2017年各区初二下学期期末新定义汇编

1、在平面直角坐标系xOy 中，已知点(),M a b 及两个图形1W 和2W ，若对于图形1W 上任意一点(),P x y ，在图形2W 上总存在点(),P x y '''，使得点P '是线段PM 的中点，则称点P '是点P 关于点M 的关联点，图形2W 是图形1W 关于点M 的关联图形，此时三个点的坐标满足2x a x +'=，2y by +'=. （1）点()2,2P '-是点P 关于原点O 的关联点，则点P 的坐标是 ； （2）已知，点()4,1A -，()2,1B -，()2,1C --，()4,1D --以及点()3,0M①画出正方形ABCD 关于点M 的关联图形；②在y 轴上是否存在点N ,使得正方形ABCD 关于点N 的关联图形恰好被直线y x =-分成面积相等的两部分？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由.解：(1)∵ P (-4,4)．………………1分(2)①连接AM ,并取中点A ′；同理，画出B ′、C ′、D ′； ∴正方形A ′B ′C ′D ′为所求作．-----------------------------3分②不妨设N (0,n)． ∵ 关联正方形被直线y=-x 分成面积相等的两部分，∴中心Q 落在直线y=-x 上． -------------------------------------4分 ∵正方形ABC D 的中心为E (-3,0)，2/ 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ）和Q （x ，y ′），给出如下定义：若(0)(0)y x y y x ⎧'=⎨-⎩≥＜，则称点Q 为点P 的“可控变点”．例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2）.结合定义，请回答下列问题：（1）点（－3，4）的“可控变点”为点 ．（2）若点N （m ，2）是函数-1y x =图象上点M 的“可控变点”，则点M 的坐标为 ；（3）点P 为直线22y x =-上的动点，当x ≥0时，它的“可控变点”Q 所形成的图象如下图所示（实线部分含实心点）.请补全当x ＜0时，点P 的“可控变点” Q 所形成的图象；解：（1） （－3 ，－4） ． ………………………………………………2分 （2）点M 的坐标为 ()132M ，,()212M --，；………………………………………………4分（3）当x ＜0时，点P 的“可控变点” Q 所形成的图象补全如下图；0）0）…………………7分（注：红色粗线部分不含空心圈）注：其他解法请相应给分。

2017-2018学年八年级数学下册22 微专题新定义问题习题（新版）冀教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年八年级数学下册22 微专题新定义问题习题（新版）冀教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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微专题：新定义问题【河北热点】1．（2017·湘潭中考)阅读材料：设错误!＝（x1，y1)，错误!＝(x2，y2），如果错误!∥错误!,那么x1·y2＝x2·y1。

根据该材料填空:已知错误!＝(2，3），错误!＝(4,m)，若错误!∥错误!，则m＝________．2．（2017·吉林中考）我们规定:当k，b为常数，k≠0,b≠0，k≠b时，一次函数y＝kx＋b与y＝bx＋k互为交换函数．例如：y＝4x＋3的交换函数为y＝3x＋4.―次函数y＝kx＋2与它的交换函数图像的交点横坐标为________。

3．（2017·赤峰中考)在平面直角坐标系中，点P（x,y）经过某种变换后得到点P′（－y＋1，x＋2)，我们把点P′(－y＋1，x＋2)叫作点P（x，y）的终结点．已知点P1的终结点为P，点P2的终结点为P3,点P3的终结点为P4，这样依次得到P1、P2、P3、P4、…、P n、…，若点2P的坐标为（2，0）,则点P2017的坐标为________．14．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A,B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值,“铅垂高"h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积"S＝ah.例如：三点坐标分别为A(1，2)，B(－3，1)，C(2，－2）,则“水平底"a＝5，“铅垂高"h＝4,“矩面积”S＝ah＝20.根据所给定义解决下列问题:(1）若已知点D（1，2），E（－2,1)，F（0，6），则这三点的“矩面积"为________．（2）若D(1，2)，E(－2，1)，F(0,t)三点的“矩面积"为18,求点F的坐标．5．在平面直角坐标系xOy中，有如下定义：若直线l和图形W相交于两点，且这两点的距离等于定值k，则称直线l与图形W成“k相关”，此时称直线l与图形W的相关系数为k。

2017年八年级数学下期末试卷(吴兴区含答案和解释)吴兴区2017学年第二学期八年级数学期末测试(解析版) 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分。

每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1. 若式子有意义，则x的取值范围是（） A. B. C. D. 正确答案：C 试题解析：【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x-1≥0，解得x≥1．故选C． 2.下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（） A． B. C.D. 正确答案：B 试题解析：【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形．故A不符合题意； B.是轴对称图形，也是中心对称图形．故B符合题意； C. 是轴对称图形，不是中心对称图形．故C不符合题意； D. 不是轴对称图形，是中心对称图形．故D不符合题意．故选B． 3. 下列计算正确的是（）A. B. C. D. 正确答案：D 试题解析：【分析】此题考查二次根式的加法，先判断是否是同类二次根式，再合并同类二次根式. 【解答】解：A. ，故错误； B. ，不是同类二次根式不能合并，故错误； C. ，不是同类二次根式不能合并，故错误； D. ，正确。

故选D. 4，用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60度”时，应假设（） A. 每一个内角都大于60度 B. 每一个内角都小于60度C. 有一个内角大于60度 D. 有一个内角小于60度正确答案：A 试题解析：【分析】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．熟记反证法的步骤，然后进行判断即可．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．【解答】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即每一个内角都大于60°．故选A． 5.如图，在平面直角坐标系中，点A是反函数图象上的点，过点A与x轴垂直的直线交x轴于点B，连结AO，若△ABO的面积为3，则k的值为（） A.3 B.-3 C.6 D.-6 正确答案：D 试题解析：【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，根据已知条件得到三角形ABO的面积=AB•OB，由于三角形ABC的面积=AB•OB=3，得到|k|=6，即可得到结论．【解答】解：∵三角形AOB的面积=AB•OB=3，∴|k|=6，∵k＜0，∴k=-6，故选D 6.湖州是“两山”理论发源地. 在一次学校组织的以“学习两山理论，建设生态文明”为主题的知识竞赛中，某班6名同学的成绩如下（单位：分）：97，99，95，92，92，93，则这6名同学的成绩的中位数和众数分别为（） A. 93分，92分 B. 94分，92分 C. 94分，93分 D. 95分，95分正确答案：B 试题解析：【分析】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．利用中位数和众数的定义求解．【解答】解：在这一组数据中92是出现次数最多的，故众数是92；将这组数据从小到大的顺序排列：92、92、93、95、97、99，处于中间位置的数是93，95，它们的平均数是94，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是94．故选B． 7. 如果关于x 的方程2x2-x+k=0（k为常数）有两个相等的实数根，那么k=（）A. B. C. D. 正确答案：A 试题解析：解：∵关于x的方程2x2-x+k=0（k为常数）有两个相等的实数根，∴△=（-1）2-8k=0，解得k= ．故选A．先根据一元二次方程根与系数的关系列出关于k方程，求出k 的值即可．本题考查的是根与系数的关系，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，当△=0时，方程有两个相等的两个实数根是解答此题的关键． 8.下列命题中，真命题是（） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形正确答案：C 试题解析：解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误； C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误；故选C． A、根据矩形的判定定理作出判断； B、根据菱形的判定定理作出判断； C、根据平行四边形的判定定理作出判断； D、根据正方形的判定定理作出判断．本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系． 9. 在平面直角坐标系内，A、B、C三点的坐标为（0，0）、（4，0）、（3，2），以A、B、C 三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限正确答案：C 试题解析：【分析】考查平行四边形的性质，利用已知条件正确画图、数形结合，能起到事半功倍的作用．根据坐标与图形的性质和平行四边形的对边平行且相等可以画出草图，然后解答．【解答】解：现根据题意画出草图： A、B、C三点位置如图所示，要使四边形ABCD为平行四边形，则点D有三种可能，即分别以AB、AC、BC为对角线的平行四边形，故第四个顶点不可能在第三象限．故选C． 10. 新定义：若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”.如2（x-3）2+4=0与3（x-3）2+4=0是“同族二次方程”.现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是（） A. 2011 B. 2013 C. 2018 D. 2023 正确答案：B 试题解析：【分析】此题考查求代数式的值，二元一次方程组的解法，配方法.由“同族二次方程”的定义可得，得出，可得方程组，解得a、b的值，代入，配方可得. 【解答】解：∵ 与是“同族二次方程”，∴ ，，∴ ，解得∴ ，∵ 最小值为0，∴ 最小值为2013，即最小值为2013. 故选B. 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11. 一个四边形的外角和等于度. 正确答案：360 试题解析：【分析】此题考查了多边形的外角和，比较简单，只要识记多边形的外角和是360°即可．多边形外角和都等于360°，则四边形的外角和为360度．【解答】解：∵多边形外角和=360°，∴四边形的外角和为360度．故答案为360. 12. 甲、乙两位选手各10次射击成绩的平均数都是9.2环，方差分别是，，则选手发挥最稳定.正确答案：甲试题解析：【分析】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定. 【解答】解：∵S2甲=0.015，S2乙=0.025，∴S2乙>S2甲∴成绩最稳定的是甲. 故答案为甲. 13. 如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D、E、F分别是AB、AC、BC边上的中点，连结BE、DF，已知BE=5，则DF= （图1）（图2）正确答案：5 试题解析：【分析】此题主要考查了三角形中位线定理以及直角三角形斜边上的中线等知识，用到的知识点为：（1）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；（2）三角形的中位线等于对应边的一半．已知BE是Rt△ABC斜边AC的中线，那么；EF是△ABC的中位线，则．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，BE是斜边的中线，∴ ，又∵DF是△ABC的中位线，∴ ，∴DF=BE=5.故答案为5． 14. 如图2，在平面直角坐标系中，已知A（-2，1），B（1，0），将线段AB绕着点B顺时针旋转90°得到线段BA’，则A’的坐标为正确答案：（2，3）试题解析：【分析】此题考查旋转的性质，三角形全等的判定和性质，点的坐标的确定.作AC⊥x轴于C，作A′C′⊥x轴，垂足分别为C、C′，证明△ABC≌△BA′C′，可得OC′=OB+BC′=1+1=2，，A′C′=BC=3，可得结果. 【解答】解：作AC⊥x轴于C，作A′C′⊥x轴，垂足分别为C、C′，∵点A、B的坐标分别为（-2，1）、（1，0），∴AC=2，BC=2+1=3，∵∠ABA′=90°，∴ABC+∠A′BC′=90°，∵∠BAC+∠ABC=90°，∴∠BAC=∠A′BC′，∵BA=BA′，∠ACB=∠BC′A′，∴△ABC≌△BA′C′，∴OC′=OB+BC′=1+1=2，A′C′=BC=3，∴点A′的坐标为（2，3）．故答案为（2，3）． 15. 如图，在△ABC中，D是AB上任意一点，E是BC的中点，过C作CF∥AB，交DE 的延长线于F, 连BF、CD，若∠FDB=30°，∠ABC=45°，BC= ，则DF= . 正确答案：4 试题解析：【分析】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，证明CF∥DB，CF=DB，可得四边形CDBF是平行四边形，作EM⊥DB于点M，解直角三角形即可. 【解答】解：∵CF∥AB，∴∠ECF=∠EBD．∵E是BC 中点，∴C E=BE．∵∠CEF=∠BED，∴△CEF≌△BED．∴CF=BD．∴四边形CDBF是平行四边形．作EM⊥DB于点M，∵四边形CDBF是平行四边形，，∴ ，DF=2DE，在Rt△EMB中，EM=BE•sin∠ABC=1，在Rt△EMD中，∵∠EDM=30°，∴DE=2EM=2，∴DF=2DE=4．故答案为4. 16. 将反比例函数（）的图像绕着原点O顺时针旋转45°得到新的双曲线图像C1（如图1所示），直线⊥ 轴，F为轴上的一个定点。

