2014高中数学(预习自测+课内练习+巩固提高)2.3.2 分数指数幂(1)新人教A版必修1

【巩固练习】 1．设函数f(x)和g(x)分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )A ．|f(x)|－g(x)是奇函数B ．|f(x)|＋g(x)是偶函数C ．f(x)－|g(x)|是奇函数D ．f(x)＋|g(x)|是偶函数2．已知函数y ＝f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(2＋x)＝f(2－x)，则f(4)＝( )A ．4B ．2C ．0D ．不确定3．若函数x 2x 1x a f(x)=(+)(-)为奇函数，则a ＝( ) A. 12B. 23C. 34 D ．1 4．已知f(x)是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时， f(x)＝x 3－x ，则函数y ＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．95．设f(x)＝2x ,|x |1x,|x |1⎧≥⎨<⎩g(x)是二次函数，若f(g(x))的值域是[0，＋∞)，则g(x)的值域是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞)6．已知f(x)＝2x 1,1x 0x 1,0x 1+-≤≤⎧⎨+<≤⎩，则如图中函数的图象错误的是( )7．已知f(x －1x )＝x 2＋21x，则函数f(3)＝________. 8．设函数f(x)是定义在R 上周期为3的奇函数，若f(1)<1，f(2)＝211a a -+，则a 的取值范围是________．9．设函数f(x)＝12(x ＋|x|)，则函数f[f(x)]的值域为________． 10．已知函数f(x)＝a 1- (a ≠1)，若f(x)在区间(0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．11．二次函数f(x)满足f(x ＋1)－f(x)＝2x ，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)解不等式f(x)>2x ＋5.12．函数f(x)对一切实数x 、y 均有f(x ＋y)－f(y)＝x(x ＋2y ＋1)成立，且f(1)＝0，(1)求f(0)的值；(2)试确定函数f(x)的解析式．13．已知函数f(x)＝22x 2x,x 00,x 0x mx,x 0⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩是奇函数． (1)求实数m 的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．14．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)．15．已知函数f(x)＝x2＋4ax＋2a＋6.(1)若函数f(x)的值域为[0，＋∞)，求a的值；(2)若函数f(x)的函数值均为非负数，求g(a)＝2－a|a＋3|的值域．16．已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【答案与解析】1．【答案】D【解析】设F(x)＝f(x)＋|g(x)|，由f(x)和g(x)分别是R 上的偶函数和奇函数，得F(－x)＝f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|g(x)|＝F(x)，∴f(x)＋|g(x)|是偶函数．2．【答案】C【解析】∵f(x)是R 上的奇函数，∴f(0)＝0.∴f(4)＝f(2－2)＝f(0)＝0.3．【答案】A 【解析】法一：由已知得x 2x 1x a f(x)=(+)(-)定义域关于原点对称，由于该函数定义域为 1x |x x a 2⎧⎫≠-≠⎨⎬⎩⎭且，知a ＝12 法二：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，又f(x)＝2x 2x (12a x a +-)-则2x 2x (12a x a ---)-＝2x 2x (12a x a-+-)-在函数的定义域内恒成立，∴1－2a ＝0，可得a ＝124．【答案】B 【解析】由f(x)＝0，x ∈[0,2)可得x ＝0或x ＝1，即在一个周期内，函数的图象与x 轴有两个交点，在区间[0,6)上共有6个交点，当x ＝6时，也是符合要求的交点，故共有7个不同的交点．5．【答案】C【解析】由f(x)≥0，可得x ≥0或x ≤－1，且x ≤－1时，f(x)≥1；x ≥0时，f(x)≥0. 又g(x)为二次函数，其值域为(－∞，a]或[b ，＋∞)型，而f(g(x))的值域为[0，＋∞)，可知g(x)≥0.6．【答案】D【解析】因f(x)＝2x 1,1x 0x 1,0x 1+-≤≤⎧⎨+<≤⎩其图象如图，验证知f(x －1)，f(－x)，f(|x|)的图象均正确，只有|f(x)|的图象错误．7．【答案】11【解析】∵f(x－1x)＝x2＋21x＝(x－1x)2＋2，∴f(x)＝x2＋2，∴f(3)＝32＋2＝11.8．【答案】(－∞，－1)∪(0，＋∞)【解析】∵f(x)是奇函数，∴f(1)＝－f(－1)<1.∴f(－1)>－1.又∵f(x)的周期为3，∴f(－1)＝f(2)＝211aa-+>－1.即31aa+>0，解得a>0或a<－1.9．【答案】[0，＋∞)【解析】先去绝对值，当x≥0时，f(x)＝x，故f[f(x)]＝f(x)＝x，当x<0时，f(x)＝0，故f[f(x)]＝f(0)＝0，即f[f(x)]＝x,x00,x1≥⎧⎨<⎩，易知其值域为[0，＋∞)．10．【答案】(－∞，0)∪(1,3]【解析】当a－1>0，即a>1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，则需3－a×1≥0，此时1<a≤3.当a－1<0，即a<1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，则需－a>0，此时a<0所以，实数a的取值范围是(－∞，0)∪(1,3]11．【解析】(1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．∵f(0)＝1，∴c＝1.把f(x)的表达式代入f(x＋1)－f(x)＝2x，有a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x.∴2ax＋a＋b＝2x.∴a＝1，b＝－1.∴f(x)＝x2－x＋1.(2)由x2－x＋1>2x＋5，即x2－3x－4>0，解得x>4或x<－1.故原不等式解集为{x|x>4或x<－1}．12．【解析】(1)令x＝1，y＝0，得f(1)－f(0)＝2.又∵f(1)＝0，∴f(0)＝－2.(2)令y＝0，则f(x)－f(0)＝x(x＋1)，由(1)知，f(1)＝x(x＋1)＋f(0)＝x(x＋1)－2＝x2＋x－2.13．【解析】(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象知a21, a21,->-⎧⎨-≤⎩所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．14．【解析】(1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，∴f(x)＝x2＋2x.又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.从而求得x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.(3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＋f(2 012)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)＝0.15．【解析】(1)∵函数的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0⇒2a 2－a －3＝0⇒a ＝－1或a ＝32(2)∵对一切x ∈R 函数值均为非负，∴Δ＝8(2a 2－a －3)≤0⇒－1≤a ≤32， ∴a ＋3>0.∴g(a)＝2－a|a ＋3|＝－a 2－3a ＋2＝－（a+32)2＋174,312a ,⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦∵二次函数g(a)在312,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减， ∴g 32⎛⎫ ⎪⎝⎭≤g(a)≤g(－1)，即－194≤g(a)≤4. ∴g(a)的值域为1944,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 16．【解析】(1)∵f(1)＝1，∴log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1，这时f(x)＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3>0得－1<x<3，函数定义域为(－1,3)．令g(x)＝－x 2＋2x ＋3.则g(x)在(－∞，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上递增，所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)．(2)假设存在实数a 使f(x)的最小值为0，则h(x)＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此应有012414a ,a .a>⎧⎪-⎨=⎪⎩ 解得a ＝12故存在实数a ＝12使f(x)的最小值等于0.。

