1.1.2 弧度制 A课

1．1.2 弧度制1.了解弧度制的意义．2.能正确的将弧度与角度互化．3.掌握弧长公式和扇形面积公式．1．角度制规定周角的1360为1度的角，记作1°.用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．2．弧度制(1)长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad ．用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制．(2)弧度数①正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0．②角α的弧度数的绝对值|α|＝lr (其中l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的弧长，r 为圆半径)．3．角度与弧度之间的互化及关系(1)度化弧度：360°＝2π rad ，180°＝π rad ，1°＝π180 rad ≈0.017 45 rad.(2)弧度化度：2π rad ＝360°，π rad ＝180°，1 rad ＝180°π≈57.30°.4．扇形的弧长及面积公式(1)弧长公式：l ＝|α|·r ，(r 为圆半径，|α|为圆心角的弧度数)，两个变形：|α|＝l r ，r ＝l|α|.(2)面积公式：S 扇形＝12l ·r (r 为扇形半径，l 为扇形的弧长)，两个变形：S 扇形＝12|α|·r 2，S 扇形＝12l 2|α|(α为扇形圆心角的弧度数)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1弧度指的是1度的角．( )(2)弧长为π，半径为2的扇形的圆心角是直角．( )解析：(1)错误.1弧度指的是长度等于半径长的弧所对的圆心角． (2)正确．若弧长为π，半径为2，则|α|＝π2，故其圆心角是直角．★答案★：(1)× (2)√ 2.8π5弧度化为角度是( ) A ．278° B ．280° C ．288° D ．318°★答案★：C3．半径为2，圆心角为π3的扇形的面积是( )A ．4π3B ．πC ．2π3D ．π3★答案★：C4．(1)18°＝________rad ；(2)310π＝________．★答案★：(1)π10(2)54°角度与弧度的互化(1)将下列各角度化成弧度： ①1 080°，②－750°； (2)将下列各弧度化成角度： ①－7π9，②512.【解】 (1)①1 080°＝1 080×π180 rad ＝6π rad ，②－750°＝－750×π180 rad ＝－25π6 rad.(2)①－7π9 rad ＝－7π9×180°π＝－140°，②512 rad ＝512×180°π＝75°π.角度制与弧度制的互化原则(1)角度与弧度的换算关系式是角度与弧度互化的重要依据，其中应记住关系式：π＝180°，它能够帮助我们更快、更准确地进行运算．(2)如果角度以度、分、秒的形式给出时，应先将它化为度，再转化为弧度；如果弧度给出的是实数，如2弧度，化为度应是2×180°π＝360°π.1.将下列角度与弧度进行互化．①20°＝________； ②－15°＝________； ③－115π＝________．解析：①20°＝20×π180＝π9.②－15°＝－15×π180＝－π12.③－115π＝－115π×180°π＝－396°.★答案★：π9 －π12－396°终边相同的角和区域角的弧度制表示(1)设角α1＝－570°，α2＝750°，将α1，α2用弧度制表示出来 ，并指出它们各自所在的象限；(2)用弧度制表示第二象限角的集合，并判断－10π3 是不是第二象限角．【解】 (1)因为－570°＝－19π6＝－4π＋5π6， 750°＝25π6＝4π＋π6.所以α1在第二象限，α2在第一象限． (2)在[0，2π)范围内，第二象限角α∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 所以终边落在第二象限的所有角可表示为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z ，而－10π3＝－4π＋2π3∈⎝⎛⎭⎫－4π＋π2，－4π＋π， 所以－10π3是第二象限角．熟练掌握角度与弧度的互化，准确判断角所在的象限是学习三角函数知识的必备基本功．若需要在某一指定范围内求具有某种特性的角时，通常转化为解不等式去求对应的k 值．[注意] 用弧度制表示角时，不能与角度制混用，如β＝2k π－60°(k ∈Z )这种写法是不正确的．2.(1)在区间(0，2π)内，与－34π5终边相同的角是( )A ．π5B ．2π5C ．4π5D ．6π5(2)①把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α＜2π；②在[0，4π]中找出与2π5角终边相同的角．解：(1)选D ．因为－34π5＝－8π＋6π5，则－34π5与6π5终边相同，选D ．(2)①因为－1 480°＝－1 480×π180 rad＝－749π rad ，又－749π＝－10π＋169π，其中α＝169π，所以－1 480°＝169π－10π.②终边与2π5角相同的角为θ＝2π5＋2k π(k ∈Z )，当k ＝0时，θ＝2π5；当k ＝1时，θ＝12π5，所以在[0，4π]中与2π5角终边相同的角为2π5，12π5.弧长与扇形面积公式的应用已知一扇形的圆心角是α，半径是r .(1)若α＝60°，r ＝10 cm ，求扇形的弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c (c >0)，则当α为多少弧度时，该扇形的面积最大？ 【解】 (1)设弧长为l ，弓形的面积为S 弓． 