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1. 袋中有8红 3白球,从中任取2球,至少有一白球概率为_______2. A.B 为独立事件,且P(AUB )=0.6, P(A)=0.4,则P(B)=_______________3. 若X~P(λ),则P(X)=____________4. 若X~N(2,σμ),则密度f(X)=_____________5.已知事件A 、B 互不相容，且P(AUB)=0.8,P(A)=0.5,则P(B)= ,P(A-B)= .6. 设()0.4,()0.3,()0.6P A P B P A B ===U ，则()P AB = .7. 设随机事件A, B 及其和事件AUB 的概率分别是0.4, 0.3, 0.6, 则)(B A P = ______.8．假设P （A ）=0.4，P （A ∪B ）=0.7，若A ，B 互不相容，则P （B ）= ，若A ，B 相互独立，则P （B ）= ．9.若事件A 和B 相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.6，则P(AUB)= ________．10.设事件A 、B 满足P(A)=0.3，P(B)=0.8，P(AB)=0.2，则P(AUB)=________，)(B A P =________.12．设A ，B 两事件满足P （A ）=0.8， P （B ）=0.6，P （B|A ）=0.5，则P （A ∪B ）= ．13.一射击运动员独立的向同一目标射击n 次，设每次命中的概率为p,则他恰好命中k 次的概率为 .14. 相互独立的,且有相同分布的n 个变量i X 的最小值min F (z)=________________15．设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则E （X ²）＝________.16．若随机变量X 服从均值为2，方差为2σ的正态分布，且{24}0.3P X <<=，则{0}P X <= .17.设二维随机变量),(ηξ~N(0,1,1,4,0.5)，则ξ~ 分布，D()ηξ+= ．18．设()3D X =，31Y X =+，则XY ρ= . 19.设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,010,20,),(y x cxy y x f ， 则=c ____ ，=≤)1(X P ______.20．若随机变量ξ服从U(0,5)，则x 2+ξx+1=0有实根的概率为______．21． 某射手每次射击的命中率为p ，现连续射击n 次，则恰好射中k 次的概率为________．23．设随机变量ξ与η相互独立, D(ξ) = 2, D(η) = 4, D(2ξ－η) = _______．24. 已知随机变量X ～N (－3, 1), Y ～N (2, 1 ), 且X 与Y 相互独立, Z = X －2Y, 则Z 的数学期望EZ= , 且Z ～ ．25. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 且X ～N (0, 1), Y 在[－1, 1]上服从均匀分布, 则),cov(Y X = _______．26.某射手在三次射击中至少命中一次的概率为0.875，则这射手在一次射击中命中的概率为________.27.切比雪夫不等式表示为28. 棣美弗---拉普拉斯定理表明当n →∞时,n X ~B(n, p), 则_____________29.数理统计中的常用分布有三个,分别为___________ _____________ ____________1.设P(A)=0.8, P(B)=0.7, P(B A )=0.8, 则________A. A,B 独立B. A,B 互斥C. A,B 互逆D. A B ⊃2.设X~N(1,1),概率密度为f(x), 则______________A.5.0)0()0(=≥=≤X P X PB.),(),()(+∞-∞∈-=x x f x fC.5.0)1()1(=≥=≤X P X PD. ),(),(1)(+∞-∞∈--=x x F x F3.事件A ，B 为两个任意事件，则（ ）成立．ａ． （AUB ）－B=A ， ｂ． （AUB ）－B ⊂A ，ｃ． (A-B)UB=A ， ｄ． (A-B)UB ⊂A ．4．对于任意二事件,A B ，同时出现的概率()0P AB =，则（ ）a.,A B 不相容（相斥）b.AB 是不可能事件c.AB 未必是不可能事件d.()0,()0P A P B ==或5．每次试验的成功率为)10(<<p p ，则在3次重复试验中至少失败一次概率为（ ）．a. 2)1(p -b.21p -c.)1(3p -d.以上都不对6.已知事件A ，B 满足)()(B A P AB P =，且4.0)(=A P ，则=)(B P （ ）．a.0.4，b.0.5，c.0.6，d.0.77.设随机变量X 的概率密度为||)(x cex f -=，则c ＝（ ）． a.－21 b.0 c.21 d.18．（ ）不是某个随机变量的概率密度函数．ａ．⎩⎨⎧≤>=-0x00 x 2)(2x e x f ， ｂ．⎩⎨⎧<<=其它0101)(x x f ｃ．⎩⎨⎧<<=其它 01x 0x )(x f ，ｄ．⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它020sin )(πx x x f 9．设随机变量ξ，η有：E ξη=E ξE η，则（ ）．ａ． D （ξη）=D ξD η， ｂ． D （ξ+η）=D ξ+D η，ｃ． ξ与η独立， ｄ． ξ与η不独立．10． 设二维随机变量(,)X Y 服从G 上的均匀分布，G 的区域由曲线2x y =与x y =所围，则(,)X Y 的联合概率密度函数为（ ）. a.⎩⎨⎧∈=他其,0),(,6),(G y x y x f ； b.⎩⎨⎧∈=他其,0),(,6/1),(G y x y x f ； c.⎩⎨⎧∈=他其,0),(,2),(G y x y x f ； d.⎩⎨⎧∈=他其,0),(,2/1),(G y x y x f11．对于任意两个随机变量,X Y ，若()E XY EX EY =⋅，则（ ）a.()D XY DX DY =⋅b.()D X Y DX DY +=+c.,X Y 独立d.,X Y 不独立12．设随机变量,X Y 相互独立，)1,0(~N X ,)1,1(~N Y ，则（ ）.a.2/1)0(=≤+Y X P ；b.2/1)1(=≤+Y X P ；c.2/1)0(=≤-Y X P ；d.2/1)1(=≤-Y X P .13.