2017,1西城高一数学期末答案

北京市西城区2017-2018学年下学期高一年级期末考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.，两点之间的距离为A. B. 4 C. D. 5【答案】C【解析】解：，两点之间的距离为．故选：C．根据两点间的距离公式计算即可．本题考查了求两点间的距离公式应用问题，是基础题．2.直线的倾斜角为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：直线的斜率，设直线的倾斜角为，则，即．故选：A．由直线方程求直线的斜率，再由直线的斜率等于倾斜角的正切值求解．本题考查由直线方程求直线的斜率，考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．3.直线与直线l关于y轴对称，则直线l的方程为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由点关于y轴的对称点为，可得直线关于y轴对称的直线l的方程为：，故选：B．运用点关于y轴的对称点为，只要将已知直线方程中的x换为，y不变，可得所求直线方程．本题考查直线关于y轴对称的直线方程求法，注意运用点关于y轴的对称点为，同时还要熟记点关于原点对称的特点、以及点关于x轴对称的特点和关于直线，的特点，考查变换能力，属于基础题．4.已知圆M：与圆N：，则两圆的位置关系是A. 相交B. 相离C. 内切D. 外切【答案】C【解析】解：圆M：的圆心为，半径为；圆N：的圆心为，半径为；，两圆的位置关系是内切．故选：C．根据两圆的圆心距与半径的关系，判断两圆的位置关系本题考查了两圆位置关系的判断问题，是基础题5.设m，n为两条不重合的直线，，为两个不重合的平面，m，n既不在内，也不在内则下列结论正确的是A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】B【解析】解：由m，n为两条不重合的直线，，为两个不重合的平面，m，n既不在内，也不在内，知：在A中，若，，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若，，则由线面平行的判定定理得，故B正确；在C中，若，，则由线面垂直的性质定理得m与n平行，故C错误；在D中，若，，则由面面平行的判定定理得，故D错误．故选：B．在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，由线面平行的判定定理得；在C中，由线面垂直的性质定理得m与n平行；在D中，由面面平行的判定定理得．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．6.若方程表示圆，则实数k的取值范围是A. B. C. D. R【答案】A【解析】解：由方程可得，此方程表示圆，则，解得．故实数k的取值范围是．故选：A．由方程配方可得，此方程表示圆，则，解得即可．思路掌握配方法、圆的标准方程是解题的关键．7.圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，那么这个圆柱的体积是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：如图所示，圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，则圆柱的高为，底面圆的周长为，解得，圆柱的体积是．故选：A．由题意求出圆柱的高和底面圆半径，再求圆柱的体积．本题考查了圆柱的侧面展开图和体积的计算问题，是基础题．8.方程表示的图形是A. 两个半圆B. 两个圆C. 圆D. 半圆【答案】D【解析】解：由，两边平方得．方程故选：D．把已知方程两边平方，结合x的范围得答案．本题考查曲线方程，是基础题．9.如图，四棱锥的底面ABCD是梯形，，若平面平面，则A.B.C. l与直线AB相交D. l与直线DA相交【答案】D。

北京市西城区2017 — 2018学年度第二学期期末试卷高一数学试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷[立体几何初步与解析几何初步] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.关于y轴对称，则直线的方程为（）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11.已知点(,2)A m -，(3,0)B ，若直线AB 的斜率为12，则m =_____. 12.若直线1:280l ax y +-=与直线2:0l x y -=平行，则a =______.13.已知某三棱柱的三视图如图所示，那么该三棱柱最大侧面的面积为______.14.已知直线y kx k =+过定点，则定点的坐标为______.15.在直三棱柱111ABC A B C -中，D 为1AA 中点，点P 在侧面11BCC B 上运动，当点P 满足 条件_______________时，1//A P 平面BCD . （答案不唯一，填一个满足题意的条件即可）16. 如图，矩形ABCD 中AB 边与x 轴重合，(2,2)C ，(1,2)D -. 从原点O 射出的光线OP 经BC 反射到CD 上，再经CD 反射到AD 上点Q 处.正（主）视图A DA ′①若OP 的斜率为12，则点Q 的纵坐标为______； ②若点Q 恰为线段AD 中点，则OP 的斜率为______.三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，且2P A A D ==，点E 为线段PD 的中点. （Ⅰ）求证：//PB 平面AEC ； （Ⅱ）求证：AE ⊥平面PCD ； （Ⅲ）求三棱锥A PCE -的体积.18．（本小题满分12分）已知直线:8l y x =-+与x 轴相交于点A ，点B 坐标为(0,4)-，过点B 作直线l 的垂线，交直线l 于点C .记过A 、B 、C 三点的圆为圆M . （Ⅰ）求圆M 的方程；（Ⅱ）求过点C 与圆M 相交所得弦长为8的直线方程.19．（本小题满分12分）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 是棱AB 上的动点，F 是棱1CC 上一点，1:1:2CF FC =.（Ⅰ）求证：111B D A F ⊥；（Ⅱ）若直线1A F ⊥平面11B D E ，试确定点E 的位置，并证明你的结论；（Ⅲ）设点P 在正方体的上底面1111A B C D 上运动，求总能使BP 与1A F 垂直的点P 所形成的轨A BCDPE迹的长度．（直接写出答案）B 卷 [学期综合]本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上. 1．在区间[2,4]-内随机选取一个实数x ，则[1,3]x ∈的概率为_____．2．如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组各四名工人1天加工的零件数，且甲、乙两组工人平均每人加工零件的个数相同，则m =_____；甲、乙两组工人加工零件数方差较大的一组的方差为______.3．从1,2,3,4这四个数中一次随机选取两个数，所取两个数之和不小于5的概率为_____． 4．一艘货船以15km /h 的速度向东航行，货船在A 处看到一个灯塔P 在北偏东60方向上，行驶4小时后，货船到达B 处，此时看到灯塔P 在北偏东15方向上，这时船与灯塔的距离为_____km ．5．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知△ABC 面积S 满足12S ≤≤，且1sin sin sin 8A B C =. 给出下列结论： ①16abc ≥； ②228a b ab +>； ③32ab <；D BCA 1B 1C 1D 1 AEF甲乙9 8 1 92 1 2 0 0 m其中正确结论的序号是_____．（写出所有正确结论的序号）二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分8分）在某地区高二年级的一次英语口语测试中，随机抽取M 名同学的成绩，数据的分组统计表如下：（Ⅰ）求出表中,,,m n M N 的值；（Ⅱ）根据上表，请在答题纸中给出的坐标系中完整画出频率分布直方图；（Ⅲ）若该地区高二年级学生有5000人，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计这次测试中该地区高二年级学生的平均分数及分数在区间(60,90]内的学生人数．7．（本小题满分10分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c.b =4B π=. （Ⅰ）若3a =，求sin A 及sin C 的值； （Ⅱ）若△ABC 的面积等于1，求a 的值．8．（本小题满分12分）已知圆22:(3)25C x y +-=与x 轴的负半轴相交于点M . （Ⅰ）求点M 的坐标及过点M 与圆C 相切的直线方程；（Ⅱ）一般把各边都和圆相切的三角形叫做圆的外切三角形.记圆C 的外切三角形为△DEF ，且(5,2)D --，(,2)(5)E t t ->.试用t 表示△DEF 的面积；（Ⅲ）过点M 作,MA MB 分别与圆相交于点,A B ，且直线,MA MB 关于x 轴对称，试问直线AB的斜率是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由.北京市西城区2017— 2018学年度第二学期期末试卷 高一数学参考答案及评分标准2018.7A 卷[立体几何初步与解析几何初步] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.C ′B ′ A′P二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 11.1-12.2-14. (1,0)-15.P 是1CC 中点，等16.33,25注：第16题每空两分.三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：连结BD ，交AC 于点O ，连结OE .因为O 是正方形ABCD 对角线交点，所以O 为BD 中点， 由已知E 为线段PD 的中点， 所以//PB OE .…………………2分 又OE ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE ，所以//PB 平面ACE .…………………5分 （Ⅱ）证明：因为PA AD =，E 为线段PD 的中点，所以AE PD ⊥，…………………6分 因为PA ⊥平面ABCD ， 所以PA CD ⊥，…………………7分 在正方形ABCD 中，CD AD ⊥， 又PA AD A =I ，所以CD ⊥平面PAD ，…………………8分又AE ⊂平面PAD ，所以CD AE ⊥，…………………9分 又PD CD D =I ，所以AE ⊥平面PCD ，…………………10分（Ⅲ）因为AE ⊥平面PCD ，所以三棱锥A PCE -的体积.13PCE V S AE =⋅V 11112232323PE CD AE =⨯⋅⋅=⨯. …………………12分18.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由已知(8,0)A ，依题意，圆M 的圆周角90ACB ∠=，所以过A 、B 、C 三点的圆M 即为以AB 为直径的圆.…………………3分ABCDPEO所以，圆M 的圆心为AB 的中点(4,2)-.因为AB ==M的半径为5分所以圆M 的方程为22(4)(2)20x y -++=. …………………6分 （Ⅱ）因为所求直线与圆M 相交所得弦长为8，由垂径定理，圆M2=.…………………7分 易知，直线6x =满足题意.…………………8分 由已知，直线:4AC y x =-，解4,8y x y x =-⎧⎨=-+⎩得点C 的坐标为(6,2)C . …………………9分设斜率存在且满足题意的直线方程为2(6)y k x -=-，即620kx y k --+=. 则圆心(4,2)-到直线620kx y k --+==，……10分令2=，解得34k =. …………………11分 所以，所求直线方程为6x =和34100x y --=. …………………12分19.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：连结11AC .1111A B C D 是正方形，所以1111B D A C ⊥. …………………1分在正方体1111ABCD A B C D -中，1CC ⊥平面1111A B C D ， 所以111CC B D ⊥， …………………2分 又1111CC A C C =I ，所以11B D ⊥平面11AC C ， …………………3分 因为1A F ⊂平面11AC C ，所以11B D ⊥1A F . …………………4分 （Ⅱ）当:1:2AE EB =时，直线1A F ⊥平面11D B E .…5分证明如下：过点F 在平面11BCC B 作//FG BC 交1BB 于点G ， 连结1A G ，交1B E 于点H ，因为1:1:2CF FC =，所以1:1:2BG GB =，DBC A 1B 1C 1D 1AF G H在11Rt A B G △与1Rt B BE △中，1B G BE =，111A B B B =， 所以111A B G B BE ≅△△，111B A G BB E ∠=∠.又111190B AG AGB ∠+∠=，所以11190BB E AGB ∠+∠=. 所以190B HG ∠=o ，11A G B E ⊥.…………………7分 在正方体1111ABCD A B C D -中，CB ⊥面11ABB A ， 所以FG ⊥面11ABB A ， 所以1FG B E ⊥， 又1AG FG G =I ，所以1B E ⊥面1A FG ，…………………8分 所以1B E ⊥1A F .又11B D ⊥1A F ，1111B D B E B =I ，所以直线1A F ⊥平面11B D E .…………………9分. …………………12分B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 1.13 2.1，2.5 3.234.②③. 注：第5题少选得2分，多选、错选不得分.第2题每空2分. 二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6.（本小题满分8分） 解：（Ⅰ）1N =. 因为20.02M=，所以100M =． 从而100(23123815)30m =-++++=， 0.30mn M==．…………………4分 （Ⅱ）直方图如下：分数…………………6分（Ⅲ）平均分约为450.02550.04650.12750.38850.30950.1578.6⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．该地区高二年级同学分数在区间(60,90]内的人数约为5000(0.120.380.30)4000⨯++=（人）．…………………8分7.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）在△ABC 中，3a =，b =4B π=，sin sin a bA B=.