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非线性控制系统分析

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《自动控制原理》考点精讲(第8讲 非线性控制系统分析)

《自动控制原理》考点精讲(第8讲 非线性控制系统分析)
（2）稳定性分析很复杂 线性系统的稳定性只取决于系统的结构与参数，而与外部作用 和初始条件无关。 非线性系统的稳定性：与系统的参数与结构、运动的初始状 态、输入信号有直接关系。 非线性系统的某些平衡状态（如果不止有一个平衡状态的话） 可能是稳定的，而另外一些平衡状态却可能是不稳定的。
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
量外，还含有关于ω的高次谐波分量。使输出波形发生非线
性畸变。 正弦响应的复杂性：①跳跃谐振及多值响应；②倍频振荡与 分频振荡；③组合振荡（混沌）；④频率捕捉。 混沌：
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
网学天地（ ）
e
x
x(t)
x(t)
x(t)
x(t)
ωt ωt
ωt ωt
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
网学天地（ ）
例：欠阻尼二阶系统的相平面描述——相轨迹
相轨迹在某些特定情况 下，也可以通过积分法， 直接由微分方程获得x和x 导数的解析关系式：
x dx = f (x, x) ⇒ g(x)dx = h(x)dx dx
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
α
=
dx dx
=
f (x, x) x
则与该曲线相交的任何相轨迹在交点处的切线斜率均为α，
该曲线称为等倾线。 注1：线性系统的等倾线为直线； 注2：非线性系统的等倾线为曲线或折线。
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
网学天地（ ）
由等倾线的概念知，当相轨迹经过该等倾线上任一点时，其 切线的斜率都相等，均为α。取α为若干不同的常数，即可 在相平面上绘制出若干条等倾线，在等倾线上各点处作斜率 为α的短直线，并以箭头表示切线方向，则构成相轨迹的切 线方向场。

自动控制原理第七章非线性控制系统的分析

自动控制原理第七章非线性控制系统的分析
X X
这里，M=3，h=1
负倒描述函数为
N 1 X
X
12 1 1 2
X
X 1
X 1, N 1 X , N 1
必有极值
d N 1X 令
0 dX
得 X 2
N 1 2
2
0.523
12
1
1 2
2
6
X： 1 2
-N-1(X)： 0.523
2.自振的稳定性分析
在A点，振幅XA，频率A。
扰动：
X : A点 C点 C点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由C点向B点运动；
A点一个不稳 定的极限环。
X : A点 D点 D点不被G(j)轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由D点左移。
在B点，振幅XB，频率B 。 扰动：
X : B点 E点 E点不被G(j) 轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由E点到B点；
X : B点 F点 F点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由F回到B点。
B点呈现稳定的自激振荡:振幅XB ,频率B。
3.闭环系统稳定性判别步骤
1）绘制非线性部分的负倒描述函数曲线和线 性部分的频率特性曲线。
2）若G(j)曲线不包围“-N-1(X)”曲线，则系统稳定。 若G(j)曲线包围“-N-1(X) ”曲线，系统不稳定。 若G(j)曲线与“-N-1(X)”曲线相交，系统出现自振。
3）若G(j )曲线与“-N-1(X)”曲线有交点，做以 下性能分析：
（1）不稳定的极限环
（2）稳定的极限环 计算自振频率和幅值。
例1：非线性系统如图所示,其中非线性特性为 具有死区的继电器,分析系统的稳定性。
0e

《自动控制原理》第八章非线性控制系统分析

《自动控制原理》第八章非线性控制系统分析

K G jw = ( ) S 0.1S+1)( 0.2S+1) ( K −0.3w− j(1−0.02w2 )] [ = 4 2 w 0.0004w + 0.05w +1) (
S= jw
令 ImG(jw) = 0 即 1 – 0.02w2 = 0 ，可得 G(jw) 曲线与负实轴交点的频率为：
1 wx = = 50 = 7.07rad / s 0.02
C(t)
∆2 ∆3 ∆ = ∆1 + + k k k2 1 1
K1 ，k2 ，k3 为传递函数各自的增益
处于系统前向通路最前边的元件，其死区所 造成的影响最大，而放大元件和执行元件的影响 可以通过提高这些元件前几项的传递函数来减小。 死区对系统的直接影响是造成稳态误差，降 低了定位精度。
≤ 时，输出量 y 与 x 是线 饱和：当输入量 x≤ a x> a > 时，输出量不再 性关系 y = kx ，当 随着输入量线性增长，而保持为某一常值。
两条曲线在交点处的幅值相等，即： −π
1 1 1 2 [arcsin + 4 1−( ) ] A A A = −1
得：A = 0.5 应用奈氏判据可以判断交点对应的周期运动 2.5sin7.07t 是稳定的，故当 k = 15 时，非线性系统 工作在自振状态，自振振幅 A = 2.5 ，频率 w = 7.07rad/s （2）欲使系统稳定地工作，不出现自振荡，由于 G(s) 的极点均在右半平面，故根据奈氏判据
相对负倒描述函数为：
A A2 ( ) 1 π π h h − =− =− NA ( ) 4 4 A2 h2 1−( ) ( ) −1 h A
采用相对描述函数后，系统的特征方程改写为：

