点估计和估计量的求法演示文稿

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧—Ch3 — 假设检验 —Ch2 —区间估计点估计 参数估计 统计推断第二章 参数估计本章问题：母体X 的分布形式已知，但其中含有未知参数，如何借助子样估计未知参数？§1 点估计和估计量的求法1.1 何谓参数估计（1）体分布中的未知参数.（2）参数估计(paramete restimation )：借助子样值对母体参数做出估计.①若用子样的一个函数),,,(21n x x x ∧∧=θθ去估计某个未知参数的值，则称∧θ是这个估计(point estimation )（一种定值估计）.②若用子样的两个函数)2,1(),,,,(21==∧∧i x x x n i i θθ去估计某个未知参数所在的区间，则称),(21∧∧θθ是这个参数的区间估计(interval estimation )（设∧∧<21θθ）.（3）参数的点估计：一般，设母体X 的分布函数),,,;(21k x F θθθ 的形式已知，但k θθθ,,,21 是k 个未知参数，),,,(21n X X X 是来自母体X 的子样。

构造适当的统计量),,,(21n i X X X g 分别去估计i θ. 称),,,(21n i X X X g 为),,2,1( k i i =θ的估计量(estimator )，记为),,2,1(),,,,(21k i X X X g n i i ==∧θ.当子样有观测值n x x x ,,,21 时，估计量),,,(21n i X X X g 有观测值 ),,,(21n i x x x g ，称为i θ的一个估计值(estimate )，记为),,,(21n i i x x x g =∧θ.估计量是随机变量，估计值是常数，有时统称为i θ的估计(estimatio n ).依照构造统计量的方法的不同，点估计又分为矩法、极大似然估计法等.1.2 矩法（1）矩估计的方法(method of moment)： ①求母体的l 阶矩⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∑⎰∞=+∞∞-x p x dx x f x X E k i i li k l l l 对离散型母对连续型母 ),,,,;( ,),,,;()(21121θθθθθθμ 可知l μ的表达式中含有未知参数k θθθ,,,21 .②求子样的l 阶矩∑==n i l i l X n A 11 当子样n X X X ,,,21 有观测值),,,(21n x x x 时，l A 有相应的观测值∑=n i l i x n 11，是已知的.③令l l A =μ（用已知的l A 去估计含有未知参数的l μ），即令 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===k k A A A μμμ 2211 这是一个含有k 个未知参数、k 个方程的方程组, 解之，则可得出所求的k 个未知参数的矩估计量∧∧∧k θθθ,,,21 . 例2.1.1 ),0(~θU X ，0>θ，未知，求θ的矩估计.解：母体有1个未知参数θ.①母体的1阶矩：2)(1θμ==X E②子样的1阶矩：∑===ni i X X n A 111③令11A =μ ：即X =2θ，解得__2X θ∧=. 例2.1.2 设母体X 有分布密度⎩⎨⎧<<+=其它010)1()(x x x f θθ ，0>θ，未知，求θ的矩估计.解：母体有1个未知参数θ.①母体的1阶矩：21)1()1()()(101101++=+=+===⎰⎰⎰++∞∞-θθθθμθθdx x dx x x dx x xf X E .②子样的1阶矩：∑===ni i X X n A 111.③令11A =μ ： 即X =++21θθ ，解得 121--=∧X X θ. 例2.1.3 设母体X 有：2)(,)(σμ==X D X E ，但2,σμ未知，分别求2,σμ的矩估计.解： 母体有2个未知参数2,σμ.①母体的1、2阶矩： μμ==)(1X E ，22222)()()(μσμ+=+==X E X D X E .②子样的1、2阶矩：∑===ni i X X n A 111，∑==n i i X n A 1221. ③令⎩⎨⎧==2211 A A μμ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+=∑=n i i X n X 12221μσμ，解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==∑=∧∧221221 S X X n X n i i σμ注：结果表明，母体均值与方差的矩估计量的表达式不受母体分布的影响，分别是子样均值、子样方差.特别，当母体),(~2σμN X ，2,σμ未知时有：22 S X ==∧∧σμ，；又当母体),(~p N B X ，p N ,未知时令： )1()()(2⎪⎩⎪⎨⎧=-===S p Np X D X Np X E ，于是有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=∧∧2221S X X N X S p . 例2.1.4 设母体X 有分布密度0 ,0 0,)()(1⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=--x x e x x f x βαααβ，0,0>>βα，未知，这时称X 服从参数为βα,的Γ分布，求βα,的矩估计.解：母体有2个未知参数βα,，由上题结论①母体均值与母体方差： βααααβααβαβαβαββαα=Γ⋅Γ⋅=+Γ⋅Γ⋅=Γ⋅=Γ==⎰⎰⎰∞+--+=+∞-+∞∞-)()(11)1()(11)(11)()()( 01)1(0dy e y dx e x dx x xf X E y y x x 令类似可得：2)(βα=X D②子样均值与子样方差：2,S X③ 令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====22)()( S X D X X E βαβα ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∧∧222S X S X βα. （2）矩估计的理论依据：设n X X X ,,,21 为母体X 的一个子样，则n X X X ,,,21 相互独立且均与母体X 有相同分布，从而l n l l X X X ,,,21 相互独立且均与l X 有相同分布，由辛钦大数定律知： )(,)(11∞→=−→−=∑=n X E X n A l l P n i l i l 当μ即：当n 充分大时，A几l乎必然与μ充分接l近，因此，以A去估l计lμ的矩估计方法是合理的.1.3 最大似然估计法引例：有一大批产品，废品率为)10(<<p p 未知, 现从中任取100件产品，其中有10件废品，试估计未知参数p .分析：设随机试验为从这批产品中任取一件，观察其质量. 令X 为所取得的废品数，则⎩⎨⎧=当取得正品当取得废品，，01X ，分布律为pX P p X P -====1)0(,)1(即母体X 服从参数为p 的0-1分布. 此分布律又可记为xxp p x X P --==1)1()(，)1,0(=x又设10021,,,X X X 为一个子样，10021,,,x x x 为其子样值，这100个数值中的某10个为1，另90个为0。