所以sin sin4a A B b π===. …………………2分当A 为锐角时，cos A =sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+…………………3分=+=…………………4分当A 为钝角时，cos A =，sin C =…………………5分（Ⅱ）△ABC 的面积1sin 24ABC S ac ∆π==，1=. …………① …………………7分 在ABC ∆中，2222cos 4b ac ac π=+-， …………………9分所以225a c =+. …………②由①得c =22854a a=+-， 所以42980a a -+=.解得1a =或a =. …………………10分8.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）点M 的坐标为(4,0)-. …………………1分直线CM 的斜率3030(4)4CM k -==--，…………………2分所以过点M 圆C 的切线斜率43k =-，所以，过点M的切线方程为40[(4)]3y x-=---，即43160x y++=. …………3分（Ⅱ）已知(5,2)D--，所以直线DF方程为5x=-.设直线EF的斜率为k，则直线EF方程为()2y k x t=--，即20kx y kt---=.5=，所以22(25)100t k tk-+=，解得0k=（舍）或21025tkt-=-，…………………5分所以直线EF方程为210()225ty x tt-=---.当5x=-时，210810(5)2525t ty ttt-+=---=--.…………………6分所以810(5,)5tFt+--，所以△DEF的面积18105(5)(5)(2)255DEFt t tS tt t∆++=⋅+⋅+=--，（5t>）.…………7分（Ⅲ）解法一（解析法）：设点(,),(,)A AB BA x yB x y，设直线MA的方程为：4x my=-.由224,(3)25x myx y=-⎧⎪⎨+-=⎪⎩得22(1)(86)0m y m y+-+=.所以2861Amym++=+，2861Amym+=+. …………8分所以2861Bmym-+=+，…………………9分所以2161A Bmy ym-=+.又直线MB的方程为4x my=--，所以4A Ax my=-，4B Bx my=--，212()1A B A B A Bmx x my my m y ym-=+=+=+.…………………11分所以直线AB的斜率2216411231A BABA Bmy y mkmx xm-+===-+.即直线AB的斜率为定值，其值为43. …………………12分注：其他解法相应给分.解法二（几何法）：如图，设圆与x 轴的正半轴相交于点M '.由,MA MB 关于x 轴对称可知，AM M BM M ''∠=∠，所以M '为»AB 的中点，连结CM '，则CM AB '⊥， 因为直线CM '的斜率303044CM k '-==--， 所以43AB k =. 即直线AB 的斜率为定值，其值为43. 附：B 卷5. 略解：因为1sin sin sin 8A B C =， 所以111sin sin sin 888ab bc ca A B C ab bc ca ⋅⋅=⨯⋅⋅； 所以222364a b c S =.因为12S ≤≤，所以2221864a b c ≤≤，8abc ≤≤所以①不正确.因为22()8a b ab ab a b abc +=+>≥. 所以②正确. 因为1sin sin sin 8A B C =，所以1sin 8C >，所以111sin 282ab C ab >⨯， 所以16ab S <，所以32ab <.所以③正确.。

北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2017.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|02}A x x =<<，2{|10}B x x =-≤，那么AB =（A ）{|01}x x <≤ （B ）{|12}x x -<≤ （C ）{|10}x x -<≤（D ）{|12}x x <≤2．下列函数中，定义域为R 的奇函数是（A ）21y x =+（B ）tan y x = （C ）2xy =（D ）sin y x x =+3．已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点是(2,0)，则其渐近线的方程为（A ）0x ±= （B 0y ±= （C ）30x y ±=（D ）30x y ±=4．在极坐标系中，过点(2,)6P π且平行于极轴的直线的方程是（A ）sin 1=ρθ （B ）sin =ρθ（C ）cos 1=ρθ（D ）cos =ρθ5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的四个侧面的面积中最大的是 （A ）3（B ）（C ）6（D ）6．设,a b 是非零向量，且≠±a b ．则“||||=a b ”是“()()+⊥-a b a b ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件7．实数,x y 满足3,0,60.x x y x y ⎧⎪+⎨⎪-+⎩≤≥≥若z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，则a的取值范围是 （A ）[1,0]- （B ）[0,1]（C ）[1,1]-（D ）(,1][1,)-∞-+∞8．在空间直角坐标系O xyz -中，正四面体P ABC -的顶点A ，B 分别在x 轴，y 轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则||OP 的取值范围是 （A）1] （B ）[1,3] （C）1,2] （D）1]第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．复数1i1i+=-____．10．设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =，34a =，则n a =____；6S =____．11．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为____．12．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若3c =，3C π=，sin 2sin B A =，则a =____．13．设函数30,()log ,,x a f x x x a =>⎪⎩≤≤ 其中0a >．① 若3a =，则[(9)]f f =____；② 若函数()2y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是____．14．10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的45．则第二名选手的得分是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2π()sin(2)2cos 16f x x x ωω=-+-(0)ω>的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求()f x 在区间7π[0,]12上的最大值和最小值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ， 90BAD ︒∠=，PA PD =，AB PA ⊥，2AD =，1AB BC ==．（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若E 为PD 的中点，求证：//CE 平面PAB ； （Ⅲ）若DC 与平面PAB 所成的角为30︒，求四棱锥P ABCD -的体积．17．（本小题满分13分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A ，B 两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A ，B 两个型号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：其中，a ，b 是正整数，且a b <．（Ⅰ）该卖场有56台A 型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数； （Ⅱ）从A 型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数为X ，求X 的分布列；（Ⅲ）设A ，B 两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出a ，b 的值（结论不要求证明）．18．（本小题满分13分）已知函数()ln sin (1)f x x a x =-⋅-，其中a ∈R ．（Ⅰ）如果曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-，求a 的值； （Ⅱ）如果()f x 在区间(0,1)上为增函数，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知直线:l x t =与椭圆22:142x y C +=相交于A ，B 两点，M 是椭圆C 上一点．（Ⅰ）当1t =时，求△MAB 面积的最大值；（Ⅱ）设直线MA 和MB 与x 轴分别相交于点E ，F ，O 为原点．证明：||||OE OF ⋅为定值．20．（本小题满分13分）数字1,2,3,,(2)n n ≥的任意一个排列记作12(,,,)n a a a ，设n S 为所有这样的排列构成的集合．集合12{(,,,)|n n n A a a a S =∈任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有}i j a i a j --≤；集合12{(,,,)|n n n B a a a S =∈任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有}i j a i a j ++≤．（Ⅰ）用列举法表示集合3A ，3B ； （Ⅱ）求集合nn A B 的元素个数；（Ⅲ）记集合n B 的元素个数为n b ．证明：数列{}n b 是等比数列．北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2017.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．B 4．A 5．C 6．C 7．C 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．i 10．12n -；63 11． 3-12 13[4,9) 14．16 注：第10，13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()sin(2)(2cos 1)6f x x x ωω=-+-ππ(sin 2coscos 2sin )cos 266x x x ωωω=-+ [4分]12cos 22x x ωω=+ πsin(2)6x ω=+， [ 6分]所以()f x 的最小正周期 2ππ2T ω==, 解得 1ω=． [ 7分] （Ⅱ）由（Ⅰ）得 π()sin(2)6f x x =+．因为 7π12x ≤≤0，所以 ππ4π2663x +≤≤． [ 9分] 所以，当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值为1； [11分]当π4π263x +=，即7π12x =时，()f x 取得最小值为2-． [13分]解：（Ⅰ）因为90BAD ∠=，所以AB AD ⊥， [ 1分]又因为 AB PA ⊥，所以 AB ⊥平面PAD ． [ 3分] 所以 平面PAD ⊥平面ABCD ． [ 4分] （Ⅱ）取PA 的中点F ，连接BF ，EF ． [ 5分] 因为E 为PD 的中点，所以//EF AD ，12EF AD =，又因为 //BC AD ，12BC AD =，所以 //BC EF ，BC EF =．所以四边形BCEG 是平行四边形，//EC BF ． [7分]又 BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，所以//CE 平面PAB ． [ 8分] （Ⅲ）过P 作PO AD ⊥于O ，连接OC ．因为PA PD =，所以O 为AD 中点， 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ．如图建立空间直角坐标系O xyz -． [ 9分] 设PO a =．由题意得，(0,1,0)A ，(1,1,0)B ，(1,0,0)C ，(0,1,0)D -，(0,0,)P a ． 所以(1,0,0)AB −−→=，(0,1,)PA a −−→=-，(1,1,0)DC −−→=． 设平面PCD 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,AB PA −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n即0,0.x y az =⎧⎨-=⎩令1z =，则y a =．所以(0,,1)a =n ． [11分] 因为DC 与平面PAB 所成角为30，所以|1|cos ,|2||||DC DC DC −−→−−→−−→⋅〈〉===|n n n ， 解得 1a =． [13分]所以四棱锥P ABCD -的体积11121113322P ABCD ABCD V S PO -+=⨯⨯=⨯⨯⨯=．[14分]解：（Ⅰ）被检测的7台手机中有5台的待机时间不少于123小时，因此，估计56台A 型手机中有556407⨯=台手机的待机时间不少于123小时． [ 3分] （Ⅱ）X 可能的取值为0,1,2,3． [ 4分]4711(0)35C P X ===； 133447C C 12(1)35C P X ===； 223447C C 18(2)35C P X ===； 3447C 4(3)35C P X ===． [ 8分] 所以，X 的分布列为：[10分]（Ⅲ）若A ，B 两个型号被测试手机的待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机的待机时间的方差最小时，124a =，125b =． [13分]18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(0,)+∞， [ 1分]导函数为1()cos(1)f x a x x'=-⋅-． [ 2分] 因为曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-，所以 (1)1f '=-， 即 11a -=-， [ 3分] 所以 2a =． [ 4分] （Ⅱ）因为()f x 在区间(0,1)上为增函数，所以 对于任意(0,1)x ∈，都有1()cos(1)0f x a x x'=-⋅-≥． [ 6分] 因为(0,1)x ∈时，cos(1)0x ->，所以 11()cos(1)0cos(1)f x a x a x x x '=-⋅-⇔⋅-≤≥． [ 8分] 令 ()cos(1)g x x x =⋅-，所以()cos(1)sin (1)g x x x x '=--⋅-． [10分] 因为 (0,1)x ∈时，sin (1)0x -<，所以 (0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 在区间(0,1)上单调递增，所以()(1)1g x g <=． [12分] 所以 1a ≤．