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目录第一卷北京大学 (1)1.1996年数学分析(1)2.1996年高等代数(1)3.1997年数学分析(2)4.1997年高等代数(2)5.1998年数学分析(3) 6.1998年高等代数(4)7.1999年数学分析(5)8.1999年高等代数(5)9.2000年数学分析(6)10.2000年高等代数(7)11.2001年数学分析(8)12.2001年高等代数(8)13.2002年数学分析(9)14.2002年高等代数(10)15.2005年数学分析(11)16.2005年高等代数(11)17.2006年数学分析(12)18.2006年高等代数(13)19.2007年数学分析(14)20.2007年高等代数(14)21.2008年数学分析(15)22.2008年高等代数(16)23.2009年数学分析(16)24.2010年数学分析(17)25.2010年高等代数(18)第二卷北京师范大学 (19)1.1998年数学分析(19)2.1998年高等代数(19)3.1999年数学分析(20)4.1999年高等代数(20)5.2000年数学分析(21) 6.2000年高等代数(22)7.2001年数学分析(22)8.2001年高等代数(23)9.2002年数学分析(23)10.2002年高等代数(23)11.2003年数学分析(24)12.2003年高等代数(25)13.2004年数学分析(25)14.2004年高等代数(26)15.2005年数学分析(26)16.2005年高等代数(27)17.2006年数学分析与高等代数(28)18.2007年数学分析与高等代数(29)第三卷四川大学 (30)1.1997年数学分析(30)2.1998年数学分析(30)3.1999年数学分析(31)4.1999年高等代数(31)5.2000年数学分析(32) 6.2000年高等代数(32)7.2001年数学分析(33)8.2001年高等代数(34)9.2002年数学分析(34)10.2002年高等代数(35)11.2003年数学分析与高等代数(35)12.2004年数学分析与高等代数(36)13.2005年数学分析与高等代数(37)14.2006年数学分析与高等代数(38)15.2007年数学分析(39)16.2007年高等代数(39)17.2008年数学分析(41)18.2008年高等代数(42)第四卷西南大学 (44)1.2002年数学分析(44)2.2002年高等代数(45)3.2003年数学分析(45)4.2003年高等代数(46)5.2004年数学分析(47) 6.2004年高等代数(47)7.2005年数学分析(48)8.2005年高等代数(49)9.2006年数学分析(50)10.2006年高等代数(51)11.2007年数学分析(52)12.2007年高等代数(53)13.2008年数学分析(54)14.2008年高等代数(55)北京大学1996年数学分析试题1.(25分)判断下列命题的真伪：(1)对数列{a n }作和S n =n ∑k =1a k ，若{S n }是有界数列，则{a n }是有界数列；(2)数列{a n }存在极限lim n →∞a n =a 的充要条件是：对任一正整数p ，都有lim n →∞ a n +p −a n =0；(3)设f (x )是[a,+∞)上的递增连续函数，若f (x )在[a,+∞)上有界，则f (x )在[a,+∞)上一致连续；(4)设f (x )在[a,b ]上连续，且在(a,b )上可微，若存在极限lim x →a +0f ′(x )=ℓ，则右导数f ′+(a )存在且等于ℓ；(5)若f (x )是[a,+∞)上的非负连续函数，且积分∫+∞a f (x )d x 收敛，则lim x →+∞f (x )=0．2.(13分)设f (x )在x =a 处可微，f (a )=0．求极限lim n →∞(f (a +1n )f (a ))x ．3.(20分)(1)求幂级数+∞∑n =1nx n −1(|x |<1)的和；(2)求级数+∞∑n =12n 3n 的和．4.(12分)求积分I =∫∫∫D (x +y +z )d x d y d z 的值，其中D 是由平面x +y +z =1以及3个坐标平面围成的区域．5.(20分)设a n =0(n =1,2,...)且lim n →∞a n =0．若存在极限limn →∞a n +1a n =ℓ，证明|ℓ| 1．6.(10分)设在[a,b ]上，f n (x )一致收敛于f (x )，g n (x )一致收敛于g (x )．若存在正数列{M n }，使得对任意x ∈[a,b ]，n =1,2,···，有f n (x ) M n ，g n (x ) M n ．证明，f n (x )g n (x )在[a,b ]上一致收敛于f (x )g (x )．北京大学1996年高等代数与解析几何试题1.(15分)在仿射坐标系中，求过点M 0(0,0,−2)，与平面π1:3x −y +2z −1=0平行，且与直线ℓ1:x −14=y −3−2=z −1相交的直线ℓ的方程．2.(25分)作直角坐标变换，把下述二次曲面方程化成标准方程，并且指出它是什么曲面：x 2+4y 2+z 2−4xy −8xz −4yz +2x +y +2z −2516=0．3.(16分)设线性空间V 中的向量组α1,α2,α3,α4线性无关．(1)试问，向量组α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α1是否线性无关？要求说明理由；·2·博士家园首发(2)求向量组α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α1生成的线性子空间W 的一个基以及W 的维数．4.(16分)设V 是数域K 上的n 维线性空间，并且V =U ⊕W ．任给α∈V ，设α=α1+α2，其中α1∈U ，α2∈W ．令P (α)=α1．证明：(1)P 是V 上的线性变换，并且P 2=P ；(2)P 的核Ker P =W ，P 的象Im P =U ；(3)V 中存在一个基，使得P 在这个基下的矩阵是(I r O O O)，其中I r 表示r 阶单位矩阵；请指出r 等于什么．5.(12分)n 阶矩阵A 称为周期矩阵，如果存在正整数m ，使得A m =I ，其中I 是单位矩阵．证明，复数域C 上的周期矩阵一定可以对角化．6.(16分)用R [x ]4表示实数域R 上次数小于4的一元多项式组成的集合，它是一个Euclid 空间，其上的内积为(f,g )=∫10f (x )g (x )d x ．设W 是由零次多项式组成的子空间，求W ⊥以及它的一个基．北京大学1997年数学分析试题1.(10分)将函数f (x )=arctan 2x 1−x 2在x =0点展开为幂级数，并指出收敛区间．2.(10分)判别广义积分的敛散性：∫+∞0ln(1+x )x pd x ．3.(15分)设f (x )在(−∞,+∞)上任意阶导数f (n )(x )，且对任意有限闭区间[a,b ]，f (n )(x )在[a,b ]上一致收敛于φ(x )(n →∞)．证明，φ(x )=c e x ，c 为常数．4.(15分)设x n >0(n =1,2,···)及lim n →+∞x n =a ．用ε−N 语言证明lim n →+∞√n =√．5.(15分)计算第二型曲面积分S (x d y d z +cos y d z d x +d x d y )，其中S 为x 2+y 2+z 2=1的外侧．6.(20分)设x =f (u,v )，y =g (u,v )，ω=ω(x,y )有2阶连续偏导数，满足∂f ∂u =∂g ∂v ，∂f ∂v =−∂g ∂u ，∂2ω∂x 2+∂2ω∂y2=0．证明：(1)∂2(fg )∂u 2+∂2(fg )∂v 2=0；(2)∂2ω∂u 2+∂2ω∂v 2=0．7.(15分)计算三重积分：∫∫∫x 2+y 2+z 2 2z(x 2+y 2+z 2)5/2d x d y d z ．北京大学1997年高等代数与解析几何试题1.(12分)判断下列二次曲线的类型：(1)x 2−3xy +y 2+10x −10y +21=0；(2)x 2+4xy +4y 2−20x +10y −50=0．2.(18分)过x 轴和y 轴分别做动平面，交角α是常数，求交线轨迹的方程，并且证明它是一个锥面．3.(20分)设A,B 是数域K 上的n 阶方阵，X 是未知量x 1,···,x n 所成的n ×1矩阵．已知齐次线性方程组AX =0和BX =0分别有ℓ,m 个线性无关解向量，这里ℓ 0，m 0．(1)证明(AB )X =0至少有max(ℓ,m )个线性无关的解向量；第一卷北京大学·3·(2)如果ℓ+m >n ，证明(A +B )X =0必有非零解；(3)如果AX =0和BX =0无公共非零解向量，且ℓ+m =n ；证明K n 中任一向量α可唯一表示成α=β+γ，这里β,γ分别是AX =0和BX =0的解向量．4.(20分)设A 是实数域R 上的3维线性空间V 上的一个线性变换，对V 的一组基ε1,ε2,ε3，有A (ε1)=3ε1+6ε2+6ε3，A (ε2)=4ε1+3ε2+4ε3，A (ε3)=−5ε1−4ε2−6ε3．(1)求A 的全部特征值和特征向量；(2)设B =A 3−5A ，求B 的一个非平凡的不变子空间．5.(10分)设f (x )是有理数域Q 上的一个m 次多项式(m 0)，n 是大于m 的正整数．证明，n √2不是f (x )的实根．6.(20分)设A 是n 维Euclid 空间V 上的一个线性变换，对任意α,β∈V ，有(A (α),β)=−(α,A (β))．(1)若λ是A 的一个特征值，证明λ=0；(2)证明V 内存在一组标准正交基，使得A 2在此基下的矩阵为对角矩阵．(3)设A 在V 的某组标准正交基下的矩阵．证明，把A 看做复数域C 上的n 阶方阵，其特征值比零．北京大学1998年数学分析试题1.(26分)单项选择题：(1)设f (x )定义在区间[a,b ]上．若对任意的g ∈R ([a,b ])，有f ·g ∈R ([a,b ])，则()．A.f ∈R ([a,b ]) B.f ∈C ([a,b ])C.f 可微 D.f 可微(2)f ∈C ((a,b ))．若存在lim x →a +f (x )=1，lim b →b −f (x )=2，则()．A.f (x )在[a,b ]一致连续B.f (x )在[a,b ]连续C.f (x )在(a,b )一致连续D.f (x )在(a,b )可微(3)若广义积分∫10f (x )d x 和∫10g (x )d x 都存在，则广义积分∫10f (x )g (x )d x ()．A.收敛B.发散C.不一定收敛D.一定不收敛(4)若lim n →∞na n =1，则∞∑n =1a n()．A.发散 B.收敛C.不一定收敛D.绝对收敛(5)设f (x,y )在区域{(x,y ) x 2+y 2<1}上有定义．若存在偏导数f ′x (0,0)=0=f ′y (0,0)，则f (x,y )()．A.在点(0,0)处连续B.在点(0,0)处可微C.在点(0,0)处不一定连续D.在点(0,0)处不可微2.(24分)计算下列极限：(1)lim n →∞n √1+a n (a >0)；(2)lim x →0(1x 2−cot x x )；(3)lim x →0+∞∑n =112n n x ．3.(10分)计算下列积分：·4·博士家园首发(1)∫∫S x 3d y d z +x 2y d z d x +x 2z d x d y ，其中S 为z =0，z =b 和x 2+y 2=a 2围成的区域；(2)∫C 1yd x +1x d y ，其中C 为y =1，x =4和y =√x 所围区域的边界，逆时针旋转一周．4.(16分)解答下列问题：(1)求幂级数∞∑n =1(−1)n n !(n e )n x n 的收敛半径；(2)求级数∞∑n =02n (n +1)n !的和．5.(24分)试证明下列命题：(1)广义积分∫+∞0sin x 21+x p d x (p 0)是收敛的；(2)设f (x,y )在G ={(x,y ) x 2+y 2<1}上有定义．若f (x,0)在x =0处连续，且f ′y (x,y )在G 上有界，则f (x,y )在(0,0)处连续．北京大学1998年高等代数与解析几何试题1.(15分)设在直角坐标系中给出了两条互相异面的直线ℓ1和ℓ2的普通方程：{x +y +z −1=0x +y +2z +1=0，{3x +y +1=0y +3z +2=0．(1)过ℓ1作平面π，使得π与ℓ2平行；(2)求ℓ1和ℓ2的距离；(3)求ℓ1和ℓ2的公垂线的方程．2.(15分)在直角坐标系中，球面的方程为：(x −1)2+y 2+(z +1)2=4．求所有与向量u (1,1,1)平行的球面的切线构成的曲面的方程．3.(16分)讨论a,b 满足什么条件时，数域K 上的方程组 ax 1+3x 2+3x 3=3x 1+4x 2+x 3=12x 1+2x 2+bx 3=2有唯一解，有无穷多个解，无解？当有解时，求出该方程组的全部解．4.(12分)设V 是定义域为实数集R 的所有实值函数组成的集合，对于f,g ∈V ，α∈R ，分别用下列式子定义f +g 与αf ：对任意x ∈V ，(f +g )(x )=f (x )+g (x )，(αf )(x )=α(f (x ))．则V 成为R 上的一个线性空间．设f 0(x )=1，f 1(x )=cos x ，f 2(x )=cos 2x ，f 3(x )=cos 3x ．(1)判断f 0,f 1,f 2,f 3的线性相关性，写出理由；(2)用⟨f,g ⟩表示f,g 生成的线性子空间，判断⟨f 0,f 1⟩+⟨f 2,f 3⟩是否为直和，写出理由．