江苏省扬州市2019届高三上学期期中考试数学Word版含答案

2019 学年度第一学期高三期中调研测试数学试题Ⅰ（全卷满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．已知集合 A { x|| x | 2} ，B { x |3x 2 1} ，则 A B = ▲．2．已知复数z满足iz 1 3i （i 为虚数单位），则z = ▲．3．命题“R,sin 1 ”的否定是▲．4．若1sin , [2 ,3 ]2 2，则▲．x y 2 05．设x，y 满足约束条件2x y 5 0 ，则z 3x 2y的最大值为▲．y 26．已知双曲线22 y 1x 的一条渐近线与直线x 2y 3 0平行，则实数 a ▲．a7．在ABC 中，若AB 1，BC 2，CA 5 ，则AB BC BC CA CA AB 的值是▲．8．已知函数 f (x)xe ( x 0)x 1 ( x 0)，则不等式 2f (x ) f (2 x) 的解集为▲．9．将函数 f (x) A s in( x )( A 0, 0, ) 图象上每一点的横坐标变为原2 2来的 2 倍（纵坐标不变），然后把所得图象上的所有点沿x 轴向右平移个单位，得到3 函数y 2sin x的图象，则 f ( ) ▲．10 ．已知直线x y 3 0 与圆 2 2 2O: x y r( r 0 相)交于M , N 两点，若OM ON 3 ，则圆的半径r ▲．11．若x轴是曲线f (x) ln x kx 3的一条切线，则k ▲．112．已知定点M ( 1,2) ，动点N 在单位圆 2 2 1x y 上运动，以OM ，ON 为邻边作平行四边形OMPN ，则点P 到直线3x 4y 10 0距离的取值范围是▲．13．ABC 中，tan 1A ，3 B ．若椭圆 E 以AB 为长轴，且过点 C ，则椭圆 E 的离4心率是▲．14．实数a 、b 、c满足2 2 2 5a b c ，则26ab 8bc 7c 的最大值为▲．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14 分）设函数( ) sin( ) cosf x x x．4 6 4（1）求 f (x) 的单调增区间；（2）若x (0, 4) ，求y f (x) 的值域．16．（本小题满分14 分）C 在ABC 中，角A，B，C 的对边分别为 a ，b ，c，向量(cos ,sin )m C ，2 Cn (sin ,cos C) ，且m/ /n ．2（1）求角 C 的大小；（2）若 2 2 2 2a b c ，求tan A的值．17．（本小题满分14 分）22 2x y 1如图，已知椭圆: 1( 0)C a b．过原点的直线与椭圆 C 交，离心率为2 22 a b于A，B 两点（ A ，B 不是椭圆 C 的顶点）．点D 在椭圆C 上，且AD AB ．（1）若椭圆 C 的右准线方程为：x 4 ，求椭圆 C 的方程；（2）设直线BD 、AB 的斜率分别为k 、1 k ，求2k1k2的值．yADO xB（17 题图）18．（本小题满分16 分）有一块三角形边角地，如图中ABC ，其中AB 8（百米），AC 6 （百米），A 60 ．某市为迎接2500 年城庆，欲利用这块地修一个三角形形状的草坪（图中AEF ）供市民休闲，其中点 E 在边AB 上，点 F 在边AC 上．规划部门要求AEF 的面积占ABC 面积的一半，记AEF 的周长为l （百米）．（1）如果要对草坪进行灌溉，需沿AEF 的三边安装水管，求水管总长度l 的最小值；（2）如果沿AEF 的三边修建休闲长廊，求长廊总长度l 的最大值，并确定此时 E 、F 的位置．AFECB（18 题图）19．（本小题满分16 分）3已知直线x 2y 2 0 与圆 2 2C : x y 4y m 0相交，截得的弦长为2 5 5．（1）求圆 C 的方程；（2）过原点O 作圆C 的两条切线，与抛物线y x2 相交于M 、N 两点（异于原点）．证明：直线MN 与圆C 相切；（3）若抛物线 2y x 上任意三个不同的点P 、Q 、R，且满足直线PQ 和PR都与圆C 相切，判断直线QR 与圆C 的位置关系，并加以证明．20．（本小题满分16 分）已知函数 3 3f (x) | x 1| x ax (a R) ．（1）解关于字母a的不等式 2[ f ( 1)] f (2) ；（2）若a 0，求 f (x) 的最小值；（3）若函数 f (x) 有两个零点x1,x2 ，试判断 f (x1x2 ) 的符号，同时比较 f (x1x2 ) 与a 1的大小，并说明理由．2015-2016 学年度第一学期高三期中调研测试数学试题Ⅱ4（全卷满分40分，考试时间30分钟）2015．11 21．（本小题满分10 分）已知矩阵A 1ba2，属于特征值 4 的一个特征向量为23，求 2A ．22．（本小题满分10 分）3 个女生，4 个男生排成一排，记X表示相邻女生的个数，求随机变量X 的概率分布及数学期望．23．（本小题满分10 分）如图，已知直三棱柱A BC A B C中，AB AC ，AB 3，AC 4 ，B1C AC1．1 1 1（1）求A A 的长．1（2）在线段B B1 存在点P ，使得二面角P A1C A大小的余弦值为33，求BPBB1A1的值．B C1 1APBC（23 题图）24．（本小题满分10 分）已知nk kF ( x) [( 1) C f ( x)] （n n kk 0*n N ）．k（1）若f (x) x ，求F2015 (2) 的值；k（2）若( )f xkxx k（x {0 ，1，⋯，n} ），求证：F (x)nn!(x1)( x2) (x n)．2015-2016 学年度第一学期高三期中调研测试题Ⅰ参考答案数学试2015．115一、填空题7 1．[1,2] 2．2 3．R,sin 1 4．3145．9 6．7． 528．( 2,1) 9．0 10． 6 11．e 12．[2, 4] 13．6314．45二、解答题15．解：（1）3 3f ( x) sin( x ) cos x sin x cos x 3 s in( x )4 6 4 2 4 2 4 4 3⋯⋯4分∵ 2 2k x k ∴2 43 2 2 108k x 8k ，k Z 3 3∴f (x) 的单调增区间为：2 10[ 8k, 8k ]( k Z)⋯⋯7分3 3（2）∵x (0,4) ∴2x ∴3 4 3 33sin( x ) 12 4 3∴f (x) 的值域为：( 3 , 3]2 ⋯⋯14分16．解：（1）∵m/ /n ∴C2 2cos C sin 0 ⋯⋯3分2∴ 2 1 cos Ccos C 0 整理得：2122cos C cos C 1 0 ，解得：cosC 或cos C 12∵C (0, ) ∴ C ⋯⋯7分3（2）∵ C ∴32 2 2 2 cos 2 2c a b ab a b ab3∵ 2 2 2 2a b c ∴2 2 2 2 2a b a b ab ∵b 0 ∴a 3b ∴c 7b ⋯⋯10分∴cos A2 2 27b b 9b 122 7b 2 7∵A (0, ) ∴tan A 3 3 ⋯⋯14分17．解：（1）∵分e2acca412，解得：ac21∴ 2 3b ∴椭圆方程为：2 2x y4 31 ⋯⋯6（2）法（一）设A( x ,y ) ，D(x2 ,y2) ，则B( x1, y1) ，∵A ，D 在椭圆上1 1∴2 2x y1 12 2a b2 2x y2 22 2a b111 1∴ 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2(x x )(x x ) ( y y )( y y ) 0a b∴ 1 12 2a bk kAD BD0 e∵ca12∴22ba34∴1k34k AD⋯⋯11分63∵AD AB ∴k21kAD∴k4k 31 ADk21 4kAD⋯⋯14分法（二）设A(x , y )，D (x1, y1)，则B( x0 , y0)0 0则k kAD BD2 2x x2 1 2 0b (1 ) b (1 )2 2 2 2 2y y y y y y a a b1 0 1 0 1 02 2 2 2 2x x x x x x x x a1 0 1 0 1 0 1 0，下同法（一）18．解：（1）设A E x（百米）∵1S S ∴AEF ABC21 1 1AE AF sin A AB AC sin A2 2 224x∵0 x 8240 6x∵AB 8，AC 6 ∴∴4 x 8 ⋯⋯2分AF∵AEF 中，224 24 242 2 2 2EF x ( ) 2x cos60 x 242x x x∴224 242l x x 24, x [4,8]2x x⋯⋯5分224 242l x x2x x24 2 24 2 24 24 6 6 ，当且仅当x 2 6 时取“=”∴l⋯⋯8分min 6 6 （2）由（1）知：224 242l x x 24, x [4,8]2x x令24t x ,x[4,8]x∴t ' 1224 x 24 (x 2 6)( x 2 6)2 2 2x x x列表得：x (4,2 6) 2 6 (2 6,8)t ' 0t 极小值4 6且x 4时，t 10 ；x 8时，t 11，则t[4 6,11] ⋯⋯12 分2 72l t t 在[4 6,11]上单调增∴当t 11时，l max 18，此时AE 8, AF 3 答：水管总长度l 的最小值为6 6 百米；当点 E 在A 处，点F 在线段A C 的中点时，长廊度l 的最大值为18 百米．⋯⋯16 分总长719．解：（1）∵C (0, 2) ∴圆心C 到直线x 2y 2 0 的距离为| 0 4 2 | 2d ，5 5∵截得的弦长为2 55∴r 22 2 5 2( ) ( ) 15 5∴圆C 的方程为： 2 ( 2)2 1x y ⋯⋯4分（2）设过原点的切线方程为：y kx ，即kx y 0 ∴|02|2k 11 ，解得：k 3∴过原点的切线方程为：y 3x，不妨设y 3x与抛物线的交点为M ，则y 3x2y x，解得：M ( 3,3) ，同理可求：N( 3,3) ∴直线MN : y 3 ⋯⋯7分∵圆心C (0, 2) 到直线MN 的距离为 1 且r 1 ∴直线MN 与圆C 相切；⋯⋯9分（3）直线QR 与圆C 相切．证明如下：设 2 2 2P(a, a ), Q(b, b ), R(c, c ) ，则直线PQ 、PR 、QR 的方程分别为：PQ ：(a b)x y ab 0，PR ：(a c)x y ac 0 ；QR ：(b c)x y bc 0∵PQ 是圆C 的切线∴| 2 ab|2(a b) 11 ，化简得：2 2 2(a 1)b 2ab 3 a 0 ①∵PR 是圆C 的切线，同理可得： 2 2 2(a 1)c 2ac 3 a 0 ②⋯⋯12分则b,c 为方程 2 2 2(a 1)x 2ax 3 a 0的两个实根∴22a 3 ab c ,bc2 2a 1 a 1∵圆心到直线QR 的距离为：23 a|2|2| 2 bc| a2 1 a 1 1d r2 2 4 2(b c) 1 4a a 2a 112 2(a 1)∴直线QR 与圆C 相切．⋯⋯16 分20．解：（1）∵ 2[ f ( 1)] f (2) ∴2(1 a) 15 2a，即 24 14 0a a ，解得：2 3 2 a 2 3 2 ．⋯⋯3分8（2）∵ 3 3f (x) | x 1| x ax 1 ax, x 132x ax 1,x 1∴f '(x)a, x 126x a, x 1a a 2设x ，若 6 a 0 ，则0 16x a 0 ，则，6 6∴当x 1时， f '(x) 0 ，当x 1时，f '( x) 0 ，∴f ( x) 在( ,1)上单调减，在(1, ) 上单调增，故函数 f (x) 有最小值f (1) a 1；⋯⋯ 6 分a若a 6，则1，∴当x 1时， f '(x )0，当16ax 时， f '(x) 0 ，当6a ax 时， f '(x ) 0，又 f (x) 是连续函数，∴ f (x) 在( , )6 6上单调减，在a ( , )6a 2a a af ( ) 1 6a 1；上单调增，故函数 f (x) 有最小值6 3 6 9a 1 ( 6 a 0)综上可得：f (x) amin9 6a 1 (a 6)⋯⋯9分（3）由（2）知，当a 0 时， f '( x) 0 ，函数 f (x) 在R上单调递增，至多只有一个零点，不合题意；当 1 a 0 时，f (x) a 1 0 ，不可能有两个零点；⋯⋯11分min若a 1，∴ a 1，则f (0) 1 0, f (1) a 1 0, f ( a) a a 1 0，则f (x) 在(0,1) ，(1, a ) 分别有一个零点，不妨设x x ∴0 x1 1 ，1 2 1 x a ，2且1 ax 0132x ax 1 02 2∴ax11a32x12x2∴221 xx x ( )x1 2 2 3a 2x 12又2 3 2 2x 2x x 1 (x 1)(2x x 1)2 2 2 2 2 2x x 1 1 01 2 3 3 32x 1 2x 1 2x 12 2 2，∴x1 x1x2 1，又 f (x) 在(0,1) 上单调递减，∴ f (1) f (x x ) f (x ) ，即a 1 f (x1x2) 0 ．⋯⋯161 2 1分数学试题Ⅱ参考答案921．由条件，1 a 2 24b 2 3 3∴23a 82b 6 12，解得ab23⋯⋯ 5分∵1 2A ，∴3 22 7 6A ⋯⋯10分9 1022．X 的可能取值有0, 2,3P( X 0)4 3A A4 57A727；P( X 2)2 4 2A A A3 4 57A747；P( X 3)3 5A A3 57A717⋯⋯ 6分随机变量X 的概率分布为：X 0 2 32 4 17 7 7 P2 4 1 11 E( X ) 0 2 37 7 7 7答：数学期望为117 ．⋯⋯10 分23．（1）以AB, AC, AA1所在直线为x, y, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设A A1 t ，则A(0,0,0) ，C1(0,4, t) ，B1(3,0, t) ，C (0,4,0) ∴AC1 (0,4, t) ，B1C ( 3,4, t)BC AC 1 1 AC BC ，即1 1 0216 t 0 ，解得t 4，即AA 的长为4 ．⋯⋯ 31分（2）设P(3,0, m) ，又A(0,0,0) ，C (0,4,0) ，A1 (0,0,4)A1C (0,4, 4) ，A P(3,0, m 4) ，且0 m 41设n(x, y, z) 为平面PAC 的法向量1n A1C,n A1P∴4y 4z 03x (m 4)z 0，取z 1，解得4 my 1,x ，3∴4 mn ( ,1,1) 为平面3PAC 的一个法向量．⋯⋯ 6分1又知AB (3,0,0) 为平面ACA 的一个法向量，则c os n, AB14 m4 m 3 1 1 ( )32∵二面角P AC A大小的余弦值为1 133，∴4 m 34 m3 1 1 ( )323 ，10解得：m 1 BPBB114⋯⋯10分24．（1）n nk k k k nF x C f x x C x ∴F2015 (2) 1 ⋯⋯3( ) [( 1) ( )] [( ) ] (1 )n n k nk 0 k 0分（2）①n 1时，左边 1x 1x 1 x 1右边②设n m时，对一切实数x(x 0, 1, , m) ，k mk k( 1) Cmx m!x k (x1)( x2) ( x m)有，⋯⋯ 5 分那么，当n m 1时，对一切实数x(x 0, 1, , (m 1)) ，有m 1 mx x xk k k k k 1 m 1( 1) C 1 ( 1) [C C ] ( 1)m 1 m mx k x k x mk 0 k 11m m 1 m mx x x x 1 x k kk k 1 k k k k( 1) C ( 1) C ( 1) C ( ( 1) C ) m m m m x k x k x k x 1 k x 1 k 0k 1 k 0 k 0m! m! x(x1)( x2) (x m) (x2)( x 3) (x 1 m) x 1m![( x m 1) x] (m 1)!(x 1)( x2) (x m)( x m 1) ( x 1)( x 2) ( x m 1)即n m 1时，等式成立．故对一切正整数n及一切实数x(x 0, 1, , n) ，有k nk k( 1) Cnx n!x k (x1)( x2) (x n)⋯⋯10 分...11...。

