2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习：专题11 算法、复数、推理与证明 第78练含解析

【2018年高三数学优质试卷分项精品】专题24 算法 推理 证明 复数一、填空题1.设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于实轴对称，z 1=1+i ，则z 1z 2= . 【答案】2【解析】由题意，得i z +=11，i z -=12，则2)1)(1(21=-+=i i z z ． 2.若复数z 满足i 1i z ⋅=+，则z 的共轭复数的虚部是 . 【答案】1【解析】i ii i i i i z -=-+-=⋅+=+=111)1()1(2，所以i z +=1_，得虚部为1. 3. 执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出S 的值为 .【答案】84. 用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第○n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数是 ． 【答案】62n +【解析】由题意得：“金鱼”图需要火柴棒的根数依次构成一个等差数列，首项为8，公差为6，因此第n 项为62n +5. 执行如图所示的程序框图，则输出i 的值为.【答案】56.若复数43(cos )(sin )55z i θθ=-+-是纯虚数（i 为虚数单位），则tan ()4πθ-的值为 .【答案】7-【解析】因为复数43(cos )(sin )55z i θθ=-+-是纯虚数，所以4cos 053sin 05θθ⎧-=⎪⎪⎨⎪-≠⎪⎩，解之得43cos ,sin 55θθ==-，所以3tan 4θ=-，3tan tan144tan 7341tan tan 1144πθπθπθ---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++-⨯ ⎪⎝⎭.7.对于数列{n a }，定义数列{n n a a -+1}为数列{n a }的“差数列”，若21=a ，{n a }的“差数列”的通项为n 2，则数列{n a }的前n 项和n S = .【答案】122n +-【解析】由题意得：12nn n a a +-=，所以1122(12)22222212n n n n n a ----=++++=+=- ，所以n S 122n +=-.8.设i 是虚数单位,如果复数i2ia +-的实部与虚部相等,那么实数a 的值为 . 【答案】3【解析】∵i 21(2)i2i 5a a a +-++=-,∴212a a -=+,3a =. 9. 已知函数()2log 1f x a x =+（0a ≠），定义函数()()(),0,0f x x F x f x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，给出下列命题：① ()()F x f x =；②函数()F x 是偶函数；③当0a <时，若01m n <<<，则有()()0F m F n -<成立；④当0a >时，函数()2y F x =-有4个零点．其中正确命题的个数为 ．【答案】3调递增函数，因此③对；当(0,1),0x a ∈>时，()2log 1f x a x =-+为单调递减函数，且()(1,)f x ∈+∞，当(1,),0x a ∈+∞>时，()2log 1f x a x =+为单调递增函数，且()(1,)f x ∈+∞，因此当0x >时()2f x =有两个解，又()F x 是偶函数，因此函数()2y F x =-有4个零点，即④对，正确命题的个数为3. 10. 如图，当输入5x =-,15y =时，图中程序运行后输出的结果为 .【答案】33,3【解析】因为0<x ,所以执行183=+=y x ，即此时18=x ，15=y ，输出为y x y x +-,，而33,3=+=-y x y x ，所以输出结果为33,3.11. 复数34343iz i+=+-，则||z 等于 .【解析】由题意得()()()()344334333434343i i iz i i i i +++=+=+=+--+，所以z ==12. 若复数()21+2ai i -（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a = .【答案】1-13. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是.【答案】2017【解析】分析程序框图可知，当i 为偶数时，2017S =，当i 为奇数时，2016S =，而程序在0i =时跳出循环，故输出2017S =，14. 在平面直角坐标系x y O 中，已知过原点O 的动直线l 与圆C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ，若点A 恰为线段OB 的中点，则圆心C 到直线l 的距离 ．【解析】由22650x y x +-+=可得4)3(22=+-y x ，设圆心C 到直线l 的距离为m OA OB d 22,==，则借助几何特征可得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+449)23(2222m d m d ，解之得：463827==d .二、解答题15. (1)已知复数z 满足⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i ·z ＝1＋i(其中i 为虚数单位)，求|z |的值.(2)执行如图所示的程序框图，求输出的S 的值.【答案】(1) 2;(2)25 【解析】(1)i ii i i i i i z )2321()2321(4341)2321()2321()2321)(2321()2321)(1(23211-++=+-++=-+-+=++=，所以2)2321()2321(22=-++=z .16.一个非空集合中的各个元素之和是3的倍数，则称该集合为“好集”． 记集合 {1，2，3，…，3n }的子集中所有“好集”的个数为f (n )．（1）求f (1)，f (2)的值； （2）求f (n )的表达式．【答案】（1）f (1)=3，f (2)＝23；（2）f (n )＝2n(4n－1)3+2n－1．【解析】 (1)易得f (1)=3；当n =2时，集合{1，2，3，4，5，6}的子集中是“好集”的有：单元集：{3}，{6}共2个，双元集{1,2}，{1,5}，{2,4}，{4,5}，{3,6}共5个，三元集有：{1,2,3}，{1,2,6}，{1,3,5}，{1,5,6}，{4,2,3}，{4,2,6}，{4,3,5}，{4,5,6}共8个，四元集有{3,4,5,6}，{2,3,4,6}， {1,3,5,6}，{1,2,3,6}，{1,2,4 ,5}共五个，五元集{1,2,4,5,6}，{1,2,3,4,5}共2个，还有一个全集． 故f (2)＝1+(2+5)×2+8＝23．③含有元素是3n +1与3n +2的“好集”是{1，2，3，…，3n }中各元素之和被3除余0的集合，含有元素是3n +2与3n +3的“好集”是{1，2，3，…，3n }中各元素之和被3除余1的集合，含有元素是3n +1与3n +3的“好集”是{1，2，3，…，3n }中各元素之和被3除余2的集合，合计是23n；④含有元素是3n +1，3n +2，3n +3的“好集”是{1，2，3，…，3n }中“好集”与它的并，再加上{3n +1，3n +2，3n +3}． 所以，f (n +1)＝2 f (n )+2×23n+1． 两边同除以2n +1，得f (n +1)2n +1－f (n )2n＝4n+12n +1， 所以 f (n )2n ＝4n -1+4n -2+…+4+12n +12n -1+…+122+32＝4n－13+1－12n ，即f (n )＝2n (4n－1)3+2n－1．17.汽车从刹车开始到完全静止所用的时间叫做刹车时间；所经过的距离叫做刹车距离.某型汽车的刹车距离s(单位米)与时间t(单位秒)的关系为32510s t k t t =-⋅++，其中k 是一个与汽车的速度以及路面状况等情况有关的量．（1）当k =8时，且刹车时间少于1秒，求汽车刹车距离；（2）要使汽车的刹车时间不小于1秒钟，且不超过2秒钟，求k 的取值范围． 【答案】（1）6752210米；（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈461,8k .【解析】（1）当8k =时，325810s t t t =-++， 这时汽车的瞬时速度为V='215161s t t =-+， 令'0s =，解得1t =（舍）或115t =， 当115t =时，6752210=s ， 所以汽车的刹车距离是6752210米．115t t+≥Q115,t t t ==Q []1,2t =，∴记1()15f t t t=+， '21()15f t t =-，[1,2]t ∈ ，'21()150f t t ∴=->，()f t ∴单调递增， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∴261,16)(t f ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈261,162k ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈461,8k ，故k 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈461,8k . 考点：导数的物理意义，方程有解问题.18.若数列{}n C1n c +，②存在常数(M M 与n 无关），使n c M ≤.则称数列{}n c 是“和谐数列”. （1）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且442,30a S ==，求证：数列{}n S 是“和谐数列”；（2）设{}n a 是各项为正数，公比为q 的等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，求证：数列{}n S 是“和谐数列”的充要条件为01q <<.【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】（1）设公比为q ，则3411414161(1)21a a q a a q q s q ⎧==⎧⎪⎪⇒⎨⎨-==⎪⎪⎩-⎩,所以51322n n s -=-.≤141322n n S +--=.且513232.2n n S -=-<即存在常数32,所以，数列{}n S 是“和谐数列” .因为222222112()(1)(1)()(1)11n n n n n n n a aS S q q q q q q q ++++=--=--+-- 21222122111()(12)()(1)11n n n n a aq q q S q q++++<-+=-=-- 所以{}n S 是“和谐数列” 必要性等比数列{}n a 各项为正，且n S 是“和谐数列”. 因为0.n a > 所以，0.q > 下面用反证法证明，1q <（1）当1,q =则1,n S na =因为10,a >所以，不存在M ，使1na M <对1n N -∈恒成立; 当1q >，则111(1)111n n n a q a aS q q q q -==---- 所以，对于给定的正数M ，若11,11n a aq M q q ->--因为，1q >，所以，11log (1).q q n M a ->+ 即当11log (1)q q n M a ->+时，有n S M >. 所以，不存在常数M ，使.n S M ≤ 所以，0 1.q <<综上,数列{}n S 是“和谐数列”的充要条件为其公比为01q <<. 19 .已知两个无穷数列{}{},n n a b 分别满足12n na a +-=，2214n nb b +=，且111,1a b ==-． （1）若数列{}{},n n a b 都为递增数列，求数列{}{},n n a b 的通项公式； （2）若数列{}n c 满足：存在唯一的正整数()r r N *∈，使得1r r cc +<，称数列{}n c为“梦r 数列”；设数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,nn ST ，① 若数列{}n a 为“梦5数列”，求nS；② 若{}n a 为“梦1r 数列”，{}n b 为“梦2r 数列”，是否存在正整数m ，使得1m m ST +=，若存在，求m 的最大值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）21n a n =-，11,12,2n n n b n --=⎧=⎨≥⎩（2）①22,5420,6n n n S n n n ⎧≤⎪=⎨-+≥⎪⎩②max 6m =差数列，故22,5420,6n n n S n n n ⎧≤⎪=⎨-+≥⎪⎩； ………8分②∵2214n n b b +=即12n n b b +=±，1||2n n b -∴= ………9分 而数列{}n b 为“梦数列”且11b =-，∴数列{}n b 中有且只有两个负项．假设存在正整数m ，使得+1m m S T =，显然1m ≠，且m T 为奇数，而{}n a 中各项均为奇数，∴m 必为偶数． ………10分 首先证明：6m ≤．若7m >，数列{}n a 中()()21max 1321(1)m S m m +=++⋅⋅⋅++=+，而数列{}n b 中，m b 必然为正，否则()()1121212122230m m m m T b ---=-++⋅⋅⋅+-≤-++⋅⋅⋅++-=-<，显然矛盾；（※）∴()()()13211min 12+22223m m m m m T ----=-++⋅⋅⋅++-+=-， 设122(1)3m m c m -=-+-，易得11223,m m m m d c c m -+=-=-- 而11220m m m d d -+-=->，()7m >，∴{}m d ()7m >为增数列，且70d >进而{}m c ()7m >为增数列，而80c >， ∴()()min max m m T S >，即6m ≤． ………14分 当6m =时，构造：{}n a 为1,3,1,3,5,7,9,⋅⋅⋅，{}n b 为1,2,4,8,16,32,64,--⋅⋅⋅ 此时12r =，24r =所以max 6m =，对应的12r =，24r = ………16分20.设数列{}n a 的通项公式为n a pn q =+(,0)n N p *∈>，数列{}n b 定义如下：对于正整数m ，m b 是使得不等式n a m ≥成立的所有n 中的最小值. （1）若11,23p q ==-，求3b ; （2）若2,1p q ==-，求数列{}m b 的前2m 项和公式;（3）是否存在p 和q ，使得32m b m =+()m N *∈？如果存在，求p 和q 的取值范围？如果不存在，请说明理由.【答案】（1）37b =；（2）22m m +；（3）121,[,]333p q =∈--.（2）由题意，得21n a n =-，对于正整数由n a m ≥，得12m n +≥, 根据m b 的定义可知，当21m k =-时，()m b k k N *=∈ 当2m k =时，1()m b k k N *=+∈∴1221321()m m b b b b b b -+++=+++ 242()m b b b ++++ =2(123)[234(1)]2m m m m ++++++++++=+（3）假设存在p 和q 满足条件，由不等式pn q m +≥及0p >得m q n p -≥ ∵32()m b m m N *=+∈，根据m b 的定义可知，对于任意正整数的都有 3132m q m m p-+<≤+即2(31)p q p m p q --≤-<--对任意的正整数m 都成立. 当310p ->（或310p -<）时，得22()31313131p q p q p q p q m m p p p p ++++-≥≥--≤≤-----或 这与上述结论矛盾.当310p -=即13p =时，21033q q --≤<--，∴2133q -≤<- ∴所以存在p 和q ，使得满足条件的p ，q ，且p ，q 的取值范围分别是：121,[,]333p q =∈--.。

