三角形练习二

全等三角形1．如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（）A、6B、4C、23D、52．如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，有以下结论：①EM=FN；②CD=DN；③∠FAN=∠EAM；④△ACN≌△ABM．其中正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB=6cm，则△DEB的周长为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm4．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（）A．11 B．5.5 C．7 D．3.55．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线， BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（）A．10 B．7 C．5 D．46．如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD ＝3，BD＝5，则四边形ABCD的面积为_______.7．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC交CD于E，且BE⊥CD，CE:ED=2:1．如果△BEC的面积为2，那么四边形ABED 的面积是．8．如图，A、B、C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点，若△ABC的面积是2，那么△A1B1C1的面积是．9．如图，AB=AD，只需添加一个条件，就可以判定△ABC≌△ADE．10．如图点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB的距离是．11．如图，∠A=90°，∠ABC的角平分线交AC于E，AE=3，则E到BC的距离为．12．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=4，O为AC的中点，OE⊥OD 交AB于点E．若AE=3，则OD的长为．13．如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD=∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF=∠CFE．14．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．15．（1）如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且B，C，D三点共线，连接AD，BE 相交于点P，求证：BE = AD；（2）如图2，在△BCD中，∠BCD＜120°，分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF，连接AD，BE和CF交于点P，下列结论正确的是（只填序号即可）①AD=BE=CF；②∠BEC=∠ADC；③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°；（3）如图2，在（2）的条件下，求证：PB+PC+PD=BE．16．已知：如图，E、F是□ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF.求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）BE∥DF．17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE为BC边上的中线，CD⊥AE于点F，BD⊥BC于点B．（1）试说明：AE＝CD；（2）若AC＝10cm，求线段BD的长．18．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若OD=12AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．19．如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求证：AB=CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明．20．如图，在△ABC中，AB=5，AD=4，BD=DC=3，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F．（1）请写出与A点有关的三个正确结论；（2）DE 与DF在数量上有何关系？并给出证明．21．已知，如图，在▱ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE=CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN．（1）求证：△AEM≌△CFN；（2）求证：四边形BMDN是平行四边形．22．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：（1）△AEF ≌△CEB ；（2）AF=2CD ．23．在△ABC 中, ∠C=90°,BD 是△ABC 的角平分线,P 是射线AC 上任意一点（不 与A,D,C 三点重合）,过P 作PQ ⊥AB,垂足为Q,交直线BD 于E.（1）如图①,当点P 在线段AC 上时,说明∠PDE=∠PED.（2）如图②，作∠CPQ 的角平分线交直线AB 于点F,则PF 与BD 有怎样的位置关系?24．已知：如图，CE ⊥AB ，BF ⊥AC ，CE 与BF 相交于D ，且BD=CD 。

