备战2011年中考人教版九年级数学同步习题之27.2相似三角形

27.2.1相似三角形的判定（1）1、已知D 、E 分别是ΔABC 的边AB 、AC 上的点，请你添加一个条件， 使ΔABC 与ΔAED 相似. (只需添加一个你认为适当的条件即可).2、如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式中错误的是（ ）A AC AE AB AD = B FB EA CF CE =C BD AD BC DE = D CBCF AB EF =3、如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点，连结AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形 （ ）A 1对B 2对C 3对D 4对4、如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）① ② ③ ④A.①和②B.②和③C.①和③D.②和④.5、如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①ΔABC ，②ΔBCD ，③ΔBDE ，④ΔBFG ，⑤ΔFGH ，⑥ΔEFK.其中②～⑥中，与三角形①相似的是（ ）(A)②③④ (B)③④⑤ (C)④⑤⑥ (D)②③⑥6、在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点.以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.如图，请你在4×4的方格纸中，画一个格点三角形A 1B 1C 1，使ΔA 1B 1C 1与格点三角形AB C 相似(相似比不为1).7、如图，ΔABC 与ΔADB 中，∠ABC=∠ADB=90°，AC=5cm ，AB=4cm ，如果图中的两个直角三角形相似，求AD 的长.8、一个钢筋三角架三边长分别为20cm ，50cm ，60cm ，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm 和50cm 的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边，写出所有不同的截法？答案1、D E ∥BC2、C3、C4、C5、B6、略7、AD=516cm 8、两种截法（1）新截三角形的三边分别是10cm,25cm,30c m （2）新截三角形的三边分别是12cm,30cm,36cm。

27.2《相似三角形》测试一、选择题1、如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，如果AD=2cm，DB=1cm，AE=1.8cm，则EC=（）A．0.9cm B．1cm C．3.6cm D．0.2cm2、如图，DE是△ABC的中位线，已知△ABC的面积为8，则△ADE的面积为（）．A．2 B．4 C．6 D．83、已知两个相似三角形的周长比为4：9，则它们的面积比为（）A．4：9 B．2：3 C．8：18 D．16：494、如图，已知DE∥BC，那么下列结论正确的是（）A．B．C．D．5、如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当DM为（）时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．A．B．C．或D．或6、如图所示，在▱ABCD中，BE交AC，CD于G，F，交AD的延长线于E，则图中的相似三角形有（）A．3对B．4对C．5对D．6对7、如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．8、如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9、已知中，D、E分别是AB、AC边上的点，，点F是BC边上一点，联结AF交DE于点G，那么下列结论中一定正确的是………………………………………（）(A)；(B)；(C)；(D)．10、如图，在△ABC中，∠AED=∠B，DE=6，AB=10，AE=8，则BC的长度为（）A．B．C．3 D．11、．如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，它们相交于点G，延长BE交CD的延长线于点H，下列结论错误的是（）A．B．C．D．12、在△ABC，直线DE∥BC，DE分别交边AB、AC于D、E，在下列比例式中，不能成立的是（）(A)；(B)；(C)；(D)．13、如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，则下列条件中，不一定能使△AED∽△ABC的是（）A．∠2=∠B B．∠1=∠C C． D．14、如图，△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE∥AB交BC于E，EC=6，BE=4，则AB长为（）A．6 B．8 C． D．15、能判定与相似的条件是（）A. B.，且C.且D.，且二、填空题16、如图，△ABC中，D在AC上，且AD：DC=1：n，E为BD的中点，AE的延长线交BC于F，那么的值为（用n表示）．17、如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P．若点D在优弧上，AB=8，BC=3，则DP= ．18、在边长为2cm的正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，都以1cm/s的速度在射线DC、CB 上移动．连接AE和DF交于点P，点Q为AD的中点．若以A、P、Q为顶点的三角形与以P、D、C为顶点的三角形相似，则运动时间t为秒．19、将两块全等的三角板如图放置，点O为AB中点，AB=A′B′=10，BC=B′C′=6，现将三角板A′B′C′绕点O旋转，B′C′、A′B′与边AC分别交于点M、N，当CM= 时，△OMN与△BCO相似．20、如图，在▱ABCD中，F是BC上的点，直线DF与AB的延长线相交于点E，与AC相交于点M，BP∥DF，且与AD相交于点P，与AC相交于点N，则图中的相似三角形有对．21、如图，在△ABC中，点D在AB上，请再添一个适当的条件，使△ADC∽△ACB，那么可添加的条件是.三、简答题22、如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．23、如图，在平面直角坐标系中，已知OA=6厘米，OB=8厘米．点P从点B开始沿BA边向终点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点A开始沿AO边向终点O以1厘米/秒的速度移动．若P、Q同时出发，运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？（2）当t为何值时，△APQ的面积为8cm2？24、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．25、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D是AB的中点，点E在DC的延长线上，且CE=CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F，交AC的延长线于点G．（1）求证：AB=BG；（2）若点P是直线BG上的一点，试确定点P的位置，使△BCP与△BCD相似．26、如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．27、如图①，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，设旋转的角度是β．（1）如图②，当β= °（用含α的代数式表示）时，点B′恰好落在CA的延长线上；（2）如图③，连接BB′、CC′，CC′的延长线交斜边AB于点E，交BB′于点F．请写出图中两对相似三角形，（不含全等三角形），并选一对证明．∥AC．动点D从点A出发沿射线AC 28、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．参考答案一、选择题1、A解：∵DE∥BC，∴=，即=，∴EC=0.9（cm）．2、A3、D4、B5、C【分析】根据AE=EB，△ABE中，AB=2BE，所以在△MNC中，分CM与AB和BE是对应边两种情况利用相似三角形对应边成比例求出CM与CN的关系，然后利用勾股定理列式计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∵BE=CE，∴AB=2BE，又∵△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，∴①DM与AB是对应边时，DM=2DN∴DM2+DN2=MN2=1∴DM2+DM2=1，解得DM=；②DM与BE是对应边时，DM=DN，∴DM2+DN2=MN2=1，即DM2+4DM2=1，解得DM=．∴DM为或时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．故选C．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质．解决本题特别要考虑到①DM与AB是对应边时，②当DM与BE是对应边时这两种情况．6、D【分析】根据相似三角形的判定来找出共有多少对相似的三角形．【解答】解：AD∥BC，可知△AGE∽△CGB，△DFE∽△CFB，△ABC∽△CDA，AB∥CD，可知△ABG∽△CFG，△ABE∽△CFB，△EDF∽△EAB．共有6对，故选D．7、B【分析】设小正方形的边长为1，根据已知可求出△ABC三边的长，同理可求出阴影部分的各边长，从而根据相似三角形的三边对应成比例即可得到答案．【解答】解：∵小正方形的边长均为1∴△ABC三边分别为2，，同理：A中各边的长分别为：，3，；B中各边长分别为：，1，；C中各边长分别为：1、2，；D中各边长分别为：2，，；∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为8、C【分析】设AP=x，则有PB=AB﹣AP=7﹣x，分两种情况考虑：三角形PDA与三角形CPB相似；三角形PDA 与三角形PCB相似，分别求出x的值，即可确定出P的个数．【解答】解：设AP=x，则有PB=AB﹣AP=7﹣x，当△PDA∽△CPB时，=，即=，解得：x=1或x=6，当△PDA∽△PCB时，=，即=，解得：x=，则这样的点P共有3个，故选C．9、D.10、A11、C解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴△ABE∽△DHE，△ABG∽△FHG，，∴，，∴选项A、B、D正确，C错误；故选：C．12、B 13、D14、C【解析】试题解析：∵DE∥AB，∴∠BDE=∠ABD，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠DBE，∴∠DBE=∠EDB，∴BE=DE，∵BE=4，∴DE=4，∵DE∥AB，∴△DEC∽△ABC，∴，∴，∴AB=，故选C．15、.C二、填空题16、证明：∵AD：DC=1：n，∴AD：AC=1：（n+1）．作DG平行于AF交BC于G，则=，根据比例的性质知，==，又E是BD的中点，∴EF是△BGD的中位线，∴BF=FG．∴=．故答案为：．17、5.5 ．【解答】解：∵AB和DE是⊙O的直径，∴OA=OB=OD=4，∠C=90°，又∵DE⊥AC，∴OP∥BC，∴△AOP∽△ABC，∴，即，∴OP=1.5．∴DP=OD+OP=5.5，故答案为：5.5．18、2或4【分析】分两种情况：①E点在DC上；②E点在BC上；根据相似三角形的性质得到比例式求出运动时间t即可．【解答】解：分两种情况：①如图1，E点在DC上，AE==，DP=，AP==，∵以A、P、Q为顶点的三角形与以P、D、C为顶点的三角形相似，∴=，即=，解得t=2；△APQ与△ODC相似，边的对应关系共有三种可能逐一分类讨论，得t=4符合题意【点评】考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，本题关键是根据相似三角形的性质列出比例式，注意分类思想的运用．19、或【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出OC=AB=OA=OB=5，由勾股定理求出AC=8，由全等三角形的性质得出∠B=∠MON．△OMN与△BCO相似，分两种情况：①当OM=MN时，作OD⊥AC于D，CE⊥AB于E，则AD=CD=AC=4，由勾股定理求出OD，由三角形的面积求出CE，由相似三角形的性质得出比例式求出OM=MN=，由勾股定理求出DM，得出CM=CD﹣DM=4﹣=；②当ON=MN时，由△OMN∽△BCO，得出==，求出OM，与勾股定理求出DM，即可得出CM的长．【解答】解：∵∠ACB=90°，点O为AB中点，AB=A′B′=10，BC=B′C′=6，∴OC=AB=OA=OB=5，AC==8，∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠B=∠MON．若△OMN与△BCO相似，分两种情况：①当OM=MN时，作OD⊥AC于D，CE⊥AB于E，如图所示：则AD=CD=AC=4，△ABC的面积=AB•CE=AC•BC，∴OD===3，CE==，∵△OMN∽△BOC，∴==，即，∴OM=MN=，∴DM==，∴CM=CD﹣DM=4﹣=；②当ON=MN时，∵△OMN∽△BCO，∴===，即，解得：OM=，∴DM==，∴CM=CD﹣DM=4﹣=；综上所述：当CM=或时，△OMN与△BCO相似．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质等知识；熟练掌握勾股定理，证明三角形相似是解决问题的关键．20、16【分析】根据相似三角形的判定，判断出△BFE∽△ADE，△BFE∽△APB，△BFE∽△CFD，从而得到△ADE∽△APB，△ADE∽△CFD，△APB∽△CFD，类似可得与△CFM相似的有△CNB，△ANP，△AMD，共6对；与△CMD相似的有△ANB，△AME共3对；与△ABC相似的有△CDA，共1对．【解答】解：∵AD∥BF，∴△BFE∽△ADE，∵AD∥BC，∴∠DAB=∠CBE，∵DE∥BP，∴∠E=∠PBA，∴△BFE∽△APB，∵AE∥DC，∴△BFE∽△CFD，∴△ADE∽△APB，∴△ADE∽△CFD，∴△APB∽△CFD，故与△BFE相似的有△ADE，△APB，△CFD，共6对；类似的，与△CFM相似的有△CNB，△ANP，△AMD，共6对；与△CMD相似的有△ANB，△AME共3对；与△ABC相似的有△CDA，共1对．故答案为16．【点评】本题考查了相似三角形的判定和平行四边形的性质，找到平行线进而判断出三角形相似是解题的关键．21、等；三、简答题22、（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，∴∠AMB=∠EAF，又∵EF⊥AM，∴∠AFE=90°，∴∠B=∠AFE，∴△ABM∽△EFA；（2）解：∵∠B=90°，AB=12，BM=5，∴AM==13，AD=12，∵F是AM的中点，∴AF=AM=6.5，∵△ABM∽△EFA，∴，即，∴AE=16.9，∴DE=AE﹣AD=4.9．23、【解答】解：（1）∵点A（0，6），B（8，0），∴AO=6，BO=8，∴AB===10，∵点P的速度是每秒1个单位，点Q的速度是每秒1个单位，∴AQ=t，AP=10﹣t，①∠APQ是直角时，△APQ∽△AOB，∴，即，解得t=＞6，舍去；②∠AQP是直角时，△AQP∽△AOB，∴，即，解得t=，综上所述，t=秒时，△APQ与△AOB相似；（2）如图，过点P作PC⊥OA于点C，则PC=AP•sin∠OAB=（10﹣t）×=（10﹣t），∴△APQ的面积=×t×（10﹣t）=8，整理，得：t2﹣10t+20=0，解得：t=5+＞6（舍去），或t=5﹣，故当t=5﹣s时，△APQ的面积为8cm2．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形的面积以及一元二次方程的应用能力，根据对应边成比例两相似三角形的判定分类讨论是解题的关键．24、【解答】（1）证明：∵ABCD为正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，∵AE=ED，∴，∵DF=DC，∴，∴，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，∴，又∵DF=DC，正方形的边长为4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10．【点评】此题考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用．解题的关键是数形结合思想的应用．25、【解答】（1）证明：∵BF∥DE，∴==，∵AD=BD，∴AC=CG，AE=EF，在△ABC和△GBC中：，∴△ABC≌△GBC（SAS），∴AB=BG；（2）解：当BP长为或时，△BCP与△BCD相似；∵AC=3，BC=4，∴AB=5，∴CD=2.5，∴∠DCB=∠DBC，∵DE∥BF，∴∠DCB=∠CBP，∴∠DBC=∠CBP，第一种情况：若∠CDB=∠CPB，如图1：在△BCP与△BCD中，∴△BCP≌△BCD（AAS），∴BP=CD=2.5；第二种情况：若∠PCB=∠CDB，过C点作CH⊥BG于H点．如图2：∵∠CBD=∠CBP，∴△BPC∽△BCD，∵CH⊥BG，∴∠ACB=∠CHB=90°，∠ABC=∠CBH，∴△ABC∽△CBH，∴=，∴BH=，BP=．综上所述：当PB=2.5或时，△BCP与△BCD相似．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确利用分类讨论分析是解题关键．26、【解答】（1）证明：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，∴∠B=∠C=45°．∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC，∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD．又∵∠ADE=45°，∴45°+∠EDC=45°+∠BAD．∴∠EDC=∠BAD．∴△ABD∽△DCE．（2）解：讨论：①若AD=AE时，∠DAE=90°，此时D点与点B重合，不合题意．②若AD=DE时，△ABD与△DCE的相似比为1，此时△ABD≌△DCE，于是AB=AC=2，BC=2，AE=AC﹣EC=2﹣BD=2﹣（2﹣2）=4﹣2③若AE=DE，此时∠DAE=∠ADE=45°，如下图所示易知AD⊥BC，DE⊥AC，且AD=DC．由等腰三角形的三线合一可知：AE=CE=AC=1．【点评】熟练运用等腰直角三角形的性质，特别注意第二问要分情况进行讨论解题．27、【解答】解：（1）∵∠ABC=α，∴∠BAC=90°﹣α，∴β=∠90°+α；（2）图中两对相似三角形：①△ABB′∽△ACC′，②△ACE∽△FBE，证明①：∵△ABC绕点A顺时针旋转角β得到△AB′C′，∴∠CAC′=∠BAB′=β，AC=AC′，AB=AB′∴∴△ABB′∽△ACC′28、【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5．∵AD=5t，CE=3t，∴当AD=AB时，5t=5，即t=1；∴AE=AC+CE=3+3t=6，DE=6﹣5=1．（2）∵EF=BC=4，G是EF的中点，∴GE=2．当AD＜AE（即t＜）时，DE=AE﹣AD=3+3t﹣5t=3﹣2t，若△DEG与△ACB相似，则或，∴或，∴t=或t=；当AD＞AE（即t＞）时，DE=AD﹣AE=5t﹣（3+3t）=2t﹣3，若△DEG与△ACB相似，则或，∴或，解得t=或t=；综上所述，当t=或或或时，△DEG与△ACB相似．【点评】此题考查了勾股定理、轴对称的性质、平行四边形及梯形的判定和性质、解直角三角形、相似三角形等相关知识，综合性强，是一道难度较大的压轴题．。

