2020高考数学大一轮复习第八篇平面解析几何第5节抛物线习题理

第八章⎪⎪⎪平面解析几何第八节抛物线1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程和几何性质1．(2018·杭州七校联考)抛物线C ：y ＝ax 2的准线方程为y ＝－14，则其焦点坐标为________，实数a 的值为________．解析：由题意得焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14，抛物线C 的方程可化为x 2＝1a y ，由题意得－14a ＝－14，解得a ＝1. 答案：⎝⎛⎭⎫0，14 1 2．焦点在直线2x ＋y ＋2＝0上的抛物线的标准方程为________． 答案：y 2＝－4x 或x 2＝－8y3．(教材习题改编)抛物线y ＝4x 2的焦点坐标为__________；准线方程为____________． 解析：抛物线的标准方程为x 2＝14y ，所以焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，116，准线方程为y ＝－116. 答案：⎝⎛⎭⎫0，116 y ＝－1161．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p 易忽视，只有p ＞0才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．3．抛物线的标准方程的形式要注意，根据方程求焦点坐标或准线方程时，要注意标准形式的确定．[小题纠偏]1．平面内到点(1,1)与到直线x ＋2y －3＝0的距离相等的点的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．一条直线答案：D2．抛物线8x 2＋y ＝0的焦点坐标为________． 解析：由8x 2＋y ＝0，得x 2＝－18y .∴2p ＝18，p ＝116，∴焦点为⎝⎛⎭⎫0，－132. 答案：⎝⎛⎭⎫0，－132考点一 抛物线定义及应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2019·温州十校联考)设抛物线C ：y ＝14x 2的焦点为F ，直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，|AF |＝3，线段AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为4，则|BF |＝( )A.72 B ．5 C ．4D ．3解析：选B 抛物线C 的方程可化为x 2＝4y ，由线段AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为4，可得|AF |＋|BF |＝8，又|AF |＝3，所以|BF |＝5.2．已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B 依题意，由点M 向抛物线x 2＝4y 的准线l ：y ＝－1引垂线，垂足为M 1(图略)，则有|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MM 1|，结合图形可知|MA |＋|MM 1|的最小值等于圆心C (－1,5)到y ＝－1的距离再减去圆C 的半径，即等于6－1＝5，因此|MA |＋|MF |的最小值是5，故选B.[由题悟法]应用抛物线定义的2个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离|PF |＝|x |＋p 2或|PF |＝|y |＋p 2.[即时应用]1．如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1 B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1解析：选A 由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点F ，且A ，B ，C 三点共线，易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于|BC ||AC |.由抛物线方程知其焦点F (1,0)，作准线l ，则l 的方程为x ＝－1.∵点A ，B 在抛物线上，过A ，B 分别作AK ，BH 与准线垂直，垂足分别为点K ，H ，且与y 轴分别交于点N ，M .由抛物线定义，得|BM |＝|BF |－1，|AN |＝|AF |－1.在△CAN 中，BM ∥AN ，∴|BC ||AC |＝|BM ||AN |＝|BF |－1|AF |－1. 2．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A.355B ．2 C.115D ．3解析：选B 由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F (1,0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.考点二 抛物线的标准方程与几何性质(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]抛物线的标准方程及性质是高考的热点，多以选择题、填空题形式出现． 常见的命题角度有： (1)求抛物线方程；(2)抛物线的对称性．[题点全练]角度一：求抛物线方程1．(2019·台州重点校联考)已知直线l 过抛物线y 2＝－2px (p ＞0)的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )A ．y 2＝－12xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝－6xD ．y 2＝－4x解析：选B 过A ，B 分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，由抛物线定义知|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|，则|AA 1|＋|BB 1|＝2⎝⎛⎭⎫2＋p2＝8，解得p ＝4，所以此抛物线的方程是y 2＝－8x .角度二：抛物线的对称性2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)分别交于O ，A ，B 三点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( )A ．1 B.32C ．2D ．3解析：选B 双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ， 因为双曲线的离心率为2， 所以1＋b 2a 2＝2，ba ＝ 3.由⎩⎨⎧y ＝3x ，y 2＝2px ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝2p 3，y ＝23p 3.由曲线的对称性及△AOB 的面积得， 2×12×23p 3×2p 3＝3， 解得p 2＝94，即p ＝32⎝⎛⎭⎫p ＝－32舍去. [通法在握]求抛物线方程的3个注意点(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种； (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系； (3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．[演练冲关]1．(2019·宁波质检)已知点M 是抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点，F 为C 的焦点，MF 的中点坐标是(2,2)，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设M ⎝⎛⎭⎫y 212p ，y 1，由中点坐标公式可知p 2＋y 212p＝2×2，y 1＋0＝2×2，解得p ＝4.2．(2019·丽水高三质检)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，与抛物线准线交于M ，且FM ＝3FP ，则|FP |＝( )A.32B.23C.43D.34解析：选C 设直线l 的倾斜角为θ，如图所示，过点P 作PN 垂直准线于点N ，由抛物线定义知|PN |＝|PF |.∵FM ＝3FP ，∴|FM |＝3|FP |，即|PM |＝2|PN |.在Rt △MNP 中，cos ∠MPN ＝12，∵PN ∥x 轴，∴cos θ＝12，由抛物线焦半径的性质可得|PF |＝p 1＋cos θ＝21＋12＝43，即|FP |＝43. 考点三 直线与抛物线的位置关系(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2018·长兴中学模拟)已知抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，P 为C 1上一点，|PF |＝4，点P 到y 轴的距离等于3.(1)求抛物线C 1的标准方程；(2)设A ，B 为抛物线C 1上的两个动点，且使得线段AB 的中点D 在直线y ＝x 上，P (0,2)为定点，求△PAB 面积的最大值．解：(1)由题意，p2＋3＝4，∴p ＝2，所以抛物线C 1的标准方程为y 2＝4x .(2)设直线AB ：x ＝ty ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋b ，y 2＝4x消元化简得y 2－4ty －4b ＝0， Δ＝16t 2＋16b ＞0.且y 1＋y 2＝4t ，x 1＋x 2＝t (y 1＋y 2)＋2b ＝4t 2＋2b ， 所以D (2t 2＋b,2t )，2t 2＋b ＝2t . 由Δ＞0得0＜t ＜2.所以点P 到直线AB 的距离d ＝|－2t －b |1＋t 2＝|2t 2－4t |1＋t 2， 所以|AB |＝1＋t 216t 2＋16b ＝41＋t 22t －t 2，所以S △ABP ＝12|AB |d ＝12×41＋t 22t －t 2|2t 2－4t |1＋t2＝22t －t 2·|2t 2－4t |. 令m ＝2t －t 2，则m ∈(0,1]，且S △ABP ＝4m 3. 由函数单调性可知，(S △ABP )max ＝4.[由题悟法]解决直线与抛物线位置关系问题的2种常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用弦长公式．[即时应用]如图所示，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程； (2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程． 解：(1)由已知，得抛物线的焦点为F (1,0)． 因为线段AB 的中点在直线y ＝2上， 所以直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，所以2y 0k ＝4.又y 0＝2，所以k ＝1，故直线l 的方程是y ＝x －1.(2)设直线l 的方程为x ＝my ＋1，与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4my－4＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，Δ＝16(m 2＋1)＞0. |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2| ＝m 2＋1·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝m 2＋1·(4m )2－4×(－4) ＝4(m 2＋1)．所以4(m 2＋1)＝20，解得m ＝±2，所以直线l 的方程是x ＝±2y ＋1，即x ±2y －1＝0.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·湖州质检)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，点C (－4,0)，过抛物线的焦点作垂直于x 轴的直线，与抛物线交于A ，B 两点，若△CAB 的面积为24，则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝8xD ．y 2＝－8x解析：选D ∵AB ⊥x 轴，且AB 过点F ，∴AB 是焦点弦，∴|AB |＝2p ，∴S △CAB ＝12×2p ×⎝⎛⎭⎫p 2＋4＝24，解得p ＝4或p ＝－12(舍去)，∴直线AB 的方程为x ＝2，∴以直线AB 为准线的抛物线的标准方程是y 2＝－8x ，故选D.2．(2018·江山质检)在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为( )A.12 B ．1 C ．2D ．3解析：选C 由抛物线的定义可知，4＋p2＝5，解得p ＝2.3．(2018·珠海模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，|PF |＝4，则直线AF 的倾斜角等于( )A.7π12B.2π3C.3π4D.5π6解析：选B 由抛物线y 2＝4x 知焦点F (1,0)，准线l 的方程为x ＝－1，由抛物线定义知|PA |＝|PF |＝4，所以点P 的坐标为(3,23)，因此点A 的坐标为(－1,23)，所以k AF ＝23－0－1－1＝－3，所以直线AF 的倾斜角为2π3.4．(2019·宁波六校联考)已知抛物线C ：y 2＝23x ，过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于P ，Q 两点，且P ，Q 两点在准线上的投影分别为M ，N 两点，则S △MFN ＝( )A ．8B ．2 3C ．4 3D ．8 3解析：选B 法一：由题意可得p ＝3，F⎝⎛⎭⎫32，0.不妨设点P 在x 轴上方，由抛物线定义可知|PF |＝|PM |，|Q F |＝|Q N |，设直线P Q 的倾斜角为θ，则tan θ＝3，∴θ＝π3，由抛物线焦半径的性质可知，|PF |＝p 1－cos θ＝31－cos π3＝23，|Q F |＝p 1＋cos θ＝31＋cosπ3＝233，∴|MN |＝|P Q |sin θ＝(|PF |＋|Q F |)·sin π3＝833×32＝4，∴S △MFN ＝12|MN |·p ＝12×4×3＝2 3.法二：由题意可得F⎝⎛⎭⎫32，0，直线P Q 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32＝3x －32，与抛物线方程y 2＝23x 联立，得⎝⎛⎭⎫3x －322＝23x ，即3x 2－53x ＋94＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝533，∴|P Q |＝x 1＋x 2＋p ＝533＋3＝833，∵直线P Q 的斜率为3，∴直线P Q 的倾斜角为π3.∴|MN |＝|P Q |sinπ3＝833×32＝4，∴S △MFN ＝12×4×3＝2 3. 5．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，且点P 到y 轴的距离与其到焦点的距离之比为12，则点P 到x 轴的距离为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，根据抛物线的定义，点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离，故x P x P －(－1)＝12，解得x P ＝1，所以y 2P ＝4，所以|y P |＝2. 答案：2二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·临海期初)动圆过点(0,1)，且与直线y ＝－1相切，则动圆圆心的轨迹方程为( ) A ．y ＝0 B ．x 2＋y 2＝1 C ．x 2＝4yD ．y 2＝4x解析：选C 设动圆圆心M (x ，y )，则x 2＋(y －1)2＝|y ＋1|，解得x 2＝4y .2．(2018·绍兴二模)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝3(x －1)与抛物线C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)．若AF ＝mFB ，则m 的值为( )A. 3B.32C ．2D ．3解析：选D 直线方程为x ＝33y ＋1，代入y 2＝4x 可得y 2－433y －4＝0，则y A ＝23，y B ＝－233，所以|y A |＝3|y B |，因为AF ＝mFB ，所以m ＝3.3．(2018·宁波十校联考)已知抛物线x 2＝4y ，过焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点(点A 在第一象限)，若直线l 的倾斜角为30°，则|AF ||BF |的值等于( )A ．3B.52C ．2D.32解析：选A 由题可得，F (0,1)，设l ：y ＝33x ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将直线方程与抛物线方程联立，消去x ，化简得3y 2－10y ＋3＝0，解得y 1＝3，y 2＝13.由抛物线的定义可知|AF ||BF |＝y 1＋1y 2＋1＝3＋113＋1＝3. 4．已知P 为抛物线y ＝12x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为点M ，点A 的坐标是⎝⎛⎭⎫6，172，则|PA |＋|PM |的最小值是( )A ．8 B.192C ．10D.212解析：选B 依题意可知焦点F ⎝⎛⎭⎫0，12，准线方程为y ＝－12，延长PM 交准线于点H (图略)．则|PF |＝|PH |，|PM |＝|PF |－12，|PM |＋|PA |＝|PF |＋|PA |－12，即求|PF |＋|PA |的最小值． 因为|PF |＋|PA |≥|FA |， 又|FA |＝62＋⎝⎛⎭⎫172－122＝10.所以|PM |＋|PA |≥10－12＝192，故选B.5．(2019·嘉兴六校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，且|MO |＝|MF |＝32(O 为坐标原点)，则OM ·MF ＝( )A ．－74B.74C.94D ．－94解析：选A 设M (m ，2pm )，抛物线C 的焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，因为|MO |＝|MF |＝32，所以m 2＋2pm ＝94 ①，m ＋p 2＝32 ②，由①②解得m ＝12，p ＝2，所以M ⎝⎛⎭⎫12，2，F (1,0)，所以OM ＝⎝⎛⎭⎫12，2，MF ＝⎝⎛⎭⎫12，－2，故OM ·MF ＝14－2＝－74.6．(2018·宁波期初)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，若点M 在抛物线上，|MF |＝4，O 为坐标原点，则∠MFO ＝________.解析：由题可得，p ＝2，焦点在y 轴正半轴，所以F (0,1)． 因为|MF |＝4，所以M (±23，3)．所以tan ∠MFO ＝－tan(π－∠MFO )＝－233－1＝－3，所以∠MFO ＝2π3. 答案：2π37．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为________．解析：如图，由题可知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设P 点坐标为⎝⎛⎭⎫y 202p ，y 0(y 0＞0)，则OM ―→＝OF ―→＋FM ―→＝OF ―→＋13FP ―→＝OF ―→＋13(OP ―→－OF ―→)＝13OP ―→＋23OF ―→＝⎝⎛⎭⎫y 206p ＋p 3，y 03，k OM ＝y 03y 206p ＋p 3＝2y 0p ＋2p y 0≤222＝22，当且仅当y 2＝2p 2时等号成立，所以直线OM 的斜率的最大值为22. 答案：228．(2018·嵊州一模)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点M (5，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C 点，|BF |＝3，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF＝________.解析：设点A 在第一象限，B 在第四象限，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝my ＋ 5.由y 2＝4x ，得p ＝2，因为|BF |＝3＝x 2＋p2＝x 2＋1，所以x 2＝2，则y 22＝4x 2＝4×2＝8，所以y 2＝－22，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋5，得y 2－4my －45＝0，则y 1y 2＝－45，所以y 1＝10，由y 21＝4x 1，得x 1＝52.过点A 作AA ′垂直于准线x ＝－1，垂足为A ′，过点B 作BB ′垂直于准线x ＝－1，垂足为B ′，易知△CBB ′∽△CAA ′，所以S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝|BB ′||AA ′|.又|BB ′|＝|BF |＝3，|AA ′|＝x 1＋p 2＝52＋1＝72，所以S △BCF S △ACF ＝372＝67.答案：679．(2018·杭州高三检测)如图，过抛物线M ：y ＝x 2上一点A (点A 不与原点O 重合)作抛物线M 的切线AB 交y 轴于点B ，点C 是抛物线M 上异于点A 的点，设G 为△ABC 的重心(三条中线的交点)，直线CG 交y 轴于点D .(1)设A (x 0，x 20)(x 0≠0)，求直线AB 的方程； (2)求|OB ||OD |的值． 解：(1)因为y ′＝2x ，所以直线AB 的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0， 所以直线AB 的方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)， 即y ＝2x 0x －x 20.(2)由(1)得，点B 的纵坐标y B ＝－x 20， 所以AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 02，0.设C (x 1，y 1)，G (x 2，y 2)，直线CG 的方程为x ＝my ＋x 02.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋x 02，y ＝x 2，得m 2y 2＋(mx 0－1)y ＋x 204＝0.因为G 为△ABC 的重心，所以y 1＝3y 2. 由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝4y 2＝1－mx 0m 2，y 1y 2＝3y 22＝x 204m 2. 所以y 22＝(1－mx 0)216m4＝x 2012m 2， 解得mx 0＝－3±2 3.所以点D 的纵坐标y D ＝－x 02m ＝x 206±43，故|OB ||OD |＝⎪⎪⎪⎪y B y D ＝43±6. 10．(2018·台州模拟)已知抛物线C 1：y 2＝4x 和C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点分别为F 1，F 2，点P (－1，－1)，且F 1F 2⊥OP (O 为坐标原点)．(1)求抛物线C 2的方程；(2)过点O 的直线交C 1的下半部分于点M ，交C 2的左半部分于点N ，求△PMN 面积的最小值．解：(1)由题意知F 1(1,0)，F 2⎝⎛⎭⎫0，p 2，则F 1F 2―→＝⎝⎛⎭⎫－1，p 2， ∵F 1F 2⊥OP ，∴F 1F 2―→·OP ―→＝⎝⎛⎭⎫－1，p 2·(－1，－1)＝1－p 2＝0， ∴p ＝2，∴抛物线C 2的方程为x 2＝4y . (2)设过点O 的直线为y ＝kx (k ＜0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，y 2＝4x 得M ⎝⎛⎭⎫4k 2，4k ， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 2＝4y得N (4k,4k 2)，从而|MN |＝1＋k 2·⎪⎪⎪⎪4k 2－4k ＝1＋k 2·⎝⎛⎭⎫4k 2－4k ， 又点P 到直线MN 的距离d ＝|k －1|1＋k 2，故S △PMN ＝12·|k －1|1＋k 2·1＋k 2·⎝⎛⎭⎫4k 2－4k ＝2(1－k )(1－k 3)k 2＝2(1－k )2(1＋k ＋k 2)k 2＝2⎝⎛⎭⎫k ＋1k －2⎝⎛⎭⎫k ＋1k ＋1， 令t ＝k ＋1k (t ≤－2)， 则S △PMN ＝2(t －2)(t ＋1)≥8，当t ＝－2，即k ＝－1时，S △PMN 取得最小值．即当过点O 的直线为y ＝－x 时，△PMN 面积的最小值为8. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·台州高三模拟)已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)，点M 是抛物线的准线与y 轴的交点，过点A (0，λp )(λ∈R)的动直线l 交抛物线于B ，C 两点．(1)求证：MB ·MC ≥0，并求等号成立时实数λ的值；(2)当λ＝2时，设分别以OB ，OC (O 为坐标原点)为直径的两圆相交于另一点D ，求|DO |＋|DA |的最大值．解：(1)由题意知动直线l 的斜率存在，且过点A (0，λp )， 则可设动直线l 的方程为y ＝kx ＋λp ，代入x 2＝2py (p ＞0)，消去y 并整理得x 2－2pkx －2λp 2＝0， Δ＝4p 2(k 2＋2λ)＞0， 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2λp 2，y 1y 2＝(kx 1＋λp )(kx 2＋λp )＝k 2x 1x 2＋λpk (x 1＋x 2)＋λ2p 2＝λ2p 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2λp ＝2pk 2＋2λp ＝2p (k 2＋λ)． 因为抛物线x 2＝2py 的准线方程为y ＝－p2，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，－p 2， 所以MB ＝⎝⎛⎭⎫x 1，y 1＋p 2，MC ＝⎝⎛⎭⎫x 2，y 2＋p2， 所以MB ·MC ＝x 1x 2＋⎝⎛⎭⎫y 1＋p 2⎝⎛⎭⎫y 2＋p2 ＝x 1x 2＋y 1y 2＋p 2(y 1＋y 2)＋p 24＝－2λp 2＋λ2p 2＋p 2[2p (k 2＋λ)]＋p 24＝p 2⎣⎡⎦⎤k 2＋⎝⎛⎭⎫λ－122≥0， 当且仅当k ＝0，λ＝12时等号成立．(2)由(1)知，当λ＝2时，x 1x 2＝－4p 2，y 1y 2＝4p 2， 所以OB ·OC ＝x 1x 2＋y 1y 2＝0， 所以OB ⊥OC .设直线OB 的方程为y ＝mx (m ≠0)，与抛物线的方程x 2＝2py 联立可得B (2pm,2pm 2)， 所以以OB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－2pmx －2pm 2y ＝0. 因为OB ⊥OC ，所以直线OC 的方程为y ＝－1m x .同理可得以OC 为直径的圆的方程为 x 2＋y 2＋2p m x －2pm2y ＝0， 即m 2x 2＋m 2y 2＋2pmx －2py ＝0，将两圆的方程相加消去m ，得x 2＋y 2－2py ＝0， 即x 2＋(y －p )2＝p 2，所以点D 的轨迹是以OA 为直径的圆， 所以|DA |2＋|DO |2＝4p 2， 由|DA |2＋|DO |22≥⎝⎛⎭⎫|DA |＋|DO |22， 得|DA |＋|DO |≤22p ，当且仅当|DA |＝|DO |＝2p 时，等号成立． 故(|DA |＋|DO |)max ＝22p .2.如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程．(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)． 因为点P (1,2)在抛物线上， 所以22＝2p ×1， 解得p ＝2.故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1. (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB . 则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)， 因为PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， 所以k PA ＝－k PB .由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2， ②所以y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，所以y 1＋2＝－(y 2＋2)． 所以y 1＋y 2＝－4.由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)．。

