第7讲点差法公式在椭圆中点弦问题中地妙用

第7讲 点差法1. 点差法适用范围 （1）中点弦（2）圆锥曲线有三点P 、A 、B 且A 、B 关于原点对称 2.点差法在中点弦中推导过程1122002211222222222222121222222122221221212212120AB0x x x y 1a b x y 1a b x x y y (2)0a b y y b x x a(y y )(y y )b (x x )(x x )a 2y k k 2x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩---=-⇔=---+⇔=--+⇔=设直线与圆锥曲线交于A 、B 两点，且A （x ,y )、B （,y )AB 的中点为M （,y )以焦点在x 轴的椭圆为例分析推导过程（1）代点：作差：222200AB AB AB 0M 2200y y 0b c a k k k e 1x x 0a a--===-=-=--3点差法在对称中的推导过程1122000M PBpA OB pA PB222pA OB pA PB222222pA OB pA PB222x x O M AB PA k k k k k k b e 1x a k k k k a1-y b e 1b e 1x a k k k k a 1y b e 1∴==⎧-=-⇔⎪⎪∴==⎨⎪=⇔⎪-⎩⎧=-⇔⎪⎪==⎨⎪=⇔⎪-⎩设A （x ,y )、B （,y )PA 的中点为M （,y )、分别是、的中点根据中点弦的推导可得焦点在轴椭圆：焦点在轴焦点在轴双曲线：焦点在轴4.点差法在圆锥曲线中的结论2220ABAB 0M 222222ABAB 0M 222AB 0AB 0AB 0AB b e 1x a y k k k x a1-y b e 1b e 1x a y k k k x a1y be 1pk y pk y x k px k p⎧-=-⇔⎪⎪==⎨⎪=⇔⎪-⎩⎧=-⇔⎪⎪==⎨⎪=⇔⎪-⎩⎧=⇔⎪⎪⎪=-⇔⎪⎪⎨⎪=⇔⎪⎪⎪=-⇔⎪⎩焦点在轴椭圆：焦点在轴焦点在轴双曲线：焦点在轴开口向右开口向左抛物线：开口向上开口向下总结：小题可以直接利用结论解题，解答题需要写推导过程技巧1 点差法在椭圆在的应用【例1】（1）（2020·全国高三专题练习）直线1y kx =+与椭圆2214xy +=相交于,A B 两点，若AB 中点的横坐标为1，则k =（ ） A ．2-B ．1-C ．12-D ．1(2)2．（2020·高密市教育科学研究院高三其他模拟）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ,B 两点.若AB 的中点坐标为（1，-1），则G 的方程为（ ）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=（3）．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三三模（文））已知斜率为1k ()10k ≠的直线l 与椭圆2214y x +=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为C ，直线OC （O 为坐标原点）的斜率为2k ，则12k k ⋅=（ ）A ．14-B ．4-C ．12-D ．2-（4）．（2020·全国高三专题练习）已知椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>与直线40x y -+=交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点所在的直线的斜率为13-，则椭圆的离心率为（ ） A．3BCD【答案】（1）C （2）D （3）B （4）B【解析】（1）设()()1122,,,A x y B x y 把1y kx =+代入2214x y +=得()221480k x kx ++=，122814k x x k +=-+，因为AB 中点的横坐标为1，所以24114k k -=+，解得12k =-.故选:C （2）设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减并化简得2121221212y y y y b a x x x x +--=⋅+-， 即()22222201111213122b b a b a a ----=⨯=-⇒=⇒=-,由于222a b c =+且3c =，由此可解得2218,9a b ==，故椭圆E 的方程为221189x y +=.故选：D.（3）设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点()00,C x y ， 则1202x x x +=，1202y y y +=.因为A ，B 两点在椭圆上，所以221114y x +=，222214y x +=. 两式相减得：()22222112104x y x y -+=-， ()()()()11112222104x x y y x x y y +-+-+=，()()0122011202x y x y y x --+=，()()2102011202y y y x x x --+=， 即121202k k +⋅=，解得124k k ⋅=-.故选：B （4）设()11,A x y ，()22,B x y ，中点坐标()00,M x y ，代入椭圆方程中，得到2211221x y a b +=，2222221x y a b +=，两式子相减得到22221212220x x y y a b --+=，()()()()222121212222121212y y y y y y b a x x x x x x -+-=-=---+， 结合12121y y x x -=-，1202x x x +=，1202y y y +=，且0013y x =-，代入上面式子得到2213b a =，e === B.【举一反三】1．（2020·广东珠海市·高三一模）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F，离心率2，过点F的直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 中点为(1,1)，则直线l 的斜率为（ ） A ．2 B ．2-C ．12-D ．12【答案】C【解析】由题得222222242,4()2,22c c a a b a a b a =∴=∴-=∴=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，由题得1212+=2+=2x x y y ，，所以2222221122222222b x a y a b b x a y a b⎧+=⎨+=⎩， 两式相减得2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=， 所以2212122()2a ()0b x x y y -+-=， 所以221212()240()y y b bx x -+=-，所以1120,2k k +=∴=-. 故选：C2．（2020·安徽安庆市·高三其他模拟）已知椭圆22:1(0)2x y E m m m+=>的右焦点为F ，过点F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为（1，-1），则椭圆E 的方程为（ ）A ．221189x y +=B ．2212718x y +=C ．2213627x y +=D ．2214536x y +=【答案】A【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，(),0F c所以221122221212x y mm x y mm⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，相减得2222221202x x y y m m --+=， ∴1212121202x x y y y y m x x m+-++⋅=-， 即1212121212y y y y x x x x +-⋅=-+-，又∵122x x +=，122y y +=-， 所以121210111AB y y k x x c c ---===---，即1112c =-， 解得3c =，又22c m m =-， ∴9m =．即椭圆E 的方程为221189x y +=.故选：A ．3．（2020·全国高三专题练习）椭圆()2210,0ax by a b +=>>与直线1y x =-交于,A B 两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为2，则b a 的值为（ ）ABCD【答案】B【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，由题知：()22212101ax by a b x bx b y x⎧+=⇒+-+-=⎨=-⎩，122b x x a b +=+. 设线段AB 中点为C ，则C bx a b=+. 将C b x a b =+代入1y x =-得到C a y a b=+.因为2OC aa ab k b b a b+===+，故b a =.故选：B4．（2019·北大附中深圳南山分校高三）已知椭圆222:1(02)4x y C b b+=<<，作倾斜角为34π的直线交椭圆C 于AB 、两点，线段AB 的中点为M O ，为坐标原点，若直线OM 的斜率为12，则b =（ ） A ．1 BCD．2【答案】B【解析】设()11,,A x y ()22,,B x y ()00,M x y ，则2211214x y b +=，2222214x y b+=，两式相减，得()()()()12121212204x x x x y y y y b -+-++=．A B 、两点直线的倾斜角为34π ∴12121y y x x -=--，∴1212204x x y y b ++-=，即00204x y b-=，∴2004y b x =——① 直线OM 的斜率为12∴0012y x =——② 由①②可得∴22b =得b =B ．5．（2020·湖南长沙市·浏阳一中高三）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F的直线交E 于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1,1)-，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．12BCD【答案】B【解析】令AB 的中点为M ，坐标为(1,1)-，则()011312AB MF k k --===-，1OM k =-因为A 、B 两点是直线与椭圆的交点，且焦点在x 轴，所以2112AB OM k k e ⋅=-=-则2e =故选：B 技巧2 点差法在双曲线在的应用【例2】（1）（2020·全国高三专题练习）已知双曲线E ：24x －22y ＝1，直线l 交双曲线于A ，B 两点，若线段AB 的中点坐标为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，则直线l 的方程为（ ） A ．4x ＋y －1＝0 B ．2x ＋y ＝0 C ．2x ＋8y ＋7＝0D ．x ＋4y ＋3＝0（2）（2020·沙坪坝区·重庆一中高三）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的离心率为2，过点()2,1P 的直线m 与双曲线E 交于A ，B 两点.若P 是AB 的中点，则直线m 的斜率为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8（3）．（2020·河南鹤壁市·鹤壁高中高三）已知直线l :30x y -+=与双曲线C :22221x ya b-=(0a >,0b >)交于A ,B 两点,点()1,4P 是弦AB 的中点,则双曲线C 的离心率为( ) A ．43B ．2 CD（4）（2020·全国高三专题练习）已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为A ．22136x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22154x y -=【答案】（1）C （2）C （3）D （4）B【解析】（1）依题意，设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有22112222142142x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减得22124x x -＝222y y -，即1212y y x x --＝12×1212x x y y ++.又线段AB 的中点坐标是1,12⎛⎫-⎪⎝⎭，因此x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝（－1）×2＝－2， 所以1212y y x x --＝－14，即直线AB 的斜率为－14，直线l 的方程为y ＋1＝11()42x --，即2x ＋8y ＋7＝0.故选：C ． （2）由题,双曲线E 中2ca =,又焦点(),0c 到渐近线0ax by ±=的距离d b ===且222c a b =+,解得2221,3,4a b c ===.故双曲线22:13y E x -=.设()()1122,,,A x y B x y 则221122221313y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,两式相减得 ()221222121212121233x x y y y yx x x x y y +---=⇒=-+ .又AB 中点()2,1,故()121212123322621x x y y k x x y y +-⨯⨯====-+⨯.故选：C（3）设()()1122,,,A x y B x y 点()1,4P 是弦AB 的中点根据中点坐标公式可得:12122,8x x y y +=⎧⎨+=⎩A ,B 两点在直线l :30x y -+=根据两点斜率公式可得:12121y y x x -=-,A B 两点在双曲线C 上∴22112222222211x y a bx y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ∴222212122210x x y y a b ---=,即()()()()2221212122221212128142y y y y y y b a x x x x x x +--===⨯=-+- 解得:2b a =∴c e a ===:D. （4）∵k AB =015312++=1,∴直线AB 的方程为y=x-3.由于双曲线的焦点为F(3,0),∴c=3,c 2=9. 设双曲线的标准方程为22x a -22y b =1(a>0,b>0),则22x a -()223x b -=1.整理,得(b 2-a 2)x 2+6a 2x-9a 2-a 2b 2=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=2226a a b -=2×(-12),∴a 2=-4a 2+4b 2,∴5a 2=4b 2. 又a 2+b 2=9,∴a 2=4,b 2=5.∴双曲线E 的方程为24x -25y =1.故选B.【举一反三】1．（2019·陕西宝鸡市·高考模拟）双曲线221369x y -=的一条弦被点(4,2)P 平分，那么这条弦所在的直线方程是（ ） A ．20x y --= B ．2100x y +-= C ．20x y -= D ．280x y +-=【答案】C【解析】设弦的两端点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，斜率为k ，则22111369x y -=，22221369x y -=，两式相减得12121212()()()()369x x x x y y y y -+-+=，即121212129()98136()3642y y x x k x x y y -+⨯====-+⨯， ∴弦所在的直线方程12(4)2y x -=-，即20x y -=．故选C 2．（2019·广东佛山市·佛山一中高三期中）已知双曲线C ：22221x y a b-=(a>0，b>0)，斜率为1的直线与C 交于两点A ，B ，若线段AB 的中点为(4，1)，则双曲线C 的渐近线方程是 A ．2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0C±y ＝0D ．x＝0【答案】B【解析】设直线方程为y x m =+，联立22221x y a b y x m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得22222222()20b a x a mx a m a b ----=，设1122(,),(,)A x y B x y ，因为线段AB 的中点为(4,1)，所以212122228,822a mx x y y m b a+==+=+=-，解得3m =-， 所以22268a b a-=-，所以2a b =，所以双曲线C 的渐近线方程为12y x =±，即20x y ±=，故选B. 3．（2020·吉林长春市·高三月考）双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>被斜率为4的直线截得的弦AB 的中点为()2,1,则双曲线E 的离心率为（ ） ABC ．2D【答案】B【解析】设()()1122,,,A x y B x y 代入双曲线方程作差有:()()()()1112121222x x x x y y y y a b -+-+=，有2121221212()()2()()y y y y b a x x x x -+==-+，所以223c a=，e =B ．4．（2020·全国高三专题练习）过点P (4，2)作一直线AB 与双曲线C ：22x －y 2＝1相交于A ，B 两点，若P为线段AB 的中点，则|AB |＝（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】解法一：由题意可知，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －4)＋2.