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文科数学试题参考答案与评分标准三、解答题（本大题共6个小题，共70分）(17) （本小题满分12分）解：（Ⅰ）2sin sin cos sin cos A C CB B-=，∴2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=， 即2sin cos sin cos sin cos A B B C C B =+，∴2sin cos sin()A B B C =+，∴2sin cos sin A B A =。
又0A π<<，∴sin 0A ≠，∴2cos 1B =，即1cos 2B =，又0B π<<，∴3B π=。
（4分）∴由正弦定理有：2sin bR B=，于是2sin 3b R B ===。
（6分） （Ⅱ）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得229a c ac +-=.又222a c ac ac ac ac +-≥-=，∴9ac ≤，当且仅当a c =时取“=”.∴1sin 92444ABC S ac B ac ∆==≤=，即ABC ∆面积的最大值为4，（10分） 此时229a c ac a c ⎧+-=⎨=⎩，解得3a c ==，又3B π=，∴ABC ∆为等边三角形。
（12分）(18) （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由ABCD 是矩形，得AD ∥BC ，又因为AD ⊥平面ABE ，所以BC ⊥平面ABE ，所以AE ⊥BC ，又因为AE ⊥BE ，所以AE ⊥平面BCE 。
（4分）（Ⅱ）因为BE=BC ，BF ⊥CE ，所以CF=FE 。
由ABCD 是矩形，得CG=GA ，所以GF ∥AE ，又因为AE ⊥平面BCE ，所以GF ⊥平面BCE ，所以GF 是三棱锥G-BCF 的高。
（6分）在等腰Rt △BCE 中，△BCF 的面积为S △BCF =12S △BCE =14BC ×BE=1，（7分）BC BEBFCE⨯====（8分）在Rt△ABE中，AB==。
2019年—2019年云南省10年高考数列试题汇总2019年高考数学大纲（理） 数列部分：等差数列及其通项公式．等差数列前n 项和公式． 等比数列及其通项公式．等比数列前n 项和公式． 考试要求：（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项． （2）理解等差数列的概念．掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题．（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题。
2019年（4）如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++== （A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35 （18）（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2()3n n S n n =+g． （Ⅰ）求limnn na S →∞；（Ⅱ）证明：12222312n n a a a n+++…＞． 2009年14. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =则95S S = 。
19（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+ （I ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列 （II ）求数列{}n a 的通项公式。
2019年20．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，*n ∈N ．（Ⅰ）设3nn n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若1n n a a +≥，*n ∈N ，求a 的取值范围．2019年16．已知数列的通项52n a n =-+，其前n 项和为n S ，则2lim nn S n ∞=→ ．21．（本小题满分12分）设数列{}n a 的首项113(01)2342n n a a a n --∈==，，，，，，…． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n b a =，证明1n n b b +<，其中n 为正整数．2019年（11）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若361,3S S =则612SS =( ) （A ）310 （B ）13 （C ）18 （D ）19（22）（本小题满分１２分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且方程20n n x a x a --=有一根为1,1,2,3,...n S n -= （I ）求12,;a a（II ）求{}n a 的通项公式2019年11. 如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则（ ） A. a 1a 8＞a 4a 5 B. a 1a 8＜a 4a 5C. a 1＋a 8＞a 4＋a 5D. a 1a 8＝a 4a 518. （本小题满分12分）已知是各项均为正数的等差数列，、、成等差数列，又（Ⅰ）证明为等比数列；（Ⅱ）如果无穷等比数列各项的和，求数列的首项a 1和公差d.（注：无穷数列各项的和即当时数列前n 项和的极限） 2019年（19）(本小题满分12分)数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝nn 2+S n （n ＝1，2，3，…）． 证明： (Ⅰ)数列{nS n}是等比数列； (Ⅱ)S n ＋1＝4a n2019年22．（本小题满分12分，附加题4 分）（I ）设}{n a 是集合|22{ts+ t s <≤0且Z t s ∈,}中所有的数从小到大排列成的数列，即31=a ，52=a ，63=a ，94=a ，105=a ，126=a ，…将数列}{n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35 69 10 12⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；⑵求100a（II ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过150分）设}{n b 是集合t s r t s r <<≤++0|222{，且},,Z t s r ∈中所有的数从小到大排列成的数列，已知1160=k b ，求k .2019年（22）设数列}{n a 满足：121+-=+n n n na a a ，Λ,3,2,1=n （I ）当21=a 时，求432,,a a a 并由此猜测n a 的一个通项公式； （II ）当31≥a 时，证明对所的1≥n ，有 （i ）2+≥n a n （ii ）2111111111321≤++++++++n a a a a Λ 2019年(3) 设｛a n ｝是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是( )(A) 1(B) 2(C) 4(D) 6(15)设｛a n ｝是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和．若｛S n ｝是等差数列，则 q =(21) (本小题满分12分)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少51．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41． (Ⅰ)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元．写出a n ，b n 的表达式；(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？2019年～2009年云南省历年高考数列题2009年解：（I ）由11,a =及142n n S a +=+，有12142,a a a +=+21121325,23a a b a a =+=∴=-=由142n n S a +=+，．．．① 则当2n ≥时，有142n n S a -=+．．．．．② ②－①得111144,22(2)n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-∴-=-又12n n n b a a +=-Q ，12n n b b -∴={}n b ∴是首项13b =，公比为２的等比数列．（II ）由（I ）可得11232n n n n b a a -+=-=⋅，113224n n n n a a ++∴-= ∴数列{}2n na 是首项为12，公差为34的等比数列． ∴1331(1)22444n na n n =+-=-，2(31)2n n a n -=-⋅ 2019年20．解：（Ⅰ）依题意，113n n n n n S S a S ++-==+，即123nn n S S +=+，由此得1132(3)n n n n S S ++-=-． ······································································· 4分因此，所求通项公式为13(3)2n n n n b S a -=-=-，*n ∈N ．① ······························································ 6分（Ⅱ）由①知13(3)2n n n S a -=+-，*n ∈N ，于是，当2n ≥时，1n n n a S S -=-1123(3)23(3)2n n n n a a ---=+-⨯---⨯ 1223(3)2n n a --=⨯+-， 12143(3)2n n n n a a a --+-=⨯+-22321232n n a --⎡⎤⎛⎫=•+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当2n ≥时，21312302n n n a a a -+⎛⎫⇔•+- ⎪⎝⎭≥≥9a ⇔-≥．又2113a a a =+>．综上，所求的a 的取值范围是[)9-+∞，． ························································· 12分 2019年21．解：（1）由132342n n a a n --==，，，，…，整理得 111(1)2n n a a --=--．又110a -≠，所以{1}n a -是首项为11a -，公比为12-的等比数列，得1111(1)2n n a a -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭（2）方法一： 由（1）可知302n a <<，故0n b >．