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异步电动机矢量控制系统仿真研究摘要：本文以异步电机矢量控制原理为基础，通过坐标变换和转子磁链位置计算，利用Matlab/Simulink 构建一种异步电动机矢量控制系统的模型。
通过仿真不仅验证了模型的正确性，而且还为实际调速系统控制算法实现提供可靠的分析依据。
关键词：矢量控制；异步电动机；Matlab/Simulink1 引言直流电动机调速系统具有优良的静、动态调速特性，其根本原因在于作为控制对象的他励直流电动机电磁转矩能够容易而灵活地进行控制[1-2]。
在1971 年德国学者提出的矢量变换控制方法中，正交旋转坐标系的直轴励磁轴（M）与转子磁场重合，交轴为转矩轴（T），转子磁场的交轴分量为零，电磁转矩的方程得到简化，即在磁场恒定的情况下，电磁转矩与交轴电流分量成正比，因此，感应电机的机械特性与他励直流电机的机械特性完全一样，实现了磁场和转矩的解耦控制。
像直流调速系统一样，实现了交流电动机的磁通和转矩分别独立控制，从而使交流电动机具有了直流电动机的全部点。
由于直轴和转子磁场重合，因此也称转子磁场定向控制[3-5]。
2 转子磁场定向（FOC）控制框图矢量控制系统的结构图如图1所示。
系统的给定量有参考转速和参考磁链，其总的控制思路是：给定磁链除以1/Lm输出励磁电流给定值，给定转速与电机反馈转速相比较后，通过速度调节器，输出转矩信号的给定值，电机三相实际输出电流经过坐标变换，解耦为实际励 磁电流分量和转矩电流分量。
励磁给定值与实际励磁电流，转矩信号给定值与实际转矩电流分量分别经过pi调节器后，经过旋转逆变换，换算成两相静止坐标下矢量调制信号αU 、βU ，再由SVPWM算法得到PWM脉宽调制信号，去驱动控制逆变器的功率开关器件IGBT，最终实现了异步电机转矩的有效控制[4-5]。
PI图1 异步电动机矢量控制系统结构图3 系统仿真模型的建立 系统的仿真模型如图2所示：图2 异步电动机矢量控制系统仿真图3.1 主要仿真模块介绍3.1.1 速度、转矩、磁链调节器模块三个调节器的参数值如表1；三个调节器的内部接线结构如图3所示。
按照转子磁链定向旳矢量控制系统仿真1.矢量控制技术概述异步电机旳动态数学模型是一种高阶、非线性、强耦合旳多变量系统，其控制十分复杂。
矢量控制实现旳基本原理是通过测量和控制异步电动机定子电流矢量，根据磁场定向原理分别对机旳励磁电流和转矩电流进行控制，从而到达控制异步电动机转矩旳目旳。
将异步电动机旳异步电动定子电流矢量分解为产生磁场旳电流分量(励磁电流) 和产生转矩旳电流分量(转矩电流) 分别加以控制，并同步控制两分量间旳幅值和相位，即控制定子电流矢量，因此称这种控制方式称为矢量控制方式。
ω图1 带转矩内环节磁链闭环旳矢量控制系统构造图2.几种关键问题：●转子磁链函数发生器根据电机旳调速范围和给定旳转速信号，在恒转矩范围内恒磁通调速、转子磁通保持额定磁通；在恒功率范围内弱磁调速，转子磁通随转速指令旳增大而减小。
转子磁链函数发生器用来产生磁链大小信号。
这里采用下面旳曲线。
转子磁链旳幅值一般为1。
●转子磁链旳观测与定向转子磁链旳观测模型重要有二种：（1） 在两相静止坐标系上旳转子磁链模型电机旳定子电压和电流由传感器测得后，通过3S/2S 变换，再根据异步电机在两项静止坐标系下旳数学模型，计算转子磁链旳大小。
()r αm s αr r βr 11L i T T p ψωψ=-+ ()r βm s βr r αr 11L i T T p ψωψ=++ （2） 按磁场定向两相旋转坐标系上旳转子磁链模型三相定子电流 iA 、 iB 、iC 经3/2变换变成两相静止坐标系电流 is α 、 is β ，再经同步旋转变换并按转子磁链定向，得到M ，T 坐标系上旳电流 ism 、ist ，运用矢量控制方程式m st1s r rL i T ωωωψ-==mr smr 1L i T p ψ=+可以获得 ψr 和 ωs 信号，由ωs 与实测转速 ω 相加得到定子频率信号ω1，再经积分即为转子磁链旳相位角ϕ ，它也就是同步旋转变换旳旋转相位角。
基于转子磁场定向异步电机矢量控制在20世纪60年代以前，全世界电气传动系统中高性能调速传动都采用直流电动机，而绝大多数不变速传动则使用交流电机。
使得交流电机的应用受到很大限制。
1971年德国学者Blaschke F提出了交流电动机的磁场定向控制原理，应用坐标变换将三相系统等效为两相系统，再经过按磁场定向的同步旋转变换实现了定子电流励磁分量与转矩分量之间的解耦，从而达到对交流电机的磁链和电流分别控制的目的，为异步电机的调速奠定了基础。
