环F2+uF2上线性码及其对偶码的二元象

Generalized RT Weights Hierarchy for Cyclic Codes
of Odd Lengthover Ring
作者： 杜炜
作者机构： 淮南师范学院信息与计算科学系．安徽淮南,232001
出版物刊名： 宿州学院学报
页码： 11-14页
年卷期： 2012年 第5期
主题词： 广义RT重量 广义RT重量谱 循环码 剩余码 挠码
摘要：受广义Hamming重量启发，并注意到RT重量是Hamming重量的一种推广，提出了环Fz＋uF2上线性码的广义RT重量和广义RT重量谱的概念，讨论了环F2＋uF2上奇长度循环码的广义RT重量谱。

由一个线性码可以唯一地决定其剩余码和挠码，反过来．由其剩余码和挠码并不一定能够重构出原来的线性码。

但是当该线性码是奇长度循环码的时候，可以用它的剩余码和挠码重构出该循环码。

使用这种方法，得到了环F2＋uF2上奇长度循环码及其剩余码和挠码的广义RT重量谱之间的关系。

环F2+uF2+vF2上线性码广义Gray像唐刚【摘要】The generalized Gray ip is defined from F2 + μF2 + υF2 to F24n. The generalized Gray images of linear codes over F2 +μF2 + υF2 are studied. By using the linearlity of the generality Gray ip, it is proved that the generalized Gray images <p(C) of linear codes C over F2 + μF2 + υF2 are linear codes over F2 and dH(C) = dH(ψ(C)). Furthermore, we obtain that tp(C⊥) C <pψ)⊥ and the generalized Gray images ψ(C) of cyclic codes C overF2 + μF2 + υF2 are the 4-quasi-cyclic codes over F2%本文定义了环F2+ uF+vF2到域F2的广义Gray映射φ像,研究了环F2+uF2+vF2上线性码的广义Gray像.利用广义Gray映射φ的线性性,证明了环F2+uF2+vF2上线性码C的广义Gray像φ(C)满足dH(C)=dH(φ(C))且φ(C⊥)(∈)cφ(C)⊥.同时,给出了F2+uF2+vF2上循环码C的广义Gray像φ(C)为F2上的4-拟循环码.【期刊名称】《数学杂志》【年(卷),期】2012(032)003【总页数】4页(P567-570)【关键词】线性码;广义Gray映射;拟循环码【作者】唐刚【作者单位】湖北理工学院数理学院,湖北黄石435002【正文语种】中文【中图分类】O157.21994年,在文献[1]中,Hammous等人通过Gray映射将二元非线性码与Z4=Z/4Z 环上的线性码联系起来.从此,环上码的Gray映射及其像的研究受到了代数编码界的广泛关注(见文献[2–5]).最近,Yildiz和Karadeniz在文献[4–5]中研究了形为F2+uF2+vF2+uvF2的环,对这个环他们利用Gray映射,获得了较多的二元好码.因此,对本文所给出类似的环F2+uF2+vF2上线性码作相应的研究应该是一件意义的工作.本文记通过定义Rn到的广义Gray映射,得到了R上线性码C的广义Gray像ϕ(C)为F2上线性码且dH(C)=dH(ϕ(C)).同时,证明了ϕ(C⊥)⊂ϕ(C)⊥及R上循环码C的广义Gray像ϕ(C)为F2上4-拟循环码.设Rn={(x1,···,xn)|xi∈R,i=1,2,···,n}.如果C是的Rn的R-加法子模,则称C为R上的长为n的线性码.∀x=(x1,···,xn),y=(y1,···,yn)∈Rn,定义它的内积为x·y=x1y1+···+xnyn.