那么，221n n b b +-2211222(32)(32)3332(32)229(1).4n n n n n n n n n n a a a a a a a a aa ++=-----⎛⎫⎛⎫=-⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-又由（1）知0n a >且1n a ≠，故2210n n b b +->，因此1n n b b n +<，为正整数．方法二：由（1）可知3012n n a a <<≠，， 因为132nn a a +-=， 所以1n n b a ++==由1n a ≠可得33(32)2n n n a a a -⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即 223(32)2n n n n a a a a -⎛⎫-< ⎪⎝⎭g两边开平方得32na a -<即 1n n b b n +<，为正整数．2019年22．解：(Ⅰ)当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1，于是(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝12．当n ＝2时，x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 2－12，于是(a 2－12)2－a 2(a 2－12)－a 2＝0，解得a 1＝16．(Ⅱ)由题设(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0，即 S n 2－2S n ＋1－a n S n ＝0．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式得 S n －1S n －2S n ＋1＝0 ①由(Ⅰ)知S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23．由①可得S 3＝34．由此猜想S n ＝nn ＋1，n ＝1，2，3，…． ……8分下面用数学归纳法证明这个结论． (i )n ＝1时已知结论成立．(ii )假设n ＝k 时结论成立，即S k ＝kk ＋1，当n ＝k ＋1时，由①得S k ＋1＝12－S k ，即S k ＋1＝k ＋1k ＋2， 故n ＝k ＋1时结论也成立． 综上，由(i )、(ii )可知S n ＝nn ＋1对所有正整数n 都成立． ……10分于是当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n n ＋1－n －1n ＝1n (n ＋1)，又n ＝1时，a 1＝12＝11×2，所以｛a n ｝的通项公式a n ＝nn ＋1，n ＝1，2，3，…． ……12分 2019年18. 本小题主要考查等差数列、等比数列的基本知识以及运用这些知识的能力。
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试(全国III 卷)(适用地区：云南、广西、贵州、四川、西藏)理科数学本试卷共23题，共150分。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =−=≤，，则A B =A ．{}1,0,1−B ．{}0,1C ．{}1,1−D ．{}0,1,22．若(1i)2i z +=，则z =A ．1i −−B ．1+i −C ．1i −D ．1+i3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.8 4．（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12 B ．16 C ．20 D ．24 5．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3= A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 6．已知曲线e ln xy a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则A ．e 1a b ==−，B ．a=e ，b =1C ．1e 1a b −==，D ．1e a −=，1b =−7．函数3222x xx y −=+在[]6,6−的图像大致为 A ． B ． C ． D ．8．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线9．执行下边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s 的值等于A ．4122−B ．5122−C ．6122−D ．7122−10．双曲线C ：2242x y −=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为 A ．324B ．322C ．22D ．3211．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322−）＞f （232−） B ．f （log 314）＞f （232−）＞f （322−）C ．f （322−）＞f （232−）＞f （log 314） D ．f （232−）＞f （322−）＞f （log 314）12．设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论： ①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 ③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，) 其中所有正确结论的编号是A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
(集合)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列四个集合中，是空集的是()A．{x|x＋3＝3} B．{(x，y)|y＝－x2，x，y∈R}C．{x|x2≤0} D．{x|x2－x＋1＝0，x∈R}2．已知集合A＝{x∈N|x<6}，则下列关系式错误的是()A．0∈A B．1.5∉A C．－1∉A D．6∈A3．已知集合U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1,5,7}，则∁U A＝()A．{1,3} B．{3,7,9} C．{3,5,9} D．{3,9}4．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C＝()A．{1,2,3} B．{1,2,4} C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}5．满足条件{1,2}∪A＝{1,2}的所有非空集合A的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个6．若集合A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1,4，x}，则满足条件的实数x有() A．1个B．2个C．3个D．4个7．已知集合M＝{y|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N为()A．{x＝3，y＝－1} B．{(x，y)|x＝3或y＝－1}C．∅D．{(3，－1)}8．已知集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,3,4}，则A∩B的子集个数为()A．2 B．3 C．4 D．169．设全集U是实数集R，M＝{x|x>2或x<－2}，N＝{x|x≥3或x<1}都是U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是()A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2}C．{x|1<x≤2} D．{x|x<2}10．如果集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0}中只有一个元素，则a的值是()A．0 B．0或1 C．1 D．不能确定11．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N *⎪⎪12x∈Z 中含有的元素个数为( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．1212．设a ，b 都是非零实数，则y ＝a |a |＋b |b |＋ab|ab |可能取的值组成的集合为( )A ．{3}B ．{3,2,1}C ．{3，－2,1}D ．{3，－1}第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上) 13．若集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x ≤a }，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是________．14．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝a ＋16，a ∈Z ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝b 2－13，b ∈Z ，C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝c 2＋16，c ∈Z ，则A ，B ，C 之间的关系是________．15．若集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且B ⊆A ，则m 的取值集合为________． 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设全集为R ，A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}． 求：A ∪B ，∁R (A ∩B )，(∁R A )∩B .18．(本小题满分12分)(1)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x ＋3≤0}，N ＝{x |x 2＝x ＋12}，求(∁U M )∩N ； (2)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x <－1或x >1}，B ＝{x |－1≤x <0}，求A ∪(∁U B )．19．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |－2＜x ＜－1或x ＞1}，B ＝{x |a ≤x ＜b }，A ∪B ＝{x |x ＞－2}，A ∩B ＝{x |1＜x ＜3}，求实数a ，b 的值．20．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |x ≤a ＋3}，B ＝{x |x <－1或x >5}． (1)若a ＝－2，求A ∩∁R B ； (2)若A ⊆B ，求a 的取值范围．21．(本小题满分12分)设集合A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}． (1)若a ＝15，判断集合A 与B 的关系；(2)若A ∩B ＝B ，求实数a 组成的集合C .22．