高考数学一轮基础知识反馈卡 第13章 第5讲 直线、平面垂直的判定与性质 文

§13.3 垂直的判定与性质考纲解读考点内容解读 要求五年高考统计常考题型 预测热度2013 2014 2015 2016 20171.线面垂直的判定与性质1.线面垂直的证明2.线面垂直的性质应用B16题14分解答题 ★★★2.面面垂直的判定与性质1.面面垂直的证明2.面面垂直的性质应用B15题14分 解答题 ★★★分析解读 空间垂直问题是某某高考的热点内容,主要考查线面垂直和面面垂直的判定与性质运用,复习时要认真掌握解决垂直问题常用的方法,识别一些基本图形如:锥体、柱体的特征.五年高考考点一 线面垂直的判定与性质1.(2016某某理,2,5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n 满足m∥α,n⊥β,则以下说法正确的是.①m∥l;②m∥n;③n⊥l;④m⊥n. 答案 ③2.(2015某某,16,14分)如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,已知AC⊥BC,BC=CC 1,设AB 1的中点为D,B 1C∩BC 1=E. 求证:(1)DE∥平面AA 1C 1C; (2)BC 1⊥AB1.证明 (1)由题意知,E 为B 1C 的中点, 又D 为AB 1的中点,因此DE∥AC. 又因为DE ⊄平面AA 1C 1C,AC ⊂平面AA 1C 1C, 所以DE∥平面AA 1C 1C.(2)因为棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC,所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC,CC1⊂平面BCC1B1,BC⊂平面BCC1B1,BC∩CC1=C,所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1,所以BC1⊥AC.因为BC=CC1,所以矩形BCC1B1是正方形,因此BC1⊥B1C.因为AC,B1C⊂平面B1AC,AC∩B1C=C,所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC,所以BC1⊥AB1.3.(2015某某,19,13分)如图,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,∠BAC=60°.(1)求三棱锥P-ABC的体积;(2)证明:在线段PC上存在点M,使得AC⊥BM,并求的值.解析(1)由题设AB=1,AC=2,∠BAC=60°,可得S△ABC=·AB·AC·sin 60°=.由PA⊥平面ABC,可知PA是三棱锥P-ABC的高,又PA=1,所以三棱锥P-ABC的体积V=·S△ABC·PA=.(2)在平面ABC内,过点B作BN⊥AC,垂足为N.在平面PAC内,过点N作MN∥PA交PC于点M,连结BM.由PA⊥平面ABC知PA⊥AC,所以MN⊥AC.由于BN∩MN=N,故AC⊥平面MBN.又BM⊂平面MBN,所以AC⊥BM.在直角△BAN中,AN=AB·cos∠BAC=,从而NC=AC-AN=.由MN∥PA,得==.4.(2015某某,20,12分)如图,三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠ABC=,点D,E在线段AC上,且AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点F在线段AB上,且EF∥BC.(1)证明:AB⊥平面PFE;(2)若四棱锥P-DFBC的体积为7,求线段BC的长.解析(1)证明:如图,由DE=EC,PD=PC知,E为等腰△PDC中DC边的中点,故PE⊥AC.又平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,PE⊂平面PAC,PE⊥AC,所以PE⊥平面ABC,从而PE⊥AB.因∠ABC=,EF∥BC,故AB⊥EF.从而AB与平面PFE内两条相交直线PE,EF都垂直,所以AB⊥平面PFE.(2)设BC=x,则在直角△ABC中,AB==,从而S△ABC=AB·BC=x.由EF∥BC知,==,得△AFE∽△ABC,故==,即S△AFE=S△ABC.由AD=AE,S△AFD=S△AFE=·S△ABC=S△ABC=x,从而四边形DFBC的面积为S DFBC=S△ABC-S△AFD=x-x=x.由(1)知,PE⊥平面ABC,所以PE为四棱锥P-DFBC的高.在直角△PEC中,PE===2.体积V P-DFBC=·S DFBC·PE=·x·2=7,故得x4-36x2+243=0,解得x2=9或x2=27,由于x>0,可得x=3或x=3,所以,BC=3或BC=3.5.(2014某某,20,13分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分别是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中点. 求证:(1)直线BC1∥平面EFPQ;(2)直线AC1⊥平面PQMN.证明(1)连结AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知AD1∥B C1,因为F,P分别是AD,DD1的中点,所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图,连结AC,BD,则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,可得CC1⊥BD.又AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1.而AC1⊂平面ACC1,所以BD⊥AC1.因为M,N分别是A1B1,A1D1的中点,所以MN∥BD,从而MN⊥AC1.同理可证PN⊥AC1.又PN∩MN=N,所以直线AC1⊥平面PQMN.教师用书专用(6—8)6.(2014某某,19,12分)如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F,G分别为AC,DC,AD的中点.(1)求证:EF⊥平面BCG;(2)求三棱锥D-BCG的体积.附:锥体的体积公式V=Sh,其中S为底面面积,h为高.解析(1)证明:由已知得△ABC≌△DBC.因此AC=DC.又G为AD的中点,所以CG⊥AD.同理BG⊥AD,因此AD⊥平面BGC.又EF∥AD,所以EF⊥平面BCG.(2)在平面ABC内,作AO⊥CB,交CB延长线于O,由平面ABC⊥平面BCD,知AO⊥平面BDC.又G为AD中点,因此G到平面BDC的距离h是AO长度的一半.在△AOB中,AO=AB·sin 60°=,所以V D-BCG=V G-BCD=·S△DBC·h=×BD·BC·sin 120°·=.7.(2014某某,20,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB=2,∠BAD=,M为BC上一点,且BM=.(1)证明:BC⊥平面POM;(2)若MP⊥AP,求四棱锥P-ABMO的体积.解析(1)证明:如图,连结OB,因为ABCD为菱形,O为菱形的中心,所以AO⊥OB.因为∠BAD=,所以OB=AB·sin∠OAB=2sin=1,又因为BM=,且∠OBM=,所以在△OBM中,OM2=OB2+BM2-2OB·BM·cos∠OBM=12+-2×1××cos=.所以OB2=OM2+BM2,故OM⊥BM.又PO⊥底面ABCD,所以PO⊥BC.从而BC与平面POM内两条相交直线OM,PO都垂直,所以BC⊥平面POM.(2)由(1)可得,OA=AB·cos∠OAB=2·cos=.设PO=a,由PO⊥底面ABCD知,△POA为直角三角形,故PA2=PO2+OA2=a2+3.又△POM也是直角三角形,故PM2=PO2+OM2=a2+.连结AM,在△ABM中,AM2=AB2+BM2-2AB·BM·cos∠ABM=22+-2×2××cos=.由于MP⊥AP,故△APM为直角三角形,则PA2+PM2=AM2,即a2+3+a2+=,得a=或a=-(舍去),即PO=.此时S四边形ABMO=S△AOB+S△OMB=·AO·OB+·BM·OM=××1+××=.所以V P-ABMO=·S四边形ABMO·PO=××=.8.(2013某某,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°.已知PB=PD=2,PA=.(1)证明:PC⊥BD;(2)若E为PA的中点,求三棱锥P-BCE的体积.解析(1)证明:连结AC,交BD于O点,连结PO.因为底面ABCD是菱形,所以AC⊥BD,BO=DO.由PB=PD知,PO⊥BD.再由PO∩AC=O知,BD⊥面APC.因此BD⊥PC.(2)因为E是PA的中点,所以V P-BCE=V C-PEB=V C-PAB=V B-APC.由PB=PD=AB=AD=2知,△ABD≌△PBD.因为∠BAD=60°,所以PO=AO=,AC=2,BO=1.又PA=,PO2+AO2=PA2,即PO⊥AC,故S△APC=PO·AC=3.由(1)知,BO⊥面APC,因此V P-BCE=V B-APC=×·BO·S△APC=.考点二面面垂直的判定与性质1.(2017某某,15,14分)如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证:(1)EF∥平面ABC;(2)AD⊥AC.证明(1)在平面ABD内,因为AB⊥AD,EF⊥AD,所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,BC⊂平面BCD,BC⊥BD,所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD,所以BC⊥AD.又AB⊥AD,BC∩AB=B,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC,所以AD⊥AC.2.(2017某某文,18,12分)由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD 为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD.(1)证明:A1O∥平面B1CD1;(2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM⊥平面B1CD1.证明本题考查线面平行与面面垂直.(1)取B1D1的中点O1,连结CO1,A1O1,由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,所以A1O1∥OC,A1O1=OC,因此四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1O∥O1C.又O1C⊂平面B1CD1,A1O⊄平面B1CD1,所以A1O∥平面B1CD1.(2)因为AC⊥BD,E,M分别为AD和OD的中点,所以EM⊥BD,又A1E⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以A1E⊥BD,因为B1D1∥BD,所以EM⊥B1D1,A1E⊥B1D1,又A1E,EM⊂平面A1EM,A1E∩EM=E,所以B1D1⊥平面A1EM,又B1D1⊂平面B1CD1,所以平面A1EM⊥平面B1CD1.教师用书专用(3)3.(2016,18,14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.(1)求证:DC⊥平面PAC;(2)求证:平面PAB⊥平面PAC;(3)设点E为AB的中点.在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由.解析(1)证明:因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥DC.(2分)又因为DC⊥AC,AC∩PC=C,所以DC⊥平面PAC.(4分)(2)证明:因为AB∥DC,DC⊥AC,所以AB⊥AC.(6分)因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥AB.(7分)又AC∩PC=C,所以AB⊥平面PAC.又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAC.(9分)(3)棱PB上存在点F,使得PA∥平面CEF.证明如下:(10分)取PB中点F,连结EF,CE,CF.又因为E为AB的中点,所以EF∥PA.(13分)又因为PA⊄平面CEF,所以PA∥平面CEF.(14分)三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一线面垂直的判定与性质1.(苏教必2,一,2,变式)如图所示,已知矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD,则a的值等于.答案 22.(苏教必2,一,2,变式)如图,已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,则图中共有个直角三角形.答案 43.(2018某某海安高级中学高三阶段考试)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面A1ACC1是边长为2的菱形,∠A1AC=60°,在平面ABC中,AB=2,BC=4,M为BC的中点,过A1,B1,M三点的平面交AC于点N.(1)求证:N为AC的中点;(2)求证:AC⊥平面A1B1MN.证明(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1,平面ABC∥平面A1B1C1,∵平面A1B1M∩平面ABC=MN,平面A1B1M∩平面A1B1C1=A1B1,所以MN∥A1B1.因为AB∥A1B1,所以MN∥AB,所以=.因为M为BC的中点,所以N为AC的中点.(2)因为四边形A1ACC1是边长为2的菱形,∠A1AC=60°,所以在三角形A1AN中,AN=1,AA1=2,由余弦定理得A1N=,故A1A2=AN2+A1N2,所以∠A1NA=90°,即A1N⊥AC.在三角形ABC中,AC=2,AB=2,BC=4,所以BC2=AB2+AC2,所以∠BAC=90°,即AB⊥AC.又MN∥AB,所以AC⊥MN.因为MN∩A1N=N,MN⊂面A1B1MN,A1N⊂面A1B1MN,所以AC⊥平面A1B1MN.4.(2017某某某某期末调研,16)如图,在四棱锥E-ABCD中,平面EAB⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形,EA⊥EB,点M,N分别是AE,CD的中点.求证:(1)直线MN∥平面EBC;(2)直线EA⊥平面EBC.证明(1)取BE的中点F,连结CF,MF,因为M是AE的中点,所以MF∥AB,MF=AB,又N是矩形ABCD的边CD的中点,所以NC∥AB,NC=AB,所以MF NC,所以四边形MNCF是平行四边形,所以MN∥CF,又MN⊄平面EBC,CF⊂平面EBC,所以MN∥平面EBC.(2)在矩形ABCD中,BC⊥AB,因为平面EAB⊥平面ABCD,平面ABCD∩平面EAB=AB,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面EAB,又EA⊂平面EAB,所以BC⊥EA,又EA⊥EB,BC∩EB=B,EB,BC⊂平面EBC,所以EA⊥平面EBC.5.(2017苏锡常镇四市教学情况调研(一),16)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C是菱形,AC1与A1C交于点O,E是棱AB上一点,且OE∥平面BCC1B1.(1)求证:E是AB的中点;(2)若AC1⊥A1B,求证:AC1⊥CB.证明(1)连结BC1,因为OE∥平面BCC1B1,且OE⊂平面ABC1,平面BCC1B1∩平面ABC1=BC1,所以OE∥BC1.因为侧面AA1C1C是菱形,AC1∩A1C=O,所以O是AC1的中点,所以E是AB的中点.(2)因为侧面AA1C1C是菱形,所以AC1⊥A1C,又AC1⊥A1B,A1C∩A1B=A1,A1C,A1B⊂面A1BC,所以AC1⊥面A1BC,因为BC⊂平面A1BC,所以AC1⊥BC.考点二面面垂直的判定与性质6.(2018某某某某中学高三阶段测试)如图,在几何体中,四边形ABCD为菱形,对角线AC与BD的交点为O,四边形DCEF为梯形,EF∥CD,FB=FD.(1)若CD=2EF,求证:OE∥平面ADF;(2)求证:平面ACF⊥平面ABCD.证明(1)取AD的中点G,连结OG,FG,∵对角线AC与BD的交点为O,∴OG∥CD,OG=CD.∵EF∥CD,CD=2EF,∴OG∥EF,OG=EF,∴四边形OGFE为平行四边形,∴OE∥FG.∵FG⊂平面ADF,OE⊄平面ADF,∴OE∥平面ADF.(2)连结OF.∵四边形ABCD为菱形,∴OC⊥BD,∵FB=FD,O是BD的中点,∴OF⊥BD.又∵OF∩OC=O,∴BD⊥平面ACF.∵BD⊂平面ABCD,∴平面ACF⊥平面ABCD.7.(2017某某某某辅仁中学质检,16)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AC⊥BD,AC与BD交于点O,且平面PAC⊥平面ABCD,E为棱PA上一点.(1)求证:BD⊥OE;(2)若AB=2CD,AE=2EP,求证:EO∥平面PBC.证明(1)因为平面PAC⊥底面ABCD,平面PAC∩底面ABCD=AC,BD⊥AC,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥平面PAC,又因为OE⊂平面PAC,所以BD⊥OE.(2)因为AB∥CD,AB=2CD,AC与BD交于O,所以CO∶OA=CD∶AB=1∶2,又因为AE=2EP,所以CO∶OA=PE∶EA,所以EO∥PC,又因为PC⊂平面PBC,EO⊄平面PBC,所以EO∥平面PBC.8.(2017某某某某,某某一模,15)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BC⊥AC,D,E分别是AB,AC的中点.(1)求证:B1C1∥平面A1DE;(2)求证:平面A1DE⊥平面ACC1A1.证明(1)因为D,E分别是AB,AC的中点,所以DE∥BC,又因为在三棱柱ABC-A1B1C1中,B1C1∥BC,所以B1C1∥DE.又B1C1⊄平面A1DE,DE⊂平面A1DE,所以B1C1∥平面A1DE.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,又DE⊂底面ABC,所以CC1⊥DE.又BC⊥AC,DE∥BC,所以DE⊥AC,又CC1,AC⊂平面ACC1A1,且CC1∩AC=C,所以DE⊥平面ACC1A1.又DE⊂平面A1DE,所以平面A1DE⊥平面ACC1A1.9.(苏教必2,一,2,变式)如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.将△ABD沿对角线BD折起,记折起后A的位置为点P,且使平面PBD⊥平面BCD.求证:(1)CD⊥平面PBD.(2)平面PBC⊥平面PDC.证明(1)∵AD=AB,∠BAD=90°,∴∠ABD=∠ADB=45°,又∵AD∥BC,∴∠DBC=45°,又∠DCB=45°,∴∠BDC=90°,即BD⊥DC.∵平面PBD⊥平面BCD,平面PBD∩平面BCD=BD,∴CD⊥平面PBD.(2)由CD⊥平面PBD得CD⊥BP.又BP⊥PD,PD∩CD=D,∴BP⊥平面PDC.又BP⊂平面PBC,∴平面PBC⊥平面PDC.B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:20分时间:10分钟)一、填空题(每小题5分,共5分)1.(苏教必2,一,2,变式)设m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下列命题正确的是.①若m⊥n,n∥α,则m⊥α;②若m∥β,β⊥α,则m⊥α;③若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥α;④若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α.答案③二、解答题(共15分)2.(2017某某某某、某某、某某三模,16)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,平面PAD⊥平面ABCD,AP=AD,M,N分别为棱PD,PC的中点.求证:(1)MN∥平面PAB;(2)AM⊥平面PCD.证明(1)因为M,N分别为棱PD,PC的中点,所以MN∥DC,又因为底面ABCD是矩形,所以AB∥DC,所以MN∥AB.又AB⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,所以MN∥平面PAB.(2)因为AP=AD,M为PD的中点,所以AM⊥PD.因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CD⊥AD,CD⊂平面ABCD,所以CD⊥平面PAD.又AM⊂平面PAD,所以CD⊥AM.因为CD,PD⊂平面PCD,CD∩PD=D,所以AM⊥平面PCD.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 证明线面垂直的方法1.(2017某某某某师X大学附属中学调研)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,点E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.(1)求证:PA∥平面EBD;(2)求证:PB⊥平面EFD.证明(1)连结BE,BD,AC,设AC交BD于G,连结EG,则G为AC的中点,在△PAC中,E为PC的中点,G为AC的中点,故PA∥EG,又EG⊂面BED,PA⊄面BED,所以PA∥平面EBD.(2)∵PD⊥面ABCD,∴PD⊥BC.∵BC⊥CD,PD∩CD=D,PD,CD⊂面PCD,∴BC⊥面PCD,又DE⊂面PCD,∴BC⊥DE,∵PD=CD,E为PC的中点,∴DE⊥PC,又BC∩PC=C,BC,PC⊂面PBC,∴DE⊥面PBC,又PB⊂面PBC,∴DE⊥PB,又∵PB⊥EF,EF∩DE=E,EF,DE⊂面EFD,∴PB⊥平面EFD.方法2 证明面面垂直的方法2.(2017某某某某期中,17)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱DD1的中点,求证: (1)BD1∥平面EAC;(2)平面EAC⊥平面AB1C.证明(1)连结BD交AC于O,连结EO.易知O为BD的中点,因为E为DD1的中点,所以EO∥BD1. 又BD1⊄平面EAC,EO⊂平面EAC,所以BD1∥平面EAC.(2)易知AC⊥BD,DD1⊥平面ABCD,所以DD1⊥AC,因为BD∩DD1=D,所以AC⊥平面BDD1,所以AC⊥BD1,同理可证AB1⊥BD1,又AC∩AB1=A,所以BD1⊥平面AB1C,因为EO∥BD1,所以EO⊥平面AB1C,又EO⊂平面EAC,所以平面EAC⊥平面AB1C.。

