12.6双曲线的性质

平面解析几何的双曲线性质与像双曲线是平面解析几何中一个重要的曲线类型，它具有独特的性质和特点。

在本文中，我将介绍双曲线的一些基本概念和定义，并详细讨论它的性质以及如何确定双曲线的像。

一、双曲线的定义和基本性质在平面直角坐标系中，双曲线可以通过以下方程表示：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是双曲线的半轴长度。

双曲线具有以下基本性质：1. 双曲线是对称图形，关于x轴和y轴两者都对称。

2. 双曲线有两个分支，分别称为实部和虚部。

3. 双曲线的焦点与直角坐标系的原点之间的距离为c，满足a^2 = b^2 + c^2。

4. 双曲线的渐近线是两条直线，分别与实部和虚部分支无限地靠近但永远不会相交。

二、确定双曲线的像确定双曲线的像需要考虑以下几个要素：焦点、顶点、直角坐标系和平行线。

1. 焦点：双曲线的焦点对于确定双曲线的像至关重要。

焦点是双曲线上的两个特殊点，它们在x轴上与顶点的距离分别为ae和-be，其中e是双曲线的离心率。

通过确定离心率和焦点的位置，可以确定双曲线的形状和大小。

2. 顶点：双曲线的顶点是双曲线的中心点，也是双曲线的对称轴与垂直轴的交点。

通过确定顶点的位置，可以确定双曲线的中心位置。

3. 直角坐标系：在平面直角坐标系中绘制双曲线时，可以确定双曲线的位置和方向。

通过绘制直角坐标系，然后确定双曲线的中心和顶点的位置，可以绘制出双曲线的形状。

4. 平行线：平行线可以帮助确定双曲线的位置和大小。

通过绘制与双曲线的渐近线平行的直线，可以确定双曲线的近似位置和范围。

综上所述，通过确定焦点、顶点、直角坐标系和平行线，我们可以确定双曲线的像。

在确定了这些要素后，我们可以根据需要进行绘制并研究双曲线的性质和特点。

总结：双曲线是平面解析几何中重要的曲线类型，具有独特的性质和特点。

确定双曲线的像需要考虑焦点、顶点、直角坐标系和平行线等要素。

通过确定这些要素，我们可以确定双曲线的形状、大小和位置，从而深入研究双曲线的性质和像。

【知识梳理】 1、双曲线的定义（1）平面内，到两定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于定长()1222,0a F F a a >>的点的轨迹称为双曲线，其中两定点1F 、2F 称为双曲线的焦点，定长2a 称为双曲线的实轴长，线段12F F 的长称为双曲线的焦距.此定义为双曲线的第一定义.【注】12122PF PF a F F -==，此时P 点轨迹为两条射线.（2）平面内，到定点的距离与到定直线的距离比为定值()1e e >的点的轨迹称为双曲线，其中定点称为双曲线的焦点，定直线称为双曲线的准线，定值e 称为双曲线的离心率.此定义为双曲线的第二定义. 2、双曲线的简单性质3、渐近线双曲线()22221,0x y a b a b -=>的渐近线为22220x y a b -=，即0x y a b ±=，或by x a=±.【注】①与双曲线22221x y a b -=具有相同渐近线的双曲线方程可以设为()22220x y a b λλ-=≠；②渐近线为by x a=±的双曲线方程可以设为()22220x y a b λλ-=≠；③共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.共轭双曲线具有相同的渐近线.④等轴双曲线：实轴与虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线. 4、焦半径双曲线上任意一点P 到双曲线焦点F 的距离称为焦半径.若00(,)P x y 为双曲线()22221,0x y a b a b -=>上的任意一点，1(,0)F c -，2(,0)F c 为双曲线的左、右焦点，则10||PF ex a =+，20||PF ex a =-，其中ce a=. 5、通径过双曲线()22221,0x y a b a b -=>焦点F 作垂直于虚轴的直线，交双曲线于A 、B 两点，称线段AB 为双曲线的通径，且22b AB a=.6、焦点三角形P 为双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的任意一点，1(,0)F c -，2(,0)F c 为双曲线的左右焦点，称12PF F ∆为双曲线的焦点三角形.若12F PF θ∠=，则焦点三角形的面积为：122cot 2F PF S b θ∆=.7、双曲线的焦点到渐近线的距离为b （虚半轴长）.8、双曲线()22221,0x y a b a b-=>的焦点三角形的内心的轨迹为()0x a y =±≠9、直线与双曲线的位置关系直线:0l Ax By C ++=，双曲线Γ：()22221,0x y a b a b-=>，则l 与Γ相交22222a A b B C ⇔->；l 与Γ相切22222a A b B C ⇔-=；l 与Γ相离22222a A b B C ⇔-<.10、平行于（不重合）渐近线的直线与双曲线只有一个交点.