5.(20分)用J 表示元素全为1的n 阶方阵，n 2．设f (x )=a +bx 是有理数域Q 上的一元多项式，令A =f (J )．(1)求J 的全部特征值、全部特征向量、所有特征子空间；(2)A 是否可以对角化？如果可以对角化，求出有理数域Q 上的一个可逆矩阵，使得P −1AP 为对角矩阵，并且写出这个对角矩阵．6.(22分)用M 2(C )表示复数域C 上所有2阶矩阵组成的集合．令V ={A ∈M 2(C ) Tr(A )=0且A ∗=A }．其中Tr(A )表示A 的迹，A ∗表示A 的转置共轭矩阵．(1)证明V 对于矩阵的加法以及实数与矩阵的数量乘法作成实数域R 上的线性空间，并且说明V 中的元素形如：(a 1a 2+i a 3a 2−i a 3−a 1)，其中a 1,a 2,a 3∈R ，i =√−1．第一卷北京大学·5·(2)设A =(a 1a 2+i a 3a 2−i a 3−a 1)，B =(b 1b 2+i b 3b 2−i b 3−b 1)，考虑V 上的一个二元函数：(A,B )=a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3．证明，这个二元函数是V 上的一个内积，从而V 成为Euclid 空间；并且求出V 的一个标准正交基，要求写出理由．(3)设T 是一个酉矩阵（即，T 满足T ∗T =I ，其中I 是单位矩阵），对任意A ∈V ，规定ΨT (A )=T AT −1，证明ΨT 是V 上的正交变换．(4)ΨT 的意义通第(3)小题，求集合：S ={T det T =1且ΨT =1V }．其中det T 表示T 的行列式，1V 表示V 上的恒等变换．北京大学1999年数学分析试题1.(15分)判断下列命题的真伪：(1)设{a n }是一个数列．若存在一个子列{a n k }中存在收敛子列{a n k i }，则{a n }比为收敛列；(2)设f ∈C ((a,b ))．若存在lim x →a +f (x )=A <0，lim x →b −f (x )=B >0，则必存在ξ∈(a,b )，使得f (ξ)=0；(3)设f (x )在[a,b ]上有界．若对任意δ>0，f (x )在[a +δ,b ]上可积，则f (x )在[a,b ]上可积；(4)设f (x ),g (x )在[0,1]上的暇积分均存在，则乘积f (x )·g (x )在[0,1]上的暇积分必存在；(5)设级数∞∑n =1b n 收敛．若有a n b n (n =1,2,···)，则级数∞∑n =1a n 收敛．2.(40分)求下列极限值：(1)lim x →0a tan x +b (1−cos x )αlog(1−x )+β(1−e −x 2)(a 2+α2=0)；(2)lim n →∞∫10(1−x 2)n d x ；(3)lim n →∞(sin πn n +1+sin 2πn n +12+···+sin πn +1n)；(4)lim n →∞n √1+a n (a >0)．3.(45分)求解下列命题：(1)求级数∞∑n =0n 3n 2n 之和；(2)证明，级数∞∑n =1(−1)n arctan n √n 收敛；(3)设f ∈C ([0,1])，且在(0,1)上可微．若有8∫17/8f (x )d x =f (0)，证明，存在ξ∈(0,1)，使得f ′(ξ)=0；(4)证明，积分∫+∞0x e −xy d y 在(0,+∞)上不已知收敛；(5)设u =f (x,y,z )，g (x 2,e y ,z )=0，y =sin x ，且已知f 与g 都有一阶连续偏导数，∂g ∂z =0．求d u d x ；(6)设f (x )在[−1,1]上二次连续可微，且有lim x →0f (x )x =0．证明，级数∞∑n =1f (1n )绝对收敛．北京大学1999年高等代数与解析几何试题1.(20分)在仿射坐标系中，已知直线ℓ1,ℓ2的方程分别是：x +132=y −53=z 1，x −105=y +74=z 1．(1)判断ℓ1与ℓ2的位置关系，要求说出理由；(2)设直线ℓ的一个方向向量⃗v (8,7,1)，并且ℓ与ℓ1和ℓ2都相交，求直线ℓ的方程．·6·博士家园首发2.(10分)在直角坐标系O −xyz 中，设顶点在原点的二次锥面S 的方程为：a 11x 2+a 22y 2+a 33z 2+2a 12xy +2z 13xz +2a 23yz =0．(1)如果三条坐标轴都是S 的母线，求a 11,a 22,a 33；(2)证明，如果S 有三条互相垂直的直母线，则a 11+a 22+a 33=0．3.(16分)设实数域R 上的矩阵A = 110−101−300．(1)求A 的特征多项式f (λ)；(2)f (λ)是否为R 上的不可约多项式；(3)求A 的最小多项式；(4)A 在R 上是否可对角化，说明理由．4.(16分)设实数域R 上的矩阵A = 10106−21−22．(1)判断A 是否为正定矩阵，说明理由；(2)设V 是实数域R 上的3维线性空间，V 上的一个双线性函数f (α,β)在V 的一个基α1,α2,α3下的度量矩阵为A ．证明，f (α,β)是V 的一个内积；并且求出V 对于这个内积所成的Euclid空间的一个标准正交基．5.(16分)设V 是数域K 上的一个n 维线性空间，α1,α2,···,αn 是V 的一个基．用V 1表示由α1+α2+···+αn 生成的线性空间，令V 2={n ∑i =1k i αi n ∑i =1k i =0，k i ∈K }．(1)证明，V 2是V 的子空间，并且V =V 1⊕V 2；(2)设V 上的一个线性变换A 在基α1,α2,···,αn 下的矩阵A 是置换矩阵（即：A 的每一行与每一列都只有一个元素是1，其余元素全为0），证明V 1与V 2都是A 的不变子空间．6.(12分)设V 和U 分别是数域K 上的n 维、m 维线性空间，A 是V 到U 的一个线性映射，即A是V 到U 的映射，且满足对任意α,β∈V ，有A (α+β)=A (α)+A (β)；对任意α∈V ，k ∈K ，有A (kα)=k A (α)．令Ker A :={α∈V A (α)=0}，称Ker A 是A 的核，它是V 的一个子空间，用Im A 表示A 的象（值域）．(1)证明：dim(Ker A )+dim(Im A )=dim V ；(2)证明：如果dim V =dim U ，则A 是单射当且仅当A 是满射．7.(10分)设V 是实数域R 上的n 维线性空间．V 上的复值函数组成集合，对于函数的加法以及复数与函数的数量乘法，形成复数域C 上的一个线性空间，记为C V ．证明，如果f 1,f 2,···,f n +1是C V 中n +1个不同的函数，并且它们满足：对任意α,β∈V ，有f i (α+β)=f i (α)+f i (β)；对任意k ∈R ，α∈V ，有f i (kα)=kf i (α)，则f 1,f 2,···,f n +1是C V 中线性相关的向量组．北京大学2000年数学分析试题1.(40分)计算题．(1)求极限lim x →0(a +x )x −a x x 2，a >0；(2)求e 2x −x 2到含x 5项的Taylor 展开式；(3)求积分∫10x b −x a ln x d x ，其中a >b >0；(4)求积分∫∫∫V(x 2+y 2+z 2)αd x d y d z ，V 是实心球x 2+y 2+z 2 R 2，α>0；(5)求积分∫∫S x 2d y d z +y 3d x d z +z 3d x d y ，S 是x 2+y 2+z 2=a 2的外表面．第一卷北京大学·7·2.(10分)叙述定义．(1)lim x →−∞f (x )=+∞；(2)当x →a −0时，f (x )不以A 为极限．3.(13分)函数f (x )在[a,b ]上一致连续，又在[b,c ]上一致连续，a <b <c ．用定义证明f (x )在[a,c ]上一致连续．4.(10分)构造一个二元函数f (x,y )，使得它在原点(0,0)两个偏导数都存在，但在原点不可微．5.(12分)函数f (x )在[a,b ]连续．证明不等式：(∫b a f (x )d x )2(b −a )∫b af 2(x )d x ．6.(15分)(1)在区间(0,2π)内展开f (x )的Fourier 级数，其中f (x )=π−x 2．(2)证明它的Fourier 级数在(0,2π)内每一点上收敛与f (x )．北京大学2000年高等代数与解析几何试题1.(20分)(1)在直角坐标系中，一个柱面的准线方程为{xy =4z =0，母线方向为(1,−1,1)，求这个柱面的方程；(2)在平面直角坐标系O −xy 中，二次曲线的方程为：x 2−3xy +y 2+10x −10y +21=0，求I 1,I 2,I 3；指出这是什么二次曲线，并且确定其形状．2.(22分)(1)设实数域R 上的矩阵A =204060402，求正交矩阵T ，使得T −1AT 为对角矩阵，并且写出这个对角矩阵；(2)在直角坐标系O −xyz 中，二次曲面S 的方程为：2x 2+6y 2+2z 2+8xz =1，作直角坐标变换，把S 的方程化成标准方程，并且指出它是什么二次曲面．3.(12分)设实数域R 上的s ×n 矩阵A 的元素只有0和1，并且A 的每一行的元素之和是常数r ，A 的每两个行向量的内积为常数m ，其中m <r ．(1)求det(AA T )；(2)证明s n ；(3)证明AA T 的特征值全为正实数．4.(8分)设V 是数域K 上的n 维线性空间，A 是V 上的线性变换，且满足A 3−7A =−6I ，其中I 表示V 上的恒等变换．判断A 是否可以对角化，说明理由．5.(12分)设V 和V ′都是数域K 上的有限维线性空间，A 是V 到V ′的一个线性映射．证明，存在直和分解V =U ⊕W ，V ′=M ⊕N ，使得Ker A =U ，并且W ∼=M ．6.(10分)设f (x )和p (x )都是首项系数为1的整系数多项式，且p (x )在有理数域Q 上不可约．如果p (x )与f (x )有公共复根α，证明：(1)在Q [x ]中，p (x )整除f (x )；(2)存在首项系数为1的整系数多项式g (x )，使得f (x )=p (x )g (x )．7.(16分)(1)设V 是实数域R 上的线性空间，f 是V 上的正定的对称双线性函数，U 是V 的有限维子空间．证明，V =U ⊕U ⊥，其中U ⊥={α∈V f (α,β)=0，对任意β∈U }．·8·博士家园首发(2)设V 是数域K 上的n 维线性空间，g 是V 上的非退化的对称双线性函数，W 是V 的子空间．令W ⊥={α∈V g (α,β)=0，对任意β∈W }．证明：x dim V =dim W +dim W ⊥；y (W ⊥)⊥=W ．北京大学2001年数学分析试题1.(10分)求极限lim n →∞a 2n1+a 2n．2.(10分)设f (x )在点a 可导，f (a )=0．求极限lim n →∞(f (a +1n )f (a ))n ．3.(10分)证明函数f (x )=√x ln x 在[1,+∞)上一致连续．4.(10分)设D 是包含原点的平面凸区域，f (x,y )在D 上可微，且x∂f ∂x +y ∂f ∂y=0．证明，f (x,y )在D 上恒为常数．5.(10分)计算第一型曲面积分∫∫Σx d S ，其中Σ是锥面z =√x 2+y 2被柱面x 2+y 2=ax (a >0)割下的部分．6.(10分)求极限lim t →0+01t4∫∫∫x 2+y 2+z 2 t 2f (√x 2+y 2+z 2)d x d y d z ，其中f 在[0,1]上连续，f (0)=0，f ′(0)=1．7.(10分)求常数λ，使得曲线积分∫L x yr λd x −x 2y 2r λd y =0(r =√x 2+y 2)对上半平面的任何光滑闭曲线L 成立．8.(10分)证明函数f (x )=∞∑n =11n x 在(1,+∞)上无穷次可微．9.(10分)求广义积分∫+∞0arctan(bx 2)−arctan(ax 2)xd x ，b >a >0．10.(10分)设f (x )是以2π为周期的周期函数，且f (x )=x ，−π x <π．求f (x )与|f (x )|的Fourier 级数．它们的Fourier 级数是否一致收敛？说明理由．北京大学2001年高等代数与解析几何试题1.(15分)在空间直角坐标系中，点A,B,C 的坐标依次为：(−2,1,4)，(−2,−3,−4)，(−1,3,3)．(1)求四面体OABC 的体积；(2)求三角形ABC 的面积．2.(15分)在空间直角坐标系中，ℓ1:x −a 1=y −2=z 3与ℓ2:x 2=y −11=z −2是一对相交直线．(1)求a ；(2)求ℓ2绕ℓ1旋转出的曲面的方程．3.(12分)设ω是复数域C 上的本原n 次单位根（即，ωn =1，而当0<ℓ<n 时，ωℓ=1），s,b 都是正整数，而且s <n ．令A = 1ωb ω2b ···ω(n −1)b 1ωb +1ω2(b +1)···ω(n −1)(b −1)...............1ωb +s −1ω2(b +s −1)···ω(n −1)(b +s −1)任取β∈C s ，判断线性方程组AX =β无解？有多少解？说明理由．4.(18分)(1)设矩阵A = 010001−23−1．x 若把A 看成有理数域Q 上的矩阵，判断A 是否可对角化，说明理由；y 若把A 看成复数域C 上的矩阵，判断A 是否可对角化，说明理由．(2)设A 是有理数域Q 上的n 阶对称矩阵，并且在Q 上A 合同于单位矩阵I ．用δ表示元素全为1的列向量，b ∈Q ．证明，在Q 上(A bδbδT b )∼=(I 00b −b 2δT A −1δ)．5.