第十一章 三角形 综合练习（2）一、单选题1．下列说法中错误的是（ ）A ．三角形的中线、角平分线高线都是线段B ．任意三角形的外角和都是360︒C ．三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形D ．三角形的一个外角大于任何一个内角2．十二边形的每个内角都相等，它的一个外角的度数是（ ）．A ．30B ．35︒C ．40︒D ．45︒ 3．设α,β,γ是某三角形的三个内角,则α+β,β+γ,α+γ 中 ( )A ．有两个锐角、一个钝角B ．有两个钝角、一个锐角C ．至少有两个钝角D ．三个都可能是锐角4．如果一个多边形内角和是外角和的4倍，那么这个多边形有（ ）条对角线． A ．20 B ．27 C ．35 D ．44 5．一个八十二边形中，它的内角中的锐角最多可以有的个数是（ ）． A ．1 B ．3 C ．41 D ．82 6．如果一个三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，那么这个三角形是（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定 7．如图，ABC 中，BD 是ABC ∠的平分线，//DE BC ，交AB 于点E ，60A ∠=︒，95BDC ∠=︒，则BDE ∠=（ ）．A ．30B ．35︒C ．45︒D ．50︒8．如图，ABC 中，ABD DBE EBC ∠=∠=∠，ACD DCE ECB ∠=∠=∠，若130BEC ∠=︒，则A ∠等于（ ）．A ．30B ．35︒C ．80︒D ．85︒9．一个多边形截去一个角后，得到的多边形的内角和为1980，那么原来的多边形的边数为（ ）．A ．12或13取14B ．13或14C ．12或13D ．13或14或15 10．如图，ABC 中，80BAC ∠=︒，D 是ABC 外一点，ADC ACD ∠=∠，ADB ABD ∠=∠，则BDC ∠=（ ）． A ．70︒ B ．60︒ C ．45︒ D ．40︒二、填空题11．一等腰三角形的底边长为15cm ，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长5cm ，那么这个三角形的周长为__________．12．如果三角形两条边分别为3和5，则周长L 的取值范围是__________13．如图，AD 平分∠CAE ，∠B =30°，∠ACD =80°，则∠EAD =___________．14．如图，如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G =________．15．已知过m 边形的一个顶点有3条对角线，n 边形没有对角线，k 边形共有k 条对角线，则()m k n -=________．16．如图，:1:3AD AC =，:BCD ABD S S =________．17．等腰三角形的一个角是70°，则它的一腰上的高与底边的夹角是 ________． 18．∠ABC 中，∠A =55°，∠B =75°，将纸片的一角折叠，点C 落在∠ABC 内，如图，若∠CDA =20°，则∠CEB =________．19．一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350︒，则这个多边形的边数是_________.20．如图，在∠ABC 中，∠CAD =∠CDA ，∠CAB −∠ABC =30°，则∠BAD =________︒． 21．已知非直角三角形ABC 中，∠A ＝45°，高BD 与高CE 所在直线交于点H ，则∠BHC 的度数是_______．三、解答题22．∠ABC 中，内角∠A 和外角∠CBE 和∠BCF 的角平分线交于点P ，AP 交BC 于D ．过B 作BG ∠AP 于G ．若∠GBP = 55°，求∠ACB 的度数．23．在如图所示的星形中，14B ∠=︒，15C ∠=︒，16F ∠=︒，45A D E G k ∠+∠+∠+∠=⋅︒，求k 的值．24．如下几个图形是五角星和它的变形．（1）图∠中是一个五角星，求A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠的和．（2）如果把图∠中的点A 向下移到BE 上，形成如图∠中五个星的和（即CAD B C ∠+∠+∠+D E ∠+∠）有无变化？说明你的结论的正确性．（3）如果把图∠中点C 向上移动到BD 上，形成如图∠的图形，则此时五个角的和（即CAD B ∠+∠+ACE D E ∠+∠+∠）有无变化？说明你的理由．25．若三边均不相等的三角形三边a、b、c满足a b b c->-（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为->-，所以这个三角形为“不均衡三角形”．7554（1）以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为________（填序号）∠4cm，2cm，1cm∠13cm，18cm，9cm∠19cm，20cm，19cm∠9cm，8cm，6cmx-（x为整数）求x的值．（2）已知“不均衡三角形”三边分别为22x+，16，2626．已知；D是∠ABC中BC边的中点，（1）图∠中面积相等的三角形是_________．（2）图∠中，若MN // AB，则图∠中面积相等的三角形是__________________．（3）画图：图∠中过A点画一条直线把四边形ABCD的面积平分，并说明原因．参考答案：1．D【分析】要熟悉三角形中的概念及其分类方法和三角形的内角和定理及其推论．【详解】解：A、三角形的中线、角平分线、高线都是线段，故A正确；B、任意三角形的外角和都是360°，故B正确；C、三角形按边分类可分为不等边三角形和等腰三角形，故C正确；D、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，故D错误．故选：D．【点睛】本题主要考查了三角形的高、中线、角平分线的概念，三角形的内角和定理及其推论，三角形的分类方法，难度适中．2．A【分析】由十二边形的每个内角都相等，可得这个十二边形的每个外角也都相等，再利用多边形的外角和可得答案.【详解】解：十二边形的每个内角都相等，∴这个十二边形的每个外角也都相等，∴它的一个外角的度数是36030, 12︒=︒故选：.A【点睛】本题考查的是多边形的外角和为360︒，多边形的任何一个内角与其相邻的外角互补，掌握以上知识是解题的关键.3．C【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，可以把α+β，β+γ，α+γ相当于这个三角形的三个外角；根据三角形的外角与内角是邻补角，结合三个内角的情况，可以得到α+β，β+γ，α+γ这三个角的情况，从而确定选项.【详解】∠α，β，γ是三角形的三个内角，∠α+β，β+γ，α+γ相当于这个三角形的三个外角，∠α+β，β+γ，α+γ分别是γ，α，β的邻补角.∠α，β，γ是三角形的三个内角，∠α，β，γ中，至少有两个锐角，∠α+β，β+γ，α+γ至少有两个钝角.故选:C.【点睛】本题主要考查三角形的外角定理和三角形的内角和定理，可以根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和进行考虑；4．C【分析】根据多边形的内角和公式（n-2）•180°与外角和定理列出方程，然后求解，多边形对角线的条数可以表示成()32n n-．【详解】解：设这个多边形是n边形，根据题意得，（n-2）•180°=4×360°，解得n=10．10×（10-3）÷2=35（条）．故选：C．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征，及多边形对角线的条数公式．5．B【分析】利用多边形的外角和是360度即可求出答案．【详解】解：因为八十二边形的外角和是360度，在外角中最多有三个钝角，如果超过三个则和一定大于360度，八十二边形的内角与其相邻外角互为邻补角，则外角中最多有三个钝角，内角中就最多有3个锐角．故答案为：B．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，由于内角不是定值，不容易考虑，而外角和是360度不变，因而内角的问题可以转化为外角的问题进行考虑.6．C【分析】根据线段垂直平分线的性质（三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．此点称为外心，也是这个三角形外接圆的圆心．）依题意画出直角三角形，锐角三角形以及钝角三角形的垂直平分线的交点即可求解．【详解】一个三角形三边垂直平分线的交点是这个三角形外接圆的圆心，如果在外部，则这个三角形是钝角三角形．故选C.【点睛】本题考查的知识点是线段垂直平分线的性质（三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等，解题关键是画出图形即可求解．7．B【分析】根据角平分线的性质，可得∠ABD 与∠CBD 的关系，根据平行线的性质，可得∠CBD 与∠BDE 的关系，根据三角形外角的性质，可得∠EBD 的大小，进而得出结论．【详解】解：∠BD 是∠ABC 的平分线，∠∠ABD ＝∠CBD ．∠DE //BC ，∠∠CBD ＝∠BDE ，∠∠EBD ＝∠BDE ．∠∠BDC 是∠ABD 的外角，∠∠A ＋∠ABD ＝∠BDC ，∠∠EBD ＝∠BDC −∠A ＝95°−60°＝35°，∠∠BDE ＝∠DBE ＝35°．故答案为：B ．【点睛】本题主要考查平行线的性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理．解答的关键是要熟练掌握：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的内角和为180°．8．A【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠EBC ＋∠ECB 的度数，然后得到∠ABC ＋∠ACB 的度数，再利用三角形的内角和等于180°列式求解即可．【详解】解：在∠BCE 中，∠∠BEC ＝130°，∠∠EBC ＋∠ECB ＝180°−130°＝50°，∠ABD DBE EBC ∠=∠=∠，ACD DCE ECB ∠=∠=∠，∠∠ABC ＋∠ACB ＝3（∠EBC ＋∠ECB ）＝3×50°＝150°，在∠ABC 中，∠A ＝180°−（∠ABC ＋∠ACB ）＝180°−150°＝30°．故选：A ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，把两个角的和看作一个整体进行求解，整体思想的利用是解题的关键．9．A【分析】首先设新的多边形的边数为n ，由多边形内角和公式，可得方程180（n −2）＝1980，即可求得新的多边形的边数，继而求得答案．【详解】解：设新的多边形的边数为n ，∠新的多边形的内角和是1980°，∠180（n −2）＝1980，解得：n ＝13，∠一个多边形从某一个顶点出发截去一个角后所形成的新的多边形是十三边形， ∠原多边形的边数可能是：12或13或14．故选：A ．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，注意掌握方程思想的应用．10．D【分析】设2CAD x ∠=︒，则ACD ∠()90x =-︒，BAD ∠802x =︒+︒，ABD ∠()50x =-︒，由BDC ∠=ADC ADB ∠-∠，即可求出BDC ∠．【详解】设2CAD x ∠=︒，则()()11802902ACD ADC x x ∠=∠=︒-︒=-︒， 802BAD BAC CAD x ∠=∠+∠=︒+︒，()()1180802502ABD ADB x x ∠=∠=︒-︒-︒=-︒， 40BDC ADC ADB ∴∠=∠-∠=︒，故选：D ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，解题关键是灵活运用相关知识进行求解． 11．55cm 或35cm【分析】先画出图形，根据图形结合已知写出条件，再分两种情况讨论：根据一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长5cm ，构建方程，再解方程可得答案.【详解】解：如图，ABC 为等腰三角形，,,15,AB AC AH CH BC ===设,AH CH x == 则2,AB AC x ==当()5AB AH BC CH +-+=时，()2155,x x x ∴+-+=解得：10,x =20,AB AC ∴==20201555,ABC C ∴=++=当()5BC CH AB AH +-+=时，()1525,x x x ∴+-+=解得：5,x =10,AB AC ∴==10101535,ABC C ∴=++=故答案为：55cm 或35.cm【点睛】本题考查的是等腰三角形的定义，三角形的中线的性质，清晰的分类讨论是解题的关键.12．10<L<16【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，再根据不等式的性质求出答案．【详解】设第三边长为x ，∠有两条边分别为3和5，∠5-3<x<5+3,解得2<x<8，∠2+3+5<x+3+5<8+3+5，∠周长L=x+3+5,∠10<L<16,故答案为: 10<L<16．【点睛】此题考查三角形三边关系，不等式的性质，熟记三角形的三边关系确定出第三条边长是解题的关键．13．65︒【分析】先根据三角形的外角性质求得∠BAC 的度数，再根据平角的性质以及角平分线的定义求得∠EAD的度数．【详解】解：∠∠ACD是∠ABC的外角，∠∠BAC=∠ACD-∠B=80°-30°=50°，∠∠CAE =180°-50°=130°，∠AD平分∠CAE，∠∠EAD=12CAE∠=65°．故答案为：65°．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、三角形的外角性质，解决问题的关键是掌握：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．14．540︒【分析】连接BC、AD．根据四边形的内角和定理以及三角形的内角和是180°进行分析求解．【详解】解：如图，连接BC、AD．在四边形BCEG中，得∠E+∠G+∠ECB+∠GBC=360°，又因为∠1+∠2=∠3+∠4，∠5+∠6+∠F=180°，∠4+∠5+∠3+∠6=∠CAF+∠BDF，即∠1+∠2+∠5+∠6=∠CAF+∠BDF，所以∠CAF+∠B+∠C+∠BDF+∠E+∠F+∠G=540°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°．故答案为：540°．【点睛】本题考查了四边形内角和定理以及三角形内角和定理，解题的关键是能够巧妙构造四边形，根据四边形的内角和定理以及三角形的内角和定理进行求解．15．64【分析】根据m 边形从一个顶点出发可引出（m -3）条对角线．从k 个顶点出发引出（k -3）条，而每条重复一次，所以k 边形对角线的总条数为：()32k k -（k ≥3，且k 为整数）可得到m 、k 、n 的值，进而可得答案．【详解】解：据题意得，m -3=3，n =3，解得：m =6， 1 2k （k -3）=k ， 解得：k =5，所以（k -n ）m =（5-3）6=64．故答案为：64．【点睛】本题主要考查了多边形的对角线，关键是掌握对角线条数的计算公式． 16．2:1【分析】过点B 作BE AC ⊥于E ，设AD 为x ，则AC 为3x ，用面积公式表示出BCD S △和ABD S ，根据:1:3AD AC =，即可求解．【详解】过点B 作BE AC ⊥于E ，:1:3AD AC =，设AD 为x ，则AC 为3x ，12BCD S CD BE ∆=⨯⨯， 12ABD S AD BE ∆=⨯⨯， :BCD ABD S S ∆∆∴，11:22CD BE AD BE =⨯⨯⨯⨯， :CD AD =，():AC AD AD =-，()3:x x x =-，2:x x =，2:1=故答案为：2:1．【点睛】本题考查了三角形的面积公式的应用，熟练掌握面积公式是解题关键． 17．35°或20°【分析】题中没有指明已知角是底角还是顶角，故应该分情况进行分析从而求解．【详解】解：如图，在∠ABC 中，AB =AC ，BD 是AC 边上的高．∠当∠A =70°时，则∠ABC =∠C =55°，∠BD ∠AC ，∠∠DBC =90°-55°=35°；∠当∠C =70°时，∠BD ∠AC ，∠∠DBC =90°-70°=20°；故答案为：35°或20°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，属于基础题，若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．18．80°【分析】如图延长AD、BE交于点F，连接CF．首先证明∠1+∠2=2∠AFB，求出∠AFB即可解决问题．【详解】解：如图延长AD、BE交于点F，连接CF．在∠ABF中，∠AFB=180°-55°-75°=50°，∠∠ECD=∠AFB=50°，∠1=∠ECF+∠EFC，∠2=∠DCF+∠DFC，∠∠1+∠2=∠ECF+∠EFC +∠DCF+∠DFC =2∠AFB=100°，∠∠1=∠CDA=20°，∠∠2=∠CEB=80°，故答案为：80°．【点睛】本题考查了翻折变换、三角形的内角和定理、三角形的外角等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．19．9n-•°，用1350除以180，商就是n-2，余数就是【分析】根据多边形的内角和公式()2180加上那个外角的度数.【详解】1350÷180=790,∴-=27n解得n=9故答案为9.【点睛】本题考查多边形内角和，熟练掌握多边形的内角和公式及计算法则是解题关键. 20．15【分析】根据三角形的外角性质得到∠CDA=∠BAD+∠ABC，由已知通过计算即可求解．【详解】解：由三角形的外角性质得∠CDA=∠BAD+∠ABC，∠∠CAD=∠CDA，∠CAB−∠ABC=30°，∠∠CAD+∠BAD−∠ABC=30°，即∠BAD+∠ABC+∠BAD−∠ABC=30°，∠∠BAD=15°，故答案为：15．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．21．45°或135°【分析】∠∠ABC是锐角三角形时，先根据高线的定义求出∠ADB=90°，∠BEC=90°，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠ABD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解；∠∠ABC是钝角三角形时，根据直角三角形两锐角互余求出∠BHC=∠A，从而得解．【详解】如图1，∠ABC是锐角三角形时，∠BD、CE是∠ABC的高线，∠∠ADB=90°，∠BEC=90°.在∠ABD中，∠∠A=45°，∠∠ABD=90°-45°=45°，∠∠BHC=∠ABD+∠BEC=45°+90°=135°；∠如图2，∠ABC是钝角三角形时，∠BD、CE是∠ABC的高线，∠∠A+∠ACE=90°，∠BHC+∠HCD=90°，∠∠ACE=∠HCD（对顶角相等），∠∠BHC=∠A=45°．综上所述，∠BHC的度数是135°或45°．故答案为45°或135°．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的高线，难点在于要分∠ABC是锐角三角形与钝角三角形两种情况讨论，作出图形更形象直观．22．70【分析】由∠GBP=55°，∠BGP=90°，得到∠BPG=35°，根据角平分线的定义得到∠EBP=∠CBP，根据三角形外角的性质得到∠EBP=∠BAP+∠APB=∠BAP+35°，由∠ACB=∠EBC-∠BAC=2∠EBP-2∠BAP，于是得到结论．【详解】解：∠∠GBP=55°，∠BGP=90°，∠∠BPG=35°，∠BP平分∠CBE，∠∠EBP=∠CBP，∠∠EBP=∠BAP+∠APB=∠BAP+35°，∠AP平分∠BAC，∠∠ACB=∠EBC-∠BAC=2∠EBP-2∠BAP=2(∠BAP+35°-∠BAP)=70°．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、三角形的外角性质，解决问题的关键是掌握：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．k=23．3【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和解答即可．【详解】解：如图：由三角形的外角性质得，∠1=∠B+∠E，∠3=∠A+∠D，∠2=∠F+∠GOF=∠F+∠C+∠G，由三角形的内角和定理得，∠1+∠2+∠3=180°，∠∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=180°．∠∠B+∠C+∠F=14°+15°+16°=45°，∠∠A+∠D+∠E+∠G=180°-45°=135°=k⋅45°，∠k=3．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．24．（1）180︒；（2）无变化，见解析；（3）无变化，见解析．【分析】（1）如图，连接CD，把五个角和转化为同一个三角形内角和．根据三角形内角和定理可得．（2）如图，连接CD，把五个角和转化为同一个三角形内角和．根据三角形内角和定理可得．（3）利用三角形内角和定理及三角形的外角性质求解.【详解】（1）连接CD，并设BD和CE交于点O，如下图：∠∠COD＝∠BOE（对顶角相等），∠∠B＋∠E＝∠ECD＋∠BDC（等量代换），∠∠A＋∠B＋∠ACE＋∠ADB＋∠E＝∠A＋∠ACE＋∠ADB＋∠ECD＋∠BDC＝∠A＋∠ACD＋∠ADC＝180°.（2）无变化连接CD，并设BD和CE交于点O，如下图：∠∠COD＝∠BOE（对顶角相等），∠∠B＋∠E＝∠ECD＋∠BDC（等量代换），∠∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠ADB＋∠E＝∠CAD＋∠ACE＋∠ADB＋∠ECD＋∠BDC＝∠CAD＋∠ACD＋∠ADC＝180°．故∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E等于180°没有变化．（3）无变化如下图：∠∠ECD 是∠BCE 的一个外角，∠∠ECD ＝∠B ＋∠E （三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和），∠∠CAD ＋∠B ＋∠ACE ＋∠D ＋∠E ＝∠CAD ＋∠ACE ＋∠D ＋∠ECD ＝∠CAD ＋∠ACD ＋∠D ＝180°，故∠CAD ＋∠B ＋∠ACE ＋∠D ＋∠E 等于180°，没有变化．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理及三角形的外角性质，属于一个综合题，要想正确解答这类问题，就要熟练掌握相关的定理和性质．25．（1）∠；（2）10、12、13或14．【分析】（1）根据“不均衡三角形”的定义及三角形三边关系逐一判断即可得答案； （2）分别讨论22x +>16>26x -，16>22x +>26x -，22x +>26x ->16三种情况；利用“不均衡三角形”的定义列不等式可求出x 的取值范围，结合x 为整数即可得答案．【详解】（1）∠∠1+2<4，∠不能组成三角形，不符合题意，∠∠18-13>13-9，∠能组成“不均衡三角形”，符合题意，∠∠有两条相等的边，∠不能组成“不均衡三角形”，不符合题意，∠∠9-8<8-6，∠不能组成“不均衡三角形”，不符合题意，故答案为：∠（2）当22x +>16>26x -，即7<x <11时，∠“不均衡三角形”三边分别为22x +，16，26x -，∠221616(26)261622x x x x +->--⎧⎨-+>+⎩， 解得：x >9，∠9<x <11，∠x 为整数，∠x =10，当16>22x +>26x -，即x<7时，∠“不均衡三角形”三边分别为22x +，16，26x -，∠16(22)22(26)222616x x x x x -+>+--⎧⎨++->⎩，即35x x <⎧⎨>⎩， ∠此不等式组无解，∠此种情况不存在，当22x +>26x ->16，即x>11时，22(26)2616261622x x x x x +-->--⎧⎨-+>+⎩， 解得：x <15，∠11<x <15，∠x 为整数，∠x 的值为12或13或14，综上所述：x 的值为10、12、13或14．【点睛】本题考查三角形的三边关系及解一元一次不等式组，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；根据“不均衡三角形”的定义及三角形三边关系列出不等式组并灵活运用分类讨论的思想是解题关键．26．（1）ABD ACD S S ∆=，（2）ABC ABD S S =△△，ACD CBD S S =，AOC BOD S S =△△，（3）见解析【分析】（1）利用等底等高的两个三角形面积相等即可得解；（2）利用等底等高的两个三角形面积相等即可得解；（2）连接AC 、BD ，取BD 中点E ，过点E 作EF //AC ，连接AF 即可．【详解】解（1）∠D 是∠ABC 中BC 边的中点，∠ABD ACD S S ∆=；故答案为：ABD ACD S S ∆=；（2）∠MN //AB ，∠ABC ABD S S =△△，ACD CBD S S =，∠ABC AOB ABD AOB S S S S -=-△△△△，∠AOC BOD S S =△△，故答案为：ABC ABD S S =△△，ACD CBD S S =，AOC BOD S S =△△；（3）如图所示：AF 即为所求．连接AC 、BD ，取BD 中点E ，过点E 作EF //AC ，连接AF 即为所求．∠点E 是BD 的中点，∠ABE AED S S =△△，ECD CBE SS =，即12ABE CBE ABCD S S S =+四边形， ∠EF //AC ，∠AEF CEF S S =△△，∠12ABE CBE ABE BEF AEF ABF ABCD S S S S S S S =+++==四边形． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积，并熟练掌握三角形的中线将三角形的面积分成相等的两部分以及等底等高的两个三角形面积相等．。

