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2012-2012学年度假期高三年级假期学习效果检测考试数学文科试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项．1．设集合{|2},{|9},{4,7}A x x a B x b x A B =<<=<<⊆⋂集合若，则a b -的值可以是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数(2)(1)z a i i =-+在复平面内对应的点为M ，则“1a =”是“点M 在第四象限”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知命题P ：“2,230x R x x ∀∈++≥”，则命题P 的否定为( )A.2,230x R x x ∀∈++<B. 2,230x R x x ∃∈++≥C. 2,230x R x x ∃∈++<D. 2,230x R x x ∃∈++≤ 4.若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为 ( )A 30°B 60°C 120°D 150° 5．设数列{}n a 是公差不为0的等差数列，115132,,a a a a =且 成等比数列，则数列{}n a 的前n 项和n S =（ ）A ．2744n n+ B ．2533n n+ C ．2324n n+ D ．2n n +6．已知一个空间几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 （ ）A． 338cm B ．3316cm C ． 34cm D ．312cm 7.若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数.给出四个函数： ()x x f 21log 2=，()()2log 22+=x x f ，223log )(）（x x f =， ()x x f 2log )(24=. 则“同形”函数是 ( ) A ．()x f 1与()x f 2 B ．()x f 2与()x f 3 C ．()x f 1与()x f 4 D ．()x f 2与()x f 4主视图左视图俯视图8. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时()3x f x m =+（m 为常数），则函数()f x 的大致图象为9．设双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>的一条渐近线与抛物线2y x =的一个交点的横坐标为001,2x x >若，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是 （ ）A ．(1,2B ．C ．)+∞D ．()2+∞ 10．将函数()sin()f x x ωϕ=+的图象向左平移2π个单位，若所得的图象与原图象重合，则ω的值不可能等于（ ） A ．4B ．6C ．8D ．1211．已知函数12||4)(-+=x x f 的定义域是[a ，b ]（a ，b ∈Z ），值域是[0，1]，则满足条件的整数对（a ，b ）共有（ ）A ．2个B ．5个C ．6个D ．无数个12．函数()(31)2f a m a b m =-+-，当[]0,1m ∈时，0()1f a ≤≤恒成立, 则229a b ab+ 的最大值与最小值之和为（ ）A ．18B ．16C ．14D ．494第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案须填在题中横线上．) 13． 在△ABC 中，已知60,4,5,A b c ===则sin B = .14．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(2)(2)f x f x -=+，且(1,0)x ∈-时，1()25x f x =+则2(log 20)f =____________.15．如果一个平面与一个圆柱的轴成α（︒<<︒900α）角，且该平面与圆柱的侧面相交，则它们的交线是一个椭圆. 当=α︒30时，椭圆的离心率是 . 16 ．已知平面βα,和直线，给出条件：FEDBAPC①α//m ；②α⊥m ；③α⊂m ；④βα⊥；⑤βα//. （i ）当满足条件 时，有β//m ； （ii ）当满足条件 时，有β⊥m .（填所选条件的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、,向量(4,1),m =-2(cos ,cos 2)2A n A =，且72m n⋅=． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =b c ⋅取得最大值时ABC ∆形状．18．（本小题满分12分）某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3000平方米，其中场地四周（阴影部分）为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S 平方米. （1）分别写出用x 表示y 和用x 表示S 的函数关系式（写出函数定义域）；（2）怎样设计能使S 取得最大值，最大值为多少？19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ， E 是PC 中点，F 为线段AC 上一点.（Ⅰ）求证：EF BD ⊥；（Ⅱ）试确定点F 在线段AC 上的位置，使EF //平面PBD ，并说明理由.20（本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，31=a ，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11=b ，公比为q ，且1222=+S b ， 22b S q =．（Ⅰ）求n a 与n b ；（Ⅱ）设数列{}n c 满足n n S c 1=，求{}n c 的前n 项和n T ．21．（本小题满分12分）已知函数32()2f x x ax x =--+.(a R ∈). （1）当1=a 时，求函数)(x f 的极值；（2）若对x R ∀∈，有成立，求实数a 的取值范围．22. （本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -相切． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过点(2,0)M 的直线与椭圆C 相交于两点,A B ，设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=（O 为坐标原点），当25||PA PB -<时，求实数t 的取值范围．文科数学参考答案一、选择题 DACCA CDBBB BB 二、填空题13.77214.1- 15.2316.③⑤, ②⑤ 三、解答题4'()||3f x x ≥-EDBAFOP17．解：（Ⅰ）由2(4,1),(cos,cos 2)2Am n A =-= 24coscos 22A m n A ⋅=-21cos 4(2cos 1)2A A +=⋅--22cos 2cos 3A A =-++ 又因为77,2cos 322m n A A ⋅=++=2所以-2cos 解得1cos 2A =0,3A A ππ<<∴=……………… 6分18．解：（Ⅰ）由已知xy =3000 , 26a y +=，则y =3000(6500),x x ≤≤…………（2分） ()()()()46210210S x a x a x a x =-+-=-=-·62y -=()()56x y -- 30306x =--15000(6500).x x≤≤…………（6分）(Ⅱ)30306S x =--150003030x ≤-×300=2430…………（10分） 当且仅当6x =15000x,即50x =时，“=”成立，此时max 50 , 60 , 2430x y S === . 即设计x=50米，y=60米时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米. …………(12分)19证明（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ， 所以PA ⊥BD ． 又四边形ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥，A AC PA = ，所以BD ⊥平面PAC , 又EF ⊂平面PAC , 所以EF BD ⊥. ………………6分（Ⅱ）：设AC 与BD 交于O ，当F 为OC 中点，即AC AF 43=时，EF ∥平面PBD ．理由如下：连接PO ，因为EF //平面PBD ，⊂EF 平面PAC ，平面PAC平面PBD PO =，所以EF ∥PO ．在△POC 中,E 为PC 的中点，所以F 为OC 中点．在△POC 中,E ，F 分别为PC ，OC 的中点，所以EF ∥PO ．又EF ⊄平面PBD , PO ⊂平面PBD ,故EF //平面PBD .………………12分 20.解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，因为⎪⎩⎪⎨⎧==+,,122222b S q S b 所以⎪⎩⎪⎨⎧+==++．，q d q d q 6126解得 3=q 或4-=q （舍），3=d ．故33(1)3n a n n =+-= ，13-=n n b ． ……………6分21. 解：（1）当1=a 时，32()2f x x x x =--+,2'()321f x x x =--=(1)(31)x x -+， 令'()0f x =，解得121,13x x =-=.当'()0f x >时，得1x >或13x <-；当'()0f x <时，得113x -<<.∴当3x =-时，函数()f x 有极大值，()=()2,327f x f -=极大--------------4分当1x =时函数()f x 有极小值，()(1)1f x f ==极小------------------5分（2）∵2'()321f x x ax =--，∴对x R ∀∈，4'()||3f x x ≥-成立，即24321||3x ax x --≥-对x R ∀∈成立，---------------------6分①当0x >时，有213(21)03x a x -++≥，即12133a x x+≤+，对(0,)x ∀∈+∞恒成立，∵1323x x +≥=，当且仅当13x =时等号成立，∴212a +≤2a ⇒≤---------------------------------------------------9分②当0x <时，有213(12)03x a x +-+≥，即1123||3||a x x -≤+，对(,0)x ∀∈-∞恒成立，∵13||23||x x +≥，当且仅当13x =-时等号成立，∴1222a a -≤⇒≥--------------------------------------11分③当0x =时，a R ∈。
山东省诸城市08-09学年高二下学期期中模块检测（数学文）选择题 （共60分）一、选择题（选择题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） （1）抛物线y x 82-=的准线方程是 （A ） 2=y （B ） 321=x （C ） 321=y （D ）2-=y （2）000(3)()lim1x f x x f x x∆→+∆-=∆，则0()f x '等于（A ）0 （B ）13（C ）1 （D ）3（3）下列结论中正确的是(A) 导数为零的点一定是极值点(B ) 如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极大值 (C) 如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极小值 (D) 如果在0x 附近的左侧0)('<x f ，右侧0)('>x f ，那么)(0x f 是极大值（4）曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是（A ）74y x =+ （B ）72y x =+ （C ） 4y x =- （D ）2y x =- （5）观察等式：4360cos 30sin 60cos 30sin 22=++ ；4350cos 20sin 50cos 20sin 22=++； 4345cos 15sin 45cos 15sin 22=++ .由此猜想下列推广命题不正确的是 （A ）43cos sin cos sin 22=++βαβα （B ）43cos )30sin(cos )30(sin 22=-++-αααα（C ）43)15cos()15sin()15(cos )15(sin 22=+-+++-αααα （D ）43)30cos(sin )30(cos sin 22=++++αααα（6）设原命题为：“若2a b +≥，则,a b 中至少有一个不小于1”，下列说法正确的是（A ）原命题真，逆命题假（B ）原命题假，逆命题真（C ）原命题与逆命题均为真命题（D ）原命题与逆命题均为假命题（7）已知命题p:[]2"1,2, 0"x x a ∀∈-≥, 命题q:，使得"022,"2=-++∈∃a ax x R x 若命题“q p ∧”是真命题，则实数a 的取值范围是（A ）21a a -=≤或 （B ）212a a -≤或≤≤ （C ）1a ≥ （D ）21a -≤≤（8）已知抛物线)0(22>=p px y 焦点F 恰好是双曲线22221x y a b-=的右焦点，且两条曲线交点的连线过点F ，则该双曲线的离心率为（A （B ）1 （C （D ）1（9）一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归直线方程为 ˆ7.1973.93yx =+，据此可以预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是 （A ）身高一定是145.83cm （B ）身高超过146.00cm （C ）身高低于145.00cm （D ）身高在145.83cm 左右（10）设圆C 与双曲线221916x y -=的渐近线相切，且圆心在双曲线的右焦点，则圆C 的标准方程为（A ）22(5)25x y ++= （B ）22(5)25x y -+= （C ）22(5)16x y ++= （D ）16)5(22=+-y x （11）函数)(x f y '=的图象如图所示，则)(x f 的解析式可能是（A ）x x y 22-= （B ）2331x x y +=（C ）x x y 22+= （D ）2331x x y -=（12）函数32()391f x x x x =---的单调减区间是（A ）(3, 1)- （B ）(1, 3)- （C ）(, 1)-∞ （D ）(3, +)∞非选择题 （共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在题后横线上） （13）已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则p ⌝是____________.