【2019最新】精选高考数学一轮总复习第8章平面解析几何8-7抛物线模拟演练理[A级基础达标](时间：40分钟)1．[2017·江西九校联考]若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为( )B．椭圆A．圆D．抛物线C．双曲线答案D解析依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线．2．[2017·陕西质检]设抛物线y2＝2px的焦点在直线2x＋3y－8＝0上，则该抛物线的准线方程为( )B．x＝－2A．x＝－1D．x＝－4C．x＝－3答案D解析因为抛物线y2＝2px的焦点在2x＋3y－8＝0上，所以p＝8，所以抛物线的准线方程为x＝－4，故选D. 3．[2016·全国卷Ⅰ]以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为( )B．4A．2D．8C．6答案B解析由题意，不妨设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，由|AB|＝4，|DE|＝2，可取A，D，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得＋8＝＋5，得p＝4，所以选B. 4．[2017·福建模拟]设抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，垂足为A，如果△APF为正三角形，那么|PF|等于( )B．6A．4C ．6D ．12 答案 C解析 设点P 的坐标为(xP ，yP)，则|PF|＝xP ＋.过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点M ，则∠PFM＝∠APF＝60°，所以|PF|＝2|MF|，即xP ＋＝2，解得xP ＝，所以|PF|＝6.5．已知直线l1：4x －3y ＋6＝0和直线l2：x ＝－1，抛物线y2＝4x 上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )A.B ．2 C.D ．3 答案 B解析 由题可知l2：x ＝－1是抛物线y2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F(1,0)，则动点P 到l2的距离等于|PF|，则动点P 到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是＝2.6．[2017·延安模拟]在平面直角坐标系xOy 中，有一定点A(2,1)，若线段OA 的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．54＝－x 答案 解析 如图所示，线段OA 所在的直线方程为y ＝x ，其中垂线方程为2x ＋y －＝0，∴令y ＝0，得x ＝，即F ，∴p ＝，y2＝5x ，其准线方程为x ＝－.7．[2017·长春模拟]过抛物线y2＝4x 的焦点作倾斜角为45°的直线l 交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________． 22 答案 解析 由题意知抛物线焦点为(1,0)，直线l 的方程为y ＝x －1，与抛物线方程联立，得消去x ，得y2－4y －4＝0，设A ，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＋y2＝4，y1y2＝－4，两交点纵坐标差的绝对值为4，从而△OAB 的面积为2.8．[2017·邯郸模拟]设点P 在圆C ：x2＋(y －6)2＝5上，点Q 在抛物线x2＝4y上，则|PQ|的最小值为________． 5答案 解析 设Q(x ，y)，其中x2＝4y.又圆心C(0,6)，则|QC|＝＝＝(y≥0)．当y ＝4时，|QC|min ＝2，所以|PQ|min ＝|QC|min －r ＝2－＝.9．[2016·全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．解(1)由已知得M(0，t)，P.又N为M关于点P的对称点，故N，ON的方程为y＝x，代入y2＝2px，整理得px2－2t2x＝0，解得x1＝0，x2＝.因此H.所以N为OH的中点，即＝2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点．理由如下：直线MH的方程为y－t＝x，即x＝(y－t)．代入y2＝2px，得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其他公共点．10．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点C(－2,0)的直线l交抛物线于A、B两点，坐标原点为O，·＝12.(1)求抛物线的方程；(2)当以AB为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程．解(1)设l：x＝my－2，代入y2＝2px中，得y2－2pmy＋4p＝0.(*)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，则x1x2＝＝4.因为·＝12，所以x1x2＋y1y2＝12，即4＋4p＝12，得p＝2，抛物线的方程为y2＝4x.(2)(1)中(*)式可化为y2－4my＋8＝0.y1＋y2＝4m，y1y2＝8.设AB的中点为M，则|AB|＝2xM＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4，①又|AB|＝ |y1－y2|＝，②由①②得(1＋m2)(16m2－32)＝(4m2－4)2，解得m2＝3，m＝±.所以，直线l的方程为x＋y＋2＝0或x－y＋2＝0.[B级知能提升](时间：20分钟)11．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|＝( )B.A.D．2C．3答案C解析过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，因为＝4，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦点F到准线l的距离为4，所以|QF|＝|QQ′|＝3. 12．[2016·四川高考]设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为( )B.A.C.D．1答案C解析设P，易知F，则由|PM|＝2|MF|，得M，，当t＝0时，直线OM的斜率k＝0，当t≠0时，直线OM的斜率k＝＝，所以|k|＝≤＝，当且仅当＝时取等号，于是直线OM的斜率的最大值为，故选C. 13．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A，B 两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为________．答案x＝－1解析由题意可设直线方程为y＝－，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程消参得4x2－12px＋p2＝0，∴x1＋x2＝3p.∴p＝2，即抛物线方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.14．圆P恒过点F(0,1)，且与直线y＝－1相切．(1)求圆心P的轨迹方程T；(2)与圆x2＋(y＋1)2＝1相切的直线l：y＝kx＋t交曲线T于不同的两点M，N，若曲线T上存在点C满足＝λ(＋)(λ>0)，求λ的取值范围．解(1)由题意可得点P到点F的距离等于到定直线y＝－1的距离，∴点P的轨迹是以点F为焦点，直线y＝－1为准线的抛物线，其方程为x2＝4y.(2)如图，由直线l：y＝kx＋t与圆x2＋(y＋1)2＝1相切，得圆心(0，－1)到直线l的距离d＝＝1⇒k2＝t2＋2t.设交点M(x1，y1)，N(x2，y2)，由⇒x2－4kx－4t＝0，其中Δ＝16k2＋16t>0⇒t2＋3t>0⇒t>0或t<－3，⇒y1＋y2＝4k2＋2t，∴＝λ(＋)＝λ(x1＋x2，y1＋y2)＝λ(4k,4k2＋2t)，即C(4kλ，(4k2＋2t)λ)．代入x2＝4y，得(4kλ)2＝4λ(4k2＋2t)，即λ＝＝1＋＝1＋·.∵t>0或t<－3，在(－∞，－3)，(0，＋∞)都是单调递减函数，∴λ∈∪.。