第5节直线、平面垂直的判定及其性质最新考纲i.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.口归敦材，夯寳基础知识梳理1 .直线与平面垂直(1) 直线和平面垂直的定义如果一条直线I与平面a内的任意直线都垂直，就说直线I与平面a互相垂直.2.平面与平面垂直(1) 平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.［常用结论与微点提醒］1. 垂直关系的转化判定判定判定I线线曜頁普堰血匝巫器面画垂宜f 性踰性険性质2. 直线与平面垂直的五个结论(1) 若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.(2) 若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(3) 垂直于同一条直线的两个平面平行.(4) 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.(5) 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.诊断自测1. 思考辨析(在括号内打“V”或“X”)(1) 直线I与平面a内的无数条直线都垂直，则1丄口()(2) 垂直于同一个平面的两平面平行.()(3) 若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面. ()(4) 若平面a内的一条直线垂直于平面B内的无数条直线，则a丄3( )解析(1)直线I与平面a内的无数条直线都垂直，则有I丄a或I与a斜交或I? a或I // a,故⑴错误.(2) 垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误.(3) 若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误.（4）若平面a内的一条直线垂直于平面B内的所有直线，则aL B,故（4）错误. 答案（1）X ⑵X ⑶X ⑷X2. （必修2P56A组7T改编）下列命题中错误的是（）A .如果平面a丄平面B,那么平面a内一定存在直线平行于平面BB. 如果平面a不垂直于平面B,那么平面a内一定不存在直线垂直于平面BC. 如果平面a丄平面Y平面肚平面Y aG A l，那么I丄平面丫D. 如果平面a丄平面B,那么平面a内所有直线都垂直于平面B解析对于D,若平面a丄平面B,则平面a内的直线可能不垂直于平面B,即与平面B的关系还可以是斜交、平行或在平面B内，其他选项易知均是正确的. 答案D3. （2016浙江卷）已知互相垂直的平面a, B交于直线I,若直线m , n满足m// a, n LB,则（）A. m/ IB. m / nC. n丄I D . m丄n解析因为an片I，所以I? B ,又n丄B,所以n丄I,故选C.答案C4. （2017全国川卷）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（）A. A1E L DC1 B . A1E L BDC. A1E L BC1 D . A1E L AC解析如图，由题设知，A1B1丄平面BCC1B1且BC1?平面BCC1B1，从而A1B1L BC1,又B1C L BC1,且A1B1G BQ= B1,所以BC1 丄平面A1B1CD,又A1E? 平面A1B1CD，所以A1E L BC1.答案C5. （2017浙江名校协作体联考）已知矩形ABCD, AB= 1, BC= 2.将厶ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，（）A •存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B. 存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C. 存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D. 对任意位置，三对直线“ AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直解析若AB丄CD，BC丄CD，则可得CD丄平面ACB，因此有CD丄AC.因为AB=1，BC= AD= 2，CD= 1，所以AC= 1，所以存在某个位置，使得AB丄CD. 答案B 6. (必修2P67练习2改编)在三棱锥P —ABC中，点P在平面ABC中的射影为点0，(1)若PA= PB= PC,则点0 是厶ABC 的________ 心.⑵若PA丄PB，PB丄PC，PC丄PA，则点0是厶ABC的______ 心.解析(1)如图1,连接OA, OB，OC，0P，在Rt A POA、Rt△ POB 和Rt△ POC 中，PA= PC= PB，所以OA= OB = OC，即卩O ABC的外心.(2)如图2，T PC丄PA，PB丄PC，PA A PB= P，••• PC丄平面FAB，AB?平面PAB，••• PC丄AB,又AB丄PO，PO A PC= P，••• AB 丄平面PGC，又CG?平面PGC，二AB丄CG，即CG ABC边AB的高.同理可证BD，AH分别为△ ABC边AC，BC上的高，即O ABC的垂心.答案(1)外⑵垂图1I考点突破丨分类讲练■、以例求试考点一线面垂直的判定与性质【例1】如图，在四棱锥P —ABCD中，FA丄底面ABCD,AB丄AD, AC 丄CD,/ ABC= 60° PA=AB= BC, E 是PC 的中点.证明：（1）CD 丄AE;（2）PD丄平面ABE.证明（1）在四棱锥P —ABCD中，v PA 丄底面ABCD , CD?平面ABCD,：PA 丄CD,又••• AC丄CD, 且FA P AC = A,••• CD丄平面PAC.而AE?平面PAC,••• CD 丄AE.（2）由PA=AB= BC ,Z ABC = 60° 可得AC = PA.v E是PC的中点，二AE丄PC.由（1）知AE丄CD , 且PC P CD = C,••• AE丄平面PCD.而PD?平面PCD,：AE 丄PD.v PA丄底面ABCD , AB?平面ABCD ,:PA丄AB.又v AB丄AD ,且PA P AD = A ,:AB丄平面PAD ,而PD?平面PAD ,:AB丄PD.又v AB P AE= A, : PD 丄平面ABE.规律方法（1）证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的传递性（a// b , a丄a b± a ）；③面面平行的性质（a丄a, all B ? a X p ）；④面面垂直的性质（a丄B, aA a, I丄a, I? B ?l丄a ）.（2）证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.【训练1】如图所示，已知AB为圆0的直径，点D为线段AB上一点，且AD 1=3DB，点 C 为圆0 上一点，且BC= 3AC，PD 丄平面ABC, PD= DB.求证：PA X CD.证明因为AB为圆0的直径，所以AC X CB.在Rt A ABC 中，由3AC = BC 得，/ ABC= 30°设AD = 1,由3AD = DB 得，DB = 3，BC = 2 3.由余弦定理得CD2= DB2+ BC2—2DB BCcos 30= 3, 所以CD2+ DB2= BC2,即CD 丄AB.因为PD丄平面ABC, CD?平面ABC,所以PD丄CD，由PD A AB= D得，CD丄平面PAB,又PA?平面PAB,所以PA X CD.考点二面面垂直的判定与性质【例2】（2017江苏卷）如图，在三棱锥A—BCD中，AB X AD, BC丄BD,平面ABD X 平面BCD,点E, F（E与A, D不重合）分别在棱AD, BD上，且EF X AD.求证：（1）EF //平面ABC;(2)AD 丄AC.证明(1)在平面ABD内，AB X AD, EF丄AD , 贝U AB // EF.••• AB?平面ABC, EF?平面ABC,••• EF//平面ABC.(2)v BC丄BD，平面ABD G平面BCD = BD，平面ABD丄平面BCD, BC?平面BCD，二BC丄平面ABD.••• AD?平面ABD，二BC 丄AD.又AB丄AD，BC，AB?平面ABC，BC G AB= B，••• AD丄平面ABC，又因为AC?平面ABC,：AD丄AC.规律方法(1)证明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理.(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.【训练2】(2017 山东卷)由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C i-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形，0为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E丄平面ABCD.(1)证明：A1O //平面B1CD1；⑵设M是0D的中点，证明：平面A1EM丄平面B1CD1. 证明(1)取B1D1的中点01，连接CO1, A1O1，由于ABCD —A1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1 // 0C，A1O1 = 0C，因此四边形A10C01为平行四边形，所以A1O// 01C，又01C?平面B1CD1，A10?平面B1CD1，所以A10 //平面B1CD1.(2)因为AC丄BD , E, M分别为AD和OD的中点，所以EM丄BD,又A I E丄平面ABCD, BD?平面ABCD,所以A i E丄BD,因为B i D i // BD，所以EM丄B i D i, A i E丄B i D i,又A I E, EM?平面A i EM , A i E A EM = E,所以B i D i丄平面A i EM ,又B i D i?平面B i CD i,所以平面A i EM丄平面B i CD i.考点三平行与垂直的综合问题(多维探究)命题角度i多面体中平行与垂直关系的证明【例3-U 如图，在直三棱柱ABC —A i B i C i中，D, E分别为AB, BC的中点, 点F 在侧棱B i B上，且B i D丄A i F, A i C i丄A i B i.求证：(1) 直线DE //平面A i C i F;⑵平面B i DE丄平面A i C i F.证明(i)在直三棱柱ABC—A i B i C i中，A i C i / AC.在厶ABC中，因为D, E分别为AB, BC的中点，所以DE // AC,于是DE// A i C i.又因为DE?平面A i C i F, A i C i?平面A i C i F,所以直线DE //平面A i C i F.(2) 在直三棱柱ABC—A i B i C i中，A i A丄平面A i B i C i.因为A i C i?平面A i B i C i，所以A i A丄A i C i.又因为A i C i丄A i B i, A i A?平面ABB i A i, A i B i?平面ABB i A i, A i A A A i B i= A i, 所以A i C i 丄平面ABB i A i.因为B i D?平面ABB i A i,所以A i C i丄B i D.又因为B i D 丄A i F, A1C1?平面A i C i F, A i F?平面A i C i F, A1C1 A A i F = A i,所以B i D丄平面A iC i F.因为直线B i D?平面B i DE，所以平面B i DE丄平面A i C i F.规律方法(i)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.(2)垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用. 命题角度2平行垂直中探索性问题【例3-2】如图所示，平面ABCD丄平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC= CE，点F为CE的中点.(i)证明：AE//平面BDF.⑵点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P,使得PM丄BE?若存在, 确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.(i)证明图①连接AC交BD于0,连接0F，如图①.