第八章 非线性控制系统分析

第八章 非线性控制系统分析
x x
整理后得： x
2
x (x x )
2 2 0 2 0
相轨迹
2.等倾线法 --不解微分方程，直接在相平面上绘制相轨迹。 等倾线： 相平面上相轨迹斜率相等的诸点的连线。 等倾线法基本思想： 先确定相轨迹的等倾线，进而绘出相轨迹的切线 方向场，然后从初始条件出发，沿方向场逐步绘制相
四、继电特性
y M 0 x
M y M
x 0 x 0
-M
对系统的影响：
1可能会产生自激振荡，使系统不稳定或稳态误差增大；
2.如选得合适可能提高系统的响应速度。
其他继电特性
y
M -h 0 h -M x M -△ 0
y
-△
△
y M 0 △ -M x
-M
死区 + 继电
x
滞环 + 继电
x ，从x, x 中消
(2)直接积分法
dx dx dx dx x x dt dx dt dx
dx x f ( x, x ) dx
g ( x)dx h( x)dx

x
x0
g ( x)dx h( x)dx
x1,2 0.25 1.39 j
系统在奇点(0,0)处有一对具有负实部的共轭复根， 故奇点(0,0)为稳定的焦点。
f ( x, x ) 奇点(-2,0)处 x
x 2 x 0
2
f ( x, x ) x

c
c
c
c
(6)≤-1 s1s2 --两个正实根
四、奇点和奇线
1.奇点 --同时满足 x 0 和 f ( x, x) 0 的点。

第八章_非线性控制系统分析

第八章_非线性控制系统分析
非线性系统在不同初始
偏移下的自由运动
2011 秋
许燕斌
自动控制理论A
Lo o
4、线性系统在没有外作用时，周期运动只发生在临界情况，
而这一周期运动是物理上不可能实现的; 非线性系统，在没有外作用时，系统中完全有可能发生一 定频率和振幅的稳定的周期运动，如图所示，这个周期运 动在物理上是可以实现的，通常把它称为自激振荡，简称 自振。
自动控制理论A
Lo o
x
k [e(t ) e0 ], x(t ) 0 x (t ) k [e(t ) e0 ], x(t ) 0 bsigne(t ), x(t ) 0
b k
k
e0 -b
-e0
e
2011 秋
许燕斌
自动控制理论A
4、继电特性
2011 秋
许燕斌
自动控制理论A
8.1 非线性系统及其特点
一.实际系统中的非线性因素
Lo o
一些常见的非线性特性
2011 秋
许燕斌
自动控制理论A
Lo o
除上述实际系统中部件的不可避免的非线性因素 外，有时为了改善系统的性能或者简化系统的结 构，人们还常常在系统中引入非线性部件或者更 复杂的非线性控制器。 通常，在自动控制系统中采用的非线性部件，最 简单和最普遍的就是继电器。
2011 秋
许燕斌
自动控制理论A
Lo o
二、非线性系统的特点（与线性系统的区别）
1、线性系统满足叠加原理，而非线性控制 系统不满足叠加原理。
2011 秋
许燕斌
自动控制理论A
Lo o
2、在线性系统中，系统的稳定性只取决于系统的 结构和参数，对常参量线性系统，只取决于系统 特征方程根的分布，而和初始条件、外加作用没 有关系； 对于非线性系统，不存在系统是否稳定的笼统概 念。必须具体讨论某一运动的稳定性问题。非线 性系统运动的稳定性，除了和系统的结构形式及 参数大小有关以外，还和初始条件有密切的关系。

第6章非线性控制系统分析

第6章非线性控制系统分析

一般非线性
描述函数不仅适合于分段线性系统，也适合于一般
非线性系统，只要能求出非线性环节的描述函数。我们 举一个例子:
1 1 3 y x x 2 4
因为它是单值、奇对称的，A1
0, 1 0 ，先求出 y (t ) ：
1 1 3 3 y (t ) A sin t A sin t 2 4
n 1

A 0 Yn sin(n t n )
n 1
y (t ) A0 ( An cos n t Bn sin n t )
n 1

A 0 Yn sin(n t n )
n 1
1 2 式中：A0 y (t )d t 0 2 1 2 An y (t ) cos n td t
2 1 2 1
这意味着一个非线性元件在正弦输入下，其输出也是
一个同频率的正弦量，只是振幅和相位发生了变化。
这与线性元件在正弦信号作用下的输出具有形式上的 相似性，故称上述近似处理为谐波线性化。
描述函数法的定义：输入为正弦函数时，输出的基波分量 与输入正弦量的复数比。其数学表达式为
Y sin( t 1 ) Y1 N ( A) 1 1 A sin t A A12 B12 A arctan 1 A B1
y
B
C
0
C
x
B
(a)
死区特性 一般的测量元件、执行机构都具有不灵敏区特性。只有在输 入信号大到一定程度以后才会有输出。一般的机械系统、 电机等, 都不同程度地存在死区。这种只有当输入量超过 一定值后才有输出的特性称为死区特 性，如图b所示。
y
k
C
0
C
x
k

