初中数学人教版七年级第四章《余角和补角》
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2024年人教版初中七年级数学上册《余角和补角》精彩教案
2024年人教版初中七年级数学上册《余角和补角》精彩教案一、教学内容本节课选自2024年人教版初中七年级数学上册第四章《角的性质与分类》中的第4.3节“余角和补角”。
详细内容包括：1. 理解余角的定义及性质；2. 理解补角的定义及性质；3. 学会计算余角和补角；4. 掌握余角和补角的应用。
二、教学目标1. 知识与技能：让学生掌握余角和补角的定义，能够熟练计算余角和补角；2. 过程与方法：培养学生运用余角和补角的性质解决问题的能力；3. 情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的团队协作精神。
三、教学难点与重点1. 教学重点：余角和补角的定义及其性质；2. 教学难点：余角和补角的计算及应用。
四、教具与学具准备1. 教具：三角板、量角器；2. 学具：练习本、铅笔、直尺。
五、教学过程1. 实践情景引入（1）请两名同学到讲台前演示：用三角板拼出两个互补的角；（2）引导学生观察并思考：什么是余角？什么是补角？2. 新知讲解（1）余角的定义：如果两个角的和等于90°，则这两个角互为余角；（2）补角的定义：如果两个角的和等于180°，则这两个角互为补角；（3）余角和补角的性质：互为余角的两个角的和为90°，互为补角的两个角的和为180°。
3. 例题讲解（1）找出互为余角和互为补角的例子；（2）计算给定角度的余角和补角。
4. 随堂练习（1）判断题：找出互为余角和互为补角的角；（2）计算题：计算给定角度的余角和补角。
5. 小组讨论（1）讨论余角和补角的性质；（2）讨论如何运用余角和补角解决实际问题。
六、板书设计1. 余角和补角2. 定义：余角：两个角的和等于90°；补角：两个角的和等于180°。
3. 性质：互为余角的两个角的和为90°；互为补角的两个角的和为180°。
4. 例题及解答。
七、作业设计1. 作业题目（1）找出下列角的余角和补角：a. 30°b. 60°c. 120°（2）已知一个角的补角是80°，求这个角的度数。
人教版数学七年级上册4.余角、补角的概念和性质课件
（4）同一个角的补角相等吗？如 两个角相等，它们的补角相等吗？
什么叫两 个角互为 余角？
2
1
2
1
互为余角 如果两个角的和是一
个直角，那么这两个角叫 做互为余角，其中一个角 是另一个角的余角。
2
1
图中给出的各角，那些互为余角？
10o
30o
50o
60o
40o
80o
什么叫两
个角互为
4
补角？
3
4
2∠2互补，∠３ 与∠４互补 ，如果∠1＝∠３, 那么∠2与∠４相等吗？为什 么？
2
1
4 3
补角性质：
同角或等角的补角相等
探究:余角和补角的性质
如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４ 互余 ，如果∠1＝∠３，那么∠2与 ∠４相等吗？为什么？
1
2
3
4
如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４ 互余 ，如果∠1＝∠３，那么∠2与 ∠４相等吗？为什么？
C
A
OB
1. ∠1=120 °, ∠1与∠2互补, ∠3与∠2互余,则 ∠3= 30 °.
2.O为直线AB上的一点，OD 平分∠AOB，
1. ∠COE = 90 °
2. 则∠BOC∠= DOE ， 3. ∠COD∠= AOE 。
知识回顾 三角板中的两个锐角有什么关系？
4.3.1余角和补角
学习目标 理解互为余角和互为补角
的概念，掌握互为余角及互为 补角的性质，会求一个角的余 角或补角。
自学指点
1、自学课本P127---P129的内容。 2、弄清如下问题： （1）什么叫两个角互为余角？ （2）什么叫两个角互为补角？ （3）同一个角的余角相等吗？如 两个角相等，它们的余角相等吗？
什么叫两 个角互为 余角？
2
1
2
1
互为余角 如果两个角的和是一
个直角，那么这两个角叫 做互为余角，其中一个角 是另一个角的余角。
2
1
图中给出的各角，那些互为余角？
10o
30o
50o
60o
40o
80o
什么叫两
个角互为
4
补角？
3
4
2∠2互补，∠３ 与∠４互补 ，如果∠1＝∠３, 那么∠2与∠４相等吗？为什 么？
2
1
4 3
补角性质：
同角或等角的补角相等
探究:余角和补角的性质
如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４ 互余 ，如果∠1＝∠３，那么∠2与 ∠４相等吗？为什么？
1
2
3
4
如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４ 互余 ，如果∠1＝∠３，那么∠2与 ∠４相等吗？为什么？
C
A
OB
1. ∠1=120 °, ∠1与∠2互补, ∠3与∠2互余,则 ∠3= 30 °.
