血管三维重建模型

血管的三维重建模型摘要：本文对血管三维重建中，中轴线及球的半径确定问题进行了讨论。

首先，根据问题及图象处理提取有效数据，给出两种可行算法，利用上述数据建立了最大最小方法和二次规划方法。

搜索中心点，并给出全局和局部搜索，得到各切片中心点坐标(见表1)，并通过插值方式得到中轴线图象及其各投影。

最后对模型给出检验方式。

一 、问题的重述假设某些血管可视为一类特殊的管道,该管道的表面是由球心沿着某一曲线 (称为中轴线)的球（命名为包络球）滚动包络而成。

现有某管道的相继100张平行切片图象,记录了管道与切片的交。

假设：管道中轴线与每张图片有且只有一个交点；球半径固定；切片间距以及图象象素的尺寸均为1.取坐标的Z 轴垂直于切片，第1张切片为平面0=Z ，第100张切片为平面99=Z . 计算管道的中轴线与半径，给出具体的算法，并绘制中轴线在XY 、YZ 、ZX 平面的投影图。

二、模型假设与符号说明1、 基本假设：（1） 该管道的表面为一定长半径的球沿一固定的曲线运动所得曲面族包络的光滑表面。

（2） 该管道的中轴线连续而且光滑。

（3） 该管道的中轴线与每个切面有且只有一个交点。

（4） 图象象素的尺寸为1. （5） 切片的间距尺寸为1.2、 符号说明：L 中轴线R 包络球的半径()z y x O i ,, 中轴线与第i 个切片的交点（定为此切片的中心）i S 第i 个切片切得的图形 i D 第i 个切片的图象数据矩阵三、问题分析及建模准备 问题分析：通常血管的表面可认为是连续且光滑的曲面，断面可用于了解其形态等特性。

本问题给出的是一些离散的切面，要求重建出原图中轴线和求出包络球半径。

因为每一个切面与中轴线L 有且只有一个交点i O ，如果找出所有i O ,就可以用插值或拟合的方式作出L 的近似图象，其在坐标平面上的投影就很容易画出。

问题的关健转变为求每个平面上的i O . 建模准备：1、 图象的读取由于切片图象中只有黑、白两种颜色的象素,而且所给的BMP 格式图象文 件是512×512象素的.因此,把图象读取为一个512×512的数字矩阵；用数字1表示黑色的象素，用数字0表示白色的象素。

IVUS融合冠状动脉CAG三维重建模型的角度校正研究赵海升;杨丰;林慕丹;梁淑君【摘要】针对冠状动脉三维重建中IVUS采集角度偏差导致模型结果失真,提出一种在融合过程中校正IVUS融合角度的新方法.首先,分析CAG和IVUS图像中冠状动脉血管的径向信息差异计算出IVUS帧在成像过程中超声机械探头的偏移角度.其次,应用Active Demons算法判断IVUS帧在融合三维模型中的朝向.最后,将角度校正后的IVUS图像数据融合至三维骨架模型当中,完成两种数据的融合.实验表明,本文方法能大幅度改善因IVUS角度偏差而导致的IVUS图像在三维模型中的失真情况,使冠状动脉三维重建结果满足临床应用的需要.【期刊名称】《科学技术与工程》【年(卷),期】2015(015)036【总页数】7页(P84-90)【关键词】三维重建;心血管内超声;角度校正;Active Demons【作者】赵海升;杨丰;林慕丹;梁淑君【作者单位】南方医科大学生物医学工程学院,广州510515;南方医科大学生物医学工程学院,广州510515;南方医科大学生物医学工程学院,广州510515;南方医科大学生物医学工程学院,广州510515【正文语种】中文【中图分类】TP391.41近年来，冠状动脉疾病(亦称“冠心病”)的发病率和死亡率在全球均呈现上升的趋势，是影响人类寿命的首要疾病之一。

临床用于诊疗冠心病的主要影像手段有X射线冠状动脉造影术(coronary angiography，CAG)和心血管内超声(intravascular ultrasound，IVUS)［1］。