题一题面：已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC =DC ，CF 平分∠BCD ，DF ∥AB ，BF 的延长线交DC 于点E 。

求证：（1）△BFC ≌△DFC ；（2）AD =DE题二题面：如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B=60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F 。

请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；（2）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

O P AM N E B C DF A E F BD图① 图② 图③题三题面：我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等。

那么在什么情况下，它们会全等?(1)阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等．对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等(证明略)．对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：已知：△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB=A1B1，BC=B1C l，∠C=∠C l。

求证：△ABC≌△A1B1C1。

(请你将下列证明过程补充完整。

)证明：分别过点B，B1作BD⊥CA于D，B1 D1⊥C1 A1于D1.则∠BDC=∠B1D1C1=90°，∵BC=B1C1，∠C=∠C1，∴△BCD≌△B1C1D1，∴BD=B1D1．(2)归纳与叙述：由(1)可得到一个正确结论，请你写出这个结论。

题四题面：下列4个判断：（1）有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；（2）有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等；（3）三角形6个边、角元素中，有5个元素分别相等的两个三角形全等；（4）一边及其他两边上的高对应相等的两个三角形全等。

A.两对锐角相等；B.周长相等；C.斜边相等；D.两直角边分别相等
17.下列三角形①三边之比为1∶2∶4②三角之比为2∶3∶5③三边之比为2∶3∶4④三边之比为9∶40∶41⑤三边长分别为 、 、2⑥三边长分别为32、42、52
其中是直角三角形的有（填序号）。
18.△ABC中，AB=AC=5，BC=6，将△ABC沿直线BC折叠后，落在△BCA’位置，则AA’=。
21.一只蚂蚁从短路线的长。
22.如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为AB边上一点.
求证：⑴△ACE≌△BCD；⑵AD2+AE2=DE2
23.如图，△ABC中，∠BAC=∠ABC，点P在AB上，若AD⊥CP，BE⊥PC，垂足分别为D、E，且BE=CD，
⑴试探求这个图形中还有哪些相等的线段？并证明；⑵试判断AD、DE、BE间的关系，并证明。
24.如图，∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，求BC和AD的长。
25.如图，是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边长分别为a、b,斜边长为c，另一个以c为直角边的等腰直角三角形，请开动脑筋将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。
19.长方体盒子的长、宽、高分别为4、3、12，在这个长方体内放入一根木棒（木棒的粗细不计），这个木棒最长为。
20.如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA=15km,CB =10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E占应建在离A多少km处？答：
7.如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=8，沿直线CE折叠，使点D落在点F处，则BF=，AF=，AE=。

必修5第一章《解三角形》练习二一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．在△ABC 中，已知b ＝43，c ＝23，∠A ＝120°，则a 等于( )A ．221B ．6C ．221或6D ．23615+ 2．在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足(a ＋b ＋c )(a ＋b -c )＝3ab ，则∠C 等于( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°3．已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是( )A ．135°B ．90°C ．120°D ．150°4．在△ABC 中，若c 4-2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0，则∠C 等于( )A ．90°B ．120°C ．60°D ．120°或60°5．二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．已知△ABC 中，A ＝60°，最大边和最小边是方程x 2-9x ＋8＝0的两个正实数根，那么BC 边长是________．2．在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝8，cos C ＝1413，则最大角的余弦值是________． 3．若△ABC 中，∠C ＝60°，a ＋b ＝1，则面积S 的取值范围是________． 4． 5．在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝109，则BC ＝________．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．已知a ＝33，c ＝2，B ＝150°，求边b 的长及S △．2．3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，且c c a B C -=2cot cot ，a 2＋b 2＝c 2＋2ab ，求A ．4．已知△ABC 的三边长a 、b 、c 和面积S 满足S ＝a 2-(b -c )2，且b ＋c ＝8，求S 的最大值．5．参考答案一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．A 分析：由余弦定理得:a 2＝b 2＋c 2-2bc cos A ＝48＋12-2×43×23×(-21)＝84，∴ a ＝221．2．D 分析：由(a ＋b ＋c )(a ＋b -c )＝3ab ，得a 2＋2ab ＋b 2-c 2＝3ab ∴ 212222=-+ab c b a ，∴ cos C ＝60°3．4．D5．D 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．57 分析：∵ A ＝60°，∴ 最大边和最小边所夹的角为A ，AB 、AC 为x 2-9x＋8＝0的两个正实数根，则AB ＋AC ＝9，AB ×AC ＝8∴ BC 2＝AB 2＋AC 2-2×AC ×AB ×cos A＝(AB ＋AC )2-2×AC ×AB ×(1＋cos A )＝92-2×8×23＝57 2．-71 分析：先由c 2＝a 2＋b 2-2ab cos C 求出c ＝3，∴ 最大边为b ，最大角为B ， ∴ cos B ＝712222-=-+ac b c a ． 3．4．15．4或5 分析：设BC ＝x ，则5＝x 2＋25-2·5·x ·109，即x 2-9x ＋20＝0，解得x ＝4或x ＝5．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．解：b 2＝a 2＋c 2-2ac cos B ＝(33)2＋22-2·23·2·(-23)＝49． ∴ b ＝7，S △＝21ac sin B ＝21×33×2×21＝233．2．3．解：∵ a 2＋b 2＝c 2＋2ab ∴ 222222=-+ab c b a ∴ cos C ＝22 ∴ C ＝45°由正弦定理可得C C A B B C C C C A c c a B C s i ns i n s i n 2s i nc o s s i n c o s s i ns i n s i n 22c o t c o t -=∴-=-=∴ sin B cos C ＝2sin A cos B -sin C cos B∴ sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin A cos B∴ sin(B ＋C )＝2sin A cos B∴ sin A ＝2sin A cos B ∵ sin A ≠0∴ cos B ＝21 ∴ B ＝60°，∴ A ＝180°-45°-60°＝75°4．解：∵ S ＝a 2-(b -c )2又S ＝21bc sin A ∴ 21bc sin A ＝a 2-(b -c )2 ∴ 412222=-+bc a c b (4-sin A ) ∴ cos A ＝41 (4-sin A ) ∴ sin A ＝4(1-cos A )∴ 2sin2sin 82cos 22A A A = ∴ tan 2A 41= ∴ sin A ＝178)41(14122tan 12tan 222=+⨯=+A A17644)(174174sin 212=+⋅≤==c b S bc A bC S ∴ c ＝b ＝4时，S 最大为1764 5．。

解三角形的实际应用问题专练一、选择题1．从A处望B处的仰角为，从B处望A的俯角为，则与的关系为（）A ．＞B．=C．+=90°D．+=180°【答案】B【解析】根据仰角和俯角的概念，根据平行线的性质得解.【详解】因为与为两平行线的内错角，所以=.故答案为：B【点睛】本题主要考查仰角和俯角的概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.2．有一长为1 km的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要加长( )A．0.5 km B．1 km C．1.5 km D． km【答案】B【解析】根据题意作图，设出相应参数，根据∠BAC=∠ABD﹣∠C，求得∠BAC=∠C，判断出三角形ABC 为等腰三角形，进而求得BC．【详解】如图设坡顶为A，A到地面的垂足为D，坡底为B，改造后的坡底为C，根据题意要求得BC的长度，∵∠ABD=20°，∠C=10°，∴∠BAC=20°﹣10°=10°．∴AB=BC，∴BC=1，即坡底要加长1km，故选：B．【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题．3．如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20 n mile，随后货轮按北偏西30°的方向航行30 min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A．n mile/h B．n mile/hC．n mile/h D．n mile/h【答案】B【解析】由题意可知：，与正东方向的夹角为，与正东方向的夹角为，，中利用正弦定理可得货轮的速度故选4．要测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A、B两点，观察对岸的点C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，且AB＝120m ，由此可得河宽为(精确到1 cm)()A ．170 mB ．98 mC ．95 mD ．86 m 【答案】C【解析】在△ABC 中，AB ＝120，∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，则∠ACB ＝60°，由正弦定理，得BC ＝120sin45406sin60︒=︒.设△ABC 中，AB 边上的高为h ，则h 即为河宽，所以h ＝BC ·sin ∠CBA ＝406 ×sin 75°≈95(m)．故选C.【点睛】正弦定理对于任意三角形都成立，它指出三角形三条边与对应角的正弦之间的关系式，描述了任意三角形中边与角的数量关系，主要功能是实现三角形中边角的关系转化.本题的关键是根据正弦定理利用角大小来求出边长大小.5．两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在C 北偏东300，B 在C 南偏东600，则A 、B 之间相距： A ．a km B ．3a km C ．2a km D ．2a km【答案】C【解析】如图，由题意可得90ACB ∠=︒，在Rt ACB ∆中， 22222AB CA CB a a =+=+ 22a =，∴2AB a =。

三角形的边练习题在几何学中，三角形是最基本的图形之一。

它由三条边和三个角组成。

在本练习题中，我将为您提供一些三角形的相关问题，帮助您巩固对三角形边的理解。

请按照下面的题目依次回答，并用适当的格式写出答案。

题目一：等边三角形1. 如果一个三角形的三条边长度相等，它是什么类型的三角形？解答：一个三角形的三条边长度相等时，它是等边三角形。

等边三角形的特点是三条边都相等，同时三个角也相等，每个角都是60度。

题目二：等腰三角形2. 如果一个三角形的两条边长度相等，它是什么类型的三角形？解答：一个三角形的两条边长度相等时，它是等腰三角形。

等腰三角形的特点是两条边相等，第三条不等边叫做底边，顶角对应的两条边相等。

题目三：直角三角形3. 如果一个三角形的一个角是90度，它是什么类型的三角形？解答：一个三角形的一个角是90度时，它是直角三角形。

直角三角形的特点是其中一个角是直角（90度角）。

题目四：钝角三角形4. 如果一个三角形的一个角大于90度，它是什么类型的三角形？解答：一个三角形的一个角大于90度时，它是钝角三角形。

钝角三角形的特点是其中一个角大于90度，而其他两个角都是锐角。

题目五：锐角三角形5. 如果一个三角形的三个角都小于90度，它是什么类型的三角形？解答：一个三角形的三个角都小于90度时，它是锐角三角形。

锐角三角形的特点是三个角都是锐角，即小于90度。

题目六：任意三角形6. 如果一个三角形的三个角都不相等，它是什么类型的三角形？解答：一个三角形的三个角都不相等时，它是任意三角形。

任意三角形的特点是三个角都不相等，同时三条边的长度也不完全相等。

总结：在几何学中，三角形是由三条边和三个角组成的基本图形。

根据边的长度和角的大小，我们可以将三角形分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形、锐角三角形和任意三角形。

