最新2015中考培优班学案(第3讲分式及其运算考点集训)

八年级数学培优（一）分式的运算及分式方程班级姓名【知识精读】1. 分式的乘除法法则a bcdacbd ⋅=；a bcdabdcadbc ÷=⋅=当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。

2. 分式的加减法（1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。

求最简公分母是通分的关键，它的法则是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取；③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。

（2）同分母的分式加减法法则a cbca bc ±=±（3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。

3. 分式乘方的法则()a babnnn=（n为正整数）4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。

学习时应注意以下几个问题：（1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关；（2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式；（3）运算中及时约分、化简；（4）注意运算律的正确使用；（5）结果应为最简分式或整式。

5.关于分式方程（1）分式方程的定义；（2）解分式方程的基本思想方法；（3）解分式方程的一般方法和步骤；（4）分式方程的增根问题：a.产生增根的原因是 。

验根的方法是 。

（5）列分式方程解应用题的步骤： 。

下面我们一起来学习分式的四则运算。

【分类解析】例1：计算： 12442222+--÷--+n m m n m n m mn n解：原式=---⋅-+-1222m n m n m n m n m n ()()()4 =--+=+-++=+1223m nm nm n m n m nn m n 说明：分式运算时，若分子或分母是多项式，应先因式分解。

例2：（分式通分的六大技巧）（1）逐步通分：（2）整体通分:（3）分组通分（4）分解简化通分:（5）列项相消：（6）活用乘法公式：例3、已知：M x y xy y x yx y x y 222222-=--+-+，则M =_________。

分式培优练习题(完整标准答案)分式（一）选择1.下列运算正确的是（）。

A。

-4=1 B。

(-3)-1=1 C。

(-2m-n)2=4m-n D。

(a+b)-1=a-1+b-12.分式 y-z/x+z+x-y 的最简公分母是（）。

A。

2 B。

C。

D。

23.用科学计数法表示的数-3.6×10-4写成小数是（）。

A。

0. B。

-0.0036 C。

-0. D。

-0.若分式 x-2/x-5x+6 的值为 k，则 x 的值为（）。

A。

2 B。

-2 C。

2或-2 D。

2或35.计算 |1+(1/x-1)/(x-1)| 的结果是（）。

A。

1 B。

x+1 C。

x+1/x-1 D。

x/(x-1)6.工地调来 72 人参加挖土和运土，已知 3 人挖出的土 1 人恰好能全部运走，怎样调动劳动力才能使挖出的土能及时运走，解决此问题，可设派 x 人挖土，其它的人运土，列方程①72-x=3x+72④=3.上述所列方程，正确的有（）个。

A。

1 B。

2 C。

3 D。

47.在分式a/(x^2+2πx+y)+m/(x-2) 中，分式的个数是（）。

A。

2 B。

3 C。

4 D。

58.若分式方程 (1-a)/(x-2)+(a+x)/(x-1)=3 有增根，则 a 的值是（）。

A。

-1 B。

C。

1 D。

29.若 1/(11-ba)=1/(ab+ba)=-3，则 (a-b)/(a+b) 的值是（）。

A。

-2 B。

2 C。

3 D。

-310.已知 b0，且ab≠0，其中第 7 个式子是 1/(a+7b)，一组按规律排列的式子：-b^2/a，-b^5/a^2，-b^8/a^3，-b^11/a^4，……，其中第 n 个式子是 -b^(3n-2)/a^n。

若 7m=3，7n=5，则 72m-n=（）。

A。

-1 B。

1 C。

2 D。

311.化简 (a^2-ab+b^2)/(a-b)^2.2.若 0<x<1，且 x+1/x=6，求 x-1/x 的值。

分式及其运算一、选择题1．(2013·成都)要使分式5x －1有意义，则x 的取值范围是( A ) A ．x ≠1 B ．x >1 C ．x <1 D ．x ≠－12．(2013·南京)计算a 3·(1a)2的结果是( A ) A ．a B ．a 5 C ．a 6 D ．a 93．下列运算正确的是( D )A.y －x －y ＝－y x －yB.2x ＋y 3x ＋y ＝23C.x 2＋y 2x ＋y ＝x ＋yD.y －x x 2－y 2＝－1x ＋y4．计算：(a b －b a )÷a －b a ＝( A ) A.a ＋b b B.a －b b C.a －b a D.a ＋b a5．对于非零的两个实数a ，b ，规定a ⊕b ＝1b －1a .若1⊕(x ＋1)＝1，则x 的值为( C )A.32 B ．1 C ．－12 D.126．(2013·杭州)如图，设k ＝甲图中阴影部分面积乙图中阴影部分面积(a ＞b ＞0)，则有( B )A ．k ＞2B ．1＜k ＜2C.12＜k ＜1 D ．0＜k ＜12二、填空题7．(2014·昆明)当x ＝__10__时，分式1x －10无意义． 8．若代数式2x －1－1的值为0，则x ＝__3__． 9．当x ＝－12时，y ＝1，分式x －y xy －1的值为__1__． 10．(2014·襄阳)计算：a 2－1a 2＋2a ÷a －1a ＝__a ＋1a ＋2__． 11．有一大捆粗细均匀的钢筋，现要确定其长度，先称出这捆钢筋的总质量为m 千克，再从中截出5米长的钢筋，称出它的质量为n 千克，那么这捆钢筋的总长度为__5m n __米．12．若分式1x 2－2x ＋m 无论x 取何值都有意义，则m 的取值范围是__m>1__． 三、解答题 13．(2014·珠海)化简：(a 2＋3a)÷a 2－9a －3. 原式＝a (a ＋3)×a －3（a ＋3）（a －3）＝a14．(2014·玉林)先化简，再求值：2x x 2－1－1x －1，其中x ＝2－1. 原式＝x －1（x ＋1）（x －1）＝1x ＋1，当x ＝2－1时，原式＝12－1＋1＝2215．已知x ＝2015，求分式(x －6x －9x )÷(1－3x)的值． 原式＝x 2－6x ＋9x ÷x －3x ＝（x －3）2x ·x x －3＝x －3.当x ＝2015时，原式＝201216．从三个代数式：①a 2－2ab ＋b 2，②3a －3b ，③a 2－b 2中任意选择两个代数式构造成分式，然后进行化简，并求当a ＝6，b ＝3时该分式的值．选取①②，得a 2－2ab ＋b 23a －3b ＝（a －b ）23（a －b ）＝a －b 3，当a ＝6，b ＝3时，原式＝6－33＝1(有6种情况)17．已知M ＝2xy x 2－y 2，N ＝x 2＋y 2x 2－y2，用“＋”或“－”连结M ，N ，有三种不同的形式：M ＋N ，M －N ，N －M ，请你任选其中一种进行计算，并化简求值，其中x ∶y ＝5∶2.(1)M ＋N ＝2xy x 2－y 2＋x 2＋y 2x 2－y 2＝（x ＋y ）2（x ＋y ）（x －y ）＝x ＋y x －y ，当x∶y ＝5∶2时，x ＝52y ，原式＝52y ＋y 52y －y ＝73 (2)M －N ＝2xy x 2－y 2－x 2＋y 2x 2－y 2＝－（x －y ）2（x ＋y ）（x －y ）＝y －x x ＋y ，当x∶y ＝5∶2时，x ＝52y ，原式＝y －52y 52y ＋y ＝－37 (3)N －M ＝x 2＋y 2x 2－y 2－2xy x 2－y 2＝（x －y ）2（x ＋y ）（x －y ）＝x －y x ＋y ，当x∶y ＝5∶2时，x ＝52y ，原式＝52y －y 52y ＋y ＝3718．先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．11×2＝1－12，12×3＝12－13，13×4＝13－14，…. (1)计算：11×2＋12×3＋13×4＋14×5＋15×6＝__56__； (2)探究11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n （n ＋1）＝__n n ＋1__；(用含n 的式子表示) (3)若11×3＋13×5＋15×7＋…＋1（2n －1）（2n ＋1）的值为1735，求n 的值． 11×3＋13×5＋15×7＋…＋1（2n －1）（2n ＋1）＝12(1－13)＋12(13－15)＋12(15－17)＋…＋12(12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)＝n 2n ＋1，由n 2n ＋1＝1735，解得n ＝17。

