新余市高三“二模”考试 数学试题卷（理科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}2|560A x x x =-+≥，{}|210B x x =->，则A B ⋂=（ ）A ．(][),23,-∞⋃+∞B ．1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,32⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．[)1,23,2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦2.已知复数z 满足：()3112z i i i i+=--则复数z 的虚部为（ ） A ．i B ．i - C ．1 D ．1- 3.已知下列命题：①在某项测量中，测量结果X 服从正态分布()()1,0N σσ>，若X 在()0,1内取值范围概率为0.4，则X 在()0,2内取值的概率为0.8； ②若a ，b 为实数，则“01ab <<”是“1b a<”的充分而不必要条件； ③已知命题12:,p x x R ∀∈，()()()()21210f x f x xx --≥，则p ⌝是：12,x x R ∃∉，()()()()21210f x f x x x --<；④ABC ∆中，“角A ，B ，C 成等差数列”是“)sin 3sin cos C A A B =+”的充分不必要条件；其中，所有真命题的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4.从1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2个数，事件A =“第一次取到的是奇数”B =“第二次取到的是奇数”，则()P B A =（ ） A ．12 B ．25 C.310 D ．155.为迎接中国共产的到来，某校举办了“祖国，你好”诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的6名学生中选派4名学生参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么不同的朗诵顺序的种数为（ ）A ．320B ．324 C.410 D ．4166.在()12201820170a x a x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭的展开式中，5x项的系数等于264，则()02axex dx +⎰等于（ ）A ．23e +B ．24e + C.1e + D ．2e +7.在如图所示的程序框图中，若输入的98m =，63n =，则输出的结果为（ ）A ．9B ．8 C.7 D ．6 8.已知关于x 的方程()sin sin 2x x m ππ⎛⎫-++=⎪⎝⎭在区间[)0,2π上有两个根1x ，2x ，且12x x π-≥，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()5,1- B ．(5,1⎤⎦ C.5⎡⎣D ．[)0,19.斜率为k 的直线l 过抛物线()220y px p =>焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，点()00,P x y 为AB 中点，作OQ AB ⊥，垂足为Q ，则下列结论中不正确的是（ ） A ．0ky 为定值 B ．OA OB ⋅为定值 C.点P 的轨迹为圆的一部分 D ．点Q 的轨迹是圆的一部分 10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．136πB ．144π C.36π D ．34π11.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，1F ，2F 为其左、右焦点，P 为椭圆C 上除长轴端点外的任一点，G 为12F PF ∆内一点，满足123PG PF PF =+，12F PF ∆的内心为I ，且有12IG F F λ=（其中λ为实数），则椭圆C 的离心率e 等于（ ） A ．13 B ．12 C.23D 312.定义：如果函数()y f x =在区间[],a b 上存在()1212,x x a x x b <<<，满足()()()'1f b f a f x b a -=-，()()()'2f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =是在区间[],a b 上的一个双中值函数，已知函数()3265f x x x =-是区间[]0,t 上的双中值函数，则实数t 的取值范围是（ ） A ．36,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．26,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 23,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．61,5⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量(),1a x =，()1,2b =，()1,5c =-，若()2//a b c +，则a = ．14.若实数x ，y 满足不等式组023010y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则2z y x =-的最小值是 ．15.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ,c ,2220b c a -+=,tan 3tan CB=,则a = ．16.对于函数()[]()()sin ,0,212,2,2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，下列5个结论正确的是 （把你认为正确的答案全部写上）．（1）任取[)12,0,x x ∈+∞，都有()()122f x f x -≤； （2）函数()y f x =在[]4,5上单调递增；（3）()()()22f x kf x k K N +=+∈，对一切[)0,x ∈+∞恒成立； （4）函数()()ln 1y f x x =--有3个零点；（5）若关于x 的方程()()0f x m m =<有且只有两个不同的实根1x ，2x ，则123x x +=. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知{}n a 是各项都为正数的数列，其前n 项和为n S ，且n S 为n a 与1na 的等差中项. （1）求证：数列{}2n S 为等差数列； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）设()1nnnb a -=，求{}n b 的前n 项和n T .18. “微信运动”已成为当下热门的健身方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下： 步量性别 0~20002001~50005001~8000 8001~10000>10000男 1 2 3 6 8 女21062（1）已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？