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |(a －1)x 2＋3x －2＝0}，B ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}． (1)若A ≠∅，求实数a 的取值范围； (2)若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围．详解答案第一章 集合与函数概念(一)(集 合) 名校好题·能力卷]1．D 解析：选项D 中Δ＝(－1)2－4×1×1＝－3<0，所以方程x 2－x ＋1＝0无实数根． 2．D 解析：∵集合A ＝{x ∈N |x <6}＝{0,1,2,3,4,5}，∴6∉A .故选D. 3．D 解析：∵U ＝{1,3,5,7,9}，A ＝{1,5,7}，∴∁U A ＝{3,9}．故选D. 4．D 解析：∵A ∩B ＝{1,2}，C ＝{2,3,4}，∴(A ∩B )∪C ＝{1,2,3,4}．5．C 解析：∵{1,2}∪A ＝{1,2}∴集合A 可取集合{1,2}的非空子集．∴集合A 有3个．故选C.6．C 解析：∵A ∪B ＝{1,4，x }，∴x 2＝4或x 2＝x .解得x ＝±2或x ＝1或x ＝0.检验当x ＝1时，A ＝{1,4,1}不符合集合的性质，∴x ＝2或x ＝－2或x ＝0.故选C.7．C 解析：∵集合M 的代表元素是实数，集合N 的代表元素是点，∴M ∩N ＝∅.故选C.8．C 解析：∵A ∩B ＝{1,3}，∴A ∩B 的子集分别是∅，{1}，{3}，{1,3}．故选C. 解题技巧：本题主要考查了列举法表示两个集合的交集，考查了子集的求法，解决本题的关键是确定出A ∩B 所含元素的个数n ，因此所有子集的个数为2n 个．9．A 解析：∵图中阴影部分表示：x ∈N 且x ∉M ，∴x ∈N ∩∁U M .∴∁U M ＝{x |－2≤x ≤2}，∴N ∩∁U M ＝{x |－2≤x <1}．故选A.10．B 解析：∵集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0}中只有一个元素，∴①当a ＝0时，集合A ＝{x |2x ＋1＝0}只有一个元素，符合题意；②当a ≠0时，一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0只有一解，∴Δ＝0，即4－4a ＝0，∴a ＝1.故选B.11．B 解析：∵x ∈N *，12x ∈Z ，∴x ＝1时，12x ＝12∈Z ；x ＝2时，12x＝6∈Z ；x ＝3时，12x ＝4∈Z ；x ＝4时，12x ＝3∈Z ；x ＝6时，12x ＝2∈Z ；x ＝12时，12x＝1∈Z .12．D 解析：①当a ＞0，b ＞0时，y ＝3；②当a ＞0，b ＜0时，y ＝－1；③当a ＜0，b ＞0时，y ＝－1；④当a ＜0，b ＜0时，y ＝－1.13．a ≥－1 解析：如图：∵A ∩B ≠∅，且A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x ≤a }，∴a ≥－1.14．A B ＝C 解析：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝a ＋16，a ∈Z＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝16(6a ＋1)，a ∈Z ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝b 2－13，b ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝16(3b －2)，b ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝16[3(b ＋1)－2]，b ∈Z ， C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝c 2＋16，c ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝16(3c ＋1)，c ∈Z . ∴A B ＝C .15．m ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，－12，13 解析：集合A ＝{2，－3}，又∵B ⊆A ，∴B ＝∅，{－3}，{2}．∴m ＝0或m ＝－12或m ＝13.16．1 006 解析：因为若集合P 中元素a ，b ，c 既是调和的，又是等差的，则1a ＋1b ＝2c 且a ＋c ＝2b ，则a ＝－2b ，c ＝4b ，因此满足条件的“好集”为形如{－2b ，b,4b }(b ≠0)的形式，则－2 014≤4b ≤2 014，解得－503≤b ≤503，且b ≠0，符合条件的b 的值可取1 006个，故“好集”P 的个数为1 006个．解题技巧：本题主要考查了以集合为背景的新概念题，解决本题的关键是弄清楚新概念、新运算、新方法的含义，转化为集合问题求解．17．解：∵全集为R ，A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}， ∴A ∪B ＝{x |2<x <10}，A ∩B ＝{x |3≤x <7}， ∴∁R (A ∩B )＝{x |x ≥7或x <3}． ∵∁R A ＝{x |x ≥7或x <3}，∴(∁R A )∩B ＝{x |2<x <3或7≤x <10}．18．解：(1)M ＝{x |x ＋3＝0}＝{－3}，N ＝{x |x 2＝x ＋12}＝{－3,4}， ∴(∁U M )∩N ＝{4}．(2)∵A ＝{x |x <－1或x >1}，B ＝{x |－1≤x <0}， ∴∁U B ＝{x |x <－1或x ≥0}． ∴A ∪(∁U B )＝{x |x <－1或x ≥0}． 19．解：∵A ∩B ＝{x |1＜x ＜3}，∴b ＝3， 又A ∪B ＝{x |x ＞－2}， ∴－2＜a ≤－1， 又A ∩B ＝{x |1＜x ＜3}， ∴－1≤a ＜1， ∴a ＝－1.20．解：(1)当a ＝－2时，集合A ＝{x |x ≤1}，∁R B ＝{x |－1≤x ≤5}， ∴A ∩∁R B ＝{x |－1≤x ≤1}．(2)∵A ＝{x |x ≤a ＋3}，B ＝{x |x <－1或x >5}，A ⊆B ， ∴a ＋3<－1，∴ a <－4.解题技巧：本题主要考查了描述法表示的集合的运算，集合间的关系，解决本题的关键是借助于数轴求出符合题意的值．在解决(2)时，特别注意参数a 是否取到不等式的端点值．21．解：A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}＝{3,5}． (1)若a ＝15，则B ＝{5}，所以B A .(2)若A ∩B ＝B ，则B ⊆A . 当a ＝0时，B ＝∅，满足B ⊆A ；当a ≠0时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，因为B ⊆A ，所以1a ＝3或1a ＝5，即a ＝13或a ＝15；综上所述，实数a 组成的集合C 为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15.22．解：(1)①当a ＝1时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23≠∅；②当a ≠1时，Δ≥0，即a ≥－18且a ≠1，综上，a ≥－18；(2)∵B ＝{1,2}，A ∩B ＝A ，∴A ＝∅或{1}或{2}或{1,2}． ①A ＝∅，Δ<0，即a <－18；②当A ＝{1}或{2}时，Δ＝0，即a ＝0且a ＝－18，不存在这样的实数；③当A ＝{1,2}，Δ>0，即a >－18且a ≠1，解得a ＝0.综上，a <－18或a ＝0.。
云南数学文试卷解析-2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修I)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己旳姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准条形码上旳准考证号、姓名和科目.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目旳答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上．．．．．作答无效．．．．.．3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分.在每小题给出旳四个选项中，只有一项是符合题目要求旳. 一、选择题 （1）设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则075,2,A b a c ==求与=⋂（M N ）（A ）{}12， （B ）{}23， （C ）{}2，4 （D ）{}1，4【思路点拨】解决本题旳关键是掌握集合交并补旳计算方法，易求{2,3}M N =,进而求出其补集为{}1，4. 【精讲精析】选D.{2,3},(){1,4}U MN MN =∴=.（2）函数0)y x =≥旳反函数为（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥（C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥【思路点拨】先反解用y 表示x,注意要求出y 旳取值范围，它是反函数旳定义域.【精讲精析】选B.在函数0)y x=≥中，0y≥且反解x得24yx=，所以0)y x=≥旳反函数为2(0)4xy x=≥（3）权向量a,b满足a=b=12-,则2a b+=（A（B（C（D【思路点拨】本题要把充要条件旳概念搞清，注意寻找旳是通过选项能推出a>b，而由a>b 推不出选项旳选项.【精讲精析】选A.即寻找命题P使P,a b a b⇒>>推不出P，逐项验证可选A.（4）若变量x、y满足约束条件6321x yx yx+⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y-+旳最小值为（A）17 （B）14 （C）5 （D）3【思路点拨】解决本题旳关键是作出如右图所示旳可行域.然后要把握住线性目标函数=23z x y+旳z旳取值也其在y轴旳截距是正相关关系，进而确定过直线x=1与x-3y=-2旳交点时取得最小值.【精讲精析】作出不等式组表示旳可行域，从图中不难观察当直线=23z x y+过直线x=1与x-3y=-2旳交点（1，1）时取得最小值,所以最小值为5.（5）下面四个条件中，使a b＞成立旳充分而不必要旳条件是（A）1a b+＞（B）1a b-＞（C）22a b＞（D）33a b＞【思路点拨】本题要把充要条件旳概念搞清，注意寻找旳是通过选项能推出a>b，而由a>b 推不出选项旳选项.【精讲精析】选A.即寻找命题P使P,a b a b⇒>>推不出P，逐项验证可选A.(6) 设nS为等差数列{}n a旳前n项和，若11a=，公差2d=，224k kS S+-=，则k=（A）8 （B）7 （C）6 （D）5【思路点拨】思路一：直接利用前n项和公式建立关于k旳方程解之即可.思路二：利用221k k k kS S a a+++-=+直接利用通项公式即可求解，运算稍简.