（14）由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是（15）若椭圆2214x y m +=m =____________ . （16）若函数ax e x f x+=)(在点0=x 处有极值，则a =_________.三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （17）（本小题满分12分） 已知命题: 2p x -≤≤10，22: 210(0)q x x a a -+->≥. 若p ⌝是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围.（18）（本小题满分12分）若函数2()()(2,xf x x ax a e a x =++∈≤R )的极大值为3，求a 的值.（19）（本小题满分12分）已知椭圆2221(01)y x b b+=<<的左焦点为F ，左、右顶点分别为A 、C ，上顶点为B ，过F ，B ，C 三点作P ，且圆心在直线0x y +=上，求此椭圆的方程．（20）（本小题满分12分）已知函数b x x a x a x f +++-=23213)( ，其中,a b ∈R ． （Ⅰ）若曲线)(x f y =在点))2(,2(f P 处的切线方程为45-=x y ，求函数)(x f 的解析式； （Ⅱ）当01a <≠时，讨论函数)(x f 的单调性．（21）（本小题满分12分）已知ABC △的顶点A 、B 在椭圆2234x y +=上，C 在直线2l y x =+：上，l AB //，90ABC ∠=. 当斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程．（22）（本小题满分14分）某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线2()1(0)f x ax a =->的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M 、N ，交曲线于点P ，设(,())P t f t（I ）将OMN ∆（O 为坐标原点）的面积S 表示成t 的函数()S t ；（Ⅱ）若在12t =处，()S t 取得最小值，求此时a 的值及()S t 的最小值.高二数学参考答案（文科）一、选择题A B B D A A A B D D B B 二、填空题（13）x ∃∈R ，sin 1x >；（14）正方形的对角线相等；（15）1或16；（16）1- 三、解答题（17）解：: 10p x ⌝>或2-<x ，记{10A x x =>或}2x <-；…………………3分22:210q x x a -+-≥，[(1)][(1)]0x a x a --⋅-+≥，∵ 0a >，∴11a a -<+.解得11x a x a +-≥或≤. …………………………6分 记{1B x x a =+≥或}1x a -≤.∵p ⌝是q 的充分不必要条件，∴ A B ⊂， ……………………………………8分即 121100a a a --⎧⎪+⎨⎪>⎩≥≤， ……………………………………10分∴03a <≤. ……………………………………12分 （18）解：()[]x x x e a x a x e a ax x e a x x f 2)2()()2(22'+++=++++=,0)2)((=++=x e x a x ………………………………………..4分,2,-=-=∴x a x2, 2a a ∴--≤≥. ……………………..6分当x 变化时，()()x f x f,'的变化如下表所示：………………………………………..9分由表可知，2min ()(2)(42)3f x f a a e -=-=-+=，解得2432)a e =-(≤. ………………………………………..12分 （19）解： 设圆心P 的坐标为(,)m n . ∵P 过点F,B,C 三点，∴圆心P 既在FC 的垂直平分线上，也在BC 的垂直平分线上，-----------------------------2分 FC 的垂直平分线方程为12cx -=. ① -----------------------------4分 ∵BC 的中点为1(,)22b ，BC k b =-， ∴BC 的垂直平分线方程为11()22b y x b -=-，② -----------------------------6分 由①、②得21,22c b c x y b--==，即21,22c b cm n b --== . ------------------------8分∵P (,)m n 在直线0x y +=上，∴21022c b cb--+=⇒(1)()0b b c +-=. ∵10b +> ∴b c = .由221b c =-得212b =. ……………………………………11分 ∴椭圆的方程为2221x y +=. ……………………………………12分（20）解：（Ⅰ）2()(1)1f x ax a x '=-++， …………………………………2分 由导数的几何意义得(2)5f '=，于是3a =．∴ 32()2f x x x x b =-+-. …………………………………3分 由切点(2,(2))P f 在直线54y x =-上，∴ (2)524f =⨯-，即26b +=， 解得4b =．所以函数()f x 的解析式为32()24f x x x x =-++. ……………………………6分（Ⅱ）21()(1)1()(1)f x ax a x a x x a'=-++=--，……………………………7分 ① 当01a <<时，11a>，函数()f x 在区间(, 1)-∞及1(, )a +∞上为增函数；在区间1(1, )a上为减函数； …………………………………9分 ② 当1a >时，11a<，函数()f x 在区间1(, )a -∞及(1, )+∞上为增函数；在区间1(, 1)a上为减函数. …………………………………12分 （21）解：设AB 所在直线的方程为y x m =+，由2234x y y x m⎧+=⎨=+⎩，得2246340x mx m ++-=． ………………………………….4分 ∵A 、B 在椭圆上，∴212640m ∆=-+>． ………………………………5分 设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，，则1232m x x +=-，212344m x x -=，所以12AB x =-=． ………………………………….8分又因为BC 的长等于点(0)m ，到直线l 的距离，即BC =所以，22222210(1)11AC AB BC m m m =+=--+=-++．所以，当1m =-时，AC 边最长，（这时12640∆=-+>）此时AB 所在直线的方程为1y x =-． ………………………………………….12分 （22）解：（I ）2y ax '=-，切线的斜率为2at -，∴切线l 的方程为2(1)2()y at at x t --=--令0,y =得22221121222at at at at x t at at at --++=+==. …………………..3分 21(,0)2at M at+∴,令0t =,得2222121, (0,1)y at at at N at =-+=+∴+.MON ∴∆的面积222211(1)()(1)224at at S t at at at ++=⋅+=. …………………..6分(Ⅱ) 2422222321(1)(31)()44a t at at at S t at at +-+-'== . …………………..8分 0,0a t >>,由()0S t '=,得2310at -=， ∴t =. 当2310,at t ->>即时, ()0S t '>； 当2310,0at t -<<<即时, ()0S t '<. ,()t S t ∴=当有最小值. …………………..11分已知在12t=处, ()S t取得最小值,12=，∴43a=.故当41,32a t==时,2min41(1)1234()()4123432S t S+⋅===⋅⋅. …………………..14分。
山东省潍坊诸城市2021-2022高一数学下学期期中试题（含解析）本试卷共4页.满分150分.注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.3，第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.角θ的顶点在坐标原点，始边在x 轴正半轴上，且终边过点(3,4)P -，则tan θ=（ ） A.43B. 43-C.34D. 34-【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合任意角的三角函数值的定义运算即可得解. 【详解】由题意可得44tan 33y x θ===--. 故选：B.【点睛】本题考查了任意角三角函数值的定义，考查了运算求解能力，属于基础题. 2.向量a 、b 满足2a =，3b =，且向量a 与b 的夹角为6π，则a b ⋅=（ ）A. 3B. 3-C. 5D. 4【答案】A 【解析】【分析】利用平面向量数量积的定义可计算出a b ⋅的值. 【详解】2a =，3b =且向量a 与b 的夹角为6π，所以，cos236a b a b π⋅=⋅==. 故选：A.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查计算能力，属于基础题. 3.一个扇形的圆心角为150°，面积为53π，则该扇形半径为（ ）A. 4B. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】利用扇形的面积公式：212S R α=⋅，即可求解. 【详解】圆心角为51506πα==，设扇形的半径为R ，2215152326S R R ππα=⋅⇒=⨯，解得2R =. 故选：D【点睛】本题考查了扇形的面积公式，需熟记公式，属于基础题. 4.已知A ，B 为锐角，35cos ,cos 513A B ==，则cos()A B +=（ ） A.5665B. 5665-C. 3365-D.3365【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合同角三角函数的平方关系可得4sin 5A =、12sin 13B =，再由两角和的余弦公式即可得解.【详解】A，B为锐角，35 cos,cos513A B==，∴24sin1cos5A A=-=，212sin1cos13B B=-=，∴3541233cos()cos cos sin sin51351365A B A B A B+=-=⨯-⨯=-.故选：C.【点睛】本题考查了同角三角函数平方关系及两角和的余弦公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.5.如图，在平行四边形ABCD中，,AB a AD b==，E是CD边上一点，且2DE EC=，则AE=（）A13a b+ B.23a b+ C.13a b+ D.23a b+【答案】D【解析】【分析】由题意结合平面向量的线性运算法则、向量的数乘即可得解.【详解】由题意2233DE DC AB==，所以232323AE AD DE AD DC AD AB a b+=+=+=+=.故选：D.【点睛】本题考查了平面向量线性运算法则及平面向量数乘的应用，考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题.6.若cos222sin4απα=-⎛⎫-⎪⎝⎭，则cos sinαα+=（）A. 2B. 1C.12D. 12-【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合三角恒等变换可得cos2α()1cos sin 2αα=-，再由余弦的二倍角公式即可得解. 【详解】cos 222sin 4απα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴22cos 2sin sin cos cos sin 24244πππαααα⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()2221sin cos cos sin 2222αααα⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭， 且22sin sin cos 0422πααα⎛⎫-=-≠ ⎪⎝⎭即cos sin 0αα-≠， 又()()22cos2cossin cos sin cos sin ααααααα=-=+-，∴()()()1cos sin cos sin cos sin 2αααααα+-=-即1cos sin 2αα+=. 故选：C.【点睛】本题考查了三角恒等变换的应用，考查了运算求解能力，牢记公式、合理变形是解题关键，属于基础题.7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央.出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池1丈见方（即10CD =尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺，将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示）.试问水深是多少尺？（ ）A. 11B. 12C. 13D. 14【答案】B【解析】 【分析】如图，设BC x =，则1AC x =+，在Rt ABC 中，利用勾股定理即可求解. 【详解】设BC x =，则1AC x =+，5AB =，在Rt ABC 中，()22251x x +=+， 解得12x =. 故选：B【点睛】本题考查了勾股定理解三角形，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 8.已知0x 是函数()sin 2cos f x x x =+的最大值点，则0sin x =（ ） 5 21525D.15【答案】A 【解析】 【分析】化简()()5f x x ϕ=+，根据最值得到022x k πϕπ=-+，代入计算得到答案.