2019届江苏扬州中学等七校高三上期中联考数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、填空题1. 已知复数（ i 为虚数单位）．在复平面内，对应的点在第___________ 象限．2. 某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段： [40，50），[50，60），…，[90，100]后得到频率分布直方图（如右图所示），则分数在[70，80）内的人数是 _______ ．3. 在△ ABC的边AB上随机取一点P ，记△ CAP和△ CBP的面积分别为S 1 和S 2 ，则的概率是______________ ．4. 执行下边的伪代码，输出的结果是____________________ ．5. 设等差数列的前项和为，若，则______________ ．6. 已知函数是奇函数，当时，，且，则_________ ．7. 设函数的部分图象如图所示.则 =8. 如图，在的方格纸中，若和是起点和终点均在格点的向量，则向量与的夹角余弦值是________ ．9. 已知0＜α＜β＜π，且，则tan （β－α）的值为______________ ．10. 正数满足，则的最小值为____________________ ．11. 已知直线与圆M：相交于A，C两点，点B，D分别在圆M上运动，且位于直线AC两侧，则四边形ABCD面积的最大值为___________ ．12. 如图，梯形中，，，，若，则___________ ．13. 设为数列的前项和，，其中是常数．若对于任意的成等比数列，则的值为____________________ ．14. 若，且对任意的恒成立，则实数的取值范围为______________ ．二、解答题15. 在中，已知，向量，，且.（ 1 ）求A的值；（ 2 ）若点D在边BC上，且，AD ＝，求△ ABC的面积．16. 在正三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中，点 D 是 BC 的中点．（ 1 ）求证：A 1 C ∥平面 AB 1 D ；（ 2 ）设 M 为棱 CC 1 的点，且满足BM ⊥ B 1 D ，求证：平面AB 1 D ⊥平面ABM ．17. 已知椭圆C: ，离心率为，左准线方程是，设 O 为原点，点 A 在椭圆C上，点 B 在直线 y＝2 上，且OA ⊥ OB ．（ 1 ）求椭圆C 的方程；（ 2 ）求Δ AOB 面积取得最小值时，线段AB的长度；18. 如图，某广场中间有一块边长为 2百米的菱形状绿化区 ABCD，其中 BMN 是半径为 1百米的扇形，．管理部门欲在该地从 M 到 D 修建小路：在上选一点 P （异于 M、N 两点），过点 P 修建与 BC 平行的小路 PQ．（ 1 ）若，求的长度；（ 2 ）当点 P 选择在何处时，才能使得修建的小路与 PQ 及 QD 的总长最小？并说明理由．19. 设数列的前项和为，且满足 .（ 1 ）求数列的通项公式；（ 2 ）若数列满足，且，求数列的通项公式；（ 3 ）设，数列的前n项和为 .求 .20. 对于两个定义域均为D的函数f （ x ），g （ x ），若存在最小正实数M，使得对于任意x∈D，都有|f （ x ）－g （ x ）|≤M，则称M为函数f （ x ），g（ x ）的“差距”，并记作||f （ x ），g （ x ） ||．（ 1 ）求f （ x ）＝sinx （x∈R ），g （ x ）＝cosx （x∈R ）的差距；（ 2 ）设f （ x ）＝（x∈[1, ] ），g （ x ）＝mlnx（x∈[1, ] ）．（e≈2.718 ）①若m＝2，且||f （ x ），g （ x ） ||＝1，求满足条件的最大正整数a；②若a＝2，且||f （ x ），g （ x ） ||＝2，求实数m的取值范围．21. （选修４－２：矩阵与变换）已知a、b∈R ，若M＝所对应的变换T把直线2x－y＝3变换成自身，试求实数a、b.22. （选修４－４：坐标系与参数方程）在极坐标系中，已知点P ，直线，求点P到直线的距离．23. 已知曲线C：y 2 ＝2x－4.（ 1 ）求曲线C在点A （ 3 ，）处的切线方程；（ 2 ）过原点O作直线l与曲线C交于A、B两不同点，求线段AB的中点M的轨迹方程．24. 已知整数n≥ 4，集合M＝{1 ，2，3，…，n} 的所有含有 4 个元素的子集记为A 1 ，A 2 ，A 3 ，…， . 设A 1 ，A 2 ，A 3 ，…，中所有元素之和为S n . （ 1 ）求并求出S n ；（ 2 ）证明：S 4 ＋S 5 ＋…＋S n ＝ .参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第22题【答案】第24题【答案】。

