一有理数四

第一章有理数（一）正数和负数1.正数：大于0的数。

2.负数：小于0的数。

3.0即不是正数也不是负数。

4.正数大于0，负数小于0，正数大于负数。

（二）有理数1．有理数：由整数和分数组成的数。

包括：正整数、0、负整数，正分数、负分数。

可以写成两个整之比的形式。

（无理数是不能写成两个整数之比的形式，它写成小数形式，小数点后的数字是无限不循环的。

如：π）2．整数：正整数、0、负整数，统称整数。

3．分数：正分数、负分数。

（三）数轴1．数轴：用直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。

（画一条直线，在直线上任取一点表示数0，这个零点叫做原点，规定直线上从原点向右或向上为正方向；选取适当的长度为单位长度，以便在数轴上取点。

）2．数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。

3．相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

0的相反数还是0。

4．绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，两个负数，绝对值大的反而小。

（四）有理数的加减法1．先定符号，再算绝对值。

2．加法运算法则：同号相加，到相同符号，并把绝对值相加。

异号相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

互为相反数的两个数相加得0。

一个数同0相加减，仍得这个数。

3．加法交换律：a+b=b+a两个数相加，交换加数的位置，和不变。

4．加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

5．a-b=a+（-b）减去一个数，等于加这个数的相反数。

（五）有理数乘法（先定积的符号，再定积的大小）1．同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

任何数同0相乘，都得0。

2．乘积是1的两个数互为倒数。

3．乘法交换律：ab=ba 4．乘法结合律：（ab）c=a（bc）5．乘法分配律：a（b+c）=ab+ac（六）有理数除法1．先将除法化成乘法，然后定符号，最后求结果。