即a 的取值范围是(,1]-∞． [13分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）将1x =代入22142x y +=，解得2y =±， 所以||AB = [ 2分] 当M 为椭圆C 的顶点()2,0-时，M 到直线1x =的距离取得最大值3， [ 4分]所以 △MAB面积的最大值是2． [ 5分] （Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为(),A t n ，(),B t n -，从而 2224t n +=． [ 6分]设()00,M x y ，则有220024x y +=，0x t ≠，0y n ≠±． [ 7分]直线MA 的方程为 00()y ny n x t x t--=--， [ 8分] 令0y =，得000ty nx x y n -=-，从而 000ty nx OE y n-=-． [ 9分]直线MB 的方程为00()y ny n x t x t++=--， [10分] 令0y =，得000ty nx x y n +=+，从而 000ty nx OF y n+=+． [11分]所以000000=ty nx ty nx OE OF y n y n -+⋅⋅-+222200220=t y n x y n--()()222202204242=n y n y y n ---- [13分]22022044=y n y n -- =4．所以OE OF ⋅为定值． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）3{(1,2,3)}A =，3{(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)}B =． [ 3分] （Ⅱ）考虑集合n A 中的元素123(,,,,)n a a a a ．由已知，对任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有i j a i a j --≤， 所以 ()()i j a i i a j j -+<-+， 所以 i j a a <．由,i j 的任意性可知，123(,,,,)n a a a a 是1,2,3,,n 的单调递增排列，所以{(1,2,3,,)}n A n =． [ 5分]又因为当k a k =*(k ∈N ，1)k n ≤≤时，对任意整数,,1i j i j n <≤≤， 都有 i j a i a j ++≤． 所以 (1,2,3,,)n n B ∈， 所以 n n A B ⊆． [ 7分]所以集合nn A B 的元素个数为1． [ 8分]（Ⅲ）由（Ⅱ）知，0n b ≠．因为2{(1,2),(2,1)}B =，所以22b =．当3n ≥时，考虑n B 中的元素123(,,,,)n a a a a ．（1）假设k a n =(1)k n <≤．由已知，1(1)k k a k a k ++++≤， 所以1(1)1k k a a k k n ++-+=-≥， 又因为11k a n +-≤，所以11k a n +=-． 依此类推，若k a n =，则11k a n +=-，22k a n +=-，…，n a k =．① 若1k =，则满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1个． ② 若2k =，则2a n =，31a n =-，42a n =-，…，2n a =． 所以 11a =．此时 满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1个． ③ 若2k n <<，只要1231(,,,)k a a a a -是1,2,3,,1k -的满足条件的一个排列，就可以相应得到1,2,3,,n 的一个满足条件的排列．此时，满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1k b -个． [10分]（2）假设n a n =，只需1231(,,,)n a a a a -是1,2,3,,1n -的满足条件的排列，此时 满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1n b -个． 综上 23111n n b b b b -=+++++，3n ≥． 因为 3221142b b b =++==，且当4n ≥时，23211(11)2n n n n b b b b b b ---=++++++=， [12分] 所以 对任意*n ∈N ，3n ≥，都有12n n b b -=． 所以 {}n b 成等比数列． [13分]。

北京市西城区2016 - 2017学年度第二学期期末试卷高一数学2017.7试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1[,)+∞2执行如图所示的程序框图，则输出的11. 函数()f x =_______.12. 在等差数列{}n a 中,245a a +=，则3a =_______.13. 随机抽取某班6名学生，测量他们的身高（单位：cm ），获得身高数据依次为：162，168，170，171，179，182，那么此班学生平均身高大约为 cm ；样本数据的方差为 .14. 设x ，y 满足约束条件2,1,10,y x x y y ++⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 则3z x y =+的最大值是_______.15. 有4张卡片，上面分别写有0，1，2，3. 若从这4张卡片中随机取出2张组成一个两位数，则此数为偶数的概率是_______.16. 在数列{}n a 中，312a =，115a =-，且任意连续三项的和均为11，则2017a =_______；设n S 是数列{}n a 的前n 项和，则使得100n S ≤成立的最大整数n =_______.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分13分）在等差数列{}n a 中,12a =,3516a a +=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）如果2a ，m a ，2m a 成等比数列，求正整数m 的值.18．（本小题满分13分）北京是我国严重缺水的城市之一.为了倡导“节约用水，从我做起”，小明在他所在学校的2000名同学中，随机调查了40名同学家庭中一年的月均用水量（单位：吨），并将月均用水量分为6组：[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12)，[12,14]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）给出图中实数a 的值；（Ⅱ）根据样本数据，估计小明所在学校2000名同学家庭中,月均用水量低于8吨的约有多少户；（Ⅲ）在月均用水量大于或等于10吨的样本数据中，小明决定随机抽取2名同学家庭进行访谈，求这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于[10,12)组的概率.19．（本小题满分13分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2a =,1cos 4C =-.（Ⅰ）如果3b =,求c 的值；（Ⅱ）如果c =sin B 的值.20．（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和24n S n n =-，其中*n ∈N .吨a（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设21na nb =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（Ⅲ）若对于任意正整数n ，都有12231111n n a a a a a a λ++++≤，求实数λ的最小值.21．（本小题满分14分）已知函数2()(21)f x ax a x b =+++，其中a ，b ∈R .（Ⅰ）当1a =，4b =-时，求函数()f x 的零点；（Ⅱ）如果函数()f x 的图象在直线2y x =+的上方，证明：2b >； （Ⅲ）当2b =时，解关于x 的不等式()0f x <．22．（本小题满分14分）在无穷数列{}n a 中，1a p =是正整数，且满足1, ,25, .nn n nn a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数当为奇数 （Ⅰ）当39a =时，给出p 的值；（结论不要求证明） （Ⅱ）设7p =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，求150S ；（Ⅲ）如果存在*m ∈N ，使得1m a =，求出符合条件的p 的所有值.北京市西城区2016-2017学年度第二学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准2017.7一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1. A2. B3. B4. B5. D6. A7. C8. D9. C10. C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 11. [2,2]-； 12. 52； 13. 172，45； 14.73； 15. 59； 16. 4，29. 注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 17.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ,则3512616a a a d +=+=, ………………………3分又因为12a =，解得2d =. ………………………5分 所以1(1)2n a a n d n =+-=. ………………………7分 （Ⅱ）解：因为2a ，m a ，2m a 成等比数列，所以222m m a a a =⋅， (10)分即2(2)44m m =⨯，m *∈N ，解得4m =. ………………………13分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为各组的频率之和为1，所以月均用水量在区间[10,12)的频率为1(0.02520.0750.1000.225-⨯+++⨯=， 所以，图中实数0.120.050a =÷=. ………………………3分（Ⅱ）解：由图可知, 样本数据中月均用水量低于8吨的频率为(0.0250.0750.225)2++⨯=， ………………………5分所以小明所在学校2000名同学家庭中,月均用水量低于8吨的约有0.6520001300⨯=(户). ………………………7分（Ⅲ）解：设“这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于[10,12)组”为事件A ， 由图可知, 样本数据中月均用水量在[10,12)的户数为0.0502404⨯⨯=.记这四名同学家庭分别为,,,a b c d ,月均用水量在[12,14]的户数为0.0252402⨯⨯=.记这两名同学家庭分别为,e f , 则选取的同学家庭的所有可能结果为：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a c a d a e a f b c b d (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),b e b f c d c e c f d e d f e f 共15种， ………………………9分事件A 的可能结果为：(,),(,),(,),(,),a e a f b e b f (,),(,),(,),(,),c e c f d e d f 共8种， ………………………11分所以8()15P A =. ………………………13分19.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由余弦定理2222cos c a b ab C =+-， ………………………3分得2149223()164c =+-⨯⨯⨯-=，解得4c =. ………………………5分（Ⅱ）解：（方法一）由1cos 4C =-，(0,π)C ∈，得sin C =……7分由正弦定理sin sin a c A C =，得sin sin a C A c ==. ……………………10分所以cos A ==. 因为πA B C ++=，所以sin sin()B A C =+sin cos cos sin A C A C =+ (12)分1()4-=. (13)分（方法二）由1cos 4C =-，(0,π)C ∈，得sin C ==…………7分 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-， 得2124422()4b b =+-⨯⨯⨯-，解得4b =，或5b =-（舍）. ………………………10分由正弦定理sin sin b c B C =，得sin sin b C B c ==. ………………………13分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当1n =时，113a S ==-； ………………………1分 当2n ≥时，125n n n a S S n -=-=-， ………………………3分 因为13a =-符合上式，所以25n a n =-*()n ∈N . ………………………4分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ），得2521n n b -=+. ………………………5分 所以12n n T b b b =+++3125(21)(21)(21)n ---=++++++3125(222)n n ---=++++ ………………………6分32(14)14n n --=+-1(41)24nn =-+. ………………………9分 （Ⅲ）解：122311111111131335(25)(23)n n a a a a a a n n +=-++++⨯⨯--+++2111111[(1)()()]323352523n n =-+-+-++---11646n =---， ………………………11分当1n =时，12113a a =，（注：此时1046n <-） 由题意，得13λ≥； ………………………12分 当2n ≥时， 因为1046n >-， 所以1223111116n n a a a a a a +<-+++. 因为对于任意正整数n ，都有12231111n n a a a a a a λ++++≤， 所以λ的最小值为13. ………………………13分21.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由2()340f x x x =+-=，解得4x =-，或1x =.所以函数()f x 有零点4-和1. ………………………3分（Ⅱ）解：（方法1）因为()f x 的图象在直线2y x =+的上方，所以2(21)2ax a x b x +++>+对x ∈R 恒成立.