【详解】()()sin 2cos 5f x x x x ϕ=+=+，其中25sin ϕ=5cos ϕ=， 当022x k πϕπ+=+，k Z ∈，即022x k πϕπ=-+，k Z ∈时，函数有最大值，此时05sin si 2n s 2co k x ϕπϕπ⎛⎫==-+=⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查了三角函数最值，辅助角公式，意在考查学生的计算能力和转化能力. 二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的的0分.9.下列结论中正确的是（ ） A. 21203π︒=B. 若α是第三象限角，则cos 0α<C. 若角α的终边过点(3,4)(0)P k k k ≠，4sin 5α D. 44cos sin cos2-=ααα 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用角度值与弧度制的互化可判断A ；利用三角函数的象限符号可判断B ；利用三角函数的定义可判断C ；利用同角三角函数的基本关系以及二倍角公式可判断D. 【详解】对于A ，21201201803ππ︒=⨯=，故A 正确； 对于B ，由三角函数的象限符号可知，若α是第三象限角，则cos 0α<，故B 正确； 对于C ，角α的终边过点(3,4)(0)P k k k ≠， 则2244sin 5534k k kkα，故C 错误；对于D ，()()442222cossin cos sin cos sin αααααα-=+-22cos sin cos 2ααα=-=，故D 正确.故选：ABD【点睛】本题考查了角度值与弧度制的互化、三角函数的象限符号、三角函数的定义、同角三角函数的基本关系以及二倍角公式，考查了三角函数的基本知识，属于基础题. 10.已知1a =，()3,4b =，则以下结论正确的是（ ） A. 若//a b ，则6a b += B. 若a b ⊥，则a b a b +=- C. 若//a b ，则34,55a ⎛⎫= ⎪⎝⎭D. a b -的最小值为4【答案】BD【解析】 【分析】由//a b ，得出a b a b +=±，进而可判断出A 选项的正误；验证2a b +与2a b -之间的等量关系，可判断B 选项的正误；由//a b 得出b a b=±，可判断出C 选项的正误；由向量模的三角不等式可判断D 选项的正误. 【详解】()3,4b =，则2345b =+=.对于A 选项，若//a b ，则a b a b +=±，所以，6a b +=或4a b +=，A 选项错误； 对于B 选项，若a b ⊥，则0a b ⋅=，()2222222a b a ba ab b a b ∴+=+=+⋅+=+，()2222222a b a ba ab b a b -=-=-⋅+=+，则22a b a b +=-，a b a b ∴+=-，B 选项正确；对于C 选项，若//a b ，且1a =，则b a b=±，34,55a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭或34,55a ⎛⎫=--⎪⎝⎭，C 选项错误；对于D 选项，由向量模的三角不等式可得4a b a b -≥-=，D 选项正确. 故选：BD.【点睛】本题考查与平面向量相关命题真假的判断，考查了向量模的三角不等式、单位向量的坐标运算以及利用向量垂直的表示的应用，考查计算能力，属于基础题.11.若24m x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，则m 的取值可能为（ ）A. 1 2+D. 2【答案】AC 【解析】 【分析】由题意结合三角函数图象与性质可得当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦24x π⎛⎫⎡+∈- ⎪⎣⎝⎭，即可得解【详解】0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴24x π⎛⎫⎡+∈- ⎪⎣⎝⎭，又24m x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，∴m ⎡∈-⎣，对比选项，可得选项A 、C 符合要求. 故选：A 、C.【点睛】本题考查了三角函数图象与性质的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 12.将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，再将图象向右平移4π个单位，得到函数()g x 的图象，则下列结论正确的是（ ） A. 512x π=是函数()g x 图象的一条对称轴 B. 7,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()g x 图象的一个对称中心 C. ()g x 在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D. 若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为2π【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角函数平移伸缩变换法则得到解析式，再根据三角函数的对称性，单调性和最值依次判断每个选项得到答案. 【详解】()sin 2sin 2463g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当512x π=时，232x ππ-=，故512x π=是函数()g x 图象的一条对称轴，A 正确；当712x π=-时，3232x ππ-=-，故7,012π⎛⎫-⎪⎝⎭不是函数()g x 图象的对称中心，B 错误；5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,322x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故()g x 在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，C 正确；()()122f x f x -=，故12x x -的最小值为22T π=，D 正确. 故选：ACD.【点睛】本题考查了三角函数平移伸缩变换，对称性，单调性和最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.5sin3π=____________.【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求解.【详解】5sinsin 2sin sin 3333πππππ⎛⎫⎛⎫=-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为： 【点睛】本题考查了诱导公式、特殊角的三角函数值，需熟记公式，属于基础题. 14.已知{,}a b 是平面向量的一组基底，实数x ，y 满足34(1)(2)a b x a y b +=-+-，则x y +=_________.【答案】2 【解析】 【分析】由题意结合基底的概念、平面向量基本定理可得1324x y -=⎧⎨-=⎩，即可得解.【详解】{,}a b 是平面向量的一组基底，且34(1)(2)a b x a y b +=-+-，∴1324x y -=⎧⎨-=⎩，解得42x y =⎧⎨=-⎩，∴()422x y +=+-=.故答案为：2.【点睛】本题考查了基底的概念与性质，考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题. 15.如图所示，把一个物体放在倾斜角为30°的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G ，沿着斜面向上的摩擦力1F ，垂直斜面向上的弹力2F ．已知180N F =，则G 的大小为________，2F 的大小为________．【答案】 (1). 160N (2). 803N 【解析】 【分析】由向量分解的平行四边形法则，可得12||||sin 30,cos30||||o o F F G G ==，即得解. 【详解】如图，由向量分解的平行四边形法则，12||||sin 30,cos30||||o o F F G G == 计算可得：2160,803G N F N == 故答案为：160,803N N【点睛】本题考查了向量的平行四边形法则在力的分解中的应用，考查了学生数学应用，综合分析，数学运算能力，属于基础题.16.()sin 501︒︒ 的值__________. 【答案】1 【解析】 【分析】 由sin10tan10cos10︒︒=︒，结合辅助角公式可知原式为2sin50sin 40cos10︒︒︒，结合诱导公式以及二倍角公式可求值.【详解】解： ()cos10sin501sin50cos10︒+︒︒+︒=︒⨯︒()2sin50cos30sin10sin 30cos102sin50sin 402sin50cos50cos10cos10cos10︒︒︒+︒︒︒︒︒︒===︒︒︒()sin 10902sin50cos50sin100cos101cos10cos10cos10cos10︒+︒︒︒︒︒====︒︒︒︒.故答案为:1.【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式，考查了辅助角公式，考查了诱导公式.本题的难点是熟练运用公式对所求式子进行变形整理.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知非零向量a 与b 不共线，,,3OA a OB b OC ta b ===+. （1）若230OA OB OC +-=，求t 的值； （2）若A 、B 、C 三点共线，求t 的值. 【答案】（1）2t =（2）2t =- 【解析】 【分析】（1）由题意结合平面向量数乘的概念即可得解；（2）由题意结合平面向量共线定理、平面向量线性运算法则可得2b a ta b λλ-=+，再由平面向量基本定理即可得解.【详解】（1）∵230OA OB OC +-=，∴23(3)0a b ta b +-+=， ∴(2)0t a -=，∵0a ≠，∴20-=t ，∴2t =；（2）∵A 、B 、C 三点共线，∴存在非零实数λ使AB BC λ=， ∴()OB OA OC OB λ-=-即[(3)]b a ta b b λ-=+-， ∴2b a ta b λλ-=+，∵a 与b 不共线，∴121t λλ=⎧⎨-=⎩，∴2t =-.【点睛】本题考查了平面向量数乘的应用，考查了平面向量线性运算法则、共线定理及平面向量基本定理的应用，属于中档题. 18.已知3sin 5α=-，且α是第________象限角.从①一，②二，③三，④四，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你的选择，解答以下问题： （1）求cos ,tan αα的值；（2）化简求值：3sin()cos()sin 2cos(2020)tan(2020)πααπαπαπα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭+-【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）1625【解析】 【分析】（1）考虑α为第三象限或第四象限角两种情况，根据同角三角函数关系计算得到答案. （2）化简得到原式2cos α=，代入数据计算得到答案.【详解】（1）因为3sin 5α=-，所以α为第三象限或第四象限角；若选③，4sin 3cos ,tan 5cos 4αααα==-==；若选④，4sin 3cos ,tan 5cos 4αααα====-； （2）原式sin cos (cos )cos tan()ααααα-=-sin cos tan ααα-=-sin cos sin cos αααα=2cos α=2315⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1625=. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系，诱导公式化简，意在考查学生的计算能力和转化能力.19.向量(2,4),(,2)a b x =-=-. （1）若//()a a b +，求b ； （2）若12a a b ⎛⎫⊥-⎪⎝⎭，求a 与b 所成夹角的余弦值.【答案】（1）(1,2)b =-（2 【解析】 【分析】（1）由题意结合平面向量线性运算的坐标表示、平面向量共线的坐标表示即可得解； （2）由题意结合平面向量线性运算的坐标表示、平面向量垂直的坐标表示可得9x =-，再利用cos ,||||a ba b a b ⋅=即可得解.【详解】（1）∵(2,4),(,2)a b x =-=-，∴(2,4)(,2)(2,2)a b x x +=-+-=-，又//()a a b +，∴2224x -=-，解得1x =， ∴(1,2)b =-；（2）∵12a a b ⎛⎫⊥- ⎪⎝⎭，11(2,4)(,2)(1,4)22a b x x -=---=--，∴1(2,4)(1,4)2(1)1602a a b x x ⎛⎫⋅-=-⋅--=---+=⎪⎝⎭，解得9x =-， ∴(9,2)b =--，∴cos ,||||a b a b a b ⋅====. 【点睛】本题考查了平面向量线性运算的坐标表示、平面向量共线与垂直的坐标表示，考查了利用平面向量的数量积求向量的夹角，属于基础题.20.函数23()cos 3cos2f x x x x ωωω=-+，且函数()f x 的最小正周期为π.（1）求ω及函数()f x 对称中心；（2）在给出的坐标系中用五点法做出函数()y f x =在[0,]x π∈上的图像，并求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值及取最大值时x 的值. 【答案】（1）1ω=；对称中心为,0()212k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭（2）作图见解析；3x π=时，()f x 取得最大值为3 【解析】 【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得()3sin 26f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，由22T πω=即可求得ω；令2()6x k k Z ππ-=∈即可求得对称中心；（2）由题意列表作图即可得函数的图象；由02x π≤≤可得52666x πππ-≤-≤，利用三角函数的图象与性质即可求得函数的最大值及取最大值时x 的值. 