由22(4)2,12y k x x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理，得(1－2k 2)x 2＋8k (2k －1)x －32k 2＋32k －10＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为P (4，2)为线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝－28(21)12k k k --＝8，解得k ＝1.所以x 1x 2＝2232321012k k k-+--＝10. 所以|AB |＝故选:D.解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则221112x y -= ， ①222212x y -=. ② ①－②得12(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. 因为P (4，2)为线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4.所以4(x 1－x 2)－4(y 1－y 2)＝0，即x 1－x 2＝y 1－y 2，所以直线AB 的斜率k ＝1212y y x x --＝1.则直线AB 的方程为y ＝x －2.由222,12y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理，得x 2－8x ＋10＝0， 所以x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝10.所以|AB |＝故选：D5．（2020·全国高三专题练习）已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：22221x y a b -=(0a >，0b >)相交于B 、D 两点，且BD 的中点为3(1)M ，.则C 的离心率为（ ） A ．2 BC ．3D【答案】A【解析】设()()1122,,,B x y D x y22112222222211x y a bx y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式做差得()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-+-= 整理得()()()()2121221212y y y y b a x x x x -+=-+，而12121BD y y k x x --==，122x x +=，126y y +=，代入有223b a =，即2223c a a-= 可得2ce a==． 故选：A.技巧3 点差法在抛物线在的应用【例3】（1）（2020·云南昆明市·昆明一中高三月考）已知抛物线2:4C y x =，以()1,1为中点作C 的弦，则这条弦所在直线的方程为（ ） A ．210x y --= B ．210x y -+= C ．230x y +-=D ．230x y ++=（2）（2020·贵州高三其他模拟）已知抛物线2:2(0)C y px p =>，倾斜角为6π的直线交C 于,A B 两点.若线段AB中点的纵坐标为p 的值为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】（1）A （2）C【解析】（1）设过点()1,1的直线交抛物线C 于()11,A x y 、()22,B x y 两点. 若直线AB 垂直于x 轴，则线段AB 的中点在x 轴上，不合乎题意.所以，直线AB 的斜率存在，由于点()1,1为线段AB 的中点，则121222x x y y +=⎧⎨+=⎩，由于点()11,A x y 、()22,B x y 在抛物线C 上，可得21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式作差得()()()22121212124y y y y y y x x -=+⋅-=-，所以，直线AB 的斜率为12121242AB y y k x x y y -===-+，因此，直线AB 的方程为()121y x -=-，即210x y --=.故选：A.（2）设直线方程为y x m =+，联立22y px y x m ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得206y y m p -+=， 设()()1122,,,A x y B x y，则12y y +=，因为线段AB中点的纵坐标为12y y +=2p =.故选：C. 【举一反三】1．（2020·全国高三专题练习）直线l 过点(1,1)P 与抛物线24y x =交于,A B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，则直线l 的斜率为（ ） A ．2 B ．2-C ．12D ．12-【答案】A【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减得()2212124y y x x -=-， 即()()()1212124y y y y x x +-=-， 当12x x ≠时，()1212124y y y y x x -+=-，因为点()1,1P 是AB 的中点，所以122y y +=，24k =， 解得：2k = 故选：A2．（2020·河北衡水市·衡水中学高三）已知直线l 与抛物线26y x =交于A 、B 两点，直线l 的斜率为3，线段AB 的中点M 的横坐标为12，则AB =（ ） A．3B．3 C．3D．3【答案】B【解析】设()11,A x y 、()22,B x y \01,2M y ⎛⎫⎪⎝⎭， 则2116y x =，2226y x =，两式相减得()()()1212126y y y y x x +-=-， 所以12121263AB y y k x x y y -===-+，解得122y y +=，得01y =，所以1,12M ⎛⎫⎪⎝⎭，得直线1:32l y x =-，联立21326y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得219904x x -+=，819720∆=-=>，由韦达定理得121x x =+，12136x x =，所以AB ===故选：B.1．（2020·全国高三专题练习）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交椭圆于A ．B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为（ ）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212728x y +=D ．221189x y +=【答案】D【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则12x x +=2，12y y +=－2，2211221x y a b +=， ① 2222221x y a b+=， ② ①－②得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=，∴AB k =1212y y x x --=212212()()b x x a y y +-+=22b a ，又AB k =0131+-=12，∴22b a =12，又9=2c =22a b -，解得2b =9，2a =18，∴椭圆方程为221189x y +=，故选：D ．2．（2020·全国高三专题练习）椭圆2249144x y +=内有一点(3,2)P ，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( ) A ．23-B ．32-C ．49-D ．94-【答案】A【解析】设以点P 为中点的弦所在直线与椭圆相交于点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，斜率为k ． 则221149144x y +=，222249144x y +=，两式相减得121212124()()9()()0x x x x y y y y +-++-=， 又126x x +=，124y y +=，1212y y k x x -=-，代入解得462943k =-⨯=-．故选：A ．3．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三三模）已知斜率为()110k k ≠的直线l 与椭圆2214y x +=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为C ，直线OC (O 为坐标原点)的斜率为2k ，则12k k ⋅=（ ）A ．14-B ．4-C ．12-D ．2-【答案】B【解析】设A ()()1122,,,x y B x y ，()00,C x y ，则12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，11002212,y y y k k x x x -==- A ()()1122,,,x y B x y ，代入椭圆方程2214y x +=得：222212121144y y x x +=+=，，两式相减可得：()()()()1212121204y y y y x x x x +--++=，化简可得：()()010*******y y y x x x -+=-，即：()()202011104y y y x x x -+=-，12104k k ⋅∴+= 124k k ∴⋅=-故选：B4．（2020·全国高三专题练习）已知离心率为12的椭圆()222210y x a b a b+=>>内有个内接三角形ABC ，O 为坐标原点，边AB BC AC 、、的中点分别为D E F 、、，直线AB BC AC 、、的斜率分别为123k k k ，，，且均不为0，若直线OD OE OF 、、斜率之和为1，则123111k k k ++=（ ） A ．43-B ．43C ．34-D ．34【答案】C【解析】由题意可得12c a =，所以2243,b a =不妨设为22143y x +=.设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，222211221,14343y x y x +=+=， 两式作差得21212121()()()()34x x x x y y y y -+-+=-，则21212121()3()()4()x x y y y y x x +-=-+-，134OD AB k k =-，同理可得1313,44OF OE AC BC k k k k =-=-， 所以12311133()44OD OE OF k k k k k k ++=-++=-， 故选：C ．5．（2020·全国高三专题练习）中心为原点，一个焦点为F（y＝3x－2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆方程为（）A．222217525x y+=B．2217525x y+=C．2212575x y+=D．222212575x y+=【答案】C【解析】由已知得c＝2222150x ya a+=-，联立得222215032x ya ay x⎧+=⎪-⎨⎪=-⎩，消去y得（10a2－450）x2－12（a2－50）x＋4（a2－50）－a2（a2－50）＝0，设直线y＝3x－2与椭圆的交点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由根与系数关系得x1＋x2＝()221250 10450aa--，由题意知x1＋x2＝1，即()221250 10450aa--＝1，解得a2＝75，所以该椭圆方程为221 2575x y+=.故选：C6．（2020·全国高三专题练习）椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，连接原点与线段MN中，则mn的值是（）A．2B．3C．2D【答案】A【解析】由2211mx nyy x⎧+=⎨=-⎩得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝2nm n+，所以y1＋y2＝2mm n+，所以线段MN 的中点为P (,)n mm n m n++，. 由题意知，k OP＝2，所以2m n =． 故选：A.7．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，斜率为2的直线与双曲线C 相交于点A 、B ，且弦AB 中点坐标为()1,1，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 BCD ．3【答案】B【解析】设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则2211221x y a b -=，2222221x y a b -=，所以2222121222x x y y a b--=，所以2121221212y y x x b x x a y x -+=⨯-+， 又弦AB 中点坐标为()1,1，所以122x x +=，122y y +=，又12122y y x x --=，所以22222b a =⨯，即222b a=，所以双曲线的离心率c e a ======故选：B.8．（2020·青海西宁市·高三二模）已知倾斜角为π4的直线与双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）相交于A ，B 两点，(4,2)M 是弦AB 的中点，则双曲线的离心率为（ ）ABC ．32D【答案】D【解析】因为倾斜角为π4的直线与双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）相交于A ，B 两点，所以直线的斜率tan14πk ==， 设()()1122,,,A x y B x y ，则2211221x y a b -=①2222221x y a b-=②由①-②得()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+=则2121221212y y b x x k x x a y y -+==⋅-+因为(4,2)M 是弦AB 的中点，12128,4x x y y ∴+=+=因为直线的斜率为122814b a ∴=⋅即222211,22b b a a ==所以2222112c a b a ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭232e ∴=，则e = D 9．（2020·银川三沙源上游学校高三）已知直线l :30x y -+=与双曲线C :22221x ya b-=(0a >，0b >)交于A ，B 两点，点()1,4P 是弦AB 的中点，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．43B ．2 CD【答案】D【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，因为()1,4P 是弦AB 的中点，根据中点坐标公式得121228x x y y +=⎧⎨+=⎩.直线l :30x y -+=的斜率为1，故12121y y x x -=-. 因为,A B 两点在双曲线上，所以22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 两式相减并化简得()()()()21212212128142y y y y b a x x x x +-==⨯=+-， 所以2b a =，所以e ==故选：D 10．（2020·齐齐哈尔市第八中学校高三）已知A ，B 为双曲线2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）上的两个不同点，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，若k AB •k OM 12=，则双曲线的离心率为（ ） ABC ．2D【答案】D【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则12x x +＝2M x ，12y y +＝2M y ，由22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩可得()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+=．∴ 2121221212y y y y b x x x x a -+⋅=-+， 即2212AB OMb k k a ⋅==，则双曲线的离心率为e ==D ． 11．（2020·甘肃兰州市·高三月考）过点()42P ，作一直线AB 与双曲线22:12x C y -=相交于A 、B 两点，若P 为AB 中点，则AB =( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】易知直线AB 不与y 轴平行，设其方程为y ﹣2＝k （x ﹣4）代入双曲线C ：2212x y -=，整理得（1﹣2k 2）x 2+8k （2k ﹣1）x ﹣32k 2+32k ﹣10＝0设此方程两实根为1x ，2x ，则12x x +()282121k k k -=-又P （4，2）为AB 的中点，所以()282121k k k -=-8，解得k ＝1当k ＝1时，直线与双曲线相交，即上述二次方程的△＞0，所求直线AB 的方程为y ﹣2＝x ﹣4化成一般式为x ﹣y ﹣2＝0．12x x +＝8，12x x ＝10 |AB|=12x x -|==故选D ．12．（2020·全国高三专题练习）已知F 是抛物线C ：y 2=2px (p >0)的焦点，过点R (2，1)的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，R 为线段AB 的中点.若|FA |+|FB |=5，则直线l 的斜率为（ ）A ．3B ．1C ．2D ．12【答案】B【解析】由于R (2，1)为AB 中点，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B ).