即2220ax ax b ++->对x ∈R 恒成立. ………………………5分所以当0x =时上式也成立，代入得2b >. ………………………8分（方法2）因为()f x 的图象在直线2y x =+的上方， 所以2(21)2ax a x b x +++>+对x ∈R 恒成立.即2220ax ax b ++->对x ∈R 恒成立. ………………………5分当0a =时，显然2b >. 当0a ≠时，由题意，得0a >，且2(2)4(2)0a a b ∆=--<， (6)分则24(2)40a b a ->>， 所以4(2)0a b ->，即2b >.综上，2b >. ………………………8分（Ⅲ）解：由题意，得不等式2(21)20ax a x +++<，即(1)(2)0ax x ++<. …………9分当0a =时，不等式化简为20x +<，解得2x <-； ………………………10分当0a ≠时，解方程(1)(2)0ax x ++=，得根12x =-，21x a=-. 所以，当0a <时，不等式的解为：2x <-，或1x a>-； ………………………11分当102a <<时，不等式的解为：12x a-<<-； ………………………12分当12a =时，不等式的解集为∅； ………………………13分当12a >时，不等式的解为：12x a-<<-. ………………………14分综上，当0a <时，不等式的解集为{|2x x <-，或1}x a>-；当0a =时，不等式的解集为{|2}x x <-；当102a <<时，不等式的解集为1{|2}x x a -<<-；当12a =时，不等式的解集为∅；当12a >时，不等式的解集为1{|2}x x a -<<-.22.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：36p =，或13. ………………………3分（Ⅱ）解：由题意，17a =，代入，得212a =，36a =，43a =，58a =，64a =，72a =，81a =，96a =， 所以数列{}n a 中的项，从第三项起每隔6项重复一次（注：39a a =）， ………5分故15012348345624()S a a a a a a a a a =+++++++++71224(638421)6384=+++++++++++616=. ………………………8分（Ⅲ）解：由数列{}n a 的定义，知*n a ∈N .设t 为数列{}n a 中最小的数，即min{}i t a i =∈N *，又因为当n a 为偶数时，12n n a a +=， 所以t 必为奇数. ………………………9分设k a t =，则15k a t +=+，252k t a ++=， 所以52t t +≤，解得5t ≤. 所以{1,3,5}t ∈. ………………………10分如果3k a t ==，那么由数列{}n a 的定义，得18k a +=，24k a +=，32k a +=，41k a +=， 这显然与3t =为{}n a 中最小的数矛盾，所以3t ≠. ………………………12分如果5k a t ==，当1k =时，5p =；当2k ≥时，由数列{}n a 的定义，得1k a -能被5整除，…，得1a p =被5整除； 所以当且仅当*15()a p r r ==∈N 时，5t =. ………………………13分这与题意不符. 所以当*15()a r r ≠∈N 时，数列{}n a 中最小的数1t =， 即符合条件的p 值的集合是*{|r r ∈N ，且r 不能被5整除}. …………………14分。

北京市西城区2017 —2018学年度第二学期期末试卷高一数学2018.7试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷[立体几何初步与解析几何初步] 本卷满分：100分一项是符合要求的.关于y轴对称，则直线的方程为（）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11.已知点(,2)A m -，(3,0)B ，若直线AB 的斜率为12，则m =_____. 12.若直线1:280l ax y +-=与直线2:0l x y -=平行，则a =______.13.已知某三棱柱的三视图如图所示，那么该三棱柱最大侧面的面积为______.14.已知直线y kx k =+过定点，则定点的坐标为______.15.在直三棱柱111ABC A B C -中，D 为1AA 中点，点P 在侧面11BCC B 上运动，当点P 满足 条件_______________时，1//A P 平面BCD . （答案不唯一，填一个满足题意的条件即可）16. 如图，矩形ABCD 中AB 边与x 轴重合，(2,2)C ，(1,2)D -. BC 反射到CD 上，再经CD 反射到AD 上点Q 处. ①若OP 的斜率为12，则点Q 的纵坐标为______； ②若点Q 恰为线段AD 中点，则OP 的斜率为______.A DA ′三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，且2P A A D ==，点E 为线段PD 的中点. （Ⅰ）求证：//PB 平面AEC ； （Ⅱ）求证：AE ⊥平面PCD ； （Ⅲ）求三棱锥A PCE -的体积.18．（本小题满分12分）已知直线:8l y x =-+与x 轴相交于点A ，点B 坐标为(0,4)-，过点B 作直线l 的垂线，交直线l 于点C .记过A 、B 、C 三点的圆为圆M . （Ⅰ）求圆M 的方程；（Ⅱ）求过点C 与圆M 相交所得弦长为8的直线方程.19．（本小题满分12分）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 是棱AB 上的动点，F 是棱1CC 上一点，1:1:2CF FC =. （Ⅰ）求证：111B D A F ⊥；（Ⅱ）若直线1A F ⊥平面11B D E ，试确定点E 的位置，并证明你的结论；（Ⅲ）设点P 在正方体的上底面1111A B C D 上运动，求总能使BP 与1A F 垂直的点P 所形成的轨迹的长度．（直接写出答案）ABCDPEB 卷 [学期综合]本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上. 1．在区间[2,4]-内随机选取一个实数x ，则[1,3]x ∈的概率为_____．2．如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组各四名工人1天加工的零件数，且甲、乙两组工人平均每人加工零件的个数相同，则m =_____；甲、乙两组工人加工零件数方差较大的一组的方差为______.3．从1,2,3,4这四个数中一次随机选取两个数，所取两个数之和不小于5的概率为_____． 4．一艘货船以15km /h 的速度向东航行，货船在A 处看到一个灯塔P 在北偏东60方向上，行驶4小时后，货船到达B 处，此时看到灯塔P 在北偏东15方向上，这时船与灯塔的距离为_____km ．5．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知△ABC 面积S 满足12S ≤≤，且1sin sin sin 8A B C =. 给出下列结论： ①16abc ≥； ②228a b ab +>； ③32ab <； 其中正确结论的序号是_____．（写出所有正确结论的序号）DBCA 1B 1C 1D 1A EF甲0 乙 9 8 1 9 2 1 2 0 0 m二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分8分）在某地区高二年级的一次英语口语测试中，随机抽取M 名同学的成绩，数据的分组统计表如下：（Ⅰ）求出表中,,,m n M N 的值；（Ⅱ）根据上表，请在答题纸中给出的坐标系中完整画出频率分布直方图；（Ⅲ）若该地区高二年级学生有5000人，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计这次测试中该地区高二年级学生的平均分数及分数在区间(60,90]内的学生人数．7．（本小题满分10分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c.b =4B π=. （Ⅰ）若3a =，求sin A 及sin C 的值； （Ⅱ）若△ABC 的面积等于1，求a 的值．8．（本小题满分12分）已知圆22:(3)25C x y +-=与x 轴的负半轴相交于点M . （Ⅰ）求点M 的坐标及过点M 与圆C 相切的直线方程；（Ⅱ）一般把各边都和圆相切的三角形叫做圆的外切三角形.记圆C 的外切三角形为△DEF ，且(5,2)D --，(,2)(5)E t t ->.试用t 表示△DEF 的面积；（Ⅲ）过点M 作,MA MB 分别与圆相交于点,A B ，且直线,MA MB 关于x 轴对称，试问直线AB 的斜率是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由.北京市西城区2017— 2018学年度第二学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准2018.7 A 卷[立体几何初步与解析几何初步] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.C2.A3. B4.C5.B6. A7. A8.D9.D 10.C.PC′B ′A′PC ′ B ′A ′P二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 11.1-12.2-13.14. (1,0)-15.P 是1CC 中点，等16.33,25注：第16题每空两分.三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：连结BD ，交AC 于点O ，连结OE . 因为O 是正方形ABCD 对角线交点，所以O 为BD 中点， 由已知E 为线段PD 的中点，所以//PB OE .…………………2分 又OE ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE ， 所以//PB 平面ACE .…………………5分（Ⅱ）证明：因为PA AD =，E 为线段PD 的中点， 所以AE PD ⊥，…………………6分 因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA CD ⊥，…………………7分 在正方形ABCD 中，CD AD ⊥， 又PA AD A =I ，所以CD ⊥平面PAD ，…………………8分 又AE ⊂平面PAD ，所以CD AE ⊥，…………………9分 又PD CD D =I ，所以AE ⊥平面PCD ，…………………10分（Ⅲ）因为AE ⊥平面PCD ，所以三棱锥A PCE -的体积.13PCE V S AE =⋅V 11112232323PE CD AE =⨯⋅⋅=⨯. …………………12分18.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由已知(8,0)A ，依题意，圆M 的圆周角90ACB ∠=，A BCDPEO所以过A 、B 、C 三点的圆M 即为以AB 为直径的圆.…………………3分 所以，圆M 的圆心为AB 的中点(4,2)-.因为AB =M的半径为5分所以圆M 的方程为22(4)(2)20x y -++=. …………………6分 （Ⅱ）因为所求直线与圆M 相交所得弦长为8，由垂径定理，圆M2.…………………7分 易知，直线6x =满足题意.…………………8分 由已知，直线:4AC y x =-，解4,8y x y x =-⎧⎨=-+⎩得点C 的坐标为(6,2)C . …………………9分 设斜率存在且满足题意的直线方程为2(6)y k x -=-，即620kx y k --+=. 则圆心(4,2)-到直线620kx y k --+==，……10分2=，解得34k =. …………………11分 所以，所求直线方程为6x =和34100x y --=. …………………12分19.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：连结11A C .1111A B C D 是正方形，所以1111B D A C ⊥. …………………1分在正方体1111ABCD A B C D -中，1CC ⊥平面1111A B C D ， 所以111CC B D ⊥， …………………2分 又1111CC A C C =I ，所以11B D ⊥平面11A C C ， …………………3分 因为1A F ⊂平面11A C C ，所以11B D ⊥1A F . …………………4分 （Ⅱ）当:1:2AE EB =时，直线1A F ⊥平面11D B E .…5分证明如下：过点F 在平面11BCC B 作//FG BC 交1BB 于点G ， 连结1A G ，交1B E 于点H ，DBC A 1B 1C 1D 1AEF G H因为1:1:2CF FC =，所以1:1:2BG GB =，在11Rt A B G △与1Rt B BE △中，1B G BE =，111A B B B =， 所以111A B G B BE ≅△△，111B A G BB E ∠=∠.又111190B A G A GB ∠+∠=，所以11190BB E A GB ∠+∠=. 所以190B HG ∠=o ，11A G B E ⊥.…………………7分 在正方体1111ABCD A B C D -中，CB ⊥面11ABB A ， 所以FG ⊥面11ABB A ， 所以1FG B E ⊥， 又1A G FG G =I ，所以1B E ⊥面1A FG ，…………………8分 所以1B E ⊥1A F .又11B D ⊥1A F ，1111B D B E B =I ，所以直线1A F ⊥平面11B D E .…………………9分. …………………12分B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 1.13 2.1，2.5 3.234.②③. 注：第5题少选得2分，多选、错选不得分.第2题每空2分. 二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6.（本小题满分8分） 解：（Ⅰ）1N =. 因为20.02M=，所以100M =． 从而100(23123815)30m =-++++=， 0.30mn M==．…………………4分 （Ⅱ）直方图如下：分数…………………6分（Ⅲ）平均分约为450.02550.04650.12750.38850.30950.1578.6⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．该地区高二年级同学分数在区间(60,90]内的人数约为5000(0.120.380.30)4000⨯++=（人）． …………………8分7.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）在△ABC 中，3a =，b 4B π=，sin sin a bA B=.