第8章 平面解析几何 第5讲A 组 基础关1．已知椭圆的标准方程为x 2＋y 210＝1，则椭圆的焦点坐标为( )A ．(10，0)，(－10，0)B ．(0，10)，(0，－10)C ．(0,3)，(0，－3)D ．(3,0)，(－3,0)答案 C解析 椭圆x 2＋y 210＝1的焦点在y 轴上，a 2＝10，b 2＝1，故c 2＝a 2－b 2＝9，c ＝3.所以椭圆的焦点坐标为(0,3)，(0，－3)．2．(2018·合肥三模)已知椭圆E ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)经过点A (5，0)，B (0,3)，则椭圆E 的离心率为( )A.23 B ．53C ．49D ．59答案 A解析 由题意得a ＝3，b ＝5，所以c ＝a 2－b 2＝9－5＝2，离心率e ＝c a ＝23.3．设椭圆x 216＋y 212＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，且满足PF 1→·PF 2→＝9，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．8B ．10C ．12D ．15答案 D解析 由椭圆方程x 216＋y 212＝1，可得c 2＝4，所以|F 1F 2|＝2c ＝4，而F 1F 2→＝PF 2→－PF 1→，所以|F 1F 2→|＝|PF 2→－PF 1→|，两边同时平方，得|F 1F 2→|2＝|PF 1→|2－2PF 1→·PF 2→＋|PF 2→|2，所以|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2→|2＋2PF 1→·PF 2→＝16＋18＝34，根据椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，所以34＋2|PF 1||PF 2|＝64，所以|PF 1|·|PF 2|＝15.故选D.4．(2018·武汉调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)及点B (0，a )，过点B 与椭圆相切的直线交x 轴的负半轴于点A ，F 为椭圆的右焦点，则∠ABF ＝( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°答案 B解析 由题意知，切线的斜率存在，设切线方程y ＝kx ＋a (k >0)，与椭圆方程联立，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋a ，x 2a 2＋y2b2＝1，消去y 整理得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2ka 3x ＋a 4－a 2b 2＝0，由Δ＝(2ka 3)2－4(b 2＋a 2k 2)(a 4－a 2b 2)＝0，得k ＝c a ，从而y ＝c a x ＋a 交x 轴于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2c ，0，又F (c,0)，易知BA →·BF →＝0，故∠ABF ＝90°.5．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.43 B ．53 C ．54 D ．103答案 B解析 由题意知椭圆的右焦点F 的坐标为(1,0)，则直线AB 的方程为y ＝2x －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得交点(0，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43，∴S △OAB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－43＝53.故选B.6．(2018·南宁模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是( )A.12 B ．22 C ．32D ．55答案 C解析 设直线x －y ＋5＝0与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，因为AB 的中点M (－4,1)，所以x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2.易知直线AB 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝1.⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得，x 1＋x 2x 1－x 2a 2＋y 1＋y 2y 1－y 2b 2＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2，所以b 2a 2＝14，于是椭圆的离心率e ＝ca＝1－b 2a 2＝32.故选C.7．过椭圆x 225＋y 216＝1的中心任意作一条直线交椭圆于P ，Q 两点，F 是椭圆的一个焦点，则△PQF 周长的最小值是( )A ．14B ．16C ．18D ．20答案 C解析 如图，设F 1为椭圆的左焦点，右焦点为F 2，根据椭圆的对称性可知|F 1Q |＝|PF 2|，|OP |＝|OQ |，所以△PQF 1的周长为|PF 1|＋|F 1Q |＋|PQ |＝|PF 1|＋|PF 2|＋2|PO |＝2a ＋2|PO |＝10＋2|PO |，易知2|OP |的最小值为椭圆的短轴长，即点P ，Q 为椭圆的上、下顶点时，△PQF 1即△PQF 的周长取得最小值为10＋2×4＝18.8．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过点P (－5,4)，则椭圆的标准方程为________．答案x 245＋y 236＝1 解析 由题意设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由离心率e ＝55可得a 2＝5c 2，所以b 2＝4c 2，故椭圆的方程为x 25c 2＋y 24c 2＝1，将P (－5,4)代入可得c 2＝9，故椭圆的方程为x 245＋y 236＝1.9．设P ，Q 分别是圆x 2＋(y －1)2＝3和椭圆x 24＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是________．答案733解析 根据已知条件作出如图所示的图形．记圆x 2＋(y －1)2＝3的圆心为M ，由三角形的性质可得|PQ |≤|PM |＋|MQ |＝3＋|MQ |，设点Q 坐标为(x ，y )，那么x 24＋y 2＝1，所以|QM |2＝x 2＋(y －1)2＝4(1－y 2)＋(y －1)2＝－3y 2－2y ＋5，y ∈[－1,1]，因此|QM |2≤163，即|QM |≤433，所以|PQ |≤433＋3＝733，所以P ，Q 两点间的最大距离为733. 10．(2018·厦门模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，且PF 2垂直于x 轴，若直线PF 1的斜率为33，则该椭圆的离心率为________． 答案33解析 因为点P 在椭圆上，且PF 2垂直于x 轴，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a . 又因为直线PF 1的斜率为33，所以在Rt △PF 1F 2中， PF 2F 1F 2＝33，即b 2a 2c ＝33.所以3b 2＝2ac . 3(a 2－c 2)＝2ac ，3(1－e 2)＝2e ， 整理得3e 2＋2e －3＝0， 又0<e <1，解得e ＝33. B 组 能力关1．如果椭圆x 236＋y 29＝1的弦AB 被点M (x 0，y 0)平分，设直线AB 的斜率为k 1，直线OM (O 为坐标原点)的斜率为k 2，则k 1k 2的值为( )A ．4B ．14C ．－1D ．－14答案 D解析 解法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为弦AB 被点M (x 0，y 0)平分，所以x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0.易知k 1＝y 1－y 2x 1－x 2，k 2＝y 0x 0. ⎩⎪⎨⎪⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y 229＝1，两式相减得，x 1＋x 2x 1－x 236＋y 1＋y 2y 1－y 29＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－14·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－14·x 0y 0， ∴k 1k 2＝－14.解法二：设直线AB 的方程为y ＝k 1x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．代入椭圆方程并整理得，(1＋4k 21)x 2＋8k 1mx ＋4m 2－36＝0，x 1＋x 2＝－8k 1m 1＋4k 21，又中点M (x 0，y 0)在直线AB 上，所以y 1＋y 22＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k 21，从而得弦中点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1m 1＋4k 21，m 1＋4k 21，∴k 2＝m1＋4k 21－4k 1m 1＋4k 21＝－14k 1，∴k 1k 2＝－14. 2．(2018·昆明诊断)椭圆x 29＋y 225＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m 取最大值时，点P 的坐标是________．答案 (－3,0)或(3,0)解析 记椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10. 则m ＝|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝25，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5，即点P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值25.∴点P 的坐标为(－3,0)或(3,0)．3．(2018·内江三模)设P 是椭圆x 29＋y 24＝1第一象限弧上任意一点，过P 作x 轴的平行线与y轴和直线y ＝－23x 分别交于点M ，N .过P 作y 轴的平行线与x 轴和直线y ＝－23x 分别交于点R ，Q ，设O 为坐标原点，则△OMN 和△ORQ 的面积之和为________．答案 3解析 设P (x 0，y 0)(0<x 0<3,0<y 0<2)，则M (0，y 0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 0，y ＝－23x ，解得y ＝y 0，x ＝－32y 0，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32y 0，y 0， 所以S △OMN ＝12y 0×32y 0＝34y 20.同理可得R (x 0,0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0，y ＝－23x ，解得x ＝x 0，y ＝－23x 0，可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，－23x 0.所以S △ORQ ＝12x 0×23x 0＝13x 20.又x 209＋y 204＝1，所以△OMN 和△ORQ 的面积之和为34y 20＋13x 20＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 209＋y 204＝3. 4．在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，－3)，(0，3)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C .(1)写出C 的方程；(2)设直线y ＝kx ＋1与C 交于A ，B 两点，k 为何值时O A →⊥O B →？此时|AB |的值是多少？ 解 (1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴长为2的椭圆．它的短半轴长b ＝ 22－32＝1，故曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1，消去y ，并整理得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0， 故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4. ∵OA →⊥OB →，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0. ∵y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1，于是x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k 2k 2＋4＋1＝－4k 2＋1k 2＋4.又x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴k ＝±12.当k ＝±12时，x 1＋x 2＝∓417，x 1x 2＝－1217.|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k 2x 2－x 12，而(x 2－x 1)2＝(x 2＋x 1)2－4x 1x 2 ＝42172＋4×1217＝43×13172， ∴|AB |＝54×43×13172＝46517. C 组 素养关1．(2018·东北三省四市教研联合体模拟)在平面直角坐标系中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为12，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知P (－2,0)与Q (2,0)为平面内的两个定点，过(1,0)点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求四边形APBQ 面积的最大值．解 (1)∵c a ＝12，∴a ＝2c ，椭圆的方程为x 24c 2＋y 23c2＝1，将⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入得14c 2＋912c 2＝1，∴c 2＝1.∵椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)设l 的方程为x ＝my ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，x ＝my ＋1，消去x ，得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0， 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 有y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，有|AB |＝1＋m 2·121＋m 23m 2＋4＝121＋m23m 2＋4，点P (－2,0)到直线l 的距离为31＋m2，点Q (2,0)到直线l 的距离为11＋m2，从而四边形APBQ 的面积S ＝12×121＋m23m 2＋4×41＋m2＝241＋m 23m 2＋4(或S ＝12|PQ ||y 1－y 2|)． 令t ＝1＋m 2，t ≥1，有S ＝24t 3t 2＋1＝243t ＋1t，设函数f (t )＝3t ＋1t ，f ′(t )＝3－1t2>0，所以f (t )在[1，＋∞)上单调递增，有3t ＋1t ≥4，故S ＝24t 3t 2＋1＝243t ＋1t≤6，所以当t ＝1，即m ＝0时，四边形APBQ 面积的最大值为6.2．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点．线段AB 的中点为M (1，m )(m >0)．(1)证明：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋FA →＋FB →＝0.证明：|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差．解 (1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1.两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0. 由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m.①由题设得m < ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14×3＝32，且m >0，即0<m <32， 故k <－12.(2)由题意得F (1,0)．设P (x 3，y 3)，则由(1)及题设得(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0,0)，x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0.又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，|FP →|＝32. 于是|FA →|＝x 1－12＋y 21＝ x 1－12＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝2－x 12.同理| FB →|＝2－x 22. 所以| FA →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3.故2|FP →|＝|FA →|＋|FB →|，即|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列．设该数列的公差为d ，则 2|d |＝||FB →|－|FA →||＝12|x 1－x 2|＝12x 1＋x 22－4x 1x 2. ②将m ＝34代入①得k ＝－1.所以l 的方程为y ＝－x ＋74，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x ＋14＝0.故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝128，代入②解得|d |＝32128.所以该数列的公差为32128或－32128.。