【注】过平面内一定点作直线与双曲线只有一个交点，这样的直线可以为4条、3条、2条，或者0条. 11、焦点三角形角平分线的性质点(,)P x y 是双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的动点，12,F F 是双曲线的焦点，M 是12F PF ∠的角平分线上一点，且20F M MP ⋅=，则OM a =，即动点M 的点的轨迹为()222x y a x a +=≠±.【推广2】设直线()110l y k x m m =+≠：交双曲线()22221,0x y a b a b -=>于C D 、两点，交直线22l y k x =：于点E ．若E为CD 的中点，则2122b k k a=.13、中点弦的斜率直线l 过()()000,0M x y y ≠与双曲线()22221,0x y a b a b -=>交于,A B 两点，且AM BM =，则直线l 的斜率2020AB b x k a y =.14、点(,)(0,0)P x y x y >>是双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的动点，过P 作实轴的平行线，交渐近线于,M N 两点，则PM PN =定值2a .15、点(,)(0,0)P x y x y >>是双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的动点，过P 作渐近线的平行线，交渐近线于,M N 两点，则OMPNS=定值2ab.【典型例题】例1、双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_________.【变式1】若曲线22141x y k k+=+-表示双曲线，则k 的取值范围是_________.【变式2】双曲线22148x y -=的两条渐近线的夹角为_________.【变式3】已知椭圆2222135x y m n +=和双曲线2222123x y m n-=有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为_________.【变式4】若椭圆221(0)x y m n m n +=>>和双曲线221(0,0)x y a b a b-=>>有相同焦点1F 、2F ，P 为两曲线的一个交点，则12PF PF ⋅=_________.【变式5】如果函数2y x =-的图像与曲线22:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（ ）A ．[1,1)-B . {}1,0-C . (,1][0,1)-∞-D . [1,0](1,)-+∞【变式6】直线2=x 与双曲线14:22=-y x C 的渐近线交于B A ,两点，设P 为双曲线C 上的任意一点，若OB b OA a OP +=(O R b a ,,∈为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是（ ）A .222a b +≥B .2122≥+b a C .222a b +≤ D .2212a b +≤【变式7】设连接双曲线22221x y a b -=与22221y x b a-=的四个顶点为四边形面积为1S ,连接其四个焦点的四边形面积为2S ，则12S S 的最大值为_________.例2、设12F F 、分别是双曲线2219y x -=的左右焦点,若点P 在双曲线上，且12=0PF PF ，则12PF PF +=_________.【变式1】过双曲线221109x y -=的左焦点1F 的弦6AB =，则2ABF ∆（2F 为右焦点）的周长为_________.【变式2】双曲线2211620x y -=的左、右焦点1F 、2F ，P 是双曲线上的动点，且19PF =，则2PF =_________.例3、设12F F 、是双曲线2214x y -=的两个焦点，点P 是双曲线的任意一点，且123F PF π∠=，求12PF F ∆的面积.例4、已知直线1y kx =+与双曲线2231x y -=有A B 、两个不同的交点，如果以AB 为直径的圆恰好过原点O ,试求k 的值.例5、已知直线1y kx =+与双曲线2231x y -=相交于A B 、两点，那么是否存在实数k 使得A B 、两点关于直线20x y -=对称？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.例6、已知双曲线221124x y -=的右焦点为F ,若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求此直线的斜率的取值范围为_________.