2.O为直线AB上的一点，OD 平分∠AOB，
1. ∠COE = 90 °
2. 则∠BOC∠= DOE ， 3. ∠COD∠= AOE 。
知识回顾 三角板中的两个锐角有什么关系？
4.3.1余角和补角
学习目标 理解互为余角和互为补角
的概念，掌握互为余角及互为 补角的性质，会求一个角的余 角或补角。
自学指点
1、自学课本P127---P129的内容。 2、弄清如下问题： （1）什么叫两个角互为余角？ （2）什么叫两个角互为补角？ （3）同一个角的余角相等吗？如 两个角相等，它们的余角相等吗？
人教版七年级数学上册4.余角和补角课件
∠的补角是（180 °—∠ ）
5、如图，O是直线AB上一点，OC是∠AOB的平分线 ①∠AOD的补角是_____∠__B_O_D___ ②∠AOD的余角是____∠__C__O_D___ ③∠DOB的补角是_____∠__A_O__D__
2
13
3
3
3
4
∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，如果∠1=∠3，那么∠2 与∠4相等吗？为什么？
x
∠α的余角
85°
58° 45° 13°
27°37′ 90° x
∠α的补角
175°
148°
135°
103°
117°37′ 180° x
从上面这张表格中,你还能得到什么信息?
若一个角的补角等于它的余角的3倍，求这 个角的度数。
1.
对应图形 数量关系 性质
互为余角
互为补角
1 2
21
∠1+ ∠2 = 90 ° ∠1+ ∠2 = 180 °
14
4
4
4
2
3
∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果∠1=∠3，那么∠2与 ∠4相等吗？为什么？
分析:由∠1与∠2互余,可得∠2=90°-_____ ∠1
由∠3与∠4互余,可得∠4=90°-_____ ∠3
答:因为∠1=∠3, 这就是∠2=∠4
所以90°-∠1= 90°-∠3,
等角的余角相等
分析:由∠1与∠2互补,可得∠2=180°-_____∠1
北
B
D
北
40°
东
西O 60°
A
东
西O 60°
A
南 C南
一艘渔船从O 点沿北偏东30°的方向以8千米/时的速度 行驶3小时到达A 处后，接到风浪警报，欲立即调头以16 千米/时的速度向正西方向行驶，争取1.5小时到达小岛B 处.A、B两处的距离是多少？B处在O点北偏西多少度？ O、B两点的距离是多少？
5、如图，O是直线AB上一点，OC是∠AOB的平分线 ①∠AOD的补角是_____∠__B_O_D___ ②∠AOD的余角是____∠__C__O_D___ ③∠DOB的补角是_____∠__A_O__D__
2
13
3
3
3
4
∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，如果∠1=∠3，那么∠2 与∠4相等吗？为什么？
x
∠α的余角
85°
58° 45° 13°
27°37′ 90° x
∠α的补角
175°
148°
135°
103°
117°37′ 180° x
从上面这张表格中,你还能得到什么信息?
若一个角的补角等于它的余角的3倍，求这 个角的度数。
1.
对应图形 数量关系 性质
互为余角
互为补角
1 2
21
∠1+ ∠2 = 90 ° ∠1+ ∠2 = 180 °
14
4
4
4
2
3
∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果∠1=∠3，那么∠2与 ∠4相等吗？为什么？
分析:由∠1与∠2互余,可得∠2=90°-_____ ∠1
由∠3与∠4互余,可得∠4=90°-_____ ∠3
答:因为∠1=∠3, 这就是∠2=∠4
所以90°-∠1= 90°-∠3,
等角的余角相等
分析:由∠1与∠2互补,可得∠2=180°-_____∠1
北
B
D
北
40°
东
西O 60°
A
东
西O 60°
A
南 C南
一艘渔船从O 点沿北偏东30°的方向以8千米/时的速度 行驶3小时到达A 处后，接到风浪警报，欲立即调头以16 千米/时的速度向正西方向行驶，争取1.5小时到达小岛B 处.A、B两处的距离是多少？B处在O点北偏西多少度？ O、B两点的距离是多少？
人教版七年级数学上册第四章余角和补角课件
等角的余角相等
五．探索规律，归纳性质
1、同角或等角的余角相等。
2、同角或等角的补角相等。
四．动手画图，探索性质
4.请你借助直尺，在原图上画出∠AOB所有的补角并标 上数字。
A
1
C
2
O
B
3
4
D
五．动手画图，探索性质
5.画完图后请回答下列问题：
（1）图中有哪几对互补的角?
1与2， 2与4, 3与4, 1与3
（6）写图中 DOE的补角________A_O__C________
E
C
D
B
O
A
5、如图，点O在直线AB上，OD平分∠COA ，OE平分∠COB，
① ∠COB +∠ AOC= 180°,∠ EOD= 90°。
②图中互余角有 4 对，互补角有 5 对。
七．归纳总结，拓展思维
谈一谈 议一议 相互交流
（2）你能发现哪几个角是相等的(直角除外)？
AOC与BOD B
(∠1=∠3)
（3）你能用一句话概括以上规律吗?
D
同角的余角相等
3、如图，∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，如果∠1=∠3，那 么∠2与∠4相等吗？为什么？你能用一句话概括这一规律吗？
2 1
4
3
答：∠2 与∠4相等。
∵∠1与∠2互余，∠3与∠4互余(已知) ∴ ∠2 = 90°─∠1，∠4 = 90°─∠3(互为余角的定义) ∵ ∠1=∠3(已知) ∴ ∠2 =∠4(等量减等量差相等)
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月2021/11/72021/11/72021/11/711/7/2021 ❖7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观察 是思考和识记之母。”2021/11/72021/11/7November 7, 2021 ❖8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/72021/11/72021/11/72021/11/7
五．探索规律，归纳性质
1、同角或等角的余角相等。
2、同角或等角的补角相等。
四．动手画图，探索性质
4.请你借助直尺，在原图上画出∠AOB所有的补角并标 上数字。
A
1
C
2
O
B
3
4
D
五．动手画图，探索性质
5.画完图后请回答下列问题：
（1）图中有哪几对互补的角?
