恒成立及存在性问题

专题 恒成立存在性问题知识点梳理1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨≤⎪⎩在上恒成立在上恒成立另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈Bx f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max .4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；9、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方；题型一、常见方法1、已知函数12)(2+-=ax x x f ，xax g =)(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；2、设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,41[∈x 恒成立，求实数b 的取值范围．3、已知两函数2)(x x f =，m x g x-⎪⎭⎫ ⎝⎛=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，则实数m 的取值范围为题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)1、对于满足2p ≤的所有实数p,求使不等式212x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围。

高一函数恒成立与存在性问题本文主要介绍了数学中恒成立与存在性问题的基础知识和解决方法。

其中恒成立问题包括六种情况，分别是当a大于所有f(x)时，a也大于f(x)的最大值；当a小于所有f(x)时，a也小于f(x)的最小值；当g(x)大于f(x)时，g(x)-f(x)大于0；当g(x)小于f(x)时，g(x)-f(x)小于0；当f(x1)大于g(x2)时，f(x1)也大于g(x2)的最大值；当f(x1)小于g(x2)时，f(x1)也小于g(x2)的最小值。

存在性问题同样包括六种情况，与恒成立问题类似。

此外，还介绍了恒成立与存在性混合不等式问题和恒成立与存在性混合等式问题，以及解决这些问题的方法。

对于恒成立问题，可以采用反证法或数学归纳法；对于存在性问题，可以采用构造法或反证法。

在解决问题时，需要注意精确表述和符号运用。

例四：1) 当$x\in(1,2)$时，不等式$(x-1)^2<\log_a{x}$恒成立，求实数$a$的取值范围。

改写后：对于$x\in(1,2)$，使得$(x-1)^2<\log_a{x}$恒成立，求实数$a$的取值范围。

2) 当$x\in(0,\infty)$时，不等式$4x<\log_a{x}$恒成立，求实数$a$的取值范围。

改写后：对于$x\in(0,\infty)$，使得$4x<\log_a{x}$恒成立，求实数$a$的取值范围。

3) 已知$f(x)=m(x-2m)(x+m+3)$，$g(x)=2x-2$。

若对于所有$x\in\mathbb{R}$，都有$f(x)g(x)$，则$m$的取值范围是什么？改写后：已知$f(x)=m(x-2m)(x+m+3)$，$g(x)=2x-2$。

若对于所有$x\in\mathbb{R}$，都有$f(x)g(x)$，求$m$的取值范围。

题：1.当$x\in(-\infty,-1]$时，不等式$(m^2-m)4x-2x<0$恒成立，求实数$m$的取值范围。

恒成立与存在性问题基本方法：恒成立问题：1. 对于(),x a b ∀∈，()f x k ≥恒成立等价于min ()f x k ≥.2. 对于(),x a b ∀∈，()f x k ≤恒成立等价于max ()f x k ≤.3. 对于[]12,,x x a b ∀∈，12()()f x g x ≥等价于min max ()()f x g x ≥.4. 对于[]12,,x x a b ∀∈，12()()f x g x ≤等价于max min ()()f x g x ≤.5. 对于[],x a b ∀∈，()()f x g x ≥，等价于构造函数()()()h x f x g x =-，()h x 在区间[],a b 上的最小值min ()0h x ≥.6. 对于[],x a b ∀∈，()()f x g x ≤，等价于构造函数()()()h x f x g x =-，()h x 在区间[],a b 上的最大值max ()0h x ≤.7. ()f x 在区间[],a b 上单调递增，等价于[]min ()0,,f x x a b '≥∈.8. ()f x 在区间[],a b 上单调递减，等价于[]max ()0,,f x x a b '≤∈.存在性问题：1. ()0,x a b ∃∈，使得()f x k ≥成立，等价于max ()f x k ≥.2. ()0,x a b ∃∈，使得()f x k ≤成立，等价于min ()f x k ≤.3. []12,,x x a b ∃∈，使得12()()f x g x ≥成立，等价于max min ()()f x g x ≥.4. []12,,x x a b ∃∈，使得12()()f x g x ≤，等价于min max ()()f x g x ≤.5. [],x a b ∃∈，使得()()f x g x ≥，等价于构造函数()()()h x f x g x =-，()h x 在区间[],a b 上的最大值max ()0h x ≥.6. [],x a b ∃∈，使得()()f x g x ≤，等价于构造函数()()()h x f x g x =-，()h x 在区间[],a b 上的最小值min ()0h x ≤.参变分离：解决有关参数的恒成立问题或存在性问题时经常会用到参变分离的方法：就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式，然后可利用一个变量的范围求出另一个变量的范围. 一般情况下，哪个字母范围已知，就将其视为变量（多数情况下是自变量x ），构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数.一、典型例题1. 已知函数()()24ln 1f x x mx m =-+∈R ，若对任意[]1,e x ∈，都有()0f x ≤恒成立，求实数m 的取值范围.2. 设函数e()ln f x a x x =+（e 为自然对数的底数），若不等式()0f x <在区间2(0,e ]内有解，求实数a 的取值范围.二、课堂练习1. 已知()f x '为函数()f x 的导函数，()()()2e 20e 0x x f x f f x +-'=，当0x >时，()e x af x x <-恒成立，求a 的取值范围.2. 已知函数()()ln f x x a x a =-+∈R .（1）讨论()f x 的单调性；（2）设()222g x x x a =-+，若对任意()10,x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得()()12f x g x <，求a 的取值范围.三、课后作业1. 已知函数()21()ln 22f x x x m x =+-+，在区间[]1,2单调递减，求实数m 的取值范围.2. 已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--. 若当(1,)∈+∞x 时，()0>f x ，求a 的取值范围.3. 已知函数()11ln (f x x a ax a =+-∈R 且0)a ≠. （1）若函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若函数()e x g x x p =-+，若存在[]01,e x ∈使不等式()000e ln x g x x ≥成立，求实数p 的取值范围.。

