以及其算法。
借助这个方法，对于潮汐等现象有量化的理解。
万有引力的现象确实对于计算能力与综合运用能力要求较高，希望同学们在期末考试结束后抽出时间针对复习。
我们下一讲依然会安排一次总复习。
知识点睛上讲貌似学了一火车皮的公式以及推论，我们为大家找个思路把它们串起来： 一．万有引力有两个质点，它们由于有质量就会相互吸引，这个力我们叫万有引力，如图：（ 两质点间相互吸引对方的力： 万=F GMmr2） 显然这个力有点麻烦，因为它的方向大小都会因为物体运动变化，还只能适合于质点。
通过数学家的计算，这个公式可以拓展到均匀球体的外部，r 变为到球心的距离。
比如我们生活在地球上，地球对我们的万有引力就是我们感受到的重力，如图：（不计自转，引力即重力）（考虑自转引力分解为重力与指向O'的向心力）上述表达中R 为到地心的距离，如果研究对面附近的物体，R 近似恒定，为地球半径。
这样就得到行星表面重力加速度为：=Rg G M2当然以上结论是不考虑地球自转的近似，考虑自转，万有引力分解为向心力与重力之合力。
上面右图中，向心力指向O'。
极端的情况，星球自转到一定角速度赤道上的物质会解体。
所以实际能观测的星球密度一定大于自转解体时密度。
如果我们打洞打到地球内部去，因为均匀球壳对内部引力为0，那么我们在星球内部受的万有引力等于内部小球对我们的引力。
公式记为：=F GM m R 万内球内2（当物体在均匀球内时，只需考虑颜色较深部分质量对物体的引力）例题精讲【例1】 新发现一行星，其星球半径为6400km ，且由通常的水形成的海洋覆盖着它的所有表面，海洋的深度为10km 。
学者们对该行星进行探查时发现。
当把试验用的样品浸入行星海洋的不同深度时，各处的自由落体加速度以相当高的精确度保持不变，试求这个行星表面处的自由落体加速度。
第14讲 万有引力定律应用本讲提示：1.归纳整理万有引力定律相关的知识体系，并能初步运用。
2.了解并能独立推导第一二三宇宙速度，领会近似计算的技巧。
3. 对于变换参考系处理问题的方法进一步熟练，通过阅读了解科里奥利力以及其算法。
借助这个方法，对于潮汐等现象有量化的理解。
万有引力的现象确实对于计算能力与综合运用能力要求较高，希望同学们在期末考试结束后抽出时间针对复习。
我们下一讲依然会安排一次总复习。
知识点睛上讲貌似学了一火车皮的公式以及推论，我们为大家找个思路把它们串起来： 一．万有引力有两个质点，它们由于有质量就会相互吸引，这个力我们叫万有引力，如图：（ 两质点间相互吸引对方的力： 2rGMmF =万） 显然这个力有点麻烦，因为它的方向大小都会因为物体运动变化，还只能适合于质点。
通过数学家的计算，这个公式可以拓展到均匀球体的外部，r 变为到球心的距离。
比如我们生活在地球上，地球对我们的万有引力就是我们感受到的重力，如图：（不计自转，引力即重力）（考虑自转引力分解为重力与指向O'的向心力）上述表达中R 为到地心的距离，如果研究对面附近的物体，R 近似恒定，为地球半径。
这样就得到行星表面重力加速度为：2Mg G R=当然以上结论是不考虑地球自转的近似，考虑自转，万有引力分解为向心力与重力之合力。
上面右图中，向心力指向O'。
极端的情况，星球自转到一定角速度赤道上的物质会解体。
所以实际能观测的星球密度一定大于自转解体时密度。
如果我们打洞打到地球内部去，因为均匀球壳对内部引力为0，那么我们在星球内部受的万有引力等于内部小球对我们的引力。
公式记为：2内内球万R m GM F =（当物体在均匀球内时，只需考虑颜色较深部分质量对物体的引力）例题精讲【例1】 新发现一行星，其星球半径为6400km ，且由通常的水形成的海洋覆盖着它的所有表面，海洋的深度为10km 。
学者们对该行星进行探查时发现。
当把试验用的样品浸入行星海洋的不同深度时，各处的自由落体加速度以相当高的精确度保持不变，试求这个行星表面处的自由落体加速度。
高二物理课件万有引力定律课件一、教学内容本课件依据人教版高中物理选修31第二章《万有引力与航天》第一节“万有引力定律”展开，详细内容包括：1. 万有引力定律的发现历程；2. 万有引力定律的数学表达式及物理意义；3. 万有引力常量的测定；4. 万有引力定律的应用。
二、教学目标1. 让学生掌握万有引力定律的发现历程，理解其数学表达式及物理意义；2. 培养学生运用万有引力定律解决实际问题的能力；3. 使学生了解万有引力常量的测定方法，培养科学探究精神。
