矩阵的等价和等价标准形

矩阵的合同，等价与相像的联系与差别一、基本观点与性质（一）等价：1、观点。

若矩阵 A能够经过有限次初等变换化为B，则称矩阵 A 与 B 等价，记为 A B 。

2、矩阵等价的充要条件：A.B同型，且人 r(A)=r(B)A B{存在可逆矩阵 P和 Q，使得 PAQ=B建立3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可互相表出，有此可知：两向量组的秩同样，但两向量组各自的线性有关性却不同样。

（二）合同：1、观点，两个n 阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P，使得A B P T AP B 建立，则称A,B 合同，记作 A B 该过程成为合同变换。

2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则 A B 二次型x T Ax 与 x T Bx 有相等的E负惯性指数，即有同样的标准型。

（三）相像1、观点： n 阶方阵 A,B，若存在一个可逆矩阵 P 使得B P1AP建立，则称矩阵 A,B 相像，记为A ~ B。

2、矩阵相像的性质：TTkk, A 11( 前提， A, B 均可逆) A ~ B , A ~ B~ B| E-A | | E B |即有同样的特点值（反之不建立）A, BA ~ Br(A)=r(B)tr ( A) 即 的逆相等 tr (B) A, B|A|=|B|3、矩阵相像的充分条件及充要条件：①充分条件：矩阵 A,B 有同样的不变因子或队列式因子。

②充要条件：A ~ B( EA)( EB)二、矩阵相等、合同、相像的关系（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵A (1,2,L ,n ) ， B(1 , 2,L ,m)1、若向量组（1,2,L ,m）是向量组（1,2 ,L ,n ）的极大线性没关组, 则有 m n ，即有两向量等价，而两向量组线性有关性却不一样，钱者必定线性没关，尔后者未必线性没关。

而矩阵B 与 A 亦不一样型，虽然 r (A) r ( B) 但不可以得出 A B 。

2、若 m=n ，两向量组（ 1, 2 ,L , n ） （ 1 , 2 ,L , m ）则有矩阵 A,B 同 型且 r ( A) r (B) A ~ B, A ; B, A B r( A) r ( B) A B 。

等价矩阵线性代数和矩阵论中，两个矩阵之间的等价是一种矩阵之间的等价关系。

假设有两个的矩阵，记作A和B。

它们之间等价当且仅当存在两个可逆的方块矩阵：的矩阵P以及的矩阵Q，使得相似关系有所不同。

如果两个矩阵A和B相似，那么它们一定是等价矩阵，因为按照矩阵相似的定义，可以找到一个可逆矩阵P，使得由于其中的P-1也是可逆的矩阵，所以A和B相似必然推出它们等价。

但是，等价的矩阵不一定是相似的。

首先相似的两个矩阵必须是大小相同的两个方块矩阵，而等价矩阵则没有这个要求。

其次，即使两个等价矩阵都是同样大小的方阵，中用到的Q也不一定是P的逆矩阵。

性质等价关系。

两个矩阵等价当且仅当：其中一者能够经过若干次初等行或列变换变成另一者。

它们有相同的秩。

参见相似矩阵合同矩阵这是与数学相关的小作品。

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相似矩阵线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。

