八年级数学下册14角平分线角平分线的性质定理和判定定理指的是什么素材北师大版

角平分线一、角平分线的性质定理1. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；2. 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线。

二、角平分线的判定定理在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线。

三、关于三角形三条角平分线的定理1. 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。

定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题。

2. 三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部，这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）。

1．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5解：利用同高不同底的三角形的面积之比就是底之比可知选C．故选C．2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠C的平分线与∠B的外角的平分线交于E点，则∠AEB是（）A．50° B．45° C．40° D．35°解：∵E在∠C的平分线上，∴E点到CB的距离等于E到AC的距离，∵E在∠B的外角的平分线上，∴E点到CB的距离等于E到AB的距离，∴E点到AC的距离等于E到AB的距离，∴AE是∠A的外角的平分线．∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°，，∵EB是∠B的外角的平分线，∴∠ABE=60°，∴∠AEB=180°﹣60°﹣75°=45°．故选B．3．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是（）A．2 B．3 C．D．4解：作PE⊥OA于E，∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE=PD=2，故选：A．4．如图，OP是∠AOB的平分线，点P到OA的距离为3，点N是OB上的任意一点，则线段PN的取值范围为（）A．PN＜3 B．PN＞3 C．PN≥3 D．PN≤3解：作PM⊥OB于M，∵OP是∠AOB的平分线，PE⊥OA，PM⊥OB，∴PM=PE=3，∴PN≥3，故选：C．5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，如果DE=5cm，∠CAD=32°，求CD的长度及∠B的度数．解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD=DE=5cm，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠CAD=2×32°=64°，∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣64°=26°．6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，若AC=5，BC=12．求点D 到AB的距离．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵AC=5，BC=12，∴AB==13，∵∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，∴CD=DE，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（HL），∴AE=AC=5，BE=AB﹣AE=13﹣5=8，设DE=x，则BD=12﹣x，在Rt△BDE中，DE2+BE2=BD2，∴x2+82=（12﹣x）2，解得x=．答：点D到AB的距离是．7．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E．求证：△DBE的周长等于AB．证明：∵∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∴DC=DE；∴BD+DE=BD+CD=BC；∵AC2=AD2﹣CD2，AE2=AD2﹣DE2，∴AC=AE，而AC=BC，∴BC=AE，∴BD+DE+BE=AE+BE=AB，即△DBE的周长等于AB．8．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．求证：∠OAB=∠OBA．证明：∵OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，∴AM=BM，在Rt△AOM和Rt△BOM中，，∴Rt△AOM≌Rt△BOM（HL），∴OA=OB，∴∠OAB=∠OBA．9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，BF∥DE交CD于点F．求证：DE=BF．证明：∵CD平分∠ACB，∴∠1=∠2，∵DE⊥AC，∠ABC=90°∴DE=BD，∠3=∠4，∵BF∥DE，∴∠4=∠5，∴∠3=∠5，∴BD=BF，∴DE=BF．基础演练1．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）A．线段CD的中点 B．OA与OB的中垂线的交点C．OA与CD的中垂线的交点D．CD与∠AOB的平分线的交点解：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知CD与∠AOB的平分线的交于点P．故选D．2．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为（）A．B．2 C．3 D．2解：过点P作PB⊥OM于B，∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=3，∴PB=PA=3，∴PQ的最小值为3．故选：C．3．如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（）A．2 B．2 C．4 D．4解：∵P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，∴∠AOP=AOB=30°，∵PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，∴OP=2OM=8，∴PD=OP=4，∵点C是OB上一个动点，∴PC的最小值为P到OB距离，∴PC的最小值=PD=4．故选C．4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=1cm，BE=cm，则BC 等于（）A．1cm B．2cm C．3cm D．（+1）cm解：∵DE=1cm，BE=cm，∴BD==2cm，∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴DC=DE=1cm，∴BC=CD+BD=3cm，故选：C．5．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是28cm2，AB=16cm，AC=12cm，求DE的长．∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∵S△ABC=S△ABD+S△ACD=AB×DE+AC×DF∴S△ABC=（AB+AC）×DE即×（16+12）×DE=28，故DE=2（cm）．巩固提高6．（1）求证：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．（2）如图，AD是△ABC的角平分线，求证：=．解：已知：OC平分∠AOB，点P为OC上任一点，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．求证：PE=PF证明：∵OC平分∠AOB，∴∠POE=∠POF，∵PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，∴∠PEO=∠PFO=90°，在△PEO和△PFO中，∴△PEO≌△PFO（AAS），∴PE=PF，∴角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；（2）如图，过点B作BE∥AC交AD延长线于点E，∵BE∥AC，∴∠DBE=∠C，∠E=∠CAD，∴△BDE∽△CDA，∴，又∵AD是角平分线，∴∠E=∠DAC=∠BAD，∴BE=AB，∴=．7．如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．