电场强度与梯度优秀课件
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8-5电场强度与梯度
§8-5 电场强与电势梯度
电场强度和电势都是描述电场性质的物理量，电场强度反映了电场 中力的作用，而电势则从能量的角度反映电场的性质。电场强度可以形 象地用电场线来描述，电势同样也可以用一个形象的图形来描述，这就 是等势面。
8.5.1 等势面 1、等势面：电场中电势相等的点构成的面，称为等势面。 点电荷的等势面 q U 4 0 r 平行板电容器电场的等势面。
dq dS
U U (x)
x dU 1 2 2 1/ 2 (1 ) E Ex 2 2 ( R x ) 2 x 1 2 0 dx R x2 2 0
作业：8-10 8-11
E
θ
P
2
只有 cos 0 即： E dl
Q dl
∴电场线垂直于等势面 （2）等势面较密的地方场强大，稀疏的地方场强小，电场线 指向电势降落的方向。 等势面的规定：任意相邻的两等势面间的电势差相等。
等势面的法线方向：电势增加的方向为正方向。
记
U ab E1 ab
式中
( i j k) x y z
梯度算符
c、场强与电势的关系 ∵电场中某点的场强总可以在等势面的切线方向和法线 方向上分解
E E En E 0 En n0
E E En E 0 En n0
U 又 E 0
En
U dU E n0 n0 U n dn
U n
电势梯度 的负值
说明：沿等势面的法线方向上电势的变化率最大。 例8-10 自看 例8-11 求均匀带电圆盘轴线上一点的电势和电场强度。设 q 圆盘半径为R，带电量为q。 dr R 2 解： ∵dq在P点的电势
电场强度和电势都是描述电场性质的物理量，电场强度反映了电场 中力的作用，而电势则从能量的角度反映电场的性质。电场强度可以形 象地用电场线来描述，电势同样也可以用一个形象的图形来描述，这就 是等势面。
8.5.1 等势面 1、等势面：电场中电势相等的点构成的面，称为等势面。 点电荷的等势面 q U 4 0 r 平行板电容器电场的等势面。
dq dS
U U (x)
x dU 1 2 2 1/ 2 (1 ) E Ex 2 2 ( R x ) 2 x 1 2 0 dx R x2 2 0
作业：8-10 8-11
E
θ
P
2
只有 cos 0 即： E dl
Q dl
∴电场线垂直于等势面 （2）等势面较密的地方场强大，稀疏的地方场强小，电场线 指向电势降落的方向。 等势面的规定：任意相邻的两等势面间的电势差相等。
等势面的法线方向：电势增加的方向为正方向。
记
U ab E1 ab
式中
( i j k) x y z
梯度算符
c、场强与电势的关系 ∵电场中某点的场强总可以在等势面的切线方向和法线 方向上分解
E E En E 0 En n0
E E En E 0 En n0
U 又 E 0
En
U dU E n0 n0 U n dn
U n
电势梯度 的负值
说明：沿等势面的法线方向上电势的变化率最大。 例8-10 自看 例8-11 求均匀带电圆盘轴线上一点的电势和电场强度。设 q 圆盘半径为R，带电量为q。 dr R 2 解： ∵dq在P点的电势
8.5电场强度与电势梯度的关系
E
ds
等势面——规定、性质、梯度
gradU
U n
n
三、 q、E、U 三者关系网
1、 q E
E
1
4 0
dq r3
r
sE
ds
1
0
vdv
2、 q U
U
1
4 0
dq r
U LE dl
3 E U
U LE dl
势面2，电场力做功
dA qE dl
qEdl cos
en
1
2
P1
en P2
P3
qEdn
V V+dV
上页 下页 返回 退出
电场力做功等于电势能的减少量 dA q dU
E dU dn
场强也与等势面垂直，但指向电势降低的方向。
E Een 写成矢量形式
E
第一章 真空中静电场小结
一、理论体系：
出发点
：叠 库加 仑原 定理 律
高斯定理 环路定理
电场为有源场 电场是有势场
二、内容：
1、一个定律 ： 2、两个定理 ：
F
q1q2
4 0
r r3
E
ds
1
dv
s
0 v
l E dl 0
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则 dn dl cos
dU dU cos
dl dn
2
P1
en P2
P3
U U+dU
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定义电势梯度
电场强度与梯度
△l→0时有
E
V
V d V E l i m l l 0 l d l
电场中某一点的电场强度沿某一方向的分量， 等于这一点的电势沿该方向单位长度上电势变 化率的负值。 V t 电场强度的单位也用V/m。 2 电势梯度 显然电势沿不同方向 V V 的单位长度增量是不同的， 现讨论两个特殊方向上的 情况：切向和法向。
2 21 / 2 p ( 4 x y ) 2 2 E E E x y 2 22 4 ( x y ) 0
x
A点在电偶极矩的延长线上时：
y 0
2p 1 E 4 0 x3
1 E 4 0 y3 p
y
A
A点在电偶极矩的中垂线上时：
r
q o
r
r
q
x 0
r0
y
A
r
r r
r0
q
q o
x
2
V 0
用A点的坐标x,y写成：
x V 4 0 (x2 y2)3/2
2 2 V p y 2 x E x 2 25 / 2 x 4 ( x y ) 0
p
y
A
r
r r
r0
q
V p 3 x y o q E y 2 25 /2 y 4 ( x y ) 0