【精讲精析】选D .（7）设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =旳图像向右平移3π个单位长度后，所得旳图像与原图像重合，则ω旳最小值等于（A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9【思路点拨】此题理解好三角函数周期旳概念至关重要，将()y f x =旳图像向右平移3π个单位长度后，所得旳图像与原图像重合，说明了3π是此函数周期旳整数倍. 【精讲精析】选C . 由题2()3k k Z ππω=⋅∈,解得6k ω=，令1k =，即得min 6ω=.(8) 已知直二面角l αβ--，点A ∈α，AC l ⊥,C 为垂足，点B ∈β，BD l ⊥,D 为垂足.若AB =2，AC =BD =1，则CD =（A ） 2 （B （C （D ）1【思路点拨】解决本题关键是找出此二面角旳平面角，然后把要求旳线段放在三角形中求解即可.【精讲精析】选C. 在平面内过C 作//CM BD ，连接BM ，则四边形CMBD 是平行四边形，因为BD l ⊥，所以CM l ⊥，又AC l ⊥,ACM ∴∠就是二面角l αβ--旳平面角.90ACM ∴∠=.所以222222,AB AM MB AC BD CD =+=++代入后不难求出CD =(9)曲线y=2x e -+1在点(0，2)处旳切线与直线y=0和y=x 围成旳三角形旳面积为(A)13 (B)12 (C)23(D)1【思路点拨】解本题分两步进行：第一步先选出2人选修课程甲，第二步再把剩余两人分别选乙、丙.【精讲精析】选A.第一步选出2人选修课程甲有246C =种方法，第二步安排剩余两人从乙、丙中各选1门课程有222A =种选法，根据分步计数原理，有6212⨯=种选法.(10)设()f x 是周期为2旳奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=(A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12【思路点拨】解本题旳关键是把通过周期性和奇偶性把自变量52-转化到区间[0,1]上进行求值.【精讲精析】选A .(11)设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心旳距离12C C = (A)4 (B)42 (C)8 (D)82【思路点拨】本题根据条件确定出圆心在直线y=x 上并且在第一象限是解决这个问题旳关键.【精讲精析】选D.由题意知圆心在直线y=x 上并且在第一象限,设圆心坐标为(a,a)(a>0),则22(4)(1)a a a =-+-,求出a=1,a=9.所以C 1(1,1),C 2(9,9),所以由两点间旳距离公式可求出1282C C =.(12)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060，二面角旳平面β截该球面得圆N ，若该球旳半径为4，圆M 旳面积为4π，则圆N 旳面积为 (A)7π (B)9π (c)11π (D)13π【思路点拨】做出如图所示旳图示，问题即可解决. 【精讲精析】选B .作示意图如，由圆M旳面积为4π，易得222,23MA OM OA MA ==-=， Rt OMN ∆中，30OMN ∠=.故2cos303,39.MN OM S ππ=⨯==⨯=.第Ⅱ卷注意事项：1.答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己旳姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码.请认真核准条形码卜旳准考证号、姓名和科目.2.第Ⅱ卷共2页，请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题旳答题区域内作答，在试题卷上作答无效.3.第Ⅱ卷共l0小题，共90分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上 (注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．))20旳二项展开式中，x 旳系数与x 9旳系数之差为: .【思路点拨】解本题一个掌握展开式旳通项公式，另一个要注意r n r n n C C -=.【精讲精析】0.由20120(rr T C +=得x 旳系数为220C , x 9旳系数为1820C ,而1822020C C =. (14)已知a ∈(2π，π)，sin αtan2α=【思路点拨】本题考查到同角三角函数旳基本关系式，再由正切值求余弦值时，要注意角旳范围，进而确定值旳符号.【精讲精析】-由a ∈(π，32π)，tan α=2得cos 5α==-. （15）已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为C 1D 1旳中点，则异面直线AE 与BC 所成角旳余弦值为 .【思路点拨】找出异面直线AE 与BC 所成旳角是解本题旳关键.只要在平面A 1B 1C 1D 1内过E 作及B 1C 1旳平行线即可. 【精讲精析】23取A 1B 1旳中点M 连接EM ，AM ，AE ，则AEM ∠就是异面直线AE 与BC 所成旳角.在AEM ∆中，222352cos 2233AEM +-∠==⨯⨯. (16)已知F 1、F 2分别为双曲线C : 29x - 227y =1旳左、右焦点，点A ∈C ，点M 旳坐标为(2，0)，AM 为∠F 1AF 2∠旳平分线．则|AF 2| = .【思路点拨】本题用内角平分线定理及双曲线旳定义即可求解. 【精讲精析】6. 由角平分线定理得：221211||||1,||||26||||2AF MF AF AF a AF MF ==-==,故2||6AF =.三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(17)(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 设数列{}n a 旳前N 项和为n S ,已知26,a =12630,a a +=求n a 和n S【思路点拨】解决本题旳突破口是利用方程旳思想建立关于a 1和公比q 旳方程，求出a 1和q ，然后利用等比数列旳通项公式及前n 项和公式求解即可. 【精讲精析】设{}n a 旳公比为q,由题设得1116630a q a a q =⎧⎨+=⎩解得132a q =⎧⎨=⎩或123a q =⎧⎨=⎩，当13,2a q ==时，132,3(21)n nn n a S -=⨯=⨯- 当12,3a q ==时，123,31n nn n a S -=⨯=-.（18）△ABC 旳内角A 、B 、C 旳对边分别为a 、b 、c.己知sin csin sin sin ,a A C C b B +=(Ⅰ)求B ；（Ⅱ）若075,2,A b a c ==求与【思路点拨】第（I ）问由正弦定理把正弦转化为边，然后再利用余弦定理即可解决. （II ）在（I ）问旳基础上知道两角一边可以直接利用正弦定理求解. 【精讲精析】(I)由正弦定理得222a cb += 由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-.故cos B =，因此45B =. （II ）sin sin(3045)A =+sin30cos 45cos30sin 45=+=故sin 2613sin 2A a bB +=⨯==+ sin sin 6026sin sin 45C c b B =⨯=⨯=. (19) (本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险旳概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险旳概率为0.3.设各车主购买保险相互独立.(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中旳1种旳概率； （Ⅱ）求该地3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买旳概率.【思路点拨】此题第（I ）问所求概率可以看作“该地旳1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险”和“该地旳1位车主购买甲种保险”两个事件旳和.由于这两个事件互斥，故利用互斥事件概率计算公式求解.(II)第（II ）问，关键是求出“该地旳1位车主甲、乙两种保险都不购买”旳概率，然后再借助n 次独立重复试验发生k 次旳概率计算公式求解即可. 【精讲精析】记A 表示事件：该地旳1位车主购买甲种保险： B 表示事件：该地旳1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险. C 表示事件：该地旳1位车主至少购买甲、乙两种保险中旳1种； D 表示事件：该地旳1位车主甲、乙两种保险都不购买；E 表示事件：该地旳3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买. （I ）P(A)=0.5,P(B)=0.3,C=A+B P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8. (II)D=C ,P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2,P(E)=2230.20.80.384C ⨯⨯=.(20）如图，四棱锥S ABCD -中， AB CD ,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形，2,1AB BC CD SD ====.（Ⅰ）证明：SD ⊥平面SAB (Ⅱ)求AB 与平面SBC 所成角旳大小【思路点拨】第（I ）问旳证明旳突破口是利用等边三角形SAB 这个条件，找出AB 旳中点E ，连结SE ，DE ，就做出了解决这个问题旳关键辅助线. (II)本题直接找线面角不易找出，要找到与AB 平行旳其它线进行转移求解. 【精讲精析】证明：（I ）取AB 中点E ，连结DE ，则四边形BCDE 为矩形，DE=CB=2. 连结SE ，则,3SE AB SE ⊥=又SD=1，故222ED SE SD =+ 所以DSE ∠为直角. 由,,AB DE AB SE DESE E ⊥⊥=，得 AB SDE ⊥平面,所以AB SD ⊥.SD 与两条相交直线AB 、SE 都垂直. 所以SD SAB ⊥平面（II ）由AB SDE ⊥平面知，ABCD SDE ⊥平面平面 作SF DE ⊥，垂足为F ，则SF ABCD ⊥平面,32SD SE SF DE ⨯== 作FG BC ⊥，垂足为G ，则FG=DC=1. 连结SG ，则SG BC ⊥ 又FG BC ⊥，SGFG G =,故,BC SFG SBC SFG ⊥⊥平面平面平面，作FH SG ⊥，H 为垂足，则FH SBC ⊥平面.37SF FG FH SG ⨯==即F 到平面SBC 旳距离为217. 由于ED//BC ，所以ED//平面SBC ，E 到平面SBC 旳距离d 也为217. 设AB 与平面SBC 所成旳角为α，则21sin 7d EB α==,21arcsin 7α=. 解法二：以C 为坐标原点，射线CD 为x 轴正半轴，建立如图所示旳直角坐标系C-xyz,设D （1，0，0），则A （2，2，0），B （0，2，0）.D CBEFG H又设S （x,y,z ），则x>0,y>0,z>0.