如果x·y=0,则称x与y正交.设C为R上的长为n的线性码,令C⊥={x∈Rn|x·y=0,∀y∈C}.易证C⊥为R上长度为n的线性码,称之为C的对偶码.接下来,给出R到F2上的广义Gray映射.定义2.1作ϕ:R→满足ϕ:a+bu+cv→(c,c,b+c,a+b+c).将ϕ扩充Rn到,仍用ϕ表示Rn→,即ϕ(x1,···,xn)=(ϕ(x1),···,ϕ(xn)),称ϕ为Rn到n的广义Gray映射.定义2.2设x∈R,令WH(x)=WH[ϕ(x)],则WH(x)为R上元素x的Hamming重量.对c=(c1,···,cn)∈C,称为码字c的Hamming重量,记为WH(c),设x,y为C的两个码字,称WH(x−y)为这两个码字的Hamming距离,记为dH(x,y).进一步地,称dH(C)=min{dH(x,y)|x,y∈C,x/=y}为码C的Hamming距离.引理2.3广义Gray映射是一个从(Rn,Hamming距离)到(n,Hamming距离)的距离保持映射.证∀x=(x1,···,xn),y=(y1,···,yn)∈Rn,易验证ϕ(x−y)=ϕ(x)−ϕ(y),从而d H(x,y)=WH(x−y)=WH[ϕ(x−y)]=dH[ϕ(x),ϕ(y)],故结论成立.定理2.4设C为R上的长为n且最小Hamming距离为d的线性码,则ϕ(C)为F2上长度为4n且最小Hamming距离也为d的线性码.证设则从而故ϕ(C)为F2上长度为4n.由引理2.3知,dH(C)=dH(ϕ(C)).先研究R上线性码的对偶码的广义Gray像.定理3.1设C为R上的长为n的线性码,C⊥为码C的对偶码,则在F2上有ϕ(C⊥)⊂ϕ(C)⊥.证设则可将x,y分别写成令a=(a1,···,an),b=(b1,···,bn),c=(c1,···,cn),d=(d1,···,dn),f=(f1,···,fn), e=(e1,···,en),则a,b,c,d,f,e∈且x=a+bu+cv,y=d+fu+ev,于是由x·y=0,经计算可得a·d=0,a·f+b·d=0,a·e+c·d=0.又于是故ϕ(C⊥)⊂ϕ(C)⊥.接下来研究环R上循环码C在广义Gray映射的像.称Rn上的置换为Rn上的循环位移.如果R上线性码C在循环位移T作用下是不变的,即T(C)=C,则称C为循环码.更一般地,若存在正整数l,使Tl(C)=C,则称C为l-拟循环码.定理3.2设C是R上长为n的循环码,则ϕ(C)为F2上长为4n的4-拟循环码.证由于C是R上的循环码,则有而故由得ϕ(T(C))=T4ϕ(c).因此ϕ(C)为F2上长度为4n的4-拟循环码.【相关文献】[1]Hammous A R,Kumar P V,Calderbank A R,Sloane N J A,Sole P.The Z4-linearity of kerdork, Preparata,Goethols,related codes[J].IEEE Trans Inform Theory,1994,40(2):301–319.[2]Gulliver T A,Harada M.Codes over F3+uF3and improvements to the bounds on ternary linear codes[J].Des.Codes Crypt.,2001,22:89–96.[3]Wolfmann J.Binary images of cyclic codes over Z4[J].IEEErm.Theory,2001,47(5): 1773–1779.[4]Yildiz B,Karadeniz S.Linear codes over F2+uF2+vF2+uvF2[J].Des.Codes Crypt.,2010,54: 61–81.[5]Yildiz B,Karadeniz S.Cyclic codes overF2+uF2+vF2+uvF2[J].Des.Codes Crypt.,2011,58: 221–234.。