（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题11 算法、复数、推理与证明 第79练 复数练习 理1．(2016·镇江一模)i 为虚数单位，则2－i＝____________. 2．(2016·南京、盐城一模)已知复数z ＝2＋i 1－i(i 是虚数单位)，则|z |＝________. 3．(2016·泰州一模)如图，在复平面内，点A 对应的复数为z 1，若z 2z 1＝i(i 为虚数单位)，则z 2＝________.4．设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝________.5．(2016·全国甲卷改编)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是____________．6．已知复数z ＝3＋i－32，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝__________. 7．若复数z ＝2－i ，则z ＋10z＝________. 8．(2016·长沙模拟)已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫i ，i 2，1i ，＋2i ，i 是虚数单位，Z 为整数集，则集合Z ∩M 中的元素个数是________．9．满足z ＋i z＝i(i 为虚数单位)的复数z ＝______________. 10．(2015·江苏)设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________．11．(2016·天津)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab的值为________．12．(2016·山东实验中学诊断)在复平面内，复数21－i对应的点到直线y ＝x ＋1的距离是________．13．(2016·江苏一模)设f (n )＝(1＋i 1－i )n ＋(1－i 1＋i)n (n ∈N *)，则集合{f (n )}中元素的个数为________．14．(2016·苏州一模)对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是________．(填序号)①|z －z |＝2y ；②z 2＝x 2＋y 2；③|z －z |≥2x ；④|z |≤|x |＋|y |. 答案精析1.35－15i2.1023.－2－i4.－1＋i 5．(－3,1) 6.147．6＋3i解析 ∵z ＝2－i ，∴z ＋10z ＝(2＋i)＋102－i ＝(2＋i)＋＋－＋＝6＋3i. 8．2解析 由已知得M ＝{i ，－1，－i,2}，Z 为整数集，∴Z ∩M ＝{－1,2}，即集合Z ∩M 中有2个元素． 9.12－12i 解析 ∵z ＋i z＝i ，∴z ＋i ＝z i ，∴i＝z (i －1)． ∴z ＝ii －1＝－1－－1＋－1－＝1－i 2 ＝12－12i. 10. 5解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由复数相等的定义得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝3，2ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝－1， 从而|z |＝a 2＋b 2＝ 5.11．2解析 因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，又a ，b ∈R ，所以1＋b ＝a,1－b ＝0，得a ＝2，b ＝1，所以a b ＝2. 12.22解析 21－i ＝＋－＋＝1＋i ，所以复数21－i 对应的点为(1,1)，点(1,1)到直线y ＝x ＋1的距离为1－1＋112＋－2 ＝22. 13．3 解析 因为f (n )＝(1＋i 1－i )n ＋(1－i 1＋i)n ＝i n ＋(－i)n ，所以f (1)＝0，f (2)＝－2， f (3)＝0，f (4)＝2，f (5)＝0＝f (1)，…，故集合{f (n )}中共有3个元素．14．④解析 对于①，∵z ＝x －y i(x ，y ∈R )，|z －z |＝|x ＋y i －x ＋y i|＝|2y i|＝|2y |，∴①不正确；对于②，z 2＝x 2－y 2＋2xy i ，故不正确；对于③∵|z －z |＝|2y |≥2x 不一定成立，∴③不正确；对于④，|z |＝x 2＋y 2≤|x |＋|y |，故④正确．。

2018江苏高考数学试卷(理)1．已知集合A={0,1,2,8}，B={-1,1,6,8}，则AB={-8,-6,-1,0,2,6,8}。

2．设复数z=x+yi，则有ix=y+1，即y=-x/2+1/2.因此z的实部为x=-y/2+1/2.3．根据茎叶图可知，这5位裁判打出的分数为60、61、62、63、64.因此它们的平均数为62.4．根据伪代码，S的初始值为0，然后进行循环，每次将S加上i的平方。

最后输出S的值即可得到答案。

5．由于log2(x-1)的定义域为x>1，因此函数f(x)的定义域为x>1.6．从2名男生和3名女生中选出2名学生，恰好选中2名女生的方案数为C(3,2)。

总的方案数为C(5,2)。

因此所求概率为C(3,2)/C(5,2)=3/10.7．根据函数图象关于x=0对称可知，sin(2x+π/2)的图象关于y=0对称。

因此sin(2x+π/2)=-XXX。

因此y=-sin2x。

8．双曲线的离心率为c/a。

根据右焦点到渐近线的距离公式可得c=ab/3.因此离心率为3/2.9．当-2<x≤0时，f(x)=2；当0<x≤2时，f(x)=cos(πx/2)。

因此f(15)=f(3)=cos(3π/2)=-1.10．以正方体的一个顶点为原点建立空间直角坐标系，则所求多面体为一个正八面体。

因此它的体积为(2√2)³=16√2.11．由于f(x)在(0,∞)内有且只有一个零点，因此f(x)在(0,∞)内单调递增或单调递减。

又因为f(-1)和f(1)异号，因此f(x)在(-1,1)内有且只有一个零点。

设该零点为x0，则f(x)在(-1,x0)上单调递增，在(x0,1)上单调递减。

因此f(x)的最大值和最小值分别为f(x0)和f(-1)或f(1)中的较大值和较小值。

设f(x0)=y，则y²=4x0³-a²x0²+4x0-4.由于f(x)在(-1,1)内有且只有一个零点，因此y>0.因此y²+4=a²x0²-4x0+20>16.因此y>2.因此f(-1)+f(1)+2y>2-2/y+2+y>4.12．设A的坐标为(2t,t)，则B的坐标为(5-2t,-2t)。