相似关系是两个矩阵之间的一种等价关系。

两个n×n矩阵A与B为相似矩阵当且仅当存在一个n×n的可逆矩阵P，使得：或矩阵A与B之间的相似变换矩阵。

相似矩阵保留了矩阵的许多性质，因此许多对矩阵性质的研究可以通过研究更简单的相似矩阵而得到解决。

严格定义域为K的n×n的矩阵A与B为域L上的相似矩阵当且仅当存在一个系数域为L 的n×n的可逆矩阵P，使得：矩阵A与B“相似”。

B称作A通过相似变换矩阵：P得到的矩阵。

术语相似变换的其中一个含义就是将矩阵A变成与其相似的矩阵B。

性质等价关系，也就是说满足：1反身性：任意矩阵都与其自身相似。

2对称性：如果A和B相似，那么B也和A相似。

3传递性：如果A和B相似，B和C相似，那么A也和C相似。

子域，A和B是两个系数在K中的矩阵，则A和B在K上相似当且仅当它们在L 上相似。

这个性质十分有用：在判定两个矩阵是否相似时，可以随意地扩张系数域至一个代数闭域，然后在其上计算若尔当标准形。

置换矩阵，那么就称A和B“置换相似”。

矩阵的初等变换及其应用线性代数第一次讨论课1.导语2.讨论内容目录3.正文4.个人总结导语:矩阵是研究线性代数方程组和其他相关问题的有力工具，也是线性代数的主要研究啊、对象之一。

它的理论和方法在自然科学、工程技术、社会科学等众多领域等都有极其广泛的应用。

矩阵作为一些抽象数学的具体表现，在数学研究中占有极其重要的地位。

本文从矩阵的概念讨论矩阵的运算及性质，进而讨论用途很广的矩阵的初等变换及其应用。

讨论内容目录矩阵的初等变换及其应用1.两个矩阵的等价2.两个矩阵的乘积3.将矩阵化为行阶梯型、行最简形、标准型4.求矩阵的秩5.求可逆矩阵的逆矩阵6.求线性方程组的解7.判断向量组的线性相关性8.求向量组的秩与极大无关组9.求矩阵的对角化矩阵（采用行列初等变换，对角线元素为特征值）10.二次型化为标准形正文一、矩阵的等价1.定义：若矩阵A经过一系列初等行变换化为B矩阵,则称A与B行等价；若矩阵A经过一系列初等列变换化为B矩阵,则称A与B列等价；若矩阵A经过一系列初等变换化为B矩阵,则称A与B等价（相抵）。

2.矩阵的等价变换形式主要有如下几种：1）矩阵的i行（列）与j行（列）的位置互换；2）用一个非零常数k乘矩阵的第i行（列）的每个元；3）将矩阵的第j行（列）的所有元得k倍加到第i行（列）的对应元上去；即如果两个矩阵可通过有限次上述变换中的一个或几个的组合变为一样的，两个矩阵等价。

3.矩阵等价具有下列性质（1）反身性任一矩阵A与自身等价；（2）对称性若A与B等价，则B与A等价；（3）传递性若A与B等价，B与C等价，则A与C等价；注意：矩阵作初等变换是矩阵的一种运算，得到的是一个新矩阵，这个矩阵一般与原矩阵不会相等。

下面举例说明矩阵等价及等价变换：13640824100412204128--?? ?- ? ?-- ?-??13r r +→43213131414331222136413640824100824100412204122041280 412813641364082410082410000300030060000r rr r r r r rr r r r B ++-++-----???? ? ?-- ? ????→???→---- ? ?-------- ? ?→= ? ? ? ?????1231213121310341813601030013001300001000100000000r r r r r r r r r C -------???? ?-- ? ?→→= ?显然，根据矩阵等价的定义，以上变换过程中的每一个矩阵均为等价的，每个步骤都是等价转换。

矩阵的合同，等价与相似的联系与区别一、基本概念与性质(一)等价：1、概念.若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价,记为A B ≅.2、矩阵等价的充要条件:A B ≅.{P Q A B ⇔同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵和，使得PAQ=B 成立3、向量组等价,两向量组等价是指两向量组可相互表出,有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同.（二）合同：1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ≅P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ≅该过程成为合同变换.2、矩阵合同的充要条件:矩阵A ，B 均为实对称矩阵，则A B ≅⇔二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数,即有相同的标准型。

（三)相似1、概念:n 阶方阵A,B,若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A ，B 相似，记为~A B 。