例2 求电偶极子电场中任意一点V的电势和电场强度。
解
r0 r 2 rr r c o s r r r 0
1 q V 4 0 r 1 q V 4 0 r V V V q r r 4 0 r r
y
x
例3 如图所示，水分子可以近似看作为电偶极矩
E
V
V d V E l i m l l 0 l d l
电场中某一点的电场强度沿某一方向的分量， 等于这一点的电势沿该方向单位长度上电势变 化率的负值。 V t 电场强度的单位也用V/m。 2 电势梯度 显然电势沿不同方向 V V 的单位长度增量是不同的， 现讨论两个特殊方向上的 情况：切向和法向。
2 21 / 2 p ( 4 x y ) 2 2 E E E x y 2 22 4 ( x y ) 0
x
A点在电偶极矩的延长线上时：
y 0
2p 1 E 4 0 x3
1 E 4 0 y3 p
y
A
A点在电偶极矩的中垂线上时：
r
q o
r
r
q
x 0
r0
y
A
r
r r
r0
q
q o
x
2
V 0
用A点的坐标x,y写成：
x V 4 0 (x2 y2)3/2
2 2 V p y 2 x E x 2 25 / 2 x 4 ( x y ) 0
p
y
A
r
r r
r0
q
V p 3 x y o q E y 2 25 /2 y 4 ( x y ) 0
例2 求电偶极子电场中任意一点V的电势和电场强度。
解
r0 r 2 rr r c o s r r r 0
1 q V 4 0 r 1 q V 4 0 r V V V q r r 4 0 r r
y
x
例3 如图所示，水分子可以近似看作为电偶极矩
高二物理竞赛课件：电场强度与电势梯度
4 0 x
40a(a l )
Q
Q a l
（2）球在 x 处电势 V 4 0 x
ln 40 a
2
电场强度和电势梯度 d V：两等位面电势之差。
E
dl
nˆ
d l：两等位面间在P1点处的最短距离。 P1
P2
（等位面间在P1点处的法向距离）
nˆ ：P1点处法线方向上的单位矢量，
V V dV
指向电势升高的方向。
r
dr
2 0
4 0
(
R2
r2
)
0
外电场对电偶极子的力矩和取向作用
解：电偶极子受 力偶的作用
F qE F qE
合力： F F F
电矩
0
p ql
l
F
q
q
F E
故偶极子不平动。 合力矩：
M 的方向
M
M
2F
P
l 2
sin qEl
E
M使 p
sin
转向
E
pE
sin
2
电荷在外电场中的静电势能 任何电荷在静电场中都具有势能，叫的静电势能。
E R2
若令V= 0 则
rR V
R2
E dl
r
2 0 r
r
R2 dr 2 0 r
ln 电势发散，无意义！
20 r
R
只能取有限远处电势为零。
r
若令柱面 处 VR=0，则
r > R：V R R2 dr R2 ln R 0
r 20r
20 r
r
r < R：V
R r
W q0 (Vb Va )
2
例、长为L 的均匀带电导线，电荷线密度为 。
40a(a l )
Q
Q a l
（2）球在 x 处电势 V 4 0 x
ln 40 a
2
电场强度和电势梯度 d V：两等位面电势之差。
E
dl
nˆ
d l：两等位面间在P1点处的最短距离。 P1
P2
（等位面间在P1点处的法向距离）
nˆ ：P1点处法线方向上的单位矢量，
V V dV
指向电势升高的方向。
r
dr
2 0
4 0
(
R2
r2
)
0
外电场对电偶极子的力矩和取向作用
解：电偶极子受 力偶的作用
F qE F qE
合力： F F F
电矩
0
p ql
l
F
q
q
F E
故偶极子不平动。 合力矩：
M 的方向
M
M
2F
P
l 2
sin qEl
E
M使 p
sin
转向
E
pE
sin
2
电荷在外电场中的静电势能 任何电荷在静电场中都具有势能，叫的静电势能。
E R2
若令V= 0 则
rR V
R2
E dl
r
2 0 r
r
R2 dr 2 0 r
ln 电势发散，无意义！
20 r
R
只能取有限远处电势为零。
r
若令柱面 处 VR=0，则
r > R：V R R2 dr R2 ln R 0
r 20r
20 r
r
r < R：V
R r
W q0 (Vb Va )
2
例、长为L 的均匀带电导线，电荷线密度为 。
5-5 电场强度与电势梯度的关系
2 2
2
2
P 2 2 4 x y 4 0 ( x 2 y 2 ) 2
P(0,y) y E -q
-L/2
讨论：
1. 在X轴上，y=0，则
Ex P 20 x 3 P 40 y
Ey 0
3
2. 在Y轴上，x=0，则
Ex
+q
O
L/2
P(x,0)
Ey 0
E
x
与用叠加原理得到的结果一致。
1 1
E
en
P2
P1
P3
V
V+dV
例1 试由电偶极子的电势分布求其的电场强度。 解： 在直角坐标系中先写出电势的表达式，
1 q 1 q q r r V 40 r 40 r 40 r r
L cos P cos 2 2 40 r 4 0 r Px 40 ( x 2 y 2 ) 3 / 2 q
P3
V
则 dn dl cos
V+dV
定义电势梯度
dV grad V en dn
单位:V/m
其量值为该点电势增加率的最大值。 方向与等势面垂直，并指向电势升高的方向。 电势梯度与电场强度的关系 2
en
电荷q从等势面1移动到等 势面2，电场力做功
1
en P1
dA qE dl qE dl cos qE den
例2 将半径为R2 的圆盘在盘心处挖去半径为R1的小孔,并 使盘均匀带电.试通过用电势梯度求电场强度的方法,计算这 个中空带电圆盘轴线上任一点P处的电场强度.