根据抛物线的定义|FA |+|FB |=x A +x B +p =2×2+p =5，解得p =1，抛物线方程为y 2=2x .2222A AB By x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减并化简得22121B A B A A B y y x x y y -===-+⨯，即直线l 的斜率为1. 故选：B13．（2020·湖北武汉市·高三三模）设直线:2AB y kx =-与抛物线28y x =交于A ，B 两点，若线段AB 中点横坐标为2，则直线的斜率k =（ ）. A ．2 B ．1- C ．2- D ．1-或2【答案】A【解析】联立直线:2AB y kx =-与抛物线28y x =， 消y 整理可得()224840k x k x -++=，设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意()()()22122484401482222k k x x k k ⎧⎡⎤∆=-+-⨯>⎣⎦⎪⎨++==⎪⎩， 解()1可得1k >-，解()2可得2k =或1k =-， 综上可知，2k =. 故选：A14．（2020·全国高三月考（理））已知圆22:3O x y +=与抛物线2:2(0)C y px p =>相交于,A B 两点，且||AB =C 上存在关于直线:20l x y --=对称的相异两点P 和Q ，则线段PQ 的中点坐标为（ ） A ．(1,1)- B ．(2,0)C ．13,22⎛⎫-⎪⎝⎭D ．(1,1)【答案】A【解析】因为,A B 关于x 轴对称，所以,A B纵坐标为 横坐标为1，代入22(0)y px p =>， 可得22y x =.设点()11,P x y ，()22,Q x y .则2112222,2,y x y x ⎧=⎨=⎩则()()()1212122y y y y x x -+=-， 122PQ k y y ∴=+，又,P Q 关于直线l 对称.1PQ k ∴=-，即122y y +=-，1212y y +∴=-， 又PQ ∵的中点一定在直线l 上，12122122x x y y ++∴=+=. ∴线段PQ 的中点坐标为(1,1)-.故选:A.15．（2020·全国高三月考）已知抛物线2:2C y px =(0)p >的焦点到准线的距离为1，若抛物线C 上存在关于直线:20l x y --=对称的不同两点P 和Q ，则线段PQ 的中点坐标为（ ） A ．()1,1- B ．()2,0C ．13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1,1【答案】A【解析】因为焦点到准线的距离为p ，则1p =， 所以22y x =．设点()11,P x y ，()22,Q x y ．则21122222y x y x ⎧=⎨=⎩，则()()()1212122y y y y x x -+=-，122PQ k y y ∴=+，又P ，Q 关于直线l 对称．1PQ k ∴=-，即122y y +=-，1212y y +∴=-， 又PQ ∵的中点一定在直线l 上，12122122x x y y ++∴=+=．∴线段PQ 的中点坐标为()1,1-．故选：A.16．（2020·全国高三专题练习）已知直线l 过抛物线2:8C y x =的焦点，并交抛物线C 于A 、B 两点，|16|AB =，则弦AB 中点M 的横坐标是（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】直线l 过抛物线2:8C y x =的焦点, 交抛物线C 于A 、B 两点 则其焦点坐标为()2,0F ,准线方程为2x =-过A 向准线作垂直交准线于P 点,过B 向准线作垂直交准线于Q 点,过M 向准线作垂直交准线于N ,交y 轴于H ,如下图所示:设()()1122,,,A x y B x y由抛物线定义可知,,AF AP BF BQ ==由16AB =,可知16AB AF BF AP BQ =+=+= 因为M 为AB 的中点, 由梯形的中位线性质可知()1116822MN AP BQ =+=⨯= 则826MH MN NH =-=-=即M 的横坐标是6 故选:C17．（2020·河北衡水市·衡水中学高三月考）抛物线方程为24x y =，动点P 的坐标为()1,t ，若过P 点可以作直线与抛物线交于,A B 两点，且点P 是线段AB 的中点，则直线AB 的斜率为（ ） A ．12B ．12-C ．2D ．2-【答案】A【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ,由题得2111212122224,()()4()4x y x x x x y y x y ⎧=∴+-=-⎨=⎩， 所以212112y y k x x -==-，故选：A18．（2020·全国高三专题练习）过椭圆221164x y +=内的一点(21)M ，引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在的直线方程 . 【答案】240x y +-=【解析】解：设直线与椭圆的交点为1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y)1(2,M 为AB 的中点124x x ∴+=，122y y +=又A 、B 两点在椭圆上，则2211416x y +=，2222416x y += 两式相减得22221212()4()0x x y y -+-=于是12121212()()4()()0x x x x y y y y +-++-=∴12121212414()422y y x x x x y y -+=-=-=--+⨯，即12AB k =-，故所求直线的方程为11(2)2y x -=--，即240x y +-=．故答案为：240x y +-=19．（2020·全国高三专题练习）已知双曲线E 的中心为原点，(30)F ，是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且AB 的中点为(1215)N --，，求双曲线E 的方程 . 【答案】22145x y -=【解析】设双曲线的方程为22221x y a b-=(0a >，0b >)，由题意知3c =，229a b +=，设11()A x y ，、22()B x y ，则有：2211221x y a b -=，2222221x y a b-=，两式作差得：22121222121245y y x x b b x x a y y a-+=⋅=-+，又AB 的斜率是1501123--=--， ∴2254b a =，代入229a b +=得，24a =，25b =，∴双曲线标准方程是22145x y -=.20．（2020·全国高三专题练习）直线m 与椭圆22x ＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为________.【答案】12-【解析】设()()111222,,,P x y P x y ，中点()00,P x y ，则满足221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()()()()1212121202x x x x y y y y -++-+=，整理得12121212102y y y y x x x x -++⋅=-+，即012120102y y y x x x -+⋅=-，即12102k k +⋅=， 1212k k ∴=-.故答案为：12-.21．（2020·全国高三其他模拟）已知直线3y x m =-与椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>相交于P ，Q 两点，若PQ 中点的横坐标恰好为2m ，则椭圆C 的离心率为______.【答案】2【解析】设()11,P x y ，()22,Q x y ，代入椭圆方程得2211221x y a b +=，2222221x y a b +=，两式作差得22221212220x x y y a b --+=，整理得122122121222y y y y b x x x x a +-⋅=-+-， 因为1222x x m +=，所以12123322y y x m x mm +-+-==-， 又因为12121PQ y y k x x -==-，所以2212m b m a-⨯=-，所以2212b a =，所以c e a =====2212ca=.. 22．（2019·浙江宁波市·镇海中学高三开学考试）已知椭圆r ：()222210x y a b a b +=>>△ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，设△ABC 三条边AB 、BC 、AC 的中点分别为D 、E 、M ，且三条边所在直线的斜率分别为1k 、2k 、3k 且均不为0，O 为坐标原点，若直线OD 、OE 、OM 的斜率之和为2，则123111k k k ++=___________． 【答案】8-【解析】由椭圆r ：()222210x y a b a b +=>>设2a m = ，则b m =∴ 椭圆的标准方程为：222214x y m m+=设112233112233(,),(,),(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D s t E s t M s t 因为边AB 、BC 、AC 的中点分别为D 、E 、M ， 故323213131212112233,,,,,222222x x y y x x y y x x y y s t s t s t ++++++====== ， 由,A B 在椭圆上，则2221144x y m += ，2222244x y m += 两式相减化简得：1212121214y y x x x x y y -+=-⋅-+ ，所以1212111212111,44y y x x sk x x y y t -+==-⋅=-⋅-+即：11114t k s =-⋅ 同理得：322233114,4t t k s k s =-⋅=-⋅，所以又因为312123,,,OD OE OM t t tk k k s s s === 3121231231114()8t t t k k k s s s ++=-⨯++=- 故答案为：8-23．（2020·四川成都市·高三二模）设直线:1l y x =-与抛物线()220y px p =>相交于,A B 两点，若弦AB 的中点的横坐标为2,则p 的值为___________． 【答案】1【解析】联立直线:1l y x =-与抛物线22y px =，得2220y py p --=， 则122y y p +=，又12122422y y x x +=+-=-=，故22p =，1p =. 故答案为：1.24．（2020·全国高三月考）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为()2,0F ，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点.若AB 的中点坐标为11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则椭圆C 的方程为______.【答案】22331164x y +=【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则122x x +=，121y y +=，2211221x y a b +=①，2222221x y a b+=②，由①－②得22221212220x x y y a b--+=，即2221222212y y b x x a -=-- 所以()()2212122212122b x x y y b x x a y y a+-=-=--+， 又12121012122ABy y kx x --===---， 所以22212b a =，即224a b =，又2224c a b =-=，解得243b =，2163a =，所以椭圆方程为22331164x y +=．25．（2020·江苏）椭圆221(0,0)ax by a b +=>>与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点b a 的值为________．【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，线段AB 的中点为1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭则222211221,1ax by ax by +=+=，即()2222221212122212,1by by ax ax by by ax ax --=--=-- ()()()()121212121b y y y y a x x x x -+∴=--+12121AB y y k x x -==--，12121212220OMy y y y k x x x x ++=+-==-+(1)12b a ∴⨯-⨯=-3b a ∴=26．（2020·湖北黄冈市·黄冈中学高三其他模拟）已知双曲线C 的中心在原点，()2,0F -是一个焦点，过F 的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，且AB 的中点为()3,1N --，则C 的方程是______.【答案】2213x y -=【解析】由F ，N 的坐标得1lk .设双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则224a b +=.设()11,A x y ，()22,B x y ， 则126x x +=-，122y y +=-，12121l y y k x x -==-.由2211221x y a b -=，2222221x y a b -=得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+--=， 即22260lk a b -+=， ∴223a b .于是23a =，21b =，所以C 的方程为2213x y -=.故答案为：2213x y -=27．（2020·广东广州市·高三月考）已知直线l 与双曲线2221y x -=交于,A B 两点，当,A B 两点的对称中心坐标为()1,1时，直线l 的方程为________. 【答案】210x y --=【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则221122222121y x y x ⎧-=⎨-=⎩，相减得到()()()()1212121220y y y y x x x x +--+-=，即240k -=，2k =.故直线方程为：21y x =-，即210x y --=.故答案为：210x y --=.【点睛】本题考查了双曲线中的点差法，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.28．（2020·西藏拉萨市·拉萨中学高三月考）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上存在两点A ，B 关于直线8y x =-对称，且线段AB 的中点在直线2140x y --=上，则双曲线的离心率为_________.【答案】2【解析】点A ，B 关于直线8y x =-对称，线段AB 的中点在直线2140x y --=上所以82140y x x y =-⎧⎨--=⎩得()2,6C -， 设()()1122,,,A x y B x y ，所以1212412x x y y +=⎧⎨+=-⎩ 将()()1122,,,A x y B x y 代入双曲线，则有22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减得()()()()2212121212a x x x x y y y y b-+=-+. ∵210x x -≠，∴2212122121y y y y b x x x x a-+⋅=-+， ∴22124AB k ab -⨯=. ∵点A ，B 关于直线8y x =-对称∴1AB k =-，所以()2213b a-⨯-=，即223b a =.∴双曲线的离心率为2c e a ===. 故答案为：229．（2020·全国高三月考）过点()1,1P 作直线l 与双曲线222y x λ-=交于A ，B 两点，若点P 恰为线段AB 的中点，则实数λ的取值范围是______.【答案】()1,00,2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭【解析】因为双曲线方程为222y x λ-= 则0λ≠设()11,A x y ,()22,B x y因为点P 恰为线段AB 的中点则12122,2x x y y +=+= 则2211222222y x y x λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,两式相减并化简可得1212121222y y x x x x y y -+=⨯=-+ 即直线l 的斜率为2所以直线l 的方程为21y x =- 22212y x y x λ=-⎧⎪⎨-=⎪⎩,化简可得224210x x λ-++= 因为直线l 与双曲线有两个不同的交点所以()1642210λ∆=-⨯⨯+> 解得12λ<且0λ≠所以λ的取值范围为()1,00,2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭故答案为: ()1,00,2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭30．（2019·云南玉溪市·高三月考）已知抛物线22(0)y px p =>，焦点到准线的距离为1，若抛物线上存在关于直线20x y --=对称的相异两点A ，B ，则线段AB 的中点坐标为_________.【答案】()1,1- 【解析】焦点到准线的距离为1，∴1p =，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 中点()00,M x y ，21122222y px y px ⎧=∴⎨=⎩①②，①-②得：()2212122y y p x x -=-，即()1212122y y y y p x x -⋅+=-，即022AB k y p ⋅=故01y p =-=-，又因为()00,M x y 在直线20x y --=上，所以01x =，从而线段AB 的中点坐标为()1,1-.故答案为：()1,1-.。

