高考数学备考冲刺之易错点点睛系列专题 选考系列(学生)

数列一、高考预测数列是历年高考的重点与难点，以等差数列与等比数列为基础考查数列的性质及前n 项和的问题是数列中的中低档难度问题，一般只要熟悉等差数列与等比数列及其前n 项和的性质即可正确得出结果.等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等．本讲内容在高考中多以选择题和填空题的形式出现，属于中低档题．解题时应从基础处着笔，首先要熟练掌握这两种基本数列的相关性质及公式，然后要熟悉它们的变形使用，善用技巧，减少运算量，既准又快地解决问题.除此以外，数列与其他知识的综合考查也是高考中常考的内容，数列是一种特殊的函数，它能与很多知识进行综合，如方程、函数、不等式、极限，数学归纳法（理）等为主要综合对象，概率、向量、解析几何等为点缀.数列与其他知识的综合问题在高考中大多属于中高档难度问题.数列是新课程的必修内容，从课程定位上说，其考查难度不应该太大，数列试题倾向考查基础是基本方向．从课标区的高考试题看，试卷中的数列试题最多是一道选择题或者填空题，一道解答题．由此我们可以预测2012年的高考中，数列试题会以考查基本问题为主，在数列的解答题中可能会出现与不等式的综合、与函数导数的综合等，但难度会得到控制． 二、知识导学要点1：有关等差数列的基本问题1．涉及等差数列的有关问题往往用等差数列的通项公式和求和公式“知三求二”解决问题；要点向3：等差、等比数列综合问题1.在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。

2．数列求通项的常见类型与方法：公式法、由递推公式求通项，由n S求通项，累加法、累乘法等3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法等。