设ξ的分布列为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-949231201，则P(ξ<2|ξ≠0)= . a. 31 b. 73 c. 95 d. 1 14.设二维随机变量(,)X Y 服从G ：122≤+y x 上的均匀分布，则(,)X Y 的联合概率密度函数为 .a. ⎩⎨⎧∈=他其,0),(,),(G y x y x f πb. ⎩⎨⎧∈=他其,0),(,/1),(G y x y x f π c.⎩⎨⎧∈=他其,0),(,2),(G y x y x f d. ⎩⎨⎧∈=他其,0),(,2/1),(G y x y x f 15．设10个电子管的寿命i X (10~1=i )独立同分布，且A X D i =)((10~1=i )，则10个电子管的平均寿命Y 的方差=)(Y D （ ）.（ａ）A ； （ｂ）A 1.0； （ｃ）A 2.0； （ｄ）A 10.16．设随机变量()2~,N ξμσ，则当σ增大时，概率{}P ξμσ-<=（ ）.． a ．保持不变 b ．单调减少 c ．单调增加 d ． 增减不定17．设X, Y 是相互独立的两个随机变量, 其分布函数分别为)(),(y F x F Y X ,则Z = min(X, Y)的分布函数是（ ）．a ．)(z F Z = )(z F Xb ．)(z F Z = )(z F Yc ．)(z F Z = min{)(),(z F z F Y X }d ．)(z F Z = 1－[1－)(z F X ][1－)(z F Y ]21．设随机变量X 和Y 独立同分布, 记U = X －Y, V = X + Y, 则U 和V 必然( ).a ．不独立b ． 独立c ．相关系数不为零d ．相关系数为零．22．设X 与Y 的相关系数0=ρ，则（ ）．a ．X 与Y 相互独立b ．X 与Y 不一定相关c ．X 与Y 必不相关d ．X 与Y 必相关23．在假设检验中，0H 为原假设，则所谓犯第二类错误指的是（ ）．ａ．0H 为真时，接受0H ｂ．0H 不真时，接受0Hｃ．0H 不真时，拒绝0H ｄ．0H 为真时，拒绝0H24.设n X X X ......,21是总体X~N(0,1)的样本, X ,S 分别为样本均值和样本标准差,则有________ A.X n ~ N(0,1) B. X ~N(0,1) C.)(~212n Xn i i χ∑= D.)1(~-n t S X四、计算题1.一袋中有4白，2红球，从袋取球两次，每次一只，（1）放回（2）不放回，就这两种情况求：1）取到两只都是白球的概率2）取到两只中至少有一白球的概率2.变量x 在[]π,0上服从均匀分布，求：x Y sin =的概率密度3.变量X ～()λe ，求;E ()x ,()x D4. 变量()k X 2~χ,求: ()()x D x E , 5.变量()y x ,的联合概率密度为()()⎩⎨⎧>>=+-其它，,00y 0,2,2x e y x f y x 6.变量()1,0~N X 求：函数Y=X 2的概率密度7.从总体X 中抽取样本x 1，x 2，x 3证明：1）三个统计量6323211x x x ++=μ)，4423212x x x ++=μ)，3333213x x x ++=μ) 都是总体均值的无偏估计量2）问哪个估计量更有效8. 变量()y x ,在R ：x y x ≤≤≤≤0,10上服从均匀分布求：1）()()()()y D x D y E x E ,,,2）()y x Cov , ()y x R ,9.总体(),~λP X ()未知参数0>λ取样本值x 1x 2........x n 求：λ的最大似然估计值10．在所有两位数10-99中任取一数，求这数能被2或3整除的概率11.变量()y x ,的联合概率密度为()()23,0,0,0,x y Ae x y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩其它 求：1）联合分布函数？2）在R ：0,0,236x y x y >>+<内概率12.变量()2~2χX 其概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,212x x e f x x x 求: ()()x D x E ,13、设随机变量ξ的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤=.,0,21,2,10,)(其它x x x x x f 试求ξ的分布函数，数学期望E ξ和方差D ξ． 14、设随机变量ξ的概率密度函数为+∞<<∞-=-x Ae x f x ,)(.求:(1)常数A ，(2) ξ的分布函数，(3) ξ落在区间]1,1[-内的概率15、若随机变量ξ服从拉普拉斯分布，其密度函数为,,21)(||∞<<∞-=--x e x p x λμλ0>λ．试求ξE ，ξD ．16、设二维随机变数),(ηξ有密度函数)25)(16(),(222y x A y x p ++=π， 求常数A 及),(ηξ的分布函数。
十、概率论与数理统计一、填空题1、设在一次试验中，事件A 发生的概率为p 。
现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为n p )1(1--；而事件A 至多发生一次的概率为1)1()1(--+-n n p np p 。
2、 三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子有3个黑球5个白球。
现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于 。
已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为 。
解：用iA 代表“取第i 只箱子”，i =1，2，3，用B 代表“取出的球是白球”。
由全概率公式⋅=⋅+⋅+⋅=++=12053853163315131)|()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P由贝叶斯公式⋅=⋅==5320120536331)()|()()|(222B P A B P A P B A P3、 设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等。
若已知A 至少出现一次的概率等于19/27，则事件A 在一次试验中出现的概率为 。
解：设事件A 在一次试验中出现的概率为)10(<<p p ，则有2719)1(13=--p ，从而解得31=p4、已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，随机事件B 的概率6.0)(=B P 及条件概率8.0)|(=A B P ，则和事件B A Y 的概率)(B A P Y = 。