非线性控制系统分析(《自动控制原理》课件)

非线性控制系统分析(《自动控制原理》课件)

出发的相轨迹曲线互不相交. 如果在相平面上某些点的

d x/ dx 0/ 0, 即曲线在这一点上的斜率不定, 可有无穷多
条相轨迹通过这一点, 称这一点为系统的平衡点, 或叫奇
点.
在相平面的上方(如下图) ,
由于

x

0所以
x总是朝大的

x
A(x0 ,

x0 )
方向变化, 故相轨迹上的点总是按图 中箭头所指从左向右移动. 在相平面
u0
0
u(t) u(t) G(s) c(t)
u0
上图中, 大方框表示一具有理想继电特性的非线性环节, G(s) 表示非线性系统中线性部分的传递函数.
非线性的特性是各种各样的, 教材图及 表给出了一些工程上常见的典型非线性特性.
7-2非线性控制系统的特征
非线性控制系统有如下两个基本特征: (1)非线性控制系统的基本数学模型是非线性微分方程 (2)非线性控制系统的性能不仅与系统本身的结构和参
0
x
的下方,
由于

x

0
所以
x
总是朝小的
方向变化, 故相轨迹上的点总是按图中箭

箭头所指从右向左移动. 在 x 轴上, 由于
x 0, 即 x不变化, 达到最大值或最小值, 故相轨迹曲线
与 x 轴的交点处的切线总垂直于x 轴.
2. 相轨迹作图法
先以线性系统为例, 说明相轨迹曲线的画法.
(1)解析法
数有关, 还与系统的初始状态及输入信号的形式和大小 有关.
由于非线性控制系统的基本数学模型是非线性微分 方程, 而从数学上讲, 非线性微分方程没有一个统一的 解法, 再由于第二个特征, 对非线性控制系统也没有一 个统一的分析和设计的方法, 只能具体问题具体对待.

131209第8章非线性控制系统分析

131209第8章非线性控制系统分析

非线性系统的数学模型是非线性微分方程；但至今为止 非线性微分方程没有成熟的解法；
8.2 几种典型的非线性特性
饱和特性 死区特性 间隙特性 继电器特性 变增益特性
(1)饱和特性(如运算放大器，学习效率等)
1. 对系统而言，饱和特性往往促使系统稳 定，但会减小放大系数，从而导致稳定 精度降低。 2. 饱和特性的例子是放大器，许多执行元 件也具有饱和特性。例如伺服电机。 3. 实际上，执行元件一般兼有死区和饱和 特性。
y1 ( t )
4M

sin t
理想继电特性的描述函数：
4M N ( A) 0 A
一般继电特性的描述函数：
2M mh 2 h 2 2M h N ( A) 1 ( ) 1 ( ) j ( m 1) 2 A A A A ( A h)
可能不稳定—发散、衰减等
3. 自振运动— 非线性系统特有的运动形式，产生自持振荡 4. 发生频率畸变—频率响应的复杂性 — 跳频响应，倍/分频 响应，组合振荡
非线性控制系统的分析方法
小扰动线性化
非线性系统研究方法 仿真方法
全数字仿真 半实物仿真 相平面法 描述函数法 波波夫法 反馈线性化法 微分几何方法
h 0 理想继电特性： m 1 死区继电特性： m 1 纯滞环继电特性：
4M N ( A) A
4M h N ( A) 1 A A
2
2
4M 4 Mh h N ( A) 1 j A A2 A
一般而言,描述函数 N(A)是A的函数,与频率无关 非线性环节为单/非单值函数时,N(A)是实/复数,虚部为/不为0
在小误差信号时具有较小的增益，从而提高系统的相对稳定性。 同时抑制高频低振幅噪声，提高系统响应控制信号的准确度。