CAG 被称作检测冠心病诊断的“金标准”，是通过对患者从股动脉或肱动脉进行穿刺并打入造影剂，观察造影剂在血管内的充盈情况来观测血管的解剖学结构，同时判断病变部位的大体位置和病变程度［2］。

IVUS 是一种新型的有创断层成像技术，其图像分辨率高，能够准确获取管壁厚度、管腔形态及动脉粥样硬化斑块成分等信息［3］。

A题血管的三维重建问题摘要：本论文讨论基于切片的血管三维重建问题。

其背景是：采取存储二维切片信息，使用时再利用切片信息重建原物体三维形态的方法，可以有效地保存和利用三维信息。

此技术在实际中有很大的用途，在医学和其他领域有广泛的应用。

如要将人体全部三维信息，包含内部错综复杂的结构，完整地存储在计算机中，以现在的技术也是有一定难度的，但若改用存储人体切片信息，使用时重建再现的方法，则是利用现有技术可以解决的。

本论文基于题中对血管形态的假设，建立管道中轴线参数方程，并综合考虑实际情况中由于切片厚度及数字图像离散化带来的偏差，通过在每张切片图像中搜索其中阴影区域所能包含的最大圆面，确定管半径为R=29，在此基础上，将每张切片图像中阴影区域所能包含的半径大于等于R的圆面圆心作为中轴线与各切片交点（即中心点）的候选点集合。

本模型使用了三种改进算法对该候选点集进行筛选以确定实际交点。

最终迭代算法简述如下：1．对每个切片，建立中心点的候选点集，并取点集的中位点为中心点初值2．利用得到的中心点建立中轴线方程3．利用中轴线方程推导导数信息，根据导数信息比例选取中心点的候选点集的某点作为中心点的新值4．重复步骤2、3，直至结果达到较稳定状态为止5．输出中心点及中轴线方程在模型建立中，对选取侯选点集、求中位点、利用导数信息进行比例选取均给出完整的算法，并且对半径确定、候选点选取、采用导数作为比例选取依据等问题给出详尽的证明。

考虑到实际血管的中轴线应充分光滑，计算最终中轴线参数表达式时采取了六阶多项式拟合。

最后用还原的血管形态模拟切片过程可以得到一系列数字图像，与原切片图像进行比较，可以检验模型的合理性及精度。

该模型最终计算结果如下。

血管中轴线示意图从模型结果中看出，中心点分布均匀稳定，模拟检验的切片数字图像与原切片的数字图像吻合较好，模型结果精度及稳定性符合要求。

本模型算法简明，理论严密，比例选取算法使结果中心点尽可能收敛于真实中心点，迭代算法保证了结果的精度和稳定性，符合题目要求。

血管的三维重建摘要对于血管的三维重建，本文研究了血管这一类特殊管道的中轴线及其半径的算法，绘制中轴线在XY 、YZ 、ZX 平面的投影图这些问题，问题分为三部分。

针对第一部分，先将100张切片图片在MATLAB 中导出生成0-1矩阵数据，在计算100张切片的最大内切圆半径及对应圆心坐标，为减小误差求100张切片最大内切圆的平均半径41666.29 d 。

中轴线的曲线方程可在MATLAB 中拟合得到。

针对第二部分，得到中轴线曲线方程在MATLAB 中绘制出中轴线方程的空间曲线，之后将其投影在XY 、YZ 、ZX 平面上。

针对第三部分，对100张切片进行叠加重合，得到血管的三维立体图，再通过MATLAB 对血管的三维立体图进行优化完成血管的三维重建。

关键词：MATLAB 软件管道半径中轴线曲线方程一、问题重述1.1基本情况断面可用于了解生物组织、器官等的形态。

如果用切片机连续不断地将样本切成数十、成百的平行切片，可依次逐片观察。

根据拍照并采样得到的平行切片数字图象，运用计算机可重建组织、器官等准确的三维形态。

1.2相关信息假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道的表面是由球心沿着某一曲线（称为中轴线）的球滚动包络而成。

