【全程复习方略】2015高考数学(文理通用)一轮课时作业37 直线、平面垂直的判定及其性质]

直线、平面垂直的判定及其性质(45分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2013·沈阳模拟)已知直线l,m,平面α,β,且l⊥α,m⊂β,则“α∥β”是“l⊥m”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.当α∥β,l⊥α时,有l⊥β,又m⊂β,故l⊥m.反之,当l⊥m,m⊂β时,不一定有l⊥β,故α∥β不一定成立.因此“α∥β”是“l⊥m”的充分不必要条件.2.(2013·台州模拟)点M在矩形ABCD所在平面内,M和A在直线CD的两侧,MN⊥平面ABCD,则∠NCB是( )A.锐角B.直角C.钝角D.不是钝角【解析】选C.M点与A点在CD两侧,而MN⊥平面ABCD,说明线MN与A点在CD两侧,∠MCB>90°,又∠NCB>∠MCB,所以连BN,CN知其为钝角.3.如图PA⊥正方形ABCD,下列结论中不正确的是( )A.PB⊥BCB.PD⊥CDC.PD⊥BDD.PA⊥BD【解析】选C.由CB⊥BA,CB⊥PA,PA∩BA=A,知CB⊥平面PAB,故CB⊥PB,即A正确;同理B正确;由条件易知D正确,故选C.4.下列命题中错误的是( )A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γD.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β【解析】选D.当平面α⊥平面β时,设其交线为l,平面α内平行于l的直线均平行于平面β,我们容易找到这样的直线,故选项A正确,而选项D错误.对于选项B可以利用反证法:若存在,则α⊥β,故选项B正确.对于选项C,如图所示,在平面α内作直线m⊥平面γ,在平面β内作直线n⊥平面γ,可得m∥n,m⊂α,n⊄α,所以n∥α,n⊂β,α∩β=l,所以n∥l,所以l⊥γ.5.(2013·宁波模拟)已知矩形ABCD,AB=1,BC=.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中( )A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直D.对任意位置,三对直线“AC与BD”“AB与CD”“AD与BC”均不垂直【思路点拨】可取一长方形动手按照其要求进行翻折,观察其翻折过程.【解析】选B.分别取AD,AC,BC的中点E,F,G,则EF∥CD,FG∥AB,且EF=FG=,未翻折之前EG=1,翻折过程中应有EG=的时候,也即存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直.6.如图,已知△ABC为直角三角形,其中∠ACB=90°,M为AB的中点,PM垂直于△ACB所在平面,那么( )A.PA=PB>PCB.PA=PB<PCC.PA=PB=PCD.PA≠PB≠PC【解析】选C.因为M为AB的中点,△ACB为直角三角形,所以BM=AM=CM,又PM⊥平面ABC,所以Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC,故PA=PB=PC.选C.7.已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=2,∠ASC=∠BSC=45°,则棱锥S-ABC的体积为( )A. B. C. D.【解析】选C.如图所示,由题意知,在棱锥S-ABC中,△SAC,△SBC都是等腰直角三角形,其中AB=2,SC=4,SA=AC=SB=BC=2.取SC 的中点D,易证SC垂直于面ABD,因此棱锥S-ABC的体积为两个棱锥S-ABD和C-ABD的体积和,所以棱锥S-ABC 的体积V=SC·S△ADB=×4×=.【加固训练】(2013·湖州模拟)在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC=60°,将菱形沿对角线AC折起,使折起后BD=1,则二面角B-AC-D的余弦值为( )A. B. C. D.【解析】选A.在菱形ABCD中连接BD交AC于O点,则AC⊥BD,在折起后的图中,由四边形ABCD为菱形且边长为1,则DO=OB=,由于DO⊥AC,BO⊥AC,因此∠DOB就是二面角B-AC-D的平面角,由BD=1得cos∠DOB===.8.(能力挑战题)如图,四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′-BCD,使平面A′BD⊥平面BCD,则下列结论正确的是( )A.A′C⊥BDB.∠BA′C=90°C.CA′与平面A′BD所成的角为30°D.四面体A′-BCD的体积为【解析】选B.取BD的中点O,连接OA′,OC,因为A′B=A′D,所以A′O⊥BD.又平面A′BD⊥平面BCD,平面A′BD∩平面BCD=BD,所以A′O⊥平面BCD.因为CD⊥BD,所以OC不垂直于BD.假设A′C⊥BD,因为OC为A′C在平面BCD内的射影,所以OC⊥BD,矛盾,所以A′C不垂直于BD,A错误;因为CD⊥BD,平面A′BD⊥平面BCD,所以CD⊥平面A′BD,A′C在平面A′BD内的射影为A′D.因为A′B=A′D=1,BD=,所以A′B⊥A′D,A′B⊥A′C,B正确;∠CA′D为直线CA′与平面A′BD所成的角,∠CA′D=45°,C错误; V A′-BCD=V C-A′BD=S△A′BD·CD=,D错误.二、填空题(每小题5分,共20分)9.(2013·青岛模拟)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足时,平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可).【解析】由定理可知,BD⊥PC.所以当DM⊥PC时,即有PC⊥平面MBD,而PC⊂平面PCD,所以平面MBD⊥平面PCD.答案:DM⊥PC(答案不唯一)10.α,β是两个不同的平面,m,n是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断:①m⊥n;②α⊥β;③n ⊥β;④m⊥α.以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题: .【解析】由题意构作四个命题:(1)①②③⇒④;(2)①②④⇒③;(3)①③④⇒②;(4)②③④⇒①.易判断(3),(4)为真,应填①③④⇒②(或②③④⇒①).答案:①③④⇒②(或②③④⇒①)11.将正方形ABCD沿对角线BD折起,使平面ABD⊥平面CBD,E是CD的中点,则异面直线AE,BC所成角的正切值为.【解析】如图所示,取BD中点O,连接AO,OE,则AO⊥BD.因为平面ABD⊥平面CBD,所以AO⊥平面BCD,又OE∥BC,所以∠AEO即为AE,BC所成的角.设正方形的边长为2,则OE=1,AO=.所以tan∠AEO=.答案:12.(能力挑战题)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点F在线段AA1上,当AF= 时,CF⊥平面B1DF.【解析】由题意易知B1D⊥平面ACC1A1,所以B1D⊥CF.要使CF⊥平面B1DF,只需CF⊥DF即可.令CF⊥DF,设AF=x,则A1F=3a-x.由Rt△CAF∽Rt△FA1D,得=,即=,整理得x2-3ax+2a2=0,解得x=a或x=2a.答案:a或2a三、解答题(13题12分,14～15题各14分)13.(2013·北京高考)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点,求证:(1)PA⊥底面ABCD.(2)BE∥平面PAD.(3)平面BEF⊥平面PCD.【证明】(1)因为平面PAD⊥平面ABCD,交线为AD,PA⊥AD,所以PA⊥平面ABCD.(2)因为AB∥CD,E为CD中点,CD=2AB,所以AB∥DE且AB=DE,所以四边形ABED为平行四边形,所以BE∥AD.又因为AD⊂平面PAD,BE⊄平面PAD,所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD,而平面PAD⊥平面ABCD,交线AD,所以BA⊥平面PAD,因为AB∥CD,所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥PD且CD⊥AD,又因为在平面PCD中,EF∥PD(三角形的中位线),于是CD⊥FE.因为在平面ABCD中,BE∥AD,于是CD⊥BE.因为FE∩BE=E,FE⊂平面BEF,BE⊂平面BEF,所以CD⊥平面BEF,又因为CD⊂平面PCD,所以平面BEF⊥平面PCD.14.如图,在矩形ABCD中,AB=2BC,P,Q分别为线段AB,CD的中点,EP⊥平面ABCD.(1)求证:DP⊥平面EPC.(2)问在EP上是否存在点F使平面AFD⊥平面BFC?若存在,求出的值.【解析】(1)因为EP⊥平面ABCD,所以EP⊥DP,又四边形ABCD为矩形,AB=2BC,P,Q为AB,CD的中点,所以PQ⊥DC,且PQ=DC,所以DP⊥PC.因为EP∩PC=P,所以DP⊥平面EPC.(2)如图,假设存在F使平面AFD⊥平面BFC,因为AD∥BC,AD⊄平面BFC,BC⊂平面BFC,所以AD∥平面BFC,所以AD平行于平面AFD与平面BFC的交线l.因为EP⊥平面ABCD,所以EP⊥AD,而AD⊥AB,AB∩EP=P,所以AD⊥平面FAB,所以l⊥平面FAB,所以∠AFB为平面AFD与平面BFC所成二面角的平面角.因为P是AB的中点,且FP⊥AB,所以当∠AFB=90°时,FP=AP,所以当FP=AP,即=1时,平面AFD⊥平面BFC.15.(2013·牡丹江模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,其中PA=PD=AD=2,∠BAD=60°,Q为AD 的中点.(1)求证:AD⊥平面PQB.(2)若平面PAD⊥平面ABCD,且PM=PC,求四棱锥M-ABCD的体积.【解析】(1)连接BD,因为PA=PD=AD=2,Q为AD的中点,所以PQ⊥AD.又因为∠BAD=60°,底面ABCD为菱形,所以△ABD是等边三角形,因为Q为AD的中点,所以AD⊥BQ.因为PQ,BQ是平面PQB内的相交直线,所以AD⊥平面PQB.(2)连接QC,作MH⊥QC于H.因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PQ⊥AD,所以PQ⊥平面ABCD,结合QC⊂平面ABCD,可得PQ⊥QC.因为在平面PQC中,MH⊥QC且PQ⊥QC,所以PQ∥MH,可得MH⊥平面ABCD,即MH就是四棱锥M-ABCD的高,因为PM=PC,可得MH=PQ=××2=,所以四棱锥M-ABCD的体积为V M-ABCD=×AC×BD×MH=×2×2×=1.。

课时规范练38直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:β∩γ=l,l∥α,m⊂α且m⊥γ,那么必有()A.α⊥γ且l⊥mB.α∥β且α⊥γC.α⊥γ且m∥βD.m∥β且l∥m答案:A解析:m⊂α且m⊥γ,则α⊥γ;m⊥γ且l⊂γ,则l⊥m.2.设a,b,c是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则a⊥b的一个充分条件是()A.a⊥c,b⊥cB.α⊥β,a⊂α,b⊂βC.a⊥α,b∥αD.a⊥α,b⊥α答案:C解析:对于选项C,在平面α内存在c∥b,因为a⊥α,所以a⊥c,故a⊥b;A,B选项中,直线a,b可能是平行直线,相交直线,也可能是异面直线;D选项中一定推出a∥b.3.给定下列四个命题:①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;③垂直于同一直线的两条直线相互平行;④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中,为真命题的是()A.①和②B.②和③C.②和④D.③和④答案:C解析:当两个平面相交时,一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面,故①不对;由平面与平面垂直的判定定理可知②正确;空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面,故③不对;若两个平面垂直,只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直,故④正确.4.如图,在正四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论不成立的是()A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面PAED.平面PDE⊥平面ABC答案:D解析:因为BC∥DF,所以BC∥平面PDF,A成立;易证BC⊥平面PAE,BC∥DF,所以结论B,C均成立;点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心,不在中位线DE上,故结论D不成立.5.下面四个命题:①“直线a∥直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”;②“直线l⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l⊥平面α”;③“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”.其中正确命题的序号是()A.①B.②C.②③D.③答案:C解析:①是既不充分也不必要条件.6.若平面α⊥平面β,平面α∩平面β=直线l,则()A.垂直于平面β的平面一定平行于平面αB.垂直于直线l的直线一定垂直于平面αC.垂直于平面β的平面一定平行于直线lD.垂直于直线l的平面一定与平面α,β都垂直答案:D解析:对于A,垂直于平面β的平面与平面α平行或相交,故A错;对于B,垂直于直线l的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内,故B错;对于C,垂直于平面β的平面与直线l平行或相交,故C错;易知D正确.7.如图,在棱长为4的正四面体A-BCD中,M是BC的中点,点P在线段AM上运动(P 不与A,M重合),过点P作直线l⊥平面ABC,l与平面BCD交于点Q,给出下列命题:①BC⊥平面AMD;②Q点一定在直线DM上;③V C-AMD=4.其中正确命题的序号是()A.①②B.①③C.②③D.①②③答案:A解析:∵AM⊥BC,DM⊥BC,∴BC⊥面AMD,故①正确;②也正确;③中,V C-AMD=V A-BCD,A到底面BCD的距离AO=,V A-BCD=×4××4×,∴V C-AMD=.二、填空题8.设l,m是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,给出下列5个命题:①若m⊥α,l⊥m,则l∥α;②若m⊥α,l⊂β,l∥m,则α⊥β;③若α∥β,l⊥α,m∥β,则l⊥m;④若α∥β,l∥α,m⊂β,则l∥m;⑤若α⊥β,α∩β=l,m⊥l,则m⊥β.其中正确的命题的序号是.答案:②③解析:①l可能在α内,①错;④l若在β内可能与m相交,④错;⑤n垂直于交线,不一定垂直于β,⑤错. 9.如图,AB为圆O的直径,C为圆周上异于A,B的任一点,PA⊥平面ABC,则图中共有个直角三角形.答案:4解析:∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥AB,PA⊥AC.∴△PAB,△PAC为直角三角形.又C为圆周上一点,∴∠ACB=90°.∴△ACB为直角三角形.由BC⊥AC,PA⊥BC,∴BC⊥平面PAC.∴BC⊥PC.∴△PCB为直角三角形.10.