2018年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，那么A∩B=．2．（5分）若复数z满足i•z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为．3．（5分）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为．4．（5分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为．5．（5分）函数f（x）=的定义域为．6．（5分）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为．7．（5分）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，则φ的值为．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为．9．（5分）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上，f （x）=，则f（f（15））的值为．10．（5分）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．11．（5分）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若=0，则点A 的横坐标为．13．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为．14．（5分）已知集合A={x|x=2n﹣1，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N*}．将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n}，记S n为数列{a n}的前n项和，则使得S n＞12a n+1成立的n的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1．求证：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC．16．（14分）已知α，β为锐角，tanα=，cos（α+β）=﹣．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．17．（14分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P 为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（），焦点F1（﹣，0），F2（，0），圆O的直径为F1F2．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l的方程．19．（16分）记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x0∈R，满足f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．（1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S点”；（2）若函数f（x）=ax2﹣1与g（x）=lnx存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数f（x）=﹣x2+a，g（x）=．对任意a＞0，判断是否存在b＞0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”，并说明理由．20．（16分）设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）21．（10分）如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为C．若PC=2，求BC的长．B.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．（10分）已知矩阵A=．（1）求A的逆矩阵A﹣1；（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P′（3，1），求点P的坐标．C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．D.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求x2+y2+z2的最小值．【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．26．设n∈N*，对1，2，……，n的一个排列i1i2……i n，如果当s＜t时，有i s＞i t，则称（i s，i t）是排列i1i2……i n的一个逆序，排列i1i2……i n的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序（2，1），（3，1），则排列231的逆序数为2．记f n（k）为1，2，…，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．（1）求f3（2），f4（2）的值；（2）求f n（2）（n≥5）的表达式（用n表示）．2018年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，那么A∩B={1，8} ．【考点】1E：交集及其运算．【专题】37：集合思想；4A：数学模型法；5J：集合．【分析】直接利用交集运算得答案．【解答】解：∵A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，∴A∩B={0，1，2，8}∩{﹣1，1，6，8}={1，8}，故答案为：{1，8}．【点评】本题考查交集及其运算，是基础的计算题．2．（5分）若复数z满足i•z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为2．【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；34：方程思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由i•z=1+2i，得z=，∴z的实部为2．故答案为：2．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（5分）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为90．【考点】BA：茎叶图．【专题】31：数形结合；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】根据茎叶图中的数据计算它们的平均数即可．【解答】解：根据茎叶图中的数据知，这5位裁判打出的分数为89、89、90、91、91，它们的平均数为×（89+89+90+91+91）=90．故答案为：90．【点评】本题考查了利用茎叶图计算平均数的问题，是基础题．4．（5分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为8．【考点】EA：伪代码（算法语句）．【专题】38：对应思想；4B：试验法；5K：算法和程序框图．【分析】模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的S值．【解答】解：模拟程序的运行过程如下；I=1，S=1，I=3，S=2，I=5，S=4，I=7，S=8，此时不满足循环条件，则输出S=8．故答案为：8．【点评】本题考查了程序语言的应用问题，模拟程序的运行过程是解题的常用方法．5．（5分）函数f（x）=的定义域为[2，+∞）．【考点】33：函数的定义域及其求法．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】解关于对数函数的不等式，求出x的范围即可．【解答】解：由题意得：≥1，解得：x≥2，∴函数f（x）的定义域是[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．【点评】本题考查了对数函数的性质，考查求函数的定义域问题，是一道基础题．6．（5分）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为0.3．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5I：概率与统计．【分析】（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有C52=10种，其中全是女生的有C32=3种，根据概率公式计算即可，（适合文科生），设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共10种，其中全是女生为AB，AC，BC共3种，根据概率公式计算即可【解答】解：（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有C52=10种，其中全是女生的有C32=3种，故选中的2人都是女同学的概率P==0.3，（适合文科生），设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共10种，其中全是女生为AB，AC，BC共3种，故选中的2人都是女同学的概率P==0.3，故答案为：0.3【点评】本题考查了古典概率的问题，采用排列组合或一一列举法，属于基础题．7．（5分）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，则φ的值为．【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性．【专题】34：方程思想；4O：定义法；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据正弦函数的对称性建立方程关系进行求解即可．【解答】解：∵y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，∴2×+φ=kπ+，k∈Z，即φ=kπ﹣，∵﹣φ＜，∴当k=0时，φ=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用正弦函数的对称性建立方程关系是解决本题的关键．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为2．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可．【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线y=x的距离为c，可得：=b=，可得，即c=2a，所以双曲线的离心率为：e=．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．9．（5分）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上，f （x）=，则f（f（15））的值为．【考点】3T：函数的值．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】根据函数的周期性，进行转化求解即可．【解答】解：由f（x+4）=f（x）得函数是周期为4的周期函数，则f（15）=f（16﹣1）=f（﹣1）=|﹣1+|=，f（）=cos（）=cos=，即f（f（15））=，故答案为：【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数的周期性结合分段函数的表达式利用转化法是解决本题的关键．10．（5分）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】求出多面体中的四边形的面积，然后利用体积公式求解即可．【解答】解：正方体的棱长为2，中间四边形的边长为：，八面体看做两个正四棱锥，棱锥的高为1，多面体的中心为顶点的多面体的体积为：2×=．故答案为：．【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．11．（5分）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为﹣3．【考点】6E：利用导数研究函数的最值．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．【分析】推导出f′（x）=2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），当a≤0时，f′（x）=2x（3x ﹣a）＞0，f（0）=1，f（x）在（0，+∞）上没有零点；当a＞0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0的解为x＞，f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）递增，由f（x）只有一个零点，解得a=3，从而f（x）=2x3﹣3x2+1，f′（x）=6x （x﹣1），x∈[﹣1，1]，利用导数性质能求出f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和．【解答】解：∵函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，∴f′（x）=2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），①当a≤0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（0）=1，f（x）在（0，+∞）上没有零点，舍去；②当a＞0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0的解为x＞，∴f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）递增，又f（x）只有一个零点，∴f（）=﹣+1=0，解得a=3，f（x）=2x3﹣3x2+1，f′（x）=6x（x﹣1），x∈[﹣1，1]，f′（x）＞0的解集为（﹣1，0），f（x）在（﹣1，0）上递增，在（0，1）上递减，f（﹣1）=﹣4，f（0）=1，f（1）=0，∴f（x）min=f（﹣1）=﹣4，f（x）max=f（0）=1，∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为：f（x）max+f（x）min=﹣4+1=﹣3．【点评】本题考查函数的单调性、最值，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若=0，则点A 的横坐标为3．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；34：方程思想；41：向量法；5A：平面向量及应用．【分析】设A（a，2a），a＞0，求出C的坐标，得到圆C的方程，联立直线方程与圆的方程，求得D的坐标，结合=0求得a值得答案．【解答】解：设A（a，2a），a＞0，∵B（5，0），∴C（，a），则圆C的方程为（x﹣5）（x﹣a）+y（y﹣2a）=0．联立，解得D（1，2）．∴=．解得：a=3或a=﹣1．又a＞0，∴a=3．即A的横坐标为3．故答案为：3．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查圆的方程的求法，是中档题．13．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为9．【考点】7F：基本不等式及其应用；HT：三角形中的几何计算．【专题】35：转化思想；4R：转化法；59：不等式的解法及应用．【分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可．【解答】解：由题意得acsin120°=asin60°+csin60°，即ac=a+c，得+=1，得4a+c=（4a+c）（+）=++5≥2+5=4+5=9，当且仅当=，即c=2a时，取等号，故答案为：9．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，利用1的代换结合基本不等式是解决本题的关键．14．（5分）已知集合A={x|x=2n﹣1，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N*}．将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n}，记S n为数列{a n}的前n项和，则使得S n＞12a n+1成立的n的最小值为27．【考点】8K：数列与不等式的综合．【专题】35：转化思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列．【分析】采用列举法，验证n=26，n=27即可．【解答】解：利用列举法可得：当n=26时，A∪B中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{a n}，所以数列{a n}的前26项分成两组：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23.25，…41；2，4，8，16，32．S26=，a27=43，⇒12a27=516，不符合题意．当n=27时，A∪B中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{a n}，所以数列{a n}的前27项分成两组：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，…41，43；2，4，8，16，32．S27==546，a28=45⇒12a28=540，符合题意，故答案为：27．【点评】本题考查了集合、数列的求和，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1．求证：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC．【考点】LY：平面与平面垂直．【专题】35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）由⇒AB∥平面A1B1C；（2）可得四边形ABB1A1是菱形，AB1⊥A1B，由AB1⊥B1C1⇒AB1⊥BC⇒AB1⊥面A1BC，⇒平面ABB1A1⊥平面A1BC．【解答】证明：（1）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥A1B1，AB∥A1B1，AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂∥平面A1B1C⇒AB∥平面A1B1C；（2）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，⇒四边形ABB1A1是菱形，⊥AB1⊥A1B．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1⇒AB1⊥BC．∴⇒AB1⊥面A1BC，且AB1⊂平面ABB1A1⇒平面ABB1A1⊥平面A1BC．【点评】本题考查了平行六面体的性质，及空间线面平行、面面垂直的判定，属于中档题．16．（14分）已知α，β为锐角，tanα=，cos（α+β）=﹣．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．【分析】（1）由已知结合平方关系求得sinα，cosα的值，再由倍角公式得cos2α的值；（2）由（1）求得tan2α，再由cos（α+β）=﹣求得tan（α+β），利用tan（α﹣β）=tan[2α﹣（α+β）]，展开两角差的正切求解．【解答】解：（1）由，解得，∴cos2α=；（2）由（1）得，sin2，则tan2α=．∵α，β∈（0，），∴α+β∈（0，π），∴sin（α+β）==．则tan（α+β）=．∴tan（α﹣β）=tan[2α﹣（α+β）]==．【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是中档题．17．（14分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P 为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【考点】3E：函数单调性的性质与判断．【专题】12：应用题；33：函数思想；4M：构造法；58：解三角形．【分析】（1）根据图形计算矩形ABCD和△CDP的面积，求出sinθ的取值范围；（2）根据题意求出年总产值y的解析式，构造函数f（θ），利用导数求f（θ）的最大值，即可得出θ为何值时年总产值最大．=（40sinθ+10）•80cosθ【解答】解：（1）S矩形ABCD=800（4sinθcosθ+cosθ），S△CDP=•80cosθ（40﹣40sinθ）=1600（cosθ﹣cosθsinθ），当B、N重合时，θ最小，此时sinθ=；当C、P重合时，θ最大，此时sinθ=1，∴sinθ的取值范围是[，1）；（2）设年总产值为y，甲种蔬菜单位面积年产值为4t（t＞0），乙种蔬菜单位面积年产值为3t，则y=3200t（4sinθcosθ+cosθ）+4800t（cosθ﹣cosθsinθ）=8000t（sinθcosθ+cosθ），其中sinθ∈[，1）；设f（θ）=sinθcosθ+cosθ，则f′（θ）=cos2θ﹣sin2θ﹣sinθ=﹣2sin2θ﹣sinθ+1；令f′（θ）=0，解得sinθ=，此时θ=，cosθ=；当sinθ∈[，）时，f′（θ）＞0，f（θ）单调递增；当sinθ∈（，1）时，f′（θ）＜0，f（θ）单调递减；∴θ=时，f（θ）取得最大值，即总产值y最大．S矩形ABCD=800（4sinθcosθ+cosθ），S△CDP=1600（cosθ﹣cosθsinθ），sinθ∈[，1）；答：θ=时总产值y最大．【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了构造函数以及利用导数求函数的最值问题，是中档题．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（），焦点F1（﹣，0），F2（，0），圆O的直径为F1F2．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l的方程．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】34：方程思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意可得．，又a2﹣b2=c2=3，解得a=2，b=1即可．（2）①可设直线l的方程为y=kx+m，（k＜0，m＞0）．可得．由，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△=（8km）2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）=0，解得k=﹣，m=3．即可②设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，O到直线l的距离d=，|AB|=|x2﹣x1|=，△OAB的面积为S===，解得k=﹣，（正值舍去），m=3．即可【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为，∵焦点F1（﹣，0），F2（，0），∴．∵∴，又a2﹣b2=c2=3，解得a=2，b=1．∴椭圆C的方程为：，圆O的方程为：x2+y2=3．（2）①可知直线l与圆O相切，也与椭圆C，且切点在第一象限，因此k一定小于0，∴可设直线l的方程为y=kx+m，（k＜0，m＞0）．由圆心（0，0）到直线l的距离等于圆半径，可得．由，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△=（8km）2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）=0，可得m2=4k2+1，∴3k2+3=4k2+1，结合k＜0，m＞0，解得k=﹣，m=3．将k=﹣，m=3代入可得，解得x=，y=1，故点P的坐标为（．②设A（x1，y1），B（x2，y2），由⇒k＜﹣．联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，|x2﹣x1|==，O到直线l的距离d=，|AB|=|x2﹣x1|=，△OAB的面积为S===，解得k=﹣，（正值舍去），m=3．∴y=﹣为所求．【点评】本题考查了椭圆的方程，直线与圆、椭圆的位置关系，属于中档题．19．（16分）记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x0∈R，满足f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．（1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S点”；（2）若函数f（x）=ax2﹣1与g（x）=lnx存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数f（x）=﹣x2+a，g（x）=．对任意a＞0，判断是否存在b＞0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”，并说明理由．【考点】63：导数的运算．【专题】23：新定义；34：方程思想；4O：定义法；52：导数的概念及应用．【分析】（1）根据“S点”的定义解两个方程，判断方程是否有解即可；（2）根据“S点”的定义解两个方程即可；（3）分别求出两个函数的导数，结合两个方程之间的关系进行求解判断即可．【解答】解：（1）证明：f′（x）=1，g′（x）=2x+2，则由定义得，得方程无解，则f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S 点”；（2）f′（x）=2ax，g′（x）=，x＞0，由f′（x）=g′（x）得=2ax，得x=，f（）=﹣=g（）=﹣lna2，得a=；（3）f′（x）=﹣2x，g′（x）=，（x≠0），由f′（x0）=g′（x0），假设b＞0，得b=﹣＞0，得0＜x0＜1，由f（x0）=g（x0），得﹣x02+a==﹣，得a=x02﹣，令h（x）=x2﹣﹣a=，（a＞0，0＜x＜1），设m（x）=﹣x3+3x2+ax﹣a，（a＞0，0＜x＜1），则m（0）=﹣a＜0，m（1）=2＞0，得m（0）m（1）＜0，又m（x）的图象在（0，1）上不间断，则m（x）在（0，1）上有零点，则h（x）在（0，1）上有零点，则存在b＞0，使f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S”点．【点评】本题主要考查导数的应用，根据条件建立两个方程组，判断方程组是否有解是解决本题的关键．20．（16分）设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．【考点】8K：数列与不等式的综合．【专题】35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）根据等比数列和等差数列的通项公式，解不等式组即可；（2）根据数列和不等式的关系，利用不等式的关系构造新数列和函数，判断数列和函数的单调性和性质进行求解即可．【解答】解：（1）由题意可知|a n﹣b n|≤1对任意n=1，2，3，4均成立，∵a1=0，q=2，∴，解得．即≤d≤．证明：（2）∵a n=a1+（n﹣1）d，b n=b1•q n﹣1，若存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，则|b1+（n﹣1）d﹣b1•q n﹣1|≤b1，（n=2，3，…，m+1），即b1≤d≤，（n=2，3，…，m+1），∵q∈（1，]，∴则1＜q n﹣1≤q m≤2，（n=2，3，…，m+1），∴b1≤0，＞0，因此取d=0时，|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，下面讨论数列{}的最大值和数列{}的最小值，①当2≤n≤m时，﹣==，当1＜q≤时，有q n≤q m≤2，从而n（q n﹣q n﹣1）﹣q n+2＞0，因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递增，故数列{}的最大值为．②设f（x）=2x（1﹣x），当x＞0时，f′（x）=（ln2﹣1﹣xln2）2x＜0，∴f（x）单调递减，从而f（x）＜f（0）=1，当2≤n≤m时，=≤（1﹣）=f（）＜1，因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递递减，故数列{}的最小值为，∴d的取值范围是d∈[，]．【点评】本题主要考查等比数列和等差数列以及不等式的综合应用，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）21．（10分）如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为C．若PC=2，求BC的长．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【专题】31：数形结合；5B：直线与圆；5M：推理和证明．【分析】连接OC，由题意，CP为圆O的切线，得到垂直关系，由线段长度及勾股定理，可以得到PO的长，即可判断△COB是等边三角形，BC的长．【解答】解：连接OC，因为PC为切线且切点为C，所以OC⊥CP．因为圆O的半径为2，，所以BO=OC=2，，所以，所以∠COP=60°，所以△COB为等边三角形，所以BC=BO=2．【点评】本题主要考查圆与直线的位置关系，切线的应用，考查发现问题解决问题的能力．B.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．（10分）已知矩阵A=．（1）求A的逆矩阵A﹣1；（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P′（3，1），求点P的坐标．【考点】OF：复合变换与二阶矩阵的乘法；OH：逆变换与逆矩阵．【专题】11：计算题；38：对应思想；49：综合法；5R：矩阵和变换．【分析】（1）矩阵A=，求出det（A）=1≠0，A可逆，然后求解A的逆矩阵A﹣1．（2）设P（x，y），通过•=，求出=，即可得到点P的坐标．【解答】解：（1）矩阵A=，det（A）=2×2﹣1×3=1≠0，所以A可逆，从而：A的逆矩阵A﹣1=．（2）设P（x，y），则•=，所以=A﹣1=，因此点P的坐标为（3，﹣1）．【点评】本题矩阵与逆矩阵的关系，逆矩阵的求法，考查转化思想的应用，是基本知识的考查．C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QJ：直线的参数方程．【专题】35：转化思想；4Q：参数法；5S：坐标系和参数方程．【分析】将直线l、曲线C的极坐标方程利用互化公式可得直角坐标方程，利用直线与圆的相交弦长公式即可求解．【解答】解：∵曲线C的方程为ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，⇒x2+y2=4x，∴曲线C是圆心为C（2，0），半径为r=2得圆．∵直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，∴﹣=2，∴直线l的普通方程为：x﹣y=4．圆心C到直线l的距离为d=，∴直线l被曲线C截得的弦长为2．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的相交弦长关系、点到直线的距离公式，属于中档题．D.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求x2+y2+z2的最小值．【考点】7F：基本不等式及其应用．【专题】35：转化思想；5M：推理和证明；5T：不等式．【分析】根据柯西不等式进行证明即可．【解答】解：由柯西不等式得（x2+y2+z2）（12+22+22）≥（x+2y+2z）2，∵x+2y+2z=6，∴x2+y2+z2≥4是当且仅当时，不等式取等号，此时x=，y=，z=，∴x2+y2+z2的最小值为4【点评】本题主要考查不等式的证明，利用柯西不等式是解决本题的关键．，【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．【考点】LM：异面直线及其所成的角；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】15：综合题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角．【分析】设AC，A1C1的中点分别为O，O1，以{}为基底，建立空间直角坐标系O﹣xyz，（1）由|cos|=可得异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求得平面AQC1的一个法向量为，设直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为θ，可得sinθ=|cos|=，即可得直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．【解答】解：如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则，OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，故以{}为基底，建立空间直角坐标系O﹣xyz，∵AB=AA1=2，A（0，﹣1，0），B（，0，0），C（0，1，0），A1（0，﹣1，2），B1（，0，2），C1（0，1，2）．（1）点P为A1B1的中点．∴，∴，．|cos|===．∴异面直线BP与AC1所成角的余弦值为：；（2）∵Q为BC的中点．∴Q（）∴，，设平面AQC1的一个法向量为=（x，y，z），由，可取=（，﹣1，1），设直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为θ，sinθ=|cos|==，∴直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为．【点评】本题考查了向量法求空间角，属于中档题．26．设n∈N*，对1，2，……，n的一个排列i1i2……i n，如果当s＜t时，有i s＞i t，则称（i s，i t）是排列i1i2……i n的一个逆序，排列i1i2……i n的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序（2，1），（3，1），则排列231的逆序数为2．记f n（k）为1，2，…，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．（1）求f3（2），f4（2）的值；（2）求f n（2）（n≥5）的表达式（用n表示）．【考点】D3：计数原理的应用；D4：排列及排列数公式．【专题】11：计算题；37：集合思想；4R：转化法；5M：推理和证明．【分析】（1）由题意直接求得f3（2）的值，对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置，由此可得f4（2）的值；（2）对一般的n（n≥4）的情形，可知逆序数为0的排列只有一个，逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，f n（1）=n﹣1．（2），当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排为计算f n+1（2）=f n（2）+f n 列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置，可得f n+1（1）+f n（0）=f n（2）+n，则当n≥5时，f n（2）=[f n（2）﹣f n﹣1（2）]+[f n﹣1（2）﹣f n﹣2（2）]+…+[f5（2）﹣f4（2）]+f4（2），则f n（2）（n≥5）的表达式可求．【解答】解：（1）记μ（abc）为排列abc得逆序数，对1，2，3的所有排列，有μ（123）=0，μ（132）=1，μ（231）=2，μ（321）=3，∴f3（0）=1，f3（1）=f3（2）=2，对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f4（2）=f3（2）+f3（1）+f3（0）=5；（2）对一般的n（n≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，∴f n（0）=1．逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，f n（1）=n﹣1．（2），当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排为计算f n+1列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置．（2）=f n（2）+f n（1）+f n（0）=f n（2）+n．因此，f n+1当n≥5时，f n（2）=[f n（2）﹣f n﹣1（2）]+[f n﹣1（2）﹣f n﹣2（2）]+…+[f5（2）﹣f4（2）]+f4（2）=（n﹣1）+（n﹣2）+…+4+f4（2）=．因此，当n≥5时，f n（2）=．【点评】本题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，是中档题．。