（1）求证：OC平分∠ACD；（2）求证：OA⊥OC；（3）求证：AB+CD=AC．证明：（1）过点O作OE⊥AC于E，∵∠ABD=90゜，OA平分∠BAC，∴OB=OE，∵点O为BD的中点，∴OB=OD，∴OE=OD，∴OC平分∠ACD；（2）在Rt△ABO和Rt△AEO中，，∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），∴∠AOB=∠AOE，同理求出∠COD=∠COE，∴∠AOC=∠AOE+∠COE=×180°=90°，∴OA⊥OC；（3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO，∴AB=AE，同理可得CD=CE，∵AC=AE+CE，∴AB+CD=AC．8．如图：在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，AB=10，AC=6，求D到AB的距离．解：作DE⊥AB，垂足为E，DE即为D到AB的距离．又∵∠C=90°，AD平分∠CAB，∴DE=DC在△ABC中，∵∠C=90°，AB=10，AC=6，∴BC=8，设CD=x，则DE=CD=x，BD=8﹣x．在Rt△ACD与Rt△AED中，∵，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AE=AC=6，∴BE=4，在Rt△BED中，∵DE2+EB2=DB2，即x2+42=（8﹣x）2，解得：x=3．∴D到AB的距离是3．1．已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD：CD=9：7，则D到AB 的距离为（）A．18 B．16 C．14 D．12解：∵BC=32，BD：DC=9：7 ∴CD=14∵∠C=90°，AD平分∠BAC ∴D到边AB的距离=CD=14．故选C．2．观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（）A．OE是∠AOB的平分线B．OC=ODC．点C、D到OE的距离不相等 D．∠AOE=∠BOE解：根据尺规作图的画法可知：OE是∠AOB的角平分线．A、OE是∠AOB的平分线，A正确；B、OC=OD，B正确；C、点C、D到OE的距离相等，C不正确；D、∠AOE=∠BOE，D正确．故选C．3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，若CD=4，AC=12，AB=15，则△ABC的面积为（）A．48 B．50 C．54 D．60解：作DE⊥AB于E，∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD=4，∴△ABC的面积为：×AC×DC+×AB×DE=54，故选：C．4．如图，OP平分∠MON，PA⊥OA于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的值为（）A．1 B．2 C．大于2 D．不小于2解：∵OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，PA=2，∴点P到OM的距离等于2，而点Q是射线OM上的一个动点，∴PQ≥2．故选D．5．如图，P为∠MON平分线上一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，求证：OP垂直平分AB．证明：∵P为∠MON平分线上一点，PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA=PB，∠PAO=∠PBO=90°，在Rt△PAO和Rt△PBO中，，∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL），∴OA=OB，∵OP平分∠AOB，∴OP垂直平分AB（三线合一）．6．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，AB=6，AC=4，若S△ABD=9，求S△ACD．解：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵AD平分∠BAC，∴DE=DF，∵S△ABD=9，AB=6，∴DE=3，∴DF=3，∵AC=4，∴S△ACD=AC•DF=6，故答案为：6．1．如图：△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6cm，则△DEB 的周长是（）A．6cm B．4cm C．10cm D．以上都不对解：∵∠C=90°，∴DC⊥AC，又AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB，∴CD=ED，在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE，又AC=BC，∴AC=AE=BC，又AB=6cm，∴△DEB的周长=DB+BE+ED=DB+CD+BE=BC+BE=AE+EB=AB=6cm．故选A．2．∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为5，Q是OB上任一点，则（）A．PQ＞5 B．PQ≥5 C．PQ＜5 D．PQ≤5解：∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为5则P到OB的距离为5因为Q是OB上任一点，则PQ≥5故选B．3．如图，在四边形ABCD中，BE⊥AC于点E，连接DE，四边形ABCD的面积为12cm2．若BE平分∠ABC，则四边形ABED的面积为（）A．4cm2B．6cm2C．8cm2D．10cm2解：∵BE⊥AC，BE平分∠ABC，∴AE=EC，∴S△ABE=S△ABC，S△ADE=S△ADC，∴四边形ABED的面积=×四边形ABCD的面积=6cm2，故选：B．4．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE=2，AC=3，则△ADC的面积是（）A．3 B．4 C．5 D．6解：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴DE=DF=2．∴S△ACD=AC•DF=×3×2=3，故选A．5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，AD平分∠BAC，求证：点D在AB的垂直平分线上．证明：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴CD=DE，在△ADC和△ADE中，，∴△ADC≌△ADE（HL），∴AE=AC，∵AB=2AC，∴BE=AB﹣AE=2AC﹣AE=AE，∴点D在AB的垂直平分线上．6．如图，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM=PN，∠BOC=30°，求∠AOB的度数．解：∵PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM=PN，∴P在∠AOB的角平分线上，∴∠AOB=2∠BOC=2×30°=60°．7．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）若△ABC面积是40cm2，AB=12cm，AC=8cm，求DE的长．（2）求证：S△ABD：S△ACD=AB：AC．（1）解：∵在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∵△ABC面积是40cm2，AB=12cm，AC=8cm，∴40=×12×DE+×8×DF，DE=DF=4（cm）．（2）证明：∴S△ABD=×AB×DE，S△ACD=×AC×DF，DE=DF，∴S△ABD：S△ACD=AB：AC．8．如图，在△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，若AC=12，AD=8，求点D到AB的距离．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵CA=12，AD=8，∴CD=CA﹣AD=12﹣8=4，∵BD是∠ABC的平分线，∴DE=CD=4，故D到AB的距离是4．9．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF．求证：AD是△ABC的角平分线．证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴Rt△BDE和Rt△DCF是直角三角形．，∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），∴DE=DF，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是角平分线．。

