山东省枣庄市2007届高三数学理科综合模拟考试卷三本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B ）=P(A ）+P （B ）. 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A+B ）=P （A ）·P （B ）.球的表面积公式24R S π=，其中R 表示球的半径.球的体积公式334R V π=，其中R 表示球的半径. 锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 表示底面积，h 表示锥体的高.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.1．设P 、Q 是两个非空集合，定义集合间的一种运算“⊙”：P ⊙Q={|}.x x P Q x P Q ∈∉，且如果}0,4|{},4|{2>==-==x y y Q x y x P x ，则P ⊙Q=（ ）A ．[2,1](2,)-+∞B ．[0,1][2,)+∞C ．[1，2]D ．（2，+∞）2. 设向量→a 与→b 的夹角为θ，→a =（2，1），3→b +→a =（5，4），则θcos =（ ）A ．54B ．31C ．1010D ．10103 3. 从2007名学生中选取50名学生参加全国数学联赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2007人中剔除7人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（ ） A ．不全相等 B ．均不相等C ．都相等，且为200750D ．都相等，且为401 4. 设M 是其中定义且内一点),,,()(,30,32,p n m M f BAC ABC =︒=∠=⋅∆m 、n 、p 分别是114,,,()(,,),2MBC MCA MAB f M x y x y∆∆∆=+的面积若则的最小值是（ ）A ．8B ．9C ．16D ．185. 设曲线y=x 2+1在其任一点（x ，y ）处的切线的斜率为g(x ) ，则函数y=g(x )cos x 的部分图 象可以为 （ ）A ．B ．C ．D ． 6. 在等差数列1662,}{a a a a n ++中为一个确定的常数，则其前n 项和n S 中，也为确定常数的是（ ）A ．17SB ．15SC ．8SD ．7S 7. 10)31(xx -的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是 （ ）A ．0B ．2C ．4D ．68. P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，焦距为2c ，则△PF 1F 2的内切圆的圆心横坐标为（ ）A ．bB ．aC ． c-aD ．c-b9. “a+b=2”是“直线x+y =0与圆（x －a ）2+（y －b ）2=2相切”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10. 给出30个数：1，2，4，7，11，……其规律是第一个数是1，第二数比第一个数大1， 第三个数比第二个数大2， 第四个数比第三个数大3，……以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如右图所示，那么框图中判断框①处和执行 框②处应分别填入（ ） A ．i ≤30?；p = p + i －1 B ．i ≤29?；p = p + i + 1 C ．i ≤31?；p = p + i D ．i ≤30?；p = p + i11. 已知正三棱锥V —ABC 的正视图，俯视图如右图所 示，其中VA ＝4，AC ＝图的面积为( )A ．9B ．6C ．D12.已知在平面直角坐标系中O （0，0），M （1，21-），N （0，1），Q （2，3），动点P （x ，y ）满足 01,01,OP OM OP ON OP OQ ω≤⋅≤≤⋅≤=⋅则的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题有4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中横线上.B正视图俯视图13. 定义—种运算如下：a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=ad-bc ，则复数1123i i +-⎡⎤⎢⎥⎣⎦的共轭复数是 .14. 观察等式：4360cos 30sin 60cos 30sin 22=++，4350cos 20sin 50cos 20sin 22=++ 和 4345cos 15sin 45cos 15sin 22=++ ,…，由此得出以下推广命题不正确．．．的是 . ①43cos sin cos sin 22=++βαβα； ②43cos )30sin(cos )30(sin 22=-++-αααα； ③43)15cos()15sin()15(cos )15(sin 22=+-+++-αααα； ④43)30cos(sin )30(cos sin 22=++++αααα. 15. 甲、乙两人约定上午7:00至8:00之间到某站乘公共汽车，在这段时间内有3班公共汽车，它们开车时刻分别为7:20，7:40，8:00，如果他们约定，见车就乘，则甲、乙同乘一车的概率为（假定甲、乙 两人到达车站的时刻是互相不牵连的，且每人在7时到8时的任何时刻到达车站是等可能的） . 16．给定下列结论：①已知命题p ：1tan ,=∈∃x R x ；命题q :.01,2>+-∈∀x x R x则命题“q p ⌝∧”是假命题；②已知直线1l ：01:,0132=++=-+by x l y ax ，则1l ⊥2l 的充要条件是3-=ba； ③若31)sin(,21)sin(=-=+βαβα，则βαtan 5tan =； ④圆012422=+-++y x y x 与直线x y 21=相交，所得弦长为2.其中正确命题的序号为 （把你认为正确的命题序号都填上）.