解：设圆盘上的电荷 面密度为 轴线上任一点p 到中空圆盘的 距离为x，在圆 盘上取半径为r 宽为dr的圆环 ，环上所带电 z 荷为
2
2
P 2 2 4 x y 4 0 ( x 2 y 2 ) 2
P(0,y) y E -q
-L/2
讨论：
1. 在X轴上，y=0，则
Ex P 20 x 3 P 40 y
Ey 0
3
2. 在Y轴上，x=0，则
Ex
+q
O
L/2
P(x,0)
Ey 0
E
x
与用叠加原理得到的结果一致。
1 1
E
en
P2
P1
P3
V
V+dV
例1 试由电偶极子的电势分布求其的电场强度。 解： 在直角坐标系中先写出电势的表达式，
1 q 1 q q r r V 40 r 40 r 40 r r
L cos P cos 2 2 40 r 4 0 r Px 40 ( x 2 y 2 ) 3 / 2 q
P3
V
则 dn dl cos
V+dV
定义电势梯度
dV grad V en dn
单位:V/m
其量值为该点电势增加率的最大值。 方向与等势面垂直，并指向电势升高的方向。 电势梯度与电场强度的关系 2
en
电荷q从等势面1移动到等 势面2，电场力做功
1
en P1
dA qE dl qE dl cos qE den
例2 将半径为R2 的圆盘在盘心处挖去半径为R1的小孔,并 使盘均匀带电.试通过用电势梯度求电场强度的方法,计算这 个中空带电圆盘轴线上任一点P处的电场强度.
解：设圆盘上的电荷 面密度为 轴线上任一点p 到中空圆盘的 距离为x，在圆 盘上取半径为r 宽为dr的圆环 ，环上所带电 z 荷为
高二物理竞赛课件电场强度与电势梯度
荷系。因此任意点电荷系的电场力所做的功，等于
组成此点电荷系的各点电荷的电场力所做功的代数
和:
E Ei
i
W
q0
E dl
l
i
q0 l Ei dl
结论：静电场力做功与路径无关，与始末位置有关.
10.4.2 静电场的环路定理
q0 E dl q0 E dl
ABC
ADC
q0( E dl E dl ) 0
r
dl
rdl
cos
rdr
B
rB
dl
dr
E
r
dW
q0 E
dl
qq0
4π 0r3
r
dl
q rA q0
A
W qq0
4 π0
rB dr r rA 2
qq0 ( 1 1 )
4 π0 rA rB
结果: A 仅与 q0 的始末
位置有关，与路径无关.
任意带电体都可看成由许多点电荷组成的点电
电场强度与电势梯度
电场强度与电势梯度 等势面 电场中电势相等的点所构成的面，叫做等势面。
相邻两个等势面间电势差等于常量。
点电荷的电场线与等势面
一对等量异号点电荷的电 场线和等势面
-
-
+
两平行带电平板的电场线和等势面
++++++++++++
等势面的性质： （1）等势面与电力线处处垂直，电力线的方向是 电势降落的方向。 （2）等势面的疏密反映了场强的强弱。等势面较 密的地方场强大，较疏的地方场强小。
i
j
k
x y z
8-4场强与梯度,带电粒子
M PE sin qlE sin
/2
M max 6 10 N m
3
P
E
A W [W (0) W ( 2)]
q
8－5 、6场强与梯度，带电粒子的运动
第八章 真空中的静电场
三、带电粒子在匀强电场中的运动
例3 将半径分别为R1=10cm和R2=20cm的两个很长的共 轴金属圆筒分别接到直流电源的两极上。今使一电子以 v 5 106 m / s ，沿半径为r（R1<r<R2）的圆周的切线 速率 方向射入两圆筒间。求使电子作圆周运动的电源电压。
q R
o
r
z
P x E
x
电场弱的地方电势低；电场强的地方电势高吗？
V=0 的地方 E 0吗？
E 相等的地方,V 一定等吗？
8－5 、6场强与梯度，带电粒子的运动
第八章 真空中的静电场
§8－6 带电粒子在静电场中的运动
一、带电粒子在匀强场中受力(力矩)
q
F F F qE qE 0
q
0 W p E 能量最低 π /2 W 0 π W p E 能量最高
F
l
q
F
E
从＝ 角，电场力做多少功？
A W pE cos
8－5 、6场强与梯度，带电粒子的运动
第八章 真空中的静电场
例2 一电偶极子由电量 q 1.5 10 6 C的两个异号电荷 组成，两电荷相距 l 2.0cm 把这电偶极子放在场强 大小为 E 2.0 10 5 N / C 的均匀电场中。试求： （1）电场作用于电偶极子的最大力矩。 （2）电偶极子从受最大力矩的位置转到平衡位置 过程，电场力作的功。 q
/2
M max 6 10 N m
3
P
E
A W [W (0) W ( 2)]
q
8－5 、6场强与梯度，带电粒子的运动
第八章 真空中的静电场
三、带电粒子在匀强电场中的运动
例3 将半径分别为R1=10cm和R2=20cm的两个很长的共 轴金属圆筒分别接到直流电源的两极上。今使一电子以 v 5 106 m / s ，沿半径为r（R1<r<R2）的圆周的切线 速率 方向射入两圆筒间。求使电子作圆周运动的电源电压。
q R
o
r
z
P x E
x
电场弱的地方电势低；电场强的地方电势高吗？
V=0 的地方 E 0吗？
E 相等的地方,V 一定等吗？
8－5 、6场强与梯度，带电粒子的运动
第八章 真空中的静电场
§8－6 带电粒子在静电场中的运动
一、带电粒子在匀强场中受力(力矩)
q
F F F qE qE 0