7.08.05.06.05.0)|()()()()()()()(=⨯-+=-+=-+=A B P A P B P A P AB P B P A P B A P Y5、 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5。
现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 。
用A 代表事件“甲命中目标”，B 代表事件“乙命中目标”，则B A Y 代表事件“目标被命中”，且8.06.05.06.05.0)()()()()()()()(=⨯-+=-+=-+=B P A P B P A P AB P B P A P B A P Y所求概率为 75.08.06.0)()()|(===B A P A P B A A P Y Y6、 设随机事件A ，B 及其和事件B A Y 的概率分别是0.4，0.3和0.6。
概率论练习题与解析十、概率论与数理统计一、填空题1、设在一次试验中，事件A 发生的概率为p 。
现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为np )1(1--；而事件A 至多发生一次的概率为1)1()1(--+-n n p np p 。
2、 三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子有3个黑球5个白球。
现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于 。
已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为 。
解：用iA 代表“取第i 只箱子”，i =1，2，3，用B 代表“取出的球是白球”。
由全概率公式⋅=⋅+⋅+⋅=++=12053853*********)|()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P由贝叶斯公式⋅=⋅==5320120536331)()|()()|(222B P A B P A P B A P3、 设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等。
若已知A 至少出现一次的概率等于19/27，则事件A 在一次试验中出现的概率为 。
解：设事件A 在一次试验中出现的概率为)10(<<p p ，则有2719)1(13=--p ，从而解得31=p4、已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，随机事件B 的概率6.0)(=B P 及条件概率8.0)|(=A B P ，则和事件B A Y 的概率)(B A P Y = 。
7.08.05.06.05.0)|()()()()()()()(=⨯-+=-+=-+=A B P A P B P A P AB P B P A P B A P Y 5、 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5。
现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 。
用A 代表事件“甲命中目标”，B 代表事件“乙命中目标”，则B A Y 代表事件“目标被命中”，且8.06.05.06.05.0)()()()()()()()(=⨯-+=-+=-+=B P A P B P A P AB P B P A P B A P Y所求概率为75.08.06.0)()()|(===B A P A P B A A P Y Y6、 设随机事件A ，B 及其和事件B A Y 的概率分别是0.4，0.3和0.6。
1. 袋中有8红 3白球,从中任取2球,至少有一白球概率为_______2. A.B 为独立事件,且P(AUB )=0.6, P(A)=0.4,则P(B)=_______________3. 若X~P(λ),则P(X)=____________4. 若X~N(2,σμ),则密度f(X)=_____________5.已知事件A 、B 互不相容，且P(AUB)=0.8,P(A)=0.5,则P(B)= ,P(A-B)= .6. 设()0.4,()0.3,()0.6P A P B P A B ===，则()P AB = .7. 设随机事件A, B 及其和事件AUB 的概率分别是0.4, 0.3, 0.6, 则)(B A P = ______.8．假设P （A ）=0.4，P （A ∪B ）=0.7，若A ，B 互不相容，则P （B ）= ，若A ，B 相互独立，则P （B ）= ．9.若事件A 和B 相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.6，则P(AUB)= ________．10.设事件A 、B 满足P(A)=0.3，P(B)=0.8，P(AB)=0.2，则P(AUB)=________，)(B A P =________.12．设A ，B 两事件满足P （A ）=0.8， P （B ）=0.6，P （B|A ）=0.5，则P （A ∪B ）= ．13.一射击运动员独立的向同一目标射击n 次，设每次命中的概率为p,则他恰好命中k 次的概率为 .14. 相互独立的,且有相同分布的n 个变量i X 的最小值min F (z)=________________15．设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则E （X ²）＝________.16．若随机变量X 服从均值为2，方差为2σ的正态分布，且{24}0.3P X <<=，则{0}P X <= .17.设二维随机变量),(ηξ~N(0,1,1,4,0.5)，则ξ~ 分布，D()ηξ+= ．18．设()3D X =，31Y X =+，则XY ρ= . 19.设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,010,20,),(y x cxy y x f ， 则=c ____ ，=≤)1(X P ______.20．若随机变量ξ服从U(0,5)，则x 2+ξx+1=0有实根的概率为______．21． 某射手每次射击的命中率为p ，现连续射击n 次，则恰好射中k 次的概率为________．23．设随机变量ξ与η相互独立, D(ξ) = 2, D(η) = 4, D(2ξ－η) = _______．24. 已知随机变量X ～N (－3, 1), Y ～N (2, 1 ), 且X 与Y 相互独立, Z = X －2Y, 则Z 的数学期望EZ= , 且Z ～ ．25. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 且X ～N (0, 1), Y 在[－1, 1]上服从均匀分布, 则),cov(Y X = _______．26.某射手在三次射击中至少命中一次的概率为0.875，则这射手在一次射击中命中的概率为________.27.切比雪夫不等式表示为28. 棣美弗---拉普拉斯定理表明当n →∞时,n X ~B(n, p), 则_____________29.数理统计中的常用分布有三个,分别为___________ _____________ ____________1.设P(A)=0.8, P(B)=0.7, P(B A )=0.8, 则________A. A,B 独立B. A,B 互斥C. A,B 互逆D. A B ⊃2.设X~N(1,1),概率密度为f(x), 则______________A.5.0)0()0(=≥=≤X P X PB.),(),()(+∞-∞∈-=x x f x fC.5.0)1()1(=≥=≤X P X PD. ),(),(1)(+∞-∞∈--=x x F x F3.事件A ，B 为两个任意事件，则（ ）成立．ａ． （AUB ）－B=A ， ｂ． （AUB ）－B ⊂A ，ｃ． (A-B)UB=A ， ｄ． (A-B)UB ⊂A ．4．对于任意二事件,A B ，同时出现的概率()0P AB =，则（ ）a.,A B 不相容（相斥）b.AB 是不可能事件c.AB 未必是不可能事件d.()0,()0P A P B ==或5．每次试验的成功率为)10(<<p p ，则在3次重复试验中至少失败一次概率为（ ）．a. 2)1(p -b.21p -c.)1(3p -d.以上都不对6.已知事件A ，B 满足)()(B A P AB P =，且4.0)(=A P ，则=)(B P （ ）．a.0.4，b.0.5，c.0.6，d.0.77.设随机变量X 的概率密度为||)(x cex f -=，则c ＝（ ）． a.－21 b.0 c.21 d.18．（ ）不是某个随机变量的概率密度函数．ａ．⎩⎨⎧≤>=-0x00 x 2)(2x e x f ， ｂ．⎩⎨⎧<<=其它0101)(x x f ｃ．⎩⎨⎧<<=其它 01x 0x )(x f ，ｄ．⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它020sin )(πx x x f 9．设随机变量ξ，η有：E ξη=E ξE η，则（ ）．ａ． D （ξη）=D ξD η， ｂ． D （ξ+η）=D ξ+D η，ｃ． ξ与η独立， ｄ． ξ与η不独立．10． 设二维随机变量(,)X Y 服从G 上的均匀分布，G 的区域由曲线2x y =与x y =所围，则(,)X Y 的联合概率密度函数为（ ）. a.⎩⎨⎧∈=他其,0),(,6),(G y x y x f ； b.⎩⎨⎧∈=他其,0),(,6/1),(G y x y x f ； c.⎩⎨⎧∈=他其,0),(,2),(G y x y x f ； d.⎩⎨⎧∈=他其,0),(,2/1),(G y x y x f11．对于任意两个随机变量,X Y ，若()E XY EX EY =⋅，则（ ）a.()D XY DX DY =⋅b.()D X Y DX DY +=+c.,X Y 独立d.,X Y 不独立12．设随机变量,X Y 相互独立，)1,0(~N X ,)1,1(~N Y ，则（ ）.a.2/1)0(=≤+Y X P ；b.2/1)1(=≤+Y X P ；c.2/1)0(=≤-Y X P ；d.2/1)1(=≤-Y X P .13.设ξ的分布列为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-949231201，则P(ξ<2|ξ≠0)= . a. 31 b. 73 c. 95 d. 1 14.设二维随机变量(,)X Y 服从G ：122≤+y x 上的均匀分布，则(,)X Y 的联合概率密度函数为 .a. ⎩⎨⎧∈=他其,0),(,),(G y x y x f πb. ⎩⎨⎧∈=他其,0),(,/1),(G y x y x f π c.⎩⎨⎧∈=他其,0),(,2),(G y x y x f d. ⎩⎨⎧∈=他其,0),(,2/1),(G y x y x f 15．设10个电子管的寿命i X (10~1=i )独立同分布，且A X D i =)((10~1=i )，则10个电子管的平均寿命Y 的方差=)(Y D （ ）.（ａ）A ； （ｂ）A 1.0； （ｃ）A 2.0； （ｄ）A 10.16．设随机变量()2~,N ξμσ，则当σ增大时，概率{}P ξμσ-<=（ ）.． a ．保持不变 b ．单调减少 c ．单调增加 d ． 增减不定17．设X, Y 是相互独立的两个随机变量, 其分布函数分别为)(),(y F x F Y X ,则Z = min(X, Y)的分布函数是（ ）．a ．)(z F Z = )(z F Xb ．)(z F Z = )(z F Yc ．)(z F Z = min{)(),(z F z F Y X }d ．)(z F Z = 1－[1－)(z F X ][1－)(z F Y ]21．设随机变量X 和Y 独立同分布, 记U = X －Y, V = X + Y, 则U 和V 必然( ).a ．不独立b ． 独立c ．相关系数不为零d ．相关系数为零．22．设X 与Y 的相关系数0=ρ，则（ ）．a ．X 与Y 相互独立b ．X 与Y 不一定相关c ．X 与Y 必不相关d ．X 与Y 必相关23．在假设检验中，0H 为原假设，则所谓犯第二类错误指的是（ ）．ａ．0H 为真时，接受0H ｂ．0H 不真时，接受0Hｃ．0H 不真时，拒绝0H ｄ．0H 为真时，拒绝0H24.设n X X X ......,21是总体X~N(0,1)的样本, X ,S 分别为样本均值和样本标准差,则有________ A.X n ~ N(0,1) B. X ~N(0,1) C.)(~212n Xn i i χ∑= D.)1(~-n t S X四、计算题1.一袋中有4白，2红球，从袋取球两次，每次一只，（1）放回（2）不放回，就这两种情况求：1）取到两只都是白球的概率2）取到两只中至少有一白球的概率2.变量x 在[]π,0上服从均匀分布，求：x Y sin =的概率密度3.变量X ～()λe ，求;E ()x ,()x D4. 变量()k X 2~χ,求: ()()x D x E , 5.变量()y x ,的联合概率密度为()()⎩⎨⎧>>=+-其它，,00y 0,2,2x e y x f y x 6.变量()1,0~N X 求：函数Y=X 2的概率密度7.从总体X 中抽取样本x 1，x 2，x 3证明：1）三个统计量6323211x x x ++=μ ，4423212x x x ++=μ ，3333213x x x ++=μ 都是总体均值的无偏估计量2）问哪个估计量更有效8. 