2．除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。

有理数的加减法（基础）要点一、有理数的加法1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数．利用法则进行加法运算的步骤：(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则．(2)确定和的符号(是“+”还是“－”)．(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)．3.运算律：交换加数的位置时，不要忘记符号．要点二、有理数的减法1.定义：已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算．（1）任意两个数都可以进行减法运算．（2）几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：()a b a b -=+-．将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：有理数加法运算律加法交换律文字语言两个数相加，交换加数的位置，和不变符号语言a+b＝b+a 加法结合律文字语言三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变符号语言(a+b)+c＝a+(b+c)1．掌握有理数加法的意义，法则及运算律，并会使用运算律简算；2．掌握有理数减法的法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系；3．熟练将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简算，并会解决简单的实际问题.要点三、有理数加减混合运算将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.类型一、有理数的加法运算．计算：(1)(+20)+(+12)；(2)1223⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(3)(3)(+2)+(-11)；(4)(-3.4)+(+4.3)；(5)(-2.9)+(+2.9)；(6)(6)(-5)+0．（1）（2）属于同一类型，用的是加法法则的第一条;（3）（4）属于同一类，用的是加法法则的第二条；（5）用的是第二条：互为相反数的两个数相加得0；（6）用的是法则的第三条．(1)(+20)+(+12)＝+(20+12)＝+32＝32；(2)12121123236⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=-+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(3)(+2)+(-11)＝-(11-2)＝-9(4)(-3.4)+(+4.3)＝+(4.3-3.4)＝0.9(5)(-2.9)+(+2.9)＝0；(6)(-5)+0＝-5．【变式1】计算：113343⎛⎫⎛⎫-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】111113333433412⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=+-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【变式2】计算：（1）(+10)+(-11)；（2）⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12-1+-23【答案】（1）(+10)+(-11)=﹣(11-10)=﹣1；（2）类型二、有理数的减法运算．计算：(1)(-32)-(+5)；(2)(+2)-(-25)．此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数的加法进行计算．法一：绝对值不等的异号两数相加，是有理数加法的难点，在应用法则时，一定要先确定符号，再计算绝对值．⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212341-1+-=-1+=-1+=-22323666法二：（1）原式=-32-5=-32+（-5）=-37；（2）原式=2+25=27【变式】若（）﹣（﹣2）=3，则括号内的数是（）A．﹣1B．1C．5D．﹣5B．根据题意得：3+（﹣2）=1，则1﹣（﹣2）=3.类型三、有理数的加减混合运算．计算：3.8+4﹣（+6）+（﹣8）根据有理数的加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法，求解即可解：原式=（3.8﹣6.8）+（4﹣8）=﹣3﹣4=﹣7，【变式】用简便方法计算：(1)(-2.4)+(-4.2)+(-3.8)+(+3.1)+(+0.8)+(-0.7)(2)2)324(83)65()851(43-++-+-+(1)原式=[(-3.8)+(-4.2)]+[(-2.4)+(-0.7)+(+3.1)]+(+0.8)=-8+0.8=-7.2(2)原式=（2-1-4）+（34-58-56+38-23）=-3+[68-58+38+(-56-46)]=-3-1=-4类型四、有理数的加减混合运算在实际中的应用.邮递员骑车从邮局出发，先向南骑行2km 到达A 村，继续向南骑行3km 到达B 村，然后向北骑行9km 到C 村，最后回到邮局．（1）以邮局为原点，以向北方向为正方向，用1cm 表示1km，画出数轴，并在该数轴上表示出A、B、C 三个村庄的位置；（2）C 村离A 村有多远？（3）邮递员一共骑了多少千米？（1）以邮局为原点，以向北方向为正方向用1cm算式中的“+”或“-”既可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.本题考查了有理数的加减混合运算的知识，如果在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．表示1km，按此画出数轴即可；（2）可直接算出来，也可从数轴上找出这段距离；（3）邮递员一共骑了多少千米？即数轴上这些点的绝对值之和．解：（1）依题意得，数轴为：；（2）依题意得：C点与A 点的距离为：2+4=6（千米）；（3）依题意得邮递员骑了：2+3+9+4=18（千米）．【变式1】华英中学七年级(14)班的学生分成五组进行答题游戏，每组的基本分为100分，答对一题加50分，答错一题扣50分，游戏结束后各组的得分如下表：(1)第一名超过第二名多少分?(2)第一名超过第五名多少分?由表看出：第一名350分，第二名150分，第五名-400分．(1)350-150＝200(分)(2)350-(-400)＝350+400＝750(分)答：第一名超过第二名200分；第一名超过第五名750分．【变式2】某产粮专业户出售粮食8袋，每袋重量(单位：千克)如下：197，202，197，203，200，196，201，198．计算出售的粮食总共多少千克?法一：以200(千克)为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，则这8个数的差的累计是：(-3)+(+2)+(-3)+(+3)+0+(-4)+(+1)+(-2)＝-6200×8+(-6)＝1594(千克)答：出售的粮食共1594千克．法二：197+202+197+203+200+196+201+198＝1594(千克)答：出售的粮食共1594千克．【巩固练习】一、选择题1．某市一天的最高气温为2℃，最低气温为﹣8℃，那么这天的最高气温比最低气温高（）A．﹣10℃B．﹣6℃C．10℃D．6℃2.若等式0□1=﹣1成立，则□内的运算符号为（）A．+B．﹣C．×D．÷3．两个有理数相加，和小于其中一个加数而大于另一个加数，需满足（）A．两个数都是正数B．两个数都是C．一个是正数，另一个是负数D．至少有一个数是零4．下列说法中正确的是A．正数加负数，和为0B．两个正数相加和为正；两个负数相加和为负C．两个有理数相加，等于它们的绝对值相加D．两个数的和为负数，则这两个数一定是负数第1组第2组第3组第4组第5组100150350-400-100本题主要考查了学生有实际生活中对数轴的应用能力，只要掌握数轴的基本知识即可．5．下列说法正确的是()A．零减去一个数，仍得这个数B．负数减去负数，结果是负数C．正数减去负数，结果是正数D．被减数一定大于差6．某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有质量为(25±0.1)kg，(25±0.2)kg，(25±0.3)kg的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差()A．0.8kg B．0.6kg C．0.5kg D．0.4kg7.-3+5的相反数是()．A．2B．-2C．-8D．8二、填空题8.有理数,,a b c在数轴上对应点位置如图所示，用“＞”或“＜”（1）｜a｜______｜b｜；（2）a＋b＋c______0：（3）a－b＋c______0；（4）a＋c______b；（5）c－b______a．8.计算：|﹣2|+2=________．9.某月股票M开盘价20元，上午10点跌1.6元，下午收盘时又涨了0.4元，则股票这天的收盘价是_______．10.列出一个满足下列条件的算式：(1)所有的加数都是负数，和为-5，________；(2)一个加数是0，和是-5________；(3)至少有一个加数是正整数，和是-5，________．11.数学活动课上，王老师给同学们出了一道题：规定一种新运算“☆”对于任意两个有理数a和b，有a☆b＝a-b+1，请你根据新运算，计算(2☆3)☆2的值是.12.计算（﹣3）+（﹣9）的结果为．三、解答题14.计算题（1）232(1)(1)(1.75)343-----+-（2）132.1253(5)(3.2)58-+---+（3）21772953323+---（4）231321234243--++-+（5）2312()()3255---+--+-15.