第3课时分式【复习目标】1．了解分式和最简分式的概念，会求字母的取值范围及分式的值为零时的条件．2．理解分式的基本性质，能利用分式的基本性质进行通分和约分．3．会进行分式的加、减、乘、除及混合运算，掌握分式的化简、求值的方法和技巧．【知识梳理】1．分式的有关概念：(1)－般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母(B≠0)，那么式子_______叫做分式，其中A叫做_______，B叫做________．整式和分式统称为________．(2)分式有、无意义的条件：当_______时，分式有意义；当_______时，分式无意义．(3)分式值为0的条件：当_______时，分式的值为0．2．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值_______，用字母表示为：AB＝________，AB＝_______ （其中M_______）．3．分式的约分、通分及最简分式：(1)把一个分式的分子与分母的_______约去，叫做分式的约分．约分的关键是确定分子、分母的________．(2)分子与分母没有_______的分式叫做最简分式．(3)把几个异分母的分式分别化为_______的分式叫做通分，通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最_______次幂作为公分母，叫做最简_______．确定最简公分母的方法：①系数取最_______公倍数；②取所有字母的最_______次幂．特别强调：为确定最简公分母，通常先将各分母分解因式．4．分式的运算：(1)分式乘分式，用分子的积做积的________，分母的积做积的_______．用字母表示为：a b ·cd＝_______．(2)分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相_______．用字母表示为：a b ÷cd＝_______．(3)分式的乘方，要把________、________分别乘方，用字母表示为：nab⎛⎫⎪⎝⎭＝_______．(4)同分母分式的加减法，只要把分子相________，而分母_______，用字母表示为：ab c c±＝_______；异分母分式相加减，先通分，变为_______分式，然后相加减．用字母表示为b d a c±：＝_______ (5)分式的混合运算顺序与整式的运算顺序_______，先乘方，再整除，最后加减，有括号要先算括号内的．【考点例析】考点一 分式的有关概念例1若21a +分式有意义，则a 的取值范围是 ( ) A ．a ＝0B ．a ＝1C ．a ≠－1D ．a ≠0 提示 分式有意义，必须使分母不为零，由此可得a 的取值范围．例2若分式12x x -+的值为0，则 ( ) A ．x ＝－2B ．x ＝0C ．x ＝1或x ＝－2D ．x ＝1 提示 分式的值等于0，则分子x －1＝0，同时x ＋2≠0即可．考点二 分式的基本性质例3如果把5x x y+的x 与y 都扩大10倍，那么这个代数式的值 ( ) A ．不变B ．扩大50倍C ．扩大10倍D ．缩小为原来的110提示 分别用10x 和10y 去代换原分式中的x 和y ，然后约分得到最简分式，再与原分式相比较得出结论．考点三 分式的运算例4化简111x x --，可得 ( )A ．21x x -B ．－21x x - C ．221x x x +- D ．221x x x -- 提示 先通分，然后进行同分母分式的加减运算，最后要注意将结果化为最简分式，例5化简：22224m m m m m m ⎛⎫-÷= ⎪+--⎝⎭_______． 提示 先把括号里的分式通分化为同分母分式的运算，再把除法变为乘法，为了便于约分，能分解因式的要先分解因式．考点四 分式的化简求值例6先化简，再求值： ()()22431121x x x x x ⎡⎤-++÷⎢⎥+--⎢⎥⎣⎦，其中x ＝6． 提示 由分式的运算顺序，先对括号内的分式进行通分，再将所得分式的分子进行分解因式，对括号外分式的分母进行分解，最后利用分式的约分得出结果．例7化简分式2221121x x x x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪---+⎝⎭，并从－1≤x ≤3中选一个你认为合适的整数x 代入求值．提示 先根据分式混合运算的法则把原分式化为最简形式，再选合适的整数代入求值．解题时必须明确“合适”在题中的含义，即选取的x 的值不但要使原式有意义，而且还要尽量使运算简便．【反馈练习】1．要使分式1x有意义，x 的取值应满足( ) A ．x ＝0B ．x ≠0C ．x>0D ．x<0 2．如果将分式2xy x y+中的x 和y 都扩大为原来的3倍，那么分式的值 ( ) A ．扩大为原来的3倍B ．缩小为原来的C ．不变D ．缩小为原来的 3．化简22111x x ÷--的结果是 ( ) A ．21x - B ．221x - C ．21x + D ．()21x +4．当a_______时，分式12a +有意义， 5．化简216312m m -=-_______；当m ＝－1时，原式的值为_______． 6．化简：()1111m m ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭＝_______． 7．计算或化简：(1) 2422a a a -+++； (2) 221112a a a a a---÷+； (3)2211121m m m m -⎛⎫+÷ ⎪-+⎝⎭．8．先化简代数式22321124a a a a -+⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭，再从－2，2，0三个数中选一个恰当的数作为a 的值代入求值．9．先化简：1－ a －1 a ÷ a 2－1 a 2＋2a，再选取一个合适的a 值代入计算．参考答案【考点例析】1.C2.D3.A4.B5.m－66.57. 2 3【反馈练习】1．B 2．A 3．C 4．≠－2 5.43m+6.m7.(1)2a (2)－11a+(3)1mm-8．2。