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC 上的一动点,当点M满足时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案:DM⊥PC(答案不唯一)解析:由定理可知,BD⊥PC.∴当DM⊥PC时,即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.11.如图所示,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在直线上.答案:AB解析:由AC⊥AB,AC⊥BC1,AC⊥平面ABC1,AC⊂平面ABC,∴平面ABC1⊥平面ABC,C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上.12.在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P在AD上运动,设∠ABP=θ,将△ABP沿BP折起,使得平面ABP垂直于平面BPDC,AC长最小时θ的值为.答案:45°解析:过A作AH⊥BP于H,连接CH,∴AH⊥平面BCDP.∴在Rt△ABH中,AH=3sinθ,BH=3cosθ.在△BHC中,CH2=(3cosθ)2+42-2×4×3cosθ×cos(90°-θ),∴在Rt△ACH中,AC2=25-12sin2θ,∴θ=45°时,AC长最小.三、解答题13.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱C1D1的中点,F为棱BC的中点.(1)求证:直线AE⊥直线DA1;(2)在线段AA1上求一点G,使得直线AE⊥平面DFG.(1)证明:连接AD1,BC1,由正方体的性质可知,DA1⊥AD1,DA1⊥AB,又AB∩AD1=A,∴DA1⊥平面ABC1D1.又AE⊂平面ABC1D1,∴DA1⊥AE.(2)解:所求G点即为A1点,证明如下:由(1)可知AE⊥DA1,取CD的中点H,连接AH,EH,由DF⊥AH,DF⊥EH,AH∩EH=H,可证DF⊥平面AHE,∴DF⊥AE.又DF∩A1D=D,∴AE⊥平面DFA1,即AE⊥平面DFG.14.如图,在四棱锥S-ABCD中,平面SAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,且P为AD的中点,Q为SB的中点.(1)求证:CD⊥平面SAD;(2)求证:PQ∥平面SCD;(3)若SA=SD,M为BC的中点,在棱SC上是否存在点N,使得平面DMN⊥平面ABCD?并证明你的结论.(1)证明:因为四边形ABCD为正方形,所以CD⊥AD.又平面SAD⊥平面ABCD,且平面SAD∩平面ABCD=AD,所以CD⊥平面SAD.(2)证明:取R为BC的中点,连接PR,QR.因为Q,P,R分别为SB,AD,BC的中点,所以QR∥SC,PR∥DC.因为QR∩PR=R,QR,PR⊂平面PQR,所以平面PQR∥平面SCD.又PQ⊂平面PQR,所以PQ∥平面SCD.(3)解:存在点N,使得平面DMN⊥平面ABCD.证明:连接PC,DM交于点O,连接SP.因为SA=SD,P为AD的中点,所以SP⊥AD.因为平面SAD⊥平面ABCD,平面SAD∩平面ABCD=AD,所以SP⊥平面ABCD,SP⊥PC.在△SPC中,过O点作NO⊥PC交SC于点N,此时N为SC的中点,则SP∥NO,则NO⊥平面ABCD.因为NO⊂平面DMN,所以平面DMN⊥平面ABCD,所以存在满足条件的点N.15.已知正四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的正方形,高为.M为线段PC的中点.(1)求证:PA∥平面MDB;(2)N为AP的中点,求CN与平面MBD所成角的正切值.(1)证明:在四棱锥P-ABCD中,连接AC交BD于点O,连接OM,PO.由条件可得PO=,AC=2,PA=PC=2,CO=AO=.因为在△PAC中,M为PC的中点,O为AC的中点,所以OM为△PAC的中位线,得OM∥AP,又因为AP⊄平面MDB,OM⊂平面MDB,所以PA∥平面MDB.(2)解:设NC∩MO=E,由题意得BP=BC=2,且∠CPN=90°.因为M为PC的中点,所以PC⊥BM,同理PC⊥DM,故PC⊥平面BMD.所以直线CN在平面BMD内的射影为直线OM,∠MEC为直线CN与平面BMD所成的角,又因为OM∥PA,所以∠PNC=∠MEC.在Rt△CPN中,CP=2,NP=1,所以tan∠PNC==2,故直线CN与平面BMD所成角的正切值为2.四、选做题1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,并且总保持AP⊥BD1,则动点P的轨迹是()A.线段B1CB.线段BC1C.BB1中点与CC1中点连成的线段D.BC中点与B1C1中点连成的线段答案:A2.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是1,过A点作平面A1BD的垂线,垂足为点H,有下列三个命题:①点H是△A1BD的中心;②AH垂直于平面CB1D1;③AC1与B1C所成的角是90°.其中正确命题的序号是.答案:①②③解析:由于ABCD-A1B1C1D1是正方体,所以A-A1BD是一个正三棱锥,因此A点在平面A1BD上的射影H是三角形A1BD的中心,故①正确;又因为平面CB1D1与平面A1BD平行,所以AH⊥平面CB1D1,故②正确;因为B1C⊥BC1,AB⊥B1C,且AB∩BC1=B,所以B1C⊥平面ABC1,即AC1与B1C垂直,所成的角等于90°.3.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形,PA⊥平面ABCD,且AD∥BC,AD⊥DC,△ADC和△ABC均为等腰直角三角形,设PA=AD=DC=a,点E为侧棱PB上一点,且BE=2EP.(1)求证:平面PCD⊥平面PAD;(2)求证:直线PD∥平面EAC;(3)求二面角B-AC-E的余弦值.(1)证明:∵PA⊥平面ABCD,DC⊂平面ABCD,∴DC⊥PA.又∵AD⊥DC,且PA与AD是平面PAD内两相交直线,∴DC⊥平面PAD.又∵DC⊂平面PCD,∴平面PCD⊥平面PAD.(2)证明:连接BD,设BD与AC相交于点F,连接EF,在等腰直角△ADC中,∵AD⊥DC,∴∠DAC=∠ACD=.又∵AD∥BC,∴∠ACB=∠DAC=.又∵△ABC为等腰直角三角形,且底面ABCD是直角梯形,∴∠BAC=.(若∠B为直角,则与底面ABCD是直角梯形相矛盾)由AD=DC=a,易知AB=AC=a,BC=2a,∵BC∥AD且BC=2AD,∴BF=2FD.又∵BE=2EP,∴PD∥EF.又∵EF⊂平面EAC,PD⊄平面EAC,∴直线PD∥平面EAC.(3)解:过点E作EH∥PA交AB于H点,则EH⊥平面ABCD,又∵AB⊥AC,∴EA⊥AC.∴∠EAH为二面角B-AC-E的平面角.∵BE=2EP,∴AH=AB=a,又∵EH=PA=a,tan∠EAH=,∴cos∠EAH=.。

【与名师对话】2015高考数学一轮复习 7.5 直线、平面垂直的判定与性质课时作业理（含解析）新人教A版一、选择题1．(2013·潍坊模拟)已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，则“α∥β”是“l⊥m”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件解析：l⊥α，α∥β则l⊥β，又m∥β，所以l⊥m；l⊥α，l⊥m则m⊂α或m∥α，又m∥β，所以α∥β或α与β相交，所以“α∥β”是“l⊥m”的充分不必要条件，选A.答案：A2．(2013·汕头质量测评)设O是空间一点，a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是( )A．当a∩b＝O且a⊂α，b⊂α时，若c⊥a，c⊥b，则c⊥αB．当a∩b＝O且a⊂α，b⊂α时，若a∥β，b∥β，则α∥βC．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βD．当b⊂α时，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c解析：b⊂α且α⊥β，若α∩β＝l，b⊥l，则b⊥β，所以b⊂α，若α⊥β，则b⊥β，不正确，选C.答案：C3．(2013·广东省华附、省实、广雅、深中四校联考)若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中是假命题的为( )A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面βB．过点P垂直于直线l的直线在平面α内C．过点P垂直于平面β的直线在平面α内D．过点P在平面α内作垂直于l的直线必垂直于平面β解析：由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，因此平行于平面β，因此A正确，B不正确．根据面面垂直的性质定理知，选项C、D正确．答案：B4．(2013·泉州质检)已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A．若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥βC ．若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α⊥βD ．若m ⊥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β解析：m ⊥α，m ⊥n ，那么n ⊂α或n ∥α，①当n ⊂α时，若n ⊥β，则α⊥β，②当n ∥α时，则平面α内存在一条直线l ∥n ，若n ⊥β，则l ⊥β，所以有α⊥β，综合可知，m ⊥α，n ⊥β且m ⊥n ，则α⊥β正确，选A.答案：A5．(2013·山东卷)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解析：设三棱柱的高为h ，则34×(3)2×h ＝94，解得h ＝ 3.设三棱柱中底面ABC 的中心为Q ，则PQ ＝3，AQ ＝23×32×3＝1.在Rt △APQ 中，∠PAQ 即为直线PA 与平面ABC所成的角，且tan ∠PAQ ＝3，所以∠PAQ ＝π3.答案：B6．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则( )A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l解析：由于m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m ，n ，又直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，则交线平行于l ，故选D.答案：D 二、填空题7．已知直线l ，m ，n ，平面α，m ⊂α，n ⊂α，则“l ⊥α”是“l ⊥m 且l ⊥n ”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)解析：若l ⊥α，则l 垂直于平面α内的任意直线，若l ⊥m 且l ⊥n ，但若l ⊥m 且l ⊥n ，不能得出l ⊥α.答案：充分不必要8．(2013·常州市高三教学期末调研测试)给出下列命题：①若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；③若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，所有真命题的序号为________．解析：根据定理和一些常用结论得：①、③、④正确．②中没有强调两条直线一定相交，否则就不一定平行．答案：①③④9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，M分别是AD，DD1，D1A1，A1A，AB 的中点，点N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N只需满足条件________时，就有MN⊥A1C1；当N只需满足条件________时，就有MN∥平面B1D1C.解析：可证A1C1⊥平面EGM，故当N在EG上时，MN⊥A1C.可证平面MEH∥平面B1CD1，故当N在EH上时，MN∥平面B1D1C.答案：点N在EG上点N在EH上三、解答题10．(2013·常州市高三期末调研)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD⊥AB，CD∥AB，AB＝2AD＝2，CD＝3，直线PA与底面ABCD所成角为60°，点M，N分别是PA，PB的中点．(1)求证：MN∥平面PCD；(2)求证：四边形MNCD是直角梯形；(3)求证：DN⊥平面PCB.证明：(1)因为点M，N分别是PA，PB的中点，所以MN∥AB.因为CD∥AB，所以MN∥CD.又CD⊂平面PCD，MN⊄平面PCD，所以MN∥平面PCD.(2)因为AD⊥AB，CD∥AB，所以CD⊥AD，又因为PD⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥PD，又AD∩PD＝D，所以CD⊥平面PAD.因为MD⊂平面PAD，所以CD⊥MD，所以四边形MNCD是直角梯形．(3)因为PD⊥底面ABCD，所以∠PAD就是直线PA与底面ABCD所成的角，从而∠PAD＝60°.在Rt△PDA中，AD＝2，PD＝6，PA＝22，MD＝ 2.在直角梯形MNCD中，MN＝1，ND＝3，CD＝3，CN＝MD2＋CD－MN2＝6，从而DN2＋CN2＝CD2，所以DN⊥CN.在Rt△PDB中，PD＝DB＝6，N是PB的中点，则DN⊥PB.又因为PB∩CN＝N，所以DN⊥平面PCB.11．(2013·襄阳市调研统一测试)已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．(1)求证：BN ⊥平面C 1B 1N ；(2)设M 为AB 中点，在BC 边上找一点P ，使MP ∥平面CNB 1，并求BPPC的值．解：(1)证明：∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形∴四边形BB 1C 1C 是矩形，AB ⊥BC ，AB ⊥BB 1，BC ⊥BB 1， 由三视图中的数据知：AB ＝BC ＝4，BB 1＝C 1C ＝8，AN ＝4， ∵AB ⊥BC ，BC ⊥BB 1，∴BC ⊥平面ANBB 1， ∵B 1C 1∥BC ，∴B 1C 1⊥平面ANBB 1， 因此B 1C 1⊥BN .在直角梯形B 1BAN 中，过N 作NE ∥AB 交BB 1于E ， 则B 1E ＝BB 1－AN ＝4故△NEB 1是等腰直角三角形， ∠B 1NE ＝45°，又AB ＝4，AN ＝4，∴∠ANB ＝45°， 因此∠BNB 1＝90°，即BN ⊥B 1N 又B 1N ∩B 1C 1＝B 1，∴BN ⊥平面C 1B 1N .(2)过M 作MR ∥BB 1，交NB 1于R ，则MR ＝8＋42＝6，过P 作PQ ∥BB 1，交CB 1于Q ，则PQ ∥MR ， 设PC ＝a ，则PQ BB 1＝PC BC ，∴PQ 8＝a4，即PQ ＝2a ， 由PQ ＝MR 得：2a ＝6，∴a ＝3，此时，四边形PMRQ 是平行四边形，∴MP ∥RQ ， ∵RQ ⊂平面CNB 1，MP ⊄平面CNB 1， ∴MP ∥平面CNB 1，BP PC ＝4－33＝13.12．(2013·河北唐山一中第二次月考)在如图所示的多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AC ＝AD ＝CD ＝DE ＝2，AB ＝1.