q
0 W p E 能量最低 π /2 W 0 π W p E 能量最高
F
l
q
F
E
从＝ 角，电场力做多少功？
A W pE cos
8－5 、6场强与梯度，带电粒子的运动
第八章 真空中的静电场
例2 一电偶极子由电量 q 1.5 10 6 C的两个异号电荷 组成，两电荷相距 l 2.0cm 把这电偶极子放在场强 大小为 E 2.0 10 5 N / C 的均匀电场中。试求： （1）电场作用于电偶极子的最大力矩。 （2）电偶极子从受最大力矩的位置转到平衡位置 过程，电场力作的功。 q
电场强度与梯度页PPT文档
a m F 1 9 ..4 1 3 1 1 1 0 0 1 3 0 1m s 2 1 .5 7 1 0 2 0 m s 2
v a t 1 . 5 7 1 0 2 0 1 0 1 4 m s - 1 1 . 5 7 1 0 6 m s - 1
W a b q 0 ( V a V b ) a b q 0 E d l 0
q 0 0E 0d l 0 Edl
② 等势面密集的地方电场强度大，稀疏的地方电 场强度小。
2 几种电荷分布的电场线
与等势面
⑴ 点电荷的电场线与等势面
q
⑵ 一对等量异号点电荷的电场线和等势面
q
q
⑶ 两平行带电平板的电场线和等势面
++++++++++++++++
二 电场强度与电势梯度 1 电势沿任意方向的增加率
B l A
UAB （ VBVA） El E l
Elcos
E
E c o s E l V V B V A VV V
VEll 即 El V l
与气体分子热运动能量比较
TE p 3.5710 20K2.59103K k 1.3810 23
电子在分子电偶极子电场中所受的力为
F
eE
2e
40
p x3
2 1 .6 0 1 0 1 9
6 .2 1 0 3 01 .4 3 1 0 1 0N
4 8 .8 5 1 0 1 2(5 1 0 1 0)3
4 0 r r
r0 r
高二物理竞赛电场强度与电势梯度优静电场中的导体课件
（2）导体是等势体，导体表面是等势面。 二 静电平衡时导体上电荷的分布 1 实心导体
E
0
（1）电荷只分布在导体表面，导体内部净电荷为零。
（2）导体表面附近的场强与该处导体表面的电荷面密度 成正比。
9.1 静电场中的导体
第九章静电场中的导体与电介质
（3）大致而言，导体表面曲率大的地方，电荷密度大。
r 恒
R2 R3
电势分布：
(R1 r R2
V2
q
4 0r
)
q
4 0 R2
q (1 1 )
4 0 r R2
(R2 r R3 )
V3
q
4 0r
q
4 0r
0
r R3
V4
q
中的导体
第九章静电场中的导体与电介质
3、再把内球接地： 电荷重新分布：
q3’
由高斯定律： q'2 q1'
q O V 2、外球接地后再绝缘：
空腔导体可以屏蔽外电场, 使空腔内物体不受外电场影响.
1
R 4 R 4 R 4 R 2 例1 求一均匀带电细圆环轴线上任一点的电场强度.
导体内场强为零，为场中
01
02
03
R 1、求电势分布：用叠加原理）
3 （2）电场强度的方向恒指向电势降落的方向.
二 静电平衡时导体上电荷的分布 （2）导体是等势体，导体表面是等势面。
若断开导线B板接地，则电荷分布 B板外侧的正电荷被中和掉，
QA
QB
' 4
0,
' 1
0
1 2 3 4
A板带正电荷转移到内侧， 相应在B板内侧感应出等量 异号电荷
'' 2
电场强度与电势梯度
σS / ε0 E σ
ε0
S
+
+
+
++
+ E0
+
导体表面电荷分布规律
E σ ε0
σ E ;σ , E
++ + ++
++++
注意：导体表面电荷分布与导体形状以 及周围环境有关.
四.静电屏蔽
静电场中的导体的一个重要结论： 导体外表面及其以外空间的电荷，在导 体外表面以内的空间产生的场强处处为零。
导体达到静电平衡
E 感
E内 E外 E感 0
+ + + + +
+ E外
+ + + +
感应电荷
2 静电平衡
+
E0 +
+
E＇
+ + +
E0
E0 +
+
静电平衡条件：
（1）导体内部任何一点处的电场强度为零； （2）导体表面处电场强度的方向，都与导 体表面垂直.
推论：导体为等势体
E
二. 静电平衡时导体上电荷的分布
R2 R1
( 1 1 )q Q q
R2 R3
R1
V壳
Q q
4 0R1
例2:.导体板A，带电量QA，在其旁边放入
导体板B,带电量QB ，面积均为S。 求：
(1) A、B上的电荷分布及空间的电场分布
(2) 将B板接地，求电荷分布 1 A 2 3 B 4
a点
1 2 3 4 0 2 0 2 0 2 0 2 0
ε0
S
+
+
+
++
+ E0
+
导体表面电荷分布规律
E σ ε0
σ E ;σ , E
++ + ++
++++
注意：导体表面电荷分布与导体形状以 及周围环境有关.
四.静电屏蔽
静电场中的导体的一个重要结论： 导体外表面及其以外空间的电荷，在导 体外表面以内的空间产生的场强处处为零。
导体达到静电平衡
E 感
E内 E外 E感 0
+ + + + +
+ E外
+ + + +
感应电荷
2 静电平衡
+
E0 +
+
E＇
+ + +
E0
E0 +
+
静电平衡条件：
（1）导体内部任何一点处的电场强度为零； （2）导体表面处电场强度的方向，都与导 体表面垂直.