第3讲分式及二次根式 2023年中考数学一轮复习专题训练（浙江专用）一、单选题1．（2022·江北模拟）无论x取什么数，总有意义的代数式是（）A．√x2B．4xx3+1C．1(x−2)2D．√x+32．（2022·浦江模拟）若分式1x−1有意义，则x的取值范围是（）A．x>1B．x>2C．x≠0D．x≠13．（2022·平阳模拟）若分式x−2x−3的值为0，则x的值为（）A．-3B．-2C．0D．2 4．（2022·慈溪模拟）若二次根式√1−x在实数范围内有意义，则下列各数中，x 可取的值是()A．4B．πC．√2D．1 5．（2022·北仑模拟）若二次根式√3−x在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≠3B．x≥3C．x≤3D．x<3 6．（2022·慈溪模拟）下列计算正确的是()A．22+23=25B．23−22=2C．23⋅22=25D．2−1=−27．（2022·定海模拟）对于以下四个命题：①若直角三角形的两条边长与3与4，则第三边的长是5；②(√a)2=a；③若点P(a，b)在第三象限，则点Q(−a，−b)在第一象限；④两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，正确的说法是（）A．只有①错误，其他正确B．①②错误，③④正确C．①④错误，②③正确D．只有④错误，其他正确8．（2022·宁波模拟）二次根式√x−3中字母x的取值范围是（）A．x＞3B．x≠3C．x≥3D．x≤39．（2022·洞头模拟）计算2aa+2−a−22+a的结果为（）A．a+2B．a−2C．1D．a−2a+210．（2021·北仑模拟）要使代数式√x−1有意义，x的取值应满足() A．x≥1B．x>1C．x≠1D．x≠0二、填空题11．（2022·台州）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x的值是．先化简，再求值：3−xx−4+1，其中x=解：原式=3−xx−4⋅(x−4)+(x−4)…①=3−x+x−4=−112．（2022·丽水）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形PQMN.已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5，AE=a，DE=b，且a>b.（1）若a，b是整数，则PQ的长是；（2）若代数式a2﹣2ab﹣b2的值为零，则S四边形ABCDS矩形PQMN的值是．13．（2022·宁波模拟）若二次根式√3+x在实数范围内有意义，则x的取值范围是.14．（2022·衢江模拟）二次根式√x−4中字母x的取值范围是.15．（2022·温州）计算：x 2+xyxy+xy−x2xy=．16．（2022·金华）若分式2x−3的值为2，则x的值是.17．（2022·永康模拟）若分式1x−3有意义，则x的取值范围为．18．（2022·湖州）当a=1时，分式 a+1a 的值是 . 19．（2022·萧山模拟）计算：√3×√2= .20．（2022·宁波模拟）分式 2x−6x+1有意义的条件是 .三、计算题21．（2022·北仑模拟）先化简，直求值：(2a −1)⋅aa 2−4，共中a ＝√2−2.22．（2022·温州模拟）（1）计算：6÷(−3)+√4−8×2−2.（2）化简：2x x 2−4−1x−2.23．（2022·衢州模拟）计算：（1）−12+20180−(12)−1+√83； （2）a 2−b 2a−b ÷a+b 2a−2b.24．（2022·龙湾模拟）（1）计算： 2−1−(√5−1)0+|−32|−√273 ． （2）化简： a 2+3a 2−a +3a−a2 ．25．（2022·瓯海模拟）（1）计算：（﹣2）2×32+|﹣5|﹣√9．（2）化简：a 2a 2−2a +42a−a 2． 四、解答题26．（2022·衢州模拟）先化简，再求值：（1x−1−1x+1）÷x+2x 2−1，然后从﹣1，1，3中选择适当的数代入求值.27．（2022·台州模拟）先化简，再求值：（1﹣1a ）÷a 2−1a，其中a ＝2020.28．（2022·衢州模拟）先化简4m 2−4−1m−2，从-2，-1，0，2四个数中选取一个合适的数代入求值.29．（2022·余杭模拟）化简： 3x−1+x−31−x 2小明的解答如下： 原式= 3x−1−x−3x 2−1=（x2-1）3x−1-（x 2-1）x−3x2−1=3（x+1）-（x-3）=2x+6小明的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答过程．30．（2022·江干模拟）化简：xx−1−1x+1−1.小马的解答如下，小马的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答.解：xx−1−1x+1−1=x(x+1)−(x−1)−1=x2+x−x+1−1=x2答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：A 、无论x 取任何数，√x 2有意义，A 选项符合题意； B 、x≠-1时，4xx 3+1有意义，B 选项不符合题意；C 、x≠2时，1（x−2）2有意义，C 选项不符合题意； D 、x≥-3时，√x +3有意义，D 选项不符合题意. 故答案为：A.【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，及分式有意义的条件，即分母不为零，逐项进行判断即可.2．【答案】D【解析】【解答】解：∵分式1x−1有意义，∴x −1≠0，解得x ≠1， 故答案为：D.【分析】分式有意义的条件：分母不为0，据此解答即可.3．【答案】D【解析】【解答】解：∵分式x−2x−3的值为0∴x ﹣2＝0，x ﹣3≠0， ∴x ＝2. 故答案为：D.【分析】根据分式值为0的条件可得x-2＝0，x-3≠0，求解即可.4．【答案】D【解析】【解答】解：由题意得1-x≥0 解之：x≤1. ∴x 可以为1. 故答案为：D.【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，可求出x 的取值范围，即可求解.5．【答案】C【解析】【解答】解：要使二次根式√3−x在实数范围内有意义，必须3−x≥0，解得：x≤3.故答案为：C.【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数不为负数，据此可得3−x≥0，求解即可.6．【答案】C【解析】【解答】解：22+23≠25，故A不符合题意；B、23-22≠2，故B不符合题意；C、22·23=25，故C符合题意；D、2−1=12，故D不符合题意；故答案为：C.【分析】同底数幂相加减，要先算乘方，再算加法或减法，可对A，B作出判断；利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对C作出判断；利用负整数指数幂的性质，可对D作出判断.7．【答案】A【解析】【解答】解：①错误，应强调为直角三角形的两条直角边长为3与4，则第三边的长是5；②正确，隐含条件a≥0，根据二次根式的意义，等式成立；③正确，若点P（a，b）在第三象限，则a＜0，b＜0；则-a＞0，-b＞0，点Q（-a，-b）在第一象限；④正确，已知：如图，AB=A'B'，AC=A'C'，AD=A'D'，BD=CD，B'D'=C'D'，求证：△ABC≌△A'B'C'；证明：过点C作CE∥AB交AD的延长线于E，∵∠BAD=∠E，∠ABD=∠ECD，∵BD=CD，∴△ABD≌△ECD（AAS），∴AB=CE，AD=DE，过点C'作C'E'∥A'B'交A'D'的延长线于E'，同理：A'B'=C'E'，A'D'=D'E'，∵AD=A'D'，AB=A'B'，∴AE=A'E'，CE=C'E'，∵AC=A'C'，∴△ACE≌△A'C'E'（SSS），∴∠CAE=∠C'A'E'，∠E=∠E'=∠BAD=∠B'A'D'，∴∠BAC=∠B'A'C'，∴△ABC≌△A'B'C'（SAS），即：两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，正确.故答案为：A.【分析】根据勾股定理可判断①；根据二次根式有意义的条件可得a≥0，据此判断②；根据点的坐标与象限的关系可判断③；画出示意图，已知AB=A'B'，AC=A'C'，AD=A'D'，BD=CD，B'D'=C'D'，过点C作CE∥AB交AD的延长线于E，证明△ABD ≌△ECD，得到AB=CE，AD=DE，过点C'作C'E'∥A'B'交A'D'的延长线于E'，证明△ACE≌△A'C'E'（SSS），得到∠CAE=∠C'A'E'，∠E=∠E'=∠BAD=∠B'A'D'，推出∠BAC=∠B'A'C'，据此判断④.8．【答案】C【解析】【解答】解：∵√x −3，∴x-3≥0， ∴x≥3. 故答案为：C.【分析】根据二次根式被开方数为非负数，即x-3≥0，求解不等式即可得x 的取值范围.9．【答案】C【解析】【解答】解：原式=2a−a+2a+2=a+2a+2 =1.故答案为：C.【分析】直接根据同分母分式减法法则进行计算即可.10．【答案】B【解析】【解答】解：由题意得：{x −1≥0x −1≠0，解得x ＞1.故答案为：B.【分析】依据被开方数大于等于0及分母不为零，列出不等式组，求解即可.11．【答案】5【解析】【解答】解：原式=3−x x−4+x−4x−4=−1x−4∵最后所求的值是正确的∴−1x−4=-1 解之：x=5经检验：x=5是方程的解. 故答案为：5.【分析】先通分计算，再由题意可得到−1x−4=-1；然后解方程求出x 的值. 12．【答案】（1）a-b（2）3+2√2【解析】【解答】解：(1)∵①和②能够重合，③和④能够重合，AE=a ，DE=b ，∴PQ=AE+DE-2ED=a+b-2b=b ，故答案为：a-b ； (2)∵a 2- 2ab- b 2=0， ∴a 2-b 2=2ab ， 则(a-b)2=2b 2，∴a=(√2+1)b 或(1-√2)b(舍去)，∵四个矩形的面积都是5，AE=a ，DE=b ， ∴EP=5a ，EN=5b，∴S四边形ABCD S矩形PQMN=(a+b )(5a +5b )(a−b )(5b −5a)=a 2+2ab+b2a 2−2ab+b 2=a 2b2=(√2+1)2b2b2=3+2√2.故答案为：3+2√2.【分析】(1)直接根据线段和差关系，结合两组全等矩形的边相等，列式计算可得结论；(2)解关于a 的二元一次方程：a 2-2ab-b 2=0， 得到a=(√2+1)b ，根据四个矩形的面积都是5分别表示小矩形的宽，再利用含a 、b 的代数式表示S四边形ABCDS 矩形PQMN，化简后，再代入a=(√2+1)b ，即可解答.13．【答案】x≥-3【解析】【解答】解：由题意得： 3+x ≥0，解得： x ≥−3， 故答案为： x ≥−3.【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数可得3+x≥0，求解即可.14．【答案】x≥4【解析】【解答】解：由题意，得x-4≥0， 解得：x≥4. 故答案为：x≥4.【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数不能为负数，可得x-4≥0，求解即可.15．【答案】2【解析】【解答】解：原式=x 2+xy+xy−x 2xy=2..故答案为：2.【分析】利用同分母分式相加，分母不变，把分子相加，然后化简即可.16．【答案】4【解析】【解答】解：∵分式2x−3的值为2，∴2x−3=2， ∴2=2x-6， ∴x=4. 故答案为：4.【分析】由分式2x−3的值为2，得2x−3=2，再解分式方程即可求出x 的值.17．【答案】x≠3【解析】【解答】解：由题意得x-3≠0 解之：x≠3. 故答案为：x≠3.【分析】利用分式有意义的条件：分母不等于0，可得到关于x 的不等式，然后求出不等式的解集.18．【答案】2【解析】【解答】解：把a=1代入分式中， ∴a+1a =1+11=2.故答案为：2.【分析】把a=1代入分式中，化简求值即可求解.19．【答案】√6【解析】【解答】解：√3×√2，=√3×2， =√6； 故答案为：√6.【分析】直接根据二次根式的乘法法则进行计算.20．【答案】x≠-1【解析】【解答】解：要使分式有意义，则x+1≠0，∴x≠-1.故答案为：x≠-1.【分析】分式有意义的条件是分母不等于零，依此列式求解，即可解答.21．【答案】解：(2a −1)⋅a a 2−4=2−a a ⋅a (a+2)(a−2)=−1a+2 当a =√2−2时，原式=1√2−2+2=1√2=−√22 【解析】【分析】对括号中的式子进行通分，对括号外分式的分母进行分解，然后约分即可对原式进行化简，接下来将a 的值代入计算即可.22．【答案】（1）解：6÷(−3)+√4−8×2−2=−2+2−8×14=−2+2−2=−2（2）解：2x x 2−4−1x−2 =2x −(x +2)(x +2)(x −2)=x −2(x +2)(x −2)=1x +2 【解析】【分析】（1）根据算术平方根的概念、负整数指数幂的运算性质及有理数的除法法则分别计算，然后计算乘法，再计算加减法即可；（2）对第一个分式的分母进行分解，然后通分，再约分即可.23．【答案】（1）解：−12+20180−(12)−1+√83 =﹣1+1﹣2+2=0；（2）解：a 2−b 2a−b ÷a+b 2a−2b=(a+b)(a−b)a−b ÷a+b 2(a−b) =(a+b)(a−b)a−b×2(a−b)a+b =2(a −b)=2a ﹣2b.【解析】【分析】（1）根据乘方、开方、零指数幂及负整数幂的性质分别h 进行计算，然后根据有理数的加减法法则算出答案即可；（2）先将分子、分母进行因式分解，再将除法转化为乘法，然后约分即可.24．【答案】（1）解：原式=12-1+32-3=-2. （2）解：原式=a 2+3a 2−a −3a 2−a=a 2a (a−1)=a a−1. 【解析】【分析】（1）根据负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、立方根的定义进行化简，再计算加减法，即可得出答案；（2）先通分，再计算分式的减法，即可得出答案.25．【答案】（1）解：（﹣2）2×32+|﹣5|﹣√9 =4×32+5﹣3 =6+5-3=8（2）解：a 2a 2−2a +42a−a 2=a 2a(a−2)+4a(2−a)=a 2a(a −2)−4a(a −2)=a 2−4a(a −2)=(a +2)(a −2)a(a −2)=a+2a ．【解析】【分析】（1）根据有理数的乘方法则、绝对值的性质以及算术平方根的概念可得原式=4×32+5-3，然后计算乘法，再计算加减法即可； （2）对两个分式的分母进行分解，然后结合同分母分式减法法则进行计算.26．【答案】解：(1x−1−1x+1)÷x+2x 2−1=x+1−x+1(x−1)(x+1)÷x+2(x−1)(x+1)=2(x−1)(x+1)×(x−1)(x+1)x+2 =2x+2； ∵x −1≠0，x +1≠0，x +2≠0，∴x ≠±1，x ≠−2，当x =3时，2x+2=23+2=25【解析】【分析】对括号中的式子进行通分，对括号外分式的分母进行分解，然后将除法化为乘法，再约分即可对原式进行化简，接下来选择一个使分式有意义的x 的值代入计算即可.27．【答案】解：原式=a−1a ·a (a+1)(a−1)=1a+1当a=2020时，原式=12021【解析】【分析】对括号中的式子进行通分，将第二个分式的分子分解因式，同时除法化为乘法，再进行约分即可对原式进行化简，接下来将a 的值代入计算即可.28．【答案】解：原式=4(m+2)(m−2)−1m−2=4−(m +2)(m +2)(m −2)=2−m (m +2)(m −2)=−1m +2要使分式有意义，则m 2−4≠0且m −2≠0解得m≠±2，∴只能选择-1或0当m=-1时，原式=−1当m=0时，原式=−1 2【解析】【分析】对第一个分式的分母进行分解，再通分后按同分母分式的加减法进行计算，并进行约分即可对原式进行化简，然后选取一个使分式有意义的m的值代入进行计算.29．【答案】解：不正确原式＝－＝－＝＝【解析】【分析】根据分式加法法则，先通分，化为同分母的分式相加减，再进行计算，即可得出答案.30．【答案】解：不正确，正确解答如下：xx−1−1x+1−1=x(x+1)x2−1−x−1x2−1−x2−1x2−1=x2+x−x+1−x2+1x2−1=2x2−1.【解析】【分析】首先第一项的分子、分母都乘以（x+1），第二项的分子、分母都乘以（x-1），第三项的分析分母都乘以（x+1）（x-1）进行通分，然后根据同分母分式减法法则进行计算。