(1)请在线段CE 上找到点F 的位置，使得恰有直线BF ∥平面ACD ，并证明这一事实； (2)求直线EC 与平面ABED 所成角的正弦值． 解：如图，(1)由已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴AB ∥ED ， 设F 为线段CE 的中点，H 是线段CD 的中点， 连接FH ，则FH 綊12ED ，FH 綊AB ，∴四边形ABFH 是平行四边形，∴BF ∥AH ，BF ⊄平面ACD ，AH ⊂平面ACD ，∴BF ∥平面ACD ；(2)取AD 中点G ，连接CG 、EG ，则CG ⊥AD ， 又平面ABED ⊥平面ACD ，∴CG ⊥平面ABED ， ∴∠CEG 即为直线CE 与平面ABED 所成的角， 设为α，则在Rt △CEG 中，有sin α＝CG CE ＝322＝64.[热点预测]13．(2013·江西省高三联考)如图，△ABC 中，BC ＝3，AC ＝4，AB ＝5，点P 在平面ABC 射影为AB 的中点D ，O 是线段CD 的中点，∠APC ＝60°(1)判断PC 与AB 是否垂直(不需说明理由)； (2)求PD 与平面PBC 所成角的正切值；(3)在PB 上是否存在点E ，使OE ∥平面PAC .若存在，求出PE 的长，若不存在，说明理由．解：(1)不垂直(2)由题意知：PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，OD ＝DB ＝52，取BC 的中点Q ，连接PQ 、DQ ，则BC⊥DQ ，BC ⊥PQ ，∴BC ⊥面PDQ ，∴面PDQ ⊥面PBC ，∴D 在面PBC 上的射影落在PQ 上，则PD 与平面PBC 所成角即为∠QPD ，由于PD ＝392，DQ ＝2，PD ⊥DQ ，故所求角的正切值为43939. (3)过O 作OM ∥AB 交AC 于M ，在平面PAB 内平面直线AB ，使之交PB 于E ，交PA 于N ，并使OM ＝EN ，此时MOEN 为平行四边形，易知OE ∥平面PAC .由于OM 是△CAD 的中位线，∴PE ∶PB ＝NE ∶AB ＝MO ∶AB ＝1∶4.又△ABC 是直角三角形，CD 是斜边上的中线，PD ⊥平面ABC ，有△PAD ≌△PCD ≌△PBD∴PA ＝PC ＝PB ，由于∠APC ＝60°，△PAC 为正三角形，所以PB ＝PC ＝AC ＝4， ∴PE ＝14PB ＝1，即在线段PB 上存在点E ，当PE ＝1时，OE ∥平面PAC .。

课时跟踪检测(四十二)直线、平面垂直的判定与性质(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页)第Ⅰ卷：夯基保分卷1．在空间中，给出下面四个命题：①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；②若平面外两点到平面的距离相等，则过两点的直线必平行于该平面；③垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④若两个平面相互垂直，则一个平面内的任意一条直线必定垂直于另一个平面内的无数条直线．其中正确的命题是________(填序号)．2．(2014·盐城一调)已知平面α，β，γ，直线l，m满足α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m，那么：①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.由上述条件可推出的结论有________(填序号)．3．(2014·常州期末)给出下列四个命题：(1)“直线a∥直线b”的必要不充分条件是“a平行于b所在的平面”；(2)“直线l⊥平面α”的充要条件是“l垂直于平面α内的无数条直线”；(3)“平面α∥平面β”是“α内有无数条直线平行于平面β”的充分不必要条件；(4)“平面α⊥平面β”的充分条件是“有一条与α平行的直线l垂直于β”．上述命题中，所有真命题的序号为________．4.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．5.如图所示，在四棱锥P -ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)6．假设平面α∩平面β＝EF，AB⊥α，CD⊥β，垂足分别为B，D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，现有下面四个条件：①AC⊥α；②AC与α，β所成的角相等；③AC与BD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF.其中能成为增加条件的是________．(把你认为正确的条件序号都填上)7．(2014·南京学情调研)如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC，D为BC的中点．(1)若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1；(2)求证：A1B∥平面ADC1.8．如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC＝CA＝3，AD＝CD＝1.(1)求证：BD⊥AA1；(2)若E为棱BC的中点，求证：AE∥平面DCC1D1.第Ⅱ卷：提能增分卷1．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知E，F，G分别为棱AB，AC，A1C1的中点，∠ACB＝90°，A1F⊥平面ABC，CH⊥BG，H为垂足．求证：(1)A1E∥平面GBC；(2)BG⊥平面ACH.2．(2014·苏锡常镇一调)如图1所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD为∠ACB的平分线，点E在线段AC上，CE＝4.如图2所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连结AB，设点F是AB的中点．(1)求证：DE⊥平面BCD；(2)在图2中，若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥B-DEG 的体积．3．(2014·苏州模拟)如图，边长为4的正方形ABCD 所在平面与正三角形P AD 所在平面互相垂直，M ，Q 分别为PC ，AD 的中点．(1)求四棱锥P -ABCD 的体积；(2)求证：P A ∥平面MBD ；(3)试问：在线段AB 上是否存在一点N ，使得平面PCN ⊥平面PQB ？若存在，试指出点N 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．答 案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．解析：易知①④正确；对于②，过两点的直线可能与平面相交；对于③，垂直于同一条直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面．答案：①④2．解析：由条件知α⊥γ，γ∩α＝m ，l ⊂γ，l ⊥m ，则根据面面垂直的性质定理有l ⊥α，即②成立；又l ⊂β，根据面面垂直的判定定理有α⊥β，即④成立．答案：②④3．解析：(1)是既不充分也不必要条件；(2)是充分不必要条件，即“直线l ⊥平面α”可得“l 垂直于平面α内的无数条直线”，反之不成立；(3)(4)正确．答案：(3)(4)4．解析：设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF .由已知可以得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h .又2×2＝h 22＋(2)2，所以h ＝233，DE ＝33.在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝⎝⎛⎭⎫222－⎝⎛⎭⎫332＝66.由面积相等得66× x 2＋⎝⎛⎭⎫222＝22x ，得x ＝12.答案：125．解析：由定理可知，BD ⊥PC .∴当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，即有PC ⊥平面MBD .而PC ⊂平面PCD ，∴平面MBD ⊥平面PCD .答案：DM ⊥PC (或BM ⊥PC 等)6．解析：如果AB 与CD 在一个平面内，可以推出EF 垂直于该平面，又BD 在该平面内，所以BD ⊥EF .故要证BD ⊥EF ，只需AB ，CD 在一个平面内即可，只有①③能保证这一条件．答案：①③7．证明：(1)因为AB ＝AC ，D 为BC 的中点，所以AD ⊥BC .因为平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，平面ABC ∩平面BCC 1B 1＝BC ，AD ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面BCC 1B 1.因为DC 1⊂平面BCC 1B 1，所以AD ⊥DC 1.(2)法一：连结A 1C ，交AC 1于点O ，连结OD ，则O 为A 1C 的中点．因为D 为BC 的中点，所以OD ∥A 1B .因为OD ⊂平面ADC 1，A 1B ⊄平面ADC 1，所以A 1B ∥平面ADC 1.法二：取B 1C 1的中点D 1，连结A 1D 1，D 1D ，D 1B ，则D 1C 1綊BD .所以四边形BDC 1D 1是平行四边形．所以D 1B ∥C 1D .因为C 1D ⊂平面ADC 1，D 1B ⊄平面ADC 1，所以D 1B ∥平面ADC 1.同理可证A 1D 1∥平面ADC 1.因为A 1D 1⊂平面A 1BD 1，D 1B ⊂平面A 1BD 1，A 1D 1∩D 1B ＝D 1，所以平面A 1BD 1∥平面ADC 1.因为A 1B ⊂平面A 1BD 1，所以A 1B ∥平面ADC 1.8．证明：(1)在四边形ABCD 中，因为BA ＝BC ，DA ＝DC ，所以BD ⊥AC .又因为平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，且平面AA 1C 1C ∩平面ABCD ＝AC ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面AA 1C 1C .又因为AA 1⊂平面AA 1C 1C ，所以BD ⊥AA 1.(2)在△ABC 中，AB ＝AC ，E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC .在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CA ＝3，DA ＝DC ＝1，所以∠ACB ＝60°，∠ACD ＝30°，所以DC ⊥BC ，所以AE ∥DC .因为DC ⊂平面DCC 1D 1，AE ⊄平面DCC 1D 1，所以AE ∥平面DCC 1D 1.第Ⅱ卷：提能增分卷1．证明：(1)取BC 的中点M ，连结EM ，GM .因为EM ＝12AC ，EM ∥AC ，且A 1G ＝12AC ，A 1G ∥AC ，所以A 1G ∥EM ，A 1G ＝EM .所以四边形A 1GME 是平行四边形，所以A 1E ∥GM .又A 1E ⊄平面GBC ，GM ⊂平面GBC ，所以A 1E ∥平面GBC .(2)在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，G ，F 分别为A 1C 1，AC 的中点，所以A 1G ＝FC 且A 1G ∥FC ，所以四边形A 1FCG 为平行四边形，所以A 1F ∥CG .因为A 1F ⊥平面ABC ，所以CG ⊥平面ABC .因为AC ⊂平面ABC ，所以CG ⊥AC .因为CB ⊥AC ，CG ，CB ⊂平面CBG ，CG ∩CB ＝C .所以AC ⊥平面BCG .又因为BG ⊂平面BCG ，所以AC ⊥BG .因为CH ⊥BG ，且AC ∩CH ＝C ，AC ，CH ⊂平面ACH ，故BG ⊥平面ACH .2．解：(1)证明：在题图1中，因为AC ＝6，BC ＝3，∠ABC ＝90°，所以∠ACB ＝60°.因为CD 为∠ACB 的平分线，所以∠BCD ＝∠ACD ＝30°，所以CD ＝2 3.又因为CE ＝4，∠DCE ＝30°，所以DE ＝2.则CD 2＋DE 2＝CE 2，所以∠CDE ＝90°，即DE ⊥CD .在题图2中，因为平面BCD ⊥平面ACD ，平面BCD ∩平面ACD ＝CD ，DE ⊂平面ACD ，所以DE ⊥平面BCD .(2)在题图2中，因为EF ∥平面BDG ，EF ⊂平面ABC ，平面ABC ∩平面BDG ＝BG ，所以EF ∥BG .因为点E 在线段AC 上，CE ＝4，点F 是AB 的中点，所以AE ＝EG ＝CG ＝2.过点B 作BH ⊥CD 交于点H .因为平面BCD ⊥平面ACD ，BH ⊂平面BCD ，所以BH ⊥平面ACD .由条件得BH ＝32. 又S △DEG＝13S △ACD ＝13×12AC ·CD ·sin 30°＝3， 所以三棱锥B -DEG 的体积为V ＝13S △DEG ·BH ＝13×3×32＝32. 3．解：(1)因为Q 为AD 的中点，△P AD 为正三角形，所以PQ ⊥AD .因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PQ ⊂平面P AD ，所以PQ ⊥平面ABCD .因为AD ＝4，所以PQ ＝2 3.所以四棱锥P -ABCD 的体积V ＝13S ABCD ·PQ ＝13×42×23＝3233.(2)证明：连结AC 交BD 于点O ，连结MO .由四边形ABCD 为正方形知点O 为AC 的中点，又因为M 为PC 的中点，所以MO ∥P A .因为MO ⊂平面MBD ，P A ⊄平面MBD ，所以P A ∥平面MBD .(3)存在点N ，当N 为AB 中点时，平面PCN ⊥平面PQB .证明如下：因为四边形ABCD 是正方形，Q 为AD 的中点，所以BQ ⊥NC .由(1)知，PQ ⊥平面ABCD ，NC ⊂平面ABCD ，所以PQ ⊥NC .又BQ ∩PQ ＝Q ， 所以NC ⊥平面PQB .因为NC ⊂平面PCN ，所以平面PCN ⊥平面PQB .。