现有某管道的相继100张平行切片图象，记录了管道与切片的交。

图象文件名依次为0.bmp、1.bmp、…、99.bmp，格式均为BMP，宽、高均为512个象素（pixel）。

取坐标系的Z轴垂直于切片，第1张切片为平面Z=0，第100张切片为平面Z=99。

Z=z切片图象中象素的坐标依它们在文件中出现的前后次序为（-256，-256，z），（-256，-255，z），…（-256，255，z），（-255，-256，z），（-255，-255，z），…（-255，255，z），……（255，-256，z），（255，-255，z），…（255，255，z）。

1.3提出的问题问题一：计算出管道的中轴线与半径，给出具体的算法。

基于图像融合的冠状动脉三维重建方法的研究进展刘玉倩;蔺嫦燕【摘要】冠状动脉三维重建是心血管力学中不可或缺的一部分,同时可为医生直观确定病变位置、病变程度提供便利.基于图像融合的冠状动脉三维重建能将两种图像的优点结合起来,为医生和研究人员提供血管三维走向、血管形态及斑块形态等信息.本文概括了近年来基于图像融合的冠状动脉三维重建方法,包括血管内超声(intravenous ultrasound,IVUS)与冠状动脉造影(coronary arteriography,CAG)图像融合、光学相干断层扫描技术(optical coherence tomography,OCT)与CAG图像融合、计算机断层扫描血管造影(computed tomography arteriography,CTA)与IVUS或OCT图像融合的三维重建方法,并阐述了各方法在临床以及力学计算研究中的应用现状.【期刊名称】《北京生物医学工程》【年(卷),期】2019(038)004【总页数】7页(P427-433)【关键词】冠状动脉;三维重建;图像融合;血管内超声;光学相干断层扫描【作者】刘玉倩;蔺嫦燕【作者单位】首都医科大学附属北京安贞医院北京市心肺血管疾病研究所北京100029;首都医科大学附属北京安贞医院北京市心肺血管疾病研究所北京100029【正文语种】中文【中图分类】R318.010 引言在2017年世界卫生组织公布的全球死亡原因数据和2016年的中国心血管病报告中，心血管病死亡位居首位，且冠状动脉粥样硬化性心脏病（coronary atherosclerotic disease，CAD）患病人数在心血管疾病患病人数中居于前列。

CAD是冠状动脉血管发生动脉粥样硬化病变而引起血管腔狭窄或阻塞，造成心肌缺血、缺氧或坏死而导致心脏病患者死亡的主要诱因。

因此检测冠状动脉是否发生粥样硬化或者狭窄变得尤为重要。

目前临床上用于检测血管是否发生狭窄的方法包括计算机断层扫描血管造影（computed tomographic arteriography，CTA）、磁共振成像（magnetic resonance imaging，MRI）、冠状动脉造影（coronary arteriography，CAG）、血管内超声（intravenous ultrasound，IVUS）、光学相干断层扫描技术（optical coherence tomography，OCT）等。

髋关节血管三维重建摘要】目的重建髋关节周围三维图像为临床提供参考。

方法取1例新鲜成年男性标本，灌注后用CT扫描装置对尸体骨盆进行横断面扫描，将扫描所得数据传入PC机，利用mimics软件重建髋关节血管及韧带的三维图像并处理。

结果重建的髋关节三维图像血管显示清晰，小血管可见，管壁光滑；髋关节韧带轮廓清晰。

三维图像空间立体感强。

【关键词】髋关节三维重建近年来，国内外学者对重建人体骨骼的三维数字化模型的研究日益增多。

髋关节的三维重建，能够准确、完整地描述出髋关节的立体结构，有助于测量髋关节的解剖形态，设计适合患者髓腔形状的假体，选择正确的手术入路，以减少术后并发症的发生。

1材料与方法外伤后死亡不超过24小时新鲜成年男性尸体标本1例，骨盆无损伤。

采用以羧甲基纤维素为载体的氧化铅进行灌注，采用长沙市三医院放射科高性能CT扫描装置对尸体骨盆进行横断面扫描，共获得断层图像620张，将扫描所得数据传入PC机，利用mimics软件重建髋关节血管及韧带的三维图像并处理。