(I)(2,2,),(,2,),(1,,)AS x y z BS x y z DS x y z =--=-=-由||||(AS BS x =-=得故x=1.由||1DS =得221y z +=，又由||2BS =得，222(2)4x yz +-+=即22410y z y +-+=，故1,22y z ==.于是133331(1,(1,,),(1,,),(0,222222S AS BS DS =--=-=， 0,0DS AS DS BS ⋅=⋅=故,DS AS DS BS ⊥⊥，又AS BS S =所以SD SAB ⊥平面.（II ）设平面SBC 旳法向量(,,)a m n p =， 则,,0,0,a BS a CB a BS a CB ⊥⊥⋅=⋅=又33(1,,),(0,2,0)22BS CB =-= 故30220m n p n ⎧-=⎪⎨⎪=⎩取2p =得(3,0,2)a =-，又(2,0,0)AB =-21cos ,7||||AB a AB a AB a ⋅<>==⋅. 故AB 与平面SBC 所成旳角为. （21）已知函数{}32()3(36)124f x x ax a x a a R =++---∈(Ⅰ)证明：曲线()0y f x x ==在的切线过点（2，2）；（Ⅱ）若00()f x x x x =∈在处取得最小值，（1，3），求a 旳取值范围.（22）已知O 为坐标原点，F 为椭圆22:12y C x +=在y 轴正半轴上旳焦点，过F且斜率为l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++= (Ⅰ)证明：点P 在C 上；（Ⅱ）设点P 关于点O 旳对称点为Q,证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.（21）(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 已知函数()32()3(36)+124f x x ax a x a a R =++--∈(Ⅰ)证明：曲线()0y f x x ==在处的切线过点（2，2）；（Ⅱ）若00()f x x x x =∈在处取得最小值，（1，3），求a 旳取值范围.【思路点拨】第(I)问直接利用导数旳几何意义，求出切线旳斜率，然后易写出直接方程. (II)第（II ）问是含参问题，关键是抓住方程()0f x '=旳判别式进行分类讨论. 【精讲精析】解：（I ）2()3636f x x ax a '=++-.由(0)124,(0)36f a f a '=-=-得曲线()y f x =在x=0处旳切线方程为(36)124y a x a =-+-由此知曲线()y f x =在x=0处旳切线过点（2，2）. （II ）由()0f x '=得22120x ax a +--=（i ）当11a ≤≤时，()f x 没有极小值；(ii)当1a >或1a <时，由()0f x '=得12x a x a =-=-故02x x =.由题设知13a <-<，当1a >时，不等式13a <-<无解；当21a <-时，解不等式21213a a a <-+-<得5212a -<<- 综合(i)(ii)得a 旳取值范围是5(,21)2--. （21）已知O 为坐标原点，F 为椭圆22:12y C x +=在y 轴正半轴上旳焦点，过F 且斜率为-2旳直线l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++=(Ⅰ)证明：点P 在C 上；（Ⅱ）设点P 关于点O 旳对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.【思路点拨】方程联立利用韦达定理是解决这类问题旳基本思路，注意把0.OA OB OP ++=用坐标表示后求出P 点旳坐标，然后再结合直线方程把P点旳纵坐标也用A 、B 两点旳横坐标表示出来.从而求出点P 旳坐标代入椭圆方程验证即可证明点P 在C 上.(II)此问题证明有两种思路：思路一：关键是证明,APB AQB ∠∠互补.通过证明这两个角旳正切值互补即可，再求正切值时要注意利用倒角公式.思路二：根据圆旳几何性质圆心一定在弦旳垂直平分线上，所以根据两条弦旳垂直平分线旳交点找出圆心N ，然后证明N 到四个点A 、B 、P 、Q 旳距离相等即可.【精讲精析】 (I)设1122(,),(,)A x y B x y 直线:21l y x =+，与2212y x +=联立得242210x x --= 126262x x -+==12122124x x x x +==- 由0.OA OB OP ++=得1212((),())P x x y y -+-+122()2x x -+=-, 121212()(2121)2()21y y x x x x -+=--++-+=+-=-222(1)(122--+=所以点P 在C 上.（II）法一：22tan (1)(1)11PA PBPA PB k k APB y y k k -∠==----+2112124()322x x -== 同理212122tan 111122QB QAQA QB k k AQB y y k k --∠==--+214()3x x -==-所以,APB AQB ∠∠互补，因此A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.法二：由(1)2P --和题设知，,1)2Q ,PQ 旳垂直平分线1l旳方程为2y x =-…① 设AB 旳中点为M，则1()42M ，AB 旳垂直平分线2l旳方程为124y x =+…② 由①②得1l 、2l旳交点为1()88N -||8NP ==, 21||||AB x x =-=||4AM =,||8MN ==,||8NA ==故||||NP NA =.||||,||||NP NQ NA NB == 所以A 、P 、B 、Q 四点在同一圆圆N 上.。
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{1,0,1,2}{1}A B x x =-=≤，，则A B =A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,22．若(1i)2i z +=，则z = A ．1i --B ．1+i -C ．1i -D ．1+i3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.84．（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12B ．16C ．20D ．245．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项为和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3= A ． 16B ． 8C ．4D ． 26．已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则A ．e 1a b ==-，B ．a=e ，b =1C ．1e 1a b -==，D ．1e a -= ，1b =-7．函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图象大致为 A ． B ．C ．D ．8．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则A ．BM =EN ，且直线BM 、EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM 、EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线9．执行下边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s 的值等于A.4122-B. 5122-C. 6122-D. 7122-10．双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐进线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A ．324B ．322C ．22D ．3211．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-） B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314）D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）12．设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论： ①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 ③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，) 其中所有正确结论的编号是A ． ①④B ． ②③C ． ①②③D ． ①③④ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
云南省2019届高三数学第二次高中毕业生复习统一检测试题理（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的学校、准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码及填涂准考证号。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.）【答案】D【解析】【分析】由题求得集合T，再利用交集的定义求得结果.故选D【点睛】本题主要考查了交集的概念，属于基础题.2.）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】.2，-2）在第四象限故选D【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题.3.）【答案】C【解析】【分析】利用三角函数的定义可求得cosα，结合诱导公式可得结果.【详解】解：∵角α的终边上一点P（3，4），∴|OP，∴cosα故选：C．【点睛】本题考查三角函数的定义，诱导公式，考查计算能力，属于基础题．4.）A. 0或1或-2B. 1或2C. 1或-2D. -2【答案】C【解析】【分析】.成等差数列，所以【点睛】本题考查了等差等比的性质，解题的关键是不要把性质弄混淆了，属于基础题型.5.）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】由题，根据程序框图的定义，结合对数的运算，求得满足题意的结果即可.【详解】输入n=1,S=0，可得n=2,S<3，n=3,故输出n=4故选B【点睛】本题主要考查了程序框图的算法以及对数的运算，属于基础题.6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）D. 10【答案】A【解析】【分析】由题，得知几何体是三棱锥，再求出表面积即可.【详解】由题，该几何体是一个侧面垂直底面，且底面和侧面都是等腰直角三角形的三棱锥，如图，面SAC垂直面ABC的三棱锥；故选A【点睛】本题考查了空间几何体的三视图，还原几何体是解题的关键，属于基础题.7.一条切线，切点为）A. 2B. 6【答案】B【解析】【分析】a=-1，再利用切线的性质求得.