《指数函数、对数函数、幂函数》全章复习与巩固【学习目标】1．理解有理指数幂的意义，掌握有理指数幂的运算性质；掌握指数函数的概念、图象和性质；理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图象和性质；了解幂函数的概念和性质。

知道指数函数、对数函数、幂函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。

2．了解函数与方程之间的关系，会利用二分法求一些简单方程的近似解；了解函数模型及其意义，能准确、清晰、有条理地表述问题，会利用函数的知识分析问题、解决问题，使学生明白函数与方程是研究事物变化的重要工具。

3．培养学生的理性思维能力、辩证思维能力、分析问题和解决问题的能力、创新意识与探索能力、数学建模能力以及数学交流的能力。

4．知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数(a ＞0，a ≠1)。

【知识网络】【要点梳理】知识点一、指数及指数幂的运算 1.根式的概念a 的n 次方根的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈当n 为奇数时，正数的n 次方根为正数，负数的n n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.n 叫做根指数，a 叫做被开方数. 2.n 次方根的性质：(1)当na =；当n,0,,0;a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩(2)na =3.分数指数幂的意义：)0,,,1m na a m n N n =>∈>；()10,,,1m nm naa m n N n a-=>∈>要点诠释：0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质：()0,0,,a b r s Q >>∈(1)rsr sa a a+= (2)()r srsa a = (3)()rr rab a b =知识点二、指数函数及其性质 1.指数函数概念 一般地，函数()0,1xy aa a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R .2.指数函数函数性质：知识点三：对数与对数运算 1.对数的定义(1)若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数.(2)负数和零没有对数.(3)对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>.2.几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =.3.常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N (其中 2.71828e =…). 4.对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈④log a NaN =⑤log log (0,)b na a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且知识点四：对数函数及其性质 1.对数函数定义一般地，函数()log 0,1a y x a a =>≠且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域()0,+∞. 2.对数函数性质：知识点五：反函数 1.反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=.如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=.2.反函数的性质(1)原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称.(2)函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域.(3)若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上.(4)一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数. 知识点六：幂函数 1.幂函数概念形如()y x R αα=∈的函数，叫做幂函数，其中α为常数. 2.幂函数的性质(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.(2)过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1).(3)单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数.如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y 轴.(4)奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数.当qpα=(其中,p q 互质，p 和q Z ∈)，若p 为奇数q 为奇数时，则qpy x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则qpy x =是非奇非偶函数.(5)图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方.【典型例题】类型一：指数、对数运算 例1.计算(1) 2221log log 12log 422-； (2)33lg 2lg 53lg 2lg 5++； (3)222lg5lg8lg5lg 20lg 23+++；(4)lg0.7lg20172⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭【思路点拨】运算时尽量把根式转化为分数指数幂，而小数也要化为分数为好. 【答案】(1)12-；(2)1；(3)3；(4)14。