所以sin sin4a A B b π==. …………………2分当A 为锐角时，cos A =sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+…………………3分=…………………4分当A 为钝角时，cos A =，sin C =. …………………5分（Ⅱ）△ABC 的面积1sin 24ABC S ac ∆π==，1=. …………① …………………7分 在ABC ∆中，2222cos4b ac ac π=+-， …………………9分所以225a c =+. …………②由①得c =22854a a=+-， 所以42980a a -+=.解得1a =或a =. …………………10分8.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）点M 的坐标为(4,0)-. …………………1分直线CM 的斜率3030(4)4CM k -==--，…………………2分 所以过点M 圆C 的切线斜率43k =-， 所以，过点M 的切线方程为40[(4)]3y x -=---，即43160x y ++=. …………3分 （Ⅱ）已知(5,2)D --，所以直线DF 方程为5x =-.设直线EF 的斜率为k ，则直线EF 方程为()2y k x t =--，即20kx y kt ---=.5=，所以22(25)100t k tk -+=，解得0k =（舍）或21025t k t -=-， …………………5分 所以直线EF 方程为210()225t y x t t -=---. 当5x =-时，210810(5)2525t t y t t t -+=---=--.…………………6分 所以810(5,)5t F t +--， 所以△DEF 的面积18105(5)(5)(2)255DEF t t t S t t t ∆++=⋅+⋅+=--，（5t >）.…………7分 （Ⅲ）解法一（解析法）：设点(,),(,)A A B B A x y B x y ，设直线MA 的方程为：4x my =-. 由224,(3)25x my x y =-⎧⎪⎨+-=⎪⎩得22(1)(86)0m y m y +-+=. 所以28601A m y m ++=+，2861A m y m +=+. …………8分 所以2861B m y m -+=+，…………………9分 所以2161A B m y y m -=+. 又直线MB 的方程为4x my =--，所以4A A x my =-，4B B x my =--，212()1A B A B A B m x x my my m y y m -=+=+=+.…………………11分所以直线AB 的斜率2216411231A B AB A B m y y m k m x x m -+===-+. 即直线AB 的斜率为定值，其值为43. …………………12分 注：其他解法相应给分.解法二（几何法）：如图，设圆与x 轴的正半轴相交于点M '.由,MA MB 关于x 轴对称可知，AMM BMM ''∠=∠， 所以M '为»AB 的中点，连结CM '，则CM AB '⊥， 因为直线CM '的斜率303044CM k '-==--， 所以43AB k =. 即直线AB 的斜率为定值，其值为43. 附：B 卷5. 略解：因为1sin sin sin 8A B C =， 所以111sin sin sin 888ab bc ca A B C ab bc ca ⋅⋅=⨯⋅⋅； 所以222364a b c S =. 因为12S ≤≤，所以2221864a b c ≤≤，8abc ≤≤所以①不正确.因为22()8a b ab ab a b abc +=+>≥. 所以②正确. 因为1sin sin sin 8A B C =，所以1sin 8C >，所以111sin 282ab C ab >⨯， 所以16ab S <，所以32ab <.所以③正确.。

北京市西城区2017 —2018学年度第一学期期末试卷高一数学试卷总分值：150分考试时间：120分钟A卷[三角函数与平面向量] 本卷总分值：100分一、选择题：本大题共10小题，每题4分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.++=〔〕AO OB ADAM BP⋅的取值范围是〔〕〔C〕二、填空题：本大题共6小题，每题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11.7sin6π=_____.12.已知向量(1,2)=a，(,2)x=-b，假设//a b，则实数x=______.13.角θ的始边与x轴正半轴重合，终边上一点坐标为(1,2)-，则tanθ=______.14.函数()sin cosf x x x=+的最大值为______.15. 已知点(0,4)A ，(2,0)B ，如果2AB BC =，那么点C 的坐标为______； 设点(3,)P t ，且APB ∠是钝角，则t 的取值范围是______.16.已知函数()sin tan f x x x =. 给出以下结论：①函数()f x 是偶函数；②函数()f x 在区间(,0)2π-上是增函数；③函数()f x 的最小正周期是2π； ④函数()f x 的图象关于直线x =π对称.其中正确结论的序号是_____.〔写出所有正确结论的序号〕三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．〔本小题总分值12分〕已知(,)2απ∈π，且3cos 5α=-.〔Ⅰ〕求tan α的值； 〔Ⅱ〕求cos2sin 21αα+的值.18．〔本小题总分值12分〕已知函数π()sin(2)6f x x =+.〔Ⅰ〕请用“五点法”画出函数()f x 在一个周期上的图象；〔Ⅱ〕求()f x 在区间[,]122ππ上的最大值和最小值； 〔Ⅲ〕写出()f x 的单调递增区间.19．〔本小题总分值12分〕如图，已知AB BC ⊥，AB ==，[1,3]a ∈，圆A 是以A 为圆心、半径为2的圆，圆B 是以B 为圆心、半径为1的圆，设点E 、F 分别为圆A 、圆B 上的动点，//AE BF 〔且AE 与BF 同向〕，设BAE θ∠=〔[0,]θ∈π〕.〔Ⅰ〕当a =6θπ=时，求AE AC ⋅的值； 〔Ⅱ〕用,a θ表示出CE CF ⋅，并给出一组,a θ的值，使得CE CF ⋅最小.BAFECB 卷 [学期综合]本卷总分值：50分一、填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分.把答案填在题中横线上. 1．设全集U =R ，集合{|0}A x x =<，{|1}B x x =>，则()U A B =_____．2．函数()28x f x =-的定义域为_____.3．已知函数122,1,()log ,01,x x f x x x ⎧>⎪=⎨<≤⎪⎩则1(())4f f =_____；假设()1f x =，则x =_____．4．sin 2，13log 2，121log 3三个数中最大的是_____． 5．某购物网站在2017年11月开展“买三免一”活动，规则是“购买3件商品，最廉价的一件商品免费”，比方如下结算案例：如果在此网站上购买的三件商品价格如以下图所示，按照“买三免一”的规则，购买这三件商品的实际折题号一二本卷总分67 8 分数扣为______折.在这个网站上购买3件商品，按照“买三免一”的规则，这3件商品实际折扣力度最大约为_______折〔保留一位小数〕.二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．〔本小题总分值10分〕已知函数21()f x ax x =+是偶函数. 〔Ⅰ〕求a 的值；〔Ⅱ〕判断函数()f x 在区间(0,)+∞上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论.7．〔本小题总分值10分〕设a 为实数，函数2()1f x x x a =--+，x ∈R .〔Ⅰ〕当0a =时，求()f x 在区间[0,2]上的最大值和最小值； 〔Ⅱ〕求函数()f x 的最小值.8．〔本小题总分值10分〕假设函数()f x 满足：对于,[0,)s t ∈+∞，都有()0f s ≥，()0f t ≥，且()()()f s f t f s t +≤+，则称函数()f x 为“T 函数”.〔Ⅰ〕试判断函数21()f x x =与2()lg(1)f x x =+是否是“T 函数”，并说明理由； 〔Ⅱ〕设()f x 为“T 函数”，且存在0[0,)x ∈+∞，使00(())f f x x =，求证：00()f x x =；〔Ⅲ〕试写出一个“T函数”()=≤≤中元素y y f x xf=，且使集合{|(),01}f x，满足(1)1的个数最少.〔只需写出结论〕北京市西城区2017— 2018学年度第一学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准A 卷[三角函数与平面向量] 总分值100分一、选择题：本大题共10小题，每题4分，共40分. 1.C2.B 3.A 4.A 5.B 6.D 7.B8.C 9.B 10.D.二、填空题：本大题共6小题，每题4分，共24分. 11.12-12.1-13.2-(3,2)-；(1,3)16.①③④ 注：第15题每空2分.第16题少选得2分，多项选择、错选不得分.三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17.〔本小题总分值12分〕解：解：〔Ⅰ〕因为(,)2απ∈π，3cos 5α=-，所以sin α=………………3分45=. ………………4分所以sin 4tan cos 3ααα==-.………………6分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕4sin 5α=，3cos 5α=-，所以4324sin 22sin cos 2()5525ααα==⨯⨯-=-. ………………9分2237cos22cos 12()1525αα=-=⨯--=-. ………………11分 所以7cos 225724sin 21125αα-==-+-+. ………………12分 18.〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕()f x 在[,]1212π11π-上的图象如下图.………………5分说明：其它周期上的图象同等给分； 个别关键点错误酌情给分.〔Ⅱ〕π()sin(2)6f x x =+．因为122x ππ≤≤，所以ππ7π2366x ≤+≤，………………7分当π262x π+=，即π6x =时，πsin(2)6x +最大值等于1，即()f x 的最大值等于1；………………8分当π266x 7π+=，即π2x =时，πsin(2)6x +最小值等于12-，即()f x 的最小值等于21-.………………9分所以()f x 在区间[,]122ππ上的最大值为1，最小值为21-.注：根据图象求出最大、最小值相应给分.〔Ⅲ〕函数()f x 的单调递增区间为[,]36k k ππ-+π+π〔k ∈Z 〕.………………12分19.〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕如图，以点A 为原点，AB 所在直线为x 轴，与AB 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系.则(0,0)A，(3,C，E ，………………2分(3,1)(3,AE AC ⋅=⋅=.………………4分〔Ⅱ〕(0,0)A ，,)Ca -，(2cos ,2sin )E θθ，cos ,sin )F θθ+，………………7分(2cos ,2sin )(cos ,sin )CE CF a a θθθθ⋅=-+⋅+2sin()26a θπ=+⋅-+ (9)分22[)]23sin ()66a θθππ=-+--因为[0,]θ∈π，所以1sin()[,1]62θπ-∈-，以a 为变量的二次函数的对称轴)[6θπ-∈.因为[1,3]a ∈，所以当1a =时，CE CF ⋅的最小值为3)6θπ+-，………10分又1sin()[,1]62θπ-∈-，所以CE CF ⋅的最小值为3，此时0θ=.所以，当1a =，0θ=时，CE CF ⋅的最小值为3 ………………12分BAFECxyB 卷 [学期综合] 总分值50分一、填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分. 1.{1}x x ≤ 2.[3,)+∞3.4；124.121log 35.7.5；6.7. 注：第3题、第5题每空2分.二、解答题：本大题共3小题，共30分.6.〔本小题总分值10分〕解：〔Ⅰ〕函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞.由()()f x f x -=得2211ax ax x x-=+.………………3分 所以0ax =.因为0ax =对于定义域中任意的x 都成立，所以0a =.………………5分 〔Ⅱ〕函数21()f x x=在区间(0,)+∞上是减函数.………………7分 证明：在(0,)+∞上任取1x ，2x ，且12x x <， 则12211222221212()()11()()x x x x f x f x x x x x +--=-=， ………………9分 由120x x <<，得120x x +>，210x x ->，22120x x >，于是12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >. 所以函数21()f x x=在区间(0,)+∞上是减函数. ………………10分7.〔本小题总分值10分〕解：〔Ⅰ〕当0a =，[0,2]x ∈时，函数2()1f x x x =-+，………………2分因为()f x 的图象抛物线开口向上，对称轴为12x =， 所以，当12x =时，()f x 值最小，最小值为34； 当2x =时，()f x 值最大，最大值为3. ………………4分〔Ⅱ〕①当x a ≤时，函数2213()1()24f x x x a x a =+-+=+-+. 假设12a ≤-，则()f x 在(,]a -∞上单调递减，在(,]a -∞上的最小值为2()1f a a =+； 假设12a >-，则函数()f x 在(,]a -∞上的最小值为13()24f a -=-；………………6分 ②当x a >时，2213()1()24f x x x a x a =-++=-++. 假设12a <，则()f x 在[,)a +∞上的最小值为13()24f a =+；假设12a ≥，则()f x 在[,)a +∞上单调递增，2()()1f x f a a >=+.………………7分 所以，当12a ≤-时，22311()()042a a a +-+=-≥，()f x 的最小值为34a +. 当12a ≥时，22311()()042a a a +--=+≥，()f x 的最小值为34a -. 当1122a -<<时，()f x 的最小值为34a +与34a -中小者. 所以，当102a -<<时，()f x 的最小值为34a +；当102a ≤<时，()f x 的最小值为34a -.………………9分 综上，当0a <时，()f x 的最小值为34a +；当0a ≥时，()f x 的最小值为34a -. ………………10分8.〔本小题总分值10分〕解：〔Ⅰ〕对于函数21()f x x =，当,[0,)s t ∈+∞时，都有1()0f s ≥，1()0f t ≥，又222111()()()()20f s f t f s t s t s t st +-+=+-+=-≤，所以111()()()f s f t f s t +≤+.所以21()f x x =是“T 函数”.………………2分对于函数2()lg(1)f x x =+，当2s t ==时，22()()lg9f s f t +=，2()lg5f s t +=，因为lg9lg5>，所以222()()()f s f t f s t +>+.所以2()lg(1)f x x =+不是“T 函数”. ………………4分 〔Ⅱ〕设12,[0,)x x ∈+∞，21x x >，21x x x =+∆，0x ∆>.则211111()()()()()()0f x f x f x x f x f x x x f x -=+∆-≥+∆-=∆≥所以，对于12,[0,)x x ∈+∞，12x x <，一定有12()()f x f x ≤. ………………6分因为()f x 是“T 函数”，0[0,)x ∈+∞，所以0()0f x ≥.假设00()f x x >，则000(())()f f x f x x ≥>，不符合题意.假设00()f x x <，则000(())()f f x f x x ≤<，不符合题意.所以00()f x x =. ………………8分〔Ⅲ〕20,[0,1),(),[1,).x f x x x ∈⎧⎪=⎨∈+∞⎪⎩〔注：答案不唯一〕………………10分。