非线性控制系统分析

非线性控制系统分析

第一张
上一张 下一张 最后一张
结束授课
非线性系统响应还有其他与线性 系统不同的现象,无法用线性系统的 理论来解释。在一些情况下,引入某 些非线性环节,使系统获得比线性系 统更为优异的性能。实际上大多数智 能控制都属于非线性控制范畴。
应当明确指出的是：非线性系统 分析中不能使用叠加原理,也不能使用 线性系统分析中传递函数、频率特性 数学模型。
上一张 下一张 最后一张
结束授课
三、自持振荡
线性二阶系统只在阻尼比=0时给予阶跃作用，将产生周期性响应过程, 这时系统处于临界稳定状态。
实际上,一旦该系统参数发生微小变化,该周期性状态就无法维持,要么 发散至无穷大,要么衰减至零。
而非线性系统在没有外作用时,有可能产生频率和振幅一定的稳定周期 性响应。该周期响应过程物理上可实现并可保持,通常将其称为自持振荡或 自振荡,如下图所示。
但当系统的非线性特征明显且不能进行线性化处理时，就必须采用非 线性系统理论来分析。这类非线性称为本质非线性。
第一节 非线性系统的基本概念
如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件或环节, 则此系统即为非线性系统。
如系统不能进行线性化处理，或其时域响应不能用线性微分方程（一 般只能用非线性微分方程来描述,具有非线性数学模型）来描述,则称为非 线性系统，或称为本质非线性系统。这样的系统有以下特点：
如果自振荡的幅值在允许范围内, 按照李雅普诺夫关于稳定性的定义,系 统是稳定的。
自振荡是人们特别感兴趣的一个问 题,对它的研究有很大的实际意义。在 多数情况下,正常工作时不希望有振荡 存在,必须设法消除它。但在某些情况 下,特意引入自振荡,使系统有良好的稳 态、暂态性能。
第一张
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非线性控制系统的分析

非线性控制系统的分析

第8章非线性控制系统的分析自测题1. 变增益控制系统结构图及其非线性元件G N的输入输出特性分别如T图8-1和8-2所示，该系统开始处于零初始状态，若输入信号r(t)=R⨯1(t)，且R>e0，kK<1/4T<K，试绘出系统相平面图，并分析变增益放大器对系统的影响。

T图 8-1 T图 8-22. 设非线性系统如T图8-3所示，输入为单位斜坡函数，试在ee-平面上作出相轨迹。

T图 8-33.具有非线性阻尼的控制系统结构图如T图8-4所示，假设系统开始处于静止状态，系统常数为K＝4，K0＝1，e0＝0.2。

试分析在速度输入函数r(t)=0.5+0.1t作用下的根轨迹。

·43··44·yT 图 8-44. 非线性系统结构图如T 图8-5所示，a =0.5，K =8，T =0.5s ，K 1=0.5，要求：（1）当开关打开时，e (0)=2，0)0( e的相轨迹； （2）当开关闭合时，绘制相同初始条件的相轨迹，并说明测速反馈的作用。

T 图 8-55. 将T 图8-6和8-7所示非线性系统简化成典型结构形式，并写出线性部分的传递函数。

T 图 8-6T 图 8-76. 根据已知的非线性描述函数，求T 图8-8所示各种非线性的描述函数。

·45·(a) (b)T 图8-87. 已知系统的结构图如T 图8-9所示，K ＝4，M ＝1，k =1，r (t )=1(t )，c(0)=0，0)0(=c。

在e e - 平面上画出相轨迹，并画出c (t )的曲线，且说明运动情况(若有稳态误差，则计算其值，若有振荡，则计算振荡周期)。

T 图 8-98. 系统结构图如T 图8-10所示，试将其归化为一个非线性环节和一个线性部分串联的典型结构。

T 图 8-109. 在T 图8-11所示系统中，（1）确定使系统稳定的开环放大倍数K ； （2）分析滞环宽度h 对极限环工作周期的影响；·46·（3）试提出一个可实现的设计方案，使K 为确定数值（如K ＝10）时系统能稳定工作。

非线性控制系统分析教学课件

非线性控制系统分析教学课件

航天器控制系统
航天器控制系统是一个高度复杂的非线性控制系统，它涉及到轨道控制、姿态控制和推进系 统控制等多个方面。
航天器控制系统需要处理各种动态特性和非线性特性，如气动力、引力扰动和热效应等，以 确保航天器能够精确地完成预定任务。
航天器控制系统的设计需要运用非线性控制理论和方法，如自适应控制、鲁棒控制等，以提 高航天器的稳定性和精度。
非线性控制系统分析 教学课件
contents
目录
• 非线性控制系统概述 • 非线性控制系统的基本理论 • 非线性控制系统的分析与设计 • 非线性控制系统的应用实例 • 非线性控制系统的发展趋势与挑战
CHAPTER 01
非线性控制系统概述ห้องสมุดไป่ตู้
非线性控制系统的定义与特点
总结词
非线性、动态、输入与输出关系复杂
详细描述
反馈线性化方法是一种通过引入适当的反馈控制律，将非线性系统转化为线性系统的设 计方法。它通过调整系统的输入和输出，使得系统的动态行为变得线性化，从而可以利
用线性控制理论进行设计和分析。
滑模控制方法
总结词
一种用于处理非线性控制系统不确定性 的方法
VS
详细描述
滑模控制方法是一种通过设计滑模面和滑 模控制器，使得系统状态在滑模面上滑动 并达到期望目标的方法。它利用滑模面的 设计，使得系统对不确定性具有鲁棒性， 能够有效地处理非线性系统中的不确定性 和干扰。
非线性控制系统的基本理论
状态空间模型
状态空间模型是描述非线性控制系统动态特性的数学模型，由状态方程和输出方程 组成。
状态变量是描述系统内部状态的变量，输出变量是描述系统外部输出的变量。
建立状态空间模型需要考虑系统的非线性特性，包括死区、饱和、非线性函数等。