第八篇 平面解析几何 专题8.08 抛物线及其几何性质【考试要求】1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 【知识梳理】 1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.(2)其数学表达式：{M ||MF |＝d }(d 为点M 到准线l 的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质【微点提醒】1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p ，通径是过焦点最短的弦.2.抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4.( ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( )(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( )【教材衍化】2.(选修2－1P72A1改编)顶点在原点，且过点P (－2，3)的抛物线的标准方程是________________.3. (选修2－1P67A3改编)抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点的个数为________.【真题体验】4.(2019·黄冈联考)已知方程y 2＝4x 表示抛物线，且该抛物线的焦点到直线x ＝m 的距离为4，则m 的值为( ) A.5 B.－3或5 C.－2或6 D.65.(2019·北京海淀区检测)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A.4 B.6 C.8 D.126.(2019·宁波调研)已知抛物线方程为y 2＝8x ，若过点Q (－2，0)的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________.【考点聚焦】考点一 抛物线的定义及应用【例1】 (1)(2019·厦门外国语模拟)已知抛物线x 2＝2y 的焦点为F ，其上有两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)满足|AF |－|BF |＝2，则y 1＋x 21－y 2－x 22＝( )A.4B.6C.8D.10(2)若抛物线y 2＝4x 的准线为l ，P 是抛物线上任意一点，则P 到准线l 的距离与P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值是( ) A.2 B.135C.145D.3【规律方法】 应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF |＝|x 0|＋p 2或|PF |＝|y 0|＋p2.【训练1】 (1)动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.(2)(2017·全国Ⅱ卷)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.考点二 抛物线的标准方程及其性质【例2】 (1)(2018·晋城模拟)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，其准线l 与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，当|MA ||MF |＝2时，△AMF 的面积为( ) A.1B. 2C.2D.2 2(2)已知圆C 1：x 2＋(y －2)2＝4，抛物线C 2：y 2＝2px (p >0)，C 1与C 2相交于A ，B 两点，且|AB |＝855，则抛物线C 2的方程为( ) A.y 2＝85xB.y 2＝165xC.y 2＝325xD.y 2＝645x【规律方法】 1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. 2.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.【训练2】 (1)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为________.(2)(2019·济宁调研)已知点A (3，0)，过抛物线y 2＝4x 上一点P 的直线与直线x ＝－1垂直相交于点B ，若|PB |＝|PA |，则P 的横坐标为( ) A.1 B.32C.2D.52考点三 直线与抛物线的综合问题【例3】(2019·武汉调研)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)和定点M(0，1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；(2)若△ABN面积的最小值为4，求抛物线C的方程.【规律方法】 1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.【提醒】：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.【训练3】(2017·全国Ⅰ卷)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.10【反思与感悟】1.抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M ，一个定点F (抛物线的焦点)，一条定直线l (抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率).2.抛物线的焦点弦：设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)若直线AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝2psin 2θ；|AB |＝x 1＋x 2＋p ； (3)若F 为抛物线焦点，则有1|AF |＋1|BF |＝2p .【易错防范】1.认真区分四种形式的标准方程(1)区分y ＝ax 2(a ≠0)与y 2＝2px (p ＞0)，前者不是抛物线的标准方程.(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0). 2.直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式. 【核心素养提升】【数学抽象】——活用抛物线焦点弦的四个结论1.数学抽象素养水平表现为能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则，能够将已知数学命题推广到更一般情形.本课时中研究直线方程时常用到直线系方程就是其具体表现之一.2.设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦， 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1·x 2＝p 24.(2)y 1·y 2＝－p 2.(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α是直线AB 的倾斜角).(4)1|AF |＋1|BF |＝2p 为定值(F 是抛物线的焦点).【例1】 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( ) A.4 B.92C.5D.6【一般解法】【应用结论】【例2】 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334B.938C.6332D.94【一般解法】【应用结论】【例3】 (2019·益阳、湘潭调研)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为( )A.5B.6C.163D.203【一般解法】【应用结论】【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题1.抛物线y ＝4x 2的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.1C.14D.182.(2019·抚顺模拟)已知点F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，M ，N 是该抛物线上的两点，若|MF |＋|NF |＝4，则线段MN 的中点的横坐标为( ) A.32 B.2C.52D.33.设抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，点A 为C 上一点，若|FA |＝3，则直线FA 的倾斜角为( ) A.π3 B.π4 C.π3或2π3D.π4或3π44.(2019·德州调研)已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过点F 的直线与抛物线C交于A ，B 两点，若OA →·OB →＝－12，则抛物线C 的方程为( )A.x 2＝8yB.x 2＝4yC.y 2＝8xD.y 2＝4x5.(2019·河南中原联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，且l 过点(－2，3)，M 在抛物线C 上，若点N (1，2)，则|MN |＋|MF |的最小值为( )A.2B.3C.4D.5二、填空题6.如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽________米.7.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足.若直线AF 的斜率k ＝－3，则线段PF 的长为________.8.已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________.三、解答题9.(2019·天津耀华中学模拟)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值.10.(2017·全国Ⅰ卷)设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4. (1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，设A ，B 是抛物线上的两个动点，|AF |＋|BF |＝233|AB |，则∠AFB 的最大值为( )A.π3B.3π4C.5π6D.2π312.(2019·武汉模拟)过点P (2，－1)作抛物线x 2＝4y 的两条切线，切点分别为A ，B ，PA ，PB 分别交x 轴于E ，F 两点，O 为坐标原点，则△PEF 与△OAB 的面积之比为( )A.32 B.33 C.12 D.3413.已知抛物线方程为y2＝－4x，直线l的方程为2x＋y－4＝0，在抛物线上有一动点A，点A到y轴的距离为m，到直线l的距离为n，则m＋n的最小值为________.14.(2019·泉州一模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点A在C上，若|AO|＝|AF|＝3 2.(1)求抛物线C的方程；(2)设直线l与C交于P，Q，若线段PQ的中点的纵坐标为1，求△OPQ的面积的最大值.【新高考创新预测】15.(思维创新)已知点A(0，2)，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM||MN|＝55，则p的值等于()1A.4 B.2 C.4 D.8。

2019-2020年⾼考数学⼀轮总复习第8章平⾯解析⼏何8.7抛物线模拟演练理2019-2020年⾼考数学⼀轮总复习第 8章平⾯解析⼏何8.7抛物线模拟演1. ［xx ?江西九校联考］若点P 到直线x =— 1的距离⽐它到点（2,0）的距离⼩1，则点P 的轨迹为（） A .圆 C.双曲线答案解析物线. D 依题意，点2. [xx 线⽅程为( A . x =— 1 -陕西质检 C. x =— 3 答案解析因为抛物线 B.椭圆 D.抛物线 P 到直线x =-2的距离等于它到点（2,0）的距离，故点 P 的轨迹是抛］设抛物线y 2= 2px 的焦点在直线2x + 3y - 8 = 0上，则该抛物线的准 B. x =- 2 D. x =— 4 o p y = 2px 的焦点^， 0在2x + 3y — 8= 0上，所以p = 8,所以抛物线的准线⽅程为3. ［xx 两点.已知 A . 2 x = — 4，故选 D. ?全国卷I ］以抛物线C 的顶点为圆⼼的圆交 C 于A, B 两点，交C 的准线于D, E | AB | = 4^2, |DE = 2^5,则C 的焦点到准线的距离为（） B. 4 C. 6答案 D. 8 解析A 4, 2⾎以选B. 由题意，不妨设抛物线⽅程为y 2= 2px （p >0）,由|AB = 4 2 , |DE = 2 5,可取p ?- 16 p 2,D —⼠ 5，设O 为坐标原点，由|OA = |OD ，得P + 8=2+ 5，得p = 4，所 2 、 p 44. 垂⾜为 A . 2［XX ?福建模拟］设抛物线y = 6x 的焦点为F ,代如果△ APF 为正三⾓形，那么| PF 等于（ 4 ,36B. C. 答案 C D. 准线为I , P 为抛物线上⼀点，PA 丄I , ） 6 3 123 解析设点P 的坐标为（X P , y p ），则| PF = X P + 2-过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点M 则/ PFMk Z APF= 60°，所以 |PF | = 2| MF ，即 X P +|= 2 X P — 3，解得 X P = 2，所以 | PF = 6. 3 」■■和■ — ? "I 少、I ■■ i — 1 ,w|■ i ?"⼚⼋。

第五节抛物线突破点一抛物线的定义及其应用抛物线的定义不经过点)平面内与一个定点和一条定直线(的点的轨迹叫做抛物线．点叫做距离相等的抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线．一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)()平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )()为抛物线＝的过焦点的弦，若(，)，(，)，则＝，＝－，弦长＝＋＋.( )答案：()×()√二、填空题．已知动点到定点()的距离和它到直线：＝－的距离相等，则点的轨迹方程为．答案：＝．已知抛物线：＝的焦点为，(，)是上一点，＝，则＝.答案：．已知是抛物线＝的焦点，，是该抛物线上的两点，＋＝，则线段的中点到轴的距离为．答案：考法一抛物线的定义及应用[例] ()(·赣州模拟)若点的坐标为()，是抛物线＝的焦点，点在抛物线上移动时，使＋取得最小值的的坐标为( )．()．()．(，) ()(·襄阳测试)已知抛物线＝的焦点为，准线为，在上，线段与抛物线交于点，若＝，则＝( )．．[解析] ()过点作准线的垂线，垂足是，则＋＝＋，当，，三点共线时，＋取得最小值，此时()．()如图，过作准线的垂线，垂足为.根据抛物线的定义可知＝，在△中，＝，则∠＝°.在△中，∠＝°，所以＝.而＝.所以＝.故选.[答案] () ()[方法技巧]利用抛物线的定义解决问题时，应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线距离有关问题的有效途径．考法二焦点弦问题焦点弦的常用结论以抛物线＝(＞)为例，设是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，是抛物线的焦点，(，)，(，)，，在准线上的射影为，，则有以下结论：()＝，＝－；()＝＋＋＝(其中θ为直线的倾斜角)，抛物线的通径长为，通径是最短的焦点弦；()＋＝为定值；()以为直径的圆与抛物线的准线相切；()以(或)为直径的圆与轴相切；()以为直径的圆与直线相切，切点为，∠＝°；()，，三点共线，，，三点也共线．[例] (·长沙四校联考)过抛物线：＝的焦点的直线与抛物线交于，两点，与抛物线的准线交于点，且＝，则＝( ) [解析] 如图，不妨设点在第一象限，过作垂直于抛物线的准线，垂足为，由抛物线定义可知＝，又因为＝，所以＝，所以＝＝，在△中，∠＝＝，由抛物线焦点弦的性质可知＝＝＝.故选.[答案][方法技巧]焦点弦问题的求解策略解决焦点弦问题的关键是“设而不求”方法的应用，解题时，设出直线与抛物线两交点的坐标，根据抛物线的方程正确表示出焦点弦长，再利用已知条件求解．若抛物线＝上一点到其焦点的距离为，为坐标原点，则△的面积为( )．．解析：选设(，)，由题意可得抛物线的焦点为(，)，准线方程为＝－，又点到焦点的距离为，∴由抛物线的定义知点到准线的距离为，∴＋＝，得＝，代入抛物线方程得＝，∴△的面积为＝··＝××＝.故选.已知是抛物线＝的一条焦点弦，＝，则中点的横坐标是( )解析：选设(，)，(，)，则＝＋＋＝，又＝，∴＋＝，∴点的横坐标是＝.故选.已知是抛物线＝上一点，为其焦点，点在圆：(＋)＋(－)＝上，则＋的最小值是．解析：依题意，由点向抛物线＝的准线：＝－引垂线，垂足为(图略)，则有＋＝＋，结合图形可知＋的最小值等于圆心(－，)到＝－的距离再减去圆的半径，即等于－＝，因此＋的最小值是.答案：突破点二抛物线的标准方程及性质一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)()方程＝(≠)表示的曲线是焦点在轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是＝－.( )()抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( ) ()若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( )答案：()×()×()×二、填空题．已知抛物线的对称轴为轴，顶点在原点，焦点在直线－＋＝上，则此抛物线的方程是．答案：＝－．抛物线＝的准线方程是＝，则的值为．答案：－．已知是抛物线＝的焦点，若抛物线上的点到轴的距离为，则＝.答案：考法一求抛物线的标准方程[例] ()(·河南中原名校联考)抛物线＝(＞)的焦点为，为坐标原点，为抛物线上一点，且＝，△的面积为，则抛物线的方程为( )．＝．＝．＝．＝()(·江西协作体联考)设抛物线：＝(＞)的焦点为，点在上，＝.若以为直径的圆过点()，则的方程为( )．＝或＝．＝或＝．＝或＝．＝或＝[解析] ()设(，)，因为＝，＝，所以＝，由抛物线定义知＋＝，所以＝，所以＝±，又△的面积为，所以××＝，解得＝(＝－舍去)．所以抛物线的方程为＝. ()由已知得抛物线的焦点，设点()，抛物线上点(，)，则＝，＝.由已知得·＝，即－＋＝，因而＝，.由＝得，＝，又＞，解得＝或＝，故选.[答案] () ()[方法技巧]求抛物线方程的个注意点()当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种．()要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系．()要注意参数的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．考法二抛物线的几何性质[例] ()(·兰州双基过关考试)抛物线＝(＞)上横坐标为的点到此抛物线焦点的距离为，则该抛物线的焦点到准线的距离为( )．．．．()(·赣州二模)抛物线：＝(＞)的焦点为，是抛物线上一点，若到的距离是到轴距离的两倍，且三角形的面积为，为坐标原点，则的值为( )．．．．[解析] ()设抛物线的准线方程为＝－(＞)，如图，则根据抛物线的性质有＝＋＝，解得＝，所以抛物线的焦点到准线的距离为.()不妨设(，)在第一象限，由题意可知(\\(＋()＝，△＝()·()·＝，))即(\\(＝()，＝()，))∴，又∵点在抛物线＝上，∴＝×，即＝，又∵＞，∴＝，故选.[答案] () ()[方法技巧]用抛物线几何性质的技巧涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点(－，－)的抛物线的标准方程是( )．＝－．＝－．＝－或＝－．＝－或＝－解析：选设抛物线为＝，代入点(－，－)，解得＝－，则抛物线方程为＝－；设抛物线为＝，代入点(－，－)，解得＝－，则抛物线方程为＝－.已知抛物线：＝的焦点为，点(，－)．若线段与抛物线相交于点，则＝( )解析：选由题意，()，＝，设＝，则到准线的距离为，的横坐标为－，由三角形相似，可得＝，所以＝，故选.已知是抛物线＝(＞)上一点，是抛物线的焦点，为坐标原点，当＝时，∠＝°，则抛物线的准线方程是( )．＝－．＝－．＝－．＝－解析：选过向准线作垂线，设垂足为，准线与轴的交点为.因为∠＝°，所以△为等边三角形，∠＝°，从而＝＝，因此抛物线的准线方程为＝－.选.。