恒成立、存在性问题解决办法总结1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨≤⎪⎩在上恒成立在上恒成立另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若 ,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f m i n m i n ≥5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f m a x m ax ≤6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；9、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方； 题型一、简单型1、已知函数12)(2+-=ax x x f ，xax g =)(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；（构造新函数） 2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；（转化）简解：（1）由12012232++<⇒>-+-x x x a x a ax x 成立，只需满足12)(23++=x x x x ϕ的最小值大于a 即可．对12)(23++=x xx x ϕ求导，0)12(12)(2224>+++='x x x x ϕ，故)(x ϕ在]2,1[∈x 是增函数，32)1()(min ==ϕϕx ，所以a 的取值范围是320<<a ．2、设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,41[∈x 恒成立，求实数b 的范围． 分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．以本题为例，实质还是通过函数求最值解决．方法1：化归最值，10)(10)(max ≤⇔≤x h x h ；方法2：变量分离，)(10x xab +-≤或x b x a )10(2-+-≤； 方法3：变更主元（新函数），0101)(≤-++⋅=b x a xa ϕ，]2,21[∈a简解：方法1:对b x xax h ++=)(求导，22))((1)(xa x a x x a x h +-=-='，（单调函数） 由此可知，)(x h 在]1,41[上的最大值为)41(h 与)1(h 中的较大者．⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤++⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∴ab ab b a b a h h 944391011041410)1(10)41(，对于任意]2,21[∈a ，得b 的取值范围是47≤b ． 3、已知两函数2)(x x f =，m x g x-⎪⎭⎫ ⎝⎛=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，则实数m 的取值范围为解析：对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥等价于m x g x-⎪⎭⎫ ⎝⎛=21)(在[]2,1上的最小值m -41不大于2)(x x f =在[]2,0上的最小值0，既041≤-m ，∴41≥m题型二、更换主元法1、对于满足2p ≤的所有实数p,求使不等式212x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围。