推论：导体为等势体
E
二. 静电平衡时导体上电荷的分布
R2 R1
( 1 1 )q Q q
R2 R3
R1
V壳
Q q
4 0R1
例2:.导体板A，带电量QA，在其旁边放入
导体板B,带电量QB ，面积均为S。 求：
(1) A、B上的电荷分布及空间的电场分布
(2) 将B板接地，求电荷分布 1 A 2 3 B 4
a点
1 2 3 4 0 2 0 2 0 2 0 2 0
电场强度和电势梯度
02
安装电荷分布装置，确保电荷分布均匀且稳 定。
04
使用电势计测量电荷分布装置周围的电势 。
使用测量尺测量不同位置之间的距离。
05
06
根据实验数据，计算电势梯度并验证其与 电场强度的关系。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
静电屏蔽在日常生活中也有很多应用，如手机、电视等电 子产品的外壳都采用了静电屏蔽设计，以降低外界电磁干 扰对设备性能的影响。
05
电场强度和电势梯度的 物理意义
电场强度的物理意义
描述电场对电荷的作用力
衡量电场能量密度
电场强度是描述电场对电荷作用力的 物理量，其大小表示单位电荷在电场 中受到的力。
电场强度的大小可以用来衡量电场的 能量密度，即单位体积内的电场能量。
决定电场力的方向
电场强度的方向与正电荷所受电场力 的方向相同，与负电荷所受电场力的 方向相反。
电势梯度的物理意义
描述电场力做功的能力
电势梯度表示电场力做功的能力，即电荷在电场中移动时，电场 力所做的功与电荷移动的距离的比值。
决定电荷移动的方向
在静电场中，电荷受到电场力的作用而移动，其移动的方向与电势 梯度的方向一致。
详细描述
电势梯度表示电场中某一点处电势值的变化趋势，其大小等 于该点处单位距离内电势的变化量。在三维空间中，电势梯 度是一个矢量，其大小等于电场强度在该方向的分量，方向 指向电势增加的方向。
电势梯度的计算
总结词
电势梯度的计算涉及到矢量运算和导数概念。
详细描述
在直角坐标系中，电势梯度可以通过对电势函数求偏导数得到。具体地，假设电势函数为 (V(x, y, z))，则电势梯 度为 (nabla V = frac{partial V}{partial x}i + frac{partial V}{partial y}j + frac{partial V}{partial z}k)，其中 (i, j, k) 分别表示沿 (x, y, z) 轴方向的单位矢量。
10电场强度与电势梯度
dV E dl
Exi Ey j Ezk dxi dyj dzk
Ex dx E y dy Ez dz
而电势是空间坐标的函数，故其全微分为 dV V dx V dy V dz x y z
电场强度与电势梯度
Ex
V x
i
Ey
V y
j
Ez
V z
k
E
V x
i
V y
j
V z
k
（ x
i
y
j k）V z
x
i
y
j
z
k梯度电场强度等于来自势梯度的负值E gradV V
电场强度与电势梯度
一、等势面 电场中电势相等的点所构成的面.
1、电荷沿等势面移动时，电场力做功为零.
Wab q(Va Vb ) 0
2、电场强度与等势面正交，且指向电势降低的
方向.
W q(V V )=0
a、b等势 ab
ab
b
Wab
qE dl =0
a
E dl
a b
电场强度与电势梯度
a、b不等势
b
b
Uab a E dl Uba Vb Va a dV a dl b
b
b
E
a E dl a dV E dl dV
3、规定电场中任意两个相
点电荷的电场线与等势面
邻的等势面之间的电势差都
相等 -
等势面越密的地方，电场
强度越大.
二、电场强度与电势梯度
电场强度与电势梯度
电势能增量=电场力作功负值
电势电场强度与电势梯度
电势梯度与电场强度、电势的关系
01
02
电势梯度、电场强度和电势之间 存在密切的联系。
电势梯度的方向与电场强度的方 向一致，即负电荷受到的电场力
方向。
电势梯度等于该点处电场强度的 大小乘以该点到无穷远处的距离 。
03
电势梯度的计算需要用到高阶导 数，因此在实际应用中需要精确
测量电场强度和电势的变化。
04
04 实例分析
均匀电场中电场强度、电势与电势梯度的关系
01
02
03
电场强度
在均匀电场中，电场强度 是恒定的，其大小和方向 不随位置的变化而变化。
电势
在均匀电场中，电势随位 置线性变化，且变化率等 于电场强度。
电势梯度
在均匀电场中，电势梯度 等于电场强度。
非均匀电场中电场强度、电势与电势梯度的关系
电势梯度的方向与电场强度的 方向一致，即负电荷受到的电 场力方向。
电势梯度的计算方法
计算公式：▽φ = -E
在直角坐标系中，▽φ可以表示为▽φ = ∂/∂x + ∂/∂y + ∂/∂z。
其中E表示电场强度矢量，▽表示哈密顿算子。
在球坐标系中，▽φ可以表示为▽φ = 1/r * ∂/∂r + r/sinθ * ∂/∂θ + r/sinθ * ∂/∂φ。
电平面的电荷密度，ε0为真空中的介电常数。
电场强度与电势的关系
电场强度与电势没有直接关系，它们是描述电场 的两个不同方面。
在匀强电场中，沿着电场线方向，电势逐渐降低， 而电场强度保持不变。
在非匀强电场中，电场强度和电势的变化情况较 为复杂，需要具体分析。
02 电势
电势的定义
01 静电场中某点的电势定义为单位正电荷在该点所 具有的势能。
电场强度和电势梯度的关系
E V
电场中任一点的电场强度等于该点电势梯度 的负值
——电场强度与电势的微分关系
电场中某点的场强仅与该点电势的空间变化率 有关，与该点电势值本身无直接关系
电场强度的单位可以用 V/m 来表示 提供一种计算场强的方法