【详解】（1）由题意23()33sin cos 3cos 2f x x x x ωωω=-+331cos 23333232cos 23sin 2222226x x x x x ωπωωωω+⎛⎫=-⨯+=-=- ⎪⎝⎭， 因为函数()f x 的最小正周期T π=，所以22ππω=，所以1ω=； 令2()6x k k Z ππ-=∈，解得()212k x k Z ππ=+∈， 所以函数()f x 的对称中心为,0()212k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭； （2）列表如下：x12π3π 712π 56π π 26x π-6π-2π π32π 116π3sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭ 32-0 3 03- 32-作图如下：因为02x π≤≤，所以52666x πππ-≤-≤， 所以当226x ππ-=即3x π=时，()f x 取得最大值为3. 【点睛】本题考查了三角恒等变换与三角函数性质的综合应用，考查了运算求解能力，熟练掌握知识点是解题关键，属于中档题.21.如图所示，ABC 中，,AB a AC b ==，D 为AB 中点，E 为CD 上一点，且3DC EC =，AE 的延长线与BC 的交点为F .（1）用向量a 与b 表示AE ；（2）用向量a 与b 表示AF ，并求出:AE EF 和:BF FC 的值. 【答案】（1）1263AE a b =+，（2）1455AF a b =+，:5:1,:4:1AE EF BF FC == 【解析】 【分析】（1）34AE AD DE AD DC =+=+，再用a ，b 表示即可； （2）设,AF xa yb =+由,,A E F 三点共线，存在λ，使AF AE λ=，,x y 可用λ表示，然后再由C ，F ，B 三点共线有1x y +=，可求得,,x y λ．有了λ可得:AE EF ， 把,BF FC 用a ，b 表示后可得:BF FC ． 【详解】（1）3,DC EC E =∴是线段CD 的一个三等分点（靠近C 点）.又D 为AB 中点，112221,223333CD AB AC a b DE DC CD b a ∴=-=-==-=-， 故1211223363AE AD DE a b a a b ⎛⎫=+=+-=+ ⎪⎝⎭. （2）设,,,AF xa yb A E F =+三点共线，∴存在λ，使AF AE λ=.由（1）知，1222,,,636363AE a b AF a b x y λλλλ=+∴=+∴==. 又C ，F ，B 三点共线，1x y ∴+=，即261,635λλλ+=∴=. 1414,5555x y AF a b ∴==∴=+.65AF AE ∴=，即6,5,:5:15AE EF AE AE EF AE EF +=∴=∴=.14445555BF AF AB a b a a b =-=+-=-+，1411()5555FC AC AF b a b a b =-=-+=-+，∴4BF FC =，∴:4:1BF FC =． 综上，14,:5:1,:4:155AF a b AE EF BF FC =+== 【点睛】本题考查平面向量基本定理，考查平面向量在平面几何中的应用．平面向量解平面几何问题，主要利用平面向量的线性运算，特别是三点共线与向量共线的关系．需要灵活应用．22.函数()3sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B ，C 为()f x 的图象与x 轴的交点，且ABC 为等边三角形.将函数()f x 的图象上各点的横坐标变为原来的π倍后，再向右平移23π个单位，得到函数()y g x =的图象.（1）求函数()g x 的解析式；（2）若不等式23sin (2)33m x mg x m π--≤+对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1()3sin 2g x x =（2）3,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）由题意结合平面几何的知识可得4T =，再由2T πω=即可得ω，再利用三角函数图象变换的规律即可得解；（2）由题意结合诱导公式、同角三角函数平方关系转化条件得2cos cos 30m x m x ++≥在R 上恒成立，令cos ,[1,1]x t t =∈-，按照0m =、0m <、0m >分类，结合二次函数的性质即可得解.【详解】（1）由题意点A ABC 为等边三角形， 所以三角形边长为2，所以24T πω==，解得2πω=，所以()23f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象上各点的横坐标变为原来的π倍后，得到1()23h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向右平移23π个单位，得到121()2332g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（2）由题意(2)2g x x x ππ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以22sin (2)sin cos 33m x m g x m x m x m π-⋅-=-≤+恒成立， 原不等式等价于2cos cos 30m x m x ++≥在R 上恒成立.令cos ,[1,1]x t t =∈-，即230mt mt ++≥在[1,1]t ∈-上恒成立，设2()3t mt mt ϕ=++，对称轴12t =-， 当0m =时，()30t ϕ=≥成立；当0m <时，min ()(1)230t m ϕϕ==+≥，解得32m ≥-，此时302m -≤<；当0m >时，min 1()30242m mt ϕϕ⎛⎫=-=-+≥ ⎪⎝⎭，解得12m ≤，此时012m <≤； 综上，实数m 的取值范围为3,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了三角函数图象的变换与性质的应用，考查了换元法求最值及恒成立问题的解决方法，属于中档题.。
2011-2012学年度假期高三年级假期学习效果检没考试数学理科试题本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．第I 卷(选择题 共60分)一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分。
）1．已知集合{1,0,1}A =-，则 ( )A ．1i A +∈B ．21i A +∈C ．31i A +∈D ．41i A +∈2．若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为 ( )A 30°B 60°C 120°D 150°3．设.R a ∈则”“0112<+--a a a 是“1<a ”成立的 ( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既非充分也非必要条件 4．已知命题P ：“2,230x R x x ∀∈++≥”，则命题P 的否定为A.2,230x R x x ∀∈++<B. 2,230x R x x ∃∈++≥C. 2,230x R x x ∃∈++<D. 2,230x R x x ∃∈++≤ 5．设函数()m f x x ax =+的导函数'()21f x x =+，则21()f x dx -⎰的值等于( )A.56B.12C.23D.16 6．函数)(1)4cos()4sin(2)(R x x x x f ∈-+-=ππ是（ ）A. 最小正周期为π2的奇函数B. 最小正周期为π的奇函数C. 最小正周期为π2的偶函数D. 最小正周期为π的偶函数7．已知一个空间几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得33C 3cm8.若直线:30:(1)0l ax y m a x ay +-=--=与垂直，则a =（ ）主视图 左视图 俯视图A ．2 B.12-C. 12- D.0或29．已知数阵中，每行的三个数依次成等差数列，每列的三个数也依次成等差数列，若224a =，则所有这九个数的和为( )A. 16B. 32C. 36D.4010．设双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>的一条渐近线与抛物线2y x =的一个交点的横坐标为001,2x x >若，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（ ）A． B． C．)+∞ D．)+∞ 11．已知集合{}2224312(,),,,(,)()(),,,04312x y M x y x y R N x y x a y b r a b R r x y ⎧⎫⎧-≤⎪⎪⎪=∈=-+-=∈>⎨⎨⎬+≤⎪⎪⎪⎩⎩⎭若存在R b a ∈,，使得M N ⊆，则r 的最大值是 ( ) A ．3 B ．5.2 C. 4.2 D. 2 12．已知函数12||4)(-+=x x f 的定义域是[a ，b ]（a ，b ∈Z ），值域是[0，1]，则满足条件的整数对（a ，b ）共有（ ）A ．2个B ．5个C ．6个D ．无数个第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案须填在题中横线上．13．已知函数=-)]4([f f _______________.14.右面的程序框图输出的数值为____________. 15 ．已知平面βα,和直线，给出条件： ①α//m ；②α⊥m ；③α⊂m ； ④βα⊥；⑤βα//.111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（i ）当满足条件 时，有β//m ； （ii ）当满足条件 时，有β⊥m .（填所选条件的序号）16．抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，点(4,4)M 是抛物线上一点，则经过点F ，M 且与l 相切的圆共有_________个.三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、,向量(4,1),m =-2(cos ,cos 2)2A n A =，且72m n⋅=． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =b c ⋅取得最大值时ABC ∆形状．18．（本题满分12分） 如图，在正三棱柱DEF ABC —中， .1,2==AD AB P 是CF 的沿长线上一点， .t FP =过P B A ,,三点的平面交FD 于M ，交FE 于.N （Ⅰ）求证：MN ∥平面CDE ；（Ⅱ）当平面⊥PAB 平面CDE 时，求t 的值.19.（本小题满分12分）某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3000平方米，其中场地四周（阴影部分）为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S 平方米.⎪⎩⎪⎨⎧≤>=，，0,)21(0,)(21x x x x f x（1）分别写出用x 表示y 和用x 表示S 的函数关系式（写出函数定义域）； （2）怎样设计能使S 取得最大值，最大值为多少？20（本小题满分12分）设曲线1*:()()n n C f x x n N +=∈在点11,()22P f ⎛⎫-- ⎪⎝⎭处的切线与y 轴交于点(0,)n n Q y .（1）求数列{}n y 的通项公式；（2）设数列{}n y 的前n 项和为n S ，求n S .21．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ， 点()0,2M 是椭圆的一个顶点，△21MF F 是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为1k ，2k ，且128k k +=，证明：直线AB 过定点（2,21--）．22．（本小题满分14分）已知函数2()(33)x f x x x e =-+⋅，其定义域为[]2,t -（2t >-）.（Ⅰ）试确定t 的取值范围,使得函数()f x 在[]2,t -上为单调函数；（Ⅱ）求证：对于任意的2t >-,总存在0(2,)x t ∈-，满足0'20()2(1)3x f x t e =-,并确定这样的0x 的个数.2011-2012学年度高三假期学习效果检测考试数学（理科）答案一、选择题：BCCCA BCDCB CB二、填空题： 13.4 14.126 15..③⑤, ②⑤ 16.2 三、解答题（Ⅱ）在2222cos ,ABC a b c bc A a ∆=+-中，且222122b c bc ∴=+-⋅ 22b c bc =+-。
山东省寿光市2016-2017学年高一数学下学期第四学段模块监测（期末）试题（扫描版）