2.2 指数函数2．2.1 分数指数幂在初中我们已经知道：若x2＝a，则x叫做a的平方根，同理，若x3＝a，则x叫做a 的立方根．根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如4的平方根为±2，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如－8的立方根为－2；零的平方根、立方根均为零，那么类比平方根、立方根的概念，n次方根的概念是什么呢？基础巩固1．下列各式中，对x∈R，n∈N*恒成立的是( )A.nx n＝x B.n|x|n＝xC．(nx)n＝x D.2nx2n＝|x|解析：nx n＝⎩⎪⎨⎪⎧x，n为奇数|x|，n为偶数.答案：D2．设a ＝424，b ＝312，c ＝6，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b <c <aC ．b >c >aD ．a <b <c解析：将根指数化为相同，再比较被开方数． 答案：D3．式子3＋5＋3－5的化简结果为( )A ．1B ．10C ．100 D.10解析：3＋5＋3－5＝6＋252＋6－252＝5＋122＋5－122＝10.答案：D 4.614－3338＋40.0625－(3＋π)0的值是( ) A ．0 B.12 C ．1 D.32解析：原式＝52－32＋0.5－1＝12.答案：B5．已知x 2＋x －2＝22且x >1，则x 2－x －2的值为( )A ．2或－2B ．－2C ．2 D. 6解析：(x 2＋x －2)2＝(22)2，即x 4＋x －4＋2＝8，即x 4＋x －4＝6，而(x 2－x －2)2＝x 4＋x －4－2＝4，又∵x >1，∴x 2>x －2，故x 2－x －2＝2. 解析：C 6．计算：2＋25－52＋15－1＝________.解析：5－5＝－5(5－1)，2＋2＝2(2＋1)． 答案：－107．若4a 2－4a ＋1＝31－2a3，则a 的取值范围是________．解析：∵2a －12＝|2a －1|＝1－2a ，∴2a －1≤0，即a ≤12.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，128.5＋26＋5－26＝________.解析：原式＝3＋2＋3－2＝2 3. 答案：239．化简：（12x－14x＋1）（x12＋14x＋1）（x －12x＋1）＝________.解析：原式＝[(12x＋1)2－(14x)2](x －12x＋1)＝(x ＋1＋12x)(x －12x＋1)＝(x ＋1)2－(12x)2＝x 2＋x ＋1.答案：x 2＋x ＋110.⎝ ⎛⎭⎪⎫36a 94·⎝ ⎛⎭⎪⎫63a 94的结果是________．解析：[()1396a]4·[()1663a]4＝142⨯a·142⨯a＝a 2＋2＝a 4.答案：a 411．用分数指数幂表示4a 3a a ＝________.解析：原式＝⨯⨯[()a ]aa 111342＝.a38答案：a3812．若m ＝(2＋3)－1，n ＝(2－3)－1，则(m ＋1)－2＋(n ＋1)－2＝________.解析：∵m ＝2－3，n ＝2＋3，∴原式＝13－32＋13＋32＝112－63＋112＋63＝+-+162323＝16()2＋3＋2－3＝46＝23.答案：2313．（132-a b-34）·（－a 12b－13）6÷（－3a 23b-14）＝________.解析：原式＝－2－3+-31233a31- -2+44b＝853223-a b . 答案：853223-a b14．计算： 33yx·3x2y(x >0)．解析：原式＝1-133()yx 12123)-(x y＝511+26323-⨯x1132-y＝152663.3-yx能力提升 15.82＋122＋124＋128＋1＋1＝________.解析：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1 ＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1 ＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1 ＝(24－1)(24＋1)(28＋1)＋1 ＝(28－1)(28＋1)＋1 ＝216－1＋1＝216. ∴原式＝22＝4.答案：416．化简：a 3b 23ab 2a 14b 1243ba(a ，b >0)的结果是________．解析：原式＝1123223⎡⎤⎢⎥⎣⎦a b (ab )÷112 33⎛⎫ ⎪⎝⎭-ab b a ＝112133232⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ab÷7233⎛⎫ ⎪⎝⎭a b＝5233-a×4733-b＝a b.答案：a b17．x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，则4x 2－4x ＋1＋2x 2－4x ＋4＝________.解析：原式＝|2x －1|＋2|x －2| ＝2x －1＋2(2－x )＝2x －1＋4－2x ＝3. 答案：318．已知a ＝-11n n220132013(n ∈N *)，求(a 2＋1＋a )n的值．解析：∵a ＝220132013--11nn，∴a 2＋1＝2420132013-+-22nn＋1＝2211n n2420132013-⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ＝2420132013-⎛⎫ ⎪⎝⎭+11n n ＝2220132013-⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭11nn.∴a 2＋1＋a ＝220132013-+11nn＋220132013--11nn.∴(a 2＋1＋a )n＝2013.19．已知a 2x＝2＋1，求a 3x ＋a －3xa x ＋a －x的值．解析：原式＝()()21x-x x -2x x -xa+a a -+a +a a＝a 2x ＋a－2x－1＝2＋1＋12＋1－1＝2＋2－1＝22－1.20．设x ＝3a ＋a 2＋b 3＋3a －a 2＋b 3，求x 3＋3bx －2a 的值．解析：设u ＝3a ＋a 2＋b 3，v ＝3a －a 2＋b 3，则x ＝u ＋v ，u 3＋v 3＝2a ，uv ＝3a 2－a 2＋b 3＝－b .x 3＝(u ＋v )3＝u 3＋u 3＋3uv (u ＋v )＝2a －3bx ，∴x 3＋3bx －2a ＝0.21．化简：-2-222--33-+yx y x －-2-222--33--y x yx .解析：原式＝3322332233-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- - -+y x +yx －3322332233⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- - ----y x yx＝223⎛⎫ ⎪⎝⎭-x －2233--yx ＋22 3-⎛⎫⎪⎝⎭y －2222223333⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦- - - -++y y x x＝43- x－23- (xy)＋43- y－43- x－2- 3(xy)－43- y＝－22 3-(xy)＝－23xy xy.22．化简：2133+1-+a 1a a＋1311++a a－13--13a 1aa.解析：原式看上去比较复杂，不易发现项与项之间、分子与分母之间的关系，如令b ＝13a，式子就变得简单些了．令b ＝13a，即a ＝b 3，原式＝b 3－1b 2＋b ＋1＋b 3＋1b ＋1－b 3－bb －1＝()()211+12b-b +b+b b+＋()()1112b+b -b+b-－()()111b b+b-b-＝b －1＋b 2－b ＋1－b 2－b＝－b ＝－13a.。