江苏省扬州市2019届高三上学期期中考试数学试卷一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知i 为虚数单位，若复数z 满足z1－2i ＝1＋i ，则复数z ＝________．2. 函数y ＝4－2x 的定义域为________．3. 已知x ，y ∈R ，直线(a －1)x ＋y －1＝0与直线x ＋ay ＋2＝0垂直，则实数a 的值为________．4. 已知函数f (x )为偶函数，且x >0时，f (x )＝x 3＋x 2，则f (－1)＝________．5. 已知向量m ＝(1，a )，n ＝(4a，3a ＋1)．若m ∥n ，则实数a ＝________．6. 设△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a ＝26，b ＝6，cos B ＝－12，则角A 的大小为________．7. 设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤1，x ＋2y ≥1，则3x ＋2y 的最大值为________．8. 在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2＝2px (p >0)上横坐标为1的点到焦点的距离为4，则该抛物线的准线方程为________．9. 已知条件p ：x >a ，条件q ：1－xx ＋2>0.若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．10. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2m －y 2m ＋1＝1的一个焦点为(3，0)，则双曲线的渐近线方程为__________．11. 若函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )在[－π，0]上的单调增区间为________．12. 在△ABC 中，AH 是边BC 上的高，点G 是△ABC 的重心．若△ABC 的面积为6＋1，AC ＝5，tan C ＝2，则(AH →＋BC →)·(GB →＋GC →)＝________．13. 已知正实数a ，b 满足2a ＋b ＝3，则2a 2＋1a ＋b 2－2b ＋2的最小值是________．14. 已知函数f (x )＝22x －x 2，g (x )＝ln x －ax ＋5(e 为自然对数的底数，e≈2.718)．对于任意的x 0∈(0，e)，在区间(0，e)上总存在两个不同的x 1，x 2，使得g (x 1)＝g (x 2)＝f (x 0)，则整数a 的取值集合是__________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，已知3AB →·AC →＝|AB →||AC →|，设∠BAC ＝α. (1) 求tan α的值；(2) 若cos β＝35，β∈(0，π2)，求cos(β－α)的值．16. (本小题满分14分) 已知a ∈R ，函数f (x )＝a －1|x |.(1) 若f (x )≤2x 对x ∈(0，2)恒成立，求实数a 的取值范围； (2) 当a ＝1时，解不等式f (x )≥2x .在平面直角坐标系xOy中，已知直线x－3y－10＝0与圆O：x2＋y2＝r2(r>0)相切．(1) 若直线l过点(2，1)且截圆O所得的弦长为26，求直线l的方程；(2) 已知直线y＝3与圆O交于A，B两点，P是圆上异于A，B的任意一点，且直线AP，BP与y轴相交于M，N点．判断点M，N的纵坐标之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．江苏省园博会有一中心广场，南京园、常州园都在中心广场的南偏西45°方向上，到中心广场的距离分别为 2 km 、2 2 km ；扬州园在中心广场的正东方向，到中心广场的距离为10 km.现规划建设一条笔直的柏油路穿过中心广场，且将南京园、常州园、扬州园到柏油路的最短路径铺设成鹅卵石路(如图(1)、(2))．已知铺设每段鹅卵石路的费用(万元)与其长度的平方成正比，比例系数为2.设柏油路与正东方向的夹角，即图(2)中∠COF 为θ(θ∈(0，π4))，铺设三段鹅卵石路的总费用为y (万元)．(1) 求南京园到柏油路的最短距离d 1关于θ的表达式； (2) 求y 的最小值及此时tan θ的值．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右准线方程为直线x ＝2，且两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形． (1) 求椭圆C 的方程；(2) 假设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于A ，B 两点．① 若A 为椭圆的上顶点，M 为线段AB 中点，连结OM 并延长交椭圆C 于点N ，且ON →＝62OM →，求OB 的长；② 若原点O 到直线l 的距离为1，并且OA →·OB →＝λ，当45≤λ≤56时，求△OAB 的面积S 的范围．已知函数f (x )＝ln xx ，g (x )＝x 2－2x .(1) 求f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程；(2) 若关于x 的不等式f 2(x )＋tf (x )>0有且仅有三个整数解，求实数t 的取值范围；(3) 若h (x )＝g (x )＋4xf (x )存在两个正实数x 1，x 2，满足h (x 1)＋h (x 2)－x 21x 22＝0，求证：x 1＋x 2≥3.附加题(满分40分，考试时间30分钟) 21. (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝kx ＋1在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0111对应的变换下得到的直线过点P (3，2)，求实数k 的值．22. (本小题满分10分)假定某人在规定区域投篮命中的概率为23，现他在某个投篮游戏中，共投篮3次．(1) 求连续命中2次的概率；(2) 设命中的次数为X ，求X 的分布列和数学期望E (X )．23. (本小题满分10分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，∠BCA＝90°，AC＝BC＝AA1＝A1C＝2，平面ACC1A1⊥平面ABC.现以边AC的中点D为坐标原点，平面ABC内垂直于AC的直线为x轴，直线AC 为y轴，直线DA1为z轴建立空间直角坐标系．(1) 求异面直线AB与A1C所成角的余弦值；(2) 求直线AB与平面A1BC所成角的正弦值．24. (本小题满分10分)已知正项数列{a n}满足a n＋1＝a n－a2n(n∈N*)．求证：(1) 0<a1<1，且当n≥2时，a n≤1n＋2；(2)【参考答案】1. 3－i2. (－∞，2]3. 124. 25. 16. π47. 38. x ＝－39. a ≤－2 10. y ＝±52x11. (－3，0)(区间开闭皆可) 12. 1 13.13514. {3，4，5，6，7} 15. 解：(1) 由3AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|，得3|AB →|·|AC →|cos α＝|AB →|·|AC →|，所以cos α＝13.因为0＜α＜π，所以sin α＝1－cos 2α＝1－（13）2＝23. 所以tan α＝ 2.(6分)(2) 因为cos β＝35，β∈(0，π2)，所以sin β＝45.(8分)由(1)知sin α＝23，所以cos (β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝35×13＋45×23＝33＋4615.(14分)16. 解：(1) ∵f (x )≤2x 对x ∈(0，2)恒成立，∴a ≤1x ＋2x 对x ∈(0，2)恒成立．∵1x ＋2x ≥22，当且仅当1x ＝2x ，即x ＝22时取等号， ∴a ≤2 2.(6分)(2) 当a ＝1时，f (x )＝1－1|x |，∵f (x )≥2x ，∴ 1－1|x |≥2x (*)．① 若x ＞0，则(*)可化为2x 2－x ＋1≤0，∴x ∈∅；(9分)② 若x ＜0，则(*)可化为2x 2－x －1≥0，解得x ≥1或x ≤－12.∵x ＜0，∴x ≤－12.(12分)由①②可得，(*)式的解集为(－∞，－12]．(14分)17. 解：∵ 直线x －3y －10＝0与圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切， ∴ 圆心O 到直线x －3y －10＝0的距离r ＝|10|1＋9＝10.(2分) (1) 记圆心到直线l 的距离为d ，∴d ＝10－6＝2.当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为x ＝2，满足题意；(3分)当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)，即kx －y ＋(1－2k )＝0， ∴d ＝|1－2k |1＋k 2＝2，解得k ＝－34，此时直线l 的方程为3x ＋4y －10＝0.(6分)综上，直线l 的方程为x ＝2或3x ＋4y －10＝0.(7分)(2) 设P (x 0，y 0)．∵ 直线y ＝3与圆O 交于A ，B 两点，不妨取A (1，3)，B (－1，3)，∴ 直线P A ，PB 的方程分别为y －3＝y 0－3x 0－1(x －1)，y －3＝y 0－3x 0＋1(x ＋1)．令x ＝0，得M (0，3x 0－y 0x 0－1)，N (0，3x 0＋y 0x 0＋1)，则y M ·y N ＝3x 0－y 0x 0－1·3x 0＋y 0x 0＋1＝9x 20－y 20x 20－1(*)．(13分)∵ 点P (x 0，y 0)在圆C上，∴x 20＋y 20＝10，即y 20＝10－x 20，代入(*)式，得y M ·y N ＝9x 20－（10－x 20）x 20－1＝10为定值．(15分)18. 解：(1) ∵∠COF ＝θ，南京园在中心广场的南偏西45°方向上，且到中心广场的距离为2 km ，∴∠AOE ＝π4－θ，∴d 1＝2sin (π4－θ)．(4分)(2) 分别设点B ，C 到直线EF 的距离为d 2，d 3.由(1)知d 2＝22sin (π4－θ)，d 3＝10sin θ，∴y ＝2{[2sin(π4－θ)]2＋[22sin (π4－θ)]2＋(10sin θ)2}＝20⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos （π2－2θ）2＋1－cos 2θ2 ＝20－10(sin 2θ＋cos 2θ)＝20－102sin (2θ＋π4)，θ∈(0，π4)．(9分)∵θ∈(0，π4)，∴ 2θ＋π4∈(π4，3π4)，∴ 当2θ＋π4＝π2时，y min ＝20－102(万元)．(12分)此时2θ＝π4，∴ tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝1，解得tan θ＝2－1.(14分)答：铺设三条鹅卵石路的总费用为(20－102)万元，此时tan θ的值为2－1.(15分) 19. 解：(1) 因为两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以a ＝2c . 由右准线方程为直线x ＝2，得a 2c ＝2，解得a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(4分)(2) ① 设B (x 1，y 1)，而A (0，1)，则M (x 12，1＋y 12)．因为ON →＝62OM →，所以N (6x 14，6（1＋y 1）4)．因为点B ，N 都在椭圆上，所以⎩⎨⎧x 212＋y 21＝1 ①3x 2116＋3（1＋y 1）28＝1 ②，将②式两边同时乘以83再减去①式，解得y 1＝13，x 21＝169.(8分)所以OB ＝x 21＋y 21＝169＋（13）2＝173.(9分) ② 由原点O 到直线l 的距离为1，得|m |1＋k2＝1，化简得1＋k 2＝m 2. 联立直线l 的方程与椭圆C 的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2，且Δ＝8k 2＞0.(11分)因为OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2 ＝(1＋k 2)2m 2－21＋2k 2－4k 2m 21＋2k 2＋m 2＝2m 2－2＋2k 2m 2－2k 2－4k 2m 2＋m 2＋2k 2m 21＋2k 2＝3m 2－2－2k 21＋2k 2＝1＋k 21＋2k 2＝λ， 所以k 2＝1－λ2λ－1.△OAB 的面积S ＝12×1×AB ＝121＋k 2|x 1－x 2|＝121＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝121＋k 28k 2（1＋2k 2）2＝2（1＋k 2）k 2（1＋2k 2）2＝2λ（1－λ）.(14分)因为S ＝2λ（1－λ）在⎣⎡⎦⎤45，56上为单调减函数，且当λ＝45时，S ＝225，当λ＝56时，S ＝106， 所以△OAB 的面积S 的范围是⎣⎡⎦⎤106，225.(16分)20. (1) 解：因为f (x )＝ln xx ，f (1)＝0，所以P 点坐标为(1，0)．又f ′(x )＝1－ln xx 2，f ′(1)＝1，则切线方程为y －0＝x －1，所以函数f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程为x －y －1＝0.(3分) (2) 解：f ′(x )＝1－ln xx 2(x ＞0)．由f 2(x )＋tf (x )>0，得f (x )[f (x )＋t ]>0.① 当t >0时，f (x )>0或f (x )<－t ，满足条件的整数解有无数个，舍去； ② 当t ＝0时，f (x )≠0，得x >0且x ≠1，满足条件的整数解有无数个，舍去；③ 当t <0时，f (x )<0或f (x )>－t ，当f (x )<0时，无整数解； 当f (x )>－t 时，不等式有且仅有三个整数解，又f (3)＝ln 33，f (2)＝f (4)＝ln 22，f (5)＝ln 55. 因为f (x )在(0，e)上递增，在(e ，＋∞)上递减， 所以f (5)≤－t <f (4)，即ln 55≤－t <ln 22，即－ln 22<t ≤－ln 55.所以实数t 的取值范围是－ln 22<t ≤－ln 55.(8分) (3) 证明：h (x )＝x 2－2x ＋4ln x .因为h (x 1)＋h (x 2)－x 21x 22＝0，所以x 21－2x 1＋4ln x 1＋x 22－2x 2＋4ln x 2－x 21x 22＝0， 即(x 1＋x 2)2－2(x 1＋x 2)＝x 21x 22＋2x 1x 1－4ln (x 1x 2)．令t ＝x 1x 2，φ(t )＝t 2＋2t －4ln t (t >0)，(11分) 则φ′(t )＝2t ＋2－4t ＝2（t －1）（t ＋2）t(t >0)．当t ∈(0，1)时，φ′(t )<0，所以函数φ(t )＝t 2＋2t －4ln t (t >0)在(0，1)上单调递减； 当t ∈(1，＋∞)时，φ′(t )>0，所以函数φ(t )＝t 2＋2t －4ln t (t >0)在(1，＋∞)上单调递增． 所以函数φ(t )＝t 2＋2t －4ln t (t >0)在t ＝1时，取得最小值，最小值为3.(14分)因为存在两个正实数x 1，x 2，满足h (x 1)＋h (x 2)－x 21x 22＝0，所以(x 1＋x 2)2－2(x 1＋x 2)≥3，即(x 1＋x 2)2－2(x 1＋x 2)－3≥0，所以x 1＋x 2≥3或x 1＋x 2≤－1. 因为x 1，x 2为正实数，所以x 1＋x 2≥3.(16分) 附加题21. k ＝－2.(10分)22. 解：(1) 设A i (i ＝1，2，3)表示第i 次投篮命中，A i 表示第i 次投篮不中；设投篮连续命中2次为事件A ，则P (A )＝P (A 1A 2A 3＋A 1A 2A 3)＝23×23×13＋13×23×23＝827.(4分)(2) 命中的次数X 可取0，1，2，3，则P (X ＝0)＝(1－23)3＝127，P (X ＝1)＝C 13(23)1(1－23)2＝29，P (X ＝2)＝C 23(23)2(1－23)1＝49，P (X ＝3)＝(23)3＝827. 故X 的分布列为(8分)所以E (X )＝1×29＋2×49＋3×827＝2.答：X 的数学期望为2.(10分)23. 解：(1) 根据题中空间直角坐标系可知A (0，－1，0)，C (0，1，0)，B (2，1，0)，A 1(0，0，3)，(1分)∴AB →＝(2，2，0)，A 1C →＝(0，1，－3)，∴ cos 〈AB →，A 1C →〉＝AB →·A 1C →|AB →||A 1C →|＝2×0＋2×1＋0×（－3）22＋22·（－1）2＋（3）2＝24.(3分)设异面直线AB 与A 1C 所成的角为α，则α∈(0，π2]，∴ cos α＝|cos 〈AB →，A 1C →〉|＝24.(4分)(2) 由(1)得A 1B →＝(2，1，－3)，BC →＝(－2，0，0)，设平面A 1BC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥A 1B →，n ⊥BC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1B →＝2x ＋y －3z ＝0，n ·BC →＝－2x ＝0，取z ＝1，则n ＝(0，3，1)．(7分)∴ cos 〈AB →，n 〉＝AB →·n |AB →||n |＝2×0＋2×3＋0×122＋22·（3）2＋12＝64.(9分)设直线AB 与平面A 1BC 所成的角为β，β∈(0，π2]，则sin β＝|cos 〈AB →，n 〉|＝64.(10分)24. 证明：(1) 由a 1－a 21＝a 2＞0，解得0＜a 1＜1.(1分) 下面用数学归纳法证明：当n ≥2时，a n ≤1n ＋2.① 当n ＝2时，a 2＝a 1－a 21＝－(a 1－12)2＋14≤14，所以不等式成立； ② 假设当n ＝k (k ≥2)时，不等式成立，即a k ≤1k ＋2，则当n ＝k ＋1时，有a k ＋1＝a k －a 2k ＝－(a k－12)2＋14≤－(1k ＋2－12)2＋14＝k ＋1（k ＋2）2＜k ＋1（k ＋1）（k ＋3）＝1（k ＋1）＋2.则当n ＝k ＋1时，不等式也成立．综合①②，当n ≥2时，都有a n ≤1n ＋2.(5分)(2) 记f (x )＝ln(1＋x )－x1＋x (x ＞0)，(6分)当x ＞0时，f ′(x )＝11＋x －1（1＋x ）2＝x （1＋x ）2＞0， 所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则f (x )＞f (0)＝0，即ln(1＋x )＞x1＋x .(8分)令x ＝1i ＋1(i ∈N *)，则1i ＋2＜ln i ＋2i ＋1＜ln i ＋1i ，从而有∑ni ＝2a i ＜∑ni ＝21i ＋2＜∑n i ＝2[ln (i ＋1)－ln i]＝ln (n ＋1)－ln 2＜ln (n ＋1)．(10分)。