课时分层作业四十五直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·高考)设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α,“m∥β”是“α∥β”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.当m∥β时,可能α∥β,也可能α与β相交.当α∥β时,由m⊂α可知,m∥β.因此,“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件.2.(2018·某某模拟)PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,C为圆上异于A,B两点的任一点,则下列关系不正确的是( )A.PA⊥BCB.BC⊥平面PACC.AC⊥PBD.PC⊥BC【解析】选C.由PA⊥平面ACB⇒PA⊥BC,故A不符合题意;由BC⊥PA,BC⊥AC,PA∩AC=A,可得BC⊥平面PAC,所以BC⊥PC,故B,D不符合题意;无法判断AC⊥PB,故C符合题意.3.(2018·某某模拟)已知平面α,β,直线l,若α⊥β,α∩β=l,则( )A.垂直于平面β的平面一定平行于平面αB.垂直于直线l的直线一定垂直于平面αC.垂直于平面β的平面一定平行于直线lD.垂直于直线l的平面一定与平面α,β都垂直【解析】选D.垂直于平面β的平面与平面α重合、平行或相交,故A不正确;垂直于直线l的直线若在平面β内,则一定垂直于平面α,否则不一定,故B不正确;垂直于平面β的平面可能垂直于直线l,故C不正确;由面面垂直的判定定理知,垂直于直线l的平面一定与平面α,β都垂直,故D正确.【变式备选】已知三条不重合的直线m,n,l和两个不重合的平面α,β,则下列命题正确的是( )A.若m∥n,n⊂α,则m∥αB.若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则n⊥αC.若l⊥n,m⊥n,则l∥mD.若l⊥α,m⊥β且l⊥m,则α⊥β【解析】选D.若m∥n,n⊂α,则m∥α或m⊂α,故A不正确;若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则n与α相交或n ∥α或n⊂α,故B不正确;若l⊥n,m⊥n,则l与m相交、平行或异面,故C不正确;若l⊥α,m⊥β且l⊥m,则由直线与平面垂直的性质定理和平面与平面垂直的判定定理知α⊥β.4.直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF相交于点E.要使AB1⊥平面C1DF,则线段B1F的长为( )A. B.1C. D.2【解析】选A.设B1F=x,因为AB1⊥平面C1DF,DF⊂平面C1DF,所以AB1⊥DF.由已知可得A1B1=,设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h,则DE=h.又2×=h,所以h=,DE=.在Rt△DB1E中,B1E==.由面积相等得×=x,得x=.【变式备选】如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,AA1=AC=BC=1,∠ACB=90°,D是A1B1的中点,F是BB1上的点,AB1,DF相交于点E,且AB1⊥DF,则下列结论中不正确的是( )A.CE与BC1异面且垂直B.AB1⊥C1FC.△C1DF是直角三角形D.DF的长为【解析】选D.对于A,因为BC1⊂平面B1C1CB,CE⊄平面B1C1CB,且C∈平面B1C1CB,所以CE与BC1是异面直线.因为AA1∥CC1,AA1⊥平面ABC,所以CC1⊥平面ABC,所以CC1⊥AC.又AC⊥BC,BC∩CC1=C,所以AC⊥平面B1C1CB,又BC1⊂平面B1C1CB,所以AC⊥BC1.又四边形B1C1CB是正方形,连接B1C,所以BC1⊥B1C,又B1C∩AC=C,所以BC1⊥平面AB1C,因为CE⊂平面AB1C,所以BC1⊥CE,故A正确;对于B,因为C1A1=C1B1,D是A1B1的中点,所以C1D⊥A1B1,由AA1⊥底面A1B1C1可得AA1⊥C1D,又A1B1∩AA1=A1,所以C1D⊥平面ABB1A1,所以C1D⊥AB1,又DF⊥AB1,C1D∩DF=D,所以AB1⊥平面C1DF,所以AB1⊥C1F,故B正确;对于C,由C1D⊥平面ABB1A1可得C1D⊥DF,故△C1DF是直角三角形,故C正确;对于D,因为AC=BC=AA1=1,∠ACB=90°,所以A1B1=AB=,AB1=,所以DB1=,因为AB1⊥DF,所以∠FDB1=∠AB1F=∠A1AB1,所以cos∠FDB1=cos∠A1AB1,即=,所以=,解得DF=,故D错误.5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,点E,F,G分别是线段DC,D1D和D1B上的动点,给出下列结论①对于任意给定的点E,存在点F,使得AF⊥A1E;②对于任意给定的点F,存在点E,使得AF⊥A1E;③对于任意给定的点G,存在点F,使得AF⊥B1G;④对于任意给定的点F,存在点G,使得AF⊥B1G.其中正确结论的个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.由DE⊥平面A1D,根据三垂线定理,①对于任意给定的点E,A1E在平面A1D的射影为A1D,所以存在点F,使得AF⊥A1E,所以①正确;②如果对于任意给定的点F,存在点E,使得AF⊥A1E,那么,又A1D⊥AD1,可知过A有两条直线与A1D垂直,故②错误;③只有AF垂直B1G在平面AD1的射影时,AF⊥B1G,故③错误;④只有AF⊥平面BB1D1D时,④才正确,AF与平面BB1D1D不垂直,故④错误.【变式备选】对于四面体A-BCD,有以下命题:①若AB=AC=AD,则点A在底面BCD内的射影是△BCD的外心;②若AB⊥CD,AC⊥BD,则点A在底面BCD内的射影是△BCD的内心;③四面体A-BCD的四个面中最多有四个直角三角形;④若四面体A-BCD的6条棱长都为1,则它的内切球的表面积为.其中正确的命题是( ) A.①③B.③④C.①②③D.①③④【解析】选D.由题设AB=AC=AD,故顶点A在底面内的射影是底面外心,故命题①是正确的;四面体中的四个面中最多有四个直角三角形,如图1,正方体中的四面体A-BCD中有四个直角三角形,故命题③是正确的;对于命题②,如图2,尽管AB⊥CD,AC⊥BD,点A在底面BCD内的射影不一定是△BCD的内心,即命题②是错误的;若四面体的6条棱都为1,则它的体积为V=××12×=,又设内切球的半径为r,则V=4×××r=⇒r=,则S=4πr2=4π×=,即命题④也是正确的.二、填空题(每小题5分,共15分)6.α,β是两个平面,AB,CD是两条线段,已知α∩β=EF,AB⊥α于B,CD⊥α于D,若增加一个条件,就能得出BD⊥EF,现有下列条件:①AC⊥β;②AC与α,β所成的角相等;③AC与CD在β内的射影在同一条直线上;④AC∥EF.其中能成为增加条件的序号是________.【解析】由题意得,AB∥CD,所以A,B,C,D四点共面,①:因为AC⊥β,EF⊂β,所以AC⊥EF,又因为AB⊥α,EF⊂α,所以AB⊥EF,因为AB∩AC=A,所以EF⊥面ABDC,又因为BD⊂面ABDC,所以BD⊥EF,故①正确;②:由①可知,若BD⊥EF成立,则有EF⊥面ABDC,则有EF⊥AC 成立,而AC与α,β所成角相等是无法得到EF⊥AC的,故②错误;③:由AC与CD在β内的射影在同一条直线上可知EF⊥AC,由①可知③正确;④:仿照②的分析过程可知④错误.答案:①③7.若圆锥的侧面积是底面积的3倍,则其母线与底面夹角的余弦值为__________.【解析】设圆锥的底面半径为r,母线长为l,由题意πr l=3πr2,即l=3r,母线与底面夹角为θ,则cos θ==.答案:8.如图,PA⊥圆O所在的平面,AB是圆O的直径,C是圆O上的一点,E,F分别是点A在PB,PC上的射影,给出下列结论:①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________.【解析】由题意知PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC.又AC⊥BC,且PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,所以BC⊥AF.因为AF⊥PC,且BC∩PC=C,所以AF⊥平面PBC,所以AF⊥PB,又AE⊥PB,AE∩AF=A,所以PB⊥平面AEF,所以PB⊥EF.故①②③正确.答案:①②③三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AD=2,点M,N分别在棱PD,PC上,且PC⊥平面AMN.(1)求证:AM⊥PD.(2)求直线CD与平面AMN所成角的正弦值.【解析】(1)因为四边形ABCD是正方形,所以CD⊥AD.又因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD,故CD⊥平面PAD.又AM⊂平面PAD,则CD⊥AM,而PC⊥平面AMN,有PC⊥AM,则AM⊥平面PCD,故AM⊥PD.(2)延长NM,CD交于点E,因为PC⊥平面AMN,所以NE为CE在平面AMN内的射影,故∠CEN为CD(即CE)与平面AMN所成的角,又因为CD⊥PD,EN⊥PN,则有∠CEN=∠M PN,在Rt△PMN中,sin∠MPN==,故CD与平面AMN所成角的正弦值为.10.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示,在正方体中,设BC的中点为M,GH的中点为N.(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由).(2)证明:直线MN∥平面BDH.(3)求二面角A-EG-M的余弦值.【解析】(1)点F,G,H的位置如图所示.(2)连接BD,HF,设O为BD的中点,连接OH,OM,MN.因为M,N分别是BC,GH的中点,所以OM∥CD,且OM=CD,NH∥CD,且NH=CD,所以OM∥NH,OM=NH,所以四边形MNHO是平行四边形,从而MN∥OH,又MN⊄平面BDH,OH⊂平面BDH,所以MN∥平面BDH.(3)连接AC,EM,过M作MP⊥AC于点P.在正方体ABCD-EFGH中,AC∥EG,所以MP⊥EG.过P作PK⊥EG于点K,连接KM,所以EG⊥平面PKM,从而KM⊥EG.所以∠PKM是二面角A-EG-M的平面角.设AD=2,则CM=1,PK=2,在Rt△CMP中,PM=CMsin 45°=.在Rt△KMP中,KM==.所以cos∠PKM==.即二面角A-EG-M的余弦值为.1.(5分)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是( )A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α【解析】选B.选项A.若m∥α,n∥α则m与n可能平行、相交、异面,故A错误;B.若m⊥α,n⊂α,则m⊥n,显然成立;C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α,故C错误;D.若m∥α,m⊥n,则n⊥α或n∥α或n与α相交.2.(5分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为线段BD的中点.设点P在线段CC1上,直线OP与平面A1BD 所成的角为α,则sinα的取值X围是( )A. B.C. D.【解析】选B.设正方体的棱长为1,则A1C1=,A1C=,A1O=OC1= =,OC=,所以cos∠A1OC1==,sin∠A1OC1=,cos∠A1OC==-,sin∠A1OC=,又直线与平面所成的角小于等于90°,而∠A1OC为钝角,所以sin α的X围为.3.(5分)(2018·某某模拟)如图,矩形ABCD中,AB=2AD,E为边AB的中点,将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE(A1∉平面ABCD).若M,O分别为线段A1C,DE的中点,则在△ADE翻转过程中,下列说法错误的是( )A.与平面A1DE垂直的直线必与直线BM垂直B.异面直线BM与A1E所成角是定值C.一定存在某个位置,使DE⊥MOD.三棱锥A1-ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值【解析】选C.取CD的中点F,连接BF,MF,如图1,可知平面MBF∥平面A1DE,所以BM∥平面A1DE,所以A正确.取A1D中点G,可得EG∥BM,如图2,所以B正确.由题意可得点A关于直线DE的对称点为F,则DE⊥平面A1AF,即过O与DE垂直的直线在平面A1AF内,而M不在平面A1AF内,故C错误.三棱锥A1-ADE外接球的球心即为O点,所以外接球半径为AD,故D正确.4.(12分)如图,菱形ABCD与四边形BDEF相交于BD,∠ABC=120°,BF⊥平面ABCD,DE∥BF,BF=2DE,AF⊥FC,M 为CF的中点,AC∩BD=G.(1)求证:GM∥平面CDE.(2)求证:平面ACE⊥平面ACF.【证明】(1)取BC的中点N,连接GN,MN.因为G为菱形对角线的交点,所以G为BD的中点,所以GN∥CD,又因为M,N分别为FC,BC的中点,所以MN∥FB,又因为DE∥BF,所以DE∥MN,又MN∩GN=N,DE∩CD=D,所以平面GMN∥平面CDE,又GM⊂平面GMN,所以GM∥平面CDE.(2)连接GE,GF,因为四边形ABCD为菱形,所以AB=BC,又BF⊥平面ABCD,所以AF=CF,因为AF=FC,所以FG⊥AC.设菱形的边长为2,∠ABC=120°,则GB=GD= 1,GA=GC=,又因为AF⊥FC,所以FG=GA=,则BF=,DE=,且BF⊥平面ABCD,DE∥BF,得DE⊥平面ABCD,在直角三角形GED中,GE==,又在直角梯形BDEF中,得EF==,从而EF2=GF2+GE2,所以FG⊥GE,又AC∩GE=G,所以FG⊥平面ACE,又FG⊂平面ACF,所以平面ACE⊥平面ACF.5.(13分)如图,四边形ABCD是矩形,AB=,BC=1,DE=2EC,PE⊥平面ABCD,PE=.(1)求证:AC⊥PB.(2)求二面角A-PB-C的正切值.【解析】(1)连接BE交AC于点F,因为四边形A BCD是矩形,AB=,BC=1,DE=2EC.所以CE=,所以=.因为∠ABC=∠BCD=,所以△ABC∽△BCE,∠BEC=∠ACB.因为∠BEC+∠ACE=∠ACB+∠ACE=,所以AC⊥BE.因为PE⊥平面ABCD,所以AC⊥PE.因为PE∩BE=E,所以AC⊥平面PBE.所以AC⊥PB.(2)取PB中点G,连接FG,AG,CG,因为PE⊥平面ABCD,所以PE⊥DC.因为PE=,所以PC=1=BC.所以CG⊥PB.所以CG∩AC=C,所以PB⊥平面ACG.所以AG⊥PB. 所以∠AGC是二面角A-PB-C的平面角.因为AB∥CD,AB=CD,DE=2EC.所以===.因为CE=,AC=2,所以CF=,AF=.因为BC⊥CD,BC⊥PE,所以BC⊥平面PCD.所以BC⊥PC,所以PB=.所以CG=.因为FG⊥AC,所以FG=FC=.所以Rt△AFG、Rt△CFG中,tan∠AGF=3,tan∠CGF=1.所以tan∠AGC=tan(∠AGF+∠CGF)===-2.所以二面角A -PB -C的正切值为-2.。