已知：|a|=2,|b|=3，求a+b的值．16.某人用400元购买了8套儿童服装，准备以一定价格出售，如果以每套儿童服装55元的价格为标准，超出的记作正数，不足的记作负数，记录如下：+2，﹣3，+2，+1，﹣2，﹣1，0，﹣2．（单位：元）（1）当他卖完这八套儿童服装后是盈利还是亏损？（2）盈利（或亏损）了多少钱？【答案与解析】一、选择题1.【答案】C【解析】解：2﹣（﹣8）=2+8=10℃．故选C．2．【答案】B3.【答案】C【解析】举例验证．4．【答案】B【解析】举反例：如5+(-2)＝＋3≠0，故A 错；如：(-2)+(-3)≠|-2|+|-3|，故C错；如(+2)+(－8)＝-6，故D错误．5．【答案】C【解析】举反例逐一排除．6．【答案】B【解析】因为最低重量为24.7kg，最大重量为25.3kg，故质量最多相差25.3-24.7＝0.6kg．7．【答案】B二、填空题8.【答案】＜，＜，＞，＞，＞【解析】由图可知：b a c>>，且0,0b a c<<>，再根据有理数的加法法则可得答案.9.【答案】4.10．【答案】18.8元【解析】跌1.6元记为-1.6元，涨0.4元记为+0.4元，故有收盘价为20+(-1.6)+0.4-18.8．11．【答案】(1)(-2)+(-3)＝-5(2)(-5)+0＝-5(3)2+(-7)＝-5【解析】答案不唯一．12.【答案】－1【解析】(2☆3)☆2＝(2☆3)-2+1＝2-3+1-2+1＝-113.【答案】-12．【解析】同号两数相加的法则是取相同的符号，并把绝对值相加.原式=﹣（3+9）=﹣12.三、解答题13.【解析】（1）原式22(1)(1.75 1.75)133=-++-+=；（2）原式131[3(3.2)][(5) 2.125]3584=+-++---=（3）原式217297719)533326=+---=-（4）原式223311()()12334422=-++-++-=-（5）原式23122312231283[()][()]32553255325530 =------=--------=----=-（6）原式=12342001200220032004-+-++-+-+15.【解析】由题意知：a=±2,b=±3，所以要分四种情况代入求值.∵|a|=2,∴a=±2,∵|b|=3,∴b=±3.当a=+2,b=+3时,a+b=(+2)+(+3)=+5;当a=+2,b=-3时,a+b=(+2)+(-3)=-1;当a=-2,b=+3时,a+b=(-2)+(+3)=+1;当a=-2,b=-3时,a+b=(-2)+(-3)=-5.16.【解析】解：根据题意得（1）2﹣3+2+1﹣2﹣1+0﹣2=﹣3，(12)(34)(20032004)110021002 =-++-+++-+=⨯=55×8+（﹣3）=437元，∵437＞400，∴卖完后是盈利；（2）437﹣400=37元，故盈利37元．有理数的加减法（提高）要点一、有理数的加法1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数．利用法则进行加法运算的步骤：(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则．(2)确定和的符号(是“+”还是“－”)．(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)．3.运算律：交换加数的位置时，不要忘记符号．要点二、有理数的减法1.定义：已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算．（1）任意两个数都可以进行减法运算．（2）几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：()a b a b -=+-．将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，有理数加法运算律加法交换律文字语言两个数相加，交换加数的位置，和不变符号语言a+b＝b+a加法结合律文字语言三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变符号语言(a+b)+c＝a+(b+c)1．掌握有理数加法的意义，法则及运算律，并会使用运算律简算；2．掌握有理数减法的法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系，体会其中蕴含的转化的思想；3．熟练地将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简算，并且会解决简单的实际问题.一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：要点三、有理数加减混合运算将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.类型一、有理数的加法运算．阅读下题的计算方法．计算．解：原式===0+（﹣）=﹣上面这种解题方法叫做拆项法，按此方法计算：．根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案．解：原式=[（﹣2011）+（﹣）]+[（﹣2010）+（﹣）]+[4022+]+[（﹣1）+（﹣）]=[（﹣2011）+（﹣2010）+4022+（﹣1）]+[（﹣）+（﹣）++（﹣）]=0+（﹣）=﹣．【变式1】计算：(1)-721+1061；(2)(-21)+(-7.3)；(3)141+(-231)；(4)751+(-3.8)+(-7.2)【答案】（1）原式=11112(107)(97)(1)262623+-=-+-=；（2）原式=(0.57.3)7.8-+=-；（3）（3）原式=111(21)13412--=-；（4）原式=7.27.2 3.80 3.8 3.8--=-=-【变式2】计算：11511236⎛⎫-++- ⎪⎝⎭1151151151111(11)1236236236⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-=--++-=-++-++-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦【变式3】计算：11(6)(3.3)(3)(6)(0.3)(8)(6)(16)644⎛⎫⎛⎫++++-+++-+++++++-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解法一：11(6)(3.3)(3)(6)(0.3)(8)(6)(16)644⎛⎫⎛⎫++++-+++-+++++++-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11(6)(3)(0.3)(8)(6)(3.3)(6)(16)644⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++++++++++-+-+-+-⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦→同号的数一起先加(23.55)(31.55)8=++-=-．本题考查了有理数的加法，拆项法是解题关键．解法二：11(6)(3.3)(3)(6)(0.3)(8)(6)(16)644⎛⎫⎛⎫++++-+++-+++++++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11(6)6[(3.3)(3)(0.3)][(6)(6)][(16)(8)]44⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++-+-+++++-+++-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦→同分母，互为相反数的数，或几个数可以凑整的数分别结合相加000(8)8=+++-=-．类型二、有理数的减法运算．(1)2-(-3)；(2)0-(-3.72)-(+2.72)-(-4)；(3)41373⎛⎫+- ⎪⎝⎭．此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数的加法进行计算．本题可直接利用有理数的减法法则进行计算．(1)2-(-3)＝2+3＝5(2)原式＝0+3.72+(-2.72)+4＝(0+4)+(3.72-2.72)＝4+1＝5（3）原式=411416(3)(3)2733721+-=--=-类型三、有理数的加减混合运算.计算：（1）-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72；（2）11-12+13-15+16-18+17；（3）1113.76395684.7621362--+--+（4）51133.464 3.872 1.54 3.376344+---+++（5）1355354624618-++-；（6）132.2532 1.87584+-+（1）观察各个加数，可以发现-3.72与3.72互为相反数，把它们分为一组；4.18、-2.93与-1.25的和为0，把它们分为一组可使计算简便．解：-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72＝(-3.72+3.72)+(4.18-2.93-1.25)-1.23＝0+0-1.23＝-1.23（2）把正数和负数分别分为一组．解：11-12+13-15+16-18+17＝(11+13+16+17)+(-12-15-18)＝57+(-45)＝12（3）仔细观察各个加数，可以发现两个小数的和是-1，两个整数的和是29，三个分数通分后也不难算．故把整数、分数、小数分别分为一组．解：1113.7639568 4.7621362--+--+111(3.76 4.76)(521)(3968)362=-+--++-+1(6)2922=-+-+=（4）3.46和1.54的和为整数,把它们分为一组；-3.87与3.37的和为-0.5，把它们分为一组；546与13-易于通分，把它们分为一组；124-与34同分母，把它们分为一组．