流河路公北M 区CB A 角平分线(线段垂直平分线，等腰三角形) 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等 用数学符号可表示：∵点P 在∠AOB 的平分线上（或OP 平分∠AOB ） ∴ 角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 用数学符号可表示：∵∴点P 在∠AOB 的平分线上（或OP 平分∠AOB ）基础闯关1.在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，若BC ＝5㎝，BD ＝3㎝，则点D 到AB 的距离为2.∠AOB 的平分线上一点M ，M 到OA 的距离为1.5㎝，则M 到OB 的距离为 ㎝。

3.如图，∠A ＝90°，BD 是△ABC 的角平分线，AC ＝8㎝，DC ＝3DA ，则点D 到BC 的距离为 。

4.如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ） A 、PD ＝PE B 、OD ＝OE C 、∠DPO ＝∠EPO D 、PD ＝OD5.三角形中到三边距离相等的点是（ ）A 、三条边的垂直平分线的交点B 、三条高的交点C 、三条中线的交点D 、三条角平分线的交点6.到一个角的两边距离相等的点在 ．7.如图，要在河流的南边，公路的左侧M 处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉A 点处的距离为1cm （指图上距离），则图中工厂的位置应在 ，理由是 ．8．三角形中，到三边距离相等的点是（A ）三条高线交点．（B ）三条中线交点．（C ）三条角平分线交点．（D ）三边垂直平分线交点．9．如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形是 ODPEBA 第3题图D ABC21D APOE B第4题图FEDCBAF E DCBA（A ）直角三角形．（B ）等腰三角形．（C ）等边三角形．（D ）等腰直角三角形 10．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC于F ，M 为AD 上任意一点，则下列结论错误的是 （A ）DE ＝DF ． （B ）ME ＝MF ． （C ）AE ＝AF ． （D ）BD ＝DC ．二．解答题：1.如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DB ＝DC ， 求证：BE ＝CF 。