磁耦合是机电能量转换的必要条件，电流与磁通的乘积产生转矩，转速与磁通的乘积得到感应电动势。
无论是直流电动机，还是交流电动机均如此。
交、直流电动机结构和工作原理的不同，使得表达式差异很大。
1 三相异步电机非线性数学模型在研究异步电机数学模型时，作如下的假设(1)忽略空间谐波，三相绕组对称，产生的磁动势沿气隙按正弦规律分布。
(2)忽略磁路饱和，各绕组的自感和互感都是恒定的。
(3)忽略铁心损耗。
(4)不考虑频率变化和温度变化对绕组电阻的影响。
无论异步电动机转子是绕线型还是笼型的，都可以等效成三相绕线转子，并折算到定子侧，折算后的定子和转子绕组匝数相等。
异步电动机三相绕组可以是Y连接，也可以是Δ连接。
若三相绕组为Δ连接，可先用Δ—Y变换，等效为Y 连接。
然后，按Y连接进行分析和设计。
三相异步电机的物理模型如下图1所示，定子三相绕组轴线A、B、C在空间是固定的，转子绕组轴线a、b、c随转子以角转速w旋转。
图1 三相异步电动机的物理模型异步电动机的动态模型由磁链方程、电压方程、转矩方程和运动方程组成。
其中磁链方程和转矩方程为代数方程，电压方程和运动方程为微分方程。
1.1 磁链方程异步电动机每个绕组的磁链是它本身的自感磁链和其它绕组对它的互感磁链之和,因此，六个绕组的磁链可用下式表示：A AA AB AC Aa Ab Ac A B BA BBBC Ba Bb Bc B C CA CB CC Ca Cb Cc C a aA aB aC aa ab ac a b bA bB bC ba bb bc b c cAcBcCcacbcc c L L L L L L i L L L L L L i L L L L L L i L L L L L L i L L L L L L i L L L L L L i ψψψψψψ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦(1) 式中,,,,,A B C a b c i i i i i i 是定子和转子相电流的瞬时值；,,,,,A B C a b c ψψψψψψ是各相绕组的全磁链。
基于MatlabSimulink的异步电机矢量控制系统仿真一、本文概述随着电力电子技术和控制理论的不断发展，异步电机矢量控制系统已成为现代电机控制领域的重要分支。
该系统通过精确控制异步电机的磁通和转矩，实现了对电机的高效、稳定和动态性能的优化。
Matlab/Simulink作为一种强大的仿真工具，为异步电机矢量控制系统的研究和设计提供了便捷的平台。
本文旨在探讨基于Matlab/Simulink的异步电机矢量控制系统仿真方法。
文章将简要介绍异步电机矢量控制的基本原理和关键技术，包括空间矢量脉宽调制（SVPWM）技术、转子磁链观测技术以及矢量控制策略等。
详细阐述如何利用Matlab/Simulink搭建异步电机矢量控制系统的仿真模型，包括电机模型、控制器模型以及系统仿真模型的构建过程。
文章还将探讨仿真模型的参数设置、仿真过程以及仿真结果的分析方法。
通过本文的研究，读者可以深入了解异步电机矢量控制系统的基本原理和仿真方法，掌握基于Matlab/Simulink的仿真技术，为异步电机矢量控制系统的实际设计和应用提供有益的参考和借鉴。
本文的研究也有助于推动异步电机矢量控制技术的发展和应用领域的拓展。
二、异步电机基本原理异步电机，又称感应电机，是一种广泛应用于工业领域的电动机。
其基本原理基于电磁感应和电磁力作用。
异步电机主要包括定子（静止部分）和转子（旋转部分）。
定子通常由铁芯和三相绕组构成，而转子则可能由实心铁芯、鼠笼型或绕线型结构组成。
当异步电机通电时，定子绕组中的三相电流会产生旋转磁场。
这个旋转磁场与转子中的导体相互作用，根据法拉第电磁感应定律，会在转子导体中产生感应电动势和感应电流。
这些感应电流在旋转磁场的作用下，受到电磁力的作用，从而使转子产生旋转力矩，驱动转子旋转。
异步电机的旋转速度与定子旋转磁场的旋转速度并不完全同步，这也是其被称为“异步”电机的原因。
异步电机的旋转速度通常略低于旋转磁场的同步速度，这是由于转子导体的电感和电阻导致的电磁延迟效应。
异步电机磁场定向矢量控制技术研究摘要异步电动机是日常工业中应用最为广泛的一种电机，异步电机的应用推动了工业的发展。
因此，研究异步电机能够更好的将理论知识结与生产实践相结合当中来，达到学以致用的目的。
异步电机一般用作拖动电机，对其进行研究主要在于控制和调速方面。
本文主要通过学习异步电动机磁场定向矢量控制技术的基本理论知识，并在此基础上分析其等效的直流电动机模型，然后仿照直流电动机的控制方法，最后运用方向思维将控制量反变换得到异步电机对应量，进而对其实施控制。