椭圆中点弦点差法
椭圆是一种重要的几何图形，具有许多应用领域，如天文学、工程建筑和航天技术等。

椭圆的特点是其上任意两点到两个焦点的距离之和是一个常数，这个常数称为椭圆的焦距。

在椭圆中，我们常常需要计算椭圆的中心点和焦点位置，以及长短轴的长度。

椭圆中点弦点差法是一种通过测量椭圆上的弦长和点到弦的距离来计算椭圆参数的方法。

具体步骤如下：
1. 首先，在椭圆上选择两个点，记为A和B，这两个点不在椭圆的主轴上。

2. 然后，连接AB两点，得到弦AB。

3. 接下来，在椭圆上选择任意一点，记为P。

4. 然后，从P点向弦AB引垂线，垂足为H。

5. 测量弦AB的长度，并记录为L，测量PH的长度，并记录为h。

6. 根据测量结果，可以利用椭圆中点弦点差公式计算椭圆的中心点和焦点位置，以及长短轴的长度。

椭圆中点弦点差法的原理是基于椭圆的几何性质，通过测量弦长和点到弦的距离来确定椭圆的参数。

这种方法的优点是简单易行，不需要复杂的数学计算，只需要准确测量即可得到结果。

椭圆中点弦点差法在实际应用中有很多用途。

例如，在天文学中，可以利用该方法计算行星和卫星的轨道参数；在工程建筑中，可以利用该方法确定椭圆形建筑物的尺寸和形状；在航天技术中，可以利用该方法确定卫星轨道的参数。

椭圆中点弦点差法是一种准确计算椭圆参数的方法，通过测量椭圆上的弦长和点到弦的距离，可以确定椭圆的中心点和焦点位置，以及长短轴的长度。

该方法简单易行，广泛应用于天文学、工程建筑和航天技术等领域。

通过使用椭圆中点弦点差法，可以准确计算椭圆的参数，为相关领域的研究和应用提供重要参考。

与中点弦有关的问题是有关圆锥曲线中的弦以及弦的中点问题.解答此类问题，通常需运用点差法.运用点差法解答与中点弦有关问题的步骤为：1.设出弦的两个端点的坐标：A(x1，y1)、B(x2，y2)；2.将两点的坐标代入圆锥曲线方程中，并将两式相减，得出含有x1＋x2、y1＋y2的式子；3.联立直线与圆锥曲线的方程得到一元二次方程，由根与系数的关系求得x1＋x2、y1＋y2；4.根据直线的斜率公式k=y1-y2x1-x2以及中点的坐标公式，建立中点和直线的斜率之间的联系；5.建立有关x1＋x2、y1＋y2的关系式，求得问题的答案.解答简单的中点弦问题，有时可省略第三步.下面举例加以说明.例1.若抛物线C：y2=x上存在不同的两点关于直线l：y=m()x-3对称，求实数m的取值范围.解：当m=0时，满足题意；当m≠0时，设抛物线C上关于直线l:y=m()x-3对称的两点分别为P()x1,y1，Q()x2,y2，中点M()x0,y0，可得y21=x1，y22=x2，将上述两式作差得：k PQ=y1-y2x1-x2=12y，因为k PQ=-1m，可得y0=-m2，又中点M()x0，y0在直线l：y=m()x-3上，所以y0=m()x0-3，解得x0=52，因为中点M在抛物线y2=x的内部，所以y20<x0，即æèöø-m22<52，解得：m∈()-10，10.所以实数m的取值范围为m∈()-10，10.对于与中点弦有关的参数取值范围问题，通常需运用点差法求解.对于本题，先将弦两端点的坐标代入曲线方程中，将两式作差，建立有关x1+x2、y1+y2的关系，然后运用中点坐标公式、直线的斜率公式，根据中点在直线上求得中点的坐标，再根据中点M在抛物线y2=x的内部，建立关于m的不等式.例2.已知AB为椭圆x2a2+y2b2=1()a>b>0中的一条弦，该弦不垂直于x轴，AB的中点为P，O为椭圆的中心，证明：直线AB和直线OP的斜率之积是定值.证明：设A()x1,y1，B()x2,y2，且x1≠x2，可得x21a2+y21b2=1，x22a2+y22b2=1，将两式作差得：y1-y2x1-x2=-b2()x1+x2a2()y1+y2，得k AB=-b2()x1+x2a2()y1+y2，又k OP=y1+y2x1+x2，则k AB=-b2a2∙1k OP，得k AB∙k OP=-b2a2，该值为定值，即直线AB和直线OP的斜率之积是定值.解答本题主要运用了点差法.通过将两式作差，求得直线AB的斜率，并根据中点坐标公式和斜率公式求出直线OP的斜率，从而证明结论.例3.已知双曲线的方程为x2-12y2=1，过点B()1,1能否作直线l，使得l与双曲线分别交于P，Q两点，且PQ的中点为B.如果存在，请求出它的方程；若不存在，请说明理由.解：假设直线l存在，且P()x1，y1，Q()x2，y2，由中点公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，由题意可得x21-12y21=1，x22-12y22=1，将两式作差可得2()x1-x2-()y1-y2=0，则直线l的斜率k=y1-y2x1-x2=2，因为P，Q，B三点在直线l上，所以直线l的方程为：y=2x-1，将y=2x-1与x2-12y2=1联立可得：2x2-4x+3=0，该方程没有实数根，因此不存在直线l.解答本题，需先通过作差求得直线PQ的斜率，然后根据P、Q、B三点在直线l上，求得直线l的方程，再根据直线与双曲线有交点，运用一元二次方程的根的判别式判断出是否存在直线l.虽然点差法是解答与中点弦有关问题的重要方法，但在运用时需注意两点：（1）运用根与系数的关系解题时易产生漏解；（2）有些直线的斜率不存在，需单独进行讨论.（作者单位：江苏省响水县第二中学）考点透视39。

椭圆中点弦点差法椭圆是数学中一种重要的几何形状，它具有许多独特的性质和特点。

在研究椭圆的过程中，人们发现了一种称为椭圆中点弦点差法的方法，用于确定椭圆的中点、弦和点差的关系。

本文将详细介绍这一方法的原理和应用。

我们来了解一下椭圆的基本概念。

椭圆是平面上一组点的集合，这组点到两个固定点（称为焦点）的距离之和是常数。

椭圆的形状由两个焦点和连接两个焦点的直线（称为主轴）所确定。

在研究椭圆的性质时，人们常常需要确定椭圆上的点与其它几何元素（如弦、中点等）之间的关系。

椭圆中点弦点差法就是一种用于确定椭圆上的中点、弦和点差之间关系的方法。

具体而言，对于一个椭圆上的中点M、椭圆上的一条弦AB和椭圆上的一点P，我们可以利用椭圆的性质来推导出它们之间的关系。

首先，连接弦AB的两个端点与椭圆的焦点分别连成两条直线，这两条直线与椭圆的主轴相交于两个点C和D。

然后，连接点C和点D的直线与弦AB相交于一点E。

根据椭圆的性质，我们可以得知，连接点M和点E的直线与弦AB平行。

通过上述推导过程，我们可以得到椭圆中点弦点差法的结论：对于一个椭圆上的中点M、椭圆上的一条弦AB和椭圆上的一点P，如果连接弦AB的两个端点与椭圆的焦点连成的直线与椭圆的主轴相交于两个点C和D，连接点C和点D的直线与弦AB相交于一点E，那么连接点M和点E的直线与弦AB平行。

椭圆中点弦点差法在实际应用中具有广泛的意义。

例如，在工程设计中，我们常常需要确定椭圆上的中点和弦的位置，以便进行合理的布局和设计。

通过利用椭圆中点弦点差法，我们可以准确地确定椭圆上的中点和弦的位置，从而提高工程设计的精度和效率。

除了工程设计，椭圆中点弦点差法还可以应用于数学研究和科学实验中。

例如，在椭圆轨道的行星运动研究中，我们需要确定椭圆上的中点和弦的位置，以便分析行星的运动轨迹和速度。

通过运用椭圆中点弦点差法，我们可以更加准确地描述行星的运动规律，从而深入理解天体运动的规律和机制。

椭圆中点弦点差法是一种用于确定椭圆上的中点、弦和点差之间关系的重要方法。

椭圆中点弦点差法椭圆中点弦点差法是一种计算椭圆面积的方法，它利用椭圆的中点弦和长短半轴之差的平方来计算椭圆的面积。

下面我们来详细介绍一下椭圆中点弦点差法。

我们需要了解一下椭圆的基本概念。

椭圆是一个平面上的闭合曲线，其形状像一个拉长的圆。

椭圆有两个焦点和两条主轴，其中离椭圆中心最远的两个点称为焦点，两个焦点之间的距离称为焦距。

主轴是通过椭圆中心的一条直线，其中长的主轴称为长轴，短的主轴称为短轴。

椭圆还有一个重要的参数叫做离心率，它描述了椭圆的扁平程度。

接下来，我们来介绍椭圆中点弦点差法的具体步骤。

首先，我们需要确定椭圆的两个主轴的长度，即长轴的长度a和短轴的长度b。

然后，我们可以计算出椭圆的离心率e，它的计算公式为e = √(1 - (b/a)^2)。

接着，我们可以计算出椭圆的焦距f，它的计算公式为f = √(a^2 - b^2)。

最后，我们可以使用椭圆中点弦点差法来计算椭圆的面积。

椭圆中点弦点差法的计算公式为S = πab(1 - (2d/a)^2)，其中S表示椭圆的面积，a和b分别表示椭圆的长轴和短轴的长度，d表示椭圆中点弦的长度。

根据这个公式，我们可以通过测量椭圆的相关参数来计算椭圆的面积。

椭圆中点弦点差法的原理是利用椭圆中点弦的长度和椭圆的长短半轴之差的平方来计算椭圆的面积。

中点弦是一条通过椭圆中心并且垂直于长轴的直线，它与椭圆的交点分别称为弦点。

根据椭圆中点弦点差法的原理，我们可以得出椭圆的面积与中点弦的长度和长短半轴之差的平方成正比。

椭圆中点弦点差法的优点是计算简单，只需要测量椭圆的长短半轴和中点弦的长度就可以得到椭圆的面积。

而且，该方法适用于任何形状的椭圆，不受椭圆的离心率和焦距的影响。

因此，椭圆中点弦点差法在实际应用中具有广泛的应用价值。

总结来说，椭圆中点弦点差法是一种计算椭圆面积的简便方法，它利用椭圆的中点弦和长短半轴之差的平方来计算椭圆的面积。

该方法适用于任何形状的椭圆，且计算简单方便。

点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用广西南宁外国语学校 隆光诚（邮政编码530007）圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。