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2023-2024学年山东省潍坊诸城市安丘市高密市高一下册期中检测数学模拟试题一、单选题1．已知()1,3a = ，(),6b x = ，若a b ∥，则x =（）A ．2B ．－2C ．1D ．－1【正确答案】A【分析】利用向量共线的坐标表示可求答案.【详解】因为()1,3a = ，(),6b x = ，a b ∥，所以613x =，即2x =.故选：A.2．若α是第四象限角，则πα-是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【正确答案】C【分析】由α是第四象限角得到α的范围，再计算πα-的范围，即可得到πα-所在的象限.【详解】因为α是第四象限角，所以π2π2π,k Z 2k k α-<<Î,所以π2π2π,k Z 2k k α-<-<-Î，所以3ππ2ππ2π,k Z 2k k α-<-<-Î，所以πα-是第三象限角.故选：C3．如图，航海罗盘将圆周32等分，设圆盘的半径为4，则其中每一份的扇形面积为（）A ．2πB ．πC ．π2D ．π4【正确答案】C【分析】先求出圆的面积，再乘以132即可.【详解】因为航海罗盘将圆周32等分，圆盘的半径为4，所以每一份的扇形面积为21ππ4322⨯⨯=.故选：C.4．设1e ，2e是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（）A ．12e e + 和12e e -B ．1223e e - 和1246e e -C ．122e e +和122e e + D ．2e 和12e e + 【正确答案】B【分析】如果两个向量共线便不能作为基底，从而找到共线向量的一组即可，可根据共线向量的基本定理进行判断.【详解】不共线的向量可以作为基底，所以不能作为基底的便是共线向量，显然选项B 中，1212462(23)e e e e -=⨯- ，所以1223e e - 和1246e e -共线.故选:B.5．已知tan 2α=，则2sin sin cos ααα+的值为（）A ．65B ．1C ．45D ．23【正确答案】A【分析】知切求弦，利用商的关系2222sin sin cos sin sin cos sin cos αααααααα++=+，即可得解.【详解】222222sin sin cos tan tan 426sin sin cos sin cos tan 1415ααααααααααα++++====+++，故选：A6．如图，已知OA ，OB ，OC的模均为4，且60AOB BOC ∠=∠=︒，则AC AB =⋅ （）A ．24B ．－24C ．8D ．－8【正确答案】A【分析】由()()OC OA OB O AC B A A =-⋅-⋅，应用向量数量积的运算律及定义求值即可.【详解】由AC OC OA =- ，AB OB OA =-，所以2()()OC OA OB OA OC AC OB OC OA O A A OB OAB =-⋅-=⋅⋅-⋅-⋅+8881624=+-+=.故选：A7．如图所示，角α的终边与单位圆在第一象限交于点P ，且点P 的横坐标为35，OP 绕O 逆时针旋转π2后与单位圆交于点Q ，角β的终边在OQ 上，则（）A ．4sin 5β=B ．3cos 5β=-C ．24cos()25αβ+=D ．7sin()25αβ+=-【正确答案】D【分析】由已知可得3cos 5α=，4sin 5α=，π2βα=+，用诱导公式即可得出sin β和cos β，又由π22αβα+=+用诱导公式和二倍角公式得()sin αβ+，cos()αβ+，即可判断选项是否正确.【详解】由三角函数定义可知3cos 5α=，又22sin cos 1,αα+=α为第一象限角，所以4sin 5α=；又π2βα=+，所以sin sin cos 5π23αβα⎛⎫=== ⎪⎭+⎝,4cos cos sin 5π2αβα⎛⎫==-+=- ⎪⎝⎭.故A ，B 错误；因为π2βα=+，所以π22αβα+=+，所以()πsin sin 22αβα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭27cos 22cos 125αα==-=-.()πcos cos 2sin 22sin cos 22524αβαααα⎛⎫+=+=-=-=- ⎪⎝⎭.故C 错误，D 正确；故选：D8．已知函数()sin sin f x x x =+，则（）A ．()f x 是周期函数B ．()f x 在区间π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减C ．()f x 的图象关于直线π2x =对称D ．()f x 的图象关于点()π,0对称【正确答案】B【分析】利用绝对值的定义及正弦函数的图象及性质，作出函数()f x 图象,结合函数()f x 的图象即可求解.【详解】由题意可知，()2sin ,0sin sin 0,0x x f x x x x ≥⎧=+=⎨<⎩，作出函数()f x的图象，如图所示，由图像可知，当0x ≥时，()f x 是周期函数，当0x <时，()0f x =是常数函数，故()f x 是不周期函数，故A 错误；()f x 在区间π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，故B 正确；()f x 的图象不关于直线π2x =对称，故C 错误；()f x 的图象不关于点()π,0对称，故D 错误.故选:B.二、多选题9．下列说法中正确的是（）A ．a a 是与非零向量a共线的单位向量B ．若a 与b 共线，则a b = 或a b=-C ．若0a = ，则0a =D ．若a b ⊥ ，a c ⊥ ，则b c∥ 【正确答案】AC【分析】根据数乘向量的意义可判断A ；根据两向量共线的定义可判断B ；根据零向量的定义可判断C ；根据零向量与其他向量的关系可判断D.【详解】对于A ：根据数乘向量的意义得1a aa a ==，且a a 的方向与a 的方向相同，所以选项A正确；对于B ：若a 与b 共线，则a 与b 的方向相同或相反，或者a 或b 为零向量，但a 与b的模不一定相等，所以不一定得到a b = 或a b =-，所以选项B 错误；对于C ：根据零向量的定义知选项C 正确；对于D ：当0a =时，得不到b 与c 平行，故选项D 错误；故选：AC.10．设平面向量a ，b ，2a = ，2b = ，a 在b方向上的投影向量为c ，则（）A ．a b ⋅的最大值为4B ．a b -最大值为2C ．4b c ⋅≤ D ．a b a c⋅=⋅r r r r 【正确答案】AC【分析】设a 与b 的夹角为θ，则由数量积的公式可得4cos 4a b θ=≤⋅，42b c c ⋅=≤ ，当θ为锐角时，4cos a c θ<⋅，即可判断A ，C ，D ，由向量的求模公式可得4a b -=≤ 即可判断B.【详解】设a 与b的夹角为θ，对于选项A ，cos 4cos a b a b θθ=⋅=⋅ ，因为1cosθ1-＃，所以4a b ⋅≤ ，即a b ⋅ 的最大值为4，故选项A 正确.对于选项B ，4a b -=，所以a b -最大值为4，故选项B 错误.对于选项C ，因为a 在b 方向上的投影向量为c ，所以b 与c 的夹角为0 或180，2c ≤ ，所以222b c b c c ⋅=⋅=≤⨯ ，即4b c ⋅≤ ，故选项C 正确.对于选项D ，当θ为锐角时，2c < ，cos 4cos a b a b θθ=⋅=⋅，cos 2cos 4cos a c a c c θθθ==⋅⋅<，故选项D 错误.故选：AC11．如图（1）所示的摩天轮抽象成如图（2）所示的平面图形，然后以摩天轮转轮中心为原点，以水平线为x 轴，建立平面直角坐标系，设O 到地面的高OT 为m l ，点P 为转轮边缘上任意一点，点P 在x 轴上的垂足为M ，转轮半径为m r ，记以OP 为终边的角为rad α，点P 离地面的高度为m h ，则（）A ．点P 坐标为()cos ,sin r r ααB ．22MT r l=+ C ．OP OT lr⋅≤ D ．sin h l r α=+【正确答案】ACD【分析】由三角函数定义可求点P 坐标及MP 的长度，从而可判断选项A 、D,由向量的加法可知MT MO OT =+，再求出其模，从而判断选项B ，由平面向量数量积的定义可判断选项C.【详解】设点(,)P x y ，由三角函数定义sin yr α=，cos x rα=，从而可得点P 坐标为()cos ,sin r r αα，所以选项A 正确；因为MT MO OT =+，所以22222()2MT MO OT MO OT M MO l O OT ++===++⋅ 只有当α的终边落在x 轴上时，22MO r = ，所以选项B 错误；因为cos cos ,(cos 1)OP OT OP OT lr lr θθθ⋅=⋅=≤≤ ，所以选项C 正确;当α的终边在第一、二象限或y 轴正半轴上时，sin h OT MP l r α=+=+；当α的终边在第三、四象限或y 轴负半轴上时，因为sin MP r α=-，此时sin h OT MP l r α=-=+；当α的终边x 轴上时，sin 0α=，此时sin h OT l r α==+，所以，不管α的终边在何处，都有sin h l r α=+，所以选项D 正确.故选：ACD12．已知函数()sin()f x A x B ωϕ=++（其中A ，ω，ϕ，B 均为常数，0A >，0ω>，π<ϕ）的部分图像如图所示，则（）A ．9π10ϕ=B ．4()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭C ．()f x 图像的对称中心为5π3π,(Z)6122k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭D ．函数4π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数【正确答案】ABD【分析】先由图像求出,,,A B ωϕ，得到()f x 的解析式，即可判断选项A 正确；求出4π3f ⎛⎫⎪⎝⎭，化简得3π3sin 222+，由当π2α=时，sin α有最大值可判断选项B 正确；求出()f x 图像的对称中心，取适当的k 值，，即可判断选项C 错误；求出4π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，化简得363cos 252x +，由66cos cos 55x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭-，即可判断选项D 正确.【详解】由图可知()f x 的最大值为3，最小值为0，则332032A AB A B B ⎧=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⎩⎪=⎪⎩，因为ππ5π2236T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以5π2π3T ω==，所以65ω=，所以函数解析式363sin 252y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数图像上，∴36π36πsin 0sin 1252252y ϕϕ⎛⎫⎛⎫=⨯++=⇒⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则6π3π2π,Z 522k k ϕ=⨯++∈，解得92,Z π10πk k ϕ+=∈，πϕ< ，∴取0k =，则9π10ϕ=，∴函数解析式为3693sin π25102y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.故选项A 正确.因为2442π36933533π3sin πsi πn πsin 25102222332f ⎛⎫⎛⎫=⨯++=+=+ ⎪ ⎭⎛⎫⎪⎭⎪ ⎝⎝⎝⎭，因为当π2α=时，sin α有最大值，所以4()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，故选项B 正确.()f x 图像的对称中心满足Z 6π,9π510x k k +∈=，解得Z 35π+π4,6x k k =∈-，等价于5ππ,Z 612x k k +=∈，所以()f x 图像的对称中心为5π3π,(Z)6122k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭故选项C 错误.36933653sin πsin 25102252244πππ33f x x x ⎛⎫=⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎡⎤⎛⎫=+++⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎝⎦⎭⎭36π3363sin cos 2522252x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝+⎭，因为66cos cos 55x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭-，所以函数4π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数.故选项D 正确.故选：ABD 三、填空题13．记()cos 55k -︒=，那么tan125︒=______．【正确答案】【分析】取P 的坐标为(,k ，55-︒与125︒的终边关于原点对称，故(Q k -在125︒的终边上，计算得到答案.【详解】在55-︒的终边上取一点P ，使1OP =，则P 的坐标为(,k .因为55-︒与125︒的终边关于原点对称，所以点P 关于原点对称的点(Q k -在125︒的终边上，所以12n 5ta kk -︒-=.故k-14．写出一个最小正周期为6的奇函数()f x =______．【正确答案】πsin 3x ⎛⎫⎪⎝⎭（答案不唯一）【分析】此题答案不唯一，只要满足最小正周期为6且为奇函数即可.【详解】π(3)sin f x x ⎛⎫⎪⎝⎭=的最小正周期为2π6π3T ==,且定义域为R ，同时ππsin s )3(n (i 3)f x x f x x ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭-⎝-⎭=满足题意.故πsin 3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭15．设函数π()cos (0)4f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若π()3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则ω的最小值是______．【正确答案】34/0.75【分析】由恒成立问题，求出函数最值，利用最值的性质进行求值即可.【详解】因为π()3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，所以()f x 在π3x =时取得最大值，所以πππcos 1334f ω⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则ππ2π,Z 34k k ω-=∈，则36,Z 4k k ω=+∈，又因为0ω>，所以当=0k 时，ω取得最小值为34.故答案为.3416．已知平面向量a ，b ，c满足，3a b == ，26b c a c -=-= ，(0,0)c a b λμλμ=+>> ．当3λμ+=时，c =______．【正确答案】【分析】通过作图将向量模表示为线段长度，借助几何图形求线段长度即可.【详解】如图，作OA a = ，OB b = ，OC c =，由题意知，6b c -= ，3a c -= ，则3OA OB ==，3,6CA CB ==.设直线OC 与直线AB 交点为P ，则//OP OC，且(1)OP tOA t OB =+- ，0t ≠，即11t OA OP OB t t-=+.因为(0,0)c a b λμλμ=+>>，且3λμ+=，所以(3)OC OA OB λλ=+- 11(3)t OP OB OB t t λλ-⎛⎫=++- ⎪⎝⎭(3)OP OB t t λλλλ=+--+ (3)OP OB t tλλ=+- ，故30tλ-=，即3t λ=，所以3OC OP = .作OG AB ⊥于G ，CH AB ⊥于H ，则OGP 与CHP V 相似，且相似比为1:2，所以2CH OG =.设OBA θ∠=，则3cos BG θ=，3sin OG θ=，又OA OB =，所以3cos AG BG θ==，所以26sin CH OG θ==.