1与2， 2与4, 3与4, 1与3
（6）写图中 DOE的补角________A_O__C________
E
C
D
B
O
A
5、如图，点O在直线AB上，OD平分∠COA ，OE平分∠COB，
① ∠COB +∠ AOC= 180°,∠ EOD= 90°。
②图中互余角有 4 对，互补角有 5 对。
七．归纳总结，拓展思维
谈一谈 议一议 相互交流
（2）你能发现哪几个角是相等的(直角除外)？
AOC与BOD B
(∠1=∠3)
（3）你能用一句话概括以上规律吗?
D
同角的余角相等
3、如图，∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，如果∠1=∠3，那 么∠2与∠4相等吗？为什么？你能用一句话概括这一规律吗？
2 1
4
3
答：∠2 与∠4相等。
∵∠1与∠2互余，∠3与∠4互余(已知) ∴ ∠2 = 90°─∠1，∠4 = 90°─∠3(互为余角的定义) ∵ ∠1=∠3(已知) ∴ ∠2 =∠4(等量减等量差相等)
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月2021/11/72021/11/72021/11/711/7/2021 ❖7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观察 是思考和识记之母。”2021/11/72021/11/7November 7, 2021 ❖8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/72021/11/72021/11/72021/11/7
人教版七年级上册数学4.余角、补角的概念与性质课件
•补角性质：
同角或等角的补角相等。
•余角性质：
同角或等角的余角相等。
A
D
1
O
2
如图∠AOB = 90 °
∠COD = 90 °
B
则∠1与∠2是什么关系？
C
答： ∠1 = ∠2 因为∠1+ ∠BOD = 90 ° ∠2+ ∠BOD = 90 ° 所以∠1 = ∠2 （同角的余角相等)
互为余角
互为补角
对应图形
1 2
21
数量关系 ∠1+ ∠2 = 90 ° ∠1+ ∠2 = 180 °
性
质
同角或等角的 余角相等。
同角或等角 的补角相等。
探究:余角和补角的性质
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４ 互补 ，如果∠1＝∠３,那么∠2与∠ ４相等吗？为什么？
2
1
4
3
例2 如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果 ∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么?
2
1
3
4
解：∠2与∠4相等。
因为∠1与∠2互补；∠3与∠4互补， 所以∠2=180°-∠1；∠4=180°-∠3， 又因为∠1=∠3， 所以∠2=∠4。
等角的余角相等 等角的补角相等．
质
同角或等角的补角相等 同角或等角的余角相等.
2 1
4
若∠1 + ∠2 =180 °, 则 ∠1和∠2互补.(互补定义 )
若∠1和∠2互补, 则∠1 + ∠2 =180 .°( 互补定义)
若∠3 + ∠4 =90 °,
则 ∠3和∠4互余.( 互余定义)
若∠3和∠4互余, 则 ∠3 + ∠4 =90 .°( 互余定义)
人教版七年级数学上册第四章 《余角与补角》课件
3.4.2 余角与补角
Zx xk
海如塘果大两坝个的角底的部和是等石于块18堆0°积(而平成角,量)，角就器说无这法 伸两入个大角坝互底为部补测角量(s,u如p何pl测em量e大nt坝ary的a倾ng斜le角) ? 你是如何理解互为这两个字?
21
yu
tiao
如果两个角的和等于90°(直角)，就说这 两个角互为余角(complementary angle)
2 11
bu
如果两个角的和等于90°(直角)，就说这 两个角互为余角(complementary angle)
zx xk
21
21
1
bu
找朋友:图中给出的各角中,哪些互为余角?
哪些互为补角?
1°0
30°
60°
80 °
° 100
° 120
° 150
° 170
我来试一试：
∠α
5° 32° 45° 77° 62°23′
x
∠α的余角
85° 58° 45° 13° 27°37′ 90° x
∠α的补角
148° 135° 103° 117°37′ 180° x
从上面这张表格中,你还能得到什么信息?
我来试一试：
∠α
5° 32° 45° 77° 62°23′
x
∠α的余角
85° 58° 45° 13° 27°37′ 90° x
∠α的补角
175° 148° 135° 103° 117°37′ 180° x
一一个个角角的的补补角角是是这这个个角角的的余3角倍的,求4这倍个,求角这.个角.
zx xk
• 如果∠1与∠2互余, ∠3与∠4互 余，∠1=∠3,
那么∠2与∠4 什么关系?
Zx xk
海如塘果大两坝个的角底的部和是等石于块18堆0°积(而平成角,量)，角就器说无这法 伸两入个大角坝互底为部补测角量(s,u如p何pl测em量e大nt坝ary的a倾ng斜le角) ? 你是如何理解互为这两个字?
21
yu
tiao
如果两个角的和等于90°(直角)，就说这 两个角互为余角(complementary angle)
2 11
bu
如果两个角的和等于90°(直角)，就说这 两个角互为余角(complementary angle)
zx xk
21
21
1
bu
找朋友:图中给出的各角中,哪些互为余角?
哪些互为补角?