【变式1】已知曲线C :21(4)x y y x -=≤； （1）画出曲线C 的图像；（2）若直线l ：1y kx =-与曲线C 有两个公共点，求k 的取值范围； （3）若()0P p ，()0p >，Q 为曲线C 上的点，求PQ 的最小值.【变式2】直线l ：10ax y --=与曲线C ：2221x y -=. （1）若直线l 与曲线C 有且仅有一个交点，求实数a 的取值范围；（2）若直线l 被曲线C 截得的弦长PQ =，求实数a 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过原点，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.例7、已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(14)A ，,P 是双曲线右支上的动点，求PF PA +的最小值.【变式】P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，,M N 分别是圆()2254x y ++=和()2251x y -+=上的点，则PM PN -的最大值等于_________.例8、已知动圆P 与两个定圆()2251x y -+=和()22549x y ++=都外切，求动圆圆心P 的轨迹方程.【变式1】ABC ∆的顶点为()50A -，,()5,0B ，ABC ∆的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是_________.【变式2】已知双曲线的中心在原点，且一个焦点为)F，直线1y x =-与其相交于M N 、两点，线段MN的中点的横坐标为23-，求此双曲线的方程.例9、已知双曲线221916x y -=，若点M 为双曲线上任一点，则它到两渐近线距离的乘积为_________.例10、焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线经过原点，且两条渐近线均与以点P 为圆心，以1为半径的圆相切，又知双曲线C 的一个焦点与P 关于直线y x =对称（1）求双曲线的方程；（2）设直线1y mx =+与双曲线C 的左支交于,A B 两点，另一直线l 经过点(2,0)M -及AB 的中点，求直线l 在轴上的截距n 的取值范围.【变式】设直线l 的方程为1y kx =-，等轴双曲线C ：222x y a -=右焦点为).（1）求双曲线的方程；（2）设直线l 与双曲线的右支交于不同的两点A B 、,记AB 中点为M ，求实数k 的取值范围，并用k 表示点M 的坐标；（3）设点()1,0Q -，求直线QM 在y 轴上的截距的取值范围.例11、已知双曲线C 方程为：2212y x -=. （1）已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A B 、，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值；（2）设直线l 是圆O ：222x y +=上动点00(,)P x y （000x y ≠）处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点A B 、，证明AOB ∠的大小为定值.例12、已知中心在原点，顶点12A A 、在x 轴上，其渐近线方程是y x =，双曲线过点()6,6P .（1）求双曲线的方程；（2）动直线l 经过12A PA ∆的重心G ，与双曲线交于不同的两点M N 、，问：是否存在直线l ，使G 平分线段MN ，证明你的结论.例13、已知点1F 、2F 为双曲线C ：()01222>=-b by x 的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且︒=∠3021F MF ．圆O 的方程是222b y x =+． （1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求21PP PP ⋅的值；（3）过圆O 上任意一点()00y ,x Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，例14、已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点是()22,0F ，且a b 3=．（1）求双曲线C 的方程；（2）设经过焦点2F 的直线的一个法向量为)1,(m ，当直线l 与双曲线C 的右支相交于B A ,不同的两点时，求实数m 的取值范围；并证明AB 中点M 在曲线3)1(322=--y x 上．（3）设（2）中直线l 与双曲线C 的右支相交于B A ,两点，问是否存在实数m ，使得AOB ∠为锐角？若存在，请求出m 的范围；若不存在，请说明理由．。

