第9章(148)教材配套课件

如果Δφ=±π，则称u1与u2反相，如图9-2(c)所示。此时， u1与u2其中一个达到正最大值，另一个恰好达到负最大值。
如果Δφ＝±π／2，则称u1与u2正交，如图9-2(d)所示。 此时，u1与u2其中一个达到正或负最大值，另一个恰为零值。
第9章 正弦交流电路
图9-2 各种相位关系波形图
第9章 正弦交流电路
cos 2
(t


ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
)dt
0

1
T
U
2 m
[cos(2t

2 )
1]dt
T0 2
得
U 1 Um 2
(9-5)
第9章 正弦交流电路
9.2 正弦RC电路分析
如图9-3所示一阶RC电路中，已知UC(0－)=0, is(t)=Imcos(ωt+φi)A；t＝0时开关断开, 求t≥0时的uC(t)
3. 首先介绍周期信号的有效值，由于周期信号的大小是随 时间瞬时变化的，因此，它在某一瞬间的值(即瞬时值)只能 代表该时刻的大小，不能用来作为衡量其整体效果的参量。 而用它们的平均值来衡量，显然也不合适，因为一些特殊的 周期信号，如正弦波，在一个周期内的平均值是为零的。我 们能够说正弦信号激励无任何效果吗？ 显然不能。为此， 在电路理论中，引入一个用以反映周期信号平均效果(大小)
的关系为
2π 2πf
(9-2)
T
第9章 正弦交流电路
2. 两个正弦信号的相位之差称为相位差。注意，只有在两 个正弦信号采用同函数、同符号的条件下，我们才能直接将 相位相减来求相位差。若信号是不同函数或符号，应先将之
当两个正弦信号的频率不同时，其相位差是随时间变化 的，在不同时刻，相位差具有不同值。例如，设两个正弦电 压分别为
I
1 Im 2
(9-17)
第9章 正弦交流电路
3. 【例9-1】 已知正弦电压、 电流如下， 写出对应
(1) u(t) 3 2 cos(2t 45o )V (2) i(t)＝5cos(3t+30°)V
解 (1) Um 3 245o V, U 345o V (2) Im 530o A, I 5 30o A
第9章 正弦交流电路
第9章 正弦交流电路
9.1 正弦交流信号
9.2 正弦RC电路分析
9.3 正弦信号的相量表示 9.4 KCL和KVL的相量形式
9.5 R、 L、 C元件VAR的相量形式
9.6 阻抗和导纳 9.7 正弦稳态电路的相量法分析
第9章 正弦交流电路
9.1 正弦交流信号
1. 正弦量的三要素 在电路理论中，将随时间按正弦规律变化的电压或电流 统称为正弦交流信号。数学中，正弦量可以用sin函数或cos 函数来表示。在电路分析中，同样也可用sin函数或cos函数 来表示正弦信号，但一定要注意在同一分析过程中，函数形 式要统一，不能混用。本书一律统一采用cos函数来表示正 弦信号，今后若不做特别说明，则正弦信号一律都指cos函 数。

i
)
令
CUm Asin，
Um R
Acos
第9章 正弦交流电路
即
A
(CU m
)2

(U m R
)2
，φ＝arctan(ωRC)
cosαcosβ－sinαsinβ=cos(α+β) 有
Acos(ωt+φu+φ)＝Imcos(ωt+φi)
所以
第9章 正弦交流电路
解得
A
(CU m )2

(U m R
) 2＝I m
,φu+φ=φi
Um
Im
(C)2 ( 1 )2 ，φu＝φi－arctan(ωRC)
R
第9章 正弦交流电路
即特解为
uCp (t) Um cos(t u )
故完全解为
Im
cos(t i arctan(RC))
(C)2 ( 1 )2

7.2 33.7o 7.623.2o
0.910.5o
(2) A1 A2 6 j4 7 j3 13 j1 1318.48o
其相量图如图9-6
第9章 正弦交流电路
图9-6 例9-5(2)相量图
第9章 正弦交流电路
9.4 KCL和KVL的相量形式
1. KCL的相量形式
(9-8)
第9章 正弦交流电路
观察式(9-6)，等式右边自由项为正弦函数，因此，其特 解也为相同频率的正弦函数。故令
uCp(t)=Umcos(ωt+φu)
(9-9)
将其代入式(9-6)微分方程以求得待定常数Um及φu，有

CUm
sin(t
u
)

1 R
Um
cos(t

u
)