专题19恒成立与存在性问题专题知识梳理恒成立问题①∀x∈D，均有f(x)>A恒成立，则f(x)min>A；②∀x∈D，均有f(x)﹤A恒成立，则f(x)ma x<A；③∀x∈D，均有f(x)>g(x)恒成立，则F(x)=f(x)-g(x)>0，∴F(x)min>0；④∀x∈D，均有f(x)﹤g(x)恒成立，则F(x)=f(x)-g(x)<0，∴F(x)ma x<0；⑤∀x1∈D，∀x2∈E，均有f(x1)>g(x2)恒成立，则f(x)min>g(x)ma x；⑥∀x1∈D，∀x2∈E，均有f(x1)<g(x2)恒成立，则f(x)ma x<g(x)min.存在性问题①∃x0∈D，使得f(x0)>A成立，则f(x)ma x>A；②∃x0∈D，使得f(x0)﹤A成立，则f(x)min<A；③∃x0∈D，使得f(x0)>g(x0)成立，设F(x)=f(x)-g(x)，∴F(x)ma x>0；④∃x0∈D，使得f(x0)<g(x0)成立，设F(x)=f(x)-g(x)，∴F(x)min<0；⑤∃x1∈D，∃x2∈E，使得f(x1)>g(x2)成立，则f(x)ma x>g(x)min；⑥∃x1∈D，∃x2∈E，均使得f(x1)<g(x2)成立，则f(x)min<g(x)ma x.考点探究【例1】（2018·徐州模拟）若关于x的不等式x3﹣3x2+ax+b＜0对任意的实数x∈[1，3]及任意的实数b∈[2，4]恒成立，则实数a的取值范围是．【解析】关于x的不等式x3﹣3x2+ax+b＜0对任意的实数x∈[1，3]及任意的实数b∈[2，4]恒成立，可得x3﹣3x2+ax＜﹣b的最小值，即为x3﹣3x2+ax＜﹣4，可得a＜3x﹣x2﹣的最小值，设f （x ）=3x ﹣x 2﹣，x ∈[1，3]，导数为f′（x ）=3﹣2x+，可得1＜x ＜2时，f′（x ）＞0，f （x ）递增；2＜x ＜3时，f′（x ）＜0，f （x ）递减，又f （1）=﹣2，f （3）=﹣，可得f （x ）在[1，3]的最小值为﹣2，可得a ＜﹣2．即有a 的范围是（﹣∞，﹣2）．故答案为：（﹣∞，﹣2）．【例2】已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠.设12,2a b ==.若对任意x R ∈,不等式(2)()6f x mf x ≥-恒成立，求实数m 的最大值；【解析】由条件知2222(2)22(22)2(())2x x x x f x f x --=+=+-=-.因为(2)()6f x mf x ≥-对于x R ∈恒成立，且()0f x >，所以2(())4()f x m f x +≤对于x R ∈恒成立.而2(())44()4()()f x f x f x f x +=+≥=，且2((0))44(0)f f +=，所以4m ≤，故实数m 的最大值为4.【例3】已知=)(x f x x +221，=)(x g a x -+)1ln(，(1)若存在]2,0[,21∈x x ，使得)()(21x g x f >，求实数a 的取值范围；(2)若存在]2,0[,21∈x x ，使得)()(21x g x f =，求实数a 的取值范围.【解析】()(),f x g x 在[]0,2上都是增函数，所以()f x 的值域，，]40[=A ()g x 的值域]3ln ,[a a B --=.(1)若存在]2,0[,21∈x x ，使得)()(21x g x f >，则min max )()(x g x f >，即4>a -，所以4->a .(2)若存在21,x x 使得)()(21x g x f =，则A B ≠∅ ，∴4a -≤且ln 30a -≥，∴实数a 的取值围是[]4,ln 3-.题组训练1.已知函数()()32ln 3,a f x x x g x x x x =++=-，若()()12121,,2,03x x f x g x ⎡⎤∀∈-≥⎢⎥⎣⎦，则实数a 的取值范围为_________________.【解析】由题意()()12121,,2,03x x f x g x ⎡⎤∀∈-≥⎢⎥⎣⎦得()()min max f x g x ≥()32g x x x =-，()´232g x x x =-所以()g x 在1233⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减，在223⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以()()()12243max g x max g g g ⎧⎫⎛⎫===⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，，则()ln 34a f x x x x =++>得2a x x lnx ≥-令()2h x x x lnx =-，()´12h x xlnx x =--，()¨23h x lnx =--，在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上()¨0h x <，则()´h x 单调递减，又()10h =，所以()h x 在113⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递增，在[]12，单调递减，()()max 11h x h ==，所以1a ≥，故填[)1,+∞.2.已知函数f(x)=22e 1+x x ,g(x)=2e ex x ,对任意的x 1,x 2∈(0,+∞),不等式1()g x k ≤2()1+f x k 恒成立,则正数k的取值范围是.【解析】因为k 为正数,所以对任意的x 1,x 2∈(0,+∞),不等式1()g x k ≤2()1+f x k 恒成立⇒max()⎡⎤⎢⎥⎣⎦g x k ≤min ()1⎡⎤⎢⎥+⎣⎦f x k .令g'(x)=0,即2e (1-)e xx =0,得x=1,当x∈(0,1)时,g'(x)>0,当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0,所以max ()⎡⎤⎢⎥⎣⎦g x k =(1)g k =e k .同理,令f'(x)=0,即222e -1x x =0,得x=1e ,当x∈10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭时,f'(x)<0,当x∈1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭时,f'(x)>0,所以min ()1⎡⎤⎢⎥+⎣⎦f x k =1e 1⎛⎫ ⎪⎝⎭+f k =2e 1+k ,所以e k ≤2e 1+k ,又k>0,所以k≥1.3.已知()1()2,11f x x x x =-->-+，若2()21f x t at ≤-+对于所有的()[]1,,1,1x a ∈-+∞∈-恒成立，求实数t 的取值范围.【解析】2()21f x t at ≤-+对于所有的()[]1,,1,1x a ∈-+∞∈-恒成立，即()f x 的最大值都小于等于221t at -+；即220ta t -≤对于所有的[]1,1a ∈-恒成立，令2()2g a ta t =-，只要(1)0(1)0g g -≤⎧⎨≤⎩，即可解出实数t 的取值范围．容易得出11()23132111f x x x x x ⎛⎫=--=-++≤-= ⎪++⎝⎭，即()f x 的最大值为1,则2()21f x t at ≤-+对于所有的()[]1,,1,1x a ∈-+∞∈-恒成立⇔2121t at ≤-+对于所有的[]1,1a ∈-恒成立，即220ta t -≤对于所有的[]1,1a ∈-恒成立，令2()2g a ta t =-，只要(1)0(1)0g g -≤⎧⎨≤⎩，∴2t ≤-或2t ≥或0t =．4.已知函数()()1522>+-=a ax x x f .若()x f 在区间(]2,∞-上是减函数，且对任意的[]1,1,21+∈a x x ，总有()()421≤-x f x f ，求实数a 的取值范围；【解析】条件12()()4f x f x -≤表示的含义是函数f (x )在[1,1]a +上的最大值与最小值的差小于或等于4.若2a ≥.又[1,1]x a a =∈+，且(1)1a a a +-≤-.所以max ()(1)62f x f a ==-.2min ()()5f x f a a ==-.因为对任意的12,[1,1]x x a ∈+.总有12()()4f x f x -≤.所以max min ()()4f x f x -≤.即2(62)(5)4a a ---≤.解得13a -≤≤.又2a ≥.所以23a ≤≤.若12a <<.2max ()(1)6f x f a a =+=-.2min ()()5f x f a a ==-.max min ()()4f x f x -≤显然成立.综上13a <≤.5.函数()()m mx x g x x x f 25,342-+=+-=，若对任意的[]4,11∈x ，总存在[]4,12∈x ，使()()21x g x f =成立,求实数m 的取值范围.【解析】由题可知函数()f x 的值域为函数()g x 的值域的子集[][]2()43,1,4,()1,3f x x x x f x =-+∈∴∈-，以下求函数()52g x mx m =+-的值域：①0m =时，()52g x m =-为常函数，不符合题意；②0m >，[]()52,52g x m m ∈-+，∴521,523,m m -≤-⎧⎨+≥⎩解得6m ≥；③0m <，[]()52,52g x m m ∈+-，∴521,523,m m +≤-⎧⎨-≥⎩解得3m ≤-．综上所述，m 的取值范围为(][),36,-∞-+∞ ．6.已知函数()()1ln f x x x ax a =+-+（a 为正常数）．(1)若()f x 在()0,+∞上单调递增，求a 的取值范围；(2)若不等式()()10≥-x f x 恒成立，求a 的取值范围.【解析】(1)()()1ln f x x x ax a =+-+，1()ln 0x f x x a x +'=+-≥，1ln 1≤++a x x 恒成立令1()ln 1g x x x =++，21()x g x x-'=列表略min ()(1)2g x g ==，02a <≤.(2)当0a <≤2时，由(1)知，若()f x 在()0,+∞上单调递增，又()10f =，当(0,1),()0x f x ∈<；当(1,),()0x f x ∈+∞>，故不等式()()10x f x -≥恒成立当2a >，ln (1)1()x x a x f x x+-+'=，令()ln (1)1p x x x a x =+-+，令()ln 20p x x a '=+-=，则21a x e -=>，当2(1,)a x e -∈时，()0p x '<，则()(1)20p x p a <=-<，当2(1,)a x e -∈，()0f x '<，则()f x 单调递减，()(1)0f x f <=，矛盾，因此02≤<a .法二：1()()ln 1g x f x x a x '==++-，22111()x g x x x x-'=-=，讨论单调性可得min ()(1)2g x g a ==-．当02a <<时，()()0g x f x '=>，()f x 在(0,)+∞单调递增，又(1)0f =，符合题意；当2a >时，(1)20g a =-<，1()10a a g e e=+>，因为()g x 在(0,)+∞不间断，所以()g x 在(1,)a e 上存在零点1x ，1(1,),()∈x x f x 单调减，1(,),()∈a x x e f x 单调增，所以当11<<x x 时，()(1)0<=f x f 不合题意；当2a =时，符合题意；综上02≤<a .。

“恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题策略一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型 恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨≤⎪⎩在上恒成立在上恒成立另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立,等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ,若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立,则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max .4、设函数()x f 、()x g ,对任意的[]b a x ,1∈,存在[]d c x ,2∈,使得()()21x g x f ≥,则()()x g x f min min ≥5、设函数()x f 、()x g ,对任意的[]b a x ,1∈,存在[]d c x ,2∈,使得()()21x g x f ≤,则()()x g x f max max ≤6、设函数()x f 、()x g ,存在[]b a x ,1∈,存在[]d c x ,2∈,使得()()21x g x f ≥,则()()x g x f min max ≥7、设函数()x f 、()x g ,存在[]b a x ,1∈,存在[]d c x ,2∈,使得()()21x g x f ≤,则()()x g x f max min ≤8、设函数()x f 、()x g ,对任意的[]b a x ,1∈,存在[]d c x ,2∈,使得()()21x g x f =,设fx 在区间a,b 上的值域为A,gx 在区间c,d 上的值域为B,则AB. 9、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方； 恒成立问题的基本类型在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有:在给定区间上某关系恒成立;某函数的定义域为全体实数R;某不等式的解为一切实数;某表达式的值恒大于a 等等…恒成立问题,涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,有利于考查学生的综合解题能力,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用;因此也成为历年高考的一个热点;恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象; 二、恒成立问题解决的基本策略大家知道,恒成立问题分等式中的恒成立问题和不等式中的恒成立问题;等式中的恒成立问题,特别是多项式恒成立问题,常简化为对应次数的系数相等从而建立一个方程组来解决问题的; 一两个基本思想解决“恒成立问题”思路1、max )]([)(x f m D x x f m ≥⇔∈≥上恒成立在 思路2、min )]([)(x f m D x x f m ≤⇔∈≤上恒成立在如何在区间D 上求函数fx 的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数fx 的最值;这类问题在数学的学习涉及的知识比较广泛,在处理上也有许多特殊性,也是近年来高考中频频出现的试题类型,希望同学们在日常学习中注意积累; 二、赋值型——利用特殊值求解等式恒成立问题等式中的恒成立问题,常常用赋值法求解,特别是对解决填空题、选择题能很快求得.例1．如果函数y=fx=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=8π-对称,那么a= .C .2D . -2.略解：取x=0及x=4π-,则f0=f 4π-,即a=-1,故选B. 此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想.例备用．由等式x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x+a 4= x+14+b 1x+13+ b 2x+12+b 3x+1+b 4 定义映射f ：a 1,a 2,a 3,a 4→b 1+b 2+b 3+b 4,则f ：4,3,2,1 →略解：取x=0,则 a 4=1+b 1+b 2+b 3+b 4,又 a 4=1,所以b 1+b 2+b 3+b 4 =0 ,故选D 三分清基本类型,运用相关基本知识,把握基本的解题策略 1、一次函数型：若原题可化为一次函数型,则由数形结合思想利用一次函数知识求解,十分简捷 给定一次函数y=fx=ax+ba≠0,若y=fx 在m,n 内恒有fx>0,则根据函数的图象直线可得上述结论等价于0)(0)(>>n f m f 同理,若在m,n 内恒有fx<0,则有 0)(0)(<<n f mf恒成立的x 的x 及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数.显然可将a 视作自变量,则上述问题即可转化为在-2,2内关于a 的一次函数大于0恒成立的问题.解：原不等式转化为x-1a+x 2-2x+1>0在|a|≤2时恒成立,设fa= x-1a+x 2-2x+1,则fa 在-2,2上恒大于0,故有：⎩⎨⎧>>-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0103422x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或 ∴x<-1或x>3. 即x∈－∞,－1∪3,+∞此类题本质上是利用了一次函数在区间m,n 上的图象是一线段,故只需保证该线段两端点均在x 轴上方或下方即可. 2、二次函数型涉及到二次函数的问题是复习的重点,同学们要加强学习、归纳、总结,提炼出一些具体的方法,在今后的解题中自觉运用;1若二次函数y=ax 2+bx+ca≠0大于0恒成立,则有00<∆>且a2若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,可以利用韦达定理以及根的分布知识求解;类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f 在R 上恒成立,（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；2R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a ;类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f 在区间],[βα上恒成立（1）当0>a时,],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a ba b f a b 或或, ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f（2）当0<a时,],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a ba b f a b 或或 类型3：设)0()(2≠++=a c bx ax x f 在区间 -∞ , 上恒成立; fx>0a>0且<0或-b/2a>且f>0 fx<0a<0且<0或-b/2a>且f<0类型4：设)0()(2≠++=a c bx ax x f 在区间 ,+∞上恒成立; fx>0a>0,<0或-b/2a<且f>0 fx<0a<0,<0或-b/2a<且f<0例3． 