第五节抛物线抛物线的定义及其应用考向聚焦高考热点,主要考查与抛物线的定义有关的最值、距离、轨迹等问题,单独命题一般以选择题、填空题形式出现;大多渗透于解答题中,难度中档,所占分值4~5分备考指津训练题型:(1)与抛物线有关的轨迹问题,注意分析问题的能力的训练;(2)最值问题,注意转化与化归思想的培养.(3)距离问题,注意解题方法的训练1.(2011年辽宁卷,理3)已知F是抛物线y 2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为( )(A)(B)1 (C)(D)解析:如图:由抛物线定义知|AA1|+|BB1|=|AF|+|BF|=3,则梯形AA1B1B的中位线|CC1|=,从而AB中点C到y轴的距离为d=-=.故选C.答案:C.2.(2010年辽宁卷,理7)设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.如果直线AF的斜率为-,那么|PF|等于( )(A)4(B)8 (C)8(D)16解析:由题意知F(2,0),准线方程为x=-2,直线AF的方程为y=-(x-2),∴A(-2,4),设P(x0,4),代入y2=8x,得x0=6,则|PF|==8,故选B.答案:B.有关抛物线问题,应特别注意抛物线定义的应用,即抛物线上点到焦点的距离与点到准线的距离可以相互转化.3.(2010年上海卷,理3)若动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P 的轨迹方程为.解析:动点P到定点F和到定直线x=-2距离相等,∴P点的轨迹为抛物线,=2⇒p=4,所以y2=8x.答案:y2=8x抛物线的标准方程与几何性质考向聚焦高考热点内容,主要从两个方面进行考查:(1)给出抛物线方程研究其几何性质;(2)利用几何性质求抛物线方程,一般为选择题、填空题,难度不大,所占分值5分左右4.(2012年四川卷,理8,5分)已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|等于( )(A)2(B)2(C)4 (D)2解析:由题意知,此抛物线开口向右,∴可设其标准方程为y2=2px(p>0).又∵点M在抛物线上且到焦点距离为3,∴点M到其准线的距离也为3,∴=3-2=1,p=2.∴抛物线方程为y2=4x.又∵点M在抛物线上,∴=4×2=8,∴|OM|====2.故选B.答案:B.5.(2011年陕西卷,理2)设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的方程是( )(A)y2=-8x (B)y2=8x(C)y2=-4x (D)y2=4x解析:抛物线的准线方程为x=-2,则焦点为(2,0),∴=2,∴p=4,故抛物线的标准方程为y2=8x,故选B.答案:B.6.(2011年湖北卷,理4)将两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n,则( )(A)n=0 (B)n=1 (C)n=2 (D)n≥3解析:如图所示,由抛物线的对称性知A、B关于x轴对称.过点F作直线y=(x-),y=-(x-)分别与抛物线有2个交点.∴等边三角形有△AFB和△A'FB'共2个,故选C.答案:C.7.(2010年浙江卷,理13)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2).若线段FA的中点B 在抛物线上,则B 到该抛物线准线的距离为.解析:由已知F的坐标为(,0),则B点坐标为(,1),代入抛物线方程y2=2px 得p2=2,p=,∴B点到抛物线准线的距离d=+=.答案:直线与抛物线的位置关系考向聚焦高考热点内容,(1)主要与向量、函数、不等式相结合考查焦点弦问题;(2)研究直线与抛物线的位置关系;(3)直线与抛物线相交时,考查借助弦长求参数或借助根与系数关系求弦长主观题、客观题均可能出现,难度中档偏上,所占分值4~8分备考指津训练题型:(1)直线与抛物线的位置关系,注重数形结合思想的训练;(2)直线与抛物线的相交弦问题,注重转化思想,“设而不求”法及“点差法”的训练,并注意判别式大于零这一隐含条件.8.(2012年安徽卷,理9,5分)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB 的面积为( )(A)(B)(C)(D)2解析:本题考查抛物线的性质,直线方程,直线与抛物线的位置关系,点到直线的距离公式以及三角形的面积.设A点坐标为(x 1,y1),B点坐标为(x2,y2),抛物线的焦点F(1,0),准线方程x=-1,根据点A 到焦点F 的距离等于到准线的距离可知x1=3-1=2,代入抛物线方程得y2=8,不妨取y1=2,则A(2,2),则k AB=2,直线AB方程为y=2x-2,代入y2=4x得2x2-5x+2=0,∴x1+x2=,|AB|=+2=,又点O到直线AB 的距离d==,所以S △AOB=××=.故选C.答案:C.根据抛物线定义可知抛物线上任一点到焦点的距离等于这点到准线的距离,可以把抛物线过焦点的弦长转化为过焦点的直线与抛物线两交点的坐标问题,这样比较容易求出弦长,然后利用点到直线的距离公式求三角形边上的高,利用面积公式即可解决问题.9.(2011年大纲全国卷,理10)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线y=2x-4与C交于A,B两点,则cos ∠AFB等于( )(A)(B)(C)-(D)-解析:由y2=4x得F(1,0),准线方程为x=-1.由,得A(1,-2),B(4,4).则AB==3,由抛物线定义得|AF|=2,|BF|=5,由余弦定理得cos ∠AFB==-,故选D.答案:D.10.(2012年北京卷,理12,5分)在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点,其中点A在x轴上方,若直线l的倾斜角为60°,则△OAF的面积为.解析:∵抛物线y2=4x,∴焦点F的坐标为(1,0).又∵直线l倾斜角为60°,∴直线斜率为,∴直线方程为y=(x-1).联立方程解得或由已知得A的坐标为(3,2),∴S△OAF=|OF|·|y A|=×1×2=.答案:11.(2012年辽宁卷,理15,5分)已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为.解析:y=x2,y'=x,P(4,8),k1=y'|x=4=4,切线为y=4x-8,Q(-2,2),k2=y'|x=-2=-2,切线为y=-2x-2.由得A(1,-4).答案:-412.(2012年重庆卷,理14,5分)过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=,|AF|<|BF|,则|AF|= .解析:设直线AB方程:y=k(x-)(由题易知斜率存在且k≠0),代入y2=2x消去y并整理得k2x2-(k2+2)x+=0 ①,设A(x1,y1)、B(x2,y2)则x1+x2==1+,又|AB|=,故x1+x2+1=,∴x1+x2=,∴1+=,k2=24.把k2=24代入方程①得24x2-26x+6=0,解得x=或x=,因|AF|<|BF|,∴x1=,∴|AF|=+=.答案:本题考查抛物线的焦点弦、抛物线定义的运用,考查学生的运算能力、转化能力,难度较大.13.(2010年全国卷Ⅱ,理15)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为l,过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A,与C的一个交点为B,若=,则p= .解析:过M(1,0)的直线方程为y=(x-1),交准线l于点A(-,-(+1)),∵=,∴M为AB的中点,∴B为(2+,(+1)),代入抛物线方程得p=2.答案:214.(2010年湖南卷,理14)过抛物线x2=2py(p>0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A,B两点,A,B在x轴上的正射影分别为D,C.若梯形ABCD的面积为12,则p= .解析:由已知得焦点为F(0,),设直线为y=x+,A(x1,y1),B(x2,y2).由得:x2-2px-p2=0,∴x1+x2=2p,x1·x2=-p2,∴y1+y2=x1+x2+p=3p,∴|CD|=|x1-x2|==2p,∴S梯形ABCD=(|AD|+|BC|)·|CD|=(y1+y2)·2p=×3p×2p=3p2.∴3p2=12,∴p=2.答案:215.(2012年山东卷,理21,13分)在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,过M,F,O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线的距离为.(1)求抛物线C的方程;(2)是否存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由;(3)若点M的横坐标为,直线l:y=kx+与抛物线C有两个不同的交点A,B,l与圆Q有两个不同的交点D,E,求当≤k≤2时,|AB|2+|DE|2的最小值.解:(1)抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F(0,),设Q(a,b),由题意可知b=,则点Q到抛物线C的准线的距离为b+=+=p=,解得p=1,于是抛物线C的方程为x2=2y.(2)假设存在点M(x0,)(x0>0),使得直线MQ与抛物线C相切于点M,而F(0,),O(0,0),M(x0,),Q(a,),|MQ|=|OQ|=|QF|,∴(x0-a)2+(-)2=a2+,a=+x0,由x2=2y可得y'=x,k=x0=,则+-=-,即--2=0,解得x0=,点M的坐标为(,1).(3)当x0=时,由(2)得Q(,),☉Q的半径为r==.所以☉Q的方程为(x-)2+(y-)2=,由整理得2x2-4kx-1=0.设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2). 由于Δ1=16k2+8>0,x1+x2=2k,x1x2=-.所以|AB|2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=(1+k2)(4k2+2)由整理得(1+k2)x2-x-=0.设D,E两点的坐标分别为(x3,y3),(x4,y4), 由于Δ2=+>0,x3+x4=,x3x4=-.所以|DE|2=(1+k2)[(x3+x4)2-4x3x4]=+.因此|AB|2+|DE|2=(1+k2)(4k2+2)++令1+k2=t,由于≤k≤2,则≤t≤5,所以|AB|2+|DE|2=t(4t-2)++=4t2-2t++,设g(t)=4t2-2t++,t∈[,5].因为g'(t)=8t-2-,所以当t∈[,5]时,g'(t)≥g'()=6,即函数g(t)在t∈[,5]上是增函数,所以当t=时,g(t)取到最小值,因此当k=时,|AB|2+|DE|2取到最小值.16.(2012年新课标全国卷,理20,12分)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l,A为C 上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.(1)若∠BFD=90°,△ABD的面积为4,求p的值及圆F的方程;(2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.解:(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F的半径|FA|=p,又点A到l的距离d=|FA|=p而S△ABD=4.∴|BD|·d=4.即×2p×p=4,∴p=-2(舍去)或p=2∴圆F的方程为x2+(y-1)2=8.(2)∵A、B、F三点在同一直线m上,所以AB为圆F的直径,∠ADB=90°.又由抛物线定义知|AD|=|FA|=|AB|,∴∠ABD=30°,m的斜率为-或,当m的斜率为时,可设n方程为y=x+b.代入x2=2py得x2-px-2pb=0,由于n与C只有一个公共点,故Δ=p2+8pb=0∴b=-,又∵m的截距b1=,=3∴坐标原点到m、n的距离的比值为3.当m的斜率为-时,由图形对称性知,坐标原点到m、n的距离之比仍为3.本题涉及抛物线与圆相结合、直线与抛物线位置关系,圆的简单性质等方面,综合性很强,难度突显,但是数据及运算量并不复杂,突破难点的关键是充分利用抛物线及圆心简单性质,巧妙处理.(2010年湖北卷,理19,12分)已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程;(2)是否存在正数m,对于过点M(m,0),且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有·<0?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.解:(1)设P(x,y)是曲线C上任意一点,那么点P(x,y)满足:-x=1(x>0),2分化简得y2=4x(x>0).4分第(1)问赋分细则:(1)设出P(x,y),列出-x=1(x>0)得2分;(2)未加条件x>0扣1分.(2)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).设l的方程为x=ty+m,5分由,得y2-4ty-4m=0,Δ=16(t2+m)>0.6分于是①7分又=(x1-1,y1),=(x2-1,y2),·<0⇔(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2<0 ②8分又x=,于是不等式②等价于·+y1y2-(+)+1<0⇔+y1y2-[(y1+y2)2-2y1y2]+1<0 ③9分根据①式,不等式③等价于m2-6m+1<4t2④10分对任意实数t,4t2的最小值为0,所以不等式④对于一切t成立等价于m2-6m+1<0即3-2<m<3+211分由此可知,存在正数m,对于过点M(m,0),且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有·<0,且m的取值范围是(3-2,3+2).12分第(2)问赋分细则:(1)未写Δ>0扣1分;(2)未指明4t2的最小值为0,直接写出3-2<m<3+2扣1分;(3)③式结果错扣1分;(4)未写明结果扣1分.通过高考阅卷统计分析、造成失分的原因如下:(1)解题思路对,解题跨度大,如由·<0直接写出了等价条件m2-6m+1<4t2;(2)忽视m为正数的条件和4t2≥0;(3)结论写不清.。