2结果重建的髋关节三维图像血管显示清晰，小血管可见，管壁光滑；髋关节韧带轮廓清晰。

三维图像空间立体感强。

.骨盆血管三维重建3讨论3.1髋关节三维重建对临床具有指导意义对于人而言，通过视觉获取知识占据了75%左右，因此，良好的可视化3D图像为骨科医生提供了一个高效获取知识的界面[2,3]。

本研究采用以羧甲基纤维素为载体的氧化铅为新型灌注材料，建立的髋关节三维血管系统显示级数大可显示细小血管，血管壁光滑、连续饱满，细微结构清晰，具备强烈的空间感；图像可在空间内任意角度旋转观察、切开等操作，给骨科医生以强烈的视觉震撼感。

因此，此三维图像能为临床骨科医生提供很好的指导意义。

髋关节置换手术前，可在3D图像下模拟手术过程[4]，评估手术可行性并可在手术过程中指导操作。

髋关节三维可视化，可在三维空间位置上可任意测量、旋转、切割、重组、缩放髋关节骨质结构和软组织结构，可以在虚拟的“解剖教室”、“诊断操作室”或“手术室”中观察和分析髋关节解剖结构的空间关系，减少和避免各种手术并发症的发生。

作者：张雄、李宁娟、贾雪娟血管的三维重建摘要随着现代医学的发展，科学对人类病例的研究不再局限在表面现象，在实际研究中利用断面可了解生物组织、器官等的的横截面形态和结构.从而可大大提高人类对某些疾病的预防和治疗.针对这一问题，本文由血管的100张连续的平行切片图象计算血管的中轴线与半径，并绘制血管在三个坐标平面上的投影来探讨血管的三维重建.由于血管的表面是由球心沿着某一曲线（即中轴线）的球滚动而成，由此我们得出结论:每个切片一定包含滚动球的大圆，并且他一定为切片的最大内切圆，而最大圆对应的半径即为血管的半径，所以求血管半径就转化为求每一个切片内部的点到切片外部轮廓线的所有最短距离中的最大值即为血管半径.本文从100张切片图中随机抽取11张切片图，运用MATLAB软件，得到其最大内切圆的圆心及半径，求取平均值，再用圆心拟合求出中轴线.最后根据中轴线求出它在XY、YZ、ZX平面的投影图.关键字MATLAB软件中轴线半径平均法一、问题重述断面可用于了解生物组织，器官等的形态.例如，将样本染色后切成厚约的切片，在显微镜下观察该横断面的组织形态结构.如果用切片机连续不断地将样本切成数十、成百的平行切片，可依次逐片观察.根据拍照并采样得到的平行切片数字图像，运用计算机可重建组织、器官等准确的三位形态.假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道的表面是由球心沿着某一曲线的球滚动包络而成.现有某管道的相继张平行切片图像，记录了管道与切片的交.图像文件名依次为0.bmp、1.bmp、2.bmp…100.bmp，格式均为bmp，宽，高均为512个象素.为简化起见，假设：管道中轴线与每张切片有且只有一个交点;球半径固定；切片间距以及图像象素的尺寸均为.试计算管道的中轴线与半径，给出具体的算法，并绘制中轴线在XY、YZ、ZX平面的投影图.二、模型假设1.假设管道中轴线与每张切片有且只有一个交点；2.假设球半径固定；3.假设切片间距以及图像象素的尺寸均为；4.假设血管无严重扭曲；5.假设切片拍摄不存在误差，数据误差仅与切片数字图像的分辨率有关.三、符号说明i内点的X轴坐标j内点的y轴坐标m切片轮廓线上的点的X轴坐标n切片轮廓线上的点的y轴坐标t坐标为ij的内点到轮廓线的距离ijr第i张切片图的最大内切圆半径i四、模型分析对于这个血管的三维重建模型，由于血管的表面是由球心沿着某一曲线（即中轴线）的球滚动而成，我们对此得出结论: 若切片与中轴线有交点，且管道的法向横断面是圆，则该切片必含有半径与球体相同的最大圆，即为切片的最大内切圆，而最大圆对应的半径即为血管的半径，圆心则在交点处.所以求血管半径就转化为求每一个切片内部的点到切片外部轮廓线的最大半径.利用计算机，运用MATLAB软件，搜索出100张切片图的最大内切圆的半径，并找到每张切片中轴线与切片交点的坐标，记为中轴线坐标，即圆心坐标.利用这些坐标，求出血管的中轴线.在根据中轴线求出它在XY 、YZ 、ZX 平面的投影图.五、 模型的建立与求解（1）半径和圆心的求取（见附录1）a :运用MA软件将每张切片的bmp 文件转化为01-矩阵，0代表黑色，1代表白色.