(14分)在实数域R 上的n 维列向量空间R n 中，定义内积(α,β)=αT β，从而R n 成为Euclid 空间．(1)设R 上的矩阵A = 1−35−2−21−31−1−79−4．求齐次线性方程组AX =0的解空间的一个正交基；(2)设A 是R 上的s ×n 矩阵，用W 表示齐次线性方程组AX =0的解空间，用U 表示A T 的列向量（即，A T 的列向量生成的子空间）．证明：U =W ⊥．6.设A 是数域K 上n 维线性空间V 上的一个线性变换．在K [x ]中，f (x )=f 1(x )f 2(x )，且f 1(x )与f 2(x )互素．用Ker A 表示线性变化A 的核．证明：Ker f (A )=Ker f 1(A )⊕Ker f 2(A )．7.设A 是数域K 上n 维线性空间V 上的一个线性变换，I 是恒等变换．证明，A 2=A 的充分必要条件是rank(A )+rank(A −I )=n ．北京大学2002年数学分析试题1.(10分)求极限lim x →0(sin x x)11−cos x．2.(10分)设a 0，x 1=√2+a,···,x n +1=√2+x n ,n =1,2,···，证明极限lim n →∞x n 存在并求其极限值．3.(10分)设f (x )在[a,a +2α]上连续，证明存在x ∈[a,a +α]，使得f (x +α)−f (x )=f (x +2α)−f (a )2．4.(10分)设f (x )=x √1−x 2+arctan x ，求f ′(x )．5.(10分)设u (x,y )有二阶连续偏导数．证明u 满足偏微分方程∂2u ∂x 2−2∂2u ∂x ∂y +∂2u ∂y 2=0当且仅当存在二阶连续可微函数φ(t ),ψ(t )，使得u (x,y )=xφ(x +y )+yψ(x +y )．6.(10分)计算三重积分∫∫∫Ωx 2√x 2+y 2d x d y d z ，其中Ω是曲面z =√x 2+y 2与z =x 2+y 2围成的有界区域．7.(10分)计算第二型曲面积分I =∫∫Σx 2d y d z +y 2d z d x +z 2d x d y ，其中Σ是球面x 2+y 2+z 2=az (a >0)的外侧．8.(10分)判断级数∞∑n =1ln cos 1n的敛散性，并给出证明．9.(10分)证明：(1)函数项级数∞∑n=1nx e−nx在区间(0,+∞)上不一致收敛；(2)函数项级数∞∑n=1nx e−nx在区间(0,+∞)上可逐项求导．10.(10分)设f(x)连续，g(x)=∫0xyf(x−y)d y．求g′′(x)．北京大学2002年高等代数与解析几何试题1.(18分)在空间直角坐标系中，直线ℓ1和ℓ2分别有方程{x+y+z−1=0 x+y+2z+1=0，{3x+y+1=0=0x+3z+2=0．(1)求过ℓ1且平行于ℓ2的平面的方程；(2)求ℓ1和ℓ2的距离；(3)求ℓ1和ℓ2的公垂线的方程．2.(12分)在空间直角坐标系中，求直线{z=3x+2z=2y−1绕z轴旋转所得旋转曲面的方程．3.(15分)设用正交变换化下面二次型为标准型：f(x1,x2,x3)=x21+x22+x23−4x1x2−4x1x3−4x2x3．(要求写出正交变换的矩阵的相应的标准型)4.(12分)对于任意非负整数n，令f n(x)=x n+2−(x+1)2n+1，证明：(x2+x+1,f n(x))=1．5.(18分)设正整数n 2，用M n(K)表示数域K上全体n×n阶矩阵关于矩阵加法和数乘构成的K上的线性空间．在M n(K)中定义变换A如下：对任意的(a ij)n×n∈M n(K)，令A((a ij)n×n)=(a′ij)n×n．其中a′ij ={a ij,当i=j时；i·Tr((a ij)n×n)，当i=j时．(1)证明A是M n(K)上的线性变换；(2)求出Ker(A)的维数与一组基；(3)求出A的全部特征子空间．6.(12分)用R表示实数域，定义R n到R的映射f如下：f(x)=|x1|+···+|x r|−|x r+1|−···−|x r+s|,∀x=(x1,x2,···,x n)T∈R n，其中r s 0．证明：(1)存在R n的一个n−r维子空间W，使得f(x)=0，对任意x∈W；(2)若W1,W2是R n的两个n−r维子空间，且满足对任意x∈W1∪W2，均有f(x)=0，那么一定有dim(W1∩W2) n−(r+s)．7.(13分)设V是数域K上n维线性空间，V1,V2,···,V s是V的s个真子空间，证明：(1)存在α∈V，使得α/∈V1∪V1∪V2∪···∪V s；(2)存在V中的一组基ε1,ε2,···,εn，使得{ε1,ε2,···,εn}∩(V1∪V1∪V2∪···∪V s)=∅．北京大学2005年数学分析试题1.设f(x)=x2sin x−1x2−sin xsin x，试求lim supx→+∞f(x)和lim infx→+∞f(x)．2.(1)设f(x)在开区间(a,b)上可微，且f′(x)在(a,b)上有界，证明f(x)在(a,b)上一致连续；(2)设f(x)在开区间(a,b)(−∞<a<b<+∞)上可微且一致连续，试问f′(x)在(a,b)是否一定有界．(若肯定回答，请证明；若否定回答，举例说明)3.设f(x)=sin2(x2+1)，(1)求f(x)的麦克劳林展开式；(2)求f(n)(0),n=1,2,3,···．4.试作出定义在R2中的一个函数f(x,y)，使得它在原点处同时满足一下三个条件：(1)f(x,y)两个偏导数都存在；(2)任何方向极限都存在；(3)在原点不连续．5.计算∫Lx2d s，其中L是球面x2+y2+z2=1与平面x+y+z=0的交线．6.设函数列{f n(x)}满足下列条件：(1)对∀n,f n(x)在区间[a,b]上连续且有f n(x) f n+1(x),x∈[a,b]；(2){f n(x)}点点收敛于[a,b]上的连续函数s(x)；证明{f n(x)}在[a,b]上一致收敛于s(x)．北京大学2005年高等代数与解析几何试题1.在直角坐标系中，求直线ℓ:{2x+y−z=0x+y+2z=0到平面π:3x+By+z=0的正交投影轨迹的方程，其中B是常数．2.在直角坐标系中对于参数λ的不同取值，判断平面二次曲线x2+y2+2λxy+λ=0的形状：(1)对于中心型曲线，写出对称中心的坐标；(2)对于线心型曲线，写出对称直线的方程．3.设数域K上的n级矩阵A的(i,j)元为a i−b j．(1)求det(A)；(2)当n 2时，a1=a2，b1 b2．求齐次线性方程组AX=0的解空间的维数和一个基．4.(1)设数域K上的n级矩阵，对任意正整数m，求C m；(2)用M n(K)表示数域K上所有n级矩阵组成的集合，它对于矩阵的加法和数量乘法成为K上的线性空间．数域K上n级矩阵A=a1a2a3···a na n a1a2···a n−1...............a2a3a4···a1称为循环矩阵．用U表示上所有n级循环矩阵组成的集合．证明U是M n(K)的一个子空间，并求U的一个基和维数．5.(1)设实数域R上n级矩阵的(i,j)元为1i+j−1(n>1)．在实数域上n维线性空间R n中，对于α,β∈R n，令f(α,β)=α′Hβ．试问f是不是R n上的一个内积，写出理由．(2)设A 是n 级正定矩阵(n >1)，α∈R n ，且α是非零列向量．令B =Aαα′，求B 的最大特征值以及B 的属于这个特征值的特征子空间的维数和一个基．6.设A 是数域R 上n 维线性空间V 上的一个线性变换，用E 表示V 上的恒等变换，证明：A 3=E ⇐⇒rank(E −A )+rank(E +A +A 2)=n ．北京大学2006年数学分析试题1.确界原理是关于实数域完备性的一种描述．试给出一个描述实数域完备性的其它定理并证明其与确界原理等价．2.设f (x,y )=x 3+3xy −y 2−6x +2y +1，求f (x,y )在(−2,2)处的二阶带Peano 余项的Taylor展式．问f (x,y )在R 2上有哪些关于极值的判别点，这些判断点是否为极值点？3.设F (x,y )=y 3x 2+|x |y +y −5．(1)证明方程F (x,y )=0在(−∞,+∞)上确定惟一的隐函数y =f (x )；(2)求f (x )的极值点．4.计算第二型曲面积分I =∫∫Σx 3d y d z +y 3d z d x +z 3d x d y ，其中曲面Σ为椭球面x 2a 2+y 2b 2+z 2c 2=1，方向取外侧．5.证明，广义积分∫+∞0sin x xd x 收敛，并计算此积分．6.设f (x,y )定义在D =(a,b )×[c,d ]上，x 固定时对y 连续．设x 0∈(a,b )取定，对于任意y ∈[c,d ]，极限lim x →x 0f (x,y )=g (y )收敛．证明，重极限lim x →x 0y →y 0f (x,y )=g (y 0)对任意y 0∈[c,d ]成立的充分必要条件是，极限lim x →x 0f (x,y )=g (y )在[c,d ]上一致收敛．7.设f (x )是定义在[a,b ]上的有界函数，给出并证明f (x )在[a,b ]上的Riemann 和的极限lim λ(∆)→0n ∑i =1f (ξi )(x i −x i −1)收敛的Cauchy 准则．8.设{f n (x )}是(−∞,+∞)上的一致连续函数列，并且一致有界（即，存在常数M ，使得对于任意f n (x )和x ∈(−∞,+∞)恒有 f n (x ) M ）．假定对(−∞,+∞)中的任意区间[a,b ]都有lim n →∞∫ba f n (x )d x =0．证明，对于任意区间[c,d ]⊆(−∞,+∞)以及[c,d ]上绝对可积函数h (x )，恒有lim n →∞∫ba f n (x )h (x )d x =0．9.设存在一区间[a,b ]，使得以下两个Fourier 级数：a 02+∞∑n =1a n cos nx +b n sin nx ，α02+∞∑n =1αn cos nx +βn sin nx ．都在[a,b ]上收敛，并且其和函数[a,b ]上连续且相等．试问，对于任意自然数，a n =αn ，b n =βn 是否成立？如成立，请证明．如不成立，补充什么条件后能保证成立？说明理由．10.设f (x )在[0,+∞)上内闭Riemann 可积．证明，广义积分∫+∞0f (x )d x 绝对可积的充分必要条件是：对于任意满足x 0=0，x n →+∞的单调递增序列{x n }，级数∞∑n =0∫x n +1x nf (x )d x 绝对收敛．北京大学2006年高等代数与解析几何试题1.回答下列问题：(1)设A,B 分别是数域K 上的s ×n 和s ×m 矩阵，叙述矩阵方程AX =B 有解的充要条件，并且给予证明；(2)设A 是数域K 上s ×n 阶列满秩矩阵．试问，方程XA =E n 是否有解？有解，写出它的解集；无解，说明理由；(3)设A 是数域K 上s ×n 阶列满秩矩阵．试问，对于K 上任意s ×m 矩阵B ，矩阵方程AX =B是否一定有界？当有解时，它有多少要解？求出它的解集．说明理由．2.(1)证明，rank(A −ABA )=rank(A )+rank(E n −BA )−n ，其中A 与B 分别是数域K 上的s ×n 与n ×s 矩阵；(2)证明，实数域R 上的n 阶方阵A 与矩阵B 的相似关系不随数域扩大而改变．3.(1)设A 是数域K 上的n 阶方阵．证明，如果A 的各阶顺序主子式都不为0，那么A 可以惟一地分解成A =BC ，其中B 是主对角元都为1的下三角矩阵，C 是上三角矩阵；(2)设A 是数域K 上的n 阶可逆矩阵．试问：A 是否可以分解成A =BC ，其中B 是主对角元都为1的下三角矩阵，C 是上三角矩阵？说明理由．4.(1)设A 是实数域R 上的n 阶对称矩阵，它的特征多项式f (λ)的所有不同复根为实数：λ1,λ2,···,λs ．把A 的最小多项式分解成为R 上不可约多项式的乘积；(2)设A 是实数域R 上的n 阶对称矩阵，A 是R n 上的一个线性变换，满足对任意α∈R n ，有A (α)=Aα．利用(1)中m (λ)的分解，把R n 分解成线性变换A 的不变子空间的直和．5.设X ={1,2,···,n }，用C X 表示定义域为X 的所有复值函数组成的集合，它对于函数的加法和数量乘法称为复数域C 上的一个线性空间．对于任意f (x ),g (x )∈C X ，规定⟨f (x ),g (x )⟩=n ∑j =1f (j )g (j )．这个二元函数是复线性空间C X 上的一个内积，从而C X 成为一个酉空间．设p 1(x ),p 2(x ),···,p n (x )∈C X ，且对任意j ∈X ，满足p k (j )=1√n ωkj ，其中ω=e 2πn i ．(1)求复线性空间C X 的维数；(2)证明p 1(x ),p 2(x ),···,p n (x )是酉空间C X 上的一个标准正交基；(3)对任意f (x )∈C X ，令A (f (x ))=ˆf(x )，其中ˆf (x )在x =k 处的函数值ˆf (k )是f (x )在标准正交基p 1(x ),p 2(x ),···,p n (x )下的坐标的第k 个分量．证明，A 是酉空间C X 上的一个线性变换，并且求出A 在标准正交基p 1(x ),p 2(x ),···,p n (x )下的矩阵；(4)证明第(3)题中的A 是酉空间C X 上的一个酉变换．6.设V 是数域F 上的n 维线性空间，A 1,A 2,···,A s 均为V 上的线性变换，令A =A 1+A 2+···+A s ．证明，A 为幂等变换且rank(A )=rank(A 1)+rank(A 2)+···+rank(A s )的充分必要条件是各A i 均为幂等变换，且A i A j =0，i =j ．7.求一个过x 轴的平面π，使得其与单叶双曲面x 24+y 2−z 2=1的交线为一个圆．