它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。

若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。

我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。

本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。

定理 在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN =⋅.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=---byy a x x又.22,00021211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=同理可证，在双曲线12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200b a x y k MN =⋅. 典题妙解例1 已知双曲线13:22=-x y C ，过点)1,2(P 作直线l 交双曲线C 于A 、B 两点. （1）求弦AB 的中点M 的轨迹；（2）若P 恰为弦AB 的中点，求直线l 的方程. 解：（1）,3,122==b a 焦点在y 轴上.设点M 的坐标为),(y x ，由22b a x y k AB =⋅得：3121=⋅--x y x y ，整理得：.032322=+--y x y x∴所求的轨迹方程为.032322=+--y x y x（2） P 恰为弦AB 的中点，∴由2200ba x y k AB =⋅得：,3121=⋅AB k 即.32=AB k∴直线l 的方程为)2(321-=-x y ，即.0132=--y x 例2 已知双曲线22:22=-y x C 与点).2,1(P（1）斜率为k 且过点P 的直线l 与C 有两个公共点，求k 的取值范围； （2）是否存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ？ （3）试判断以)1,1(Q 为中点的弦是否存在.解：（1）直线l 的方程为)1(2-=-x k y ，即.2k kx y -+=由⎩⎨⎧=--+=.22,222y x k kx y 得.064)2(2)2(2222=+-+---k k x k k x k直线l 与C 有两个公共点，∴得⎪⎩⎪⎨⎧+----=∆≠-.0)64)(2(4)2(4,0222222 k k k k k k解之得：k ＜23且.2±≠k ∴k 的取值范围是).23,2()2,2()2,( ---∞（2）双曲线的标准方程为.2,1,122222==∴=-b a y x 设存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ，则由2200ab x y k AB =⋅得：.1,22=∴=⋅k k由（1）可知，1=k 时，直线l 与C 有两个公共点，∴存在这样的弦.这时直线l 的方程为.1+=x y（3）设以)1,1(Q 为中点的弦存在，则由2200ab x y k AB =⋅得：.2,21=∴=⋅k k由（1）可知，2=k 时，直线l 与C 没有两个公共点，∴设以)1,1(Q 为中点的弦不存在.例3 过点)0,2(-M 作直线l 交双曲线1:22=-y x C 于A 、B 两点，已知+=（O为坐标原点），求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.解：在双曲线1:22=-y x C 中，122==b a ，焦点在x 轴上.设弦AB 的中点为Q . 由平行四边形法则知：2=，即Q 是线段OP 的中点. 设点P 的坐标为),(y x ，则点Q 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛2,2y x . 由2222a b x y k AB =⋅得：14222=⋅+=⋅+x y x y x y x y，整理得：.0422=+-x y x配方得：144)2(22=-+y x . ∴点P 的轨迹方程是144)2(22=-+y x ，它是中心为)0,2(-，对称轴分别为x 轴和直线02=+x 的双曲线.例 4. 设双曲线C 的中心在原点，以抛物线4322-=x y 的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线． （Ⅰ）试求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线:21l y x =+与双曲线C 交于,A B 两点，求AB ；（Ⅲ）对于直线1:+=kx y l ，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线4:'+=ax y l (a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由24y =-得)32(322-=x y ，∴3=p ，抛物线的顶点是)0,32(，准线是3213223=+-=x . ∴在双曲线C 中，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.321,322ca c . ∴.1,3122==b a∴双曲线C 的方程为1322=-y x .（Ⅱ）由⎩⎨⎧=-+=.13,1222y x x y 得：0242=++x x . 设),(),,(2211y x B y x A ，则2,42121=-=+x x x x .∴102]24)4)[(21(]4))[(1(||22212212=⨯--+=-++=x x x x k AB .（Ⅲ）假设存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线'l 对称，则'l 是线段AB 的垂直平分线. 因而k a 1-=，从而41:'+-=x ky l . 设线段AB 的中点为),(00y x P . 由2200ab x y k AB =⋅得：300=⋅x y k ，∴003x ky =.…………………………………………①由4100+⋅-=x ky 得：k x ky 400+-=.…………………………………………………② 由①、②得：3,00==y k x .由100+=kx y 得：132+=k ，∴2±=k .又由⎩⎨⎧+==-.1,1322kx y y x 得：.022)3(22=++-kx x k直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，∴)3(8422--=∆k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k .∴符合题意的k 的值存在，2±=k .金指点睛1. (03全国)已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ，直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 的中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程为（ ） A.14322=-y x B. 13422=-y x C. 12522=-y x D. 15222=-y x 2.（02江苏）设A 、B 是双曲线1222=-y x 上两点，点)2,1(N 是线段AB 的中点. （1）求直线AB 的方程；（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆，为什么？3. 已知双曲线1322=-y x ，过点)23,21(--P 作直线l 交双曲线于A 、B 两点. （1）求弦AB 的中点M 的轨迹;（2）若点P 恰好是弦AB 的中点，求直线l 的方程和弦AB 的长.4、双曲线C 的中心在原点，并以椭圆1132522=+y x 的焦点为焦点，以抛物线x y 322-=的准线为右准线.（1）求双曲线C 的方程；（2）设直线)0(3:≠+=k kx y l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，使A 、B 两点关于直线)0(6:'≠+=m mx y l 对称，求k 的值.参考答案1. 解：在直线1-=x y 中，1=k ，32-=x 时，35-=y . 由2200a b x y k MN =⋅得222532351a b ==--⋅. 又由⎪⎩⎪⎨⎧==+=72522222c b a a b 得5,222==b a . 故答案选D.2. 解：（1）2,122==b a ，焦点在x 上. 由2200ab x y k AB =⋅得：22=⋅AB k ，∴1=AB k .∴所求的直线AB 方程为)1(12-⋅=-x y ，即01=+-y x .（2）设直线CD 的方程为0=++m y x ，点)2,1(N 在直线CD 上， ∴021=++m ，3-=m .∴直线CD 的方程为03=-+y x .又设弦CD 的中点为),(y x M ，由22a b x y k CD=⋅得：21=⋅-xy，即x y 2-=. 由⎩⎨⎧-==-+.2,03x y y x 得6,3=-=y x .∴点M 的坐标为)6,3(-.又由⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-.12,0122y x y x 得)4,3(),0,1(B A -. 由两点间的距离公式可知：102||||||||====MD MC MB MA . 故A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等，即A 、B 、C 、D 四点共圆. 3. 解：（1）3,122==b a ，焦点在x 上. 设点M 的坐标为),(y x .若直线l 的的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时直线l 与双曲线没有公共点，不合题意，故直线l 的的斜率存在.由22ab x y k AB =⋅得：32123=⋅++x y x y ， 整理，得：0332622=-+-y x y x .∴点M 的轨迹方程为0332622=-+-y x y x .（2）由2200ab x y k AB =⋅得：32123=--⋅AB k ，∴1=AB k .∴所求的直线l 方程为)21(123+⋅=+x y ，即1-=x y .由⎪⎩⎪⎨⎧-==-.1,1322x y y x 得022=-+x x ， 解之得：1,221=-=x x .4. 解：（1）在椭圆1132522=+y x 中，32,13,522=-===b a c b a ， ∴焦点为)0,32(),0,32(21F F -.在抛物线x y 322-=中，3=p ，∴准线为23=x . ∴在双曲线中，232=c a . 从而.3,3==b a ∴所求双曲线C 的方程为19322=-y x .（2）直线'l 是弦AB 的垂直平分线，∴k m 1-=，从而61:'+⋅-=x ky l . 设弦AB 的中点为),(00y x P .由2200a b x y k AB =⋅得：300=⋅x y k ，∴003x ky =.…………………………………………①由6100+⋅-=x ky 得：k x ky 600+-=.…………………………………………………② 由①、②得：29,2300==y k x又 300+=kx y ，∴32329+⋅=kk ，即12=k . ∴1±=k . 由⎪⎩⎪⎨⎧+==-.3,19322kx y y x 得.0186)3(22=++-kx x k 直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，∴)3(723622--=∆k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k . ∴1±=k 符合题意.故k 的值为1±.。

“点差法”公式在抛物线中点弦问题中的妙用圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。

它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程,借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。

若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。

我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式.本文就抛物线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。

定理 在抛物线)0(22≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ,则m y k MN =⋅0.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎩⎪⎨⎧==)2(.2)1(,2222121 mx y mx y)2()1(-，得).(2212221x x m y y -=-.2)(121212m y y x x y y =+⋅--∴又01212122,y y y x x y y k MN =+--=。

m y k MN =⋅∴0.注意:能用这个公式的条件：(1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在. 同理可证，在抛物线)0(22≠=m my x 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m x k MN=⋅01。

注意：能用这个公式的条件：(1）直线与抛物线有两个不同的交点；(2）直线的斜率存在,且不等于零.例1．抛物线x y 42=的过焦点的弦的中点的轨迹方程是( ） A. 12-=x y B 。

)1(22-=x y C 。

212-=x y D 。

122-=x y 解：2=m ，焦点)0,1(在x 轴上. 设弦的中点M 的坐标为),(y x . 由m y k MN =⋅得：21=⋅-y x y， 整理得:)1(22-=x y .∴所求的轨迹方程为)1(22-=x y .故选B 。