[A组基础演练·能力提升]一、选择题1．(2014年合肥一模)已知两条直线m，n，两个平面α，β.给出下面四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；③m∥n，m∥α⇒n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β.其中正确命题的序号是( )A．①③B．②④C．①④D．②③解析：对于①，由于两条平行线中的一条直线与一个平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直，因此①是正确的；对于②，分别位于两个平行平面内的两条直线必没有公共点，但它们不一定平行，因此②是错误的；对于③，直线n可能位于平面α内，此时结论显然不成立，因此③是错误的；对于④，由m⊥α且α∥β得m⊥β，又m∥n，则n⊥β，因此④是正确的．故选C.答案：C2．用m，n表示两条不同的直线，α表示平面，则下列命题正确的是( )A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m∥α，n⊂α，则m∥nC．若m⊥n，n⊂α，则m⊥αD．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n解析：对于A，可能出现m⊂α；对于B，m，n可以为异面直线；对于C，m，α可以相交，m也可以在平面α内，故选D.答案：D3．a，b表示直线，α、β、γ表示平面．①若α∩β＝a，b⊂α，a⊥b，则α⊥β；②若a⊂α，a垂直于β内任意一条直线，则α⊥β；③若α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，则a⊥b；④若a不垂直平面α，则a不可能垂直于平面α内的无数条直线；⑤若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β.上述五个命题中，正确命题的序号是( )A．①②③B．②④⑤C．④⑤D．②⑤解析：对①可举反例如图，需b⊥β才能推出α⊥β.对于③可举反例说明，当γ不与α，β的交线垂直时，即可得到a，b不垂直；对于④，a只需垂直于α内一条直线便可以垂直α内无数条与之平行的直线．所以只有②⑤是正确的．答案：D4.(2014年深圳调研)如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是( )A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE解析：因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE，所以选C.答案：C5．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是( ) A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nB．若m⊥α，m⊥n，则n∥αC．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nD．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β解析：对于选项A，若m∥α，α∩β＝n，则m∥n，或m，n是异面直线，所以A错误；对于选项B，n可能在平面α内，所以B错误；对于选项D，m与β的位置关系还可以是m ⊂β，m∥β，或m与β斜交，所以D错误；由面面垂直的性质可知C正确．答案：C6.(2014年衡水中模拟)如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为H，则以下命题中，错误的命题是( )A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直于平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°解析：A中，△A1BD为等边三角形，∴四心合一，∵AB＝AA1＝AD，∴H到△A1BD各顶点的距离相等，∴A正确；∵CD1∥BA1，CB1∥DA1，CD1∩CB1＝C，BA1∩DA1＝A1，∴平面CB1D1∥平面A1BD，∴AH⊥平面CB1D1，∴B正确；连接AC1，则AC1⊥B1D1，∵B1D1∥BD，∴AC1⊥BD，同理AC1⊥BA1，∴AC1⊥平面A1BD，∴A、H、C1三点共线，∴C正确，故选D.答案：D二、填空题7．设α，β是空间内两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用序号表示)．解析：将①③④作为条件，可结合长方体进行证明，即从长方体的一个顶点出发的两条棱与其对面垂直，这两个对面互相垂直，故①③④⇒②；对于②③④⇒①，可仿照前面的例子说明．答案：①③④⇒② (或②③④⇒①)8.(2014年佛山模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.解析：由题意易知，B1D⊥平面ACC1A1，所以B1D⊥CF.要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥DF即可．令CF⊥DF，设AF＝x，则A 1F ＝3a －x .易知Rt△CAF ∽Rt△FA 1D ， 得AC A 1F ＝AF A 1D ，即2a 3a －x ＝x a， 整理得x 2－3ax ＋2a 2＝0， 解得x ＝a 或x ＝2a . 答案：a 或2a9.如图，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，PA ＝2AB ，则下列结论中：①PB ⊥AE ；②平面ABC ⊥平面PBC ；③直线BC ∥平面PAE ；④∠PDA ＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．解析：由PA ⊥平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，得PA ⊥AE ，又由正六边形的性质得AE ⊥AB ，PA ∩AB ＝A ，得AE ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ，∴AE ⊥PB ，①正确；又平面PAD ⊥平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面PBC 不成立，②错；由正六边形的性质得BC ∥AD ，又AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD .∴BC ∥平面PAD ，∴直线BC ∥平面PAE 也不成立，③错；在Rt△PAD 中，PA ＝AD ＝2AB ，∴∠PDA ＝45°，∴④正确．答案：①④ 三、解答题10.如图，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面BCE ，BE ⊥EC .(1)求证：平面AEC ⊥平面ABE ；(2)点F 在BE 上，若DE ∥平面ACF ，求BFBE的值． 解析：(1)证明：∵ABCD 为矩形，∴AB ⊥BC ，∵平面ABCD ⊥平面BCE ， ∴AB ⊥平面BCE ，∴CE ⊥AB .∵CE ⊥BE ，AB ⊂平面ABE ，BE ⊂平面ABE ，AB ∩BE ＝B ，∴CE ⊥平面ABE . ∵CE ⊂平面AEC ， ∴平面AEC ⊥平面ABE .(2)如图，连接BD 交AC 于点O ，连接OF .∵DE ∥平面ACF ，DE ⊂平面BDE ，平面ACF ∩平面BDE ＝OF ， ∴DE ∥OF ，又∵矩形ABCD 中，O 为BD 中点，∴F 为BE 中点，∴BF BE ＝12.11.(2014年皖南八校第三次联考)如图所示，已知四棱锥的侧棱PD ⊥平面ABCD ，且底面ABCD 是直角梯形，AD ⊥CD ，AB ∥CD ，AB ＝AD ＝12CD ＝2，点M 在侧棱PC 上．(1)求证：BC ⊥平面BDP ；(2)若tan ∠PCD ＝12，点M 是侧棱PC 的中点，求三棱锥M －BDP 的体积．解析：(1)证明：由已知可得BD ＝22， 又AD ＝2，CD ＝4，AB ＝2，则BC ＝22，则BD 2＋BC 2＝16＝DC 2， 所以BD ⊥BC .因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 故PD ⊥BC . 又BD ∩PD ＝D ， 所以BC ⊥平面BDP .(2)如图，过M 作MG ⊥DC 交DC 于点G .由PD ⊥DC ，M 是PC 中点，知MG 是△DCP 的中位线，因此，MG ∥PD ，MG ＝12PD ，又PD ⊥平面ABCD ，所以MG ⊥平面BDC . 又tan ∠PCD ＝12，得PD ＝2，MG ＝12PD ＝1.所以V M －BDP ＝V P －BCD －V M －BCD＝13×12×22×22×2－13×12×22×22×1＝43. 12．(能力提升)(2013年高考四川卷)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ＝AC ＝2AA 1＝2，∠BAC ＝120°，D ，D 1分别是线段BC ，B 1C 1的中点，P 是线段AD 上异于端点的点．(1)在平面ABC 内，试作出过点P 与平面A 1BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面ADD 1A 1；(2)设(1)中的直线l 交AC 于点Q ，求三棱锥A 1－QC 1D 的体积．(锥体体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)解析：(1)如图，在平面ABC 内，过点P 作直线l ∥BC ，因为l 在平面A 1BC 外，BC 在平面A 1BC 内，由直线与平面平行的判定定理可知，l ∥平面A 1BC .由已知，AB ＝AC ，D 是BC 的中点， 所以，BC ⊥AD ，则直线l ⊥AD . 因为AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥直线l .又因为AD ，AA 1在平面ADD 1A 1内，且AD 与AA 1相交，所以直线l ⊥平面ADD 1A 1. (2)过D 作DE ⊥AC 于E .因为AA 1⊥平面ABC ，所以DE ⊥AA 1.又因为AC ，AA 1在平面AA 1C 1C 内，且AC 与AA 1相交， 所以DE ⊥平面AA 1C 1C .由AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，有AD ＝1，∠DAC ＝60°， 所以在△ADE 中，DE ＝32AD ＝32， 又S △A 1QC 1＝12A 1C 1·AA 1＝1，所以VA 1－Q C 1D ＝VD －A 1Q C 1＝13DE ·S △A 1Q C 1＝13×32×1＝36.。

直线、平面垂直的判定与性质同步训练（带解析2015高考数学一轮）直线、平面垂直的判定与性质同步训练（带解析2015高考数学一轮）A组基础演练1．(2014•杭州模拟)设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分条件是()A．a⊥c，b⊥cB．α⊥β，a⊂α，b⊂βC．a⊥α，b∥αD．a⊥α，b⊥α解析：对于选项C，在平面α内存在c∥b，因为a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；A，B选项中，直线a，b可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；D选项中一定有a∥b.答案：C2．设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列命题①若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；②若l上两点到α的距离相等，则l∥α；③若l⊥α，l∥β，则α⊥β；④若α∥β，l⊄β，且l∥α，则l∥β.其中正确的命题是()A．①②B．②③C．②④D．③④解析：对于①：若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ，前者不是后者的充分条件，比如当α∥γ时，也有α⊥β，β⊥γ.对于②：显然错误，当l⊥α，l∩α＝A时，l上到A距离相等的两点到α的距离相等．③④显然正确．答案：D3．正方体ABCD－A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则直线CE垂直于()A．A′C′B．BDC．A′D′D．AA′解析：连接B′D′，∵B′D′⊥A′C′，B′D′⊥CC′，且A′C′∩CC′＝C′，∴B′D′⊥平面CC′E.而CE⊂平面CC′E.∴B′D′⊥CE.又∵BD∥B′D′，∴BD⊥CE.答案：B4．(2014•济南模拟)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：由AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC⊂面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在面ABC上的射影H必在两平面交线AB上．答案：A5．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α∥β.当满足条件________时，有m⊥β.(填所选条件的序号)解析：若m⊥α，α∥β，则m⊥β.答案：②④6．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：由定理可知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)7．如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④A E⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．解析：由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.∴PB⊥EF.故①②③正确．答案：①②③8.(2013•江西)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.(1)证明：BE⊥平面BB1C1C；(2)求点B1到平面EA1C1的距离．解：(1)证明：过B作CD的垂线交CD于F，则BF＝AD＝2，EF＝AB－DE＝1，FC＝2.在Rt△BEF中，BE＝3.在Rt△CFB中，BC＝6.在△BEC中，因为BE2＋BC2＝9＝EC2，故BE⊥BC.由BB1⊥平面ABCD得BE⊥BB1，所以BE⊥平面BB1C1C.(2)三棱锥E－A1B1C1的体积V＝13AA1•S△A1B1C1＝2.在Rt△A1D1C1中，A1C1＝A1D21＋D1C21＝32.同理，EC1＝EC2＋CC21＝32，A1E＝A1A2＋AD2＋DE2＝23.故S△A1C1E＝35.设点B1到平面EA1C1的距离为d，则三棱锥B1－A1C1E的体积V＝13•d•S△A1C1E＝5d，从而5d＝2，d＝105.9．如图所示，在斜三棱柱A1B1C1－ABC中，底面是等腰三角形，A1B1＝A1C1，侧面BB1C1C⊥底面A1B1C1.(1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C.证明：(1)AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.∵底面ABC⊥侧面BB1C1C，∴AD⊥侧面BB1C1C，∴AD⊥CC1.(2)如图，延长B1A1与BM的延长线交于点N，连接C1N.∵AM＝MA1，∴MA1綊12BB1，∴NA1＝A1B1.∵A1B1＝A1C1，∴A1C1＝A1N＝A1B1，∴NC1⊥C1B1.∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C，∴C1N⊥侧面BB1C1C，∵截面C1NB⊥侧面BB1C1C，即截面MBC1⊥侧面BB1C1C.B组能力突破1．如图，在三棱锥D—ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE解析：要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直．因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.答案：C2．(2014•曲阜师大附中质检)如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的是()A．①②B．①②③C．①D．②③解析：对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC.∴BC⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA.∵PA⊂平面PAC，∴OM∥平面PAC；对于③，由①知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确．答案：B3．(2014•东北三校联考)如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E 为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点，现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABCF.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足，设AK＝t，则t的取值范围是________．解析：如图，过D作DG⊥AF，垂足为G，连接GK，∵平面ABD⊥平面ABCF，DK⊥AB，∴DK⊥平面ABCF，∴DK⊥AF.∴AF⊥平面DKG，∴AF⊥GK.容易得到，当F接近E点时，K接近AB的中点，当F接近C点时，K 接近AB的四等分点，∴t的取值范围是12，1.答案：12，14．(理科)(2014•无锡模拟)如图，四棱锥P—ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．(1)求证：平面AEC⊥平面PDB；(2)当PD＝2AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形．∴AC⊥BD.∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC.又P D∩BD＝D，∴AC⊥平面PDB.又AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB.(2)由(1)知，AO⊥面PDB.∴∠AEO为AE与面PDB所成的角．又∵OE＝12PD＝22AB，OA＝22AB，∴在Rt△AOE中，AO＝OE.∴∠AEO＝45°.故AE与面PDB所成的角为45°.4．(文科)如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是CD、A1D1的中点．(1)求证：AB1⊥BF；(2)求证：AE⊥BF；(3)棱CC1上是否存在点P，使BF⊥平面AEP？若存在，确定点P的位置，若不存在，说明理由．解：(1)证明：连接A1B，则AB1⊥A1B.又∵AB1⊥A1F，且A1B∩A1F＝A1.∴AB1⊥平面A1BF.又BF⊂平面A1BF，∴AB1⊥BF.(2)证明：取AD中点G，连接FG，BG，则FG⊥AE，又∵△BAG≌△ADE，∴∠ABG＝∠DAE.∴AE⊥BG.又∵BG∩FG＝G，∴AE⊥平面BFG.又BF⊂平面BFG，∴AE⊥BF.(3)存在，取CC1中点P，即为所求．连接EP，AP，C1D，∵EP∥C1D，C1D∥AB1，∴EP∥AB1.由(1)知AB1⊥BF，∴BF⊥EP.又由(2)知AE⊥BF，且AE∩EP＝E，∴BF⊥平面AEP.。