三、教学难点与重点教学难点：万有引力定律的数学表达式及物理意义，万有引力常量的测定。
教学重点：万有引力定律的发现历程，运用万有引力定律解决实际问题。
四、教具与学具准备1. 教具：地球仪，演示用星球模型，计算器；2. 学具：万有引力定律公式表，随堂练习题。
五、教学过程1. 实践情景引入通过展示地球与月球之间的引力相互作用，引导学生思考：为什么月球会围绕地球转动？万有引力定律是如何被发现的？2. 万有引力定律的发现历程介绍牛顿通过苹果落地启示，发现万有引力定律的过程。
3. 万有引力定律的数学表达式及物理意义详细讲解万有引力定律的数学表达式 F = G m1 m2 / r^2，解释各物理量的含义。
4. 万有引力常量的测定介绍卡文迪许通过扭秤实验测定万有引力常量的方法。
5. 例题讲解结合实际例题，讲解如何运用万有引力定律求解问题。
6. 随堂练习让学生完成随堂练习题，巩固所学知识。
六、板书设计1. 万有引力定律的发现历程；2. 万有引力定律的数学表达式及物理意义；3. 万有引力常量的测定；4. 例题及解题步骤。
七、作业设计1. 作业题目：（1）计算地球与月球之间的万有引力；（2）地球表面物体受到的万有引力与重力之间的关系；（3）根据万有引力定律，推导出地球表面重力加速度的表达式。
2. 答案：（1）F = G M_地 M_月 / r^2；（2）F_万有引力 = G M_地 m / R_地^2，F_重力 = m g，g = G M_地 / R_地^2；（3）g = G M_地 / R_地^2。
有关高中物理“万有引力定律”的概念
有关高中物理“万有引力定律”的概念如下：
万有引力定律是描述物体之间相互引力的定律，由艾萨克·牛顿在1687年提出。
它表明任何两个物体之间都存在引力，且这个引力与它们质量的乘积成正比，与它们距离的平方成反比。
在高中物理中，万有引力定律通常表示为：F = G * (m1 * m2) / r^2，其中F 是两个物体之间的引力，m1 和m2 分别是两个物体的质量，r 是它们之间的距离，G 是引力常量，其值约为6.67430 × 10^-11 m^3 kg^-1 s^-2。
万有引力定律在天文学中有着重要的应用，它解释了行星轨道运动和天体运动的规律。
此外，万有引力定律也是研究宇宙学和天体物理学等领域的基础。
在高中物理中，学生通常会学习如何使用万有引力定律计算两个物体之间的引力，以及如何使用它来解释一些天体运动的规律。
同时，学生也会学习到万有引力定律的一些特殊情况，例如在地球表面的物体所受的重力可以看作是地球对该物体的万有引力。
总之，万有引力定律是高中物理中的一个重要概念，它描述了物体之间的引力规律，为我们理解天体运动和宇宙结构提供了基础。
高考物理万有引力定律知识点总结万有引力定律是物理学中的一条基础定律，揭示了物体之间的引力相互作用。
下面是对万有引力定律的一些知识点的总结，具体内容如下：1.引力的定义：引力是物体之间由于质量而产生的相互吸引力。
即所有物体都会对其他物体施加引力。
2.万有引力定律的表述：万有引力定律表明，任何两个物体之间的引力大小与它们的质量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
数学表述为F=G*(m1*m2)/r^2，其中F为引力大小，m1和m2分别为两个物体的质量，r为两个物体质心之间的距离，G为万有引力常数。
3. 万有引力定律的量纲：根据万有引力定律的表达式可以得出，引力的量纲为质量的平方与距离的立方的比值。
即[N] = [kg]^2/[m]^35.质心与引力：在万有引力定律中，两个物体之间的引力作用于它们的质心之间的位置。
所以在计算引力大小时，可以将质点近似看作质心。
6.引力与质量的关系：根据万有引力定律可知，引力的大小与物体的质量成正比。
质量越大，引力也越大；质量越小，引力也越小。
7.引力与距离的关系：根据万有引力定律可知，引力的大小与物体之间的距离的平方成反比。
距离越大，引力越小；距离越小，引力越大。
8.万有引力定律的应用：万有引力定律可以用来解释许多物理现象，如行星绕太阳运动、地球上物体的重力、卫星绕地球运动等。
同时，它也是开展天体力学研究的基础，有助于我们对宇宙的理解和天体运行规律的探索。
9.引力的方向：引力的方向始终指向两物体间的质心连线上。