每日一题—几何部分1．如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，将线段BC 绕点B 逆时针旋转α°（0<α<180），得到线段BD ，且AD ∥BC ． （1）依题意补全图形；（2）求满足条件的α的值； （3）若AB =2，求AD 的长．2．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CA =CB ．点D 为线段BC 上一个动点（点D 不与点B ，C重合），连接AD ，点E 在射线AB 上，连接DE ，使得DE =DA ．作点E 关于直线BC 的对称点F ，连接BF ， DF . （1）依题意补全图形； （2）求证：∠CAD =∠BDF ； （3）用等式表示线段AB ，BD ，BF 之间的数量关系，并证明．3.如图，在正方形ABCD 中，E 是边BC 上一动点（不与点B ，C 重合），连接DE ，点C 关于直线DE 的对称点为C ʹ，连接ACʹ并延长交直线DE 于点P ，F 是AC ′中点，连接DF ． （1）求∠FDP 的度数；（2）连接BP ，请用等式表示AP ，BP ，DP 三条线段之间的数量关系，并证明． （3）连接AC ，若正方形的边长为2，请直接写出△ACC ′的面积最大值．FP C'BCA DE4.已知：Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC .(1) 如图1，点D 是BC 边上一点(不与点B ，C 重合)，连接AD ，过点B 作BE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，连接CE . 若∠BAD =α，求∠DBE 的大小 (用含α的式子表示) ； (2) 如图2，点D 在线段BC 的延长线上时，连接AD ，过点B 作BE ⊥AD ，垂足E 在线段AD 上，连接CE . ①依题意补全图2；②用等式表示线段EA ，EB 和EC 之间的数量关系，并证明.图1 图25.在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ， D 为AB 的中点，点E 为AC 延长线上一点，连接DE ，过点D 作DF ⊥DE 交CB 的延长线于点F ．（1）求证：BF= CE ； （2）若CE =AC ，用等式表示线段DF 与AB 的数量关系，并证明．ABA6．如图，在等腰直角△ABC中，90CA CD），连接BD，ABC°，D是线段AC上一点（2过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E，交BA的延长线于点F．（1）依题意补全图形；（2）若ACE α，求ABD的大小（用含α的式子表示）；（3）若点G在线段CF 上，CG BD，连接DG．①判断DG与BC的位置关系并证明；②用等式表示DG，CG，AB之间的数量关系为．7．如图，等边△ABC中，P是AB上一点，过点P作PD⊥AC于点D，作PE⊥BC于点E，M是AB的中点，连接ME，MD．（1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段BE ，AD 与AB的数量关系，并加以证明；（3）求证：MD=ME．C8．如图，∠AOB = 90°，OC 为∠AOB 的平分线，点P 为OC 上一个动点，过点P 作射线PE交OA 于点E ．以点P 为旋转中心，将射线PE 沿逆时针方向旋转90°，交OB 于点F ． （1）根据题意补全图1，并证明PE = PF ；（2）如图1，如果点E 在OA 边上，用等式表示线段OE ，OP 和OF 之间的数量关系，并证明；（3）如图2，如果点E 在OA 边的反向延长线上，直接写出线段OE ，OP 和OF 之间的数量关系．图1 图29.已知ABC ∆为等边三角形，点D 是线段AB 上一点（不与A 、B 重合）.将线段CD 绕点C 逆时针旋转60︒得到线段CE.连结DE 、BE. （1）依题意补全图1并判断AD 与BE 的数量关系. （2）过点A 作AF EB ⊥交EB 延长线于点F.用等式表示线段EB 、DB 与AF 之间的数量关系并证明.PPEECCBBOOAA图2D CBA图1A B CD10.在△ABC 中，∠ABC =120°，线段AC 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AD ，连接CD ，BD 交AC 于P ．（1）若∠BAC =α，直接写出∠BCD 的度数 （用含α的代数式表示）； （2）求AB ，BC ，BD 之间的数量关系；（3）当α=30°时，直接写出AC ，BD 的关系．11,如图，在等边△ABC 中，D 为边AC 的延长线上一点()CD AC ，平移线段BC ，使点C 移动到点D ，得到线段ED ，M 为ED 的中点，过点M 作ED 的垂线，交BC 于点F ，交AC 于点G ． （1）依题意补全图形； （2）求证：AG = CD ；（3）连接DF 并延长交AB 于点H ，用等式表示线段AH 与CG 的数量关系，并证明．12.已知：如图，在△ABC 中，AB >AC ，∠B =45°， 点D 是BC 边上一点，且AD=AC ，过点C 作CF ⊥AD 于点E ，与AB 交于点F ．（1）若∠CAD =α，求∠BCF 的大小（用含α的式子表示）； （2）求证：AC =FC ；（3）用等式直接表示线段BF 与DC 的数量关系．D BAB CDFE13.如图，在等边ABC △中，点D 是线段BC 上一点.作射线AD ，点B 关于射线AD 的对称点为E .连接CE 并延长，交射线AD 于点F .（1）设BAF α∠=，用α表示BCF ∠的度数；（2）用等式表示线段AF 、CF 、EF 之间的数量关系，并证明.14.如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，BA =BC ．将线段AB 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AD ，E 是边BC 上的一动点，连接DE 交AC 于点F ，连接BF ． （1）求证：FB =FD ；（2）点H 在边BC 上，且BH =CE ，连接AH 交BF 于点N ．①判断AH 与BF 的位置关系，并证明你的结论；②连接CN ．若AB =2，请直接写出线段CN 长度的最小值．H O DCBA15.已知：四边形ABCD 中，120ABC ∠=︒，60ADC ∠=︒，AD =CD ，对角线AC ，BD相交于点O ，且BD 平分∠ABC ，过点A 作AH BD ⊥，垂足为H ． （1）求证：ADB ACB ∠=∠；（2）判断线段BH ，DH ，BC 之间的数量关系；并证明．16.如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠B ＝90°，点D 为线段BC 上一个动点(不与点B ，C 重合)，连接AD ，将线段AD 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DE ，连接EC ．(1) ① 依题意补全图1；② 求证：∠EDC ＝∠BAD ；(2) ① 小方通过观察、实验，提出猜想：在点D 运动的过程中，线段CE 与BD 的数量关系始终不变，用等式表示，并证明.图1 D C B A备用图AB CD每日一题—新定义部分1．在平面直角坐标系xOy 中，如果等边三角形的一边与x 轴平行或在x 轴上，则称这个等边三角形为水平正三角形.(1)已知A （1，0），B （-1，0），若△ABC 是水平正三角形，则点C 坐标的是 （只填序号）； ①，②，③，④（2）已知点O ，E ，F ，以这三个点中的两个点及平面内的另一个点P为顶点，构成一个水平正三角形，则这两个点是 ，并求出此时点P 的坐标.2.在平面直角坐标系xOy 中，对于P ，Q 两点给出如下定义：若点P 到x 、y 轴的距离中的最大值等于点Q 到x 、y 轴的距离中的最大值，则称P ，Q 两点为“等距点”．下图中的P ，Q 两点即为“等距点”．(1)已知点A 的坐标为(-3，1)，①在点E (0，3)，F (3，-3)，G (2，-5)中，为点A 的“等距点”的是________；②若点B 在直线y =x +6上，且A ，B 两点为“等距点”，则点B 的坐标为________； (2)直线l ：y =kx -3(k >0)与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，若T 1(-1,t 1)，T 2(4,t 2)，是直线l 上的两点，且T 1与T 2为“等距点”，求k 的值.()12,(0()01,-(0()00,(1()02,-3.对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形G ，给出如下定义：若在图形G 上存在两个点A ，B ，使得以P ，A ，B 为顶点的三角形为等边三角形，则称P 为图形G 的“等边依附点”．已知M （-3，N （3，. ①在点C （-2,2），D （0,1），E （1,3）中，是线段MN 的“等边依附点”的是 ；②点P (m ，0)在x 轴上运动，若P 为线段MN 的“等边依附点”，求点P 的横坐标m 的取值范围。