2．已知数列{an}满足a1=0，an+1=an+2n，那么a2006的值是 ( ) A．2005×2003 B．2006×2005 C．20062 D．2006×2007 【解析】 由递推公式an+1，=an+2n，可变形为an+1-an=2n.且a1=0．采用叠加法即可求出an的通项公式． 【答案】 ∵an+1=an+2n，an+1-an=2n．∴an-an-1=2(n—1)，…a3-a2=4，a2-a1=2，由叠加法可得an=n(n-1)，故a2006=2006×2005．故选B． 3．已知数列{an}中a1=1，且a2k=a2k-1+(一1)ka2k+1=a2k+3k,其中k=1，2，3，…… (Ⅰ)求a3，a5； (Ⅱ)求{an}的通项公式． 难点2 等差数列与等比数列 1．已知数列{an}是递减等差数列，前三项之和为6，前三项之积为—24，则该数列的通项公式是 ( ) A．-4n+4 B．-4n+10 C. -4n—2 D．-4n-4 2．数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2an-3n(n∈N*) (1)若数列{an+c}引成等比数列，求常数c的值； (2)求数列{an}的通项公式an； (3)数列{an}中是否存在三项，它们可以构成等差数列?若存在，请求出一组适合条件的项；不存在，请说明理由． 【解析】 (1)利用an=Sn-Sn-1推出；(2)问运用叠代法求出通项；(3)问假设存在，再证明之． 【答案】 (1)由Sn=2an-3n及Sn+1=2an+1-3(n+1)得an+1=2an+3，∴=2， 3．已知数列{an}中，Sn是其前n项和，并且Sn+1=4an+2 (n=1，2，…)，a1=1， (1)设数列bn=an+1-2an(n=1，2，…)，求证：数列{bn}是等比数列； (2)设数列cn=(n=1，2，…)，求证；数列{cn}是等差数列； (3)求数列{an}的通项公式及前n项和． 难点3 数列的通项与前n项和 1．已知数列{an}的首项为a1=1，前n项和为Sn，并且对于任意的n≥2，3Sn-4、an、2-总成等差数列． (1)求{an}的通项公式； (2)记数列{Sn}的前n项和为Tn求Tn． 2．设不等式组，所表示的平面区域为Dn,记Dn内的整点个数为an(n∈N*)，(整点即横坐标和纵坐标均为整数的点) (1)求数列{an}的通项公式； (2)记数列{an}的前n项和为Sn,且Tn=，若对于一切的正整数n，总有Tn≤m，求实数m的取值范围． 3．对数列{an}规定{Δan}为数列{an}的一阶差分数列，其中Δan=an+1-an(n∈N*)，对正整数k，规定{Δkan}为{an}的k阶差分数列，其中Δkan=Δk-1an+1-Δk-1an=Δ(Δk-1an)． (1)已知数列{an}通项公式an=n2+n(n∈N*)，试判断{Δan}是否为等差或等比数列，为什么? (2)若数列{an}首项a1=1，且满足Δ2an-Δan+1+an=-2n(n∈N*)，求数列{an}的通项公式； (3)对(2)中数列{an},是否存在等差数列{bn},使得b1c1n+b2c2n+…+bncnn=an对一切正整数n∈N*都成立?若存在，求数列的通项公式；若不存在，则请说明理由． 难点4 递推数列与不等式的证明 1．设数列{an}满足a1=2，an+1=an+(n=1，2，…) (1)证明an>对一切正整数n成立； (Ⅱ)令bn=(n=1，2，…)，判定bn与bn+1的大小，并说明理由． 2．已知数列{an}满足递推关系：an+1=（n∈N*)，又a1=1． (1)在α=1时，求数列{an}的通项an; (2)问α在什么范围内取值时，能使数列{an}满足不等式an+1≥an恒成立? (3)在-3≤αb>0)，点P1(a，0)，对于给定的自然数n，当公差d变化时，求Sn的最小值； (3)请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上一点P1,对于给定的自然数n，写出符合条件的点P1，P2，…，Pn存在的充要条件，并说明理由． 得∴得P3的坐标可以为 ． (2)解法一：原点O到二次曲线上各点的最小距离为b，最大距离为a.∵a1=|OP1|2=a2,∴d0，∴Sn=na2+在上递增，故sn的最小值为na2+. 2．已知点集L={(x，y)|y=m·n}，其中m=(2x-b，1)，n=(1，b+1)，点列P(an，bn)在L中，P1为L与y轴的交点，等差数列{an}的公差为1，n∈N*．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)若cn=(n≥2)，求(c1+c2+…+cn)； (3)若f(n)=(k∈N*)，是否存在k∈N*使得f(k+11)=2f(k)，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【解析】 (1)利用向量的坐标表示求出an,bn (2)利用裂项法求出cn的n项和．(3)假设存在推出与条件是否相符． 【答案】 (1)由，得y=2x+1． ∴L：y=2x+1，∴P1(0，1)，则a1=0，b1=1，∴an=n-1 (n∈N*)，bn=2n-1(n∈N*)． 难点6 数列的实际应用 1．某城市2006年底粮食储备量为100万吨，预计此后每年耗用上年底粮食储备量的5％，并且每年新增粮食储备量为6万吨．记2006年底的粮食储备量为a1万吨，以后每年底的粮食储备量依次为a2万吨、a3万吨、…、an万吨、……(nN*) (1)求a2、a3； (2)受条件限制，该城市的粮食储备量不能超过120万吨，试问2013年粮食储备量是否超过120万吨? (3)试求数列{an}的通项公式．2．陈老师购买安居工程集资92m2，单价为1000元/m2，一次性国家财政补贴28800元，学校补贴14400元，余款由个人负担．房地产开发公司对教师实行分期付款 (注①)每期为一年，等额付款，签订购房合同后一年付款一次，再经过一年又付款一次，等等，共付10次， 10年后付清，如果按年利率7．5％，每年按复利计算 (注②)，那么每年应付款多少年?(计算结果精确到百元)(注③)． 注：①分期付款，各期所付的款以及最后一次付款时所生的利息合计，应等于个人负担的购房余额的现价及这个条款现价到最后一次付款时所生的利息之和．②每年按复利计算，即本年利息计人次年的本金生息．③必要时参考下列数据：1．0759=1．921，1.07510=2．065,1.07511=2．001． 难点7 数列与图形 1．把正奇数数列{2n-1}中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表： 1 3 5 7 9 11 — — — — — — — — — 设a(ij∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数． (1)若amn=2005，求m、n的值； (2)已知函数f(x)的反函数为f-1(x)=8nx3(x>0)，若记三角形数表中从上往下数第几行各数的和为bn，求数列{f(bn)}的前n项和Sn. 故两式相减，得 2．一粒子在区域{(x，y)|x≥0，y≥0}内运动，在第一秒内它从原点运动到点B，(0，1)，接着按图中箭头所示方向在x轴、y 轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度． (1)设粒子从原点到达点An、Bn、Cn时，所经过的时间分别为an、bn、cn，试写出{an}、{bn}、{cn}的通项公式； (2)求粒子从原点运动到点P(16，44)时所需的时间； (3)粒子从原点开始运动，求经过2004秒后，它所处的坐标． 3.已知数列｛an｝满足a1=1，an=3n-1+an-1(n≥2)． (1)求a2，a3； (2)求通项an的表达式． 3．设无穷等差数列｛an｝的前n项和为Sn. (Ⅰ)若首项a1=，公差d=1，求满足Sk2=(Sk)2的正整数k; (Ⅱ)求所有的无穷等差数列｛an｝；使得对于一切正整数中k都有Sk2=(Sk)2成立． 4.已知数列{an}的各项都是正数,且满足:a0=1,an+1=an·(4-an),nN. (1)证明an＜an+1＜2,n∈N. (2)求数列{an}的通项公式an. 【特别提醒】 1.要善于运用等差数列的性质：“若m+n=p+q,则am+an=ap+aq”；等差数列前n项和符合二次函数特征.借助二次函数性质进 行数形结合法解等差数列问题. 2.会运用一般与特殊的逻辑思维,利用满足条件的特值求相关参数的值,学会分析问题和解决问题. 【变式探究】 数列{an}是公差d≠0的等差数列，其前n项和为Sn,且a10=1, (Ⅰ)求{an}的通项公式； 在数列{an}中a1=,a2=,且log2(3a2-a1)…log(3an+1-an),是公差为-1的等差数列，又 2a2-a1,2a3-a2,…，2an+1-an,…是等比数列，公比为q，|q|＜1,这个等比数列的所有项之和等于. (1)求数列{an}的通项公式; 当 所以P2，P3，…，Pn都在过点P1(1,a)且斜率为常数的直线l1上. (2)过点Q1(1,a1),Q2(2,a2)作直线l1、l2,设l1与l2的夹角为θ，求证：tanθ≤ 答案：直线l2的方程为y-a1=d(x-),直线l2的斜率为d. 2.已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=(an-1)(n∈N*). (Ⅰ) 求a1,a2; (Ⅱ)求证数列{an}是等比数列. 