1°0
30°
60°
80 °
° 100
° 120
° 150
° 170
我来试一试：
∠α
5° 32° 45° 77° 62°23′
x
∠α的余角
85° 58° 45° 13° 27°37′ 90° x
∠α的补角
148° 135° 103° 117°37′ 180° x
从上面这张表格中,你还能得到什么信息?
我来试一试：
∠α
5° 32° 45° 77° 62°23′
x
∠α的余角
85° 58° 45° 13° 27°37′ 90° x
∠α的补角
175° 148° 135° 103° 117°37′ 180° x
一一个个角角的的补补角角是是这这个个角角的的余3角倍的,求4这倍个,求角这.个角.
zx xk
• 如果∠1与∠2互余, ∠3与∠4互 余，∠1=∠3,
那么∠2与∠4 什么关系?
人教版初中数学七年级上册第四章4.3.3余角和补角
O
60°
上发现了客轮B.仿照表示灯塔方位的方法，
A
画出表示客轮B方向的射线.并说出你是怎样画出的.
②同时在它南偏西10°、西北（北偏西45°）方向上又分 别发现了货轮C和海岛D.请再画出表示货轮C和海岛D方向的射 线.
如图，A地和B地都是海上观测站，从A地发现它的北偏东 60°方向有一艘船，同时，从B地发现这艘船 在它的北偏东30°方向，你能从图中确定这艘船的位置吗？
练习 ： 看谁答得快:
∠α
∠α 的余角
∠α 的补角
30° 54° 90°
62°23′
ⅹ
60 °
150 °
36 °
126 °
00
另 比余外角：大同，（等并9）且0 °角大的90补°角
27 ° 37 ′
117 ° 37 ′
90 x
同一个角的余角和补角什么关系？
1、动手画一画:
1）已知∠α(如图)，请利用三角板画的∠α的余角
样的角称为方位角.
方位角的表示习惯上以正北、正南方向为基准来描述物体 的方向． 即用“北偏东多少度”“北偏西多少度” 或者“南偏东多少度”“南偏西多少度”来表示方向．
北 西北
西 O
西南 南
东北 东 东南
北
30°
西
东
O 60°
南
北例4：如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A
在它南偏东60°方向上. ①在它北偏东40°方向
性质3：等角的补角相等
如图,∠1与∠2互余， ∠3与∠4互余，并且∠1= ∠3，
2
1
3
4
请问：∠ 2与∠4相等吗?为什么？你还能得出什么结论？
答：相等。
∵∠1与∠2互余，可得∠2=90°- ∠1 ； 又∠3与∠4互余，可得∠4=90°- ∠3； 且∠1= ∠3，所以90°- ∠1=90°- ∠3 ； ∴∠2= ∠4
初中数学人教版七年级上册余角、补角的概念和性质
1.一个角的补角是它的3倍，则这个角是＿＿＿＿＿。
2、已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个 角的度数？
6、练习后归纳提问：
1）互余的两个角都是锐角，不同角的余角不等。 2）互补的两个角一个为锐角，另一个为钝角或两个都是 直角，不同角的补角不等。
3）同角或等角的余角和补角存在着怎样的关系？
3) 这一结论用文字怎么叙述？
性质2：同角的补角相等
3、学会说理，阐明新知： 例3 如图,∠1与∠2互补， ∠3与∠4互
补，并且∠1= ∠3，
2
1
3
4
请问：∠ 2与∠4相等吗?为什么？你能得出什么结论？ 答：相等。 ∵∠1与∠2互补，可得∠2=180°- ∠1 ； 又∠3与∠4互补，可得∠4=180°- ∠3； 且∠1= ∠3，所以180°- ∠1=180°- ∠3 ； ∴∠2= ∠4
∵∠1+ ∠2=90°
∵ ∠1和 ∠2互余
∴∠1和 ∠2互余
∴∠1+ ∠2=90°
2）如果两个角的和等于180°（平角），称这两个角互为补角 简称互补. 其中一个角是另一个角的补角.
数量关系为：
∵∠α+ ∠β=180° ∴∠α和 ∠β互补
∵ ∠α和 ∠β互补 ∴∠α+ ∠β=180°
4、余角和补角的特点：
5、点击中考：
1.一个角是70°，则它的余角的补角是 160° 2.一个角的补角是150°，则这个角的余角是 60° 3.一个角的补角是它的3倍，则这个角是 45°
6、实践操练：
如图，要测量两堵 围墙所形成的角 AOB的度数，但 人不能进入围墙， A 如何测量？
O
c
与你的学习 伙伴们讨论
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初一上册数学余角和补角
初一上册数学余角和补角
在初中数学中，余角和补角是几何学中的基本概念。
1. 余角：如果两个角的和等于90度（直角），那么这两个角就互为余角。
例如，如果一个角是30度，那么它的余角就是60度（因为30+60=90）。
2. 补角：如果两个角的和等于180度（平角），那么这两个角就互为补角。
例如，如果一个角是50度，那么它的补角就是130度（因为50+130=180）。
以下是一些关于余角和补角的基本性质：
- 如果两个角互为余角，那么这两个角的度数之和一定是90度。
- 如果两个角互为补角，那么这两个角的度数之和一定是180度。
- 对于一个直角三角形来说，两个锐角互为余角。
- 对于一个平角来说，它可以通过两个互补的角来构成。
理解和掌握余角和补角的概念对于后续学习几何、三角函数等知识非常重要。
在解题过程中，常常需要利用余角和补角的关系来进行计算或推理。
人教版七年级数学上册第四章 4. 余角和补角
4.3.3 余角和补角
-2-
目标导引
1.理解余角与补角的概念和性质,会利用性质进行有关的推理和计 算. 2.了解方位角的知识.