9.5 电场强度和电势梯度的关系
例题 试由电偶极子电场的电势分布 求电偶极子的电场强度
小结
一、等势面
二、等势面与电场线的关系
三、电势与电场强度的关系
积分关系 微分关系
Q
U PQ VP VQ
E dl
P
E V gradV
演示程序：点电荷的等势面 演示程序：均匀带电球面的等势面 演示程序：电偶极子的等势面 演示程序：两个点电荷的等势面
9.5 电场强度和电势梯度的关系
我们的心脏附近 的等电势线（类似于 电偶极子）
9.5 电场强度和电势梯度的关系
身体各部分的电势会随着心脏跳动而发生变化, 记录这个变化（电势差）就得到了心脏跳动的情况
lim V dV l0 l dl
E
A
l
B
V V
V
El
dV dl
El
V l
电场中某一点的电场强度沿任一方向的分量，
等于这一点沿该方向上电势变化率的负值
9.5 电场强度和电势梯度的关系
El
V l
E V ln
V
E
ln
enΒιβλιοθήκη 电势梯度V lnen
E
A
l
B
V V
V
大小等于电势沿等势面法向的空间变化率
E dl
P
E V gradV
9.5 电场强度和电势梯度的关系
概念检测
已知某电场的电场线分布情况如图所示．现观 察到一负电荷从M点移到N点．有人根据这个图作 出下列几点结论，其中哪点是正确的？
电场中任一点的电场强度等于该点电势梯度 的负值
——电场强度与电势的微分关系
电场中某点的场强仅与该点电势的空间变化率 有关，与该点电势值本身无直接关系
电场强度的单位可以用 V/m 来表示 提供一种计算场强的方法
9.5 电场强度和电势梯度的关系
例题 试由电偶极子电场的电势分布 求电偶极子的电场强度
小结
一、等势面
二、等势面与电场线的关系
三、电势与电场强度的关系
积分关系 微分关系
Q
U PQ VP VQ
E dl
P
E V gradV
演示程序：点电荷的等势面 演示程序：均匀带电球面的等势面 演示程序：电偶极子的等势面 演示程序：两个点电荷的等势面
9.5 电场强度和电势梯度的关系
我们的心脏附近 的等电势线（类似于 电偶极子）
9.5 电场强度和电势梯度的关系
身体各部分的电势会随着心脏跳动而发生变化, 记录这个变化（电势差）就得到了心脏跳动的情况
lim V dV l0 l dl
E
A
l
B
V V
V
El
dV dl
El
V l
电场中某一点的电场强度沿任一方向的分量，
等于这一点沿该方向上电势变化率的负值
9.5 电场强度和电势梯度的关系
El
V l
E V ln
V
E
ln
enΒιβλιοθήκη 电势梯度V lnen
E
A
l
B
V V
V
大小等于电势沿等势面法向的空间变化率
E dl
P
E V gradV
9.5 电场强度和电势梯度的关系
概念检测
已知某电场的电场线分布情况如图所示．现观 察到一负电荷从M点移到N点．有人根据这个图作 出下列几点结论，其中哪点是正确的？
10_1电场强度和电势梯度.ppt
作球形高斯面
S2
S2 E2 dS
S2 E2dS E2
dS
S2
E2
4π
r2
q ε0
E2
q 4 π ε0r2
(R3 r R2 )
Rq1
S2 q
S1 A
R3
r
R2
R1
10-1 静电场中的导体
作球形 高斯面S3
S3 E3 dS
S3 E3dS E3
dS
S3
E34 π r2
S4
R1
且
E面
//
en
en
表面各点法线方向
E
10-1 静电场中的导体
4 推论： 导体为等势体 VA VC
导体内各点电势相等
E 0
U AB
E dl
AB
0
VA VB
导体表面为等势面
E dl
UCD
E dl
CD
0
VC VD
en
E
dl
+
+A
+C +D +
B
eτ
+
10-1 静电场中的导体
(R3 r R2 )
E3 0
(R1 r R2)
E4
4
2q π ε0r2
(r R1)
2q
q
q
R3
R2
R1
10-1 静电场中的导体
Vo
E dl
0 R3
0 R1
R2
E1 E3
dl
dl
R2
R3
E2
dl
R1 E4 dl
R2
q
dr
2q
电场场强与电势梯度
5－8
一、等势面
电场场强与电势梯度
1 2
1、定义
电场中电势相等的点所构成的面，叫做等势 3
面。即V(x,y,z)=C，的空间曲面称为等势面。
n
等势面上的任一曲线叫做等势线。
2、等势面的性质
•在等势面上移动电荷时，电场力不作功；
N
dl
E
•证除电明场：强因度为为将零单处位外正，电电荷场从线等与势等面势上面M正点交移。到N点，M
2圆
环
轴
线上
一
点R的o场
强
。
x
P
x
解：细圆环轴线上一点的电势为
E
＝－
x
V x
－
x 4 0
q x2 R2
1/ 2
4 0
qx x2 R2
3/2
E式y 中 R0为圆环的半径。因而轴线上一点的场强为
Ez 0
y
A
V＋＝
q
4 0
r
V－＝
q
4 0
r－
r r r
V V V ＝ q 1 1 q r r ＋添 加 标题 例题2，求电 4 r r 4 r r 偶极子电场中
一 点l的
方向的 这一点 方向单 势变化 这就是 电势之
场 分 的 位 率 电 间
A
1、沿任一方向的
分量
E
I
II
2、切向和法向分量
•等势面上任一点场强的切向分量为零
V
dV 0 dlt
Et 0
•法向分量(方向：dV
E
dln
dV
dln
电场中任一点的场强，等 于该点电势沿等势面法线 方向单位长度的变化率的 负值。
添加标题
一、等势面
电场场强与电势梯度
1 2
1、定义
电场中电势相等的点所构成的面，叫做等势 3
面。即V(x,y,z)=C，的空间曲面称为等势面。
n
等势面上的任一曲线叫做等势线。
2、等势面的性质