27.2相似三角形同步练习一．选择题1．如图，△ABC∽△DCA，∠B＝33°，∠D＝117°，则∠BAD的度数是（）A．150°B．147°C．135°D．120°2．两个相似三角形对应角平分线的比为4：3，那么这两个三角形的面积的比是（）A．2：3B．4：9C．16：36D．16：93．下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（）A．∠A＝∠D，∠B＝∠F B．且∠B＝∠DC．D．且∠A＝∠D4．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中能判断△ABC∽△AED 的是（）①∠AED＝∠B；②∠ADE＝∠C；③＝；④＝．A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④5．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝5：2，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．5：7B．10：4C．25：4D．25：496．已知点E、F分别在△ABC的AB、AC边上，则下列判断正确的是（）A．若△AEF与△ABC相似，则EF∥BCB．若AE×BE＝AF×FC，则△AEF与△ABC相似C．若，则△AEF与△ABC相似D．若AF•BE＝AE•FC，则△AEF与△ABC相似7．如图，在△ABC，D是BC上一点，BD：CD＝1：2，E是AD上一点，DE：AE＝1：2，连接CE，CE的延长线交AB于F，则AF：AB为（）A．1：2B．2：3C．4：3D．4：78．如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则△DEF与四边形EFCO的面积比为（）A．1：4B．1：5C．1：6D．1：79．如图，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝3，BC＝4，DC＝6，若在边DC上有点P，使△P AD 与△PBC相似，则这样的点P有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个10．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于F，连接DF，若BF＝，BC ＝3，则DF＝（）A．4B．3C．2D．二．填空题11．已知△ABC∽△A′B′C′，且AB＝3cm，A′B′＝5cm，则相似比为．12．如图，△ABC中，CA＝CB，点E在BC边上，点D在AC边上，连接AE、DE，若AB ＝AE，2∠AEB+∠ADE＝180°，BE＝8，CD＝，则CE＝．13．如图，在△ABC中，若DE∥BC，EF∥CD，AE＝2EC，则AF：FD：DB＝．14．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25，则的值是．15．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，E、F分别是AB、CD边上的动点，EF⊥AC，则AF+CE的最小值为．三．解答题16．如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一点，连接DP并延长，交AB于点F，交CB 的延长线于点E．求证：（1）△APB≌△APD；（2）PD2＝PE•PF．17．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE、BC的延长线相交于点F，且EF•DF＝CF•BF．求证：△CAB∽△DAE．18．如图，AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∠BAF＝∠DAG．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）若DE＝3，，求BC的长．参考答案一．选择题1．解：∵△ABC∽△DCA，∴∠BAC＝∠D＝117°，∠DAC＝∠B＝33°，∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝150°，故选：A．2．解：∵两个相似三角形对应角平分线的比为4：3，∴它们的相似比为4：3，∴它们的面积比为16：9．故选：D．3．解：A、∠A＝∠D，∠B＝∠F，可以得出△ABC∽△DFE，故此选项不合题意；B、＝且∠B＝∠D，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；C、＝＝，可以得出△ABC∽△DEF，故此选项不合题意；D、＝且∠A＝∠D，可以得出△ABC∽△DEF，故此选项不合题意；故选：B．4．解：∵∠A＝∠A，∴∠AED＝∠B或∠ADE＝∠C时，△ABC∽△AED．∵＝，∴＝∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED，故①②③可以判断三角形相似，故选：B．5．解：设DE＝5k，EC＝2k，则CD＝7k，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝7k，DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴＝＝＝，故选：D．6．解：选项A错误，∵△AEF与△ABC相似，可能是∠AEF＝∠C，推不出EF∥BC．选项B错误，由AE×BE＝AF×FC，推不出△AEF与△ABC相似．选项C错误，由，推不出△AEF与△ABC相似．选项D正确．理由：∵AF•BE＝AE•FC，∴＝，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC．故选：D．7．解：过D作DH∥AB交CF于H，如图，∵DH∥BF，∴＝，∵BD：CD＝1：2，∴CD：BC＝2：3，∴BF＝DH，∵DH∥AF，∴＝＝2，∴AF＝2DH，∴AF：BF＝2DH：DH＝4：3，∴AF：AB＝4：7．故选：D．8．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，AB∥CD，∵E为OD的中点，∴DE＝EO＝DO，∴BO＝2EO，BE＝3DE，∵DF∥AB，∴△DFE∽△BAE，∴＝（）2＝，设S△DEF＝x，则S△BEA＝9x，∵BO＝2OE，∴S△AOB＝6x＝S△DOC，∴四边形EFCO的面积＝5x，∴△DEF与四边形EFCO的面积比＝1：5，故选：B．9．解：∵AB⊥BC，∴∠B＝90°．∵AD∥BC∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，∴∠P AD＝∠PBC＝90°．设DP的长为x，则CP长为6﹣x．若AB边上存在P点，使△P AD与△PBC相似，那么分两种情况：①若△APD∽△BPC，则DP：CP＝AD：BC，即x：（6﹣x）＝3：4，解得：x＝②若△APD∽△BPC，则DP：PC＝AD：BC，即x：4＝3：（6﹣x），整理得：x2﹣6x+12＝0，∵△＜0，这种情形不存在，∴满足条件的点P的个数是1个，故选：A．10．解：如图，连接BD，∵∠AEF＝∠BEA，∠AFE＝∠BAE＝90°，∴△AEF∽△BEA，∴＝，∵AE＝ED，∴＝，又∵∠FED＝∠DEB，∴△FED∽△DEB，∴∠EFD＝∠EDB，∵∠EFD+∠DFC＝90°，∠EDB+∠ODC＝90°，∴∠DFC＝∠ODC，∵在矩形ABCD中，OC＝AC，OD＝BD，AC＝BD，∴OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠DFC＝∠OCD，∴DF＝DC，在Rt△BCF中，FC＝＝＝2，∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴＝＝，∴AF＝FC＝，∴AB＝＝＝3，∴DF＝3，故选：B．二．填空题11．解：由题意得，＝，∵△ABC∽△A′B′C′，∴△ABC与△A′B′C′的相似比为＝，故答案为：．12．解：如图，过点A作AM⊥BE于E，过点D作DN⊥EC于N，∵CA＝CB，AB＝AE，∴∠B＝∠CAB，∠B＝∠AEB，∴∠B＝∠CAB＝∠AEB，∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∠B+∠AEB+∠BAE＝180°，∴∠C＝∠BAE，∴2∠AEB+∠C＝180°，又∵2∠AEB+∠ADE＝180°，∴∠C＝∠ADE，又∵∠ADE＝∠C+∠DEC，∴∠C＝∠DEC，∴DE＝DC＝，∵AB＝AE，AM⊥BE，DE＝CC，DN⊥EC，∴BM＝ME＝BE＝4，EN＝NC＝EC，AM∥DN，∴△CDN∽△CAM，∴，∴，∴EC＝12，EC＝﹣5（不合题意舍去），故答案为：12．13．解：∵EF∥CD，AE＝2EC，∴＝＝2，∵DE∥BC，∴＝＝2，设DF＝m，则AF＝2m，AD＝3m，DB＝m，∴AF：DF：DB＝2m：m：m＝4：2：3．故答案为：4：2：3．14．解：∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，∴＝（）2＝，∴＝，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴＝，∴＝，故答案为：．15．解：如图所示：设DF＝x，则FC＝4﹣x；过点C作CG∥EF，且CG＝EF，连接FG，当点A、F、G三点共线时，AF+FG的最值小；∵CG∥EF，且CG＝EF，∴四边形CEFG是平行四边形；∴EC∥FG，EC＝FG，又∵点A、F、G三点共线，∴AF∥EC，又∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥DC，∠D＝90°，∴四边形AECF是平行四边形，∴OA＝OC，OE＝OF，又∵EF⊥AC，AF＝CF＝4﹣x，在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD2+DF2＝AF2，又∵AD＝2，DF＝x，则FC＝4﹣x，∴22+x2＝（4﹣x）2，解得：x＝，∴AF＝，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+DC2＝AC2，∴AC＝，∴AO＝，又∵OF∥CG，∴△AOF∽△ACG，∴＝，∴AG＝5，又∵AG＝AF+FG，FG＝EC，∴AF+EC＝5，故答案为5．三．解答题16．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，在△ABP和△ADP中，，∴△ABP≌△ADP（SAS）；（2）∵△ABP≌△ADP，∴PB＝PD，∠ADP＝∠ABP，∵AD∥BC，∴∠ADP＝∠E，∴∠E＝∠ABP，又∵∠FPB＝∠EPB，∴△EPB∽△BPF，∴，∴PB2＝PE•PF，∴PD2＝PE•PF．17．证明：∵EF•DF＝CF•BF．∴，∵∠EFC＝∠BFD，∴△EFC∽△BFD，∴∠CEF＝∠B，∴∠B＝∠AED，∵∠CAB＝∠DAE，∴△CAB∽△DAE．18．（1）证明：∵AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∴AF⊥BC，AG⊥DE，∴∠AFB＝90°，∠AGD＝90°，∴∠BAF+∠B＝90°，∠DAG+∠ADG＝90°，∵∠BAF＝∠DAG，∴∠B＝∠ADG，又∵∠EAD＝∠BAC，∴△ABC∽△ADE；（2）解：∵△ADE∽△ABC，∴，∵，BC＝3，∴，∴BC＝．。

【九年级】九年级数学下27.2相似三角形(一)同步练习（人教版有答案和解释）27.2相似三角形同步练习(一)一、单选题（本大题共15个子题，每个子题得3分，共计45分）1、如图，在中，已知于点，则图中相似三角形共有().a、对b.对c、对d.对2.如图所示，如果直线已知，且直线和，，分别与点，，，，，，，，，相交，则的值为（）3、如图，已知，，则().4.同时，身高1.6米的小华在阳光下的影子长度为0.8米。

如果一棵树的阴影长度是4.8米，那么树的高度是（）a.米b、仪表c.米d、仪表5、下列四组线段中，不成构成比例线段的是().A.b.Cd.6.如果是这样，可以得到比例公式（）a.Bc.D7、在运动会上，裁判员测得小明与小华跳远成绩分别是米，厘米，则线段与的比值是（）.A.b.Cd.8.如果三个顶点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘以，新点依次连接，则得到的三角形与原始三角形之间的位置关系为（）a.原三角形向轴的负方向平移一个单位即为所得三角形b、关于原点对称c.关于轴对称d、关于轴对称9、如图，在中，，若，则（）A.b.Cd.10.如果一个直角三角形的两边分别是和，而另一个类似的直角三角形的边分别是和，那么（）a.有无数个b、超过，但有限c.可以有个d、只有一个11、与是位似图形，且与的位似比是，已知的面积是，则的面积是（）A.d.12.如图所示，为了测量学校旗杆的高度，晓东使用长度为的竹竿作为测量工具移动竹竿，使竹竿顶部和旗杆顶部的阴影落在地面上的同一点上。

此时，竹竿距离此点较远，旗杆高度为（）下在墙上形成的影子如图所示．若，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是（）14.如果和的值为（）a.D15、如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（）D二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）16.假设两个相似多边形的相似比为，它们对应边的比率等于____________________;，面积比等于__17、测量旗杆高度的方法都是依据___________的原理而设计的.引理：平行于三角形一边并与另两边相交的直线。