积极型 懈怠型 总计 男 女 总计附：()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++，()20P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0k2.7063.8415.0246.635（2）若小王以这40位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布，现从小王的所有微信好友中任选2人，其中每日走路不超过5000步的有X 人，超过10000步的有Y 人，设X Y ξ=-，求ξ的分布列及数学期望.19.已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PD PB =，H 为PC 上的点，过AH 的平面分别交PB ，PD 于点M ，N ，且//BD 平面AMHN . （1）证明：MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点，3PA PC AB ==，PA 与平面ABCD 所成的角为60，求二面角P AM N --的余弦值.20. 已知动圆过定点()0,2，且在X 轴上截得的弦长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线C . （1）求直线420x y -+=与曲线C 围成的区域面积；（2）点P 在直线:20l x y --=上，点()0,1Q ，过点P 作曲线C 的切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，证明：存在常数λ，使得2PQ QA QB λ=⋅，并求λ的值. 21. 已知函数()()221x f x ax bx e -=++（e 为自然对数的底数）.（1）若12a =，求函数()f x 的单调区间； （2）若()11f =，且方程()1f x =在()0,1内有解，求实数a 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4sin ρθ=，直线l 的参数方程为3222x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），直线l 和圆C 交于A ，B 两点. （1）求圆心的极坐标；（2）直线l 与x 轴的交点为P ，求PA PB +. 23.选修4-5：不等式选讲设不等式2120x x -<--+<的解集为M ，,a b M ∈.（1）证明：111364a b +<； （2）比较14ab -与2a b -的大小.试卷答案一、选择题1-5:DCCAB 6-10:ACDCD 11、12：BA 二、填空题13.10 14.3215.4 16.（1）（4）（5）三、解答题17.解答：（1）由题意知，即，①当n=1时，由①式可得S1=1；又n≥2时，有a n=S n﹣S n﹣1，代入①式得整理得．∴是首项为1，公差为1的等差数列．（2）由（Ⅰ）可得，∵{a n}是各项都为正数，∴，∴（n≥2），又，∴．（3），当n为奇数时，当n为偶数时，∴{b n}的前n项和．18.解：（1）积极型 懈怠型 总计 男 14 6 20 女 8 12 20 总计221840()2240141268403.8412020221811K ⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯，故没有95%以上的把握认为二者有关； （2）由题知，小王的微信好友中任选一人，其每日走路步数不超过5000步的概率为18，超过10000步的概率为14，且当0X Y ==或1X Y ==时，0ξ=，12551129888464P C =⨯+⋅=；当1X =，0Y =或0X =，1Y =时，1ξ=，1122151530884864P C C =⋅+⋅=；当2X =，0Y =或0X =，2Y =时，2ξ=，221154864P ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即的分布列为：58E ξ=. 19.【解析】【试题分析】（1）连结AC 交BD 于点O ，连结PO ．根据菱形有BD AC ⊥，根据等腰三角形有BD PO ⊥，所以以BD ⊥平面PAC ， BD PC ⊥.利用线面平行的性质定理有//MN BD ，故//BD MN ，所以MN PC ⊥.（2）以O 为坐标原点建立空间直角. 【试题解析】（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结PO ．因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，且O 为AC 、BD 的中点，因为PD PB =，所以PO BD ⊥，因为AC PO O ⋂=且AC PO ⊂、平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ， 因为PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥．因为//BD 平面AMHN ， BD ⊂平面PBD ，且平面AMHN ⋂平面PBD MN =， 所以//BD MN ，所以MN PC ⊥．（2）由（1）知BD AC ⊥且PO BD ⊥，因为PA PC =，且O 为AC 的中点，所以PO AC ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ，所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠， 所以，所以13,22AO PA PO PA ==，因为3PA AB =，所以36BO PA =． 分别以OA ， OB ， OP 为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设2PA =，则()()()()33130,0,0,1,0,0,0,,0,1,0,0,0,,0,0,0,3,,0,3322O A B C D P H ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()233330,,0,,0,,1,,0,1,0,33223DB AH AB AP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 记平面AMHN 的法向量为()1111,,n x y z =，则111112303{3322n DB y n AH x z ⋅==⋅=-+=， 令10x =，则110,3y z ==，所以()11,0,3n =，记平面PAB 的法向量为()2222,,n x y z =，则2222223{ 30n AB x y n AP x z ⋅=-=⋅=-=， 令21x =，则2233,y z ==231,3,n ⎛= ⎝⎭， 记二面角P AM N --的大小为θ，则12121239cos cos ,13n n n n n n θ⋅===⋅． 