即两物体之间的引力方向与它们质心连线的方向相同。
10.引力的叠加原理：若多个物体同时作用于一个物体上，则它们对该物体的引力按照叠加原理进行叠加。
总结：万有引力定律是物理学中的一条重要定律，揭示了物体之间的引力相互作用规律。
它的数学表达式清晰明确，并可以通过实验求得引力常数G的数值。
万有引力定律对于解释重力现象、天体运行规律等起着重要作用，是天体力学研究的基础。
高一物理竞赛讲义专题四万有引力定律、引力势能【概念与规律】 1.万有引力定律 （1）公式：2MmF Gr=，其中G=6.67×10-11N ·m 2/kg 2。
（2）适用条件：公示只适用于质点间的相互作用。
当两个物体间的距离远远大于物体本身的尺寸时，物体可视为质点。
均匀球体可视为质点，r 是两球心间的距离。
（3）由万有引力定律可以推出，质量为M 、半径为R 的均匀球壳对球心为r 、质量为m 的质点的万有引力为()()20r R F GMmr R r⎧⎪=⎨⎪⎩ ＞＞ 2.应用万有引力定律解决天体运动问题基本方法：把天体看作是做匀速圆周运动的物体，其所需的向心力由万有引力提供，即()2222222Mm v G m mr m r m f r r r T πωπ⎛⎫==== ⎪⎝⎭在地面上2Mm mg GR =地地。
在空中h 高处()2'Mm mg G R h =+。
物体的重力和地球对该物体的万有引力差别很小，一般可认为二者大小相等。
3.开普勒三定律（1）轨道定律：行星绕太阳做椭圆轨道运动，太阳位于椭圆的一个焦点上。
此定律揭示了太阳系各行星的轨道形状以及太阳和行星的相对位置。
由于行星的椭圆轨道跟圆相似，所以通常把行星轨道作为圆周来处理。
（2）面积定律：行星和太阳之间的连线，在相等的时间内，所扫过的面积相等。
如图所示。
此定律反映了行星速率变化的规律，说明行星在远日点速率最小，在近日点速率最大。
2221111111111111222v S R R t R t R θω===，2222222222222111222v S R R t R t R θω=== 因t 1=t 2，S 1=S 2，故R 1v 1=R 2v 2。
（3）周期定律：行星运动周期的平方和轨道半长轴的立方成正比。
即32R T=常数（此常数只与太阳质量有关）。
此定律阐明了各行星运动周期与其轨道的长半轴的关系。
高中物理竞赛讲座：万有引力定律一、开普勒三定律 二、万有引力定律假设月亮绕地球运动轨迹是一个圆轨道，试利用开普勒定律导出牛顿万有引力定律。
分析与解：由于地球质量远大于月亮质量，暂且认为地球不动，月亮绕地球作圆周运动，由开普勒第二定律，月亮必作匀速圆周运动。
向心加速度2V a r=其中V 是月亮的速率，r 是圆轨道半径。
根据开普勒第三定律，月亮运动周期T 满足32T r α 2/3r T ∝又注意到：2πrV T= 所以：12321r V rrα=2/12/31r r r V =∝代入向心加速度公式可得：21a r α21r a ∝或2m F m a r α==月月 2r ma m F ∝=m 月为月亮的质量，取比例系数为k ，写成等式2kF m F r →==月地月 显然，k 应取决于地球的性质，F →地月指地球对月亮的引力.根据万有引力的普适性，月亮对地球的引力应当有如下形式2k F m r→'=月地地其中k '取决于月亮的性质，再根据牛顿第三定律，F →地月与F →月地大小相等，即m k k m ='地月因此有：k Gm =地，k Gm '=月两式统一写成2m m F Gr =月地 利用牛顿提出的引力的普适性，任何两个分别具有质量1m 、2m ，相距r 的质点之间的引力，总是沿着两质点连线方向，其大小为122m m F Gr = 式中G 是所有质点都具有相同数值的普适常数（万有引力常数），这就是牛顿万有引力定律。