27．2.1 相似三角形的判定第1课时 平行线分线段成比例1．如图所示，△ADE ∽△ACB ，∠AED ＝∠B ，那么下列比例式成立的是( ) A.AD AC ＝AE AB ＝DE BC B.AD AB ＝AE ACC.AD AE ＝AC AB ＝DE BC D.AD AB ＝AE EC ＝DE BC2．两个三角形相似，且相似比k ＝1，则这两个三角形 ．3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝6，DB ＝3，AE ＝4，则EC 的长为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ，直线DF 交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F ，已知AB AC ＝13，则EFDE＝ ．5．如图，在▱ABCD 中，EF ∥AB 交AD 于点E ，交BD 于点F ，DE ∶EA ＝3∶4，EF ＝3，则CD 的长为( )A ．4B ．7C ．3D ．126．如图，点E ，F 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，且EF ∥BC ，点M 在边BC 上，AM 与EF 交于点D ，则图中相似三角形共有( )A ．4对B ．3对C ．2对D ．1对7．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝9，点P 是直线AB 上一点，且AP ＝2，过点P 作BC 边的平行线，交直线AC 于点M ，则MC 的长为 ．8．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB 于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是()A.ABAE＝AGADB.DFCF＝DGADC.FGAC＝EGBDD.AEBE＝CFDF9．如图，AG∶GD＝4∶1，BD∶DC＝2∶3，则AE∶EC的值是()A．3∶2B．4∶3C．6∶5D．8∶510．如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上，若线段AB＝4 cm，则线段BC＝cm.11．如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，连接DE，线段BE，CD相交于点O，若OD＝2，则OC＝.12．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F，若CD＝5，BC＝8，AE＝2，则AF＝．13．中国高铁近年来用震惊世界的速度不断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”，修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥，如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道MN(M、N为山的两侧)，工程人员为了计算M、N两点之间的直线距离，选择作MN的平行线BC，并测得AM＝900米， AB＝30米，BC＝45米，求直线隧道MN的长．14．如图，延长正方形ABCD的一边CB至点E，ED与AB相交于点F，过点F作FG∥BE 交AE于点G，求证：GF＝FB.15．如图，AD∥EG∥BC，EG分别交AB，DB，AC于点E，F，G，已知AD＝6，BC＝10，AE＝3，AB＝5，求EG，FG的长．第2课时 相似三角形的判定定理1，21．将一个三角形的各边长都缩小12后，得到的三角形与原三角形( )A ．一定相似B ．一定不相似C ．不一定相似D ．无法确定2．若△ABC 各边分别为AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，AC ＝6 cm ，△DEF 的两边为DE ＝5 cm ，EF ＝4 cm ，则当DF ＝ cm 时，△ABC ∽△DEF. 3．试判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．4．网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A ，B ，C ，D ，E ，F 都是格点，试说明△ABC ∽△DEF.5．能判定△ABC ∽△A ′B ′C ′的条件是( )A.AB A ′B ′＝ACA ′C ′B.AB AC ＝A ′B ′A ′C ′且∠A ＝∠A ′ C.AB BC ＝A ′B ′A ′C ′且∠B ＝∠C ′ D.AB A ′B ′＝ACA ′C ′且∠B ＝∠B ′6．如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是()7．如图，AB与CD相交于点O，OA＝3，OB＝5，OD＝6，当OC＝时，△AOC∽△BOD.8．如图，点C，D在线段AB上，∠A＝∠B，AE＝3，AD＝2，BC＝3，BF＝4.5，DE＝5，求CF的长．9．在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．10．如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为()A．P 1B．P2C．P3D．P411．如图，在△ABC中，点P在AB上，下列四个条件：①AP∶AC＝AC∶AB；②AC2＝AP·AB；③AB·CP＝AP·CB.其中能满足△APC和△ACB相似的条件有()A．1个 B．2个C．3个D．0个12．如图，已知∠DAB＝∠CAE，请补充一个条件：，使△ABC∽△ADE.13．如图，AB∥DE，AC∥DF，BC∥EF，求证：△DEF∽△ABC.14．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且满足AB2＝DB·CE.求证：△ADB∽△EAC.15．如图，正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ ∽△QCP.16．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6 cm，AC＝12 cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1 cm/s，点E运动的速度为2 cm/s.如果两点同时运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是．第3课时相似三角形的判定定理31．下列各组图形中有可能不相似的是()A．各有一个角是45°的两个等腰三角形B．各有一个角是60°的两个等腰三角形C．各有一个角是105°的两个等腰三角形D．两个等腰直角三角形2．已知△ABC中，∠A＝40°，∠B＝75°，下图各三角形中与△ABC相似的是.3．如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线EC，BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形．(用相似符号连接) 4．如图，点B，D，C，F在一条直线上，且AB∥EF，AC∥DE，求证：△ABC∽△EFD.5．如图，∠1＝∠2，∠C ＝∠D.求证：△ABC ∽△AED.6．在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠C ＝∠C ′＝90°，AC ＝12，AB ＝15，A ′C ′＝8，则当A ′B ′＝ 时，△ABC ∽△A ′B ′C ′.7．一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为8 cm 和15 cm ，另一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别是6 cm 和454 cm ，这两个直角三角形 (填“是”或“不是”)相似三角形．8．一个直角三角形的两边长分别为3和6，另一个直角三角形的两边长分别为2和4，那么这两个直角三角形 (填“一定”“不一定”或“一定不”)相似．9．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，且∠DCE ＝∠B.那么下列判断中，错误的是( )A ．△ADE ∽△ABCB ．△ADE ∽△ACDC ．△DEC ∽△CDBD ．△ADE ∽△DCB10．如图，在△ABC 中，点D 是边AB 上的一点，∠ADC ＝∠ACB ，AD ＝2，BD ＝6，则边AC 的长为( )A ．2B ．4C ．6D ．811．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是步．12．如图，已知∠ACB＝∠ABD＝90°，AB＝6，AC＝2，求AD的长为多少时，图中两直角三角形相似？13．如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE＝∠D.求证：△ABF∽△BEC.14．如图，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.(1)求证：△APQ∽△CDQ；(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．当t为何值时，DP⊥AC?15．如图，在△ABC中，AD，BF分别是BC，AC边上的高，过点D作AB的垂线交AB于点E，交BF于点G，交AC的延长线于点H，求证：DE2＝EG·EH.参考答案：27．2.1 相似三角形的判定第1课时 平行线分线段成比例1．A2． 全等．3．B4． 2．5．B6．B7． 6或12．8．D9．D10．12.11．4.12．169．13．解：∵BC ∥MN ，∴△ABC ∽△AMN.∴AB AM ＝BC MN ，即30900＝45MN .∴MN ＝1 350.答： 直线隧道MN 的长为1 350米．14．证明：∵GF ∥AD ，∴GF AD ＝EFED .又FB ∥DC ，∴FB DC ＝EFED .又AD ＝DC ，∴GF AD ＝FBAD .∴GF ＝FB.15．解：∵在△ABC 中，EG ∥BC ，∴△AEG ∽△ABC ，∴EG BC ＝AEAB .∵BC ＝10，AE ＝3，AB ＝5，∴EG 10＝35，∴EG ＝6. ∵在△BAD 中，EF ∥AD ，∴△BEF ∽△BAD ，∴EF AD ＝BE AB. ∵AD ＝6，AE ＝3，AB ＝5，∴EF 6＝5－35.∴EF ＝125. ∴FG ＝EG －EF ＝185.第2课时 相似三角形的判定定理1，21．A2．3.3．解：相似．理由如下：在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝32－2.42＝1.8，在Rt △DEF 中，DF ＝DE 2－EF 2＝62－3.62＝4.8，∴AB DE ＝BC EF ＝AC DF ＝12. ∴△ABC ∽△DEF.4．证明：∵AC ＝2，BC ＝12＋32＝10，AB ＝4，DF ＝22＋22＝22，EF ＝22＋62＝210，ED ＝8，∴AC DF ＝BC EF ＝AB DE ＝12. ∴△ABC ∽△DEF.5．B6．C7． 1858．解：∵AE BF ＝34.5＝23，AD BC ＝23，∴AE BF ＝AD BC.又∵∠A ＝∠B ，∴△AED ∽△BFC.∴AD BC ＝DE CF .∴23＝5CF. ∴CF ＝152. 9． 125或53． 10．C11．B12． AD AB ＝AE AC 13．证明：∵AB ∥DE ，∴△ODE ∽△OAB.∴DE AB ＝OE OB. ∵BC ∥EF ，∴△OEF ∽△OBC.∴EF BC ＝OE OB ＝OF OC. ∵AC ∥DF ，∴△ODF ∽△OAC.∴DF AC ＝OF OC. ∴DE AB ＝EF BC ＝DF AC. ∴△DEF ∽△ABC.14．证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.∴∠ABD ＝∠ACE.∵AB 2＝DB ·CE ，∴AB CE ＝DB AB . 又AB ＝AC ，∴AB CE ＝DB AC. ∴△ADB ∽△EAC.15．证明：设正方形的边长为4a ，则AD ＝CD ＝BC ＝4a.∵Q 是CD 的中点，BP ＝3PC ，∴DQ ＝CQ ＝2a ，PC ＝a.∴DQ PC ＝AD CQ ＝21. 又∵∠D ＝∠C ＝90°，∴△ADQ ∽△QCP.16．3__s 或4.8__s ．第3课时 相似三角形的判定定理31．A2． △EFD ，△HGK .3． 答案不唯一，如△BDE ∽△CDF ，△ABF ∽△ACE 等．4．证明：∵AB ∥EF ，AC ∥DE ，∴∠B ＝∠F ，∠ACB ＝∠EDF.∴△ABC ∽△EFD.5．证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD ，即∠BAC ＝∠EAD.又∵∠C ＝∠D ，∴△ABC ∽△AED.6．10.7．是．8．不一定．9．D10．B11．6017． 12．解：①若△ABC ∽△ADB ，则AB AD ＝AC AB.∴AD ＝3； ②若△ABC ∽△DAB ，则AB AD ＝BC AB.∴AD ＝3 2.综上所述，当AD ＝3或32时，两直角三角形相似．13．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，AD ＝BC.∴∠D ＋∠C ＝180°，∠ABF ＝∠BEC.又∵∠AFB ＋∠AFE ＝180°，且∠AFE ＝∠D ， ∴∠C ＝∠AFB.又∵∠ABF ＝∠BEC ，∴△ABF ∽△BEC.14．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD.∴△APQ ∽△CDQ.(2)当DP ⊥AC 时，∠QCD ＋∠QDC ＝90°.∵∠ADQ ＋∠QDC ＝90°，∴∠DCA ＝∠ADP. 又∵∠ADC ＝∠DAP ＝90°，∴△ADC ∽△PAD.∴AD PA ＝DC AD .∴10PA ＝2010，解得PA ＝5. ∴t ＝5.15．证明：∵AD ，BF 分别是BC ，AC 边上的高， ∴∠ADB ＝∠BED ＝90°.∴∠EBD ＋∠EDB ＝∠EDB ＋∠ADE.∴∠EBD ＝∠EDA.∴△AED ∽△DEB.∴AE DE ＝DE BE，即DE 2＝AE ·BE. 又∵∠HFG ＝90°，∠BGE ＝∠HGF ，∴∠EBG ＝∠H.∵∠BEG ＝∠HEA ＝90°，∴△BEG ∽△HEA.∴EG AE ＝BE EH，即EG ·EH ＝AE ·BE. ∴DE 2＝EG ·EH.。

27.2.2 相似三角形应用举例
1. 如图，在正方形网格中，若使△ABC∽△PBD，则点P应在（）
A．P1处 B．P2处 C．P3处 D．P4处
2. （2013柳州）小明在测量楼高时，测出楼房落在地面上的影
长BA为15米（如图），同时在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为（）
A．10米 B．12米
C．15米 D．22.5米
3. （2013北京）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点
A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20 m，CE=10 m，CD=20 m，则河的宽度AB等于（）
A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m
4. 如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6 cm，AC＝12 cm，动点D从A点出发到B点止，动点
E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1 c m/秒，点E运动的速度为2 cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是多长？
参考答案 1．C 2．A 3．B
4．解：设当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动的时间是x 秒， ①若△ADE ∽△ABC ，则
AD AE AB AC =
，∴122612
x x
-=，解得x ＝3； ②若△ADE ∽△ACB ，则
AD AE AC AB =，∴122126
x x
-=
，解得x ＝4.8． ∴当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．。

相似三角形一、选择题1..下列语句正确的是( )△ABC 和△A′B′C′中；∠B=∠B′=90°；∠A=30°；∠C′=60°； 则⊿ABC 和⊿A′B′C′不相似;⊿ABC 和⊿A′B′C′中；AB=5；BC=7；AC=8；A′C′=16； B′C′=14；A′B ′=10；则⊿ABC ∽⊿A′B′C′;C.两个全等三角形不一定相似;2.根据图中尺寸（AB ∥A 1B 1）；那么物象长（A 1B 1的长）与物长（AB 的长）之间函数关系的图像大致是（ ）3.如图；在正三角形ABC 中；D 、E 分别在AC 、AB 上；且AC AD ＝31；AE ＝BE ；则有（ ）（A ）△AED ∽△BED （B ）△AED ∽△CBD （C ）△AED ∽△ABD （D ）△BAD ∽△BCD( 3题 ) (4题)4．已知：如图；∠ADE ＝∠ACD ＝∠ABC ；图中相似三角形共有（ ） （A ）1对 （B ）2对 （C ）3对 （D ）4对5.三角形三边之比为3:5:7；与它相似的三角形的最长边为21cm ；则其余两边之和为( )A.32cmB.24cmC.18cmD.16cm6. 已知⊿ABC ∽⊿A ′B ′C ′；且BC ：B ′C ′= AC ：A ′C ′；若AC=3；A ′C ′=1.8；则△A ′B ′C ′与△ABC的相似比是（ ）。

A. 2:3B. 3:2C. 5:3D. 3:5 7.可以判定∆ABC ∽'''C B A ∆；的条件是 （ ）A 、∠A=∠'C =∠'B B 、''''C A B A AC AB =；且∠A=∠'C C 、''''C A ACB A AB =且∠A=∠'B D 、以上条件都不对8. 已知一次函数y=2x+2与x 轴y 轴交于A 、B 两点；另一直线y=kx+3交x 轴正半轴于E 、交y 轴于F 点；如⊿AOB 与E 、F 、O 三点组成的三角形相似；那么k 值为（ ）A 1.5B 6C 1.5或6D 以上都不对 二、填空题9. 已知一个三角形三边长是6cm ；7.5cm ；9cm ；另一个三角形的三边是8cm ；10cm ；12cm ；则这两个三角形 （填相似或不相似）10. 在1:25000000的中国政区图上；量得福州到北京的距离为6cm ；则福州到北京的实际距离为 km 。

人教版九年级数学下册第二十七章相似27.2 相似三角形同步练习一、选择题1、能判定与相似的条件是（）A. B.，且C.且D.，且2、如图，下列条件中不能判定的是（）A. B.C. D.3、.如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（）A.∠ABD=∠CB.∠ADB=∠ABCC.D.4、如图1，在三角形纸片ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④5、如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，则下列条件中，不一定能使△AED∽△ABC的是（）A．∠2=∠B B．∠1=∠C C．D．6、如图，△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE∥AB交BC于E，EC=6，BE=4，则AB长为（）A． 6 B． 8 C．D．7、如图，DE是△ABC的中位线，已知△ABC的面积为8，则△ADE的面积为（）．A． 2 B． 4 C． 6 D． 88、如图所示，在河的一岸边选定一个目标A，再在河的另一岸边选定B和C，使AB⊥BC，然后选定E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE相交于D，此时测得BD=120米，CD=60米，为了估计河的宽度AB，还需要测量的线段是（）A.CEB.DEC.CE或DED.无法确定9、已知：如图，∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，图中相似三角形共有（）A.1对B.2对C.3对D.4对10、某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某同学的身高是1.5米，影长是1米，且旗杆的影长为8米，则旗杆的高度是（）A.12米 B．11米 C．10米 D．9米11、．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则的值为（）A． B． C． D．12、如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是( )A. 4.5秒B.3秒C. 3秒或4.8秒D.4.5秒或4.8秒二、填空题13、如图，是的中位线，的面积为，则四边形的面积为．14、如图，已知零件的外径为25，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC=OD）量零件的内孔直径AB．若OC∶OA=1∶2，量得CD＝10，则零件的厚度．15、如图，AC与BD交于点E，AB∥CD∥EF，AB=10，CD=15，则EF的长为16、已知△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的周长比△A′B′C′的周长少8cm，则△A′B′C′的周长为 cm 。

27.2　相似三角形专题一相似形中的开放题1．如图，在正方形网2．格中，点A、B、C、D都是格点，点E是线段AC上任意一点．如果AD=1，那么当AE= 时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．1．已知：如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上.连接DE并延长交BC的延长线于点F，连接DC、BE，∠BDE+∠BCE=180°.(1)写出图中三对相似三角形（注意：不得添加字母和线）；(2)请你在所找出的相似三角形中选取一对，说明它们相似的理由.专题二相似形中的实际应用题3．如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若OA:OC=OB:OD=n，且量得CD=b，求厚度x.专题三相似形中的探究规律题4．某班在布置新年联欢晚会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30 cm，AB＝50cm，依次裁下宽为1 cm的矩形纸条a1、a2、a2…若使裁得的矩形纸条的长都不小于5cm，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是( )A．24 B．25 C．26 D．275．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．（1）如图①，四边形DEFG为△ABC的内接正方形，求正方形的边长；（2）如图②，正方形DKHG，EKHF组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长；（3）如图③，三个正方形组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长；（4）如图④，n个正方形组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长．专题四 相似形中的阅读理解题6．某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义、判定及其性质，可以拓展到扇形的相似中去，例如，可以定义：圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫相似扇形；相似扇形有性质：弧长比等于半径比，面积比等于半径比的平方…，请你协助他们探索下列问题：(1)写出判定扇形相似的一种方法：若 ，则两个扇形相似；(2)有两个圆心角相同的扇形，其中一个半径为a ，弧长为m ，另一个半径为2a ，则它的弧长为 ；(3)如图1，是—完全打开的纸扇，外侧两竹条AB 和AC 的夹角为120°，AB 为30cm,现要做一个和它形状相同，面积是它的一半的纸扇（如图2），求新做纸扇（扇形）的圆心角和半径.图1 图2专题五 相似形中的操作题7．宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感．现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD ，BC 的中点M ，N ，连接MN ；第三步：以N 为圆心，ND 长为半径画弧，交BC 的延长线于E ；第四步：过E 作EF ⊥AD ，交AD 的延长线于F ．请你根据以上作法，证明矩形DCEF 为黄金矩形．2158．如图①，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD与△ECF叠放在一起．（1）操作：如图②，将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合），FE交DA于点G（G点不与D点重合）．求证：BH•GD=BF2；（2）操作：如图③，△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合），且CF始终经过点A，过点A作AG∥CE，交FE于点G，连接DG．探究：FD+DG= DB，请给予证明．专题六相似形中的综合题9．正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM= 时，四边形ABCN的面积最大．（1）求证：是的中点；（2）求证：∠DAO =∠B +∠BAD ；（3）若，且AC =4，求CF 的长. 【知识要点】1．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例.2．平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等.3．平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.4．如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.5．如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.6．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.7．相似三角形周长的比等于相似比.相似多边形周长的比等于相似比.8．相似三角形对应高的比等于相似比.9．相似三角形面积的比等于相似比的平方. 相似多边形面积的比等于相似比的平方.【温馨提示】1．平行线分线段成比例时，一定找准对应线段.2．当已知两个三角形有一组对应角相等，利用夹这个角的两边对应成比例来判定它们相似时，比例式常有两种情况，考虑不全面是遗漏解的主要原因.3．数学猜想需要严密的推理论证说明其正确性，规律的发现与提出需要从特殊到一般的数学归纳思想，平时要养成观察、分析问题的习惯.【方法技巧】21=∆∆OCD CEF S S1．相似三角形对应角平分线的比等于相似比；相似三角形对应中线的比等于相似比.2．在平面几何中，求图形中等积式或等比式时，一般地首先通过观察找出图形中相似的三角形，再从理论上证明观察结论的正确性，最后运用相似形的性质来解决问题.参考答案1．或 【解析】根据题意得AD =1，AB=3，AC ， ∵∠A=∠A ，∴若△ADE∽△ABC 时，，即，解得AE =.若△ADE∽△ACB 时，，解得AE=.∴当AE =或时，以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似．2．解：（1）△ADE∽△ACB ，△CEF∽△DBF ，△EFB∽△CFD (不唯一). （2）由∠BDE+∠BCE =180°，可得∠ADE=∠BCE . ∵∠A=∠A ，∴△ADE∽△ACB ; ∴=.∵ ∠A=∠A ， ∴△AEB∽△ADC ;∵∠BDE+∠BCE =180°，∠BCE+∠ECF =180°，∴∠ECF=∠BDF ，又∠F=∠F ，∴△CEF∽△DBF ;∴=，而∠F=∠F ，∴△EFB∽△CFD .3．解：∵ OA :OC ＝OB :OD ＝n 且∠AOB ＝∠COD,∴△AOB∽△COD .∵ OA:OC ＝AB:CD ＝n ,又∵CD ＝b,∴AB=CD ·n ＝nb ，∴x ＝a －AB 2＝a －nb 2.4．C 【解析】设裁成的矩形纸条的总数为n ，且每条纸条的长度都不小于5cm ，．设矩形纸条的长边分别与AC 、AB 交于点M 、N ，因为△AMN ∽△ACB ，所以．又因为AM=AC-1·n=30-n ，MN ≥5 cm ，所以，得n ≤26.25，所以n 最多取整数26． 5．解：（1）在题图①中过点C 作CN ⊥AB 于点N ，交GF 于点M ．因为∠C =90°，AC =4，BC =3，所以AB =5． 因为×5CN=×3×4，所以CN=．224226AC AE AB AD =2631AE =22AB AE AC AD =3AE =422242AC AD ABAE BF EF DFCF 40(cm)BC ==BC MN AC AM =4053030≥-n 2121512因为GF∥AB ，所以∠CGF=∠A ，∠CFG=∠B ，所以△CGF∽△CAB ，所以．设正方形的边长为x ，则，解得．所以正方形的边长为． （2）同（1），有，解得． （3）同（1），有，解得． （4）同（1），有，解得． 6．解：(1)答案不唯一，如“圆心角相等” “半径和弧长对应成比例”(2)由相似扇形的性质知半径和弧长对应成比例，设另一个扇形的弧长为x ，则=,∴x =2m.(3)∵两个扇形相似，∴新做扇形的圆心角与原来扇形的圆心角相等，等于120°.设新做扇形的半径为，则=，=15，即新做扇形的半径为15㎝.7．证明：在正方形ABCD 中，取AB=2a ，∵N为BC 的中点，∴.在Rt△DNC 中，∵NE=ND ，∴.∴，故矩形DCEF 为黄金矩形.8．解：（1）证明：∵将菱形纸片AB （E ）CD （F ）沿对角线BD （EF ）剪开，∴∠B =∠D . ∵将△ECF 的顶点F 固定在△ABD 的BD 边上的中点处，△ECF 绕点F 在BD 边上方左右旋转，∴BF =DF .∵∠HFG =∠B ，∴∠GFD =∠BHF ，∴△BFH∽△DGF ，∴ ，∴BH•GD =BF 2.（2）证明：∵AG∥CE ，∴∠FAG∥∠C .∵∠CFE=∠CEF ，∴∠AGF=∠CFE ，∴AF=AG . ∵∠BAD=∠C ，∴∠BAF=∠DAG ，△ABF≌△ADG ，∴FB=DG ，∴FD+DG=DB ，9．210．解：（1）证明：∵AC 是⊙O 的直径，∴AE ⊥BC. ∵OD ∥BC ，∴AE ⊥OD ，∴D 是⌒A E 的中点. （2）方法一：证明：如图，延长OD 交AB 于G ，则OG ∥BC .ABGF CN CM =1251255x x -=3760=x 376012251255x x -=4960=x 12351255x x -=6160=x 1251255x nx -=nx 122560+=a a 2xm γ230γæöç÷èø21γ2212NC BC a ==.ND ==1)CE NE CN a =-=-2152)15(-=-=a a CD CE BF BH DG DF=∴∠AGD=∠B .∵OA=OD ，∴∠DAO=∠ADO . ∵∠ADO=∠BAD+∠AGD ，∴∠DAO=∠B +∠BAD. 方法二：证明：如图，延长AD 交BC 于H ，则∠ADO=∠AHC .∵∠AHC=∠B +∠BAD ，∴∠ADO =∠B +∠BAD . ∵OA=OD ，∴∠DAO=∠B +∠BAD .（3） ∵AO=OC ，∴.∵，∴. ∵∠ACD=∠FCE ，∠ADC=∠FEC =90°，∴△ACD∽△FCE . ∴，即，∴CF =2. 12OCD ACD S S ∆∆=12CEF OCD S S ∆∆=14CEF ACD S S ∆∆=2CEF ACD S CF S AC ∆∆æö=ç÷èø2144CF æö=ç÷èø。