课时跟踪检测（四十三）直线、平面垂直的判定及其性质（一）普通高中适用作业A级一一基础小题练熟练快1 .设a,卩为两个不同的平面，直线I ? a ,则“ I丄卩”是“ a丄卩”成立的（）A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D .既不充分也不必要条件解析：选A依题意，由I丄卩，I ? a可以推出a丄卩；反过来，由a丄卩，I ? a 不能推出I丄卩.因此“ I丄卩”是“ a丄卩”成立的充分不必要条件，故选 A.2. 设a为平面，a, b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（）A.若a//a, b//a，贝U a// b B .若a 丄a, a// b,贝U b丄aC.若a丄a, a丄b,贝U b/ a D .若a/a, a丄b,贝U b丄a解析：选B若a// a , b// a，则a与b相交、平行或异面，故A错误；易知B正确；若a丄a , a 丄b,贝y b// a或b? a,故C错误；若a//a, a丄b,贝U b / a或b? a或b与a相交，故D错误.3. （2018 •广州一模）设m n是两条不同的直线， a ,卩是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A. 若n? 3 , a丄卩，贝y mL aB. 若ml a , n/ n, n // 3 ,贝U a 丄3C. 若ml n, n? a , n? 3,贝U a丄3D. 若 a / 3 , m? a , n? 3 ,贝U m/ n解析：选B A中m与a的位置关系不能确定，故A错误；T mL a , m〃n,：n 丄a,又n// 3 ,「・a丄3，故B正确；若ml n, m? a , n? 3 ,则a与3的位置关系不确定，故C错误；若a// 3，m? a , n? 3，则m与n平行或异面，故D错误.选B.4.（2018 •天津模拟）设I是直线，a , 3是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若I // a , I // 3 ,则 a / 3 B .若I // a , I 丄 3 ,贝a 丄3C.若 a L 3 ，I 丄a,贝U I // 3 D .若 a 丄3，I 〃a,则I 丄3解析：选B对于A,若I // a , I // 3 ,贝U a // 3或a与3相交，故A错；易知B 正确；对于C,若a L 3 , I丄a,贝U I //3或I? 3,故C错；对于D,若a丄3 , I // a , 则I与3的位置关系不确定，故D 错.选B.5. 如图，在三棱锥D-ABC中，若AB= CB AD= CD E是AC的中点，则下列命题中正确的是（）/ '■*、A. 平面ABC平面ABDB. 平面ABD平面BCDC. 平面ABC平面BDE且平面ACD_平面BDED. 平面ABCL平面ACD且平面ACD_平面BDE解析：选C 因为AB= CB且E是AC的中点，所以BE! AC同理，DEI AC由于DEH BE=E,于是ACL平面BDE因为AC?平面ABC所以平面ABCL平面BDE又AC?平面ACD所以平面ACD_平面BDE故选C.6.（2018 •广州模拟）如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD^正方形，E, F分别为PA PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF//平面PBC④平面BCEL平面PAD其中正确结论的个数是（）A. 1C. 3解析：选B画出该几何体，如图所示，①因为E, F分别是PAPD的中点，所以EF// AD所以EF/ BC直线BE与直线CF是共面直线，故①不正确；②直线BE与直线AF满足异面直线的定义，故②正确；③ 由E, F分别是PA PD的中点，可知EF/ AD所以EF/ BC因为EF?平面PBC BC?平面PBC所以直线EF/平面PBC故③正确；④因为BE与PA的关系不能确定，所以不能判定平面BCEL平面PAD故④不正确•所以正确结论的个数是 2.7.如图，已知/ BAC= 90°，PC L平面ABC则在△ ABC △ PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有_________________ ;与AP垂直的直线有解析：••• PC L平面ABC••• PC垂直于直线AB BC AC••• ABL AC，AB丄PC A8 PC= C,• ABL平面PAC又AF?平面PAC• ABLAP,与AP垂直的直线是AB答案：AB BC, ACAB&若a ,卩是两个相交平面，m为一条直线，则下列命题中，所有真命题的序号为①若mLa,则在②若mLa,则在③若m?a,则在④若m?a,则在解析: :对于①，若内一定不存在与m平行的直线;内一定存在无数条直线与m垂直;内不一定存在与m垂直的直线;内一定存在与m垂直的直线.mL a ,如果a ,卩互相垂直，则在平面卩内存在与m平行的直线,故①错误；对于②，若mi a ,则m垂直于平面a内的所有直线，故在平面卩内一定存在无数条直线与m垂直，故②正确；对于③④，若n? a ,则在平面卩内一定存在与m垂直的直线，故③错误，④正确.答案：②④9.在直三棱柱ABGABC中，平面a与棱AB AC, AC, AB分别交于点E, F, G H且直线AA//平面a .有下列三个命题：①四边形EFG是平行四边形；②平面 a // 平面BCCB;③平面a丄平面BCFE其中正确命题的序号是____________解析：如图所示，因为AA //平面a ,平面a门平面AABB= EH所以AA/ EH同理AA/ GF,所以EH// GF又ABGA B C是直三棱柱，易知EH= GF= AA,所以四边形EFGH是平行四边形，故①正确；若平面 a //平面BBCQ,由平面a门平面A B i C i = GH平面BCCB门平面A i B C = BC , 知GH/ B i C i ,而GH/ B C不一定成立，故②错误；由AA丄平面BCFE结合AA / EH知EHL平面BCFE又EH?平面a ,所以平面a丄平面BCFE故③正确.答案：①③1 0.（20 1直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论:①存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直;②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直;③存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直.其中正确结论的序号是AEL BD 解析：①假设AC与BD垂直，过点A作AEL BD于E,连接CE则ACL BD ? BDAE n AC= A 丄平面AEC BDL CE而在平面BCD中 , EC与BD不垂直，故假设不成立，①错误.②假设AE L CD T A吐AD ADH CD= D,••• ABL 平面 ACD••• ABLAC 由 AB <BC 可知，存在这样的等腰直角三角形， 使ABL CD 故假设成立，②正确. ③假设AD L BC•/ DC L BC • BC L 平面 ADC• BC L AC 即厶ABC 为直角三角形，且 AB 为斜边, 而A 扌BC 故矛盾，假设不成立，③错误. 答案：②B 级一一中档题目练通抓牢ABGABC 中，/ BAC= 90°, BC L AC 贝U C 在)B.直线BC 上C. 直线AC 上D. A ABC 内 部解析：选 A 连接 AC （图略），由AC L AB ACL BC , ABA BC = B 得 ACL 平面 ABC vAC ?平面ABC 二平面ABC L 平面 ABC • C 在平面ABC 上的射影 H 必在两平面的交线 AB 上.2.如图所示，在四边形 ABCD 中 , AD// BC AD= AB / BCD= 45°, / BAD= 90° .将厶ADE 沿 BD 折起，使平面 ABDL 平面BCD 构成三棱锥 A BCD 则在三棱锥 A BCD 中,下列结论正确的是（）ABCD 中 , AD// BC AD= AB / BCD= 45°, / BAD= 90° ,BD L CD又平面ABDL 平面BCD 且平面 ABD A 平面BCD= BD 故CDL 平面ABD 贝U CDL AB又 AD L AB AD A CD= D, AD ?平面 ADC CD ?平面 ADC 故 ABL 平面 ADC 又AB ?平面ABC •平面ADCL 平面ABC1.如图，在斜三棱柱 底面ABC 上的射影H 必在（A.直线AB 上A.平面 ABDL 平面 ABC B .平面ADCL 平面BDC C.平面 ABC L 平面BDCD .平面ADCL 平面 ABC解析：选D •••在四边形3.如图，在直二棱柱ABC - ABC中，侧棱长为2, AC= BC= 1，/ ACB=90°, D是AB的中点，F是BB上的动点，AB, DF交于点E要使AB丄平面CDF贝熾段BF的长为（）1A.2C.2解析：选 A 设BF= x，因为AB丄平面CDF DF?平面CDF,所以AB丄DF.由已知可得AB =护,1设Rt△ AAB斜边AB上的高为h,贝U D吕尹又2X ,-'2= h ；22+—2一2，所以h=孚，Dm#.在Rt△ DBE 中，BE=寸¥ 2—芈2=罟.由面积相等得普x2+卑2=乌彳，解得x=2.4.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PAL底面ABCD且底面各边都要填写一个你认为是正确的条件即可）相等，M是PC上的一动点，当点M满足 _____ 时，平面MB L平面PCD只解析：连接AC则AC L BD•/ PAL底面ABCD 二PA! BD又PA O AC= A,「. BD丄平面PAC••• BDL PC•••当DML PC或BM L PC时，即有PC丄平面MBD而PC?平面PCD•平面MB!平面PCD答案：DM L PC（或BM L PC5. （2018 •兰州实战考试）a ,卩是两平面，AB CD是两条线段，已知 a O卩=EF, ABL a于B, CDL a于D,若增加一个条件，就能得出BDL EF.现有下列条件：① ACL卩；②AC与a ,卩所成的角相等；③ AC与CD在卩内的射影在同一条直线上；④ AC// EF其中能成为增加条件的序号是___________ .解析：由题意得，AB// CD • A, B, C, D四点共面.①中，••• AC L 3 , EF? 3 , • AC L EF,又T ABL a , EF? a ,••• ABL EF,T ABH AC= A,A EF丄平面ABCD又••• BD?平面ABCD：BD L EF,故①正确；②不能得到BD L EF,故②错误；ABC L 卩，又AE L a , AB③中，由AC与CD在卩内的射影在同一条直线上可知平面平面ABCD二平面ABC丄a . •平面ABC丄a ,平面ABC L卩，a H卩=EF, • EF丄平面ABCD又BD?平面ABCD •- BD L EF,故③正确；④中，由①知，若BD L EF,则EFL平面ABCD则EFL AC故④错误，故填①③答案：①③6. (2017 •全国卷I )如图，在四棱锥P-ABCD中 , AB// CD且/ BAF^Z CD2 90°.(1) 证明：平面PABL平面PAD(2) 若PA= PD= AB= DC Z APD= 90°,且四棱锥R ABCD勺体8积为3,求该四棱锥的侧面积.解：⑴证明：由Z BAP=Z CDP= 90° ,得ABL AP CDL PD因为AB// CD所以AB± PD又APH PD= P,所以ABL平面PAD又A田平面PAB所以平面PABL平面PAD⑵如图所示,在平面PAD内作PEL AD垂足为E由(1)知，AB L平面PAD故ABL PE可得PEL平面ABCD设AB= x,则由已知可得AD= ：2X , PE=~22X.故四棱锥P-ABCD勺体积1 1 3V P-ABCD= A D・ PE= 3X3.1 8由题设得3X3= 3,故X = 2.3 3从而PA= PD= AB= DC= 2 , AD= BC= 2 2 , PB= PC= 2_：2.可得四棱锥P-ABC啲侧面积为2P A- PD^ 2P A- AB^ ^PD- DO *BC sin 60 ° = 6+ 2：3.7. (2017 •山东高考)由四棱柱 ABCDAiBCD 截去三棱锥 C -BCD 后得到的几何体如图⑵设M 是OD 的中点，证明：平面 AEML 平面BCD.因为ABCDA i B i CD 是四棱柱,所以 AO // OC A i O = OC因此四边形AOCC 为平行四边形，所以 AO// OC,因为OC ?平面BCD, AC ?平面BCD ,所以A i O//平面BCD .⑵ 因为E, M 分别为AD OD 的中点,所以EM/ AO因为AOL BD,所以EM L BD又AE 丄平面 ABCD BD ?平面ABCD所以A i E L BD因为 B i D // BD ,所以 EM L B i D , A i E L B i D ,又 A i E ?平面 A i EM EM ?平面 A i EM A i E H EM= E ,所以B i D 丄平面A EM又B i D ?平面B CD ,所以平面A i EM L 平面B CD .C 级一一重难题目自主选做i .(20 i 8 •湖北七市(州)联考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形的直棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童.