a = ab b a(- 1)23a 2 - 2a +1b a二次根式 【知识回顾】1. 二次根式：式子 八年级数学（下册）知识点总结a （ a ≥0）叫做二次根式。

2. 最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。

3. 同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4. 二次根式的性质： （1）（ ）2= a （ a ≥0）；（2） a （a ＞0） = a 0 （a =0）；5. 二次根式的运算：- a （a ＜0 （1） 因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式， 变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2） 二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3） 二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．· （a≥0，b≥0）； = （b≥0，a>0）．（4） 有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律， 乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 【典型例题】1、概念与性质2 例 1 下列各式 1） , 2) -5, 3) - x + 2, 4) 4, 5) , 6) 1- a , 7) ，其中是二次根式的是（填序号）．15 a 2 ab3 - x 1- 8x 8x -1 x + y+ 2 y x a 2 b 2 b a b 27abc a 3 例 2、求下列二次根式中字母的取值范围1 x + 5 - (x - 2)2（1） ；（2） 例 3、 在根式 1)a 2 +b 2 ; 2);3) x 2 - xy ; 4) ，最简二次根式是（ ）A ．1) 2)B ．3) 4)C ．1) 3)D ．1) 4)y = + + 1,。

2017八年级物理下册期末考试知识点整理人教版2017八年级物理下册期末考试知识点整理人教版第八运动与力第一节牛顿第一定律1、在探究“阻力对物体运动的影响”的实验中，让小车从斜面的同一高度滑下，是为了使小车到达水平面时的初始速度相同，观察小车在粗糙程度不同的物体表面滑行的距离的长短。

可得结论是：平面越光滑，小车运动的距离越长，说明小车收到的阻力越小，速度减小的越慢，由此可推出，如果运动物体不受力，它将做匀速直线运动。

这个实验可以推理得出的物理学基本定律是牛顿第一定律，本实验采用的方法是控制变量法，2、牛顿第一定律：一切物体在没有受到外力作用时，总保持静止或匀速直线运动状态，或者说总保持原的运动状态，原运动的则会做匀速直线运动，原静止的仍保持静止。

牛顿第一定律也说明力不是维持物体运动状态的原因，而是改变物体运动状态的原因。

牛顿第一定律也叫惯性定律，是在大量实验事实的基础上，经过进一步的推理而概括出的，因而不能用实验证明这一定律。

3、物体保持原运动状态不变的性质叫惯性。

惯性是一切物体所固有的一种属性，任何物体在任何时候、任何状态下都具有惯性。

惯性的大小只与物体的质量大小有关，与物体的运动快慢无关。

解释惯性想象的步骤：(1)确定研究对象你，阐明其原的运动状态; (2)说明哪个物体或物体的哪一部分受到力而改变了运动状态;(3) 说明哪个物体或物体的哪一部分由于惯性要保持原的运动状态;(4)说明结果。

练习：解释下列现象：行驶中的汽车突然刹车时，乘客的身体为什么会向前倾? 答：乘客原随行驶的汽车一起处于运动状态，汽车突然刹车时，乘客的脚已随车停止运动，而身体的上部由于惯性还要保持原向前的运动状态，因此身体会向前倾。

4、利用惯性的实例：跳远助跑，紧固锤头，扔铅球、标枪，拍灰尘，防止惯性造成的危害：系安全带，保持车距，限速限载，、力是改变物体运动状态的原因，惯性是维持物体运动状态的原因，力越大，运动状态越易改变;惯性越大，运动状态越难改变，第二节二力平衡1、平衡力：物体受到几个力的作用时，如果保持静止状态或匀速直线运动状态，我们就说这几个力相互平衡，物体处于平衡状态。