算式中的“+”或“-”既可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.解：51133.464 3.872 1.54 3.376344+---+++5113(3.46 1.54)(3.873.37)(4)(2)6344=++-++-+-+115(0.5)4(1) 4.537.522=+-++-=+=（5）先把整数分离后再分组．解：1355354624618-++-1355354624618=--++++--1355(3546)()24618=-++-+-++-1827301036-++-=+2936=注：带分数中的整数与分数分离时，如果这个数是负数，那么分离得到的整数与分数都是负数，例如113322-=--．（6）如果按小数、整数分组，效果似乎不是很好．可先将小数和分数统一后再考虑分组．解：132.2532 1.87584+-+(2.25 2.75)(3.125 1.875)=-++0.55 4.5=-+=【变式】5.6+[0.9+4.4﹣（﹣8.1）]．解：原式=5.6+0.9+4.4+8.1=19．类型四、有理数的加减混合运算在实际中的应用．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．（1）现有1，2，3，4，5，6，7，8，9共九个数字，请将它们分别填入图1的九个方格中，使得第行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都等于15；（2）通过研究问题（1），利用你发现的规律，将3，5，﹣7，1，7，﹣3，9，﹣5，﹣1这九个数字分别填入图2的九个方格中，使得横、竖、斜对角的所有三个数的和都相等．解：（1）15÷3=5，∴最中间的数是5，其它空格填写如图1；（2）如图2所示．计算多个有理数相加时，必须先审题，分析特点，寻找规律，然后再去计算．注意在交换加数的位置时，要连同符号一起交换.本题考查了有理数加法，熟知“九宫图”的填法是解题的关键．【变式】某产粮专业户出售粮食8袋，每袋重量(单位：千克)如下：197，202，197，203，200，196，201，198．计算出售的粮食总共多少千克?法一：以200(千克)为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，则这8个数的差的累计是：(-3)+(+2)+(-3)+(+3)+0+(-4)+(+1)+(-2)＝-6200×8+(-6)＝1594(千克)答：出售的粮食共1594千克．法二：197+202+197+203+200+196+201+198＝1594(千克)答：出售的粮食共1594千克．【巩固练习】一、选择题1.某地一天的最高气温是12℃，最低气温是2℃，则该地这天的温差是（）A﹣10℃B．10℃C．14℃D．﹣14℃2.比﹣1小2015的数是（）A．﹣2014B．2016C．﹣2016D．20143.如果三个数的和为零，那么这三个数一定是()．A．两个正数，一个负数B．两个负数，一个正数C．三个都是零D．其中两个数之和等于第三个数的相反数4.若0,0a b ><,a b <,则a 与b 的和是()A.B.C. D.．5.下列判断正确的是（）A．两数之差一定小于被减数．B．若两数的差为正数，则两数都为正数．C．零减去一个数仍得这个数．D．一个数减去一个负数，差一定大于被减数．6．某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有质量为(25±0.1)kg，(25±0.2)kg，(25±0.3)kg 的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差()A．0.8kg B．0.6kg C．0.5kg D．0.4kg 二、填空题7.有理数,,a b c 在数轴上对应点位置如图所示，用“＞”或“＜”填空：（1）｜a ｜______｜b ｜；（2）（2）a ＋b ＋c ______0：（3）a －b ＋c ______0；（4）a ＋c ______b ；（5）c －b ______a ．8.小明存折中原有450元，取出260元，又存入150元，现在存折中还有______元．9.若a ，b 为整数，且|a-2|+|a -b|＝1，则a+b＝________．10．某地的冬天，半夜的温度是-5︒C，早晨的温度是-1︒C，中午的温度是4︒C.则(1)早晨的温度比半夜的温度高________度；(2)早晨的温度比中午的温度低________度.11．北京与纽约的时差为-13（负号表示同一时刻纽约时间比北京时间晚）.如果现在是北京时间15：00，那么纽约时间是______________12.数学活动课上，王老师给同学们出了一道题：规定一种新运算“☆”对于任意两个有理数a和b，有a☆b＝a-b+1，请你根据新运算，计算(2☆3)☆2的值是.三、解答题13.计算题（1）3401(1)(5)|4|77⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-----+--+-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（2）2121 02133434⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++---+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）44444 999999999999999 55555 ++++（4）1+(-2)+(-3)+4+5+(-6)+(-7)+8+…+97+(-98)+(-99)+100的值．（5）11111 8244880120 ++++；（6）2312()() 3255 ---+--+-14.数轴上到原点的距离小于3的整数的个数为x，不大于3的正整数的个数为y，绝对值等于3的整数的个数为z，求：x+y+z的值．15.股民李星星在上周星期五以每股11.2元买了一批股票，下表为本周星期一到星期五该股票的涨跌情况求：（1）本周星期三收盘时，每股的钱数．（2）李星星本周内哪一天把股票抛出比较合算，为什么？【答案与解析】一、选择题1.【答案】B．2.【答案】C【解析】解：根据题意得：﹣1﹣2015=﹣2016，故选C.3.【答案】D【解析】若0a b c++=，则a b c+=-或b c a+=-或a c c+=-，所以D正确.4．【答案】D【解析】(a b+)的符号与绝对值较大的b一致为负的，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，即有()b a--.5.【答案】D【解析】A错误，反例：2-（-3）=5，而5＞2；B不对，反例：2-（-3）=5，而-3为负数；C错误，0-2=-2，0-（-2）=2，所以零减去一个数得这个数的相反数.6．【答案】B【解析】因为最低重量为24.7kg，最大重量为25.3kg，故质量最多相差25.3-24.7＝0.6kg．星期一二三四五每股涨跌/元+0.4+0.45﹣0.2+0.25﹣0.4二、填空题7.【答案】＜，＜，＞，＞，＞【解析】由图可知：b a c >>，且0,0b a c <<>，再根据有理数的加法法则可得答案.8.【答案】340【解析】450﹣260+150=290+150=340（元）．9．【答案】2,6,3或5【解析】当|a-2|＝1，|a -b|＝0时，得：a+b＝6或2；当|a-2|＝0，|a -b|＝1时，得：a+b＝3或5；10．【答案】(1)4(2)5【解析】(1)-1-（-5）=4(2)-1-（+4）=-511．【答案】2：00【解析】15：00+(-13)=2：00．12.【答案】-1【解析】(2☆3)☆2＝(2☆3)-2+1＝2-3+1-2+1＝-1三、解答题13.【解析】（1）原式341[15]45(5)1077=--+-++=--=（2）原式212102133434⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭21212133434=-++-2211213213183344⎛⎫⎛⎫=-++-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）原式=1111101001000100005555⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++-++-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦11000005⎡⎤⎛⎫++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11111(10100100010000100000)55555⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111110(1)111109=+-=．（4）1+(-2)+(-3)+4+5+(-6)+(-7)+8+…+97+(-98)+(-99)+100＝[1+(-2)+(-3)+4]+[5+(-6)+(-7)+8]+…+[97+(-98)+(-99)+100]＝0+0++…+0＝0．（5）111111111182448801202446688101012++++=++++⨯⨯⨯⨯⨯111111*********()()22446688101012221224=-+-+-+-+-=-=（6）原式23122312231283[()][()]32553255325530=------=--------=----=-14.【解析】解：根据数轴，到原点的距离小于3的整数为0，±1，±2，即x=5，不大于3的正整数为1，2，3，即y=3，绝对值等于3的整数为3，﹣3，即z=2，所以x+y+z=10．15.【解析】解：（1）根据题意得：11.2+0.4+0.45+（﹣0.2）=11.85（元），则本周星期三收盘时，该只股票每股为11.85元；（2）根据题意得：11.2+0.4+0.45+（﹣0.2）+0.25=12.1（元），则本周该只股票最高价12.1元出现在周四，李星星本周四把股票抛出比较好．。