•在等势面上移动电荷时，电场力不作功；
N
dl
E
•证除电明场：强因度为为将零单处位外正，电电荷场从线等与势等面势上面M正点交移。到N点，M
2圆
环
轴
线上
一
点R的o场
强
。
x
P
x
解：细圆环轴线上一点的电势为
E
＝－
x
V x
－
x 4 0
q x2 R2
1/ 2
4 0
qx x2 R2
3/2
E式y 中 R0为圆环的半径。因而轴线上一点的场强为
Ez 0
y
A
V＋＝
q
4 0
r
V－＝
q
4 0
r－
r r r
V V V ＝ q 1 1 q r r ＋添 加 标题 例题2，求电 4 r r 4 r r 偶极子电场中
一 点l的
方向的 这一点 方向单 势变化 这就是 电势之
场 分 的 位 率 电 间
A
1、沿任一方向的
分量
E
I
II
2、切向和法向分量
•等势面上任一点场强的切向分量为零
V
dV 0 dlt
Et 0
•法向分量(方向：dV
E
dln
dV
dln
电场中任一点的场强，等 于该点电势沿等势面法线 方向单位长度的变化率的 负值。
添加标题
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相等吗？
例1 求一均匀带电细圆环轴线上任一点的电场强度。
解 V
q
y
40 (x2 R2 )1 2
E V
qR
r
P
E
Ex
V x
ox
x
z
x410
(x2
q R2)12
1
qx
40 (x2 R2)32
例2 求电偶极子电场中任意一点V的电势和电场强度。
解
V
1
4 0
q r
y
A
V
1
4 0
q r
r r r
解 电子在A点的电势能为
ep
Ep
eV
40
r2
o Hp A
e1.601019C
H
E p 41 .6 8 0 .8 5 1 0 1 1 0 9 1 2(6 5 .2 1 0 1 0 1 0 3 )0 2 3 .5 7 1 0 2 0J
与气体分子热运动能量比较
TE p 3.5710 20K2.59103K k 1.3810 23
电子在分子电偶极子电场中所受的力为
F
eE
2e
40
p x3
2 1 .6 0 1 0 1 9 6 .2 1 0 3 01 .4 3 1 0 1 0N
4 8 .8 5 1 0 1 2(5 1 0 1 0)3
a m F 1 9 ..4 1 3 1 1 1 0 0 1 3 0 1m s 2 1 .5 7 1 0 2 0m s 2
V V V q r r
4 0 r r
q o q x
r0
r0 r
r r r 0 c o s r r r 2
y V q r r q r0 cos
40 rr 4 0 r2
A
1 p cos
4 0 r2
即 V 1 pcos 40 r2
0
V
1
40
p r2
V410ຫໍສະໝຸດ p r2r r r
E E n E t E t 0E
En
dV dln
en
可见：电场强度大小等于电势梯度的负值，
方向由高电势指向第电势处。
⑴
电场强度沿任意方向的分量：E l
dV dl
El Ecos(E,l)Ecos
(gradV)l ddVln cos
dldln EnEl
⑵ 直角坐标系中
Ex V x Ey V y Ez V z
v a t 1 . 5 7 1 0 2 0 1 0 1 4 m s - 1 1 . 5 7 1 0 6 m s - 1
2p 1 y0 E
40 x3
A点在电偶极矩的中垂线上时：
x0 E p 1
40 y3
y
A
r r r
q o q x
r0
例3 如图所示，水分子可以近似看作为电偶极矩
p=6.2×10-30C·m 的电偶极子。有一电子放在电 偶极矩的延长线、距电偶极矩中心O为5×10-10m
的点A上。求电子的势能和作用在电子上的力。
q o q x
r0
V 0
2
用A点的坐标x,y写成：
p
x
V
40 (x2 y2)3/2
yA
V p y22x2
Exx40(x2y2)5/2
r r r
x Ey V y4p0(x2 3xyy2)5/2
q
o
r0
q
p(4x2y2)1/2
EE x 2E y 24 0 (x2y2)2
A点在电偶极矩的延长线上时：
q
q
⑶ 两平行带电平板的电场线和等势面
++++++++++++++++
二 电场强度与电势梯度 1 电势沿任意方向的增加率
B l A
UAB （ VBVA） El E l
Elcos
E
E c o s E l V V B V A VV V
VEll 即 El V l
△l→0时有
V dV
El lil m0 l
电场强度与梯度优秀课件
静电场中电荷沿等势面移动时，电场力作功
W a b q 0 ( V a V b ) a b q 0 E d l 0
q 0 0E 0d l 0 Edl
② 等势面密集的地方电场强度大，稀疏的地方电 场强度小。
2 几种电荷分布的电场线
与等势面
⑴ 点电荷的电场线与等势面
q
⑵ 一对等量异号点电荷的电场线和等势面
E （ ViVjVk) grad V x y z
电场强度与电势梯度关系的物理意义 ① 空间某点电场强度的大小取决于该点领域内
电势V的空间变化率。 ② 电场强度的方向恒指向电势降落的方向。
讨论 ⑴ 电场弱的地方电势低；电场强的地方电势高吗？
⑵ V=0地方， E 0 吗？
⑶ E 相等的地方，V一定相等吗？等势面上 E 一定
dV0 Et 0
⑵ 沿法向
En
dV d ln
dV dln
0
时
E
0
V
V V
E 的方向总是由高电
势指向低电势，即 E 与
e n 反向。则有：E n
dV dln
en
et
dl
A en
d ln
E 低高
电电 势势
式中
d d
V ln
en