通过对这些三角形的分类和特点的理解，我们可以更加深入地研究和解决与三角形相关的问题。

四年级三角形练习题一.填空：1.由( )围成的图形叫作三角形.三角形有( )条边.( )个角.（）个顶点。

2.三角形按角可以分为（）三角形.（）三角形.（）三角形。

3.等边三角形的三个内角（）.都是（）度.等边三角形又叫（）三角形。

4．从三角形的( )到它的对边作一条垂线.顶点和垂足之间的线段叫作三角形的( )。

这条边叫做三角形的（）5.三角形一个内角的度数是108°.这个三角形是（）三角形6.一个三角形三条边的长度分别为7厘米.8厘米.7厘米.这个三角形是（）三角形。

7.一个三角形两个内角的度数分别为35°.67°.另一个内角的度数是（）.这是一个（）三角形。

8.等腰三角形的底角是75°.顶角是（）.9.在一个直角三角形中.一个锐角是75°.另一个锐角是（）。

10.一个等腰三角形的一条边是5厘米.另一条边长4厘米.围成这个等腰至少需要（）厘米长的绳子。

11.最少用（）个等边三角形可以拼成一个12．一个三角形最多有( )个直角.最少要有( )个锐角。

13．如果一个三角形有两个内角的度数之和等于900.那么这个三角形就是( )三角形。

14、如右图.一块三角形纸片被撕去了一个角。

这个角是（）度.原来这块纸片的形状是（）三角形.也是（）三角形。

二.判断题：（正确的打“∨”.错误的打“×”）1.一个钝角三角形里最多有两个钝角。

（）2.两个一样的三角形可以拼成一个平行四边形。

（）3．有一个内角是600的等腰三角形一定是等边三角形。

( )4．等腰直角三角形的底角一定是450 （）5．底和高都分别相等的两个三角形.它们的形状一定相同。

（）6.用三根长度分别为5厘米.5厘米和11厘米的绳子可以围成一个等腰三角形。

（）7.直角三角形.钝角三角形只有一条高。

（）8.在一个五边形中.画上两条线段可以把这个五边形分成3个三角形.因此五边形的内角和是540°。

1.2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ)第1课时勾股定理要点感知直角三角形的性质定理(勾股定理)：直角三角形两直角边a、b的平方和等于__________的平方.即a2+b2=c2.预习练习△ABC中,∠C＝90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边.(1)若a＝5,b＝12,则c＝__________；(2)若c＝41,a＝40,则b＝__________.知识点勾股定理1.在△ABC中，∠C=90°，如果AB=10，BC∶AC=3∶4，那么BC=( )A.6B.8C.10D.以上都不对2.一个直角三角形的三边长为三个连续偶数，则它的斜边长为( )A.6B.8C.10D.123.已知一个三角形三个内角的比是1∶2∶1,则它的三条边的比是( )A.1∶2∶1B.1∶2∶1C.1∶2∶3D.1∶4∶14.如图,长方形OABC的边OA长为2,边AB长为1,OA在数轴上,以原点O为圆心,对角线OB的长为半径画弧,交正半轴于一点,则这个点表示的实数是( )A.2.5B.22C.3D.55.如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合.若BC＝5，CD＝3，则BD的长为( )A.1B.2C.3D.46.在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC的长为__________.7.等腰△ABC中，AB=AC=10 cm，BC=12 cm，则BC边上的高是__________cm.8.一个直角三角形的斜边长比直角长边大2，另一直角边长为6，则斜边长为__________.9.如图，△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，AD=15，且AD⊥AC，求BD长.10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10 cm，BC=6 cm，CD⊥AB交AB于点D.求：(1)AC的长；(2)△ABC的面积；(3)CD的长.11.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为( )A.5B.6C.7D.2512.如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为( )A.3B.23C.33D.4313.将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm的纸带边沿上,另一个顶点在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角,如图,则三角板的最大边的长为( )A.3 cmB.6 cmC.32 cmD.62 cm14.如图，在直线l上依次摆放着三个正方形，已知中间斜放置的正方形的面积是6，则正放置的两个正方形的面积之和为( )A.6B.5C.6D.3615.如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为( )A.53B.52C.4D.516.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，若AD=6，DE=5，则CD的长等于__________.17.已知直角三角形两边的长分别是3和4，则第三边的长为__________.18.如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，CA=13，求BC边上的高AD的长.19.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，CD=5 cm，求AB的长.20.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB 于点E，交BC于点F，若AE=4，FC=3，求EF长.参考答案要点感知斜边c预习练习 13 91.A2.C3.A4.D5.D6.67.88.109.∵AD⊥AC，AC=20，AD=15，∴222015∴BD=BC-CD=32-25=7.10.(1)∵∠ACB=90°，AB=10 cm，BC=6 cm，∴AC=8 cm；(2)S△ABC =12BC·AC=12×6×8=24(cm2)；(3)∵S△ABC =12BC·AC=12CD·AB，∴CD=·BC ACAB=245cm.11.A 12.D 13.D 14.A 15.C 16.8 17.57 18.设DC=x，则BD=14-x.在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，由勾股定理可得： (14-x)2+AD 2=152，x 2+AD 2=132.两式相减得(14-x)2-x 2=56.解得x=5. 在Rt △ACD 中，由勾股定理得AD=12.19.∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BD 是∠ABC 的平分线， ∴∠ABD=∠CBD=30°. ∴AD=DB.又∵Rt △CBD 中，CD=5 cm ， ∴BD=10 cm.∴∴20.连接BD ，∵等腰直角三角形ABC 中，D 为AC 边上中点， ∴BD ⊥AC ，BD=CD=AD ，∠ABD=∠C=45°. ∵DE ⊥DF ， ∴∠FDC=∠EDB.在△EDB 与△FDC 中，,,ABD C FDC EDB BD CD ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴△EDB ≌△FDC. ∴BE=FC=3.∴AB=7，则BC=7. ∴BF=4.在Rt △EBF 中，EF 2=BE 2+BF 2=32+42， ∴EF=5.第2课时 勾股定理的实际应用要点感知 应用勾股定理解决实际问题时，应先根据题意画出几何图形，分析图形中各线段之间的数量关系，正确运用勾股定理求解.求边长时，一般有两种情况：一是直接运用勾股定理通过计算求解，二是借助勾股定理列方程求解.预习练习 (2019·东营)如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行__________米.知识点1 直接利用勾股定理1.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以到达该建筑物的最大高度是( )A.12米B.13米C.14米D.15米2.如图，一个高1.5米，宽3.6米的大门，需要在相对的顶点间用一条木板加固，则这条木板的长度是( )A.3.8米B.3.9米C.4米D.4.4米3.如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为( )A.5米B.3米C.(5+1)米D.3米4.假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走到6千米处往东拐，仅走了1千米，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是( )A.20千米B.14千米C.11千米D.10千米5.如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200 m，结果他在水中实际游了520 m，该河流的宽度为__________m.知识点2 利用勾股定理列方程求解6.小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5 m远的水底，竹竿高出水面0.5 m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为( )A.2 mB.2.5 mC.2.25 mD.3 m7.在一次课外社会实践中，王强想知道学校旗杆的高，但不能爬上旗杆也不能把绳子解下来，可是他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1 m，当他把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为( )A.13 mB.12 mC.4 mD.10 m8.如图所示，某风景名胜区为了方便游人参观，计划从主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C 处，若在A处测得∠EAC=30°，两山峰的底部BD相距900米，则缆车线路AC的长为__________米.9.如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？10.为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为( )A.0.7米B.0.8米C.0.9米D.1.0米11.如图，沿AC方向开山修路，为加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B 取∠ABD=120°，BD=210 m，∠D=30°，要正好能使A、C、E成一直线，那么E、D两点的距离等于( )A.1053 mB.2103 mC.703 mD.105 m12.在长、宽、高分别为12 cm、4 cm、3 cm的木箱中，放一根木棒，能放进去的木棒的最大长度为( )A.5 cmB.12 cmC.13 cmD.153 cm13.如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸(单位：mm)，计算两圆孔中心A和B的距离为__________mm.14.如图,一辆小汽车在一条东西走向的城市公路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路边的车速检测仪的正前方30 m处,过了2 s后,测得小汽车与车速检测仪的距离为50 m,问这辆小汽车是否超速了？（中华人民共和国交通管理条例规定：小汽车在城市公路上行驶时的速度不得超过70 km/h）15.为了丰富居民的业余生活，某社区要在如图所示AB所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校，所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，已知AB=25 km，CA=15 km，DB=10 km，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等？16.两条公路OM、ON相交成30度角，在公路OM上，距O点80米的A处有一所小学，当拖拉机沿公路ON方向行驶时，路两旁50米以内会受到噪音的影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，那么拖拉机沿ON方向行驶时，是否会给小学带来噪声影响？若受影响，计算影响的时间.参考答案预习练习 101.A2.B3.C4.D5.4806.A7.B8.39.设BD=x米，则AD=(10+x)米，CD=(30-x)米，根据题意得(30-x)2-(x+10)2=202.解得x=5.即树的高度是10+5=15（米）.10.A 11.A 12.C 13.15014.小汽车超速了.理由：在Rt△ABC中,AC=30 m,AB=50 m,根据勾股定理得：22AB AC小汽车的速度是40÷2=20(m/s)=72(km/h).而规定速度为70 km/h,72>70，∴小汽车超速了.15.设AE=x km，则BE=(25-x)km.在Rt△ACE中，由勾股定理得：CE2=AE2+AC2=x2+152.同理可得：DE2=(25-x)2+102.若CE=DE，则x2+152=(25-x)2+102.解得x=10.答：图书室E应该建在距A点10 km处，才能使它到两所学校的距离相等.16.过点A作AD⊥ON于点D，即点A到ON的最短距离为AD，已知在Rt△OAD中，∠O=30°，OA=80，可得AD=40＜50，故学校会受到拖拉机的影响；在D点两侧分别取两点E、F，使得AE=AF=50，在Rt△ADE中，AE=50，AD=40，可得DE=30，又易证Rt△ADE≌Rt△ADF，即DE=DF=30，即EF=60.又拖拉机的速度为18千米/时，故拖拉机经过EF段所用的时间t=0.0618×3 600=12（s）.答：拖拉机会给小学带来噪声影响，影响时间为12秒.第3课时勾股定理的逆定理要点感知直角三角形的判定定理(勾股定理的逆定理)：如果一个三角形的三边长a、b、c有下面的关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是__________三角形.预习练习1-1三角形的三边长满足（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是( )A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形1-2以下列数组为三角形的边长：①5,12,13；②10,12,13；③7,24,25；④6,8,10,其中能构成直角三角形的有( )A.4组B.3组C.2组D.1组知识点勾股定理的逆定理1.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )A.4，5，6B.1.5，2，2.5C.2，3，4D.1，2，32.已知三角形的三边长之比为1∶1∶2，则此三角形一定是( )A.等腰三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形3.已知两条线段的长分别为2 cm、3 cm，那么能与它们组成直角三角形的第三条线段的长是( )A.1 cmB.5 cmC.5 cmD.1 cm与5cm4.如图，正方形小方格边长为1，则网格中的△ABC是( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对c +|a-8|+(b-15)2=0，则△ABC的形状是( )5.若a、b、c表示△ABC的三边，且满足17A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形6.在Rt△ABC中，若AC=2，BC=7，AB=3，则下列结论中正确的是( )A.∠C=90°B.∠B=90°C.△ABC是锐角三角形D.△ABC是钝角三角形7.在△ABC中，a=2，b=6，c=22，则最大边上的中线长为( )A.2B.3C.2D.以上都不对8.三角形三边长分别为4、8、43,则该三角形最小角与最大角依次是( )A.30°,60°B.30°,90°C.60°,90°D.45°,90°9.若在△ABC中，AB=5 cm，BC=6 cm，BC边上的中线AD=4 cm，则∠ADC的度数是__________度.10.如图,一根电线杆高8 m.为了安全起见,在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离6 m处加一拉线.拉线工人发现所用线长为10.2 m(不计捆缚部分),则电线杆与地面__________(填“垂直”或“不垂直”).11.如图，在△ABC中，AB=2，BC=4，AC=23，∠C=30°，求∠B的大小.12.如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是( )A.CD、EF、GHB.AB、EF、GHC.AB、CF、EFD.GH、AB、CD13.已知一个三角形的三边长分别为n+1，n+2，n+3，则当n=__________时，这个三角形是直角三角形.14.如图所示,是一个零件的形状,按规定这个零件中的AD与CD必须互相垂直,工人师傅通过测量得到A到C的距离是10 cm,AD=8 cm,CD=6 cm.问这个零件是否合格？15.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,BC=3,AB=4,AD=12,CD=13.求四边形ABCD的面积.16.已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD.求证：△ABC是直角三角形.17.如图，点D是△ABC内一点，把△ABD绕点B顺时针方向旋转60°得到△CBE，若AD=4，BD=3，CD=5.(1)判断△DEC的形状，并说明理由；(2)求∠ADB的度数.参考答案要点感知直角预习练习1-1 C1-2 B1.B2.D3.D4.A5.B6.A7.A8.B9.90 10.不垂直11.∵△ABC中，AB=2，BC=4，3，∴AB2+AC2=4+12=16=BC2.∴∠A=90°.∴∠B+∠C=90°.又∵∠C=30°，∴∠B=60°.12.B 13.214.合格.连接AC.∵AD2+CD2=82+62=102=AC2,根据勾股定理的逆定理得△ACD是直角三角形,且∠ADC=90°,∴零件合格.15.连接AC.∵∠ABC=90°,在Rt△ABC中，BC=3,AB=4,∴在△ACD中,∵AC2+AD2=52+122=132=CD2, ∴△ACD是直角三角形.∴S四边形ABCD =S△ABC+S△ACD=12×3×4+12×5×12=36.16.证明：∵CD是AB边上的高，∴△ADC和△BCD都是直角三角形.∴AC2＝AD2+CD2，BC2＝BD2+CD2.∴AC2+BC2=AD2+CD2+BD2+CD2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD·BD+BD2=(AD+BD)2＝AB2.∴△ABC是直角三角形.17.(1)根据旋转的性质，得AD=EC=4，BD=BE=3，AB=BC，∠DBE=∠ABC=60°，∠ADB=∠BEC.∴△ABC和△DBE均为等边三角形.∴DE=BD=3.∵CD=5，∴DE2+EC2=32+42=52=CD2.故△DEC为直角三角形.(2)∵△DEC为直角三角形，∴∠DEC=90°.又∵△BDE为等边三角形，∴∠BED=60°.故∠BEC=90°+60°=150°，即∠ADB=150°.。