变量()y x ,在R ：x y x ≤≤≤≤0,10上服从均匀分布求：1）()()()()y D x D y E x E ,,,2）()y x Cov , ()y x R ,9.总体(),~λP X ()未知参数0>λ取样本值x 1x 2........x n 求：λ的最大似然估计值10．在所有两位数10-99中任取一数，求这数能被2或3整除的概率11.变量()y x ,的联合概率密度为()()23,0,0,0,x y Ae x y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩其它 求：1）联合分布函数？2）在R ：0,0,236x y x y >>+<内概率12.变量()2~2χX 其概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,212x x e f x x x 求: ()()x D x E ,13、设随机变量ξ的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤=.,0,21,2,10,)(其它x x x x x f 试求ξ的分布函数，数学期望E ξ和方差D ξ． 14、设随机变量ξ的概率密度函数为+∞<<∞-=-x Ae x f x ,)(.求:(1)常数A ，(2) ξ的分布函数，(3) ξ落在区间]1,1[-内的概率15、若随机变量ξ服从拉普拉斯分布，其密度函数为,,21)(||∞<<∞-=--x e x p x λμλ0>λ．试求ξE ，ξD ．16、设二维随机变数),(ηξ有密度函数)25)(16(),(222y x A y x p ++=π， 求常数A 及),(ηξ的分布函数。
第一次作业(随机试验；样本空间、随机事件；频率与概率)1、设()P A a =，()P B b =，()P A B c = ，则()P A B =2、设A 、B 两事件满足()()P AB P A B =，()P A p =，则()P B =3、事件A 为“甲种产品畅销而已种产品滞销”则A =4、写出下列随机试验的样本空间（1）记录一个人数为n 的教学班一次数学考试的平均分数(百分制); （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子之和; （3）一只口袋中装有许多红，白，蓝三种乒乓球，在其中任取4只，观察它们具有哪几种颜色;5、设A 和B 为两个随机事件， A 、B 至少有一个发生的概率为13，A 发生且B 不发生的概率为19，则()P B ＝___________6、设A 、B 、C 是三个事件，则与A 互斥的事件是 ( ) （1）AB A B （2） ()A B B （3） ABC （4） A B C7、当事件A 和B 同时发生时，事件C 必发生，则下列结论正确的是（ ）（1）()()P C P AB = （2） ()()P C P A B = （3）()()()1P C P A P B ≥+- （4）()()()1P C P A P B ≤+- 8、设A 、B 表示两事件，则A B -= ( )（1） AB （2） A B （3）AB （4）A B9、设A 、B 是任意两个概率不为零的不相容事件，则结论肯定正确的是 （ ）（1）A 与B 不相容 （2） A 与B 相容 （3）()()()P AB P A P B = （4） ()()P A B P A -=10、在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的。
在使用过程中，只要有两个温控器的显示温度不低于临界温度0t ，电炉就断电。
以事件E 表示“电炉断电”，而)4()3()2()1(T T T T ≤≤≤为4个温控器显示的按递增序列排列的温度值，则事件E 等于（ ）。
《概率论》练习题一.单项选择题I.A. B 为两事件，则A<J B=（）C. P(A-B} = P(A)-P(B)D. PG4c 歹)= P(A) -PG4B)3•事件A 、B 互不相容，则（〉A. P(AkjB) = l B ・ P(Ac 歹)=1 C. P(AB) = P(A)P(B) D ・ P(A) = l-P(AB)4・设A 为随机事件，则下列命题中错误的是（A ・A 与A 互为对立事件吗B. A 卜了4互不相容C ・A^A = C15•任意抛一个均匀的骰子两次，则这两次出现的点数Z 和为8的概率为（3 4 5 2 A. —6. —C. —D.— 363636366•已知 A 、B 、C 两两独立，P(A) = P(B) = P(C) = -, P(ABC) = -,则 P (ABC )等于() 2 5A. —6. —C. —D.—40201047•事件A. B 互为对立事件等价于（） （1） A 、6互不相容 （2） A 、B 相互独立（3） A^B = C1（4〉A 、B 构成对样本空间的一个剖分、B 为两个事件，则P （A-B ）=（）B. P(A)-P(AB) C ・ P(A)-P(万) D ・ P(B-A)9・人、A" A3为三个事件，则（）A. 若相互独立，则£“2“3两两独立:B. 若AM.Ma 两两独立，则£“2,3相互独立:C. 若 P(A,A,A,) = P(A,)P(A,)P(A,).则 AM3M3相互独立:D.若A 与每独立，每与人3独立，则A 与独立C. AB D- A n B2•对任意的事件A 、B,有（）A. P(AB) = 0 ■ 则AB 不可能事件 B ・P （A^B} = \.则AuB 为必然事件 A. P(A)-P(B)10.设 A 与8 相互独立，P(A) = 0・2, P(B) = QA.则 P(4 B)=(ir 同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好三枚均为正而朝上的概率为(BO25 C.设A 、B 为任意两个事件，则有(A.(AUB) -B=AB.(A-B)UB=A C ・(AUB)・B U A D ・(A ・B)UB U A13.设比B 为两个互不相容事件，则下列各式错误的是()14. 设事件 A. B 相互独立，且 P (A) =一，P (B) >0,则 P( A|B)=(3A. —B. -C. —D.-155 15315. 设事件A 与B 互不柑容，且P{A}>0. P(B)>0・则有( )A. P(殛冃B ・ P(A)=1-P(8) C. P{AB)=P[A]P{B} D. PSU8)=116.设爪B 相互独立，且P{A)>0, P{B)>0.则下列等式成立的是( A. P{AB}=0 B. P[A-B)=P(A}P{B}C ・ PS)+P(B)=1 D. P(>4|8)=0则恰好有两枚正面朝上的概率为( )D.A 表示事件“第/次射•击命中目标S /=!. 