因为α＝60°＝π3，r ＝10 cm ，所以l ＝αr ＝103π(cm)，所以S 弓＝S 扇－S △＝12×103π×10－34×102＝50⎝⎛⎭⎫π3－32(cm2)．(2)由已知2r＋l＝c，所以r＝c－l2(l<c)，所以S＝12rl＝12·c－l2·l＝14(cl－l2)＝－14⎝⎛⎭⎫l－c22＋c216，所以当l＝c2时，S max＝c216，此时α＝lr＝c2c－c22＝2，所以当扇形圆心角为2弧度时，扇形的面积有最大值c216.(1)求扇形的弧长和面积①记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝12lr＝12αr2(其中l是扇形的弧长，α是扇形圆心角的弧度数，0＜α＜2π)．②找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．(2)扇形周长及面积的最值问题①当扇形周长一定时，扇形的面积有最大值．其求法是把面积S转化为关于r的二次函数，但要注意r的取值范围．特别注意一个扇形的弧长必须满足0＜l＜2πr.②当扇形面积一定时，扇形的周长有最小值，其求法是把周长C转化为关于r的函数，用基本不等式可求得扇形周长的最小值．特别注意一个扇形的弧长必须满足0＜l＜2πr.3.(1)在半径为12 cm的圆上，有一条弧的长是18 cm，求该弧所对的圆心角的弧度数和该扇形的面积．(2)已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：(1)设该弧所对的圆心角为α，则α＝lr＝1812＝32(rad)，该扇形面积为S＝12lr＝12×18×12＝108(cm2)．(2)设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l＋2r＝40，所以l ＝40－2r ，所以S＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝－(r －10)2＋100.所以当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，这个最大值为100 cm 2，这时θ＝l r ＝40－2×1010＝2 rad.“度”与“弧度”的区别与联系 区别(1)定义不同 (2)单位不同．弧度制是以“弧度”为单位，单位可以省略，而角度制是以“度”为单位，单位不能省略(3)弧度制是十进制，而角度制是六十进制 联系(1)不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值，仅和半径与所含的弧这两者的比值有关 (2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化已知扇形的周长为10 cm ，面积为4 cm 2，求扇形圆心角的弧度数． 【解】 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l ，半径为r ， 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝10，①12lr ＝4，②①代入②得r 2－5r ＋4＝0， 解得r 1＝1，r 2＝4. 当r ＝1 cm 时，l ＝8 cm ， 此时θ＝8 rad>2π rad(舍去)； 当r ＝4 cm 时，l ＝2 cm ， 此时θ＝24＝12(rad)．有关扇形的弧长l ，圆心角α，面积S 的题目，一般是知二求一的题目，解此类题目的关键在于灵活运用l ＝|α|r ，S ＝12lr ＝12|α|r 2两组公式，采用消元思想或二次函数思想加以解决．1．1 920°转化为弧度数为( )A ．163B ．323C ．163πD ．323π解析：选D ．因为1°＝π180，所以1 920°＝1 920·π180＝32π3.2．在半径为8 cm 的圆中，5π3的圆心角所对的弧长为( ) A ．403π cmB ．203π cmC ．2003π cmD ．4003π cm解析：选A ．根据弧长公式，得l ＝5π3×8＝40π3(cm)．3．一钟表的分针长为5 cm ，经过40分钟后，分针外端点转过的弧长是________cm. 解析：经过40分钟，分针转过的角是α＝－4×π3＝－43π，则l ＝|α|r ＝5×43π＝203π(cm)．★答案★：203π[学生用书P79(单独成册)])[A 基础达标]1.3π4对应的角度为( ) A ．75° B ．125° C ．135°D ．155°解析：选C ．由于1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°， 所以3π4＝34π×⎝⎛⎭⎫180π°＝135°，故选C ．2．用弧度制表示与150°角的终边相同的角的集合为( ) A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝－5π6＋2k π，k ∈Z B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝5π6＋k ·360°，k ∈Z C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝2π3＋2k π，k ∈ZD ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝5π6＋2k π，k ∈Z 解析：选D ．150°＝150×π180＝5π6，故与150°角终边相同的角的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝5π6＋2k π，k ∈Z .3．一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角为( )A ．π2B ．π3C ． 2D ． 3解析：选C ．