在如图所示的堑堵 ABMDCP 与刍童ABCDA i B i C D所示.四边形 ABC ［为正方形, E 为AD 的中点, AE 丄平面ABCD(1)证明: AO//平面O 为AC 与 BD 的交点,证明：(1)取BD 的中点1 d_________的组合体中，AB= AD AB = AD.台体体积公式：V= g S'+{§飞+ S)h,其中S', S分别为台体上、下底面的面积，h为台体的高.⑴证明：直线BC L平面MAC(2)若AB= 1, AD = 2, MA=73,三棱锥A-ABD的体积V'= 辔,求该组合体的体积.解：⑴ 证明：由题意可知ABMDCP是底面为直角三角形的直棱柱，•••AC L平面MAB ••• AD丄MA又MA_ AB ADn AB- A, AD?平面ABCD AB?平面ABCD•MAL平面ABCD •- MAL BD又AB= AD •四边形ABC西正方形，• BD L AC又MA C AC=代 MA 平面MAC AC?平面MAC•BC丄平面MAC⑵设刍童ABCDABCD的高为h ,则三棱锥A-ABD的体积V'= 3x l x 2X 2X h=3 2• h= ;3 ,故该组合体的体积V= l x i x .：3X 1+ 3x（12+ 22+，讦X22）x .'3 = ¥ + 号=卫討.2.如图，已知三棱柱ABCA' B' C'的侧棱垂直于底面，AB= AC,/ BAC= 90°，点M N分别为A B和B C'的中点.(1) 证明：MN/平面AA C C;(2) 设AB=入AA ,当入为何值时，CNL平面A MN试证明你的结论.解：(1)证明：如图，取A B'的中点E,连接ME NE因为M, N分别为A B和B C的中点，所以NE/ A C , ME // AA'.又A ' C' ?平面AA C' C, AA' ?平面AA C C,所以M曰平面AA C C, NE//平面AA' C C,又因为M C NE=E,所以平面MN/平面AA' C' C,因为MN平面MNE所以M/平面AA C' C⑵连接BN设AA = a,贝U AB=入AA'=入a,由题意知BC=®a, CN k BN^、J a2+ ?入2a2,因为三棱柱ABCA' B' C的侧棱垂直于底面，所以平面A B C丄平面BB' C C.因为AB= AC,点N是B C的中点，所以A B = A C , A N丄B C ,所以A NX平面BB C C,所以CNL A N要使CNL平面A MN只需CNL BN即可，所以CN+ BN= BC,即卩2 a2+1 入2a2= 2 入2a2, 解得入=2，故当入=,2时，CNL平面A MN。

§8.4直线、平面垂直的判定与性质1.直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法.②利用判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线.②垂直于同一个平面的两条直线平行.③垂直于同一条直线的两平面平行.2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法.②利用判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.(2)平面与平面垂直的性质两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α. (×)(2)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直. (√)(3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b. (√)(4)若α⊥β，a⊥β⇒a∥α. (×)(5)a⊥α，a⊂β⇒α⊥β. (√)2.(2013·广东)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A.若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB.若α∥β，m⊂α，n⊂β，，则m∥nC.若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD.若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β答案 D解析A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中m与n可平行、可异面；C中若α∥β，仍然满足m⊥n，m⊂α，n⊂β，故C错误；故D正确.3.设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分条件是()A.a⊥c，b⊥cB.α⊥β，a⊂α，b⊂βC.a⊥α，b∥αD.a⊥α，b⊥α答案 C解析对于选项C，在平面α内作c∥b，因为a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；A，B选项中，直线a，b可能是平行直线，也可能是异面直线；D选项中一定有a∥b.4.将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD(如图2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是()A.相交且垂直B.相交但不垂直C.异面且垂直D.异面但不垂直答案 C解析在题图1中的等腰直角三角形ABC中，斜边上的中线AD就是斜边上的高，则AD⊥BC，翻折后如题图2，AD与BC变成异面直线，而原线段BC变成两条线段BD、CD，这两条线段与AD垂直，即AD⊥BD，AD⊥CD，故AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC.5.α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α，以其中三个论断作为条件，剩余的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：____________________________.答案可填①③④⇒②与②③④⇒①中的一个题型一直线与平面垂直的判定与性质例1如图所示，在四棱锥P—ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点.证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.思维启迪第(1)问通过DC⊥平面P AC证明；也可通过AE⊥平面PCD得到结论；第(2)问利用线面垂直的判定定理证明直线PD与平面ABE内的两条相交直线垂直.证明(1)在四棱锥P—ABCD中，∵P A⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD.∵AC⊥CD，P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC.而AE⊂平面P AC，∴CD⊥AE.(2)由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)，知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD，∴P A⊥AB.又∵AB⊥AD且P A∩AD＝A，∴AB⊥平面P AD，而PD⊂平面P AD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.思维升华(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.(3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S 是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，又SA＝SB，SD＝SD，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD，又SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.题型二平面与平面垂直的判定与性质例2(2013·北京)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD.E和F分别是CD、PC的中点.求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.思维启迪(1)平面P AD⊥底面ABCD，可由面面垂直的性质证P A⊥底面ABCD；(2)由BE∥AD可得线面平行；(3)证明直线CD⊥平面BEF.证明(1)∵平面P AD∩平面ABCD＝AD.又平面P AD⊥平面ABCD，且P A⊥AD.∴P A⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴四边形ABED为平行四边形.∴BE∥AD.又∵BE⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，∴BE∥平面P AD.(3)∵AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形.∴BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知P A⊥底面ABCD，则P A⊥CD，∴CD⊥平面P AD，从而CD⊥PD，又E、F分别为CD、CP的中点，∴EF∥PD，故CD⊥EF.由EF，BE在平面BEF内，且EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF.∴平面BEF⊥底面PCD.思维升华(1)判定面面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β).(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.(2012·江西)如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E、F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB＝12，AD＝5，BC＝42，DE＝4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合于点G，得到多面体CDEFG.(1)求证：平面DEG⊥平面CFG；(2)求多面体CDEFG的体积.(1)证明因为DE⊥EF，CF⊥EF，所以四边形CDEF为矩形.由GD＝5，DE＝4，得GE＝GD2－DE2＝3.由GC ＝42，CF ＝4，得FG ＝GC 2－CF 2＝4，所以EF ＝5.在△EFG 中，有EF 2＝GE 2＋FG 2， 所以EG ⊥GF .又因为CF ⊥EF ，CF ⊥FG ，所以CF ⊥平面EFG . 所以CF ⊥EG ，所以EG ⊥平面CFG .又EG ⊂平面DEG ，所以平面DEG ⊥平面CFG .(2)解 如图，在平面EGF 中， 过点G 作GH ⊥EF 于点H ， 则GH ＝EG ·GF EF ＝125.因为平面CDEF ⊥平面EFG ， 所以GH ⊥平面CDEF ，所以V 多面体CDEFG ＝13S 矩形CDEF ·GH ＝16.题型三 直线、平面垂直的综合应用例3 如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，△P AD 是等边三角形，已知BD ＝2AD ＝8，AB ＝2DC ＝4 5. (1)设M 是PC 上的一点，求证：平面MBD ⊥平面P AD ； (2)求四棱锥P —ABCD 的体积.思维启迪 (1)因为两平面垂直与M 点位置无关，所以在平面MBD 内 一定有一条直线垂直于平面P AD ，考虑证明BD ⊥平面P AD . (2)四棱锥底面为一梯形，高为P 到面ABCD 的距离. (1)证明 在△ABD 中，∵AD ＝4，BD ＝8，AB ＝45， ∴AD 2＋BD 2＝AB 2.∴AD ⊥BD .又∵面P AD ⊥面ABCD ，面P AD ∩面ABCD ＝AD ， BD ⊂面ABCD ，∴BD ⊥面P AD .又BD ⊂面MBD ，∴面MBD ⊥面P AD . (2)解 过P 作PO ⊥AD ， ∵面P AD ⊥面ABCD ， ∴PO ⊥面ABCD ，即PO 为四棱锥P —ABCD 的高. 又△P AD 是边长为4的等边三角形， ∴PO ＝2 3.在底面四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2DC ， ∴四边形ABCD 为梯形.在Rt △ADB 中，斜边AB 边上的高为4×845＝855，此即为梯形的高. ∴S 四边形ABCD ＝25＋452×855＝24. ∴V P —ABCD ＝13×24×23＝16 3.思维升华 垂直关系综合题的类型及解法(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化. (2)垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.(3)垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积.(2013·江西)如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，AB ＝2，AD ＝2，AA 1＝3，E 为CD 上一点，DE ＝1，EC ＝3. (1)证明：BE ⊥平面BB1C 1C ； (2)求点B 1到平面EA 1C 1的距离.(1)证明 过B 作CD 的垂线交CD 于F ，则 BF ＝AD ＝2，EF ＝AB －DE ＝1，FC ＝2. 在Rt △BFE 中，BE ＝ 3. 在Rt △CFB 中，BC ＝ 6.在△BEC 中，因为BE 2＋BC 2＝9＝EC 2，故BE ⊥BC . 由BB 1⊥平面ABCD 得BE ⊥BB 1， 所以BE ⊥平面BB 1C 1C .(2)解 三棱锥E －A 1B 1C 1的体积V ＝13AA 1·S △A 1B 1C 1＝ 2.在Rt △A 1D 1C 1中，A 1C 1＝A 1D 21＋D 1C 21＝3 2.同理，EC 1＝EC 2＋CC 21＝32，A 1E ＝A 1A 2＋AD 2＋DE 2＝2 3.故E C A S 11∆＝3 5.设点B 1到平面A 1C 1E 的距离为d ， 则三棱锥B 1－A 1C 1E 的体积 V ＝13·d ·E C A S 11∆＝5d ，从而5d ＝2，d ＝105. .立体几何证明问题中的转化思想典例：(12分)如图所示，M ，N ，K 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AB ，CD ，C 1D 1的中点.求证：(1)AN ∥平面A 1MK ； (2)平面A 1B 1C ⊥平面A 1MK .思维启迪 (1)要证线面平行，需证线线平行.(2)要证面面垂直，需证 线面垂直，要证线面垂直，需证线线垂直. 规范解答证明 (1)如图所示，连接NK . 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，∵四边形AA 1D 1D ，DD 1C 1C 都为正方形，∴AA 1∥DD 1，AA 1＝DD 1，C 1D 1∥CD ，C 1D 1＝CD .[2分]∵N，K分别为CD，C1D1的中点，∴DN∥D1K，DN＝D1K，∴四边形DD1KN为平行四边形.[3分]∴KN∥DD1，KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN.∴四边形AA1KN为平行四边形.∴AN∥A1K.[4分]∵A1K⊂平面A1MK，AN⊄平面A1MK，∴AN∥平面A1MK.