【详解】由题，可得圆C2+a-1=0，可得a=-1，，半径r=2故选B【点睛】本题考查了直线与圆的的定义，性质以及位置关系，属于中档题型.8.，，，（）【答案】A【解析】【分析】利用坐标表示平面向量的运算，又因为点P在y轴上，即横坐标为0，可得结果.【详解】由题，可得故选A【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示以及运算，属于基础题.9.、、、、（）【答案】B【解析】【分析】基本事件总数，站正中间且由此能求【详解】解：A，B，C，D，E五位同学站成一排照相，基本事件总数，故选：B．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10.的球面上，，表面积为）A. 16B. 15【答案】A【解析】【分析】由题，棱柱为直棱柱，底面为直角三角形，利用球的表面积求得球半径，再利用外接球求得棱柱的高，最后求得体积即可.，，，易知三角形ABC为等腰直角三角形，故选A【点睛】本题考查了棱柱的外接球的问题，解题的关键是找球心的位置，求出棱柱的高，属于中档题型.11.，双曲线条渐近线与椭圆在第一象限交于点0，则椭圆的离心率等于（）【答案】C【解析】【分析】先由题，得出0，求得P，再带入椭圆方程求得. 【详解】由题，易知椭圆E的交点双曲线的一条渐近线方程为：0，故点P的纵坐标为点P再将点P所以离心率故选C【点睛】本题主要考查了圆锥曲线综合，性质，渐近线，离心率，本题的计算量较大，这是本题的易错点，属于中档偏上的题型.12.）【答案】D【解析】【分析】b，c作商，利用对数的运算以及基本不等式，求得比值与1作比较即可得出答案.所以，即故选D【点睛】本题考查了对数的运算以及基本不等式的综合，解题的关键是在于运算的技巧以及性质，属于中档偏上题型.二、填空题。
昆明市官渡区2019年春高一数学下学期期中三校联考卷一、单选题 1．已知sin α=13，()2απ∈π，，则cos α=（ ）A ．223-B ．223C ．223±D ．23-2．已知4sin cos 5αα+=，则sin 2α=（ ） A ．1625B ．1625- C ．925D ．925-3．等差数列{}n a 中，135114a a a =+=，，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．44． 78337857sin cos cos cos ︒︒-︒︒ 的值（ ） A ．12B ．12-C ．22D ．22-5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b= A ．2B ．3C ．2D ．36．已知等比数列{}n a 的各项均为正，且32453a a a ，，成等差数列，则数列{}n a 的公比是（ ） A ．12B ．2C ．13D ．13或2- 7．已知32sin cos αβ+=，12cos sin αβ+=，则()sin αβ+=（ ）A ．12-B ．1-C ．12D ．348．函数3y sinx cosx =-在区间(0)π，上的值域为（ ） A ．[]2,2-B ．[]1,2-C ．[]1,1-D ．(]1,2-9．已知(0)2πα∈，，3cos()33πα+=，则cos α=（ ）A ．3-326B ．3326+ C ．3-66D ．366+ 10．已知函数()sin(2)6f x x π=-在区间[]-,a a 0a >（）上单调递增，则a 的最大值为（ ） A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 11．数列{}n a 的前n 项和为n S ，1111n n n a a S S ++=-=⋅，，则2019S =（ ） A ．-2019B ．−12019C ．−12018D ．-201812．已知锐角ABC ∆的内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，若1a =， 221b c bc +-=，则ABC ∆面积的取值范围是（ ） A ．33,64⎛⎤⎥ ⎝⎦ B ．33,64⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ C ．33,124⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ D ．33,124⎛⎤⎥⎝⎦二、填空题13．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知25216a a ==，，则6S =_________________. 14．已知3sin 5α=，且α为第一象限角，则2tan α的值为___________. 15．有一个数阵排列如下：1 2 3 4 5 6 7 8 …… 2 4 6 8 10 12 14…… 4 8 12 16 20…… 8 16 24 32…… 16 32 48 64…… 32 64 96…… 64……则第9行从左至右第3个数字为________________. 16．3sin10cos 40(1)cos10︒+︒o =________________.三、解答题17．已知()2απ∈π，，且3sin 5α=（1）求tan()4πα-的值；（2）求sin(2019)2απ+的值.18．已知等差数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且10712015S a ==，. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{1nS }的前n 项和为n T ，求n T .19．已知函数()()0(0f x Asin x A ωϕω=+>>，，2)πϕ<，其部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若(0)2πα∈，，且1()=23sin πα--，求()f α的值.20．ABC V 的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知22.a c bcosC -= （1）求角B 的大小；（2）若2b = ，且ABC V 的面积为3，求a c +的值.21．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11a =，且()11,n n na S n n n N ++=++∈（1）证明：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （2）若数列{}n b 满足1(1)2n n n b a -=+⋅，求数列{}n b 的前n 项和.22．在如图所示的四边形ABCD 中，已知AB AD ⊥，23ABC π∠=， 3ACD π∠=，3AD =（1）若2CD =，求ACD ∆的面积（2）求BC 的最大值解析昆明市官渡区2019年春高一数学下学期期中三校联考卷一、单选题 1．已知sin α=13，()2απ∈π，，则cos α=（ ）A ．223-B ．223C ．223±D ．23-【答案】A【解析】利用22sin cos 1αα+=可解()2παπ∈Q ，，22sin cos 1αα+=，1sin 3α=222cos 1sin 3αα∴=--=-故选：A 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系知弦求弦、切或知切求弦时要注意判断角所在的象限，不要弄错切、弦的符号． 2．已知4sin cos 5αα+=，则sin 2α=（ ） A ．1625B ．1625- C ．925D ．925-【答案】D【解析】对4sin cos 5αα+=平方可得161+2sin cos 25αα=，则9sin 225α=- 【详解】4sin cos 5αα+=Q ()216sin cos 25αα∴+=即161+2sin cos 25αα=9sin 225α∴=-故选：D 【点睛】同角三角函数关系式的方程思想对于sin cos sin cos sin cos αααααα+-，，这三个式子，知一可求二，若令+sin cos t αα＝，则22122t sin cos sin cos t αααα--=±=，－ (注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用．3．等差数列{}n a 中，135114a a a =+=，，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由3514a a +=可知47a =，结合11a =可求出2d = 【详解】3514a a +=Q ，4214a ∴= 即47a =4123a a d -∴== 故选：B 【点睛】本题考查等差中项、等差数列通项解决等差数列基本量计算问题利用方程的思想.等差数列中有五个量1n n a n a S ，，d ，，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量1a 和d ；,,a A b 成等差数列2A a b ⇔=+.4． 78337857sin cos cos cos ︒︒-︒︒ 的值（ ） A ．12B ．12-C ．22D ．22-【答案】C【解析】利用诱导公式57cos(9033)sin 33cos ︒=-=ooo代入，即可求解. 【详解】()278337857=78337833=783345.2sin cos cos cos sin cos cos sin sin sin ︒︒-︒︒︒︒-︒︒︒-︒=︒=故选：C 【点睛】本题考查两角差的正弦公式.熟记两角和与差的正弦、余弦公式.()cos cos cos sin sin αβαβαβ=-+ +()=cos cos cos sin sin αβαβαβ- ) (sin sin cos cos sin αβαβαβ--＝ ()sin sin cos cos sin αβαβαβ-+=5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b= A ．2B ．3C ．2D ．3【答案】D【解析】【详解】 由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】 余弦定理 【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！6．已知等比数列{}n a 的各项均为正，且32453a a a ，，成等差数列，则数列{}n a 的公比是（ ） A ．12B ．2C ．13D ．13或2- 【答案】C【解析】324,53a a a ，成等差数列，得342253a a a =+，利用基本量，求出q . 【详解】32453,a a a Q ，成等差数列，234253a a a ∴=+，34214151,,a a a a q a a q q ===Q 43111325a q q q a a ∴=+，即23520q q +-=，0q >Q ，故13q =. 故选：C 【点睛】本题考查等比数列通项公式即等差中项的性质.等解决等比数列基本量计算问题利用方程的思想.等比数列中有五个量1n n a n q a S ，，，，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量1a 和q ；,,a A b 成等差数列2A a b ⇔=+. 7．已知32sin cos αβ+=，12cos sin αβ+=，则()sin αβ+=（ ）A ．12-B ．1-C ．12D ．34【答案】A【解析】32sin cos αβ+= ，12cos sin αβ+=，两式平方相加可得.