双曲线知识点总结abc一、双曲线的定义双曲线是平面上的一种曲线，它有两个独立的渐近线，这两条渐近线之间的曲线是称为双曲线。

通常我们用两个焦点F1和F2以及一个正实数c来定义一个双曲线。

具体来说，双曲线是满足以下条件的点P的轨迹：PF1 - PF2 = c。

双曲线可以分为两种类型：椭圆双曲线和双曲双曲线。

椭圆双曲线有两个焦点和一个实数c，而双曲双曲线有两个焦点和一个虚数c。

接下来我们将分别介绍这两种双曲线的性质。

二、双曲线的性质1. 对称性：双曲线是关于其中心对称的。

2. 渐进线性：双曲线有两条渐近线，它们在双曲线的两个分支上分别作为渐进线。

3. 椭圆双曲线的焦点：椭圆双曲线有两个焦点，它们的距离等于2c。

4. 双曲双曲线的焦点：双曲双曲线也有两个焦点，只不过它们是虚数的。

5. 原点与直线的位置关系：双曲线的两条分支可以穿过x轴和y轴，也可以都在其中一个轴的同一侧。

6. 双曲线的方程：双曲线的一般方程是(x/a)^2 - (y/b)^2 = 1，其中a和b分别是横轴和纵轴的长度。

三、双曲线的图形特征双曲线的图形特征与其方程相关。

通过调整方程中参数的值，我们可以得到不同形状的双曲线。

例如，当a>b时，双曲线的中心位于x轴上；当a<b时，双曲线的中心位于y轴上。

双曲线的图形特征还包括焦点、渐近线、顶点等。

焦点是双曲线的固有属性，它们对于双曲线的形状起着决定性作用。

渐近线是双曲线的近似线，它们与双曲线的曲线有一个相同的极限。

顶点是双曲线的两个分支的交点，它是双曲线的特征点。

四、双曲线的应用双曲线在数学、物理、工程和经济等领域都有着广泛的应用。

在数学领域，双曲线是一种重要的曲线，它可以用来研究曲线的性质和方程。

在物理领域，双曲线可以描述一些物理现象，例如声波的传播，光线的折射等。

在工程领域，双曲线可以用来设计一些工程结构，例如天桥的弧度等。

在经济领域，双曲线可以用来描述一些经济现象，例如消费的增长速度等。

双曲线高考知识点双曲线是高中数学中的一个重要内容，涉及到曲线的方程、性质以及应用等方面。

下面，我们将详细介绍双曲线的相关知识点。

一、双曲线的定义与基本性质双曲线是一种独特的曲线，它和椭圆、抛物线以及直线构成了二次曲线的四个基本类型。

双曲线的方程可以表示为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1或者x^2/a^2 - y^2/b^2 = -1（以中心为原点的情况）。

1. 双曲线的焦点与准线双曲线与焦点和准线密切相关。

焦点是双曲线上的一点，可以用来确定双曲线的形状和位置。

准线是双曲线的一条渐近线，具有特殊的性质。

双曲线两个焦点之间的距离为2c，准线与中心的距离为ae。

2. 双曲线的对称性双曲线具有与坐标轴相关的对称性。

双曲线关于x轴和y轴分别对称，也关于原点对称。

二、双曲线的图像与分类通过选择不同的参数，双曲线可以呈现出不同的形状。

根据双曲线的方程，我们可以将其分为以下几种类型：1. 水平方向的双曲线当双曲线的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1时，a^2 > b^2，双曲线的长轴与x轴平行。

2. 垂直方向的双曲线当双曲线的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = -1时，a^2 < b^2，双曲线的长轴与y轴平行。

三、双曲线的应用双曲线广泛应用于数学和物理学等领域，特别是在电磁学和光学中有重要的应用。

1. 超越双曲函数双曲函数是双曲线的重要应用之一。

它包括双曲正弦函数sinh(x)、双曲余弦函数cosh(x)以及双曲正切函数tanh(x)等。

这些函数在数学和物理中都有着广泛的应用。

2. 焦点和准线的应用双曲线的焦点和准线在物理光学中有着重要的应用。

例如，双曲线反射镜就是基于双曲线的焦点和准线性质来设计的，可以用来改变光线的方向和聚焦光线。

四、双曲线的解析几何在解析几何中，双曲线与直线、圆等几何图形之间存在着密切的关系，可以通过解析几何的方法来研究双曲线的性质。

1. 双曲线的判别式确定一个二次曲线是否是双曲线可以使用双曲线的判别式D=b^2-a^2，其中a和b分别是双曲线的参数。

高三数学双曲线的定义、性质及标准方程知识精讲【本讲主要内容】双曲线的定义、性质及标准方程双曲线的定义及相关概念、双曲线的标准方程、双曲线的几何性质【知识掌握】【知识点精析】1. 双曲线的定义：（1）第一定义：平面内与两定点F1、F2的距离之差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距。

（2）第二定义：平面内到一个定点F的距离与到一条定直线l的距离的比等于常数（e>1）的点的轨迹叫做双曲线，定点F为焦点，定直线l称为准线，常数e称为离心率。

说明：（1）若2a等于2c，则动点的轨迹是射线（即F1F2、F2F1的延长线）；（2）若2a大于2c，则动点轨迹不存在。

2. 双曲线的标准方程、图形及几何性质：标准方程xayba b2222100-=>>(,)中心在原点，焦点在x轴上yaxba b2222100-=>>(,)中心在原点，焦点在y轴上图形几何性质X围x a≤-或x a≥y a≤-或y a≥对称性关于x轴、y轴、原点对称（原点为中心）顶点()()1200A a A a-，、，()()1200A a A a-，、，轴实轴长122A A a=，虚轴长122B B b=离心率ecae=>()1准线2212:,:a al x l xc c=-=2212:,:a al y l yc c=-=实轴、虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，焦点在x 轴上，标准方程为()2220x y a a -=≠；焦点在y 轴上，标准方程为()2220y x a a -=≠。