点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。

它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。

若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。

我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。

本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。

定理 在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN =⋅.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=---byy a x x.2212121212ab x x y y x x y y =++⋅--∴ 又.22,00021211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=.2200ab x y k MN=⋅∴ 同理可证，在双曲线12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ba x y k MN =⋅.典题妙解例1 已知双曲线13:22=-x y C ，过点)1,2(P 作直线l 交双曲线C 于A 、B 两点.（1）求弦AB 的中点M 的轨迹；（2）若P 恰为弦AB 的中点，求直线l 的方程. 例2 已知双曲线22:22=-y x C 与点).2,1(P（1）斜率为k 且过点P 的直线l 与C 有两个公共点，求k 的取值范围； （2）是否存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ？ （3）试判断以)1,1(Q 为中点的弦是否存在.例3 过点)0,2(-M 作直线l 交双曲线1:22=-y x C 于A 、B 两点，已知OB OA OP +=（O 为坐标原点），求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.例 4. 设双曲线C 的中心在原点，以抛物线4322-=x y 的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线． （Ⅰ）试求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线:21l y x =+与双曲线C 交于,A B 两点，求AB ；（Ⅲ）对于直线1:+=kx y l ，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线4:'+=ax y l (a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．金指点睛1. (03全国)已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ，直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 的中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程为（ ） A.14322=-y x B. 13422=-y x C. 12522=-y x D. 15222=-y x 2.（02江苏）设A 、B 是双曲线1222=-y x 上两点，点)2,1(N 是线段AB 的中点. （1）求直线AB 的方程；（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆，为什么？3. 已知双曲线1322=-y x ，过点)23,21(--P 作直线l 交双曲线于A 、B 两点. （1）求弦AB 的中点M 的轨迹;（2）若点P 恰好是弦AB 的中点，求直线l 的方程和弦AB 的长.4、双曲线C 的中心在原点，并以椭圆1132522=+y x 的焦点为焦点，以抛物线x y 322-=的准线为右准线.（1）求双曲线C 的方程；（2）设直线)0(3:≠+=k kx y l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，使A 、B 两点关于直线)0(6:'≠+=m mx y l 对称，求k 的值.参考答案例1解：（1）,3,122==b a 焦点在y 轴上.设点M 的坐标为),(y x ，由22b a x y k AB =⋅得：3121=⋅--x y x y ，整理得：.032322=+--y x y x∴所求的轨迹方程为.032322=+--y x y x（2） P 恰为弦AB 的中点，∴由2200ba x y k AB =⋅得：,3121=⋅AB k 即.32=AB k∴直线l 的方程为)2(321-=-x y ，即.0132=--y x 例2解：（1）直线l 的方程为)1(2-=-x k y ，即.2k kx y -+=由⎩⎨⎧=--+=.22,222y x k kx y 得.064)2(2)2(2222=+-+---k k x k k x k 直线l 与C 有两个公共点，∴得⎪⎩⎪⎨⎧+----=∆≠-.0)64)(2(4)2(4,0222222 k k k k k k解之得：k ＜23且.2±≠k ∴k 的取值范围是).23,2()2,2()2,( ---∞（2）双曲线的标准方程为.2,1,122222==∴=-b a y x 设存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ，则由2200ab x y k AB =⋅得：.1,22=∴=⋅k k由（1）可知，1=k 时，直线l 与C 有两个公共点，∴存在这样的弦.这时直线l 的方程为.1+=x y（3）设以)1,1(Q 为中点的弦存在，则由2200ab x y k AB =⋅得：.2,21=∴=⋅k k由（1）可知，2=k 时，直线l 与C 没有两个公共点，∴设以)1,1(Q 为中点的弦不存在.例3解：在双曲线1:22=-y x C 中，122==b a ，焦点在x 轴上.设弦AB 的中点为Q .,OB OA OP +=由平行四边形法则知：OQ OP 2=，即Q 是线段OP 的中点. 设点P 的坐标为),(y x ，则点Q 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛2,2y x . 由2222a bx y k AB =⋅得：14222=⋅+=⋅+x y x y x y x y，整理得：.0422=+-x y x配方得：144)2(22=-+y x . ∴点P 的轨迹方程是144)2(22=-+y x ，它是中心为)0,2(-，对称轴分别为x 轴和直线02=+x 的双曲线.例4解：（Ⅰ）由24y =-得)32(322-=x y ，∴3=p ，抛物线的顶点是)0,32(，准线是3213223=+-=x . ∴在双曲线C 中，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.321,322ca c . ∴.1,3122==b a∴双曲线C 的方程为1322=-y x .（Ⅱ）由⎩⎨⎧=-+=.13,1222y x x y 得：0242=++x x .设),(),,(2211y x B y x A ，则2,42121=-=+x x x x .∴102]24)4)[(21(]4))[(1(||22212212=⨯--+=-++=x x x x k AB .（Ⅲ）假设存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线'l 对称，则'l 是线段AB 的垂直平分线. 因而k a 1-=，从而41:'+-=x ky l . 设线段AB 的中点为),(00y x P . 由2200ab x y k AB =⋅得：300=⋅x y k ，∴003x ky =.…………………………………………①由4100+⋅-=x ky 得：k x ky 400+-=.…………………………………………………② 由①、②得：3,00==y k x .由100+=kx y 得：132+=k ，∴2±=k .又由⎩⎨⎧+==-.1,1322kx y y x 得：.022)3(22=++-kx x k直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，∴)3(8422--=∆k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k .∴符合题意的k 的值存在，2±=k .1. 解：在直线1-=x y 中，1=k ，32-=x 时，35-=y . 由2200a b x y k MN =⋅得222532351a b ==--⋅. 又由⎪⎩⎪⎨⎧==+=72522222c b a a b 得5,222==b a . 故答案选D.2. 解：（1）2,122==b a ，焦点在x 上. 由2200ab x y k AB =⋅得：22=⋅AB k ，∴1=AB k .∴所求的直线AB 方程为)1(12-⋅=-x y ，即01=+-y x .（2）设直线CD 的方程为0=++m y x ，点)2,1(N 在直线CD 上， ∴021=++m ，3-=m .∴直线CD 的方程为03=-+y x .又设弦CD 的中点为),(y x M ，由22a b x y k CD=⋅得：21=⋅-xy，即x y 2-=. 由⎩⎨⎧-==-+.2,03x y y x 得6,3=-=y x .∴点M 的坐标为)6,3(-.又由⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-.12,0122y x y x 得)4,3(),0,1(B A -. 由两点间的距离公式可知：102||||||||====MD MC MB MA . 故A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等，即A 、B 、C 、D 四点共圆. 3. 解：（1）3,122==b a ，焦点在x 上. 设点M 的坐标为),(y x .若直线l 的的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时直线l 与双曲线没有公共点，不合题意，故直线l 的的斜率存在.由22ab x y k AB =⋅得：32123=⋅++x y x y ， 整理，得：0332622=-+-y x y x .∴点M 的轨迹方程为0332622=-+-y x y x .（2）由2200abx y k AB =⋅得：32123=--⋅AB k ，∴1=AB k .∴所求的直线l 方程为)21(123+⋅=+x y ，即1-=x y .由⎪⎩⎪⎨⎧-==-.1,1322x y y x 得022=-+x x ， 解之得：1,221=-=x x . ∴.2332||1||122=⋅=-+=x x k AB4. 解：（1）在椭圆1132522=+y x 中，32,13,522=-===b a c b a ，∴焦点为)0,32(),0,32(21F F -.在抛物线x y 322-=中，3=p ，∴准线为23=x . ∴在双曲线中，232=c a . 从而.3,3==b a ∴所求双曲线C 的方程为19322=-y x . （2）直线'l 是弦AB 的垂直平分线，∴k m 1-=，从而61:'+⋅-=x ky l . 设弦AB 的中点为),(00y x P .由2200a b x y k AB =⋅得：300=⋅x y k ，∴003x ky =.…………………………………………①由6100+⋅-=x ky 得：k x ky 600+-=.…………………………………………………② 由①、②得：29,2300==y k x又 300+=kx y ，∴32329+⋅=kk ，即12=k . ∴1±=k . 由⎪⎩⎪⎨⎧+==-.3,19322kx y y x 得.0186)3(22=++-kx x k 直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，∴)3(723622--=∆k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k . ∴1±=k 符合题意.故k 的值为1±.。

椭圆中点弦问题-----点差法（微教案）
一、教学目标
1、知识与技能目标：掌握解决圆锥曲线中点弦问题的方法---点差法。

2、过程与方法目标：综合运用方程思想、数形结合、等价转换等方法解决问题，培养学生自主学习，综合分析能力。

3、情感态度与价值观：培养学生严谨的数学思维，提高学生知识迁移意识。

二、重难点
1、重点：点差法运用。

2、难点：灵活使用点差法解决椭圆中点弦问题。

三、教具：尺子
四、学习过程
（一）课前预习。

（1）点差法的步骤：
（2）适用范围：
（二）自主学习与合作探究。

【探究】求中点弦所在直线方程问题
例1 ：过椭圆内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程。

*结论一（椭圆中点弦斜率公式）
三（微练习）巩固与提高：
已知双曲线C：，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点是线段的中点。

若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由。

（四）课堂小结：
1、点差法的具体步骤为：
2、点差法的适用范围以及注意直线是否存在的问题。

3、点差法优点：
缺点：
五、请评价自己学习效果：本节知识点掌握了%。

第7讲 点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用定理 在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN -=⋅.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(.1)1(,1222222221221ΛΛΛΛb y a x b y a x )2()1(-，得.02222122221=-+-byy a x x.2212121212ab x x y y x x y y -=++⋅--∴ 又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN==++--=Θ.22ab x y k MN -=⋅∴ 同理可证，在椭圆12222=+ay b x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ba x y k MN -=⋅.典题妙解例1 设椭圆方程为1422=+y x ，过点)1,0(M 的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 为坐标原点，点P 满足1()2OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，点N 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛21,21.当l 绕点M 旋转时，求：（1）动点P 的轨迹方程；（2）||NP 的最大值和最小值.解：（1）设动点P 的坐标为),(y x .由平行四边形法则可知：点P 是弦AB 的中点 .焦点在y 上，.1,422==b a 假设直线l 的斜率存在.由22b a x y k AB -=⋅得：.41-=⋅-xyx y整理，得：.0422=-+y y x当直线l 的斜率不存在时，弦AB 的中点P 为坐标原点)0,0(O ，也满足方程。

点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用广西南宁外国语学校 隆光诚（邮政编码530007）圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。