【详解】3122sin cos cos sin αβαβ+=+=Q ，, 两边平方相加得()()222231+()+()=122sin cos cos sin αβαβ++=， 2+2+21sin cos cos sin αβαβ∴=，()2+1sin cos cos sin αβαβ∴=-,)12(=sin αβ∴+-. 故选：A 【点睛】本题考查同角三角函数的平方关系及两角和的正弦公式. 熟记两角和与差的正弦、余弦公式.) (sin sin cos cos sin αβαβαβ--＝ ()sin sin cos cos sin αβαβαβ-+=同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的． 8．函数3y sinx cosx =-在区间(0)π，上的值域为（ ） A ．[]2,2- B ．[]1,2-C ．[]1,1-D ．(]1,2-【答案】D【解析】利用辅助角公式把三角函数关系式化成=2()6y sin x π-，根据相应的正弦曲线求值域即可【详解】3=2()6y sinx cosx sin x π=--0()x π∈，， 6566x πππ-<-<,1sin()126x π∴-<-≤函数值域为(1,2]-故选：D【点睛】本题考查利用三角恒等变换求三角函数值域问题.(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成()y A x t ωϕsin ＝＋＋或()y A x t ωϕcos ＝＋＋ 的形式; (2)根据自变量的范围确定x ωϕ＋的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值或参数范围.9．已知(0)2πα∈，，3cos()33πα+=，则cos α=（ ）A ．3-326B ．3326+ C ．3-66D ．366+ 【答案】B【解析】求出in()36s 3πα+=，利用=()33ππαα+-，可解.【详解】(0)2πα∈，，3cos()33πα+=5336πππα<+<,sin()633πα∴+= cos =cos[c ()]()cos()sin333333os sin ππππππαααα+-=+++3++=323316323=26⨯⨯ 故选：B【点睛】本题考查三角函数式的化简求值给值求值问题的求解思路：(1)化简所求式子．(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)．(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．10．已知函数()sin(2)6f x x π=-在区间[]-,a a 0a >（）上单调递增，则a 的最大值为（ ） A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 【答案】B【解析】求出()sin(2)6f x x π=-的单调递增区间，利用[],[,]63a a k k ππππ-⊆-+得不等式可解.【详解】由正弦函数的性质令222.262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈解得.63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间是[,]63k k ππππ-+()k ∈Z ． 因为()sin(2)6f x x π=-在区间[]-,a a 0a >（）上单调递增[],[,]63a a k k ππππ∴-⊆-+ 360a a a ππ⎧≤⎪⎪⎪∴-≥-⎨⎪>⎪⎪⎩解得06a π<≤则a 的最大值为6π 故选：B 【点睛】本题考查利用三角函数单调区间求参数的值.求三角函数单调区间的方法步骤：(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成sin ++()y A x t w j ＝或cos ++()y A x t w j ＝的形式；(2)根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数sin ++()y A x t w j ＝或cos ++()y A x t w j ＝的单调区间.11．数列{}n a 的前n 项和为n S ，1111n n n a a S S ++=-=⋅，，则2019S =（ ） A ．-2019 B ．−12019C ．−12018D ．-2018【答案】B【解析】利用(2)n n n a S S n 1－＝－³，则+1+1n n n a S S ＝－代入已知化简+11n n n n S S S S +=⋅－，两边同时除以1n n S S +⋅得到1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭等差数列，得解.根据题目已知条件求出数列的通项公式，问题得解. 【详解】1111n n n a a S S ++=-=⋅，+1+1n n n a S S Q ＝－ +11n n n n S S S S +∴=⋅－，+1111n nS S ∴=-－ 1n S ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是首项为1- ，公差为1-的等差数列，11(1)(1)nn n S ∴=-+--=-1=n S n ∴-，20191=2019S - 故选：B【点睛】本题考查利用n a 与n S 的关系求前n 项和. 已知n S 求n a 的三个步骤: (1)先利用11a S ＝求出1a .(2)用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用()n n n a S S n ³12－＝－便可求出当n 2≥时n a 的表达式．(3)对1n =时的结果进行检验，看是否符合n 2≥时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与n 2≥两段来写． ．12．已知锐角ABC ∆的内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，若1a =， 221b c bc +-=，则ABC ∆面积的取值范围是（ ） A ．33,64⎛⎤⎥ ⎝⎦ B ．33,64⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ C ．33,124⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ D ．33,124⎛⎤⎥⎝⎦【答案】A【解析】因为1a =,221b c bc +-=,，所以2222211cos 222b c a b c A bc bc +-+-=== ， 3A π∠= , 由正弦定理得4sin sin 3bc B C=，可化简为442431sin sin sin sin sin cos sin 333322bc B C B B B B B π⎛⎫⎛⎫==-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 21sin 2363B π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ，由232B ππ-< 得,62B ππ<< 从而得52,666B πππ<-< 1sin 2126B π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭ ， 21,3bc <≤333,464ABC S bc ∆⎛⎤=∈ ⎥ ⎝⎦，故选A. 【方法点睛】以三角形载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.二、填空题13．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知25216a a ==，，则6S =_________________. 【答案】63【解析】由25216a a ==，可得11,2a q ==，再由()111nn a q S q-=-可求出663S=【详解】3528a q a ==，则2q =，211aa q==()661126312S ⨯-∴==-故答案为：63 【点睛】等比数列基本量计算问题的思路：主要围绕着通项公式11n n mn m a a q a q --==和前项和公式()111=11n n n a q a a qS q q--=--，在两个公式中共涉及五个量：1,,,,n n a a q n S ，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)可求出剩余的两个量． 14．已知3sin 5α=，且α为第一象限角，则2tan α的值为___________. 【答案】247【解析】根据3sin 5α=，且α为第一象限角，可得4cos 5α=，34α=tan ，再由二倍角正切公式得2tan α的值. 【详解】35sin α=Q ，且α为第一象限角， 21(34cos 55)α∴=-=，sin 3cos 4tan ααα==∴， 2232224423171()4tan tan tan ααα⨯==-∴=-. 故答案为：247【点睛】本题考查三角恒等变换、同角三角函数的基本关系.同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的． 熟记二倍角公式： 2=2sin sin cos ααα；22222=2112cos cos sin cos sin ααααα-=-=－222=1tan tan tan ααα－15．有一个数阵排列如下：1 2 3 4 5 6 7 8 …… 2 4 6 8 10 12 14…… 4 8 12 16 20…… 8 16 24 32…… 16 32 48 64…… 32 64 96…… 64……则第9行从左至右第3个数字为________________. 【答案】768【解析】数阵排列第一列是首项为1，公比为2的等比数列，可求出第9行首项；每行按公差为12n - 排列,可解 【详解】数阵排列第一列是首项为1，公比为2的等比数列12n n a -=所以第9行首项为82=256，第9行公差为82=256，所以第9行从左至右第3个数字为768 故答案为：768 【点睛】本题考查等差数列、等比数列基本量运算及学生观察分析能力.解决等差、等比数列基本量计算问题利用方程的思想.等差、等比数列中有五个量一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量. 16．3sin10cos 40(1)cos10︒+︒o =________________.【答案】1【解析】括号内通分，利用辅助角公式化简分子，再利用正弦二倍角公式和诱导公式可解. 【详解】3sin10cos10+3sin10cos 40(1)=cos 40()cos10cos10︒︒︒+︒︒o o2sin(3010)2sin 40cos 40=cos 40cos10cos10+︒=︒︒o o oosin 80cos10=1cos10cos10==︒︒o o故答案为：1 【点睛】本题考查辅助角公式、二倍角公式、诱导公式运用. 对给定的式子进行化简或求值问题．要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错．三、解答题17．已知()2απ∈π，，且3sin 5α=（1）求tan()4πα-的值；（2）求sin(2019)2απ+的值.