8.7抛物线[知识梳理]1．抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质3．必记结论(1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径．(2)y 2＝ax 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4.(3)直线AB 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如图．①y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p24.②|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ，即当x 1＝x 2时，弦长最短为2p .③1|AF |＋1|BF |为定值2p .④弦长AB ＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)． ⑤以AB 为直径的圆与准线相切．⑥焦点F 对A ，B 在准线上射影的张角为90°. [诊断自测] 1．概念思辨(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( ) (4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a ＞0)的通径长为2a .( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．教材衍化(1)(选修A1－1P 64A 组T 2)抛物线y ＝1a x 2(a ≠0)的焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 4或⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 4 C.⎝⎛⎭⎪⎫0，a 4D.⎝⎛⎭⎪⎫a 4，0 答案 C解析 把方程写成x 2＝ay ，若a >0，则p ＝a2，焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 4；若a <0，则p ＝－a2，开口向下，焦点为F ⎝⎛⎭⎪⎫0，a 4.故选C.(2)(选修A1－1P 61例4)若过抛物线y 2＝8x 的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( )A ．8B ．16C ．32D ．64答案 B解析 由抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，得直线的方程为y ＝x －2，代入y 2＝8x ，得(x －2)2＝8x ，即x 2－12x ＋4＝0，所以x 1＋x 2＝12，弦长为x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16.故选B.3．小题热身(1)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32 C ．1 D.3答案 B解析 由抛物线y 2＝4x ，有2p ＝4⇒p ＝2，焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，不妨取其中一条3x －y ＝0，由点到直线的距离公式，有d ＝|3×1－0|(3)2＋(－1)2＝32.故选B. (2)(2018·正定一模)如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则ba ＝________.答案 1＋2解析 |OD |＝a2，|DE |＝b ，|DC |＝a ，|EF |＝b ，故C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b ，b ， 又抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点， 从而有⎩⎪⎨⎪⎧(－a )2＝2p ×a 2，b 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝p ，b 2＝ap ＋2bp ， ∴b 2＝a 2＋2ab ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－2·b a －1＝0，又ba >1， ∴ba ＝1＋ 2.题型1 抛物线的定义及应用典例(2016·浙江高考)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________．抛物线定义法．答案 9解析 设M (x 0，y 0)，由抛物线方程知焦点F (1,0)．根据抛物线的定义得|MF |＝x 0＋1＝10，∴x 0＝9，即点M 到y 轴的距离为9.[条件探究1] 将典例条件变为“过该抛物线焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，若|AF |＝3”，求△AOB 的面积．解 焦点F (1,0)，设A ，B 分别在第一、四象限，则点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得A 的横坐标为2，纵坐标为22，AB 的方程为y ＝22(x －1)，与抛物线方程联立可得2x 2－5x ＋2＝0，所以B 的横坐标为12，纵坐标为－2，S △AOB ＝12×1×(22＋2)＝322.[条件探究2] 将典例条件变为“在抛物线上找一点M ，使|MA |＋|MF |最小，其中A (3,2)”．求M 点坐标及此时的最小值．解 如图，点A 在抛物线y 2＝4x 的内部，由抛物线的定义可知，|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MH |，其中|MH |为M 到抛物线的准线的距离．过A 作抛物线准线的垂线交抛物线于M 1，垂足为B ， 则|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MH |≥|AB |＝4， 当且仅当点M 在M 1的位置时等号成立． 此时M 1点的坐标为(1,2)． 方法技巧利用抛物线的定义可解决的常见问题1．轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线．见典例．2．距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化．见条件探究2.3．看到准线想焦点，看到焦点想准线，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．冲关针对训练(2017·湖北二模)设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB→＋FC →＝0，则|F A |＋|FB |＋|FC |的值为( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12答案 B解析 抛物线y 2＝4x 焦点坐标为F (1,0)，准线方程x ＝－1， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3) ∵F A →＋FB→＋FC →＝0， ∴点F 是△ABC 重心，则x 1＋x 2＋x 33＝1， ∴x 1＋x 2＋x 3＝3.由抛物线的定义可知：|F A |＋|FB |＋|FC |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＋(x 3＋1)＝6，∴|F A |＋|FB |＋|FC |＝6，故选B. 题型2 抛物线的标准方程及性质典例1设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x本题采用待定系数法，列方程求解．答案 C解析 以MF 为直径的圆过点(0,2)，∴点M 在第一象限．由|MF |＝x M ＋p 2＝5可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2，2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2，以MF 为直径的圆，其圆心N 为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，122p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2，∵点N 的横坐标恰好等于圆的半径，∴圆与y 轴切于点(0,2)，从而2＝122p ⎝⎛⎭⎪⎫5－p 2，即p 2－10p ＋16＝0，解得p ＝2或p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .故选C.典例2 (2016·天津高考)设抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，p >0)的焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫72p ，0，AF 与BC 相交于点E .若|CF |＝2|AF |，且△ACE 的面积为32，则p 的值为________．答案6解析 根据题意作出如图所示图形，由已知得抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则|FC |＝3p ，∴|AF |＝|AB |＝32p ，不妨设A 在第一象限，则A (p ，2p )．易证△EFC ∽△EAB ，所以|EF ||AE |＝|FC ||AB |＝|FC ||AF |＝2，所以|AE ||AF |＝13，所以S △ACE ＝13S △AFC ＝13×32p ×2p ＝22p 2＝32，所以p ＝ 6. 方法技巧确定及应用抛物线性质的关键与技巧1．关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．见典例1.2．技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解．见典例2.冲关针对训练1.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为()A．y2＝9x B．y2＝6xC．y2＝3x D．y2＝3x答案C解析设A，B在准线上的射影分别为A1，B1，由于|BC|＝2|BF|＝2|BB1|，则直线l的斜率为3，故|AC|＝2|AA1|＝6，从而|BF|＝1，|AB|＝4，故p|AA1|＝|CF||AC|＝12，即p＝32，从而抛物线的方程为y2＝3x，故选C.2．(2018·河南洛阳统考)已知F1，F2分别是双曲线3x2－y2＝3a2(a ＞0)的左、右焦点，P是抛物线y2＝8ax与双曲线的一个交点，若|PF1|＋|PF2|＝12，则抛物线的准线方程为________．答案x＝－2解析将双曲线方程化为标准方程得x2a2－y23a2＝1，可得F2(2a,0)，又易知其也是抛物线的焦点，联立⎩⎨⎧x 2a 2－y 23a 2＝1，y 2＝8ax⇒x ＝3a ，即点P的横坐标为3a .而由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝12，|PF 1|－|PF 2|＝2a⇒|PF 2|＝6－a ，∴|PF 2|＝3a ＋2a ＝6－a ，得a ＝1，∴抛物线的准线方程为x ＝－2.题型3 直线与抛物线的综合问题角度1 直线与抛物线的交点问题典例(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．本题采用方程组法．解 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t .又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，故ON 的方程为y ＝ptx ，将其代入y 2＝2px ，整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t2p ，因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点． 理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ， 即x ＝2tp (y －t )．代入y 2＝2px ，得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．角度2 与抛物线弦中点有关的问题典例(2018·郑州模拟)已知抛物线C ：y ＝mx 2(m ＞0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q .(1)求抛物线C 的焦点坐标；(2)若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)∵抛物线C ：x 2＝1m y ，∴它的焦点F ⎝⎛⎭⎪⎫0，14m . (2)∵|RF |＝y R ＋14m ，∴2＋14m ＝3，得m ＝14.(3)存在，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，消去y 得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)＞0⇒m ＞－12.设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m ，x 1·x 2＝－2m .(*)∵P 是线段AB 的中点，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，mx 21＋mx 222，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，y P ， ∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，1m .得QA →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1－1m ，mx 21－1m ，QB →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1m ，mx 22－1m ，若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则QA→·QB →＝0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫mx 21－1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫mx 22－1m ＝0， 结合(*)化简得－4m 2－6m ＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12，而2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，－12∉⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. ∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形． 方法技巧解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法1．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．2．涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．见角度2典例．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．冲关针对训练已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．解 (1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2. 因为|AF |＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2， 所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明：因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上， 所以m ＝±2 2.由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)． 由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为 y ＝22(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0， 解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝⎛⎭⎪⎫12，－2.又G (－1,0)，所以k GA＝22－02－(－1)＝223，k GB＝－2－012－(－1)＝－223，所以k GA＋k GB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB 相切．题型4抛物线中的最值问题典例1(2017·成都四模)如图所示点F是抛物线y2＝8x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝8x及圆x2＋y2－4x－12＝0的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△F AB的周长的取值范围是()A．(6,10) B．(8,12)C．[6,8] D．[8,12]利用抛物线定义，圆的半径及AB 长表示出△F AB的周长为x B＋6，再确定x B的范围即可．答案B解析抛物线的准线l：x＝－2，焦点F(2,0)，由抛物线定义可得|AF|＝x A＋2，圆(x－2)2＋y2＝16的圆心为(2,0)，半径为4，∴△F AB的周长＝|AF|＋|AB|＋|BF|＝x A＋2＋(x B－x A)＋4＝6＋x B.由抛物线y2＝8x及圆(x－2)2＋y2＝16可得交点的横坐标为2，∴x B∈(2,6)，∴6＋x B∈(8,12)．故选B.典例2抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是________ .平移直线法．答案 43解析 如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线为4x ＋3y ＋b ＝0，切线方程与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋b ＝0， 消去y 整理得3x 2－4x －b ＝0，则Δ＝16＋12b ＝0，解得b ＝－43，所以切线方程为4x ＋3y －43＝0，抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是这两条平行线间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8－435＝43.方法技巧与抛物线有关的最值问题，一般通过数形结合思想或函数方程思想来解决．注意“定义转化法”(典例1)，“平移直线法”(典例2)．冲关针对训练(2017·浙江模拟)已知F 为抛物线4y 2＝x 的焦点，点A ，B 都是抛物线上的点且位于x 轴的两侧，若OA→·OB →＝15(O 为原点)，则△ABO与△AFO 的面积之和的最小值为( )A.18B.52C.54D.652答案 D解析 设直线AB 的方程为：x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线AB 与x 轴的交点为M (m,0)，⎩⎪⎨⎪⎧4y 2＝x ，x ＝ty ＋m ，可得4y 2－ty －m ＝0， 根据韦达定理有y 1·y 2＝－m 4， ∵OA→·OB →＝15， ∴x 1·x 2＋y 1·y 2＝15， 从而16(y 1·y 2)2＋y 1·y 2－15＝0. ∴y 1y 2＝－1或y 1y 2＝1516. ∵点A ，B 位于x 轴的两侧， ∴y 1·y 2＝－1，故m ＝4.不妨令点A 在x 轴上方，则y 1>0，又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫116，0，∴S △ABO ＋S △AFO ＝12×4×(y 1－y 2)＋12×116y 1＝6532y 1＋2y1≥265y 132×2y 1＝652，当且仅当6532y 1＝2y 1，即y 1＝86565时，取“＝”号，∴△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是652， 故选D.1.(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 B解析 不妨设C ：y 2＝2px (p >0)，A (x 1,22)，则x 1＝(22)22p ＝4p ，由题意可知|OA |＝|OD |，得⎝ ⎛⎭⎪⎫4p 2＋8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＋5，解得p ＝4.故选B.2．(2015·浙江高考)如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1答案 A解析 过A ，B 点分别作y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，则|AM |＝|AF |－1，|BN |＝|BF |－1.可知S △BCF S △ACF ＝12·|CB |·|CF |·sin ∠BCF12·|CA |·|CF |·sin ∠BCF ＝|CB ||CA |＝|BN ||AM |＝|BF |－1|AF |－1，故选A.3．(2017·全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.