为了验证其可行性，本文采用Matlab/simiulink对其模型进行仿真，最后得出仿真结果并对仿真结果进行分析。
关键词：异步电动机；磁场定向；矢量控制；模型；仿真AbstractAsynchronous motor is one of the most widely used in daily industrial motor, whose application promoted the development of the industry. Therefore, it’s better to combine the theoretical knowledge and production practice for studing asynchronous motor, to achieve the purpose of their major. Asynchronous motor is generally used as electrical machine,its study mainly focused on rhe part of the control and speed regulation. This paper mainly through learning the basic theory of asynchronous motor field-oriented vector control technology knowledge,based on the analysis of the equivalent model of the dc motor,And then imitate the dc motor control method,finally using the direction of thinking will be asynchronous motor control inverse transform corresponding amount, and control over its implementation. In order to testing its feasibility, this paper use Matlab/simiulink simulation for its model, finally it is concluded that the results of simulation and analyze the simulation results .Key words:Asynchronous motor;The magnetic field orientation;Vector control;Model; simulation目录摘要 (I)Abstract........................................................................................................................... I I 第1章绪论.. (1)1.1异步电机的发展历程 (1)1.2 磁场定向矢量控制的发展现状及发展趋势 (1)1.2.1 磁场定向矢量控制发展现状 (1)第2章异步电动机的工作原理 (3)2.1 异步电机简介 (3)2.2异步电机工作原理 (3)2.3 异步电动机的等效电路 (4)第3章异步电动机磁场定向矢量控制原理 (7)3.1 异步电动机磁场定向矢量控制的数学模型 (7)3.1.1 三相坐标系下的数学模型 (7)3.1.2 坐标变换 (9)3.1.3 两相同步旋转坐标系上的异步电机模型 (12)3.2 异步电动机按转子磁场定向的矢量控制 (13)3.2.1 异步电动机按转子磁场定向的数学模型 (13)3.2.2 异步电动机按转子磁场定向的矢量控制方程 (14)3.2.3 转子磁链观测模型 (15)第4章磁场定向矢量控制系统的建模与仿真 (17)4.1 仿真系统的参数 (17)4.2系统模块 (19)4.3仿真结果与分析 (21)参考文献 (1)致谢 (2)第1章绪论1.1异步电机的发展历程1824年，法因人阿拉果发现磁针旋转时其周围有机械力的存在。
摘要本文对三相异步电动机按转子磁链定向的矢量控制系统进行了计算机仿真研究，运用Matlab/Simulink和SimPowerSystem工具箱及面向系统电气原理结构图的仿真方法，实现了带转矩内环的转速、磁链闭环矢量控制系统的建模与仿真；重点介绍了调速系统的建模和调节器参数的设置，给出了矢量交流调速系统的仿真模型和仿真结果非常接近实际情况，说明了仿真模型的正确性。