同时将切片的轮廓线也存为01-矩阵.b : 在100张图片中随机抽取了11张切片的图片（0.bmp 、9.bmp …99.bmp ），做出它们的轮廓线，找出每个内点距离轮廓线的最小距离i t ，即为以这个内点为圆心的最小内切圆的半径；ij t =min()i ij t t =在以内点为圆心的最小内切圆中找出距离最大的那个内切圆，即为这幅图的最大内切圆，该内点的坐标即为圆心的坐标，该距离即为最大内切圆的半径i r （见表一）.max()i i r t = 表一c:用算数平均法求取半径.100 11ii rr==∑即29.7367r=（2）求解拟合曲线的方程及平面投影图通过表1的数据, 运用MATLAB 软件先进行4次线性拟合得xoz 面的投影图，再进行6次线性拟合得yoz 及xoy 面的投影图和中轴线的空间分布图及拟合方程.图依次如下： （附录2和3）中轴线在xoz 面的拟合方程：1.955z =⨯5410x -+333.39210x -⨯-121.20210 1.13595.343x x -⨯++中轴线在yoz 面的拟合方程：1061.34210z x -=⨯+85644.02110 4.55310x x --⨯+⨯+43322.25910 4.14210x x --⨯+⨯+22.76910 2.563x -⨯+中轴线在0x y 面的拟合方程：156115940.710 1.190107.94410z x x x ---=-⨯+⨯-⨯+632.75410x -⨯4225.24510 5.26110 1.802x x ---⨯+⨯-六、模型评价及改进模型评价由于解决三维血管重组这问题问题十分繁杂，文中没有数据，故而在处理数据时应用了MATLAB等数学处理软件对图片进行处理得出大量数据并采用算数平均法进行了科学精确地处理，保证了数据整合以及结果计算的精准度；本文选取的数据较少，使得结果存在一定的误差,同时采用动态地逼近最大内切圆半径的求解过程，其计算量庞大.模型改进本文针对三维血管重组问题分别找出血管的中心轴、半径以及在xoy、yoz、zox、的投影和xyz的空间图形建立模型，对于这类模型可推广到其他更广范围.可运用于研究人体的其他器官的形态结构，为人类的医学作出大量的贡献.七、参考文献【1】赵静、但琦，数学建模与数学实验（第二版），北京：高等教育出版社【2】朱道远，数学案例精选，北京：科学出版社，2003.【3】薛定宇陈阳泉，高等应用数学问题的MATLAB求解，北京清华大学出版社八、附录1、找出半径及圆心坐标p=ones(512,512);p2=ones(512,512);s=sprintf('d:\\99.bmp');%'*'是我们所选的第*张图p(:,:)=imread(s);p2(:,:)=edge(p(:,:));imshow(p2(:,:));ff=555*ones(512,512);%”555“这个数必须大于实际半径for i=1:512for j=1:512if p (i,j)==0for m=1:512for n=1:512if p2(m,n)==1t1=sqrt((i-m)*(i-m)+(j-n)*(j-n));if ff(i,j)>t1ff(i,j)=t1;endendendendendendendfor i=1:512for j=1:512if ff(i,j)==555 %这个数与上面的一致ff(i,j)=0;%这个数应该小于等于0endendendr=max(max(ff(:,:)));for j=1:512for i=1:512if r-ff(i,j)<0.1%'0.1'是确定它的误差c1=i;c2=j;endendendrc1 %'c1'是空间中x轴的坐标c2 %'c2'是空间中y轴的坐标2、中轴线在XY、YZ、ZX平面的投影图z=[0,9,19,29,39,49,59,69,79,89,99];c1=[96,96,96,96,115,146,202,268,361,396,446];c2=[257,259,268,290,338,377,411,423,396,369,257];A=polyfit(z,c1,4)B=polyfit(z,c2,6);C=polyfit(c1,c2,6);x=polyval(A,z);y=polyval(B,z);figure(1)plot(x,y)title('血管的中轴线在xoy面的投影')xlabel('x')ylabel('y')grid onprint(1,'-djpeg','e:\xoy.jpeg');figure(2)plot(x,z)title('血管的中轴线在xoz面的投影')xlabel('x')ylabel('z')grid onprint(2,'-djpeg','e:\zox.jpeg');figure(3)plot(y,z)3、拟合方程A=polyfit(z,c1,4)%（中轴线在xoz面的拟合方程）B=polyfit(z,c2,6)%（中轴线在yoz面的拟合方程）C=polyfit(c1,c2,6)%( 中轴线在xoy面的拟合方程)。