环F2+uF2上线性码及其对偶码的MacWilliams恒等式余海峰;朱士信
【期刊名称】《中国科学技术大学学报》
【年(卷),期】2006(36)12
【摘要】定义了环F2+uF2上线性码的李重量分布的概念;利用域F2上线性码和对偶码的重量分布的关系及其Gray映射,得到了环F2+uF2上线性码及其对偶码各种重量分布的MacWilliams恒等式.
【总页数】4页(P1285-1288)
【作者】余海峰;朱士信
【作者单位】合肥学院数理系,安徽合肥,230022;合肥工业大学应用数学系,安徽合肥,230009
【正文语种】中文
【中图分类】TN911.22
【相关文献】
1.Z2k线性码及其对偶码的MacWilliams恒等式 [J], 芮义鹤
2.环F2+uF2上线性码关于两种内积的MacWilliams恒等式 [J], 芮义鹤
3.环F2+uF2上线性码关于Rosenbloom-Tsfasman距离的MacWilliams恒等式[J], 芮义鹤;朱士信
4.环Mn×s(F2+uF2)上线性码关于RT距离的MacWilliams恒等式 [J], 许和乾;朱士信
5.环Rk,m上的线性码及其MacWilliams恒等式 [J], 王艳
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

有限链环上线性码是指在有限链环上的线性码。

有限链环是一种数据结构，其中数据元素以链的形式相互连接，形成一个环。

每个数据元素都有一个指针，指向它在环中的下一个数据元素。

最后一个数据元素的指针指向环的第一个数据元素。

有限链环上的线性码是一种线性码，其中码字的长度为环中数据元素的数量。

每个码字都是一个数字，表示环中的一个数据元素。

在编码过程中，每个数据元素都被映射到一个码字，并在解码过程中被映射回原来的数据元素。

循环码是一种线性码，其中码字的长度为码字之间的距离。

每个码字都是一个数字，表示在码字之间的距离。

在编码过程中，每个数据元素都被映射到一个码字，并在解码过程中被映射回原来的数据元素。

循环码通常用于表示有限链环上的数据元素，因为它可以很容易地表示环的结构。

但是，循环码也可以用于其他数据结构，如树和图。

在这些情况下，循环码通常被称为非层次码。

循环码具有许多优点，包括编码和解码的简单性，以及较少的码字长度。

然而，循环码也有一些缺点，包括对于大型数据结构的较差的编码效率。

总之，有限链环上线性码和循环码是两种用于表示数据元素的线性码。

有限链环上线性码可以很好地表示有限链环的结构，而循环码可以用于表示有限链环或其他数据结构。

两者各有优缺点，应根据具体情况选择合适的码。

Z2k线性码及其对偶码的MacWilliams恒等式
芮义鹤
【期刊名称】《安徽大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2010(034)003
【摘要】在有限环Z2k上定义了一个新的Hadamard变换,同时给出了有限环Z2k上线性码的完全重量计数器和Hamming重量计数器的定义.最后利用Hadamard变换,证明了Z2k上的线性码及其对偶码之间关于完全重量计数器和Hamming重量计数器的MacWilliams恒等式.
【总页数】4页(P10-13)
【作者】芮义鹤
【作者单位】浙江工商大学,统计与数学学院,浙江,杭州,310018
【正文语种】中文
【中图分类】TN911.22
【相关文献】
1.环F2+uF2上线性码及其对偶码的MacWilliams恒等式 [J], 余海峰;朱士信
2.ZPs上的线性码及其对偶码的MacWilliams关系式 [J], 董学东;董久祥;张妍;曹明
3.环Rk,m上的线性码及其MacWilliams恒等式 [J], 王艳
4.环R+uR+vR+uvR上线性码的MacWilliams恒等式 [J], 王艳萍; 王喜喜; 王艳
5.环R+uR+vR+uvR上线性码的MacWilliams恒等式 [J], 王艳萍
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

环F2+uF2+v F2+uv F2上长度为2s的常循环码
刘修生;许小芳;胡鹏
【期刊名称】《数学杂志》
【年(卷),期】2018(038)006
【摘要】本文研究了环R=F2+uF2+vF2+uvF2上长度为2s的常循环码的分类和结构,这个环是一个局部环,但不是链环.首先,借助有限交换局部环中多项式的欧几里德算法,得到了长为2s的循环码与(1+uv)-常循环码分类,且给出了每一类的结构.其次,利用(x?1)2s=u,得到了长为2s的(1+u)-常循环码分类和每一类的结构.最后,利用类似于长为2s的(1+u)-常循环码的讨论方法,给出了
(1+v),(1+u+uv),(1+v+uv),(1+u+v),(1+u+v+uv)-常循环码分类和每一类的结构.【总页数】15页(P975-989)
【作者】刘修生;许小芳;胡鹏
【作者单位】湖北理工学院数理学院,湖北黄石 435003;湖北理工学院数理学院,湖北黄石 435003;湖北理工学院数理学院,湖北黄石 435003
【正文语种】中文
【中图分类】O157.4
【相关文献】
1.环F2+uF2+vF2+uvF2上的(1+u+v)-常循环码 [J], 缪扬;刘丽
2.环 F2＋ uF2＋ u2 F2上的常循环码 [J], 丁健;李红菊;左学武;梁静
3.环 F2＋uF2＋u2F2上的（1＋u）常循环码 [J], 丁健;李红菊
4.环F2+uF2+vF2上的一类重根常循环码 [J], 张元婷;朱士信
5.环F2+uF2上长为2s的(1+u)-常循环码的距离分布 [J], 邓林;朱士信;韩江洪因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