设圆内接正方形的边长为a ，则该圆的直径为2a ，所以弧长等于a 的圆弧所对的圆心角α＝l r ＝a22a ＝2，故选C ．4．钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( ) A ．143 πB ．－143πC ．718πD ．－718π解析：选B ．显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了73周，转过的弧度为－73×2π＝－143π.5．扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( ) A ．扇形的圆心角大小不变 B ．扇形的圆心角增大到原来的2倍 C ．扇形的圆心角增大到原来的4倍 D ．扇形的圆心角减小到原来的一半解析：选A ．设扇形原来的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，则变化后半径为2r ，弧长为2l ，圆心角为β，所以α＝l r ，β＝2l 2r ＝lr＝α，即扇形的圆心角大小不变．6．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，则角A ，B ，C 的弧度数分别为________． 解析：A ＋B ＋C ＝π，又A ∶B ∶C ＝3∶5∶7， 所以A ＝3π3＋5＋7＝π5，B ＝5π3＋5＋7＝π3，C ＝7π15.★答案★：π5，π3，7π157．火车站钟楼上有座大钟，这座大钟的分针20 min 所走的圆弧长是π3 m ，则这座大钟分针的长度为________ m.解析：因为分针20 min 转过的角为－2π3，所以由l ＝|α|r ，得r ＝l|α|＝π32π3＝0.5(m)，即这座大钟分针的长度为0.5 m.★答案★：0.58．一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2 km ，一列火车用30 km/h 的速度通过，10 s 内转过的弧度为________．解析：10 s 内列车转过的圆形弧长为103 600×30＝112(km)．转过的角α＝1122＝124(弧度)．★答案★：1249．一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形面积是多少？解：设弧长为l ，所对圆心角为α，则l ＋2r ＝πr ， 即l ＝(π－2)r . 因为|α|＝lr ＝π－2，所以α的弧度数是π－2， 从而S 扇形＝12lr ＝12(π－2)r 2.10．设集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z ， B ＝{x |x 2≤36}，试求集合A ∩B ． 解：由集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z ，可知A ＝…∪⎣⎡⎦⎤－9π4，－7π4∪⎣⎡⎦⎤－5π4，－3π4 ∪⎣⎡⎦⎤－π4，π4∪ ⎣⎡⎦⎤3π4，5π4∪⎣⎡⎦⎤7π4，9π4∪….由B ＝{x |x 2≤36}，可得B ＝{x |－6≤x ≤6}，在数轴上将两个集合分别作出，如图．可得集合A ∩B ＝⎣⎡⎦⎤－6，－7π4∪ ⎣⎡⎦⎤－5π4，－3π4∪⎣⎡⎦⎤－π4，π4∪⎣⎡⎦⎤3π4，5π4∪⎣⎡⎦⎤7π4，6.[B 能力提升]1．设角α的终边为射线OP ，射线OP 1与OP 关于y 轴对称，射线OP 2与OP 1关于直线y ＝－x 对称，则以OP 2为终边的角的集合是( )A ．{β|β＝k ·2π＋α，k ∈Z }B ．{β|β＝(2k ＋1)·π＋α，k ∈Z }C ．{β|β＝k ·2π＋π2＋α，k ∈Z }D ．{β|β＝k ·2π＋32π＋α，k ∈Z }解析：选C ．依题意，射线OP 1所对应的角γ满足α＋γ＝k 1·2π＋π，k 1∈Z ，① 射线OP 2所对应的角β满足γ＋β＝k 2·2π－π2，k 2∈Z ，②②－①得β－α＝(k 2－k 1)·2π－32π，即β＝k ·2π＋π2＋α，k ∈Z .2．如图，动点P ，Q 从点A (4，0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，则(1)P ，Q 第一次相遇时所用的时间为________． (2)P ，Q 点各自走过的弧长为________，________． 解析：设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t 秒， 则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪－π6＝2π， 解得t ＝4.所以第一次相遇时所用的时间是4秒，第一次相遇时点P 已经运动到角π3·4＝43π的终边与圆的交点位置，点Q 已经运动到角－2π3的终边与圆的交点位置，所以点P 走过的弧长为43π×4＝163π， 点Q 走过的弧长为⎪⎪⎪⎪－2π3×4＝23π×4＝83π. ★答案★：(1)4秒 (2)163π 83πRuize 3．已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求：(1)AB ︵的长；(2)扇形所含弓形的面积．解：(1)因为120°＝120180π＝23π， 所以l ＝|α|·r ＝6×23π＝4π， 所以AB ︵的长为4π.(2)因为S 扇形OAB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π， 如图所示有S △OAB ＝12×AB ×OD ＝12×2×6cos 30°×3＝9 3.(D 为AB 中点) 所以弓形的面积为S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－9 3.4．(选做题)将一条绳索绕在半径为40 cm 的轮圈上，绳索的下端处悬挂着物体B ，如果轮子按逆时针方向每分钟旋转6圈，现将物体B 的位置向上提升100 cm ，那么需要多长时间才能完成？解：如图，设将物体向上提升100 cm ，需要的时间为t s.当BB ′＝100 cm 时，AA ′︵的长是100 cm ，AA ′︵所对的圆心角∠AOA ′＝10040＝52(rad)． 因为轮子每分钟匀速旋转6圈，所以每秒匀速转过6×2π60＝π5(rad)． 于是t s 转过π5t rad ， 所以π5t ＝52， 得t ＝252π≈4(s)．。