医学影像的三维重建技术分析医学影像技术是当今医学领域中最重要的工具之一。

通过医学影像技术，我们可以精确定位人体内部的各种组织和器官，并发现疾病和异常情况。

不过传统的医学影像技术只能提供二维图像，这会限制医生对患者病情的全面理解和精准诊断。

近年来，随着三维重建技术的出现，医学影像技术也得以实现三维呈现，从而大大提高了医生的诊断准确度和治疗效果。

下文将以三维重建技术为重点，分析医学影像的三维重建技术在医学领域中的运用。

1. 三维重建技术简介三维重建技术是一种将多幅二维图像或视频转化为三维模型的方法。

该技术通过将多幅二维图像中的像素点组合起来，从而生成一个三维的模型。

这种技术最初是由计算机科学家和工程师在计算机图形学领域中开发的，旨在用于虚拟现实、电影特效、游戏制作等领域。

但是，随着医学领域中对精准诊断和治疗效果的要求日益提高，三维重建技术也被应用到了医学影像领域中。

2. 三维重建技术在医学影像中的应用2.1 神经外科学神经外科学是对神经系统疾病进行诊断和治疗的学科，如肿瘤、脑血管病等。

传统的医学影像技术在诊断和治疗神经系统疾病时存在很大的局限性，如在肿瘤手术过程中，传统的医学影像技术只能提供肿瘤的位置信息，而无法提供更加全面的详细信息。

这时三维重建技术的应用就能大有裨益。

医生可以用三维重建技术将患者的CT或MRI等影像数据转化为三维模型，从而更加清晰地看到肿瘤的形态和位置，甚至能够模拟手术手法帮助医生进行手术规划。

这不仅提高了手术的安全性，还能够避免手术中的误切或漏切，从而提高了治疗效果和患者的生存率。

2.2 心血管学心血管学是研究心血管系统疾病的学科，如冠心病、高血压等。

三维重建技术在心血管学中的应用也十分广泛。

医生可以通过三维重建技术将心脏的CT或MRI 等影像数据转化为三维模型，从而更加直观地观察病变的位置、程度和形态，更好地判断是否需要手术治疗或选择手术方法。

此外，三维重建技术还可用于普通心功能检测，提高心脏检测的准确性和可靠性。

血管的三维重建1摘要序列图像的三维重建在各学科中都起到至关重要的作用，本次讨论的是血管的三维重建。

首先，假设该管道是由球心沿着某一曲面的球滚动包络而成，故本次的主要目的是求岀中轴线坐标及半径。

现有100平行切片图像，本次建立的模型可分为四步；第一步，采集图形边界点数据。

由于每图片都是512*512的矩阵，故此数据很大，采用imread（）函数将其读入矩阵A中。

第二步，最大切圆寻找及半径的确定。

提出两种方案•分别是切线法和最大覆盖法；从上述两种方法分析及考虑到我们所使用的工具和材料•可以得出方法二更加直观•计算机实现更容易•计算复杂度更低.所以我们采用后者。