Im
cos(t
根据基尔霍夫电流定律，在任一时刻，流入节点的电流的代数和为
零。假设i1~in为连接某节点的n条支路的支路电流，如图9-7所示，则在
任一时刻
n
ik (t) 0
(9-18)
图9-3 正弦电源作用于RC电路
解 根据KCL方程和元件的VAR，得
C duC dt

uC R
Im cos(t i )
第9章 正弦交流电路
(9-6)
其完全解由齐次(通)解和非齐次(特)解组成：
uC(t)=uCh+uCp 显然，其齐次解为
(9-7)
t
t
uCh (t) Ke RC Ke
u(t)=Umcos(ωt+φu)V, i(t)=Imcos(ωt+φi)A
Um U me ju U mu V, Im I me ji I mi A
U Ue ju Uu V, I Ie ji IiA
显然
第9章 正弦交流电路
U
1 Um , 2
第9章 正弦交流电路
由响应式(9-11)可见，其表达式中的第一项(－Umcosφu e－t／τ对应于微分方程的齐次解，它是随时间衰减的响应量，在 t→∞时，该项衰减为零，为电路的暂态响应分量；表达式中的 第二项Umcos(ωt+φu)对应于微分方程的非齐次特解，并不随时 间衰减，当t→∞时，暂态过程结束时，该项仍然存在，为电路 的稳态响应分量，它是具有与激励信号相同频率的正弦量，如 图9-4所示。其中，Um′
单回顾。
(1) 复数的表示。复数既可表示为代数型，也可表示为
指数型(极型)。如复数X
X＝a+jb
＝|X|ejφ＝|X|∠φ
指数型(极型)
第9章 正弦交流电路
对应复数的两种表示形式，复数既可以用直角坐标也可 以用极坐标在复平面上表示。如图9-5所示。显然，复数的 代数型和指数型之间可相互转换，其转换关系为
第9章 正弦交流电路
图9-1 电压的波形
第9章 正弦交流电路
以电压为例，波形如图9-1所示的电压，其瞬时表示式 为
u(t)=Umcos(ωt+φ)V
(9-1)
式中，Um为电压的振幅，表明正弦信号在整个变化过程中
所能达到的最大值；ω表示单位时间正弦信号变化的弧度数，
称为角频率，单位为弧度/秒(rad/s)。ω与信号周期T及频率f
u(t)=Re［Umej(ωt+φ)］=Re［Umejφ·ejωt
Re[Ume jt ]
第9章 正弦交流电路
正弦信号对应的相量有振幅相量和有效值相量。其中， 模值为对应正弦信号的振幅的相量，为振幅相量；若其模值 为对应正弦信号的有效值，则称为有效值相量。若无特殊说 明，本书中一概以下标m表示振幅相量，无下标m的为有效 值相量。相量的单位与对应正弦量的单位相同。如某正弦电
(4) 3 j4
(3)2
0 (4)2 arctan
4
5233.1o
3
第9章 正弦交流电路
【例9-5】 已知相量 A1 6 j4 ，A2 7 j3
(1) 求 A1 A2
(2) 求 A1 A2
解 (1)
A1 A2

6 7
j4 j3
i(t) 5cos(t 60o )A
第9章 正弦交流电路
【例9-3】 化下列复数(相量) (1) 16∠90°；(2) 7∠-60°；(3) 10∠180° 解 (1) 16∠90°＝16［cos90°+jsin90°］＝j16 (2) 7∠－60°＝7［cos(－60°)+jsin(-60°)］≈3.5－j6.1 (3) 10∠180°＝10［cos180°+jsin180°］＝－10
Δφ=(ωt+φ1)－(ωt+φ2)＝φ1－φ2 (9-3)
第9章 正弦交流电路
如果相位差Δφ＝0，则称正弦电压u1与u2同相，如图92(a)所示。此时，u1与u2同步，即同时达到正、负最大值，
Δφ＞0，则称u1超前于u2或者称u2 滞后于u1，如图9-2(b)所示。此时，u1比u2提前Δφ达到最大 值和零值；反之，若Δφ＜0，则称u1滞后于u2或称u2超前于 u1
u1(t)=U1mcos(ω1t+φ1)V，u2(t)=U2mcos(ω2t+φ2)V 则u1与u2的相位差Δφ=(ω1t+φ1)－(ω2t+φ2)为时间的函数。
第9章 正弦交流电路
一般来说，我们只考虑同频率信号间的相位差。此时， 相位差为一常数。例如，设两正弦电压为
u1(t)=U1mcos(ωt+φ1)V, u2(t)=U2mcos(ωt+φ2)V 则u1与u2的相位差为
为 T u 2 dt 0R
, 若在相同时间T内，施加于电阻R并使之消耗相