思维导图
余角和补角的
旧 角的比较与度量
新
☞
→ 概念与性质 ☜
知 直角、平角、方向角
知
方位角
-3-
知识梳理 预习自测
1.如果两个角的和等于 90°(直角) ,就说这两个角互为余角;如 果两个角的和等于 180°(平角) ,就说这两个角互为补角.
解:画图为:
1.若∠α的补角是120°,则∠α的余角是( ) A.60° B.120° C.30° D.45°
-4-
12345
关闭
因为∠α的补角是120°,所以∠α=180°-120°=60°,∠α的余角是90°-
60°=30°.
关闭
C
解析 答案
-5-
知识梳理 预习自测
12345
2.如图,已知∠AOB=∠COD=90°,则∠1与∠2的关系是( )
2.同角(等角)的余角 相等 ;同角(等角)的补角 相等 . 3.用角度表示方向,一般以正北、正南为基准,用向东或向西旋转 的角度表示方向,如图所示,OA表示的方向 是 东北方向或北偏东45°,OC表示的方向是 北偏西60° ,OB表 示的方向是 南偏西30° ,西南方向表示 南偏西45° .
知识梳理 预习自测
为
.
70°
关闭
答案
知识梳理 预习自测
5.若一个角是86°39',则它的余角是
-8-
12345
,补角是
.
3°21' 93°21'关闭答案12
1.余角和补角的计算 【例1】 一个角的补角是这个角的余角的4倍,求这个角的大小. 分析:先设这个角为x°,再用x表示出它的补角和余角,并列出方 程求解即可. 解:设这个角为x°,则它的补角是(180°-x°), 它的余角是(90°-x°). 根据题意,得180°-x°=4(90°-x°),解得x°=60°. 答:这个角是60°.
-2-
目标导引
1.理解余角与补角的概念和性质,会利用性质进行有关的推理和计 算. 2.了解方位角的知识.
思维导图
余角和补角的
旧 角的比较与度量
新
☞
→ 概念与性质 ☜
知 直角、平角、方向角
知
方位角
-3-
知识梳理 预习自测
1.如果两个角的和等于 90°(直角) ,就说这两个角互为余角;如 果两个角的和等于 180°(平角) ,就说这两个角互为补角.
解:画图为:
1.若∠α的补角是120°,则∠α的余角是( ) A.60° B.120° C.30° D.45°
-4-
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关闭
因为∠α的补角是120°,所以∠α=180°-120°=60°,∠α的余角是90°-
60°=30°.
关闭
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解析 答案
-5-
知识梳理 预习自测
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2.如图,已知∠AOB=∠COD=90°,则∠1与∠2的关系是( )
2.同角(等角)的余角 相等 ;同角(等角)的补角 相等 . 3.用角度表示方向,一般以正北、正南为基准,用向东或向西旋转 的角度表示方向,如图所示,OA表示的方向 是 东北方向或北偏东45°,OC表示的方向是 北偏西60° ,OB表 示的方向是 南偏西30° ,西南方向表示 南偏西45° .
知识梳理 预习自测
为
.
70°
关闭
答案
知识梳理 预习自测
5.若一个角是86°39',则它的余角是
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,补角是
.
3°21' 93°21'关闭答案12
1.余角和补角的计算 【例1】 一个角的补角是这个角的余角的4倍,求这个角的大小. 分析:先设这个角为x°,再用x表示出它的补角和余角,并列出方 程求解即可. 解:设这个角为x°,则它的补角是(180°-x°), 它的余角是(90°-x°). 根据题意,得180°-x°=4(90°-x°),解得x°=60°. 答:这个角是60°.
人教版七年级上册数学4.余角和补角的概念与性质课件
41 5 ∠4= ∠ 5
理由:∵∠1与∠4互补 ∴∠4=180o-∠1 ∵∠1与∠5互补 ∴∠5=90o-∠1 ∴∠4=∠5
延伸 1与2互余，3与4互余，如果2=4， 那么1与3相等吗？为什么？
1 2
理由:∵∠1与∠2互余 ∴∠1=90o-∠2 ∵∠3与∠4互余 ∴∠3=90o-∠4
又∵∠2=∠4 ∴∠1=∠3
∠1 、∠2、 ∠3 互余（互补）吗？
不能，互余或互补是两个角之间的数量关系。
练习：
1、帮 找朋友： 的余角 的补角
80
10
100
45
70 39'
45
19 21'
90
135
109 21'
180
练习：
2、一个角的补角是它的余角的4倍，求这个 角的余角是多少度？
解：设这个角的余角的度数为 x ，
一定互余.
（×）
（5）如果∠1=30°，∠2=25°，∠3=35°，那么 ∠1、∠2、∠3这三个角互为余角. （ ×）
巩固练习
2、如图,已知∠AOB=90°， ∠AOC= ∠BOD，
则与∠AOC互余的角为__B_O__C_和____A_O__D.