•••四边形ABCD是矩形，二0为AC的中点，又F为EC的中点, •••0F ACE的中位线，••• OF / AE, 又OF?平面BDF, AE?平面BDF ,••• AE//平面BDF.⑵解当P为AE中点时，有PM丄BE,证明如下：取BE 中点H , 中占I 八、、，••• PH // AB ,又 AB // CD ，二 PH // CD ,： P , H , •••平面 ABCD 丄平面 BCE ，平面 ABCD A 平面 CD 丄 BC.••• CD 丄平面 BCE , 又 BE?平面 BCE ,••• CD 丄 BE ,v BC = CE , H 为 BE 的中点，二 CH 丄BE ,又 CD A CH = C ,： BE 丄平面 DPHC ，又 PM?平面 DPHC , ••• BE 丄 PM ，即 PM 丄 BE.规律方法 （1）求条件探索性问题的主要途径：①先猜后证，即先观察与尝试给 出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件， 再证明充分性.（2）涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索 点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.【训练3】（2018嘉兴七校联考）在如图所示的几何体中，面 CDEF 为正方形, 面 ABCD 为等腰梯形，AB // CD , AC = . 3, AB = 2BC = 2, AC 丄FB.⑴求证：AC 丄平面FBC.⑵求四面体FBCD 的体积.⑶线段AC 上是否存在点M ，使EA //平面FDM ?若存在，请说明其位置，并加 以证明；若不存在，请说明理由.⑴证明在厶ABC 中，因为 AC = 3, AB = 2, BC = 1,所以 AC 2 + BC 2= AB 2,••• P 为AE 的中点，H 为BE 的C ,D 四点共面.BCE = BC , CD?平面 ABCD ,所以AC丄BC.又因为AC丄FB, BC G FB = B,所以AC丄平面FBC.⑵解因为AC丄平面FBC , FC?平面FBC，所以AC丄FC. 因为CD丄FC, AC A CD = C,所以FC丄平面ABCD.在等腰梯形ABCD中可得CB= DC = 1,所以FC = 1.所以△ BCD的面积为S^43.1 U3所以四面体FBCD的体积为V F—BCD = 3S FC = 12.⑶解线段AC上存在点M，且点M为AC中点时，有EA//平面FDM.证明如下:连接CE，与DF交于点N,取AC的中点M，连接MN.因为四边形CDEF是正方形，所以点N为CE的中点.所以EA // MN.因为MN?平面FDM , EA?平面FDM ,所以EA//平面FDM.所以线段AC上存在点M，且M为AC的中点，使得EA//平面FDM成立.I课乍业分层训练■，提升能力基础巩固题组一、选择题1. （2018绍兴检测）已知平面辽平面B,且aA b, a? a ,贝a丄b”是“ a丄0'的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析平面a丄平面0且aA 0= b, a? a ,若a丄b,则a丄0充分性成立；平面a丄平面B,因为aA b,所以b? B,若a丄B,则a丄b,必要性成立，所以“a丄b”是“ a丄B的充要条件，故选C.答案C2. （2015浙江卷）设a, B是两个不同的平面，I, m是两条不同的直线，且I? a , m?B （）A .若I丄B,贝U aXB B .若a丄B,则I丄mC.若I // B,贝U all B D .若all B,则I // m解析由面面垂直的判定定理，可知A选项正确；B选项中，I与m可能平行；C选项中，a与B可能相交；D选项中，I与m可能异面.答案A3.若平面a, B满足a丄B, aA B= I ,P€ a , P?I，则下列命题中是假命题的为（）A .过点P垂直于平面a的直线平行于平面BB. 过点P垂直于直线I的直线在平面a内C. 过点P垂直于平面B的直线在平面a内D. 过点P且在平面a内垂直于I的直线必垂直于平面B解析由于过点P垂直于平面a的直线必平行于平面B内垂直于交线的直线，因此也平行于平面B,因此A正确.过点P垂直于直线I的直线有可能垂直于平面a,不一定在平面a内，因此B不正确.根据面面垂直的性质定理知，选项C , D正确.答案B4. 如图,在正四面体P-ABC中,D , E , F分别是AB , BC , CA的中点,下面四个结论不成立的是（）A. BC//平面PDFB. DF丄平面FAEC. 平面PDF丄平面PAED.平面PDE丄平面ABC 解析因为BC// DF, DF?平面PDF,BC?平面PDF,所以BC //平面PDF ,故选项A正确.在正四面体中，AE丄BC, PE丄BC, AE G PE= E,••• BC丄平面PAE, DF // BC,贝U DF丄平面PAE, 又DF?平面PDF，从而平面PDF丄平面PAE.因此选项B, C均正确.答案D5. （2017丽水调研）设l是直线，a, B是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A .若I // a, I // B,贝u all PB .若I // a, I 丄B,贝U a丄B C.若a丄B, I丄a,则I // P D .若a丄P I // a,则I丄P解析A中，all P或a与P相交，不正确.B中，过直线I作平面Y设aG尸I ；贝U I'//1 ,由I丄B知I'丄B从而a丄B B正确.C中，I //p或I? p , C不正确.D 中，I与P的位置关系不确定.答案B6. 如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把厶ABD和厶ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD丄AC;②厶BAC是等边三角形；③三棱锥D —ABC是正三棱锥；④平面ADC丄平面ABC.其中正确的是（）A. ①②④ B .①②③C.②③④ D .①③④解析由题意知,BD丄平面ADC ,且AC?平面ADC ,故BD丄AC ,①正确；AD 为等腰直角三角形斜边BC上的高,平面ABD丄平面ACD ,所以AB = AC= BC , △ BAC是等边三角形,②正确；易知DA = DB = DC ,又由②知③正确；由①知④错.答案B二、填空题7. _______________________________________________________________ 如图，已知PA丄平面ABC, BC丄AC,则图中直角三角形的个数为 _____________ .解析T PA丄平面ABC, AB, AC, BC?平面ABC,••• PA丄AB, PA丄AC, PA丄BC,则厶PAB, △ PAC为直角三角形.由BC丄AC, 且AC n PA= A, ••• BC丄平面PAC,从而BC丄PC,因此△ ABC, △ PBC也是直角三角形.答案48. （2018杭州质检）设a, B是两个不同的平面，m是一条直线，给出下列命题：①若m l a, m? B ,贝U a± B；②若m // a , a丄B，贝U m± B其中真命题是__________ 填序号）.解析由面面垂直的判定定理可知①是真命题；若m// a, a丄B,则m, B的位置关系不确定，可能平行、相交或m? B，则②是假命题.答案①9. 如图所示，在四棱锥P- ABCD中，PA丄底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足___________ 寸，平面MBD丄平面PCD（只要填写一个你认为正确的条件即可）.解析由题意可知，BD丄PC.•••当DM丄PC（或BM丄PC）时，有PC丄平面MBD.又PC?平面PCD, •平面MBD丄平面PCD.答案DM丄PC（或BM丄PC等）10. （2016全国U卷改编）a, B是两个平面，m, n是两条直线.⑴如果m l a, n// a,那么m, n的位置关系是 ____________ ;(2)如果m/ n, all B,那么m与a所成的角和n与B所成的角的大小关系是解析(1)由线面平行的性质定理知存在直线I? a , n// I, m l a，所以m l l, 所以m l n.⑵因为m// n,所以m与a所成的角和n与a所成的角相等.因为all B,所以n 与a所成的角和n与B所成的角相等，所以m与a所成的角和n与B所成的角相等.答案(1)垂直(2)相等三、解答题11. 如图，在三棱锥P —ABC中，平面FAB丄平面ABC, PA丄PB, M , N分别为AB, PA的中点.(1) 求证：PB//平面MNC;(2) 若AC= BC,求证：PA丄平面MNC.证明(1)因为M , N分别为AB, PA的中点，所以MN // PB.又因为MN?平面MNC, PB?平面MNC，所以PB//平面MNC.(2)因为FA X PB, MN // PB,所以FA X MN.因为AC= BC, AM = BM，所以CM X AB.因为平面PAB X平面ABC,CM?平面ABC，平面PAB A平面ABC = AB.所以CM丄平面PAB.因为PA?平面PAB,所以CM丄PA.又MN A CM = M，所以PA丄平面MNC.12. (2016北京卷)如图，在四棱锥P —ABCD中，PC X平面ABCD, AB// DC, DC 丄AC.⑴求证：DC 丄平面FAC ;(2)求证：平面FAB 丄平面PAC ;⑶设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ,使得PA //平面CEF ?说明理由.(1)证明 因为PC 丄平面ABCD ,所以PC 丄DC.又因为AC 丄DC ,且PC n AC = C ,所以DC 丄平面PAC.(2)证明 因为AB / DC , DC 丄AC ,所以AB 丄AC.因为PC 丄平面ABCD ，所以PC 丄AB.又因为pe n AC = C ,所以AB 丄平面PAC.又AB?平面PAB ,所以平面PAB 丄平面PAC.⑶解 棱PB 上存在点F ,使得PA //平面CEF.理由如下：取PB 的中点F ，连接EF , CE , CF ,又因为E 为AB 的中点，所以 EF / PA.又因为PA?平面CEF ，且EF?平面CEF , 所以PA //平面CEF.能力提升题组13. (2018舟山调研)在三棱锥P - ABC 中，已知PA 丄底面ABC , AB 丄BC ,E, A. 当AE 丄PB 时，△ AEF 一定为直角三角形B. 当AF 丄PC 时，△ AEF 一定为直角三角形F 分别是线段PB , PC 上的动点，则下列说法错误的是(C •当EF //平面ABC 时，△ AEF —定为直角三角形D •当PC 丄平面AEF 时，△ AEF 一定为直角三角形解析 因为AP I 平面ABC , BC?平面ABC ，所以AP I BC ,又AB 丄BC ,且PA 和AB 是平面PAB 内两条相交直线，则 BC 丄平面PAB ,又AE?平面FAB ,所以 BC 丄AE ,当AE 丄PB 时，AE 丄平面PBC ,又EF?平面PBC ,贝U AE 丄EF , △ AEF 一定是直角三角形，A 正确；当EF //平面ABC 时，EF 在平面PBC 内，平面PBC 与平面ABC 相交于BC ,则EF // BC ,则EF 丄AE , △ AEF 一定是直角三角形， C 正确；当PC 丄平面AEF 时，AE 丄PC ,又AE 丄BC , J 则AE 丄平面PBC ,又EF?平面PBC ，所以AE 丄EF , △ AEF 一定是直角三角形，D 正确；B 中结论无法证 明. 答案 B14. （2017诸暨调研）如图，在正方形ABCD 中，E , F 分别是BC , CD 的中点, 沿AE , AF , EF 把正方形折成一个四面体，使 B , C , D 三点重合，重合后的点 记为P , P 点在△ AEF 内的射影为O ,则下列说法正确的是（ ）解析 由题意可知PA , PE , PF 两两垂直,所以PA 丄平面PEF ,从而PA 丄EF ,而PO 丄平面AEF ，贝U PO 丄EF ，因为POP PA = P ,所以EF 丄平面PAO ,••• EF 丄AO ,同理可知 AE 丄FO , AF 丄EO ,•••O AEF 的垂心.A . O 是厶AEF 的垂心 C. O 是厶AEF 的外心B . O 是厶AEF 的内心D . O 是厶AEF 的重心答案A15. 