（江苏专用）2018版高考数学专题复习专题11 算法、复数、推理与证明第84练不等式选讲练习理训练目标理解不等式的解法及证明方法．训练题型(1)绝对值不等式的解法；(2)不等式的证明；(3)柯西不等式的应用．解题策略(1)掌握不等式的基本性质；(2)理解绝对值的几何意义；(3)了解柯西不等式的几种形式.1．(2016·苏北四市一模)设x，y均为正数，且x＞y，求证：2x＋x2－2xy＋y2≥2y＋3.2．(2016·南京、盐城二模)已知x，y，z都是正数，且xyz＝1，求证：(1＋x)(1＋y)(1＋z)≥8.3．(2016·常州一模)已知a＞0，b＞0，证明：(a2＋b2＋ab)·(ab2＋a2b＋1)≥9a2b2. 4．(2016·南通模拟)已知：a≥2，x∈R.求证：|x－1＋a|＋|x－a|≥3.5．(2016·泰州一模)已知正实数a，b，c满足a＋b2＋c3＝1，求证：1a2＋1b4＋1c6≥27.6．(2016·苏、锡、常、镇四市二模)已知函数f(x)＝3x＋6，g(x)＝14－x，若存在实数x使f(x)＋g(x)＞a成立，求实数a的取值范围．答案精析1．证明由题意得x＞0，y＞0，x－y＞0，因为2x＋1x2－2xy＋y2－2y＝2(x－y)＋1x－y2＝(x－y)＋(x－y)＋1x－y2≥3 3x－y21x－y2＝3，所以2x＋1x2－2xy＋y2≥2y＋3.2．证明因为x为正数，所以1＋x≥2x，同理，1＋y≥2y，1＋z≥2z，所以(1＋x)(1＋y)(1＋z)≥2x·2y·2z＝8xyz＝8，当且仅当x＝y＝z＝1时等号成立．3．证明因为a＞0，b＞0，所以a2＋b2＋ab≥33a2·b2·ab＝3ab＞0，ab2＋a2b＋1≥33ab2·a2b·1＝3ab＞0，所以(a2＋b2＋ab)(ab2＋a2b＋1)≥9a2b2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．4．证明因为|m|＋|n|≥|m－n|，所以|x－1＋a|＋|x－a|≥|x－1＋a－(x－a)|＝|2a－1|. 又a≥2，故|2a－1|≥3.所以|x－1＋a|＋|x－a|≥3.5．证明因为正实数a，b，c满足a＋b2＋c3＝1，所以1≥33ab2c3，即ab2c3≤127，所以1ab2c3≥27，因此1a2＋1b4＋1c6≥331a2b4c6≥27.6．解存在实数x使f(x)＋g(x)＞a成立，等价于f(x)＋g(x)的最大值大于a，f(x)＋g(x)＝3x＋6＋14－x＝3×x＋2＋1×14－x，因为(3×x＋2＋1×14－x)2≤(3＋1)(x＋2＋14－x)＝64，所以f(x)＋g(x)＝3x＋6＋14－x≤8，当且仅当x＝10时取“＝”，故常数a的取值范围是(－∞，8)．。