其渐近线方程为y＝±x 。

等轴双曲线的离心率为e =4. 基础三角形：如图所示，△AOB 中，,,,tan b OA a AB b OB c AOB a===∠=。

5. 共渐近线的双曲线系方程：与双曲线x a y b22221-=（a>0，b>0）有相同渐近线的双曲线系可设为()22220x y a b λλ-=≠，若λ>0，则双曲线的焦点在x 轴上；若λ<0，则双曲线的焦点在y 轴上。

双曲线的定义与性质双曲线是二次曲线中的一种，它是平面上到两个给定焦点的距离之差等于常数的点的轨迹。

双曲线的定义和性质对于数学研究和应用都非常重要，下面将对双曲线的定义、性质和一些实际应用进行简要介绍。

一、双曲线的定义双曲线的定义可以通过两个焦点和常数的关系来描述。

假设平面上有两个给定的焦点F1和F2，并且设距离两个焦点的距离之差等于常数2a，那么满足这个条件的点的轨迹就是一条双曲线。

二、双曲线的方程双曲线的方程可以通过焦点的坐标和常数来表示。

设焦点F1的坐标为（c, 0），焦点F2的坐标为（-c, 0），则满足条件的双曲线的方程可以表示为：(x-c)^2/a^2 - (y-0)^2/b^2 = 1或者(x+c)^2/a^2 - (y-0)^2/b^2 = 1其中，a和b分别为双曲线的两个主轴，c为焦点到坐标原点的距离。

三、双曲线的性质1. 焦点与双曲线的关系：双曲线上的每个点到两个焦点的距离之差都等于常数2a，这个性质决定了双曲线的形状。

2. 双曲线的对称性：双曲线关于x轴和y轴都有对称性。

即当(x, y)是双曲线上的一个点时，(-x, y)、(x, -y)和(-x, -y)也是双曲线上的点。

3. 双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，分别与双曲线的两个分支无限靠近。

这两条渐近线的方程分别为y=(b/a)x和y=-(b/a)x。

4. 双曲线的焦点和定点：双曲线的焦点是双曲线的一部分，而焦点之间连线上的点叫做定点。

双曲线的定点到焦点的距离等于a。

四、双曲线的应用双曲线在物理学、工程学和经济学等领域中都有广泛的应用。

1. 物理学中，双曲线可以用来描述相对论效应下的时间与空间的关系。

2. 工程学中，双曲线可以用来描述电磁波在天线中的传播特性。

3. 经济学中，双曲线可以用来描述供需均衡时的市场行为。

总结：双曲线是平面上到两个给定焦点的距离之差等于常数的点的轨迹。

双曲线的方程可以用焦点的坐标和常数来表示。

双曲线具有一些特点，如焦点与双曲线的关系、双曲线的对称性、渐近线以及焦点和定点等。

四、双曲线一、双曲线及其简单几何性质（一）双曲线的定义：平面内到两个定点F1，F2 的距离差的绝对值等于常数2a（0＜2a＜|F 1 F2| ）的点的轨迹叫做双曲线。

定点叫做双曲线的焦点；|F 1F2 |=2c ，叫做焦距。

●备注：①当|PF 1|-|PF 2|=2a 时，曲线仅表示右焦点F2 所对应的双曲线的一支（即右支）；当|PF2|-|PF 1|=2a 时，曲线仅表示左焦点F1 所对应的双曲线的一支（即左支）；②当2a=|F1F2| 时，轨迹为以F1，F2 为端点的 2 条射线；③当2a＞|F 1F2| 时，动点轨迹不存在。