扬州市2019—2020学年度第一学期期中调研测试试题高三 数学 参 考 答 案一、 填空题：1. {1,2,3,4}2.1122i - 3. 04.2y x =±5.56. 167.5 8. 110.32-11.12.⎡⎢⎣⎦13.12 14.21,3e e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦二、解答题： 15．解： (1)由103x x +<-得{}13A x x =-<<………………2分 0m =时,由240x -+≥得[]2,2,B =-………………4分(]1,2,A B ∴⋂=-………………7分(2)由22240x mx m -+-+≥得：{}22B x m x m =-+≤≤．………………9分 {}13A x x =-<<(][),13,R C A ∴=-∞-⋃+∞． ………………11分∵R B C A ⊆∴23m -≥,或21m +≤-， ∴5m ≥或3m ≤-． ∴实数m 的取值范围为(][),35,-∞-⋃+∞……………14分 16.解：53cos ,2,0=⎪⎭⎫⎝⎛∈απα,54sin =⇒α4tan 3α=………………………………2分41tan tan34tan()7441tan tan 1143παπαπα+++===--⋅-⋅………6分 （2）,2524cos sin 22sin ==ααα …………………………………8分.257sin cos 2cos 22-=-=ααα …………………………………10分则sin(2)sin 2cos cos 2sin 666πππααα+=+24717()25225250-+=⋅+-⋅=14分 17．解：（1）因为():3l y k x =+与圆C 相切，所以圆心C 到直线的距离2d ==， …………………………3分解得0k =或125k =所以斜率k 为0或125…………………………7分 （2）法一：当l 的倾斜角为45°时，:3l y x =+，令0x =，得3y =，所以()0,3B由()22324y x x y =+⎧⎪⎨+-=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩舍去，或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以D ⎝⎭…………………………10分则()3,3,AB BD ==⎝⎭，…………………………12分所以1λ==． …………………………15分法二：当l 的倾斜角为45°时，:3l y x =+，令0x =，得3y =，所以()0,3B 过点C 作AB 的垂线交AB 于点M ，则CM =BM2=，…………………………10分2MD ==，22BD =-……………12分 又AB ==所以1λ==…………………………15分法三：当l 的倾斜角为45°时，:3l y x =+，令0x =，得3y =，所以()0,3B 设()00,D x y因为AB BD λ=，点D 在第一象限，所以()()003,3,3x y λ=-，0λ>则()00333x y λλ=⎧⎪⎨=-⎪⎩，得00333x y λλ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即33,3D λλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭……………12分又点D 在圆上，所以2233324λλ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1λ=（舍去）或1λ= ……………15分18．解：设EF 中点为M ，连结OM ，则cos ,2sin OM AD θθ== （1）当3πθ=时，杠铃形图案的面积1222sin cos cos 323333S ππππ⎛⎫=-⨯⨯+ ⎪⎝⎭2233π=+…………5分 答：当3πθ=时，杠铃形图案的面积为2233π-+平方米．…6分（2）杠铃形图案的面积()22sin cos cos 3S θθθθθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭()'S θ=2222[1(cos sin )sin ]3θθθ---222(2sin sin )3θθ=-……9分因为5412ππθ≤≤，所以2212sin sin 2sin (sin )033θθθθ-=->， ()'0S θ>，()S θ单调递增…11分所以当4πθ=时，()S θ的最小值为22sin cos cos 44434S ππππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭123π=-+.答：杠铃形图案的面积的最小时为123π-+平方米．……15分19. 解：（1）设椭圆的焦距为2c因为线段F F 12为直径的圆与椭圆交于点P ⎝⎭所以25c =法一：())12,F F ，则1226a PF PF =+=，3a =所以2b ===则椭圆的方程为22194x y +=……………4分法二：又点P ⎝⎭在椭圆上所以22222215ab a b ⎧⎛⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨+=⎪⎪=+⎩，解得2294a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆的方程为22194x y +=……………4分（2）①因为直线y kx t =+=()2251t k =+ (ⅰ)由22194y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()22294189360k x ktx t +++-=因为直线与椭圆相切，所以()()()222184936940kt t k =--+=即22940k t -+=（ⅱ）联立（ⅰ）（ⅱ）得1252k t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩负值舍去……………10分②取BD 中点M ，连结OM ，则OM AB ⊥， 又AB DE =，所以M 为AE 中点法一：由1y kx ty x k =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得22,11kt t M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭所以()22212,11t k kt E k k ⎛⎫- ⎪- ⎪++⎝⎭代入椭圆方程化简得()422423621929k k t k k ++=-+()2242361929k k k +=-+设211m k =+> 则2236112042t m =⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，当2m =时，t 取最大值3，此时1k =．又1k =，3t =时，()()()()15240,3,1,2,,,2,1,3,01313A B C D E ⎛⎫---- ⎪⎝⎭ 符合题意，故t 的最大值为3． (不检验扣1分) ……………16分法二：则OM AB ⊥，M 为AE 中点所以OE OA t ==由22222194x y t x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得()22945t x -=，则22549x t =+ 又29x ≤，所以3t ≤，t 的最大值为3，此时1k =又1k =，3t =时，()()()()15240,3,1,2,,,2,1,3,01313A B C D E ⎛⎫---- ⎪⎝⎭ 符合题意，故t 的最大值为3． (不检验扣1分) ……………16分20.解：（1）()f x 的定义域为(0,).+∞ 当1a =时，21()ln 21,()2 2.f x x x x f x x x'=--++=--+(1) 1.f '∴=-所以，函数()f x 在1x =处的切线方程为2(1)y x -=--即30x y +-=………………2分（2）2()ln 22f x x ax ax a =--+-+，2221(),(0)ax ax f x x x-+'∴=->. 当0a =时,1()0.f x x'=-<()f x ∴是单调减函数. 符合 ………………3分当0a >时, ,()f x 若是单调增函数,则2221()0ax ax f x x-+'=-≥， 即22210(0)ax ax x -+≤>恒成立,这不可能;………………5分()f x 若是单调减函数,则2221()0ax ax f x x-+'=-≤， 即22210(0)ax ax x -+≥>恒成立,令2h(x)=221ax ax -+,其开口方向向上,对称轴方程为12x =, h(0)=10,> 故2min 111()()2()210,02222h x h a a a ==-⋅+≥∴<≤ 又,1,2.a Z a ∈∴=………………7分综上，满足条件的非负整数a 的值是0,1,2………………8分 （3）()()3g x f x x =+-2()ln (21)1g x x ax a x a ∴=--++--22(21)1(1)(21)1()221=ax a x x ax g x ax a x x x-++--'∴=--++=--①当0a …时，210ax x-<. 当01x <<时，()0g x '<，()g x 在(0,1)上为减函数； 当1x >时，g ()0x '>，()g x 在(1,)+∞上为增函数.所以当(0,]x b ∈(1)b e <<时，min ()(1)0()g x g g b ==<，不符合题意.………10分②当0a >时，12(1)()2g ()a x x a x x--'=-.（i ）当112<，即1a >时，当x 变化时，(),g()g x x '的变化情况如下：若满足题意，只需满足1()()2g g e a >，整理得21ln 2(2)204a e e a e a++-+->. 令211()ln 2(2)2()42F a a e e a e a a =++-+->>， 当12a >时，2221141()2(2)044a F a e e e e a a a -'=-+-=+->， 所以()F a 在1(,)2+∞上为增函数，所以，当12a >时，2211111()()(2)2(2)022222F a F e e e e >=+-+-=-+>. 可见，当12a >时，1()()2g g e a>恒成立，故当12a >，(0,]x b ∈(12)b <<时，函数()g x 的 最小值为().g b ；所以12a >满足题意.………………12分 （ⅱ）当112a=，即12a =时，2(1)()0x g x x -'=-…，当且仅当1x =时取等号. 所以()g x在(0,)+∞上为减函数.从而()g x 在(0,]b 上为减函数.符合题意. ………13分 （ⅲ）当11>，即10a <<时，当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下表：若满足题意，只需满足()(1)g e g <，且12e a<（若12e a …，不符合题意）， 即22(1)e a e ->-，且12a e>. 又22221(1)20(1)22(1)e e e e e e ----=>--，22221(2)1(1)22(1)e e e e -----=<--221(1)2e a e -∴<<-. 综上，22(1)e a e ->-.所以实数a 的取值范围是22(,).(1)e e -+∞-………………16分 21.解：(1)因为矩阵103a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦属于特征值λ的一个特征向量为11α-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 所以1110311a λ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即1,3,a λλ-+=-⎧⎨=⎩所以4,3.a λ=⎧⎨=⎩………………5分 (2) 由(1)知4103A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以24141167030309A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.………………10分 22. 解：（1）每次取得白球的概率是25，取得红球的概率是35， 两次都取得白球的概率是252⎛⎫ ⎪⎝⎭，两次都取得红球的概率是352⎛⎫⎪⎝⎭，故两次取得的球颜色相同的概率为：2349135525252522⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.-----------------3分 (2)X 可能的取值为2,3,4. ------------------------------------4分224(2)5525P X ==⨯=，233212(3)555525P X ==⨯+⨯=，339(4)5525P X ==⨯=.------------------------------------8分 所以的分布列为：所以X 的数学期望()2342525255E X =⨯+⨯+⨯=. -------------10分23. 解：在正三棱柱111ABC A B C -中，取AB 中点O ，取A 1B 1中点O 1，连OC 、OO 1，则OO 1// AA 1，AB ⊥OC ，又正三棱柱111ABC A B C -中，AA 1⊥平面ABC ，AB 、OC ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥OC ，AA 1⊥AB ，所以OO 1⊥OC ，OO 1⊥AB.以O 为坐标原点，OA 、OO 1、OC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，则()O 0,0,0，()A 1,0,0，(C ，(C 1，()E 1,2λ,0，()F 1,22λ,0--，(1,2,CE λ=，(11,2,C F λ=--，（1）若1λ=2，(1,1,CE =，(11,1,C F =--，1111cos ,55CE C F CE C F CE C F⋅===⋅，故异面直线CE 与1C F 所成角的余弦值为15. ………………5分（2）由（1）可得(1,22,CF λ=--，设平面CEF 的一个法向量(),,n x y z =，则()20220n CE x y n CF x y λλ⎧=+-=⎪⎨=-+-=⎪⎩，取1z =得：()3n =-，取平面AEF的一个法向量(OC =，由二面角A EF C--的大小为θ，且sin θ=，得cos ,3OC n OC n OC n⋅===⋅⋅， 化简得21(21)3λ-=，所以36λ±=. ………………10分24. 解：(1) 2111(1)11S C =-⨯⨯=，212132222211113(1)(1)(1)2222k k k S C C C k +==-=-⨯+-⨯⨯=-=∑， 31213243333331111313111(1)(1)(1)(1)32323236k k k S C C C C k +==-=-⨯+-⨯⨯+-⨯⨯=-+=+=∑，所以2112S S -=，3213S S -=.………………4分 (2) 猜想：110nn k S k=-=∑，即111123n S n=++++.………………5分 证法一：下面用数学归纳法证明.1°当1n =时，由(1)知，11S =，成立；2°假设当n m =时，111111(1)123mk k m m k S C k m+==-=++++∑. 则当1n m =+时，111211111111(1)(1)(1)1m mk k k k m m m m k k S C C k k m +++++++===-=-+-+∑∑ 112111(1)[](1)1mk k k m m m k C C k m +-+==-++-+∑ …………6分 111211111(1)+(1)(1)1m mk kk k m m m k k C C k k m ++-+===--+-+∑∑ 112111+(1)(1)1mk k m m m k S C k m +-+==-+-+∑. 又因为11(1)!!(1)(1)0!(1)!(1)!(1)!k k m m m m kC m C k m k m k k m k -++-+=⋅-+⋅=+---+，则11(1)k k m m kC m C -+=+，所以11111k km m C C k m -+=+，所以1m S +=121111+(1)(1)11mk k m m m k S C m m +++=-+-++∑ …………8分 121111+(1)(1)11m k k m m m k S C m m +++==-+-++∑ 12111+(1)(1)1m k k m m m k S C m +++=⎡⎤=-+-⎢⎥+⎣⎦∑ 1111(1)(1)1m k k m m m k S C m ++=⎡⎤=--+-⎢⎥+⎣⎦∑ 123111111111[(1)(1)(1)]1r rm m m m m m m m m m m S C C C C C C m ++++++++=--+-++-++-+-+ 11[(11)1]1m m S m +=---+ 11111+11231m S m m m ==+++++++， 综上1°2°，111123n S n =++++，故110nn k S k=-=∑. …………10分 证明二：因为11(1)!!(1)(1)0!(1)!(1)!(1)!k k n nn n kC n C k n k n k k n k -++-+=⋅-+⋅=+---+，则11(1)k k n n kC n C -+=+，所以1+1111k kn n C C k n -=+，所以111211111111(1)(1)(1)1n nk k k k n n n n k k S C C k k n +++++++===-=-+-+∑∑ （同证法一中“归纳递推”中的过程，参考上面的评分标准给分）1+1n S n =+， …………9分 所以111n n S S n +-=+，则111n n S S n +-=+，11n n S S n--=，，2112S S -=， 以上n 个式子相加得1111112n S S n n +-=++++， 又由(1)知1=1S ，所以111111231n S n n +=++++++， 当2n ≥时，111123n S n=++++，当1n =时，符合上式. 故111123n S n =++++，即110nn k S k=-=∑. ………………10分。