高中数学分数指数幂练习题（带答案）高中数学分数指数幂练习题（带答案）数学必修1(苏教版)2.2 指数函数2．2.1 分数指数幂在初中我们已经知道：若x2＝a，则x叫做a的平方根，同理，若x3＝a，则x叫做a的立方根．根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如4的平方根为2，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如－8的立方根为－2；零的平方根、立方根均为零，那么类比平方根、立方根的概念，n次方根的概念是什么呢？基础巩固1．下列各式中，对xR，nN*恒成立的是()A.nxn＝xB.n|x|n＝xC．(nx)n＝x D.2nx2n＝|x|解析：nxn＝x，n为奇数|x|，n为偶数.答案：D2．设a＝424，b＝312，c＝6，则a，b，c的大小关系是() A．ac B．baC．ba D．ac解析：将根指数化为相同，再比较被开方数．答案：D3．式子3＋5＋3－5的化简结果为()解析：原式＝3＋2＋3－2＝23.答案：239．化简：（－＋1）（＋＋1）（x－＋1）＝________. 解析：原式＝[( ＋1)2－( )2](x－＋1)＝(x＋1＋ )(x－＋1)＝(x＋1)2－( )2＝x2＋x＋1.答案：x2＋x＋110.36a9463a94的结果是________．解析：[ ]4[ ]4＝＝a2＋2＝a4.答案：a411．用分数指数幂表示4a3aa＝________.解析：原式＝＝答案：12．若m＝(2＋3)－1，n＝(2－3)－1，则(m＋1)－2＋(n＋1)－2＝________.解析：∵m＝2－3，n＝2＋3，原式＝13－32＋13＋32＝112－63＋112＋63＝＝162＋3＋2－3＝46＝23.答案：2313．（）（－）6（－）＝________.解析：原式＝－2－3 ＝ .答案：14．计算： 33yx3x2y(x0)．解析：原式＝能力提升15.82＋122＋124＋128＋1＋1＝________.解析：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1＝(24－1)(24＋1)(28＋1)＋1＝(28－1)(28＋1)＋1＝216－1＋1＝216.原式＝22＝4.答案：416．化简：a3b23ab2a14b1243ba(a，b0)的结果是________．解析：原式＝＝＝＝ab.答案：ab17．x12，2，则4x2－4x＋1＋2x2－4x＋4＝________.解析：原式＝|2x－1|＋2|x－2|＝2x－1＋2(2－x)＝2x－1＋4－2x＝3.答案：318．已知a＝ (nN*)，求(a2＋1＋a)n的值．解析：∵a＝，a2＋1＝＋1a2＋1＋a＝＋ .(a2＋1＋a)n＝2019.19．已知a2x＝2＋1，求a3x＋a－3xax＋a－x的值．解析：原式＝＝a2x＋a－2x－1＝2＋1＋12＋1－1＝2＋2－1＝22－1. xKb 1. Com20．设x＝3a＋a2＋b3＋3a－a2＋b3，求x3＋3bx－2a的值．解析：设u＝3a＋a2＋b3，v＝3a－a2＋b3，则x＝u＋v，u3＋v3＝2a，uv＝3a2－a2＋b3＝－b.x3＝(u＋v)3＝u3＋u3＋3uv(u＋v)＝2a－3bx，x3＋3bx－2a＝0.21．化简：－ .解析：原式＝－＝－2 ＝－23xyxy.22．化简：＋－ .解析：原式看上去比较复杂，不易发现项与项之间、分子与分母之间的关系，如令b＝，式子就变得简单些了．令b＝，即a＝b3，原式＝b3－1b2＋b＋1＋b3＋1b＋1－b3－bb－1＝＋－＝b－1＋b2－b＋1－b2－b＝－b＝－ .。

