模态分析理论基础共62页文档

模态分析的基础理论模态分析是一种研究系统中不同模式的分布、生成和演化规律的方法。

在这个理论中，模态是指系统中不同状态或形式的存在形式，例如质量分数、温度、湿度等。

模态分析的基础理论包括概率论、统计学和模态分析技术等。

概率论是模态分析的基础之一、它研究随机事件的发生概率和规律。

在模态分析中，我们可以利用概率论来描述不同模态出现的概率分布，并通过分析系统中的模式，得出不同模态的生成规律。

通过概率论的方法，我们可以预测不同模态的变化趋势，从而指导系统的优化设计和运行管理。

统计学也是模态分析的基础理论之一、统计学研究如何收集、处理、分析和解释数据，通过对大量数据的统计分析，揭示数据背后的规律和趋势。

模态分析中，统计学的方法可以用于分析模态数据的分布情况，寻找模态之间的相关性和影响因素，并建立相应的模型来预测和优化系统的运行情况。

在模态分析技术方面，主要包括聚类分析、主成分分析和模态分析方法等。

聚类分析是一种将相似的对象分组的方法，通过对模态数据进行聚类分析，我们可以将相似的模态归为一类，从而描述系统中的不同模态分布情况。

主成分分析是一种降维技术，它可以将高维的模态数据降低到低维，并保留大部分信息。

这可以帮助我们更好地理解系统模态之间的关系和重要性。

模态分析方法包括有限元模态分析、频响函数法和模态参数识别等。

通过这些方法，我们可以对系统的模态进行分析，包括振型、频率和阻尼等，并找出模态的摄动源和分布规律。

模态分析的基础理论对于理解和优化系统具有重要意义。

通过对模态的分析和研究，我们可以了解系统的特性和不同模态之间的关系，从而指导系统的设计和运行。

同时，模态分析也可以帮助我们发现和解决系统中存在的问题，提高系统的稳定性和可靠性。

因此，深入理解和应用模态分析的基础理论对于各个领域的研究和实践具有重要价值。

从北航马艳红老师的PPT中摘录下来。

模态分析技术从20世纪60年代后期发展至今已趋成熟，它和有限元分析技术一起成为结构动力学的两大支柱。

模态分析作为一种“逆问题”分析方法，是建立在实验基础上的，采用实验与理论相结合的方法来处理工程中的振动问题。

模态分析的经典定义：将线性定常系统振动微分方程组中的物理坐标变换为模态坐标，使方程组解耦，成为一组以模态坐标及模态参数描述的独立方程，以便求出系统的模态参数。

坐标变换的变换矩阵为模态矩阵，其每列为模态振型。

模态分析有什么用处？模态分析所的最终目标在是识别出系统的模态参数，为结构系统的振动特性分析、振动故障诊断和预报以及结构动力特性的优化设计提供依据。

模态分析技术的应用可归结为以下几个方面：1) 评价现有结构系统的动态特性；2) 在新产品设计中进行结构动态特性的预估和优化设计；3) 诊断及预报结构系统的故障；4) 控制结构的辐射噪声；5) 识别结构系统的载荷。

模态参数有：模态频率、模态质量、模态向量、模态刚度和模态阻尼等。

什么是实模态和复模态？按照模态参数（主要指模态频率及模态向量）是实数还是复数，模态可以分为实模态和复模态。

对于无阻尼或比例阻尼振动系统，其各点的振动相位差为零或180度，其模态系数是实数，此时为实模态；对于非比例阻尼（或称为非经典阻尼）振动系统，各点除了振幅不同外相位差也不一定为零或180度，这样模态系数就是复数，即形成复模态。

什么是主模态、主空间、主坐标？无阻尼系统的各阶模态称为主模态，各阶模态向量所张成的空间称为主空间，其相应的模态坐标称为主坐标。

什么是模态截断？理想的情况下我们希望得到一个结构的完整的模态集，实际应用中这即不可能也不必要。

实际上并非所有的模态对响应的贡献都是相同的。

对低频响应来说，高阶模态的影响较小。

对实际结构而言，我们感兴趣的往往是它的前几阶或十几阶模态，更高的模态常常被舍弃。

这样尽管会造成一点误差，但频响函数的矩阵阶数会大大减小，使工作量大为减小。

精心整理模态分析指的是以振动理论为基础、以模态参数为目标的分析方法。

首先建立结构的物理参数模型，即以质量、阻尼、刚度为参数的关于位移的振动微分方程；其次是研究其特征值问题，求得特征对（特征值和特征矢量），进而得到模态参数模型，即系统的模态频率、模态22¨330m 0z k 2k k z 000m 0k k z 0z +--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦（9） 定义主振型由于是无阻尼系统，因此系统守恒，系统存在振动主振型。

主振型意味着各物理坐标振动的相位角不是同相（相差0o ）就是反相位（相差180o ），即同时达到平衡位置和最大位置。

主振型定义如下：()i i j ωt+i i sin ωt+=Im(e )φφi mi mi z =z z （10）其中为第i 阶频率下，各自有度的位移矢量，为第i 个特征矢量，表示第i 阶固有频率下的振型，i ω为第i 阶频率下的第i 个特征值，i φ为（去除项化简得以矩阵的形式展开得：2i 2i mi 2i k-ωm -k 0-k 2k-ωm -k z =00-k k-ωm ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（15）有非零解，则2i 2i 2i k-ωm -k 0-k 2k-ωm -k =00-k k-ωm ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（16）即()234222ω-m ω+4km ω-3k m =0（17）阶固有频率，每一个特征根对应一个特征矢量，表示对应模态下该由式3i i 21=z k 如果设定了1z 值，则就可以求出三个特征根值下，2z 和3z 相对于1z 的位移。