北京市西城区2017—2018学年度第二学期期末试卷高一数学2018.7试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷[立体几何初步与解析几何初步]本卷满分：100分60120y轴对称，则直线的方程为（）①若OP的斜率为1，则点Q的纵坐标为______；2②若点Q恰为线段AD中点，则OP的斜率为______.三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，ArrayB作M.FA F垂1B本大题共54填在题中横线上.1．在区间[2,4]-内随机选取一个实数x，则[1,3]x∈的概率为_____．2．如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组各四名工人1天加工的零件数，且甲、乙两组工人平均每人加工零件的甲乙个数相同，则m =_____；甲、乙两组工人加工零件数方差较大的一组的方差为______.3．从1,2,3,4这四个数中一次随机选取两个数，所取两个数之和不小于5的概率为_____．4．一艘货船以15km /h 的速度向东航行，货船在A 处看到一个灯塔P 在北偏东60方向上，行驶4小时后，货船到达B 处，此时看到灯塔P 在北偏东15方向上，这时船与灯塔的距离为_____km ．51S ≤≤在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .b =4B π=. （Ⅰ）若3a =，求sin A 及sinC 的值；（Ⅱ）若△ABC 的面积等于1，求a 的值．8．（本小题满分12分）已知圆22:(3)25C x y +-=与x 轴的负半轴相交于点M .（Ⅰ）求点M 的坐标及过点M 与圆C 相切的直线方程；（Ⅱ）一般把各边都和圆相切的三角形叫做圆的外切三角形.记圆C 的外切三角形为△DEF ，且(5,2)D --，(,2)(5)E t t ->.试用t 表示△DEF 的面积；（Ⅲ）过点M 作,MA MB 分别与圆相交于点,A B ，且直线,MA MB 关于x 轴对称，试问直线AB 的斜率是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由... （Ⅰ）证明：连结BD ，交于点因为O 是正方形ABCD 对角线交点，所以O 为BD 中点，由已知E 为线段PD 的中点，所以//PB OE .…………………2分 又OE ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE ， 所以//PB 平面ACE .…………………5分 （Ⅱ）证明：因为PA AD =，E 为线段PD 的中点， 所以AE PD ⊥，…………………6分 P C B A P A P E因为PA⊥平面ABCD，所以PA CD⊥，…………………7分在正方形ABCD中，CD AD⊥，又PA AD A=I，所以CD⊥平面PAD，…………………8分又AE⊂平面PAD，所以CD AE⊥，…………………9分又PD CD D=I，12分90，为直径的圆.…………………5分2(6)-=-y k x--+=.620kx y k则圆心(4,2)-到直线620--+==， (10)kx y k分令2=，解得3k=.…………………11分4所以，所求直线方程为6x =和34100x y --=.…………………12分19.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：连结11A C .1111A B C D 是正方形，所以1111B D A C ⊥.…………………1分在正方体1111ABCD A B C D -中，1CC ⊥平面1111A B C D ，分 分 1E (5)90，所以.B E ⊥.…………………7分又11B D ⊥1A F ，1111B D B E B =I ，所以直线1A F ⊥11B D E .…………………9分.…………………12分 B 卷[学期综合]满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.1.132.1，2.53.234..②③. 注：第5题少选得2分，多选、错选不得分.第2题每空2分.二、解答题：本大题共3小题，共30分.6.（本小题满分8分）解：（Ⅰ）1N =.因为20.02M =，所以100M =．…．． …当A 为钝角时，cos A =，sin C =.…………………5分 （Ⅱ）△ABC 的面积1sin 24ABC Sac ∆π=， 1=.…………①…………………7分 在ABC ∆中，2222cos 4b a c ac π=+-，…………………9分所以225a c =+.…………②由①得c =22854a a =+-， 所以42980a a -+=.解得1a =或a =.…………………10分8.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）点M 的坐标为(4,0)-.…………………1分 303-320kt -=.7分 设点(,),(,)A A B B A xy B x y ，设直线MA 的方程为：4x my =-. 由224,(3)25x my x y =-⎧⎪⎨+-=⎪⎩得22(1)(86)0m y m y +-+=.所以28601A m y m ++=+，2861A m y m +=+.…………8分所以2861B m y m -+=+，…………………9分 所以2161A B my y m -=+.又直线MB 的方程为4x my =--， 所以4A A x my =-，4B B x my =--， 212()1A B A B A B mx x my my m y y m -=+=+=+.…………………11分3分 x 轴则， 的斜率303044CM k'-==--， 43AB k =.的斜率为定值，其值为43. 附：B 卷5.略解：因为1sin sin sin 8A B C =， 所以111sin sin sin 888ab bc ca A B C ab bc ca ⋅⋅=⨯⋅⋅； 所以222364a b c S =.因为12S ≤≤，所以2221864a b c ≤≤，8abc ≤≤-来源网络，仅供个人学习参考所以①不正确.因为22()8a b ab ab a b abc +=+>≥.所以②正确. 因为1sin sin sin 8A B C =，所以1sin 8C >，所以111sin 282ab C ab >⨯， 所以16ab S <，所以32ab <.所以③正确.。

北京市西城区2016 - 2017学年度第二学期期末试卷高一数学2017.7试卷满分：150分考试时间：120分钟题号一二三本卷总分171819202122分数一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 已知数列{}n a 满足13a ,12nn a a ，那么4a （）（A ）24（B ）18（C ）16（D ）122. 不等式12x ≤的解集为（）（A ）1[,)2（B ）1(,0)[,)2（C ）1(,]2（D ）[2,)3. 执行如图所示的程序框图，则输出的i 值为（）（A ）4（B ）5（C ）6（D ）74. 设直线l 经过两点(2,1),(1,3)A B ，则直线l 下方的半平面（含直线l ）可以用不等式表示为（）（A ）2370x y ≥（B ）2370x y ≤（C ）2310xy≥（D ）2310xy≤5. 在区间[1,3]上随机取一个实数，则使不等式||2x ≤成立的概率为（）开始S = 0，i =0S >202SSii=i +1 结束输出i是否（A ）14（B ）13（C ）12（D ）346. 下表是某校120名学生假期阅读时间(单位小时)的频率分布表，现用分层抽样的方法从[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)四组中抽取20名学生了解其阅读内容，那么从这四组中依次抽取的人数是（）（A ）2，5，8，5 （B ）2，5，9，4 （C ）4，10，4，2 （D ）4，10，3，3分组频数频率[10,15)12 0.10[15,20)30a[20,25)m 0.40 [25,30)n0.25 合计120 1.007. 在ABC 中，若3a，2c ，1cos 3B，则ABC 的面积为（）（A ）33（B ）233（C ）263（D ）4638. 以下茎叶图记录了甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况．乙队记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以m 表示．那么在3次比赛中，乙队平均得分超过甲队平均得分的概率是（）（A ）35（B ）45（C ）710（D ）9109. 若关于x 的不等式221xa x ≥对于一切(1,)x恒成立，则实数a 的取值范围是（）（A ）(,4]（B ）[4,)（C ）(,6]（D ）[6,)10. 在ABC 中，角,,A B C 对边的边长分别为,,a b c ，给出下列四个结论：○1以111,,a b c为边长的三角形一定存在；○2以,,a b c 为边长的三角形一定存在；○3以222,,a b c 为边长的三角形一定存在；○4以,,222a b b c c a为边长的三角形一定存在.那么，正确结论的个数为（）（A ）0（B ）1（C ）2（D ）3甲队乙队7 83m8 23二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.11. 函数2()4f x x 的定义域是_______.12. 在等差数列{}n a 中,245a a ，则3a _______.13. 随机抽取某班6名学生，测量他们的身高（单位：cm ），获得身高数据依次为：162，168，170，171，179，182，那么此班学生平均身高大约为 cm；样本数据的方差为 .14. 设x ，y 满足约束条件2,1,10,y x xy y ≤≤≥则3z x y 的最大值是_______.15. 有4张卡片，上面分别写有0，1，2，3. 若从这4张卡片中随机取出2张组成一个两位数，则此数为偶数的概率是_______.16. 在数列{}n a 中，312a ，115a ，且任意连续三项的和均为11，则2017a _______；设n S 是数列{}n a 的前n 项和，则使得100n S ≤成立的最大整数n _______.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分13分）在等差数列{}n a 中,12a ,3516a a .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）如果2a ，m a ，2m a 成等比数列，求正整数m 的值.18．（本小题满分13分）北京是我国严重缺水的城市之一.为了倡导“节约用水，从我做起”，小明在他所在学校的2000名同学中，随机调查了40名同学家庭中一年的月均用水量（单位：吨），并将月均用水量分为6组：[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12)，[12,14]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）给出图中实数a 的值；（Ⅱ）根据样本数据，估计小明所在学校2000名同学家庭中,月均用水量低于8吨的约有多少户；（Ⅲ）在月均用水量大于或等于10吨的样本数据中，小明决定随机抽取2名同学家庭进行访谈，求这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于[10,12)组的概率.19．（本小题满分13分）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2a,1cos 4C.（Ⅰ）如果3b ,求c 的值；（Ⅱ）如果26c，求sin B 的值.20．（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和24n S nn ，其中*n N .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设21na nb ，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（Ⅲ）若对于任意正整数n ，都有12231111n na a a a a a +++≤，求实数的最小值.21．（本小题满分14分）已知函数2()(21)f x axa xb ，其中a ，b R .（Ⅰ）当1a，4b时，求函数()f x 的零点；4 86 10 14 2 月均用水量/吨频率组距0.075 0.0250.2250.100 12 a（Ⅱ）如果函数()f x 的图象在直线2y x 的上方，证明：2b；（Ⅲ）当2b时，解关于x 的不等式()0f x ．22．（本小题满分14分）在无穷数列{}n a 中，1a p 是正整数，且满足1,,25,.nn nnn a a a a a 当为偶数当为奇数（Ⅰ）当39a 时，给出p 的值；（结论不要求证明）（Ⅱ）设7p，数列{}n a 的前n 项和为n S ，求150S ；（Ⅲ）如果存在*mN ，使得1ma ，求出符合条件的p 的所有值.北京市西城区2016-2017学年度第二学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准2017.7一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1. A2. B3. B4. B5. D6. A7. C8. D9. C10. C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11.[2,2]； 12. 52； 13. 172，45；14. 73； 15. 59； 16. 4，29.注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.17.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差为d , 则3512616a a a d,………………………3分又因为12a ，解得2d . ………………………5分所以1(1)2na a ndn .