2 2 2 2x y y x双曲线1与1（a>0,b>0）的区别和联系2 2 2 2a b a b2 2 2 2（a>0,b>0）x y y x（a>0,b>0） 1标准方程 12 2 2 2a b a byyF2A2图像xF1 A1 O A2 F2 x OA1F1范围对称性顶点坐标焦点坐标实、虚轴渐近线性质准线方程离心率焦半径通径a，b，c 之间的关系1（二）双曲线的简单性质2 2x y1．范围：由标准方程 1（a＞0，b＞0），从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的2 2a b方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大。

x 的取值范围________ ,y 的取值范围______ 2. 对称性：对称轴________ 对称中心________y3．顶点：( 如图) 顶点：____________特殊点：____________A A实轴：长为叫做半实轴长 1 22a, a虚轴：B1B2 长为2b，b 叫做半虚轴长A1 A2Ox双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点B14．离心率：2c ce双曲线的焦距与实轴长的比2a a，叫做双曲线的离心率范围：___________________k ba2caa2 2c2a1 2 e 1双曲线形状与 e 的关系：，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔5．双曲线的第二定义：e ca(c a 0)到定点 F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数的点的轨迹是双曲线其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线常数 e 是双曲线的离心率．准线方程：x a 22yb222a1 l1 : x来说，相对于左焦点 F ( ,0) 对应着左准线 c1 c对于，2al2 : x相对于右焦点( ,0)F2 c 对应着右准线 c；6．渐近线过双曲线22xa2y2b1的两顶点A1, A2 ，作x 轴的垂线x a ，经过B1,B2作y 轴的垂线y b ，四条直线***x a yb围成一个矩形矩形的两条对角线所在直线方程是____________或（），这两条直线就是双曲线的渐近线双曲线无限接近渐近线，但永不相交。

双曲线知识点与性质大全.doc
一、双曲线的概念
双曲线是极小曲线的一类，它以满足一定条件的双次曲线为基础，用一定规律变形而成，它以椭圆为最基本形态，椭圆是四面体投影到一个平面上，双曲线就是椭圆变形而成的，它们具有相似的几何形状和性质，并且具有唯一性和范畴性等特点。