第十三章推理与证明、算法、复数 13.1 合情推理与演绎推理教师用书理苏教版1．合情推理(1)归纳推理①定义：从个别事实中推演出一般性的结论，称为归纳推理(简称归纳法)．②特点：归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理(简称类比法)．②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．(3)合情推理合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．2．演绎推理(1)演绎推理一种由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——一般性的原理；②小前提——特殊对象；③结论——揭示了一般原理与特殊对象的内在联系．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( ×)(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( √)(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( ×)(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．( √)(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是a n ＝n (n ∈N *)．( × ) (6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( × )1．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝________. 答案 123解析 从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，依据此规律，a 10＋b 10＝123. 2．下面几种推理过程是演绎推理的是________．①在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n ≥2)，由此归纳数列{a n }的通项公式；②由平面三角形的性质，推测空间四面体性质；③两直线平行，同旁内角互补，如果∠A 和∠B 是两条平行直线与第三条直线形成的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°；④某校高二共10个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人． 答案 ③解析 ①、④是归纳推理，②是类比推理，③符合三段论模式，③是演绎推理．3．(2017·南京质检)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：①垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③垂直于同一个平面的两个平面互相平行； ④垂直于同一条直线的两个平面互相平行． 则正确的结论是________． 答案 ①④解析 显然①④正确；对于②，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以异面或相交；对于③，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交． 4．(教材改编)在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *)成立，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则存在的等式为________________．答案 b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N *) 解析 利用类比推理，借助等比数列的性质，b 29＝b 1＋n ·b 17－n ，可知存在的等式为b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N *)．5．观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n ∈N *,1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝________.答案 n 2解析 ∵1＝12,1＋2＋1＝22,1＋2＋3＋2＋1＝32， 1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝42，…，∴归纳可得1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝n 2.题型一 归纳推理命题点1 与数字有关的等式的推理 例1 (2016·山东)观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝__________. 答案 43×n ×(n ＋1)解析 观察等式右边的规律：第1个数都是43，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1.命题点2 与不等式有关的推理例2 (2016·苏北四市联考)已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥4，…，类比得x ＋a x n ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝________. 答案 n n解析 第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝11＝1；第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝22＝4；第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33＝27，归纳可知a ＝n n. 命题点3 与数列有关的推理例3 (2016·南京模拟)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n n ＋1 2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ， 正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ， 六边形数 N (n,6)＝2n 2－n .……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝____________. 答案 1 000解析 由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k2n ，∴N (10,24)＝24－22×100＋4－242×10＝1 100－100＝1 000.命题点4 与图形变化有关的推理例4 某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为________．答案 55解析 由2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55. 思维升华 归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解． (2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解． (3)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．(4)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．(2016·苏州模拟)已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，则可以归纳出一般结论：当n ≥2时，有____________．答案 f (2n)>n ＋22(n ∈N *)解析 由题意知f (22)>42，f (23)>52，f (24)>62，f (25)>72，所以当n ≥2时，有f (2n)>n ＋22.故填f (2n)>n ＋22(n ∈N *)．题型二 类比推理例5 (1)对于命题：如果O 是线段AB 上一点，则|OB →|OA →＋|OA →|OB →＝0；将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OBA ·OC →＝0；将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有________． (2)(2017·苏州月考)求1＋1＋1＋…的值时，采用了如下方法：令1＋1＋1＋…＝x ，则有x ＝1＋x ，解得x ＝1＋52(负值已舍去)．可用类比的方法，求得1＋12＋11＋12＋1…的值为________．答案 (1)V O －BCD ·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝0 (2)1＋32解析 (1)线段长度类比到空间为体积，再结合类比到平面的结论，可得空间中的结论为V O－BCD·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝0.(2)令1＋12＋1…＝x ，则有1＋12＋1x ＝x ，解得x ＝1＋32(负值已舍去)．思维升华 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．在平面上，设h a ，h b ，h c 是三角形ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为______________________． 答案P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1 解析 设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A －BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A －BCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ，于是可以得出结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1.题型三 演绎推理例6 设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14构成等比数列．(1)证明：a 2＝4a 1＋5； (2)求数列{a n }的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1<12. (1)证明 当n ＝1时，4a 1＝a 22－5，a 22＝4a 1＋5， 又a n >0，∴a 2＝4a 1＋5.(2)解 当n ≥2时，4S n －1＝a 2n －4(n －1)－1， ∴4a n ＝4S n －4S n －1＝a 2n ＋1－a 2n －4， 即a 2n ＋1＝a 2n ＋4a n ＋4＝(a n ＋2)2， 又a n >0，∴a n ＋1＝a n ＋2，∴当n ≥2时，{a n }是公差为2的等差数列． 又a 2，a 5，a 14成等比数列，∴a 25＝a 2·a 14，即(a 2＋6)2＝a 2·(a 2＋24)， 解得a 2＝3. 由(1)知a 1＝1， 又a 2－a 1＝3－1＝2，∴数列{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列． ∴a n ＝2n －1. (3)证明 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1 2n －1 2n ＋1＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)] ＝12(1－12n ＋1)<12. 思维升华 演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．(1)某国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为________． ①大前提错误 ②小前提错误③推理形式错误(2)(2016·南京模拟)下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是________．①大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数； ②大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数； ③大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数； ④大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数． 答案 (1)③ (2)②解析 (1)因为大前提“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确，小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能类比，所以不符合三段论推理形式，所以推理形式错误．(2)①中小前提不是大前提的特殊情况，不符合三段论的推理形式，故①错误；③、④都不是由一般性命题到特殊性命题的推理，所以①、③、④都不正确，只有②正确．10．高考中的合情推理问题考点分析 合情推理在近年来的高考中，考查频率逐渐增大，题型多为选择、填空题，难度为中档．解决此类问题的注意事项与常用方法：(1)解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误．应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳．(2)解决类比问题，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由，再去类比另一类问题． 典例 (1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测： ①b 2 014是数列{a n }的第________项； ②b 2k －1＝________.(用k 表示)(2)设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f (x )满足：(i)T ＝{f (x )|x ∈S }；(i i)对任意x 1，x 2∈S ，当x 1<x 2时，恒有f (x 1)<f (x 2)．那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是________． ①A ＝N *，B ＝N ；②A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＝－8或0<x ≤10}； ③A ＝{x |0<x <1}，B ＝R ； ④A ＝Z ，B ＝Q .解析 (1)①a n ＝1＋2＋…＋n ＝n n ＋12，b 1＝4×52＝a 4， b 2＝5×62＝a 5， b 3＝9× 2×52＝a 9， b 4＝ 2×5 ×112＝a 10，b 5＝14× 3×52＝a 14，b 6＝3×5 ×162＝a 15，…b 2 014＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142×5⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142×5＋12＝a 5 035.②由①知b 2k －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1＋12×5－1⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1＋12×52＝5k 5k －1 2.(2)对于①，取f (x )＝x －1，x ∈N *，所以A ＝N *，B ＝N 是“保序同构”的，故排除①； 对于②，取f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－8，x ＝－1，x ＋1，－1<x ≤0，x 2＋1，0<x ≤3，所以A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＝－8或0<x ≤10}是“保序同构”的，故排除②； 对于③，取f (x )＝tan(πx －π2)(0<x <1)，所以A ＝{x |0<x <1}，B ＝R 是“保序同构”的，故排除③. ④不符合，故填④.答案 (1)①5 035 ②5k 5k －12(2)④1．(2016·南通检测)演绎推理“因为对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)是增函数，而函数y ＝12log x 是对数函数，所以y ＝12log x 是增函数”所得结论错误的原因是________．①大前提错误 ②小前提错误③推理形式错误 ④大前提和小前提都错误答案 ①解析 因为当a >1时，y ＝log a x 在定义域内单调递增，当0<a <1时，y ＝log a x 在定义域内单调递减，所以大前提错误．2．下列推理是归纳推理的是________．①A ，B 为定点，动点P 满足PA ＋PB ＝2a >AB ，则P 点的轨迹为椭圆；②由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式；③由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πab ；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇． 答案 ②解析 从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n ，是从特殊到一般的推理，所以②是归纳推理，其余都不是．3．(2017·苏州质检)如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为________．答案 8解析 由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n (n ≥2，n ∈N *)层的点数为6(n －1)．设一个点阵有n (n ≥2，n ∈N *)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n －1)＝1＋6n n －1 2＝3n 2－3n ＋1，由题意得3n 2－3n ＋1＝169，即(n ＋7)·(n －8)＝0，所以n ＝8(舍去负值)，故共有8层．4．观察一列算式：1⊗1,1⊗2,2⊗1,1⊗3,2⊗2,3⊗1，1⊗4，2⊗3,3⊗2,4⊗1，…，则式子3⊗5是第________项． 答案 24解析 两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5是和为8的第3项，所以为第24项． 5．(2016·徐州模拟)推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是________． 答案 ②解析 由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论． 6．若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }(b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn)也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为________． ①d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nn②d n ＝c 1·c 2·…·c nn③d n ＝ n c n 1＋c n 2＋…＋c n nn④d n ＝nc 1·c 2·…·c n答案 ④解析 若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n n －12d ，∴b n ＝a 1＋ n －1 2d ＝d 2n ＋a 1－d2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列， 则c 1·c 2·…·c n ＝c n1·q1＋2＋…＋(n －1)＝c n1·(1)2n n q，∴d n ＝nc 1·c 2·…·c n ＝c 1·12n q，即{d n }为等比数列，故④符合题意．7．把正整数按一定的规则排成如图所示的三角形数表，设a ij (i ，j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下第i 行，从左往右数第j 个数，如a 42＝8，若a ij ＝2 009，则i 与j 的和为________．答案 107解析 由题意可知奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2 009＝2×1 005－1，所以 2 009为第1 005个奇数，又前31个奇数行内数的个数为961，前32个奇数行内数的个数为1 024，故2 009在第32个奇数行内，则i ＝63，因为第63行第1个数为2×962－1＝1 923,2 009＝1 923＋2(j －1)，所以j ＝44，所以i ＋j ＝107. 8．已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋…＋a 2010＝a 1＋a 2＋…＋a 3030，则在等比数列{b n }中，类似的结论为______________________． 答案10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 30解析 由等比数列的性质可知b 1b 30＝b 2b 29＝…＝b 11b 20，∴10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 30.9．若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点分别为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2＋y 0yb 2＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点分别为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________________．答案x 0x a 2－y 0y b 2＝1 解析 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， 则P 1，P 2的切线方程分别是x 1x a －y 1y b ＝1，x 2x a －y 2yb＝1.因为P 0(x 0，y 0)在这两条切线上， 故有x 1x 0a －y 1y 0b ＝1，x 2x 0a －y 2y 0b＝1， 这说明P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线x 0x a 2－y 0yb 2＝1上， 故切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2－y 0yb 2＝1. 10.如图，我们知道，圆环也可以看作线段AB 绕圆心O 旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S ＝π(R 2－r 2)＝(R －r )×2π×R ＋r2.所以，圆环的面积等于以线段AB ＝R －r 为宽，以AB 中点绕圆心O 旋转一周所形成的圆的周长2π×R ＋r2为长的矩形面积．请你将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：若将平面区域M ＝{(x ，y )|(x －d )2＋y 2≤r 2}(其中0<r <d )绕y 轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是________．答案 2π2r 2d解析 平面区域M 的面积为πr 2，由类比知识可知：平面区域M 绕y 轴旋转一周得到的旋转体为实心的车轮内胎，旋转体的体积等于以圆(面积为πr 2)为底，以O 为圆心、d 为半径的圆的周长2πd 为高的圆柱的体积，所以旋转体的体积V ＝πr 2×2πd ＝2π2r 2d .11．设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明． 解 f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13 1＋3＝33 1＋3 ＋13 1＋3 ＝33，同理可得f (－1)＋f (2)＝33，f (－2)＋f (3)＝33. 由此猜想f (x )＋f (1－x )＝33.证明：f (x )＋f (1－x )＝13x ＋3＋131－x ＋3＝13x ＋3＋3x3＋3·3x＝13x ＋3＋3x3 3＋3x＝3＋3x3 3＋3x＝33. 12．(2016·徐州模拟)先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题： 已知a 1，a 2∈R ，a 1＋a 2＝1，求证a 21＋a 22≥12.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2， 即f (x )＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋a 21＋a 22 ＝2x 2－2x ＋a 21＋a 22.因为对一切x ∈R ，恒有f (x )≥0， 所以Δ＝4－8(a 21＋a 22)≤0， 从而得a 21＋a 22≥12.(1)若a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，请写出上述结论的推广式； (2)参考上述证法，对你推广的结论加以证明． (1)解 若a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1， 则a 21＋a 22＋…＋a 2n ≥1n.(2)证明 构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2. 即f (x )＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝nx 2－2x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2n ， 因为对一切x ∈R ，恒有f (x )≥0， 所以Δ＝4－4n (a 21＋a 22＋…＋a 2n )≤0， 从而得a 21＋a 22＋…＋a 2n ≥1n.*13.对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，请你根据这一发现，(1)求函数f (x )的对称中心； (2)计算f (12 017)＋f (22 017)＋f (32 017)＋f (42 017)＋…＋f (2 0162 017)． 解 (1)f ′(x )＝x 2－x ＋3，f ″(x )＝2x －1， 由f ″(x )＝0，即2x －1＝0，解得x ＝12.f (12)＝13×(12)3－12×(12)2＋3×12－512＝1.由题中给出的结论，可知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为(12，1)．(2)由(1)知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为(12，1)，所以f (12＋x )＋f (12－x )＝2，即f (x )＋f (1－x )＝2. 故f (12 017)＋f (2 0162 017)＝2，f (22 017)＋f (2 0152 017)＝2， f (32 017)＋f (2 0142 017)＝2， …，f (2 0162 017)＋f (12 017)＝2. 所以f (12 017)＋f (22 017)＋f (32 017)＋f (42 017)＋…＋f (2 0162 017)＝12×2×2 016＝2 016.。