假设m=k=1， 一阶模态，1ω=0：21z =1z ，31z =1z ，即；二阶模态，223kω=m ：21z=0z，31z=-1z，即；三阶模态，23kω=m ：21z=-2z，31z=1z，即。

运动方程的解耦图错误！未指定顺序。

运动方程解耦过程在进行坐标变换之前需对刚度矩阵和质量矩阵进行归一化。

点，有图可知节点并不唯一，而且修改前后节点的位置未变。

对应尽可能避开结构振动的节点，以免给测量带来误差。

４．４试验模态分析试验模态分析的目的是为了验证理论模态分析的正确性的基础上进行深入研究奠定基础。

４．４．１试验模态分析的理论基础阻１所以在进行模态实验为在理论模态分析在物理坐标下，描述Ｎ自由度离散振动系统的运动微分方程为阻】耕＋【ｃ】扛｝＋医】Ｍ＝沙｝（４．２）式中：【Ｍ］——质量矩阵（对称且正定），Ｍ∈Ｒ～，【Ｃ】——阻尼矩阵，Ｃ∈Ｒ“”，晖】——刚度矩阵（对称且正定或半正定），Ｋ∈Ｒ“”，｛ｘ），｛卦，｛封——Ｎ维位移、速度和加速度响应向量，｛厂（ｒ））——＿Ｎ维激振力向量。

设系统的初始状态为零，对式（４．２）两边进行拉普拉斯变换可得（［Ｍｌｓ２“Ｃ］ｓ＋【Ｋ］）｛Ｘ０））＝【Ｚ（ｓ）］｛工０））＝｛Ｆ０））式中的矩阵【Ｚ（ｓ）］－（［Ｍ］ｓ２＋［ｃ］ｓ＋［Ｋ】）反映了系统的动态特性，称为系统动态矩阵或广义阻抗矩阵，其逆阵［日（５）】＝［Ｚ（ｓ）】～＝（【Ｍ］ｓ２＋【Ｃ］ｓ＋［Ｋ］）。

１称为广义导纳矩阵，也就是传递函数矩阵。

由式（２．２）可知｛ｘ（Ｊ））＿【日０）】（Ｆ（Ｊ）｝在上式中．令Ｓ＝ｊｏＪ，即可得到系统在频域内输出和输入的关系式｛并（国）｝＝【日（脚）】（Ｆ（国））（４．３）（４．４）（４．５）（４．６）（４．７）式中［Ｈ（ｃｏ）】为频率响应函数矩阵。

［Ｈ（∞）】矩阵中第ｆ行＿，列的元素％（叻２篇（４８）表示仅在』坐标激振（其余坐标激振力为零）时，ｉ坐标的响应与激振力之比。

在式（４．４）中令Ｓ＝＿，∞，可得阻抗矩阵［ｚ（∞）】＝（［Ｋ］一曲２【吖］）＋ｊｃｏ［Ｃ］（４．９）它和导纳矩阵有类似式（４．５）的关系［日（珊）］＝［ｚ（国）】～＝｛（【置卜。

２［＾卅）＋ｊｃｏ［Ｃ】｝１（４．１０）对于一般机械、结构，假设矩阵［ｃ］也对称，这样矩阵【ｚ（∞）】对称，频率响应函数矩阵［日＠）］也对称，故有ｑ（脚）＝ＨⅣ（０３）（４．１１）上式反映了机械、结构频率响应有互易性，可作为频率响应测试精度的一项重要检验手段。

实验模态分析第三章：实验模态分析的基本理论振动系统的特性可以用模态来描述:固有频率、固有振型(主振型)、模态质量、模态刚度和模态阻尼等。

建立用模态参数表示的振动系统的运动方程并确定其模态参数的过程使称为模态分析。

—种理解可以认为，振动系统的物理模型、物理参数和以物理参数表示的运动方程都是已知的，引入模态参数、建立模态方程的目的是为了简化计算，解除方程耦合，缩减自由度。

另一种理解可以认为，通过对实际结构的振动测试，识别振动系统的模态参数，从而建立起系统的以模态参数表示的运动方程，供各种工程计算应用。

试验模态分析指的是后一种过程,即通过振动测试(称模态试验),识别模态参数,建立以模态参数表示的运动方程这样一个过程。

1 多自由度系统振动基础回顾&&&++=M x C x K x f t []{}[]{}[]{}{()} 2实模态理论一个n 自由度线性定常振动系统，其运动方程可以如下表示:现对两端作付氏变换得:[]{}[]{}[]{}{()}M x C xK x f t ++=&&&2([][][]){()}{()}M j C K X F ωωωω−++=式中和分别是x(t)和F(t)的付氏变换,并有()X ω()F ω()()j t X x t e dt ωω+∞−−∞=∫()()j t F f t e dtωω+∞−−∞=∫(){()}{()}Z X F ωωω=111212122212()()()()()()()()()()n n n n nn Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z ωωωωωωωωωω⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L L L L 1()[()]{()}{()}{()}X Z F H F ωωωωω−==2[][][]K M j C ωω=−+阻抗矩阵中各元素值无法在实际振动测试中获得，因为人们不可能在实际结构上固定其它坐标，令其不动，仪留下J坐标，待其作出响应；也不可能仅使某个坐标运动，在其余坐标上测量力。