8.证明四面体的每个顶点到对面重心的连线都相交于一点，而且该点分线段比为3:1．9.一条直线与坐标平面Y OZ 面，XOZ 面，XOY 面的交点分别是A,B,C ．当直线变动时，直线上的三个定点A,B,C 也分别在坐标平面上变动．此外，直线上有第四点P ，点P 到三点的距离分别是a,b,c ．求该直线按照保持点A,B,C 分别在坐标平面上的规则移动时，点P 的轨迹．10.在一个仿射坐标系中，已知直线ℓ1的方程为{x −y +z +7=02x +y −6=0，直线ℓ2过点M (−1,1,2)，并且平行于向量⃗u (1,2,3)．判别这两条直线的位置关系，并说明理由．北京大学2007年数学分析试题1.用有限覆盖定理证明连续函数的介值性定理．2.f (x )和g (x )在有界区间上一致连续，证明在此区间上f (x )g (x )也一致连续．3.已知f (x )在[a,b ]上有4阶导数，且有f (4)(β)=0,f ′′(β)=0,β∈(a,b )；证明：存在x 1,x 2∈(a,b )，使成立f (x 1)−f (x 2)=f ′(β)(x 1−x 2)．4.构造一函数在R 上无穷次可微，且f (2n +1)(0)=n,f (2n )(0)=0，并说明满足条件的函数有任意多个．5.设D =[0,1]×[0,1]，f (x,y )是D 上的连续函数；证明∫∫D f (x,y )d x d y =f (ξ,η)，并且这样的ξ,η有无穷多个．6.求∫∫S sin 4x d y d z +e −|y |d z d x +z 2d x d y ，其中S 是x 2+y 2+z 2=1,z >0，方向向上．7.f (x )是R 2上连续函数，试作一无界区域D ，使f (x )在D 上广义积分收敛．8.已知f (x )=ln (1+sin x xp )，讨论不同p 对f (x )在(1,+∞)积分的敛散性．9.已知F (x,y )=+∞∑n =1ny e −n (x −y )，是否存在a 以及函数h (x )在(1−a,1+a )可导，且h (1)=0，使F (x,h (x ))=0．10.设f (x )和g (x )在[a,b ]上Riemann 可积，证明f (x )和g (x )的Fourier 展开式有相同系数的充要条件是∫b af (x )−g (x ) d x =0．北京大学2007年高等代数与解析几何试题1.回答下列问题：(1)是否存在n 阶方阵A,B ，满足AB −BA =E (单位矩阵)？又，是否存在n 维线性空间上的线性变换A ,B ，满足A B −BA =E (恒等变换)？若是，给出证明；若否，举出例子．(2)n 阶行列式A 各行元素之和为常数c ，则A 3的各行元素之和是否为常数？若是，是多少？说明理由．(3)m ×n 矩阵秩为r ．取r 个线性无关的行向量，再取r 个线性无关的列向量，组成的r 阶子式是否一定为0？若是，给出证明；若否，举出反例．(4)A,B 都是m ×n 矩阵．线性方程组AX =0与BX =0同解，则A 与B 的列向量是否等价？行向量是否等价？若是，给出证明；否，举出反例．(5)把实数域R 看成有理数域Q 上的线性空间，b =p 3q 2r ，这里的p,q,r 是互不相同的素数．判断向量组1,n √b,n √b 2,···,n √b n −1是否线性相关？说明理由．2.矩阵A,B 可交换．证明rank(A +B ) rank(A )+rank(B )−rank(AB )．3.f 为双线性函数，且对任意的α,β,γ都有f (α,β)f (γ,α)=f (β,α)f (α,γ)．试证明f 为对称的或反对称的．4.V 是Euclid 空间，U 是V 的子空间，α∈V ．试证明β是α在U 上的正交投影的充要条件是：对任意γ∈U ，都有|α−β| |α−γ|．5.复矩阵A 满足：对任意k ，有Tr(A k )=0．试求A 的特征值．6.n 维线性空间V 上的线性变换A 的最小多项式与特征多项式相同．试证明存在α∈V ，使得{α,A α,···,A n −1α}为V 的一个基．7.P 是球内一定点，A,B,C 是球面上三动点，∠AP B =∠BP C =∠CP A =π/2．以P A,P B,P C为棱作平行六面体，记与P 相对的顶点为Q ，求Q 点的轨迹．8.直线ℓ的方程为{A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0A 2x +B 2y +C 2z +D 2=0．问系数要满足什么条件，才能使得直线满足下列条件：(1)过原点；(2)平行于x 轴，但不与x 轴重合；(3)与y 轴相交；(4)与z 轴重合．9.证明双曲抛物面x 2a 2−y 2b2=2z 的相互垂直的直母线的交点在双曲线上．10.求椭球面x 225+y 216+z 29=2z 被点(2,−1,1)平分的弦．北京大学2008年数学分析试题1.证明有界闭区间上的连续函数一致有界．2.是否存在(−∞,+∞)上的连续函数f (x )，满足f (f (x ))=e −x ？证明你的结论．3.数列{x n }(n >1)，满足对任意n <m ，有|x n −x m |>1n ，求证x n 无界．4.f (x )是(−1,+1)上的无穷次可微函数，f (0)=1，f ′(0) 2，令g (x )=f ′(x )f (x )．若 g (n )(0) 2n ! ，证明对所有的正整数n ，均成立|f n (0)| (n −1)!．5.计算第二类曲面积分∫∫Σ(y −z )d y d z +(z −x )d z d x +(x −y )d x d y ，其中曲面Σ是球面x 2+y 2+z 2=2Rx 被圆柱面x 2+y 2=2rx (z >0,0<r <R )所截部分，定向取外侧．6.已知函数F (x,y )=2−sin x +y 3e −y 定义在全平面上，证明F (x,y )=0唯一确定了全平面上连续可微的隐函数y =y (x )．7.设函数f (x )是[0,+∞)上内闭Riemann 可积，且广义积分∫+∞0f (x )d x 收敛，证明lim a →0+∫+∞0e −ax f (x )d x =∫+∞0f (x )d x ．8.已知函数f (x )是(−∞,+∞)上2阶连续可微函数，满足lim |x |→+∞(f (x )−|x |)=0，且存在一点x 0，使得f (x 0) 0．证明f ′′(x )在(−∞,+∞)上变号．9.设函数f (x )在区间[0,1]上有一阶连续导数且f (0)=f (1)，g (x )是周期为1的连续函数，并且满足∫10g (x )d x =0．记a n =∫10f (x )g (nx )d x ，证明lim n →∞na n =0．10.若函数f (x )在区间[0,1]上Riemann 可积，并且对[0,1]中任意有限个两不相交的闭区间序列[a i ,b i ]都有 ∑i ∫b i a i f (x )d x 1．证明∫10|f (x )|d x 2．。
一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分）1、C2、B3、A4、D5、B6、D二、计算题（本题共7小题，每小题10分，共70分）1、求极限⎪⎭⎫⎝⎛++--→11111lim 0x e x x x . 解：因为011lim 1x x x e →⎛⎫-= ⎪-⎝⎭000111lim lim lim (1)122x x x x x x x x x x x e x e e x e e xe e xe →→→---===--++， 6分 所以00011111113lim lim lim 111112 2.x x x x x x e x x e x →→→⎛⎫⎛⎫-+=-+=+= ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭10分 2、设⎪⎩⎪⎨⎧==te y t e x ttsin cos ，求22dx y d . 解：sin cos ,cos sin t t t tdy e t e t dx e t e t +=- 5分 2223322(cos sin )(cos sin )t t t t d y e dx e t e t e t t ==-- 10分 3、设⎰=21sin )(x dt ttx f ，求⎰10)(dx x xf .解：11122120000111()()()()222xf x dx f x dx x f x x f x dx '==-⎰⎰⎰12221001111(1)sin (1)cos 22221[(1)cos11].2f x dx f x f =-=+=++⎰4、设22z u v uv =-，y x u cos =，y x v sin =，求x z ∂∂和yz ∂∂.解：22(2)cos (2)sin z z u z v uv v y u uv y x u x v x ∂∂∂∂∂=+=---∂∂∂∂∂，22(2)sin (2)cos .z z u z v v uv x y u uv x y y u y v y∂∂∂∂∂=+=-+-∂∂∂∂∂ 5、将函数xx f 3)(=在00=x 点处展开成泰勒级数。
高等代数考研真题详解高等代数考研真题详解高等代数是数学专业研究生考试的重要科目之一，也是数学学科中的基础课程。
考研真题是考生备考的重要参考资料，通过对真题的详细解析，可以帮助考生更好地理解高等代数的知识点，提高解题能力。
本文将对几道高等代数考研真题进行详细解析，帮助考生更好地备考。
第一道题目是关于线性空间的性质的判断题。
题目如下：判断下列命题的正确性：1. 若线性空间V中存在一个非零向量v，使得V中的每个向量都可以表示为v的倍数，则V是有限维的。
2. 若线性空间V中存在一个非零向量v，使得V中的每个向量都可以表示为v与另一个向量的线性组合，则V是有限维的。
对于第一题，我们可以通过反证法来证明其正确性。
假设V是无限维的，那么存在一个无限长的线性无关向量组，我们可以找到一个向量w，使得w与这个向量组线性无关。
那么w就无法表示为v的倍数，与题目的条件矛盾，因此V是有限维的。
对于第二题，我们可以通过举例来证明其正确性。
假设V是有限维的，那么存在一个有限长的基底，我们可以选择其中的一个向量v作为题目中所述的非零向量。
对于任意一个向量x，我们可以找到一组系数使得x可以表示为v与另一个向量的线性组合，因此V是有限维的。
通过以上的解析，我们可以得出第一题的命题是正确的，而第二题的命题是错误的。
接下来，我们来看一道关于线性空间的子空间的题目。
题目如下：设V是数域K上的线性空间，U和W是V的子空间，证明U∩W也是V的子空间。
对于这道题目，我们需要证明U∩W满足线性空间的三个条件：非空性、封闭性和加法逆元存在性。
首先，由于U和W都是V的子空间，所以它们都非空。
因此，U∩W也非空。
其次，对于U∩W中的任意两个向量u和w，由于u和w分别属于U和W，所以它们也属于V。
因此，u和w的线性组合也属于V。
根据线性空间的定义，u和w的线性组合也属于U和W。
因此，u和w的线性组合也属于U∩W。
所以，U∩W对于向量的加法封闭。
最后，对于U∩W中的任意一个向量u，由于u属于U和W，所以u的加法逆元也分别属于U和W。
2000 年全国硕士研究生入学统一考试一、填空题1．2．3.4.5.二、选择题6.7.8.9.10.三、解答题11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1、213lim21-++--→x x xx x =（ ）．2、曲线1)cos(2-=-+e xy e yx 在点（0，1）处 的切线方程为 ：（ ）． 3、xdx x x 223cos )sin (2⎰-+ππ=（ ）． 4、微分方程11arcsin 2=-+'x y x y 满足)(21y =0的特解为：（ ）． 5、方程组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛211111111321x x x a a a 有无穷多解，则a =（ ）．二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．)1、1101)(>≤⎩⎨⎧=x x x f 则)]}([{x f f f =（ A ） 0；（B ）1；（C ）1101>≤⎩⎨⎧x x ； （D ）1110>≤⎩⎨⎧x x ．2、0→x 时，)1ln()cos 1(2x x +-是比nx x sin 高阶的无穷小，而nx x sin 是比12-x e高阶的无穷小，则正整数n 等于（ A ）1；（B ）2；（C ）3；（D ）4． 3、曲线22)3()1(--=x x y 的拐点的个数为 （ A ）０；（B ）１；（C ）２；（D ）３．4、函数)(x f 在区间（1-δ，1+δ）内二阶可导，)(x f ' 严格单调减小，且 )1(f =)1(f '=1，则（A ）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有)(x f x <； （B ）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有)(x f x >；（C ）在（1-δ，1）内有)(x f x <，在（1，1+δ）内有)(x f x >； （D ）在（1-δ，1）内有)(x f x >，在（1，1+δ）内有)(x f x <． 5、设函数)(x f 在定义域内可导，)(x f y =的图形如右图所示： 则)(x f y '=的图形为 ( )三、（本题满分6分）求⎰++221)12(xxdx．四、（本题满分7分）求函数)(x f =sin sin sin lim()sin xt x t x t x-→的表达式，并指出函数)(x f 的间断点及其类型．