1.1.2弧度制【课标要求】1．了解角的另外一种度量方法——弧度制．2．能进行弧度与角度的互化．3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式．【核心扫描】1．对弧度制概念的理解．(难点)2．弧度制与角度制的互化．(重点、易错点)新知导学1．度量角的单位制(1)角度制用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的1360.(2)弧度制①弧度制的定义长度等于的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．②任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个；负角的弧度数是一个；零角的弧度数是零．③角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r.温馨提示：圆心角α所对的弧长与半径的比值lr与半径的大小无关，仅与角的大小有关．2．角度制与弧度制的换算(1)温馨提示：角度制与弧度制是两种不同的度量单位，两者之间可相互转化，并且角度与弧度是一一对应的关系．在表示角时，角度制与弧度制不能混用，在表达式中，要保持单位一致，防止出现π3＋k ·180°或60°＋2k π等这类错误的写法．3．扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则 温馨提示：扇形的面积公式S ＝12lR 与三角形的面积公式极为相似(把弧长看作底)，可以类比记忆．在弧度制下的弧长公式、面积公式有诸多优越性，但如果已知角是以“度”的单位，则必须先化成弧度后再计算．互动探究探究点1 角α＝2这种表达方式正确吗？探究点2 弧度制与角度制有何区别与联系？探究点3 如何用弧度制表示直角坐标系中的角？题型探究类型一 角度制与弧度制的换算 【例1】 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.[规律方法] (1)进行角度与弧度换算时，要抓住关系：π rad ＝180°.(2)熟记特殊角的度数与弧度数的对应值．【活学活用1】 (1)把112°30′化成弧度； (2)把－5π12化成度．类型二 用弧度制表示终边相同的角【例2】 (1)将－1 500°表示成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出它是第几象限角； (2)在0°～720°范围内，找出与角2π5终边相同的角．[规律方法] 用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z )时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．【活学活用2】 设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－π3.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°范围内找出与它们终边相同的所有角．类型三 扇形的弧长及面积公式的应用【例3】 已知一个扇形的周长为a ，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值．[规律方法] (1)联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S ＝12lr ＝12|α|r 2，二是l ＝|α|r ，如果已知其中两个，就可以求出另一个．(2)当扇形周长一定时，其面积有最大值，最大值的求法是把面积S 转化为r 的函数． 【活学活用3】 已知一个扇形的周长为8π9＋4，圆心角为80°，求这个扇形的面积．易错辨析 角的度量单位不统一及角的大小不清楚【示例】 用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在如图所示的阴影部分内的角的集合(不包括边界)．[错解] (1)330°＋2k π<θ<75°＋2k π(k ∈Z )，(2)225°＋2k π<θ<135°＋2k π(k ∈Z )．[错因分析] 在用角度或弧度表示角时，不要混用；此外，对于区域角，要注意旋转方向，并注意把结果写成集合的形式．[正解] (1)∵330°的终边也可看作－30°的终边，∴－30°＝－π6，75°＝5π12，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪－π6＋2k π<θ<5π12＋2k π，k ∈Z . (2)∵225°的终边也可看作－135°的终边，∴－135°＝－3π4，135°＝3π4，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪－3π4＋2k π<θ<3π4＋2k π，k ∈Z . [防范措施] 一定要使用统一的角的度量单位，另外要弄清角的大小，不要出现矛盾不等式.课堂达标1．下列说法中，错误的说法是( )． A ．半圆所对的圆心角是π rad B ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 2．