27.2.2相似三角形的判定（2）1、在△ABC 中，AB=8，AC=6，点D 在AC 上，且AD=2，若要在AB 上找一点E ，使△ADE 与原三角形相似，那么AE= .2、如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，请再添一个适当的条件，使△ADC ∽△AC B ，那么可添加的条件是3、如图，DE 与BC 不平行，当ACAB = 时， ΔABC 与ΔADE 相似.4、如图，ΔABC 中，BC=a . (1)若AD 1=31AB ，AE 1=31AC ，则D 1E 1= ； (2)若D 1D 2=31D 1B ，E 1E 2=31E 1C ，则D 2E 2= ； (3)若D 2D 3=31D 2B ，E 2E 3=31E 2C ，则D 3E 3= ； ……(4)若D n -1D n =31D n -1B ，E n -1E n =31E n -1C ，则D n E n = . 5、如图，在平行四边形ABCD 中，AB=8cm ，AD=4cm ，E 为AD 的中点，在AB 上取一点F ，使△CBF ∽△CDE ，则AF= ______cm.6、已知：如图，在正方形AB CD 中，P 是BC 上的点，且BP=3PC ，Q 是CD 的中点.ΔADQ 与ΔQCP 是否相似？为什么？7、如图，点C 、D 在线段AB 上，且ΔPCD 是等边三角形.(1)当AC ，CD ，DB 满足怎样的关系时，ΔACP ∽ΔPDB ； (2)当ΔPDB ∽ΔACP 时，试求∠APB 的度数.A F8、如图，四边形ABCD 、CDEF 、EFGH 都是正方形.(1)⊿ACF 与⊿A CG 相似吗？说说你的理由.(2)求∠1+∠2的度数.答案：1、 38或232、AC AD =AB AC3、AD AE4、（1）3a(2) 95a (3)2719a 5、1cm 6、相似.证明略7、(1)CD 2=AC DB (2)∠APB=1200 8、（1）相似.理由略（2）45°。