五、（本题满分7分）设)(x ρρ=是抛物线x y =上任意一点M （y x ,）（1≥x ）处的曲率半径，)(x s s =是该抛物线上介于点A （1，1）与M 之间的弧长，计算222)(3ds d ds d ρρρ-的值（曲率K ＝23)1(2y y '+''）．六、（本题满分7分）)(x f 在[0，+∞）可导，)0(f =0，且其反函数为)(x g ． 若x x f e x dt t g 2)(0)(=⎰，求)(x f ．七、（本题满分7分）设函数)(x f ，)(x g 满足)(x f '=)(x g ， )(x g '=2xe －)(xf 且)0(f =0，(0)g =2，求dx x x f x x g ⎰+-+π2])1()(1)([八、（本题满分9分）设L 为一平面曲线，其上任意点P （y x ,）（0>x ）到原点的距离，恒等于该点处 的切线在y 轴上的截距，且L 过点（0.5，0）．1、 求L 的方程2、 求L 的位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围成的图形的面积最小．九、（本题满分7分）一个半球型的雪堆，其体积的融化的速率与半球面积S 成正比比例系数K>0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球形状，已知半径为 r 0 的雪堆 在开始融化的3小时内，融化了其体积的7/8，问雪堆全部融化需要多少时间？ 十、（本题满分8分）)(x f 在[-a ，a]上具有二阶连续导数，且)0(f =01、 写出)(x f 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；2、 证明在[-a ，a]上至少存在一点η，使⎰-=''a adx x f f a )(3)(3η十一、（本题满分6分）已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011101110,111011001B A 且满足AXA+BXB=AXB+BXA+E ，求X ．十二、（本题满分6分）设4321,,,αααα为线性方程组AX=O 的一个基础解系， 144433322211,,,ααβααβααβααβt t t t +=+=+=+=，其中t 为实常数 试问t 满足什么条件时4321,,,ββββ也为AX=O 的一个基础解系．2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)1．设函数0)(2arcsin 12tan ≤<⎪⎩⎪⎨⎧=-x x aex f xe xx在0=x 处连续，则=a （ ）．2．位于曲线xxe y -=（+∞<≤x 0）下方，x 轴上方的无界图形的面积为（ ）．3．02='+''y y y 满足初始条件21)0(,1)0(='=y y 的特解是（ ）． 4．1lim n n→∞=（ ）． 5．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----222222220的非零特征值是（ ）．二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．)１．函数)(u f 可导，)(2x f y =当自变量x 在1-=x 处取得增量1.0-=∆x 时，相应的函数增量y ∆的线性主部为０．１，则)1(f '＝ （Ａ）－１； （Ｂ）０．１；（Ｃ）１； （Ｄ）０．５．２．函数)(x f 连续，则下列函数中，必为偶函数的是 (A)⎰x dt t f 02)(； (B)⎰x dt t f 02)(；(C)⎰--xdt t f t f t 0)]()([； (D)⎰-+x dt t f t f t 0)]()([．３．设)(x f y =是二阶常系数微分方程xe qy y p y 3=+'+''满足初始条件0)0()0(='=y y 的特解，则极限)()1ln(lim 20x y x x +→(A)不存在； （Ｂ）等于１； (C)等于２； (D) 等于３． ４．设函数)(x f 在+R 上有界且可导，则(A)当0)(lim =+∞→x f x 时，必有0)(lim ='+∞→x f x ；（Ｂ）当)(lim x f x '+∞→存在时，必有0)(lim ='+∞→x f x ；(C) 当0)(lim 0=+→x f x 时，必有0)(lim 0='+→x f x ；(D) 当)(lim 0x f x '+→存在时，必有0)(lim 0='+→x f x ．5．设向量组321,,ααα线性无关，向量1β可由321,,ααα线性表示，而向量2β不能由321,,ααα线性表示，则对于任意常数k 必有（Ａ）21321,,,ββααα+k 线性无关；(B) 21321,,,ββααα+k 线性相关； （Ｃ）21321,,,ββαααk +线性无关； (D) 21321,,,ββαααk +线性相关．三、（本题满分6分）已知曲线的极坐标方程为θcos 1-=r ，求该曲线对应于6πθ=处的切线与法线的直角坐标方程．四、（本题满分７分）设函数10012)(2)1(223≤≤<≤-⎪⎩⎪⎨⎧+==+x x xx x f y x xe xe ，求函数⎰-=x dt t f x F 1)()(的表达式．五、（本题满分７分）已知函数)(x f 在+R 上可导，0)(>x f ，1)(lim =+∞→x f x ，且满足x he xf hx x f h 11))()((lim 0=+→，求)(x f ． 六、（本题满分７分）求微分方程0)2(=-+dx y x xdy 的一个解)(x y y =，使得由曲线)(x y y =与直线2,1==x x 以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体的体积最小． 七、（本题满分7分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l 为对称轴，闸门的上部为矩形ＡＢＣＤ，下部由二次曲线与线段 ＡＢ所围成．当水面与闸门的上断相平时，欲使闸门矩形部分与承受的水压与闸门下部承受的水压之比为５：４，闸门矩形部分 的高h 应为多少？ 八、（本题满分８分）设30<<n x ，)3(1n n n x x x -=+（n ＝１，２，３，…）．证明：数列｛n x ｝的极限存在，并求此极限． 九、（本题满分８分）设0>>a b ，证明不等式aba b a b b a a 1ln ln 222<--<+． 十、（本题满分8分）设函数)(x f 在x ＝０的某邻域具有二阶连续导数，且0)0()0()0(≠'''f f f ．证明：存在惟一的一组实数c b a ,,，使得当0→h 时， )()0()3()2()(2h o f h cf h bf h af =-++．十一、（本题满分６分）已知Ａ，Ｂ为三阶方阵，且满足E B B A 421-=-．⑴证明：矩阵E A 2-可逆；⑵若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200021021B ，求矩阵Ａ． 十二、（本题满分６分）已知四阶方阵),,,(4321αααα=A ， 4321,,,αααα均为四维列向量，其中432,,ααα线性无关，3212ααα-=．若4321ααααβ+++=，求线性方程组β=Ax 的通解．2003年考研数学（二）真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） 若0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则a= . （2） 设函数y=f(x)由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 .（3） xy 2=的麦克劳林公式中nx 项的系数是__________. （4） 设曲线的极坐标方程为)0(>=a ea θρ ，则该曲线上相应于θ从0变到π2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为__________.（5） 设α为3维列向量，Tα是α的转置. 若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111111111T αα，则ααT = .（6） 设三阶方阵A,B 满足E B A B A =--2，其中E 为三阶单位矩阵，若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=102020101A ，则B =________.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ ]（2）设dx x xa n n nn n +=⎰+-123101, 则极限n n na ∞→lim 等于 (A) 1)1(23++e . (B) 1)1(231-+-e .(C) 1)1(231++-e . (D) 1)1(23-+e . [ ]（3）已知xxy ln =是微分方程)(y x x y y ϕ+='的解，则)(y x ϕ的表达式为（A ） .22xy - (B) .22x y(C) .22yx - (D) .22y x [ ]（4）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有 (A) 一个极小值点和两个极大值点.(B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ ]（5）01xdx x 02tan , 则(A) .121>>I I (B) .121I I >>(C) .112>>I I (D) .112I I >> [ ] （6）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则 (A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关.(C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关. [ ]三 、（本题满分10分）设函数 ,0,0,0,4sin1,6,arcsin )1ln()(23>=<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--+-+=x x x xx ax x e xx ax x f ax问a 为何值时，f(x)在x=0处连续；a 为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？四 、（本题满分9分）设函数y=y(x)由参数方程)1(,21ln 2112>⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰+t du u e y t x t u所确定，求.922=x dx y d五 、（本题满分9分）计算不定积分 .)1(232arctan dx x xe x ⎰+六 、（本题满分12分）设函数y=y(x)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为y=y(x)满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解.七 、（本题满分12分）讨论曲线k x y +=ln 4与x x y 4ln 4+=的交点个数.八 、（本题满分12分）设位于第一象限的曲线y=f(x)过点)21,22(，其上任一点P(x,y)处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分. (1) 求曲线 y=f(x)的方程；(2) 已知曲线y=sinx 在],0[π上的弧长为l ，试用l 表示曲线y=f(x)的弧长s.九 、（本题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)((≥=y y x ϕ绕y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m.根据设计要求，当以min /33m 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以min /2m π的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.(1) 根据t 时刻液面的面积，写出t 与)(y ϕ之间的关系式； (2) 求曲线)(y x ϕ=的方程.(注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.)十 、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且.0)(>'x f 若极限ax a x f ax --+→)2(lim 存在，证明：(1) 在(a,b)内f(x)>0; (2)在(a,b)内存在点ξ，使)(2)(22ξξf dxx f a b ba=-⎰；(3) 在(a,b) 内存在与(2)中ξ相异的点η，使⎰-=-'ba dx x f aa b f .)(2))((22ξξη十 一、（本题满分10分）若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=60028022a A 相似于对角阵Λ，试确定常数a 的值；并求可逆矩阵P 使.1Λ=-AP P十二 、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ， :2l 032=++a cy bx ， :3l 032=++b ay cx . 