（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题11 算法、复数、推理与证明 第81练 几何证明选讲练习 理1.如图所示，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F .(1)求BF FC的值；(2)若△BEF 的面积为S 1，四边形CDEF 的面积为S 2，求S 1∶S 2的值．2.(2016·南京六校联考)如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为B ，直线ADE 、CFD 、CGE 都是⊙O 的割线，已知AC ＝AB .求证：FG ∥AC .3.(2016·南京、盐城一模)如图，已知点P 为Rt△ABC 的斜边AB 的延长线上一点，且PC 与Rt△ABC 的外接圆相切，过点C 作AB 的垂线，垂足为D .若PA ＝18，PC ＝6，求线段CD 的长． 4.(2016·南通三模)如图，BC为圆O的直径，A为圆O上一点，过点A作圆O的切线交BC的延长线于点P，AH⊥PB于H.求证：PA·AH＝PC·HB.5.(2016·南京、盐城一模)如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点D，AC⊥CD，DE⊥AB，C、E为垂足，连结AD，BD.若AC＝4，DE＝3，求BD的长．6．(2016·苏北四市一模)如图，∠PAQ是直角，圆O与射线AP相切于点T，与射线AQ相交于两点B，C.求证：BT平分∠OBA.答案精析1．解(1)过D点作DG∥BC，交AF于G点．∵E是BD的中点，∴BE＝DE.又∵∠EBF＝∠EDG，∠BEF＝∠DEG，∴△BEF ≌△DEG ，∴BF ＝DG ，∴BF ∶FC ＝DG ∶FC .∵D 是AC 的中点，∴DG ∶FC ＝1∶2，∴BF ∶FC ＝1∶2，即BF FC ＝12. (2)若△BEF 以BF 为底，△BDC 以BC 为底，则由(1)知BF ∶BC ＝1∶3，又由BE ∶BD ＝1∶2，可知h 1∶h 2＝1∶2，其中h 1，h 2分别为△BEF 和△BDC 的高，则S △BEF S △BDC ＝13×12＝16，则S 1∶S 2＝1∶5.2．证明 ∵AB 为切线，AE 为割线，∴AB 2＝AD ·AE ，又∵AC ＝AB ，∴AD ·AE ＝AC 2.∴AD AC ＝AC AE ，又∵∠EAC ＝∠CAD ，∴△ADC ∽△ACE ，∴∠ADC ＝∠ACE ，又∵∠ADC ＝∠EGF ，∴∠EGF ＝∠ACE ，∴GF ∥AC .3．解 由切割线定理，得PC 2＝PA ·PB ，解得PB ＝2，所以AB ＝16，所以Rt△ABC 的外接圆半径r ＝8，记Rt△ABC 外接圆的圆心为O ，连结OC ，则OC ⊥PC ，在Rt△POC 中，由面积法得OC ·PC ＝PO ·CD ，解得CD ＝245.4．证明连结AC ，AB ，因为BC 为圆O 的直径，故AC ⊥AB .又AH ⊥PB ，故AH 2＝CH ·HB ， 即AH CH ＝HB AH .因为PA 为圆O 的切线，故∠PAC ＝∠B .在Rt△ABC 中，∠B ＋∠ACB ＝90°， 在Rt△ACH 中，∠CAH ＋∠ACB ＝90°， 所以∠CAH ＝∠B ，所以∠PAC ＝∠CAH ，所以PC CH ＝PA AH ，即AH CH ＝PA PC .所以PA PC ＝HB AH ，即PA ·AH ＝PC ·HB .5．解 因为CD 与⊙O 相切于点D ， 所以∠CDA ＝∠DBA ，因为AB 为⊙O 的直径，所以∠ADB ＝90°.又DE ⊥AB ，所以△EDA ∽△DBA ， 所以∠EDA ＝∠DBA ，所以∠EDA ＝∠CDA ，DE BD ＝AE AD .又∠ACD ＝∠AED ＝90°，AD ＝AD ， 所以△ACD ≌△AED .所以AE ＝AC ＝4，所以AD ＝AE 2＋DE 2＝5，又DE BD ＝AE AD ，所以BD ＝DE AE ·AD ＝154.6．证明 连结OT .因为AT 是切线，所以OT ⊥AP . 又因为∠PAQ 是直角，即AQ ⊥AP ，所以AB ∥OT ，所以∠TBA ＝∠BTO .又OT ＝OB ，所以∠OTB ＝∠OBT ，所以∠OBT＝∠TBA，即BT平分∠OBA.。