………………………7分（Ⅱ）解：因为2a ，m a ，2m a 成等比数列，所以222mm aa a ，………………………10分即2(2)44m m ，mN ，解得4m.………………………13分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为各组的频率之和为1，所以月均用水量在区间[10,12)的频率为1(0.02520.0750.1000.225)20.1，所以，图中实数0.120.050a.………………………3分（Ⅱ）解：由图可知, 样本数据中月均用水量低于8吨的频率为(0.0250.0750.225)20.65，………………………5分所以小明所在学校2000名同学家庭中,月均用水量低于8吨的约有0.65200013(户).………………………7分（Ⅲ）解：设“这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于[10,12)组”为事件A ，由图可知, 样本数据中月均用水量在[10,12)的户数为0.0502404.记这四名同学家庭分别为,,,a b c d ,月均用水量在[12,14]的户数为0.0252402.记这两名同学家庭分别为,e f ,则选取的同学家庭的所有可能结果为：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a c a d a e a f b c b d (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),b e b f c d c e c f d e d f e f 共15种，………………………9分事件A 的可能结果为：(,),(,),(,),(,),a e a f b e b f (,),(,),(,),(,),c e c f d e d f 共8种，………………………11分所以8()15P A . ………………………13分19.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由余弦定理2222cos cabab C ，………………………3分得2149223()164c，解得4c .………………………5分（Ⅱ）解：（方法一）由1cos 4C，(0,π)C，得215sin 1cos 4CC.……7分由正弦定理sin sin a c A C ，得sin 10sin 8a C Ac. ……………………10分所以236cos 1sin 8A A .因为πABC，所以sin sin()B A C sin cos cos sin A C A C ………………………12分1013615()8484104.………………………13分（方法二）由1cos 4C ，(0,π)C，得215sin 1cos 4CC. …………7分由余弦定理2222cos c a bab C ，得2124422()4bb ，解得4b，或5b（舍）.………………………10分由正弦定理sin sin b c BC，得sin 10sin 4b C Bc. ………………………13分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当1n时，113a S ；………………………1分当2n ≥时，125n nna S S n，………………………3分因为13a 符合上式，所以25na n*()nN . ………………………4分（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得2521nnb .………………………5分所以12nnT b b b 3125(21)(21)(21)n 3125(222)n n………………………6分32(14)14nn1(41)24nn .………………………9分（Ⅲ）解：122311111111131335(25)(23)n na a a a a a nn+++2111111[(1)()()]323352523nn11646n ，………………………11分当1n时，12113a a =，（注：此时1046n ）由题意，得13≥；………………………12分当2n ≥时，因为1046n，所以1223111116n na a a a a a +++.因为对于任意正整数n ，都有12231111n na a a a a a +++≤，所以的最小值为13. (13)分21.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由2()340f x xx ，解得4x ，或1x .所以函数()f x 有零点4和1.………………………3分（Ⅱ）解：（方法1）因为()f x 的图象在直线2y x 的上方，所以2(21)2ax a x b x对xR 恒成立.即2220axax b 对xR 恒成立.………………………5分所以当0x 时上式也成立，代入得2b.………………………8分（方法2）因为()f x 的图象在直线2y x 的上方，所以2(21)2ax a x b x对xR 恒成立.即2220axax b 对xR 恒成立.………………………5分当0a 时，显然2b .当0a时，由题意，得0a ，且2(2)4(2)0a a b ，………………………6分则24(2)40a b a，所以4(2)0a b ，即2b.综上，2b.………………………8分（Ⅲ）解：由题意，得不等式2(21)20axa x ，即(1)(2)0ax x . …………9分当0a 时，不等式化简为20x ，解得2x；………………………10分当0a时，解方程(1)(2)0ax x ，得根12x ，21x a.所以，当0a时，不等式的解为：2x，或1x a ；………………………11分当102a 时，不等式的解为：12xa；………………………12分当12a时，不等式的解集为；………………………13分当12a时，不等式的解为：12xa.………………………14分综上，当0a 时，不等式的解集为{|2x x ，或1}x a；当0a 时，不等式的解集为{|2}x x ；当102a时，不等式的解集为1{|2}x x a ；当12a时，不等式的解集为；当12a时，不等式的解集为1{|2}x x a.22.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：36p，或13.………………………3分（Ⅱ）解：由题意，17a ，代入，得212a ，36a ，43a ，58a ，64a ，72a ，81a ，96a ，所以数列{}n a 中的项，从第三项起每隔6项重复一次（注：39a a ），………5分故15012348345624()S a a a a a a a a a 71224(638421)6384616.………………………8分（Ⅲ）解：由数列{}n a 的定义，知*na N . 设t 为数列{}n a 中最小的数，即min{}i ta iN *，又因为当n a 为偶数时，12nna a ，所以t 必为奇数.………………………9分设ka t ，则15ka t，252kta ，所以52t t ≤，解得5t ≤.所以{1,3,5}t.………………………10分如果3ka t，那么由数列{}n a 的定义，得18ka ，24ka ，32ka ，41ka ，这显然与3t 为{}n a 中最小的数矛盾，所以3t . ………………………12分如果5ka t，当1k时，5p；当2k ≥时，由数列{}n a 的定义，得1k a 能被5整除，…，得1a p 被5整除；所以当且仅当*15()a pr rN 时，5t. ………………………13分这与题意不符. 所以当*15()a r rN 时，数列{}n a 中最小的数1t，即符合条件的p 值的集合是*{|r rN ，且r 不能被5整除}.…………………14分。

北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准 2017.1A 卷 [必修 模块4] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.C2.A3.D4.D5.B6.A7.C8.C9.B 10.A .二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11. 2-12. 3, 9- 13. πcos(2)2y x =+(或sin 2y x =-) 14. 150 15. 208225-16. ○2○3 注：第16题少选得2分，多选、错选不得分.三、解答题：本大题共3小题，共36分.17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由π1tan()43ϕ+=-，得tan 111tan 3ϕϕ+=--， ………………3分 解得tan 2ϕ=-. ………………5分 所以22tan 4tan 21tan 3ϕϕϕ==-. ………………8分 （Ⅱ）由tan 2ϕ=-，得cos 0ϕ≠. 将分式sin cos 2cos sin ϕϕϕϕ+-的分子分母同时除以cos ϕ, 得sin cos tan 112cos sin 2tan 4ϕϕϕϕϕϕ++==---. ………………12分 18.（本小题满分12分）解:（Ⅰ）π()cos cos()3f x x x =⋅-ππcos (cos cos sin sin )33x x x =⋅+ ………………2分21cos 22x x =+ ………………3分112cos 244x x =++ ………………4分1π1sin(2)264x =++， ………………6分 由πππ2π22π+262k x k -+≤≤，得ππππ+36k x k -≤≤， 所以()f x 的单调递增区间为ππ[ππ+],()36k k k -∈Z ,. ………………8分 （Ⅱ）因为πsin(2)[1,1]6x +∈-, 所以函数1π1()sin(2)264f x x =++的值域为13[,]44-. ………………10分 因为直线y a =与函数()f x 的图象无公共点，所以13(,)(,)44a ∈-∞-+∞ . ………………12分19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）如图，以点B 为原点，以AB ，BC 所在的直线分别为x ，y 轴建立直角坐标系， 则(0,0)B ，(2,0)A -，(0,)C a ，(1,)D a -，(1,)AD a = ，(2,0)AB = ，(0,)BC a = .………………2分由AP xAD = , 得(,)AP x ax = . 所以(2,)PB PA AB x ax =+=-- ， (2,)PC PB BC x a ax =+=-- . ………4分 所以2222(2)y PB PC x a x a x =⋅=--+ ，即222()(1)(4)4f x a x a x =+-++. ………………6分所以(1)1f =. ………………7分 （注：若根据数量积定义，直接得到(1)1f =，则得3分）（Ⅱ）由（Ⅰ），知函数222()(1)(4)4f x a x a x =+-++为二次函数，其图象开口向上， 且对称轴为2242(1)a x a +=+， ………………8分 因为对称轴222224(1)31312(1)2(1)22(1)2a a x a a a +++===+>+++，[0,1]x ∈， ……10分 所以当0x =时， ()f x 取得最大值(0)4f =. ………………12分B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.1. [1,0)-2. 2-或2e 3. (3,0)(3,)-+∞ 4. {0,1} 5. [10,20] 注：第2 题少解不得分.二、解答题：本大题共3小题，共30分.6.（本小题满分10分）解:（Ⅰ）由411()log 12a f a a -==+，得121a a -=+， ………………2分 解得3a =-. ………………4分 （Ⅱ）由函数41()log 1x f x x -=+有意义，得101x x ->+. ………………5分 所以函数()f x 的定义域为{|1x x >，或1}x <-. ………………6分 因为1444111()log log ()log ()111x x x f x f x x x x ------===-=--+++， 所以()()f x f x -=-，即函数()f x 为奇函数. ………………10分7.（本小题满分10分）解: （Ⅰ）由函数()3x f x =，()||3g x x a =+-，得函数||3()[()]3x a h x f g x +-==. ………………1分 因为函数()h x 的图象关于直线2x =对称，所以(0)(4)h h =，即||3|4|333a a -+-=，解得2a =-. ………………3分 （Ⅱ）方法一：由题意，得[()]|3|3xg f x a =+-.由[()]|3|30x g f x a =+-=，得|3|3x a +=， ………………5分 当3a ≥时，由30x >，得33x a +>， 所以方程|3|3x a +=无解，即函数[()]y g f x =没有零点； ………………6分 当33a -<≤时，因为3x y a =+在R 上为增函数，值域为(,)a +∞，且33a -<≤，所以有且仅有一个0x 使得033x a +=，且对于任意的x ，都有33x a +≠-， 所以函数[()]y g f x =有且仅有一个零点； ………………8分 当3a -<时，因为3x y a =+在R 上为增函数，值域为(,)a +∞，且3a -<，所以有且仅有一个0x 使得033x a +=，有且仅有一个1x 使得133x a +=-， 所以函数[()]y g f x =有两个零点.综上，当3a ≥时，函数[()]y g f x =没有零点； 当33a -<≤时，函数[()]y g f x =有且仅有一个零点；当3a -<时，函数[()]y g f x =有两个零点. ………………10分 方法二：由题意，得[()]|3|3xg f x a =+-.由[()]|3|30x g f x a =+-=，得|3|3x a +=， ………………5分 即33x a +=，或33x a +=-，整理，得33x a =-，或33x a =--.○1考察方程33x a =-的解，由函数3x y =在R 上为增函数，且值域为(0,)+∞，得当30a ->，即3a <时，方程33x a =-有且仅有一解；当03a -≤，即3a ≥时，方程33x a =-有无解； ………………7分 ○2考察方程33x a =--的解，由函数3x y =在R 上为增函数，且值域为(0,)+∞，得当30a -->，即3a <-时，方程33x a =--有且仅有一解；当03a --≤，即3a ≥-时，方程33x a =--有无解. ………………9分综上，当3a ≥时，函数[()]y g f x =没有零点； 当33a -<≤时，函数[()]y g f x =有且仅有一个零点；当3a -<时，函数[()]y g f x =有两个零点. ………………10分 注：若根据函数图象便得出答案，请酌情给分，没有必要的文字说明减2分.8.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）答案不唯一，如函数0y =，y x =等. ………………3分 （Ⅱ）因为函数2()f x ax bx c =++的图象经过点(1,0)-，所以0a b c -+=. ○1因为y x =为函数)(x f 一个承托函数，且)(x f 为函数21122y x =+的一个承托函数， 所以2()1122x f x x +≤≤对x ∈R 恒成立. 所以1(1)1f ≤≤，即 (1)1f a b c =++=. ○2 ………………5分由○1○2，得12b = ，12a c +=. ………………6分 所以211()22f x ax x a =++-. 由()f x x ≥对x ∈R 恒成立，得201122ax x a -+-≥对x ∈R 恒成立. 当0a =时，得01122x -+≥对x ∈R 恒成立，显然不正确； ………………7分 当0a ≠时，由题意，得0,0,114()42a a a >⎧⎪⎨∆=--⎪⎩≤ 即20(41)a -≤， 所以14a =. ………………9分 代入2()1122f x x +≤，得21110424x x -+≥， 化简，得2(1)0x -≥对x ∈R 恒成立，符合题意.所以14a =，12b =，14c =. ………………10分。