答案 6解析 如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .由题意知，F (2,0)，|FO |＝|AO |＝2. ∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ， ∴|MP |＝12|FO |＝1. 又|BP |＝|AO |＝2， ∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3， 故|FN |＝2|MF |＝6.4．(2018·河北六校模拟)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________．答案 y 2＝16x解析 设满足题意的圆的圆心为M .根据题意可知圆心M 在抛物线上，又∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6，则|MF |＝x M ＋p 2＝6，即x M ＝6－p2， 又由题意可知x M ＝p 4，∴p 4＝6－p2，解得p ＝8. ∴抛物线方程为y 2＝16x .[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．(2017·皖北协作区联考)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，若直线y ＝2x 被抛物线所截弦长为45，则抛物线C 的方程为( )A ．x 2＝8yB ．x 2＝4yC ．x 2＝2yD ．x 2＝y答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2py ，y ＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4p ，y ＝8p ，即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p )，则(4p )2＋(8p )2＝45，得p ＝1(舍去负值)，故抛物线C 的方程为x 2＝2y .故选C.2．(2014·全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.303 B ．6 C ．12 D ．73答案 C解析 抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ⎝⎛⎭⎪⎫34，0，所以AB 所在的直线方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，将y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34代入y 2＝3x ，消去y 整理得x 2－212x ＋916＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝212，由抛物线的定义可得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12.故选C.3．(2018·广东广州模拟)如果P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2＝4x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F 是抛物线C 的焦点，若x 1＋x 2＋…＋x n ＝10，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝( )A ．n ＋10B ．n ＋20C ．2n ＋10D ．2n ＋20答案 A解析 由抛物线的方程y 2＝4x 可知其焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，由抛物线的定义可知|P 1F |＝x 1＋1，|P 2F |＝x 2＋1，…，|P n F |＝x n ＋1，所以|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝x 1＋1＋x 2＋1＋…＋x n ＋1＝(x 1＋x 2＋…＋x n )＋n ＝n ＋10.故选A.4．(2017·江西赣州二模)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上一点，若A 到F 的距离是A 到y 轴距离的两倍，且三角形OAF 的面积为1，O 为坐标原点，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 不妨设A (x 0，y 0)在第一象限，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＋p 2＝2x 0，S △OAF ＝12·p 2·y 0＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝p 2，y 0＝4p ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，4p ，又∵点A 的抛物线y 2＝2px 上，∴16p 2＝2p ×p2，即p 4＝16，又∵p >0，∴p ＝2，故选B.5．过抛物线y 2＝8x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交抛物线的准线于点C ，若|AF |＝6，BC→＝λFB →(λ>0)，则λ的值为( ) A.34 B.32 C.3 D ．3答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (－2，y 3)， 则x 1＋2＝6，解得x 1＝4，y 1＝±42，点A (4,42)， 则直线AB 的方程为y ＝22(x －2)， 令x ＝－2，得C (－2，－82)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝22(x －2)，解得B (1，－22)，所以|BF |＝1＋2＝3，|BC |＝9，所以λ＝3.故选D.6．(2017·抚顺一模)已知点P 是抛物线y 2＝－4x 上的动点，设点P 到此抛物线的准线的距离为d 1，到直线x ＋y －4＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( )A ．2 B. 2 C.52 D.522答案 D解析 点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，过焦点F 作直线x ＋y －4＝0的垂线，此时d 1＋d 2最小，∵F (－1,0)，则d 1＋d 2＝|－1＋0－4|2＝522.故选D.7．(2018·北京东城区期末)已知抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M ，若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316B.38 C.233 D.433答案 D解析 由题意可知，抛物线开口向上且焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，双曲线焦点坐标为(2,0)，所以两个焦点连线的直线方程为y ＝－p4(x －2)．设M (x 0，y 0)，则有y ′＝1p x 0＝33⇒x 0＝33p .因为y 0＝12p x 20，所以y 0＝p 6.又M 点在直线y ＝－p 4(x －2)上，即有p 6＝－p 4⎝ ⎛⎭⎪⎫33p －2⇒p ＝433，故选D.8．(2018·河北邯郸调研) 已知M (x 0，y 0)是曲线C ：x 22－y ＝0上的一点，F 是曲线C 的焦点，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若MF →·MN →＜0，则x 0的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(－1,1)答案 A解析 由题意知曲线C 为抛物线，其方程为x 2＝2y ，所以F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，根据题意可知，N (x 0,0)，x 0≠0，MF →＝⎝⎛⎭⎪⎫－x 0，12－y 0，MN →＝(0，－y 0)，所以MF →·MN →＝－y 0⎝⎛⎭⎪⎫12－y 0＜0，即0＜y 0＜12，因为点M 在抛物线上，所以有0＜x 202＜12，又x 0≠0，解得－1＜x 0＜0或0＜x 0＜1，故选A.9．(2017·山西五校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点(5，m )到焦点的距离为6，P ，Q 分别为抛物线C 与圆M ：(x －6)2＋y 2＝1上的动点，当|PQ |取得最小值时，向量PQ →在x 轴正方向上的投影为( )A ．2－55 B ．25－1 C ．1－2121 D.21－1答案 A解析 因为6＝p2＋5，所以p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .设P (x ，y )，则|PM |＝(x －6)2＋y 2＝(x －6)2＋4x ＝(x －4)2＋20，可知当x ＝4时，|PQ |取得最小值，最小值为20－1＝25－1，此时不妨取P 点的坐标为(4，－4)，则直线PM 的斜率为2，即tan ∠PMO ＝2，所以cos ∠PMO ＝15，故当|PQ |取得最小值时，向量PQ→在x 轴正方向上的投影为(25－1)·cos ∠PMO ＝2－55.故选A.10．(2018·湖北七市联考)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线与双曲线x 2－y 23＝1的一条渐近线平行，并交抛物线于A ，B 两点，若|AF |>|BF |，且|AF |＝2，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝2xB ．y 2＝3xC ．y 2＝4xD ．y 2＝x答案 A解析 由双曲线方程x 2－y23＝1知其渐近线方程为y ＝±3x ，∴过抛物线焦点F 且与渐近线平行的直线AB 的斜率为±3，不妨取k AB ＝3，则其倾斜角为60°，即∠AFx ＝60°.过A 作AN ⊥x 轴，垂足为N .由|AF |＝2，得|FN |＝1.过A 作AM ⊥准线l ，垂足为M ，则|AM |＝p ＋1.由抛物线的定义知，|AM |＝|AF |，∴p ＋1＝2，∴p ＝1，∴抛物线的方程为y 2＝2x ，故选A.二、填空题11．(2017·河南新乡二模)已知点A (1，y 1)，B (9，y 2)是抛物线y 2＝2px (p >0)上的两点，y 2>y 1>0，点F 是抛物线的焦点，若|BF |＝5|AF |，则y 21＋y 2的值为________．答案 10解析 由抛物线的定义可知，9＋p 2＝5⎝⎛⎭⎪⎫1＋p 2，解得p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝4x ，又∵A ，B 两点在抛物线上，∴y 1＝2，y 2＝6，∴y 21＋y 2＝22＋6＝10.12．(2017·湖南岳阳二模)直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 和圆x 2＋(y －1)2＝1从左至右的交点依次为A ，B ，C ，D ，则|CD ||AB |的值为________．答案 16解析 如图所示，抛物线x 2＝4y 的焦点为F (0,1)，直线3x －4y＋4＝0过点(0,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，3x －4y ＋4＝0，得4y 2－17y ＋4＝0，设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝174，y 1y 2＝1，解得y 1＝14，y 2＝4，则|CD ||AB |＝|FD |－1|AF |－1＝(y 2＋1)－1(y 1＋1)－1＝16.13．(2017·河南安阳二模)已知抛物线C 1：y ＝ax 2(a >0)的焦点F也是椭圆C 2：y 24＋x 2b 2＝1(b >0)的一个焦点，点M ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1分别为曲线C 1，C 2上的点，则|MP |＋|MF |的最小值为________．答案 2解析 将P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1代入y 24＋x 2b 2＝1，可得14＋94b 2＝1，∴b ＝3，c＝1，∴抛物线的焦点F 为(0,1)，∴抛物线C 1的方程为x 2＝4y ，准线为直线y ＝－1，设点M 在准线上的射影为D ，根据抛物线的定义可知|MF |＝|MD |，∴要求|MP |＋|MF |的最小值，即求|MP |＋|MD |的最小值，易知当D ，M ，P 三点共线时，|MP |＋|MD |最小，最小值为1－(－1)＝2.14．(2017·河北衡水中学调研)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且|AF |＝4|FB |，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为58，则p ＝________.答案 1解析 易知抛物线y 2＝2px 的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线为x＝－p2，不妨设点A 在x 轴上方，如图，过A ，B 作准线的垂线AA ′，BB ′，垂足分别为A ′，B ′，过点B 作BH ⊥AA ′，交AA ′于H ，则|BB ′|＝|A ′H |，设|FB |＝t ，则|AF |＝|AA ′|＝4t ，∴|AH |＝|AA ′|－|A ′H |＝3t ， 又|AB |＝5t ，∴在Rt △ABH 中，cos ∠HAB ＝35， ∴tan ∠HAB ＝43，则可得直线AB 的方程为y ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2.由⎩⎨⎧y ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，得8x 2－17px ＋2p 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝178p ＋p ＝258p ，易知点O 到直线AB 的距离为d ＝|OF |·sin ∠A ′AB ＝p 2×45＝25p . ∴S △AOB ＝12×258p ×25p ＝5p 28＝58， ∴p 2＝1，又p >0，∴p ＝1.B 级三、解答题15．(2017·泰安模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△F AB 的面积．解 (1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)， ∴(－8)2＝2p ×8，∴2p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝8x .(2)直线l 2与l 1垂直，故可设直线l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m ，得y 2－8y －8m ＝0， Δ＝64＋32m >0，∴m >－2. y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，∴x 1x 2＝y 21y 2264＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0， ∴m ＝8或m ＝0(舍)，∴直线l 2：x ＝y ＋8，M (8,0)．故S △F AB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·|FM |·|y 1－y 2|＝3(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝24 5.16．(2016·浙江高考)如图，设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |－1.(1)求p 的值；(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M .求M 的横坐标的取值范围．解 (1)由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义得p2＝1，即p ＝2.(2)由(1)得，抛物线方程为y 2＝4x ，F (1,0)，可设A (t 2，2t )，t ≠0，t ≠±1.因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF ：x ＝sy ＋1(s ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝sy ＋1消去x ，得y 2－4sy －4＝0， 故y 1y 2＝－4，所以，B ⎝⎛⎭⎪⎫1t 2，－2t . 又直线AB 的斜率为2tt 2－1，故直线FN 的斜率为－t 2－12t .从而得直线FN ：y ＝－t 2－12t (x －1)， 直线BN ：y ＝－2t .所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋3t 2－1，－2t .设M (m,0)，由A ，M ，N 三点共线，得2t t 2－m ＝2t ＋2tt 2－t 2＋3t 2－1，于是m ＝2t 2t 2－1(t ≠0，t ≠±1)． 所以m ＜0或m ＞2.经检验，m ＜0或m ＞2满足题意．综上，点M 的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)． 17．(2017·北京高考)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)．过点⎝⎛⎭⎪⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．解 (1)由抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)，得p ＝12.所以抛物线C 的方程为y 2＝x .抛物线C 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为x ＝－14.(2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k 2.因为点P 的坐标为(1,1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1)．直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，y 2x 1x 2.因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1＋12x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫kx 2＋12x 1－2x 1x 2x 2＝(2k －2)x 1x 2＋12(x 2＋x 1)x 2 ＝(2k －2)×14k 2＋1－k 2k 2x 2＝0， 所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1，故A 为线段BM 的中点．18．(2018·湖南检测)已知曲线C 上的动点M 到y 轴的距离比到点F (1,0)的距离小1.(1)求曲线C 的方程；(2)过F 作弦PQ ，RS ，设PQ ，RS 的中点分别为A ，B ，若PQ →·RS →＝0，求|AB→|最小时，弦PQ ，RS 所在直线的方程； (3)是否存在一定点T ，使得AF →＝λTB →－FT →？若存在，求出P 的坐标，若不存在，试说明理由．解 (1)由条件，点M 到点F (1,0)的距离等于到直线x ＝－1的距离，所以曲线C 是以F 为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线，其方程为y 2＝4x .(2)设l PQ ：y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x 得：k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0.由韦达定理⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2(k 2＋2)k 2，x 1x 2＝1，∴x A ＝x 1＋x 22＝k 2＋2k 2＝1＋2k 2，y A ＝k (x A －1)＝2k . ∴A ⎝⎛⎭⎪⎫1＋2k 2，2k ，∵PQ →·RS →＝0， ∴PQ ⊥RS .只要将A 点坐标中的k 换成－1k ， 得B (1＋2k 2，－2k )， ∴|AB →|＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2k 2－(1＋2k 2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2k 2＝4k 4＋4k 4＋4k2＋4k 2≥4(当且仅当k ＝±1 时取“＝”)， 所以，|AB→|最小时，弦PQ ，RS 所在直线的方程为y ＝±(x －1)，即x ＋y －1＝0或x －y －1＝0.(3)∵AF→＝λTB →－FT →⇒AF →＋FT →＝λTB →⇒AT →＝λTB →， 即A ，T ，B 三点共线，∴是否存在一定点T ，使得AF→＝λTB →－FT →，即探求直线AB 是否过定点． 由(2)知，直线AB 的方程为 y ＋2k ＝－2k －2k2k 2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋1(x －2k 2－1)，整理得(1－k 2)y ＝k (x －3)，∴直线AB 过定点(3,0)，故存在一定点T (3,0)， 使得AF →＝λTB →－FT →.。