北京四中高中数学 指数函数、对数函数、幂函数综合基础巩固练习 新人教A 版必修1【巩固练习】1、下列函数与x y =有相同图象的一个函数就是( )A 、2x y = B 、xx y 2=C 、)10(log ≠>=a a ay xa 且 D 、x a a y log =2、函数y x=3与y x=--3的图象关于下列那种图形对称( ) A 、x 轴 B 、y 轴 C 、直线y x = D 、原点中心对称3、设函数f (x )＝⎩⎨⎧>-≤-1,log 11,221x x x x 则满足()2f x ≤的x 的取值范围就是( )A 、[]1,2-B 、[]0,2C 、[)1,+∞D 、 [)0,+∞4、函数()log 1a f x x =-在(0,1)上递减,那么()f x 在(1,)+∞上( ) A 、递增且无最大值 B 、递减且无最小值 C 、递增且有最大值 D 、递减且有最小值5、为了得到函数3lg10x y +=的图象,只需把函数lg y x =的图象上所有的点( ) A 、向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度; B 、向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度; C 、向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度; D 、向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度; 6、函数)65(log2)21(+-=-x x y x 的定义域为( );A 、()1,23,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭UB 、()()1,11,23,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭U U C 、()3,23,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U D 、()133,,23,222⎛⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U U 7、当0<x ≤12时,4x<log a x ,则a 的取值范围就是A 、(0,22) B 、(22,1) C 、(1,2) D 、(2,2) 8、函数1ln(1)(1)2x y x +-=>的反函数就是( ) A 、 211(0)x y ex +=-> B 、211(0)x y e x -=+>C 、 211()x y ex R +=-∈ D 、211()x y e x R -=+∈9、不等式31122x x-+≤的解集为 、 10、已知函数2()f x x bx c =++,对任意x R ∈都有(1)()f x f x +=-,则(2)f -、(0)f 、(2)f 的大小顺序就是 、11、函数1218x y -=的定义域就是 ;值域就是 、12、判断函数2lg(y x x =的奇偶性 、13、已知函数211()log 1xf x x x+=--,求函数的定义域,并讨论它的奇偶性、单调性、 14、(1)求函数2()log x f x -=的定义域;(2)求函数)5,0[,)31(42∈=-x y xx 的值域、15、已知12x -≤≤,求函数1()3239x x f x +=+⋅-的值域、【答案与解析】1、 【答案】D【解析】y x ==,对应法则不同;2,(0)x y x x=≠ log ,(0)a xy ax x ==>;log ()x a y a x x R ==∈、2、 【答案】D【解析】由y x=--3得3,(,)(,)xy x y x y --=→--,即关于原点对称、 3、 【答案】D【解析】不等式等价于11,22x x -≤⎧⎨≤⎩或21,1log 2x x >⎧⎨-≤⎩,解不等式组,可得01x ≤≤或1x >,即0x ≥,故选D 、4、 【答案】A【解析】令1u x =-,(0,1)就是u 的递减区间,即1a >,(1,)+∞就是u 的递增区间,即()f x 递增且无最大值、5、 【答案】C 【解析】3lg10x y +=Q =lg(3)1x +-,∴只需将lg y x =的图象上所有点向左平移3个单位长度,向下平移1个单位长度,即可得要求的图象、6、 【答案】D 【解析】{x x x x x x 或且31210210652>⎪⎩⎪⎨⎧≠->->+-22323213232123<<<<>⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠><>⇒x x x x x x x 或或且或、 故选D 、7、 【答案】B【解析】4log xa x <Q ,1a ∴<,又当102x <≤时,4log xa x < ,所以121log 42a >,即2a >,所以综上得:a的取值范围为,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、 8、 【答案】D 【解析】由1ln(1)(1)2x y x +-=>,解21ln(1)y x -=-得211,y e x -=-即211y x e -=+,故所求反函数为()211x y e x R -=+∈,故选D 、9、 【答案】(](],30,1-∞-U【解析】依题意得,31122x x-+-≤,311x x-+≤,即()()310x x x +-≤,解得(](],30,1-∞-U 、10、 【答案】(2)(2)(0)f f f ->>【解析】因为(1)()f x f x +=-,所以函数()f x 的对称轴为12x =,又函数的开口向上,所以有离对称轴越远,函数值越大,所以(2)(2)(0)f f f ->>11、 【答案】{}1|,|0,2x x y y ⎧⎫≠>≠⎨⎬⎩⎭且y 1 【解析】 1210,2x x -≠≠;12180,1x y y -=>≠且、12、 【答案】奇函数【解析】22()lg(f x x x x -=-+=22lg(().x x x f x ==-+=-13、【解析】0x ≠且101xx+>-,11x -<<且0x ≠,即定义域为(1,0)(0,1)-U ;221111()log log ()11x x f x f x x x x x -+-=-=-+=--+-为奇函数; 212()log (1)11f x x x =-+-在(1,0)(0,1)-和上为减函数、14、【答案】(1)2(,1)(1,)3+∞U (2)1(,81]243【解析】(1)2102211,,13320x x x x x ->⎧⎪-≠>≠⎨⎪->⎩且,即定义域为2(,1)(1,)3+∞U ;(2)令24,[0,5)u x x x =-∈,则45u -≤<,5411()(),33y -<≤181243y <≤,即值域为1(,81]243、 15、【答案】[]24,12- 【解析】12()3239(3)633x x x x f x +==+⋅-=-+⋅+,令3,x t =则2263(3)12y t t t =-++=--+,12,x -≤≤Q 193t ∴≤≤,3,t ∴=当即1x =时,y 取得最大值12;当9t =,即2x =时,y 取得最小值-24,即()f x 的最大值为12,最小值为-24,所以函数()f x 的值域为[]24,12-、。