AC
解： AOC+BOC AOB=90
AOC与BOC互余
∠A=∠1 （同角的余角相等）
性质的应用
例3 如图，A，O，B在同一直线上,射线OD和射线
OE分别平分∠AOC和 ∠BOC，图中哪些角互为余角？
解：因为A，O，B在同一直线上, 所以∠AOC和∠BOC互Байду номын сангаас补角.
又因为射线OD和射线OE
分别平分∠AOC∠BOC，
1
人教版七年级数学上册第四章 几何图形初步 余角和补角
1
2
3
= ∠2=180°–∠1
∠3=180°–∠1
结论：同角 (等角) 的补角相等.
类似地,可以得到： 同角 (等角) 的余角相等.
探究新知
素养考点 余角和补角的识别
例 如图,点A,O,B在同一直线上,射线 OD 和 D 射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC,
图中哪些角互为余角？
解：因为点A,O,B在同一直线上, 所以∠AOC和∠BOC 互为补角.
（2）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由．
解：OE平分∠BOC,理由如下： 因为∠DOE=90°,所以∠AOD+∠BOE=90°,
D
所以∠COD+∠COE=90°,
所以∠AOD+∠BOE=∠COD+∠COE,
因为OD平分∠AOC,所以∠AOD=∠COD,
AO
所以∠COE=∠BOE,所以OE平分∠BOC．
x + ( 3x+30 ) = 90. 解得 x=15.
故 ∠B 的度数为15°.
探究新知
素养考点 2 余角、补角、角平分线相结合的题目
例2 如图,已知O为AD上一点,∠AOC与∠AOB互补,OM,ON
分别为∠AOC,∠AOB的平分线,若∠MON=40°,试求∠AOC与
∠AOB的度数．
M C
B
N
DO
C E
B
巩固练习
如图,已知∠AOB=90°, ∠AOC= ∠BOD,则与∠AOC 互余的角有_______∠__B_O__C__和__∠__A. OD
AC
D
O
B
探究新知
E 西
C F
知识点 3 方位角
北 D
初中数学人教七年级上册第四章几何图形初步新人教版余角和补角PPT
情景导入
如图，要测量两堵围墙所形成的角AOB的度数，但 人不能进入围墙，如何测量？
A B
O
补角和余角性质的引入
1. 观察下面两个图形，回答以下问题？ （1）射线OM把平角AOB，分别分成了几个角？ （2）∠1和∠2具有什么样的数量关系？
2. 观察下面两个图形，回答以下问题？ （1）射线ON把平角DOC，分别分成了几个角？ （2）∠3和∠4具有什么样的数量关系？
（引导学生自主探究）(1)已知∠1与∠2， ∠3都互为补角.那么∠2和∠3的大小有什 么关系？
由∠1与∠2和∠3都互为补角， 那么 ∠2＝180º－∠1，
∠3＝180º－∠1， 所以∠2＝∠3.
补角性质： 同角的补角相等
探究补角性质
（引导学生自主探究） (2)已知∠1与 ∠2互补，∠3与∠4互补.若∠1＝∠3，那么 ∠2和∠4 相等吗？为什么？
∠ 1+∠ 3 = 1800 ∴ ∠2 = ∠3 （同角的补角相等）
几何语言： ∵ ∠1+ ∠ 2= 1800
∠ 3+ ∠ 4 = 1800 又∵ ∠ 1 = ∠ 3
∴∠ 2 = ∠ 4 （等角的补角相等）
归纳
余角、补角性质 1.同角（等角）的余角相等. 2.同角（等角）的补角相等.
推导性质，理解运用
就说这两个
2
1
互为补角 如果两个角的和
等于180°（平角）， 那么这两个角叫做互 为补角，其中一个角 是另一个角的补角．
4
3
互为余角 如果两个角的和等于
90°（直角），那么这两个 角叫做互为余角，其中一 个角是另一个角的余角．
理解定义，巩固运用
1.定义中的“互为”是什么意思？
即每一个角都是另一个角的余角（补角）
人教版数学七年级上册4.3.3余角、补角的概念和性质(教案)
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解余角和补角的基本概个角的和等于180°的两个角。它们在几何图形的求解和实际应用中具有重要意义。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过一个三角形的例子，展示如何利用余角和补角求解未知角度，以及它们在实际中的应用。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-余角和补角的概念：学生需要掌握余角和补角的定义，即两个角的和分别为90°和180°时，它们互为余角和补角。
-余角和补角的性质：学生需要理解并运用余角和补角的性质，如互为余角的两个角的和为90°，互为补角的两个角的和为180°。
-运用余角和补角解决实际问题：学生需要学会将余角和补角的概念应用于角度计算，解决实际问题。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了余角和补角的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对余角和补角的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
最后，我会在课后认真反思本次教学过程中的不足，不断改进教学方法，努力提高学生的学习效果。同时，我也将关注学生的学习进度和反馈，为他们在几何学习道路上提供更多的支持和帮助。
举例解释：
-例如，强调当一个角为40°时，它的余角为50°，补角为140°。通过具体数值让学生直观感受余角和补角的概念。
-在解题过程中，强调利用余角和补角的性质简化计算，如已知一个角的度数，求其补角或余角的度数。
1.理论介绍：首先，我们要了解余角和补角的基本概个角的和等于180°的两个角。它们在几何图形的求解和实际应用中具有重要意义。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过一个三角形的例子，展示如何利用余角和补角求解未知角度，以及它们在实际中的应用。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-余角和补角的概念：学生需要掌握余角和补角的定义，即两个角的和分别为90°和180°时，它们互为余角和补角。
-余角和补角的性质：学生需要理解并运用余角和补角的性质，如互为余角的两个角的和为90°，互为补角的两个角的和为180°。
-运用余角和补角解决实际问题：学生需要学会将余角和补角的概念应用于角度计算，解决实际问题。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了余角和补角的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对余角和补角的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
最后，我会在课后认真反思本次教学过程中的不足，不断改进教学方法，努力提高学生的学习效果。同时，我也将关注学生的学习进度和反馈，为他们在几何学习道路上提供更多的支持和帮助。
举例解释：
-例如，强调当一个角为40°时，它的余角为50°，补角为140°。通过具体数值让学生直观感受余角和补角的概念。
-在解题过程中，强调利用余角和补角的性质简化计算，如已知一个角的度数，求其补角或余角的度数。
最新人教版初中七年级数学【第四章 4.3.3余角和补角(1)】教学课件
如图，如果∠3+∠4= 180°，那么∠3和∠4互为补角.