第一章有理数知识点、考点、难点总结归纳有理数是我们学习数学的基础，掌握有理数的知识是进行后续学习的关键。

本章将对有理数的知识点、考点和难点进行总结归纳，帮助我们更好地理解和掌握有理数。

一、有理数的定义有理数是可以表示为两个整数的比值，包括正整数、负整数和零。

有理数的表示形式为分数或整数。

二、有理数的基本运算1. 加法和减法：有理数的加法和减法运算都可以通过分数的相加相减来完成，要注意同分母的分数之间的加减法运算规则，并进行合并和化简。

2. 乘法和除法：有理数的乘法和除法运算也可以通过分数的乘法和除法来完成，要注意分数的乘法规则和除法规则，并进行化简。

三、有理数的大小比较比较两个有理数的大小，可以首先将它们转化为相同分母的分数形式，然后按照分数的大小关系进行比较。

四、有理数的相反数与绝对值1. 相反数：一个有理数的相反数是它的数值相反而符号不变。

2. 绝对值：一个有理数的绝对值是它去掉符号后的数值，即该数的非负值。

五、有理数的混合运算混合运算是指同时进行加减乘除等多种运算的情况。

在有理数的混合运算中，需要根据运算法则和优先级进行计算，并注意括号的运用。

六、有理数的分数表示和小数表示有理数可以用分数形式表示，也可以用小数形式表示。

分数形式适用于精确计算，而小数形式便于运算和比较大小。

七、有理数的化简有理数的化简是指将其写成最简形式，即分子与分母没有公约数的分数表示。

通过寻找最大公约数，可以将有理数化简为最简形式。

八、有理数的乘方运算乘方运算是指一个数自乘若干次的运算。

在有理数的乘方运算中，可以根据乘方运算法则简化计算过程，并注意负次幂的运算规律。

九、有理数与实际问题的应用有理数在实际问题中有广泛的应用，如温度计的读数、海拔高度的表示、财务账目的计算等。

通过将实际问题转化为有理数运算，可以得出准确的答案。

总结：有理数是我们日常生活和学习中经常遇到的数，掌握有理数的知识对于数学学习至关重要。

本章总结了有理数的定义，基本运算，大小比较，相反数与绝对值，混合运算，分数与小数表示，化简，乘方运算以及应用等知识点、考点和难点。

初中数学有理数的排序规则是什么
在初中数学中，有理数的排序规则是根据数的大小关系将一组有理数按照从小到大或从大到小的顺序排列。

有理数的排序涉及到正数、负数、零以及小数等不同形式的数。

下面将分别介绍这些情况下的排序规则。

一、正数的排序规则
正数按照数值大小从小到大排序。

例如，给定一组正数：3，5，1，2，4。

按照从小到大的顺序排列为：1，2，3，4，5。

二、负数的排序规则
负数按照数值大小从大到小排序。

例如，给定一组负数：-3，-5，-1，-2，-4。

按照从大到小的顺序排列为：-1，-2，-3，-4，-5。

三、正数和负数的排序规则
先将正数和负数分开，然后按照绝对值的大小从小到大排序。

正数在前，负数在后。

例如，给定一组有理数：2，-3，1，-2，5。

按照从小到大的顺序排列为：-3，-2，1，2，5。

四、零与其他数的排序规则
零与其他数一起排序时，零在前面。

例如，给定一组有理数：0，-3，1，2，-2。

按照从小到大的顺序排列为：0，-3，-2，1，2。

五、小数的排序规则
小数的排序规则与整数的排序规则类似，按照数值的大小从小到大排序。

例如，给定一组小数：0.5，0.25，0.1，0.75，0.3。

按照从小到大的顺序排列为：0.1，0.25，0.3，0.5，0.75。

需要注意的是，当小数位数很多时，排序时可能需要进行近似计算。

综上所述，有理数的排序规则根据正数、负数、零以及小数的不同情况来确定排序顺序。

学生需要掌握这些规则，以便正确排序有理数，解决实际问题。

第一章有理数知识点、考点、难点总结归纳有理数是数学中的一个重要概念，它是整数和分数的统称。

在初中数学的学习中，有理数占据着基础且关键的地位。

接下来，我们将对有理数的知识点、考点和难点进行详细的总结归纳。

一、有理数的定义和分类有理数是能够表示为两个整数之比的数，包括整数、有限小数和无限循环小数。

按照符号分类，有理数可以分为正有理数、零和负有理数。

正有理数包括正整数和正分数，负有理数包括负整数和负分数。

需要注意的是，零既不是正数也不是负数，但它是有理数。

二、有理数的数轴表示数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线。

任何一个有理数都可以在数轴上找到对应的点，反过来，数轴上的点也都对应着一个有理数。

在数轴上，右边的数总比左边的数大。

利用数轴可以比较有理数的大小，也可以进行有理数的加减运算。

三、有理数的相反数只有符号不同的两个数互为相反数。

例如，5 的相反数是－5，－3 的相反数是 3。

零的相反数是零。

互为相反数的两个数之和为零。

四、有理数的绝对值绝对值的定义是：数轴上表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。

正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。

例如，｜5| ＝ 5，｜－3| ＝ 3，｜0| ＝ 0。

绝对值具有非负性，即任何有理数的绝对值总是大于或等于零。

五、有理数的比较大小正数大于零，零大于负数，正数大于负数。

两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

例如，比较－5 和－3 的大小，因为｜－5| ＝ 5，｜－3| ＝ 3，5 ＞ 3，所以－5 ＜－3。

六、有理数的加法同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

异号两数相加，绝对值相等时和为零；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

一个数同零相加，仍得这个数。

例如，3 ＋ 5 ＝ 8，－3 ＋（－5) ＝－8，3 ＋（－5) ＝－2，－3 ＋ 5 ＝ 2，0 ＋ 5 ＝ 5。

七、有理数的减法减去一个数，等于加上这个数的相反数。

七年级一到四单元知识点作为中学生涯的起点，七年级是学生们开始接受系统学科知识的阶段，其中一到四单元为初中数学的开篇内容。

本文将重点梳理七年级一到四单元数学知识点，为初中数学学习者提供参考。

一、有理数有理数是整数和分数的统称。

有理数的加减乘除，我们可以借助小学学习过的运算规则来轻松掌握。

在此，我们主要关注有理数的绝对值和相反数的概念。

1.绝对值一个实数a的绝对值，表示为|a|，它的值等于a到零点的距离。

绝对值也可以表示为正数：当a>0时，|a|=a当a<0时，|a|=-a例如，|5|=5，|-7|=7。

2.相反数一个实数a的相反数，表示为-a，它的值加上a的值等于零。

相反数的定义告诉我们，在有理数加减运算中，加数的相反数作为减数，被减数的相反数作为加数，可以简化运算。

如-3和3就是一组相反数。

二、整式与整式的加减法整式可以简单理解为由整数和字母组成的项式。

例如：2x^2、5y、-3。

整式的加减法需要按照同类项的原则进行，即对同一个字母的指数幂进行分组，再将同类项相加或相减。

例如：(2x^2+3y-1)+(4x^2-2y+3) = (2x^2+4x^2)+(3y-2y)-1+3=6x^2+y+2三、代数式的基本性质代数式指的是由常数、变量、运算符号和括号组成的式子，例如：(x+1)y。