2019届江苏省扬州市高三第一学期期中调研数学（理）试题高三数学(理)2018．11一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知i 为虚数单位，若复数z 满足112zi i=+-，则复数z ＝ ． 2．函数y =的定义域为 ．3．已知x ，y ∈R ，直线(1)10a x y -+-=与直线20x ay ++=垂直，则实数a 的值为．4．已知函数()f x 为偶函数，且x ＞0时，32()f x x x =+，则(1)f -＝ ． 5．已知向量m =(1，a )，n =(4a，31a +)，若m ∥n ，则实数a ＝ ． 6．设△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a =6b =，cosB ＝12-，那么角A 的大小为 ．7．设实数x ，y 满足0121x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则32x y +的最大值为 ．8．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22(0)y px p =>上横坐标为1的点到焦点的距离为4，则该抛物线的准线方程为 ． 9．已知条件p ：x ＞a ，条件q ：102xx ->+．若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 ．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2211x y m m -=+的一个焦点为(3，0)，则双曲线的渐近线方程为 ．11．若函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0，02πϕ<<)的部分图像如图所示，则函数()f x 在[π-，0]上的单调增区间为 ．12．在△ABC 中，AH 是边BC 上的高，点G是△ABC 的重心，若△ABC 的面积为1，AC＝，tanC ＝2，则(AH BC)(GB GC)+⋅+＝ ．13．已知正实数a ，b 满足23a b +=，则222122a b a b +-++的最小值是 ．14．已知函数2()f x x =-，()ln 5g x x ax =-+（e 为自然对数的底数，e ≈2.718）．对于任意的0x ∈(0，e )，在区间(0，e )上总存在两个不同的1x ，2x ，使得1()g x ＝2()g x ＝0()f x ，则整数a 的取值集合是 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）在△ABC AC AB AC ⋅=，设∠BAC ＝α． （1）求tan α的值； （2）若3cos 5β=，β∈(0，2π)，求cos(β﹣α)的值．16．（本小题满分14分）已知a R ∈，函数1()f x a x=-． （1）若()2f x x ≤对x ∈(0，2)恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当a ＝1时，解不等式()2f x x ≥． 17．（本小题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线3100x y --=与圆O ：222(0)x y r r +=>相切．（1）直线l 过点(2，1)且截圆O 所得的弦长为，求直线l 的方程；（2）已知直线y ＝3与圆O 交于A ，B 两点，P 是圆上异于A ，B 的任意一点，且直线AP ，BP 与y 轴相交于M ，N 点．判断点M 、N 的纵坐标之积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由． 18．（本小题满分15分）江苏省园博会有一中心广场，南京园，常州园都在中心广场的南偏西45°方向上，到，；扬州园在中心广场的正东方向，到中心广场的距．规划建设一条笔直的柏油路穿过中心广场，且将南京园，常州园，扬州园到柏油路的最短路径铺设成鹅卵石路（如图(1)、(2)）．已知铺设每段鹅卵石路的费用（万元）与其长度的平方成正比，比例系数为2．设柏油路与正东方向的夹角，即图(2)中∠COF 为θ（θ∈(0，4π)），铺设三段鹅卵石路的总费用为y （万元）． （1）求南京园到柏油路的最短距离1d 关于θ的表达式； （2）求y 的最小值及此时tan θ的值．（1） （2） 19．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右准线方程为x ＝2，且两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形．（1）求椭圆C 的方程；（2）假设直线l ：y kx m =+与椭圆C 交于A ，B 两点．①若A 为椭圆的上顶点，M 为线段AB 中点，连接OM 并延长交椭圆C 于N ，并且6ON OM =，求OB 的长；②若原点O 到直线l 的距离为1，并且OA OB λ⋅=，当4556λ≤≤时，求△OAB 的面积S 的范围． 20．（本小题满分16分）已知函数ln ()x f x x=，2()2g x x x =-． （1）求()f x 在点P(1，(1)f )处的切线方程；（2）若关于x 的不等式2()()0f x tf x +>有且仅有三个整数解，求实数t 的取值范围； （3）若()()4()h x g x xf x =+存在两个正实数1x ，2x 满足221212()()0h x h x x x +-=，求证：123x x +≥．（附加题）21、（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线1+=kx y 在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1110对应的变换下得到的直线过点P （3，2），求实数k 的值.22、（10分）假定某人在规定区域投篮命中的概率为32，现他在某个投篮游戏中，共投篮3次.（1）求连续命中2次的概率；（2）设命中的次数为X ，求X 的分布列和数学期望)(X E .23、（10分）如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，AC=BC=AA 1=A 1C=2，平面ACC 1A 1⊥平面ABC.现以边AC 的中点D 为坐标原点，平面ABC 内垂直于AC 的直线为x 轴，直线AC 为y 轴，直线DA 1为z 轴建立空间直角坐标系，解决以下问题: （1）求异面直线AB 与A 1C 所成角的余弦值； （2）求直线AB 与平面A 1BC 所成角的正弦值.24、（10分）已知正项数列}{n a 满足)(*21N n a a a n n n ∈-=+. （1）求证:101<<a ，且当2≥n 时，21+≤n a n ； （2）求证:)1ln(2+<∑=n ani i.参考答案1． 2． 3． 4． 5．1 6． 7．3 8．9． 10． 11． (区间开闭皆可) 12．1 13． 14．15．解：（1，得，3i -(,2]-∞1224π3x =-2a ≤-y =(3,0)-135{3,4,5,6,7}AC AB AC ⋅=⋅cos AB AC AB AC α⋅=⋅所以，又因为，所以．∴…………6分（2）∵， ∴………8分由（1）知：，∴． ………14分16．解：（1）∵对恒成立 ∴对恒成立∵，即时取等号 ∴…6分 （2）当时，，∵ ∴ ……（*） ①若，则（*）可化为：，所以； …9分②若，则（*）可化为：，解得：或，∵∴ (12)分由①②可得，（*）的解集为．…14分17．解：∵直线与圆相切 ∴圆心到直线的距离为．…2分（1）记圆心到直线的距离为，所以．当直线与轴垂直时，直线的方程为，满足题意； …3分当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，即 所以，解得，此时直线的方程为 …6分综上，直线的方程为或． …7分 （2）设．∵直线3y =与圆O 交于A 、B 两点，不妨取， ∴直线、的方程分别为， cos α=0α<<πsin α=tan α3cos 5β=(0,)2πβ∈4sin 5β=sin α=34cos()cos cos sin sin 55βαβαβα-=+==()2f x x ≤(0,2)x ∈12a x x≤+(0,2)x ∈12x x +≥12x x=x =a ≤1a =1()1||f x x =-()2f x x ≥112||x x -≥0x >2210x x -+≤x ∈∅0x <2210x x --≥1x ≥12x ≤-0x <12x ≤-1(,]2-∞-3100x y --=222:(0)O x y r r +=>O 3100x y --=r ==l d 2d ==l x l 2x =l x l 1(2)y k x -=-(12)0kx y k -+-=2d ==34k =-l 34100x y +-=l 2x =34100x y +-=00(,)P x y (1,3),(1,3)A B -PA PB 0033(1)1y y x x --=--0033(1)1y y x x --=++令，得，则220000002000339111M N x y x y x y y y x x x -+-⋅=⋅=-+-（*）…13分因为点在圆上，所以，即，代入（*）式 得为定值． …15分 18．解：（1）∵，南京园在中心广场的南偏西45°方向上，且到中心广场的距离为 ∴ ∴ ………4分 （2）分别设点,B C 到直线的距离为23,d d ．由（1）知：23sin(),4d d πθθ=-=∴ ， ………9分∵(0,)4πθ∈ ∴32(,)444πππθ+∈ ∴当时，（万元） …12分此时 ∴，解得： ………14分答：铺设三条鹅卵石路的总费用为()万元，此时1．………15分 19．解：（1）因为两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以，又由右准线方程为，得到，解得，所以所以，椭圆的方程为 …4分（2）设，而，则，∵ ， ∴ 因为点都在椭圆上，所以，将下式两边同时乘以再减去上式，解得，21169x =…80x =00000033(0,),(0,)11x y x y M N x x -+-+00(,)P x y C 220010x y +=220010y x =-M N y y ⋅=2200209(10)101x x x --=-COF θ∠=4AOE πθ∠=-1)4d πθ=-EF 2221cos(2)1cos 22sin())sin()))]20[]4422y πθππθθθθ---=-+-+=+2010(sin 2cos2)]20)4πθθθ=-+=-+(0,)4πθ∈242ππθ+=min 20y =-24πθ=22tan tan 211tan θθθ==-tan 1θ20-tanθa =2x =22a c=1a c ==2221b a c =-=C 2212x y +=11(,)B x y (0,1)A 111(,)22x y M +6ON OM=N ,B N 221122111233(1)1168x y x y ⎧+=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩83113y =分所以OB==…9分（3）由原点到直线的距离为，化简得：联立直线的方程与椭圆的方程：2212y kx mxy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得设，则，且280k∆=>…11分，所以的面积…14分因为在为单调减函数，并且当时，，当时，，所以的面积的范围为．…16分20．解：（1），，所以点坐标为；又，，则切线方程为，所以函数在点处的切线方程为．…3分（2）O l11=221k m+=l C222(12)4220k x kmx m+++-= 1122(,),(,)A x yB x y2121222422,1212km mx x x xk k-+=-=++22121212121212()()(1)() OA OBx x y y x x kx m kx m k x x km x x m ⋅=+=+++=++++22222222222222222224222242(1)121212m k m m k mk k m m k m k mk k k--+--++=+-+=+++2222232211212m k kk kλ--+===++2121kλλ-=-OAB△1211|2S AB x x=⨯⨯=-==S=45[,]5645λ=S=56λ=S=OAB△Sln()xf xx=(1)0=f P(1,0)21ln'()xf xx-='(1)1=f01-=-y x()f x(1,(1))P f10--=x y21ln'()(0)-=>xf x xx由， 得；① 时，或，满足条件的整数解有无数个，舍；② 时，，得且，满足条件的整数解有无数个，舍； ③ 时，或，当时，无整数解；当时，不等式有且仅有三个整数解，又，， 因为在递增，在递减；所以， 即，即； 所以实数的取值范围为． …8分 （3），因为，所以， 即，令，， …11分 则， 当时，，所以函数在上单调递减； 当时，，所以函数在上单调递增． 所以函数在时，取得最小值，最小值为3．…14分因为存在两个正实数，满足，所以， 即，所以或． 因为为正实数，所以． …16分（加试部分）21．解：设直线上任意点在矩阵对应的变换下得到的点，则，即，∴ …5分 代入直线方程得：，将代入上式，解得：．…10分2()()0f x tf x +>()[()]0+>f x f x t 0t >()0f x >()f x t <-0t =()0f x ≠0x >1x ≠0t <()0f x <()f x t >-()0f x <()f x t >-ln3(3)3f =ln 2(2)(4)2f f ==ln5(5)5f =()f x (0,)e (,)e +∞(5)(4)f t f ≤-<ln5ln 252t ≤-<ln 2ln525t -<≤-t ln 2ln525t -<≤-2()24ln =-+h x x x x 221212()()0+-=h x h x x x 22221112221224ln 24ln 0x x x x x x x x -++-+-=2221212121212()2()24ln x x x x x x x x x x +-+=+-12t x x =2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->2(1)(2)4()22(0)t t t t t ttϕ-+'=+-=>(0,1)t ∈()0t ϕ'<2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->(0,1)(1,)t ∈+∞()0t ϕ'>2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->(1,)+∞2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->1t =12,x x 221212()()0+-=h x h x x x 21212()2()3x x x x +-+≥21212()2()30x x x x +-+-≥123x x +≥121x x +-≤12,x x 123x x +≥1y kx =+(,)M x y 0111⎡⎤⎢⎥⎣⎦'(',')M x y '01'11x x y y y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦''x yy x y =⎧⎨=+⎩'''x x y y x =-+⎧⎨=⎩1y kx =+'('')1x k x y =-++(3,2)P 2k =-22．解：（1）设表示第次投篮命中，表示第次投篮不中；设投篮连续命中2次为事件，则=．…4分（2）命中的次数可取0，1，2，3；，，，所以答：的数学期望为2． (10)分 23．（1）根据题中空间直角坐标系可知：A (0,,0)，C (0,1,0)，B (2,1,0)，A 1)， …1分 ∴ ∴ …3分 设异面直线与的所成角为，则(0,]2πα∈，∴…4分 （2）由（1）得：，设平面的法向量为，∴ ∴，取，则…7分 ∴． …9分 设直线与平面所成角为，，则．…10分24．证明：（1）由，解得．…1分 下用数学归纳法证明：当时， ①当时，．(1,2,3)i A i =i i A i A 123123()()P A P A A A A A A =+221122833333327⨯⨯+⨯⨯=X 321(0)(1)327PX ==-=1123222(1)()(1)339P X C ==-=2213224(2)()(1)339P X C ==-=328(3)()P X ===248()12329927E X =⨯+⨯+⨯=X 1-1(2,2,0),(0,1,AB AC ==111cos ,||||2AB AC AB AC AB AC ⋅<>===AB 1A C α1cos |cos ,|AB A C α=<>=1(2,1,3),(2,0,0)A B BC =-=-1A BC (,,)n x y z =1n A B n BC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩12020n A B x y n BC x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩1z =(0,3,1)n =cos ,||||2AB n AB n AB n ⋅<>===AB 1A BC β(0,]2πβ∈6sin |cos ,|AB n β=<>=21120a a a -=>101a <<2n ≥12n a n ≤+2n =222111111()244a a a a =-=--+≤11所以不等式成立；②假设当时，不等式成立，即 则当时，有则当时，不等式也成立．综合①②，当时，都有． …5分 （2）记 …6分 当时， 所以在上是增函数，则，即 …8分 令，则， 从而有． …10分(2)n k k =≥12k a k ≤+1n k =+2221211111111()()24224(2)(1)(3)(1)2k k k k k k a a a a k k k k k +++=-=--+≤--+=<=++++++1n k =+2n ≥12n a n ≤+()ln(1)(0)1x f x x x x=+->+0x >2211'()01(1)(1)x f x x x x =-=>+++()f x (0,)+∞()(0)0f x f >=ln(1)1x x x +>+*1()1x i N i =∈+121ln ln 21i i i i i++<<++2221[ln(1)ln ]ln(1)ln 2ln(1)2n n n i i i i a i i n n i ===<<+-=+-<++∑∑∑。