2、矩阵相似的性质:~A B 11~,~,~(,)|E-A |||,()(),T T k k A B A B A B A B E B A B tr A tr B A B λλ--=-⇒=前提，均可逆即有相同的特征值（反之不成立）r(A)=r(B)即的逆相等|A|=|B|3、矩阵相似的充分条件及充要条件:①充分条件：矩阵A ，B 有相同的不变因子或行列式因子。

②充要条件:~()()A B E A E B λλ⇔-≅-二、矩阵相等、合同、相似的关系（一)、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵 12(,,,)n A λλλ=，12(,,,)m B βββ=1、若向量组（12,,,m βββ）是向量组（12,,,n λλλ）的极大线性无关组，则有m n ≤，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。

而矩阵B 与A 亦不同型，虽然()()r A r B =但不能得出A B ≅.2、若m=n ，两向量组(12,,,n λλλ)≅(12,,,m βββ）则有矩阵A ，B 同型且()()~,,r A r B A B A B A B =⇒≅r()()A r B A B =⇒≅。

等价：存在可逆矩阵P,Q,使PAQ= B ,则4与B 等价;相似：存在可逆矩阵P,使P-'AP=B,则A 与3相似；合同：存在可逆矩阵c, ^C T AC=B 9则人与3合同.•、相似矩阵的定义及性质 定义1设人3都是〃阶矩阵，若有可逆矩阵P,使P ・'AP=B,则称3是4的相似矩阵，或 说矩阵A 与3相似，记为A~B ・对A 进行运算P'[AP 称为对A 进行相似变换，可逆矩阵P 称 为把A 变成B 的相似变换矩阵.注矩阵相似是-种等价关系.(1) 反身性：A~ A.(2) 对称性：若A 〜3,则3〜A.(3) 传递性：若A 〜B, B~C,则A~C.性质1若A 〜3,则(1) A 7 〜M ：(2) A'1 〜A ：(3) |A-/t£| = |B -/lE|：(4) |A| = |B|:(5) R(A) = R(B)・征值.性质2若A = PBE,则A 的多项式0(A) = P0(B)P“ •推论若A 与对角矩阵八相似，则0(血)丿注(1)与单位矩阵相似的只有它本身:（2）有相同特征多项式的矩阵不-定相似.二、 矩阵可对角化的条件对川阶方阵A ，如果可以找到可逆矩阵P ，使P~l AP = A 为对角阵，就称为把方阵A 对 角化。

定理1 "阶矩阵A 可对角化（与对角阵相似）O A 有“个线性无关的特征向量。

推论若〃阶矩阵A 与对角矩阵八=相似，则人，兄2,…，血是A 的畀个特0(A) = "(A)” = P 血)推论如果“阶矩阵A的“个特征值互不相等，则A与对角阵相似.（逆命题不成立）注：（1）若A〜A,则A的主对角元素即为A的特征值，如果不计人的扌I#列顺序，则八唯•, 称之为矩阵A的相似标准形。

<2）可逆矩阵P由A的“个线性无关的向量构成。

把•个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且在理论和应用上都有意义。

可对角化的矩阵主要有以下几种应用：三、实对称矩阵的和似矩阵实对称矩阵是•类特殊的矩阵，它们•定可以对角化.即存在可逆矩阵P，使得P~l AP = A.更可找到正交可逆矩阵7\使和T_1AT = A定理2实对称矩阵的特征值为实数。

矩阵的等价标准型定理王耀伟 学号摘要：本文阐述并论证矩阵的等价标准型定理,具体探讨这个定理的应用,比如在矩阵的秩的定义方面,在矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的乘积的证明中,在线性方程组的求解中,在向量的线性相关、线性无关性的判断中等等. 关键字：矩阵、等价标准型定理、应用引言：文章的目的在于证明等价标准型定理，简单介绍其在矩阵方面、在线性方程组方面、以及在向量的线性相关的判断中的应用。