自动控制原理第八章非线性控制系统分析

自动控制原理第八章非线性控制系统分析

第八章非线性控制系统分析l、基本内容和要求（l）非线性系统的基本概念非线性系统的定义。

本质非线性和非本质非线性。

典型非线性特性。

非线性系统的特点。

两种分析非线性系统的方法——描述函数法和相平面法。

（2）谐波线性化与描述函数描述函数法是在一定条件下用频率特性分析非线性系统的一种近似方法。

谐波线性化的概念。

描述函数定义和求取方法。

描述函数法的适用条件。

（3）典型非线性特性的描述函数（4）用描述函数分析非线性系统非线性系统的一般结构。

借用奈氏判据的概念建立在奈氏图上判别非线性反馈系统稳定性的方法，非线性稳定的概念，稳定判据。

（5）相平面法的基本概念非线性系统的数学模型。

相平面法的概念和内容。

相轨迹的定义。

（6）绘制相轨迹的方法解析法求取相轨迹；作图法求取相轨迹。

（7）从相轨迹求取系统暂态响应相轨迹与暂态响应的关系，相轨迹上各点相应的时间求取方法。

（8）非线性系统的相平面分析以二阶系统为例说明相轨迹与系统性能间的关系，奇点和极限环的定义，它们与系统稳定性及响应的关系。

用相平面法分析非线性系统，非线性系统相轨迹的组成。

改变非线性特性的参量及线性部分的参量对系统稳定性的影响。

2、重点（l）非线性系统的特点（2）用描述函数和相轨迹分析非线性的性能，特别注重于非线性特性或线性部分对系统性能的影响。

8-1非线性控制系统分析1研究非线性控制理论的意义实际系统都具有程度不同的非线性特性，绝大多数系统在工作点附近，小范围工作时，都能作线性化处理。

应用线性系统控制理论，能够方便地分析和设计线性控制系统。

如果工作范围较大，或在工作点处不能线性化，系统为非线性系统。

线性系统控制理论不能很好地分析非线性系统。

因非线性特性千差万别，无统一普遍使用的处理方法。

非线性元件(环节)：元件的输入输出不满足(比例+叠加)线性关系，而且在工作范围内不能作线性化处理(本质非线性)。

非线性系统：含有非线性环节的系统。

非线性系统的组成：本章讨论的非线性系统是，在控制回路中能够分为线性部分和非线性部分两部分串联的系统。

非线性控制系统的分析

非线性控制系统的分析

第8章 非线性控制系统的分析重点与难点一、基本概念1. 线性与非线性系统的联系与区别控制系统在不同程度上都存在着非线性。

有些系统可以在工作点附近把它线性化，然后按线性系统来处理（如三级管放大器电路），但当系统含有本征非线性特性（如死区特性、继电器特性等）时，就不能用线性化的方法处理。

死区特性将使系统出现较大的稳态误差。

饱和特性将降低系统的超调量，有时还会引起稳定振荡。

间隙特性可使系统的振荡加剧，静差也会增大，有时会使系统不稳定。

继电器特性会出现低速爬行、蠕动及响应不平滑等现象。

与线性系统相比，非线性系统与线性系统的本质差别可以概括为以下三点： （1）线性系统可以使用叠加原理，而非线性系统不能使用叠加原理；（2）线性系统的稳定性与初值、输入无关，而非线性系统的稳定性与初值、输入有关； （3）线性系统可以写出通解形式，而非线性系统无法写出通解形式。

2. 相平面分析法以x ，x为坐标的平面就叫相平面，系统的某一状态对应于相平面上的一点。

相平面上的点随时间变化的轨迹叫相轨迹。

对应于二阶线性定常系统的相轨迹，可以对非线性系统进行分析，这种分析方法称为相平面分析法。

二阶线性定常系统的相轨迹如表8-1所示。

3. 极限环非线性系统存在着稳定的振荡状态，在相平面图上可表示为一个孤立的封闭相轨迹。

所有附近的相轨迹都渐近地趋向这个封闭的相轨迹，或离开该封闭的相轨迹，该相轨迹称为极限环。

极限环分为稳定和不稳定等四种形式，如表8-2所示。

非线性系统可能没有极限环，也可能存在多个极限环。

在相平面图形上，一个稳定的极限环就对应于一个自振状态。

4. 相平面做图法I —等倾线法令dx xd a / =，即),(x x f a =。

对于a 的不同取值，由),(x x f a =可得到x 与x 的不同关系式，而且在曲线),(xx f a =上，均具有相同的斜率a 。

给出一组a ，就可近似描绘出相平面图形。

表8-1 二阶线性系统022的相轨迹表8-2 极限环基本形式5. 相平面做图法II —δ方法给),(x x f x=两边同加x 2ω，得令 x x x f x x22),(ωω+=+ 22),(),(ωωδx x xf xx +=得 22),(ωδωx x x x=+ 因此 21212)(d x x=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛δω式中 21122121111)( ),(δωδδ-+==x x d xx 利用上式就可得点],[11xx 邻域内的相平面图形。