北京市西城区2017-2018学年高一数学下学期期末考试试题（扫描
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北京市西城区2016 - 2017学年度第二学期期末试卷高一数学2017.7试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1[,)+∞2执行如图所示的程序框图，则输出的i值为（二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 11. 函数()f x _______.12. 在等差数列{}n a 中,245a a +=，则3a =_______.13. 随机抽取某班6名学生，测量他们的身高（单位：cm ），获得身高数据依次为：162，168，170，171，179，182，那么此班学生平均身高大约为 cm ；样本数据的方差为 .14. 设x ，y 满足约束条件2,1,10,y x x y y ++⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 则3z x y =+的最大值是_______.15. 有4张卡片，上面分别写有0，1，2，3. 若从这4张卡片中随机取出2张组成一个两位数，则此数为偶数的概率是_______.16. 在数列{}n a 中，312a =，115a =-，且任意连续三项的和均为11，则2017a =_______；设n S 是数列{}n a 的前n 项和，则使得100n S ≤成立的最大整数n =_______.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分13分）在等差数列{}n a 中,12a =,3516a a +=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）如果2a ，m a ，2m a 成等比数列，求正整数m 的值.18．（本小题满分13分）北京是我国严重缺水的城市之一.为了倡导“节约用水，从我做起”，小明在他所在学校的2000名同学中，随机调查了40名同学家庭中一年的月均用水量（单位：吨），并将月均用水量分为6组：[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12)，[12,14]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）给出图中实数a 的值；（Ⅱ）根据样本数据，估计小明所在学校2000名同学家庭中,月均用水量低于8吨的约有多少户；（Ⅲ）在月均用水量大于或等于10吨的样本数据中，小明决定随机抽取2名同学家庭进行访谈，求这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于[10,12)组的概率.19．（本小题满分13分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2a =,1cos 4C =-. （Ⅰ）如果3b =,求c 的值；（Ⅱ）如果c =sin B 的值.20．（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和24n S n n =-，其中*n ∈N .吨a（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设21na nb =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（Ⅲ）若对于任意正整数n ，都有12231111n n a a a a a a λ++++≤，求实数λ的最小值.21．（本小题满分14分）已知函数2()(21)f x ax a x b =+++，其中a ，b ∈R .（Ⅰ）当1a =，4b =-时，求函数()f x 的零点；（Ⅱ）如果函数()f x 的图象在直线2y x =+的上方，证明：2b >； （Ⅲ）当2b =时，解关于x 的不等式()0f x <．22．（本小题满分14分）在无穷数列{}n a 中，1a p =是正整数，且满足1, ,25, .nn n nn a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数当为奇数 （Ⅰ）当39a =时，给出p 的值；（结论不要求证明） （Ⅱ）设7p =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，求150S ；（Ⅲ）如果存在*m ∈N ，使得1m a =，求出符合条件的p 的所有值.北京市西城区2016-2017学年度第二学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准2017.7一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1. A2. B3. B4. B5. D6. A7. C8. D9. C 10. C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11. [2,2]-； 12.52； 13. 172，45； 14. 73； 15. 59； 16. 4，29.注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 17.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ,则3512616a a a d +=+=, ………………………3分 又因为12a =，解得2d =. ………………………5分 所以1(1)2n a a n d n =+-=. ………………………7分 （Ⅱ）解：因为2a ，m a ，2m a 成等比数列，所以222m m a a a =⋅， ………………………10分即2(2)44m m =⨯，m *∈N ，解得4m =. ………………………13分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为各组的频率之和为1，所以月均用水量在区间[10,12)的频率为 1(0.02520.0750.1000.225)20.1-⨯+++⨯=，所以，图中实数0.120.050a =÷=. ………………………3分 （Ⅱ）解：由图可知, 样本数据中月均用水量低于8吨的频率为(0.0250.0750.225)20.65++⨯=， ………………………5分所以小明所在学校2000名同学家庭中,月均用水量低于8吨的约有0.6520001300⨯=(户). ………………………7分（Ⅲ）解：设“这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于[10,12)组”为事件A ， 由图可知, 样本数据中月均用水量在[10,12)的户数为0.0502404⨯⨯=.记这四名同学家庭分别为,,,a b c d ,月均用水量在[12,14]的户数为0.0252402⨯⨯=.记这两名同学家庭分别为,e f , 则选取的同学家庭的所有可能结果为：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a c a d a e a f b c b d (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),b e b f c d c e c f d e d f e f 共15种， ………………………9分事件A 的可能结果为：(,),(,),(,),(,),a e a f b e b f (,),(,),(,),(,),c e c f d e d f 共8种， ………………………11分 所以8()15P A =. ………………………13分19.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由余弦定理2222cos c a b ab C =+-， ………………………3分 得2149223()164c =+-⨯⨯⨯-=，解得4c =. ………………………5分（Ⅱ）解：（方法一）由1cos 4C =-，(0,π)C ∈，得sin 4C ==.……7分由正弦定理sin sin a c A C =，得sin sin a C A c ==. ……………………10分所以cos 8A ==. 因为πABC ++=，所以sin sin()B A C =+sin cos cos sin A C A C =+ ………………………12分1()4-+=. ………………………13分（方法二）由1cos 4C =-，(0,π)C ∈，得sin C …………7分 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-， 得2124422()4b b =+-⨯⨯⨯-，解得4b =，或5b =-（舍）. ………………………10分由正弦定理sin sin b c B C =，得sin sin 4b C Bc ==. ………………………13分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当1n =时，113a S ==-； ………………………1分 当2n ≥时，125n n n a S S n -=-=-， ………………………3分 因为13a =-符合上式，所以25n a n =-*()n ∈N . ………………………4分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ），得2521n n b -=+. ………………………5分 所以12n n T b b b =+++3125(21)(21)(21)n ---=++++++3125(222)n n ---=++++ ………………………6分32(14)14n n --=+-1(41)24n n =-+. ………………………9分（Ⅲ）解：122311111111131335(25)(23)n n a a a a a a n n +=-++++⨯⨯--+++2111111[(1)()()]323352523n n =-+-+-++---11646n =---， ………………………11分 当1n =时，12113a a =，（注：此时1046n <-） 由题意，得13λ≥； ………………………12分 当2n ≥时， 因为1046n >-， 所以1223111116n n a a a a a a +<-+++. 因为对于任意正整数n ，都有12231111n n a a a a a a λ++++≤，所以λ的最小值为13. ………………………13分21.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由2()340f x x x =+-=，解得4x =-，或1x =.所以函数()f x 有零点4-和1. ………………………3分 （Ⅱ）解：（方法1）因为()f x 的图象在直线2y x =+的上方，所以2(21)2ax a x b x +++>+对x ∈R 恒成立.即2220ax ax b ++->对x ∈R 恒成立. ………………………5分所以当0x =时上式也成立，代入得2b >. ………………………8分 （方法2）因为()f x 的图象在直线2y x =+的上方， 所以2(21)2ax a x b x +++>+对x ∈R 恒成立.即2220ax ax b ++->对x ∈R 恒成立. ………………………5分 当0a =时，显然2b >. 当0a ≠时，由题意，得0a >，且2(2)4(2)0a a b ∆=--<， ………………………6分 则24(2)40a b a ->>， 所以4(2)0a b ->，即2b >.综上，2b >. ………………………8分（Ⅲ）解：由题意，得不等式2(21)20ax a x +++<，即(1)(2)0ax x ++<. …………9分当0a =时，不等式化简为20x +<，解得2x <-； ………………………10分 当0a ≠时，解方程(1)(2)0ax x ++=，得根12x =-，21x a=-. 所以，当0a <时，不等式的解为：2x <-，或1x a>-； ………………………11分 当102a <<时，不等式的解为：12x a-<<-； ………………………12分 当12a =时，不等式的解集为∅； ………………………13分当12a >时，不等式的解为：12x a-<<-. ………………………14分 综上，当0a <时，不等式的解集为{|2x x <-，或1}x a >-；当0a =时，不等式的解集为{|2}x x <-；当102a <<时，不等式的解集为1{|2}x x a -<<-；当12a =时，不等式的解集为∅；当12a >时，不等式的解集为1{|2}x x a -<<-.22.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：36p =，或13. ………………………3分 （Ⅱ）解：由题意，17a =，代入，得212a =，36a =，43a =，58a =，64a =，72a =，81a =，96a =，所以数列{}n a 中的项，从第三项起每隔6项重复一次（注：39a a =）， ………5分 故15012348345624()S a a a a a a a a a =+++++++++71224(638421)6384=+++++++++++ 616=.………………………8分（Ⅲ）解：由数列{}n a 的定义，知*n a ∈N .设t 为数列{}n a 中最小的数，即min{}i t a i =∈N *， 又因为当n a 为偶数时，12nn a a +=， 所以t 必为奇数. ………………………9分 设k a t =，则15k a t +=+，252k t a ++=， 所以52t t +≤，解得5t ≤. 所以{1,3,5}t ∈. ………………………10分 如果3k a t ==，那么由数列{}n a 的定义，得18k a +=，24k a +=，32k a +=，41k a +=， 这显然与3t =为{}n a 中最小的数矛盾，所以3t ≠. ………………………12分如果5k a t ==，当1k =时，5p =； 当2k ≥时，由数列{}n a 的定义，得1k a -能被5整除，…，得1a p =被5整除； 所以当且仅当*15()a p r r ==∈N 时，5t =. ………………………13分 这与题意不符.所以当*15()a r r ≠∈N 时，数列{}n a 中最小的数1t =， 即符合条件的p 值的集合是*{|r r ∈N ，且r 不能被5整除}. …………………14分。