3.4.2一元一次方程模型的应用(1)

一元一次方程的应用解实际问题一元一次方程是数学中最简单的代数方程之一，也是我们日常生活中常常遇到的问题的数学表示方式。

通过解一元一次方程，我们可以找到未知数的值，从而解决实际问题。

本文将以实际问题为例，探讨一元一次方程的应用。

一、购物费用问题假设小明去商场购买一件衬衫，衬衫原价为x元，商店打折后优惠了20%，小明最终花费了36元购买了该衬衫。

通过一元一次方程可以解决以下问题：设衬衫原价为x元，则打折后的价格为x - 0.2x = 0.8x。

根据题意可得：0.8x = 36。

解这个方程可以得到x = 45。

因此，原价为45元的衬衫通过打折最终花费36元。

二、速度问题小明骑自行车从A地到B地，他以每小时12公里的速度骑行。

后来他意识到自己赶不上预定的时间，于是加快了速度。

最终他以每小时15公里的速度骑行，用时比原计划少1小时。

通过一元一次方程可以解决以下问题：设原计划用时为t小时，则骑行的距离为12t。

加快速度后，骑行的距离为15(t-1)。

根据题意可得：15(t-1) = 12t。

解这个方程可以得到t = 5。

因此，原计划用时5小时，加快速度后用时4小时。

三、人数问题某班的男生人数和女生人数之比为3:4。

如果男生人数增加20人，女生人数也增加20人，那么两者之间的比例将变为4:5。

通过一元一次方程可以解决以下问题：设男生人数为3x，女生人数为4x。

增加20人后，男生人数为3x + 20，女生人数为4x + 20。

根据题意可得：(3x + 20)/(4x + 20) = 4/5。

解这个方程可以得到x = 10。

因此，原来的男生人数为3x = 3 * 10 = 30人，女生人数为4x = 4 * 10 = 40人。

结语通过以上实际问题的应用，我们可以看到一元一次方程在解决实际生活中的问题时的重要性。

使用一元一次方程，我们可以将问题抽象为数学模型，并通过求解方程得到问题的答案。

一元一次方程的应用不仅帮助我们解决了购物费用、速度、人数等问题，更培养了我们的数学思维和解决实际问题的能力。

一元一次方程的解法与应用技巧一元一次方程作为中学数学中最基础、最常见的方程类型，求解一元一次方程是我们学习数学过程中的重要环节。

本文将介绍一元一次方程的解法以及一些应用技巧。

一、一元一次方程的解法解一元一次方程的常用方法有“等式法”、“代入法”和“消元法”。

下面将分别对这三种方法进行详细介绍。

1. 等式法等式法是通过对等式两边进行相同的运算，使得方程两边的值相等，从而求得方程的解。

以下是等式法的步骤：步骤一：将方程化简为标准形式ax + b = 0，其中a和b为已知系数。

步骤二：对方程两边进行相同的运算，使得方程两边的值相等。

可以进行加减乘除等运算，以消去方程中的未知数。

步骤三：通过运算得到解x，并验证解是否满足原方程。

若满足，则解正确；若不满足，则需要重新检查计算过程。

2. 代入法代入法是通过已知的解来求解方程。

以下是代入法的步骤：步骤一：找到一个已知解x。

步骤二：将已知解代入方程中，得到一个含有未知数的等式。

步骤三：通过求解这个含有未知数的等式，得到另一个解。

步骤四：验证这个解是否满足原方程。

3. 消元法消元法是通过将方程中的变量消去，从而求得方程的解。

以下是消元法的步骤：步骤一：将方程化简为标准形式ax + by = c，其中a、b和c为已知系数。

步骤二：通过消元的方式，将方程中的一项系数变为0，从而消去该变量。

步骤三：解得另一个变量的值。

步骤四：求解第一个变量，并验证解是否满足原方程。

二、一元一次方程的应用技巧一元一次方程在实际生活中的应用非常广泛，掌握一些常见的应用技巧可以更好地解决实际问题。

1. 几何问题在几何问题中，一元一次方程经常用于求解线段长度、角度等问题。

通过建立适当的方程模型，可以利用一元一次方程求解几何问题。

2. 速度问题在速度问题中，一元一次方程常用于求解物体的速度、时间、距离等问题。

通过使用速度公式、时间公式等方法，可以建立一元一次方程来求解速度问题。

3. 比例问题在比例问题中，一元一次方程常被用于求解比例值。

七年级上册第一章１.１具有相反意义的量
１.２数轴相反数与绝对值
１.３有理数大小的比较
１.４.１有理数的加法
１.４.２有理数的减法
１.５有理数的乘法和除法
１.６有理数的乘方
１.７有理数的混合运算
第一章复习题
第二章２.１用字母表示
２.２列代数式
２.３代数式的值
２.４整式
２.５整式的加法和减法
第二章复习题
第三章３.１建立一元一次方程模型
３.２等式的性质
３.２一元一次方程的解法
３.４一元一次方程模型的应用
第三章复习题
第四章４.１几何图形
４.２线段射线直线
４.３.１角与角的大小
４.３.２角的度量与计算
第五章复习题
５.１数据的收集与抽样
５.２统计图
第六章复习题。