三、解答题：本大题有6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知,,A B C 是三角形ABC ∆三内角，向量(1,13sin ),(cos ,1)m A n A =-=，且m n ⊥. （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若a c b 3=+，求)6sin(πB +的值.18．（本小题满分12分）有混在一起质地均匀且粗细相同的长分别为1m 、2m 、3m 的钢管各3根（每根钢管附有不同的编号），现随意抽取4根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的），再将抽取的4根首尾相接焊成笔直的一根.（Ⅰ）求抽取的4根钢管中恰有2根长度相同的概率；（Ⅱ）若用ξ表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计），试求ξ的概率分布和数学期望.19.（本小题满分12分）如图，在三棱锥S —ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA=SC=32，M 、N 分别为AB 、SB 的中点. （1）求证：AC ⊥SB（2）求二面角N —CM —B 的正切值； （3）求B 的平面CMN 的距离.20.（本小题满分12分）定义域为D 的函数)(x f 和)(x g ，若对于任意的D x ∈总有,101)()()(≤-x f x g x f 那么称)(x f 可被)(x g 替代（通常)(x f ≠)(x g ）.（1）试找出一个可以替代函数21)(x x f =的函数)(x g ，且)(x f ≠)(x g ； （2）试判断函数]16,4[,)(∈=x x x f 是否可被一次函数]16,4[,56)(∈+=x x x g 替代，并说明理由.21.（本小题满分12分）如图，ADB 为半圆，AB 为半圆直径，O 为半圆圆心，且OD ⊥AB ，Q 为线段OD 的中点，已知|AB |=4，曲线C 过Q 点，动点P 在曲线C 上运动且保持|PA|+|PB|的值不变. （1）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；（2）过D 点的直线l 与曲线C 相交于不同的两个点M 、N ，且M 在D 、N 之间,满足DN DM λ=，求λ的取值范围；（3）过D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M 、N ，求△OMN 面积的最大值.22.（本小题满分14分）已知函数3()log ()f x ax b =+的图象经过点A(2,1)和B （5，2），记()*3,.f n n a n N =∈ （Ⅰ）求函数()f x 的解析式以及数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）求使不等式12)11()11)(11(21+≥+++n p a a a n对一切*N n ∈均成立的最大实数p ； （Ⅲ）在数列}{n a 中，对每一个k ∈*N ，在k a 与1+k a 之间插入12-k 个2，得到新数列}{n b ，设n T 是数列}{n b 的前n 项和，试问是否存在正整数m ，使得m T =2007成立.若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由.[参考答案]一、选择题（每小题5分，共60分）ADCCA BBBAD BC二、填空题（每小题4分，共16分）13. -1-3i 14. ① 15.1316 ①③三、解答题：17．解：（Ⅰ）∵m n ⊥，∴0m n ⋅=，∴0sin 31cos =-+A A ，1cos sin 3=-A A ，21)6sin(=-πA ，…………………………………………………………3分∵πA <<0，∴6566ππA π<-<-，∴66ππA =-，∴3πA =………………………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）∵a c b 3=+，∴由正弦定理得23sin 3sin sin ==+A C B ,∵32πC B =+ ， ∴23)32sin(sin =-+B πB ，23sin 23cos 23=+B B ，………………………………………9分即23)6sin(=+πB …………………………………………………………………………………12分 18．解：（Ⅰ）抽取的4根钢管中恰有2根长度相同的概率为：149)(4913132313=⋅⋅=C C C C C P .…………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）新焊接成钢管的长度的可能值有7种，最短的可能值为5m ，最长的可能值为11m .当4211154913115=====C C P P m m 时的概率为与ξξ， 当21210649132323106=+====C C C C P P m m 时的概率为与ξξ， 当21597241313231397=+====C C C C C P P m m 时的概率为与ξξ， 当7284923231313238=+==C C C C C C P m 时的概率为ξ.………………………………………………8分ξ∴的分布列为：842111211021978217216425=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯=∴ξE .………………………12分19. 解：（1）取AC 中点为D ，∵BD AC DC AD BC AB AC SD DC AD SC SA ⊥⇒⎭⎬⎫==⊥⇒⎭⎬⎫==,，∴AC ⊥平面SDB ， ∴AC ⊥SB ；…………………………………………………………………………3分（2）取DB 中点为E∵N 为SB 的中点，∴NE ∥SD又∵平面SAC ⊥平面ABC ，SD ⊥AC ，SD 在平面SAC 内， ∴SD ⊥平面ABC ，∴NE ⊥平面ABC ，过E 作EF ⊥CM 于F ， ∴NF ⊥CM，∴∠NFE 为所求二面角N —CM —B 的平面角.