27.2__相似三角形__27．2.1相似三角形的判定第1课时平行线分线段成比例定理[学生用书B68]1．[2018·乐山]如图27－2－1，DE∥FG∥BC，若DB＝4FB，则EG与GC的关系是(B)A．EG＝4GC B．EG＝3GCC．EG＝52GC D．EG＝2GC【解析】∵DE∥FG∥BC，∴DBBF＝ECCG，又∵DB＝4FB，∴DBBF＝ECCG＝41，∴EC＝4CG，∴EG＝3GC.图27－2－1 图27－2－22．如图27－2－2，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F.AC与DF相交于点H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，则DEEF的值为(D)A.12B．2 C.25 D.353．如图27－2－3，△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，若BC＝1，则EF的长是(B)图27－2－3A．1 B．2 C．3 D．44．如图27－2－4，已知BD∥CE，则下列等式不成立的是(A)A.ABBC＝BDCE B.ABAC＝BDCEC.ADAE＝BDCE D.ABAC＝ADAE图27－2－4 图27－2－55．[2017·杭州]如图27－2－5，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD＝2AD，则(B)A.ADAB＝12 B.AEEC＝12C.ADEC＝12 D.DEBC＝12【解析】∵点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，∴ADBD＝AEEC，∵BD＝2AD，∴ADBD＝AEEC＝12.故选B.6．[2018·重庆A卷]要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5 cm，6 cm 和9 cm，另一个三角形的最短边长为2.5 cm，则它的最长边为(C)A．3 cm B．4 cmC．4.5 cm D．5 cm【解析】设另一个三角形的最长边为x cm，根据相似三角形的性质，得x9＝2.55，解得x ＝4.5，故选C.7．[2018·嘉兴]如图27－2－6，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ；直线DF 交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F ，已知AB AC ＝13，EFDE ＝__2__．【解析】 ∵AB AC ＝13，∴BCAB ＝2，∵l 1∥l 2∥l 3， ∴EF DE ＝BCAB ＝2.图27－2－6 图27－2－78．如图27－2－7，若△ADE ∽△ACB ，且AD AC ＝23，DE ＝10，则BC ＝__15__． 【解析】 ∵△ADE ∽△ACB ， ∴AD AC ＝DE CB ，又∵AD AC ＝23，DE ＝10，∴BC ＝15. 9．如图27－2－8，直线l 1，l 2，…，l 6是一组等距的平行线，过直线l 1上的点A 作两条射线，分别与直线l 3，l 6相交于B ，E ，C ，F ，若BC ＝2，则EF 的长是__5__．图27－2－8 图27－2－910．[2018·北京]如图27－2－9，在矩形ABCD 中，E 是边AB 的中点，连接DE 交对角线AC 于点F ，若AB ＝4，AD ＝3，则CF 的长为__103__． 【解析】 ∵四边形ABCD 是矩形， ∴DC ＝AB ＝4，AB ∥CD ，∠ADC ＝90°.在Rt△ADC中，由勾股定理，得AC＝32＋42＝5.∵E是边AB的中点，∴AE＝12 AB＝2.∵AB∥CD，∠EAF＝∠DCF，∠AFE＝∠CFD，∴△CDF∽△AEF.∴CFAF＝CDAE，即CF5－CF＝42，∴CF＝103.11．[2017·恩施]如图27－2－10，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AD∶BD ＝5∶3，CF＝6，则DE的长为(C)A．6 B．8 C．10 D．12【解析】∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∵∠ADE＝∠EFC，∴∠ABC＝∠EFC，∴EF∥AB，∴四边形BDEF是平行四边形，∴DE＝BF，∵ADDB＝AEEC＝BFCF＝53，CF＝6，∴DE＝BF＝10.图27－2－10 图27－2－1112．[2018·哈尔滨]如图27－2－11，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是(D)A.ABAE＝AGAD B.DFCF＝DGADC.FGAC＝EGBD D.AEBE＝CFDF【解析】 ∵GE ∥BD ，∴AE BE ＝AGGD ，又∵GF ∥AC ， ∴AG GD ＝CF DF ，∴AE BE ＝CF DF .13．如图27－2－12，已知FG ∥BC ，AE ∥GH ∥CD .图27－2－12求证：AB BF ＝ED DH .证明：∵AE ∥GH ∥CD ， ∴ED DH ＝AC CG .∵FG ∥BC ，∴AC CG ＝ABBF ， ∴AB BF ＝ED DH .14．如图27－2－13，已知AB ∥MN ，BC ∥NG .图27－2－13求证：OA OM ＝OCOG . 证明：∵AB ∥MN ，∴OAOM＝OBON.∵BC∥NG，∴OBON＝OCOG，∴OAOM＝OCOG.15．如图27－2－14，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，P为AB边上一动点，若△P AD与△PBC是相似三角形，求AP的长．图27－2－14备用图解：∵AD∥BC，∴∠A＝180°－∠B＝90°，∴∠P AD＝∠PBC＝90°.设AP的长为x，则BP长为8－x.若AB边上存在P点，使△P AD与△PBC是相似三角形，那么分两种情况：①若△APD∽△BPC，则AP∶BP＝AD∶BC，即x∶(8－x)＝3∶4，解得x＝24 7；②若△APD∽△BCP，则AP∶BC＝AD∶BP，即x∶4＝3∶(8－x)，解得x＝2或x＝6.∴AP＝247或AP＝2或AP＝6.第2课时相似三角形的判定定理1，2[学生用书A70]1．能说明△ABC∽△A′B′C′的条件是(D)A.ABA′B′＝ACA′C′≠BCB′C′B.ABAC＝A′B′A′C′，且∠A＝∠C′C.ABA′B′＝BCA′C′，且∠B＝∠A′D.ABA′B′＝BCB′C′，且∠B＝∠B′2．如图27－2－15，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①，②，③，④四个三角形，若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论中一定正确的是(B)图27－2－15A．①和②相似B．①和③相似C．①和④相似D．②和④相似3．[2017·河北]若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比(D)A．增加了10% B．减少了10%C．增加了(1＋10%) D．没有改变【解析】∵△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，∴△ABC与△A′B′C′的三边对应成比例，∴△ABC∽△A′B′C′，∴∠B′＝∠B.4．[2018·邵阳]如图27－2－16所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF.写出图中任意一对相似三角形：__△ADF ∽△ECF 或△EBA ∽△ECF 或△ADF ∽△EBA (任意写一对即可)__． 【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴△ADF ∽△ECF ；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴△EBA ∽△ECF ；∵△ADF ∽△ECF ∽△EBA ，∴△ADF ∽△EBA .图27－2－16 图27－2－175．如图27－2－17，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，若AD ＝6，AB ＝10，AE AC ＝35，DE ＝4.5，求BC 的长．解：∵AD AB ＝AEAC ，∠A ＝∠A ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴DE BC ＝AD AB ＝35，∴BC ＝53DE ＝7.5.6．如图27－2－18，网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A ，B ，C ，D ，E ，F 都是格点，试说明△ABC ∽△DEF .图27－2－18【解析】 利用图形与勾股定理可以推知图中两个三角形的三条对应边成比例，由此可以证得△ABC ∽△DEF . 解：∵AC ＝2，BC ＝12＋32＝10，AB ＝4，DF ＝22＋22＝22，EF ＝22＋62＝210，DE ＝8，∴AC DF ＝BC EF ＝AB DE ＝12，∴△ABC ∽△DEF .7．如图27－2－19，在△ABC 中，CD 是边AB 上的高，且AD CD ＝CDBD . (1)求证：△ACD ∽△CBD ； (2)求∠ACB 的大小．图27－2－19解：(1)证明：∵CD 是边AB 上的高， ∴∠ADC ＝∠CDB ＝90°. 又∵AD CD ＝CD BD ， ∴△ACD ∽△CBD ；(2)∵△ACD ∽△CBD ，∴∠A ＝∠BCD .在△ACD 中，∠ADC ＝90°，∴∠A ＋∠ACD ＝90°. ∴∠BCD ＋∠ACD ＝90°，即∠ACB ＝90°.8．如图27－2－20，D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点． (1)求证：△DEF ∽△ABC ；(2)图中还有哪几个三角形与△ABC 相似？图27－2－20解：(1)证明：∵D ，F 分别是△ABC 的边BC ，BA 的中点， ∴DF ＝12AC ，同理EF ＝12BC ，DE ＝12AB ，则DF AC ＝EF BC ＝DEAB ，∴△DEF ∽△ABC ；(2)∵E ，F 分别是△ABC 的边CA ，AB 的中点， ∴EF ∥BC ，∴△AFE ∽△ABC . 同理△FBD ∽△ABC ，△EDC ∽△ABC .∴与△ABC 相似的三角形还有△AFE ，△FBD ，△EDC .9．[2018·岳阳]《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是__6017__步．第9题答图【解析】 如答图，设该直角三角形能容纳的正方形边长为x ，则AD ＝12－x ，FC ＝5－x 根据题意易得△ADE ∽△EFC ， ∴AD EF ＝DE FC ，∴12－x x ＝x5－x ，解得x ＝6017.10．如图27－2－21，△ABC 是等边三角形，D ，E 在BC 边所在的直线上，且AB ·AC ＝BD ·CE .求证：△ABD ∽△ECA .图27－2－21 证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠ABD＝∠ACE.∵AB·AC＝BD·CE，即ABEC＝BDCA，∴△ABD∽△ECA.11．[2018·相山区四模]如图27－2－22，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，以AC为边作△ACE，∠ACE＝90°，AC＝CE，延长BC至点D，使CD＝5，连接DE.求证：△ABC∽△CED.图27－2－22证明：∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，∴AC＝22＋42＝25，∵CE＝AC，∴CE＝25，∵CD＝5，∵ABCE＝425＝255，ACCD＝255，∴ABCE＝ACCD，∵∠B＝90°，∠ACE＝90°，∴∠BAC＋∠BCA＝90°，∠BCA＋∠ECD＝90°.∴∠BAC＝∠ECD.∴△ABC∽△CED.12．如图27－2－23，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点F，点E在BD上，且ABAE＝BCED＝ACAD.(1)∠1与∠2相等吗？为什么？图27－2－23(2)判断△ABE 与△ACD 是否相似，并说明理由． 解：(1)∠1与∠2相等． ∵在△ABC 和△AED 中， AB AE ＝BC ED ＝AC AD ， ∴△ABC ∽△AED ，∴∠BAC ＝∠EAD ，∴∠1＝∠2； (2)△ABE 与△ACD 相似．理由： 由AB AE ＝AC AD 得AB AC ＝AE AD ，∵在△ABE 和△ACD 中，AB AC ＝AEDA ，∠1＝∠2， ∴△ABE ∽△ACD .13．如图27－2－24，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，∠AED ＝∠B ，射线AG 分别交线段DE ，BC 于点F ，G ，且AD AC ＝DFCG . (1)求证：△ADF ∽△ACG ； (2)若AD AC ＝12，求AFFG 的值．图27－2－24解：(1)证明：∵∠AED ＝∠B ，∠DAE ＝∠CAB ，∴∠ADF ＝∠C ，又∵AD AC ＝DFCG ，∴△ADF ∽△ACG ； (2)∵△ADF ∽△ACG ，∴AD AC ＝AFAG ，又∵AD AC ＝12，∴AF AG ＝12，∴AFFG ＝1.14．如图27－2－25，在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，BC ＝5－12，在AC 边上截取AD ＝BC ，连接BD .图27－2－25(1)通过计算，判断AD 2与AC ·CD 的大小关系； (2)求∠ABD 的度数． 解：(1)∵AD ＝BC ＝5－12， ∴AD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5－122＝3－52，∵AC ＝1，∴CD ＝1－5－12＝3－52， ∴AD 2＝AC ·CD ； (2)∵AD 2＝AC ·CD ， ∴BC 2＝AC ·CD ，即BC AC ＝CD BC .又∵∠C ＝∠C ，∴△ABC ∽△BDC .∴AB BD ＝AC BC .又∵AB＝AC，∴BD＝BC＝AD.∴∠A＝∠ABD，∠ABC＝∠C＝∠BDC.设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x，∴∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°.解得x＝36°，即∠ABD＝36°.第3课时 相似三角形判定定理3[学生用书B70]1．△ABC 和△DEF 满足下列条件，其中不能使△ABC 与△DEF 相似的是( C ) A ．∠A ＝∠D ＝45°38′，∠C ＝26°22′，∠E ＝108° B ．AB ＝1，AC ＝1.5，BC ＝2，DE ＝12，EF ＝8，DF ＝16 C ．BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，DE ＝a ，EF ＝b ，DF ＝c D ．AB ＝AC ，DE ＝DF ，∠A ＝∠D ＝40°2．[2017·枣庄]如图27－2－26，△ABC 中，∠A ＝78°，AB ＝4，AC ＝6.将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( C )图27－2－263．如图27－2－27，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，下列条件中不能判断△ABC ∽△AED 的是( D ) A ．∠AED ＝∠B B ．∠ADE ＝∠CC.AD AE ＝AC ABD.AD AB ＝AE AC【解析】 当∠AED ＝∠B ，∠A ＝∠A 时，能判断△ABC ∽△AED ，A 正确；当∠ADE ＝∠C ，∠A ＝∠A 时，能判断△ABC ∽△AED ，B 正确；当AD AE ＝ACAB ，∠A ＝∠A时，能判断△ABC ∽△AED ，C 正确；要判断△ABC ∽△AED ，AB ，AC 的对应边要分别是AE ，AD ，∴AD AB ＝AEAC 不是对应边成比例，D 不正确．故选D.图27－2－27 图27－2－284．如图27－2－28，下列条件不能判定△ADB ∽△ABC 的是( D ) A ．∠ABD ＝∠ACBB ．∠ADB ＝∠ABCC ．AB 2＝AD ·AC D.AD AB ＝ABBC【解析】 在△ADB 和△ABC 中，∠A 是它们的公共角，那么当AD AB ＝ABAC 时，才能使△ADB ∽△ABC ，不是AD AB ＝ABBC .故选D.5．[2018·永州]如图27－2－29，在△ABC 中，点D 是边AB 上的一点，∠ADC ＝∠ACB ，AD ＝2，BD ＝6，则边AC 的长为( B ) A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】 ∵∠A ＝∠A ，∠ADC ＝∠ACB ，∴△ADC ∽△ACB ，∴AC ∶AB ＝AD ∶AC ，∴AC 2＝AD ·AB ＝2×8＝16，∵AC ＞0，∴AC ＝4.故选B.图27－2－29 图27－2－306．如图27－2－30，已知∠A ＝∠D ，要使△ABC ∽△DEF ，还需添加一个条件，你添加的条件是__AB ∥DE __(只需写一个条件，不添加辅助线和字母)． 【解析】 ∵∠A ＝∠D ，∴当∠B ＝∠DEF 时，△ABC ∽△DEF ，∵AB∥DE时，∠B＝∠DEF，∴添加AB∥DE后，△ABC∽△DEF.7．如图27－2－31，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD.已知∠ABD＝∠C，AB＝6，AD＝4.求线段CD的长．图27－2－31解：∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB，∴ABAC＝ADAB，即6AC＝46，∴AC＝9，∴CD＝AC－AD＝9－4＝5.8．如图27－2－32，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于点E.求证：△ABD∽△CBE.图27－2－32证明：∵在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.∵CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°.又∵∠B ＝∠B ， ∴△ABD ∽△CBE .9．[2017·株洲]如图27－2－33，正方形ABCD 的顶点A 在等腰直角三角形DEF 的斜边EF 上，EF 与BC 交于点G ，连接CF .求证：图27－2－33(1)△DAE ≌△DCF ； (2)△ABG ∽△CFG .证明：(1)在等腰直角三角形DEF ，正方形ABCD 中，DE ＝DF ，DC ＝DA ，∠B ＝∠EDF ＝∠ADC ＝90°，∠EFD ＝∠DEF ＝45°， ∵∠CDF ＋∠ADF ＝∠ADE ＋∠ADF ＝90°， ∴∠CDF ＝∠ADE .在△DAE 与△DCF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧DA ＝DC ，∠ADE ＝∠CDF ，DE ＝DF ，∴△DAE ≌△DCF ； (2)由(1)知∠DFC ＝∠DEF ＝45°， ∵∠EFD ＝45°，∠DFC ＝45°，∴∠CFG ＝∠DFC ＋∠DFE ＝90°，∴∠CFG ＝∠B ， 又∵∠CGF ＝∠AGB ，∴△ABG ∽△CFG.10．如图27－2－34，图中共有相似三角形( B )图27－2－34A．5对B．4对C．3对D．2对【解析】共4对，分别是△ABE∽△ADC，△DEF∽△BCF，△BDF∽△CEF，△ABD∽△AEC.故选B.11．下列图形中，△ABC与△DEF不一定相似的是(A)A B C D【解析】A．当EF与BC不平行时，△ABC与△DEF不一定相似，故本选项正确；B．由∠ABC＝∠EFC，∠ACB＝∠EDF可以判定△ABC∽△EFD，故本选项错误；C．由圆周角定理推知∠B＝∠F，又由对顶角相等得到∠ACB＝∠EDF，可以判定△ABC∽△EFD，故本选项错误；D．由圆周角定理得到∠ACB＝90°，∴根据∠ACB＝∠CDB，∠ABC＝∠FED，可以判定△ABC∽△FED，故本选项错误．故选A.12．[2018·江西]如图27－2－35，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E.求AE的长．图27－2－35 解：∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBC，又∵AB∥CD，∴∠D＝∠ABD，∴∠DBC＝∠D，BC＝CD＝4，∵∠AEB＝∠CED，∴△AEB∽△CED，∴ABCD＝AECE，∴AECE＝84＝2，∴AE＝2EC，即EC＝12AE，∵AC＝AE＋EC＝6，∴AE＋12AE＝6，即AE＝4.13．如图27－2－36，在△ABC与△ADE中，∠C＝∠E，∠1＝∠2.图27－2－36(1)证明：△ABC∽△ADE；(2)请你再添加一个条件，使△ABC≌△ADE.你补充的条件为：__AB＝AD(答案不唯一)__．解：(1)证明：∵∠1＝∠2， ∴∠1＋∠DAC ＝∠2＋∠DAC ， ∴∠BAC ＝∠DAE .∵∠C ＝∠E ，∴△ABC ∽△ADE ； (2)补充的条件为AB ＝AD (答案不唯一)． 理由：由(1)，得∠BAC ＝∠DAE ， 在△ABC 和△ADE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAC ＝∠DAE ，∠C ＝∠E ，AB ＝AD ，∴△ABC ≌△ADE (AAS)．14．[2017·衢州]如图27－2－37，AB 为半圆O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 切半圆O 于点D ，连接OD .作BE ⊥CD 于点E ，交半圆O 于点F .已知CE ＝12，BE ＝9.图27－2－37(1)求证：△COD ∽△CBE ； (2)求半圆O 的半径r 的长．【解析】 (1)利用切线的性质可得∠CDO ＝90°，根据垂直的性质得∠E ＝90°，再由∠C 是公共角，易得△COD ∽△CBE ；(2)利用勾股定理易求BC ＝15，结合第一问的结论，利用相似三角形对应边成比例的性质可求圆的半径．解：(1)证明：∵CD 切半圆于点D ，OD 为⊙O 的半径，∴CD ⊥OD ，∴∠CDO ＝90°，∵BE ⊥CD 于点E ，∴∠E ＝90°， ∵∠CDO ＝∠E ＝90°，∠C ＝∠C ， ∴△COD ∽△CBE ；(2)在Rt △BEC 中，CE ＝12，BE ＝9，∴CB ＝15，∵△COD ∽△CBE ，∴OD BE ＝CO CB ， 即r 9＝15－r 15，∴r ＝458.27．2.2相似三角形的性质[学生用书B72]1．[2018·玉林]两三角形的相似比是2∶3，则其面积比是(C)A.2∶ 3 B．2∶3C．4∶9 D．8∶27【解析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得两三角形的面积是4∶9.故选C.2．[2017·重庆A卷]若△ABC∽△DEF，且相似比为3∶2，则对应高的比为(A) A．3∶2 B．3∶5 C．9∶4 D．4∶93．[2017·连云港]如图27－2－38，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝1∶2，则下列等式一定成立的是(D)图27－2－38A.BCDF＝12 B.∠A的度数∠D的度数＝12C.△ABC的面积△DEF的面积＝12 D.△ABC的周长△DEF的周长＝12【解析】已知△ABC∽△DEF且相似比为1∶2，A选项中BC与DF不是对应边；B选项中的∠A和∠D是一对对应角，根据“相似三角形的对应角相等”可得∠A ＝∠D；根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”可得两个三角形的面积比是1∶4，根据“相似三角形的周长比等于相似比”可得两个三角形的周长比是1∶2.因此A，B，C选项错误，D选项正确．4．[2018·广东]在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则△ADE与△ABC 的面积之比为(C)A.12 B.13 C.14 D.16【解析】相似三角形面积比等于相似比的平方，由中位线性质知△ADE∽△ABC且相似比为1∶2，故△ADE与△ABC的面积之比为14.5．如图27－2－39，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且AEAB＝ADAC＝12，则S△ADE ∶S四边形BCED的值为(C)图27－2－39A．1∶ 3 B．1∶2C．1∶3 D．1∶46．[2018·绥化]两个相似三角形的最短边分别为5 cm和3 cm，他们的周长之差为12 cm，那么大三角形的周长为(D)A．14 cm B．16 cmC．18 cm D．30 cm【解析】∵两个相似三角形的最短边分别为5 cm和3 cm，∴两个相似三角形的相似比为5∶3.设较小的三角形的周长为x cm，则较大的三角形的周长为(x＋12)cm，根据相似三角形的性质可得x＋12x＝53，解得x＝18，故大三角形的周长为18＋12＝30 cm.故选D.7．[2018·毕节]如图27－2－40，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE∶EC＝3∶2，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 与△BAF 的面积之比为( C ) A ．2∶5 B ．3∶5 C ．9∶25D ．4∶25【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，且AB ＝CD ，∴∠EDF ＝∠ABF ，∠DEF ＝∠BAF ，∴△DEF ∽△BAF ，又∵DE ∶EC ＝3∶2，∴DE AB ＝32＋3＝35，∴S △DEF S △BAF ＝925，故选C.图27－2－40 图27－2－418．一副三角板叠放如图27－2－41，则△AOB 与△DOC 的面积之比为__1∶3__． 9．已知△ABC ∽△DEF ，DE AB ＝23，△ABC 的周长是12 cm ，面积是30 cm 2. (1)求△DEF 的周长； (2)求△DEF 的面积．解：(1)∵△ABC ∽△DEF ，DE AB ＝23， ∴△DEF 的周长为12×23＝8(cm)； (2)∵△ABC ∽△DEF ，DE AB ＝23，∴△DEF 的面积为30×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝1313(cm 2)．10．[2018·宜宾]如图27－2－42，将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到△A ′B ′C ′的位置，已知△ABC 的面积为9，阴影部分三角形的面积为4.若AA ′＝1，则A ′D 等于( A )A ．2B ．3 C.23 D.32图27－2－42 第10题答图【解析】 如答图，由平移知A ′E ∥AB ，AF ′∥AC ， ∴ED BD ＝A ′D AD ＝DF DC ，∴ED DF ＝BDDC ＝1，即A ′D 为△A ′EF 的中线，易证△A ′EF ∽△ABC ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫A ′D AD 2＝S △A ′EFS △ABC ，即⎝⎛⎭⎪⎫A ′D A ′D ＋12＝49， 解得A ′D ＝2或A ′D ＝－25(舍去)，故选A.11．如图27－2－43，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝∠ACD ＝90°，AB ＝2，DC ＝3，则△ABC 与△DCA 的面积比为( C )图27－2－43A ．2∶3B ．2∶5C ．4∶9 D.2∶ 3【解析】 ∵AD ∥BC ，∴∠ACB ＝∠DAC . 又∵∠B ＝∠ACD ＝90°，∴△ABC ∽△DCA . ∵AB ＝2，DC ＝3，∴AB DC ＝23，∴S△ABCS△DCA＝⎝⎛⎭⎪⎫232＝49，∴△ABC与△DCA的面积比为4∶9.故选C.12．如图27－2－44，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB 的平分线CF交AD于点F，E是AB的中点，连接EF.图27－2－44(1)求证：EF∥BC；(2)若△ABD的面积是6，求四边形BDFE的面积．【解析】(1)证明EF为△ABD的中位线；(2)利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解．解：(1)证明：∵DC＝AC，∴△ACD为等腰三角形．∵CF平分∠ACD，∴F为AD的中点．又∵E为AB的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴EF∥BC；(2)由(1)，得EF∥BC，∴△AEF∽△ABD.∵EFBD＝12，∴S△AEF∶S△ABD＝1∶4，∴S四边形BDFE∶S△ABD＝3∶4.又∵S△ABD＝6，∴S四边形BDFE＝92.13．如图27－2－45，AC 是⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，∠ACB ＝30°. (1)利用尺规作∠ABC 的平分线BD ，交AC 于点E ，交⊙O 于点D ，连接CD (保留作图痕迹，不写作法)；(2)在(1)所作的图形中，求△ABE 与△CDE 的面积之比．图27－2－45 第13题答图解：(1)如答图所示；(2)连接OD ，设⊙O 半径为r ，在△ABE 和△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠CDE ，∠AEB ＝∠DEC ，∴△ABE ∽△DCE .∵在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°， ∴AB ＝12AC ＝r .∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD ＝∠CBD ＝45°，∴∠DOC ＝90°. ∵在Rt △ODC 中，DC ＝OD 2＋OC 2＝2r ，∴S △ABE S △CDE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB DC 2＝⎝⎛⎭⎪⎫r 2r 2＝12. 14．[2017·宿迁]如图27－2－46，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 在边BC 上移动(点E 不与点B ，C 重合)，满足∠DEF ＝∠B ，且点D ，F 分别在边AB ，AC 上．图27－2－46(1)求证：△BDE∽△CEF；(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC. 证明：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠DEF＋∠CEF＝∠B＋∠BDE，∠DEF＝∠B，∴∠CEF＝∠BDE，∴△BDE∽△CEF；(2)由(1)得BECF＝DEEF，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，∴CECF＝DEEF，即CEDE＝CFEF，∵∠C＝∠DEF，∴△EDF∽△CEF，∴∠CFE＝∠EFD，即FE平分∠DFC.15．[2018·宁波]若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．(1)已知△ABC是比例三角形，AB＝2，BC＝3，请直接写出所有满足条件的AC 的长；(2)如图27－2－47①，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC ＝∠ADC.求证：△ABC是比例三角形；(3)如图②，在(2)的条件下，当∠ADC＝90°时，求BDAC的值．图27－2－47解：(1)43或92或6；(2)证明：∵AD ∥BC ，∴∠ACB ＝∠CAD . 又∵∠BAC ＝∠ADC ，∴△ABC ∽△DCA ， ∴BC CA ＝CAAD ，即 CA 2＝BC ·AD . ∵AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠CBD . ∵BD 平分∠ABC ，∠ABD ＝∠CBD ， ∴∠ADB ＝∠ABD ，∴AB ＝AD ，第15题答图∴CA 2＝BC ·AB ， ∴△ABC 是比例三角形；(3)如答图，过点A 作AH ⊥BD 于点H . ∵AB ＝AD ，∴BH ＝12BD .∵AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，∴∠BCD ＝90°， ∴∠BHA ＝∠BCD ＝90°.又∵∠ABH ＝∠DBC ，∴△ABH ∽△DBC . ∴AB DB ＝BHBC ，∴AB ·BC ＝DB ·BH ，∴AB·BC＝12BD2.又∵AB·BC＝AC2，∴12BD2＝AC2，∴BDAC＝ 2.27．2.3相似三角形应用举例[学生用书A74]1．[2018·长春]《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺．同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸(提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸)，则竹竿的长为(B)A．五丈B．四丈五尺C．一丈D．五尺【解析】标杆高度一尺五寸，标杆影长五寸，竹竿高度未知，竹竿影长一丈五尺，画出草图，设竹竿高度为x，建立数学模型：x一尺五寸＝一丈五尺五寸，解得x＝四丈五尺．2．[2018·临沂]如图27－2－48，利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE 高1.2 m，测得AB＝1.6 m，BC＝12.4 m．则建筑物CD的高是(B)A．9.3 m B．10.5 mC．12.4 m D．14 m【解析】由题意知BE∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴BECD＝ABAC，即1.2CD＝ 1.61.6＋12.4，解得CD＝10.5(m)，故选B.图27－2－48 图27－2－493．[2018·绍兴]学校门口的栏杆如图27－2－49所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝4 m，AB ＝1.6 m，CO＝1 m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为(C)A．0.2 m B．0.3 mC．0.4 m D．0.5 m【解析】∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABO＝∠CDO＝90°，∵∠AOB＝∠COD，∴△AOB∽△COD，AOCO＝ABCD，∵AO＝4 m，AB＝1.6 m，CO＝1 m，∴CD＝0.4 m.4．阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下2.7 m的亮区DE(如图27－2－50所示)，已知亮区到窗口下的墙角的距离EC＝8.7 m，窗口高AB＝1.8 m，则窗口底边离地面的高BC为(A)A．4 m B．3.8 mC．3.6 m D．3.4 m图27－2－50 第4题答图【解析】如答图，连接AE，BD.∵太阳光是平行光线，∴AE∥BD，∴△BCD∽△ACE，∴ACBC＝ECDC，即1.8＋BCBC＝8.78.7－2.7，解得BC＝4.故选A.5．[2017·绵阳]为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理．她准备好镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B.测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50 cm，镜面中心C距旗杆底部D的距离为4 m，如图27－2－51所示，已知小丽同学的身高是1.54 m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4 cm，则旗杆的高度等于(B)A．10 m B．12 mC．12.4 m D．12.32 m【解析】由题意可得AB＝1.5 m，BC＝0.5 m，DC＝4 m，△ABC∽△EDC，则ABED＝BCDC，即1.5DE＝0.54，解得DE＝12 m.图27－2－51 图27－2－526．[2018·吉林]如图27－2－52是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B ＝∠C＝90°，测得BD＝120 m，DC＝60 m，EC＝50 m，求得河宽AB＝__100__m. 【解析】两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB.易证△ABD∽△ECD，∴ABEC ＝BDCD，即AB50＝12060，∴AB＝100(m)．7．如图27－2－53，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝0.5 m，EF＝0.25 m，目测点D到地面的距离DG＝1.5 m，到旗杆的水平距离DC＝20 m，求旗杆的高度．图27－2－53解：根据题意，得△DEF ∽△DCA ，则DE DC ＝EFCA ， ∵DE ＝0.5 m ，EF ＝0.25 m ，DC ＝20 m ， ∴0.520＝0.25AC ，解得AC ＝10 m ， ∴AB ＝AC ＋BC ＝10＋1.5＝11.5(m)． 答：旗杆的高度为11.5 m.8．如图27－2－54，是一个照相机成像的示意图．(1)如果像高MN 是35 mm ，焦距是50 mm ，拍摄的景物高度AB 是4.9 m ，拍摄点离景物有多远？(2)如果要完整的拍摄高度是2 m 的景物，拍摄点离景物有4 m ，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？图27－2－54解：根据物体成像原理，得△LMN ∽△LBA ， ∴MN BA ＝LC LD ，即MN LC ＝BA LD .(1)∵像高MN 是35 mm ，焦距是50 mm ，拍摄的景物高度AB 是4.9 m ， ∴3550＝4.9LD ，解得LD ＝7 m.答：拍摄点距离景物7 m ；(2)拍摄高度是2 m 的景物，拍摄点离景物有4 m ，像高不变，∴35LC ＝24，解得LC ＝70 mm.答：相机的焦距应调整为70 mm.9．[2018·陕西]周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A ，在他们所在的岸边选择了点B ，使得AB 与河岸垂直，并在B 点竖起标杆BC ，再在AB 的延长线上选择点D ，竖起标杆DE ，使得点E 与点C ，A 共线．已知：CB ⊥AD ，ED ⊥AD ，测得BC ＝1 m ，DE ＝1.5 m ，BD ＝8.5 m. 测量示意图如图27－2－55所示．请根据相关测量信息，求河宽AB .图27－2－55解：∵CB ⊥AD ，ED ⊥AD ，∴∠ABC ＝∠ADE ＝90°， ∵∠CAB ＝∠EAD ，∴△ABC ∽△ADE ， ∴BC DE ＝AB AD ，∵BC ＝1 m ，DE ＝1.5 m ，BD ＝8.5 m ， ∴AD ＝AB ＋8.5，∴11.5＝ABAB ＋8.5，解得AB ＝17.答：河宽AB 的长为17 m.10．某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图27－2－56，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED＝1.5 m，CD＝2 m．然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16 m，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH＝2.5 m，FG＝1.65 m．已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息求出“望月阁”的高AB.图27－2－56解：根据题意，得∠ABC＝∠EDC＝∠GFH＝90°，∠ACB＝∠ECD，∠AFB＝∠GHF，∴△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH，∴ABED＝BCDC，ABGF＝BFFH，即AB1.5＝BC2，AB1.65＝BC＋182.5，解得AB＝99.答：“望月阁”的高AB为99 m.11．如图27－2－57，小华在晚上由路灯A走向路灯B.当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部；当他向前再步行12 m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B 的底部．已知小华的身高是1.6 m ，两个路灯的高度都是9.6 m ，且AP ＝QB . (1)求两个路灯之间的距离．(2)当小华走到路灯B 的底部时，他在路灯A 下的影长是多少？图27－2－57 第11题答图①解：(1)如答图①，∵PM ∥BD ，∴△APM ∽△ABD ， ∴AP AB ＝PM BD ，即AP AB ＝1.69.6，∴AP ＝16AB ， ∵QN ∥AC ，∴△BNQ ∽△BCA ， ∴BQ BA ＝QN AC ，即BQ AB ＝1.69.6，∴BQ ＝16AB ， ∵AP ＋PQ ＋BQ ＝AB ，∴16AB ＋12＋16AB ＝AB ，解得AB ＝18. 答：两路灯之间的距离为18 m ；(2)如答图②，他在路灯A 下的影子为BN ，第11题答图②∵BM ∥AC ，∴△NBM ∽△NAC ， ∴BN AN ＝BM AC ，即BN BN ＋18＝1.69.6，解得BN ＝3.6.答：当他走到路灯B 时，他在路灯A 下的影长是3.6 m.12．某兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1 m 的竹竿的影长为0.4 m，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2 m，一级台阶高为0.3 m，如图27－2－58所示，若此时落在地面上的影长为4.4 m，则树高为(C)A．11.5 m B．11.75 mC．11.8 m D．12.25 m图27－2－58 第12题答图【解析】如答图，树高为AB，台阶CD＝0.3 m，台阶上树影DE＝0.2 m，地面上树影BC＝4.4 m．过点D作DF⊥AB于点F，则DF＝BC＝4.4 m，∴EF＝DF＋DE＝4.4＋0.2＝4.6(m)，∵AFEF＝10.4，∴AF＝EF0.4＝4.6×52＝11.5(m)，∴AB＝AF＋BF＝AF＋CD＝11.5＋0.3＝11.8(m)，即树高为11.8 m．故选C.。