【错误答案】 (Ⅰ)S1=(a1-1),得a1=-,S2=(a2-1),即a1+a2=(a2-1),得a2=. (Ⅱ)an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1),得,所以{an}是首项为-，公比为-的等比数3.等比数列的四个数之和为16,中间两个数之和为5,则该数列的公比q的取值为 ( ) A. 或4 B. 或 C. 4或- D. 4或或或 4.设数列{an}的首项a1=a≠,且an+1=(Ⅰ)求a2,a3; (Ⅱ)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论; (Ⅲ)求(b1+b2+b3+…+bn)=【特别提醒】 1.证明等比数列时应运用定义证为非0常数,而不能(此时n≥2). 2.等比数列中q可以取负值.不能设公比为q2. 3.会运用等比数列性质,“若m+n=p+k,则am·an=ap·ak”. 【变式探究】 已知数列{an}中,a1=,an+1=an+()n+1(n∈N*),数列{bn}对任何 n∈N*都有bn=an+1- an. (1)求证{bn}为等比数列; 已知数列{an}的首项为a1=2,前n项和为Sn,且对任意的正整数n,an都是3Sn-4与2-Sn-1的等差中项(n≥2).(1)求证:数列{an}是 等比数列,并求通项an; 答案：当n≥2时，2an=3Sn-4+2 an=Sn-Sn-1=a[2+()n-1]-b[2-(n+1)·()n+1]-a[2+()n-2]+b[2-n()n-2]=(bn-b-a)·()n-1 ∵{()n-1}为等比数列,{bn-a-b}为等差数列. 2.已知数列{an}是首项为a且公比q不等于1的等比数列，Sn是其前n项和，a1,2a7,3a4成等差数列. (Ⅰ) 证明12S3,S6,S12-S6成等比数列; (Ⅱ)求和Tn=a1+2a4+3a7+…+na3n-2. 所以Tn=·(-)na. 3.如图，△OBC的三个顶点坐标分别为（0，0）、（1，0）、（0，2），设P1为线段BC的中点，P2为线段CO的中点，P3为线段OP1的中点，对于每一个正整数n,Pn+3为线段PnPn+1的中点，令Pn的坐标为（xn,yn）,an=yn+yn+1+yn+2. (Ⅲ)∵bn+1=y4n+8-y4n+4=-=-(y4n+4-y4n)=- bn,又∵b1=y8-y4=-≠0,∴{bn}是公比为- 的等比数列. 4.在等差数列{an}中,公差d≠0,a2是a1与a4的等比中项.已知数列a1,a3,,…,akn,…成【特别提醒】 1.赋值法在解等差、等比数列问题中是常用方法.从而求出系数的值及从中找出规律. 2.等比数列中应注意考虑公比等于1的特殊情况,等比数列中的公差为0的特殊情况在解题时往往被忽视. 3在等差数列与等比数列中,经常要根据条件列方程(组)求解.要注意常两种情形的不同之处. 【变式探究】1已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1),且a1=9,其前n项之和为Sn，则满足不等式|Sn-n-6|＜的最小整数n是 （ ） A．5 B.6 C.7 D.8 答案： C 设 2 已知等差数列{an}的首项为a,公差为b;等比数列{bn}的首项为b,公比为a,其中a,b∈N+,且a1＜b1＜a2＜b2＜a3. (Ⅰ)求a的值; 答案：答案：解设f(x)=a(x-2)2 ∵过点(1,1),∴f(x)=(x-2)222222 4 知定义在R上的函数f(x)和数列{an}满足下列条件,a1=a,an=f(an-1)(n=2,3,4,…),a2≠a1,f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)(n=2,3,4,…)其中a为常数，k为非零常数. 5设实数a≠0，数列{an}是首项为a，公比为-a的等比数列，记bn=anlg|an|(n∈N*),Sn=b1+b2+…+bn,求证:当a≠-1时，对任意自然数n都有Sn=[1+(-1)n+1(1+n+na)an] 答案：解: ① aS=a② ①+②得?③ ∵a≠-1, ∴(1+a)S=易错点5 数列与解析几何、函数、不等式的综合 1．（典型例题）已知定义在R上的函数f(x)和数列{an}满足下列条件：a1=a,an=f(aa-1)(n=2,3,4,…),a2≠a1,f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)(n=2,3,4,…),其中a为常数，k为非零常数. (Ⅰ)令bn=aa+1-an(n∈N*),证明数列{bn}是等比数列； (Ⅱ)求数列{an}的通项公式； (Ⅲ)当|k|＜1时，求==a+ 2.如图，直线l1:y=kx+1-k(k≠0，k≠)与l2相交于点P.直线l1与x轴交于点P1,过点P1作x轴的垂线交于直线l2于点Q1,过点Q1作y轴的垂线交直线l1于点P2，过点P2作x轴的垂线交直线l2于点Q2，…这样一直作下去，可得到一系列点P1，Q1，P2，Q2，…点Pn(n=1,2,…)的横坐标构成数列{xn}.而xn-1=-×()n-1,即xn=1-2×()n,n∈N*. 【易错点点睛】运用叠代法时并不能化简成. 【正确解答】(Ⅰ)证明：当x≥0时,f(x)=1+≥1.因为a1=1,所以an≥1(n∈N*).下面用数学归纳法证明不等式bn≤. 【特别提醒】函数、数列、解析几何三者的综合，展示了知识的交汇性，方法的灵活性.因此解此类题目应充分运用函数与数列的联系，即数列是一种特殊函数，以及解析几何中方程与函数、数列的关系来解题.而数列与不等式的综合更显出问题的综合性. 【变式探究】 1 设函数y=f(x)图像上两点P1（x1,y1）,P2(x2,y2),若，且点P的横坐标为. （1）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个值； 答案： （2）若Sn=f()+f()+f()+…+f(1),n∈N*，求Sn; 答案：由(1)知 而Sn 两式相加，得 所以Sn (3)记Tn为数列的前n项和，若Tn＜a·(Sn+2+)对一切n∈N*都成立，试求a的取值范围. 由①②得：k=b=1 ∴C:x-y-1=0. （2）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）an≥1+ 答案： （Ⅲ） 5.f(x)=ln(2-x)+ax在开区间（0，1）内是增函数求实数a的取值范围 答案： f′(x)=- 由于f′(x)在(0,1)内是增函数 若数列|an|满足a1(0,1),an+1=ln(2-an)+an(nN+),证明00且ak+1=ln(2-ak)+ak0，n∈N+，则捕捞强度b的最大允许值是多少?证明你的结论． 【错误答案】 (1)xn+1 -xn=axn-bxn-cx2n (axn，bxn，cx2n分别为繁殖量、捕捞量，死亡量) 5．假设某市：2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8％．另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底， (1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米? (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85％? 万平方米． 设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知 {bn}是等比数列，其中b1=400，q=1．08，则bn=400·(1．08)n-1·0．85．由题意可知an>0．85bn，有250+ (n-1)·50>400·(1．08)n-1·0．85．由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6．到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85％． 【变式探究】 1. 将正整数排成下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1l 12 13 14 15 16 其中排在第i行第j列的数若记为aji，则数表中的2005应记为___________. 答案： 解析：略. 2.用砖砌墙，第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块，第二层用去了剩下的一半多一块，…，依次类推，每一层都用去了上层剩下的砖块的一半多一块，如果到第九层恰好砖块用完，那么一共用了_______块砖． 答案：1022 解析：由题意知第九层为 3. 已知一列非零向量an满足： a1=(x1，y1)，an=(xn，yn)==(xn-1-yn-1,xn-1+yn-1)(n≥2) (1)证明：{|an|}是等比数列； 答案： 4.在一次人才招聘会上，有A,B两家公司分别开出他们的工资标准：A公司允诺第一年月工资为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元：B公司允诺第一年月工资为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5％。