二、双曲线的几何性质
1、弦长：双曲线是一类极小曲线，其弦长是一定的，它等于两个极点之间的距离。

2、曲率：双曲线的曲率也比较大，更接近圆形，且曲率只和双曲线的极坐标有关，
而与直角坐标无关。

3、夹角：双曲线的夹角都是钝角，这表明它们轨迹在某些位置会被突然压缩，也就
是会"折断"，但此时仍然是连续的，所以一般人略感突出的是双曲线夹角的性质。

三、双曲线的方向性质
1、对称中心：双曲线的对称中心位于其长轴上的中点处，同时它也是该双曲线的焦点。

2、对称轴：双曲线的对称轴取决于其焦距，它的长轴和短轴都对应着双曲线的对称轴，它们分别是双曲线的一对对称轴。

3、一对焦离：双曲线都具有一对焦离，它们分别位于双曲线的对称轴上，可以从双
曲线的几何图形中来分辨出它们，它们在双曲线的长轴上顺序排列。

四、双曲线变形性质
1、拼合性：双曲线可以通过移动、旋转等变形来拼合成更复杂的几何图形，这种拼
合性在几何图形分析时会给人以多种想象，常用于多边形拼合等场合。

2、相互合并：双曲线可以相互合并，即把一条双曲线的另一个焦点作为另一条双曲
线的一个焦点，以达到合并效果。

3、压缩：双曲线可以通过改变其焦距来达到压缩的效果，使双曲线的形状发生变化，也可以改变双曲线的长轴和短轴来实现压缩。

双曲线的简单几何性质课件双曲线是数学中的一种重要曲线，它具有许多有趣的几何性质。

本文将介绍双曲线的简单几何性质，并通过一些例子来展示这些性质的应用。

首先，我们来了解一下双曲线的定义。

双曲线是平面上满足一定条件的点的集合。

它的定义可以通过焦点和准线来描述。

双曲线上的每个点到焦点的距离减去到准线的距离的差值等于常数。

这个常数被称为双曲线的离心率，用e表示。

当离心率小于1时，双曲线是一个开口向内的曲线；当离心率大于1时，双曲线是一个开口向外的曲线。

双曲线的第一个性质是它的对称性。

对于双曲线上的任意一点P，以焦点F为中心，以到焦点的距离为半径作圆，这个圆与双曲线交于点Q。

那么点P和点Q关于准线对称。

这个性质可以用来证明双曲线的对称轴是准线。

双曲线的第二个性质是它的渐近线。

双曲线的渐近线是曲线趋于无穷远时的方向。

对于开口向内的双曲线，它的渐近线是与准线平行的直线。

对于开口向外的双曲线，它的渐近线是与焦点连线的中垂线。

渐近线的存在使得我们能够更好地理解双曲线的形状和特性。

双曲线的第三个性质是它的焦点和准线之间的关系。

对于双曲线上的任意一点P，它到焦点的距离减去到准线的距离的差值等于常数。

这个常数就是双曲线的离心率。

双曲线的焦点和准线之间的距离等于离心率的倒数。

这个性质可以用来确定双曲线的焦点和准线的位置。

双曲线的第四个性质是它的切线。

对于双曲线上的任意一点P，以焦点F为中心，以到焦点的距离为半径作圆，这个圆与双曲线交于点Q。

那么点P处的切线是通过点P和点Q的直线。

这个性质可以用来确定双曲线上任意一点处的切线方程。

通过以上几个简单的几何性质，我们可以更好地理解双曲线的形状和特性。

下面我们通过一些例子来展示这些性质的应用。

例子一：考虑双曲线x^2/4 - y^2/9 = 1。

根据双曲线的定义，我们可以确定它的焦点和准线的位置。

然后，我们可以画出双曲线的图像，并标出焦点和准线。

接下来，我们可以确定双曲线上任意一点处的切线方程，并计算它与坐标轴的交点。

四、双曲线一、双曲线及其简单几何性质（一）双曲线的定义：平面内到两个定点F 1，F 2的距离差的绝对值等于常数2a （0＜2a ＜|F 1F 2|）的点的轨迹叫做双曲线。

定点叫做双曲线的焦点；|F 1F 2|=2c ，叫做焦距。

● 备注：① 当|PF 1|-|PF 2|=2a 时，曲线仅表示右焦点F 2所对应的双曲线的一支（即右支）；当|PF 2|-|PF 1|=2a 时，曲线仅表示左焦点F 1所对应的双曲线的一支（即左支）；② 当2a=|F 1F 2|时，轨迹为以F 1，F 2为端点的2条射线； ③ 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。

双曲线12222=-b y a x 与12222=-bx a y （a>0,b>0）的区别和联系（二）双曲线的简单性质1．范围： 由标准方程12222=-by a x （a ＞0，b ＞0），从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大。

x 的取值范围________ ,y 的取值范围______2. 对称性： 对称轴________ 对称中心________ 3．顶点：(如图) 顶点：____________特殊点：____________实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做半虚轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点4．离心率：双曲线的焦距与实轴长的比a ca c e ==22，叫做双曲线的离心率 范围：___________________双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e a c a a c a b k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔5．双曲线的第二定义：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数)0(>>=a c a ce 的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e 是双曲线的离心率． 准线方程：对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 21:-=， 相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线c a x l 22:=； 6．渐近线过双曲线12222=-b y a x 的两顶点21,A A ，作x 轴的垂线a x ±=，经过21,B B 作y 轴的垂线b y ±=，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是____________或（0=±b ya x ），这两条直线就是双曲线的渐近线双曲线无限接近渐近线，但永不相交。

双曲线的性质有什么性质双曲线的性质有：1、取值区域：x≥a，x≤-a或者y≥a，y≤-a；2、对称性：关于坐标轴和原点对称；3、顶点：A(-a,0)A’(a,0)AA’叫做双曲线的实轴，长2a；B(0,-b)B’(0,b)BB’叫做双曲线的虚轴，长2b等；4、渐近线：横轴：y=±(b/a)x竖轴：y=±(a/b)x；5、离⼼率：e=c/a取值范围：（1，+∞）；6、双曲线上的⼀点到定点的距离和到定直线(相应准线)的距离的⽐等于双曲线的离⼼率。

双曲线的性质还有哪些1、双曲线焦半径公式：圆锥曲线上任意⼀点到焦点距离。

过右焦点的半径r=|ex-a|；过左焦点的半径r=|ex+a|2、等轴双曲线双曲线的实轴与虚轴长相等，2a=2b e=√23、共轭双曲线(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1与(y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1叫共轭双曲线（1）共渐近线（2）e1+e2>=2√24、准线：x=±a^2/c,或者y=±a^2/c双曲线的定义1：平⾯内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数2a（⼩于这两个定点间的距离）的点的轨迹称为双曲线。