分式混合运算学案知识梳理1.在进行分式的运算前，要先把分式的分子和分母因式分解．分式的乘除要约分，加减要通分，最后的结果要化成最简分式或整式．2.运算顺序：先乘除、后加减，有括号先算括号.例1：混合运算：412222x x x x -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭． 【过程书写】2244122241622422(4)(4)14x x x x x x x x x x x x x x ---=-÷----=-÷----=-⋅-+-=-+解：原式例2：先化简(1)211x x x x x x+⎡⎤+÷⎢⎥--⎣⎦，然后在22x -≤≤的范围内选取一个你认为合适的整数x 代入求值．【过程书写】2221122112x x x x x x xx x x x x++--=⋅--=⋅-=-解：原式 ∵22x -≤≤，且x 为整数∴使原式有意义的x 的值为-2，-1或2当x =2时，原式=-2练习题1. 分式的混合运算：（1）242222x x x x x⎛⎫++÷ ⎪--⎝⎭； （2）2111122x x x x ⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭；（3）24142a a a ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭； （4）2344111x x x x x -+⎛⎫+-÷ ⎪--⎝⎭；（5）222112x x x x x ⎛⎫-+÷+ ⎪-⎝⎭； （6）11-+a a 221a a a -÷-+a 1．2. 化简求值：（1）先化简，再求值：22112111x x x x x x x ⎛⎫--+÷ ⎪-++-⎝⎭，其中4x =．（2）先化简，再求值：2222211b a ab b a a ab a a b ⎛⎫-+⎛⎫÷++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，其中11a b ==，．（3）先化简分式221221x x x x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪---+⎝⎭，然后从13x -≤≤中选取一个你认为合适的整数x 代入求值．（4）先化简分式3423332a a a a a a a +-+⎛⎫-÷⋅ ⎪+++⎝⎭，然后从不等式组 25<324a a --⎧⎨⎩≤的解集中选取一个你认为符合题意的a 代入求值．3. 化简：22111a a ab a ab--÷⋅+，并选取一组你喜欢的整数a ，b 代入求值．小刚计算这一题的过程如下：22(1)(1)1111(1)(1)1a a a ab a aba a ab a a ab ab+--=÷⋅++-=⨯⋅+-=解：原式①②③当a =1，b =1时，原式=1． ④ 以上过程有两处错误，第一次出错在第______步（填写序号），原因：_____________________________________________；还有第_______步出错（填写序号），原因：___________________________________________________．请你写出此题的正确解答过程．4. 课堂上，王老师出了这样一道题：已知2015x =-，求代数式22213111x x x x x -+-⎛⎫÷+ ⎪-+⎝⎭的值． 小明觉得直接代入计算太复杂了，同学小刚帮他解决了问题，并解释说：“结果与x 无关”．解答过程如下：2(1)13(1)(1)1111112(1)12_________x x x x x x x x x x x x -++-=÷+-+-=÷+-+=⋅+-=原式①②③④当2015x =-时，12=原式． （1）从原式到步骤①，用到的数学知识有_______________；（2）步骤②中空白处的代数式应为_____________________；（3）从步骤③到步骤④，用到的数学知识有_____________．5. 有两个熟练工人甲和乙，已知甲每小时能制作a 个零件，乙每小时能制作b个零件．现要赶制一批零件，如果甲单独完成需要m 小时，那么甲、乙两人同时工作，可比甲单独完成提前_______________小时．6. 若把分式x y x y+-中的x 和y 都扩大为原来的m 倍，则分式的值（ ） A ．扩大为原来的m 倍 B ．不变C ．缩小为原来的1mD ．不能确定7. 若把分式2x y xy+中的x 和y 都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A ．扩大为原来的3倍 B ．不变C ．缩小为原来的13D ．缩小为原来的168. 已知53m n =，则222m m n m n m n m n +-=+--__________．9. 已知34(1)(2)12x A B x x x x -=+----，则A =______，B =______． 10. 计算：（1）22221244x y x y x y x xy y ---÷+++； （2）211121a a a a ⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭；（3）22221a a b a ab a b ⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭； （4）2286911y y y y y y ⎛⎫-+--÷ ⎪-+⎝⎭；（5）2221122a ab b a b b a -+⎛⎫÷- ⎪-⎝⎭； （6）24421x x x x -+⎛⎫÷- ⎪⎝⎭；（7）2234221121x x x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪---+⎝⎭；（8）352242x x x x -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭；（9）253263x x x x --⎛⎫÷-- ⎪--⎝⎭； （10）211(1)111x x x ⎛⎫--- ⎪-+⎝⎭；（11）22221113x y x y x y x xy x y ⎛⎫⎛⎫--⋅÷-- ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭．11.化简求值：（1）先化简，再求值：2121122x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭，其中1x =．（2）先化简，再求值：2222225321x y x x y y x x y xy ⎛⎫++÷ ⎪---⎝⎭，其中x =y =（3）先化简22212211211x x x xx x x x ++-⎛⎫+÷+ ⎪--+-⎝⎭，然后在22x -≤≤的范围内选取一个合适的整数x 代入求值．（4）已知222111x x xA x x ++=---．①化简A ；②当x 满足不等式组1030x x -⎧⎨-<⎩≥，且x 为整数时，求A 的值．12.不改变分式2132113x yx -+的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是（） A ．263x y x -+ B ．218326x yx -+C ．2331x y x -+D ．218323x yx -+13.把分式32a bab -中的分子、分母的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（）A ．不变B ．扩大为原来的2倍C ．扩大为原来的4倍D ．缩小为原来的1214.把分式34a b ab-中a ，b 的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A ．不变 B ．扩大为原来的2倍C ．扩大为原来的4倍D ．缩小为原来的1215.把分式222xy x y +中x ，y 的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A ．不变B ．扩大为原来的2倍C ．扩大为原来的4倍D ．缩小为原来的1216.已知47(2)(3)23x A B x x x x +=+-+-+，则A =_______，B =_______． 【参考答案】1. （1）2x （2）4x （3）2a a +（4）22x x +-（5）11x +（6）21(1)a -- 2. （1）原式，当4x =时，原式（2）原式1ab=-，当11a b ==，时，原式1=- （3）原式12x =--，当x =3时，原式1=- （4）原式=a +3，当0a =时，原式3=3. ③，约分出错④，a 的取值不能为1，当a =1时，原分式无意义正确的解答过程略 4. （1）分解因式，通分，分式的基本性质（2）221x x -+ （3）约分，分式的基本性质5. bm a b+ 6. B41x =+=7. C8. 41169. 1，210. （1）（2）（3）21a（4）（5）（6） （7）（8）（9）（10）（11） 11. （1）原式11x =+，当1x =时，原式=（2）原式=3xy，当x =y =-时，原式=3（3）原式241x x -=+，当x =2时，原式=0 （4）①11x -；②1 12. B13. A14. D15. A16. 3，1 y x y -+1a -22(1)(27)(1)(3)y y y y y y +----2ab 2x -+11x x -+126x -+124x -+23x -+y x y -+。