代数式是数学通识中重要的代数基础，因此需要理解和掌握它的基本性质。

代数式的基本性质包括：1.等式的性质：等式两边的代数式互相调换位置，并不影响等式的值。

比如，x+1=3，可以变形为x=2。

2.分配律：指一项代数式与括号中的和式相乘等于这个和式中每一个单项与这个代数式相乘得到的和，即a(b+c)=ab+ac。

例如，3(x+2)=3x+6四、平面图形的初步认识平面图形是初中数学课程中的重头戏之一，有助于培养学生的空间思维和逻辑思考能力。

七年级一到四单元中主要学习了以下几种平面图形：1.三角形三角形是由三条线段围成的平面图形，在几何学中占据着重要的地位，也是最基础的图形之一。

初一数学有理数四则运算规则详解有理数是包括正整数、负整数、零以及所有正数和负数的数集。

在初一数学学习中，有理数的四则运算是一个十分重要的内容。

掌握有理数的四则运算规则能够帮助我们解决实际问题，下面我将详细介绍有理数的四则运算规则。

一、正数与正数的加法运算首先，我们来讨论两个正数的加法运算。

当两个正数相加时，我们只需将它们的数值相加即可，符号仍为正。

例如，3+4=7，5+2=7。

二、正数与正数的减法运算接下来，我们来讨论两个正数的减法运算。

当两个正数相减时，我们只需将被减数减去减数即可，符号仍为正。

例如，8-3=5，9-2=7。

三、正数与负数的加法与减法运算接下来，我们来讨论正数与负数的加法与减法运算。

当一个正数与一个负数相加时，我们先将它们的绝对值相加，然后取较大的符号作为结果的符号。

例如，3+(-5)=-2，8+(-6)=2。

当一个正数与一个负数相减时，我们只需将它们的绝对值相加，然后取被减数的符号作为结果的符号。

例如，7-(-4)=11，9-(-2)=11。

四、负数与负数的加法与减法运算现在，我们来讨论负数与负数的加法与减法运算。

当两个负数相加时，我们先将它们的绝对值相加，然后取较小的符号作为结果的符号。

例如，(-3)+(-5)=-8，(-8)+(-2)=-10。

当两个负数相减时，我们只需将它们的绝对值相减，然后取被减数的符号作为结果的符号。

例如，(-7)-(-4)=-3，(-9)-(-2)=-7。

五、有理数的乘法运算有理数的乘法运算规则较为简单。

当两个有理数相乘时，我们只需将它们的绝对值相乘，然后根据相乘结果的正负确定最终结果的符号。

例如，2×3=6，(-2)×4=-8。

六、有理数的除法运算有理数的除法运算也相对简单。

当两个有理数相除时，我们只需将除数的绝对值除以被除数的绝对值，然后根据除法的原理确定最终结果的符号。

例如，6÷3=2，(-8)÷4=-2。

初一数学有理数公式大全1.有理数的定义：有理数是可以用两个整数的比来表示的数，包括整数和分数，用Q表示。

2.有理数四则运算：(1)加法：a + b = c(2)减法：a - b = c(3)乘法：a × b = c(4)除法：a ÷ b = c (b ≠ 0)3.有理数绝对值：对于一个有理数a，它的绝对值为|a|，如果a≥0，则|a|=a；如果a<0，则|a|=-a。

4.有理数相反数：对于一个有理数a，它的相反数为-a，即-a使得a + (-a) = 0。

5.有理数的乘方：对于有理数a，a的n次方记为aⁿ，其中n为正整数。

(1)a⁰ = 1 (当a≠0时)(2)a¹ = a(3)aⁿ⁺ᵐ= aⁿ × aᵐ(4)(aⁿ)ᵐ= aⁿᵐ6.有理数的倒数：对于一个非零的有理数a，它的倒数记作1/a或a⁻¹，满足a × (1/a) = 1。

7.有理数乘法的交换律和结合律：(1)交换律：a × b = b × a(2)结合律：(a × b) × c = a × (b × c)8.有理数加法和乘法的分配律：(1)加法的分配律：a × (b + c) = a × b + a × c(2)减法的分配律：a × (b - c) = a × b - a × c9.有理数的乘方性质：(1)任何非零有理数的零次方都等于1：a⁰ = 1 (a≠0)(2)非零有理数取负次方的倒数等于该数的正次方：(a⁻ⁿ) = 1/(aⁿ)(a≠0)(3)任何有理数的一次方等于其本身：a¹ = a(4)任何非零有理数的n次方都等于该非零有理数连乘n次：aⁿ =a × a × a ×…× a (连乘n次)10.有理数的比较：(1)若a>b，则a-b>0(2)若a<b，则a-b<0(3)若a=b，则a-b=011.有理数的约分：对一个分数a/b，如果a和b有公因数，则可以约去公因数，保留最简形式。

初一数学有理数四则运算法则详解有理数是指可表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数等。

四则运算是数学中最基本的运算，包括加法、减法、乘法和除法。

在初一的数学学习中，有理数的四则运算是一个重要的内容。

本文将详细介绍初一数学有理数四则运算法则。

一、加法法则在初一数学中，有理数的加法法则可总结为以下几个要点：1. 同号数相加，保留同号，将绝对值相加，并在结果前加上相同的符号。

例如，正数加正数，负数加负数。

例如：(+4) + (+6) = +10；(-3) + (-8) = -11。

2. 异号数相加，先求绝对值的和，再在结果前加上符号。

具体来说，绝对值较大的数决定结果的符号。

例如：(+4) + (-6) = -2；(-3) + (+8) = +5。

3. 加数与被加数之和等于和与加数之和，即(a + b) + c = a + (b + c)。

这是加法的结合律。

二、减法法则有理数的减法法则与加法相似，可以归纳为以下几点：1. 减去一个数相当于加上它的相反数。

即a - b = a + (-b)。

例如：(+4) - (+6) = (+4) + (-6) = -2；(-3) - (-8) = (-3) + (+8) = +5。

2. 式子(a - b) - c = a - (b + c)，这是减法的结合律。

三、乘法法则在初一数学中，有理数的乘法法则可总结为以下几个要点：1. 同号相乘，积为正数；异号相乘，积为负数。

例如：(+2) × (+3) = +6；(-2) × (+3) = -6。

2. 任何数与0相乘，积为0，即a × 0 = 0。

例如：(+5) × 0 = 0；(-7) × 0 = 0。

3. 乘法满足交换律，即a × b = b × a。

4. 乘法满足结合律，即(a × b) × c = a × (b × c)。

0到1有理数的测度
0到1之间的有理数是指所有可以表示为两个整数的比值的数，其中分母不为0。

换句话说，这些数可以写成分数的形式，例如1/2, 3/4, 5/6等等。

有理数的测度是指这些有理数所占据的长度或大小。

在数学上，我们可以使用数轴来表示有理数，0到1之间的有理数
可以在这个数轴上以分数的形式表示。

测度可以理解为这些有理数
所占据的长度，即在数轴上的距离。

从数轴的角度来看，0到1之
间的有理数所占据的长度是有限的，因为它们都可以用分数表示，
并且在数轴上占据有限的空间。

另一方面，从集合的角度来看，0
到1之间的有理数构成了一个密集的集合，即任意两个有理数之间
都存在着无穷多的其他有理数，因此在这个意义下，有理数的测度
是无限的。