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a2004年考硕数学（二）真题一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）（1）设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = .（2）设函数()y x 由参数方程 333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为____..（3）1+∞=⎰_____..（4）设函数(,)z z x y =由方程232x z z e y -=+确定, 则3z zx y∂∂+=∂∂______. （5）微分方程3()20y x dx xdy +-=满足165x y ==的特解为_______. （6）设矩阵210120001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 矩阵B 满足2ABA BA E **=+, 其中A *为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵, 则B =______-.二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ） （7）把0x +→时的无穷小量20cos xtdt α=⎰, 20x β=⎰, 30t dt γ=⎰排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是（A ）,,.αβγ （B ）,,.αγβ（C ）,,.βαγ （D ）,,.βγα []（8）设()(1)f x x x =-, 则（A ）0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. （B ）0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点.（C ）0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （D ）0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.[]（9）lim ln n →∞等于（A ）221ln xdx ⎰. （B ）212ln xdx ⎰.（C ）212ln(1)x dx +⎰. （D ）221ln (1)x dx +⎰[]（10）设函数()f x 连续, 且(0)0f '>, 则存在0δ>, 使得（A ）()f x 在(0,)δ内单调增加. （B ）()f x 在(,0)δ-内单调减小. （C ）对任意的(0,)x δ∈有()(0)f x f >.（D ）对任意的(,0)x δ∈-有()(0)f x f >. []（11）微分方程21sin y y x x ''+=++的特解形式可设为（A ）2(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++. （B ）2(sin cos )y x ax bx c A x B x *=++++.（C ）2sin y ax bx c A x *=+++.（D ）2cos y ax bx c A x *=+++[]（12）设函数()f u 连续, 区域{}22(,)2D x y x y y =+≤, 则()Df xy dxdy ⎰⎰等于（A ）11()dx f xy dy -⎰⎰.（B ）2002()dy f xy dx ⎰⎰.（C ）2sin 200(sin cos )d f r dr πθθθθ⎰⎰.（D ）2sin 20(sin cos )d f r rdr πθθθθ⎰⎰[]（13）设A 是3阶方阵, 将A 的第1列与第2列交换得B , 再把B 的第2列加到第3列得C , 则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为（A ）010100101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （B ）010101001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.（C ）010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （D ）011100001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.[]（14）设A ,B 为满足0AB =的任意两个非零矩阵, 则必有（A ）A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. （B ）A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关. （C ）A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关.（D ）A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关.[]三. 解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）（15）（本题满分10分）求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（16）（本题满分10分）设函数()f x 在（,-∞+∞）上有定义, 在区间[0,2]上, 2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式; (Ⅱ)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导.（17）（本题满分11分） 设2()sin x xf x t dt π+=⎰,(Ⅰ)证明()f x 是以π为周期的周期函数;(Ⅱ)求()f x 的值域.（18）（本题满分12分）曲线2x x e e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为()V t , 侧面积为()S t , 在x t =处的底面积为()F t .(Ⅰ)求()()S t V t 的值; (Ⅱ)计算极限()lim ()t S t F t →+∞.（19）（本题满分12分）设2e a b e <<<, 证明2224ln ln ()b a b a e ->-.（20）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700/km h .经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为66.010k =⨯).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?注 kg 表示千克,/km h 表示千米/小时.（21）（本题满分10分）设22(,)xyz f x y e =-,其中f 具有连续二阶偏导数,求2,,z z z x y x y∂∂∂∂∂∂∂.（22）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩ 试问a 取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.（23）（本题满分9分）设矩阵12314315a -⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭的特征方程有一个二重根, 求a 的值, 并讨论A 是否可相似对角化.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）设xx y )sin 1(+=，则π=x dy= .（2）曲线xx y 23)1(+=的斜渐近线方程为 .（3）=--⎰1221)2(xxxdx.（4）微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为 . （5）当0→x 时，2)(kx x =α与x x x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无穷小，则k= .（6）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ， 如果1=A ，那么=B .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→，则f(x)在),(+∞-∞内(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ]（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N”，则必有(A) F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数.(C) F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数.(D) F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数. [ ]（9）设函数y=y(x)由参数方程⎩⎨⎧+=+=)1ln(,22t y t t x 确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x 轴交点的横坐标是(A)32ln 81+. (B) 32ln 81+-. (C) 32ln 8+-. (D) 32ln 8+. [ ]（10）设区域}0,0,4),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ，f(x)为D 上的正值连续函数，a,b 为常数，则=++⎰⎰σd y f x f y f b x f a D)()()()((A) πab . (B)π2ab . (C) π)(b a +. (D) π2b a + . [ ] （11）设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数，ψ 具有一阶导数，则必有(A) 2222y u x u ∂∂-=∂∂. （B ） 2222yu x u ∂∂=∂∂. (C)222y u y x u ∂∂=∂∂∂. (D) 222xuy x u ∂∂=∂∂∂. [ ] （12）设函数,11)(1-=-x xex f 则 (A) x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.(C) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.(D) x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. [ ]（13）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A) 01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ. [ ] （14）设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B, **,B A 分别为A,B 的伴随矩阵，则 [ ](A) 交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B .(C) 交换*A 的第1列与第2列得*B -. (D) 交换*A 的第1行与第2行得*B -. 三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分11分）设函数f(x)连续，且0)0(≠f ，求极限.)()()(lim⎰⎰--→x xx dtt x f x dtt f t x（16）（本题满分11分）如图，1C 和2C 分别是)1(21x e y +=和x e y =的图象，过点(0,1)的曲线3C 是一单调增函数的图象. 过2C 上任一点M(x,y)分别作垂直于x 轴和y 轴的直线x l 和y l . 记21,C C 与x l 所围图形的面积为)(1x S ；32,C C 与y l 所围图形的面积为).(2y S 如果总有)()(21y S x S =，求曲线3C 的方程).(y x ϕ=（17）（本题满分11分）如图，曲线C 的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x（18）（本题满分12分）用变量代换)0(cos π<<=t t x 化简微分方程0)1(2=+'-''-y y x y x ，并求其满足2,10='===x x y y的特解.（19）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：（I ）存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ；（II ）存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f（20）（本题满分10分）已知函数z=f(x,y) 的全微分ydy xdx dz 22-=，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.