2016-2017北京初二下期末汇编：新定义1. 在四边形中，一条边上的两个角称为邻角.一条边上的邻角相等，且这条边的对边上的邻角也相等，这样的四边形叫做IT 形.请你根据研究平行四边形及特殊四边形的方法，写出IT 形的性质，把你的发现都写出来.2. 若圆中内接四边形的三个顶点与圆心顺次连成的四边形为菱形，我们将此圆内四边形称为完美四边形，在O 中，四边形ABCD 为完美四边形，且圆心O 在四边形ABCD 的内部，则四边形ABCD 中最小角的度数为________.3. 如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，CB CD =，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.根据学习平行四边形性质的经验，小文对筝形的性质进行了探究.（1） 小文根据筝形的定义得到筝形边的性质是_______________;（2） 小文通过观察、实验、猜想、证明 得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”.请你帮他将证明过程补充完整.已知：如图，在筝形ABCD 中，AB AD =，CB CD =.求证：_____________.（3） 小文连接筝形的两条对角线，探究得到筝形对角线的性质是__________.（写出一条即可）4. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标 (1,0)，P 是第一象限内任意一点，连接,PO PA ，若POA m ∠=，PAO n ∠=，则我们把(),m n 叫做点P 的“双角坐标”. 例如，点()11，的“双角坐标”为()45,90.（1） 点122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，的“双角坐标”为____________. （2） 若m n ≤，则点P 到y 轴的距离d 的取值范围为_____________.5. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(),M a b 及两个图形1W 和2W ，若对于图形1W 上任意一点()P x y ，，在图形2W 上总存在点()P x y '''，，使得点P '是线段PM 的中点，则称点P '是P 关于点M 的关联点，图形 2W 是图形1W 关于点M 的关联图形，此时三个的坐标满足2x a x +'=，2y a y +'=. （1） 点()2,2P '-是点P 关于原点O 的关联点，则点P 的坐标是_________.（2） 已知，点()()()()4,1,2,1,2,1,4,1A B C D ------以及点()3,0M /①画出正方形ABCD 关于点M 的关联图形.②在y 轴上是否存在点N ，使得正方形ABCD 关于点N 的关联图形恰好被直线y x =-分在面积相等的两部分？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由.6. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点()P x y ，和()Q x y '，，给出如下定义：若()()00y x y y x ≥⎧⎪'=⎨-<⎪⎩，则称点Q 为点P 的“可控变点”，例如：点()12，的“可控变点”为点()12，.结合定义，请回答下列回答： （1） 点()34-，的“可控变点”为点__________. （2） 若点(),2N m 是函数1y x =-图象上点M 的“可控变点”，则点M 的坐标为______________.（3） 点P 为直线22y x =-上的动点，当0x ≥时，它的“可控变点”Q 所形成的图象如下图所示（实数部分含实心点）.请补全当0x <时，点P 的“可控变点” Q 所形成的图象.7. 在平面直角坐标系xOy 中，对于,P Q 两点给出如下定义：若点P 到两坐标轴的距离之和等于点Q 到两坐标轴的距离之和，则称,P Q 两点为同族点．下图中的,P Q 两点即为同族点．（1） 已知点A 的坐标为()31-，，①在点()()()0,4,2,2,2,3R S T -中，为点A 的同族点的是________.②若点B 在x 轴上，且,A B 两点为同族点，则点B 的坐标为__________.（2） 直线:3l y x =-，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，M 为线段CD 上一点，若在直线x n =上存在点N ，使得,M N 两点为同族点，求n 的取值范围.8. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为()11,x y ，点Q 的坐标为()22,x y ，且1212,x x y y ≠≠，若P Q ，为某正方形的两个顶点，且该正方形的边均与某条坐标轴平行（含重合），则称P Q ，互为“正方形点”（即点P 是点Q 的“正方形点”，点Q 也是点P 的“正方形点”）.下图是点P Q ，互为“正方形点”的示意图.（1） 已知点A 的坐标是()23，，下列坐标中，与点A 互为“正方形点”的坐标是_________.（填序号）①()12，；②()15-，；③()32，. （2）若点()1,2B 的”正方形点“C 在y 轴上，求直线BC 的表达式.（3）点D 的坐标为()10-，，点M 的坐标为()2m ，，点N 是线段OD 上一动点（含端点），若点,M N 互为”正方形点“，求m 的取值范围.9. 如图1，点(),A a b 在平面直角坐标系xOy 中，点A 到坐标轴的垂线段,AB AC 与坐标轴围成矩形OBAC ，当这个矩形的一组邻边长的和与积相等时，点A 称作“垂点”，矩形称作“垂点矩形”.（1）在点()()1122,2,,12P Q N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，中，是“垂点”的点为__________.（2）点()4,M m -是第三象限的“垂点”，直接写出m 的值________.（3）如果“垂点矩形”的面积是163，且“垂点”位于第二象限，写出满足条件的“垂点”的坐标___________.（4）如图2，平面直角坐标系的原点O 是正方形DEFG 的对角线的交点，当正方形DEFG 的边上存在“垂点”时，GE 的最小值为__________.10. 我们约定，在平面直角坐标系xOy 中，经过象限内某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“参照线”.例如，点()1,3M 的参照线有：1x =，3y =，2y x =+，4y x =-+（如图1）.如图2，正方形OABC 在平面直角坐标系xOy 中，点B 在第一象限，点,A C 分别在x 轴和y 轴上，点(),D m n 在正方形内部.（1）直接写出点D 的所有参照线：___________.（2）若()6,0A ，点D 在线段OA 的垂直平分线上，且点D 有一条参照线是7y x =-+，则点D 的坐标是___________.（3）在（2）的条件下，点P 是AB 边上任意一点（点P 不与A B ，重合），连接OP ，将OAP ∆沿着OP 折叠，点A 的对应点记为A '，当点A '在点D 的平行于坐标轴的参照线上时，写出相应的点P 的坐标__________.11. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为()11,x y ，点Q 的坐标为()22,x y ，且1212,x x y y ≠≠，若P Q ，为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P Q ，互为“相关矩形”.下图为点A 的“相关矩形”的示意图.已知点A 的坐标为()10，. （1） 若点B 的坐标为()41，，求点,A B 的“相关矩形”的面积. （2） 已知点C 的坐标为()3,m ，若点,A C 的“相关矩形”为正方形，求直线的表达式.12. 在平面直角坐标系xOy 中，如果点A ,点C 为某个菱形的一组对角的顶点，且点,A C在直线y x =上，那么称该菱形为,A C 的“极好菱形”的一个示意图.已知点M 的坐标为()11，，点P 的坐标为()33，.（1）点()()()2,1,1,3,4,0E F G 中，能够成为点,M P 的“极好菱形”的顶点的是____________.（2）如果四边形MNPQ 是点,M P 的“极好菱形”.①当点N 的坐标为()31，时，求四边形MNPQ 的面积.②当四边形MNPQ 的面积为8，且与直线y x b =+有公共点时，写出b 的取值范围..13. 对于点(),P x y ，规定x y a +=，那么就把a 叫点P 的亲和数.例如()2,3P ，则235+=，那么5叫P 的亲和数.（1）在平面直角坐标系中，已知，点()2,6A -，①()()()1,3,3,2,2,2B C D ，与点火A 的亲和数相等的点___________.②若点E 在直线6y x =+上，且与点A 的亲和数相同，则点E 的坐标是_______.（2）如图点P 是矩形GHMN 边上的任意点，且点()()2,3,2,3H N --，点Q 是直线y x b =-+上的任意点，若存在两点,P Q 的亲和数相同，那么求b 的取值范围？14. 在平面直角坐标系xOy 中，有如下定义：若直线l 与图形W 相交于两点，且这两点的距离等于定值k ，则称直线l 与图形W 成“k 相关”，此时称直线与图形W 的相关系数为k .若图形W 是由()()()()2,1,2,1,2,1,2,1A B C D ----顺次连接而成的矩形：（1）如图1，直线y x =与图形W 相交于点,M N .直线y x =与图形W 成“k 相关”，则k 值即为线段MN 的长度，则k =__________.（2）若一条直线经过点()01，且与W 成”，请在图2中画出一条满足题意的直线，并求出它的解析式.（3）若直线()0y mx b m =+≠与直线y =平行且与图形W 成“k 相关”，当2k ≥时，求b 的取值范围.15. 对于正数x ，用符号表示x 的整数部分，例如:[][][]0.10 2.5233===，，.点(),A a b 在第一象限内，以A 为对角线的交点画一个矩形，使它的边分别与两坐标轴垂直，其中垂直于y 轴的边长为a ，垂直于x 轴的边长为[]1b +，那么，把这个矩形覆盖的区域叫做点A 的矩形域.例如：点332⎛⎫ ⎪⎝⎭，的矩形域是一个以332⎛⎫ ⎪⎝⎭，为对角线交点，长为3，宽为2的矩形所覆盖的区域，如图1所示，它的面积是6.根据上面的定义，回答下列问题：（1）在图2所示的坐标系中画出点722⎛⎫ ⎪⎝⎭，的矩形域，该矩形域的面积是__________. （2）点722P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，()702Q a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，的矩形域重叠部分面积为1，求a 的值.（3）已知点()(),0B m n m >在直线1y x =+上，且点B 的矩形域的面积S 满足45S <<，那么m 的取值范围是___________.（直接写出结果）16. 我们对平面直角坐标系xOy 中的三角形给出新的定义：三角形的“横长”和三角形的“纵长”.我们假设点()11,P x y ，()22,Q x y 是三角形边上的任意两点.如果12x x -的最大值为m ，那么三角形的“横长”x l m =；如果12y y -的最大值为n ，那么三角形的“纵长”y l n =.如右图，该 三角形的“横长”312x l =-=；“纵长”303y l =-=. 当y x l l =时，我们管这样的三角形叫做“方三角形”.（1） 如图1所示，已知点()0,0O ，()2,0A .①在点()()11,3,2,1,,22C D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭中，可以和点O ，点A 构成“方三角形”的点是__. ②若点F 在函数24y x =-上，且OAF ∆为“方三角形”，求点F 的坐标.（2）如图2所示，已知点()()0,0,1,2O G -，点H 为平面直角坐标系中任意一点，若OGH ∆为“方三角形”，且2OGH S ∆=，请直接写出点H 的坐标.。