根据以上算法，我们抽取了所有的切片图进行半径的提取.然后再求其平均值. 求其均值得到球的半径为29. 6345。

第三步，轨迹的搜索。

在第二步中求出了血管的半径，轨迹的搜索就可以建立在半径确定的基础上.当然我们也可以求出每一个切面图形的最大切圆•然后得到每个圆心的坐标，即中轴线坐标，但这样做计算机的运算量会很大.同时由于最大切圆搜索法的稳定性不髙.从而会造成搜索的不精确.所以采用定半径搜索。

本文提岀了三种方法.分别为网格法、蒙特卡罗法和非线性规划法；本次采用非线性规划来实现。

第四步，绘制中轴线空间曲线图和在XOY. YOZ. XOZ三个平面的投影图。

由定理1:切片上血管截面图的头部顶点在XOY平面上的投影点一定会落在中轴线在X0Y平面上的投影曲线上（在论文中以证明），并得出推论：切片上血管截面中中位线与中轴线在XOY面上的投影重合。

最后可由中轴线和血管半径在作图软件中达到血管的三维重建，本次的模型还存在一定的不足，其假设为管道中轴线与每个切面有且只有一个交点，事实上还存在有多个交点的情况，但为了简化模型在此做了一定的假设，故会存在一定的误差。

关键词：三维重建切圆半径轨迹（中轴线）注：求边界时采用了老师的思想和程序。

2问题重述假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道的表面是由球心沿着某一曲线 (称为中轴线)的球滚动包络而成。

血管的三维重建摘要本文以血管的三维重建为研究对象，对100张平行切片图像进行分析，利用这些宽、高均为512象素的切片，计算管道的半径和确定中轴线方程，并在此基础上画出重建后的血管三维图像，主要内容如下：对于问题一，计算管道的半径，由于血管表面是由球心沿着某一曲线（称为中轴线）的球滚动包络而成，可以得出结论：切片中包含的最大圆的半径即血管半径，所以问题转化为求每一切片上的最大内切圆的半径。

为了便于计算，运用Matlab imread 函数，将BMP 格式文件转化为0-1矩阵，然后运用edge bwmorph 、函数确定轮廓和骨架的位置，并求解骨架上每一点到边缘的最短距离。

这些最短距离中的最大值即为最大内切圆半径也就是血管半径。

最后对所有的半径取平均值，得出结果：100()1=29.41666100k k RR ==∑对于问题二，根据问题一中求出的100个圆心坐标及半径求解中轴线方程，运用Matlab 软件对圆心所形成的曲线进行n 阶多项式拟合。

为使中轴线较为光滑，在Matlab 拟合工具箱多次试验后，取最高阶次=7n 。

由于z 轴值是逐层单调递增的,为简化方程的计算,取t 为参变量，分别对其投影在YZ 、ZX 平面上进行多项式拟合，最后得到中轴线在平面投影上拟合的曲线方程如下：()()()-107-76-55432-107-86-55-3432-3.2310 1.16910-1.628100.00108-0.035260.5706-3.105+5.243=3.06110-9.62310+1.3610-0.640610+0.01912-0.298+1.89-1.63.3=y t t t t t t t t f x t t t t t t t t z t t ⎧=⨯+⨯⨯+⎪+⎪⎪=⨯⨯⨯⨯⎨⎪⎪⎪⎩最后根据方程画出中轴线图形，YZ YX ZX 、、平面的投影在拟合工具箱中可以直接得到。

对于问题三，根据问题一、二求出的中轴线的参数方程和100张切片的最大内切圆的半径，运用Matlab 软件画出血管的三维立体图。

DSA的成像原理方法与处理方式DSA（Digital Subtraction Angiography）是一种用于血管成像的医学技术，通过将数字图像处理与数字减法技术相结合，可以清晰显示和凸显血管内的病变和血流。