综上所述，0到1之间的有理数的测度可以从数轴的长
度和集合的密集程度两个角度来理解，分别对应着有限和无限的概念。

人教版七年级数学上册第一章有理数复习试题四（含答案)70．一次考试中，老师采取一种记分制：得130分记为+30分，得50分记为﹣50分.那么96分应记为______，李明的成绩记为﹣12分，那么他的实际得分为_____.【答案】-4分88分【解析】【分析】“正”和“负”是表示互为相反意义的量，超过100分，超过的记作正数，那么少于100分的，不足的记为负数.【详解】得130分记为+30分，得50分记为﹣50分.那么96分应记为﹣4分，李明的成绩记为﹣12分，那么他的实际得分为，故答案为：﹣4分，88分.【点睛】本题考查正负数的实际应用，解题的关键是掌握正负数的实际应用.71．已知42yx+互为相反数，则y x的值是______________.-与3【答案】9【解析】【分析】根据相反数之和为0列出算式，再由非负数的性质求得x、y的值，从而将x、y的值代入计算即可．【详解】因为|4-2y|与|x+3|互为相反数，所以|4-2y|+|x+3|=0,所以4-2y=0,x+3=0,所以y=2,x=-3,所以2(3)9y x =-=.故答案为:9.【点睛】考查了相反数的概念、绝对值的非负数性质，解题关键是利用了相反数之和为0和有限个非负数的和为零，则每一个加数也必为零．72．2019年11月24日上午9:00，重庆·大足环龙水湖国际半程马拉松赛在大足龙水湖旅游度假区鸣枪起跑.比赛吸引来自中国、美国、澳大利亚、乌克兰、巴基斯坦、肯尼亚等22个国家和地区的选手参赛.据悉由于赛事火爆，最后组委会又增加2500个名额以满足跑友的需求.2500用科学记数法表示为____________.【答案】2.5×103【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值是易错点，由于2500有位，所以可以确定n=4-1=3．【详解】2500=2.5×103．故答案为：2.5×103．【点睛】考查用科学记数法表示大数，用科学记数法表示数的关键是确定a 与10的指数n ，确定a 时，要注意范围，n 等于原数的整数位数减1．三、解答题73．计算：（1） 3×(－2)－32 ÷ (－3)＋|－4|.（2）()322(10)(4)42⎡⎤-+---⨯⎣⎦ 【答案】（1）1；（2）-952【解析】【分析】先算乘方和绝对值，再算乘除，后算加减即可；（2）先算乘方，再算括号里，然后算加减即可.【详解】解：（1）原式=-6-9÷ (－3)＋4=-6+3+4=1；（2）原式=()100016162⎡⎤-+--⨯⎣⎦=-1000+(16+32)=-952.【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键.混合运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算；如果有括号，先算括号里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行；有时也可以根据运算定律改变运算的顺序.74．计算：（1）()145108-+--+（2）()3212282⎛⎫-+-÷-⨯ ⎪⎝⎭ 【答案】（1）9；（2）72-【解析】【分析】 (1)利用有理数加减法运算法则进行解答即可；（2）先算乘方、再按有理数四则混合运算法则进行计算即可.【详解】解：（1）()145108-+--+=-14+5+10+8=9（2）()3212282⎛⎫-+-÷-⨯ ⎪⎝⎭ =-4-18÷（-2）×8 =-4+12=72- 【点睛】本题考查了含乘方的有理数四则混合运算，其一般步骤为先算乘方、再去括号、然后再按有理数四则混合运算法则进行计算即可.75．数轴上，点M 表示-2，现从M 点开始先向右移动3个单位到达P 点，再从P 点向左移动5个单位到达Q 点.（1）点P Q 、各表示什么数？（2）到达Q 点后，再向哪个方向移动几个单位，才能回到原点？【答案】(1)P:1,Q:4;(2) 向右移动4个单位，才能回到原点【解析】【分析】（1）利用数轴上点的移动规律：左减右加得出P，Q各表示什么数；（2）根据得出Q点表示的数与原点的位置，回答问题即可.【详解】-+=，解：（1）点M表示-2，P点表示231Q点表示1-5=-4；（2）-4在原点的左边，距离原点4个单位，所以向右移动4个单位，才能回到原点.【点睛】此题考查的知识点是数轴，利用数轴上点的移动规律是解决问题的关键.76．如图所示，观察数轴，请回答:(1)点C与点D的距离为，点B与点D的距离为；点B与点E的距离为，点C与点A的距离为；(2)发现:在数轴上，如果点M与点N分别表示数,m n，则它们之间的距离可表示为MN=(用,m n表示)；(3)利用发现的结论，逆向思维解决下列问题:①数轴上表示x的点P与B之间的距离是1，则x的值是；x+=，则x=；②32③数轴上是否存在表示x的点P，使点P到点B、点C的距离之和为11？若存在，请求出x 的值；若不存在，说明理由; ④27x x ++-的最小值为 ；【答案】(1)3；2；4；7；(2)|m-n|；(3)①3-或1-；②5-或1-；③存在.x 的值为5-或6；④9.【解析】【分析】（1）直接根据数轴上两点间距离的定义解答即可；（2）根据数轴上两点间距离的定义进行解答，再进行总结规律，即可得出MN 之间的距离；（3）根据（2）得出的规律，进行计算即可得出答案．【详解】(1)由图可知，点C 与点D 的距离为3，点B 与点D 的距离为2，点B 与点E 的距离为4，点A 与点C 的距离为7；故答案为：3，2，4，7，；(2) 如果点M 对应的数是m ，点N 对应的数是n ，那么点M 与点N 之间的距离可表示为MN=|m-n|．故答案为： |m-n|；()3①由()1可知，数轴上表示x 和2-的两点P 与B 之间的距离是1，则21x +=，解得3x =-或1x =-.故答案为:3-或1-. ②32x +=，即32x +=或32x +=-，解得1x =-或5-，故答案为: 5-或1-.③存在.理由如下:若P 点在B 点左侧，2311x x --+-=，解得5x =-；若P 点在B C 、之间，2311x x ++-=，此方程不成立；若P 点在C 点右侧，2311x x ++-=，解得6x =.答:存在.x 的值为5-或6.④根据绝对值的几何意义可得，当-2≤x ≤7时，27x x ++-有最小值， ∴当-2≤x ≤7时，()2727279x x x x x x ++-=+--=+-+=.【点睛】本题主要考查了数轴以及绝对值的几何意义的运用，一个数x 的绝对值的几何意义是：在数轴上表示这个数x 的点离远点（表示数0）的距离，x 的绝对值表示为|x|．77．计算: (1)()223251535--⎡⎤⎢⎥⎣-+⨯÷⎦- (2)12124234⎛⎫-+-⨯- ⎪⎝⎭【答案】(1)0；(2)-2.【解析】【分析】（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减，得出结果；（2）先算绝对值，然后利用乘法分配律化简计算.【详解】解：(1)()223251535--⎡⎤⎢⎥⎣-+⨯÷⎦-3451595⎛⎫=---+⨯÷ ⎪⎝⎭()451=---+()44=---44=-+0= (2)12124234⎛⎫-+-⨯- ⎪⎝⎭ 12124234⎛⎫=-+-⨯ ⎪⎝⎭ 121242424234⎛⎫=-⨯+⨯-⨯ ⎪⎝⎭()12166=-+-2=-【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握公式是解本题的关键．78．计算:(1)－23÷8－14×(－2)2 (2)(1－16－34)×(－36) 【答案】（1）-2;（2）-3【解析】【分析】（1）根据整式的运算法则，先算乘方，再算乘除，后算加减即能解决问题，（2）若先算括号内的要进行通分，使运算复杂化，直接用-36与括号内的每一个数相乘再进行其它运算即能解决问题.【详解】（1）原式1=-÷-⨯8844=--11=-2=-++（2）原式36627=-+3027=-3【点睛】本题考查了整式的运算法则，解决本题的关键是要注意在运算中符号的变化.79．把下列各数在数轴上表示出来，3.5，-3.5，0，2，-0.5，-2，0.5. 并按从小到大的顺序用“＜”连接起来.【答案】数轴见解析，-3.5<-2<-0.5<0<0.5<2<3.5；【解析】【分析】先根据数轴表示数的方法表示各数，再按从左向右的顺序排列即可．【详解】在数轴上表示，从小到大的顺序是：用“＜”连接起来-3.5 ＜-2＜-0.5＜0 ＜0.5＜2＜3.5.【点睛】此题主要考查了有理数与数轴，关键是正确在数轴上表示各数．。