环F2+vF2上码的覆盖半径黄德为【摘要】通过研究环F2+ vF2上线性码的结构特征,根据Gray映射,定义了两个二元码,从而证明了环F2+ vF2上线性码关于李距离的覆盖半径等于两个二元码的覆盖半径之和,并得到环F2+ vF2上对偶码的覆盖半径的一些结论,给出了覆盖半径的几个上下界.【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2015(031)002【总页数】4页(P93-96)【关键词】Gray映射;笛卡尔积;覆盖半径;二元码;李距离【作者】黄德为【作者单位】合肥工业大学应用数学系,合肥230009【正文语种】中文【中图分类】O212.7一个码C关于汉明距离的覆盖半径是指C所在向量空间中每个向量与码C的Hamming距离的最大值.从1980年开始，研究学者们对码的覆盖半径产生了很大的兴趣.它不仅关系到数据压缩、传输，一次写入内存等实际问题，在编码理论研究中也具有十分重要的意义.覆盖半径是一个几何参数，在最小距离译码中标志着码的最大纠错能力.近年来仍有不少文章研究码的覆盖半径[1-4].在1989年，Nechaev研究发现Kerdock码可以看成环Z4上的循环码.1994年后，环Z4上纠错码理论的研究便成为纠错码理论研究的热点问题之一.几个四元素的整数剩余类环上码的覆盖半径的研究也相继出现.文献[5]研究了Z4码和其Gray映射后的二元非线性码的覆盖半径，给出了一些上下界.文献[6]研究了环F2+uF2上码的覆盖半径. 但是关于环F2+vF2上码的覆盖半径的研究很少.环F2+vF2上码的研究一直是一个热点问题.本文约定环U=F2+vF2={0,1,v,1+v}，其中v2=v.U也可以看成商环F2[v]/(v2+v).环U中每个元素都是幂等元，具有两个极大理想<v>和<1+v>.U上长为n的线性码C是Un的一个U-子模. 定义U中元素0,1,v,1+v的李重量(Lee weight)分别为0，2，1，1.Un中向量x的李重量wtL(x)为其各分量的李重量的有理和.很自然的定义Un 中两向量x和y的李距离dL(x,y)为x-y的李重量.C的最小李距离dL(C)定义为C 中任意两个不同码字的李距离的最小值.设x=(x1,x2,…,xn),y=(y1,y2,…,yn)为Un的两个元素，定义x和y在Un上的欧氏内积定义码C的对偶码如果A,B是码，记笛卡尔积A⊗B={(a,b)|a∈A,b∈B}.设C是U上长为n的线性码.本文定义,∃}.很明显，C1，C2都是二元线性码.引理1.1[11] 对U中任一元素c=a+bv，其中a,b∈F2，定义从U到的Gray映射φ(a+bv)=(a,a+b)，则φ是一个从(U，Lee distance)到的距离保持双射，且为线性映射.很自然地，可将φ扩展成从Un到的线性的距离保持双射.引理1.2[7] 设C是U上线性码，那么有φ(C)=C1⊗C2，|C|=|C1|·|C2|而且φ(C)是线性码.证∀(r1,r2,…,rn,q1,q2,…qn)∈φ(C),设ci=ri+v(ri+qi),i=1,2,…n.由φ是保距映射,有c=(c1,c2,…,cn)∈C.由C1,C2的定义,我们知道引理1.3[7] 设C是U上长为n线性码,C⊥是C的对偶码,则定义1.4 规定Un中任一向量y与码C的李距离命题1.5 U上码C关于李距离的覆盖半径RL(C)=R(φ(C)).证∀x∈Un,y∈C,由引理1.1知dL(x,y)=d(φ(x),φ(y))，所以在(n,k)线性码中，二个码字x,y之间对应码元位上符号取值不同的个数，称为码字x,y之间的汉明距离，用d(x,y)表示.(n,k)线性分组码的一个码字对应于n维线性空间中的一点，码字间的距离即为空间中两对应点的距离，因此，码字间的距离满足一般距离公理，当然满足三角不等式定理1.6 设C是U上码,C的最小李距离记成dL(C).C1,C2的最小汉明距离分别记成d(C1), d(C2),则证不论dL(C)是奇数还是偶数,由U中元素的李重量的定义,总可以构造Un中李重量为的向量,记为e.∀x,y∈C且x≠y,则定理1.7 设C是U上线性码，则证由定义1.4及命题1.5知d(y,φ(C)) =min{d(y,x),∀x∈φ(C)}=min{d(y1,c1)+d(y2,c2),∀c1∈C1,c2∈C2} =min{d(y1,c1),∀c1∈C1}+min{d(y2,c2),∀c2∈C2}=d(y1,C1)+d(y2,C2).由引理1.3知再用上面类似的证明过程可得定理后半部分结论.引理1.4[12] 记K是一个二元码(线性的或非线性的),s(K)表示K的对偶码或K的形式定义的对偶码的距离分布中不同的非零距离的数目,则R(K)≤s(K)，这个结论也称为Delsarte界.推论1.8 设C是U上线性码,记t(C⊥)={i|Bi(C⊥)≠0},其中Bi(C⊥)表示C⊥中李重量为i的码字数目,则).证由定理1.7知RL(C)=R(C1)+R(C2),再由Delsarte界知推论成立.定理1.9 设C是U上长为n的线性码,且C1,C2分别为[n,k1],[n,k2]线性码,则RL(C)≤2n-k1-k2.证在二元线性码中,码的覆盖半径可以看成是使每个校验子等于该码校验矩阵的至多ω列之和的最小正整数ω.又因为一个线性码的校验矩阵的秩为n-k,所以该码的覆盖半径小于或等于n-k.从而本文研究了环U上线性码和对偶码关于李距离的覆盖半径，给出了覆盖半径的几个上下界.这些内容的研究对进一步丰富环U上纠错码理论及构造一些性能较好的码都有一定的指导意义.也可在本文的基础上，研究一些其它有限环上码的覆盖半径.。