自动控制原理第八部分非线性控制系统分析剖析

自动控制原理第八部分非线性控制系统分析剖析

二阶系统微分方程： x f (x, x)
两个独立变量： 位置量 x
速度量 x
构成相平面
x, x 为相变量。给定初始条件 相变量 x, x 在相平面上的
其他继电特性还有：Biblioteka y M-h0h
x
-M
y
M -△
0△
x
-M
y
M -△
0△
x
-M
图8-5 滞环 + 继电
图8-6 死区 + 继电 图8-7 死区 + 滞环 + 继电
在非线性系统中，一些更复杂的非线性特 性，其中有些可看成是上述典型特性的不同组
8.3 相平面法
相平面法是一种求解一、二阶常微分方程的图解法,即二维状态空间法。这种 方法的实质是将系统的运动过程形象地转化为相平面上一个点的移动, 通过研究 这个点移动的轨迹, 就能获得系统运动规律的全部信息.
控制系统中的典型非线性特性有：
8.2.1 饱和特性 饱和非线性的输入输出关系及数学表达式如下：
ka x a
y kx x a
(8-1)
ka x a
y
斜率k -a
0a x
对系统的影响：
图8-1 饱和特性
(1)在大信号作用下，等效传递系数下降跟踪误差，响应时间，稳 态误差。
(2)可能使振荡减弱。 (3)可利用饱和特性来保护系统或元件的安全运行。
•例如：dx f (x, t) •若 dtx1(t), 是x2方(t程) 的解，有
•也是方程（1）的解, 则方程为线性系统，例如：
x1(t) x2 (t)
•否则为非线性系统。
f (x,t) ax b
线性系统通常是非线性系统在一定范围的近似。

第八章非线性控制系统的分析

第八章非线性控制系统的分析
否则，必须考虑死区的影响。而在工程实际中，有时为了提高系统的抗干扰能力，
会有意引入或增大死区。
3.间隙特性(滞环特性)
间隙特性的静特性曲线如图8.4所示，其数学表达式为
（8.3）
式中，a为间隙宽度，K为比例系数(线性段斜率)，(t)=dx(t)/dt。
ሶ
8.1
非线性控制系统概述
间隙特性是一种非单值特性，表现为正向特性与反向特性不是重叠在一起，而是在输入—输出曲线上出现
性具有明显的饱和非线性。
上述伺服电动机的非线性是因为使用的磁性材料具有非线性，
因此当输入电压超过一定数值时，伺服电动机的输出转矩就出现饱和现
象。实际上，由于伺服电动机还存在摩擦力矩和负载力矩，因此只有当
输入电压达到一定数值时，伺服电动机才会转动，即存在不灵敏区。所
以，伺服电动机的实际静特性是同时具有不灵敏区与饱和的非线性特性。
2.死区(不灵敏区)特性
死区特性的静特性曲线如图8.3所示，其数学表达式为
（8.2）
式中，a为死区宽度，K为线性输出斜率。
死区特性的特点是，当系统或环节有输入信号，但尚未超过数值a时，
无相应的信号输出。
死区特性在控制系统中也较为常见，一般的测量元件和执行机构都具
图8.3
死区特性
图8.4
间隙特性
有死区特性。当死区很小或对系统性能不会产生不利影响时，可以忽略不计。
现的这种周期运动即为自激振荡。自激振荡是非线性控制系统特有的，是非线性控制理论研究的重要问题。
8.1
非线性控制系统概述
8.1.4
非线性控制系统的分析与设计方法
描述非线性控制系统的基本数学模型是非线性微分方程，对非线性控制系统进行分析的重点是系统稳定性