2,B 表示事件“仅第一次A. AiAiB.C-19.某人每次射击命中目标的概率为p(0<p<l),他向目标连续射击，则第一次未中第二次命中的概率 为( ) A- p2 B. (l ・p)2 C ・ l-2p D ・ p{l-p)20-已知 P{A)=. P(B)r 且则 P{A\B)=()A ・ 0B ・ 0-4 C. D ・ 1 21. 一批产品中有5%不合格品，而合格品中一等品占60%,从这批产品中任取一件，则该件产品是 一等品的概率为()A. B ・ 0.30 C-A.B. 04 C- D.A. P (AB) =0C ・ p (AB) =P (A) P(B)B. P(AUB) =P (A) +P(B) D. p(B ・A) =P (B)17・同时抛掷3枚均匀的硬币, A.B. 0.25C.18.某射手向一目标射击两次, 射击命中目标X 则5=() D.22・X 的密度为/(%) = - 2x,x e [0, A]C・1A. - B・一4 223.离散型随机变量X的分布列为D・2实分布函数为F(x),则F(3)=()A. 一B ・一5 425.离散型随机变SX 的分布列为尖分布函数为F(x),则F(l)=()26.设随机变量X 服从参数为3的指数分布，其分布函数记为F(E 则9= <D 亠尹2&设随机变量X 与y 独立同分布，它们取・1・1两个值的概率分别为丄，冬则P{xr = -!}=( 4 4A ・T629-设三维随机变量(X.Y)的分布函数为F(x»X. 0<x <1:设随机变Sx 的槪率密度为f{x)=<2-x. l<x<2：则P{<X<}的值是( 0. 英它. 0.5 B. 0.6C. 0.66 D ・ 0.7某人射击三次，其命中率为，则三次中至多击中一次的概率为( )B. 0.081设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为A. 0 B ・ 03C ・ 0.8D ・124.随机变SX 的密度函数/(X)= ・ex豐则林=(>C. 4D. 5A. 0.4B ・ 0.2 C. 0.6 D. 127.设随机变量X 的概率密度为f(X)h嘗。
九年级数学概率论50道练习题
1. 事件A发生的概率是0.4，事件B发生的概率是0.6，求事
件A和事件B同时发生的概率。
2. 一枚硬币抛掷一次，求抛掷结果是正面的概率。
3. 从52张扑克牌中随机抽取2张，求抽取的两张牌都是红心
的概率。
4. 一枚骰子投掷一次，求投掷结果是奇数的概率。
5. 从20个学生中随机抽取两个，求抽取的两个学生都是男生
的概率。
6. 一副扑克牌中，红桃、方块、梅花和黑桃的数量各为13张，从中随机抽取一张牌，求抽取的牌是黑桃的概率。
7. 一袋中有5个白球和3个红球，从中不放回地连续抽取两次，求第一次抽取白球且第二次抽取红球的概率。
8. 从1到10中随机选择一个数字，求选择的数字是偶数的概率。
9. 在一场考试中，学生A和学生B的及格率分别为0.7和0.6，求至少有一名学生及格的概率。
10. 一袋中有4个红球和6个蓝球，从中有放回地抽取3次，
求抽取的三个球都是红球的概率。
11. 一组有5个男生和3个女生的学生中，随机选择两个学生，求选择的两个学生都是男生的概率。
12. 一枚硬币抛掷三次，求至少两次结果为正面的概率。
13. 从10个不同数字中随机选择两个数字，求选择的两个数字
相乘是偶数的概率。
14. 一副扑克牌中，黑桃和红桃的数量各为13张，从中连续抽
取两张牌，求第一张牌是黑桃且第二张牌是红桃的概率。
15. 在一组有5个男生和3个女生的学生中，随机选择两个学生，求选择的两个学生中至少有一名是女生的概率。
（此处省略34道练习题）。
概率论期末测验复习方案概率论练习题一. 是非题:(正确填√,错误填×)1.多次反复试验下,终究会发生的事件是必然事件.( )2.掷一枚骰子，只考虑出现奇数点还是偶数点，则样本空间的元素只有两个。
（ ）3.设A=数学书，B=外文书，C=书皮是红色的，则C AB =不是红皮书的外文数学书。
（ ）4.事件A 与B 互不相容，则A 与B 是对立事件。
（ ）5.若B A ⊃，则一定有)()(B P AB P =。
（ ）6.古典概型中，基本事件的等可能性是一个必不可少的条件。
（ ）7.若A 与B 独立，B 与C 独立，则A 与C 独立。
( ) 二．选择题（只有一个结果正确，将字母填入括号中）1.一付扑克牌52张（无王），从中任取3张，事件{恰有两张花色相同}的概率为：（ ）A ：352213C CB ： 352213213213213C C C C C C ：352213213213213C C C C C +++D ：3521392134C C C 2.设A ，B 为二随机事件，把下面四个概率用等号或不等号连接，则有（ ）必成立。
A ：)()()()()(B P A P AB P B A P A P +≤≤⋃≤ B ：)()()()()(B P A P B A P AB P A P +≤⋃≤≤C ：)()()()()(B P A P B A P A P AB P +≤⋃≤≤D ：)()()()(B A P B P A P AB P ⋃≤+≤ 3．如果A ,B 为任意事件，下列命题正确的是 ( )。
A ：若A ,B 互不相容，则A B ,也互不相容 B ：若A ,B 相互独立，则A B ,也相互独立C ：若A,B 相容，则A B ,也相容D ： AB A B =⋅ 4. 某人独射击时中靶率为43，若射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率是( ) A:343⎪⎭⎫ ⎝⎛ B: 41432⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛ C: 43412⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛ D: 341⎪⎭⎫⎝⎛5. 设随机变量X 的密度为21)(xCx f +=，则=C ( ) A:π2 B:π21 C:π2 D:π16. 设()Y X ,的密度为⎩⎨⎧>>=+-其它0,0),()43(y x ke y x f y x ，则=k ( )A: 6 B:12 C: 7 D: 257.设)1,3(~..-N X V R ，)1,2(~..N Y V R ，且X 和Y 相互独立，令72+-=Y X Z ，则~Z （ ）分布。
A:)5,0(N B:)3,0(N C:)46,0(N D:)54,0(N8. 设X V R ..的期望()10=X E ，方差()4=X D ，利用切贝谢夫不等式，估计：{}≤≥-310X P （ ） A:94 B:95 C:1 D:41三． 填空题：1．随机试验E 的____________称为E 的随机事件，其________________称为E 的样本空间。