第27章 相似 27.2 相似三角形 27.2.1相似三角形 同步训练1. 如图所示，△ABC 与△A′B′C′相似，那么下列记法中正确的是( )A ．△ACB∽△A′B′C′B ．△BAC∽△C′B′A′C ．△BCA∽△B′C′A′D ．△ABC∽△C′A′B′2．已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，且∠A ＝60°，∠B ＝95°，则∠C 1的度数为( )A ．60°B ．95° C.25° D ．15°3．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，DE ∥BC ，若BD ＝2AD ，则( ) A.AD AB ＝12 B ．AE EC ＝12 C.AD EC ＝12 D ．DE BC ＝124. 如图，△ABC ∽△DEF ，相似比为1∶2.若BC ＝1，则EF 的长是( )A ．1B ．2C ．3D ．45. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD AB ＝13，BC ＝12，则DE 的长是( ) A ．3 B ．4 C.5 D ．66. 下列命题不正确的是( )A ．相似三角形一定全等B ．两个等腰直角三角形相似C ．两个全等三角形一定相似D ．在△ABC ∽△A′B′C′，那么∠A ＝∠A′，∠B ＝∠B′7. 如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，DE ∥BC ，点F 为BC 边上一点，连接AF 交DE 于点G ，则下列结论中一定正确的是( )A.AD AB ＝AE EC B ．AG GF ＝AE BD C.BD AD ＝CE AE D ．AG AF ＝AC EC8．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，，∠ADE ＝∠EFC ，AD ∶BD ＝5∶3，CF ＝6，则DE 的长为( )A ．6B ．8C ．10D ．129. 若△ABC ∽△A 1B 1C 1，AB ＝2，A 1B 1＝3；则△A 1B 1C 1与△ABC 的相似比为 .10. 如图，点F 是▱ABCD 的边CD 上一点，直线BF 交AD 的延长线于点E ，则下列结论错误的是( ) A.ED EA ＝DF AB B ．DE BC ＝EF FB C.BC DE ＝BF BE D ．BF BE ＝BC AE11．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，DE ∥BC ，AD AB ＝13，AD ＋DE ＋AE AB ＋BC ＋AC＝ .12. 如图，在▱ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，在BA 的延长线上取一点E ，连接OE 交AD 于点F.若CD ＝5，BC ＝8，AE ＝2，则AF ＝ .13. 如图所示，△ABC 是等边三角形，P 是BC 上一点，且△ABP ∽△PCD.求∠APD 的度数．14. 在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上的一点．连接AE.(1)若AB ＝AE ，求证：∠DAE ＝∠D ；(2)若点E 为BC 的中点，连接BD ，交AE 于F ，求EF ∶FA 的值．15．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点F 在BC 上，DF 与AB 的延长线交于点G.(1)求证：△CDF ∽△BGF ；(2)当点F 是BC 的中点时，过F 作EF ∥CD 交AD 于点E ，若AB ＝6cm ，EF ＝4cm ，求CD 的长．参考答案：1---8 CCBDB ACC9. 3∶210. C11. 1312. 16913. 解：△ABP ∽△PCD ，∴∠BAP ＝∠CPD.∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝60°，∴∠BAP ＋∠BPA ＝180°－60°＝120°，∴∠BPA ＋∠CPD ＝120°，∴∠APD ＝180°－(∠BPA ＋∠CPD)＝180°－120°＝60°.14. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴∠B ＝∠D ，AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠EAD ，又∵AE ＝AB ，∴∠B ＝∠AEB ，∴∠B ＝∠EAD ，∴∠EAD ＝∠D ；(2)∵AD ∥BC ，∴∠FAD ＝∠FEB ，∠ADF ＝∠EBF ，∴△ADF ∽△EBF ，∴EF ∶FA ＝BE ∶AD ＝BE ∶BC ＝1∶2.15. 解：(1)证明：∵梯形ABCD 中，AB ∥CD ，即CD ∥BG ，∴△CDF ∽△BGF ；(2)由(1)得△CDF ∽△BGF ，且F 是BC 中点，∴DF ＝FG ，CD ＝BG.又∵EF ∥CD ，AB ∥CD ，∴EF ∥AG ，∴△DEF ∽△DAG.∴EF AG ＝DF DG ＝12，∴AG ＝8cm ，∴CD ＝BG ＝AG －AB ＝2cm.。