专题10.4 推理与证明1.若P Q (a≥0)，则P ，Q 的大小关系 . 【答案】P<Q2.给出下面类比推理(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“a ，c ∈C ，则a －c ＝0⇒a ＝c ”；②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“a ，b ∈R ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”； ④“若x ∈R ，则|x |＜1⇒－1＜x ＜1”类比推出“若z ∈C ，则|z |＜1⇒－1＜z ＜1”． 其中类比结论正确的个数为 . 【答案】2【解析】类比结论正确的有①②.3.请阅读下列材料：若两个正实数a 1，a 2满足12221=+a a ，那么221≤+a a .证明：构造函数1)(22)()()(2122221++-=-+-=x a a x a x a x x f ，因为对一切实数x ，恒有0)(≥x f ，所以 0≤∆，从而得08)(4221≤-+a a ，所以221≤+a a .根据上述证明方法，若n 个正实数满足122221=+⋯⋯++n a a a 时，你能得到的结论为 .（不必证明）【答案】n a a a n ≤+⋅⋅⋅++21【解析】构造22212()()()+()n f x x a x a x a =-+-+-2122()1n nx a a a x =-++++因为,()0x R f x ∀∈≥恒成立，∴0∆≤，即2124()40n a a a n +++-≤，∴212()n a a a n +++≤，即12n a a a +++≤4.已知等差数列的定义为:在一个数列中，从第二项起,如果每一项与它的前一项的差都为同一个常数，那么这个数叫做等差数列，这个常数叫做该数列的公差．类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义： ；已知数列{}n a 是等和数列，且21=a ，公和为5，那么18a 的值为____________．这个数列的前n 项和n S 的计算公式为_____________________________________．【解析】在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和；318=a ；=n S ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-为偶数为奇数n n y n n ,25,2155.由,)321(321,)21(21,11233323323++=+++=+=中可猜想出的第n 个等式是_____________6.设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是____________． 【答案】③【解析】 若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1，但a <1，b <1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出； 若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出； 若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出； 对于③，即a ＋b >2，则a ， b 中至少有一个大于1， 反证法：假设a ≤1且b ≤1， 则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾，因此假设不成立，a ，b 中至少有一个大于1.7.已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1的图像上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图像上的点，其中n ∈N *，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为__________． 【答案】c n ＞c n ＋138.已知下列等式：112=17531222=+-499753122222=+-+-971311975312222222=+-+-+-观察上式的规律,写出第n 个等式________________________________________. 【答案】1882+-n n 【解析】由112=17)53(21531222=++=+-49)97(2)53(219753122222=++++=+-+-97)1311(2)97(2)53(211311975312222222=++++++=+-+-+-⋅⋅⋅)3454(2)53(21)34()54(7531222222-+-⋅⋅⋅+++=-+--⋅⋅⋅+-+-n n n n)34549753(21-+-+⋅⋅⋅+++++=n n9.若O 为ABC ∆内部任意一点，边AO 并延长交对边于A '，则'ABOCABCS AO AA S ∆=四边形，同理边BO 、CO 并延长，分别交对边于B '、C '，这样可以推出AO BO COAA BB CC ++='''； 类似的，若O 为四面体ABCD 内部任意一点，连AO 、BO 、CO 、DO 并延长，分别交相对面于A '、B '、C '、D '，则AO BO CO DOAA BB CC DD+++='''' . 【答案】2；3.10.如图所示，第n 个图形是由正2n +边形拓展而来（1,2,n =），则第2n -个图形共有____ 个顶点．【答案】2n n +511.在平面几何中，有这样一个定理：过三角形的内心作一直线，将三角形分成的两部分的周长比等于其面积比.请你类比写出在立体几何中，有关四面体的相似性质： .【答案】过四面体的内切球的球心作截面交三条棱于三点，则分成的两部分体积之比等于表面积之比. 【解析】试题分析：设四面体P ABC -的内切球的球心为O ，过O 作截面DEF 交三条棱于点E D F 、、，记内切圆半径为r ，则r 也表示点O 到各面的距离，利用体积的“割补法”知：111333P DEF O PDE O PEF O PDF PDE PEF PDF V V V V S r S r S r ----=++=∙+∙+∙DEF ABC O ABDE O ABC O ACFE O DEF O BCFD V V V V V V ------=++++11111+33333ABDE ABC ACFE DEF BCFD S r S r S r S r S r =∙+∙+∙∙+∙ 从而12P DEF DEF ABC S V V S --=表表. 12.根据下面一组等式 S 1=1 S 2=2+3=5 S 3=4+5+6=1 5 S 4=7+8+9+1 0=34S 5=1 1+1 2+1 3+1 4+1 5=65 S 6=1 6+1 7+1 8+1 9+20+2 1=1 1 1S 7=22+23+24+25+26+27+28=1 75 … … …… … … … … 可得13521...n s s s s -++++=【答案】4n13.对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：3122+= 53132++= 753142+++= … 5323+= 119733++= 1917151343+++= …根据上述分解规律，若115312++++= m ，3p 的分解中最小的正整数是21，则=+p m .【答案】11714.已知下列等式：222222222222222211135171357949135********=-+=-+-+=-+-+-+=观察上式的规律,写出第7个等式________________________________________. 【答案】22222213572325337-+-+-+=【解析】211=()222135123517-+=++=()()2222213579123527949-+-+=++++=()()()222222213579111312352792111397-+-+-+=++++++=()()22222213572325123522325-+-+-+=+++++()()()1235223251235792325337=+++++=+++++++=．1882)343)(1(2212+-=-+-⋅+=n n n n .。