关键词：异步电动机；交流调速；矢量控制目录摘要 (I)1概述 (1)2总系统设计 (2)3子系统设计 (6)3.1 转速控制器 (6)3.2 定向控制器 (6)4三相异步电动机磁场定向矢量控制系统仿真 (8)4.1参数给定 (8)4.2系统仿真 (10)总结 (12)参考文献 (13)附录 (14)1概述交流调速技术在工业领域的各个方面应用很广，对于提高电力传动系统的性能有着重要的意义，由于电力传动系统的复杂性和被控对象的特殊性，使得对它的建模与仿真一直是研究的热点。
对其仿真研究不能像控制系统那样可用各环节简化传递函数来表示，这样会有很多重要环节被忽略，完全体现不了交流调速系统的整体结构和各个环节点上的信号状态。
对电气传动系统的建模仿真力求达到与实际系统相一致，Matlab提供的Simulink中的电力系统工具箱（SimPowerSystems）能很好地满足这一要求。
以往对电气传动系统的仿真研究主要集中在电机的建模和仿真，最近，许多对复杂电力传动系统的建模仿真方法已提出，主要有运用仿真工具箱对电力传动系统建模仿真和将电力传动系统的功能单元模块化的仿真建模。
由于三相异步电动机是一个多变量、强耦合非线性系统，存在着高性能上难以控制的问题。
矢量控制技术有按转子磁链定向和按定子磁链定向的控制等策略。
按转子磁链定向矢量控制给出了交流电动机的基本解耦控制方法。
在设计调速系统过程中，利用Matlab按转子磁链定向矢量控制的交流调速系统仿真，正确的应用坐标变换模块是建立转子磁链模型的基础。
基于转子磁场定向异步电机矢量控制在20世纪60年代以前，全世界电气传动系统中高性能调速传动都采用直流电动机，而绝大多数不变速传动则使用交流电机。
使得交流电机的应用受到很大限制。
1971年德国学者Blaschke F提出了交流电动机的磁场定向控制原理，应用坐标变换将三相系统等效为两相系统，再经过按磁场定向的同步旋转变换实现了定子电流励磁分量与转矩分量之间的解耦，从而达到对交流电机的磁链和电流分别控制的目的，为异步电机的调速奠定了基础。
磁耦合是机电能量转换的必要条件，电流与磁通的乘积产生转矩，转速与磁通的乘积得到感应电动势。
无论是直流电动机，还是交流电动机均如此。
交、直流电动机结构和工作原理的不同，使得表达式差异很大。
1 三相异步电机非线性数学模型在研究异步电机数学模型时，作如下的假设(1)忽略空间谐波，三相绕组对称，产生的磁动势沿气隙按正弦规律分布。
(2)忽略磁路饱和，各绕组的自感和互感都是恒定的。
(3)忽略铁心损耗。
(4)不考虑频率变化和温度变化对绕组电阻的影响。
无论异步电动机转子是绕线型还是笼型的，都可以等效成三相绕线转子，并折算到定子侧，折算后的定子和转子绕组匝数相等。
异步电动机三相绕组可以是Y连接，也可以是Δ连接。
若三相绕组为Δ连接，可先用Δ—Y变换，等效为Y 连接。
然后，按Y连接进行分析和设计。
三相异步电机的物理模型如下图1所示，定子三相绕组轴线A、B、C在空间是固定的，转子绕组轴线a、b、c随转子以角转速w旋转。
图1 三相异步电动机的物理模型异步电动机的动态模型由磁链方程、电压方程、转矩方程和运动方程组成。
其中磁链方程和转矩方程为代数方程，电压方程和运动方程为微分方程。
1.1 磁链方程异步电动机每个绕组的磁链是它本身的自感磁链和其它绕组对它的互感磁链之和,因此，六个绕组的磁链可用下式表示：A AA AB AC Aa Ab Ac A B BA BBBC Ba Bb Bc B C CA CB CC Ca Cb Cc C a aA aB aC aa ab ac a b bA bB bC ba bb bc b c cAcBcCcacbcc c L L L L L L i L L L L L L i L L L L L L i L L L L L L i L L L L L L i L L L L L L i ψψψψψψ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦(1) 式中,,,,,A B C a b c i i i i i i 是定子和转子相电流的瞬时值；,,,,,A B C a b c ψψψψψψ是各相绕组的全磁链。
定子各相自感AA BB CC ms ls L L L L L ===+转子各相自感aa bb cc ms lr L L L L L ===+绕组之间的互感又分为两类(1)定子三相彼此之间和转子三相彼此之间位置都是固定的，故互感为常值； (2)定子任一相与转子任一相之间的相对位置是变化的，互感是角位移的函数。