2024年历年高考数学易错知识点总结2024年的高考数学考试易错知识点总结如下：
1. 函数与方程：易错点包括函数的定义域与值域、函数的奇偶性、解方程时的取值范围、解不等式时的符号变化等。

2. 三角函数与三角恒等式：易错点包括三角函数的定义、基本的三角恒等式的熟练掌握、解三角方程时的值域判断等。

3. 平面几何与立体几何：易错点包括平面图形的面积计算、立体图形的体积计算、立方体、正方体、圆锥体等几何体的计算等。

4. 概率与统计：易错点包括概率计算中的排列组合、事件的独立性与互斥性、统计数据的分析与解读等。

5. 导数与微分：易错点包括导数的定义与性质、函数的最值与最值点的求解、曲线的切线与法线方程的求解等。

6. 数列与数列极限：易错点包括数列的通项公式的求解、等差数列与等比数列的性质及求和公式、数列极限的判断与计算等。

7. 矩阵与行列式：易错点包括矩阵的加减乘除、对角矩阵、单位矩阵与逆矩阵的求解、行列式的性质与计算等。

8. 模型与实际问题：易错点包括问题的分析与建模、转化为数学问题的能力、解答实际问题时的合理性判断等。

以上是2024年高考数学考试易错知识点的总结，考生可以针对这些知识点进行有针对性的复习和备考，提高解题的准确性和效率。

1．关于函数f(x)=4sin(2x+)(x∈R)有下列命题： ①由f(x1)=f(x2)，可得x1-x2必是π的整数倍；②若<x1,x2<，且2f(x1)=f(x1+x2+)，则x1<x2；③函数y=f(x)的图像关于点(-，0)对称．④函数y=f(-x)的单凋递增区间可由不等式2kπ-≤-2x+≤2kπ+(k∈Z)求得． 其中正确命题的序号是 . 2．函数f(x)=2cos2x+ (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)当方程f(x)+a=0有解时，求a的取值范围； (3)当cos()=时，求f(x)的值． 难点2运用三角恒等变形求值 1．若关于x的方程x2-4x·Sinθ+α·tanθ=0(<θ<有两个相同的实根． (1)求a的取值范围； (2)当a=时，求cos(θ+)的值 而 2．已知θ∈(0，)，sinθ-cosθ=,求的值． 难点3 向量与三角函数的综合 1．已知向量a=(2sinx，cosx)，b=(cosx，2cosx)，定义函数f(x)=a·b-1． (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)的单调减区间．cosθ1=3．已知a=(sinoα，cosα)，b=(cosβ，sinβ)，b+c=(2cosβ，0)，a·b=,a·c=求cos2(α+β)+tanα·cotβ的值． 【解析】 由b+c的坐标求出c的坐标，再利用向量的数量积的坐标运算公式转化为三角函数关系式，再借助三角函数的恒等变形可求出cos2(α+β)+tanα· cotβ的值． 【答案】 设c=(x，y)，b+c=(2cosβ,0)∴x=cosβ,y=sinβ．即c=(cosβ，-sinβ) 由a·b=，a·c=， ∵f(x)=∴f(x)的值域为(0，3)，∵f(x)与y=k有交点， ∴k∈[0，3]． 【易错点点睛】 上面解答求出k的范围只能保证y=f(x)的图像与y=k有交点，但不能保证y=f(x)的图像与y=k有两个交点，如k=1，两图像有三个交点．因此，正确的解答要作出了y=f(x)的图像，运用数形结合的思想求解． 【正确解答】填(1，3) ∵f(x) 作出其图像如图 从图5-1中可看出：当1<k<3时，直线y=k与 yf(x)有两个交点． 3．要得到函数y=cosx的图像，只需将函数y=sin(2x+)的图像上所有的点的 ( ) A.横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)，再向左平行移动 个单位长度 B．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度 C．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度 D．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度 【正确解答】 选C 将函数y=sin(2x+)图像上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得函数y=sin(x+)的图像；再向左平行移动子个单位长度后便得y=sin(x++)=cosx的图像．故选C． 4．设函数f(x)=sin(2x+)(-π<<0)，y=f(x)图像的一条对称轴是直线x=. (1)求； (2)求函数y=f(x)的单调增区间； 【错误答案】 (1)∵x=是函数y=f(x)的图像的对称轴，∴sin(2×+)=±1，∴ +=kπ+k Z．∴=kπ+ ，∵-π<<0，∴=-π． 5.求函数的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0，π]上的单调递增区间. 【错误答案】 【特别提醒】 利用三角函数图像研究三角函数性质(周期性、单调性、最值)，应以基本的三角函数图像y=sinx，y=cosx，y=tanx为基础，在研究单调性要注意复合函数(如y=1-sin(x+)，y=sin(-2x)， y=log sin(2x+))的单调性，在解决这类问题时，不能简单地把，x+， -2x，2x+,看作一个整体，还应考虑函数的定义域等问题． y=Asin(ωx+)与y=sinx图像间的关系：由y=sinx图像可以先平移后伸缩，也可先伸缩后平移．要注意顺序不同，平移单位也不同． 【变式探究】 1 已知函数y=tan 在(-,)内是减函数，则 ( ) A．0<ω≤1 B．-1≤ω<0 C.ω≥1 D． ω≤-1 2 函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期为 ( ) A． B. C．π D．2π 3 当0<x<时，函数f(x)=的最小值为 ( ) A.2 B．2 C．4 D. 4 4 化简f(x)=cos(+2x)+cos(π-2x)+ 2(x∈R，k∈Z)求函数f(x)的值域和最小正周期． 易错点2三角函数的恒等变形 1．设α为第四象限的角，若，则tan2α=. 2．已知-<x0，则sinα=已知函数f(x)=2sin2x+sin2x，x∈(0，2π)求使f(x)为正值的x的集合． 易错点3三角函数的综合应用 1．在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y>x>0． (Ⅰ)将十字形的面积表示为θ的函数； (Ⅱ)θ为何值时，十字形的面积最大?最大面积是多少? 3．设函数f(x)=xsinx(xR) (1)证明f(x+2kπ)f(x)=2kπsinx．其中k∈Z； (2)设x0是f(x)的一个极值点．证明[f(x0)]2=； (3)设f(x)在(0，+∞)的全部极值点按从小到大的顺序a1,a2，…，an，…，证明：0是f′(x)=0的任意正实根，即x0-tanx0，则存在一个非负整数k，使【特别提醒】 处理与角度有关的应用问题时，可优先考虑三角方法，其一般步骤是：具体设角、构造三角函数模型，通过三角变换来解决．另外，有些代数问题，可通过三角代换，运用三角知识来求解．有些三角问题，也可转化成代数函数，利用代数知识来求解如前面第2、3题． 【变式探究】 1将参数方程(θ为参数)化为普通方程，所得方程是 3 某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室．如图所示， ABCD是一块边长为50米的正方形地皮，扇形CEF是运动场的一部分，其半径为40米，矩形AGHM就是拟建的健身室，其中C、M分别在AB和AD上，H在EF上，设矩形AGHM的面积为 S，∠HCF=θ，请将S表示为θ的函数，并指出当点H在EF的何处时，该健身室的面积最大，最大面积是多少? 4 已知函数f(x)=sin (1)将f(x)写成Asin(ωx+)+k的形式．并求其图像对称中心的横坐标； (2)如果△ABC的三边。

2023年高考数学易错点梳理(超强) 2023年高考数学易错点梳理（超强）1. 平面几何
- 1.1. 同一平面上的三点共线的判定方法
- 1.2. 平行线的判定方法和性质
- 1.3. 长方形、正方形、菱形和矩形的性质和判定方法
- 1.4. 垂直平分线和中垂线的性质及应用
- 1.5. 圆的性质和相关定理
2. 空间几何
- 2.1. 直线与平面的位置关系及相关定理
- 2.2. 平行线与平面的位置关系及相关定理
- 2.3. 空间中的平行四边形和平行六面体的性质和判定方法- 2.4. 空间中点、线、面的判定方法
3. 三角函数
- 3.1. 正弦、余弦和正切的定义和性质- 3.2. 三角函数的基本关系式
- 3.3. 三角函数的模型应用
4. 数列与数学归纳法
- 4.1. 级数的概念和性质
- 4.2. 递推数列的通项公式和求和公式- 4.3. 数学归纳法的基本思想和应用
5. 概率与统计
- 5.1. 事件和概率的定义
- 5.2. 随机变量和概率分布的基本概念- 5.3. 排列组合的计数原理和应用
- 5.4. 统计图表的绘制和数据的分析
以上是2023年高考数学可能出现的易错点梳理，重点掌握这些内容会有助于提高数学考试的成绩。