江苏省扬州市2019届高三上学期期中考试数学试题江苏省扬州市2019届高三上学期期中考试数学试题（满分160分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1．复数z =2+i的实部为． 1-i22．命题“∀x ∈R , x +1>0”的否定是．3．已知向量a =(1,2), b =(-2, k ) ，且a ∥b ，则实数k = .4．已知直线l 1:ax -y +2a +1=0和l 2:2x -(a -1) y +2=0(a ∈R ) ，若l 1⊥l 2，则a =．π5．已知α∈(, π) ，且tan α=-2，则cos2α=．2⎧x -y +5≥0⎧6．已知实数x ，y 满足⎧x ≤3，则目标函数z =x +2y 的最小值为．⎧x +y ≥0⎧7．已知函数f (x )=ln x -1，若函数f (x )的零点所在的区间为(k , k +1)(k ∈Z )，则 xk =.x 2y 2-=1的一个焦点与抛物线y 2=8x 的焦点相同，则m =． 8．若双曲线m m +29．若函数f (x ) =(x +a )(bx +2a ) (a , b ∈R ) 是偶函数，且它的值域为(-∞,8]，则ab =1π10．f (x ) =sin(ωx +)(ω>0) 的图象与直线y =m 相切，相邻切点之间的距离为π．26若点A (x 0, y 0) 是y =f (x ) 图象的一个对称中心，且x 0∈⎧0,⎧π⎧，则x 0=．⎧⎧2⎧x 2y 211．椭圆C :2+2=1(a >b >0)的一条准线与x 轴的交点为P ，点A 为其短轴的一个a b端点，若PA 的中点在椭圆C 上，则椭圆的离心率为．2x 12+x 212．函数f (x ) =2x -4x +1(x ∈R )，若f (x 1) =f (x 2) ，且x 1>x 2，则的最小值x 1-x 22为．OB 满足|OA |=1，|OB |=2，|AB |=AC =λ(OA +OB )(λ∈R ) ，13．已知向量OA ，若|BC |=λ所有可能的值为．14．设圆x +(y -1) =1的切线l 与x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于点A , B ，当AB 取最小值时，切线l 在y 轴上的截距为．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题满分14分）已知集合A =⎧x |22⎧⎧4⎧>1⎧，B ={x |(x -m -4)(x -m +1)>0}. x +1⎧（1）若m =2，求集合A B ；（2）若A B =∅，求实数m 的取值范围.16．（本题满分14分）在∆ABC 中，a , b , c 分别为角A , B , C 所对的边，已知向量m =(cos B ,sin B )，n =(sin C -2sin A ,cos C )，且m ⊥n .（1）求角B 的大小；（2）若a +c =7，b =BA ⋅BC 的值.17．（本小题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M :x +y -8x +6=0，过点P (0,2)且斜率为k 的直线与圆M 相交于不同的两点A , B ，线段AB 的中点为N 。

江苏省扬州市 2019 届高三数学上学期期中调研考试试题（含解析）2018—2019 学年度第一学期期中调研测试试题 高三数学一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分,共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.已知 i 为虚数单位，若复数 z 满足，则复数 z＝_______．【答案】【解析】 【分析】 利用复数的乘法运算即可得到结果.【详解】z＝＝1－ +2＝故答案为：3—i 【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，属于基础题。

2。

函数 【答案】 【解析】 【分析】的定义域为_______．由二次根式有意义，得：，然后利用指数函数的单调性即可得到结果.【详解】由二次根式有意义，得：，即,因为 在 R 上是增函数，所以，x≤2，即定义域为： 【点睛】本题主要考查函数定义域的求法以及指数不等式的解法,要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较 基础．3。

已知 x，y R，直线与直线垂直，则实数 a 的值为_______．【答案】【解析】 【分析】 利用直线与直线垂直的性质直接求解．-1-江苏省扬州市 2019 届高三数学上学期期中调研考试试题（含解析） 【详解】∵x，y∈R,直线（a﹣1）x+y﹣1=0 与直线 x+ay+2=0 垂直, ∴（a﹣1)×1+1×a=0，解得 a= ，∴实数 a 的值为 ．故答案为： ．【点睛】两直线位置关系的判断：和的平行和垂直的条件属于常考题型，如果只从斜率角度考虑很容易出错，属于易错题题型，应熟记结论：垂直:；平行：，同时还需要保证两条直线不能重合，需要检验。

4.已知函数 为偶函数,且 x＞0 时，，则 ＝_______．【答案】2【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式可得 f(1）的值，结合函数为偶函数可得 f（﹣1）=f（1），即可得答案． 【详解】根据题意，函数 f（x）满足 x＞0 时，f（x)=x3+x2，则 f(1)=1+1=2,又由函数 f（x)为偶函数，则 f(﹣1）=f（1）=2；故答案为：2．【点睛】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义,属于基础题．5.已知向量 （1，a)， （ ， 【答案】1 【解析】 【分析】 利用向量共线定理即可得出．)，若 ∥ ，则实数 a＝_______．-2-江苏省扬州市 2019 届高三数学上学期期中调研考试试题（含解析）【详解】∵ ∥ ，∴ ﹣（3a+1）=0，解得 a=1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.设△ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若， ，cosB＝ ，那么角 A 的大小为_______．【答案】 【解析】 【分析】由题意可得 sinB= ，再结合正弦定理即可得到结果.【详解】cosB=﹣ ，∴B 为钝角,可得 sinB= ．由正弦定理可得： = ，可得 sinA= ．A 为锐角,可得：A= ．故答案为： ． 【点睛】本题考查了正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7。