则221coscos()332ms ms ms L L L ππ=-=- 所以1212AB BC CA BA CB AC msab bc ca ba cb ac msL L L L L L L L L L L L L L ======-======- (2)对于第二类，定、转子绕组间的互感 ，由于相互位置的变化，可分别表示cos 2cos()32cos()3Aa aA Bb bB Cc cC ms Ab bA Bc cB Ca aC ms Ac cA Ba aB Cb bC ms L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L θπθπθ============+======- (3) 将(2)式和(3)式代入(1)式，即得完整的磁链方程，用分块矩阵表示sssr s s rs rr r r ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦LL ψi L L ψi (4) 式中[]T s A B C ψψψ=ψ []Tr a b c ψψψ=ψ []Ts A BC i i i =i []Tr abc i i i =i定子电感矩阵112211221122ms ls ms ms ss msms ls ms ms ms ms ls L L L L L L L L L L L L ⎡⎤+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎢⎥⎣⎦L (5)转子电感矩阵112211221122ms lr ms ms rr msms lr ms ms ms ms lr L L L L L L L L L L L L ⎡⎤+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎢⎥⎣⎦L (6) 定、转子互感矩阵22cos cos()cos()3322cos()cos cos()3322cos()cos()cos 33T rs sr ms L ππθθθππθθθππθθθ⎡⎤-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦L L (7)1.2 电压方程三相绕组电压平衡方程AA A s BB B s CC C s d u i R dtd u i R dt d u i R dtψψψ=+=+=+a a a r bb b r cc c rd u i R dtd u i R dt d u i R dt ψψψ=+=+=+(8)式中,,,,,A B C a b c u u u u u u 是定子和转子相电压的瞬时值；,s r R R 是定子和转子绕组电阻。
将电压方程写成矩阵形式d =+ψu Ri dt其展开后的矩阵为000000000000000000000000000A A A sB B B sC C C s a a a r b b b r c c c r u i R u i R u i R d u i R dt u i R u i R ψψψψψψ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(9) 1.3转矩方程[]()sin ()sin(120)()sin(120)e p ms A a B b C c A b B c C a A c B a C b T n L i i i i i i i i i i i i i i i i i i θθθ=-++++++︒+++-︒ (10)1.4 运动方程e L p J d T T n dtω=- (11) 1.5 转角方程d dtθω= (12) 1.6 异步电机三相原始模型的性质（1）异步电机三相原始模型的非线性强耦合性非线性耦合体现在电压方程、磁链方程与转矩方程。
既存在定子和转子间的耦合，也存在三相绕组间的交叉耦合。
旋转电动势和电磁转矩中都包含变量之间的乘积，这是非线性的基本因素。
定转子间的相对运动，导致其夹角θ不断变化，使得互感矩阵为非线性变参数矩阵。
（2）异步电动机三相原始模型的非独立性。
异步电动机三相绕组为Y 无中线连接，若为Δ连接，可等效为Y 连接。