中考数学分式复习教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2 初三数学学案学习重点：掌握分式的约分、通分、混合运算。

学习难点：分式的混合运算。

学案设计：学习过程：一、知识结构与知识点：1．分式的约分2．分式的通分3．分式的乘除4．分式的混合运算5．零指数，负整数，整数，整数指数幂的运算a)零指数 )0(10≠=a ab)负整数指数 ).,0(1为正整数p a a a p p ≠=-c)注意正整数幂的运算性质 nn n mn n m n m n m n m n m b a ab a a a a a a a a a ==≠=÷=⋅-+)(,)(),0(,可以推广到整数指数幂，也就是上述等式中的m 、n 可以是O 或负整数．二、例题讲解：（一）分式的约分与通分1．约分：① 23128y x xy ② 12121224.18.0+--n n n n y x y x32．通分注意点：什么是分式的约分与通分其关键是什么它们的理论依据是什么（二）分式的乘除;;bcad c d b a d c b a bd ac d c b a =⋅=÷=⋅.)(n nn b a b a = 化简6-5x+x 2x 2-16 ÷ x-34-x · x 2+5x+44-x 2(三)分式的加减(1) 1a-3 +a+16+2a － 6a 2-9 （2）222222y x y x y x y x -+-+-（四）分式的混合运算(1))14(3)44)(241(-÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--+xx x x (2)(a-23142)1222+++•--÷+a a a a a a a a (3) 8874432284211a x x x a x x a x x a x a -++-+-+-- (五)求代数式的值1.化简并求值：x (x-y)2 . x 3-y 3x 2+xy+y 2 +(2x+2x-y–2),其中x=cos30°,y=sin90° 2. 先化简后再求值：x-3x 2-1 ÷x 2-2x-3x 2+2x+1 +1x+1,其中x= 2+14三、小结：四、教学反思：五、同步训练：1．已知4x 2－1 ＝A x －1 ＋B x ＋1 是恒等式，则A ＝＿＿＿，B ＝＿＿＿。