一、等价标准型定理及其证明对任意m ×n 矩阵A ，用一系列的m 阶初等方阵P 1，P 2，…，P s 左乘A ，以及一系列初等方阵Q 1，Q 2…Q s 右乘A ，将A 化成()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000r I ，其中r=rank A.存在m 阶可逆方阵P 和n 阶可逆方阵Q 使PAQ具有上述形式。

证明：先证明定理“任意的m ⨯n 矩阵A 都可以通过有限次初等行变换和初等列变换化为()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000r I ”。

如果A=O ，则A 已经是所需的形状。

设A=（a ij )m ×n ≠O.其中必有某个元a ij ≠0,当k ≠1时将A 的第一行与第k 行互换，可以将非零元a kl 换到第一行；如果l ≠1；再将第一列和第l 列互换，将非零元换到第（1,1）位置。

经过这样的初等行变换和初等列变换，一定可以将A=（a ij )m ×n 化为B=（b ij )m ×n ,使b 11≠0.对2≤i ≤m,2≤j ≤n,将B=（b ij )m ×n 的第一行的-b i1b-111倍加到第i 行，第一列的-b 1j b -111倍加到第j 列，可以将B 中第二至m 行的第一列元化为0，第二至n 列的第一行元化为0.再将第一行乘b -111可以将第（1,1）元化为1.这样就将B 化成了如下形式的矩阵C=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11A 。

其中A1是（m-1)×(n-1)矩阵。

如果A1=0，则C 已经是所需形状。

矩阵合同的定义篇一：矩阵的合同,等价与相似的联系与区别矩阵的合同，等价与相似的联系与区别一、基本概念与性质（一）等价：1、概念。

若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B，则称矩阵A与B等价，记为AB。

2、矩阵等价的充要条件：AB{同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=B成立3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。

（二）合同：1、概念，两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P，使得A成立，则称A,B合同，记作AB该过程成为合同变换。

2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B均为实对称矩阵，则A BBPAPBT二次型xTAx与xTBx有相等的E负惯性指数，即有相同的标准型。

（三）相似1、概念：n阶方阵A,B，若存在一个可逆矩阵P使得BP1AP 成立，则称矩阵A,B相似，记为A~B。

2、矩阵相似的性质：A~B,A~B,AA~BTTkk1~B(前提，A,B均可逆)1|E-A||EB|即A,B有相同的特征值（反之不成立）r(A)=r(B)tr(A)tr(B)即A,B的逆相等|A|=|B|3、矩阵相似的充分条件及充要条件：①充分条件：矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子。

②充要条件：A~B(EA)(EB) 二、矩阵相等、合同、相似的关系（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵A(1,2,,n)，B(1,2,,m)1、若向量组（1,2,,m）是向量组（1,2,,n）的极大线性无关组,则有mn，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。

而矩阵B与A亦不同型，虽然r(A)r(B)但不能得出AB。

2、若m=n，两向量组（1,2,,n）（1,2,,m）则有矩阵A,B同型且r(A)r(B)A~B,AB,ABr(A)r(B)AB。

3、若ABr(A)r(B)两向量组秩相同，两向量组等价，即有AB(1,2,,n)(1,2,,n)综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。

合同矩阵(等价矩阵、相似矩阵、置换矩阵、若尔当标准型)(2012-04-05 13:58:14)分类：工作篇标签：校园合同矩阵在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。