2024北师大版数学八年级下册1.4.1《角平分线的性质定理及逆定理》教学设计一. 教材分析《角平分线的性质定理及逆定理》是北师大版数学八年级下册第1章第4节的内容。

本节课主要介绍了角平分线的性质定理及逆定理，并通过实例让学生了解这两个定理在实际问题中的应用。

教材通过探究活动，引导学生发现角平分线的性质定理及逆定理，培养学生的观察、思考、推理能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了角的概念、线段中点的性质等知识。

但由于角平分线的性质定理及逆定理较为抽象，学生可能难以理解和运用。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知基础，通过直观演示、实例分析等方式，帮助学生理解和掌握角平分线的性质定理及逆定理。

三. 教学目标1.理解角平分线的性质定理及逆定理；2.学会运用角平分线的性质定理及逆定理解决实际问题；3.培养学生的观察、思考、推理能力；4.培养学生的合作交流意识。

四. 教学重难点1.角平分线的性质定理及逆定理的理解和运用；2.引导学生发现角平分线的性质定理及逆定理的过程。

五. 教学方法1.启发式教学：通过问题引导，激发学生的思考，培养学生解决问题的能力；2.直观演示：利用教具演示，让学生直观地理解角平分线的性质定理及逆定理；3.实例分析：通过实际问题，让学生学会运用角平分线的性质定理及逆定理解决问题；4.合作交流：引导学生分组讨论，培养学生的合作交流意识。

六. 教学准备1.教具：角平分线演示教具；2.实例：选取一些实际问题，用于练习和巩固角平分线的性质定理及逆定理；3.课件：制作课件，用于辅助教学。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件或教具，引导学生回顾角的概念和线段中点的性质，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（15分钟）展示角平分线的性质定理及逆定理的定义，引导学生观察和思考。

通过演示教具，让学生直观地理解角平分线的性质定理及逆定理。

3.操练（15分钟）分组让学生进行讨论，分析教材中的实例，运用角平分线的性质定理及逆定理解决问题。

北师大版八年级数学下册各章知识要点总结第一章三角形的证明一、全等三角形判定定理：1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）二、等腰三角形的性质定理：等腰三角形有两边相等；(定义)定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

（三线合一）推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。

等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；三、等腰三角形的判定1. 有关的定理及其推论定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”。

）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2.反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。

这种证明方法称为反证法四、直角三角形1、直角三角形的性质直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

2、直角三角形判定如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；3、互逆命题、互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.五、线段的垂直平分线角平分线1、线段的垂直平分线。

§1.4.1 角平分线的性质定理及其逆定理鸣沙九年制学校乔红强一、教学目标1、知识与技能会证明角平分线的性质定理及其逆定理。

2、过程与方法（1）经历探究、猜测、证明的过程，进一步提高学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力。

（2）体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识。

3、情感态度与价值观（1）能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲。

（2）在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。

二、教学重点：正确表述角平分线的性质定理及其逆定理。

三、教学难点：运用角平分线的性质定理及其逆定理解决问题。

四、教学用具：多媒体课件五、教学方法：探究法、讲练结合法、启发法六、教学流程（一）复习引入同学们，你们还记得角平分线有什么性质吗？（二）探究新知1、(1)角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．(2)请同学们自己尝试着证明上述结论已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．求证：PD=PE．证明：∵∠1=∠2，OP=OP，∠PDO=∠PEO=90°，∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)．2、（1）你能写出这个定理的逆命题吗?角平分线性质定理的逆命题：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．（2）它是真命题吗? 你能证明它吗?已知：在∠AOB 内部有一点P ，且PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，D 、E 为垂足且PD=PE ，求证：点P 在∠AOB 的角平分线上．证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴∠PDO=∠ PEO=90°．在Rt △ODP 和Rt △OEP 中OP=OP ，PD=PE ，∴Rt △ODP ≌ Rt △OEP(HL 定理)．∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理．我们就把它叫做角平分线的判定定理。