α＝－2，则α的终边在( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．－2312π rad 化为角度应为________．4．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．5．已知集合A ＝{α|2k π<α<π＋2k π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，求A ∩B .课堂小结1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式． 易知：度数×π180rad ＝弧度数，弧度数×⎝⎛⎭⎫180π°＝度数． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单 位取弧度.参考答案新知导学1．(2)①半径长②正数负数2．角度制与弧度制的换算(1) 2π 360° π 180°(2) 90° 180°3．α·R互动探究探究点1提示正确．用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，角α＝2就表示α是2 rad的角．探究点2提示(1)区别：①弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制．②1弧度的角是指等于半径长的弧所对的圆心角，而1度的角是指等于周角的1360的角，二者大小显然不同．③用弧度制表示角时，单位“弧度”两个字可以省略不写，但用角度制表示角时，单位“°”不能省略．(2)联系：无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值．探究点3提示(1)利用弧度制表示终边落在坐标轴上的角的集合.(2)类型一 角度制与弧度制的换算 【例1】 【解】(1)20°＝20π180＝π9.(2)－15°＝－15180π＝－π12.(3)7π12＝712×180°＝105°. (4)－11π5＝－115×180°＝－396°.【活学活用1】 【解】(1)112°30′＝⎝⎛⎭⎫2252°＝2252×π180＝5π8. (2)－5π12＝－⎝⎛⎭⎫5π12×180π°＝－75°. 类型二 用弧度制表示终边相同的角【例2】 【解】(1)－1 500°＝－1 500×π180＝－25π3＝－10π＋5π3.∵5π3是第四象限角，∴－1 500°是第四角限角． (2)∵2π5＝25×180°＝72°，∴终边与角2π5相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z )，当k ＝0时，θ＝72°；当k ＝1时，θ＝432°，∴在0°～720°范围内，与2π5角终边相同的角为72°，432°.【活学活用2】 【解】(1)∵180°＝π rad ， ∴α1＝－570°＝－570π180＝－19π6＝－2×2π＋5π6，α2＝750°＝750π180＝25π6＝2×2π＋π6.∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限． (2)β1＝3π5＝35×180°＝108°，设θ＝108°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤θ<0°，即－720°≤108°＋k ·360°<0°，得k ＝－2，或k ＝－1.故在－720°～0°范围内，与β1终边相同的角是－612°和－252°.β2＝－π3＝－60°，设γ＝－60°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤－60°＋k ·360°<0°，得k ＝－1，或k ＝0. 故在－720°～0°范围内，与β2终边相同的角是－420°.类型三 扇形的弧长及面积公式的应用【例3】 【解】设扇形的弧长为l ，半径为r ，圆心角为α，面积为S . 由已知，2r ＋l ＝a ，即l ＝a －2r . ∴S ＝12l ·r ＝12(a －2r )·r ＝－r 2＋a 2r＝－⎝⎛⎭⎫r －a 42＋a 216. ∵r >0，l ＝a －2r >0，∴0<r <a 2，∴当r ＝a 4时，S max ＝a 216.此时，l ＝a －2·a 4＝a2，∴α＝lr＝2.故当扇形的圆心角为2 rad 时，扇形的面积最大，为a 216.【活学活用3】【解】设扇形的半径为r ，面积为S ，由已知，扇形的圆心角为80×π180＝4π9， ∴扇形的弧长为4π9r ，由已知，得4π9r ＋2r ＝8π9＋4，∴r ＝2， ∴S ＝12·4π9r 2＝8π9.故扇形的面积是8π9.课堂达标1．D【解析】根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A 、B 、C 均正确，D 错误． 2．C【解析】1 rad≈57.30°，∴－2 rad≈－114.60°.故α的终边在第三象限． 3．－345°【解析】－2312π＝－2312×180°＝－345°.4．34【解析】由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .5．【解】∵A ＝{α|2k π<α<π＋2k π，k ∈Z }， 令k ＝1，有2π<α<3π，而2π>4；令k＝0，有0<α<π；令k＝－1，有－2π<α<－π.而－2π<－4<－π，故A∩B＝{α|－4≤α<－π或0<α<π}．。