1.分式的概念：形如BAA 、B 是整式,且B 中含有字母,B ≠0的式子,叫做分式;其中A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母;分母0≠B ,分式BA才有意义 整式和分式统称有理式, 即有有理式=整式+分式.分式值为0的条件：分子等于0,分母不等于0两者必须同时满足,缺一不可 2.分式的基本性质1分式的分子与分母都乘以或除以同一个不等于零的整式,分式的值不变.MB M A M B M A B A ÷÷=••=,0,0≠≠B M ,且M B A ,,均表示的是整式; 与分数类似,根据分式的基本性,可以对分式进行约分和通分.①分式的约分：即要求把分子与分母的公因式约去.,是一个恒等变形;为此,首先要找出 分子与分母的公因式. 找公因式的方法：1分子分母是单项式时,先找分子分母系数的最大公约数,再找相同字母的最低次幂, 它们的积就是公因式2分子分母是多项式时,先把多项式因式分解,再按1中的方法 找公因式②分式的通分：把几个异分母分式分别化为与原分式相等的同分母分式的变形过程叫通分; 找最简公分母到方法分母均为单项式1、各分母系数的最小公倍数;2、各分母所含所有因式或字母的最高次幂;3、所得的系数与各字母或因式的最高次幂的积其中系数都取正数 找最简公分母到方法分母均为多项式1、先把分母因式分解;2、各分母系数的最小公倍数;3、各分母所含所有因式的最高次幂;4、所得的系数与各字母或因式的最高次幂的积其中系数都取正数 分式的运算分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母.如果得到的不是最简分式,应该通过约分进行化简;a c acb d bd⨯=分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘;a c a d adb d bc bc÷=⨯=2.分式的加减法同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减；;cb ac b c a ±=± 异分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减.bd bcad d c b a ±=± 3.分式的乘方：分式的乘方需要把分子、分母分别乘方;()nn n a a b b =,n 为正整数4.零指数幂与负整数指数幂101,(0)a a =≠ 2一般地,当n 是正整数时,1(0)nna aa-=≠这就是说,(0)na a-≠是na 的倒数;5.科学计数法1小于1的正数可以用科学计数法表示为10n a -⨯的形式,其中a 是整数数位只有一位的正数,n 是正整数,n=原数中左起第一个非零数字前0的个数含整数位上的0;这种形式更便于比较数的大小;例：50.0000110-=⨯2大于1的正数可以用科学计数法表示为10n a ⨯的形式,其中a 是整数数位只有一位的正数,n 是正整数,n=原数的正数位数减1;例：33251.8 3.251810=⨯; §分式方程1分式方程概念：方程中含有分式,并且分母中含有未知数,像这样的方程叫做分式方程.2解分式方程：基本思路是将分式方程化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母;一般的,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0,因此应做如下检验：将整式方程的解带入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解；否则,这个解不是原分式方程的解;第十八章 函数及其图像知识点一、函数的概念、变量自变量、因变量、常量的概念;①变量：在某一函数变化过程中,可以取不同数值的量,叫做变量;③因变量：在某一函数变化过程中,因为自变量的变化而被动变化的量叫做因变量;此时,我们也称因变量是自变量的函数④常量：在某一函数变化中,始终保持不变的量,叫做常量;二、函数的三种表示方法：①解析法：就是用一个函数关系式来表示函数变化规律;②列表法：就是用一个数据表来表示函数变化规律;③图像法：就是用图像来表示函数变化规律;四、平面直角坐标系：在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴,这就建立了平面直角坐标系;水平的数轴叫做横轴x轴,取向右为正方向；铅直的数轴叫做纵轴y轴,取向上为正方向；两条数轴的交点O叫做坐标原点;x轴和y轴将坐标平面分成四个象限如图:五、平面内点的坐标：横坐标,纵坐标如图：过点P作x轴的垂线段,垂足在x轴上表示的数是2,因此点P的横坐标为 2 过点P作y轴的垂线段,垂足在y轴上表示的数是3,因此点P的纵坐标为 3所以点P的坐标为2 , 3六、平面内特殊位置的点的坐标情况：连线第一象限第二象限第三象限第四象限 x轴上 y轴上- ,- - ,+ + ,+ + ,- 0 ,a b , 0概括：坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为0;八、对称点的坐标关系：⑴关于x轴对称的点关于y轴对称的点：关于谁对称谁不变;⑶关于原点对称的点：横坐标纵坐标全变;九、数轴上的点和是一一对应的；在平面直角坐标系中的点和也是一一对应的;十、点(,)P a b到x轴的距离为________；到y轴的距离为_______十三、画函数图像通常用描点法,步骤是：列表、描点、连线三步;十八、看函数图像获取信息：十九、一次函数的定义：函数解析式是用自变量的一次整式表示的函数叫做一次函数;形如：)0,(≠+=kbkbkxy是常数，yxO第四象限第三象限第二象限第一象限特别的,当b=0时,一次函数)0(≠=kkxy常数也叫做正比例函数;二十、一次函数的图像是一条 ,因此画一次函数的图像只需要取个点; 二十一、函数图像上的点：注：点的横坐标就是x的值,点的纵坐标就是y的值二十三、一次函数)0,(≠+=kbkbkxy是常数，的图像特征：由k、b的取值决定二十四、一次函数与y轴的交点坐标：0,b二十五、一次函数)0,(≠+=kbkbkxy是常数，与x轴的交点坐标：kb-,0二十六、求两个一次函数图像的交点坐标：就是把这两个一次函数的解析式组成方程组,得到一个二元一次方程组,解方程组便得到它们的交点坐标;二十七、一次函数的作图：首先它的图像是一条直线,而确定一点直线只需要两个点,所以通常只要在直角坐标系中,描出两个点并连接即可;通常的作法是：取与x轴和y轴的两个交点;二十八、用待定系数法求一次函数的解析式：①设出要求的函数关系式；②根据条件列出方程；③解方程,从而得到所求的函数关系式;三十一、反比例函数：反比例函数共三种表示方式：kyx=1y kx-=xy k=(0)k≠其中xy k=更方便于求解解析式,而且也更容易应该于判断点是否在某个反比例函数图像上;行四边形、菱形、矩形、正方形性质和判定归纳如表：一、两条平行线的距离：定义：两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线的距离;注意：平行线间的距离处处相等;二、矩形的一条对角线把矩形分成两个直角三角形,与之相联系的还有以下性质： 1直角三角形的两个锐角互余;2直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;即勾股定理 3直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;第二十一章 数据的整理与初步处理1. 平均数：反映了这组数据中各数据的平均大小;平均数＝总量÷总份数;数据的平均数只有一个2. 一般地,对于n 个数x 1,x 2,……,x n ,把()n x x x n+++ 211叫做这n 个数的平均数,记为x .在实际问题中,一组数据里的各个数据的“重要程度”不相同时,往往给每个数据一个权重,这时,求出的结果就是加权平均数,一般体现为比值形式和百分比形式; 3. 中位数：将一组按由小到大的顺序排列好的数据平分为左右两部分这两部分所含的数据个数相等,中位数就是这两部分的分界线;4. 众数：一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数; 统计数据个数的时候,相等的数据不能合起来只算作一个数据 一组数据可以有不止一个众数,也可以没有众数5. 方差：方差是指一组数据x 1,x 2,…,x n 中,各数据与它们的平均数x 的差的平方的平均数,通常用“S 2”表示,它可以比较全面地反映一组数据与其平均值的离散程度,方差越大,波动越大; S 2＝()()()[]222211xxx x x x nn-＋＋－＋－求方差要两步走：一求平均数,二代公式;注意:1、当一组数据中出现极值时,一般不能用平均数来反映数据的一般水平. 2、考察数据的稳定性,都是求方差的;。

“新定义”题型的探究（2017昌平二模）29．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于⊙C及⊙C外一点P，M，N是⊙C上两点，当∠MPN最大时，称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”．（1）如图，⊙O的半径为1，○1已知点A（0，2），画出点A关于⊙O的“视角”；若点P在直线x = 2上，则点P关于⊙O的最大“视角”的度数；○2在第一象限内有一点B（m，m），点B关于⊙O的“视角”为60°，求点B的坐标；○3若点P在直线23y x=-+上，且点P关于⊙O的“视角”大于60°，求点P的横坐标Px的取值范围．（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，点E的坐标为（0，1），点F的坐标为（0，-1），若线段EF上所有的点关于⊙C的“视角”都小于120°，直接写出点C的横坐标Cx的取值范围．xxx（2017房山二模）我们定义：关于x 的一次函数y ax b =+与y bx a =+叫做一对交换函数,例如34y x =+与43y x =+就是一对交换函数.（1）写出一次函数2y x b =-+的交换函数.（2）当2b ≠-时，写出(1)中两函数图象的交点的横坐标. （3）如果(1)中两函数图象与y 轴围成三角形的面积为3,求b 的值.（2017房山二模）28.类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.（1）如图1，在四边形ABCD 中添加一个条件使得四边形ABCD 是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件．（2）问题探究小红提出了一个猜想：对角线互相平分且相等的“等邻边四边形”是正方形.她的猜想正确吗？请说明理由．（3）如图2，“等邻边四边形”ABCD 中，AB=AD ，∠BAD+∠BCD=90°，AC ，BD 为对角线，.试探究线段BC ，CD ，BD 之间的数量关系，并证明你的结论．（2017通州二模）29．我们规定：平面内点A 到图形G 上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d ，点A 到图形G 上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离D ，定义点A 到图形G 的距离跨度为R =D -d .（1）①如图1，在平面直角坐标系xOy 中，图形G 1为以O 为圆心，2为半径的圆，直接写出以下各点到图形G1的距离跨度：A (1,0)的距离跨度 ；B (21-,23)的距离跨度 ； C (-3,-2)的距离跨度 ；②根据①中的结果，猜想到图形G 1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是 .（2）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，图形G 2为以D (-1,0)为圆心，2为半径的圆，直线)1(-=x k y 上存在到G 2的距离跨度为2的点，求k 的取值范围。