希望同学们认真研究，加强练，顺利应对高考。

智才艺州攀枝花市创界学校函数一、高考预测本局部内容的主要考点是：函数的表示方法、分段函数、函数的定义域和值域、函数的单调性、函数的奇偶性、本局部在高考试卷中一般以选择题或者填空题的形式出现，考察的重点是函数的性质和图象的应用，重在检测考生对该局部的根底知识和根本方法的掌握程度.复习该局部以根底知识为主，注意培养用函数性质和函数图象分析问题和解决问题的才能.二次函数、指数函数、对数函数是数学的重要函数模型，也是函数内容的主体局部，因此是高考重点考察的对象，在每年的高考试题中都会涉及到对这几种函数模型的考察，既有可能在选择题、填空题中出现，也有可能在解答题中出现，从难度上看，容易题、中档题、难题均有可能出现，以考察这些函数的图象与性质为主，同时还经常将对这些内容的考察与其他知识交融在一起，表达知识点的交汇.二、知识导学要点1：函数三要素定义域的求法：当函数是由解析式给出时，求函数的定义域，就是由函数的解析式中所有式子都有意义的自变量x组成的不等式(组)的解集；当函数是由详细问题给出时，那么不仅要考虑使解析式有意义，还应考虑它的实际意义．求函数值域的常用方法：观察法、不等式法、图象法、换元法、单调性法等．函数的表示法：函数的表示法：解析法、图象法和列表法．当一个函数在定义域的不同区间上具有不同的对应关系时，在不同的定义域区间上的函数解析式也不同，就要用分段函数来表示．分段函数是一个函数．要点2．函数的图象1.解决该类问题要纯熟掌握根本初等函数的图象和性质，擅长利用函数的性质来作图，要合理利用图象的三种变换．2.在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系、结合图象研究．要点3．函数的性质(1)函数的奇偶性：紧扣函数奇偶性的定义和函数的定义域区间关于坐标原点对称、函数图象的对称性等对问题进展分析转化，特别注意“奇函数假设在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0，偶函数一定有f(|x|)＝f(x)〞在解题中的应用．(2)函数的单调性：一是紧扣定义；二是充分利用函数的奇偶性、函数的周期性和函数图象的直观性进展分析转化．函数的单调性往往与不等式的解、方程的解等问题交汇，要注意这些知识的综合运用．要点4．二次函数1.求二次函数在某段区间上的最值时，要利用好数形结合，特别是含参数的两种类型：“定轴动区间，定区间动轴〞的问题，抓住“三点一轴〞，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指的是对称轴．2．注意三个“二次〞的互相转化解题3．二次方程实根分布问题，抓住四点：“开口方向、判别式Δ、对称轴位置、区间端点函数值正负．〞要点5．指数函数与对数函数1.利用指数函数与对数函数的性质比较大小(1)底数一样，指数不同的幂用指数函数的单调性进展比较；底数一样，真数不同的对数值用对数函数的单调性进展比较．(2)底数不同、指数也不同，或者底数不同、真数也不同的两个数，可以引入中间量或者结合图象进展比较．2．对于含参数的指数、对数问题，在应用单调性时，要注意对底数进展讨论，解决对数问题时，首先要考虑定义域，其次再利用性质求解．要点6．函数模型的实际应用解决函数模型的实际应用题，首先应考虑该题考察的是何种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答．明确下面的根本解题步骤是解题的必要根底：→→→要点7．函数零点1.函数零点〔方程的根〕确实定问题，常见的类型有〔1〕零点或者零点存在区间确实定；〔2〕零点个数确实定；〔3〕两函数图象交战的横坐标或者有几个交点确实定；解决这类问题的常用方法有：解方程法、利用零点存在的断定或者数形结合法，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解。

卜人入州八九几市潮王学校2021年高考数学易错点点睛与高考打破专题02函数和反函数1．定义域为[0，1)的函数f(x)同时满足①对任意x∈[0，1]，总有f(x)≥0；②f(1)=1；③假设x 1≥0，x 2≥0，x 1+x 2≤1，那么有f(x 1+x 2)≥f(x 1)+f(x 2)．(1)求f(0)的值；(2)求函数f(x)的最大值．2．设f(x)是定义在(0，+∞)上的函数，k 是正常数，且对任意的x∈(0，+∞)，恒有f[f(x)]=kx 成立． 假设f(x)是(0，+∞)上的增函数，且k=1，求证：f(x)=x ．(2)对于任意的x 1、x 2∈(0，+∞)，当x 2>x 1时，有f(x 2)-f(x 1)＞x 2-x 1成立，假设k=2，证明：34＜x x f )(＜23．难点21．设f(x)是定义在[-1，1]上的偶函数．当x∈[-1，0]时，f(x)=g(2-x)，且当x∈[2,3]时，g(x)=2a(x-2)-4(x-2)3，(1)求f(x)的表达式；(2)是否存在正实数a(a＞6)，使函数f(x)的图像的最高点在直线y=12上，假设存在，求出正实数a 的值；假设不存在，请说明理由．【解析】(1)运用函数奇偶性和条件f(x)=g(2-x)可求得f(x)的解析式．(2)利用导数可求得f(x)的最大值．令最大值等于12可知是否存在正实数a．【答案】(1)当x∈[-1，0]时，2-x∈[2，3]f(x)=g(2-x)=2a(-x)-4(-x)3=4x3-2ax得f(x)=4x3-2ax(x∈[-1，0])2．函数y=f(x)是偶函数，且是周期为2的周期函数，当x∈[2，3]时,f(x)=x-1．在y=f(x)的图像上有两点A、B，它们的纵坐标相等，横坐标都在区间[1，3]上，定点C的坐标为(0，a)，(其中a＞2)，求△ABC 面积的最大值．当21+a >2，即a>3时，函数S 在[1，2]上单调递增，∴S 有最大值S(2)=a-2．难点3反函数与函数性质的综合1．在R 上的递减函数f(x)满足：当且仅当x∈M ⊂R +函数值f(x)的集合为[0，2]且f(21)=1；又对M 中的任意x 1、x 2都有f(x 1·x 2)=f(x 1)+f(x 2)．(1)求证：41∈M，而81∉M ；(2)证明:f(x)在M 上的反函数f -1(x)满足f -1(x 1)·f -1(x 2)=f -1(x 1+x 2)． (3)解不等式f -1(x 2+x)·f -1(x+2)≤41(x∈[0，2])．【解析】由给定的函数性质，证明自变量x 是属于还是不属于集合"，最后利用反函数的概念、性质证明反函数的一个性质和解反函数的不等式．【答案】(1)证明：∵21∈M，又41=21×21,f(21)=1．∴f(41)=f(21×21)=f(21)+f(21)=1+1=2∈[0，2]， ∴41∈M，【学科思想与方法】2.函数中的数形结合思想“数〞与“形〞是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石，二者在内容上互相联络、在方法上互相浸透、在一定条件下可以互相转化，而数形结合法正是在这一学科特点的根底上开展而来的．在解答选择题的过程中，可以先根据题意，做出草图，然后参照图形的作法、形状、位置、性质，并综合图象的特征得出结论．【例1】设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝那么f(x)的值域是()．【变式】函数y＝的图象与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于()．A．2B．4 C．6D．8解析：令1－x＝t，那么x＝1－t.【易错点点睛】易错点1函数的定义域和值域1．(2021模拟题精选)对定义域D f 、D g 的函数y=f(x)，y=g(x)，规定：函数h(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∉∉∈∈∈•gf g f g f D x D x x g D x D x x f D x D x x g x f 且当且当且当)()()()( (1)假设函数f(x)=11-x ,g(x)=x 2，写出函数h(x)的解析式; (2)求问题(1)中函数h(x)的值域．【错误答案】(1)∵f(x)的定义域D f 为(-∞，1)∪(1，+∞)，g(x)的定义域D g 为2．(2021模拟题精选)记函数f(x)=132++-x x 的定义域为A ，g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a≤1)的定义域为B.(1)求A ；(2)假设B ⊆A ，务实数a 的取值范围．3．(2021模拟题精选)记函数f(x)=lg(2x-3)的定义域为集合M ，函数g(x)=121--的定义域为集合N ．求 集合M ，N ；集合M∩N．M∪N.∴x≥3或者x<1．∴N={x|x≥3或者x<1}．【特别提醒】对于含有字母的函数求定义域或者其定义域求字母参数的取值范围，必须对字母酌取值情况进展讨论，特别注意定义域不能为空集。