第3课 分式与分式方程【考点梳理】： 1.分式的概念:形如B A(A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B叫做分式的分母整式和分式统称有理式, 即有有理式 整式，分式. 2.分式的基本性质:分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 与分数类似，根据分式的基本性，可以对分式进行约分和通分.3.分式的通分，即要求把几个异分母的分式分别化为原来的分式相等的同分母的分式.通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母（叫做最简公分母）.4.分式的乘除法:分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简.分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. 5.分式的加减法同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减.6.可化为一元一次方程的分式方程概念：方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增根.因此，在解分式方程时必须进行检验【思想方法】1.类比（分式类比分数）、转化（分式化为整式）2.检验思想【考点一】：分式的意义及分式的基本性质【例题赏析】（2015•黔西南州）（第2题）分式有意义，则x的取值范围是（）A． x＞1 B．x≠1 C． x＜1 D．一切实数考点：分式有意义的条件．分析：分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．解答：解：由分式有意义，得x﹣1≠0．解得x≠1，故选：B．点评：本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：分式无意义⇔分母为零；分式有意义⇔分母不为零；分式值为零⇔分子为零且分母不为零．【考点二】：分式的化简求值【例题赏析】（1）（2015•山西,第7题3分）化简﹣的结果是（）A ．B．C．D．考点：分式的加减法．专题：计算题．分析：原式第一项约分后，利用同分母分式的减法法则计算，即可得到结果．解答：解：原式=﹣=﹣==，故选A．点评：此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．（2）（2015•甘南州第12题 6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=．考点：分式的化简求值．.分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．解答：解：原式=÷=•（x+1）（x﹣1）=x2+1，当x=时，原式=（）2+1=3．点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键【考点三】：分式方程的解法【例题赏析】（2015•天津,第8题3分）（2015•天津）分式方程=的解为（）A．x=0 B．x=5 C．x=3 D．x=9考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：2x=3x﹣9，解得：x=9，经检验x=9是分式方程的解，故选D．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．【考点四】：分式方程的应用【例题赏析】（2015，广西玉林，10，3分）某次列车平均提速vkm/h，用相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km．设提速前列车的平均速度为xkm/h方程是（）A．sx=B．=C．sx=D．=考点：由实际问题抽象出分式方程．分析：首先根据行程问题中速度、时间、路程的关系：时间=驶的路程除以提速前的速度，求出列车提速前行驶skm用的时间是多少；行驶的路程除以提速后的速度，求出列车提速后行驶s+50km车提速前行驶skm和列车提速后行驶s+50km时间相同，列出方程即可．解答：解：列车提速前行驶skm用的时间是小时，列车提速后行驶s+50km用的时间是小时，因为列车提速前行驶skm和列车提速后行驶s+50km时间相同，所以列方程是sx=．故选：A．点评：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程问题，找出相等关系，（1如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等．（2列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路．【考点五】：已知方程的解的情况，求方程中待定字母的取值范围【例题赏析】（2015•齐齐哈尔,第7题3分）关于x的分式方程=有解，则字母a值范围是（）A． a=5或a=0 B．a≠0 C．a≠5 D．a≠5且a≠0考点：分式方程的解．分析：先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“关于x的分式方程=即x≠0且x≠2建立不等式即可求a的取值范围．解答：解： =，去分母得：5（x﹣2）=ax，去括号得：5x﹣10=ax，移项，合并同类项得：（5﹣a）x=10，∵关于x的分式方程=有解，∴5﹣a≠0，x≠0且x≠2，即a≠5，系数化为1得：x=，∴≠0且≠2，即a≠5，a≠0，综上所述：关于x的分式方程=有解，则字母a的取值范围是a≠5，a≠0，故选：D．点评：此题考查了求分式方程的解，由于我们的目的是求a出关于a的不等式．另外，解答本题时，容易漏掉5【真题专练】1.（2015•辽宁阜新）（第7题，3分）函数y=的自变量取值范围是．2.（2015•甘南州第21题 10分）已知若分式的值为0，则x的值为．3.（2015，福建南平，13，4分）计算：﹣= ．4．（2015•广东茂名10，35个零件，张三加工120个这种零件与李四加工100四每小时各加工多少个这种零件？若设张三每小时经过这种零件x个，确的是（）A．= B．= C．= D．=5.（2015•吉林，第8题3分）计算：•= ．6.（2015•黑龙江省大庆,第12题3分）已知xy=13，则的值为．7.（2015•宁德第18题 4分）化简：•．8.（2015•甘南州第17题 7分）已知x﹣3y=0，求•（x﹣y）的值．9.（2015福建龙岩19，8分）解方程：1+=．10.（2015•湖南郴州，第21题8分）自2014年12月启动“绿茵行动，青林植树活动以来，某单位筹集7000元购买了桂花树和樱花树共30棵，费3000元．已知桂花树比樱花树的单价高50%，求樱花树的单价及棵树．11.（2015•丹东，第20题10分）从甲市到乙市乘坐高速列车的路程为180通列车的路程为240千米．高速列车的平均速度是普通列车的平均速度的3倍．乘车时间比普通列车的乘车时间缩短了2小时．高速列车的平均速度是每小时多少千米？12.（2015•黑龙江哈尔滨，第25题10分）购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B一个A品牌足球多花30元．（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元？（2）华昌中学响应习总书记“足球进校园”的号召，决定两次购进A、B两种品牌足球共50个，恰逢金利源商场对两种品牌足球的售价进行调整，A高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B牌足球的总费用不超过3260元，那么华昌中学此次最多可购买多少个B品牌足球？【真题演练参考答案】1.（2015•辽宁阜新）（第7题，3分）函数y=的自变量取值范围是．考点：函数自变量的取值范围．分析：根据分式有意义的条件：分母不等于0，即可求解．解答：解：根据题意得，2﹣x≠0，解得：x≠2．故答案是：x≠2．点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．2.（2015•甘南州第21题 10分）已知若分式的值为0，则x的值为．考点：分式的值为零的条件；解一元二次方程-因式分解法．分析：首先根据分式值为零的条件，可得；然后根据因式分解法解一元二次方程的步骤，求出x的值为多少即可．解答：解：∵分式的值为0，∴解得x=3，即x的值为3．故答案为：3．点评：（1）此题主要考查了分式值为零的条件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少．（2）此题还考查了因式分解法解一元二次方程问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．3.（2015，福建南平，13，4分）计算：﹣= ．考点：分式的加减法．分析：因为分时分母相同，直接通分相加减，再化简即可．解答：解：﹣，=，=，=2．故答案为：2．点评：此题主要考查了分式的加减法运算，注意分式运算方法的应用可以减小计算量．4．（2015•广东茂名10，3分）张三和李四两人加工同一种零件，每小时张三比李四多加工5个零件，张三加工120个这种零件与李四加工100个这种零件所用时间相等，求张三和李四每小时各加工多少个这种零件？若设张三每小时经过这种零件x个，则下面列出的方程正确的是（）A．= B．= C．= D．=考点：由实际问题抽象出分式方程．分析：根据每小时张三比李四多加工5个零件和张三每小时加工这种零件x个，可知李四每小时加工这种零件的个数，根据张三加工120个这种零件与李四加工100个这种零件所用时间相等，列出方程即可．解答：解：设张三每小时加工这种零件x个，则李四每小时加工这种零件（x﹣5）个，由题意得，=，故选B．点评：本题考查的是列分式方程解应用题，根据题意准确找出等量关系是解题的关键．5.（2015•吉林，第8题3分）计算：•= ．考点：分式的乘除法．专题：计算题．分析：原式变形后，约分即可得到结果．解答：解：原式=•=x+y．故答案为：x+y．点评：此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6.（2015•黑龙江省大庆,第12题3分）已知xy=13，则的值为．考点：比例的性质．分析：根据已知设x=k，y=3k，代入求出即可．解答：解：∵xy=13，∴设x=k，y=3k，∴==﹣23，故答案为：﹣23．点评：本题考查了比例的性质的应用，能选择适当的方法求出结果是解此题的关键，难度不大．7.（2015•宁德第18题 4分）化简：•．考点：分式的乘除法．分析：先把分子分母分解因式，进一步约分计算得出答案即可．解答：解：原式=：•=．点评：此题考查分式的乘除法，把分子分母因式分解约分是解决问题的关键．8.（2015•甘南州第17题 7分）已知x﹣3y=0，求•（x﹣y）的值．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：首先将分式的分母分解因式，然后再约分、化简，最后将x、y的关系式代入化简后的式子中进行计算即可．解答：解：=（2分）=；（4分）当x﹣3y=0时，x=3y；（6分）原式=．（8分）点评：分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．9.（2015福建龙岩19，8分）解方程：1+=．考点：解分式方程．分析：根据解分式方程的步骤进行解答，注意进行检验．解答：解：方程两边同乘以（x﹣2）得，（x﹣2）+3x=6，解得；x=2，检验：当x=2时，x﹣2=0，∴x=2不是原分式方程的解，∴原分式方程无解．点评：本题考查了解分式方程，解决本题的关键是熟记解分式方程的步骤，一定要进行检验．10.（2015•湖南郴州，第21题8分）自2014年12月启动“绿茵行动，青春聚力”郴州共青林植树活动以来，某单位筹集7000元购买了桂花树和樱花树共30棵，其中购买桂花树花费3000元．已知桂花树比樱花树的单价高50%，求樱花树的单价及棵树．考点：分式方程的应用．分析：设樱花树的单价为x元，则桂花树的单价为（1+50%）x元，根据购买了桂花树和樱花树共30棵列方程解答即可．解答：解：设樱花树的单价为x元，则桂花树的单价为（1+50%）x元，由题意得+=30解得：x=200经检验x=200是原方程的解．则（1+50%）x=300=20（棵）答：樱花树的单价为200元，有20棵．点评：此题考查分式方程的应用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．11.（2015•丹东，第20题10分）从甲市到乙市乘坐高速列车的路程为180千米，乘坐普通列车的路程为240千米．高速列车的平均速度是普通列车的平均速度的3倍．高速列车的乘车时间比普通列车的乘车时间缩短了2小时．高速列车的平均速度是每小时多少千米？考点：分式方程的应用．分析：设普通列车平均速度每小时x千米，则高速列车平均速度每小时3x千米，根据题意可得，坐高铁走180千米比坐普通车240千米少用2小时，据此列方程求解．解答：解：设普通列车平均速度每小时x千米，则高速列车平均速度每小时3x千米，根据题意得，﹣=2，解得：x=90，经检验，x=90是所列方程的根，则3x=3×90=270．答：高速列车平均速度为每小时270千米．点评：本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．12.（2015•黑龙江哈尔滨，第25题10分）（2015•哈尔滨）华昌中学开学初在金利源商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元．（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元？（2）华昌中学响应习总书记“足球进校园”的号召，决定两次购进A、B两种品牌足球共50个，恰逢金利源商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3260元，那么华昌中学此次最多可购买多少个B品牌足球？考点：分式方程的应用；一元一次不等式的应用．分析：（1）设一个A品牌的足球需x元，则一个B品牌的足球需x+30元，根据购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍列出方程解答即可；（2）设此次可购买a个B品牌足球，则购进A牌足球（50﹣a）个，根据购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3260元，列出不等式解决问题．解答：解：（1）设一个A品牌的足球需x元，则一个B品牌的足球需x+30元，由题意得=×2解得：x=50经检验x=50是原方程的解，x+30=80答：一个A品牌的足球需50元，则一个B品牌的足球需80元．（2）设此次可购买a个B品牌足球，则购进A牌足球（50﹣a）个，由题意得50×（1+8%）（50﹣a）+80×0.9a≤3260解得a≤31∵a是整数，∴a最大等于31，答：华昌中学此次最多可购买31个B品牌足球．点评：此题考查二元一次方程组与分式方程的应用，找出题目蕴含的等量关系与不等关系是解决问题的关键．。