在Rt CBH △中，22BH BC CH =-23636sin 6cos θθ=-=,又6cos 3cos 3cos AG BG AB θθθ=+=+=，所以0AH =，即点H 与点A 重合，故π2BAC ∠=，所以226cos 36933AB BC AC θ==-=-=，故3cos 2θ=，1sin 2θ=.又OGP 与CAP 相似，且相似比为1:2，于是1cos 3GP AG θ==32=，3sin OG θ=32=，所以在Rt OGP △中，223OP GP OG =+=.从而33OC =，故33c = .故答案为.33四、解答题17．写出两角差的余弦公式，并利用单位圆以及向量的数量积证明该公式．【正确答案】cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+；证明见解析.【分析】先写出两角差的余弦公式，在单位圆中设,αβ的终边与单位圆相交，写出交点坐标，并计算向量的数量积.再由,2πOP OQ k αβ=-+ 或,2πOP OQ k βα=-+得到()cos ,cos OP OQ αβ=- ，从而证明()cos OP OQ αβ⋅=-，即可证明结论.【详解】公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+证明：如图，在单位圆中，设(cos ,sin )P αα，(cos ,sin )Q ββ，(cos ,sin )(cos ,sin )OP OQ ααββ⋅=⋅ cos cos sin sin αβαβ=+，又存在Z k ∈，使得,2πOP OQ k αβ=-+ 或,2πOP OQ k βα=-+ ，所以()cos ,cos OP OQ αβ=- ，因为1OP OQ == ，所以()cos ,cos OP OQ OP OQ OP OQ αβ⋅==- ，故cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+．18．在如图的方格纸（每个小方格边长为1）上有A ，B ，C 三点，已知向量a 以A 为始点．(1)试以B 为始点画出向量b ，使2b a ⋅= ，且2b = b 的坐标；(2)在（1）的条件下，求()a b BC +⋅ ．【正确答案】(1)作图见解析；()1,1b =± (2)()10a b BC +⋅= 【分析】（1）利用平面向量的坐标运算即可解决；（2）利用平面向量的数量积运算结合分类讨论即可解决.【详解】（1）向量b 满足2b a ⋅= ，且2b =向量()2,0a = ，(),b x y = ，则22x =，得1x =，因为b == ，解得1y =±，所以()1,1b =± ；（2）若()1,1b = ，()3,1a b += ，()3,1BC =- ，所以()()33118a b BC +⋅=⨯+⨯-= ．若()1,1b =- ，()3,1+=- a b ，()3,1BC =- ．所以()()()331110a b BC +⋅=⨯+-⨯-= ．19．已知向量()cos ,sin a θθ= ，(b =- ，ππ23θ-≤≤．(1)当a b ⊥ 时，求θ的值；(2)求a b - 的取值范围．【正确答案】(1)π6θ=3a b ≤-≤【分析】（1）由向量垂直的坐标表示求得tan 3θ=，结合角的范围求大小；（2）利用向量数量积、辅助角公式可得a b - =即可得范围.【详解】（1）因为a b ⊥ ，所以cos 0a b θθ⋅-= ，得tan 3θ=，又ππ23θ-≤≤，所以π6θ=．（2）a b - =因为ππ23θ-≤≤，所以2πππ366θ-≤-≤，则11sin 62πθ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以π354sin 96θ⎛⎫≤--≤ ⎪⎝⎭3a b ≤-≤ ．20．某同学用“五点法”画函数π()sin()0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x 7π125π6x ωϕ+0π2π3π22π()sin A x ωϕ+022-0(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并求出函数()f x 的解析式；(2)先将()y f x =图象上的所有点，向左平移()0m m >个单位，再把图象上所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到()y g x =的图象，若()y g x =的图象关于直线5π24x =对称，求当m 取得最小值时，函数()y g x =的单调递增区间．【正确答案】(1)填表见解析；π()2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)π7πππ,224224k k ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 【分析】（1）由图得2A =，计算得πT =，从而可得2ω=，代入点计算得π6ϕ=-，从而可得函数解析式π()2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据五点法分别计算数据并补全表格；（2）根据三角函数伸缩平移变换规律得函数π()2sin 426g x x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，由对称轴列式计算得m 值，再利用整体法计算函数的单调递增区间.【详解】（1）根据表中已知数据，得2A =，5π7π4π612T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，可得2ω=，当7π12x =时，7π2π12ϕ⨯+=，解得π6ϕ=-，所以π()2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．数据补全如下表：x π12π37π125π613π12x ωϕ+0π2π3π22π()sin A x ωϕ+0202-0（2）将()f x 图象上所有的点向左平移()0m m >个单位长度，得到π2sin 226y x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象，再把所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到()y g x =的图象，所以π()2sin 426g x x m ⎛⎫=+- ⎝⎭因为()y g x =的图象关于直线5π24x =对称，所以5πππ42π2462m k ⨯+-=+，k ∈Z ，解得ππ212k m =-，k ∈Z ，因为0m >，所以min 5π12m =，此时2π()2sin 43g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由π2ππ2π42π232k x k -≤+≤+，k ∈Z ，可得π7πππ224224k k x -≤≤-，k ∈Z ，所以函数()y g x =的单调递增区间为π7πππ,224224k k ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．21．如图，在梯形ABCD 中，13AD BC = ．(1)令AB a =，AC b = ，用a ，b 表示AD ，BD ，CD ；(2)若2AB AD ==，且12AC BD ⋅= ，求cos ABC ∠，AC ．【正确答案】(1)()13AD b a =- ，1433BD b a =- ，1233CD a b =-- (2)12，【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得；（2）首先求出BC ，再根据数量积的运算律及12AC BD ⋅= 得到方程，求出cos ABC ∠，最后根据AC = 及运算律计算可得.【详解】（1）因为BC AC AB b a =-=- ，所以()1133AD BC b a ==- ，114()333BD AD AB b a a b a =-=--=- ，1412()3333CD BD BC b a b a a b =-=---=-- ；（2）因为13AD BC = ，2AD =，所以6BC =，因为22121()333AC BD BC BA BA BC BA BA BC BC ⎛⎫⋅=-⋅+=-+⋅+ ⎪⎝⎭ ，且12AC BD ⋅= ，所以2221262cos 61233ABC -+⨯⨯⨯∠+⨯=，解得1cos 2ABC ∠=，所以1cos ,2BA BC = ，因为2BA = ，6BC = ，所以AC ==22．定义函数()sin cos f x a x b x =+的“积向量”为(),m a b = ，向量(),m a b = 的“积函数”为()sin cos f x a x b x =+．(1)若向量(),m a b = 的“积函数”()f x 满足π10π7tan 9π2114f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭，求b a 的值；(2)已知2m n == ，设(0,0)OP m n λμλμ=+>> ，且OP 的“积函数”为()g x ，其最大值为t ，求()()2t λμ-+的最小值，并判断此时m ，n的关系．【正确答案】(2)最小值为12-，此时m n = 【分析】(1)由题意知向量(),m a b = 的“积函数”为()sin cos f x a x b x =+，把π7和9π14分别代入()f x ，得到π10π7tan 9π2114f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭，化简后令tan b a α=，得π10πtan tan 721α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可求出α，从而求出tan α，即b a的值；(2)设(2cos ,2sin )m αα= ，(2cos ,2sin )n ββ= ，则可得到2sin()2sin()OP x x λαμβ=+++ ，令()2sin()2sin()h x x x λαμβ=+++，由三角函数的有界性得到()22h x λμ≤+，可得2πk αβ=+，代入()h x 消去β得()2()h x λμ≤+，所以2()t λμ=+，把t 代入()()2t λμ-+化为二次函数即可求出最小值及此时m ，n的关系.【详解】（1）由题意知向量(),m a b = 的“积函数”为()sin cos f x a x b x =+，所以ππππππsin cos sin cos tan 7777779π9ππππ9πsin cos cos sin 1tan 141477714b f a b a b a b a b a b f a ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭===⎛⎫+--⨯ ⎪⎝⎭，令tan b a α=，上式化为π10πtan tan 721α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以π10ππ721k α+=+，ππ3k α=+，Z k ∈，即πtan tan 3b a α==；（2）设(2cos ,2sin )m αα= ，(2cos ,2sin )n ββ= ，因为(2(cos cos ),2(sin sin ))OP m n λμλαμβλαμβ=+=++ ，所以()2(cos cos )sin 2(sin sin )cos g x x xλαμβλαμβ=+++2(cos sin sin cos )2(cos sin sin cos )x x x x λααμββ=+++2sin()2sin()x x λαμβ=+++，令()2sin()2sin()22h x x x λαμβλμ=+++≤+，此时存在0x ，满足0102π2π2π2π2x k x k αβ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩.当且仅当0x x =时，等号成立，其中12,Z k k ∈，所以()122πk k αβ-=-，即m n = ，所以2πk αβ=+，Z k ∈，所以()2sin()2sin()2()sin()2()h x x x x λαμβλμαλμ=+++=++≤+，所以2()t λμ=+，此时2(2)(1)1(2)()222t t t t λμ---+==-，所以(1)()t λμ-+的最小值为12-，此时m n = ．。
山东省潍坊市诸城市繁华中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考物理试卷(解析版)第Ⅰ卷（选择题共40分）一、单项选择题（本题有8个小题，共24分。
每个小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，选对的每小题得3分，多选、不选、错选均不得分）1．（3分）如图所示，两个表面光滑的铅块相互挤压后会结合在一起，即使下面吊一个较重的物体也不会将它们拉开（ ）A．分子在不停地运动B．分子间有引力C．分子间有斥力D．分子间有间隙2．（3分）在海边，白天和夜晚的风向不同。
白天，风常常从海面吹向陆地，风却从陆地吹向海面，如图所示。
形成这一现象的主要原因是（ ）A．海水的密度小于陆地砂石的密度B．海水的密度大于陆地砂石的密度C．海水的比热容小于陆地砂石的比热容D．海水的比热容大于陆地砂石的比热容3．（3分）关于温度、热量、内能的说法，正确的是（ ）A．发生热传递时，温度总是从高温物体传递给低温物体B．在相同温度下，1kg的水比1kg的冰含有的热量多C．一块0℃的冰熔化成0℃的水，内能增大D．物体温度升高，内能一定增加，一定要吸收热量4．（3分）礼花喷射器结构如图，气罐内有高压气体，气罐通过气阀与纸筒相连。
使用时转动纸筒打开气阀（ ）A．罐内气体的内能增加B．罐内气体分子热运动加剧C．罐内气体通过热传递方式改变了其内能D．该过程能转化方式与汽油机做功冲程相同5．（3分）如图是一台四冲程内燃机工作循环中的一个冲程。
下列关于该冲程及其能量转化判断正确的是（ ）A．它是柴油机的做功冲程，将机械能转化为内能B．它是汽油机的做功冲程，将内能转化为机械能C．它是柴油机的压缩冲程，将内能转化为机械能D．它是汽油机的压缩冲程，将机械能转化为内能6．（3分）取两个相同的验电器A和B，用与丝绸摩擦过的玻璃棒接触验电器A的金属球，验电器B不带电，A的金属箔张角减少，B的金属箔张开（ ）A．验电器A带负电B．正电荷从A到BC．负电荷从B到A D．电流方向从B到A7．（3分）某品牌滚筒洗衣机，筒门处有开关S1，筒门关闭时S1闭合，筒门打开时S1断开。