二轮大题专练6—三角函数与解三角形（综合练习二）1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）若a，b，c成等差数列，求cos B的值；（2）是否存在△ABC满足B为直角？若存在，求sin A的值；若不存在，请说明理由．2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a cos C﹣c sin A＝b．（1）求A；（2）若c＝2，且BC边上的中线长为，求b．3．设函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）最小正周期为2π，且f（x）的图象过坐标原点．（1）求ω、φ的值；（2）在△ABC中，若2f2（B）+3f2（C）＝2f（A）•f（B）•f（C）+f2（4），且三边a、b、c所对的角依次为A、B、C，试求的值．4．已知在△ABC中，sin（A+B）＝1+2sin2．（1）求角C的大小；（2）若∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点Ⅰ，△ABC的外接圆半径为2，求△ABI周长的最大值．5．已知f（x）＝cos2x﹣1+sin x cos x，x∈R．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c cos B+b cos C＝1且f（A）＝0，求△ABC的面积的最大值．6.已知函数的最小值为﹣2，其图象经过点（0，﹣1），且图象上相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）﹣k＝0在上有且仅有两个实数根x1，x2，求实数k的取值范围，并求出x1+x2的值．7．已知函数21()sin sin()cos ()6122f x x x x ππ=++--． （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）已知锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3(),32B f b ==，求cos cos a B b C -的取值范围．8．已知函数f （x ）＝4cos ωx sin （ωx +φ）﹣1（0＜φ＜π，ω＞0）的图象关于直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为． （Ⅰ）求函数y ＝f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）若x ∈[0，π]时，函数g （x ）＝f （x ）﹣b 有两个不同的零点x 1，x 2，求b 的取值范围及x 1+x 2的值．二轮大题专练6—三角函数与解三角形（综合练习二）答案1.解：（1）若a ，b ，c 成等差数列，所以a +c ＝2b ，由于．所以cos B ＝＝，由于，所以．（2）假设B为直角，则sin B＝1，sin C＝cos A，由于，根据正弦定理（sin A+sin C）sin B＝，即sin A+cos A＝，上式两边平方得：，所以（9sin2A+5）（4sin2A﹣5）＝0，由于0＜sin2A≤1，所以9sin2A+5＞0，4sin2A﹣5＜0，与（9sin2A+5）（4sin2A﹣5）＝0矛盾，故不存在△ABC满足B为直角．2.解：（1）因为a cos C﹣c sin A＝b，由正弦定理可得sin A cos C﹣sin C sin A＝sin B，因为B＝π﹣A﹣C，所以sin A cos C﹣sin C sin A＝sin A cos C+cos A sin C，可得﹣sin C sin A＝cos A sin C，因为sin C≠0，所以sin A＝﹣cos A，可得tan A＝﹣，又因为A∈（0，π），可得A＝．（2）由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝b2+4+2b，①又在△ABC中，cos B＝＝，设BC的中点为D，在△ABD中，cos B＝＝，可得＝，可得a2+4﹣2b2＝0，②由①②可得b2﹣2b﹣8＝0，解得b＝4．3.解：（1）依题意，得，ω＝1．故f（x）＝sin（x+φ）．因为f（x）的图象过坐标原点，所以f（0）＝0，即sinφ＝0，∵﹣＜φ＜，∴φ＝0．（2）由（1）知f（x）＝sin x，因为2f2（B）+3f2（C）＝2f（A）•f（B）•f（C）+f2（4），所以2sin2B+3sin2C＝2sin A sin B sin C+sin2A，由正弦定理可得：2b2+3c2＝2sin A•bc+a2，又a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴＝，又，∴sin A﹣cos A＝，且b＝，∴A＝．∴＝＝．4.解：（1）∵sin（A+B）＝1+2sin2，且A+B+C＝π，∴sin C＝1+1﹣cos C＝2﹣cos C，即sin C+cos C＝2，∴2sin（C+）＝2．∵C∈（0，π），∴C+∈（，），∴C+＝，即C＝．（2）∵△ABC的外接圆半径为2，∴由正弦定理知，＝＝2×2＝4，∴AB＝，∵∠ACB＝，∴∠ABC+∠BAC＝，∵∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点Ⅰ，∴∠ABI+∠BAI＝，∴∠AIB＝，设∠ABI＝θ，则∠BAI＝﹣θ，且0＜θ＜，在△ABI中，由正弦定理得，＝＝＝＝4，∴BI＝4sin（﹣θ），AI＝4sinθ，∴△ABI的周长为2+4sin（﹣θ）+4sinθ＝2+4（cosθ﹣sinθ）+4sinθ＝2+2cosθ+2sinθ＝4sin（θ+）+2，∵0＜θ＜，∴＜θ+＜，∴当θ+＝，即时，△ABI的周长取得最大值，为4+2，故△ABI的周长的最大值为4+2．5.解：（1）f（x）＝cos2x﹣1+sin x cos x＝cos2x﹣+sin2x＝sin（2x+）﹣，令2x+∈[+2kπ，+2kπ]，k∈Z，则x∈[+kπ，+kπ]，k∈Z，∴f（x）的单调递增区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z．（2）∵f（A）＝sin（2A+）﹣＝0，∴sin（2A+）＝，∵A∈（0，π），∴A＝，∵c cos B+b cos C＝1，∴c•+b•＝1，即a2＝a，∵a≠0，∴a＝1，由正弦定理知，＝＝＝＝，∴b＝sin B，c＝sin C，∴bc＝sin B sin C＝sin B sin（+B）＝sin B（cos B+sin B）＝sin2B﹣cos2B+＝sin（2B﹣）+，∵B∈（0，），∴2B﹣∈（﹣，），sin（2B﹣）∈（，1]，∴bc≤1，∴△ABC的面积S＝bc sin A≤×1×sin＝，故△ABC的面积的最大值为．6.解：（Ⅰ）由题意，得A＝2，．∴T＝π，．∴f（x）＝2sin（2x+φ）．又函数f（x）的图象经过点（0，﹣1），则2sinφ＝﹣1．由，得．∴．（Ⅱ）由题意，关于x的方程f（x）﹣k＝0在上有且仅有两个实数根x1，x2，即函数y＝f（x）与y＝k的图象在上有且仅有两个交点．由（Ⅰ）知．令，则y＝2sin t．∵，∴．则y∈[﹣2，2]．其函数图象如图所示．由图可知，实数k的取值范围为．①当k ∈[1，2）时，t 1，t 2，关于对称，则． 解得．②当时，t 1，t 2关于对称，则． 解得．综上，实数k 的取值范围为，x 1+x 2的值为或．7.解：（1）由题意可得21()sin sin()cos ()6122f x x x x ππ=++-- 311sin (cos )cos(2)226x x x x π++- 3(1cos2)131sin 2sin 244x x x x -=++ 13sin 22x =+， 所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==， 令322222k x k ππππ++，k Z ∈，解得344k x k ππππ++，k Z ∈， 故函数()f x 的单调递减区间为[4k ππ+，3]4k ππ+，k Z ∈．（2）由（1）知133()sin 22B f B =+=，解得3sin B =， 因为(0,)2B π∈，所以3B π=， 由正弦定理可知32sin sin sin 3a b c A B C ====，则2sin a A =，2sin c C =， 所以3331cos cos 3cos sin 3cos()sin 3cos()sin cos sin cos sin cos()233226a a B b C C A A A A A A A A A A ππππ-=-=---=++=+-=-=+，在锐角ABC ∆中，可得230,202A C A C πππ+=⎧⎪<<⎪⎨⎪<<⎪⎩可得62A ππ<<， 因此2363A πππ<+<，则1cos()(62A π+∈-，1)2， 故cos cos a B b C -的取值范围为1(2-，1)2． 8.解：（Ⅰ）f （x ）＝4cos ωx sin （ωx +φ）﹣1＝4cos ωx （sin ωx cos φ+cos ωx sin φ）﹣1＝4sin ωx cos ωx cos φ+4cos 2ωx sin φ﹣1＝2sin2ωx cos φ+2（1+cos2ωx ）sin φ﹣1＝2sin2ωx cos φ+2cos2ωx sin φ+2sin φ﹣1＝2sin （2ωx +φ）+2sin φ﹣1，因为两相邻对称中心之间的距离为，所以函数f （x ）的周期为π，则，所以ω＝1，则f（x）＝2sin（2x+φ）+2sinφ﹣1，又f（x）的图象关于直线对称，所以有φ＝，解得φ＝，因为0＜φ＜π，所以φ＝，故，令，解得，所以函数y＝f（x）的单调递增区间为；（Ⅱ）当x∈[0，π]时，函数g（x）＝f（x）﹣b有两个不同的零点x1，x2，即当x∈[0，π]时，方程＝有两个不同的根x1，x2，令t＝，则t∈，所以方程sin t＝在上有两个不同的根t1，t2，作出函数的图象如图所示，①当，即1＜b＜2时，y＝与y＝sin t有两个交点，则t1+t2＝，即，解得；②当，即﹣2＜b＜0时，y＝与y＝sin t有两个交点，则t1+t2＝，即，解得；综上可得，当﹣2＜b＜0时，；当1＜b＜2时，．。

苏教版小学数学四年级下册《三角形的分类（二）》同步练习及参考答案填空1、我们可以按三角形的（）和（）来给三角形分类.【考点】三角形的分类。

【解析】三角形的分类方法有两种，即按角分可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边分可以分为等腰三角形和不等腰三角形，据此解答即可.【答案I解:我们可以按三角形的边和角来给三角形分类。