所以二面角P AM N --的余弦值为3913． 20.曲线方程联立求交点坐标，根据定积分求曲边形面积可得结果；（Ⅱ）设()11,A x y 、()22,B x y ，()00,P x y ，根据导数求切线斜率，设切线方程，由韦达定理2PQ 、QA QB⋅用0x ，表示可得1λ=.试题解析：（Ⅰ） 设动圆圆心的坐标为(),x y ，由题意可得，()222222y x y +=+-，化简得24x y =，联立方程组24420x y x y ⎧=⎨-+=⎩，解得114x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩或21x y =⎧⎨=⎩，所以直线420x y -+=与曲线C 围成的区域面积为22111194248x x dx -⎛⎫+-=⎪⎝⎭⎰；（Ⅱ）设()11,A x y 、()22,B x y ，则由题意可得，切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，切线PB 的方程为()2222x y y x x -=-，再设点()00,P x y ，从而有()()1010*******{2x y y x x x y y x x -=--=-，所以可得出直线AB 的方程为()20000011422222x x x y y x x y y x x x y -=-⇒-=⨯-=-⨯，即002x y x y =-． 联立方程组002{24x y x y x y=-=，得200240x x x y -+=，又002y x =-，所以有()2002420x x x x -+-=，可得1201202{48x x x x x x +==-，()()222222000000||13269PQ x y x x x x =+-=+-=-+，()()2222121212121211114444x x x x QA QB y y y y y y ⋅=++=+++=⋅+++=()()2212121221164x x x x x x +-++=()()()220002004822481269164x x x x x ---++=-+，所以常数2||=1PQ QA QBλ=⋅． 21. 解: （I ）当21=a ，x e bx x x f -++=)1()(2，x e b x b x x f --+-+-=']1)2([)(2 令0)(='x f ，得11=x ，b x -=12.当0=b 时，0)(≤'x f .当0>b ，11<<-x b 时，0)(>'x f ，b x -<1或1>x 时，0)(<'x f . 当0<b ，b x -<<11时，0)(>'x f ，b x ->1或1<x 时，0)(<'x f .∴0=b 时，)(x f 的单调递减区间为),(+∞-∞；0>b 时，)(x f 的单调递增区间为)1,1(b -，递减区间为)1,(b --∞，),1(+∞；0<b 时，)(x f 的单调递增区间为)1,1(b -，递减区间为)1,(-∞，),1(+∞-b（II ）由1)1(=f 得e b a =++12，a e b 21--=，由1)(=x f 得122++=bx ax e x ，设12)(2---=bx ax e x g x ，则)(x g 在)1,0(内有零点.设0x 为)(x g 在)1,0(内的一个零点，则由0)1(,0)0(==g g 知)(x g 在区间),0(0x 和)1,(0x 上不可能单调.设)()(x g x h '=，则)(x h 在区间),0(0x 和)1,(0x 上均存在零点，即)(x h 在)1,0(上至少有两个零点 b ax e x g x --='4)(，a e x h x 4)(-='.当41≤a 时，0)(>'x h ，)(x h 在区间)1,0(上递增，)(x h 不可能有两个及以上零点； 当4e a ≥时，0)(<'x h ，)(x h 在区间)1,0(上递减，)(x h 不可能有两个及以上零点； 当441e a <<时，令0)(='x h 得)1,0()4ln(∈=a x ，所以)(x h 在区间))4ln(,0(a 上递减，在)1),4(ln(a 上递增，)(x h 在区间)1,0(上存在最小值))4(ln(a h .若)(x h 有两个零点，则有：0))4(ln(<a h ，0)0(>h ，0)1(>h .)441(1)4ln(46)4ln(44))4(ln(e a e a a a b a a a a h <<-+-=--=设)1(,1ln 23)(e x e x x x x <<-+-=ϕ，则x x ln 21)(-='ϕ，令0)(='x ϕ，得e x =. 当e x <<1时，0)(>'x ϕ，)(x ϕ递增，当e x e <<时，0)(<'x ϕ，)(x ϕ递减，01)()(max <-+==e e e x ϕϕ，所以0))4(ln(<a h 恒成立.由0221)0(>+-=-=e a b h ，04)1(>--=b a e h ，得2122<<-a e . 当2122<<-a e 时，设)(x h 的两个零点为21,x x ，则)(x g 在),0(1x 递增，在),(21x x 递减，在)1,(2x 递增，所以0)0()(1=>g x g ，0)1()(2=<g x g ，则)(x g 在),(21x x 内有零点. 综上，实数a 的取值范围是)21,22(-e . 22. 解：（1）由4sin ρθ=,得24sin ρρθ=,得224x y y +=,故圆C 的普通方程为2240x y y +-=,所以圆心坐标为()0,2,圆心的极坐标为2,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）把322x ty ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入2240x y y +-=得24t =，所以点A 、B 对应的参数分别为122,2t t ==-令202t +=得点P 对应的参数为04t =- 所以10202424628PA PB t t t t +=-+-=++-+=+=.法二：把322x ty ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩化为普通方程得323y x =-+， 令0y =得点Ｐ坐标为(23,0)P ，又因为直线l 恰好经过圆C 的圆心，故2222(230)(02)8PA PB PC +==-+-=.23. 解：当2x <-时，原不等式可化为230-<<，显然不成立；当21x -≤≤时，原不等式可化为121x -<-<，解得1122x -<<；当1x >时，原不等式可化为230-<-<显然不成立。