如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA丄平面ABC, PA= 2AB, 则下列结论中：①PB丄AE;②平面ABC丄平面PBC;③直线BC//平面PAE;④/ PDA=45°其中正确的有________ (把所有正确的序号都填上)•解析由PA丄平面ABC, AE?平面ABC, 得PA丄AE,又由正六边形的性质得AE丄AB, PA A AB = A,得AE丄平面FAB,又PB?平面FAB, A AE丄PB,①正确；又平面PAD丄平面ABC,二平面ABC丄平面PBC不成立，②错；由正六边形的性质得BC/ AD，又AD?平面PAD , BC?平面PAD , A BC//平面PAD , A直线BC//平面PAE也不成立，③错；在Rt △ PAD中，PA =AD= 2AB, A / PDA = 45° A④正确.答案①④16. 如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA 丄CD , AD // BC,/ ADC=Z PAB= 90°BC = CD = 1AD.(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM //平面PAB,并说明理由.⑵证明：平面PAB丄平面PBD.(1)解取棱AD的中点M(M €平面PAD),点M即为所求的一个点，理由如下:因为AD // BC, BC= 2AD.所以BC / AM , 且BC= AM.所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM // AB.又AB?平面PAB.CM?平面PAB.所以CM //平面PAB.(说明：取棱PD 的中点N ,则所找的点可以是直线 MN 上任意一点)(2)证明 由已知，PA 丄AB , FA X CD.因为 AD // BC , BC = 1A D ,所以直线AB 与CD 相交，所以PA 丄平面ABCD.又BD?平面ABCD ,从而PA X BD.1因为 AD // BC , BC = 2AD ,M 为AD 的中点，连接BM ,所以 BC / MD , 且 BC = MD.所以四边形BCDM 是平行四边形，1所以BM = CD = 2AD ，所以BD 丄AB.又AB A AP = A ,所以BD 丄平面PAB.又BD?平面PBD ,所以平面PAB X 平面PBD.17. 如图，三棱台DEF — ABC 中，AB = 2DE , G , H 分别为AC ,BC 的中点. (1)求证：BD //平面FGH ;证明 (1)连接DG , CD ，设CD A GF = M ,连接MH.(2)若 CF 丄BC , AB X BC ,求证：平面 BCD 丄平面EGH.在三棱台DEF－ABC 中，AB= 2DE, G 为AC 中点，可得DF // GC,且DF = GC, 则四边形DFCG 为平行四边形．从而M 为CD 的中点，又H为BC的中点，所以HM / BD, 又HM?平面FGH , BD?平面FGH, 故BD //平面FGH.(2)连接HE，因为G, H分别为AC, BC的中点，所以GH // AB.由AB丄BC,得GH丄BC.又H为BC的中点，所以EF // HC , EF = HC , 因此四边形EFCH 是平行四边形,所以CF // HE.又CF丄BC,所以HE丄BC. 又HE, GH?平面EGH , HE A GH = H , 所以BC丄平面EGH.又BC?平面BCD，所以平面BCD丄平面EGH.。

第五节直线、平面垂直的判定及其性质1．直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义：直线l 与平面α内的任意一条直线❶都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直． (2)直线与平面垂直的判定定理和性质定理：2．平面与平面垂直的判定定理和性质定理定义中强调的是“任意一条直线”，它与“所有直线”是同义的，但与“无数条直线”不同，定义的实质是直线与平面内的所有直线都垂直．如果一条直线与平面内再多(即无数条)的直线垂直，但这些直线不相交就不能说明这条直线与此平面垂直．[熟记常用结论]1．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．2．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．3．若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．4．若一条直线和两个不重合的平面都垂直，那么这两个平面平行．5．三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)垂直于同一个平面的两平面平行．()(2)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．()(3)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.()答案：(1)×(2)×(3)×二、选填题1．给出下列三个命题：①垂直于同一直线的两个平面互相平行；②若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；③若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么这条直线垂直于这个平面．其中真命题的个数是()A．1B．2C．3 D．4答案：B2．设m，n表示直线，α，β表示平面，下列命题为真命题的是()A．若m⊥α，α⊥β，则m∥β B.m∥α，m⊥β，则α⊥βC．若m⊥n，m⊥α，则n∥αD．m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n解析：选B对于A，m可以在β内，故A错；对于C，n可以在α内，故C错；对于D，m与n可以平行，故D错．故选B.3．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()A．α⊥β且m⊂α B.α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且n∥β解析：选C对于选项A，由α⊥β且m⊂α，可得m∥β或m与β相交或m⊂β，故A 不成立；对于选项B，由α⊥β且m∥α，可得m⊂β或m∥β或m与β相交，故B不成立；对于选项C，由m∥n且n⊥β，可得m⊥β，故C正确；对于选项D，由m⊥n且n∥β，可得m∥β或m与β相交或m⊂β，故D不成立，故选C.4．已知P为△ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，有下列结论：①PA⊥BC ；②PB ⊥AC ；③PC ⊥AB ；④AB ⊥BC .其中正确的有________(填序号)．解析：如图，因为PA ⊥PB ，PA ⊥PC ，PB ∩PC ＝P ，且PB ⊂平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，所以PA ⊥平面PBC ，又BC ⊂平面PBC ，所以PA ⊥BC .同理可得PB ⊥AC ，PC ⊥AB .故①②③正确．由已知条件无法得到④.答案：①②③5．已知PD 垂直于正方形ABCD 所在的平面，连接PB ，PC ，PA ，AC ，BD ，则一定互相垂直的平面有________对．解析：如图，由于PD ⊥平面ABCD ，故平面PDA ⊥平面ABCD ，平面PDB ⊥平面ABCD ，平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDA ⊥平面PDC ，平面PAC ⊥平面PDB ，平面PAB ⊥平面PDA, 平面PBC ⊥平面PDC ，共7对．答案：7考点一 线面垂直的判定与性质 [全析考法过关][考法全析]考法(一) 证明线面垂直[例1] 如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥平面PAD ，AB ∥DC ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF ＝12AB ，PH为△PAD 中AD 边上的高．求证：(1)PH ⊥平面ABCD ； (2)EF ⊥平面PAB .[证明] (1)∵AB ⊥平面PAD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴平面PAD ⊥平面ABCD .∵平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PH ⊥AD ， ∴PH ⊥平面ABCD .(2)取PA 的中点M ， 连接MD ，ME . ∵E 是PB 的中点， ∴ME 綊12AB .又∵DF 綊12AB ，∴ME 綊DF ，∴四边形MEFD 是平行四边形，∴EF ∥MD . ∵PD ＝AD ，∴MD ⊥PA .∵AB ⊥平面PAD ，∴MD ⊥AB . ∵PA ∩AB ＝A ，∴MD ⊥平面PAB ， ∴EF ⊥平面PAB . 考法(二) 证明线线垂直[例2] 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为D 1D 的中点，O 为底面ABCD 的中心，求证：B 1O ⊥AP .[证明] 法一：(线面垂直法) 如图(1)，易证AB 1＝CB 1.又因为O 为AC 的中点， 所以B 1O ⊥AC .在矩形BDD 1B 1中，O ，P 分别为BD ，D 1D 的中点． 易证△POD ∽△OB 1B ， 所以∠POD ＝∠OB 1B . 所以B 1O ⊥PO . 又AC ∩PO ＝O ， 所以B 1O ⊥平面PAC . 又AP ⊂平面PAC ， 所以B 1O ⊥AP . 法二：(计算角度法)如图(2)，令PC 的中点为E ， 因为O 为AC 的中点， 所以AP ∥OE .所以∠B 1OE 或其补角是异面直线B 1O 与AP 所成角． 设正方体棱长为4，则B 1C ＝42，B 1P ＝6，PC ＝25， 在△B 1PC 中，由三角形中线长公式可知 B 1E 2＝14[2(B 1P 2＋B 1C 2)－PC 2]＝29，又B 1O ＝26，OE ＝5， 所以B 1O 2＋OE 2＝B 1E 2，所以∠B 1OE ＝90°，所以B 1O ⊥AP .[规律探求][过关训练]1．如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．求证：(1)CD ⊥AE ； (2)PD ⊥平面ABE .证明：(1)∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥CD .∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ， ∴CD ⊥平面PAC .又AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.又PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PD在底面ABCD内的射影是AD，又∵AB⊥AD，∴AB⊥PD.又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.2.如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且3AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝3AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB.求证：PA⊥CD.证明：因为AB为圆O的直径，所以AC⊥BC.在Rt△ABC中，由BC＝3AC，得∠ABC＝30°.设AD＝1，由3AD＝DB得，DB＝3，BC＝2 3.由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BC cos 30°＝3，所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AB.因为PD⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以PD⊥CD.因为PD∩AB＝D，所以CD⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，所以PA⊥CD.考点二面面垂直的判定与性质[师生共研过关][典例精析](2018·成都模拟)如图，在四面体P-ABC中，PA＝PC＝AB＝BC＝5，AC＝6，PB＝42，线段AC，PA的中点分别为O，Q.(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；(2)求四面体P-OB Q的体积．[解](1)证明：∵PA＝PC，O是AC的中点，∴PO⊥AC.在Rt△PAO中，∵PA＝5，OA＝3，∴由勾股定理，得PO＝4.∵AB＝BC，O是AC的中点，∴BO⊥AC.在Rt△BAO中，∵AB＝5，OA＝3，∴由勾股定理，得BO＝4.∵PO＝4，BO＝4，PB＝42，∴PO2＋BO2＝PB2，∴PO⊥BO.∵BO∩AC＝O，∴PO⊥平面ABC.∵PO⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC.(2)由(1)，可知平面PAC⊥平面ABC.∵平面ABC∩平面PAC＝AC，BO⊥AC，BO⊂平面ABC，∴BO⊥平面PAC，∴V B-PO Q＝13S△P Q O·BO＝13×12S△PAO×4＝13×3×4＝4.∵V P-OB Q＝V B-PO Q，∴四面体P-OB Q的体积为4.[解题技法]1．面面垂直判定的2种方法与1个转化(1)2种方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．(2)1个转化：在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．2．面面垂直性质的应用(1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．[过关训练]1．(2019·河南中原名校质量考评)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E，F分别是CD，PC的中点．求证：(1)BE∥平面PAD；(2)平面BEF⊥平面PCD.证明：(1)∵AB∥CD，CD＝2AB，E是CD的中点，∴AB∥DE且AB＝DE，∴四边形ABED为平行四边形，∴AD∥BE，又BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD.(2)∵AB⊥AD，∴四边形ABED为矩形，∴BE⊥CD，AD⊥CD，∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA⊥AD，∴PA⊥底面ABCD.∵CD⊂底面ABCD，∴PA⊥CD，又PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD.∵E，F分别是CD，PC的中点，∴PD∥EF，∴CD⊥EF，又EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF，∵CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.2.如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.证明：(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.考点三平行与垂直的综合问题[师生共研过关][典例精析]由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示．四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD.(1)求证：A1O∥平面B1CD1；(2)设M是OD的中点，求证：平面A1EM⊥平面B1CD1. [证明](1)取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1，因为ABCD-A1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1∥OC，A1O1＝OC，因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1O∥O1C，因为O1C⊂平面B1CD1，A1O⊄平面B1CD1，所以A1O∥平面B1CD1.(2)因为E，M分别为AD，OD的中点，所以EM∥AO.因为AO⊥BD，所以EM⊥BD.又A1E⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以A1E⊥BD，因为B1D1∥BD，所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1，又A1E⊂平面A1EM，EM⊂平面A1EM，A1E∩EM＝E，所以B1D1⊥平面A1EM，又B1D1⊂平面B1CD1，所以平面A1EM⊥平面B1CD1.[解题技法]1．平行关系之间的转化线线平行判定性质线面平行判定性质面面平行在证明线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向是由题目的具体条件而定的，不可过于“模式化”．2．垂直关系之间的转化在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件，同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即：线线垂直判定性质线面垂直判定性质面面垂直在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在图中不存在，则可通过作辅助线来解决．[过关训练]如图，在三棱台ABC -DEF 中，CF ⊥平面DEF ，AB ⊥BC . (1)设平面ACE ∩平面DEF ＝a ，求证：DF ∥a ；(2)若EF ＝CF ＝2BC ，试问在线段BE 上是否存在点G ，使得平面DFG ⊥平面CDE ？若存在，请确定G 点的位置；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：在三棱台ABC -DEF 中，AC ∥DF ，AC ⊂平面ACE ，DF ⊄平面ACE ，∴DF ∥平面ACE .又∵DF ⊂平面DEF ，平面ACE ∩平面DEF ＝a ， ∴DF ∥a .(2)线段BE 上存在点G ，且BG ＝13BE 时，使得平面DFG ⊥平面CDE .证明如下：取CE 的中点O ，连接FO 并延长交BE 于点G ，交CB 的延长线于点H ，连接GD ，∵CF ＝EF ，∴GF ⊥CE .在三棱台ABC -DEF 中，AB ⊥BC ⇒DE ⊥EF . 由CF ⊥平面DEF ⇒CF ⊥DE .又CF ∩EF ＝F ，∴DE ⊥平面CBEF ， ∵GF ⊂平面CBEF ，∴DE ⊥GF .∵CE ∩DE ＝E ，CE ⊂平面CDE ，DE ⊂平面CDE ， ∴GF ⊥平面CDE .又GF ⊂平面DFG ，∴平面DFG ⊥平面CDE . ∵O 为CE 的中点，EF ＝CF ＝2BC ， 由平面几何知识易证△HOC ≌△FOE ， ∴HB ＝BC ＝12EF .由△HGB ∽△FGE ，可知BG GE ＝HB EF ＝12，即BG ＝13BE .[课时跟踪检测]一、题点全面练1．已知直线m，n和平面α，β，则下列四个命题中正确的是()A．若α⊥β，m⊂β，则m⊥αB．若m⊥α，n∥α，则m⊥nC．若m∥α，n∥m，则n∥αD．若m∥α，m∥β，则α∥β解析：选B对于A，若α⊥β，m⊂β，则当m与α，β的交线垂直时才有m⊥α，故A 错；对于B，若n∥α，则α内存在直线a，使得a∥n，∵m⊥α，∴m⊥a，∴m⊥n，故B 正确；对于C，当n⊂α时，显然结论错误，故C错；对于D，若α∩β＝l，则当m∥l时，显然当条件成立时，结论不成立，故D错．故选B.2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是()A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行解析：选D如图所示，连接AC，C1D，BD，则MN∥BD，而C1C⊥BD，故C1C⊥MN，故A，C正确，D错误，又因为AC⊥BD，所以MN⊥AC，B正确．故选D.3.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：选A连接AC1(图略)，由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，得AC⊥平面ABC1.∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．4．(2019·成都模拟)已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β.有下列命题：①若α∥β，则m∥n；②若α∥β，则m∥β；③若α∩β＝l，且m ⊥l，n⊥l，则α⊥β；④若α∩β＝l，且m⊥l，m⊥n，则α⊥β.其中真命题的个数是() A．0B．1C．2 D．3解析：选B 对于①，直线m ，n 可能异面；易知②正确；对于③，直线m ，n 同时垂直于公共棱，不能推出两个平面垂直；对于④，当直线n ∥l 时，不能推出两个平面垂直．故真命题的个数是1.5.如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E .要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为( )A.12B.1C.32 D ．2解析：选A 设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF .由已知可得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h . 又2×2＝h 22＋(2)2，所以h ＝233，DE ＝33. 在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝ ⎝⎛⎭⎫222－⎝⎛⎭⎫332＝66. 在Rt △DB 1F 中，由面积相等得66× x 2＋⎝⎛⎭⎫222＝22x ，解得x ＝12. 即线段B 1F 的长为12. 6．(2019·武汉调研)在矩形ABCD 中，AB ＜BC ，现将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：①存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直；②存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直；③存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直．其中正确结论的序号是________．解析：①假设AC 与BD 垂直，过点A 作AE ⊥BD 于E ，连接CE .则⎭⎪⎬⎪⎫AE ⊥BD BD ⊥AC ⇒BD ⊥平面AEC ⇒BD ⊥CE ，而在平面BCD 中，CE 与BD 不垂直，故假设不成立，①不正确．