如何利用角平分线判定定理证明角平分线？
难易度：★★★★
关键词：角平分线 -证明角平分线
答案：
利用角平分线的性质定理和判定定理，找到所需的关系，再结合其它知识证明角平分线。

【举一反三】
典例：如图，F，G是OA上两点，M、N是OB上两点，且FG=MN，△PFG的面积和△PMN的面积相等.求证：OP平分∠AOB.
思路导引：当条件和面积有关时，作三角形的高是解决问题的重要思路。

要证明OP平分∠AOB，根据条件不能直接证明∠AOP=∠BOP.而FG=MN，△PFG的面积和△PMN的面积相等，可根据三角形的面积作△FPG和△MPN的高，通过证明高相等，从而得到P到∠AOB两边的距离相等，得到OP平分∠AOB.
标准答案：
证明：过P作PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，
∵S△PFG= FG·PD，S△PMN= MN·PE
又∵S△PFG=S△PMN，
∴FG·PD=MN·PE，
又∵FG=MN，
∴PD=PE，
∴OP平分∠AOB〔角的平分线的判定〕.
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角平分线的性质定理和判定定理指的是什么？
难易度：★★★★
关键词：角平分线 -角平分线的性质定理和判定定理
答案：
定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

判定定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这角的平分线上。

【举一反三】
典题：在下列空格内填上正确或错误：
（1）角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
（2）到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
（3）角的平分线是到角两边距离相等的点的集合．
（4）角平分线是角的对称轴．
思路导引：此题主要考查角平分线的性质以及逆定理，还要注意角平分线是射线而不是直线或线段．根据性质定理：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等．逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断．
标准答案：
解：答案分别为：正确；正确；正确；错误．
（1）角的平分线上的点到角的两边的距离相等，符合角平分线的性质定理，正确；
（2）到角的两边距离相等的点在角的平分线上，符合角平分线的性质定理的逆定理，正确；
（3）角的平分线是到角两边距离相等的点的集合，符合角平分线的性质定理的逆定理，正确；
（4）因为对称轴是一条直线，而角平分线是射线，所以角平分线是角的对称轴，错误．。

课题1.4角平分线（2）学习目标1.证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论。

2.角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用。

3.培养将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力，提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力。

重点难点重点：角的平分线的性质，综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题。

难点：角平分线的性质定理和判定定理的综合应用。

教法选择自主探究、合作学习课型新授课课前准备课件是否采用多媒体是教学时数2课时教学时数第 2 课时备课总数第课时教学设计思路及其意图本节设计对学生能力的要求较高，教师要善于利用典型例题，加以发挥，使例题的功能得以体现，达到以点带线，以线带面的功效。

教师可以让学生自己证明，自己写出角平分线性质定理的逆命题，并写出已知、求证，写出证明过程，角平分线性质定理中的“距离”是点到线的距离，教学中教师要加以强调。

这样设计教学，既符合教材的逻辑，也符合学生的认知。

课堂教学过程设计教学内容教师活动学生活动一、复习旧知，探究新知1.如图，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F， DE=DF，∠EDB= 60º，则∠EBF= 度，BE= .2.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是△ABC的__________，AE+DE=____.学生回忆角平分线的性质和判定定理的相关知识，自主完成.3.尺规作图：作∠AOB的平分线.学生回忆角平分线尺规作图的作法，在练习本上自主完成.提出要求：尺规作图三角形的三个内角的角平分线，并仔细观察所作的图形，你有什么发现呢?二、设置问题，引入新课问题：通过作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什出示问题，鼓励学生采用不同方法证明此问题。