两个矩阵和是合同的，当且仅当存在一个可逆矩阵，使得。

对于二次型的矩阵表示来说，做一次非退化的线性替换相当于将二次型的矩阵变为一个与其合同的矩阵。

性质合同关系是一个等价关系，也就是说满足：反身性：对称性：合同于，则可以推出合同于。

传递性：合同于，合同于，则可以推出合同于。

由于每个二次型都可以经过线性替换变成若干个平方和的形式，对于矩阵来说，就是每个对称矩阵都合同于一个对角矩阵，后者称为一个标准形。

根据谱定理，替换的过渡矩阵可以是一个正交矩阵。

如果不考虑替换矩阵的正交性，那么在复数域中，每个对称矩阵都合同于一个对角线上元素只由0和1构成的对角矩阵。

对角线上的1的个数等于原来的矩阵的秩。

因此每个可逆的对称矩阵都合同于单位矩阵。

在实数域中，根据惯性定理，每个对称矩阵都合同于一个对角线上元素只由0和正负1构成的对角矩阵。

如果设1的个数是p，-1的个数是q，那么给定(p,q)后，就确定了一个关于合同关系的等价类。

数对(p,q)称为一个对称矩阵（或相应二次型）的惯性指数其中1的个数p 称为正惯性指数，-1的个数q称为负惯性指数，p-q叫做符号差。

据此可以得出：合同关系将所有的对称矩阵分为个等价类。

正定二次型主条目：正定二次型一个二次型被称为半正定的，如果它对应的对称矩阵在实数域内合同到一个一个对角线上元素只由0和1构成的对角矩阵。

如果一个二次型的矩阵在实数域内合同于单位矩阵，那么称其为正定二次型。

一个二次型是半正定二次型当且仅当它的正惯性指数等于它对应的矩阵的秩；是正定二次型当且仅当它的正惯性指数是n。

正定二次型必然是可逆矩阵，而且它的行列式大于0。

同样的可以定义半负定、负定和不定的二次型。

参看相似矩阵参考资料北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组，《高等代数》，高等教育出版社，2003年。

矩阵等价标准形矩阵在数学和工程领域中有着广泛的应用，矩阵的等价标准形是研究矩阵性质和计算的重要内容之一。

在线性代数中，我们经常会遇到需要对矩阵进行简化或者化简的情况，其中矩阵的等价标准形就是一个重要的概念。

本文将对矩阵的等价标准形进行详细的介绍和讨论。

首先，我们来介绍一下矩阵的等价关系。

对于两个矩阵A和B，如果存在可逆矩阵P和Q，使得A=PBQ，那么我们就称矩阵A和B是等价的，记作A~B。

这里的可逆矩阵P和Q就是用来进行矩阵变换的，它们保证了矩阵A和B之间的等价关系。

接下来，我们要介绍的是矩阵的等价标准形。

对于一个矩阵，如果存在一个特定的形式，使得通过矩阵相似变换可以将原矩阵变为这个特定形式，那么我们就称这个特定形式为矩阵的等价标准形。

在实际应用中，等价标准形可以帮助我们更好地理解和分析矩阵的性质，简化计算过程，以及解决实际问题。

对于方阵来说，最常见的等价标准形就是对角阵。

对角阵是一种形式特别简单的矩阵，它的非对角元素都是零，对角元素可以是任意数。

通过相似变换，我们可以将任意一个方阵化为对角阵，这就是矩阵的对角化过程。

对角阵具有很多良好的性质，比如易于求幂、易于计算行列式等，因此对角化是很多矩阵问题的重要手段。

除了对角阵之外，还有一种重要的等价标准形就是标准型。

标准型是一种更为一般的形式，它可以将矩阵化为一种特定的分块形式，每个分块都具有特定的性质。

标准型的存在性和计算方法是线性代数中的一个重要问题，对于不同类型的矩阵，我们可以得到不同的标准型，比如黎曼标准型、Frobenius标准型等。

在实际问题中，矩阵的等价标准形可以帮助我们简化计算、解决方程组、分析特征值等。

通过对矩阵进行相似变换，我们可以将原问题转化为更简单的形式，从而更好地理解和解决问题。

因此，矩阵的等价标准形是线性代数中一个非常重要的内容，它对于理论研究和实际应用都具有重要意义。

总之，矩阵的等价标准形是矩阵理论中的一个重要概念，它可以帮助我们简化计算、解决问题，以及更好地理解矩阵的性质。