选考系列一、高考预测几何证明选讲是高考的选考内容，主要考查相似三角形的判定与性质，射影定理，平行线分线段成比例定理；圆的切线定理，切割线定理，相交弦定理，圆周角定理以及圆内接四边形的判定与性质等．题目难度不大，以容易题为主．对本部分的考查主要是一道选考解答题，预测2012年仍会如此，难度不会太大．矩阵与变换主要考查二阶矩阵的基本运算，主要是以解答题的形式出现．预测在2012年高考主要考查(1)矩阵的逆矩阵；(2)利用系数矩阵的逆矩阵求点的坐标或曲线方程．坐标系与参数方程重点考查直线与圆的极坐标方程，极坐标与直角坐标的互化；直线，圆与椭圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，题目不难，考查“转化”为目的．预测2012高考中，极坐标、参数方程与直角坐标系间的互化仍是考查的热点，题目容易．不等式选讲是高考的选考内容之一，主要考查绝对值的几何意义，绝对值不等式的解法以及不等式证明的基本方法(比较法、分析法、综合法)．关于含有绝对值的不等式的问题．预测2012年高考在本部分可能会考查不等式的证明或求最值问题．1．极点的极径为0，极角为任意角，即极点的坐标不是惟一的．极径ρ的值也允许取负值，极角θ允许取任意角，当ρ<0时，点M(ρ，θ)位于极角θ的终边的反向延长线上，且OM＝|ρ|，在这样的规定下，平面上的点的坐标不是惟一的，即给定极坐标后，可以确定平面上惟一的点，但给出平面上的点，其极坐标却不是惟一的．这有两种情况：①如果所给的点是极点，其极径确定，但极角可以是任意角；②如果所给点M的一个极坐标为(ρ，θ)(ρ≠0)，则(ρ，2kπ＋θ)，(－ρ，(2k＋1)π＋θ)(k∈Z)也都是点M的极坐标．这两种情况都使点的极坐标不惟一，因此在解题的过程中要引起注意．2．在进行极坐标与直角坐标的转化时，要求极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同，在这个前提下才能用转化公式．同时，在曲线的极坐标方程和直角坐标方程互化时，如遇约分，两边平方，两边同乘以ρ，去分母等变形，应特别注意变形的等价性．3．对于极坐标方程，需要明确：①曲线上点的极坐标不一定满足方程．如点P(1,1)在方程ρ＝θ表示的曲线上，但点P的其他形式的坐标都不满足方程；②曲线的极坐标方程不惟一，如ρ＝1和ρ＝－1都表示以极点为圆心，半径为1的圆．4．同一个参数方程，以不同量作为参数，一般表示不同的曲线．5．任何一个参数方程化为普通方程，从理论上分析都存在扩大取值范围的可能性．从曲线和方程的概念出发，应通过限制普通方程中变量的取值范围，使化简前后的方程表示的是同一条曲线，原则上要利用x＝f(t)，y＝g(t)，借助函数中求值域的方法，以t为自变量，求出x和y的值域，作为普通方程中x和y的取值范围．7．注意柯西不等式等号成立的条件⇔a1b2－a2b1＝0，这时我们称(a1，a2)，(b1，b2)成比例，如果b1≠0，b2≠0，那么a1b2－a2b1＝0⇔＝.若b1·b2＝0，我们分情况说明：①b1＝b2＝0，则原不等式两边都是0，自然成立；②b1＝0，b2≠0，原不等式化为(a＋a)b≥ab，是自然成立的；③b1≠0，b2＝0，原不等式和②的道理一样，自然成立．正是因为b1·b2＝0时，不等式恒成立，因此我们研究柯西不等式时，总是假定b1·b2≠0，等号成立的条件可写成＝.三、易错点点睛几何证明选讲几何证明选讲是考查同学们推理能力、逻辑思维能力的好资料，题目以证明题为主，特别是一些定理的证明和用多个定理证明一个问题的题目，我们更应注意．重点把握以下内容：1．射影定理的内容及其证明；2．圆周角与弦切角定理的内容及证明；3．圆幂定理的内容及其证明；4．圆内接四边形的性质与判定；5．平行投影的性质与圆锥曲线的统一定义．如图，A，B，C，D四点在同一圆上,AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.(1)证明：CD∥AB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．证明(1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA.故∠ECD＝∠EBA.所以CD∥AB.(2)由(1)知，AE＝BE.因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC.连结AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA.所以∠AFG＋∠GBA＝180°.故A，B，G，F四点共圆．易错提醒(1)对四点共圆的性质定理和判定定理理解不透．(2)不能正确作出辅助线，构造四边形．(3)角的关系转化不当．矩阵与变换矩阵与变换易错易漏 (1)因矩阵乘法不满足交换律，多次变换对应矩阵的乘法顺序易错． (2)图形变换后，所求图形方程易代错．已知矩阵M ＝\o(\s\up12(1b ，N ＝\o(\s\up12(c0，且MN ＝\o(\s\up12(2－2 .(1)求实数a ，b ，c ，d 的值；(2)求直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象的方程． 解 方法一 (1)由题设得解得易错提醒 (1)忽视将C 1的参数方程和C 2的极坐标方程化为直角坐标系下的普通方程，即转化目标不明确．(2)转化或计算错误． 不等式选讲设a 、b 是非负实数，求证：a 3＋b 3≥(a 2＋b 2)．证明 由a ，b 是非负实数，作差得a 3＋b 3－(a 2＋b 2)＝a 2(－)＋b 2(－) ＝(－)[()5－()5]．当a ≥b 时，≥，从而()5≥()5，得(－)[()5－()5]≥0； 当a <b 时，<，从而()5<()5，得(－)[()5 －()5]>0.所以a 3＋b 3≥(a 2＋b 2)．易错提醒 (1)用作差法证明不等式入口较易，关键是分解因式，多数考生对分组分解因式不熟练．(2)分解因式后，与零比较时，易忽略分类讨论．设f x ax bx ()=+2，且112214≤-≤≤≤f f ()()，，求f ()-2的取值范围。