济南外国语学校-第二学期 高一数学必修4模块结业考试一、 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的，把正确答案的代号填在括号内.） 1．0120sin 等于（ ）A ．23±B ．23C ．23-D ．21 2．若点P 在3π的终边上，且|OP|=2，则点P 的坐标（ ） A ．)3,1( B ．)1,3(-C ．)3,1(--D ．)3,1(-3．R x x y ∈+=),2cos(π是.A 奇函数.B 偶函数 .C 非奇非偶函数 .D 有无奇偶性不确定4．已知4sin 5α=，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于（ ） A .43- B .34- C .43 D .345.已知 0tan cos <⋅θθ，那么角θ是.A 第一或第二象限角 .B 第二或第三象限角 .C 第三或第四象限角.D 第一或第四象限角6、若sinx=1,则x=（ ） A 、2πB 、)(2Z k k ∈+ππC 、)(22Z k k ∈+ππD 、)(22Z k k ∈-ππ7．设向量)155sin ,25(cos ),25sin ,25(cos oooob a ==→→, 则→→∙b a 的值为（ ） A ．2 B.1 C.22 D.218、下列关系式：（1）=⋅0 （2）c b a ⋅⋅)(=)(c b a ⋅⋅ （3）⋅=⋅ （4）=⋅其中正确的个数是( ) .A 4.B 3.C 2.D 19.函数)2)(sin(2)(πϕϕω<+=x x f 的图像如图所示，那么（ ）.A 6,1110πϕω==.B 6,1110πϕω-==.C 6,2πϕω==.D 12,2πϕω==10. 已知AB =（5，-3），C （-1，3），CD =2AB ，则点D 的坐标为 （A ）（11，9） （B ）（4，0） （C ）（9，3） （D ）（9，-3）11．把函数y =c os x 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），然后把图象向左平移4π个单位，则所得图形对应的函数解析式为（ ） A.)421cos(π+=x y B. )42cos(π+=x yC. )821cos(π+=x y D. x y 2sin -=12．己知12,e e 是夹角为60的两个单位向量，2121e e m e e +=+=，若⊥，则m 为：（ ）（A ）2 （B ）-2 （C ）1 （D ）-1二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，把最简单结果填在题后的横线上.）13．若23cos -=α，且α的终边过点)2,(x P ，则α是第_____象限角。
2022-2023学年山东省潍坊市、诸城市、安丘市、高密市高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知a →=(1，3)，b →=(x ，6)，若a →∥b →，则x ＝（ ） A ．2B ．﹣2C ．1D ．﹣12．若α是第四象限的角，则π﹣α是（ ） A ．第一象限的角 B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角3．如图，航海罗盘将圆周32等分，设圆盘的半径为4，则其中每一份的扇形面积为（ ）A ．2πB ．πC ．π2D ．π44．设e 1→，e 2→是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（ ） A ．e 1→+e 2→和e 1→−e 2→B ．2e 1→−3e 2→和4e 1→−6e 2→C ．e 1→+2e 2→和2e 1→+e 2→D ．e 2→和e 1→+e 2→5．已知tan α＝2，则sin 2α+sin αcos α的值为（ ） A ．23B ．1C ．45D ．656．如图，已知OA →，OB →，OC →的模均为4，且∠AOB ＝∠BOC ＝60°，则AC →⋅AB →=（ ）A ．24B ．﹣24C ．8D ．﹣87．如图所示，角α的终边与单位圆在第一象限交于点P ，且点P 的横坐标为35，OP 绕O 逆时针旋转π2后与单位圆交于点Q ，角β的终边在OQ 上，则（ ）A ．sinβ=45 B ．cosβ=−35 C ．cos(α+β)=2425 D ．sin(α+β)=−7258．已知函数f （x ）＝sin x +sin|x |，则（ ） A ．f （x ）是周期函数B ．f （x ）在区间[π2，3π2]单调递减C ．f （x ）的图象关于直线x =π2对称D ．f （x ）的图象关于点（π，0）对称二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 9．下列说法中正确的是（ ）A ．a→|a →|是与非零向量a →共线的单位向量B ．若a →与b →共线，则a →=b →或a →=−b →C ．若|a →|=0，则a →=0→D ．若a →⊥b →，a →⊥c →，则b →∥c →10．设平面向量a →，b →，|a →|=2，|b →|=2，a →在b →方向上的投影向量为c →，则（ ） A ．a →⋅b →的最大值为4 B ．|a →−b →|最大值为2C ．|b →⋅c →|≤4D ．a →⋅b →=a →⋅c →11．如图（1）所示的摩天轮抽象成如图（2）所示的平面图形，然后以摩天轮转轮中心为原点，以水平线为x 轴，建立平面直角坐标系，设O 到地面的高OT 为lm ，点P 为转轮边缘上任意一点，点P 在x 轴上的垂足为M ，转轮半径为rm ，记以OP 为终边的角为αrad ，点P 离地面的高度为hm ，则（ ）A ．点P 坐标为（r cos α，r sin α）B ．|MT →|=√r 2+l 2 C ．OP →⋅OT →≤lrD ．h ＝l +r sin α12．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）+B （其中A ，ω，φ，B 均为常数，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则（ ）A ．φ=910π B ．f(x)≤f(43π)C ．f （x ）图象的对称中心为(56kπ−π12，32)(k ∈Z) D ．函数f(x +43π)为偶函数三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．记cos （﹣55°）＝k ，那么tan125°＝ ． 14．写出一个最小正周期为6的奇函数f （x ）＝ ．15．设函数f(x)=cos(ωx −π4)(ω＞0)，若f(x)≤f(π3)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值是 ． 16．已知平面向量a →，b →，c →满足，|a →|=|b →|=3，|b →−c →|=2|a →−c →|=6，c →=λa →+μb →(λ＞0，μ＞0)．当λ+μ＝3时，|c →|= ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）写出两角差的余弦公式，并利用单位圆以及向量的数量积证明该公式．18．（12分）在如图的方格纸（每个小方格边长为1）上有A ，B ，C 三点，已知向量a →以A 为始点． （1）试以B 为始点画出向量b →，使b →⋅a →=2，且|b →|=√2，并求向量b →的坐标；（2）在（1）的条件下，求(a →+b →)⋅BC →．19．（12分）已知向量a →=(cosθ，sinθ)，b →=(−1，√3)，−π2≤θ≤π3． （1）当a →⊥b →时，求θ的值； （2）求|a →−b →|的取值范围．20．（12分）某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将如表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并求出函数f （x ）的解析式；（2）先将y ＝f （x ）图象上的所有点，向左平移m （m ＞0）个单位，再把图象上所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到y ＝g （x ）的图象，若y ＝g （x ）的图象关于直线x =5π24对称，求当m 取得最小值时，函数y ＝g （x ）的单调递增区间．21．（12分）如图，在梯形ABCD 中，AD →=13BC →．（1）令AB →=a →，AC →=b →，用a →，b →表示AD →，BD →，CD →； （2）若AB ＝AD ＝2，且AC →⋅BD →=12，求cos ∠ABC ，|AC →|．22．（12分）定义函数f （x ）＝a sin x +b cos x 的“积向量”为m →=(a ，b)，向量m →=(a ，b)的“积函数”为f （x ）＝a sin x +b cos x ． （1）若向量m →=(a ，b)的“积函数”f （x ）满足f(π7)f(9π14)=tan10π21，求ba的值；（2）已知|m →|=|n →|=2，设OP →=λm →+μn →(λ＞0，μ＞0)，且OP →的“积函数”为g （x ），其最大值为t ，求（t ﹣2）（λ+μ）的最小值，并判断此时m →，n →的关系．2022-2023学年山东省潍坊市、诸城市、安丘市、高密市高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知a →=(1，3)，b →=(x ，6)，若a →∥b →，则x ＝（ ） A ．2B ．﹣2C ．1D ．﹣1解：a →=(1，3)，b →=(x ，6)，a →∥b →，则1×6＝3x ，解得x ＝2． 故选：A ．2．若α是第四象限的角，则π﹣α是（ ） A ．第一象限的角 B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角解：若α是第四象限的角，即：2k π−12π＜α＜2k π，k ∈Z ，所以2k π＜﹣α＜2k π+12π，k ∈Z 2k π+π＜π﹣α＜2k π+3π2k ∈Z 故选：C ．3．如图，航海罗盘将圆周32等分，设圆盘的半径为4，则其中每一份的扇形面积为（ ）A ．2πB ．πC ．π2D ．π4解：圆盘的半径为4，则圆的面积为π×42＝16π，故其中每一份的扇形面积为16π32=π2．故选：C ．4．设e 1→，e 2→是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（ ） A ．e 1→+e 2→和e 1→−e 2→B ．2e 1→−3e 2→和4e 1→−6e 2→C ．e 1→+2e 2→和2e 1→+e 2→D ．e 2→和e 1→+e 2→解：对于ACD ，两个向量均不共线，可以作为基底，对于B ，2e 1→−3e 2→=12（4e 1→−6e 2→），两个向量共线，不符合基底的定义． 故选：B ．5．已知tan α＝2，则sin 2α+sin αcos α的值为（ ） A ．23B ．1C ．45D ．65解：∵tan α＝2，∴sin 2α+sin αcos α=sin 2α+sinαcosαsin 2α+cos 2α=tan 2α+tanαtan 2α+1=4+24+1=65．故选：D ．6．如图，已知OA →，OB →，OC →的模均为4，且∠AOB ＝∠BOC ＝60°，则AC →⋅AB →=（ ）A ．24B ．﹣24C ．8D ．﹣8解：AC →⋅AB →=（OC →−OA →）•（OB →−OA →）=OC →•OB →−OC →•OA →−OA →•OB →+OA →2=4×4×cos60°﹣4×4×cos120°﹣4×4×cos60°+42＝24． 故选：A ．7．如图所示，角α的终边与单位圆在第一象限交于点P ，且点P 的横坐标为35，OP 绕O 逆时针旋转π2后与单位圆交于点Q ，角β的终边在OQ 上，则（ ）A ．sinβ=45 B ．cosβ=−35 C ．cos(α+β)=2425D ．sin(α+β)=−725解：因为角α的终边与单位圆在第一象限交于点P ，且点P 的横坐标为35， 所以由三角函数的定义可得sin α=45，cos α=35，又OP 绕O 逆时针旋转π2后与单位圆交于点Q ，角β的终边在OQ 上，即β＝α+π2，所以sin β＝sin （α+π2）＝cos α=35，故A 错误； cos β＝cos （α+π2）＝﹣sin α=−45，故B 错误；cos （α+β）＝cos αcos β﹣sin αsin β=35×(−45)−45×35=−2425，故C 错误； sin （α+β）＝sin αcos β+cos αsin β=45×(−45)+35×35=−725，故D 正确． 故选：D ．8．已知函数f （x ）＝sin x +sin|x |，则（ ） A ．f （x ）是周期函数B ．f （x ）在区间[π2，3π2]单调递减C ．f （x ）的图象关于直线x =π2对称D ．f （x ）的图象关于点（π，0）对称解：当x ≥0时，f （x ）＝2sin x ，当x ＜0时，f （x ）＝sin x ﹣sin x ＝0，则函数不可能是周期函数，故A 错误，当x ≥0时，f （x ）＝2sin x ，f （x ）在区间[π2，3π2]单调递减，故B 正确， 若f （x ）的图象关于直线x =π2对称，则f （π2+x ）＝f （π2−x ），当x ＝π时，f （3π2）＝f （−π2），即﹣2＝0，不成立，则f （x ）的图象关于直线x =π2对称不正确，故C错误，若f （x ）的图象关于（π，0）对称，则f （π+x ）＝﹣f （π﹣x ），当x =3π2时，f （5π2）＝﹣f （−π2），即2＝﹣0，不成立，则f （x ）的图象关于（π，0）对称不正确，故D 错误， 故选：B ．二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．下列说法中正确的是（ ）A ．a→|a →|是与非零向量a →共线的单位向量B ．若a →与b →共线，则a →=b →或a →=−b →C ．若|a →|=0，则a →=0→D ．若a →⊥b →，a →⊥c →，则b →∥c →解：A ．a→|a →|是单位向量且与a →共线，A 正确；B ．a →，b →共线时，若b →≠0→，则a →=kb →，B 错误； C ．根据零向量的定义知C 正确；D ．如图，空间向量a →，b →，c →满足a →⊥b →，a →⊥c →，b →与c →不平行，D 错误．故选：AC ．10．设平面向量a →，b →，|a →|=2，|b →|=2，a →在b →方向上的投影向量为c →，则（ ） A ．a →⋅b →的最大值为4 B ．|a →−b →|最大值为2C ．|b →⋅c →|≤4D ．a →⋅b →=a →⋅c →解：设向量a →，b →的夹角为θ，选项A ，a →⋅b →=|a →|•|b →|cos θ＝2×2×cos θ≤4，当且仅当θ＝0°时，等号成立，即A 正确； 选项B ，因为a →⋅b →=4cos θ∈[﹣4，4]，所以|a →−b →|=√a →2−2a →⋅b →+b →2=√4+4−2a →⋅b →=√8−2a →⋅b →≤4，当且仅当a →⋅b →=−4，即θ＝180°时，等号成立，即B 错误；选项C ，因为a →在b →方向上的投影向量为c →，所以c →=|a →|cos θ•b→|b →|=cos θ•b →，所以|b →⋅c →|＝|cos θ•b →•b →|＝|4cos θ|≤4，即C 正确； 选项D ，a →⋅c →=cos θ•a →•b →=a →•b →不恒成立，即D 错误．