下面将详细介绍DSA的成像原理、方法与处理方式。

成像原理：1.采集：在DSA过程中，需要通过将对比剂注入患者的血管中来提高血管的对比度。

对比剂可以在血管内发生吸收，形成血管内的高密度影像。

通过成像设备（如X射线机、CT扫描机或MRI机）拍摄一系列连续的X射线图像或断层扫描图像，这些图像显示了血管在对比剂的影响下的亮度变化。

2.处理：处理阶段是DSA的核心步骤，该步骤使用数字减法技术将背景血管影像从采集的图像中去除，提取和展示血管内病变的细节。

减法过程基于两个图像之间的像素值差异。

第一个图像是在对比剂注入之前采集的基准图像（前影像），第二个图像是对比剂注入后的图像（后影像）。

通过使用计算机算法，减法技术通过减去前影像的像素值来抵消基线血管的影响，仅显示对比剂而产生的血管壁的细微亮度变化。

DSA的方法：DSA的方法分为两个步骤：前处理和后处理。

1.前处理：前处理主要包括图像增强和图像配准两个步骤。

-图像增强：图像增强旨在提高图像的可视化效果和对比度。

图像增强可以使用滤波器或数学运算对图像进行处理，以提高边缘的清晰度和血管的可见性。

-图像配准：图像配准是将前影像和后影像对齐的过程，以确保减法过程的准确性和可靠性。

图像配准可以通过特定的算法将两个图像的几何形状和位置进行匹配。

2.后处理：后处理是DSA中的主要步骤，通过数字减法技术提取和展示血管内的病变和血流。

-数字减法：数字减法是DSA中的核心技术，通过减去前影像的像素值，去除背景血管并突出显示血管内部的病变。

数字减法可以通过计算机算法实现，通常基于像素值的差异来确定哪些像素属于背景血管并减去这些像素的值。

-三维重建：三维重建技术可以将多个DSA图像组合起来，形成血管网络的立体模型。

血管的三维重建模型摘要：本文对血管三维重建中，中轴线及球的半径确定问题进行了讨论。

首先，根据问题及图象处理提取有效数据，给出两种可行算法，利用上述数据建立了最大最小方法和二次规划方法。

搜索中心点，并给出全局和局部搜索，得到各切片中心点坐标(见表1)，并通过插值方式得到中轴线图象及其各投影。

最后对模型给出检验方式。

一 、问题的重述假设某些血管可视为一类特殊的管道,该管道的表面是由球心沿着某一曲线 (称为中轴线)的球（命名为包络球）滚动包络而成。

现有某管道的相继100张平行切片图象,记录了管道与切片的交。

假设：管道中轴线与每张图片有且只有一个交点；球半径固定；切片间距以及图象象素的尺寸均为1.取坐标的Z 轴垂直于切片，第1张切片为平面0=Z ，第100张切片为平面99=Z . 计算管道的中轴线与半径，给出具体的算法，并绘制中轴线在XY 、YZ 、ZX 平面的投影图。

二、模型假设与符号说明1、 基本假设：（1） 该管道的表面为一定长半径的球沿一固定的曲线运动所得曲面族包络的光滑表面。

（2） 该管道的中轴线连续而且光滑。

（3） 该管道的中轴线与每个切面有且只有一个交点。

（4） 图象象素的尺寸为1. （5） 切片的间距尺寸为1.2、 符号说明：L 中轴线R 包络球的半径()z y x O i ,, 中轴线与第i 个切片的交点（定为此切片的中心）i S 第i 个切片切得的图形 i D 第i 个切片的图象数据矩阵三、问题分析及建模准备 问题分析：通常血管的表面可认为是连续且光滑的曲面，断面可用于了解其形态等特性。

本问题给出的是一些离散的切面，要求重建出原图中轴线和求出包络球半径。

因为每一个切面与中轴线L 有且只有一个交点i O ，如果找出所有i O ,就可以用插值或拟合的方式作出L 的近似图象，其在坐标平面上的投影就很容易画出。

问题的关健转变为求每个平面上的i O . 建模准备：1、 图象的读取由于切片图象中只有黑、白两种颜色的象素,而且所给的BMP 格式图象文 件是512×512象素的.因此,把图象读取为一个512×512的数字矩阵；用数字1表示黑色的象素，用数字0表示白色的象素。