重庆中学初2017级15—16学年度下期期末考试数 学 试 题（本试卷满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了 代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将各小题所选答案的标号填入对应的表格内. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案1．若分式011=+-x x ，则x 的值是（ ）A ． 1=xB ．1-=xC ．0=xD ．1-≠x 2．下列分解因式正确的是（ ）A ．)1(23-=-x x x xB ．)1)(1(12-+=-x x xC ．2)1(22+-=+-x x x x D ．22)1(12-=-+x x x3．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 4．方程x x 32=的解是（ ）A ．3=xB ．3-=xC ．0=xD ． 3=x 或0=x 5．根据下列表格的对应值：判断方程012=-+x x 一个解x 的取值范围是（ ）A ．61.059.0<<xB ．61.060.0<<xC ．62.061.0<<xD ．63.062.0<<x6．将点P (－3，2)向右平移2个单位后，向下平移3个单位得到点Q ，则点Q 的坐标为（ ） A ．（－5，5) B ．(－1，－1) C ．(－5，－1) D ．(－1，5)7．某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率. 设平均每次降价的百分率为x ，可列方程为（ ） A ．100)1(1202=-x B ．120)1(1002=-x C ．120)1(1002=+x D ．100)1(1202=+x 8.已知关于a 的一元二次方程01152=--a a 的两实数根分别为m ，n ，则直线 n m mnx y ++-=一定不经过( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9．已知0=x 是关于x 的一元二次方程012)1(22=-++-k x x k 的根，则常数k 的值为（ ）A ．0或1B ．1C ．－1D ．1或－1 10．如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，菱形ABCD 周长为32，点P 是边CD 的中点，则线段OP 的 长为（ ） A ．3 B ．5 C ．8 D ．411．如图，以下各图都是由同样大小的图形①按一定规律组成，其中第①个图形中共有1个完整菱形，第②个图形中共有5个完整菱形，第③个图形中共有13个完整菱形，……，则第⑦个图形中完整菱形的个数为（ ）A ．83B ．84C ．85D ．86 12．如图，□ABCD 中，∠B =70°，点E 是BC 的中点，点F 在AB 上，且BF=BE ，过点F 作FG ⊥CD 于点G ，则∠EGC 的度数 为（ ） A ．35° B ．45° C ．30° D ．55°x 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 12-+x x －0.0619 －0.04 －0.01790.00440.0269COPABD第10题图第12题图①④ ③ ② FGA EBCD二．填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将正确答案填入对应的表格内. 题号13 14 15 16 17 18 答案13．已知23=y x ，则yy x + = . 14．如图，在□ABCD 中，点,M N 分别是边CD 、BC 的中点，42==AN AM ，，且060MAN ∠=，则AB 的长是___________．15．如图，已知函数b x y +=2与函数3-=kx y 的图象交于点P ，则不等式b x kx +>-23的解集是 .16. 已知一元二次方程01892=+-x x 的两个解恰好分别是等腰△ABC 的底边长和腰长，则△ABC 的周长为 .17. 关于x 的方程15=+x m的解是负数，则m 的取值范围是 . 18. 如图，正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 、BD 的交点，点E 在CD 上，且DE=2CE ，连接BE ，过点C 作CF ⊥BE 于F ，连接OF ，已知EF=1，则OF 的长为 ．三．解答题（本大题3个小题，19题12分，20,21题各6分，共24分）解答每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卷中对应的位置上. 19．解方程： (1) 4x （x ﹣3）=x 2﹣9． (2) 01322=-+x x20. 某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的重庆——我最喜爱的重庆小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图：(1)请补全条形统计图；(2)若全校有3000名同学，请估计全校同学中最喜爱“米花糖”的同学有多少人? (3)在此次调查活动中，有3男2女共5名工作人员，若从中随机选择2名负责调查阀卷的发放和回收工作，请用列表或画树状图的方法，求出这2名工作人员恰好是1男1女的概率．21．如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，点D 为AC 的中点，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG=BD ，连接BG 、DF ． （1）证明：四边形BDFG 是菱形；第15题图3-=kx y xyb x y +=24 -6O PNM D C BA第14题图（2）若AC=10，CF=6，求线段AG 的长度．四．解答题（本大题3个小题，每小题10分，共30分）解答每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卷中对应的位置上.22．如图:小明和小亮同时从学校放学，两人以各自速度匀速步行回家，小明的家在学校的正西方向，小亮的家在学校的正东方向，小明准备一回家就开始做作业，打开书包时发现错拿了小亮的练习册，于是立即跑步去追小亮，终于在途中追上了小亮并交还了练习册，然后再以先前的速度步行回家，（小明在家中耽搁和交还作业的时间忽略不计）结果小明比小亮晚回到家中。