非线性控制系统的分析

非线性控制系统的分析
· （3）自振：所谓自振，是在没有外施信号作用时，非线性系统产生的具有固定振幅 和频率的稳定振荡现象；而线性系统的等幅振荡则只是系统的一种临界稳定状态，只 要系统的参数稍有变化，这种临界等幅振荡就会趋于发散或者变为收敛。也就是说， 线性系统的这种等幅振荡是暂时性的，而非线性系统的自振则是稳定的、顽固的。
所示；不稳定的极限环在实验中是无法观察到的。
· ③ 半稳定的极限环：若起始于极限环内（外）部的相轨迹最终远离极限环，而起始于极限环 外（内）部的相轨迹最终趋向极限环，则该极限环称为半稳定的极限环，对应的系统运动是
稳定的或不稳定的，如图9.2-8 c.、d. 所示（在实验中无法观察到）；图9.2-8 c. 中，极限
第2页，共24页。
图9.1-1 跳跃谐振与多值响应
· 1） 饱和特性
·
（9.1-1）
·
图9.1-2 饱和特性及其等效变增益 第3页，共24页。
· 2） 死区特性 · 所谓死区也叫不灵敏区，系指输入信号偏小时，死区特性元件没有输出，仅当输入增加到
某个值以上时，该元件才有输出。死区特性及其等效变增益特性如图9.1-3 a.、b. 所示。
· ⑵ 由于描述函数法多用于非线性系统的稳定性和自振分析，可
令
，而且非线性元件的输入为正弦扰动信号，
即
；
· ⑶ 正弦扰动下非线性元件的输出具有奇对称（如死区、饱和等的输 出）或奇谐对称（如间隙、实际继电等的输出）特性，可以保证非 线性元件输出的直流分量与偶次谐波均等于零；
· ⑷ 系统的线性部分具有良好的低通滤波性能，以确保谐波线性化的近似精度， 对于一般的控制系统，这个条件是能满足的，而且线性部分的阶次越高，低 通滤波越好、近似精度越高。
第12页，共24页。
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等倾线是直线，为：
1 x x 1
a 是相轨迹切线斜率
43
（ 1 ） a 取不同值时，可在 相平面上画出若干等倾 线； （2）在每条等倾线上画出 斜率a的小线段； （3）从相轨迹的起点开 始，沿各小线段画相轨迹 。 等倾线法画相轨迹
44
四、相平面上的奇点和奇线
1、定义 （1）普通点
dx f ( x , x ) x 可知,相平面 由相轨迹的斜率方程 dx
第 八 章
非线性控制系统分析
1
本章主要内容

8-1 非线性控制系统概述 8-2 常见非线性特性及对系统运动的影响 8-3 相平面法 8-4 描述函数法



2
8-1 非线性控制系统概述
3
什么是非线性系统
非线性系统一般理解为非线性微分方程所描述的系统。 线性系统的本质特征是叠加原理；非线性系统不满足 叠加原理。 ①实际的控制系统本质上都是非线性系统； ②线性系统可看作是非线性系统的特例。
1、相平面法 是一种求解二阶常微分方程的图解方法。 设一个二阶系统可以用下列常微分方程描述：
) x f ( x, x
令 x1 x 则
,
x2 x
dx 2 f ( x 1 , x 2 ) ，能够体现 x2和 x1的关系。 dx 1 x2
33
) 的平面叫做相平面。 相平面: 把具有直角坐标 ( x , x
23
饱和非线性系统 放大器无饱和限制，响应为 曲线1； 放大器有饱和限制时的时间 响应曲线如图中的曲线2。 系统的响应
24
五、间隙
1、特性曲线 传动机构 ( 如齿轮传动、杆系传动 )的间隙也是控制系 统中的一种常见的非线性因素。
齿轮传动中的间隙
间隙非线性特性
25
2、数学表达式
x2 1 , | x1 | b x2 K x1 bsignx K x2 x | x1 | b 2 0, K
50
4、稳定节点
1
x ( t ) A1e
q1 t
这时方程的解为
A2 e
q2 t
其中
A1
0 x0 2 x
1 2
A2
0 x0 1 x
1 2
q1 t q2 t x ( t ) A1q1e A2 q2 e
51
2、相平面法的适用范围
(1) 因为相平面是二维的，只适用于一阶和二阶系统； (2) 除要求
) 为解析函数外，别无其它条件；既 f ( x, x
适用于线性系统，又适用于非线性系统；
36
二、线性系统的相轨迹
1、一阶系统
x2
x0 设系统的微分方程为 Tx
令 x1 x 则
x2 x
x1
0, f ( x , x ) , ) 0则该点相轨 上的点 ( x , x 只要不同时满足 x
迹的斜率是唯一确定的。 这样的点称为普通点。通过普通点的相轨迹只有一条。 （即相轨迹曲线不会在普通点相交）
45
（2）奇点
0, f ( x , x ) 0 ,则该点 若相平面中的某点，同时满足 x
7
非线性系统在不同初始偏移下的自由运动 3. 线性系统在没有外作用时，周期运动只发生在临界情 况，而这一周期运动是物理上不可能实现。
8
4. 非线性系统，在没有外作用时，系统中完全有可能发生 一定频率和振幅的稳定的周期运动，如下图所示，这个 周期运动在物理上是可以实现的，通常把它称为自激振 荡，简称自振。
0 1
方程的解为
x ( t ) Ae
其中
n t
sin( d t )
2
A
x0