②假设AB ⊥CD ，∵AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面ACD ，∴AB ⊥AC ，由AB ＜BC 可知，存在这样的等腰直角三角形，使AB ⊥CD ，故假设成立，②正确．③假设AD ⊥BC ，∵CD ⊥BC ，∴BC ⊥平面ACD ，∴BC ⊥AC ，即△ABC 为直角三角形，且AB 为斜边，而AB ＜BC ，故矛盾，假设不成立，③不正确．综上，填②.答案：②7．在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，平面α与棱AB ，AC ，A 1C 1，A 1B 1分别交于点E ，F ，G，H，且直线AA1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE.其中正确命题的序号是________．解析：如图所示，因为AA1∥平面α，平面α∩平面AA1B1B＝EH，所以AA1∥EH.同理AA1∥GF，所以EH∥GF，又ABC-A1B1C1是直三棱柱，易知EH＝GF＝AA1，所以四边形EFGH是平行四边形，故①正确；若平面α∥平面BCC1B1，由平面α∩平面A1B1C1＝GH，平面BCC1B1∩平面A1B1C1＝B1C1，知GH∥B1C1，而GH∥B1C1不一定成立，故②错误；由AA1⊥平面BCFE，结合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE，又EH⊂平面α，所以平面α⊥平面BCFE，故③正确．答案：①③8．已知α，β是两平面，AB，CD是两条线段，α∩β＝EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF.现有下列条件：①AC⊥β；②AC与α，β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF.其中能成为增加条件的序号是________．解析：由题意得，AB∥CD，∴A，B，C，D四点共面．①中，∵AC⊥β，EF⊂β，∴AC⊥EF，又AB⊥α，EF⊂α，∴AB⊥EF，∵AB∩AC＝A，∴EF⊥平面ABDC，又BD⊂平面ABDC，∴BD⊥EF，故①正确；②不能得到BD⊥EF，故②错误；③中，由AC与CD在β内的射影在同一条直线上，可知平面ABDC⊥β，又AB⊥α，AB⊂平面ABDC，∴平面ABCD⊥α.∵α∩β＝EF，∴EF⊥平面ABDC，又BD⊂平面ABDC，∴BD⊥EF，故③正确；④中，由①知，若BD⊥EF，则EF⊥平面ABDC，则EF⊥AC，故④错误，故填①③.答案：①③9．(2018·北京高考)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD.证明：(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD，所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD 为矩形，所以AB ⊥AD .又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥平面PAD ，因为PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥PD .又因为PA ⊥PD ，AB ∩PA ＝A ，所以PD ⊥平面PAB .因为PD ⊂平面PCD ，所以平面PAB ⊥平面PCD .(3)如图，取PC 的中点G ，连接FG ，DG .因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点，所以FG ∥BC ，FG ＝12BC . 因为四边形ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点，所以DE ∥BC ，DE ＝12BC . 所以DE ∥FG ，DE ＝FG .所以四边形DEFG 为平行四边形．所以EF ∥DG .又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD .二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1.(2019·临汾模拟)如图，已知四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且MD ＝NB ＝1，E 为MC 的中点，则下列结论不正确的是( )A ．平面BCE ⊥平面ABNB ．MC ⊥ANC ．平面CMN ⊥平面AMND ．平面BDE ∥平面AMN解析：选C 如图，分别过A ，C 作平面ABCD 的垂线AP ，C Q ，使得AP ＝C Q ＝1，连接PM ，PN ，Q M ，Q N ，将几何体补成棱长为1的正方体．∴BC ⊥平面ABN ，又BC ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面ABN ，故A 正确；连接PB，则PB∥MC，显然，PB⊥AN，∴MC⊥AN，故B正确；取MN的中点F，连接AF，CF，AC.∵△AMN和△CMN都是边长为2的等边三角形，∴AF⊥MN，CF⊥MN，∴∠AFC为二面角A-MN-C的平面角，∵AF＝CF＝62，AC＝2，∴AF2＋CF2≠AC2，即∠AFC≠π2，∴平面CMN与平面AMN不垂直，故C错误；∵DE∥AN，MN∥BD，DE∩BD＝D，DE⊂平面BDE，BD⊂平面BDE，MN∩AN＝N，MN⊂平面AMN，AN ⊂平面AMN，∴平面BDE∥平面AMN，故D正确．故选C.2.如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．解析：∵PA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB，△PAC为直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，得BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC 也是直角三角形．答案：43.(2018·泉州模拟)如图，点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，给出下列命题：①三棱锥A-D1PC的体积不变；②A1P∥平面AD1C；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面AD1C.其中正确的命题序号是________．解析：如图，连接BD交AC于点O，连接DC1交D1C于点O1，连接OO1，则OO1∥BC1，所以BC1∥平面AD1C，动点P到平面AD1C的距离不变，所以三棱锥P-AD1C的体积不变．又因为V三棱锥P-AD1C＝V三棱锥A-D1PC，所以①正确；连接A1B，A1C1，因为平面A1C1B∥平面AD1C，A1P⊂平面A1C1B，所以A 1P ∥平面AD 1C ，②正确；由于当点P 在B 点时，DB 不垂直于BC 1，即DP 不垂直BC 1，故③不正确；由于DB 1⊥D 1C ，DB 1⊥AD 1，D 1C ∩AD 1＝D 1，所以DB 1⊥平面AD 1C .又因为DB 1⊂平面PDB 1，所以平面PDB 1⊥平面AD 1C ，④正确．答案：①②④(二)交汇专练——融会巧迁移4．[与数学文化交汇]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形的直棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童．在如图所示的堑堵ABM -DCP 与刍童ABCD -A 1B 1C 1D 1的组合体中，AB ＝AD ，A 1B 1＝A 1D 1.台体体积公式：V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h ，其中S ′，S 分别为台体上、下底面的面积，h 为台体的高．(1)求证：直线BD ⊥平面MAC ；(2)若AB ＝1，A 1D 1＝2，MA ＝3，三棱锥A -A 1B 1D 1的体积V ′＝233，求该组合体的体积．解：(1)证明：由题意可知ABM -DCP 是底面为直角三角形的直棱柱，∴AD ⊥平面MAB ， ∵MA ⊂平面MAB ，∴AD ⊥MA .又MA ⊥AB ，AD ∩AB ＝A ，AD ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴MA ⊥平面ABCD ，∵BD ⊂平面ABCD ，∴MA ⊥BD ，∵AB ＝AD ，∴四边形ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC .又MA ∩AC ＝A ，MA ⊂平面MAC ，AC ⊂平面MAC ，∴BD ⊥平面MAC .(2)设刍童ABCD -A 1B 1C 1D 1的高为h ，则三棱锥A -A 1B 1D 1的体积V ′＝13×12×2×2×h ＝233， ∴h ＝3，故该组合体的体积V ＝12×1×3×1＋13×(12＋22＋12×22)×3＝32＋733＝1736. (三)素养专练——学会更学通5．[直观想象、逻辑推理、数学运算]如图，已知三棱柱ABC -A ′B ′C ′的侧棱垂直于底面，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．(1)求证：MN ∥平面AA ′C ′C ；(2)设AB ＝λAA ′，当λ为何值时，CN ⊥平面A ′MN ，试证明你的结论．解：(1)证明：如图，取A ′B ′的中点E ，连接ME ，NE .因为M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点，所以NE ∥A ′C ′，ME ∥AA ′.又A ′C ′⊂平面AA ′C ′C ，AA ′⊂平面AA ′C ′C ，NE ⊄平面AA ′C ′C ，ME ⊄平面AA ′C ′C ，所以ME ∥平面AA ′C ′C ，NE ∥平面AA ′C ′C ，又因为ME ∩NE ＝E ， 所以平面MNE ∥平面AA ′C ′C ，因为MN ⊂平面MNE ，所以MN ∥平面AA ′C ′C .(2)连接BN ，设AA ′＝a ，则AB ＝λAA ′＝λa ，由题意知BC ＝2λa ，CN ＝BN ＝ a 2＋12λ2a 2， 因为三棱柱ABC -A ′B ′C ′的侧棱垂直于底面，所以平面A ′B ′C ′⊥平面BB ′C ′C .因为AB ＝AC ，点N 是B ′C ′的中点，所以A ′B ′＝A ′C ′，A ′N ⊥B ′C ′，所以A ′N ⊥平面BB ′C ′C ，又CN ⊂平面BB ′C ′C ，所以CN ⊥A ′N ，要使CN ⊥平面A ′MN ，只需CN ⊥BN 即可，所以CN 2＋BN 2＝BC 2，即2⎝⎛⎭⎫a 2＋12λ2a 2＝2λ2a 2， 解得λ＝2，故当λ＝2时，CN ⊥平面A ′MN .。