在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A ，B ，C 的“矩面积”，给出如下定义：任意两点横坐标差的最大值称为“水平底”a ，任意两点纵坐标差的最大值称为“铅垂高”h ，“水平底”与“铅垂高”的乘积为点A ，B ，C 的“矩面积S ”，即“矩面积”=Sah例如：点)2,1(A ，)1,3(-B ，)2,2(-C ，它们的“水平底”5=a ，“铅垂高”4=h ，“矩面积”20==S ah （1）已知点)1,2(A ，)3,2(-B ，),0(t C①若A ，B ，C 三点的“矩面积”为12，写出点C 的坐标： ②写出A ，B ，C 三点的“矩面积”的最小值： （2）已知点)3,1(-D ，)0,4(E ，)2,(t t F①当D ，E ，F 三点的“矩面积”取最小值时，写出t 的取值范围： ②若D ，E ，F 三点的“矩面积”为33，求点F 的坐标③设D ，E ，F 三点的“矩面积”为S ，写出S 与t 的函数关系式 2在课外活动中，我们要讲究一种四边形——菱形的性质，定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形（如图1） 小聪根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对筝形的性质进行了探究 下面是小聪的探究过程，请补充完整（1）根据筝形的定义，写出一种你学过的四边形满足筝形定义的是__________（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对筝形性质的猜想，并选取其中的一条猜想进行证明 （3）如图2，在筝形ABCD 中，4AB =，2BC =，120ABC ∠=︒，求筝形ABCD 的面积C BAD图2图1CBAD已知两个函数，如果对于任意的自变量x ，这两个函数对应的函数值记为1y ，2y ，都有点1(,)x y 、2(,)x y 关于点(,)x x 对称，则称这两个函数为关于y x =的对称函数，例如，112y x =和232y x =为关于y x =的对称函数 （1）判断：①13y x =和2y x =；②11y x =+和21y x =-；③211y x =+和221y x =-，其中为关于y x =的对称函数的是__________（填序号）（2）若132y x =+和2(0)y kx b k =+≠为关于y x =的对称函数 ①求k 、b 的值②对于任意的实数x ，满足x m >时，12y y >恒成立，则m 满足的条件为__________（3）若21(0)y a x b x c a=++≠和22y x n =+为关于y x =对称函数，且对于任意的实数x ，都有12y y <，请结合函数的图像，求n 的取值范围 4有这样一个问题：如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．请探究筝形的性质与判定方法 小南根据学习四边形的经验，对筝形的性质和判定方法进行了探究 下面是小南的探究过程：（1）由筝形的定义可知，筝形的边的性质是：筝形的两组邻边分别相等，关于筝形的 角的性质，通过测量，折纸的方法，猜想：筝形有一组对角相等，请将下面证明此猜 想的过程补充完整 已知：如图，在筝形中，，,求证： ________________证明：由以上证明可得，筝形的角的性质是：筝形有一组对角相等（2）连接筝形的两条对角线，探究发现筝形的另一条性质：筝形的一条对角线平分另一条对角线．结合图形，写出筝形的其他性质（一条即可）： ___________________________（3）筝形的定义是判定一个四边形为筝形的方法之一．从边、角、对角线或性质的逆命题等角度可以进一步探究筝形的判定方法，请你写出筝形的一个判定方法（定义除外），并说明你的结论定义：对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为()f x z ，即：当n 为非负整数时，如果1122n x n -<+≤，则()f x n =z如：(0)(0.48)0f f ==z z ，(0.64)(1.49)1f f ==z z ，(4)(3.68)4f f ==z z ，试解决下列问题：①f =z __________；②f =z __________+=_________6在《九章算术》中有求三角形面积公式“底乘高的一半”，但是在实际丈量土地面积时，量出高并非易事，所以古人想到了能否利用三角形的三条边长来求面积．我国南宋著名的数学家秦九韶（1208年—1261年）提出了“三斜求积术”，阐述了利用三角形三边长求三角形面积方法，简称秦九韶公式．在海伦（公元62年左右，生平不详）的著作《测地术》中也记录了利用三角形三边长求三角形面积的方法，相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德（公元前287年—公元前212年）得出的，故我国称这个公式为海伦一秦九韶公式．它的表达为：三角形三边长分别为a 、b 、c ，则三角形的面积S p 为半周长即周长的一半） 请利用海伦一秦九韶公式解决以下问题：（1）三边长分别为3、6、7的三角形面积为__________（2）四边形ABCD 中，3AB =，4BC =，7CD =，6AD =，90B ∠=︒，四边形ABCD 的面积为__________（3）五边形ABCDE 中，AB BC ==6CD =， 8DE =， 12AE =，120B ∠=︒，90D ∠=︒，五边形ABCDE 的面积为_______定义：把函数y bx a =+和函数y ax b =+（其中a ，b 是常数，且0a ≠，0b ≠）称为一对交换函数，其中一个函数是另一个函数的交换函数．比如，函数41y x =+是函数4y x =+的交换函数，等等（1）直接写出函数21y x =+的交换函数：___________；并直接写出这对交换函数和x 轴所围图形的面积为___________（2）若一次函数2y ax a =+和其交换函数与x 轴所围图形的面积为3，求a 的值（3）如图，在平面直角坐标xOy 中，矩形OABC 中，点C ⎛⎝⎭，M ，N 分别是线段OC 、AB 的中点，将ABD △ 沿着折痕AD 翻折，使点B 的落点E 恰好落在线段MN 的中点，点F 是线段BC 的中点，连接EF ，若一次函数y mx =+y m =+(m 与线段EF 始终都有交点，则m 的取值范围为__________类比梯形的定义，我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”（1）已知：如图1，四边形ABCD 是“等对角四边形”，∠A ≠∠C ，∠A ＝70°，∠B ＝80°，直接写出∠C ，∠D 的度数（2）在探究“等对角四边形”性质时①小红画了一个“等对角四边形”ABCD （如图2），其中∠ABC ＝∠ADC ，AB ＝AD ，此时她发现CB ＝CD 成立．请你证明此结论②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．你认为她的猜想正确吗?若正确，请证明；若不正确，请举出反例（3）已知：在“等对角四边形”ABCD 中，∠DAB ＝60°，∠ABC =90°，AB ＝5，AD ＝4．求对角线AC 的长DBADCBA如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形” （1）已知：如图1，在△ABC 中，∠C=90°，BC =AB =求证：△ABC 是“匀称三角形”（2）在平面直角坐标系xoy 中，如果三角形的一边在x 轴上，且这边的中线恰好等于这边的长，我们又称这个三角形为“水平匀称三角形”.如图2，现有10个边长是1的小正方形组成的长方形区域记为G, 每个小正方形的顶点称为格点，A （3，0），B （4，0），若C 、D （C 、D 两点与O 不重合）是x 轴上的格点，且点C 在点A 的左侧. 在G 内使△PAC 与△PBD 都是“水平匀称三角形”的点P 共有几个？其中是否存在横坐标为整数的点P ，如果存在请求出这个点P 的坐标，如果不存在请说明理由 10若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形 叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形（1）如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD =120°，∠C =75°，BD 平分∠ABC ，求证：BD 是四边形ABCD 的和 谐线（2）图2和图3中有三点A 、B 、C ，且AB =AC ， 请分别在图2和图3方框内．．．作一个点D ，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．．．．．．．．．．．．．．．．．．） （3）四边形ABCD 中，AB =AD =BC ，∠BAD =90°，AC 是四边形ABCD 的和谐线，求∠BCD 的度数图1如图①，在矩形ABCD 中，将矩形折叠，使点B 落在AD （含端点）上，落点记为E ，这时折痕与边BC 或边CD （含端点）交于点F .然后再展开铺平，则以B E F 、、为顶点的BEF △称为矩形ABCD 的“折痕三角形” （1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD 的任意一个“折痕BEF △”一定是一个________三角形 （2）如图②，在矩形ABCD 中，24AB BC ==，，当它的“折痕BEF △”的顶点E 位于边AD 的中点时，画出这个“折痕BEF △”，并求出点F 的坐标12我们定义：如图1，矩形MNPQ 中，点K 、O 、G 、H 分别在NP 、PQ 、QM 、MN 上，若4321∠=∠=∠=∠，则称四边形KOGH 为矩形MNPQ 的反射四边形如图2、图3四边形ABCD 、A ’B ’C ’D ’均为矩形，它们都是由32个边长为1的正方形组成的图形，点E 、F 、E ’、F ’分别在BC 、CD 、B ’C ’、C ’D ’边上，试利用正方形网格在图2、图3中分别画出矩形ABCD 和矩形A ’B ’C ’D ’的反射四边形EFGH 和E ’F ’G ’H ’在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A ，B ，C 的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a ：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h ：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S ＝ah例如：三点坐标分别为(1,2),(3,1),(2,2)A B C --，则“水平底”5a =，“铅垂高”4h =，“矩面积”20S ah ==，已知点(1,2),(3,1),(0,)A B P t -（1）若,,A B P 三点的“矩面积”为12，求点P 的坐标 （2）直接写出,,A B P 三点的“矩面积”的最小值 14在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2），且x 1≠x 2，y 1≠y 2。

29．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（a ，b ），点P 的“变换点”P ’的坐标定义如下：当a b ≥时，P ’点坐标为（b ，－a ）；当a b <时，P ’点坐标为（a ，－b ）． （1）求A （5，3），B （1，6），C （－2，4）的变换点坐标；（2）如果直线l 与x 轴交于点D （6，0），与y 轴交于点E （0，3）．直线l 上所有点的变换点组成一个新的图形，记作图形W ，请画出图形W ，并简要说明画图的思路； （3）若直线y =kx －1（k ≠0）与图形W 有两个交点，请直接写出k 的取值范围．26．在平面直角坐标系xOy 中，过象限内一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等， 则这个点叫做“和谐点”.如右图，过点H （-3,6）分 别作x 轴，y 轴的垂线，与坐标轴围成的矩形OAHB 的周长与面积相等，则点H （3,6）是“和谐点”.（1）H 1（1,2）, H 2（4,-4）, H 3（-2,5）这三个点中的“和谐点”为 ； （2）点C (-1,4)与点P （m ，n ）都在直线y x b =-+上，且点P 是“和谐点”.若m ＞0，求点P 的坐标．y x29．对于平面直角坐标系中的任意点(,)P x y ，点P 到x ，y 轴的距离分别为d 1，d 2我们把d 1+d 2称为点P 的直角距离．记作d ，即12d d d =+．直线y =－2x +4分别与x ，y 轴交于点A ，B ，点P 在直线上．（1）当P 为线段AB 的中点时，d =________；（2）当d =3时，求点P 的坐标；（3）若在线段AB 上存在无数个P 点，使d 1+ad 2=4（a 为常数），求a 的值．30.如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为t ，则另一个根为2t ，因此222()(2)32ax bx c a x t x t ax atx t a++=--=-+，所以有2902b ac -=；我们记“292K b ac =-”即0K =时，方程20ax bx c ++=为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：（1）方程① 220x x --=；方程②2680x x -+=这两个方程中，是倍根方程的是 ______________（填序号即可）；（2）若(2)()0x mx n -+=是倍根方程，求2245m mn n ++的值；（3）关于x 的一元二次方程2203x n -+=（0m ≥）是倍根方程，且点(,)A m n 在一次函数38y x =-的图像上，求此倍根方程的表达式.。