分式方程是数学中的一个重要概念，它是由有理函数与一个未知数构成的等式。

在解分式方程时，我们需要遵循特定的步骤和方法，以确保得出正确的答案。

本学案将帮助学生复习分式方程的重要概念、解题方法和相关例题。

第一部分：基础知识回顾1. 什么是分式？怎样表示一个分式？分式是两个整数的比值，由分子和分母组成，分子在上，分母在下，用横线分开。

2. 什么是分式方程？分式方程是一个包含分式的方程，其中未知数出现在分式中。

3. 分式方程的解法步骤是什么？步骤一：清理分母，将分式方程化为无分母的方程。

步骤二：整理方程，将未知数合并在一边，常数合并在另一边。

步骤三：消去未知数的系数，得出方程的解。

第二部分：解分式方程的方法1. 方法一：通分法通分法是解决分式方程的常用方法之一。

首先，找到方程中所有分母的最小公倍数，然后用最小公倍数去分别乘以分式方程的两边，从而消去分母。

2. 方法二：消元法消元法是解决分式方程的另一种方法。

首先，将方程中的分式转化为等值的整式，然后利用解线性方程组的方法求解。

3. 方法三：取倒数法取倒数法也是解决分式方程的一种常用方法。

首先，将方程两边取倒数，然后将倒数化为整式方程，最后利用解线性方程的方法求解。

第三部分：例题分析1. 例题一：求解方程(3/x) + (4/x^2) = 7/6解：首先，将分式方程的分母取最小公倍数x^2，得到方程6(3x + 4) = 7x^2。

整理后得到7x^2 - 18x - 24 = 0，通过解二次方程得到x = 6和x = -24/7。

2. 例题二：求解方程(2/(x-1)) - (3/(x+2)) = 5/6解：首先，将分式方程的分母取最小公倍数(x-1)(x+2)，得到方程12(x+2) - 10(x-1) = 5(x-1)(x+2)。

整理后得到5x^2 - 9x - 34 = 0，通过解二次方程得到x ≈ 4.326和x ≈ -1.526。

第四部分：总结与反思分式方程在数学中扮演着重要的角色，掌握解分式方程的方法对提高数学能力至关重要。

分式及其运算（一）：【知识梳理】1．分式有关概念（1）分式：分母中含有字母的式子叫做分式。

对于一个分式来说：①当____________时分式有意义。

②当____________时分式没有意义。

③只有在同时满足____________，且____________这两个条件时，分式的值才是零。

（2）最简分式：一个分式的分子与分母______________时，叫做最简分式。

（3）约分：把一个分式的分子与分母的_____________约去，叫做分式的约分。

将一个分式约分的主要步骤是：把分式的分子与分母________，然后约去分子与分母的_________。

（4）通分：把几个异分母的分式分别化成与____________相等的____________的分式叫做分式的通分。

通分的关键是确定几个分式的___________。

（5）最简公分母：通常取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

求几个分式的最简公分母时，注意以下几点：①当分母是多项式时，一般应先；②如果各分母的系数都是整数时，通常取它们的系数的作为最简公分母的系数；③最简公分母能分别被原来各分式的分母整除；④若分母的系数是负数，一般先把“－”号提到分式本身的前边。

2．分式性质：（1）基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个，分式的值．即：(0)A A M A M M B B M B M⨯÷==≠⨯÷其中 （2）符号法则：____ 、____ 与__________的符号， 改变其中任何两个，分式的值不变。

即：a a a ab b b b--==-=--- 3.分式的运算： 注意：为运算简便，运用分式 的基本性质及分式的符号法 则： ①若分式的分子与分母的各项 系数是分数或小数时，一般要化为整数。

②若分式的分子与分母的最高次项系数是负数时，一般要化为正数。

（1）分式的加减法法则：（1）同分母的分式相加减，，把分子相加减；（2）异分母的分式相加减，先，化为的分式，然后再按进行计算 （2）分式的乘除法法则：分式乘以分式，用_________做积的分子，___________做积的分母，公式：_________________________；分式除以分式，把除式的分子、分母__________后，与被除式相乘，公式：；（3）分式乘方是____________________，公式_________________。

年中考数学一轮复习第3讲《分式》【考点解析】1. 分式有意义、无意义、值等于零的条件【例题】（2015·黑龙江绥化）若代数式6265x 2-+-x x 的值等于0 ，则x=_________.【答案】x=2【分析】根据分式值为零的条件：分子为0且分母不为0即可得。

【解析】当2562060x x x ⎧-+⎨-≠⎩=时，代数式25626x x x -+-的值等于0，解得:x=2.【点评】分式为零的条件中特别注意的是分母不能为0. 【变式】（2016·四川内江）在函数yx 的取值范围是( ) A ．x ＞3 B ．x ≥3 C．x ＞4 D ．x ≥3且x ≠4 【答案】D【解答】欲使根式有意义，则需x －3≥0；欲使分式有意义，则需x －4≠0．∴x 的取值范围是30,40.x x -⎧⎨-⎩≥≠解得x ≥3且x ≠4．故选D ．2. 分式的约分【例题】（2015•宁德）化简：=．【解析】约分．.将分母分解因式，然后再约分、化简． 【解答】解：原式==．【变式】.化简分式222--a abb a 的结果是（ ）A ．+a a b B ．+a b a C ． --a a b D ． -a a b【答案】C 【解析】原式=-()()()-+-a a b a b a b =- +a a b = --aa b ．故选C ．3.分式的加减运算【例题】计算：1212+++x x x = ． 【答案】2【分析】利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果． 【解析】原式=2122=++x x ． 【点评】本题考查了分式加减法，要熟记分式加减法的运算法则。

【变式】（2015，广西钦州）当m =2105时，计算：2422m m m -++= ． 【解析】考查分式的化简求值．原式利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把m 的值代入计算即可求出值． 【解答】解：原式===m ﹣2，当m=2015时，原式=2015﹣2=2013． 故答案为：2013 【点评】 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4. 分式的乘除运算【例题】（2016·黑龙江齐齐哈尔）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x ﹣15=0．【考点】分式的化简求值．【分析】先算括号里面的，再算除法，最后算减法，根据x 2+2x ﹣15=0得出x 2+2x=15，代入代数式进行计算即可． 【解答】解：原式=•=∵x ﹣15=0， ∴x=15， ∴原式=1715．【变式】(2015内蒙古）计算：21()(21)(41)2x x x +-÷-= ． 【答案】12【分析】提公因式并分解因式，约分即可得到结果。