3.4 实际问题与解一元一次方程 (第1课时)教学目标1.理解配套问题、工程问题的背景.2.通过分析零件配套问题及工作量中的相等关系，进一步经历运用方程解决实际问题的过程，体会方程模型的作用．3.进一步掌握列一元一次方程解应用题的方法步骤．教学重点：分清有关数量关系，能根据主要等量关系来列方程解决实际问题 教学难点：培养学生自主探究和合作交流的意识和能力，体会数学的应用价值． 教学过程 一、复习旧知1.解一元一次方程一般步骤是什么？2.解下列方程二、典型例题讲解类型一:配套问题例1：某车间有22名工人，每人每天可以生产1 200个螺钉或2 000个螺母. 1个螺钉需要配 2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ （1）填写表格：（2）本题中的等量关系是什么？ 螺母总量=螺钉总量×293x+3=-6+x44（2）131x 2-61x )1(=+-93x-x=-6-344解：3x=-92x=-6x-1-2(2x+1)=6解：x-1-4x-2=6-3x=9x=-3（3）请写出本题完整的过程：解：设应安排x 名工人生产螺钉,(22-x)名工人生产螺母. 依题意，得 2000(22-x)=2×1200x . 解方程，得 x=10. 所以 22-x=12.答：应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母.总结1.分析配套问题时需要注意问题中所涉及的量的比例关系, 比如：1个张桌子需要配4把椅子可表示为桌子数:椅子数= 1:4;2.可以根据比例式的內项积等于外项积将含比的方程转化为我们熟悉的一元一次方程：如 椅子数量=4X 桌子数量类型二：工程问题（一）温故知新：小学我们学过工程问题，请回答下列问题： 1. 工作时间、工作效率、工作量之间的关系: (1) 工作量＝工作时间×工作效率 (2)工作时间＝工作量÷工作效率． (3)工作效率＝工作量÷工作时间 2.填空：(1) 一项工作甲单独做需要2天完成，乙单独做需要5天完成，那么甲每天的工作效率是____，乙每天的工作效率是____，两人合作3天完成的工作量是_________ (2)一项工作甲单独做需要x 天完成，乙单独做需要y 天完成，那么甲每天的工作效率是____，乙每天的工作效率是____，两人合作2天完成的工作量是_________（二）例题讲解例3 某校七（4）班准备为教室添置一个图书角，同学们纷纷捐出自己喜欢的图书.若将所有的图书每人分2本，则还剩15本；若每人分3本，则缺35本.共有多少名学生？共捐赠图书多少本？1215113+25⨯（）112()x y+1y 1x（1）填写表格：(2)本题中的等量关系是什么？ 工作量之和等于工作总量1 （3）请写出本题完整的过程： 解：设应先安排 x 人先做4 h. 依题意得： 解得：x ＝2. 答：应先安排 2人做4 h.归纳：1.基本关系式：工作量＝工作效率×工作时间，工作时间＝ ，工作效率＝ .2.当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，通常把总工作量看作整体1.3.常见的相等关系为：总工作量＝各部分工作量之和．三、例题同步跟踪练习 同步练习（一）（教材P101练习2）一套仪器由一个 A 部件和三个 B 部件构成. 用1 立方米钢材可做 40 个 A 部件或 240 个 B 部件. 现要用 6 立方米钢材制作这种仪器，应用多少钢材做 A 部件，多少钢材做B 部件，才能恰好配成这种仪器？共配成多少套？解：设应用 x 立方米钢材做 A 部件，则应用(6－x)立方米做 B 部件. 根据题意，列方程： 3×40x = (6－x)×240.解得 x = 4. 则 6－x = 2. 共配成仪器：4×40=160 (套).答：应用 4 立方米钢材做 A 部件， 2 立方米钢材做 B 部件，共配成仪器 160 套.48(2)1.4040xx ++=工作效率工作量工作时间工作量111.1224x x +=77-x+11020=()113285,80804x x ⨯+⨯+=同步练习（二）（教材P101练习2）一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天. 如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？解：设要 x 天可以铺好这条管线，由题意得：解方程，得 x = 8.答：要8天可以铺好这条管线.四、课堂巩固提升1. 某人一天能加工甲种零件 40个或加工乙种零件60个，且1 个甲种零件与 3 个乙种零件配成一套，先发现15天能制作最多的成套产品。

新人教版七年级数学上册3.4 《一元一次方程的应用》教学设计2一. 教材分析新人教版七年级数学上册3.4《一元一次方程的应用》是学生在掌握了方程的解法和性质的基础上，进一步学习方程在实际问题中的应用。

本节内容通过解决实际问题，让学生理解一元一次方程在生活中的意义，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

教材通过丰富的案例，引导学生发现方程、列出方程、求解方程，从而达到解决实际问题的目的。

二. 学情分析七年级的学生已经掌握了方程的基本解法和性质，对一元一次方程有一定的理解。

但学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为方程，缺乏将数学知识应用到实际问题中的意识。

因此，在教学本节内容时，需要引导学生发现方程、列出方程，并培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