0 x 0 n x d
0 x0 n x arctg x0d
49
相轨迹如图所示。 从图中可以看出，欠阻尼 系统不管初始状态如何， 它经过衰减振荡，最后趋 向于平衡状态。坐标原点 是一个奇点，它附近的相 轨迹是收敛于它的对数螺 旋线，这种奇点称为 稳定 焦点。 系统欠阻尼运动时的相轨迹
9
5. 线性系统中，当输入量是正弦信号时，输出稳态分量 也是同频率的正弦函数，可以引入频率特性的概念并用 它来表示系统固有的动态特性。 6. 非线性系统中，当输入量是正弦信号时，输出稳态分 量包含大量的谐波成分，频率响应复杂，输出波形会很 容易畸变。
10
三、非线性系统的分析方法
1、相平面法 时域分析法中的一种图解分析法。不适用于高阶系统。 2、描述函数法 结合频域分析法和非线性的谐波线性化的一综合图解分 析法。分析非线性系统稳定性和自激振荡比较有效。 3、逆系统法 直接运用数学方法研究非线性系统的方法。
2 n x x 2 n
我们就可以画在 , n 取不同值时，二阶系统相轨迹。
42
例2 对二阶系统，取 0.5, n 1 ，画相轨迹， 已知 x(0) x0
(0) x 0 x
x0 x x
x x dx dx x
11
8-2 常见非线性因素对系统 运动特性的影响
12
一、非线性环节特性
设非线性特性环节表示为
y f ( x)
按线性比例环节描述，定义非线性环节输入和输出之比
y f ( x) k x x
为其等效增益。 非线性环节可看作变增益比例环节
13
二、继电特性 继电
1、特性曲线
M y
来源：继电器是继电 特性的典型元件。
过阻尼运动的时间响应
坐标原点是一个奇点，这 种奇点称为稳定节点。 过阻尼时的相轨迹
52
5、不稳定焦点
1 0
相轨迹仍是对数螺旋 线，但相轨迹的运动方向 与欠阻尼图不同，随着t 的增长，运动过程是振荡 发散的。这种奇点称为 不 稳定焦点 。 不稳定焦点相轨迹
53
6、不稳定节点
1
T 0 T 0
1 x 2 x1 T
1 可见，轨迹是斜率为 T 的直线，当T>0时，相轨迹
沿该直线收敛于原点；当T<0时，相轨迹沿该直线发散至无 穷远。
37
2、二阶系统 设系统的微分方程为
2 n x 2 n x x0
2 2 系统的特征方程为 s 2 n n 0
相轨迹: 描绘相平面上的点随时间变化的曲线叫相轨迹。
相轨迹方程：x2和 x1的关系方程。
34
例1 弹簧—质量块运动系统如图。
m 是物体质量； k 是弹性系数； x 是偏离平衡点的位移。 为方便计算令 m=k=1 ； 已知初始条件
x (0) x0 (0) x 0 x
求取并画出相轨迹。
35
特征方程的根 取相坐标
s1,2 n n 2 1
，可化为： x, x
dx 2 x (2 n n x) dt dx x dt
38
相轨迹方程是
2 2 x dx n n x dx x
18
斜坡输入时的系统输出量
包含死区的非线性系统
19
四、饱和特性
1、特性曲线 饱和特性是系统中最常见非线性特性。
部件的饱和现象
20
2、数学表达式
x1 a Ka x2 Kx1 | x1 | a Ka x a 1
式中： a 是线性范围， K为线性范围内的传递系数（对 于放大元件，也称增益）。
系统的相轨迹图如图 所示，奇点称为不稳定节 点。
不稳定节点相轨迹
54
7、鞍点
x 0 x 2 n x
在相平面上形成的曲线称为等倾线。 等倾线是相轨迹切线斜率相等的点的连线。
40
2、作图步骤 1）首先画出等倾线，确立相平面中相轨迹斜率的分布； 2）从初始条件开始，用连续的切线段来近画出相轨迹曲线。
dx (常数 ) dx
等倾线法应该遵守的重要原则：
1）相轨迹的上半平面， x
0 因此相轨迹从左向右走； 0 x 轴的交点处，由于 x
间隙非线性特性
26
间隙特性的输入-输出波形
27
造成的影响： 间隙 输出相位滞后，减小稳定性 裕量，动特性变坏 自持振荡。所以应尽量避免 或减小。
来源：传动机构的间隙： ①齿轮传动中的齿隙； ②液压传动中的油隙； ③磁滞效应。
28
六、摩擦
1、特性曲线 摩擦非线性对小功率角度随动系统来说，是一个 很重要的非线性因素。它的影响，从静态方面看，相 当于在执行机构中引入了死区，从而造成了系统的静 差，这一点和死区的影响相类似。
0
-M
x
继电特性 具有图示性质的继电特性称理想继电器。
14
2、数学表达式
y
M y M
x0

M 0
-M
x 0
x
造成的影响:
继电特性
（1）改善系统性能，简化系统结构。 （2）可能会产生自激振荡，使系统不稳定。
15
三、死区特性
1、特性曲线 系统中的死区是由测量元 件的死区、放大器的死区以及 执行机构的死区所造成的。
0 因此相轨迹从右向左走。 相轨迹的下半平面，x
2）除去平衡点外，相轨迹与
切线斜率为无穷，所以相轨迹都与 x 轴垂直。
3）
两轴采用的刻度应相同。 x, x
41
3、二阶系统等倾线法
2 n x 2 n x x0
等倾线方程为
n2 x 2 n x dx dx x
直流电动机的方框图
摩擦力矩示意图
29
小功率随动系统方框图
低速爬行现象