三、引力势能若规定的质点A 、B 相距无穷远时系统的引力势能为零，那么当A 、B 相距r 时系统的引力势能为：12P Gm m E r=—四、宇宙速度第一宇宙速度：()2max 27.9/Mm mV G V km s r r=⇒==第二宇宙速度：()2221011.2/2Mm mV G V km s R -=⇒=== 第三宇宙速度：地球绕太阳公转速度为e V ：()220029.7/s e e e eM m V G m V km s R R =⇒== 为使地球轨迹上的物体脱离太阳引力，必须有的最小速度为：()242.1/S V km s == 若顺着地球公转方向发射所需的最小速度为()2012.4/s V V V km s =-= 为使地面发射的物体脱离太阳必须满足22232111222mV mV mV =+()316.7/V km s ==五、恒星的演化黑洞大爆炸10万年后→温度下降到3310K ⨯→表现由中性原子构成的宇宙尘埃→万有引力使尘埃聚集形成气体形状的星云团→星云团进一步聚集引力势能变成内能，温度升高→达到一定温度开始发光→恒星诞生。
恒星进一步收缩→当温度达到710K 时氢核聚变→聚变能量以电磁波的形式向外辐射→当电磁辐射及热粒运动向外的压力与引力平衡时星体稳定下来→主星序阶段（停留时间最长，太阳正处于这一阶段中期）→当核心大部分氢聚集变为氦核后→辐射减弱→星核再次收缩，温度更高，氦聚变为碳核→类似这一过程周而复始进行出现氧、硅直至铁→当各种热核反应都不发生时恒星进一步收缩→当密度增大到一定值时，电子简并→恒星的最终归宿是什么与恒星的质量有关。
当 1.4M Ms <，则简并电子气的压力可以平衡引力，收缩停止，恒星演变为白矮星 当 1.4M Ms >时，则简并电子气的压力无法平衡引力，至中子被压入原子核内，与质子结合成中子，使核心中子化，随即恒星发生猛烈爆炸→超新星爆炸），爆炸后的中心化核心称为中子星，中子星依靠简并中子气的压力来平衡引力，其质量上限为23Ms ~。
若质量更大，则没有任何力量能够平衡其引力，它将进一步塌缩到引力半径以下，此时任何粒子（包括光子）均不能脱离其引力束缚，人们称之为黑洞。
引力半径2V c => 22GMr c≤称为史瓦西半径 则在这个天体上任何物体都不能逃避其引力束缚 地球的引力半径0.9cm =以内 太阳的引力半径：3km 以内假设密度为ρ的物质均匀分布在半径为r 的球体内，其引力半径为s r ， 则3224π3s s G r r c =⋅ρ 此式表示所说环境中的光不可能发射到超出s r 的范围 对宇宙：2932810/10s g cm r cm ρ-=⇒=这就是说我们不可能把光发射到2810cm 以外的空间，这个R 被称为宇宙半径 六、研究行星运动的基本方程角动量守恒：012rV =恒量或2L mrV mr θθ== ① 机械能守恒：212Mm mV G E r-=②其中L 、E 由初始条件决定由牛顿第二定律：2MmG ma r=③其中：0E =为抛物线 0E <为椭圆 0E >为双曲线例1：利用行星运动的基本方程研究开普勒第一定律如图：在A 、B 两点利用上式①、②L mrV =，212MmmV G E r-=联立上两方程可得：212L Mmm G E mr r⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 2202GMm L r r E mE+-=A 、B 两点的矢径长度为方程的两个根，即有A r a c =-，B r a c =+由韦达定理得：2A B GMmr r a E+==-22222A B L r r a c b mE⋅=-==-由以上两式可得出重要结论2GMmE a=-此式表明行星运动的机械能与椭圆轨道的半长轴有关，与半短轴无关椭圆方程：222212x y GMm E +=⎛⎫- ⎪⎝⎭将机械能2GMmE a=-代入②式可得 2122Mm GMm mV G r a-=-V =AxA V =B V =c V =且2c A B V V V =⋅ 在轨道上任一点P 处由牛顿第二定律可得：22cos GMm V m r θρ= 22cos r V GM ρθ=易得..A B C 三点的曲率半径分别为2A b a ρ=，2B b a ρ=，2C a bρ=例2：太空站的质量为M ，与它对接在一起的人造卫星的质量为m ，它们沿圆轨道绕地球运动，轨道半径为R 的n 倍，地球质量为Me ，在某一瞬间，人造卫星与太空站脱离，卫星发动机立即点火，经短暂喷射后卫星获得较大的速度，沿其原来运动方向进入椭圆轨道。
如果当人造卫星绕地球一周时，刚好能在原处与已绕行N 周的太空站对接，那么，卫星点火后获得的速度应为多大？解：a 表示近地点到地心时距离，a V 表示卫星在近地点时的速度，以b 表示远地点到地心的距离，它表示卫星在远地点时的速度。