其中∠3是∠4的补角或∠4是∠3的补角.
∠3和∠4互为补角
∠3+∠4＝180° （∠3=180°-∠4或∠4=180°-∠3 ）
得出概念 注意：
1 互为补角描述的是两个角之间的数量关系； 2 互为补角与两个角的位置无关.
课堂练习
练习2： 1.图中给出的各角中，哪些互为补角？(课本P138练习第1小题)
例题讲解
例2 如图，点A，O，B在同一直线上，射线OD和射线OE分别 平分∠AOC和∠BOC，图中哪些角互为余角？
解：因为点A，O，B在同一直线上， 所以∠AOC和∠BOC互为补角.
又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，
所以
所以 所以，∠COD和∠COE互为余角，
小结：养成读题时在图上做标 记的习惯，使条件直观的在图 形上呈现出来，更便于我们去 发现角之间的数量关系.
探究学习
同角的余角相等
等角的余角相等
性质：同角（等角）的余角相等
感知概念
问题3
感知概念
问题3
感知概念
问题3
感知概念
问题3 图中的∠3 与∠4 的和为多少度？
∠3+∠4=180°
得出概念
互为补角的概念
如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角 (简称互补) ，其中一个角是另一个角的补角.
互为补角的有： 10°与 170° 30°与 150° 60°与 120° 80°与 100°
2.一个角是38°，则它的补角为 142°.
180°－ 38° = 142°
探究学习
1.如图,如果∠1与∠2互为补角,∠1与∠3互为补角，
(数学人教版)七年级上册第四章余角和补角
３、思考同角的余角有何关系？同 角的补角有何关系？
１、如图(1)，若∠1与 3 ∠2互余，∠2与∠3互 2 1 余，则 ＝ ，根 (1) 据是 。 ２、如图(2)，若∠1与∠2互补， ∠3与∠2互补，则 ＝ ，根 据是 。
1 2 3
(2)
３、如图(3)，D是直线AB 上的一点，同OD平分 ∠AOB，∠COE＝90°， 则∠COD＝∠ ， ∠COA＝∠ 。D E
判断正误： １、锐角的余角是锐角。
２、∠a＝90°那么它是余角
３、一个角的补角不一定是钝角。 ４、两个角互补,那么两个角中必定 有一个Байду номын сангаас是钝角,另一个角是锐角。 ５、有补角的角都有余角。
阅读教材第142页例1到例2结束, 并完成下列问题： １思考:两个等角的补角间的关系. ２思考:两个等角的余角间的关系.
知识目标：
１、理解互为余角和互为补角 的定义.
２、掌握余角和补角的性质,并 能运用解决问题.
阅读教材第141页,并完成下 列问题: １、找出互为余角和互为补 角的定义? ２、怎么样用符号语言描述 余角和补角的定义?
如果两个角的和等于90°就说 这两个角互为余角
反之:若∠1与∠2互余, 则∠1＋∠2＝___
如果两个角的和等于180°就说这 两个角互为补角
反之:若∠3与∠4互补， 则∠3＋∠4＝ °
Ｍ
Ａ Ｏ
Ｄ
Ｎ Ｂ
Ｐ Ｃ
射线OM、PN分别把平角∠AOB、 直角∠CPD分成几个角，它们有怎 样的关系？
小组讨论交流： ①定义中的“互为”是什 么意思？互余两角有何特点? 互补两角有何特点? ②∠1+∠2+∠3=180°则 ∠1、 ∠2、∠3互补吗？ ③互为余角，互为补角的两 个角是否一定有公共顶点？
初中数学人教版七年级上册《4.余角和补角》课件
两角间的数 量关系
互余
1 2 90
(1 90 2)
对应图形
互补
1 2 180 (1 180 2)
性质
同角或等角的余角相等 同角或等角的补角相等
一个角的补角与这个角的余角的和比平角少30°，这个角为( B )
A.50°
B.60°
C.90°
D.120°
解析：设这个角的度数为 x ，则它的余角为 90°-x， 补角为180°-x，所以(90°-x) +(180°-x) +30°= 180°， 解得 x= 60°. 所以这个角为60°.