平面解析几何一、高考预测解析几何初步的内容主要是直线与方程、圆与方程和空间直角坐标系，该部分内容是整个解析几何的基础，在解析几何的知识体系中占有重要位置，但由于在高中阶段平面解析几何的主要内容是圆锥曲线与方程，故在该部分高考考查的分值不多，在高考试卷中一般就是一个选择题或者填空题考查直线与方程、圆与方程的基本问题，偏向于考查直线与圆的综合，试题难度不大，对直线方程、圆的方程的深入考查则与圆锥曲线结合进行．根据近年来各地高考的情况，解析几何初步的考查是稳定的，预计该部分的考查仍然是以选择题或者填空题考查直线与圆的基础知识和方法，而在解析几何解答题中考查该部分知识的应用．圆锥曲线与方程是高考考查的核心内容之一，在高考中一般有1～2个选择题或者填空题，一个解答题．选择题或者填空题在于有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用，试题考查主要针对圆锥曲线本身，综合性较小，试题的难度一般不大；解答题中主要是以椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系，考查数形结合思想、函数与方程思想、等价转化思想、分类与整合思想等数学思想方法，这道解答题往往是试卷的压轴题之一．由于圆锥曲线与方程是传统的高中数学主干知识，在高考命题上已经比较成熟，考查的形式和试题的难度、类型已经较为稳定，预计仍然是这种考查方式，不会发生大的变化．解析几何的知识主线很清晰，就是直线方程、圆的方程、圆锥曲线方程及其简单几何性质，复习解析几何时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上，要在解题方法、解题思想上深入下去．解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些解方程(组)的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法；数学思想方法在解析几何问题中起着重要作用，数形结合思想占首位，其次分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想，如解析几何中的最值问题往往就是建立求解目标的函数，通过函数的最值研究几何中的最值．复习解析几何时要充分重视数学思想方法的运用．二、知识导学(一)直线的方程1.点斜式：)(11x x k y y -=-；2. 截距式：b kx y +=；3.两点式：121121x x x x y y y y --=--；4. 截距式：1=+b y a x ；5.一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0.(二)两条直线的位置关系两条直线1l ，2l 有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交.设直线1l ：y =1k x +1b ，直线2l ：y =2k x +2b ，则1l ∥2l 的充要条件是1k =2k ，且1b =2b ；1l ⊥2l 的充要条件是1k 2k =-1.(三)圆的有关问题1.圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-（r ＞0），称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a ，b ），半径为r.特别地，当圆心在原点（0，0），半径为r 时，圆的方程为222r y x =+.2.圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x （F E D 422-+＞0）称为圆的一般方程， 其圆心坐标为（2D -，2E -），半径为F E D r 42122-+=.当F E D 422-+=0时，方程表示一个点（2D -，2E -）； 当F E D 422-+＜0时，方程不表示任何图形.3.圆的参数方程圆的普通方程与参数方程之间有如下关系：222r y x =+ ⇔ cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数）222)()(r b y a x =-+- ⇔ cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩ （θ为参数）(五)椭圆的简单几何性质1. 椭圆的几何性质：设椭圆方程为12222=+b y a x （a ＞b ＞0）. ⑴ 范围： -a ≤x ≤a ，-b ≤x ≤b ，所以椭圆位于直线x=a ±和y=b ±所围成的矩形里. ⑵ 对称性：分别关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.⑶ 顶点：有四个1A （-a ，0）、2A （a ，0）1B （0，-b ）、2B （0，b ）.线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比a c e =叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e ＜1.e 越接近于1时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆.2.椭圆的第二定义⑴ 定义：平面内动点M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数ac e =（e ＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.⑵ 准线：根据椭圆的对称性，12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的准线有两条，它们的方程(六)椭圆的参数方程椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P 的离心角θ与直线OP 的倾斜角α不同：θαtan tan a b =；⑵ 椭圆的参数方程可以由方程12222=+b y a x 与三角恒等式1sin cos 22=+θθ相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.(七)双曲线及其标准方程1.双曲线的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|1F 2F |）的动点M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a ＜|1F 2F |，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|1F 2F |，则动点的轨迹是两条射线；若2a ＞|1F 2F |，则无轨迹. 若1MF ＜2MF 时，动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若1MF ＞2MF时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”. 2. 双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和12222=-b x a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.(八)双曲线的简单几何性质1.双曲线12222=-b y a x 的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，离心率a c e =＞1，离心率e 越大，双曲线的开口越大.2. 双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为x a b y ±=或表示为02222=-b y a x .若已知双曲线的渐近线方程是x n m y ±=，即0=±ny mx ，那么双曲线的方程具有以下形式： k y n x m =-2222，其中k 是一个不为零的常数.3.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线12222=-b y a x ，它的焦点坐标是（-c ，0）和（c ，0），与它们对应的准线方程分别是c a x 2-=和c a x 2=.在双曲线中，a 、b 、c 、e 四个元素间有a c e =与222b ac +=的关系，与椭圆一样确定双曲线的标准方程只要两个的条件.(九)抛物线的标准方程和几何性质1．抛物线的定义：平面内到一定点（F ）和一条定直线（l ）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。

导数及应用导数及应用一、高考预测从近几年考查的趋势看，本专题考查的重点是导数在研究函数的单调性和极值中的应用、导数在研究方程和不等式中的应用，考查的形式是解答题考查导数在研究函数问题中的综合运用，但常围绕一些交叉点设计一些新颖的试题，大部分函数和导数的基础试题难度也不大，但少数函数的基础试题难度较大，解答题中的函数导数试题也具有一定的难度． 由于该专题的绝大多数内容(除定积分)都是传统的高中数学内容，在考查上已经基本稳定(难度稳定、考查重点稳定、考查的分值稳定)，预计2012年基本上还是这个考查趋势，具体为：以选择题或者填空题的方式考查导数的几何意义的应用，定积分的计算及其简单应用．以解答题的方式考查导数在函数问题中的综合应用，重点是使用导数的方法研究函数的单调性和极值以及能够转化为研究函数的单调性、极值、最值问题的不等式和方程等问题，考查函数建模和利用导数解模．导数及其应用：要掌握好导数的几何意义、导数的运算、导数和函数的单调性与极值的关系，由于函数的极值和最值的解决是以函数的单调性为前提的，因此要重点解决导数在研究函数单调性中的应用，特别是含有字母参数的函数的单调性(这是高考考查分类与整合思想的一个主要命题点)，在解决好上述问题后，要注意把不等式问题、方程问题转化为函数的单调性、极值、最值进行研究性训练，这是高考命制压轴题的一个重要考查点．二、知识导学要点1：利用导数研究曲线的切线1．导数的几何意义：函数()y f x =在0x 处的导数()f x '的几何意义是：曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数()s t 对时间t 的导数）。

2．求曲线切线方程的步骤：（1）求出函数()y f x =在点0x x =的导数，即曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的斜率；（2）在已知切点坐标00(,())P x f x 和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。