并对学生的说理给予肯定.对全班学生做出讲解，并书写证明过程.小组合作，相互讨论，完成所提出的问题.独立思考问题，根据定理写出已知、求证，全班交流.么?能证明自己发现的结论一定正确吗？于是，首先证明“三角形的三个内角的角平分线交于一点”．三、合作学习，自主探究（一）探究三角形的的角平分线性质定理并仔细观察所作的三角形的三个内角的角平分线的图形，你发现了什么?学生观察讨论得出结论：“三角形的三个内角的角平分线交于一点”．提问：你能证明自己发现的结论一定正确吗？请同学们自己尝试着证明上述结论，然后在全班进行交流．证明过程如下：已知：如图，设△ABC的角平分线．BM、CN相交于点P，求证：P点在∠BAC的角平分线上．证明：过P点分别做AB、BC、AC的垂线PD、PE、PF,垂足分别为D、E、F.∵ BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴ PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).同理，PE=PF.∴ PD=PE=PF.∴点P在∠A的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)，即：∠A的平分线经过点P.在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的成果呢?（PD=PE=PF，即这个交点到三角形三边的距离相等．）于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．归纳总结：三角形角平分线的性质定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．几何语言：如图，在△ABC中∵ AE、BF、CN是△ABC的三条角平分线且PD⊥AB、PM⊥AC、 PO ⊥BC(已知)∴ AE、BF、CN相交于一点P且PD=PM=PO(三角形角平分线的性质定理)下面我通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理三边垂直平分线三条角平分线三角形锐角三角形交于三角形内一点交于三角形内一点钝角三角形交于三角形外一点直角三角形交于斜边的中点交点性质到三角形三个顶点的距离相等到三角形三边的距离相等二、展示思维过程，构建探究平台求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．已知：如图，在△ABC中，角平分线BM和角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB,BC,AC的垂线，垂足分别是D,E,F.求证：∠A的平分线经过点P,且PD=PE=PF.DFEMNC BAP三、例题讲解例 如图，在△ABC 中．AC=BC ，∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ．(1)已知CD=4 cm ，求AC 的长； (2)求证：AB=AC+CD ．(1)解：∵AD 是△ABC 的角平分线，∠C=90°，DE ⊥AB ．∴DE=CD=4cm(角平分线上的点到角两边的距离相等)． ∵AC=BC ∴∠B=∠BAC(等边对等角)． ∵∠C=90°，∴∠B=12 ×90°=45°．∴∠BDE=90°—45°＝45°．∴BE=DE(等角对等边)． 在等腰直角三角形BDE 中BD=cm DE 2422=(勾股定理)，∴AC=BC=CD+BD=cm )244(+．(2)证明：由(1)的求解过程可知，Rt △ACD ≌Rt △AED(HL)∴AC=AE. ∵BE=DE=CD ，∴AB=AE+BE=AC+CD ． 四、巩固练习1.完成课本P31 随堂练习 五、本课小结指导学生理解题意，并疏通证明思路.出示问题，巡查学生完成情况，并个别讲解.对于例题的第一问，着重讲解，并板书解题过程，对做得好的学生给予表扬和鼓励.引导学生完成本节课所学内容的小结.理解题意，并独立思考解题过程小组合作，相互讨论，完成例题。

地面积是（ ）
二mn D.3
1
mn 如果添加一个条件,即∠ABC=∠AB′C 地分线;②DF=EF;地条件地个数有（ ） F,若BF=AC,则∠A P
B
D E
C
E
D
B
A
C
一零,如图（七）:AC⊥BC,BM分∠ABC且AC于点M,N是AB地点且BN=BC。

求证:（一）MN分∠AMB,（二）∠A=∠CBM。

一
四.（总结与复）本节复巩固了角分线地质:
角分线上地点到角两边地距离相等.
与角分线地判定:
到角地两边地距离相等地点在角地分线上.
五.作业一,如图:在△ABC,AD是它地角分线,且BD=CD,DE,DF分
别垂直AB,AC,垂足为E,F。