若函数12)1()1()(22++-+-=a x a x a x f 的定义域为R,求实数 a 的取值范围.分析：该题就转化为被开方数012)1()1(22≥++-+-a x a x a 在R 上恒成立问题,并且注意对二次项系数的讨论.解：依题意,当时，R x ∈012)1()1(22≥++-+-a x a x a 恒成立, 所以,①当,1,01,01{,0122=≠+=-=-a a a a 时，即当此时.1,0112)1()1(22=∴≥=++-+-a a x a x a ②当时，时，即当012)1(4)1(,01{012222≤+---=∆>-≠-a a a a a 有,91,09101{22≤<⇒≤+->a a a a 综上所述,fx 的定义域为R 时,]9,1[∈a 例4.已知函数2()3f x x ax a =++-,在R 上()0f x ≥恒成立,求a 的取值范围. 图所分析：()y f x =的函数图像都在X 轴及其上方,如右示：略解：()22434120a a a a ∆=--=+-≤62a ∴-≤≤ 范变式1：若[]2,2x ∈-时,()0f x ≥恒成立,求a 的取值围.解析一. 零点分布策略 本题可以考虑fx 的零点分布情况进行分类讨论,分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况,即Δ≤0或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥--≤->∆0)2(0)2(220f f a或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥-≥->∆0)2(0)2(22f f a ,即a 的取值范围为-7,2.解法二分析：运用二次函数极值点的分布分类讨论要使[]2,2x ∈-时,()0f x ≥恒成立,只需)(x f 的最小值0)(≥a g 即可.略解：分类讨论22()324a a f x x a ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭,令()f x 在[]2,2-上的最小值为()g a .⑴当22a-<-,即4a >时,()(2)730g a f a =-=-≥ 73a ∴≤ 又4a >a ∴不存在.⑵当222a-≤-≤,即44a -≤≤时,2()()3024a a g a f a ==--+≥ 62a ∴-≤≤ 又44a -≤≤ 42a ∴-≤≤⑶当22a->,即4a <-时,()(2)70g a f a ==+≥ 7a ∴≥- 又4a <-74a ∴-≤<-综上所述,72a -≤≤.变式2：若[]2,2x ∈-时,()2f x ≥恒成立,求a 的取值范围.解法一：分析：题目中要证明2)(≥x f 在[]2,2-上恒成立,若把2移到等号的左边,则把原题转化成左边二次函数在区间[]2,2-时恒大于等于0的问题.例2 已知a ax x x f -++=3)(2,若0)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立,求a 的取值范围. 略解：2()320f x x ax a =++--≥,即2()10f x x ax a =++-≥在[]2,2-上成立. ⑴()2410a a ∆=--≤22a ∴--≤≤-+⑵24(1)0(2)0(2)02222a a f f a a ⎧∆=-->⎪≥⎪⎪⎨-≥⎪⎪-≥-≤-⎪⎩或2225--≤≤-∴a 综上所述,2225-≤≤-a .解法二：运用二次函数极值点的分布⑴当22a-<-,即4a >时,()(2)732g a f a =-=-≥ ()54,3a ∴≤∉+∞ a ∴不存在.⑵当222a-≤-≤,即44a -≤≤时,2()()3224a a g a f a ==--+≥,⑶当22a ->,即4a <-时,()(2)72g a f a ==+≥, 综上所述2225-≤≤-a .此题属于含参数二次函数,求最值时,对于轴变区间定的情形,对轴与区间的位置进行分类讨论；还有与其相反的,轴动区间定,方法一样.对于二次函数在R 上恒成立问题往往采用判别式法如例4、例5,而对于二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题 3、变量分离型若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个变量的范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边,则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解;运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于x 取值范围内的任何一个数都有fx>ga 恒成立,则ga<fx min ;若对于x 取值范围内的任何一个数,都有fx<ga 恒成立,则ga>fx max .其中fx max 和fx min 分别为fx 的最大值和最小值例5.已知三个不等式①0342<+-x x ,②0862<+-x x ,③0922<+-m x x ．要使同时满足①②的所有x 的值满足③,求m 的取值范围.略解：由①②得2<x<3,要使同时满足①②的所有x 的值满足③, 即不等式0922<+-m x x 在)3,2(∈x 上恒成立, 即)3,2(922∈+-<x x x m 在上恒成立,又，上大于在9)3,2(922∈+-x x x 所以 9≤m例 6. 函数)(x f 是奇函数,且在]1,1[-上单调递增,又1)1(-=-f ,若12)(2+-≤at t x f 对所有的]1,1[-∈a 都成立,求t 的取值范围 .解：据奇函数关于原点对称,,1)1(=f 又1)1()(]1,1[)(max ==-f x f x f 上单调递增在12)(2+-≤at t x f 对所有的]1,1[-∈a 都成立.因此,只需122+-at t 大于或等于上在]1,1[)(-x f 的最大值1,都成立对所有又]1,1[-∈a ,即关于a 的一次函数在-1,1上大于或等于0恒成立, 即：),2[}0{]2,(+∞--∞∈ t利用变量分离解决恒成立问题,主要是要把它转化为函数的最值问题 补例． 已知()||,=-+∈R f x x x a b x ．若0b <,且对任何[]0,1x ∈不等式()0f x <恒成立,求实数a 的取值范围．解：当0x =时,a 取任意实数,不等式()0f x <恒成立, 故只需考虑(]0,1x ∈,此时原不等式变为||bx a x--< 即b b x a x x x +<<-故(]max min ()(),0,1b bx a x x x x+<<-∈又函数()b g x x x =+在(]0,1上单调递增,所以max ()(1)1bx g b x +==+；对于函数(](),0,1bh x x x x=-∈①当1b <-时,在(]0,1上()h x 单调递减,min ()(1)1bx h b x-==-,又11b b ->+,所以,此时a 的取值范围是(1,1)b b +-．