第13课时 直线、平面垂直的判定及其性质【考点点知】知己知彼，百战不殆垂直关系也是立体几何中两种最重要的关系之一，新课标要求熟练掌握线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质，并能利用这些判定和性质解决一些几何问题．在新高考中主要用这些判定和性质定理证明一些线线、线面、面面的垂直关系，以是小的判断题，也可以是大逻辑推理题．考点一: 直线与平面垂直1.如果一条直线a 与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就 说直线a 垂直于平面α,记作a ⊥α.直线a 叫做平面α的垂线,平面α叫 做直线a 的垂面,垂线和平面的交点B 称为垂足2.过平面α外一点A 向平面α引垂线,则点A 和垂足B 之间的距离叫 做点A 到平面α的距离.考点二: 直线与平面垂直的判定定理1.直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．2.符号语言:考点三: 直线与平面垂直的性质定理1.直线和平面垂直的性质定理；如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．2.符号语言://a a b b αα⊥⎫=⎬⊥⎭. 考点四: 两个平面垂直的判定定理1.平面角是直角的二面角叫做直二面角.一般地, 如果两个平面所成的二面角是直二面角,我们就说这两个平面互相垂直.2.两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．3.符号语言:若,l l αβ⊥⊂, 则αβ⊥ .考点五: 两个平面垂直的性质定理1.两个平面垂直的性质定理 如果两个平面互相垂直, 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.2.符号语言：若α⊥β，α∩β=CD ，AB ⊂α, 且AB ⊥CD 于β,则AB ⊥β．【小题热身】明确考点，自省反思1.（2009山东卷）已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的 条件.ABCDPE2.已知m n ，为两条不同的直线，αβ，为两个不同的平面，则下列命题中正确的序号是 .①m n m n ααββαβ⊂⊂⇒，，∥，∥∥ ②m n m n αβαβ⊂⊂⇒∥，，∥③m m n n αα⇒⊥，⊥∥ ④n m n m αα⇒∥，⊥⊥3.（2009浙江卷）如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点．现将AFD ∆沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ．在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t =，则t 的取值范围是 ．【考题点评】分析原因，醍醐灌顶 例1.设l,m,n 均为直线，其中m,n 在平面α内，“l ⊥α”是l ⊥m 且“l ⊥n ”的 条件.思路透析:若,,,l m n ααα⊥⊂⊂则l m ⊥且l n ⊥;反之若l m ⊥且l n ⊥,则不一定有l α⊥, (当且仅当,m n 为相交直线时有l α⊥). ∴“l α⊥”是“l m ⊥且l n ⊥”的充分不必要条件.点评:若直线与平面垂直，则平面内有任意直线与该直线垂直，这无数条直线也垂直，应注意“ 任意”、“ 所有”与“ 无数”的区别.例2.如图，在三棱锥V-ABC 中，VC ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，D 是AB 的中点，求证：平面V AB ⊥平面VCD ； 思路透析:证明:∵AC=BC=a ,∴△ACB 是等腰三角形，又D 是AB 的中点， ∴CD ⊥AB ，又VC ⊥底面ABC ， ∴VC ⊥AB ，于是AB ⊥平面VCD ，又AB 平面V AB ，∴平面V AB ⊥平面VCD.点评:两个平面垂直的判定定理和性质定理分别有线面垂直得出面面垂直，以及面面垂直得到线面垂直，从这一方面可知线面垂直与面面垂直的密切关系，解决有关问题时，经常利用“ 线线垂直—线面垂直—面面垂直”这种转化思想.例3.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．（Ⅰ）证明CD AE ⊥；（Ⅱ）证明PD ⊥平面ABE ；思路透析:（Ⅰ）证明：在四棱锥P ABCD -中，因PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，故PA CD ⊥．AC CD PA AC A ⊥= ，∵，CD ⊥∴平面PAC ． 而AE ⊂平面PAC ，CD AE ⊥∴．（Ⅱ）证明：由PA AB BC ==，60ABC ∠=°，可得AC PA =． E ∵是PC 的中点，AE PC ⊥∴．由（Ⅰ）知，AE CD ⊥，且PC CD C = ，所以AE ⊥平面PCD ． 而PD ⊂平面PCD ，AE PD ⊥∴．PA ⊥∵底面ABCD PD ，在底面ABCD 内的射影是AD ，AB AD ⊥， AB PD ⊥∴．又AB AE A = ∵，综上得PD ⊥平面ABE ．点评:证明直线垂直于平面，必须先证明直线垂直于平面内的两条相交直线，至于这条直线是否过两条相交直线的交点并不重要.例4.如图，A B C D ，，，为空间四点．在ABC △中，2AB AC BC ===，等边三角形ADB 以AB 为轴运动．（Ⅰ）当平面ADB ⊥平面ABC 时，求CD ；（Ⅱ）当ADB △转动时，是否总有AB CD ⊥？证明你的结论．思路透析:（Ⅰ）取AB 的中点E ，连结DE CE ，，因为ADB 是等边三角形，所以DE AB ⊥．当平面ADB ⊥平面ABC 时，因为平面ADB 平面ABC AB =，所以DE ⊥平面ABC ， 可知DE CE ⊥由已知可得1DE EC ==，在DEC Rt △中，2CD =．（Ⅱ）当A D B △以AB 为轴转动时，总有AB CD ⊥．证明：（ⅰ）当D 在平面ABC 内时，因为AC BC AD BD ==，，所以C D ，都在线段AB 的垂直平分线上，即AB CD ⊥．（ⅱ）当D 不在平面ABC 内时，由（Ⅰ）知AB DE ⊥． 又因AC BC =，所以AB CE ⊥．又DE CE ，为相交直线，所以AB ⊥平面CDE ，由CD ⊂平面CDE ，得AB CD ⊥．综上所述，总有AB CD ⊥．点评:动平面运动时几何体中相对的特殊线线位置关系的不变性探索一直以来是立体几何的一个难点,考生对该几何位置的探索与发现仍处理猜想与找特殊位置的论证阶段,因而扣分情况较为严重.此类型问题可利用分析法加在分析论证,结合线面垂直的性质定理加以分析即可找分类而得证该命题.【即时测评】学以致用，小试牛刀1. 如图，正方体ABCD – A 1B 1C 1D 1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ，则下列命题中， 不正确的是( ).EDBC AOS BACA.点H 是△A 1BD 的垂心B.AH ⊥平面CB 1D 1C.AH 的延长线经过点C 1D.直线AH 和BB 1所成角为45° 2.,m n 是空间两条不同直线，,αβ是两个不同平面，下面有四个命题： ①,//,//m n m n αβαβ⊥⇒⊥ ②,//,//m n m n αβαβ⊥⊥⇒ ③,//,//m n m n αβαβ⊥⇒⊥ ④,//,//m m n n ααββ⊥⇒⊥其中真命题是( )A. ①③B. ①④C. ②④D.③④ 3.（2009安徽卷）对于四面体ABCD ，下列命题正确的是( ) ① 相对棱AB 与CD 所在的直线是异面直线；② 由顶点A 作四面体的高，其垂足是∆BCD 的三条高线的交点；③ 若分别作∆ABC 和∆ABD 的边AB 上的高，则这两条高所在直线异面； ④ 分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点;⑤ 最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱． A. ①④⑤ B. ②④ C. ③④⑤ D.①②④⑤4. 下列5个正方体图形中,l 是正方体的一条对角线,点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点,能得出l ⊥面MNP 的图形是( )A. ②③④B. ①⑤C. ①④⑤D. ③④【课后作业】学练结合，融会贯通一、填空题:1.已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题：（ ） ①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ ③//,////m n m n αα⇒ ④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥其中正确命题的序号是 .2. m 、n 表示直线，α、β、γ表示平面，给出下列四个命题，其中正确命题为 . ①α∩β=m ，n ⊂α，n ⊥m ，则α⊥β ②α⊥β，α∩γ=m ，β∩γ=n ，则m ⊥n ③α⊥β，α⊥γ，β∩γ=m ，则m ⊥α ④m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β3.Rt △ABC 在平面α内的射影是△A 1B 1C 1，设直角边AB ∥α，则△A 1B 1C 1的形状是_____________三角形.4.△ABC 的三个顶点A 、B 、C 到平面α的距离分别为2 cm 、3 cm 、4 cm ，且它们在α的同侧，则△ABC 的重心到平面α的距离为_____________ cm.5.设a 、b 是异面直线，α、β是两个平面，且a ⊥α，b ⊥β，a ⊄β，b ⊄α，则当__________（填上一种条件即可）时，有α⊥β.6.设正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则①A 点到CD 1的距离为________； ②A 点到BD 1的距离为________； ③A 点到面BDD 1B 1的距离为______； ④A 点到面A 1BD 的距离为_____； ⑤AA 1与面BB 1D 1D 的距离为_______. 二、解答题:7.已知D 为平面ABC 外一点，且DA 、DB 、DC 两两垂直．求证：顶点D 所对的三角形面积的平方等于其余三个三角形面积的平方和，即2222ADC BDC DAB ABC S S S S ∆∆∆∆++=．8. (2009福建卷)如图，平行四边形ABCD 中，60DAB ︒∠=，2,4AB AD == 将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置，使平面EDB ⊥平面ABD . （I ）求证：AB DE ⊥（Ⅱ）求三棱锥E ABD -的侧面积．第13课时 直线、平面垂直的判定及其性质参考答案【小题热身】1. 必要不充分2. ④3. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭【即时测评】1. D2. B3. A4. C【课后作业】一、填空题:1. ①④2. ③④3. 直角4. 35. 本题为开放性问题.可以填上a ⊥b ，也可以填a ∥β，或b ∥α.6. ①26 ②36 ③22 ④33 ⑤22 二、解答题:7. 解析: 如图，设DA =a ，DB =b ，DC =c ，则ab S ADB 21=∆，bc S BDC 21=∆，ac S ADC 21=∆．在△ABD 中，作DM ⊥AB 于M ，则22ba ab DM +=．∵CD ⊥AD ，CD ⊥DB ，∴CD ⊥平面ADB ，∴ CD ⊥DM ．在Rt △CDM 中，=++=+=22222222b a b ac CD DM CM 22222222ba a c cb b a +++， 又∵AB CM ⊥, ∴221()2ABCSAB CM ∆=⋅22222222221()4a b b c c a a b a b ++=+⋅+ 2222221()4a b b c c a =++222ADB BDC CDA S S S ∆∆∆=++． 8. 解析:（I ）证明：在ABD ∆中，2,4,60AB AD DAB ︒==∠=222,BD AB BD AD AB DE∴==∴+=∴⊥ 又 平面EBD ⊥平面ABD平面EBD 平面,ABD BD AB =⊂平面ABD AB ∴⊥平面EBDDF ⊂ 平面,EBD AB DE ∴⊥（Ⅱ）解：由（I ）知,//,,AB BDCD AB CD BD ⊥∴⊥从而DE D ⊥ B 在Rt DBE ∆中，2DB DE DC AB ====12ABE S DB DE ∆∴=⋅= 又AB ⊥ 平面,EBD BE ⊂平面,EBD AB BE ∴⊥14,42ABE BE BC AD S AB BE ∆===∴=⋅= ,DE BD ⊥ 平面EBD ⊥平面ABD ED ∴⊥，平面ABD而AD ⊂平面1,,42ADE ABD ED AD S AD DE ∆∴⊥∴=⋅=综上，三棱锥E ABD -的侧面积，8S =+。