…………………………………………………………6分在正三角形ABC 中，设中线BD 与CM 交于G ，,41,21,32BG GE BD BE BD BG =∴==∴∵CM ⊥MB ，∴EF //MB ，,2141==MB EF 又SA=SC=,32221,22===∴SD NE SD在三角形NEF 中，tan NENFE EF∠== 所以二面角的正切值为…………………9分 （3）设B 到平面CMN 的距离为h ，CMN CMB CMB N CMN B hS NES V V ∆∆--==即, ， ,2323222=+===∆NE EF NF NEF NE S CMB 中，，在直角三角形，324,23321=∴=⋅=∆h NF CM S CMN . …………………………………………………12分20.解：（1）由定义解得221011)(109x x g x ≤≤，取22021)(xx g =即可. …………………………………4分 （2）)6(511)()()(xx x f x g x f +-=-，①② ③令xx x h 6)(+=，则xx x xx xx h 26321)(-=-='.令60)(=='x x h 得，…………………………………………………………………………………6分 当)6,4()(,0)(,64在所以时x h x h x <'<<上是减数函数； 当0)(,166>'<<x h x 时，所以)(x h 在（4，6）上是增函数.]16,4[)(在x h ∴的极小值是62)6(=h ，…………………………………………………………9分又211)16(,5)4(==h h ，211)(62≤≤∴x h ， ]5625,101[)()()(--∈-∴x f x g x f ，()()1||[0,]()10f x g x f x -∈ .)()(替代可以被x g x f ∴……………………………………………………………………………12分21.解：（1）以AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，O 为原点，建立平面直角坐标系..4||52122|Q |||||||22=>=+=+=+AB B QA PB PA∴由线C 以原点为中心，A 、B 为焦点的椭圆，设其长半轴长为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ， 则,522=a ∴.1,2,5===b c a∴曲线C 的方程为：.1522=+y x ………………………………………………………………2分 （2）（i ）当l 与y 轴重合时，.31=λ ………………………………………………………………3分（ii ）当l 与y 轴不重合时，设直线l 的方程为2+=kx y ，代入曲线C 的方程并整理，得.01520)51(22=+++kx x k设),,(),,(2211y x N y x M 则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+-=+>⋅+-=∆.5115,5120015)51(4)20(22122122k x x k k x x k k 由①得.532>k ………………………………………………………………………………………6分又∵,2121x x x x x x DN DM D D =--==λ M 在D 、N 之间，故.001212>><<x x x x 或∴.10<<λ……………………………………7分由15380153805115)51(400212)(2222222122121221+=+=++=++=++=+kk k k k k x x x x x x x x λλ而,532>k ∴.316214,3161538042<++<<+<λλ即k ∴.1331≠<<λλ且 综上所述，.131<≤λ …………………………………………………………………………9分 （3）点O 到直线MN 的距离,122kd +=弦MN 的长,516010014)(1||222212212k k k x x x x k MN +-⋅+=-+⋅+=∴225115252||21kk d MN S OMN+-=⋅=∆，……………………………………………………10分 设,2515,1525222+==-m k m k 则 ∵,532>k ∴.0>M .252021020102010155102515512222=≤+=+=++=+⋅+=∆m m m m m m m m S OMN当且仅当5220==m m m 即时等号成立.此时.572=k ∴△OMN 的面积有最大值为.25…………………………………………………………………12分 22.解：（I ）由已知，得⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=+=+,1,2,2)5(log ,1)2(log 33b a b a b a 解得…………………………………………………2分 *)12(log 3,123).12(log )(3Nn n a x x f n n ∈-==-=∴-数列{}n a 的通项公式为21n a n =-.……………………………………………………………4分（II）由题意12111)(1)(1)np a a a ≤+++对n ∈*N 恒成立..1)1(2)1(2)1(4)1(2)32)(12(22)()1(),11()11)(11(121221=++=++>+++=+++++=n n n n n n n n F n F a a a n F nn 则记∵()0F n >，(1)()F n F n +>,()F n 随n 增大而增大.∴()F n 的最小值为(1)F 3=. ∴p ≤332，即p 的最大值为332.……………………………………………………9分 （Ⅲ）∵a n =2n －1，∴在数列{b n }中，a n 及其前面所有项之和为[135(21)]n +++-+1212(222)2 2.n n n -+++=+-. …………………………11分显然可得21021110+22=1122<2007<11+22=2167. －－又10a 在数列{}n b 中的项数为521，11a 在数列{}n b 中的项数为1034,∴5211034112220072167.T T =<<=且20071122885-=不能被2整除.∴满足2007m T =的正整数m 不存在. ……………………………………………………14分。