分式方程及其应用学案知识梳理1. 回忆并背诵应用题的处理思路，回答下列问题： （1）理解题意，梳理信息．梳理信息的主要手段有列表、画线段图或示意图． （2）建立数学模型．建立数学模型要结合不同特征判断对应模型，如： ①共需、同时、刚好、恰好、相同……，考虑列方程模型； ①不超过、不多于、少于、至少……，考虑不等式模型． （3）求解验证，回归实际． 主要是看结果是否符合实际情况．2. 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程．3. 解分式方程：根据等式的基本性质，把分式方程转化为整式方程求解，结果必须检验，因为解方程的过程中有可能产生增根．增根产生的原因是方程两边同乘了一个使分母为零的整式．1. 列分式方程解应用题，也要进行检验．1. （1）列表，画线段图或示意图（2）①方程模型；①不等式模型 （3）符合实际情况 例1：解分式方程：11322xx x-=---． 【过程书写】1(1)3(2)1136242x x x x x x =----=-+-+==解：检验：把x =2代入原方程，不成立 ①x =2是原分式方程的增根①原分式方程无解例2：八年级（1）班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校120km ．一部分学生乘慢车先行，出发0.5h 后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区．已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，求慢车的速度. 【思路分析】 列表梳理信息：【过程书写】解：设慢车的速度为x km/h ，则快车的速度为1.2x km/h ， 由题意得，1201200.51.2x x =-解得，x =40经检验：x =40是原方程的解，且符合题意 答：慢车的速度是40km/h ．练习题1. 下列关于x 的方程是分式方程的有__________．（填写序号） ①315x -=；①x x π=π；①11123x y -=；①1152x x +=+；①11x a b =-． 2. 已知方程2512kx x +=+的解为1x =，则k =_________．3. 解分式方程：（1）2115225x x x ++=--； （2）100602020x x=+-； （3）3201(1)x x x x +-=--； （4）2216124x x x ++=---；（5）2236111x x x +=+--； （6）2221114268x x x x x +-=----+．4. 对于分式方程，下列说法一定正确的是（ ）A ．只要是分式方程，一定有增根B ．分式方程若有增根，把增根代入最简公分母，其值一定为0C ．使分式方程中分母为零的值，都是此方程的增根D．分式方程化成整式方程，整式方程的解都是原分式方程的解5.若分式方程1322m xx x-=---有增根，则m的值为（）A．2B．3C．1 D．1-6.若分式方程11222kxx x-+=--有增根，则k的值为（）A．2-B．1-C．1 D．27.若分式方程61(1)(1)1mx x x-=+--有增根，则它的增根是（）A．0B．1C．1-D．1和1-8.若分式方程342(2)ax x x x=+--有增根，则增根可能为（）A．0B．2C．0或2D．19.某校用420元钱到商店购买笔记本，经过还价，每本便宜0.5元，结果多买了20本，则原价每本多少元？设原价每本x元，则由题意列出的方程为（）A．420420200.5x x-=-B．420420200.5x x-=-C．4204200.520x x-=-D．4204200.520x x-=-10.已知A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时．若水流速度为4千米/时，设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则由题意列出的方程为（）A．4848944x x+=+-B．4848944x x+=+-C．4849x+=D．9696944x x+=+-11.为保证某高速公路在2016年底全线顺利通车，某路段规定在若干天内完成修建任务．已知甲队单独完成这项工程比规定时间多用10天，乙队单独完成这项工程比规定时间多用40天，如果甲、乙两队合作，可比规定时间提前14天完成任务．若设规定的时间为x天，则由题意列出的方程为（）A．111104014x x x+=--+B．111104014x x x+=++-C．111104014x x x-=++-D．111101440x x x+=-+-12. 某商店第一次用600元购进2B 铅笔若干支，第二次又用600元购进该铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的54倍，购进数量比第一次少了30支．（1）第一次每支铅笔的进价是多少元？（2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，则每支售价至少是多少元？13. 公交快速通道开通后，小王上班由骑电动车改为乘坐公交车．已知小王家距上班地点9千米，他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他用骑电动车的方式平均每小时行驶的路程的1.5倍还多5千米，他从家出发到达上班地点，乘公交车方式所用时间是骑电动车方式所用时间的47．小王用骑电动车方式上班平均每小时行驶多少千米？14. 下列关于x 的方程，其中不属于分式方程的是（ ）A ．1a b a x a ++=B ．x a b x b a +=-11C ．b x a a x 1-=+D ．1=-+++-nx m x m x n x15. 解分式方程2236111x x x +=+--分以下四步，其中错误的一步是（ ） A ．方程两边分式的最简公分母是(1)(1)x x -+B ．方程两边都乘以(1)(1)x x -+，得整式方程2(1)3(1)6x x -++= C ．解这个整式方程，得1x =D ．原方程的解为1x =16. 张老师和李老师同时从学校出发，骑行15千米去县城购买书籍．已知张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，则两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x 千米，依题意可列方程为（ ）A ．1515112x x -=+ B ．1515112x x -=+ C ．1515112x x -=- D ．1515112x x -=- 17. 若方程61(1)(1)1mx x x -=+--有增根，则m =_________．18. 如果解关于x 的分式方程1134x m x x +-=-+出现了增根，那么增根是___________．19. 解分式方程： （1）43(1)1x x x x +=--； （2）22(1)23422x x x x +=+--+；（3）23112x x x x -=+--； （4）11222x x x-=---．20. 某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作8 800件投入市场．已知该服装厂有A ，B两个制衣车间，A 车间每天加工的数量是B 车间的1.2倍．A ，B 两车间共同完成一半的生产任务后，A 车间因出现故障而停产，剩下的全部由B 车间单独完成，结果前后共用了20天完成全部生产任务．则A ，B 两车间每天分别能加工多少件该款夏装？【思路分析】列表梳理信息：21. 某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求．商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但是单价贵了4元．商厦销售这种衬衫时每件定价都是58元，最后剩下150件按八折销售，很快售完．在这两笔生意中，商厦共盈利多少元？【思路分析】列表梳理信息：【参考答案】1. ①①2. -13. （1）（2）（3）无解（4）无解（5）无解（6）x =14. B5. C6. C7. B8. A9. B 10. A 11. B12.（1）第一次每支铅笔的进价是4元 （2）每支售价至少是6元13. 小王用骑电动车方式上班平均每小时行驶20千米 14. C 15. D 16. B 17. 3 18.x =319. （1）x =2（2）（3）无解（4）无解 20. A 车间每天能加工384件该款夏装B 车间每天能加工320件该款夏装 21. 商厦共盈利90 260元43x =5x =43x =。

第3讲 分式的基本性质及其运算第一部分 知识要点一、分式的性质1. 形如A B（A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0）的式子叫做分式。

① 分式有意义⇔分母B ≠0②分式无意义⇔分母B=0③ 分式值为0⇔分子A=0且分母B ≠02. 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

用式子表示为：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=。

3. 最简分式就是分子、分母中不含有公因式的分式。

4. 分式的符号变号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变，用式子表示为：BA B A B A B A --=--=--=。

5. 约分是把分子、分母中的公因式约去的过程；通分是根据分式本身的性质，不改变分式的值，把几个分母不同的分式化为分母相同的分式的过程。

二、分式的运算1. 分式运算法则： ①bcad c d b a d c b a =⨯=÷ ②为正整数）n ba b a n nn ()(= ③bdbc ad bd bc bd ad d c b a ±=±=± ④)0()1(1≠==-a a a a p p p 2. 分式的乘除运算其实就是约分，约分时，分子、分母如果是多项式的，先因式分解再约分；分式的加减运算其实就是通分，通分的关键在于确定公分母。

3. 分式的加减乘除乘方混合运算顺序，应注意选择合适的运算律改变运算顺序以使运算简便三 分式方程1、分母里含有未知数的方程叫做分式方程。

解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解2. 解分式方程组的基本思想是：化为整式方程（两种做法：去分母，换元；常见思路：取倒，方程叠加）。

3. 分式方程的应用主要是列方程解应用题。

做题步骤为：①审；②设；③列；④解；⑤检；⑥答。

1第 3 讲 分式运算一、知识精讲： （1）、分式的加减法通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。

求最简公分母是通分的关键，它的法则是： ①取各分母系数的最小公倍数；②凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取； ③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。

同分母的分式加减法法则a cbc a bc±=± 异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。

（2）、 分式的乘除法法则a b c d acbd⋅=； a b c d a b d c ad bc÷=⋅=当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。

（3）、分式乘方的法则()a b a bn nn =（n 为正整数） （4） 、分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。

学习时应注意以下几个问题：（1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关；（2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式； （3）运算中及时约分、化简； （4）注意运算律的正确使用； （5）结果应为最简分式或整式。

（二）、【分类解析】考点分析（分式运算的若干技巧）进行分式运算应以分式的性质为基础，根据已知的条件特征和结构特征，克服思维定势，通过适当的变形、转化、沟通等解题手段，找到解题的捷径。

本文介绍几种常见的方法与技巧，供同学们参考。

下面我们一起来学习分式的四则运算 （二）、【分类解析】 例1．计算：（1）2422---x x x ； （2）22211y x xy x y x -+--+； （3）224--+a a2例2．计算：34(1)32x yy x∙， 22224(2)9a b b a ∙-，222339(3)9x x x x x -+∙-， 222441(4)214a a a a a a -+-∙-+-例3. 计算：226(1)3y xy x ÷， 32225(2)24ab a b c cd-÷ ， 2211(3)497m m m ÷--例4。

第3讲、根式、分式及其运算知识点1、二次根式1、二次根式的概念0)a ≥的代数式叫做二次根式。

①非负性：)0(0≥≥a a 算术平方根为开方运算后非负的那个根②先求非负数的算术平方根，再平方运算，整个过程都要求是非负的。

③)0()(2≥=a a a ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0,0,00,2a a a a a a a 先平方（使得被开方数非负），再求算数平方根，一切实数适用。

④ab b a =⋅b a ba =其中0,≥b a ，只有乘除，加减合并。

知识点2、n 次根式1、n 次根式的概念一般地，若一个数x 的n 次方等于a （n 为大于1的整数），那么这个数叫做叫做a 的n 次方根。

当n 为偶数时，a 的n 次根式为)0(≥±a a n ，有两个值；当n 为奇数时，a 的n 次根式为n a ，只有一个值。

如16)2(,16244=-=，则16的4次方根为2±。

2、n 次根式的性质（类比二次根式）①⎩⎨⎧=为偶数为奇数n a n a a nn,,；②a a n n =)(；③0的任何次方根都为0，即00=n 。

知识点3、分母（子）有理化1、有理化的概念把分母（子）中的根号化去的过程叫做分母（子）有理化。

2、有理化因式两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，，-一般地，与，+与，b +与b -互为有理化因式。

3、有理化方法分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程。

注意：当根式特别是二次无理根式出现在分式中，需要变形处理时常用分子有理化和分母有理化。

即分子或者分母同乘以相同的根式使得分子或者分母没有根式（但是分母或者分子有根式），便于处理数据和代数式。

知识点4、分式1、分式的概念：用A ,B 表示整式，如果B 中含有字母，则式子BA叫做分式，其中0≠B 。