②当10b -≤<,在(]0,1上,()b h x x x=-≥当x b =-时,min ()2bx b x-=-,此时要使a 存在,必须有1210b bb ⎧+<-⎪⎨-≤<⎪⎩ 即1223b -≤<-,此时a 的取值范围是(1,2)b b +-综上,当1b <-时,a 的取值范围是(1,1)b b +-；当1223b -≤<-时,a 的取值范围是(1,2)b b +-；当2230b -≤<时,a 的取值范围是∅．4、根据函数的奇偶性、周期性等性质若函数fx 是奇偶函数,则对一切定义域中的x ,f-x=-fx f-x=fx 恒成立；若函数y=fx 的周期为T,则对一切定义域中的x,fx=fx+T 恒成立; 5、直接根据图象判断若把等式或不等式进行合理的变形后,能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象,则可以通过画图直接判断得出结果;尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷;例7. a a x x x 恒成立，求实数，不等式对任意实数>--+21的取值范围. 分析：设y=|x+1|-|x-2|,恒成立，不等式对任意实数a x x x >--+21即转化为求函数y=|x+1|-|x-2|的最小值,画出此函数的图象即可求得a 的取值范围.解：令⎪⎩⎪⎨⎧≥<<---≤-=--+=2321121321x x x x x x y在直角坐标系中画出图象如图所示,由图象可看出,要使a x x x >--+21，不等式对任意实数恒成立，只需3-<a .故实数.3），的取值范围是（-∞-a 注：本题中若将a a x x x 恒成立，求实数，不等式对任意实数>--+21改为 ①a a x x x 恒成立，求实数，不等式对任意实数<--+21,同样由图象可得a>3; ②a a x x x 恒成立，求实数，不等式对任意实数>-++21,构造函数,画出图象,得a<3.利用数形结合解决恒成立问题,应先构造函数,作出符合已知条件的图形,再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系,得出答案或列出条件,求出参数的范围.例8. 设常数a∈R,函数fx=3|x|+|2x-a|,gx=2-x.若函数y=fx 与y=gx 的图像有公共点,则a 的取值范围为 ;解：1a<=0x<=a/2<=0时,fx=-3x+-2x+a=-5x+aa/2<=x<=0时,fx=-3x+2x-a=-x-ax>=0时,fx=3x+2x-a=5x-a,最小值为-a<=2则与gx 有交点,即：-2<=a<=0;2a>0x<=0时,fx=-3x+-2x+a=-5x+a0<=x<=a/2时,fx=3x+-2x+a=x+ax>=a/2时,fx=3x+2x-a=5x-a 最小值a<=2时与gx 有交点,即：0<a<=2综上所述,-2<=a<=2时fx=3|x|+|2x-a|与gx=2-x 有交点;三、在恒成立问题中,主要是求参数的取值范围问题,是一种热点题型,介绍一些基本的解题策略,在学习中学会把问题分类、归类,熟练基本方法;一换元引参,显露问题实质 1、对于所有实数x,不等式恒成立,求a 的取值范围;解：因为的值随着参数a 的变化而变化,若设, 则上述问题实质是“当t 为何值时,不等式恒成立”;这是我们较为熟悉的二次函数问题,它等价于 求解关于t 的不等式组：; 解得,即有,易得;2、设点Px,y 是圆4)1(22=-+y x 上任意一点,若不等式x+y+c ≥0恒成立,求实数c 的取值范围;二分离参数,化归为求值域问题 3、若对于任意角总有成立,求m 的范围;解：此式是可分离变量型,由原不等式得,又,则原不等式等价变形为恒成立; 根据边界原理知,必须小于2cos cos )(2+=θθθf 的最小值,这样问题化归为怎样求的最小值;因为2cos cos )(2+=θθθf即时,有最小值为0,故;三变更主元,简化解题过程 4、若对于,方程都有实根,求实根的范围;解：此题一般思路是先求出方程含参数m 的根,再由m 的范围来确定根x 的范围,但这样会遇到很多麻烦,若以m 为主元,则,由原方程知,得又,即解之得或;5、当1≤a 时,若不等式039)6(2>-+-+a x a x 恒成立,求x 的取值范围; 四图象解题,形象直观6、设]40(，∈x ,若不等式ax x x >-)4(恒成立,求a 的取值范围;解：若设)4(1x x y -=,则为上半圆;设,为过原点,a为斜率的直线;在同一坐标系内作出函数图象依题意,半圆恒在直线上方时,只有时成立,即a的取值范围为;7、当x∈1,2时,不等式x-12<logax恒成立,求a的取值范围;解：设y1=x-12,y2=logax,则y1的图象为右图所示的抛物线要使对一切x∈ 1,2,y1<y2恒成立,显然a>1,并且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于y1的函数值;故loga2>1, ∴ 1<a<2.8、已知关于x的方程lgx2+4x-lg2x-6a-4=0有唯一解,求实数a的取值范围;分析：方程可转化成lgx2+4x=lg2x-6a-4,从而得x2+4x=2x-6a-4>0,注意到若将等号两边看成是二次函数y= x2+4x及一次函数y=2x-6a-4,则只需考虑这两个函数的图象在x轴上方恒有唯一交点即可;解：令y1=x2+4x=x+22-4,y2=2x-6a-4,y1的图象为一个定抛物线 y2的图象是k=2,而截距不定的直线,要使y1和y2在x轴上方有唯一交点,则直线必须位于l1和l2之间;包括l1但不包括l2当直线为l1时,直线过点-4,0,此时纵截距为-8-6a-4=0,a=2-;当直线为l2时,直线过点0,0,纵截距为-6a-4=0,a=32-∴a的范围为)32,2[--五合理联想,运用平几性质9、不论k为何实数,直线与曲线恒有交点,求a的范围;分析：因为题设中有两个参数,用解析几何中有交点的理论将二方程联立,用判别式来解题是比较困难的;若考虑到直线过定点A0,1,而曲线为圆,圆心Ca,0,要使直线恒与圆有交点,那么定点A0,1必在圆上或圆内;解：,Ca,0,当时,联想到直线与圆的位置关系,则有点A0,1必在圆上或圆内,即点A0,1到圆心距离不大于半径,则有,得;六分类讨论,避免重复遗漏10、当时,不等式恒成立,求x 的范围;解：使用的条件,必须将m 分离出来,此时应对进行讨论;①当时,要使不等式恒成立,只要, 解得;②当时,要使不等式恒成立,只要,解得;③当时,要使恒成立,只有; 综上①②③得;解法2：可设,用一次函数知识来解较为简单;我们可以用改变主元的办法,将m 视为主变元,即将元不等式化为：0)12()1(2<---x x m ,；令)12()1()(2---=x x m m f ,则22≤≤-m 时,0)(<m f 恒成立,所以只需⎩⎨⎧<<-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0)12()1(20)12()1(222x x x x ,所以x 的范围是)231,271(++-∈x ;此类题本质上是利用了一次函数在区间m,n 上的图象是一线段,故只需保证该线段两端点均在x 轴上方或下方即可.11、当31<<x 时,不等式0622>+-ax x 恒成立,求实数a 的取值范围; 解：xx a 32+<当31<<x 时,623232=≥+x x ,当x x 32=,即6=x 时等号成立;故实数a 的取值范围:6<a 七构造函数,体现函数思想12、1990年全国高考题设,其中a 为实数,n 为任意给定的自然数,且,如果当时有意义,求a 的取值范围; 解：本题即为对于,有恒成立;这里有三种元素交织在一起,结构复杂,难以下手,若考虑到求a 的范围,可先将a 