称为电势在该电的电势梯度，记作
grad V
dV dln
en
3 电场强度与电势梯度的关系
dl
电场中某一点的电场强度沿某一方向的分量，
等于这一点的电势沿该方向单位长度上电势变
化率的负值。
电场强度的单位也用V/m。 V
2 电势梯度
显然电势沿不同方向 V V
的单位长度增量是不同的，
et
dl
A en
d ln
现讨论两个特殊方向上的
E 低高
情况：切向和法向。
电电 势势
⑴ 沿切向Et d dV lt
例1 求一均匀带电细圆环轴线上任一点的电场强度。
解 V
q
y
40 (x2 R2 )1 2
E V
qR
r
P
E
Ex
V x
ox
x
z
x410
(x2
q R2)12
1
qx
40 (x2 R2)32
例2 求电偶极子电场中任意一点V的电势和电场强度。
解
V
1
4 0
q r
y
A
V
1
4 0
q r
r r r
解 电子在A点的电势能为
ep
Ep
eV
40
r2
o Hp A
e1.601019C
H
E p 41 .6 8 0 .8 5 1 0 1 1 0 9 1 2(6 5 .2 1 0 1 0 1 0 3 )0 2 3 .5 7 1 0 2 0J
与气体分子热运动能量比较
TE p 3.5710 20K2.59103K k 1.3810 23
电子在分子电偶极子电场中所受的力为
F
eE
2e
40
p x3
2 1 .6 0 1 0 1 9 6 .2 1 0 3 01 .4 3 1 0 1 0N
4 8 .8 5 1 0 1 2(5 1 0 1 0)3
a m F 1 9 ..4 1 3 1 1 1 0 0 1 3 0 1m s 2 1 .5 7 1 0 2 0m s 2
V V V q r r
4 0 r r
q o q x
r0
r0 r
r r r 0 c o s r r r 2
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即 V 1 pcos 40 r2
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V
1
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p r2
V410ຫໍສະໝຸດ p r2r r r
E E n E t E t 0E
En
dV dln
en
可见：电场强度大小等于电势梯度的负值，
方向由高电势指向第电势处。
⑴
电场强度沿任意方向的分量：E l
dV dl
El Ecos(E,l)Ecos
(gradV)l ddVln cos
dldln EnEl
⑵ 直角坐标系中
Ex V x Ey V y Ez V z
v a t 1 . 5 7 1 0 2 0 1 0 1 4 m s - 1 1 . 5 7 1 0 6 m s - 1
2p 1 y0 E
40 x3
A点在电偶极矩的中垂线上时：
x0 E p 1
40 y3
y
A
r r r
q o q x
r0
例3 如图所示，水分子可以近似看作为电偶极矩
p=6.2×10-30C·m 的电偶极子。有一电子放在电 偶极矩的延长线、距电偶极矩中心O为5×10-10m
的点A上。求电子的势能和作用在电子上的力。
q o q x
r0
V 0
2
用A点的坐标x,y写成：
p
x
V
40 (x2 y2)3/2
yA
V p y22x2
Exx40(x2y2)5/2
r r r
x Ey V y4p0(x2 3xyy2)5/2
q
o
r0
q
p(4x2y2)1/2
EE x 2E y 24 0 (x2y2)2
A点在电偶极矩的延长线上时：
q
q
⑶ 两平行带电平板的电场线和等势面
++++++++++++++++
二 电场强度与电势梯度 1 电势沿任意方向的增加率
B l A
UAB （ VBVA） El E l
Elcos
E
E c o s E l V V B V A VV V
VEll 即 El V l
△l→0时有
V dV
El lil m0 l
电场强度与梯度优秀课件
静电场中电荷沿等势面移动时，电场力作功
W a b q 0 ( V a V b ) a b q 0 E d l 0
q 0 0E 0d l 0 Edl
② 等势面密集的地方电场强度大，稀疏的地方电 场强度小。
2 几种电荷分布的电场线
与等势面
⑴ 点电荷的电场线与等势面
q
⑵ 一对等量异号点电荷的电场线和等势面
E （ ViVjVk) grad V x y z
电场强度与电势梯度关系的物理意义 ① 空间某点电场强度的大小取决于该点领域内
电势V的空间变化率。 ② 电场强度的方向恒指向电势降落的方向。
讨论 ⑴ 电场弱的地方电势低；电场强的地方电势高吗？
⑵ V=0地方， E 0 吗？
⑶ E 相等的地方，V一定相等吗？等势面上 E 一定
dV0 Et 0
⑵ 沿法向
En
dV d ln
dV dln
0
时
E
0
V
V V
E 的方向总是由高电
势指向低电势，即 E 与
e n 反向。则有：E n
dV dln
en
et
dl
A en
d ln
E 低高
电电 势势
式中
d d
V ln
en
称为电势在该电的电势梯度，记作
grad V
dV dln
en
3 电场强度与电势梯度的关系
dl
电场中某一点的电场强度沿某一方向的分量，
等于这一点的电势沿该方向单位长度上电势变
化率的负值。
电场强度的单位也用V/m。 V
2 电势梯度
显然电势沿不同方向 V V
的单位长度增量是不同的，
et
dl
A en
d ln
现讨论两个特殊方向上的
E 低高
情况：切向和法向。
电电 势势
⑴ 沿切向Et d dV lt