（江苏专用）2018版高考数学专题复习专题11算法、复数、推理与证明第78练流程图练习理1. （2016 •南京模拟）执行如图所示的流程图，如果输出的r的值为120,那么判断框中正整数皿的最小值是________________ .2. （2016 •北京改编）执行如图所示的流程图，若输入的a值为1,则输出的&值为 _________ •3. （2016 •扬州期末）如图，若输入的x值为亏■，则相应输出的值为 ______ •4. （2016 •苏州质检）执行如图所示的流程图，若输出的2的值为2,则输入的A-的最大值是________ .5. （2016 •镇江质检）执行下而的程序，若输入的x=2,则输岀的所有*的值的和为_________ .6. 给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x的值与输出的y的值相等，则x的可能值的个数为________ •7. （2015 •重庆改编）执行如图所示的流程图，若输岀k的值为8,则判断框内可填入的条件是________________ .一 3 - 5 一11 一25①sWj；②sWg；③sW河；④sW亓8. （2016 •张掖一诊）已知图象不间断的函数f（x）是区间［a, b］上的单调函数，且在区间（a, M上存在零点.如图所示是用二分法求方程f3=0近似解的流程图，判断框内可以填写的内容有如下四个选择：①f（a）f（/n）V0：②f（a）f（M）＞0：③f（4f（e）V0：④f（b）fU?）＞0, 其中能够正确求出近似解的是___________ •9. 已知数列｛%｝中，A=1,卄f+n,若如图所示的流程图是用来计算该数列的第2 017项，则判断框内的条件是________ .（填序号）①nW2 015；②nW2 016；®n＜2 014；④”V2 016.10. （2016 •南京、盐城、连云港、徐州二模）执行如图所示的流程图，则输岀的k的值为11. （2016 •山东）执行如图所示的流程图，若输入n的值为3,则输出的S的值为_________ .12. 设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成日的3个数字按从小到大排成的三位数记为M ,按从大到小排成的三位数记为0（a）（例如a=815,则Z（a） =158,阅读如图所示的流程图，运行相应的程序，任意输入一个a,输出的结果b= P（a）=851）.答案精析1. 242.23.|4.225. 126解析分析流程图可知，输岀的所有x的值的和为2+4+8 + 16 + 32+64 = 126.6. 3解析分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是计算并输出的分段函数的值.又・••输入的x值与输出的y值相等，当时，x=f,解得x=0或x=l；当2VxW5 时，*=2% — 3,解得x=3：当Q5时，*=£x解得JV=±1(舍去).故满足条件的X的值共有3个.7. ③解析根据流程图表示的算法求解.由s=0,力=0满足条件，则k=2, s=g满足条件；k=4,s=*+#=¥‘满足条件：&=6, 5=|+|=||,满足条件;k=8, s=j|+吉=||，不满足条件，输出Q&所以应填入的条件是“sw||” .8. ①④解析因为函数f(x)在区间［曰，刃上单调，且函数f(x)在区间(曰，b)上存在零点，所以f(a) f心<0,所以当f(a) f(〃) <0或f(b) f® >0,符合流程图的流程.9. ②解析第1次循环，s=l + l = 2,刀=1 + 1 = 2,第2次循环，s=2+2 = 4,刀=2 + 1 = 3,…, 第2 016次循环，n=2 017.所以结合选项可知判断框内的条件应为“刀£2 016” .10. 5解析初始值&-1，S-1,第一次循环：S-3, £-2,不满足条件S>16：第二次循环：S-8, R-3,不满足条件S>16：第三次循环：S-16, *-4,不满足条件5>16；第四次循环：S-27, R-5：此时满足条件S>16,停止循环，输出R的值为5.11・1解析输入n的值为3,第 1 次循环：J-h S=A/2-1,i<n；第 2 次循环：J-2, S=J5 — 1, i<nx第3次循环：j-3, S=l, if输出S的值为1.12. 495解析取比=815=厶=851 — 158=693工815=> 色= 693：由龙=693=乙=963 — 369 = 594工693=念=594：由比=594»厶=954 — 459 = 495H594n 刃=495：由ai=495=> Z>i=954 —459 = 495 = ai=> 6=495.。