图中给出的各角，哪些互为余角？
15
o
24o
46.2o
75o
66o
43.8o
一般地，如果两个角的和等于180°( 平角 )，就说这两个角互为补 角 ，即其中一个角是另一个角的补角. 两个角互为补角简称为两个角互补.
4 3
如图，可以说 ∠3 是 ∠4 的补角，或 ∠4是 ∠3 的补角，或 ∠3 和 ∠4 互为补角.
2. ∠3与∠4有什么数量关系？ ∠3+∠4 0°( 直角 )，就说这两个角互为余角 ， 即其中每一个角是另一个角的余角. 两个角互为余角简称为两个角互余.
2 1
如图，可以说 ∠1 是 ∠2 的余角，或 ∠2 是∠1的余角，或 ∠1和 ∠2互 为余角.
人教版 七年级数学上
4.3.3
余角和补角
度量法 角的比较
叠合法
角的和差倍分关系
角的运算
角的平分线 加与减
角的计算
乘与除
1. 了解余角、补角的概念.
2. 掌握余角和补角的性质，并能利用余角、补角的知识解决相 关问题.
人教版数学七年级上册 第四章 4.3.3余角和补角 课件
相等
作业：课本139页 练习题 第2、3题
火眼金睛断真伪
1、90度的角叫余角。
（ ）
2、若 1 2 3 90 ，则 1,2,3互余.
（ ）
3、互余的两个角一定都是锐角，两个锐角
一定互余.
（ ）
4、如果A x,B 90 x,那么A与B互余。
（ ）
5、如果 A 25 , B 75 , 那么A与B互余。
欢迎走进数学的殿堂
一、复习导入
计算： （1）44°+46°= （2）30°20′34″+59°39′26″= （3）10°+25°+55°= （4）96°+84°= （5）58°45′+121°15′= （6）50°+75°+55°=
二、学习目标
1、知识与技能： 在具体的现实情境中，认识一个角的余角和补角，掌握余角和补角的性 质。 2、过程与方法： 进一步提高学生的抽象概括能力，知识运用能力，学会简单的逻辑推理， 并能对问题的结论进行合理的猜想。 3、情感态度与价值观： 体会观察、归纳、推理对数学知识中获取数学猜想和论证的重要作用，初 步数学中推理的严谨性和结论的确定性，能在独立思考和小组交流中获 益。
（ ）
我是 1 ，我的余角 都是我的好朋友，你 能帮我找到吗它？
∠1+∠B=90°
C ∠1与∠B互余（余角的定义）
21
∠1+∠2=90°
A
D
B ∠1与∠2互余（余角的定义）
∠1的余角有∠B和∠2
∠B和∠2相等吗？理由是什么？
已知 BCD 180
我是 1 ，我的余角 都是我的好朋友，你 能帮我找到吗它？
180 (90 x)
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初中数学人教版七年级第四章《余角和补角》集备稿
【设计与执教者】：广州市天河中学，胡凯迎
【学情分析】：本课时教授余角和补角的概念与性质，学生开始接触初步的逻辑说理，对学生来说是最大的困难是把感性认识规范的语言有条理地表达出来。
但经过前面的几个课时的渗透，学生对概念的几何语言表述已有一定的基础，在教学中要注意引导学生分析题意，强调“文字表述”与“几何语言表达”的互换
【教学目标】：
（1）知识目标：
1、认识余角、补角的概念
2、掌握余角、补角的性质，并能用余角、补角的性质解决简单的问题
（2）过程与方法目标：
1、经历探索图形性质的过程
2、学生通过观察、思考、探究等活动归纳出图形的概念和性质
【教学重点】：余角、补角的概念及余角、补角的性质
【教学难点】：余角、补角的区别；余角、补角的性质应用
【教学突破点】：概念、性质的几何语言表述与文字语言表述的转换
【教学过程设计】：
1
，量得：
图，量得：
①量得∠1=
∠3=
10︒
30︒
80︒
150︒
120︒
100︒
170︒
60︒
（三）、学生易错点的练习设计： （1）错例的估计
1、学生易把“两角相加得90°，这两角互余”简单地迁移为互余即90°
2、在学习性质的时候，用到等式的性质，但由于不是直接地呈现等式的形式，学生难以接受，写不出关系式 （2）针对的测试练习或者分成练习题组 知识检测
1．图中给出的各角中，哪些互为余角？哪些互为补角？
2．（1）已知的余角。
，用量角器画出AOB AOB ∠∠ （2）画出∠AOB 的补角 3．如果∠1+∠2＝90°，则∠1与∠2的
关系是___________，如果∠1＝60°，则∠2＝________ 4. 已知︒=∠40α，求α∠的余角∠β，α∠的补角∠γ； 解：
O
E
D
C
B
A
①∵∠α与∠β互为 角； ∴∠α+∠β= ° ∵︒=∠40α
∴∠β= °- °= ° ②∵∠α与∠γ互为 角；
∴∠α+∠γ= ° ∵︒=∠40α
∴∠γ= °- °= °
5、如果一个角的余角与这个角的补角的和等于这个角的4倍，求这个角
6、如图，∠AOC ＝∠COB ＝90°，∠DOE ＝90°，A 、O 、B 三点在一直线上 （1）写出∠COE 的余角，∠AOE 的补角 （2）找出图中一对相等的角，并说明理由。