三. 教学目标1.理解一元一次方程在实际问题中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

2.学会将实际问题转化为方程，掌握一元一次方程的求解方法。

3.培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。

四. 教学重难点1.教学重点：引导学生发现方程、列出方程，并求解方程。

2.教学难点：如何将实际问题转化为方程，理解方程在实际问题中的意义。

五. 教学方法1.情境教学法：通过丰富的案例，引导学生发现方程、列出方程，求解方程。

2.小组讨论法：学生分组讨论，培养团队协作能力和逻辑思维能力。

3.练习法：通过适量练习，巩固所学知识。

六. 教学准备1.教学PPT：制作包含丰富案例的教学PPT。

2.练习题：准备适量的一元一次方程应用题。

3.教学道具：准备一些实物道具，以便于学生更好地理解实际问题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些实际问题，引导学生思考如何用数学知识解决这些问题。

例如，某商场举行促销活动，购买一件商品需要支付x元，现在有100元，问最多能购买几件商品？2.呈现（10分钟）展示教材中的案例，讲解如何将实际问题转化为方程。

以教材中的案例为例，假设一个人每小时走5千米，问这个人走x千米需要多少时间？引导学生列出方程，并求解方程。

班级小组姓名3.4.1实际问题与一元一次方程——工程问题学习目标：1、进一步巩固工程问题中的等量关系。

2、能利用一元一次方程解决工程实际问题。

3、掌握利用图表方法分析实际问题中的已知量、未知量以及它们之间的关系。

知识链接：1、一项工程，如果甲独做5小时完成，则甲每小时完成全部工作量的_______ ；乙独做8小时完成，则每小时完成全部工作量的______。

2、整理一批图书，如果甲单独完成需要6天，乙单独完成需要9天，那么甲、乙合作1天完成这批图书的。

3、一项工程由甲单独做需要20天完成，由乙单独做要30天完成。

则甲、乙两队合作x 天完成这项工程的4、一项工程由甲队单独做需要12天完成，由乙队单独做需要15天完成，现甲队做2天后，乙队来支援，两队合作x天后完成工作总量的。

想一想1、在解决工程问题里通常有哪些量？2、工程问题中的这些量之间的有什么关系？专题一试一试分人先做2小时，然后增加2人与他们一起做9小时，完成这项工作。

假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？②本题的相等关系是:专题二 中考直通（2009年福州）整理一批图书，如果由一个人单独做要花60小时。

现先由一部分人用一小时整理，随后增加15人和他们一起又做了2小时，恰好完成整理工作。

假设每个人的工作效率相同，那么先安排整理的人员有多少人？专题三 巧学活用一项工程由甲队单独做需要12天完成，由乙队单独做需要8天完成，现甲队做4天后，乙队来支援，两队合作多少天完成任务的43？加油站1、用两台水泵从同一池塘中向外抽水，单开甲泵12小时抽完，单开乙泵6小时便能抽完。

(1)如果两台水泵同时抽水，那么多长时间能把水抽完？(2)如果甲泵先抽3小时，剩下的由乙泵来抽，那么乙泵再用多少时间能把水抽完？2、一项工程，甲独做需9 天完成，乙单独做12 天完成，丙单独做需15 天完成，若甲、丙先做3天后，甲因故离开，由乙接替甲的工作，要完成这项工作的65，还需要多少天？。

一元一次方程的应用1. 苹果的购买：假设每个苹果的价格是p，你买了x个苹果，花了y 元。

这个购买过程可以用方程px = y来表示，其中p是苹果的单价。

通过解这个方程，可以计算出每个苹果的价格或购买的数量。

2. 电费计算：假设每度电的价格是p，你使用了x度电，支付了y元的电费。

这个计算过程可以用方程px = y来表示，通过解这个方程，可以计算出每度电的价格或使用的数量。

3. 路程和速度的关系：假设一个人以每小时v的速度行驶了x小时，那么他所行驶的路程可以用方程vx = d来表示，其中d是行驶的总路程。

通过解这个方程，可以计算出速度或行驶的时间。

4. 汽车行驶的时间：假设一个汽车以每小时的速度v行驶了x千米，行驶的时间可以用方程vx = t来表示，其中t是行驶的时间。

通过解这个方程，可以计算出汽车的速度或行驶的距离。

5. 工作量计算：假设一项工作需要x个小时完成，每小时工作的效率是p个单位，那么完成这项工作需要的总工作量可以用方程px = w来表示，其中w是工作的总量。

通过解这个方程，可以计算出工作的效率或完成工作所需的时间。

6. 线性销售模型：假设一种商品每件的价格是p，销售了x件，总销售额为y元。

这个销售过程可以用方程px = y来表示。

通过解这个方程，可以计算出每件商品的价格或销售的数量。

7. 比例关系：假设一个问题中存在两个量x和y，它们之间存在比例关系，可以用方程yx = t来表示，其中t是比例系数。

通过解这个方程，可以计算出两个量的比例关系。

以上这些是一元一次方程在现实生活中的一些应用场景，我们可以通过解这些方程来计算出各种参数的值或者确认各种关系。

整合了数学和实际问题，使得人们可以更好地理解和解决实际生活中的各种情况。