定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离称为焦距，⽤2c表⽰。

2：平⾯内，到给定⼀点及⼀直线的距离之⽐为常数e（e>1，即为双曲线的离⼼率；定点不在定直线上）的点的轨迹称为双曲线。

定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线。

3：⼀平⾯截⼀圆锥⾯，当截⾯与圆锥⾯的母线不平⾏也不通过圆锥⾯顶点，且与圆锥⾯的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。

4：在平⾯直⾓坐标系中，⼆元⼆次⽅程F(x,y)=Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0满⾜以下条件时，其图像为双曲线。

双曲线的简单几何性质【知识点1】双曲线22a x -22b y ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x ｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x 轴、y 轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点：A 1(-a,0),A 2(a,0)，两顶点间的线段为实轴长为2a ，虚轴长为2b ，且c 2＝a 2+b 2.(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y ＝±a bx ，或令双曲线标准方程22a x -22b y ＝1中的1为零即得渐近线方程. (5)离心率e ＝a c＞1，随着e 的增大，双曲线张口逐渐变得开阔.(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x 2-y 2＝a 2(a≠0),它的渐近线方程为y ＝±x,离心率e ＝2.(7)共轭双曲线：方程22a x -22b y ＝1与22a x -22b y ＝-1表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注意方程的表达形式.注意：（1）与双曲线22a x -22b y ＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为22a x -22b y ＝λ(λ≠0且λ为待定常数) （2）与椭圆22a x +22b y ＝1(a ＞b ＞0)共焦点的曲线系方程可表示为λ-22a x -λ-22b y ＝1(λ＜a 2,其中b 2-λ＞0时为椭圆， b 2＜λ＜a 2时为双曲线)（3）双曲线的第二定义：平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l :x ＝c a 2的距离之比等于常数e ＝a c(c ＞a ＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p ＝c b 2，与椭圆相同.1、写出双曲线方程1254922-=-y x 的实轴长、虚轴的长，顶点坐标，离心率和渐近线方程2、已知双曲线的渐近线方程为x y 43±=，求双曲线的离心率3、求以032=±y x 为渐近线，且过点p （1,2）的双曲线标准方程4、已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为43，求双曲线的标准方程。

双曲线基本知识点
双曲线是一种重要的数学曲线，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

下面是双曲线的一些基本知识点：
1. 双曲线的定义：双曲线是平面上满足一定条件的点的集合。

具体来说，双曲线是到两个定点的距离之差等于常数的点的集合。

2. 双曲线的方程：双曲线的方程可以表示为(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1或者(y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1，其中a和b是常数。

3. 双曲线的性质：双曲线有许多重要的性质，比如它是一个非闭合曲线，有两个渐近线，对称轴是x轴和y轴，焦点是定点等等。

4. 双曲线的应用：双曲线在物理学、工程学、经济学等领域都有广泛的应用。

比如在物理学中，双曲线可以用来描述光的折射和反射；在工程学中，双曲线可以用来描述电路中的电容和电感等元件的特性；在经济学中，双曲线可以用来描述消费者的偏好和供应商的成本等。

双曲线的新性质
(1) 双曲线的对称轴是双曲线的几何线。

(2) 双曲线的几何形状是一个椭圆，有两个长轴和两个短轴，这两个长轴与对称轴垂直。

(3) 双曲线在对称轴上有两个焦点，椭圆的离心率是两个焦点的距离与椭圆的长轴之比。

(4) 双曲线的曲率在焦点处极大，在椭圆的长短轴上变化，且有方向性；在其它位置曲率不变。

(5) 双曲线的二阶导数是曲率的变化率，其值在椭圆的短轴上，是定值，且与椭圆的长轴无关。

(6) 双曲线的角度变化率，从焦点到椭圆两个顶点间，是一个线性函数，该函数斜率与椭圆的长轴比较无关，但与它的短轴比较有关系。

(7) 双曲线的切线与法线相交，且在与对称轴垂直的椭圆面上具有旋转对称性；
(8) 它的法线方向及曲率，将椭圆的两个焦点连接成直线，围绕此直线旋转对称；
(9) 这种旋转对称性，能够在双曲线上检测两个焦点，这种特性用于计算机图形学中的光照计算。

(10) 双曲线的展开图是一张包括双曲线上每个点的矢量图，它可以帮助我们了解双曲线的结构以及曲线上每个点的切线和法线的角度。

(11) 双曲线可以用于表征物体的外形，并且可以应用于形状分析算法，它可以帮助研究者从形状几何的角度分析复杂的物体。