高考题易错系列选考科目中常见易忽略的考点及解题思路高考是每位学生人生中至关重要的一次考试，其中选考科目更是需要学生充分备考和把握的部分。

然而，令人头疼的是选考科目中常常存在一些易被忽略或容易出错的考点。

本文将针对这些易错考点进行深入分析，并给出解题思路，帮助同学们在备考时避免重复犯错。

1. 数学数学，作为高考中常见的选考科目之一，常常让学生感到头疼。

以下是几个易忽略的考点及解题思路：a. 对称性：在解题过程中，有时候学生容易忽略图形的对称性质。

因此，在做题时要注意寻找图形的对称中点、对称轴等特征。

b. 函数的定义域和值域：在考试中，常常会出现求函数的定义域和值域的题目。

解答时需要注意函数的性质、分段函数的拐点等因素，避免计算错误。

c. 代数方程与立体几何的结合：有一些题目会结合代数方程与立体几何的知识。

在解决这类题目时，学生需要将两个领域的知识相互联系起来，使用适当的方法解决问题。

2. 物理物理是一门需要理解和应用的科目，其中也存在一些易忽略的考点。

以下是几个常见的易忽略考点及解题思路：a. 单位换算和数值计算：在问题求解过程中，容易忽略单位换算和数值计算。

做题时要小心单位之间的换算关系和数值上的计算错误。

b. 力学中的矢量运算：力学中常出现矢量的加减、取模等运算。

在计算过程中，需要注意矢量的方向和大小关系，避免运算错误。

c. 电路中的戴维南定理：在解决复杂电路问题时，学生容易忽略戴维南定理的应用。

因此，在解题过程中，要善于运用戴维南定理，简化问题求解的步骤。

3. 化学化学是一门需要记忆和理解的科目，学生在备考过程中常常忽略了一些易错考点。

以下是几个常见的易忽略考点及解题思路：a. 化学方程式的平衡：学生在记忆化学方程式时，常常忽略了平衡反应的条件。

解题时，需要注意平衡反应的物质的物质的摩尔比例关系，做到在写出化学方程式后，能正确平衡化学方程式。

b. 酸碱滴定：化学滴定是一个容易出错的实验，因此在考试中常常会出现相关题目。

高考数学备考冲刺之易错点点睛系列专题06 算法初步与复数（学生版）一、高考预测算法是新课标高考的独有内容，从近年来课标地区的高考看，这是试卷中一个必备的试题，试题以选择题或填空题的方式出现，主要考查程序框图和基本算法语句．预计2012年变化不大．复习算法要抓住如下要点：一是程序框图的三种基本逻辑结构，即顺序结构、条件分支结构和循环结构，搞清楚这三种基本逻辑结构的功能和使用方法，特别要注意循环结构的功能和使用方法，在复习时建议结合具体题目掌握好一些常见的计算问题的程序框图，如二分法求方程近似解的程序框图、一些数列求和的程序框图、一元二次不等式解的程序框图等；二是理解基本算法语句的含义，搞清楚条件语句与条件分支结构的对应关系、循环语句与循环结构的对应关系，在此基础上学会对一些简单问题的程序编写．复数是高考的一个考点，主要考查复数的概念和代数形式的四则运算，一般是一个选择题，位置靠前，难度不大．预计2012年会继续这个考查风格．复数的内容就是概念、运算和简单的几何意义，复习时只要把概念弄清，运算法则掌握好，并把复数和向量的关系弄清楚即可．二、知识导学规律技巧提炼1．在算法的三种逻辑结构中，顺序结构是算法都离不开的，在循环结构的循环体中一定含有一个条件结构，这个条件决定循环何时终止，以确保算法能够在有限步内完成计算，条件结构的功能就是确定算法的不同流向．理解算法的三种基本逻辑结构，是我们分析算法框图，编写简单程序的基础．2．算法是离不开具体的数学问题的，算法试题往往要依托其他数学问题来实现，算法可以和函数求值、方程求解、不等式求解、数列求和、统计量计算等问题相互交汇．3．复数部分的考点就是复数的概念、复数相等的充要条件、复数代数形式的四则运算，其考查带有综合性．要注意复数相等的充要条件中必须把两个复数都化为“标准的代数形式”．三、易错点点睛命题角度 1 复数的概念2． z=i -11的共轭复数是 （ ） A ．21+21i B ．21-21I C ．1-i D ．1+i[考场错解] 选C ∵z=i -11=1+i.∴z 为纯虚数为1-i [专家把脉] z=i-11=1+i 是错误的，因为（1-i ）(1+i)=1-(i)2-z ≠1 [对症下药] 选B ∵z=i -11=.212121)1)(1(1i i i i i +=+=+-+∴z=i -11的共轭复数是21-21i 。

概率与统计一、高考预测计数原理、概率统计部分是高中数学中使用课时最多的一个知识板块，高考对该部分的考查分值也较多．从近几年的情况看，该部分考查的主要问题是排列组合应用问题，二项式定理及其简单应用，随机抽样，样本估计总体，线性回归分析，性检验，古典概型，几何概型，事件的性，随机变量的分布、期望和方差，正态分布的简单应用，在试卷中一般是2～3个选择题、填空题，一个解答题，试题难度中等或者稍易．预计该部分的基本考查方向还是这样，虽然可能出现一些适度创新，但考查的基本点不会发生大的变化．计数原理、概率统计部分的复习要从整体上，从知识的相互关系上进行．概率试题的核心是概率计算，其中事件之间的互斥、对立和性是概率计算的核心，排列组合是进行概率计算的工具，在复习概率时要抓住概率计算的核心和这个工具；统计问题的核心是样本数据的分布，反映样本数据的方法：样本频数表、样本频率分布表、频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，得到样本数据的方法是随机抽样，在复习统计部分时，要紧紧抓住这些图表和方法，把图表的含义弄清楚，这样剩下的问题就是有关的计算和对统计思想的理解，如样本均值和方差的计算，用样本估计总体等．二、知识导学(4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：求概率的步骤是：第一步，确定事件性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩等可能事件互斥事件独立事件n次独立重复试验即所给的问题归结为四类事件中的某一种.第二步，判断事件的运算⎧⎨⎩和事件积事件即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.第三步，运用公式()()()()()()()()(1)k k n kn nmP AnP A B P A P BP A B P A P BP k C p p-⎧=⎪⎪⎪+=+⎨⎪⋅=⋅⎪=-⎪⎩等可能事件:互斥事件：独立事件：n次独立重复试验:求解第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.（1）二项分布n次重复试验中，事件A发生的次数ξ是一个随机变量，其所有可能的取值为0，1，2，…n，并且k nkknkqpCkPP-===)(ξ，其中nk≤≤0，pq-=1，随机变量ξ的分布列如下：ξ0 1 …k…nP nnqpC00111-nnqpC…k nkknqpC-qpC nnn 称这样随机变量服从二项分布，记作，其中、为参数，并记：),;(pnkbqpC k nkkn=-.（2）几何分布在重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数ξ是一个取值为正整数的离散型随机变量，“kξ=”表示在第k次重复试验时事件第一次发生.随机变量ξ的概率分布为：ξ 1 2 3 …k …P p qp 2q p…1k q p-…要点要点4 抽样方法与总体分布的估计3．分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样.要点5 正态分布与线性回归1.正态分布的概念及主要性质2.线性回归 简单的说，线性回归就是处理变量与变量之间的线性关系的一种数学方法. 变量和变量之间的关系大致可分为两种类型：确定性的函数关系和不确定的函数关系.不确定性的两个变量之间往往仍有规律可循.回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数量统计方法.它可以提供变量之间相关关系的经验公式.具体说来，对n 个样本数据（11,x y ），（22,x y ），…，（,n n x y ），其回归直线方程，或经验公式为：ˆybx a =+.其中1221,,()ni ii nii x y nxyb a y b x xn x ==-==-⋅-∑∑，其中y x ,分别为|i x |、|i y |的平均数.三、易错点点睛【易错点2】二项式展开式中的项的系数与二项式系数的概念掌握不清，容易混淆，导致出错1、在5322x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，5x 的系数为 ，二项式系数为 。