分离出来,得,对于恒成立;构造函数,则问题转化为求函数在上的值域;由于函数在上是单调增函数,则在上为单调增函数;于是有的最大值为：,从而可得;八利用集合与集合间的关系在给出的不等式中,若能解出已知取值范围的变量,就可利用集合与集合之间的包含关系来求解,即：[]()(),,m n f a g a ⊂⎡⎤⎣⎦,则()f a m ≤且()g a n ≥,不等式的解即为实数a 的取值范围;例13、当1,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,log 1a x <恒成立,求实数a 的取值范围;解：1log 1a x -<<（1） 当1a >时,1x a a <<,则问题转化为11,3,3a a ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3113a a ≥⎧⎪∴⎨≤⎪⎩ 3a ∴≥（2） 当01a <<时,1a x a <<,则问题转化为11,3,3a a ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1313a a⎧≤⎪⎪∴⎨⎪≥⎪⎩103a ∴<≤综上所得：103a <≤或3a ≥ 四、其它类型恒成立问题能成立问题有时是以不等式有解的形式出现的;1、已知函数12)(2+-=ax x x f ,xax g =)(,其中0>a ,0≠x ． 对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ,都有)()(21x g x f >恒成立,求实数a 的取值范围；分析：思路、对在不同区间内的两个函数)(x f 和)(x g 分别求最值,即只需满足)()(max min x g x f >即可．简解：令na=g max x=a/2；令ma=f min x,fx=x-a 2+1-a 2,故1对称轴x=a<1,即或0<a<1时,ma= f min x=f1=2-2a,由ma>na 解得a<4/5,注意到a 的范围从而得a 的范围：0<a<4/5;2对称轴x=a>2时,ma= f min x=f2=5-4a,由ma>na 解得a<10/9,注意到a 的范围从而得a 无解：;3对称轴x=a∈1,2时,ma= fminx=fa=2-2a,由ma>na 解得4171+->a 或4171--<a ,注意到a 的范围从而得a 的范围21≤<a ：;; 综合123知实数a 的取值范围是：0,4/5∪1,2 2、已知两函数2)(x x f =,m x g x-⎪⎭⎫⎝⎛=21)(,对任意[]2,01∈x ,存在[]2,12∈x ,使得()21)(x g x f ≥,则实数m 的取值范围为解析：对任意[]2,01∈x ,存在[]2,12∈x ,使得()21)(x g x f ≥等价于m x g x-⎪⎭⎫⎝⎛=21)(在[]2,1上的最小值m -41不大于2)(x x f =在[]2,0上的最小值0,既041≤-m ,∴41≥m题型二、主参换位法已知某个参数的范围,整理成关于这个参数的函数题型三、分离参数法欲求某个参数的范围,就把这个参数分离出来 题型四、数形结合恒成立问题与二次函数联系零点、根的分布法 五、不等式能成立问题有解、存在性的处理方法若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x A >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x B <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.1、存在实数x ,使得不等式2313x x a a ++-≤-有解,则实数a 的取值范围为______; 解：设()31f x x x =++-,由()23f x a a ≤-有解,()2min3a a f x ⇒-≥, 又()()31314x x x x ++-≥+--=,∴234a a -≥,解得41a a ≥≤-或;1、求使关于p 的不等式x p px x 212+<++在p ∈-2,2有解的x 的取值范围;解：即关于p 的不等式012)1(2<+-+-x x p x 有解,设()()2121f p x p x x =-+-+,则()f p 在-2,2上的最小值小于0;1当x>1时,fp 关于p 单调增加,故f min p=f-2=x 2-4x+3<0,解得1<x<3;2 当x<1时,fp 关于p 单调减少,故f min p=f2=x 2-1<0,解得-1<x<1； 3当x=1时,fp=0,故f min p=fp<0不成立;综合123知实数x 的取值范围是：-1,1∪1,3例、设命题P:x1,x2是方程x 2-ax-2=0的二个根,不等式|m 2-5m-3|≥|x 1-x 2|对任意实数a∈-1,1恒成立；命题Q ：不等式|x-2m|-|x|>1m>0有解；若命题P 和命题Q 都是真命题,求m的值范围;解：1由P 真得：8||221+=-a x x ,注意到a 在区间-1,1, 3||max 21=-x x ,由于|m 2-5m-3|≥|x 1-x 2|对任意实数a∈-1,1恒成立,故有3|||35|max 212=-≥--x x m m解得： m≤-1或m≥6或0≤m≤51由Q 真,不等式|x-2m|-|x|>1m>0有解,得|x-2m|-|x|max =2m>1,解得：m>1/2 由于12都是相公命题,故m 的值范围：1/2<m≤5或m≥6.举例1已知不等式0224>+⋅-x x a 对于+∞-∈,1[x 恒成立,求实数a 的取值范围. 2若不等式0224>+⋅-x x a 对于]3,(-∞∈a 恒成立,求实数x 的取值范围. 分析：1由0224>+⋅-x x a 得：xx a 222+<对于+∞-∈,1[x 恒成立,因212≥x,所以22222≥+xx ,当22=x时等号成立.所以有22<a . 2注意到0224>+⋅-x x a 对于]3,(-∞∈a 恒成立是关于a 的一次不等式.不妨设)24(2)(++⋅-=x x a a f ,则)(a f 在]3,(-∞∈a 上单调递减,则问题等价于0)3(>f ,所以2202234>⇒>+⋅-x x x 或12<x ,则x 取值范围为),1()0,(+∞-∞ .小结：恒成立与有解的区别：恒成立和有解是有明显区别的,以下充要条件应细心思考,甄别差异,恰当使用,等价转化,切不可混为一体;①不等式()f x M <对x I ∈时恒成立max ()f x M•⇔<,x I ∈;即()f x 的上界小于或等于M ； ②不等式()f x M <对x I ∈时有解min ()f x M•⇔<,x I ∈; 或()f x 的下界小于或等于M ； ③不等式()f x M >对x I ∈时恒成立min ()f x M•⇔>,x I ∈;即()f x 的下界大于或等于M ； ④不等式()f x M >对x I ∈时有解max ()f x M ⇔>,x I ∈.; 或()f x 的上界大于或等于M ；高中数学难点强化班第四讲140709课后练习答案：一．填空选择题每小题6分,共60分1、对任意的实数x ,若不等式a x x >--+21恒成立,那么实数a 的取值范围 ;答案：|x+1|-|x-2| -|x+1-x-2|=-3,故实数a 的取值范围：a<-3 2、不等式2sin 4sin 10x x a -+-<有解,则a 的取值范围是解：原不等式有解()()22sin 4sin 1sin 231sin 1a x x x x ⇒>-+=---≤≤有解,而()2minsin 232x ⎡⎤--=-⎣⎦,所以2a >-;3.