2020届高三年级第一次模拟考试(二)数学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．)1. 已知集合A ＝{3，4}，B ＝{1，2，3}，则A ∪B ＝________．2. 若(3＋i)z ＝2－i(i 为虚数单位)，则复数z ＝________．3. 函数y ＝3|x －m|(m ∈R )是偶函数，则m ＝________．4. 双曲线y 24－x 2＝1的渐近线方程为________． 5. 抛物线y 2＝4x 上横坐标为4的点到焦点的距离为________．6. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2ln x ， x>0，12x ， x<0，则f(f(e －2))＝________． 7. 直线ax ＋2y ＋6＝0与直线x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0平行，则两直线间的距离为________．8. 函数f(x)＝1＋x e x 的极大值是________． 9. 将函数y ＝cos x 的图像向右平移π2个单位后，再将图像上所有的横坐标变为原来的一半(纵坐标保持不变)，得到函数f(x)的图像，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________．10. 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，AD ＝AB ＝3DC ＝3，若M 为线段BC 的中点，则AM →·BD →的值是________．11. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝3，sin 2A －sin 2B ＝3sin 2C ，cosA ＝－13，则△ABC 的面积是________． 12. 已知点A(－1，0)，B(2，0)，直线l ：kx －y －5k ＝0上存在点P ，使得PA 2＋PB 2＝9成立，则实数k 的取值范围是__________________．13. 已知实数x ，y 满足y>32且6xy －9x ＋2y －4＝0，则3x ＋y 的最值是________． 14. 已知关于x 的不等式(x －k －1)e x ＋e 2<0有且仅有三个整数解，则实数k 的取值范围是__________________．二、 解答题(本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15. (本小题满分14分)已知关于x 的不等式x ＋1x －3<0的解集为集合A ，函数f(x)＝－x 2＋2mx －m 2＋4的定义域为集合B(其中m ∈R )．(1) 若m ＝0，求A ∩B ；(2) 若B ⊆∁R A ，求实数m 的取值范围．16. (本小题满分14分)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos α＝35. (1) 求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2) 求sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6的值．已知圆C ：x 2＋(y －2)2＝4，直线l 过点A(－3，0)．(1) 若l 与圆C 相切，求l 的斜率k ；(2) 当l 的倾斜角为π4时，l 与y 轴交于点B ，l 与圆C 在第一象限交于点D ，设AB →＝λBD →，求实数λ的值．为迎接2020年奥运会，某商家计划设计一圆形图标，内部有一“杠铃形图案”(如图阴影部分)，圆的半径为1米，AC ，BD 是圆的直径，E ，F 在弦AB 上，H ，G 在弦CD 上，圆心O 是矩形EFGH 的中心，若EF ＝23米，∠AOB ＝2θ，π4≤θ≤5π12. (1) 当θ＝π3时，求“杠铃形图案”的面积； (2) 求“杠铃形图案”的面积的最小值．如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以线段F 1F 2为直径的圆与椭圆交于点P ⎝⎛⎭⎫355，－455. (1) 求椭圆的方程；(2) 过y 轴正半轴上一点A(0，t)作斜率为k(k>0)的直线l.①若l 与圆和椭圆都相切，求实数t 的值；②直线l 在y 轴左侧交圆于B ，D 两点，与椭圆交于C ，E(从上到下依次为B ，C ，D ，E)，且AB ＝DE ，求实数t 的最大值．已知函数f(x)＝－ln x－ax2＋2ax＋2－a(a∈R)．(1) 当a＝1时，求函数f(x)在x＝1处的切线方程；(2) 是否存在非负整数a，使得函数f(x)是单调函数，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；(3) 已知g(x)＝f(x)＋x－3，若存在b∈(1，e)，使得当x∈(0，b]时，g(x)的最小值是g(b)，求实数a的取值范围．(注：自然对数的底数e＝2.718 28…)2020届高三年级第一次模拟考试(二)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 已知向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 103的属于特征值λ的一个特征向量． (1) 求实数a ，λ的值；(2) 求A 2.22. 一个盒子中装有大小相同的2个白球，3个红球；现从中先后有放回地任取球两次，每次取一个球，看完后放回盒中．(1) 求两次取得的球颜色相同的概率；(2) 若在2个白球上都标上数字1，3个红球上都标上数字2，记两次取得的球上数字之和为X ，求X 的概率分布列与数学期望E(X)．23. 如图，正三棱柱ABCA 1B 1C 1的所有棱长均为2，点E ，F 分别在棱AA 1，BB 1上移动，且AE →＝λAA 1→，BF →＝(1－λ)BB 1→.(1) 若λ＝12，求异面直线CE 与C 1F 所成角的余弦值； (2) 若二面角AEFC 的大小为θ，且sin θ＝255，求λ的值．24. 设S n ＝∑n k ＝1(－1)k ＋11kC k n ，n ，k ∈N *. (1) 求S 2－S 1，S 3－S 2； (2) 猜想S n －∑n k ＝1(－1)k＋11k 的值，并加以证明．2020届高三年级第一次模拟考试(二)(扬州)数学参考答案1. {1，2，3，4}2. 12－12i 3. 0 4. y±2x 5. 5 6. 16 7.655 8. 1 9. 32 10. －32 11. 2 12. ⎝⎛⎭⎫－1515，1515 13. 22＋12 14. ⎝⎛⎭⎫e ，1e 2＋3 15. 解：(1) 由x ＋1x －3<0得A ＝{x|－1c<x<3}(2分) m ＝0时，由－x 2＋4≥0得B ＝[－2，2]，(4分)∴ A ∩B ＝(－1，2]，(7分)(2) 由－x 2＋2mx －m 2＋4≥0得B ＝{x|m －2≤x ≤m ＋2}．(9分)∵ A ＝{x|－1<x<3}，∴ ∁R A ＝(－∞，－1]∪[3，＋∞)．(11分)∵ B ⊆∁R ，∴ m －2≥3或m ＋2≤1，∴ m ≥5或m ≤－3，∴ 实数m 的取值范围为(－∞，－3]∪[5，＋∞)．(14分)16. 解：α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cosα＝35⇒sin α＝45，tanα＝43(2分) tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tanα＋tan π41－tanα·tan π4 ＝ 43＋11－43·1＝－7.(6分) (2) sin2α＝2sin αcosα＝2425，(8分) cos2α＝cos 2α－sin 2α＝－725.(10分) 则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝sin2αcos π6＋cos2αsin π6＝2425·32＋⎝⎛⎭⎫－725·12＝－7＋24350.(14分) 17. 解：(1) 因为l ：y ＝k(x ＋3)与圆C 相切，所以圆心C 到直线的距离d ＝|3k －2|1＋k 2＝2，(3分)解得k ＝0或k ＝125所以斜率k 为0或125.(7分) (2) 法一：当l 的倾斜角为45°时，l ：y ＝x ＋3，令x ＝0，得y ＝3，所以B(0，3)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，x 2＋（y －2）2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－72，y ＝3－72舍去，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋72y ＝3＋72 所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋72，3＋72(10分) 则AB →＝(3，3)，BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋72，－1＋72，(12分) 所以λ＝3－1＋72＝7＋1.(15分) 法二：当l 的倾斜角为45°时，l ：y ＝x ＋3，令x ＝0，得y ＝3，所以B(0，3)．过点C 作AB 的垂线交AB 于点M ，则CM ＝BM ＝|3－2|12＋12＝22，(10分) MD ＝4－CM 2＝142，BD ＝142－22(12分) 又AB ＝（－3）2＋32＝3 2所以λ＝3214－22＝7＋1(15分) 法三：当l 的倾斜角为45°时，l ：y ＝x ＋3，令x ＝0，得y ＝3，所以B(0，3)．设D(x 0，y 0)．因为AB →＝λBD →，点D 在第一象限，所以(3，3)＝λ(x 0，y 0－3)，λ>0则⎩⎪⎨⎪⎧3＝λx 0，3＝λ（y 0－3），得⎩⎨⎧x 0＝3λ，y 0＝3λ＋3即D ⎝⎛⎭⎫3λ，3λ＋3(12分) 又点D 在圆上，所以⎝⎛⎭⎫3λ2＋⎝⎛⎭⎫3λ＋3－22＝4，解得λ＝1－7(舍去)或λ＝7＋1(15分) 18. 解：设EF 中点为M ，连结OM ，则OM ＝cosθ，AD ＝2sinθ.(1) 当θ＝π3时，杠铃图案的面积 S ＝2⎝⎛⎭⎫π3－12×2×sin π3cos π3＋22cos π3 ＝2π3－32＋23.(5分) 答：当θ＝π3时，杠铃形图案的面积为2π3－32＋23平方米．(6分) (2) 杠铃形图案的面积S(θ)＝2⎝⎛⎭⎫θ－sinθcosθ＋23cosθ S′(θ)＝2⎣⎡⎦⎤1－（cos 2θ－sin 2θ）－23sin ＝2⎝⎛⎭⎫2sin 2θ－22sinθ(9分) 因为π4≤θ≤5π12， 所以2sin 2θ－23sinθ＝2sin(sinθ－13)>0， S′(θ)>0，S(θ)单调递增．(11分)所以当θ＝π4时，S(θ)的最值为 S ＝2⎝⎛⎭⎫π4－sin π4cos π4＋23cos π4＝π2－1＋223. 答：杠铃形图案的面积的最小值为π2－1＋223平方米．(15分) 19. 解：(1) 设椭圆的焦距为2c.因为线段F 1F 2为直径的圆与椭圆交于点P ⎝⎛⎭⎫355，－455，所以c 2＝5. 法一：F 1(－5，0)，F 2(5，0)，则2a ＝PF 1＋PF 2＝6，a ＝3，所以b ＝a 2－c 2＝9－5＝2，则椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(4分)法二：又点P ⎝⎛⎭⎫355，－455在椭圆上， 所以⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫3552a 2＋⎝⎛⎭⎫－4552b 2＝1，a 2＝b 2＋5解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝4所以椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(4分)(2) ①因为直线y ＝kx ＋t 与圆相切，所以|t|1＋k2＝5，即t 2＝5(1＋k 2)(i) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 29＋y 24＝1，消去y 得(9k 2＋4)x 2＋18ktx ＋9t 2－36＝0. 因为直线与椭圆相切，所以Δ＝(18kt)2－4(9t 2－36)(9k 2＋4)＝0即9k 2－t 2＋4＝0(ii)联立(i)(ii)得⎩⎨⎧k ＝12，t ＝52负值舍去(10分)②取BD 中点M ，连结OM ，则OM ⊥AB ， 又AB ＝DE ，所以M 为AE 中点，法一：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，y ＝－1k x ，解得M ⎝⎛⎭⎫－kt k 2＋1，tk 2＋1， 所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2kt k 2＋1，t （1－k 2）k 2＋1代入椭圆方程化简得t 2＝36（k 4＋2k 2＋1）9k 4－2k 2＋9＝36（k 2＋1）29k 4－2k 2＋9.设m ＝k 2＋1>1，则t 2＝3620⎝⎛⎭⎫1m －122＋4，当m ＝2时，t 取最大值3，此时k ＝1.又k ＝1，t ＝3时，A(0，3)，B(－1，2)，C ⎝⎛⎭⎫－1513，2413，D(－2，1)，E(－3，0)符合题意，故t 的最大值为3.(不检验扣1分)(16分)法二：则OM ⊥AB ，M 为AE 中点， 所以OE ＝OA ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝t 2，x 29＋y 24＝1，解得x 2＝9（t 2－4）5，则t 2＝5x 29＋4.又x 2≤9，所以t ≤3，t 的最大值为3，此时k ＝1.又k ＝1，t ＝3时，A(0，3)，B(－1，2)，C ⎝⎛⎭⎫－1513，2413，D(－2，1)，E(－3，0)符合题意，故t 的最大值为3.(不检验扣1分)(16分)20. 解：(1) f(x)的定义域为(0，＋∞)．当a ＝1时，f(x)＝－lnx －x 2＋2x ＋1，f′(x )＝－1x －2x ＋2，f′(1)＝－1，所以，函数f(x)在x ＝1处的切线方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.(2分)(2) ∵ f(x)＝－lnx －ax 2＋2ax －a ＋2，∴ f′(x)＝－2ax 2－2ax ＋1x ，(x>0)．当a ＝0时，f′(x)＝－1x <0，∴ f(x)是单调减函数．符合．(3分)当a>0时，若f(x)是单调增函数，则f′(x)＝－2ax 2－2ax ＋1x ≥0，即2ax 2－2ax ＋1≤0(x>0)恒成立，这不可能．(5分) 若f(x)是单调减函数，则f′(x)＝－2ax 2－2ax ＋1x≤0，即2ax 2－2ax ＋1≥0(x>0)恒成立，令h(x)＝2ax 2－2ax ＋1，其开口方向向上，对称轴方程有x ＝12，h(0)＝1>0，故h(x)min ＝h ⎝⎛⎭⎫12＝2a ⎝⎛⎭⎫122－2a·12＋1≥0，∴ 0<a ≤2.又a ∈Z ，∴ a ＝1，2.(7分)综上，满足条件的非负整数a 的值是0，1，2.(8分) ∴ g(x)＝－lnx －ax 2＋(2a ＋1)x －1－a ∴ g′(x)＝－1x－2ax ＋2a ＋1＝－2ax 2－（2a ＋1）x ＋1x ＝－（x －1）（2ax －1）x①当a ＝0时，2ax －1x<0.当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)在(0，1)上为减函数； 当x>1时，g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)上为增函数．所以当x ∈(0，b](1<b<e)时，g(x)min ＝g(1)＝0<g(b)，不符合题意．(10分) ②当a>0时，g′(x)＝－2a （x －1）⎝⎛⎭⎫x －12a x.(i)当12a <1，即a>12时，当x 变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下：若满足题意，只需满足g ⎝⎛⎭⎫12a >g(a)，整理得ln2a ＋14a＋(e 2－2e)a ＋2－e>0.令F(a)＝ln1a ＋14a＋(e 2－2e)a ＋2－e ⎝⎛⎭⎫a>12， 当a>12时，F′(a)＝1a －14a 2＋e 2－2e ＝4a －14a 2＋e(e －2)>0，所以F(a)在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，所以，当a>12时，F(a)>F ⎝⎛⎭⎫12＝12＋12(e 2－2e)＋2－e ＝12(e －2)2＋12>0. 可见，当a>12时，g ⎝⎛⎭⎫12>g(e)恒成立，故当a>12，x ∈(0，b](1<b<2)时，函数g(x)的最小值为g(b)，所以a>12满足题意．(12分)(ii) 当12a >1，即0<a<12时，当x 变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：若满足题意，只需满足g(e)<g(1)，且12a <e ⎝⎛⎭⎫若12a ，e ，不符合题意， 即a>e －2（e －1）2，且a>12e . 又e －2（e －1）2－12e ＝（e －1）2－22e （e －1）2>0， e －2（e －1）2－12＝－（e －2）2－12（e －1）2<0，∴e －2（e －1）2<a<12. 综上，a>e －2（e －1）2，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫e －2（e －1）2，＋∞.(16分)21. 解：(1) 因为矩阵A ＝错误!属于特征值λ的一个特征向量α＝错误!，所以错误!错误!＝λ错误!，即错误!所以错误!(5分)(2) 由(1)知A ＝错误!，所以A 2＝错误!错误!＝错误!.(10分)22. 解：(1) 每次取得白球的概率是25，取得红球的概率是35，两次都取得白球的概率是⎝⎛⎭⎫252，两次都到得红球的概率是⎝⎛⎭⎫352，故两次取得球颜色相同的概率为⎝⎛⎭⎫252＋⎝⎛⎭⎫352＝425＋925＝1325.(3分) (2) X 可能的取值为2，3，4.(4分)P(X ＝2)＝25×25＝425，P(X ＝3)＝25×35＋35×25＝1225，P(X ＝4)＝35×35＝925，(8分)所以X 的分布列为：所以X 的数学期望E(X)＝2×425＋3×1225＋4×925＝165(10分)23. 解：在正三棱柱ABCA 1B 1C 2中，取AB 中点O ，取A 1B 1中点O 1，连OC ，OO 1，则OO 1∥AA 1，AB ⊥OC ，又正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AB 、OC ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥OC ，AA 1⊥AB ，所以OO 1⊥OC ，OO 1⊥AB.以O 为坐标原点，OA ，OO 1，OC 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系Oxyz.则O(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，0，3)，C 1(0，2，3)，E(1，2λ，0)，F(－1，2－2λ，0)， CE →＝(1，2λ，－3)，C 1F →＝(－1，－2λ，－3)，(1) 若λ＝12，CE →＝(1，1，－3)，C 1F →＝(－1，－1，－3)，cos 〈CE →，C 1F →〉＝CE →·C 1F →|CE →|·|C 1F →|＝－1－1＋35·5＝15，故异面直线CE 与C 1F 所成角的余弦值为15.(5分)(2) 由(1)可得CF →＝(－1，2－2λ，－3)，设平面CEF 的一个法向量n ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CE →＝x ＋2λy －3z ＝0，n ·CF →＝－x ＋（2－2λ）y －3z ＝0，取z＝1得n ＝(3－23λ，3，1)，取平面AEF 的一个法向量OC →＝(0，0，3)，由二面角AEFC 的大小为θ，且sinθ＝255，得|cos 〈OC →，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪OC →·n |OC →|·|n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪33·（3－23λ）2＋（3）2＋12＝55， 化简得(2λ－1)2＝13，所以λ＝3±36.(10分)24. 解：(1) S 1＝(－1)2×1×C 11＝1，S 2＝∑2k ＝1(－1)k ＋11k C k 2＝(－1)2×C 12＋(－1)3×12×C 22＝2－12＝32， S 3＝∑3k ＝1 (－1)k＋11k C k 3＝(－1)2×C 13＋(－1)3×12×C 23＋(－1)4×13×C 33＝3－32＋13＝32＋13＝116， 所以S 2－S 1＝12，S 3－S 2＝13.(4分)(2) 猜想：S n －∑nk ＝11k ＝0，即S n＝1＋12＋13＋…＋1n .(5分) 证法一：下面用数学归纳法证明．10 当n ＝1时，由(1)知，S 1＝1，成立； 20＝假设当n ＝m 时，S m ＝∑mk ＝1 (－1)k＋11k C k m ＝1＋12＋13＋ (1). 则当n ＝m ＋1时，S m ＋1＝∑m ＋1k ＝1(－1)k ＋11k C km ＋1＝∑mk ＝1 (－1)k＋11k C k m ＋1＋(－1)m ＋21m ＋1＝∑mk ＝1 (－1)k＋11k [C k m ＋C k －1m]＋(－1)m ＋21m ＋1(6分) ＝∑m k ＝1 (－1)k ＋11k C km ＋∑mk ＝1(－1)k＋11k C k －1m ＋(－1)m ＋21m ＋1＝S m ＋∑m k ＝1(－1)k＋11k C k －1m ＋(－1)m ＋21m ＋1. 又因为kC k m ＋1－(m ＋1)C k －1m ＝k·（m ＋1）！k ！（m ＋1－k ）！－(m ＋1)·m ！（k －1）！（m －k ＋1）！＝0，则kC k m ＋1＝(m ＋1)C k －1m ，所以1k C k －1m ＝1m ＋1C km ＋1， 所以S m ＋1＝S m ＋∑mk ＝1(－1)k ＋11m ＋1C k m ＋1＋(－1)m ＋21m ＋1(8分) ＝S m ＋1m ＋1∑m k ＝1 (－1)k ＋1C k m ＋1＋(－1)m ＋21m ＋1 ＝S m ＋1m ＋1⎣⎡⎦⎤∑m k ＝1（－1）k ＋1C k m ＋1＋（－1）m ＋2 ＝S m －1m ＋1⎣⎡⎦⎤∑m k ＝1（－1）k C k m ＋1＋（－1）m ＋1＝S m －1m ＋1[－C 1m ＋1＋C 2m ＋1－C 3m ＋1＋…＋(－1)r C r m ＋1＋…＋(－1)m C m m ＋1＋(－1)m ＋1C m ＋1m ＋1] ＝S m －1m ＋1[(1－1)m ＋1－1] ＝S m ＋1m ＋1＝1＋12＋13＋…＋1m ＋1m ＋1，综上10，20，S n ＝1＋12＋13＋…＋1n ，故S m ∑nk ＝1 1k ＝0.(10分)证明二：因为kCk n ＋1－(n ＋1)Ck －1n＝k·（n ＋1）！k ！（n ＋1－k ）！－(n ＋1)·n ！（k －1）！（n －k ＋1）！＝0， 则kC k n ＋1＝(n ＋1)C k －1n ，所以1k C k －1n ＝1n ＋1C k n ＋1， 所以S n ＋1＝∑n ＋1k ＝1(－1)k ＋11k C k n ＋1＝∑nk ＝1(－1)k ＋11k C k n ＋1＋(－1)n ＋21n ＋1(同证法一中“归纳递推”中的过程，参考上面的评分标准给分) ＝S n ＋1n ＋1，(9分) 所以S n ＋1－S n ＝1n ＋1，则S n ＋1－S n ＝1n ＋1，S n －S n －1＝1n ，…，S 2－S 1＝12，以上n 个式子相加得S n ＋1－S 1＝1n ＋1＋1n ＋…＋12，又由(1)知S 1＝1，所以S n ＋1＝1＋12＋13＋…＋1n ＋1n ＋1，当n ≥2时，S n ＝1＋12＋13＋…＋1n，当n ＝1时，符合上式．故S n ＝1＋12＋13＋…＋1n ，即S n －∑nk ＝11k＝0.(10分)。