1．1任意角和弧度制 1.1.2弧度制(教学设计)一、教学目标：1、知识与技能（1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（5）角的集合与实数集R 之间建立的一一对应关系.(6) 使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.2、过程与方法创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器.3、情态与价值通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节学习三角函数做好准备. 二、教学重、难点重点: 理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用. 难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用. 三、学法与教学用具在我们所掌握的知识中，知道角的度量是用角度制，但是为了以后的学习，我们引入了弧度制的概念，我们一定要准确理解弧度制的定义，在理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化. 四、教学设想（一）创设情境，新课引入有人问：德化到泉州有多远时，有人回答约80公里，但也有人回答约50英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.（二）、师生互动，新课讲解：1．角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等.弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制与角度制之间如何换算？请看课本67P P ~，自行解决上述问题.2.弧度制的定义长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写).3.探究:如图,半径为r 的圆的圆心与原点重合,角α的终边与x 轴的正半轴重合,交圆于点A ,终边与圆交于点B .请完成表格.我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.4.思考:如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ,那么a 的弧度数是多少?角α的弧度数的绝对值是：rl=α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径. 5.根据探究中180rad π︒=填空:1___rad ︒=,1___rad =度显然,我们可以由此角度与弧度的换算了. 6。

1.1.2弧度制
一、教学任务
1.明确引入弧度制的必要性，理解新单位制的意义；
2.弄清1弧度的角的含义，理解弧度数的绝对值公式，并能熟练地进行角度与弧度的换
算；
3.使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是互相联系的、
辩证统一的。

二、教学重、难点
重点: 使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算；
难点:弧度制定义的理解.
三、教学基本流程
四、教学设计
问题设计意图师生活动
1.创设情景：姚明在国内称的体重是140公斤，而到了美国称的体重则是306磅，到底是那个准确呢？
通过类比使学
生感受度量某个量
可以有不同的单位
制。

教师引导学生，
同一个量可以用不
同的单位制来度量，
由于单位制不同，所
以量值也不同。

由此会想到角
的度量是否也能用
不同的单位制呢？
2.在初中我们学习过角可以用度为单
回顾已有知识。

明确引进弧度制的
教师提出问题，
学生回答。

指出角度弧度数的绝对值公式
1弧度的角
弧度与角度的换算
简单应用
五、板书：。

高中数学人教B版必修四第一章《1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教
案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
1.通过类比长度、重量的不同度量制,使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量,从而引出弧度制.
2.通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度,通过总结引入弧度制的好处,学会归纳整理并认识到任何新知识的学习,都会为解决实际问题带来方便,从而激发学生的学习兴趣.
2学情分析
在物理学和日常生活中,一个量常常需要用不同的方法进行度量,不同的度量方法可以满足我们不同的需要.现实生活中有许多计量单位,如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位制,度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制,度量角的大小可以用度为单位进行度量,并且一度的角等于周角的 ,记作1°.
通过类比引出弧度制,给出1弧度的定义,然后通过探究得到弧度数的绝对值公式,并得出角度和弧度的换算方法.在此基础上,通过具体的例子,巩固所学概念和公式,进一步认识引入弧度制的必要性.这样可以尽量自然地引入弧度制,并让学生在探究过程中,更好地形成弧度的概念,建立角的集合与实数集的一一对应,为学习任意角的三角函数奠定基础.
通过探究讨论,关键弄清1弧度角的定义,使学生建立弧度的概念,理解弧度制的定义,达到突破难点之目的.通过电教手段的直观性,使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性.通过周角的两种单位制的度量,得到角度与弧度的换算公式.使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度,二者虽单位不同,但却是互相联系、辩证统一的.进一步加强对辩证统一思想的理解,渗透数学中普遍存在、相互联系、相互转化的观点.
3重点难点
教学重点:理解弧度制的意义,并能进行角度和弧度的换算.。