若对任意x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立,则实数a 的取值范围是 A 1a <- B ||1a ≤ C ||1a < D 1a ≥ 解析：对∀x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立 则由一次函数性质及图像知11a -≤≤,即||1a ≤;答案：选B4．当(1,2)x ∈时,不等式240x mx ++<恒成立,则m 的取值范围是 .解析: 当(1,2)x ∈时,由240x mx ++<得24x m x +<-.令244()x f x x x x+==+,则易知()f x 在(1,2)上是减函数,所以[1,2]x ∈时()(1)5maxf x f ==,则2min 4()5x x+->-∴5m ≤-.5．已知不等式223(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0)a ∈+∞，都成立,那么实数x 的取值范围为 ．分析：已知参数a 的范围,要求自变量x 的范围,转换主参元x 和a 的位置,构造以a 为自变量x 作为参数的一次函数()g a ,转换成∀(0)a ∈+∞，,()0g a >恒成立再求解;解析：由题设知“223(1)1ax x a x x a -++>--+对∀(0)a ∈+∞，都成立,即22(2)20a x x x +-->对∀(0)a ∈+∞，都成立;设22()(2)2g a x a x x =+--a R ∈,则()g a 是一个以a 为自变量的一次函数;220x +>恒成立,则对∀x R ∈,()g a 为R 上的单调递增函数; 所以对∀(0)a ∈+∞，,()0g a >恒成立的充分必要条件是(0)0g ≥,220x x --≥,∴20x -≤≤,于是x 的取值范围是{|20}x x -≤≤;6．已知函数()()()22241,f x mx m x g x mx =--+=,若对于任一实数x ,()f x 与()g x 的值至少有一个为正数,则实数m 的取值范围是 A ．0,2 B ．0,8 C ．2,8 D ．－∞,0分析：()f x 与()g x 的函数类型,直接受参数m 的影响,所以首先要对参 数进行分类讨论,解析：当0m =时,()810f x x =-+>在1(,)8-∞上恒成立在R 上恒成立,显然不满足题意；如图1当0m <时,()g x 在R 上递减且()0g x mx =>只在(,0)-∞而()f x 是一个开口向下且恒过定点0,1的二次函数,当0m >时,()g x 在R 上递增且()0g x mx =>在(0,)+∞而()f x 是一个开口向上且恒过定点0,1的二次函数,数x ,()f x 与()g x 的值至少有一个为正数则只需()0f x >在(-∞恒成立;如图3则有24024(4)80m m m m -⎧<⎪⎨⎪∆=--<⎩或402m m -≥解得48m <<或04m <≤, 综上可得08m <≤即(0,8)m ∈; 故选B;７、已知两函数()2728f x x x c =--,gx=6x 2-24x+21;1对任意[]3,3x ∈-,都有()()f x g x ≤成立,那么实数c 的取值范围 c ≥0 ； 2存在[]3,3x ∈-,使()()f x g x ≤成立,那么实数c 的取值范围 c ≥-25 ； 3对任意[]12,3,3x x ∈-,都有()()12f xg x ≤,那么实数c 的取值范围 c ≥150 ； 4存在[]12,3,3x x ∈-,都有()()12f xg x ≤,那么实数c 的取值范围 c ≥-175 ；解析：1设()()()322312h x g x f x x x x c =-=--+,问题转化为[]3,3x ∈-时,()0h x ≥恒成立,故()min 0h x ≥;令()()()266126120h x x x x x '=--=+-=,得1x =-或2;由导数知识,可知()h x 在[]3,1--单调递增,在[]1,2-单调递减,在[]2,3单调递增,且()345h c -=-,()()17h x h c =-=+极大值,()()220h x h c ==-极小值,()39h c =-,∴()()min 345h x h c =-=-,由450c -≥,得45c ≥;2据题意：存在[]3,3x ∈-,使()()f x g x ≤成立,即为：()()()0h x g x f x =-≥在[]3,3x ∈-有解,故()max 0h x ≥,由1知()max 70h x c =+≥,于是得7c ≥-;3它与1问虽然都是不等式恒成立问题,但却有很大的区别,对任意[]12,3,3x x ∈-,都有()()12f xg x ≤成立,不等式的左右两端函数的自变量不同,1x ,2x 的取值在[]3,3-上具有任意性,∴要使不等式恒成立的充要条件是：max min ()(),[3,3]f x g x ••x •≤∈-;∵()()[]27228,3,3f x x c x =---∈-∴ ()()max3147f x f c =-=-,∵()26840g x x x '=+-=()()23102x x +-,∴()0g x '=在区间[]3,3-上只有一个解2x =; ∴()()min248g x g ==-,∴14748c -≤-,即195c ≥.4存在[]12,3,3x x ∈-,都有()()12f xg x ≤,等价于()()min 1max 2f x g x ≤,由3得()()min 1228f x f c ==--,()()max 23102g x g =-=,28102130c c --≤⇒≥-点评：本题的三个小题,表面形式非常相似,究其本质却大相径庭,应认真审题,深入思考,多加训练,准确使用其成立的充要条件; 二．简答题每题10分８、10分若不等式2(1)(1)3(1)0m x m x m +--+-<对任意实数x 恒成立,求实数m 取值范围 解：)10,2[9、①对一切实数x,不等式32x x a --+>恒成立,求实数a 的范围; ②若不等式32x x a --+>有解,求实数a 的范围; ③若方程32x x a --+=有解,求实数a 的范围; 解：①5-<a ②5<a ③]5,5[-∈a10.已知函数()()2lg x ax a x f --=Ⅰ若()x f 的定义域Φ≠A ,试求a 的取值范围.Ⅱ 若()x f 在()3,2∈x 上有意义, 试求a 的取值范围. Ⅲ若()0>x f 的解集为()3,2,,试求a 的值.解答：这三问中,第Ⅰ问是能成立问题,第Ⅱ问是恒成立问题,第Ⅲ问是恰成立问题.Ⅰ ()x f 的定义域非空,相当于存在实数x ,使02>--x ax a 成立,即()2x ax a x --=ϕ的最大值大于0成立,(),0444422max >+=---=a a a a x ϕ 解得 4-<a 或0>a .Ⅱ()x f 在区间()3,2上有意义,等价于()2x ax a x --=ϕ0>在()3,2恒成立,即()x ϕ的最小值大于0.解不等式组 ()⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-,03,252ϕa 或()⎪⎩⎪⎨⎧≥>-,02,252ϕa ⎩⎨⎧≥---≥,093,5a a a 或⎩⎨⎧≥---<042,5a a a 解得 .29-≤aⅢ()0>x f 的解集为()3,2,等价于不等式12>--x ax a 的解集为()3,2;于是有012<-++a ax x ,这等价于方程012=-++a ax x 的两个根为2和3, 于是可解得5-=a .。