一、知识点：科学记数法和近似数：1、科学记数法：把一个大于10的数记成的形式，其中a的取值范围是，n为正整数，如果一个数的整数的位数为m位，那么n＝。

如：5763.72用科学记数法表示为：5763.72＝5.76372×103。

（m＝4，n＝4－1＝3）2、近似数：一个数与准确数相近（比准确数略多或者略少些），这一个数称之为近似数。

求近似数的方法：一般用四舍五入法。

如2.9953精确到0.01为：2.9953≈3.00二、知识点练习：1、用科学记数法表示下列各数：⑴1万= ；⑵1亿= ；⑶80000000= ；⑷－76500000＝；2、下列用科学记数法写出的数，原来分别是什么数？⑴1.73×105= ；⑵－3.521×107= ；⑶－7.05×108= ；3、(－5)3×40000用科学记数法表示为；4、山西有着丰富的旅游资源，如五台山、平遥古城、乔家大院等著名景点，吸引了众多的海内外游客，2008年全省旅游总收入739.3亿元，这个数据用科学记数法可表示为。

5、下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？⑴132.4精确到；⑵0.0572精确到；⑶5.08×103精确到；⑷3.6万精确到；⑸3.12精确到；⑹7.2×105精确到；⑺0.0031亿精确到；6、⑴把47155精确到百位可表示为；⑵把47155精确到万位可表示为；7、下列各数中用科学记数法正确的是（）A、0.25×105B、25×103C、2.5×104D、2.5×100008、下列说法正确的是（）A、近似数1.8与1.80表示的意义一样B、4.5万精确到万位C、圆周率π等于3.14D、2.00×102精确到个位9、已知数549039用四舍五入法得到5.5×105，则所得近似数精确到（）A、十位B、千位C、万位D、百位10、已知数295421精确到万位，用四舍五入法得到的近似数是（）A、300000B、30×104C、3×105D、3.0×105三、知识点测试：（每题10分，共100分）1、（2014年江苏盐城）2014年5月，中俄两国签署了供气购销合同，从2018年起，俄罗斯开始向我国供气，最终达到每年380亿立方米．380亿这个数据用科学记数法表示为（）A. 3.8×109B. 3.8×1010C. 3.8×1011D. 3.8×10122、（2014年江苏淮安）地球与月球的平均距离大约为384000km，将384000用科学记数法表示应为（）A. 0.384×106B. 3.84×106C.3.84×105D.384×1033、（2014年江苏徐州）我国“钓鱼岛”周围海域面积约170 000km2，该数用科学记数法可表示为．4、（2014年江苏无锡）据国网江苏电力公司分析，我省预计今夏统调最高用电负荷将达到86000000千瓦，这个数据用科学记数法可表示为千瓦．5、（2014年江苏南通）我国第一艘航母“辽宁舰”最大排水量为67500吨，这个数据用科学记数法可表示为．6、（2014年江苏苏州）已知地球的表而积约为510000000km2．这个数用科学记数法可以表示为km27、（2014年江苏南京）截止2013年底，中国高速铁路运营达到11000km，将11000用科学记数法表示为。

七年级第一章有理数知识点在数学学习中，有理数是一个重要的知识点。

而在七年级第一章，有理数的学习便是一个必须掌握的部分。

本文将从有理数的定义、有理数的分类、有理数的加减乘除以及有理数的应用四个方面详细介绍七年级第一章有理数的相关知识点。

一、有理数的定义有理数是可写为分数形式的数。

在数轴上表示为一段带箭头的线段，其上的每个点对应唯一的有理数，同时每个有理数也对应唯一的点。

有理数是整数、零和分数的集合，符号为“+”或“-”。

二、有理数的分类有理数分为正有理数、负有理数和零三类。

1. 正有理数：比零大的有理数都是正有理数，用正号“+”表示。

2. 负有理数：比零小的有理数都是负有理数，用负号“-”表示。

3. 零：0既不是正数也不是负数，但它是唯一的整数和分数零。

三、有理数的加减乘除1. 有理数的加法：同号相加，异号相减。

例如：正数加正数、负数加负数，结果为正数；正数加负数、负数加正数，结果为负数。

2. 有理数的减法：被减数不变，减数加负号后求和。

例如：正数减正数、负数减负数，结果为正数；正数减负数、负数减正数，结果为负数。

3. 有理数的乘法：同号得正，异号得负。

例如：正数乘正数、负数乘负数，结果为正数；正数乘负数、负数乘正数，结果为负数。

4. 有理数的除法：被除数乘上倒数。

例如：正数除以正数、负数除以负数，结果为正数；正数除以负数、负数除以正数，结果为负数。

四、有理数的应用有理数在生活中的应用有很多，比如钱的收入与支出、温度的变化、公路里程的计算等等。

在解决问题中，首先需要理清思路，确定变量代表的含义，列出方程式，然后进行求解和验证。

综上所述，有理数是数学学习中不可或缺的知识点，掌握有理数的定义、分类、加减乘除以及应用能够帮助我们更好地理解和应用数学知识，成为优秀的数学学习者。