故答案为:边、角.【总结】此题主要考查三角形的分类方法.2、一个三角形的三个内角度数都相等，如果将这个三角形按边分是（）三角形.【考点】三角形的分类；三角形的内角和．【解析】依据三角形的特点，即等角对等边，则可以得出：这个三角形的三条边相等，这个三角形就是等边三角形．【答案】解：一个三角形的三个内角度数都相等，如果将这个三角形按边分类是等边三角形；故答案为：等边．【点评】此题考查了三角形的分类．3、三角形按边分类可分为：不等边三角形和 _______三角形两类．【考点】三角形．【解析】三角形按边分，可分为两类：不等边三角形和等腰三角形；进而解答即可．【答案】解：三角形按边分类可以分为不等边三角形和等腰三角形；故答案为：等腰．【总结】此题考查了三角形的分类．按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．4、你能把①～⑧号三角形分类放在下面的盘中吗？【考点】三角形的分类．【解析】三角形按角分类的方法是：按边可分为：不等边三角形，等腰三角形和等边三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角是钝角三角形；由此解答即可．【答案】解：【总结】此题考查了按三角形的边和角进行分类．【考点】等腰三角形与等边三角形．【解析】能组成等腰三角形，必须满足：（1）两边之和大于第三边；（2）并且有两条边相等；根据能组成等腰三角形的必须满足的条件进行分析，进而得出结论．【答案】解：第一组：有两条边相等，但2+2=4，不满足两边之和大于第三边，所以不能组成等腰三角形；第二组：6+1＞6，有2条边相等，所以能组成等腰三角形；第三组：5+5＞8，有2条边相等，所以能组成等腰三角形；第四组：7+8＞9，但不满足有两条边相等，所以不能组成等腰三角形；综上所述，不能组成等腰三角形的有2组；故选：B．【总结】解答此题应根据能满足组成等腰三角形的条件，进行解答即可．三、判断1、所有等边三角形都是等腰三角形．（）（判断对错）【考点】：等腰三角形与等边三角形．【解析】：等边三角形是三条边都相等的三角形；等腰三角形是两条边相等的三角形；根据定义即可作出判断．【答案】：解：因为等边三角形是三条边都相等，等腰三角形是只要有两条边相等即可，所以所有等边三角形都是等腰三角形．故答案为：正确．【总结】：考查了等腰三角形与等边三角形的含义，等边三角形是特殊的等腰三角形．2、所有的等腰三角形都是锐角三角形．（）（判断对错）【考点】：三角形的分类；等腰三角形与等边三角形．【解析】：当等腰三角形的顶角是钝角时，该三角形是钝角三角形，当等腰三角形的顶角是直角时，该三角形是直角三角形，当等腰三角形的顶角是锐角时，该三角形是锐角三角形；据此判断即可．【答案】：解：因为等腰三角形的两个底角相等，所以底角一定是锐角；但等腰三角形的顶角可能是钝角，也可能是直角，还有可能是锐角，所以该三角形可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形；故答案为：错误．【总结】：本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和是180度，掌握三角形的分类方法．3、等腰三角形一定有两个角相等．（）【考点】等腰三角形与等边三角形．【解析】根据等腰三角形的性质填空即可．【答案】解：因为由等腰三角形的性质可得：等腰三角形的两个底角相等，所以等腰三角形一定有两个角相等，故答案为：正确．【总结】此题主要考查等腰三角形的性质．六年级数学期中测试A卷学校________班级________姓名________成绩_______一、认真填写，我最棒！（ 每空1分，共18分 ）1、 月球表面夜间的平均温度是零下150℃，记作（ ）℃。

苏科版2018八年级数学上册第一章全等三角形单元练习题二（附答案详解）1．如图，若线段AB，CD互相平分且相交于点O，则下列结论错误的是( )A．AD＝BC B．∠C＝∠D C．AD∥BC D．OB＝OC2．利用尺规作图，下列条件中不一定能作出唯一三角形的是A．两角一边B．三边C．两边一角D．一直角边一斜边3．如图，点D、E分别在AB、AC上，△ABE≌△ACD，AB=6，AE=2，则BD的长等于（）A．2 B．3 C．4 D．54．如图，△ABC≌△CDA，AB=4，BC=6，则AD等于( )A．4B．5C．6D．不确定5．如图，∠1=∠2，要证明△ABC≌△ADE，还需补充的条件是（）A．AB=AD，AC=AE B．AB=AD，BC=DE C．AB=DE，BC=AE D．AC=AE，BC=DE∠=（）6．已知图两个中三角形全等，则图2中的1A．50°B．58°C．60°D．72°7．如图，AD∥BC，添加下列条件，还不能使△ABC≌△CDA成立的是( )A．AD＝BC B．∠BAC＝∠ACD C．AB∥DC D．AB＝DC8．如图，△ABC≌△EDF，AF＝20，EC＝8，则AE等于( )A．6 B．8 C．10 D．129．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图，根据△O′C′D′≌△OCD，可得∠A′O′B′=∠AOB，则说明△O′C′D′≌△OCD的依据是（）A．SSS B．SASC．ASA D．AAS10．如图所示，八年级某同学书上的图形（三角形）不小心被墨迹污染了一部分，但他很快就根据所学知识，画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形全等的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS11．如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为__．12．如图，为测量B点到河对面的目标A之间的距离，他们在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝70°，∠ACB＝40°，然后在M处立了标杆，使∠CBM＝70°，∠BCM＝40°，那么只需要测量______才能测得A、B之间的距离，依据是：__________________________________________；13．如图，在△ACD和△BCE中，AC=BC，AD=BE，CD=CE，∠ACE=55°，∠BCD=155°，AD与BE相交于点P，则∠BPD 的度数为__________．14．如图，已知BD=CE，∠B=∠C，若AB=8，AD=3，则DC=__．15．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带________去玻璃店．16．如图，D在BC边上，△ABC≌△ADE，∠EAC＝40°，则∠B 的度数为_______．17．已知：如图．在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD=CE；②∠ACE+∠DBC=45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC=180°．其中正确的有______．18．如图,有6个条形方格图,图中由实线围成的图形中,全等图形有:①与___________;②与___________.19．如图所示，F、C在线段BE上，且∠1＝∠2，BC＝EF.若要根据“SAS”使△ABC≌△DEF，还需要补充的条件是________.20．如图，∠1=∠2．（1）当BC=BD时，△ABC≌△ABD的依据是_____；（2）当∠3=∠4时，△ABC≌△ABD的依据是_____．21．如图，△ABC为任意三角形，以AB、AC为边分别向外做等边△ABD和等边△ACE，连接CD、BE并相交于点P．求证：（1）CD=BE；（2）∠BPC=120°．22．如图所示，已知△ABC中，D为BC上一点，E为△ABC外部一点，DE交AC于一点O，AC=AE，AD=AB，∠BAC=∠DAE．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）若∠BAD=20°，求∠CDE的度数．23．如图，已知AD ＝AE ，AD⊥AE，AB ＝AC ，AB⊥AC，DC 与BE 的延长线交于点F ，求证：(1)CD ＝BE ；(2)CD ⊥BE.24．如图，已知点C , E , F , B 在同一条直线上，点A , D 在BC 异侧，且AB ∥CD , CE BF =, A D ∠=∠．（Ⅰ）求证： AB DC =；（Ⅱ）若AB CF =,36B ∠=︒，求D ∠的度数．25．如图，△ABC 中，AB=AC ，作AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D ，E ，AD 和CE 相交于点F ，若已知AE=CE.(1)求证：△AEF ≌△CEB ；(2)求证：AF=2CD26．在一个梯形上画出你喜爱的图形，然后复制6个并拼成一个较大的图案．27．如图，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，点E ，F 分别在直线AD 的两侧，且AE ＝DF ，∠A ＝∠D，AB ＝DC ．(1)求证：△AEC≌△DFB；(2)若∠EBD＝60°，BE ＝BC ，求证：四边形BFCE 是菱形．28．如图点P 为△ABC 的外角∠BCD 的平分线上一点，PA =PB ．（1）如图1，求证：∠PAC =∠PBC ；（2）如图2，作PE ⊥BC 于E ，若AC =5，BC =11，则:PCE PBE S S ∆∆= ；（3）如图3，若M 、N 分别是边AC 、BC 上的点，且∠MPN =12∠APB ，则线段AM 、MN 、BN 之间有何数量关系，并说明理由．答案1．D【解析】∵AB、CD互相平分，∴AO=BO，CO=DO，在△AOD和△BOC中,AO=BO，∠AOD=∠BOC，CO=DO，∴△AOD≌△BOC(SAS)，∴AD=BC，故A选项正确；∠C=∠D，故B选项正确；∴AD∥BC，故C选项正确；OB与OC不是对应边，不一定相等，故D选项错误。