周口市 2010—— 2011 学年度下期九年级 27.2《相像三角形》检测题一．选择题1．以下图形不必定相像的是（）．A ．有一个角是 120°的两个等腰三角形 ;B ．有一个角是 60°的两个等腰三角形C ．两个等腰直角三角形;D．有一个角是 45°的两个等腰三角形2．如图 1，已知△ ABC ， D ， E 分别是 AB ， AC 边上的点． AD=3cm ， AB=8cm ， AC=?10cm ．若△ADE ∽△ ABC ，则 AE 的值为（ ）．A ．15cmB. 4 cm 或 12cmC.15cm 或12cm D. 5cm415 54 512(1)(2)(3)3．知足以下条件的各对三角形中相像的两个三角形有（）．①∠ A=60°， AB=5cm ， AC=10cm ；∠ A ′ =60°， A ′ B ′ =3cm ， A ′ C ′ =10cm ②∠ A=45°， AB=4cm ， BC=6cm ；∠ D=45°， DE=2cm ， DF=3cm ③∠ C=∠ E=30°， AB=8cm ， BC=4cm ； DF=6cm ， FE=3cm④∠ A=∠ A ′，且 AB · A ′ B ′ =AC · A ′ B ′4．如图 2, 点 D 为△ ABC 的 AB 边一点（ AB>AC ） , 以下条件不必定能保证△ACD ∽△ ABC 的是（）．A ．∠ ADC=∠ ACBB ．∠ ACD=∠BC ．DCADD.ADACBC ACACAB5.如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光芒照耀到桌面后在地面上形成（圆形） 的表示图 . 已知桌面直径为 1.2 米，桌 面离地面 1 米 . 若灯泡离地面 3 米，则地面上暗影部分的面积为（-）A. 、0.36 米 2 B 、 0.81 米 2 C 、2 米2 D 、3.24 米 26．（山东）如图，小正方形的边长均为1，则右图中的三角形（暗影部分） ?与△ ABC 相像的是（ ）．二、填空题7．已知三角形的三条边长分别为 1，2 ，3 ，请你写出此外三条线段长，?使这三条线段组成的三角形与已知三角形相像：________， ________， _______．8．如图 3，若 AC 2=CD · CB ，则△ _______∽△ _______，∠ ADC=________．(4) (5) (6) (7)9．如图 4，△ ABC 中， CD ⊥ AB 于 D ， AD=8，CD=6，则当 BD=______时，△ ADC?∽△ CDB ，∠ACB=_______°． 10．如图 5，已知 AC 与 BD 订交于点 O ，且 AO ： OC=BO ： OD=2： 3， AB=5，则 CD=______．11．如图 6，等腰三角形2ABC 中，∠ A=36°，若 BC=CD ·CA ，则∠ DBC=?_____?°， ? 图中有_____个等腰三角形．12．如图 7，为测得一养鱼池的两头 A ， B 间的距离，可在平川上取向来接抵达A 和 B?的点O ，连结 AO ，BO 并分别延伸到 C ，D ，使 OC=1 OA ，OD=1OB ，假如量得 CD=30m ，?那么池22塘宽 AB=________．三．解答题13．如图，已知△ ABC 中， AC=10， AB=16，问在 AB 边上能否存在这样的点P ， ?使△ APC ∽△ ACB ，若存在，求AP 的长；若不存在，请说明原因．14．如图，是利用木杆撬石头的表示图．现有一块石头，要使其转动，杠杆的B 端一定向上翘起 12cm ，已知杠杆的动力臂 OA 与阻力臂 OB 之比为 5：1，求要使这块石头转动， 起码要将杠杆 A 端下压多少厘米．15．已知：如图，∠ ABE=90°，且 AB=BC=CD=DE ，请仔细研究图形与所给条件，而后回答：图中能否存在相像的三角形？若存在，请加以说明；若不存在，请说明原因．16.如图，在ABC 中， BA=BC=20cm ， AC=30cm ，点 P 从 A 点出发，沿着 AB 以每秒 4c m 的速度向 B 点运动；同时点Q 从 C 点出发，沿 CA 以每秒 3cm 的速度向 A 点运动，设运动时间为S BCQ1 ，求 S BPQ的值；x. （1）当 x 为什么值时， PQ ∥ BC ？（ 2）当SABC3SABC17.在△ ABC 中， AE ∶ EB=1 ∶2，EF ∥BC ，AD ∥ BC 交 CE 的延伸线于 D ，求 S △AEF ∶S △BCE 的值.18. 如图，△ ABC 是一块 锐角三角形余料，边 BC= 120mm ， 高 AD=80mm ， 要把它加 工成矩形部件，使一边在BC 上，其他两个极点分别在边AB 、AC 上， A（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？PE（2）若这个矩形的长是宽的2 倍，则边长是多少？NBQ DM C27.2 答案 :一．选择题1． D 点拨：若 45°角在一个三角形中做顶角，在另一个三角形中做底角，则这两个三角形形状不一样．2 ． C 点拨：两个三角形有公共角，只须知足两边对应成比率，则对应边有两种可能．3 ． A 点拨：（ 2），（ 3）不知足地点关系．4． C点拨：不可以知足地点关系．5． B6. B二．填空题7.答案不独一，略8．△ ACD∽△ BCA ∠ BAC9．990°210． 7.5 点拨：由题意△ AOB∽△ COD，∴AB 2．CD311 ．36° 3个12． 60m三．解答题13．存在，若使△ APC∽△ ACB，则应知足：AP AC, AP10025．14．OB1AC AB164，∴ 12cm× 5=60cm，起码要将杠杆 A 端下压 60cm．OA515.存在，△ ACD∽△ ECA，设 AB=a，则 AC 2 =a，CE=2a，AE 2 , CD a 2 ,CE 2 AC2a2AC CD.CE AC又∵∠ ACE=∠ECA，∴△ ACD∽△ ECA．30216.（ 1） x=s(2)79117.624048018、（ 1 ）48 mm （ 2）宽是mm ，长mm.77。

扶沟县 2010—2011 学年度九年级下册 27.2 《相像三角形》检测题一、选择题 （每题 4 分，共 32 分）1．以下各样图形相像的是（）(1) (2) (3) (4) A ．（ 1）、（ 2）B ．（ 3）、（ 4）C ．（ 1）、（3）D ．（1）、（ 4）2．以下图形相像的是（）（ 1）放大镜下的图片与本来的图片； （ 2）幻灯的底片与 投影在屏幕上的图象； （ 3）天空中 两朵白云的照片； （ 4）卫星上拍摄的长城照片与相机拍摄的长城照片．A ．4 组B ．3 组C ．2 组D ．1 组3．以下说法不必定正确的选项是（）A ．全部的等边三角形都相像°B ．有一个角是 100 的等腰三角形相像C ．全部的正方形都相像D ．全部的矩形都相像4． 一根 1.5 米长的标杆直立在水平川面上 , 它在阳光下的影长为 2.1米；此时一棵水杉树的影长为 10.5 米, 这棵水杉树高为( )A ．7.5 米B ．8 米C ． 14.7 米D ． 15.75 米5．两个相像三角形的周长比为 4︰ 9，则面积比为（）A ．4︰9B ．8︰ 18C ． 16︰81D ．2︰36．在同一时辰的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（）A ．小明的影子比小强的影子长B ．小明的影子比小强的影子短C ．小明的影子和小强的同样长D ．谁的影子长不确立7．如图，能使△ ACD ∽△ BCA 全等的条件是（）C A ．ACAB B ． AC2CD ?CBDCDBCAB BD D ． CD2 AD ?BDB第 7 题AC ．CDACE8．如下图的丈量旗杆的方法，已知AB 是标杆， BC 表示AB 在太阳光下的影 子， ?表达错误的选项是（ ） A ．能够利用在同一时辰，不一样物 体与其影长的比相等来计算旗杆的高AB ．只要测 量出标杆和旗杆的影 长便可计算出旗杆的高C ．能够利用△ ABC ∽△ EDB ，来计算旗杆的高D ．需要丈量出 AB 、 BC 和 DB 的长，才能计算出旗杆CB第8题D的高二、填空题 （每题 4 分，共 32分）9． 以下情况：①用 眼睛看月亮和用望远镜看月亮，看到的图象是相像的图形；②用彩笔在黑板上写上三个大字 1、2、3，它们是 相像图形 ；③用粉笔在黑板上写上“天”和用毛笔在纸上写上“天”，这两个字是相像图形；以上说法你以为正确的是 ，错误的选项是．（填序号）10． 若 a ， x ， b ， y 成比率线段，则比率式为；若 a=1， x=2， b=2.5，则y= ．11．三角形三边之比为 3︰ 5︰ 7，与它相像的三角形最长边为21cm ，那么与它相像的三角形周长为 ．AA DOCDEFBEFD CBC第 12 题第13题第 14题12．如图， ∠ ADC=∠ ACB=90 °， ∠ACD =∠ B ， AC=5 ， AB=6，则 AD=______． 13．直线 CD ∥ EF ，若 OC=3，CE=4，则OD的 值是．OF14．如图， AD ∥EF ∥BC ，则图的相像三角形共有 _____对．15 ．△ ABC 的三边长为 2， 10 ，2 ，△ A'B'C '的两边为 1和 5 ，若△ ABC ∽ △A'B'C' ，则△ A'B'C' 的笫三边长为 ________． 16 ．两个相像三角形的面积之比为1∶ 5，小三角形的周长为 4，则另一个三角形的周长为___ __．三、 解答题 （共 36 分）17 ．在如图所附的格点图中画出两个相像的三角形.18．两个相像三角形的一对对应边的长分别是35cm 和 14cm ，它们的周长相差60cm ，求这两个三角形的周长．19． 如图，△ ABC 中， EF ∥ BC ， FD ∥AB ，AE ＝ 18， BE ＝ 12，CD ＝ 14，求线段EF的长．AEF20．如图，有一路灯杆 AB （底部 B 不可以直接抵达），在灯光下，小明在点 D 处测得自己的影长 DF ＝3m，沿 BD 方向抵达点 F 处再测得自己得影长 FG＝ 4m，假如小明得身高为 1.6m，求路灯杆AB 的高度。