2．抛一硬币两次，观察正反面，样本空间为_______________________。
3．加法公式()P A B =________________,若,0)(>A P 乘法公式=)(AB P ____________。
4．设A ，B 互不相容，则()P AB =___________。
5．设A ，B 互相独立，则=)(AB P ____________。
6．n A A A ,...,,21两两互不相容，是指:_________________。
7．若n A A A ,...,,21相互独立，则12(...)n P A A A =_________________________。
8．贝叶斯公式是(|)P B A =_________________。
9.离散型随机变量X 的分布律是{}0,1,,aP X i i N N===，则_______=a 。
10.连续型随机变量X 的概率密度是⎩⎨⎧<<=其它0)(b x a Cx f ，则_______=C 。
11.连续型随机变量X 的概率密度是⎩⎨⎧≤≥=-00)(3x x e x f x λ，则_______=λ。
12.若),(~2σμN X ，则X 的概率密度是___________________。
13.)9,1(~N X ，则{}=≤-31X P ______,{}=≤-61X P ______,{}=≤-91X P _____。
14．若)1,0(~N X ，当05.0=α时，上α分位点=αZ ________。
15．..RVX 是定义在__________________________。
16．设X 的期望为()X E ，方差为()X D ，()()X D X E X Y -=，则()=Y E _______,()=Y D __________。
17．设()()1,4==Y D X D ，31=XY ρ，则()=-Y X D 3___。
四．计算题：1．随机的抛两枚硬币，求事件A={两面均不相同}的概率。
2．三个学生证混放在一起，现将其随意发给这三名学生，试求事件A={没有一名学生拿到自己的学生证}的概率。
3.一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不放回,求第二次抽取的是次品的概率。
4．已知6.0)()(==B P A P ，5.0)|(=B A P ，求：)(B A P ⋃5．假设患肺癌的人中吸烟的占90%，不患肺癌的人中吸烟的占30%。
若患肺癌率为0.5%，求在吸烟人中患肺癌的概率。
6．对目标进行2次射击，每次击中目标的概率都是6.0，设X 是击中目标的次数，求X 的分布律。
7.铆钉100个装一盒,次品率为0.05,求盒中废品个数不超过5个的概率。
8.一个花店出售红玫瑰花。
按历史记录分析，日销售量X （朵）服从泊松分布(6)π。
问在每日进货时至少要进多少朵红玫瑰花，才能以0.999的概率满足顾客的需要。
9.某公共汽车站每隔5分钟发车一辆，乘客在此时间间隔内任一时刻到达汽车站是等可能的，求乘客候车时间X 不超过3分钟的概率。
10.设X 服从参数为6.0的0-1分布，求它的分布函数()X F X11．设随机变量X 的分布函数()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<≤<=--121110 210 211x ex x e x F x x，求X 的概率密度。
12.设某工厂生产的灯泡寿命为X （小时），知),160(~2σN X ，若要求{}80.0200120≥≤≤X P ，问允许σ最大为多少？13试求：（1）12+-=X Y （2）X Y =的分布律。
14．设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其它102)(x x x f X ，求13+=X Y 的概率密度)(y f Y 。
15．设()Y X ,在单位园上服从二维均匀分布。
（1）求()(),PX Y G ∈，()(,|0G x y y =≤≤（2）求()Y X ,关于X 的边缘概率密度函数)(x f X 16.设(X,Y)的联合分布律是如下，且X,Y 相互独立,（1） 求()Y X ,关于X 及Y 的边缘分布律。
（2） （2）求α,β的值 17.一台试验仪器由5个不太可靠的元件组成，已知元件故障互相独立。
第k 个元件产生故障的概率为p k k k =+-=020*******..(),,,,,。
求仪器中产生故障的元件个数的均值与方差。
18. 设()Y X ,的概率密度是⎩⎨⎧<<<<=其他01,102),(y x x y x f (1)求：()()y f x f Y X 及. (2)求：()()Y E X E 及 (3)求：()Y X Cov ,，XY ρ19．将1硬币连掷100次，试用中心极限定理求正面出现次数在35次至60次之间的概率。
20．已知男子身高)8,170(~2N X 问公共汽车门应多高，才能使男子碰头的概率小于0.05 21.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，在()1,0上服从均匀分布。
求： （1）),(Y X 的联合概率密度),(y x f （2）Y X Z +=的概率密度函数)(z f Z 附录:()8413.01=Φ，()8997.028.1=Φ，()9015.029.1=Φ，()9495.064.1=Φ,()9505.065.1=Φ,()9772.02=Φ，()9893.030.2=Φ，()9896.031.2=Φ， ()9898.032.2=Φ，()9901.033.2=Φ，()9987.03=Φ734974.0!554=-∞=∑e k k k ，559507.0!555=-∞=∑e k k k ，384039.0!556=-∞=∑e k k k ，99752.0!661=-∞=∑e k k k ，98265.0!662=-∞=∑e k k k ，00140.0!6615=-∞=∑e k k k ，00051.0!6616=-∞=∑e k k k概率论练习题答案一．1. (×) 2.（√）3.（√）4.（×）5.（√）6.（√）7. (×)二．1．（ D ） 2. （ C ） 3.（ B ）4. ( C ) 5. ( D )6. ( B )7.（A ）8.（ A ） 三．1．每1可能结果 基本事件的集合S 2． {},,,S HH HT TH TT = 3． ()()()()P A B P A P B P AB =+-， ()()(|)P AB P A P B A =4． ()()()P A B P A P B =+ 5． ()()()P AB P A P B = 6．,,,1,2,......,i j A A i j i j n =Φ≠=7． ()121(...)nn i i P A A A P A ==∏ 8．()()(|)(|)()()(|)()(|)P AB P B P A B P B A P A P B P A B P B P A B ==+ 9. 1N a N =+ 10. 1C b a=- 11. 3λ=12.()222()x f x μσ--=13.{}130.683P X -≤={}160.954P X -≤=, {}190.997P X -≤= 14．0.05 1.645Z = 15. 实验E 的样本空间S 上的实单值函数。