它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。

若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。

我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。

本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。

定理 在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200a b x y k MN =⋅.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=---byy a x x又.22,000021211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=同理可证，在双曲线12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l的斜率为MN k ，则2200ba x y k MN =⋅.典题妙解 例1 已知双曲线13:22=-x y C ，过点)1,2(P 作直线l 交双曲线C 于A 、B 两点.（1）求弦AB 的中点M 的轨迹；（2）若P 恰为弦AB 的中点，求直线l 的方程. 解：（1）,3,122==b a 焦点在y 轴上.设点M的坐标为),(y x ，由22ba x y k AB =⋅得：3121=⋅--x y x y ， 整理得：.032322=+--y x y x∴所求的轨迹方程为.032322=+--y x y x（2） P 恰为弦AB 的中点，∴由2200b a x y k AB =⋅得：,3121=⋅AB k 即.32=ABk ∴直线l 的方程为)2(321-=-x y ，即.0132=--y x 例2 已知双曲线22:22=-y x C 与点).2,1(P（1）斜率为k 且过点P 的直线l 与C 有两个公共点，求k 的取值范围；（2）是否存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ？ （3）试判断以)1,1(Q 为中点的弦是否存在.解：（1）直线l 的方程为)1(2-=-x k y ，即.2k kx y -+=由⎩⎨⎧=--+=.22,222y x k kx y 得.064)2(2)2(2222=+-+---k k x k k x k直线l 与C 有两个公共点，∴得⎪⎩⎪⎨⎧+----=∆≠-.0)64)(2(4)2(4,0222222 k k k k k k解之得：k ＜23且.2±≠k∴k 的取值范围是).23,2()2,2()2,( ---∞（2）双曲线的标准方程为.2,1,122222==∴=-b a y x设存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ，则由2200ab x y k AB =⋅得：.1,22=∴=⋅k k由（1）可知，1=k 时，直线l 与C 有两个公共点，∴存在这样的弦.这时直线l 的方程为.1+=x y（3）设以)1,1(Q 为中点的弦存在，则由2200ab x y k AB =⋅得：.2,21=∴=⋅k k由（1）可知，2=k 时，直线l 与C 没有两个公共点，∴设以)1,1(Q 为中点的弦不存在.例3 过点)0,2(-M 作直线l 交双曲线1:22=-y x C 于A 、B 两点，已知OB OA OP +=（O为坐标原点），求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.解：在双曲线1:22=-y x C 中，122==b a ，焦点在x 轴上.设弦AB 的中点为Q .由平行四边形法则知：OQ OP 2=，即Q 是线段OP 的中点.设点P 的坐标为),(y x ，则点Q 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛2,2y x .由2222a b x yk AB =⋅得：14222=⋅+=⋅+xy x y x y x y ， 整理得：.0422=+-x y x配方得：144)2(22=-+y x . ∴点P的轨迹方程是144)2(22=-+y x ，它是中心为)0,2(-，对称轴分别为x 轴和直线02=+x 的双曲线.例4. 设双曲线C 的中心在原点，以抛物线4322-=x y 的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线． （Ⅰ）试求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线:21l y x =+与双曲线C 交于,A B 两点，求AB ；（Ⅲ）对于直线1:+=kx y l ，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线4:'+=ax y l (a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由24y =-得)32(322-=x y ，∴3=p ，抛物线的顶点是)0,32(，准线是3213223=+-=x . ∴在双曲线C中，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.321,322ca c . ∴.1,3122==b a ∴双曲线C 的方程为1322=-y x .（Ⅱ）由⎩⎨⎧=-+=.13,1222y x x y 得：0242=++x x .设),(),,(2211y x B y x A ，则2,42121=-=+x x x x .（Ⅲ）假设存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线'l 对称，则'l 是线段AB 的垂直平分线. 因而ka 1-=，从而41:'+-=x ky l .设线段AB 的中点为),(00y x P .由2200ab x y k AB =⋅得：30=⋅x y k ，∴003x ky =.…………………………………………①由4100+⋅-=x ky 得：k x ky 400+-=.…………………………………………………②由①、②得：3,00==y k x .由100+=kx y 得：132+=k ，∴2±=k .又由⎩⎨⎧+==-.1,1322kx y y x 得：.022)3(22=++-kx x k直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，∴)3(8422--=∆k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k .∴符合题意的k 的值存在，2±=k .金指点睛1. (03全国)已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ，直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 的中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程为（ ） A.14322=-y x B. 13422=-y x C. 12522=-y x D.15222=-y x 2.（02江苏）设A 、B 是双曲线1222=-y x 上两点，点)2,1(N 是线段AB的中点.（1）求直线AB 的方程；（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆，为什么？3. 已知双曲线1322=-y x ，过点)23,21(--P 作直线l 交双曲线于A 、B 两点.（1）求弦AB 的中点M 的轨迹;（2）若点P 恰好是弦AB 的中点，求直线l 的方程和弦AB 的长. 4、双曲线C 的中心在原点，并以椭圆1132522=+y x 的焦点为焦点，以抛物线x y 322-=的准线为右准线.（1）求双曲线C 的方程；（2）设直线)0(3:≠+=k kx y l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，使A 、B 两点关于直线)0(6:'≠+=m mx y l 对称，求k 的值.参考答案 1. 解：在直线1-=x y 中，1=k ，32-=x 时，35-=y . 由2200ab x y k MN =⋅得222532351a b ==--⋅.又由⎪⎩⎪⎨⎧==+=72522222c b a a b 得5,222==b a .故答案选D.2. 解：（1）2,122==b a ，焦点在x 上. 由2200ab x y k AB =⋅得：22=⋅AB k ，∴1=AB k . ∴所求的直线AB 方程为)1(12-⋅=-x y ，即01=+-y x .（2）设直线CD 的方程为0=++m y x ，点)2,1(N 在直线CD 上，∴直线CD 的方程为03=-+y x .又设弦CD 的中点为),(y x M ，由22ab x y k CD =⋅得：21=⋅-xy，即x y 2-=.由⎩⎨⎧-==-+.2,03x y y x 得6,3=-=y x .∴点M 的坐标为)6,3(-.又由⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-.12,0122y x y x 得)4,3(),0,1(B A -. 由两点间的距离公式可知：102||||||||====MD MC MB MA .故A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等，即A 、B 、C 、D 四点共圆. 3. 解：（1）3,122==b a ，焦点在x 上. 设点M 的坐标为),(y x .若直线l 的的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时直线l 与双曲线没有公共点，不合题意，故直线l 的的斜率存在. 由22a b x y k AB =⋅得：32123=⋅++x y x y ， 整理，得：0332622=-+-y x y x .∴点M 的轨迹方程为0332622=-+-y x y x .（2）由2200abx y k AB =⋅得：32123=--⋅AB k ，∴1=AB k .∴所求的直线l 方程为)21(123+⋅=+x y ，即1-=x y . 由⎪⎩⎪⎨⎧-==-.1,1322x y y x 得022=-+x x ， 解之得：1,221=-=x x .4. 解：（1）在椭圆1132522=+y x 中，32,13,522=-===b a c b a ，∴焦点为)0,32(),0,32(21F F -.在抛物线x y 322-=中，3=p ，∴准线为23=x . ∴在双曲线中，232=c a . 从而.3,3==b a ∴所求双曲线C的方程为19322=-y x .（2）直线'l 是弦AB 的垂直平分线，∴km 1-=，从而61:'+⋅-=x ky l . 设弦AB 的中点为),(00y x P . 由2200ab x y k AB =⋅得：30=⋅x y k ，∴003x ky =.…………………………………………①由6100+⋅-=x ky 得：k x ky 600+-=.…………………………………………………②由①、②得：29,2300==y k x 又 300+=kx y ，∴32329+⋅=kk ，即12=k . 由⎪⎩⎪⎨⎧+==-.3,19322kx y y x 得.0186)3(22=++-kx x k直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，∴)3(723622--=∆k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k . ∴1±=k 符合题意.故k 的值为1±.。

...... 最新资料推移 ......................点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用广四南宁外国语学校隆光诚（邮政编码530007）圆锥曲线的中点弦问题是髙考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。

它 的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、 中点坐标公式及参数法求解。

若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式 作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。

我们称这种代点作差的方法 为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。

本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗 浅的探讨，以飨读者。

定理在双曲线务歩“（心，5）中，若直线/与双曲线相交于W N 两点，点是弦MN 的中点，弦MN 所在的宜线/的斜率为kg 则S' — = 4Xo X⑴一⑵，力一儿勺一坷$2 - N N +『2 =込=21 x 2 -X] X| + x 2 2x 0 x 0V"同理可证，在双曲线=一==1（6/ >0, b >0）中，若直线/与双曲线相交于M 、N 两点, cr2 点儿）是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线/的斜率为心心 则心阿・也=2・典题妙解例1已知双曲线c ：y 2-—= 1,过点P （2,l ）作直线/交双曲线C 于A 、B 两点.证明: 设M 、N 两点的坐标分别为（兀切八（x 29y 2）,则有•>•> crb 2 •>■•>V(rb 2=1 (2)b 2=1， (1)般新资料推移(1) 求弦AB 的中点M 的轨迹；(2) 若P 恰为弦AB 的中点，求直线/的方程.解:(1) cr =Vb 2=3,焦点在y 轴上.2・••直线/的方程为y-l=-(x-2),即2x —3y — l = 0・例2已知双曲线C: 2, _)，2 = 2与点P(l,2).(1) 斜率为R 且过点P 的宜线/与C 有两个公共点，求《的取值范围; (2) 是否存在过点P 的弦AB,使得AB 的中点为P? (3) 试判断以Q(l,l)为中点的弦是否存在.解：(1)直线/的方程为y-2 = k(x-\),即〉，=kx+2-k.y = kx+2-k,_ -7 ?由｛ °, 得伙 2 — 2)x 2一 2伙 2 一 2幻x + k 2 — 4k + 6 = 0. —尸=2・•.•直线/与C 有两个公共点，W —2H0,• •得彳△ = 4伙 $ 一 2£)2 一 心 2 一 2)伙 2 - + 6) a 0.解之得：k<-且£工土血・(2)双曲线的标准方程为x 2- — = t ：.a 2=^b 2=2.设点M 的坐标为(X, y),由心『丄=2得:y-i y 1 ------ =— x-2 x 3整理得：x 2-3y 2-2x + 3y = 0.・・・所求的轨迹方程为，一 3y 2 一 2x + 3y = 0.(2)・・・P 恰为弦AB 的中点.2・•・k 的取值范围是(-s,-、②U(-VI 、伍)11(血上)・• •由k.\B232v方设存在过点P的弦AB,使得AB的中点为P,则由心飞得：《・2 = 2.：. k = 由(1)可知，《 = 1时，直线/与C有两个公共点,・・・存在这样的弦•这时直线I的方程为y = x + l.(3)设以0(1,1)为中点的弦存在，则由£诃・卫=厶得：k ・\ = 2；k = 2. 由(1)可知，k = 2时，直线/与C 没有两个公共点，・・・设以2(14)为中点的弦不存在.例3过点M(—2,0)作直线/交双曲线C:/ — y2= 1于A 、B 两点，已知OP = OA + OB (O 为坐标原点)，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.解：在双曲线C:x 2-y 2= 1中，6? =b 2=\,焦点在x 轴上•设弦AB 的中点为Q ・\OP = OA + OB,由平行四边形法则知：OP = 2OQ ，即Q 是线段OP 的中点、设点P 的坐标为(x, y)，则点Q 的坐标为・12 2)整理得：x 2-/+4x = 0.配方得:二点P 的轨迹方程是(V "2—=1,它是中心为(-2,0),对称轴分别为x 轴和直线4 4x + 2 = 0的双曲线.例4.设双曲线C 的中心在原点，以抛物线y 2 = 2y[3x -4的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准 线为双曲线的右准线.(I )试求双曲线c 的方程；(H)设宜线/:y = 2x + l 与双曲线C 交于AB 两点，求\AB\t(m)对于直线l:y = kx+\9是否存在这样的实数k,使直线/与双曲线C 的交点人3关于直线i :y = ax + 4 (°为常数)对称，若存在，求出R 值；若不存在，请说明理由.y石 b 2 z由 k.\B '~ = ~2 得:X C1 2 2 y y y -------- -= ---- -- 土+2 x x+4 v 21.解: 由尸=2笛兀_4得y2 =2巧(/_••• p = 氐抛物线的顶点是(刍，0),准线是X = - —+ A=-T7- y/32Q32十3.••在双曲线C中,・・.双曲线C的方程为3，一）,2 =iy = 2x + l, ,“由仁—得："27设A(x i.y l X B(x2,y2)，则山+x2 =-4,^%2 = 2..・・ I AB1= 丁（1 + /）［匕+耳）2—4尤宀］=J（1+22）［（-4）2—4X2］ = 2^W .（【II）假设存在这样的实数R，使直线/与双曲线C的交点关于直线/对称，则「是线段AB 的垂直平分线.因而“=一丄，从而八y =—丄x + 4・设线段AB的中点为P（X O5yo）・k k• 2由B •乂 =厶得:« •乂 = 3,・\ ky Q = 3x0・ ............................................................. ①由y0= 一丄・x0 +4 得:ky Q = -x() + 4k ・ ..................................... ②k由①.②得：心=k= 3・由)?o = kx° + 1 得：3 = k2 +\ 9 /. k = ±>!1 ・m b=i又由< ?得：伙2 -3)x2 + 2kx +2 = 0.y = kx+\.•.•直线/与双曲线C相交于A、B两点，•••△ = 4比2一8伙2一3)>0,即^2<6,且/工3・・・・符合题意的R的值存在，£=±、伍.金指点睛1.（03全国）己知双曲线中心在原点且一个焦点为F（、/7,0）,宜线y = x-1与其相交于M、N两点,2MN的中点的横坐标为-亍，则此双曲线的方程为（）B. c.22.(02江苏)设A、B是双曲线x2- — = 1上两点，点N(l,2)是线段AB的中点•2(1)求直线AB的方程；(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆，为什么？,v2 1 33.已知双曲线X-- —= 1,过点P(---j)作直线/交双曲线于A、B两点.(1)求弦AB的中点M的轨迹；(2)若点P恰好是弦AB的中点，求直线/的方程和弦AB的长.2 24.双曲线C的中心在原点，并以椭圆2 + £ = 1的焦点为焦点，以抛物线)匸的准线为右准线.(1)求双曲线C的方程；(2)设直线l:y = kx+3伙H0)与双曲线C相交于A、B两点，使A、B两点关于直线I ： y = mx + 6(〃?工0)对称，求k的值.参考答案5c u . 2 --- < t21.解：在直线y = x-1中，k = \, x =-二时，y =--・由心川•丄丄=厶得1・一 =二=厶.3 3 x0er 2 cr~3又由得/ =2上2 =5.a1 +/?' =c2 =7故答案选D.2•解：(1) “2=3=2,焦点在x上.由忍〃云〒得："2 = 2, g=1.・・・所求的直线AB方程为y-2 = 1・匕一1),即x — y + l = 0・(2)设直线CD的方程为x+y + / = 0,点N(l,2)在直线CD上,/. 1 + 2 + m = 0, in = -3 ・・・・直线CD的方程为x + y — 3 = 0・又设弦CD的中点为M（x,y）,由如•丄=匚得:-1- = 2,即y = —2x・xX 6Tfx+y-3 = 0.由｛' 得x = —3, y = 6 .[y = -2 儿/.点M的坐标为(-3,6)・x - y +1 = 0.又由! , v2得A(—l,0),B(3,4)・—= 1.2由两点间的距离公式可知：丨MA 1=1 MB 1=1 MC 1=1 MD 1= 2価・故A、B、C、D四点到点M的距离相等，即A、B、C、D四点共圆.3.解：（1）a2 = Lb2 = 3,焦点在x上.设点M的坐标为（x,y）.若直线/的的斜率不存在，贝“丄X轴，这时直线/与双曲线没有公共点，不合题意，故直线/的的斜率存在.3y b2+ 7 V由X B ・—=—得： ----- ・—=3 9X " x+l x2整理，得：6x2-2y2+3x-3y = 0.点M的轨迹方程为6x2一2y2 + 3x - 3y = 0.3,2 ——（2）由k AR•—=—得：—=3, :. k AR=\.X Q a_ 丄23 i・•・所求的直线/方程为y +二=1・（％ + _）,即y = x — l・2 2由］3 一得X2+X-2=09y = x-\.解之得：Xj = 一2,尤2 = 1・:.\AB\=y/\ + k2 lx2-x, 1=72-3 = 372.2 2 _____________________________________ 4•解：(1)在椭圆^ + ― = 1中，a = 5、b =、丽工=』左一1, =2屈・・・焦点为耳（一2 JI 。