2.3 幂函数基础达标1．下列幂函数中①y ＝x －1；②；③y ＝x ；④y ＝x 2；⑤y ＝x 3，其中在定义域内为增函数的个数为( )．A ．2B ．3C ．4D ．5 解析 由幂函数性质知②③⑤在定义域内为增函数．答案 B2．已知m ＝(a 2＋3)－1，n ＝3－1，则( )．A ．m ≥nB ．m ≤nC ．m ＝nD ．m 与n 的大小不确定解析 设f (x )＝x －1，∵a 2＋3≥3>0，且f (x )＝x －1在(0，＋∞)上为减函数， ∴f (a 2＋3)≤f (3)，即m ≤n .答案 B3．(2013·鹤岗高一检测)幂函数f (x )＝x 3m －5(m ∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且 f (－x )＝f (x )，则m 可能等于( )．A ．0B ．1C ．2D ．3解析 f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴3m －5<0(m ∈N)，则m ＝0或m ＝1，当m ＝0时，f (x )＝x －5是奇函数，不合题意．当m ＝1时，f (x )＝x －2是偶函数，因此m ＝1.答案 B4．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使f (x )＝x α为奇函数且在(0，＋∞)内单调递减的α的个数是________．答案 15．若(a ＋1)3<(3a －2)3，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵y ＝x 3是R 上的增函数，且(a ＋1)3<(3a －2)3，∴a ＋1<3a －2，解得a >32.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 6．给出下列四个说法：①当n ＝0时，y ＝x n 的图象是一个点；②幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)；③幂函数的图象不可能出现在第四象限；④幂函数y ＝x n 在第一象限为减函数，则n <0.其中正确的说法的序号是________．解析 显然①错误；②中如y ＝x －12的图象不过点(0,0)．根据幂函数的图象可知③，④正确．答案 ③④7．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x －1，当x 为何值时，有：(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )．解 在同一坐标系中画出f (x )＝x 2与g (x )＝x －1的图象，如图所示．由图象可知：(1)当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )；(2)当x ＝1时，f (x )＝g (x )；(3)当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )．能力提升8．在同一坐标系内，函数y ＝x a (a ≠0)和y ＝ax －1a 的图象可能是( )．解析当a<0时，函数y＝ax－1a是减函数，且在y轴上的截距－1a>0，y＝xa在(0，＋∞)上是减函数，∴A，D均不正确．对于B，C，若a>0则y＝ax－1a是增函数，B错，C正确．答案 C9．(2013·青岛质检)若函数f(x)＝a x(a>0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)x在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.解析当a>1时，有a2＝4，a－1＝m，此时a＝2，m＝12，此时g(x)＝－x为减函数，不合题意．若0<a<1，则a－1＝4，a2＝m，故a＝14，m＝116，检验知符合题意．答案1 410．已知幂函数f(x)的图象过点(25,5)．(1)求f(x)的解析式；(2)若函数g(x)＝f(2－lg x)，求g(x)的定义域、值域．解(1)设f(x)＝x a，则由题意可知25a＝5，∴a＝1 2，∴f(x)＝.(2)∵g(x)＝f(2－lg x)＝2－lg x，∴要使g(x)有意义，只需2－lg x≥0，即lg x≤2，解得0<x≤100.∴g(x)的定义域为(0,100]，又2－lg x≥0，∴g(x)的值域为[0，＋∞)．。