（21）（本题满分9分）计算二重积分σd y x D⎰⎰-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .（22）（本题满分9分）确定常数a,使向量组,),1,1(1Ta =α,)1,,1(2Ta =αTa )1,1,(3=α可由向量组,),1,1(1T a =β,)4,,2(2T a -=βT a a ),,2(3-=β线性表示，但向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示.（23）（本题满分9分）已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k B 63642321（k 为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题三、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）曲线4sin 52cos x xy x x+=- 的水平渐近线方程为（2）设函数2301sin d ,0(),0x t t x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在0x =处连续，则a = .（3）广义积分22d (1)x xx +∞=+⎰.（4）微分方程(1)y x y x-'=的通解是 （5）设函数()y y x =由方程1e yy x =-确定，则d d x y x==（6）设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B .二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则[ ](A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< .（8）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则()d x f t t ⎰是（A ）连续的奇函数.（B ）连续的偶函数（C ）在0x =间断的奇函数 （D ）在0x =间断的偶函数. [ ]（9）设函数()g x 可微，1()()e,(1)1,(1)2g x h x h g +''===，则(1)g 等于（A ）ln31-. （B ）ln3 1.--（C ）ln 2 1.--（D ）ln 2 1.-[ ]（10）函数212e e e xxx y C C x -=++满足的一个微分方程是（A ）23e .xy y y x '''--= （B ）23e .xy y y '''--=（C ）23e .xy y y x '''+-=（D ）23e .xy y y '''+-= [ ]（11）设(,)f x y 为连续函数，则140d (cos ,sin )d f r r r r πθθθ⎰⎰等于（Ａ）(,)d xx f x y y . （B ）0(,)d x f x y y .(C)(,)d yy f x y x . (D)(,)d y f x y x . [ ]（12）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是 [ ](A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. （13）设12,,,s ααα 均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是 [ ](B) 若12,,,s ααα 线性相关，则12,,,s A A A ααα 线性相关. (C) 若12,,,s ααα 线性相关，则12,,,s A A A ααα 线性无关. (C) 若12,,,s ααα 线性无关，则12,,,s A A A ααα 线性相关.(D) 若12,,,s ααα 线性无关，则12,,,s A A A ααα 线性无关. （14）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（Ａ）1C P AP -=. （Ｂ）1C PAP -=.（Ｃ）T C P AP =. （Ｄ）TC PAP =. ［ ］ 三 、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）试确定,,A B C 的值，使得23e (1)1()xBx Cx Ax o x ++=++，其中3()o x 是当0x →时比3x 高阶的无穷小.（16）（本题满分10分）求 arcsin e d e xxx ⎰.（17）（本题满分10分）设区域{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥， 计算二重积分221d d .1Dxyx y x y +++⎰⎰（18）（本题满分12分）设数列{}n x 满足110,sin (1,2,)n n x x x n π+<<==（Ⅰ）证明lim n n x →∞存在，并求该极限；（Ⅱ）计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭.（19）（本题满分10分）证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.（20）（本题满分12分）设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且z f =满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂.（I ）验证()()0f u f u u'''+=； （II ）若(1)0,(1)1f f '==，求函数()f u 的表达式.（21）（本题满分12分）已知曲线L 的方程221,(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=-⎩（I ）讨论L 的凹凸性；（II ）过点(1,0)-引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程；（III ）求此切线与L （对应于0x x ≤的部分）及x 轴所围成的平面图形的面积.（22）（本题满分9分）已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪+++=⎩有3个线性无关的解.（Ⅰ）证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =；（Ⅱ）求,a b 的值及方程组的通解.（23）（本题满分9分）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量；(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ.2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当0x +→等价的无穷小量是 （A）1- （B） （C1 （D）1- [ ]（2）函数1(e e)tan ()e e x x xf x x +=⎛⎫- ⎪⎝⎭在[],ππ-上的第一类间断点是x = [ ] （A ）0 （B ）1 （C ）2π-（D ）2π（3）如图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设0()()d xF x f t t =⎰，则下列结论正确的是：（A ）3(3)(2)4F F =-- (B) 5(3)(2)4F F = （C ）3(3)(2)4F F = （D ）5(3)(2)4F F =-- [ ]（4）设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是：（A ）若0()limx f x x →存在，则(0)0f = （B ）若0()()lim x f x f x x→+-存在，则(0)0f = .（C ）若0()lim x f x x →存在，则(0)0f '= （D ）若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)0f '=.[ ]（5）曲线()1ln 1e x y x=++的渐近线的条数为 （A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）3. [ ] （6）设函数()f x 在(0,)+∞上具有二阶导数，且()0f x ''>，令()n u f n =，则下列结论正确的是：(A) 若12u u > ，则{}n u 必收敛. (B) 若12u u > ，则{}n u 必发散(C) 若12u u < ，则{}n u 必收敛. (D) 若12u u < ，则{}n u 必发散. [ ] （7）二元函数(,)f x y 在点()0,0处可微的一个充要条件是[ ] （A ）()[](,)0,0lim(,)(0,0)0x y f x y f →-=.（B ）00(,0)(0,0)(0,)(0,0)lim0,lim 0x y f x f f y f x y→→--==且.（C ）((,)0,0lim 0x y →=.（D ）00lim (,0)(0,0)0,lim (0,)(0,0)0x x y y x y f x f f y f →→⎡⎤⎡⎤''''-=-=⎣⎦⎣⎦且.（8）设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2d (,)d xx f x y y ππ⎰⎰等于（A ）10arcsin d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰ （B ）10arcsin d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰（C ）1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰ （D ）1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰（9）设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是线性相关，则 (A) 122331,,αααααα---(B) 122331,,αααααα+++(C) 1223312,2,2αααααα---.(D) 1223312,2,2αααααα+++. [ ]（10）设矩阵211100121,010112000A B --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则A 与B(A) 合同且相似 （B ）合同，但不相似.二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （11） 30arctan sin limx x xx→-= __________. （12）曲线2cos cos 1sin x t t y t⎧=+⎨=+⎩上对应于4t π=的点处的法线斜率为_________.（13）设函数123y x =+，则()(0)n y =________. （14） 二阶常系数非齐次微分方程2432e xy y y '''-+=的通解为y =________.（15） 设(,)f u v 是二元可微函数，,y x z f x y ⎛⎫=⎪⎝⎭，则z zx y x y ∂∂-=∂∂ __________.（16）设矩阵01000010********A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，则3A 的秩为 .三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17） (本题满分10分)设()f x 是区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调、可导的函数，且满足()10cos sin ()d d sin cos f x xt tf t t tt t t--=+⎰⎰，其中1f -是f 的反函数，求()f x .（18）（本题满分11分） 设D是位于曲线2(1,0)xay a x -=>≤<+∞下方、x 轴上方的无界区域. （Ⅰ）求区域D 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积()V a ；（Ⅱ）当a 为何值时，()V a 最小？并求此最小值.（19）（本题满分10分）求微分方程2()y x y y ''''+=满足初始条件(1)(1)1y y '==的特解.（20）（本题满分11分）已知函数()f u 具有二阶导数，且(0)1f '=，函数()y y x =由方程1e1y y x --=所确定，设()ln sin z f y x =-，求2002d d ,d d x x zz xx ==.（21） (本题满分11分)设函数(),()f x g x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()f a g a f b g b ==，证明：存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=.