点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用XXXX 外国语学校隆光诚（邮政编码530007）圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。

它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。

若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。

我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。

本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。

定理在双曲线12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN=⋅. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221 b y a x b y a x)2()1(-，得.02222122221=---byy a x x.2212121212ab x x y y x x y y =++⋅--∴ 又.22,00021211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=.2200ab x y k MN=⋅∴ 同理可证，在双曲线12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ba x y k MN=⋅. 典题妙解例1 已知双曲线13:22=-x y C ，过点)1,2(P 作直线l 交双曲线C 于A 、B 两点.（1）求弦AB 的中点M 的轨迹；（2）若P 恰为弦AB 的中点，求直线l 的方程. 解：（1）,3,122==b a 焦点在y 轴上.设点M 的坐标为),(y x ，由22ba x y k AB =⋅得：3121=⋅--x y x y ， 整理得：.032322=+--y x y x∴所求的轨迹方程为.032322=+--y x y x（2） P 恰为弦AB 的中点，∴由2200ba x y k AB =⋅得：,3121=⋅AB k 即.32=AB k ∴直线l 的方程为)2(321-=-x y ，即.0132=--y x 例2 已知双曲线22:22=-y x C 与点).2,1(P（1）斜率为k 且过点P 的直线l 与C 有两个公共点，求k 的取值X 围； （2）是否存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ？ （3）试判断以)1,1(Q 为中点的弦是否存在.解：（1）直线l 的方程为)1(2-=-x k y ，即.2k kx y -+=由⎩⎨⎧=--+=.22,222y x k kx y 得.064)2(2)2(2222=+-+---k k x k k x k直线l 与C 有两个公共点，∴得⎪⎩⎪⎨⎧+----=∆≠-.0)64)(2(4)2(4,0222222 k k k k k k 解之得：k ＜23且.2±≠k ∴k 的取值X 围是).23,2()2,2()2,( ---∞（2）双曲线的标准方程为.2,1,122222==∴=-b a y x 设存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ，则由2200ab x y k AB =⋅得：.1,22=∴=⋅k k由（1）可知，1=k 时，直线l 与C 有两个公共点，∴存在这样的弦.这时直线l 的方程为.1+=x y（3）设以)1,1(Q 为中点的弦存在，则由2200ab x y k AB =⋅得：.2,21=∴=⋅k k由（1）可知，2=k 时，直线l 与C 没有两个公共点，∴设以)1,1(Q 为中点的弦不存在.例3 过点)0,2(-M 作直线l 交双曲线1:22=-y x C 于A 、B 两点，已知+=（O 为坐标原点），求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.解：在双曲线1:22=-y x C 中，122==b a ，焦点在x 轴上.设弦AB 的中点为Q .,+=由平行四边形法则知：OQ OP 2=，即Q 是线段OP 的中点. 设点P 的坐标为),(y x ，则点Q 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛2,2y x . 由2222a bx y k AB =⋅得：14222=⋅+=⋅+x y x y x y x y，整理得：.0422=+-x y x配方得：144)2(22=-+y x . ∴点P 的轨迹方程是144)2(22=-+y x ，它是中心为)0,2(-，对称轴分别为x 轴和直线02=+x 的双曲线.例 4. 设双曲线C 的中心在原点，以抛物线4322-=x y 的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线． （Ⅰ）试求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线:21l y x =+与双曲线C 交于,A B 两点，求AB ；（Ⅲ）对于直线1:+=kx y l ，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线4:'+=ax y l (a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）由24y =-得)32(322-=x y ，∴3=p ，抛物线的顶点是)0,32(，准线是3213223=+-=x . ∴在双曲线C 中，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.321,322ca c . ∴.1,3122==b a ∴双曲线C 的方程为1322=-y x .（Ⅱ）由⎩⎨⎧=-+=.13,1222y x x y 得：0242=++x x . 设),(),,(2211y x B y x A ，则2,42121=-=+x x x x .∴102]24)4)[(21(]4))[(1(||22212212=⨯--+=-++=x x x x k AB .（Ⅲ）假设存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线'l 对称，则'l 是线段AB 的垂直平分线. 因而k a 1-=，从而41:'+-=x ky l . 设线段AB 的中点为),(00y x P . 由2200ab x y k AB =⋅得：300=⋅x y k ，∴003x ky =.…………………………………………①由4100+⋅-=x ky 得：k x ky 400+-=.…………………………………………………② 由①、②得：3,00==y k x .由100+=kx y 得：132+=k ，∴2±=k .又由⎩⎨⎧+==-.1,1322kx y y x 得：.022)3(22=++-kx x k直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，∴)3(8422--=∆k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k .∴符合题意的k 的值存在，2±=k .金指点睛1. (03全国)已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ，直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 的中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程为（）A.14322=-y xB. 13422=-y xC. 12522=-y xD. 15222=-y x 2.（02XX ）设A 、B 是双曲线1222=-y x 上两点，点)2,1(N 是线段AB 的中点. （1）求直线AB 的方程；（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆，为什么？3. 已知双曲线1322=-y x ，过点)23,21(--P 作直线l 交双曲线于A 、B 两点. （1）求弦AB 的中点M 的轨迹;（2）若点P 恰好是弦AB 的中点，求直线l 的方程和弦AB 的长.4、双曲线C 的中心在原点，并以椭圆1132522=+y x 的焦点为焦点，以抛物线x y 322-=的准线为右准线.（1）求双曲线C 的方程；（2）设直线)0(3:≠+=k kx y l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，使A 、B 两点关于直线)0(6:'≠+=m mx y l 对称，求k 的值.参考答案1. 解：在直线1-=x y 中，1=k ，32-=x 时，35-=y . 由2200ab x y k MN =⋅得222532351a b ==--⋅. 又由⎪⎩⎪⎨⎧==+=72522222c b a a b 得5,222==b a . 故答案选D.2. 解：（1）2,122==b a ，焦点在x 上. 由2200ab x y k AB =⋅得：22=⋅AB k ，∴1=AB k .∴所求的直线AB 方程为)1(12-⋅=-x y ，即01=+-y x .（2）设直线CD 的方程为0=++m y x ，点)2,1(N 在直线CD 上，∴021=++m ，3-=m .∴直线CD 的方程为03=-+y x .又设弦CD 的中点为),(y x M ，由22ab x y k CD =⋅得：21=⋅-x y，即x y 2-=.由⎩⎨⎧-==-+.2,03x y y x 得6,3=-=y x .∴点M 的坐标为)6,3(-.又由⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-.12,0122y x y x 得)4,3(),0,1(B A -. 由两点间的距离公式可知：102||||||||====MD MC MB MA . 故A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等，即A 、B 、C 、D 四点共圆. 3.解：（1）3,122==b a ，焦点在x 上. 设点M 的坐标为),(y x .若直线l 的的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时直线l 与双曲线没有公共点，不合题意，故直线l 的的斜率存在.由22ab x y k AB =⋅得：32123=⋅++x y x y ， 整理，得：0332622=-+-y x y x .∴点M 的轨迹方程为0332622=-+-y x y x .（2）由2200abx y k AB =⋅得：32123=--⋅AB k ，∴1=AB k .∴所求的直线l 方程为)21(123+⋅=+x y ，即1-=x y .由⎪⎩⎪⎨⎧-==-.1,1322x y y x 得022=-+x x ， 解之得：1,221=-=x x .∴.2332||1||122=⋅=-+=x x k AB4. 解：（1）在椭圆1132522=+y x 中，32,13,522=-===b a c b a ，∴焦点为)0,32(),0,32(21F F -.在抛物线x y 322-=中，3=p ，∴准线为23=x . ∴在双曲线中，232=c a . 从而.3,3==b a ∴所求双曲线C 的方程为19322=-y x . （2）直线'l 是弦AB 的垂直平分线，∴k m 1-=，从而61:'+⋅-=x ky l . 设弦AB 的中点为),(00y x P .由2200ab x y k AB =⋅得：300=⋅x y k ，∴003x ky =.…………………………………………①由6100+⋅-=x ky 得：k x ky 600+-=.…………………………………………………② 由①、②得：29,2300==y k x 又 300+=kx y ，∴32329+⋅=kk ，即12=k . ∴1±=k .由⎪⎩⎪⎨⎧+==-.3,19322kx y y x 得.0186)3(22=++-kx x k 直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，∴)3(723622--=∆k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k . ∴1±=k 符合题意.故k 的值为1±.。