人教新版九年级下学期《27.2 相似三角形》同步练习卷一．选择题（共13小题）1．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，∠ACD=∠B，那么下列判断中，不正确的是（）A．△ADE∽△ABC B．△CDE∽△BCD C．△ADE∽△ACD D．△ADE∽△DBC 2．如图，点E为平行四边形ABCD边BC延长线上的一点，连结AE与CD相交于点F．则图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对3．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列哪些条件，①∠AED=∠B②=③=，使△ADE与△ACB一定相似（）A．①②B．②C．①③D．①②③4．如图，下列四个选项不一定成立的是（）A．△COD∽△AOB B．△AOC∽△BOD C．△DCA∽△BAC D．△PCA∽△PBD 5．身高1.6米的小明利用影长测量学校旗杆的高度，如图，当他站在点C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合在点A处，测量得到AC=2米，CB=18米，则旗杆的高度是（）A．8米B．14.4米C．16米D．20米6．两个相似六边形的相似比为3：5，它们周长的差是24cm，那么较大的六边形周长为（）A．40cm B．50cm C．60cm D．70cm7．若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为4：25，则△ABC与△DEF周长之比为（）A．4：25B．2：5C．5：2D．25：48．如果两个相似三角形对应高的比是4：9，那么它们的面积比是（）A．4：9B．2：3C．16：81D．9：49．已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的周长为16，则△DEF的周长为（）A．2B．4C．8D．3210．如图，在△ABC中，∠B=80°，∠C=40°，直线l平行于BC．现将直线l绕点A逆时针旋转，所得直线分别交边AB和AC于点M、N，若△AMN与△ABC 相似，则旋转角为（）A．20°B．40°C．60°D．80°11．如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是（）A．B．C．D．12．如图，在正方形ABCD中，以BC为边作等边△BPC，延长BP，CP分别交AD 于点E，F，连接BD、DP、BD与CF相交于点H，给出下列结论：①AE=CF；②∠BPD=135°；③△PDE∽△DBE；④ED2=EP•EB其中正确的是（）A．①②③④B．②③C．①②④D．①③④13．如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则NM：MC等于（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：5二．填空题（共15小题）14．如图，在▱ABCD中，F为AD上一点，连结CF并交BA的延长线于一点E，则图中相似三角形共有对．15．为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，然后再在河岸上选点E，使得EC⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示，测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，那么这条河的大致宽度是．16．有一块三角形的余料△ABC，它的高AH=40mm，边BC=80mm，要把它加工成一个矩形，使矩形的一边EF落在BC上，其余两个顶点DG分别在AB，AC 上，且DG=2DE，则矩形的面积为mm2．17．为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离树AB的树根7.2m的点E处，然后观测者沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树稍顶点A，再用皮尺量得DE=2.4m，观测者目高CD=1.6m，则树高AB约是．18．如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量的卡钳上A、D两端的距离为4cm，，则容器的内径BC=．19．两个相似五边形，一组对应边的长分别为1cm和2cm，如果它们的面积之和是50cm2，则较大的五边形面积是cm2．20．若一个矩形截去两个以短边长为边长的正方形后得到的矩形与原矩形相似，则这个矩形的长与宽之比为．21．如图，菱形ABCD的周长为12，∠DAB=60°，对角线AC上有两点E和F（点E在点F的左侧），且要使四边形DEBF与菱形ABCD相似，则AE的长为．22．沿一张矩形纸较长两边的中点将纸折叠，所得的两个矩形仍然与原来的矩形相似，则原矩形纸的长、宽之比是．23．如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则点D到线段AB的距离等于（结果保留根号）．24．已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1=60°，对角线A1C1、B1D1相交于点O，以点O为坐标原点，分别以OB1，OA1所在直线为x轴、y轴建立如图所示的直角坐标系，以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在y轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，A n，则点A2018的坐标为25．如图，△ABC的顶点在1×3的正方形网格的格点上，在图中画出一个与△ABC相似但不全等的△DEF（△DEF的顶点在格点上），则△DEF的三边长分别是．26．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，若BD=1，AD=3，则CD=．27．如图，CD是Rt△ABC中斜边上的高，已知AD=6，BD=3，则CD=．28．已知CD是Rt△ABC斜边上的高，若AB=25，BC=15，则BD的长为．三．解答题（共7小题）29．在正方形ABCD中，BC=2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P．（1）求PD的长；（2）点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE=45°．若PF=，求CE的长．30．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB，垂足为D．求BD的长．31．如图是一个3×8的网格图，每个小正方形的边长均为1，三个顶点都在小正方形的顶点上的三角形叫做格点三角形，图中格点△ABC的三边长分别为，2、，请在网格图中画出三个与△ABC相似但不全等的格点三角形，并求与△ABC相似的格点三角形的最大面积．32．如图在Rt△ABC中，∠C=90°，在AB边上求作一点P，使得△BPC∽△BCA （用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）33．网格中每个小正方形的边长都是1．（1）将图①中的格点三角形ABC平移，使点A平移到点A'，画出平移后的三角形；（2）在图②中画一个格点三角形DER，使△DER∽△ABC且相似比为2：1；（3）在图③中画一个格点三角形PQR，使△PQR∽△ABC且面积之比2：1．34．如图，AD是Rt△ABC斜边上的高．若AB=4cm，BC=10cm，求BD的长．35．如图，在△ABC中，BD=3，CD=6，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为点D，求AD的长．人教新版九年级下学期《27.2 相似三角形》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，∠ACD=∠B，那么下列判断中，不正确的是（）A．△ADE∽△ABC B．△CDE∽△BCD C．△ADE∽△ACD D．△ADE∽△DBC 【分析】若是两个三角形中两组角对应相等，那么这两个三角形相似，根据此判定作判断即可．【解答】解：∵点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．故A正确；∵DE∥BC∴∠BCD=∠EDC∵∠B=∠DCE，∴△CDE∽△BCD．故B正确；∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴△ADE∽△ACD，故C正确；△ADE与△DBC不一定相似，故D不正确；本题选择不正确的，故选：D．【点评】本题考查相似三角形的判定定理，要熟记这些判定定理才能灵活运用．2．如图，点E为平行四边形ABCD边BC延长线上的一点，连结AE与CD相交于点F．则图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【分析】根据平行四边形的对边平行，利用“平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似”找出相似三角形，然后即可选择答案．【解答】解：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，所以，△ABE∽△FCE，△FCE∽△ADF，△ADF∽△ABE，共3对．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定，平行四边形的对边互相平行的性质，要注意全等三角形是相似三角形的特殊情况．3．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列哪些条件，①∠AED=∠B②=③=，使△ADE与△ACB一定相似（）A．①②B．②C．①③D．①②③【分析】根据相似三角形的判定方法即可一一判断；【解答】解：∵∠A=∠A，∠AED=∠B，∴△AED∽△ABC，故①正确，∵∠A=∠A，=，∴△AED∽△ABC，故③正确，由②无法判定△ADE与△ACB相似，故选：C．【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．4．如图，下列四个选项不一定成立的是（）A．△COD∽△AOB B．△AOC∽△BOD C．△DCA∽△BAC D．△PCA∽△PBD 【分析】利用圆周角定理、园内接四边形的性质一一判断即可；【解答】解：∵∠OCD=∠OAB，∠COD=∠AOB，∴△COD∽△AOB．同法可证：△AOC∽△BOD．∵∠PCA+∠ACD=180°，∠ACD+∠ABD=180°，∴∠PCA=∠PBD，∵∠P=∠P，∴△PCA∽△PBD，故选：C．【点评】本题考查相似三角形的判定、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5．身高1.6米的小明利用影长测量学校旗杆的高度，如图，当他站在点C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合在点A处，测量得到AC=2米，CB=18米，则旗杆的高度是（）A．8米B．14.4米C．16米D．20米【分析】因为人和旗杆均垂直于地面，所以构成相似三角形，利用相似比解题即可．【解答】解：设旗杆高度为h，由题意得=，解得：h=16米．故选：C．【点评】本题考查了考查相似三角形的性质和投影知识，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．6．两个相似六边形的相似比为3：5，它们周长的差是24cm，那么较大的六边形周长为（）A．40cm B．50cm C．60cm D．70cm【分析】由于相似多边形的周长比等于相似比，可设未知数，表示出两多边形的周长；然后根据它们的周长差为4cm，求出未知数的值．进而可求出较大多边形的周长．【解答】解：由题意，可设较小多边形的周长为3x，则较大多边形的周长为5x，则有：5x﹣3x=24，解得x=12，∴5x=60，故选：C．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形对应边的比相等、应面积的比等于相似比的平方．7．若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为4：25，则△ABC与△DEF周长之比为（）A．4：25B．2：5C．5：2D．25：4【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方先求出△ABC与△DEF的相似比，然后根据相似三角形的周长的比等于相似比解答即可．【解答】解：∵相似三角形△ABC与△DEF面积的比为4：25，∴它们的相似比为2：5，∴△ABC与△DEF的周长比为2：5．故选：B．【点评】本题主要考查了相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比的性质，熟记性质是解题的关键．8．如果两个相似三角形对应高的比是4：9，那么它们的面积比是（）A．4：9B．2：3C．16：81D．9：4【分析】相似三角形对应高的比等于相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题；【解答】解：∵两个相似三角形对应高之比为4：9，∴它们的相似比为4：9，∴面积比=（）2=16：81．故选：C．【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．9．已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的周长为16，则△DEF的周长为（）A．2B．4C．8D．32【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比求解即可．【解答】解：设△DEF的周长为x，∵△ABC∽△DEF，相似比为2，∴16：x=2：1，解得，x=8．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟记性质是解题的关键．10．如图，在△ABC中，∠B=80°，∠C=40°，直线l平行于BC．现将直线l绕点A逆时针旋转，所得直线分别交边AB和AC于点M、N，若△AMN与△ABC 相似，则旋转角为（）A．20°B．40°C．60°D．80°【分析】若△AMN∽△ACB，则∠AMN=∠C=40°，再根据直线l平行于BC，可得∠ADE=∠B=80°，进而得到∠DFM=∠ADE﹣∠AMN=80°﹣40°=40°，即可得出旋转角的大小．【解答】解：如图，直线l绕点A逆时针旋转，所得直线分别交边AB和AC于点M、N，若△AMN∽△ACB，则∠AMN=∠C=40°，又∵直线l平行于BC，∴∠ADE=∠B=80°，∴∠DFM=∠ADE﹣∠AMN=80°﹣40°=40°，即直线l旋转前后的夹角为40°，∴旋转角为40°，故选：B．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质以及旋转的性质，解题时注意：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．11．如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是（）A．B．C．D．【分析】作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，先利用三角形面积公式计算出AH=3，设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3﹣x，再证明△AGF∽△ABC，则根据相似三角形的性质得=，然后解关于x的方程即可．【解答】解：解：作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，∵△ABC的面积是6，∴BC•AH=6，∴AH==3，设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3﹣x，∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴=，即=，解得x=，即正方形DEFG的边长为．故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在应用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算相应线段的长．也考查了正方形的性质．12．如图，在正方形ABCD中，以BC为边作等边△BPC，延长BP，CP分别交AD 于点E，F，连接BD、DP、BD与CF相交于点H，给出下列结论：①AE=CF；②∠BPD=135°；③△PDE∽△DBE；④ED2=EP•EB其中正确的是（）A．①②③④B．②③C．①②④D．①③④【分析】由正方形的性质、等边三角形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．【解答】解：∵△BPC是等边三角形，∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，在正方形ABCD中，∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°∴∠ABE=∠DCF=30°，∴AE=BE=CF；故①正确；∵PC=CD，∠PCD=30°，∴∠PDC=75°，∴∠FDP=15°，∵∠DBA=45°，∴∠PBD=15°，∴∠EDP=∠EBD，∵∠DEP=∠DEP，∴△DEP∽△BED，∴=，即ED2=EP•EB，故④正确；∵∠FDP=∠PBD=15°，∠ADB=45°，∴∠PDB=30°，而∠DFP=60°，∴∠PFD≠∠PDB，∴△PFD与△PDB不会相似；故③错误；∵∠PBD=15°，∠PBD=30°，∴∠BPD=135°，故②正确；故选：C．【点评】本题考查的正方形的性质，等边三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理．13．如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则NM：MC等于（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：5【分析】根据中位线定理证明△NDM∽△NBC后求解．【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，∴DM∥BC，DM=ME=BC．∴△NDM∽△NBC，==．∴=．故选：B．【点评】本题考查了三角形中位线定理及相似三角形的性质．本题关键是找准相似三角形，利用相似三角形的性质求解．二．填空题（共15小题）14．如图，在▱ABCD中，F为AD上一点，连结CF并交BA的延长线于一点E，则图中相似三角形共有3对．【分析】根据平行四边形的性质、相似三角形的判定定理判断．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴△AEF∽△BEC，△EBC∽△CDF，△AEF∽△DCF，故答案为3．【点评】本题考查的是平行四边形的性质、相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．15．为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，然后再在河岸上选点E，使得EC⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示，测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，那么这条河的大致宽度是100米．【分析】先可证明△ADB∽△EDC，然后依据相似三角形的性质求解即可．【解答】解：∵AB⊥BC，EC⊥BC，∴∠B=∠C=90°．又∵∠ADB=∠EDC，∴△ADB∽△EDC．∴，即．解得：AB=100米．故答案为：100米【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质与判定，依据相似三角形的性质列出比例式是解题的关键．16．有一块三角形的余料△ABC，它的高AH=40mm，边BC=80mm，要把它加工成一个矩形，使矩形的一边EF落在BC上，其余两个顶点DG分别在AB，AC 上，且DG=2DE，则矩形的面积为800mm2．【分析】如图，设AH交DG于点K．设DE=x，则DG=2x，利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．【解答】解：如图，设AH交DG于点K．设DE=x，则DG=2x，∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴=，∴=，∴x=20，∴DE=20，DG=40，∴矩形EFGD的面积为40×20=800mm2故答案为800【点评】本题考查相似三角形的性质和判定，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会构建方程解决问题．17．为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离树AB的树根7.2m的点E处，然后观测者沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树稍顶点A，再用皮尺量得DE=2.4m，观测者目高CD=1.6m，则树高AB约是 4.8m．【分析】如图容易知道CD⊥BD，AB⊥BE，即∠CDE=∠ABE=90°．由光的反射原理可知∠CED=∠AEB，这样可以得到△CED∽△AEB，然后利用对应边成比例就可以求出AB．【解答】解：由题意知∠CED=∠AEB，∠CDE=∠ABE=90°，∴△CED∽△AEB．∴=，∴=，∴AB=4.8米．故答案为：4.8m．【点评】考查了相似三角形的应用，本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质就可以求出结果．18．如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量的卡钳上A、D两端的距离为4cm，，则容器的内径BC=8cm．【分析】连接AD，BC，依题意得：△AOD∽△BOC，则其对应边成比例，由此求得BC的长度．【解答】解：如图，连接AD，BC，∵，∠AOD=∠BOC，∴△AOD∽△BOC，∴==又AD=4cm，∴BC=2AD=8cm．故答案是：8cm．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．19．两个相似五边形，一组对应边的长分别为1cm和2cm，如果它们的面积之和是50cm2，则较大的五边形面积是40cm2．【分析】根据相似多边形相似比即对应边的比，面积的比等于相似比的平方，即可解决．【解答】解：设较大五边形与较小五边形的面积分别是m，n．则．因而n=m．根据面积之和是50cm2．得到m+m=50．解得：m=40cm2．故答案为；40【点评】本题考查相似多边形的性质．面积之比等于相似比的平方．20．若一个矩形截去两个以短边长为边长的正方形后得到的矩形与原矩形相似，则这个矩形的长与宽之比为1+．【分析】利用相似多边形的相似比相等列出方程求解．【解答】解：设矩形的长是a，宽是b，则AE=EH=b，DH=a﹣2b，∵矩形ABCD∽矩形HDCG，∴=，即=，整理得：a2﹣2ab﹣b2=0，两边同除以b2，得（）2﹣﹣1=0，解得，=1+或=1﹣（舍去）∴长与宽的比为1+，故答案为：1+．【点评】本题考化成了相似多边形的性质，根据相似得到方程，解方程是解决本题的关键．21．如图，菱形ABCD的周长为12，∠DAB=60°，对角线AC上有两点E和F（点E在点F的左侧），且要使四边形DEBF与菱形ABCD相似，则AE的长为．【分析】如图连接BD交AC于O．解直角三角形求出OA、OE即可解决问题．【解答】解：如图连接BD交AC于O．∵四边形ABCD是菱形，周长为12，∴AB=BC=CD=AD=3，BD⊥AC，∵∠DAB=60°，∴∠DAO=∠DAB=30°，∴OD=AD=，AO=OD=，∵四边形DEBF与菱形ABCD相似，∴∠EDF=∠DAB=60°，∴∠EDO=∠EDF=30°，∴OE=OD=，∴AE=OA﹣OE=﹣=，故答案为．【点评】本题考查菱形的性质、相似多边形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．22．沿一张矩形纸较长两边的中点将纸折叠，所得的两个矩形仍然与原来的矩形相似，则原矩形纸的长、宽之比是：1．【分析】先表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，然后求解．【解答】解：设原来矩形的长为x，宽为y，则对折后的矩形的长为y，宽为，∵得到的两个矩形都和原矩形相似，∴x：y=y：，解得x：y=：1．故答案为：：1．【点评】本题主要利用相似多边形对应边成比例的性质，需要熟练掌握．23．如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则点D到线段AB的距离等于（结果保留根号）．【分析】先根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形ADE的面积，再根据等边三角形的面积公式求出其边长，进而求出点D到线段AB的距离．【解答】解：∵△ABC∽△ADE，AB=2AD，∴=（）2=4，=，∵S△ABC=，∴S△ADE∵△ABC是等边三角形，△ABC∽△ADE，∴△ADE是等边三角形，∴AD2=，∴AD=1．如图，过点D作DH⊥AB于H．在△ADH中，∵∠HAD=45°，∴DH=AD•sin∠HAD=1×=．故答案为．【点评】此题考查了相似三角形的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数，解此题的关键是根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形ADE的面积，求出边长AD．24．已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1=60°，对角线A1C1、B1D1相交于点O，以点O为坐标原点，分别以OB1，OA1所在直线为x轴、y轴建立如图所示的直角坐标系，以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在y轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，A n，则点A2018的坐标为（0，32017）【分析】先根据菱形的性质求出A1的坐标，根据勾股定理求出OB1的长，再由锐角三角函数的定义求出OA2的长，故可得出A2的坐标，同理可得出A3的坐标，找出规律即可得出结论．【解答】解：∵菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1=60°，∴OA1=A1B1•sin30°=2×=1，OB1=A1B1•cos30°=2×=，∴A1（0，1）．∵1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，∴OA2===3，∴A2（0，3）．同理可得A3（0，9）…∴A2018（0，32017）．故答案为：（0，32017）．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，熟知相似多边形的对应角相等是解答此题的关键．25．如图，△ABC的顶点在1×3的正方形网格的格点上，在图中画出一个与△ABC相似但不全等的△DEF（△DEF的顶点在格点上），则△DEF的三边长分别是，2，．【分析】直接利用网格结合勾股定理以及相似三角形的判定方法得出答案．【解答】解：如图所示：△ABC∽△DEF，DE=，ED=2，EF=．故答案为：，2，．【点评】此题主要考查了相似变换，正确得出对应边的比值是解题关键．26．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，若BD=1，AD=3，则CD=9．【分析】先根据题意得出△ABD∽△CAD，然后根据相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°．∵AD⊥BC于点D，∴∠B+∠BAD=90°，∠C+∠CAD=90°，∴∠BAD=∠C，∠B=∠CAD，∴△ABD∽△CAD，∴AD2=BD•CD，∵BD=1，AD=3，∴CD=9，故答案为：9【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，难度一般，解答本题的关键是根据垂直证明三角形的相似，根据对应变成比例求边长．27．如图，CD是Rt△ABC中斜边上的高，已知AD=6，BD=3，则CD=3．【分析】根据同角的余角相等证明∠DCB=∠CAD，利用两角对应相等证明△ADC ∽△CDB，列比例式可得结论．【解答】解：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠DCB=90°，∵CD是高，∴∠ADC=∠CDB=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°，∴∠DCB=∠CAD，∴△ADC∽△CDB，∴，∴CD2=AD•BD，∵AD=6，BD=3，∴CD=故答案为：3【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是关键．28．已知CD是Rt△ABC斜边上的高，若AB=25，BC=15，则BD的长为9．【分析】根据射影定理计算即可．【解答】解：由射影定理得，BC2=BD•AB，则BD==9，故答案为：9．【点评】本题考查的是射影定理，直接三角形每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．三．解答题（共7小题）29．在正方形ABCD中，BC=2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P．（1）求PD的长；（2）点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE=45°．若PF=，求CE的长．【分析】（1）如图作FK⊥AD于K，FH⊥AB于H．利用勾股定理求出DM，再证明==2即可解决问题；（2）由△AMP∽△FDE，推出=，即可解决问题；【解答】解：（1）如图作FK⊥AD于K，FH⊥AB于H．∵四边形ABCD是正方形，∴∠PAD=∠PAB=45°，∵PK⊥AD，PH⊥AB，∴PK=PH，∴===，∴AB=AD=2，AM=BM=1，∴DM=，∴=2，∴PD=×=．（2）∵PF=，PD=，DM=，∴DF=，PM=，∵DE∥AM，∴∠AMP=∠EDF，∵∠DFE=∠MAP=45°，∴△AMP∽△FDE，∴=，∴=，∴DE=，∴EC=2﹣=．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、角平分线的性质定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用面积法探究线段之间的关系，属于中考常考题型．30．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB，垂足为D．求BD的长．【分析】先证明△ADE∽△ACB，得出对应边成比例，可求出AD的长解决问题；【解答】解：∵ED⊥AB，∴∠ADE=90°=∠C，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴=，即=，解得：AD=4，∴BD=AB﹣AD=6．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质；熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．31．如图是一个3×8的网格图，每个小正方形的边长均为1，三个顶点都在小正方形的顶点上的三角形叫做格点三角形，图中格点△ABC的三边长分别为，2、，请在网格图中画出三个与△ABC相似但不全等的格点三角形，并求与△ABC相似的格点三角形的最大面积．【分析】依据格点△ABC的三边长分别为，2、，将该三角形的各边扩大一定倍数，即可画出与△ABC相似但不全等的格点三角形，进而得出与△ABC 相似的格点三角形的最大面积．【解答】解：如图所示：如图所示，格点三角形的面积最大，S=2×8﹣×2×3﹣×1×5﹣×1×8=6.5【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的判定方法得出是解题关键．把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．32．如图在Rt△ABC中，∠C=90°，在AB边上求作一点P，使得△BPC∽△BCA （用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）【分析】如图，以点B为圆心、BC为半径画弧，以点A为圆心，AC为半径画弧，两条弧的交点K与点C的连线交AB于P，点P即为所求．【解答】解：如图，以点B为圆心、BC为半径画弧，以点A为圆心，AC为半径画弧，两条弧的交点K与点C的连线交AB于P，点P即为所求．理由：由作图可知：AK=AC，BK=BC，∴AB垂直平分线段KC，∵∠CPB=∠ACB=90°，∠B=∠B，∴△BPC∽△BCA【点评】本题考查作图﹣相似变换，线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．33．网格中每个小正方形的边长都是1．（1）将图①中的格点三角形ABC平移，使点A平移到点A'，画出平移后的三角形；（2）在图②中画一个格点三角形DER，使△DER∽△ABC且相似比为2：1；（3）在图③中画一个格点三角形PQR，使△PQR∽△ABC且面积之比2：1．【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用相似三角形的性质得出对应点长度进而得出答案；（3）直接利用相似三角形的性质得出对应点长度进而得出答案．【解答】解：（1）如图①所示：△A′B′C′即为所求；（2）如图②所示：△DER即为所求；（3）如图③所示：△PQR即为所求．【点评】此题主要考查了相似变换以及平移变换，正确得出对应边长是解题关键．34．如图，AD是Rt△ABC斜边上的高．若AB=4cm，BC=10cm，求BD的长．【分析】根据射影定理列出算式，代入数据计算即可．【解答】解：∵AD是Rt△ABC斜边上的高，∴根据射影定理可知，AB2=BD•BC，代入数据得：．【点评】本题考查的是射影定理的应用，射影定理：①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．35．如图，在△ABC中，BD=3，CD=6，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为点D，求AD的长．【分析】根据射影定理得到AD2=CD•BD，代入计算即可得到答案．【解答】解：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴AD2=CD•BD=18，∴AD=3，【点评】本题考查的是射影定理的应用，直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．。