人教版导与练总复习数学一轮教学课件：第八章平面解析几何（选择性必修第一册）本节内容包括直线的定义、直线的斜率、直线的方程以及点斜式、两点式和截距式等三种直线方程的推导和应用。

重点介绍如何根据斜率和已知点确定直线方程，以及如何根据两点确定直线方程。

同时，还讲述了直线方程的性质和应用场景。

本节内容主要介绍直线与直线的位置关系，包括重合、平行和相交等情况。

通过线段之间的相交和角的关系，引入了重要的判定定理：两直线平行的充分必要条件、两直线垂直的充分必要条件等。

同时，还通过例题和题对知识点进行了巩固和拓展。

本节内容包括圆的定义、圆的标准方程以及一般方程的推导和应用。

重点介绍了如何根据圆心和半径确定圆的方程，以及如何根据已知条件确定圆的方程。

同时，还讲述了圆的方程的性质和应用场景。

将上述内容按照大纲进行扩写，使用简洁的语言描述，不进行内容总结。

本节内容包括圆的定义、圆的标准方程以及一般方程的推导和应用。

重点介绍了如何根据圆心和半径确定圆的方程，以及如何根据已知条件确定圆的方程。

同时，还讲述了圆的方程的性质和应用场景。

将上述内容按照大纲进行扩写，使用简洁的语言描述，不进行内容总结。

本节内容主要介绍直线与圆的位置关系，包括相切、相交和不相交等情况。

通过切线和弦的性质，引入了切线定理和割线定理等重要的判定定理。

同时，还通过例题和题对知识点进行了巩固和拓展。

本节内容主要介绍抛物线、椭圆和双曲线的方程。

通过给出焦点、准线和离心率等已知条件，讲述了如何确定二次曲线的方程。

同时，还讲述了二次曲线的性质和应用场景。

本节内容主要介绍抛物线、椭圆和双曲线的方程。

通过给出焦点、准线和离心率等已知条件，讲述了如何确定二次曲线的方程。

同时，还讲述了二次曲线的性质和应用场景。

【2019最新】精选高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第5节抛物线及其性质高考AB卷理抛物线的定义及方程1.(2013·全国Ⅱ，11)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为( )A.y2＝4x或y2＝8xB.y2＝2x或y2＝8xC.y2＝4x或y2＝16xD.y2＝2x或y2＝16x解析设点M的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|＝x0＋＝5，则x0＝5－.又点F的坐标为，所以以MF为直径的圆的方程为(x－x0)＋(y－y0)y＝0.将x ＝0，y＝2代入得px0＋8－4y0＝0，即,2)－4y0＋8＝0，所以y0＝4.由y＝2px0，得16＝2p，解之得p＝2，或p＝8.所以C的方程为y2＝4x或y2＝16x，故选C.答案C2.(2014·大纲全国，21)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y 轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N 两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程.解(1)设Q(x0，4)，代入y2＝2px得x0＝.所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋.由题设得＋＝×，解得p＝－2(舍去)或p＝2.所以C的方程为y2＝4x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0).代入y2＝4x得y2－4my－4＝0.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.故AB 的中点为D(2m2＋1，2m)，|AB|＝|y1－y2|＝4(m2＋1).又l′的斜率为－m ，所以l′的方程为x ＝－y ＋2m2＋3.将上式代入y2＝4x ，并整理得y2＋y －4(2m2＋3)＝0.设M(x3，y3)、N(x4，y4)，则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3).故MN 的中点为E ，|MN|＝|y3－y4|＝.由于MN 垂直平分AB ，故A 、M 、B 、N 四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|， 从而|AB|2＋|DE|2＝|MN|2，即4(m2＋1)2＋＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m2＋22＝.化简得m2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1.所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.抛物线的几何性质3.(2016·全国Ⅰ，10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C 的焦点到准线的距离为( )A.2B.4C.6D.8解析 不妨设抛物线C ：y2＝2px(p>0)，则圆的方程可设为x2＋y2＝r2(r>0)，如图，又可设A(x0，2)，D ，点A(x0，2)在抛物线y2＝2px 上，∴8＝2px0，①点A(x0，2)在圆x2＋y2＝r2上，∴x＋8＝r2，②点D 在圆x2＋y2＝r2上，∴5＋＝r2，③联立①②③，解得p ＝4，即C 的焦点到准线的距离为p＝4，故选B.答案B4.(2015·全国Ⅰ，20)在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝与直线l：y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点，(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由.解(1)由题设可得M(2，a)，N(－2，a)，或M(－2，a)，N(2，a).又y′＝，故y＝在x＝2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为y－a＝(x－2)，即x－y－a＝0.y＝在x＝－2处的导数值为－，C在点(－2，a)处的切线方程为y－a＝－(x＋2)，即x＋y＋a＝0.故所求切线方程为x－y－a＝0和x＋y＋a＝0.(2)存在符合题意的点，证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.将y＝kx＋a代入C的方程得x2－4kx－4a＝0.故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a.从而k1＋k2＝＋y2－bx2＝＝.当b＝－a时，有k1＋k2＝0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM＝∠OPN，所以点P(0，－a)符合题意.抛物线的定义及方程1.(2012·安徽，9)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为( )A. B.C. D.22解析设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|＝3及抛物线定义可得，x1＋1＝3，∴x1＝2.∴A点坐标为(2，2)，则直线AB的斜率k＝＝2.∴直线AB的方程为y＝2(x－1)，即为2x－y－2＝0，则点O到该直线的距离为d＝.由消去y得，2x2－5x＋2＝0，解得x1＝2，x2＝.∴|BF|＝x2＋1＝，∴|AB|＝3＋＝.∴S△AOB＝|AB|·d＝××＝.答案C2.(2015·陕西，14)若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________.解析由于双曲线x2－y2＝1的焦点为(±，0)，故应有＝，p＝2.答案223.(2014·湖南，15)如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a<b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p>0)经过C，F两点，则＝________.解析由正方形的定义可知BC＝CD，结合抛物线的定义得点D为抛物线的焦点，所以|AD|＝p＝a，D，F，将点F的坐标代入抛物线的方程得b2＝2p＝a2＋2ab，变形得－－1＝0，解得＝1＋或＝1－(舍去)，所以＝1＋.答案1＋24.(2013·广东，20)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c>0)到直线l：x －y－2＝0的距离为.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A ，B 为切点.(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P(x0，y0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；(3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF|·|BF|的最小值.解 (1)依题意，设抛物线C 的方程为x2＝4cy(c>0)，由＝，结合c>0，解得c ＝1. ∴抛物线C 的方程为x2＝4y.(2)抛物线C 的方程为x2＝4y ，即y ＝x2，求导得y′＝x ，设A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中y1＝,4)，y2＝,4))，则切线PA ，PB 的斜率分别为x1，x2，∴切线PA 的方程为y －y1＝(x －x1)，即y ＝x －,2)＋y1，即x1x －2y －2y1＝0.同理可得切线PB 的方程为x2x －2y －2y2＝0.∵切线PA ，PB 均过点P(x0，y0)，∴x1x0－2y0－2y1＝0，x2x0－2y0－2y2＝0，∴和为方程x0x －2y0－2y ＝0的两组解.∴直线AB 的方程为x0x －2y －2y0＝0.(3)由抛物线定义可知|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，∴|AF|·|BF|＝(y1＋1)(y2＋1)＝y1y2＋(y1＋y2)＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x0x －2y －2y0＝0，x2＝4y ， 消去x 整理得y2＋(2y0－x)y ＋y ＝0，由一元二次方程根与系数的关系可得y1＋y2＝x －2y0，y1y2＝y ，∴|AF|·|BF|＝y1y2＋(y1＋y2)＋1＝y ＋x －2y0＋1，又点P(x0，y0)在直线l 上，∴x0＝y0＋2，∴y ＋x －2y0＋1＝2y ＋2y0＋5＝2(y0＋)2＋，∴当y0＝－时，|AF|·|BF|取得最小值，且最小值为.抛物线的几何性质5.(2015·天津，6)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(2，) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为( )A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，又渐近线过点(2，)，所以＝，即2b ＝a，①抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－，由已知，得＝，即a2＋b2＝7②，联立①②解得a2＝4，b2＝3，所求双曲线的方程为－＝1，选D.答案D6.(2015·浙江，5)如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是( )A. B.C. D.|BF|2＋1|AF|2＋1解析由图象知＝＝，由抛物线的性质知|BF|＝xB＋1，|AF|＝xA＋1，∴xB＝|BF|－1，xA＝|AF|－1，∴＝.故选A.答案A7.(2013·北京，7)直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于( )A. B.2C. D.1623解析由抛物线方程可知抛物线的焦点为F(0，1)，所以直线l的方程为y＝1.设直线l与抛物线的交点为M、N，分别过M、N作x轴的垂线MM′和NN′，交x轴于点M′、N′，如图.故所求图形的面积等于阴影部分的面积，即S＝4－2dx＝，故选C.答案C8.(2012·四川，8)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)，若点M到抛物线焦点的距离为3，则|OM|等于( )A. B.2 C.4 D.25解析由题意知可抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则2＋＝3，∴p＝2，∴y2＝4x，∴y＝4×2＝8，∴|OM|＝)＝＝2.答案B9.(2016·浙江，9)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________.解析抛物线y2＝4x的焦点F(1，0).准线为x＝－1，由M到焦点的距离为10，可知M到准线x＝－1的距离也为10，故M的横坐标满足xM＋1＝10，解得xM＝9，所以点M到y轴的距离为9.答案9。