则定子和转子三相电流代数和为0A B C i i i ++= 0a b c i i i ++=由式（4）可得[][][]T T TAB C ss A B C sr A B C L i i i L i i i ψψψ=+将式（5）和（6）代入，并把矩阵展开后的所有元相加，可以证明三相定子磁链代数和为0A B C ψψψ++=再由定子电压方程式（8），可知三相定子电压代数和为0A B C u u u ++=因此，异步电动机三相数学模型中存在一定的约束条件000A B C A B C A B C i i i u u u ψψψ++=++=++= 同理转子绕组也存在相应的约束条件000a b c a b c a b c i i i u u u ψψψ++=++=++= 相变量中只有两相是独立的，因此三相原始数学模型并不是物理对象最简的描述。
完全可以而且也有必要用两相模型代替。
2 坐标变换异步电动机三相原始动态模型相当复杂，简化的基本方法就是坐标变换。
异步电动机数学模型之所以复杂，关键是因为有一个复杂的电感矩阵和转矩方程，它们体现了异步电动机的电磁耦合和能量转换的复杂关系。
不同坐标系中电动机模型等效的原则是：在不同坐标下绕组所产生的合成磁动势相等。
在交流电动机三相对称的静止绕组A 、B 、C 中，通以三相平衡的正弦电流，所产生的合成磁动势是旋转磁动势F ，它在空间呈正弦分布，以同步转速（即电流的角频率）顺着A-B-C 的相序旋转。
任意对称的多相绕组，通入平衡的多相电流，都能产生旋转磁动势，但是以两相最为简单。
三相变量中只有两相为独立变量，完全可以也应该消去一相。
所以，三相绕组可以用相互独立的两相正交对称绕组等效代替，等效的原则是产生的磁动势相等。
两相绕组，通以两相平衡交流电流，也能产生旋转磁动势。
当三相绕组和两相绕组产生的旋转磁动势大小和转速都相等时，即认为两相绕组与三相绕组等效，这就是3/2变换。
其物理模型如下图2所示图2 三相坐标系和两相坐标系物理模型两个匝数相等相互正交的绕组d 、q ，分别通以直流电流，产生合成磁动势F ，其位置相对于绕组来说是固定的。
如果人为地让包含两个绕组在内的铁心以同步转速旋转，磁动势F 自然也随之旋转起来，成为旋转磁动势。
如果旋转磁动势的大小和转速与固定的交流绕组产生的旋转磁动势相等，那么这套旋转的直流绕组也就和前面两套固定的交流绕组都等效了。
或者说，在三相坐标系下的,,A B Ci i i 和在两相坐标系下的,i i αβ以及在旋转正交坐标系下的直流,d qi i 产生的旋转磁动势相等。
其物理模型如下图3所示。
图3 静止两相正交坐标系和旋转正交坐标系的物理模型2.1 三相-两相变换（3/2变换）三相绕组A、B、C和两相绕组之间的变换，称作三相坐标系和两相正交坐标系间的变换，简称3/2变换。
ABC和两个坐标系中的磁动势矢量，将两个坐标系原点重合，并使A轴和N，两相绕组每相有效匝数轴重合。
如图4所示，设三相绕组每相有效匝数为3N，各相磁动势为有效匝数与电流的乘积，其空间矢量均位于相关的坐标轴为2上。
图4 三相坐标系和两相正交坐标系中的磁动势矢量按照磁动势相等的等效原则，三相合成磁动势与两相合成磁动势相等，故两套绕组磁动势在αβ轴上的投影应相等。
因此23333233311coscos()33223sin sin ()332A B C A B C B C B C N i N i N i N i N i i i N i N i N i N i i αβππππ=--=--=-=-写成矩阵形式321112233022A B C i i N i i N i αβ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦ （13） 按照变换前后总功率不变，匝数比为3223N N =（14） 将式（14）代入式（13）得111222333022A B C i i i i i αβ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 令3/2C 表示从三相坐标系变换到两相正交坐标系的变换矩阵，则3/2111222333022C ⎡⎤--⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ （15） 两相正交坐标系变换到三相坐标系（简称2/3变换）的变换矩阵为2/3102133221322C ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦（16） 考虑到0A B C i i i ++=则302122A B i i i i αβ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦(17) 相应的逆变换2031162A B i i i i αβ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎢⎥⎣⎦(18) 电压变换阵和磁链变换阵与电流变换阵相同。