江苏省扬州中学2019届高三开学数学I 试题注意事项：1．本试卷共160分，考试时间120分钟；2．答题前，请务必将自己的姓名学校、考试号写在答卷纸的规定区域内； 3．答题时必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，作图可用2B 铅笔．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{1，3，4}，B ＝{3，5}，则(A B)U I ð＝ ．2.己知复数iz -=12，则z 的虚部为 ． 3．如图是样本容量为200的频率分布直方图，根据此样本的频率分布 直方图估计，样本数据落在[6，10)内的频数为 ．4．现有三张识字卡片，分别写有“中”“国”“梦”这三个字．将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是________．5． 函数22log (32)y x x =--的定义域为 ．6.己知 53)sin(=+απ，且 α2sin 2<0，则 )4tan(πα+的值为 ． 7.若正整数N 除以正整数m 后的余数为r,则记为 N=r (mod m),例如10 = 2 (mod 4)。

下列程序框图的算法源于我国古代数学名著《孙子算经》中的 “中国剩余定理”，则执行该程序框图输出的i 等于 ．8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 .9.已知双曲线C: 0)>b 0,>(12222a by a x =-，点A ，B 在双曲线C 的左支上，0为坐标点，直线B0与双曲线C 的右支交于点M 。

若直线AB 的斜率为3,直线AM 的斜率为1，则双曲线C 的离心率为 ．10.已知{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，数列{}n b 满足11b a =，且12n b a a =++L1121n n n a a a a a --++++++L （2,n n *∈N ≥），若(27)2019m m a b +-=，则m 的值为 ．11.在△ABC 中，已知AB ＝3，BC ＝2，D 在AB 上，AD →＝13AB →.若DB →·DC →＝3，则AC 的长是________．12.在平面直角坐标系xOy 中，已知AB 是圆O ：221x y +=直径，若直线l ：310kx y k --+= 上存在点P ，连接AP 与圆O 交于点Q ，满足BP ∥OQ ，则实数k 的取值范围是 ．13．已知一个等腰三角形的底边长为4，则它的一条底角的角平分线长的取值范围是 ．14.设函数g (x )＝e x ＋3x －a (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，定义在R 上的连续函数f (x )满足：f (－x )＋f (x )＝x 2，且当x ＜0时， f ′(x )＜x ，若∃x 0∈{x |f (x )＋2≥f (2－x )＋2x }，使得g (g (x 0))＝x 0，则实数a 的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分） 如图，在四棱柱1111D C B A A B C D -中，已知平面⊥C C AA 11平面,A B C D 且3===CA BC AB ,1==CD AD .(1)求证：;1AA BD ⊥(2)若E 为棱BC 的中点，求证：//AE 平面11D DCC .1A E CD BA1D 1B 1C 第15题16.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(﹣1，0)，OC ＝1，且∠AOC ＝x ，其中O 为坐标原点．（1）若34x π=，设点D 为线段OA 上的动点，求OC OD +的最小值； （2）若x ∈[0，2π]，向量BC m =，n =(1cos x -，sin 2cos x x -)，求m n ⋅的最小值及对应的x 值．17. 如图，一楼房高AB为某广告公司在楼顶安装一块宽BC 为4米的广告牌，CD 为拉杆，广告牌BC 边与水平方向的夹角为60︒，安装过程中，米的监理人员EF 站在楼前观察该广告牌的安装效果；为保证安全，该监理人员不得站在广告牌的正下方；设AE x =米，该监理人员观察广告牌的视角BFC θ∠=；（1）试将tan θ表示为x 的函数； （2）求点E 的位置，使θ取得最大值．18. 已知椭圆C 的两焦点分别为F 1(32-,0)，F 2(32，0)，点E 在椭圆C 上，且∠F 1EF 2=60°， 124EF EF ⋅=u u u v u u u v .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过x 轴正半轴上一点M 作直线l ，交椭圆C 于A B 两点。