【成才之路】2014高中数学 2-1-1-2 分数指数幂能力强化提升新人教A 版必修1一、选择题1．设m ，n 是正整数，a 是正实数，则下列各式中正确的有( )①am n＝n a m ；②a 0＝1；③a －mn ＝1n am.A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个[答案] A2．下列等式能够成立的是( )[答案] D[解析] ∵(n m )7＝n 7m7＝n 7·m －7，∴A 错；3．计算[(－2)2] －12 的结果是( ) A. 2 B ．－ 2 C.22D ．－22[答案] C[解析] [(－2)2] －12 ＝(2)＝(2)－1＝12＝22，故选C. 4．(81625)－14 的值是( )A.35B.53C.325D.259[答案] B5．下列各式运算错误的是( ) A ．(－a 2b )2(－ab 2)3＝－a 7b 8B ．(－a 2b 3)3÷(－ab 2)3＝a 3b 3C ．(－a 3)2(－b 2)3＝a 6b 6D ．[(a 3)2(－b 2)3]3＝－a 18b 18[答案] C6．计算(36a 9)2(63a 9)2的结果是( )A ．aB ．a 2C ．a 4D ．a 8[答案] B 7.a 3a ·5a 4(a >0)的值是( )A ．1B ．aC ．a 15D ．a 1710[答案] D 8．化简－x3x的结果是( )A ．－－x B.x C ．－x D.－x[答案] A 二、填空题 9．化简：(3＋2)2013·(3－2)2013＝________[答案] 1[解析](3＋2)2013·(3－2)2013＝[(3＋2)(3－2)]2013＝12013＝110．已知3a＝2,3b＝5，则32a－b＝________.[答案]4 5[解析]32a－b＝3a23b＝45.11．[答案]a－b [解析]12．化简：3xy26x5·4y3＝________.(结果化成分数指数幂的形式)[答案][解析]三、解答题13．把下列各式中的b写成分数指数幂的形式：(1)b5＝32；(2)b4＝35；(3)b－5n＝π3m (m ，n ∈N *)．[解析]14．求下列各式的值：[解析]15．计算下列各式：[思路点拨] 负化正、大化小，根式化为分数指数幂，小数化为分数，是简化运算的常用技巧．[解析] (1)原式＝1＋14×(49)12 －(1100)12＝1＋16－110＝1115.(2)原式＝(259)12 ＋10.12＋(6427)－23＋3748＝53＋100＋916＋3748＝103. (3)原式＝－13a －2－1－(－4)b －3＋1－(－2)c －1＝－13ac －1＝－a 3c.(4)原式＝1a 2－1b21a ＋1b＋(－b －12 )2－(a 12 )2＝a －1－b －1－a ＋b －1＝1a －a ＝1－a2a.[点评] 一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算．16．已知a 12＋＋a 1212＝5，求下列各式的值：(1)a ＋a －1； (2)a 2＋a －2； (3)a 2－a －2.[解析](1)将a 12 ＋＋a 12 ＝5两边平方，得a ＋a －1＋2＝5，则a ＋a －1＝3. (2)由a ＋a －1＝3两边平方，得a 2＋a －2＋2＝9，则a 2＋a －2＝7.(3)设y ＝a 2－a －2，两边平方，得y 2＝a 4＋a －4－2＝(a 2＋a －2)2－4＝72－4＝45，所以y ＝±35，即a 2－a －2＝±3 5.。