（22） (本题满分11分)设二元函数2,||||1(,)1||||2x x y f x y x y ⎧+≤⎪=<+≤，计算二重积分D(,)d f x y σ⎰⎰，其中(){},||||2D x y x y =+≤.（23） (本题满分11分)设线性方程组123123212302040x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321x x x a ++=-有公共解，求a 的值及所有公共解.（24） (本题满分11分)设三阶对称矩阵A 的特征向量值1231,2,2λλλ===-，T1(1,1,1)α=-是A 的属于1λ的一个特征向量，记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵. （I ）验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量； （II ）求矩阵B .2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设2()(1)(2)f x x x x =--，则'()f x 的零点个数为（ ）()A 0 ()B 1. ()C 2 ()D 3（2）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分()at af x dx ⎰（ ）()A 曲边梯形ABOD 面积. ()B 梯形ABOD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.（3）在下列微分方程中，以123cos 2sin 2xy C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（ ）()A ''''''440y y y y +--= ()B ''''''440y y y y +++=()C ''''''440y y y y --+=()D ''''''440y y y y -+-=（5）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（ ）()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛. ()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛.()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛.（6）设函数f 连续，若22(,)uvD F u v =⎰⎰，其中区域uv D 为图中阴影部分，则Fu∂=∂ ()A 2()vf u ()B 2()vf u u ()C ()vf u ()D ()vf u u（7）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若30A =，则（ ）()A E A -不可逆，E A +不可逆. ()B E A -不可逆，E A +可逆. ()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.（8）设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则在实数域上与A 合同的矩阵为（ ） ()A 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()B 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()C 2112⎛⎫⎪⎝⎭.()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） 已知函数()f x 连续，且21cos[()]lim1(1)()x x xf x e f x →-=-，则(0)____f =.（10）微分方程2()0xy x e dx xdy -+-=的通解是____y =.（11）曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 . （12）曲线23(5)y x x =-的拐点坐标为______. （13）设x yy z x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则(1,2)____z x ∂=∂.（14）设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式248A =-，则___λ=.三、解答题：15－23题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分9分）求极限()40sin sin sin sin lim x x x x x →-⎡⎤⎣⎦.(16)（本题满分10分）设函数()y y x =由参数方程20()ln(1)t x x t y u du =⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰确定，其中()x t 是初值问题0200x t dx te dt x --⎧-=⎪⎨⎪=⎩的解.求22yx∂∂.(17)（本题满分9分）求积分1⎰.(18)（本题满分11分）求二重积分max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤设()f x 是区间[)0,+∞上具有连续导数的单调增加函数，且(0)1f =.对任意的[)0,t ∈+∞，直线0,x x t ==，曲线()y f x =以及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数()f x 的表达式.(20)（本题满分11分）(1) 证明积分中值定理：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b η∈，使得()()(baf x d x f ba η=-⎰(2)若函数()x ϕ具有二阶导数，且满足32(2)(1),(2)()x dx ϕϕϕϕ>>⎰，证明至少存在一点(1,3),()0ξϕξ''∈<使得（21）（本题满分11分）求函数222u x y z =++在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大值与最小值.（22）（本题满分12分）设矩阵2221212n n a a a A a a ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,T n X x x = ，()1,0,,0B = ，（1）求证()1nA n a =+；（2）a 为何值，方程组有唯一解，并求1x ； （3）a 为何值，方程组有无穷多解，并求通解.（23）（本题满分10分）设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3α满足323A ααα=+，（1）证明123,,ααα线性无关； （2）令()123,,P ααα=，求1P AP -.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数，则（ ）()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（ ）()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=. （3）设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（ ）()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点. ()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点.（4）设函数(),f x y 连续，则()()222411,,y xydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰（ ）()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰. ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰.()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰.()D .()221,y dy f x y dx ⎰⎰（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间()1,2内（ ）()A 有极值点，无零点. ()B 无极值点，有零点.()C 有极值点，有零点. ()D 无极值点，无零点.（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为（ ）()A .()B .()C .()D .（7）设A 、B 均为2阶矩阵，**A B ，分别为A 、B 的伴随矩阵。
第一章 多项式1、（清华２000—20分）试求7次多项式()f x ，使()1f x +能被4(1)X -整除,而()1f x -能被4(1)X +整除。
2、（南航2001—20分）（1）设x 2-2px+2∣x 4+3x 2+px+q ，求p,q 之值。
（2）设f(x)，g(x)，h(x)∈R[x]，而满足以下等式（x 2+1)h(x)+(x -1) f(x)+ (x -2) g(x)=0（x 2+1)h(x)+(x+1) f(x)+ (x+2) g(x)=0证明：x 2+1∣f(x)，x 2+1∣g(x)3、（北邮2002—12分）证明：x d -1∣x n-1的充分必要条件是d ∣n （这里里记号d ∣n 表示正整数d 整除正整数n ）。
4、、（北邮2003—15分）设在数域P 上的多项式g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)，f(x),已知g 1(x)∣f(x)，g 2(x)∣f(x)， g 3(x)∣f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由：（1）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)两两互素，则一定有g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)∣f(x) （2）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)互素，则一定有g 1(x)g 2(x)g 3(x)∣f(x) 5、（北师大2003—25分）一个大于1的整数若和其因子只有1和本身，则称之为素数。
证明P 是素数当且仅当任取正整数a ，b 若p ∣ab 则p ∣a 或p ∣b 。
6、（大连理工2003—12分）证明：次数>0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项式的方幂主充分必要条件是，对任意的多项式g(x)，h(x) ，由f(x)∣g(x) h(x)可以推出f(x)∣g(x)，或者对某一正整数m ，f(x)∣h m(x)。
7、（厦门2004—16分）设f(x)，g(x)是有理数域上的多项式，且f(x)在有理数域上不可约。
2012考研真题及答案2012年的考研真题是许多考生备战考研的重要资料，了解这些真题并熟悉其中的答案对于备考考研的同学来说是至关重要的。
在本文中，将为您介绍2012年的考研真题及其答案。
第一部分：数学一2012年的考研数学一科目主要涵盖了数学分析、高等代数和概率论等内容。
以下是部分考题及其答案的概要。
题一：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，证明：在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(b)-f(a)=(b-a)f' ( ξ )。
解析：根据罗尔定理，由于f(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，那么在[a,b]上有f(a)=f(b)。
根据拉格朗日中值定理，存在一点ξ∈(a,b)，使得f' ( ξ )=(f(b)-f(a))/(b-a)。
所以，f(b)-f(a)=(b-a)f' ( ξ )。
题二：已知数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-3^n+4^n-5^n，求证数列{a_n}是等差数列。
解析：我们可以通过数学归纳法来证明这个结论。
当n=1时，a_1=2-3+4-5=-2。
当n=k时，假设a_k=2^k-3^k+4^k-5^k成立。
当n=k+1时，我们需要证明a_(k+1) =2^(k+1)-3^(k+1)+4^(k+1)-5^(k+1)也成立。
根据等差数列的性质，我们有a_(k+1)-a_k = (2^(k+1)-3^(k+1)+4^(k+1)-5^(k+1)) - (2^k-3^k+4^k-5^k)。
化简后可得a_(k+1)-a_k= -2 × 3^k + 3^(k+1) -2 × 5^k + 5^(k+1)。
通过整理和变换，我们得到a_(k+1)-a_k = -3^k (2-3) + 5^k (5-2) = 0。
因此，数列{a_n}是等差数列。
通过以上两道题目，我们可以看出2012年考研数学一科目的难度适中，考察了数学分析和代数的基本概念和推导方法。