故选：AC ．11．如图（1）所示的摩天轮抽象成如图（2）所示的平面图形，然后以摩天轮转轮中心为原点，以水平线为x 轴，建立平面直角坐标系，设O 到地面的高OT 为lm ，点P 为转轮边缘上任意一点，点P 在x 轴上的垂足为M ，转轮半径为rm ，记以OP 为终边的角为αrad ，点P 离地面的高度为hm ，则（ ）A ．点P 坐标为（r cos α，r sin α）B ．|MT →|=√r 2+l 2 C ．OP →⋅OT →≤lrD ．h ＝l +r sin α解：选项A ，因为|OP |＝r ，∠POx ＝α，所以点P （r cos α，r sin α），即A 正确； 选项B ，因为PM ⊥x 轴于点M ，所以M （r cos α，0），而T （0，﹣l ），所以MT →=（﹣r cos α，﹣l ），所以|MT →|=√r 2cos 2α+l 2，即B 错误；选项C ，OP →⋅OT →=（r cos α，r sin α）•（0，﹣l ）＝﹣lr sin α≤lr ，当且仅当sin α＝﹣1时，等号成立，即C 正确；选项D ，当α的终边在第一、二象限或y 轴正半轴上时，|MP |＝r sin α，此时h ＝|OT |+|MP |＝l +r sin α； 当α的终边在第三、四象限或y 轴负半轴上时，|MP |＝﹣r sin α，此时h ＝|OT |﹣|MP |＝l +r sin α； 当α的终边在x 轴上时，sin α＝0，此时h ＝|OT |＝l +r sin α， 综上，不管α的终边在何处，都有h ＝l +r sin α，即D 正确． 故选：ACD ．12．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）+B （其中A ，ω，φ，B 均为常数，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则（ ）A ．φ=910π B ．f(x)≤f(43π)C ．f （x ）图象的对称中心为(56kπ−π12，32)(k ∈Z) D ．函数f(x +43π)为偶函数解：由函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）+B 的部分图象知，{A +B =3−A +B =0，解得A ＝B =32，由T 2=π2−（−π3）=5π6，解得T =5π3，所以ω=2πT =65， 当x =−π3时，f （x ）=32sin[65×（−π3）+φ]+32=3，所以−2π5+φ=π2+2k π，k ∈Z ； 解得φ=9π10+2k π，k ∈Z ； 又因为|φ|＜π，所以φ=9π10，选项A 正确； 由f （x ）=32sin （65x +9π10）+32，计算f （4π3）=32sin （65×4π3+9π10）+32=3，所以f （x ）≤f （4π3），选项B 正确；令65x +9π10=k π，k ∈Z ，解得x =56k π−3π4，k ∈Z ；所以f （x ）图象的对称中心为（56k π−3π4，32），k ∈Z ；选项C 错误；因为f （x +4π3）=32sin[65（x +4π3）+9π10]+32=32cos 65x +32，所以函数f （x +43）为偶函数，选项D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．记cos （﹣55°）＝k ，那么tan125°＝ −√1−k 2k．解：∵cos （﹣55°）＝cos55°＝k ，且sin55°＞0， ∴sin55°=√1−cos 255°=√1−k 2，∴tan55°=sin55°cos55°=√1−k2k ，那么tan125°＝tan （180°﹣55°）＝﹣tan55°=−√1−k 2k．故答案为：−√1−k 2k．14．写出一个最小正周期为6的奇函数f （x ）＝ sin π3x （答案不唯一） ． 解：根据题意，要求函数是最小正周期为6的奇函数， 可以考查三角函数，则该函数可以为f （x ）＝sin π3x ，故答案为：sin π3x （答案不唯一）．15．设函数f(x)=cos(ωx −π4)(ω＞0)，若f(x)≤f(π3)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值是 34．解：函数f(x)=cos(ωx −π4)(ω＞0)，且f(x)≤f(π3)对任意的实数x 都成立， ∴ω•π3−π4=2k π，k ∈Z ，解得ω＝6k +34，k ∈Z ；又ω＞0，∴ω的最小值为34． 故答案为：34．16．已知平面向量a →，b →，c →满足，|a →|=|b →|=3，|b →−c →|=2|a →−c →|=6，c →=λa →+μb →(λ＞0，μ＞0)．当λ+μ＝3时，|c →|= 3√3 ． 解：如图，作OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，由题意知，|b →−c →|=6，|a →−c →|＝3，则OA ＝OB ＝3，CA ＝3，CB ＝6， 设直线OC 与直线AB 交点为P ，则OP →∥OC →，且OP →=1OA +(1−t)OB →，t ≠0， 即OA →=1t OP →+t−1t OB →，因为c →=λa →+μb →(λ＞0，μ＞0)，且λ+μ＝3，所以OC →=λOA →+(3−λ)OB →=λ(1t OP →+t−1t )+(3−λ)OB →=λt OP →+(3−λ−λt +λ)OB →=λt OP →+(3−λt )OB →，3−λt =0，即λt=3，所以OC →=3OD →，作OG ⊥AB 于G ，CH ⊥AB 于H ，则△OGP 与△CHP 相似，且相似比为1：2， 所以CH ＝2OG ．设∠OBA ＝θ，则BG ＝3cos θ，OG ＝3sin θ，又OA ＝OB ， 所以AG ＝BG ＝3cos θ，所以CH ＝2OG ＝6sin θ．又6cos θ＝3cos θ+3cos θ＝AG +BG ＝AB ，所以AH ＝0，即点H 与点A 重合，故∠BAC =π2， 所以AB =6cosθ=√BC 2−AC 2=√36−9=3√3，故cosθ=√32，sinθ=12，又△OGP 与△CAP 相似，且相似比为1：2， 于是GP =13AG =cosθ=√32 OG =3sinθ=32， 所以在Rt △OGP 中，OP =√GP 2+OG 2=√3，从而OC =3√3，故|c|=3√3． 故答案为：3√3．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）写出两角差的余弦公式，并利用单位圆以及向量的数量积证明该公式．证明：公式：cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β，由图知，P （cos α，sin α），Q （cos β，sin β），OP →⋅OQ →=(cosα，sinα)⋅(cosβ，sinβ)=cos αcos β+sin αsin β， 又存在k ∈Z ，使得＜OP →，OQ →＞=β−α+2kπ， 所以cos ＜OP →，OQ →＞=cos(α−β)， 因为|OP →|=|OQ →|=1，所以OP →⋅OQ →=|OP →||OQ →|cos ＜OP →，OQ →＞=cos （α﹣β）， 所以cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β．18．（12分）在如图的方格纸（每个小方格边长为1）上有A ，B ，C 三点，已知向量a →以A 为始点． （1）试以B 为始点画出向量b →，使b →⋅a →=2，且|b →|=√2，并求向量b →的坐标； （2）在（1）的条件下，求(a →+b →)⋅BC →．解：（1）由图知，向量a →=（2，0），设b →=（x ，y ）， ∵b →⋅a →=2，∴2x ＝2，x ＝1，∵|b →|=√2，∴1+y 2＝2，∴y ＝±1， 则b →=(1，±1)， 如图，这两个向量b →均满足题意；（2）①若b →=(1，1)，则a →+b →=(3，1)，BC →=(3，−1)，∴(a →+b →)⋅BC →=8， ②若b →=(1，−1)，则a →+b →=(3，−1)，BC →=(3，−1)，∴(a →+b →)⋅BC →=10， 综上，(a →+b →)⋅BC →=8或(a →+b →)⋅BC →=10．19．（12分）已知向量a →=(cosθ，sinθ)，b →=(−1，√3)，−π2≤θ≤π3． （1）当a →⊥b →时，求θ的值； （2）求|a →−b →|的取值范围．解：（1）因为a →⊥b →，所以a →⋅b →=√3sinθ−cosθ=0，得tanθ=√33，又因为−π2≤θ≤π3，所以θ=π6． （2）|a →−b →|=√|a →|2−2a →⋅b →+|b →|2=√1−2(√3sinθ−cosθ)+4=√5−4sin(θ−π6)，因为−π2≤θ≤π3，所以−2π3≤θ−π6≤π6， 所以−1≤sin(θ−π6)≤12， 所以3≤5−4sin(θ−π6)≤9， 所以√3≤|a →−b →|≤3， 故|a →−b →|的取值范围为[√3，3]．20．（12分）某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将如表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并求出函数f （x ）的解析式；（2）先将y ＝f （x ）图象上的所有点，向左平移m （m ＞0）个单位，再把图象上所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到y ＝g （x ）的图象，若y ＝g （x ）的图象关于直线x =5π24对称，求当m 取得最小值时，函数y ＝g （x ）的单调递增区间． 解：（1）根据表中数据，得A ＝2，T =4(5π6−7π12)=π，∴ω＝2， 当x =7π12时，2x +φ＝π，解得φ=−π6，∴f(x)=2sin(2x −π6)． 数据补充完整如下表：（2）将f （x ）图象上所有的点向左平移m （m ＞0）个单位长度，得到y =2sin[2(x +m)−π6]的图象，再把所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到y ＝g （x ）的图象，∴g(x)=2sin(4x +2m −π6)；∵y ＝g （x ）的图象关于直线x =5π24对称，则x =5π24时，函数取得最值， ∴4×5π24+2m −π6=kπ+π2，k ∈Z ，∴m =kπ2−π12，k ∈Z ， ∵m ＞0，k ＝1时，m min =5π12，此时g(x)=2sin(4x +2π3)， 由2kπ−π2≤4x +2π3≤2kπ+π2，k ∈Z ，可得kπ2−7π24≤x ≤kπ2−π24，k ∈Z ，∴函数y ＝g （x ）的单调递增区间为[kπ2−7π24，kπ2−π24]，k ∈Z ． 21．（12分）如图，在梯形ABCD 中，AD →=13BC →．（1）令AB →=a →，AC →=b →，用a →，b →表示AD →，BD →，CD →； （2）若AB ＝AD ＝2，且AC →⋅BD →=12，求cos ∠ABC ，|AC →|．解：（1）∵AB →=a →，AC →=b →，∴BC →=AC →−AB →=b →−a →则AD →=13BC →=13(b →−a →)=，可得CD →=BD →−BC →=13b →−43a →−(b →−a →)=−13a →−23b →；（2）∵AD →=13BC →，AD ＝2，∴BC ＝6，由AC →⋅BD →=(BC →−BA →)⋅(BA →+13BC →)=−BA →2+23BA →⋅BC →+13BC →2=12，得−22+23×6×2×cos∠ABC +13×62=12，解得cos ∠ABC =12； ∵|BA →|=2，|BC →|=6，且AC →=BC →−BA →，∴|AC →|2=|BC →−BA →|2=|BC →|2+|BA →|2−2BC →⋅BA →=4+36−2×2×6×12=28， 可得|AC →|=2√7．22．（12分）定义函数f （x ）＝a sin x +b cos x 的“积向量”为m →=(a ，b)，向量m →=(a ，b)的“积函数”为f （x ）＝a sin x +b cos x ． （1）若向量m →=(a ，b)的“积函数”f （x ）满足f(π7)f(9π14)=tan10π21，求ba的值；（2）已知|m →|=|n →|=2，设OP →=λm →+μn →(λ＞0，μ＞0)，且OP →的“积函数”为g （x ），其最大值为t ，求（t ﹣2）（λ+μ）的最小值，并判断此时m →，n →的关系．解：（1）若向量m →=(a ，b)的“积函数”f （x ）满足f(π7)f(9π14)=tan10π21，则f （x ）＝a sin x +b cos x ， f （π7）＝a sin π7+b cos π7，f （9π14）＝a sin9π14+b cos9π14=a cos π7−b sin π7，所以f(π7)f(9π14)=asin π7+bcosπ7acos π7−bsinπ7=b a +tan π71−b a ⋅tan π7， 可令tan θ=b a ，f(π7)f(9π14)=tan10π21，即为tan （θ+π7）＝tan10π21，则θ+π7=k π+10π21，即θ＝k π+π3，k ∈Z ， 所以tan θ＝tan π3=√3，即ba =√3；（2）设m →=(2cosα，2sinα)，n →=(2cosβ，2sinβ)，因为OP →=λm →+μn →=(2(λcosα+μcosβ)，2(λsinα+μsinβ))， 所以g （x ）＝2（λcos α+μcos β）sin x +2（λsin α+μsin β）cos x＝2λ（cos αsin x +sin αcos x ）+2μ（cos βsin x +sin βcos x ）＝2λsin （x +α）+2μsin （x +β）， h （x ）＝2λsin （x +α）+2μsin （x +β）≤2λ+2μ， 当且仅当存在x 0使得{x 0+α=2k 1π+π2x 0+β=2k 2π+π2时，等号成立，其中k 1，k 2∈Z ，所以α﹣β＝2（k 1﹣k 2）π，即m →=n →，所以α＝β+2k π，k ∈Z ，所以h （x ）＝2λsin （x +α）+2μsin （x +β）＝2（λ+μ）sin （x +α）≤2（λ+μ）， 所以t ＝2（λ+μ），此时(t −2)(λ+μ)=t(t−2)2=(t−1)22−12，所以当t ＝1时，（t ﹣1）（λ+μ）的最小值为−12．。