2023新版小学二年级数学上册三角形的初步认识练习题2练题1问题：给定下图中的三角形ABC，已知∠ABC=90°，AB=5cm，BC=4cm，求∠BCA的度数。

解答：根据三角形内角和定理，三角形ABC的三个内角的度数之和等于180°。

已知∠ABC=90°，所以∠BCA+90°=180°。

解方程可得：∠BCA = 180° - 90°∠BCA = 90°所以∠BCA的度数为90°。

练题2问题：给定下图中的三角形DEF，已知∠D=45°，EF=6cm，DE=4cm，求∠E和∠F的度数。

解答：根据三角形内角和定理，三角形DEF的三个内角的度数之和等于180°。

已知∠D=45°，所以∠E+∠F+45°=180°。

解方程可得：∠E+∠F = 180° - 45°∠E+∠F = 135°由于没有给出∠E和∠F的具体数值，无法求得它们的度数。

因此，无法通过已知条件求得∠E和∠F的度数。

练题3问题：给定下图中的三角形GHI，已知∠I=90°，GH=40mm，HI=30mm，求∠G和∠H的度数。

解答：根据三角形内角和定理，三角形GHI的三个内角的度数之和等于180°。

已知∠I=90°，所以∠G+∠H+90°=180°。

解方程可得：∠G+∠H = 180° - 90°∠G+∠H = 90°由于没有给出∠G和∠H的具体数值，无法求得它们的度数。

因此，无法通过已知条件求得∠G和∠H的度数。

以上是关于三角形的初步认识练习题的解答。

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等边三角形练习题(共10篇)等边三角形练习题（一）: 等边三角形、等腰三角形练习题急求关于等边三角形、等腰三角形的练习题,稍微难一点,八年级上学期的, 稍微再提高点难度就好了！1.等腰三角形ABC,D为内部一点,AB=BC,角ABC=80,角DAC=30,角DCA=40,求角ADB延长CD交AB于E,延长AD交BC于F,过A作AG垂直BF于G因为 AB=BC,角ABC=80度所以角BCA=角BAC=50度因为角DCA=40度,角DAC=30度所以角CEA=90度,角EDA=角DCA+角DAC=70度因为角BCA=角BAC=50度,角DCA=40度,角DAC=30度所以角BCE=角BCA-角DCA=10度,角BAF=20度因为角ABC=80度所以角BFA=180-80-20=80度所以角ABC=角BFA所以 AB=AF因为 AG垂直BF所以 BG=GF=1/2BF,角BAG=角FAG=1/2角BAF=10度因为角CEA=90度,BC=BA,角BCE=角BAG=10度所以三角形BCE全等于三角形BAG所以 BE=BG=1/2BF以下是假设和验证的过程：假设 BD=BF要使假设成立,则三角形BDE是直角三角形,即Sin角BDE=BE/BD因为 BD=BF,角BFA=80度所以角CBD=20度因为角BCE=10度所以角BDE=角CBD+角BCE=30度因为 BE=1/2BF,BD=BF所以 Sin角BDE=1/2,BE/BD=1/2所以假设成立所以角BDE=30度成立因为角EDA=70度所以角ADB=角EDA+角BDE=70+30=100度2.已知AB=AC,D是AB上一点,DE⊥BC于E,ED的延长线于F,那么△ADF是等腰三角形么为什么△ADF是等腰三角形,理由如下：证明：∵AB=AC∴∠B=∠C（等边对等角）又∵DE⊥BC∴∠B+∠BDE=90° ∠F+∠C=90° （直角三角形的两个锐角互余）∴∠BDE=∠C（等角的余角相等）又∵∠BDE=∠ADF（对顶角相等）∴∠BDE=∠ADF∴AD=AF（等角对等边）∴△ADF是等腰三角形（有两边相等的三角形叫做等腰三角形）等边三角形练习题（二）: 等边三角形试题如图,在等边三角形ABC中,M、N分别是边AB、AC的中点,D为MN上任意一点,BD、CD的延长线分别交AC、AB于点F、E.若1/CE+1/BF=6,则三角形ABC的边长为特殊值法：设边长为a令点D与点E重合,则CE=AC=a,BF=BE=二分之根号3倍的a所以由条件1/CE+1/BF=6得a=（2倍根号3 +3）/18算错的话请见谅...等边三角形练习题（三）: 等边三角形试题已知：如图,△ABC中,AB=AC,D是三角形外一点,且∠ABD=60°,∠ACD=60°.试说明BD+DC=AB选自《朗曼全息题解》106页第3题D点在线段BC下方【等边三角形练习题】要做辅助线延长DC于N（任意一点）使CN=AB我帮你的就这么多等边三角形练习题（四）: 人教版八年级数学上册习题11.1第6. 6.一个等腰三角形的一边为6cm,周长人教版八年级数学上册习题11.1第6.6.一个等腰三角形的一边为6cm,周长为20cm,求其他两边的长.7.（1）已知等腰三角形的一边长等于5,一边长等于6,求它的周长；（2）已知等腰三角形的一边长等于4,一边长等于9,求它的周长.【等边三角形练习题】当底边为6厘米时,腰长为（20-6）÷2=7厘米.即其他两边长都为7厘米.当腰长为6厘米时,另外一边为腰长6厘米,底边围20-6-6=8厘米.祝您在新的一年一帆风顺,二龙腾飞,三羊开泰,四季平安,五福临门,六六大顺,七星高照,八方来财,九九同心,十全十美.等边三角形练习题（五）: 等边三角形练习1.已知△ABC中,AB=AC,点E是AB上一点,点F是AC延长线上一点,且BE=CF,EF交BC于O,求证：EO=OF.2.在等腰三角形ABC中,AB=AC,CD为腰上的高,若2BD÷BA为整数,试判定△ABC的形状.会哪道就写哪道.急用,1.过点E做辅助线EG‖AC交BC与点G因为EG‖AC所以∠EGB=∠ACB因为AB=AC所以∠B=∠ACB所以∠B=∠EGB所以EG=EB所以EG=CF在三角形EGO和三角形FCO中EG=CF,角EOG=角FOC(对顶角),角EGO=角FCO(EG和AC平行)所以三角形EGO≌三角形FCO所以OE=OF2.三角形为等腰直角三角形.角A为直角.腰上的高CD其实就是CA(点D与点A重合)2BD/AB=2AB/AB=2 为整数所以这个等腰三角形为等腰直角三角形(45度,45度,90度)等边三角形练习题（六）: 等腰三角形习题等腰三角形ABC中,点D在AB上,点E在AC上,且BD=AE,CD和BE相交于点0,DF⊥BE,垂足为F,求∠ CDF 的度数（图可以根据题目画出来）用等边三角形假设我也会，30度.你假设它是等边三角行,假设D.E都是中点.就算出来了.这样的题就得这样,算的快还准等边三角形练习题（七）: 等腰三角形练习题等腰三角形中AB=AC,O为BC上非中点的一点,过O的直线l平分等腰三角形ABC的面积,问l与三角形的交点位于哪里用相似三角形做过O做直线与AB平行,交AC于M设B0:OC=1:X则OC:BC=X/(1+x)则S三角形AMO：S三角形ABC=X^2/（1+X）^2四边形OMAB=（1+X）^2-X^2=X^2解出x即可等边三角形练习题（八）: 全等三角形的练习题帮出几道练习题 8道填空题 5道证明题全都是有关全等的!难度中等可以的话有追加看题如何回答者： 5154225 - 魔法学徒一级 7-29 15:371 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等 \x1d4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短7 平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行9 同位角相等,两直线平行10 内错角相等,两直线平行11 同旁内角互补,两直线平行12两直线平行,同位角相等13 两直线平行,内错角相等14 两直线平行,同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方,即a^2+b^2=c^247勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ,那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角 66菱形面积=对角线乘积的一半,即S=（a×b）÷267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半 L=（a+b）÷2 S=L×h83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d wc呁/S∕\x1e84 (2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85 (3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）,所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等,两三角形相似（ASA）92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似（SAS）94 判定定理3 三边对应成比例,两三角形相似（SSS）等边三角形练习题（九）: 圆的周长练习题一、填一填.（1）等边三角形的边长为3.5分泌,它的周长是（）分米.（2）一个等腰梯形上底长4.5厘米,下底长6厘米,腰长3厘米,这个等腰梯形的周长是（）厘米.（3）圆的（）除以（）的商是一个固定的数,通常叫做（）,它大约等于（）.二、对号入座.（1）想要求圆的周长,就必须知道（）.A.圆周率B.直径和半径C.直径或半径（2）π是一个（）小数A.有限B.无限循环C.无限不循环三、应用题.1.校园里有一个圆形花圃,它的直径是4.5m,这个花圃的周长是多少米2.小强每天绕直径为20m的花坛跑15圈,则小强每天要跑多少米一、填一填.（1）等边三角形的边长为3.5分泌,它的周长是（ 10.5 ）分米.（2）一个等腰梯形上底长4.5厘米,下底长6厘米,腰长3厘米,这个等腰梯形的周长是（ 16.5 ）厘米.（3）圆的（周长）除以（直径）...等边三角形练习题（十）: 全等三角形练习题八年级数学三角形全等测试题一、填空（3分×10=30分）1、如果△ABC≌△DEF,△DEF周长是32cm,DE=9cm,EF=13cm.∠E=∠B,则AC=________.2、如图,某人把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在你要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,则应带哪块玻璃去__________（填上玻璃序号）.3、已知△ABC中,∠BAC=60°,将△ABC绕着点A顺时针旋转40°,如图所示,则△BAC′的度数为______.4、如图,点D、E、F、B在同一直线上,AB‖CD、AE‖CF,且AE=CF,若BD=10,BF=2,则EF=____________.5、△ABC中,AC=4,中线AD=6,则AB边的取值范围是______________.6、已知如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E、BE、CD相交于O点,∠1=∠2,图中全等的三角形共有________对.7、如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,BC=10cm,BD=6cm,则点D到AB的距离为_________.8、如图,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN.其中正确的结论是________（填序号）.9、如图,已知铁路上A、B两站（视为线上两点）相距45km,C、D为铁路同旁的两个村庄（视为两点）,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,DA=25km,CB=20km,现在要在铁路AB上建一个收购站E,使C、D两村庄到E站的距离相等,则E站应建在距A 站_______km处.10、如图,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB,交BD于D,DE⊥AB于E,且AB=10,则△DEB周长为_______.二、选择题（3分×10=30分）11、如图△ABC≌△BAD,点A和点B,点C和点D是对应点,若AB=6cm,BD=5cm,AD=4cm,则BC长为（）A、4cmB、5cmC、6cmD、无法确定12、如图△ABE≌△ACD,AB=AC,BE=CD,∠B=50°,∠AEC=120°,则∠DAC的度数等于（）A、120°B、70°C、60°D、50°13、在△ABC和△A′B′C′中,已知∠A=∠A′,AB=A′B′,在下面判断中错误的是（）A、若添加条件AC=A′C′,则△ABC≌△A′B′C′B、若添加条件BC=B′C′,则△ABC≌△A′B′C′C、若添加条件∠B=∠B′,则△ABC≌△A′B′C′D、若添加条件∠C=∠C′,则△ABC≌△A′B′C′14、工人师傅常用角尺平分一个任意角,做法是：如图在∠AOB的边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M,N重合,得到∠AOB的平分线OP,做法中用到三角形全等的判定方法是（）A、SSSB、SASC、ASAD、HL15、下列命题错误的是（）A、全等三角形的对应线段相等B、全等三角形的面积相等C、一个锐角和相邻的直角边对应相等的两个直角三角形全等D、两角对应相等的两个三角形全等16、不能确定两三角形全等的条件是（）A、三条边对应相等B、两条边及其夹角对应相等C、两角和一条边对应相等D、两条边和一条边所对应的角对应相等17、在△ABC和△A′B′C′中,①AB=A′B′；②BC=B′C′；③AC=A′C′；④∠A=∠A′；⑤∠B=∠B′；⑥∠C=∠C′,则下列哪组条件不能保证△ABC≌△A′B′C′（）A、①②③B、①②⑤C、①⑤⑥D、①②④18、如图△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,D为AB中点过点D作DE⊥AB交AC于点E,下列结论：①CE=DE；②AE=BC；③∠B=2∠A；④∠A=30°中正确个数为（）A、1个B、2个C、3个D、4个19、如图,在△ABC中,AB=AC,BF=CD,BD=CE,∠FDE=α ,则下列结论正确的是（）A、2 α+∠A=180°B、α +∠A=90°C、2α +∠A=90°D、α+∠A=180°20、如图,已知△ABC中,AQ=PQ,PR=PS,PR⊥AB于R,RS⊥AC于S,则三个结论：①AS=AR；②QP‖AR；③△BRP≌△QSP（）A、全部正确B、仅①和②正确C、仅①正确D、仅①和③正确三、解答题21、已知：△DEF≌△MNP,且EF=NP,∠F=∠P,∠D=58°,∠E=62°,MN=10cm,求∠P的度数及DE的长.（5分）22、如图,D是AB上一点,DF交AC于点E,AE=CE,FC‖AB,求证：DE=EF.（5分）23、如图,△ABC为等边三角形,点M、N,分别在BC、AC上,且BM=CN,AM与BN 交于Q点,求∠AQN的度数.（6分24、如图,点E在△ABC的外部,点D在BC边上,DE交AC于点F,若∠1=∠2 =∠3,AC=AE,求证：AB=AD.（6分）25、如图,在正方形ABCD中,E是AD中点,F是BA延长线上一点,AF= AB,则线段BE与DF大小,位置有什么关系并证明你的结论.（7分）26、如图,AB‖CD,BE平分∠ABC,点E为AD中点,且BC=AB+CD,求证：CE平分∠BCD.（7分）27、如图,已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,分别过B、C向过A的直线作垂线,垂足分别为E、F.（1）如图,①过A的直线与斜边BC不相交时,求证：EF=BE+CF（4分）（2）如图,②过A的直线与斜边BC相交时,其他条件不变,若BE=10,CF=3,试求：FE长.（4分）28、在直角坐标系xOy中,O为坐标原点直线AB平行直线：y = x,且与x轴交于点A（－3,0）,与y轴交于B点,点M、N在x轴上,（点M在点N的左边）,点N在原点的右边作MP⊥BN,垂足为P（点P在线段BN上,且点P与点B 不重合）直线MP与y轴交于点G,MG=BN.（1）求直线AB的解析式及B点坐标；（4分）（2）求点M的坐标；（4分）（3）设ON=t,△MOG的面积为S,求S与t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围；（4分）（4）若以A为锐角顶点,直角顶点D在x轴上的直角三角形ADF与以A、O、B为顶点的直角三角形全等,设F（a、b）,求a、b值（只需写出结果,不必写出解答过程）.（4分）。

三角形的内角和练习题一、基础练习1、判断下列说法是否正确，并说明理由。

（1）一个三角形的内角和是180度。

（2）一个三角形的内角和等于3个直角。

（3）一个等边三角形的内角和等于一个等腰三角形的内角和。

2、一个三角形的三个内角分别为A、B、C，已知A=30度，B=80度，求C的度数。

二、提升练习1、一个三角形的三个内角分别为A、B、C，已知A=70度，B=90度，求C的度数。

2、一个等边三角形的三个内角分别为A、B、C，已知A=60度，求B 和C的度数。

3、一个等腰三角形的两个内角分别为A、B，已知A=80度，求B的度数（该三角形是等腰三角形，有两边长度相等）。

三、拓展练习1、一个四边形由两个等边三角形组成，它的四个内角分别为A、B、C、D，求A+B+C+D的度数。

2、一个五边形由三个等边三角形组成，它的五个内角分别为A、B、C、D、E，求A+B+C+D+E的度数。

3、一个n边形（n≥3）的所有内角之和是多少？在解答上述问题的过程中，我们可以使用三角形内角和定理以及多边形的内角和公式来进行计算。

我们还需要了解等边三角形和等腰三角形的性质，以便解决相关问题。

三角形的内角和教学设计一、教材分析三角形的内角和是义务教育课程标准实验教科书（人教版）四年级下册第8单元数学广角里的内容，本节课是在学生已经学习了三角形的概念及分类的基础上进一步研究三角形的有关知识，教材中安排了三部分内容：第一部分是例1通过测量计算三个内角的度数和，第二部分是例2通过撕拼、旋转、翻转等不同的方法验证三角形的内角和等于180度，第三部分是例3用已知的两个角度求出第三个角的度数。