指数与指数函数巩固训练题1．462(a b )(a, b 为正数)的结果是（ ） A. b a B. ab C. a bD. 2a b 2．化简1111132168421212121212-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结果是（ ）A. 11321122--⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 113212--⎛⎫- ⎪⎝⎭ C. 13212-- D. 1321122-⎛⎫- ⎪⎝⎭ 3．已知1335a -⎛⎫= ⎪⎝⎭， 1235b -⎛⎫= ⎪⎝⎭， 1332c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ） A. c b a << B. c a b << C. a c b << D. b a c <<4．函数()12f x ⎛= ⎪⎝⎭的单调递增区间为（ ）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．函数1x y e --=的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ． 6．若方程111042x x a -⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有正数解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（0，1） B ．（﹣3，0） C ．（﹣2，0） D ．（﹣1，0）7．设,,a b c 均为正数，且133log a a =， 131log 3b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 31log 3cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 则（ ） A. b a c ＜＜ B. c b a ＜＜ C. c a b ＜＜ D. a b c ＜＜8．设函数()2log 2x f x x -=-， 的零点分别为1x ， 2x ，则下列结论正确的是（ ）A. 1201x x <<B. 121x x =C. 1212x x <<D. 122x x ≥9．已知函数()20ln 0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩关于x 的方程()()20f x f x m ++=有三个不同实数根，则m 的取值范围是（ ）A. mB. mC.D.m10．已知定义在R 上的函数()2x m f x +=（m 为实数）为偶函数，记()1213l o g 2,3,1a f b f c f m ⎛⎫⎛⎫===+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.c b a <<11．设函数1()421x x f x +=-+-，2()lg(41)g x ax x =-+，若对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使12()()f x g x =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(0,4]B ．(,4]-∞C ．(4,0]-D ．[4,)+∞12．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()()20,1x x f x g x a a a a -+=-+>≠,若()2g a =,则()2f =（ ）A ．2B ．2a13．已知函数()132221x x x f x +++=+的最大值为M ，最小值为m ，则M+m 等于 .14.已知1(x)42x x f m +=-，()2121x x g x -=+，若存在实数,a b 同时满足方程()()0g a g b +=和()()0f a f b +=，则实数m 的取值范围 ．15.已知定义在()1,1-上的奇函数()f x ．在()1,0x ∈-时,()22x x f x -=+．（1）试求()f x 的表达式；（2）用定义证明()f x 在()1,0-上是减函数；（3）若对于()0,1x ∈上的每一个值，不等式()241x x t f x <-恒成立，求实数t 的取值范围．16．设函数()x x f x a a -=-（a ＞0且a ≠1）．（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）若()10f <，试判断 函数()f x 的单调性．并求使不等式()()240f x tx f x ++-<对一切x R ∈恒成立的t 的取值范围；（3）若()312f =，()()222x xg x a a mf x -=+-且()g x 在[)1,+∞ 上的最小值为2-,求m 的值．17.设函数()3x f x =,且()218f a +=，函数()()34ax x g x x R =-∈.（1）求()g x 的解析式；（2）判断函数()g x 在[]0,1上的单调性并用定义证明；（3）若方程()0g x b -=在[]2,2-上有两个不同的解，求实数b 的取值范围.18．已知函数()()2210g x ax ax b a =-++>在区间[]2,3上有最大值4和最小值 1.设()()g x f x x=. （1）求,a b 的值；（2）若不等式()22x x f k -⋅≥在[]1,1x ∈-上有解，求实数的取值范围；（3）若()2213021x x f k k --⋅-=-有三个不同的实数解，求实数的取值范围.参考答案：1．C 2.A 3.B 4.D 5.B 6.B 7.D 8.A 9.B 10.B 11.B 12.B13. 4 14. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭15.（1） ()()()()()2210002201x x x x x f x x x --⎧+-<<⎪⎪==⎨⎪-+<<⎪⎩ （2）用定义证明；（3）[)0,+∞16.（1）奇函数, (2)()3,5- (3)m=217.(1) ()24x x g x =-(2)单调递减，用定义证明。

2.2.2指数函数(3)(习题课)【自学目标】1.掌握分数指数幂的概念与运算性质，根式与分数指数幂的互化方法，能正确地进行有关根式和分数指数幂的化简、求值等问题，提高恒等变形的能力；2.掌握指数函数的定义、图象和性质及其应用，体会利用函数图象研究函数性质的思想方法以及从具体到抽象、从特殊到一般的思维过程，充分认识指数函数是一类重要的函数模型，了解指数函数在现代科技、生产、生活实际中的广泛应用，培养数学应用的意识和能力。

【知识描述】1．利用整体替换的思想,根据复合函数及对数函数的性质解决有关对数函数的复合问题。

平时常常遇见一次、二次函数与指数函数、对数函数的复合。

换元法是求解复合函数的常用方法。

2．函数图象的应用,如利用指数函数与对数函数图像的对称性来解题。

3．指数对数方程与不等式的解法。

这类问题应特别注意自变量的取值范围和底数大于1，还是大于0小于1的讨论。

【预习自测】例1．函数1a y x -=的定义域为]0,(-∞，求a 的取值范围例2．已知函数1212)x (f x x +-=，（1）判断函数)x (f 的奇偶性；（2）求证：函数)x (f 是R 上的增函数例3．有纯酒精20升，从中倒出1升，再用水加满；然后再倒出1升，再用水加满；如此反复进行。

问第九次和第十次各倒出多少升纯酒精？例4．2005年人才招聘会上，有甲、乙两公司分别开出它们的工资标准，甲公司允诺第一年月工资为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；乙公司允诺第一年月工资数为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%，若某大学生年初被甲、乙两家公司同时录取，试问：⑴若该大学生分别在甲公司或乙公司连续工作n 年，则他在第n 年的月工资收入分别是多少？⑵该人打算连续在一家公司工作3年，仅从工资收入总量较多作为应聘标准（不记其他因素），该人应选择哪家公司，为什么？【课堂练习】1．函数x x y -+=55是（ ）A. R 上的增函数B. R 上的减函数C. 奇函数D. 偶函数2．某厂1991年的产值为a 万元，预计产值每年以5%递增，则该厂到2003年的产值是（ ） A. 13%)51(+a B. 12%)51(+a C. 11%)51(+a D.12%)51(910-a 3．一产品原价为a 元，连续两年上涨x%，现欲恢复原价，应降价 %。