求证:EB=FC。

N
M
（图7）
C
B
A
F
E
D
C
B
A
一二,如图:在△ABC,,O 是∠ABC 与∠ACB 地分线地点。

求证:点O 在∠A 地分线上。

一三,如图:E 是∠AOB 地分线上一点,EC ⊥OA,ED ⊥OB,垂足为C,D 。

求证:（一）OC=OD,（二）DF=CF 。

一四,如图:AB=AC,BD=CE 。

求证:OA 分∠BAC 。

一五,如图:在△ABC,∠B,∠C 相邻地外角地分线于点D 。

求证:点D 在∠A 地分线上。

O
C
B
A
O
F
E
D C
B
A
O
E
D
C B A
D
C
B
A。

1.4 角平分线性质及判定一、引入在几何学中，角平分线是指将一个角分成两个相等的角的直线。

角平分线存在一些特殊的性质和判定，这是我们进一步研究角度的重要内容。

在本节课中，我们将学习角平分线的性质及其判定方法。

二、角平分线的定义和性质1. 定义角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个大小相等的角的直线。

2. 性质角平分线具有以下重要性质：•角平分线将一个角分成两个大小相等的角。

•一个角的平分线唯一存在，即一个角只有一条平分线。

•一个角的平分线与该角的两边垂直。

3. 例题演练例题1：在下图中，AD为角PAB的平分线，求证：∠DAB = ∠DBA。

A/ \\D-----B证明：由于AD为角PAB的平分线，根据角平分线的定义，可以得到∠DAP = ∠PAB，并且∠DAB = ∠PAB。

因此，通过对∠PAB进行相等角的替换，我们可以得到∠DAB = ∠DBA。

证毕。

例题2：在下图中，AC为角BAY的平分线，求证：AD ⊥ BC。

B/ \\A-----Y\\ /C证明：由于AC为角BAY的平分线，根据角平分线的性质，可以得到∠BAC = ∠CAY，并且∠BAC = ∠ABY。

因此，根据角度的性质，我们可以推导出∠ABY = ∠CAY，进而得出△ABY ≌ △CAY。

根据三角形的对应角相等和对应边相等的性质，我们可以得出∠AYB = ∠AYC，并且∠CAY = ∠BAY。

因此，根据角度的性质，我们可以推导出∠AYB + ∠BAY +∠AYC = 180°。

由于∠AYB = ∠AYC，所以∠BAY = 90°。

因此，我们可以得出结论：AD ⊥ BC。

证毕。

三、角平分线的判定在实际问题中，我们有时候需要判断一个直线是否为某个角的平分线。

下面是常见的两种判定方法：1. 角平分线判定定理如果一条直线与一个角的两边相交，并且将这个角分成两个大小相等的角，那么这条直线就是这个角的平分线。

2. 垂直平分线判定定理如果一条直线与一个角的两边相交并且垂直于其中一条边，并将这个角分成两个大小相等的角，那么这条直线就是这个角的平分线。

角平分线的性质定理和判定第一部分：知识点回顾1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线；2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离；3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上第二部分：例题剖析例1.已知：在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，AB=15cm，（1）求证：BD+DE=AC．（2）求△DBE的周长．例2.如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB．例3. 如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC 的面积是多少？第三部分：典型例题例1、已知：如图所示，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE 、CD 交于点O ，且AO 平分∠BAC ，求证：OB=OC ．【变式练习】如图，已知∠1=∠2，P 为BN 上的一点，PF⊥BC 于F ，PA=PC ，求证：∠PCB+∠BAP=180º例2、已知：如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ． （1）若连接AM ，则AM 是否平分∠BAD ？请你证明你的结论； （2）线段DM 与AM 有怎样的位置关系？请说明理由．（3）CD 、AB 、AD 间？直接写出结果【变式练习】如图，△ABC 中，P 是角平分线AD ，BE 的交点． 求证：点P 在∠C 的平分线上．21NPF CBA例3.如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且DE=2cm，AB=9cm，BC=6cm，求△ABC的面积．【变式练习】如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．第四部分：思维误区一、忽视“垂直”条件例1.已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C，BF=CF。