通过这些活动，培养学生动手操作能力和数学思维能力。

同时，还体现了数学来源于生活，又应用于生活这一理念。

二、学情分析作为四年级的学生，他们已经具备了一定的观察、猜测、动手操作、积极思考的能力，因此他们可以根据自己的实际情况选择喜欢的方法来研究验证三角形的内角和。

2021年中考数学三轮综合复习：三角形综合专题冲刺练习二1．（1）如图1，等腰△ABC和等腰△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，B，E，D三点在同一直线上，求证：∠BDC＝90°；（2）如图2，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且∠BDC＝90°，求证：∠ADB＝45°；（3）如图3，等边△ABC中，D是△ABC外一点，且∠BDC＝60°，①∠ADB的度数；②DA，DB，DC之间的关系．2．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为1cm/s，点Q从点B开始沿B→C→A 方向运动，且速度为2cm/s，它们同时出发，设运动的时间为ts．（1）当t＝2时，PQ＝．（2）求运动几秒时，△APC是等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．（直接写答案）3．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E．（1）求证：BD＝CD．（2）若弧DE＝50°，求∠C的度数．（3）过点D作DF⊥AB于点F，若BC＝8，AF＝3BF，求弧BD的长．4．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．过射线AD上一点M作BM的垂线，交直线AC于点N．（I）如图1，点M在AD上，若∠N＝15°，BC＝2，则线段AM的长为；（2）如图2，点M在AD上，求证：BM＝NM；（3）若点M在AD的延长线上，则AB，AM，AN之间有何数量关系？直接写出你的结论，不证明．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，sin∠ABC＝，点D为射线BC上一点，联结AD，过点B作BE⊥AD分别交射线AD、AC于点E、F，联结DF，过点A作AG∥BD，交直线BE于点G．（1）当点D在BC的延长线上时，如果CD＝2，求tan∠FBC；（2）当点D在BC的延长线上时，设AG＝x，S＝y，求y关于x的函数关系式（不△DAF需要写函数的定义域）；（3）如果AG＝8，求DE的长．6．如图，在△ABC中．（1）如图①，分别以AB、AC为边作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD；①猜想BE与CD的数量关系是；②若点M，N分别是BE和CD的中点，求∠AMN的度数；（2）如图②，若分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AC＝AE，∠DAB ＝∠CAE＝α，DC、BE交于点P，连接AP，请直请接写出∠APC与α的数量关系7．如图1，在等边△ABC中，AB＝2，点D是直线BC上一点，在射线DA上取一点E，使AD＝AE，以AE为边作等边△AEF，连接EC．（1）若点D是BC的中点，则EA＝，EC＝；（2）如图2，连接BF，当点D由BC中点向点C运动时，请判断BF和EC的数量关系，并说明理由；（3）如图3，点D在BC延长线上，连接BF，BE，当BE∥AC时，求BF的长．8．如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别是边AB、BC所在直线上的动点，若点D、E以相同的速度，同时从点A、点B出发，分别沿AB、BC方向运动，直线AE、CD交于点O．（1）如图1，求证：△ABE≌△CAD；（2）在点D、点E运动过程中，∠COE＝°；（3）如图2，点P为边AC中点，连接BO，PO，当点D、E分别在线段AB、BC上运动时，判断BO与PO的数量关系，并证明你的结论．9．如果三角形的两个内角差为90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．（1）若△ABC是“准直角三角形”，∠C＞90°．①若∠A＝60°，则∠B＝°；②若∠A＝20°，则∠B＝°．（2）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝3，点D在AC边上，若△ABD是“准直角三角形”，求CD的长．（3）如图2，在四边形ABCD中，CD＝CB，∠ABD＝∠BCD，AB＝5，BD＝6，且△ABC 是“准直角三角形”，求△BCD的面积．10．【背景】在△ABC中，分别以边AB、AC为底，向△ABC外侧作等腰直角三角形ABD 和等腰直角三角形ACE，∠ADB＝∠AEC＝90°．【研究】点M为BC的中点，连接DM，EM，研究线段DM与EM的位置关系与数量关系．（1）如图（1），当∠BAC＝90°时，延长EM到点F，使得MF＝ME，连接BF．此时易证△EMC≌△FMB，D、B、F三点在一条直线上．进一步分析可以得到△DEF是等腰直角三角形，因此得到线段DM与EM的位置关系是，数量关系是；（2）如图（2），当∠BAC≠90°时，请继续探究线段DM与EM的位置关系与数量关系，并证明你的结论；（3）【应用】如图（3），当点C，B，D在同一直线上时，连接DE，若AB＝2，AC ＝4，求DE的长．11．如图1，△ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，BE＝CE，点G在线段CD 上，CG＝CA，GF＝DE，∠AFG＝∠CDE．（1）填空：与∠CAG相等的角是；（2）用等式表示线段AD与BD的数量关系，并证明；（3）若∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠ACD（如图2），求的值．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝14，过点A作AD⊥BC于点D，E 为腰AC上一动点，连接DE，以DE为斜边向左上方作等腰直角△DEF，连接AF．（1）如图1，当点F落在线段AD上时，求证：AF＝EF；（2）如图2，当点F落在线段AD左侧时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）在点E的运动过程中，若AF＝，求线段CE的长．13．已知在△ABC中，AB＝AC，过点B引一条射线BM，D是BM上一点．（1）如图1，∠ABC＝60°，射线BM在∠ABC内，∠ADB＝60°，求证：∠BDC＝60°．请根据以下思维框图，写出证明过程．（2）如图2，已知∠ABC＝∠ADB＝30°．①当射线BM在∠ABC内，求∠BDC的度数．②当射线BM在BC下方，请问∠BDC的度数会变吗？若不变，请说明理由；若改变，请直接写出∠BDC的度数．（3）在第（2）题的条件下，作AF⊥BD于点F，连接CF，已知BD＝6，CD＝2，求△CDF的面积．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB，∠EDF＝60°，其两边分别交AB，AC于点E，F．（1）求证：△ABD是等边三角形；（2）若DG＝2，求AC的长；（3）求证：AB＝AE+AF．15．【问题】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l平行于AB．∠EDF＝90°，点D在直线L上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系．【探究发现】（1）如图2，某数学兴趣小组运用从特殊到一般的数学思想，发现当点D移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP＝DB，请写出证明过程；【数学思考】（2）如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G，就可以证明DP＝DB，请完成证明过程．。

第12章全等三角形——证明题专题练习（二）1．如图，已知l1∥l2，射线MN分别和直线l1，l2交于A、B，射线ME分别和直线l1，l2交于C、D，点P在A、B间运动（P与A、B两点不重合），设∠PDB＝α，∠PCA＝β，∠CPD＝γ．（1）试探索α，β，γ之间有何数量关系？说明理由．（2）如果BD＝3，AB＝9，AC＝6，并且AC垂直于MN，那么点P运动到什么位置时，△ACP≌△BPD说明理由．（3）在（2）的条件下，当△ACP≌△BPD时，PC与PD之间有何位置关系，说明理由．2．如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上．①如图1，若∠BCA＝90°，α＝90°，则BE CF；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于α与∠BCA关系的条件，使①中的结论仍然成立，并说明理由；（2）如图3，若线CD经过∠BCA的外部，α＝∠BCA，请提出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由．3．如图，△ABC中，D为AB的中点，AD＝5厘米，∠B＝∠C，BC＝8厘米．（1）若点P在线段BC上以3厘米/秒的速度从点B向终点C运动，同时点Q在线段CA 上从点C向终点A运动，①若点Q的速度与点P的速度相等，经1秒钟后，请说明△BPD≌△CQP；②点Q的速度与点P的速度不相等，当点Q的速度为多少时，能够使△BPD≌△CPQ；（2）若点P以3厘米/秒的速度从点B向点C运动，同时点Q以5厘米/秒的速度从点C 向点A运动，它们都依次沿△ABC三边运动，则经过多长时间，点Q第一次在△ABC的哪条边上追上点P？4．阅读并理解下面的证明过程，并在每步后的括号内填写该步推理的依据．已知：如图，AM，BN，CP是△ABC的三条角平分线．求证：AM、BN、CP交于一点．证明：如图，设AM，BN交于点O，过点O分别作OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为点D，E，F．∵O是∠BAC角平分线AM上的一点（），∴OE＝OF（）．同理，OD＝OF．∴OD＝OE（）．∵CP是∠ACB的平分线（），∴O在CP上（）．因此，AM，BN，CP交于一点．5．（1）如图①，已知：△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m于D，CE⊥m于E，求证：DE＝BD+CE；（2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，α为任意锐角或钝角，请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB＝AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC ＝∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC＝2CF，△ABC的面积是12，求△ABD与△CEF的面积之和．6．已知：如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，直线l经过点C，AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D，E．求证：△ACD≌△CBE．（以上两个不同的图形所得的结论相同．请你任选其中一个图形加以证明）7．如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形．（1）若固定三根木条AB，BC，AD不动，AB＝AD＝2cm，BC＝5cm，如图，量得第四根木条CD＝5cm，判断此时∠B与∠D是否相等，并说明理由．（2）若固定二根木条AB、BC不动，AB＝2cm，BC＝5cm，量得木条CD＝5cm，∠B＝90°，写出木条AD的长度可能取得的一个值（直接写出一个即可）（3）若固定一根木条AB不动，AB＝2cm，量得木条CD＝5cm，如果木条AD，BC的长度不变，当点D移到BA的延长线上时，点C也在BA的延长线上；当点C移到AB的延长线上时，点A、C、D能构成周长为30cm的三角形，求出木条AD，BC的长度．8．在Rt△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，点D为射线AB上一点，连接CD，过点C作线段CD的垂线l，在直线l上，分别在点C的两侧截取与线段CD相等的线段CE和CF，连接AE、BF．（1）当点D在线段AB上时（点D不与点A、B重合），如图1①请你将图形补充完整；②线段BF、AD所在直线的位置关系为，线段BF、AD的数量关系为；（2）当点D在线段AB的延长线上时，如图2①请你将图形补充完整；②在（1）中②问的结论是否仍然成立？如果成立请进行证明，如果不成立，请说明理由．9．已知：点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB＝OC．（1）如图1，若点O在边BC上，求证：AB＝AC；（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB＝AC；（3）若点O在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？请画出图表示．10．如图，完成下列推理过程：如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1＝∠3，∠E＝∠C，AE＝AC，求证：△ABC≌△ADE．证明：∵∠E＝∠C（已知），∠AFE＝∠DFC（），∴∠2＝∠3（），又∵∠1＝∠3（），∴∠1＝∠2（等量代换），∴+∠DAC＝+∠DAC（），即∠BAC＝∠DAE，在△ABC和△ADE中∵∴△ABC≌△ADE（）．11．已知△ABC中，AB＝AC，BE平分∠ABC交边AC于E．（1）如图（1），当∠BAC＝108°时，证明：BC＝AB+CE；（2）如图（2），当∠BAC＝100°时，（1）中的结论还成立吗？若不成立，是否有其他两条线段之和等于BC，若有请写出结论并完成证明．12．感知：如图①，点B、A、C在同一条直线上，DB⊥BC，EC⊥BC，且∠DAE＝90°，AD＝AE，易证△DBA≌△ACE．探究：如图②，在△DBA和△ACE中，AD＝AE，若∠DAE＝α（0°＜α＜90°），∠BAC ＝2α，∠B＝∠C＝180°﹣α，求证：△DBA≌△ACE．应用：如图②，在△DBA和△ACE中，AD＝AE，若∠DAE＝70°，∠BAC＝140°，∠B＝∠C＝110°，则当∠D＝°时，∠DAC的度数是∠E的3倍．13．两块等腰直角三角尺AOB与COD（不全等）如图（1）放置，则有结论：①AC＝BD②AC ⊥BD若把三角尺COD绕着点O逆时针旋转一定的角度后，如图（2）所示，判断结论：①AC＝BD②AC⊥BD是否都还成立？若成立请给出证明，若不成立请说明理由．14．如图①，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，AD为∠BAC的角平分线，求证：AB＝AC+CD 小明同学经过思考，得到如下解题思路：在AB上截取AE＝AC，连接DE，得到△ADE≌△ADC，从而易证AB＝AC+CD（1）请你根据以上解思路写出证明过程；（2）如图②，若AD为△ABC的外角∠CAE平分线，交BC的延长线于点D，∠D＝25°，其他条件不变，求∠B的度数．15．阅读探索题：（1）如图1，OP是∠MON的平分线，以O为圆心任意长为半径作弧，分别交射线ON、OM 于C、B两点，在射线OP上任取一点A（点O除外），连接AB、AC．求证：△AOB≌△AOC．（2）请你参考以上方法，解答下列问题：如图2，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，试判断BC和AC、AD 之间的数量关系并证明．。