【答案】(1)7- ,(2) 31010-【解析】（1） 求出3tan 4α=-，再由两角差的正切公式可得 （2） 由24cos 12sin 25αα=-=-求出310sin 210α= 得解.【详解】（1）()2παπ∈Q ，，且3sin 5α=3tan 4α∴=-31tan 14tan()=7341tan 14πααα----==-+-（2）()2παπ∈Q ，，3sin 5α=()242αππ∴∈，，4cos 5α=-又24cos 12sin25αα=-=-，解得310sin 210α=310sin(2019)sin2210ααπ∴+=-=-【点睛】本题考查三角恒等变换、同角三角函数的基本关系、诱导公式运用. 对给定的式子进行化简或求值问题．要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错． 18．已知等差数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且10712015S a ==，. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{1nS }的前n 项和为n T ，求n T .【答案】(1)21n a n =+;(2)23234264n n n +-++ 【解析】（1） 由10712015S a ==，可求得13,2a d ==，则数列{a n }的通项公式21n a n =+（2） 由第一问可求出()2n S n n =+，所以()11111()222n S n n n n ==-++，再由裂项相消法可得解. 【详解】（1）10712015S a ==Q ，11109101202615a d a d ⨯⎧+=⎪∴⎨⎪+=⎩解得132a d =⎧⎨=⎩ 21n a n ∴=+（2）()()32122n n n S nn ++==+Q()11111()222n S n n n n ∴==-++ 12111111111(1)23242n n T S S S n n ∴=+++=-+-++-+L L ()()232332342124264n n n n n n ++=-=-++++ 【点睛】本题考查等差数列通项公式及用裂项法求和. 用裂项法求和的裂项原则及规律:(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止．(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 19．已知函数()()0(0f x Asin x A ωϕω=+>>，，2)πϕ<，其部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若(0)2πα∈，，且1()=23sin πα--，求()fα的值.【答案】(1) ()sin(2+)3f x x π=;(2)427318-【解析】（1）由图1A =，图上已知两点之间长度为14个周期，求出ω，利用()03f π=求出ϕ 得解. （2）利用1()=23sin πα--求出cos 1=3α，22sin 3α=， 化简展开()222sin cos cos (cos sin )sin33f ππααααα=+-可求.【详解】（1）由图知：1A =1741234T πππ=-= ，=2T πω∴=， ()03f π=Q ，2sin(2)0,()33k k Z ππϕϕπ∴⨯+=∴+=∈,23ππϕϕ<∴=Q ()sin(2+)3f x x π∴= （2）1()=23sin πα--Q ，cos 1=3α()sin 22203παα∈∴=Q ，， ()sin(2+)=sin 2cos cos 2sin 333f πππαααα=+222sin cos cos (cos sin )sin33ππαααα=+-221118342732()=33299218-=⨯⨯⨯+-⨯ 【点睛】由图象求函数(=)+y Asin x ωϕ的解析式确定()00()y Asin x b A ωϕω+=+>>，的步骤和方法 (1)求A b ，：确定函数的最大值M 和最小值m ，则=2M m A －，+2M mb ＝ ； (2)求ω：确定函数的周期T ，则可得2Tπω=； (3)求ϕ：常用的方法有代入法和五点法．①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A b w ，，已知)或代入图象与直线y b =的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定ϕ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口． 20．ABC V 的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知22.a c bcosC -= （1）求角B 的大小；（2）若2b = ，且ABC V 的面积为3，求a c +的值. 【答案】（1）3π；（2）4 【解析】（1）根据正弦定理，将22a c bcosC -=中的边转化为角，得2sin sin 2sin A C BcosC -=，根据B C A +=π-将sin A 转换为()sin B C +，再用正弦三角函数的和差公式进行转化，化简得角B 的大小；（2）根据三角形面积公式和余弦定理，即可求得a c +的值. 【详解】（1）22a c bcosC -=Q 根据正弦定理，得2sin sin 2sin A C BcosC -=，B C A π+=-Q ，可得()sin sin sin sin A B C BcosC cosB C =+=+∴代入上式，得()2sin sin sin 2sin BcosC cosB C C BcosC +-=，化简得()sin 210C cosB -=，()0,,sin 0C C π∈≠Q ，210cosB ∴-=，解得12cosB =, ()0,B π∈Q ,3B π∴=.（2）根据题意得，1sin 32ABC S ac B ∆==，2b =，由（1）得3B π=， 1sin 323ac π∴=，得4ac =①， 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得224a c ac =+-②，由①②得4a c +=. 【点睛】本题考查解三角形，运用正弦定理进行边角转化：2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===;三角形中任意一角正弦可转换()sin sin A B C =+.21．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11a =，且()11,n n na S n n n N ++=++∈（1）证明：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （2）若数列{}n b 满足1(1)2n n n b a -=+⋅，求数列{}n b 的前n 项和.【答案】（1）证明见解析；（2）()211nn -⨯+【解析】（1）根据11n n n a S S ++=-，代入()11n n na S n n +=++，整理得()()111n n nS n S n n +=+++，两边同时除以()1n n +，得1=1+1n n S S n n +-，即证得数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （2）根据（1）通过n a 与n S 的关系整理，得数列{}n a 的通项公式为21n a n =-；整理122n n n b -⨯=为“等差⨯等比”的形式，求和可用错位相减法. 【详解】（1）()11,n n na S n n n N ++=++∈Q ，()()11n n n n S S S n n +∴=++-，整理得()()111n n nS n S n n +=+++， 两边同时除以()1n n +得，1=1+1n n S S n n +-，首项111S=，n S n ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）得()111nS n n n=+-⨯=，即2n S n =， 当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-， 当1n =时，11a =也满足上式，∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-，112(=1)222n n n n n n n b a --=⨯⋅⨯=+，令数列{}n b 的前n 项和为n T ，则1231222322nn T n =⨯+⨯+⨯++⨯L ①， 两边同时乘以2，得234+121223222n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯L ②，①-②得()1112122n nn T n +⨯--=-⨯-，()121n n T n ∴=-⨯+【点睛】本题考查根据定义证明等差数列、n a 与n S 的关系及错位相减法求和.n a 与n S 的关系：11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩错位相减法求和的方法：如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b g的前n 项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解; 在写“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式. 22．在如图所示的四边形ABCD 中，已知AB AD ⊥，23ABC π∠=， 3ACD π∠=，3AD =（1）若2CD =，求ACD ∆的面积（2）求BC 的最大值 【答案】(1)334+;(2)231+3【解析】（1）在ACD ∆中用正弦定理求出4CAD π∠=，得到512D π∠=，用面积公式可得.（2）设(0)2CAD παα∠=<<,分别在ACD ∆和ABC ∆用正弦定理表示出22sin()3AC πα=-，23=1+sin(2+)33BC πα从而可得BC 最大值 【详解】（1） 在ACD ∆中，3,2,3AD CD ACD π==∠=，由正弦定理得：sin sin AD CDACD CAD=∠∠ ，32sin 22sin ==23CD ACDCAD AD⨯∠∠=AB AD ⊥Q ，4CAD π∠=512D π∴∠=11533sin 32sin 22124ACD S AD CD D π∆+=⋅∠=⨯⨯⨯=（2） 设(0)2CAD παα∠=<<,则2,32D BAC ππαα∠=-∠=- 在ACD ∆中2,2sin()sin sin 3AD AC AC ACD D πα==-∠∠在ABC ∆中sin ,sin sin sin BC AC AC BACBC BAC B B∠==∠∠∠21 2312sin()cos 2[cos sin ]cos 322=23sin 32BC παααααπ-+∴= 223cos 2sin cos 33cos 2sin 2=33ααααα+++= 32sin(2+)233==1+sin(2+)333παπα+ 4022333ππππαα<<∴<+<Q ， 23231+sin(2+)1+333πα∴≤ max 231+3BC = 【点睛】本题考查余弦定理在平面几何中的应用. 解决这类问题要抓住平面图形的几何性质，把所提供的平面图形拆分成三角形，然后在三角形内利用正弦、余弦定理和面积公式求解.。