16．0 ，1 17. 9四．计算题： 1. 解：212212)(=⨯⨯=A P 2．解：311232)(=⨯⨯=A P 3. 解：设A={第一次取到正品}，B={第二次取到正品}，由全概公式：611111221121210)|()()|()()()()(=⨯+⨯=+=⋃==A B P A P A B P A P A B A B P S B P B P 4．解：.9.05.06.06.06.0)|()()()()(=⨯-+=-+=B A P B P B P A P AUB P 5．解：设A={吸烟}，B={患肺癌}，则9.0)|(=B A P ，3.0)|(=B A P ，005.0)(=B P ，015.03.0995.09.0005.09.0005.0)|()()|()()|()()()()|(≈⨯+⨯⨯=+==B A P B P B A P B P B A P B P A P AB P A B P6．解：()~2,0.6,X B ()220.60.4,0,1,2k k kP X k C k -=== 7.解：设X 是盒中的废品个数,则()~100,0.05,X B 因100n =较大,0.05p =较小,5np λ==适中，用泊松分布(查表)做近似计算：565(5)110.3840390.615961!k k P X e k +∞-=≤≈-=-=∑8．解：因()~6X π，设每日进n 朵红玫瑰花可满足需要，即()0.999P X n ≤>，或()10.999P X n ->>,()0.001P X n ><,由于(查表)00051.0!6616=-∞=∑e k k k ,得15n = 9.解：X 的概率密度为105()50x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，则()3300303()|55x P X f x dx ≤≤===⎰10.解：()⎪⎩⎪⎨⎧+∞<≤<≤<=x x x x F X 11104.00011．解：()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<==--1 211000 21)('1x e x x e x F x f x x12.解：因),160(~2σN X ，标准化：120160160200160404040210.80X P σσσσσσ----⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤≤=Φ-Φ=Φ-≥⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，或400.90σ⎛⎫Φ≥ ⎪⎝⎭，查表40 1.29σ>，得31.007751σ< 1314．解：用分布函数法，先求()()()113133Y X y y F y P Y y P X y P X F --⎛⎫⎛⎫=≤=+≤=≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()()1231114914y Y X y y F y f t dt y y --∞-∞<<-⎧⎪-⎪==≤≤⎨⎪<<+∞⎪⎩⎰，由此()()2(1)1490Y Y y y f y F y -⎧<<⎪'==⎨⎪⎩其他 15．解：（1）由已知222211(,)01x y f x y x y π⎧+≤⎪=⎨⎪+>⎩，()()1,(,)2G P X Y G f x y dxdy ∈==⎰⎰（2）1x ≤当时，()(,)X f x f x y dy +∞-∞==⎰=， 1x >当时，()00X f x dy +∞-∞==⎰，1()01X x f x x ≤∴=⎪>⎩16. 解：(详见下页表中的计算)（1）先由分布律的性质（将表中第2列除1外的数相加得第5行第1列，再用1减它得第5行第3列）可求得Y 的分布律；再由X 及Y 的独立性（将表中第2列的第2、3、4行分别除第5行得第4列）可求得X 的分布律；（2）由边缘分布律及独立性得122339α=⨯=，121639β=⨯= 17．解：设产生故障的元件个数为X ，,5,4,3,2,1,0=X 5,4,3,2,1,1)(10=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=k p pi X P X k k k k),1()(,)(k k k k k p p X D p X E -==又∑==51k k X X ，相互独立54321,,,,X X X X X（1）()26.05.04.03.02.051=++++==∑=i kpX E（2）()=-=∑=)1(51k i kp pX D16.14.06.05.05.06.04.07.03.08.02.0=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=18. 解：(1) ()⎩⎨⎧<<-=其它10)1(2x x x f X ，()⎩⎨⎧<<=其它102y yy f Y (2)()()()311210=-==⎰⎰∞+∞-dx x x dx x xf X E X ，()()32210===⎰⎰+∞∞-ydy y dy y yf Y E Y (3)()()()()361,=-=Y E X E XY E Y X Cov ,()()()611210222=-==⎰⎰+∞∞-dx x x dx x f x X E X ,181)()()(22=-=X E X E X D ,181)()()(22=-=Y E Y E Y D ,()()()21,==Y D X D Y X Cov XY ρ19．解：设X 是100次中出现正面的次数，则)21,100(~B X ，由中心极限定理，))5.05.0100(,5.0100(~2⨯⨯⨯N X 近似，标准化并再查附表知其等于()=≤≤6035X P=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯-≤⨯⨯⨯-≤⨯⨯⨯-5.05.010050.0100605.05.01005.01005.05.01005.010035X P ()9795.0)]3(1[2=Φ--Φ。