由开普勒第二定律得：1122a b aV bV = 由机械能守恒定律有：221122e e a b GM m GM m mV mV a b-=-可解得：a V =a b由开普勒第三定律得：()32232a b T a T N +⎛⎫ ⎪⎝⎭= 将题述a nR =代入可解得()221b N nR =-所以：a V =例3：在宇宙空间某惯性系中有两个质点A 、B ，它们的质量分别为m 、M 。
开始时，A 、B 相距为0L ，A 的速度为零。
B 沿AB 直线背离A 的方向的初速度为0V ，另外施加一个沿0V 方向的变力F 使B 做匀速运动，求：（1）A 、B 间距离的最大值为多少？（2）从开始到A 、B 间距离最大的过程中，变力F 所做的功是多少？解：以B 为参考系，则此参考系也是惯性系，在此参考系中，开始时A 具有速度0V 离开B ，达到A 离B 最远时（设此时A 、B 相距L ），A 相对于B 的速度为零，由能量关系应有20012GMm MmmV GL L-=-20022GML L GM L V =- 需要说明的是，由上式可见本题只有在0V<0V ≥，则A 、B 间距离将一直增加而不会有最大值。
（2）回到题中惯性系，由功能关系得：222200000111222Mm GMm W MV mV G MV mV L L ⎛⎫⎛⎫=+---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 例4：两颗人造卫星绕地球沿同一椭圆轨道同向运动，它们通过轨道上同一点的时间差半个周期，已知轨道近地点离地心的距离是地球半径的2倍，卫星通过近地点时的速度()123/4V GM R =，式中M 为地球质量，G 为万有引力常量。
卫星上装有同样的角度测量仪，可以测出卫星与任意两点的两条连线间的夹角。
试设计一种测量方案，利用这两个测量仪测定太空中某星体与地心在某时刻的距离（最后要求用测得的量和地球半径R 表示结果）解：如图，卫星绕地球运动的轨道为一椭圆，地心位于此椭圆的一个焦点上，设待测卫星于C 处，依题意当一卫星位于A 时，另一卫星位于B ，只要此刻两卫星分别测出图中1α、2α，就可以测出此时卫星c 与地心的距离 OC 。
令A r OA =，B r OB =，A V 、B V 分别表示卫星在A 、B 点的速度，m 表示卫星的质量，由两个守恒方程可得：A AB B mr V mr V =221122A B A BMm MmmV G mV Gr r -=— 其中2A r R =且A V =可解得6B r R =，8AB R = 在ABC ∆中由正弦定理可得()112sin sin BC AB ααα=+在BOC ∆中，用余弦定理可得2OC =例5：新发现一行星，其半径为6400km ，且由普通水形成的海洋覆盖着它的所有表面，海洋的深度为10km ，宇航员对行星进行探测时发现，当把试验用的样品浸入行星海洋的不同深度时，各处的自由落体加速度以相当高的精确度保持不变，试求此行星表面处的自由落体加速度。
解：以R 表示此星球（包括水层）的半径，M 表示其质量，h 表示其表面海洋的深度，0R 表示除海洋表层外星球的半径，则有0R h R +=。
以ρ表示水的密度，则海水总质量为：()332230444πππ33333m R R R h Rh h ρρ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭ 由于R h ，略去上式中h 的高次项24πm R h ρ=故海洋底面和星球表面的重力加速度可表示为()02G M m g R -=，2GMg R = 依题有0g g =得220M M mR R -=考虑到0R R h =-，整理可得：2RmM h =所以星球表面的重力加速度为222π 2.7/2GM GMg G R m s R Rhρ==== 例6：一物体自地面以第一宇宙速度竖直上抛，达最高点以返回地面上的抛出点，求此物体运动的时间。
已知地球半径6400E R km =，设此过程中地球静止不动。
解：设此物上升的最高点离地面距离为h ，由机械能守恒及第一宇宙速度表达式得：2112E E E M m MmmV G G R R h-=-+ 21EEGM V R =解得E h R =物体运动的路径可以看成是在地球引力作用下的一个退化了的椭圆的一部分，地球中心焦点、半长轴等于E R 。