几何综合和新定义问题如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点，点F在边BC的延长线上，且CF=AE，连接DE，DF，EF．FH平分∠EFB交BD于点H．（1）求证：DE⊥DF；（2）求证：DH=DF；（3）过点H作HM⊥EF于点M，用等式表示线段AB，HM与EF之间的数量关系，并证明．如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点(点P不与A,C重合)，连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60 得到线段AE,连接DE,CE．（1）求证：BD=CE；（2）延长ED交BC于点F，求证：F为BC的中点；（3）若△ABC的边长为1，直接写出EF的最大值.如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（不与点B，C重合），延长AE到点F，连接BF，且∠AFB=45°．G为DC边上一点，且DG =BE，连接DF．点F关于直线AB的对称点为M，连接AM，BM．（1）依据题意，补全图形；（2）求证：∠DAG =∠MAB；（3）用等式表示线段BM，DF与AD的数量关系，并证明．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，E 为外角∠BCD 平分线上一动点（不与点C 重合），点E 关于直线BC 的对称点为F ，连接BE ，连接AF 并延长交直线BE 于点G .（1）求证：AF =BE ；（2）用等式表示线段FG ，EG 与CE 的数量关系，并证明.∠MON =45°，点P 在射线OM 上，点A ，B 在射线ON 上（点B 与点O 在点A 的两侧），且AB =1，以点P 为旋转中心，将线段AB 逆时针旋转90°，得到线段CD （点C 与点A 对应，点D 与点B 对应）．（1）如图，若OA =1，OP，依题意补全图形；（2）若OP，当线段AB 在射线ON 上运动时，线段CD 与射线OM 有公共点，求OA 的取值范围；（3）一条线段上所有的点都在一个圆的圆内或圆上，称这个圆为这条线段的覆盖圆．若OA =1，当点P 在射线OM 上运动时，以射线OM 上一点Q 为圆心作线段CD 的覆盖圆，直接写出当线段CD 的覆盖圆的直径取得最小值时OP 和OQ 的长度．已知C 为线段AB 中点，ACM α∠=．Q 为线段BC 上一动点（不与点B 重合），点P 在射线CM 上，连接P A ，PQ ，记BQ kCP =．（1）若60α=︒，1k =，①如图1，当Q 为BC 中点时， 求PAC ∠的度数；C②直接写出P A 、PQ 的数量关系；（2）如图2，当45α=︒时．探究是否存在常数k ，使得②中的结论仍成立？若存在，写出k 的值并证明；若不存在，请说明理由．图1 图2对于平面直角坐标系xOy 中的点P ，Q ，给出如下定义：若P ，Q 为某个三角形的顶点，且边PQ 上的高h ，满足h=PQ ，则称该三角形为点P ，Q 的“生成三角形”.（1）已知点A (4,0)，①若以线段OA 为底的某等腰三角形恰好是点O ，A 的“生成三角形”，求该三角形的腰长；②若Rt △ABC 是点A ，B 的“生成三角形”，且点B 在x 轴上，点C 在直线25y x =-上，则点B 的坐标为_________________________________；对于平面直角坐标系xOy 中的两个图形M 和N ，给出如下定义：若在图形M 上存在一点A ，图形N 上存在两点B ，C ，使得△ABC 是以BC 为斜边且BC =2的等腰直角三角形，则称图形M 与图形N 具有关系()M N ，φ． （1）若图形X 为一个点，图形Y 为直线y x =，图形X 与图形Y 具有关系()X Y ，φ，则点1(0P ，2(11)P ，，3(22)P -，中可以是图形X 的是_____；（2）已知点()20P ，，点()02Q ，，记线段PQ 为图形X ． ①当图形Y 为直线y x =时，判断图形X 与图形Y 是否既具有关系()X Y ，φ又具有关系()Y X ，φ，如果是，请分别求出图形X 与图形Y 中所有点A 的坐标；如果不是，请说明理由；。

第一章三角形的证明1 等腰三角形（1）两角分别相等且一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）。

全等三角形的对应边相等、对应角相等。

（2）等腰三角形的两底角相等。

等腰三角形顶角的角平分线、底边上的高线相互重合。

（3）等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。

（4）有两个角相等的三角形是等腰三角形。

（5）三个角都相等的三角形是等边三角形。

（6）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

（7）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2 直角三角形（1）直角三角形的两个锐角互余。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

（3）勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

（4）如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

（5）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。

3 线段的垂直平分线（1）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

（2）到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

4 角平分线（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

（2）在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

第二章一元一次不等式与一元一次不等式组1 不等关系定义：一般地，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。

2 不等式的基本性质（1）不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变。

（2）不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

（3）不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

3 不等式的解集定义：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

求不等式解集的过程叫做解不等式。

4 一元一次不等式定义：这些不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。

海淀26．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点A (-4，0)，B (4，0)，C (0，4)，给出如下定义：若P 为△ABC 内(不含边界)一点，且AP 与△BCP 的一条边相等，则称P 为△ABC 的友爱点．（1）在P 1(0，3)，P 2(-1，1)，P 3(-2，1)中，△ABC 的友爱点是 ； （2）如图2，若P 为△ABC 内一点，且15PAB PCB ∠=∠=︒, 求证：P 为△ABC 的友爱 点；（3） 直线l 为过点(0)M m ，且与x 轴平行的直线，若直线l 上存在△ABC 的三个友爱点，直接写出m 的取值范围 ．图1 图2怀柔27．在平面直角坐标系xOy中，点M(2，t―2)与点N关于过点(0，t)且垂直于y轴的直线对称．(1)当t =―3时，点N的坐标为；(2)以MN为底边作等腰三角形MNP．①当t =1且直线MP经过原点O时，点P坐标为；②若△MNP上所有点到x轴的距离都不小于a(a是正实数)，则t的取值范围是(用含a的代数式表示)．昌平16．我们规定：如果实数a，b满足a+b=1，那么称a与b互为“匀称数”．（1）1-π与互为“匀称数”；（2）已知1=1(-)(-，那么m与互为“匀称数”．m28．若△ABC 和△ADE 均为等腰三角形，且AB =AC =AD =AE ，当∠ABC 和∠ADE互余时，称△ABC 与△ADE 互为“底余等腰三角形”，△ABC 的边BC 上的高AH 叫做△ADE 的“余高”.（1）如图1，△ABC 与△ADE 互为“底余等腰三角形”.①若连接BD ，CE ，判断△ABD 与△ACE 是否互为“底余等腰三角形”：_______ (填“是”或“否”) ；②当∠BAC =90°时，若△ADE 的“余高”，则DE=_______； ③当0°＜∠BAC ＜180°时，判断DE 与AH 之间的数量关系，并证明； （2）如图2，在四边形ABCD 中，∠ABC =60°，DA ⊥BA ，DC ⊥BC ，且DA=DC .①画出△OAB 与△OCD ，使它们互为“底余等腰三角形”；②若△OCD 的“余高”长为a ，则点A 到BC 的距离为_______（用含a 的式子表示）.图2ABCDEH 图1DCBA朝阳26. 在平面直角坐标系xOy中，对于任意图形G及直线l1，l2，给出如下定义：将图形G先沿直线l1翻折得到图形G1，再将图形G1沿直线l2翻折得到图形G2，则称图形G2是图形G的<l1，l2>伴随图形.例如：点P（2，1）的<x轴，y轴>伴随图形是点P'（-2，-1）.（1）点Q（-3，-2）的<x轴，y轴>伴随图形点Q'的坐标为；（2）已知A（t，1），B（t-3，1），C（t，3），直线m经过点（1，1）.①当t=-1，且直线m与y轴平行时,点A的<x轴，m>伴随图形点A'的坐标为；②当直线m经过原点时，若△ABC的<x轴，m>伴随图形上只存在两个与x轴的距离为1的点，直接写出t的取值范围.大兴西城28．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ＝m 表示经过点(m ，0)，且平行于y 轴的直线．给出如下定义：将点P 关于x 轴的对称点1P ，称为点P 的一次反射点；将点1P 关于直线l 的对称点2P ，称为点P 关于直线l 的二次反射点．例如，如图，点M (3，2)的一次反射点为1M (3，－2)，点M 关于直线l ：x ＝1的二次反射点为2M (－1，－2)． 已知点A (－1，－1)，B (－3，1)，C (3，3)，D (1，－1)． (1) 点A 的一次反射点为 ，点A 关于直线1l ：x ＝2的二次反射点为 ；(2) 点B 是点A 关于直线2l ：x ＝a 的二次反射点，则a 的值为 ； (3) 设点A ，B ，C 关于直线3l ：x ＝t 的二次反射点分别为2A ，2B ，2C ，若△2A 2B 2C 与△BCD 无公共点，求t 的取值范围．。