[6分](2)如图所示，连接BC1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1.∵M，K分别为AB，C1D1的中点，∴BM∥C1K，BM＝C1K.∴四边形BC1KM为平行四边形.∴MK∥BC1.[8分]在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK.∵四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C.[10分]∴MK⊥B1C.∵A1B1⊂平面A1B1C，B1C⊂平面A1B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴MK⊥平面A1B1C.又∵MK⊂平面A1MK，∴平面A1B1C⊥平面A1MK.[12分]温馨提醒(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础.证题中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；(3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范.方法与技巧1.证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直⇒a ⊥α；(2)判定定理1：⎭⎪⎬⎪⎫m 、n ⊂α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n⇒l ⊥α；(3)判定定理2：a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α； (4)面面平行的性质：α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；(5)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β. 2.证明线线垂直的方法(1)定义：两条直线所成的角为90°； (2)平面几何中证明线线垂直的方法； (3)线面垂直的性质：a ⊥α，b ⊂α⇒a ⊥b ； (4)线面垂直的性质：a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b . 3.证明面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； (2)判定定理：a ⊂α，a ⊥β⇒α⊥β. 4.转化思想：垂直关系的转化线线垂直性质线面垂直性质面面垂直在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决. 失误与防范1.在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化.性质判定2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1.已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是() A.l∥m，l⊥α B.l⊥m，l⊥αC.l⊥m，l∥αD.l∥m，l∥α答案 C解析设m在平面α内的射影为n，当l⊥n且与α无公共点时，l⊥m，l∥α.2.如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么()A.P A＝PB>PCB.P A＝PB<PCC.P A＝PB＝PCD.P A≠PB≠PC答案 C解析∵M为AB的中点，△ACB为直角三角形，∴BM＝AM＝CM，又PM⊥平面ABC，∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC，故P A＝PB＝PC.3.在空间内，设l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为假命题的是()A.α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，则l⊥γB.l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥mC.α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，若l∥m，则l∥nD.α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β或α∥β答案 D解析对于A，∵如果两个相交平面均垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，∴该命题是真命题；对于B，∵如果一条直线平行于两个相交平面，那么该直线平行于它们的交线，∴该命题是真命题；对于C，∵如果三个平面两两相交，有三条交线，那么这三条交线交于一点或相互平行，∴该命题是真命题；对于D，当两个平面同时垂直于第三个平面时，这两个平面可能不垂直也不平行，∴D是假命题.综上所述，选D.4.正方体ABCD—A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则直线CE垂直于()A.A′C′B.BDC.A′D′D.AA′答案 B解析连接B′D′，∵B′D′⊥A′C′，B′D′⊥CC′，且A′C′∩CC′＝C′，∴B′D′⊥平面CC′E.而CE⊂平面CC′E，∴B′D′⊥CE.又∵BD∥B′D′，∴BD⊥CE.5. 如图所示，直线P A垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点.现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面P AC的距离等于线段BC的长，其中正确的是()A.①②B.①②③C.①D.②③答案 B解析对于①，∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC，∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面P AC，又PC⊂平面P AC，∴BC⊥PC；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥P A，∵P A⊂平面P AC，∴OM∥平面P AC；对于③，由①知BC⊥平面P AC，∴线段BC的长即是点B到平面P AC的距离，故①②③都正确.二、填空题6.已知P为△ABC所在平面外一点，且P A、PB、PC两两垂直，则下列命题：①P A⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的个数是________.答案 3解析如图所示.∵P A⊥PC、P A⊥PB，PC∩PB＝P，∴P A⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，∴P A⊥BC.同理PB⊥AC、PC⊥AB.但AB不一定垂直于BC.7.在正三棱锥(底面为正三角形且侧棱相等)P－ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.其中正确论断的序号为________.答案①②解析如图，∵P－ABC为正三棱锥，∴PB⊥AC；又∵DE∥AC，DE⊂平面PDE，AC⊄平面PDE，∴AC∥平面PDE.故①②正确.8．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α∥β.当满足条件________时，有m⊥β.(填所选条件的序号)答案②④解析若m⊥α，α∥β，则m⊥β.三、解答题9.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝3，BC＝BE＝7，△DCE是边长为6的正三角形.(1)求证：平面DEC⊥平面BDE；(2)求点A到平面BDE的距离.(1)证明因为四边形ABCD为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，AB ＝3，所以BD ＝13，又因为BC ＝7，CD ＝6，所以根据勾股定理可得BD ⊥CD ，因为BE ＝7，DE ＝6，同理可得BD ⊥DE .因为DE ∩CD ＝D ，DE ⊂平面DEC ，CD ⊂平面DEC ，所以BD ⊥平面DEC .因为BD ⊂平面BDE ，所以平面DEC ⊥平面BDE .(2)解 如图，取CD 的中点O ，连接OE ，因为△DCE 是边长为6的正三角形，所以EO ⊥CD ，EO ＝33，易知EO ⊥平面ABCD ，则V E －ABD ＝13×12×2×3×33＝33， 又因为直角三角形BDE 的面积为12×6×13＝313， 设点A 到平面BDE 的距离为h ，则由V E －ABD ＝V A －BDE ，得13×313h ＝33，所以h ＝33913， 所以点A 到平面BDE 的距离为33913. 10.(2012·江苏)如图，在直三棱柱ABC －A1B 1C 1中，A 1B 1＝A 1C 1，D ，E分别是棱BC ，CC 1上的点(点D 不同于点C )，且AD ⊥DE ，F 为B 1C 1的中点.求证：(1)平面ADE ⊥平面BCC 1B 1；(2)直线A 1F ∥平面ADE .证明 (1)因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC .又AD ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥AD .又因为AD ⊥DE ，CC 1，DE ⊂平面BCC 1B 1，CC 1∩DE ＝E ，所以AD ⊥平面BCC 1B 1.又AD ⊂平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面BCC 1B 1.(2)因为A 1B 1＝A 1C 1，F 为B 1C 1的中点，所以A 1F ⊥B 1C 1.因为CC 1⊥平面A 1B 1C 1，且A 1F ⊂平面A 1B 1C 1，所以CC 1⊥A 1F .又因为CC 1，B 1C 1⊂平面BCC 1B 1，CC 1∩B 1C 1＝C 1，所以A 1F ⊥平面BCC 1B 1.由(1)知AD ⊥平面BCC 1B 1，所以A 1F ∥AD .又AD ⊂平面ADE ，A 1F ⊄平面ADE ，所以A 1F ∥平面ADE .B 组 专项能力提升(时间：30分钟)1.已知平面α与平面β相交，直线m ⊥α，则 ( )A.β内必存在直线与m 平行，且存在直线与m 垂直B.β内不一定存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直C.β内不一定存在直线与m 平行，但必存在直线与m 垂直D.β内必存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直答案 C解析 如图，在平面β内的直线若与α，β的交线a 平行，则有m 与之垂直.但却不一定在β内有与m 平行的直线，只有当α⊥β时才存在.2.(2012·江苏)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3cm ，AA 1＝2 cm ，则四棱锥A －BB 1D 1D 的体积为________ cm 3.答案 6解析 连接AC 交BD 于O ，在长方体中，∵AB ＝AD ＝3，∴BD ＝32且AC ⊥BD .又∵BB 1⊥底面ABCD ，∴BB 1⊥AC .又DB ∩BB 1＝B ，∴AC ⊥平面BB 1D 1D ，∴AO 为四棱锥A －BB 1D 1D 的高且AO ＝12BD ＝322.∵D D BB S 11矩形＝BD ×BB 1＝32×2＝62，∴VA －BB 1D 1D ＝13D D BB S 11矩形·AO ＝13×62×322＝6(cm 3).3.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面P AE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上).答案①④解析由P A⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，得P A⊥AE，又由正六边形的性质得AE⊥AB，P A∩AB＝A，得AE⊥平面P AB，又PB⊂平面P AB，∴AE⊥PB，①正确；∵平面P AD⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面PBC不成立，②错；由正六边形的性质得BC∥AD，又AD⊂平面P AD，BC⊄平面P AD，∴BC∥平面P AD，∴直线BC∥平面P AE也不成立，③错；在Rt△P AD中，P A＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，∴④正确.4.如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝2，等边三角形ADB以AB为轴转动.(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD的长；(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论.解(1)取AB的中点E，连接DE，CE.∵△ADB是等边三角形，∴DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，∵平面ADB∩平面ABC＝AB，∴DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE.由已知可得DE＝3，EC＝1.在Rt△DEC中，CD＝DE2＋EC2＝2.(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.证明如下：①当D在平面ABC内时，∵AC＝BC，AD＝BD，∴C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.又∵AC＝BC，∴AB⊥CE.又DE，CE为相交直线，∴AB⊥平面CDE.由CD⊂平面CDE，得AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.5.如图1所示，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°.点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC＝O.沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED，如图2所示.(1)求证：BD⊥平面POA；(2)当PB取得最小值时，求四棱锥P－BDEF的体积.(1)证明因为菱形ABCD的对角线互相垂直，所以BD⊥AC.所以BD⊥AO.因为EF⊥AC，所以PO⊥EF.因为平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED＝EF，且PO⊂平面PEF，所以PO⊥平面ABFED.因为BD⊂平面ABFED，所以PO⊥BD.因为AO∩PO＝O，所以BD⊥平面POA.(2)解设AO∩BD＝H.因为∠DAB＝60°，所以△BDC 为等边三角形.故BD ＝4，HB ＝2，HC ＝2 3.设PO ＝x ，则OH ＝23－x ，OA ＝43－x .连接PH ，OB ，由OH ⊥BD ，得OB 2＝(23－x )2＋22. 又由(1)知PO ⊥平面BFED ，则PO ⊥OB .所以PB ＝OB 2＋OP 2＝(23－x )2＋22＋x 2 ＝2(x －3)2＋10.当x ＝3时，PB min ＝10，此时PO ＝3＝OH ，所以V 四棱锥P －BDEF ＝13×S 梯形BDEF ×PO ＝13×(34×42－34×22)×3＝3.。